(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
材料の応力−ひずみ関係を等方硬化モデルと移動硬化モデルとを組み合わせた複合硬化モデルで近似するとともに、その材料の塑性ひずみを変数とし、かつ、その塑性ひずみの背応力関数により定義される背応力と等方硬化量とを変数とすることによってその材料の降伏曲面を定義する降伏関数を用いることにより、その材料の応力−ひずみ関係を連続的に、かつ、その材料のバウシンガ効果が表現されるようにシミュレートする方法であって、
前記背応力が、その背応力の移動硬化の非線形性に依存する成分であってその非線形移動硬化の収束の速さを表す係数Ｃを含む式で表される第１背応力成分を表すベクトルと、前記背応力の移動硬化の線形性に依存する成分であってその線形移動硬化の大きさを表す係数Ｈを含む式で表される第２背応力成分を表すベクトルとを含む式で表され、かつ、
(a)前記係数Ｃが前記塑性ひずみに応じて減少する傾向を有する係数関数で定義されることと、
(b)前記係数Ｈが前記塑性ひずみに応じて増加する傾向を有する係数関数で定義されること
との少なくとも一方を含み、かつ、
前記材料を引張方向と圧縮方向との一方向に負荷して塑性変形させた後に除荷し、さらに、逆方向に負荷して塑性変形させるとともに、その間にその材料の応力−ひずみ関係の実験値を複数の離散値として取得する実験値取得工程と、
前記係数Ｃと前記係数Ｈとの前記少なくとも一方の係数関数を、前記実験値取得工程において取得された複数の実験値に基づいて同定する係数関数同定工程と
を含むことを特徴とする応力−ひずみ関係シミュレート方法。
【請求項２】
材料の応力−ひずみ関係を等方硬化モデルと移動硬化モデルとを組み合わせた複合硬化モデルで近似するとともに、その材料の塑性ひずみを変数とし、かつ、その塑性ひずみの背応力関数により定義される背応力と等方硬化量とを変数とすることによってその材料の降伏曲面を定義する降伏関数を用いることにより、その材料の応力−ひずみ関係を連続的に、かつ、その材料のバウシンガ効果が表現されるようにシミュレートする方法であって、
前記降伏関数ｆが、
【数１】
0003897477.tif 000048
ただし、
Ｓi （ｉ＝ｘ，ｙ，ｚ）：指標ｉに対応する座標軸に垂直な面に作用する垂直応力σi に関する偏差応力
Ｓij（ｉ，ｊ＝ｘ，ｙ，ｚ）：指標ｉに対応する座標軸に垂直な面に、指標ｊに対応する座標軸の方向に作用するせん断応力σijに関する偏差応力
αi （ｉ＝ｘ，ｙ，ｚ）：指標ｉに対応する座標軸に垂直な面に作用する背応力
αij（ｉ，ｊ＝ｘ，ｙ，ｚ）：指標ｉに対応する座標軸に垂直な面に、指標ｊに対応する座標軸の方向に作用する背応力
Ｙ0 ：材料の塑性変形が初めて開始されるときの降伏応力である初期降伏応力
Ｒ：材料の等方硬化量
なる式で表され、
前記背応力αを表すベクトル｛α｝が、
【数２】
0003897477.tif 000049
ただし、
｛α1 ｝：背応力のうち移動硬化の非線形性に依存する成分である第１背応力成分を表すベクトル
｛α2 ｝：背応力のうち移動硬化の線形性に依存する成分である第２背応力成分を表すベクトル
なる式で表され、その第１背応力成分α1 の増分ｄα1 を表すベクトル｛ｄα1 ｝が、
【数３】
0003897477.tif 000050
ただし、
Ｃ：非線形移動硬化の収束の速さを表す係数
２ａ／３：非線形移動硬化の収束値
｛ｄεP ｝：塑性ひずみ増分ｄεP i （ｉ＝ｘ，ｙ，ｚ）を表すベクトル
ｄεP eq：相当塑性ひずみ増分
なる式で表され、前記第２背応力成分α2 の増分ｄα2 を表すベクトル｛ｄα2 ｝が、
【数４】
0003897477.tif 000051
ただし、
Ｈ：線形移動硬化の大きさを表す係数
なる式で表されるとともに、
（Ａ）前記係数Ｃが、
【数６】
0003897477.tif 000052
ただし、
εP eq：相当塑性ひずみ
Ｃ’，ε0 ：定数
なる式で表されることと、（Ｂ）前記係数Ｈが、
【数７】
0003897477.tif 000053
ただし、
ε1 ：境界値
ε2 ：境界値（＞ε1 ）
Ｈ1 ，ｐ，ｑ，Ｈ2 ：定数
なる式で表されることとの少なくとも一方を含み、かつ、
前記材料を引張方向と圧縮方向との一方向に負荷して塑性変形させた後に除荷し、さらに、逆方向に負荷して塑性変形させるとともに、その間にその材料の応力−ひずみ関係の実験値を複数の離散値として取得する実験値取得工程と、
前記係数Ｃと前記係数Ｈとの前記少なくとも一方の係数関数を、前記実験値取得工程において取得された複数の実験値に基づいて同定する係数関数同定工程と
を含むことを特徴とする応力−ひずみ関係シミュレート方法。
【請求項３】
さらに、前記等方硬化量と前記塑性ひずみとの関係を、塑性ひずみの大小を問わず等方硬化量が塑性ひずみに応じて増加するものとするとともに、それら等方硬化量と塑性ひずみとの関係を、取得された複数の実験値に基づいて同定する関係同定工程を含む請求項１または２に記載の応力−ひずみ関係シミュレート方法。
【請求項４】
前記等方硬化量Ｒの増分ｄＲが、
【数５】
0003897477.tif 000054
ただし、
ｂ：等方硬化の大きさを表す定数
なる式で表された請求項３に記載の応力−ひずみ関係シミュレート方法。
【請求項５】
請求項１ないし４のいずれかに記載の降伏関数を用いることにより、材料が塑性加工の終了後に弾性回復する量であるスプリングバック量を予測する方法であって、
前記材料と材質が実質的に同じ試験片を引張方向と圧縮方向との一方向に負荷して塑性変形させた後に除荷し、さらに、逆方向に負荷して塑性変形させるとともに、その間にその試験片の応力−ひずみ関係の実験値を複数の離散値として取得する実験値取得工程と、
前記降伏関数における前記背応力の前記係数を、前記塑性ひずみを変数とする係数関数により定義された変数とするとともに、その係数関数を、取得された複数の実験値に基づいて同定する係数関数同定工程と、
前記塑性加工の終了時に前記材料に残存する応力−ひずみ関係を予測する残存応力−ひずみ関係予測工程と、
その予測された残存応力−ひずみ関係と、同定された係数関数により定義された前記係数を含む前記降伏関数とに基づき、前記スプリングバック量を予測するスプリングバック量予測工程と
を含むことを特徴とするスプリングバック量予測方法。
【請求項６】
請求項５に記載のスプリングバック量予測方法を実施するためにコンピュータにより実行されるプログラムをコンピュータ読み取り可能に記録した記録媒体。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、材料の応力−ひずみ関係をその材料のバウシンガ効果を含めてシミュレートする応力−ひずみ関係シミュレート方法、ならびにそのシミュレート方法を利用したスプリングバック量の予測方法に関するものである。
【０００２】
【従来の技術】
上記応力−ひずみ関係シミュレート方法の一形式に次のようなものが既に存在する。それは、材料の応力−ひずみ関係を等方硬化モデルと移動硬化モデルとを組み合わせた複合硬化モデルで近似するとともに、その材料の塑性ひずみを変数とし、かつ、その塑性ひずみの係数を有する背応力関数により定義される背応力と等方硬化量とを変数とすることによってその材料の降伏曲面を定義する降伏関数を用いることにより、その材料の応力−ひずみ関係を連続的に、かつ、その材料のバウシンガ効果が表現されるようにシミュレートするものである。
【０００３】
そして、その降伏関数においては従来、塑性ひずみの係数が定数とされていた。さらに、等方硬化量と塑性ひずみとの関係が、塑性ひずみが低いうちは塑性ひずみに応じて等方硬化量が増加するが、高くなると増加しなくなって一定値に収束するように設定されていた。
【０００４】
【発明が解決しようとする課題，課題解決手段および発明の効果】
そのため、この降伏関数を用いる場合には、材料の塑性ひずみが例えば０．０２（２％）より大きく、例えば、０．１５，０．２０であるという如き、高ひずみ領域においては、材料のバウシンガ効果を精度よくシミュレートすることができないという問題があった。
【０００５】
このような事情を背景として、本発明は、高ひずみ領域においても材料のバウシンガ効果を精度よくシミュレートすることを課題としてなされたものであり、本発明によって下記各態様が得られる。各態様は、請求項と同様に、項に区分し、各項に番号を付し、必要に応じて他の項の番号を引用する形式で記載する。これは、本明細書に記載の技術的特徴およびそれらの組合せのいくつかの理解を容易にするためであり、本明細書に記載の技術的特徴やそれらの組合せが以下の態様に限定されると解釈されるべきではない。
なお、下記の項の中には、特許請求の範囲の補正により、本願発明の態様ではなくなったものも存在するが、本願発明を説明する必要上、そのまま残すこととする。
【０００６】
(1) 材料の応力−ひずみ関係を等方硬化モデルと移動硬化モデルとを組み合わせた複合硬化モデルで近似するとともに、その材料の塑性ひずみを変数とし、かつ、その塑性ひずみの係数を有する背応力関数により定義される背応力と等方硬化量とを変数とすることによってその材料の降伏曲面を定義する降伏関数を用いることにより、その材料の応力−ひずみ関係を連続的に、かつ、その材料のバウシンガ効果が表現されるようにシミュレートする方法であって、
前記材料を引張方向と圧縮方向との一方向に負荷して塑性変形させた後に除荷し、さらに、逆方向に負荷して塑性変形させるとともに、その間にその材料の応力−ひずみ関係の実験値を複数の離散値として取得する実験値取得工程と、
前記係数を、前記塑性ひずみを変数とする係数関数により定義された変数とするとともに、その係数関数を、取得された複数の実験値に基づいて同定する係数関数同定工程と
を含むことを特徴とする応力−ひずみ関係シミュレート方法。
この方法によれば、降伏関数における係数が、定数ではなく、塑性ひずみに応じて変化させられる変数とされるため、高ひずみ領域においてもバウシンガ効果を精度よくシミュレートすることが可能となる。
ここに「塑性ひずみ」は、多軸応力状態における各座標軸に関する塑性ひずみを意味する場合と、多軸応力状態を一軸応力状態に変換した場合の相当塑性ひずみを意味する場合とがある。
本項に記載の応力−ひずみ関係シミュレート方法は、(a) 材料を成形（絞り成形を含む）する際の材料の応力，ひずみ，形状等の変化を、成形時に材料に負荷されるべき力に基づき、かつ、材料の応力−ひずみ関係に従ってシミュレートする第１工程と、(b) その第１工程によりシミュレートされた応力，ひずみ，形状等の最終値に基づき、かつ、材料の応力−ひずみ関係に従って材料のスプリングバック量を予測する第２工程とを含むスプリングバック量予測方法の第２工程に適用する態様で実施したり、第１工程に適用する態様で実施したり、第１工程と第２工程との双方に適用する態様で実施することが可能である。
また、本項に記載の応力−ひずみ関係シミュレート方法は、それ全体が人間により主体的に実行されるように実施したり、コンピュータにより主体的に実行されるように実施することができる。特に、「係数関数同定工程」は、人間の介入を必要とするものとしたり、人間の介入を実質的に必要とせずにコンピュータにより自動的に行うものとすることができる。
また、本項に記載の応力−ひずみ関係シミュレート方法は例えば、応力−ひずみ関係解析方法または応力−ひずみ関係定義方法として把握したり、バウシンガ硬化解析方法として把握することが可能である。
(2) 前記降伏関数ｆが、
【数８】
0003897477.tif 000002
ただし、
Ｓi （ｉ＝ｘ，ｙ，ｚ）：指標ｉに対応する座標軸に垂直な面に作用する垂直応力σi に関する偏差応力
Ｓij（ｉ，ｊ＝ｘ，ｙ，ｚ）：指標ｉに対応する座標軸に垂直な面に、指標ｊに対応する座標軸の方向に作用するせん断応力σijに関する偏差応力
αi （ｉ＝ｘ，ｙ，ｚ）：指標ｉに対応する座標軸に垂直な面に作用する背応力
αij（ｉ，ｊ＝ｘ，ｙ，ｚ）：指標ｉに対応する座標軸に垂直な面に、指標ｊに対応する座標軸の方向に作用する背応力
Ｙ0 ：材料の塑性変形が初めて開始されるときの降伏応力である初期降伏応力
Ｒ：材料の等方硬化量
なる式で表された(1) 項に記載の応力−ひずみ関係シミュレート方法。
(3) 前記背応力αを表すベクトル｛α｝が、
【数９】
0003897477.tif 000003
ただし、
｛α1 ｝：背応力のうち移動硬化の非線形性に依存する成分である第１背応力成分を表すベクトル
｛α2 ｝：背応力のうち移動硬化の線形性に依存する成分である第２背応力成分を表すベクトル
なる式で表され、その第１背応力成分α1 の増分ｄα1 を表すベクトル｛ｄα1 ｝が、
【数１０】
0003897477.tif 000004
ただし、
Ｃ：非線形移動硬化の収束の速さを表す係数
２ａ／３：非線形移動硬化の収束値
｛ｄεP ｝：塑性ひずみ増分ｄεP i （ｉ＝ｘ，ｙ，ｚ）を表すベクトル
εP eq：相当塑性ひずみ
なる式で表され、前記第２背応力成分α2 の増分ｄα2 を表すベクトル｛ｄα2 ｝が、
【数１１】
0003897477.tif 000005
ただし、
Ｈ：線形移動硬化の大きさを表す係数
なる式で表された(2) 項に記載の応力−ひずみ関係シミュレート方法。
(4) さらに、前記等方硬化量と前記塑性ひずみとの関係を、塑性ひずみの大小を問わず等方硬化量が塑性ひずみに応じて増加するものとするとともに、それら等方硬化量と塑性ひずみとの関係を、取得された複数の実験値に基づいて同定する関係同定工程を含む(1) ないし(3) 項のいずれかに記載の応力−ひずみ関係シミュレート方法〔本項の一部が請求項３に相当する〕。
この方法によれば、塑性ひずみの大小を問わず等方硬化量が塑性ひずみに応じて増加するため、高ひずみ領域においても等方硬化量が塑性ひずみによって変化することとなり、バウシンガ効果を精度よくシミュレートするのに好都合である。
(5) 前記等方硬化量Ｒの増分ｄＲが、
【数１２】
0003897477.tif 000006
ただし、
ｂ：等方硬化の大きさを表す定数
なる式で表された(4) 項に記載の応力−ひずみ関係シミュレート方法〔本項の一部が請求項４に相当する〕。
(6) 前記係数Ｃが、前記塑性ひずみに応じて減少する傾向を有する関数で定義された(3) ないし(5) 項のいずれかに記載の応力−ひずみ関係シミュレート方法〔本項の(3)項に従属する部分から(2)項および(3)項の具体的な式の限定を除いたものが請求項１の一部に相当する〕。
(7) 前記係数Ｃを表す関数が、前記塑性ひずみとして相当塑性ひずみεP eqを用いた場合に、その相当塑性ひずみεP eqを１／√（εP eq）という形態で組み込んだものである(6) 項に記載の応力−ひずみ関係シミュレート方法。
(8) 前記係数Ｃが、
【数１３】
0003897477.tif 000007
ただし、
εP eq：相当塑性ひずみ
Ｃ’，ε0 ：定数
なる式で表された(3) ないし(7) 項のいずれかに記載の応力−ひずみ関係シミュレート方法〔請求項２の一部に相当する〕。
(9) 前記係数Ｈが、前記塑性ひずみに応じて増加する傾向を有する関数で定義された(3) ないし(8) 項のいずれかに記載の応力−ひずみ関係シミュレート方法〔本項の(3)項に従属する部分から(2)項および(3)項の具体的な式の限定を除いたものが請求項１の一部に相当する〕。
(10)前記係数Ｈを表す関数が、前記塑性ひずみとして相当塑性ひずみεP eqを用いた場合に、その相当塑性ひずみεP eqを自然対数ｌｎ（εP eq）または常用対数ｌｏｇ（εP eq）という形態で組み込んだものである(9) 項に記載の応力−ひずみ関係シミュレート方法。
(11)前記係数Ｈが、
【数１４】
0003897477.tif 000008
ただし、
ε1 ：境界値
ε2 ：境界値（＞ε1 ）
Ｈ1 ，ｐ，ｑ，Ｈ2 ：定数
なる式で表された(3) ないし(10)項のいずれかに記載の応力−ひずみ関係シミュレート方法〔請求項２の一部に相当する〕。
(12)(1) ないし(11)項のいずれかに記載の応力−ひずみ関係シミュレート方法を実施するためにコンピュータにより実行されるプログラムをコンピュータ読み取り可能に記録した記録媒体。
ここに、「記録媒体」には例えば、フレキシブルディスク，磁気テープ，磁気ディスク，磁気ドラム，磁気カード，光ディスク，光磁気ディスク，ＲＯＭ，ＣＤ−ＲＯＭ，ＩＣカード，穿孔テープ等がある。この説明は後述の「記録媒体」についても適用される。
(13)(1) ないし(11)項のいずれかに記載の降伏関数を用いることにより、材料が塑性加工の終了後に弾性回復する量であるスプリングバック量を予測する方法であって、
前記材料と材質が実質的に同じ試験片を引張方向と圧縮方向との一方向に負荷して塑性変形させた後に除荷し、さらに、逆方向に負荷して塑性変形させるとともに、その間にその試験片の応力−ひずみ関係の実験値を複数の離散値として取得する実験値取得工程と、
前記降伏関数における前記背応力の前記係数を、前記塑性ひずみを変数とする係数関数により定義された変数とするとともに、その係数関数を、取得された複数の実験値に基づいて同定する係数関数同定工程と、
前記塑性加工の終了時に前記材料に残存する応力−ひずみ関係を予測する残存応力−ひずみ関係予測工程と、
その予測された残存応力−ひずみ関係と、同定された係数関数により定義された前記係数を含む前記降伏関数とに基づき、前記スプリングバック量を予測するスプリングバック量予測工程と
を含むことを特徴とするスプリングバック量予測方法〔本項の一部が請求項５に相当する〕。
プレス成形等、塑性加工においては、材料が負荷された後に除荷されるが、除荷後に材料にスプリングバックが生じ、材料の除荷終了時における形状（最終形状）が、負荷終了時（除荷開始時）における形状とは異なったものとなる。そのため、材料の塑性加工後の形状精度を確保するために、プレス型等、塑性加工のための工具の形状を、材料の目標形状に対応する工具形状にスプリングバック量を見込んだ工具形状に修正することが必要となる。この工具修正は、形状が暫定的である工具を用いて塑性加工を試行して材料のスプリングバック量を実測することによって取得し、その実測値を考慮して工具形状を修正することによって実現可能であるが、塑性加工の試行を行うことなくスプリングバック量を高い精度で予測することができれば、工具修正に必要な時間が短縮される。工具修正に必要な時間が短縮されれば、生産準備リードタイムが短縮され、生産効率が向上する。しかし、従来、材料のスプリングバック量を精度よく予測することが困難であった。前述のように、従来の手法では、高ひずみ領域において材料のバウシンガ効果を精度よくシミュレートすることができなかったからである。
これに対して、本項に記載のスプリングバック量予測方法によれば、高ひずみ領域においても材料のバウシンガ効果を精度よくシミュレートすることが可能となる。一方、材料のバウシンガ効果のシミュレート精度が高くなれば、スプリングバック量の予測精度も高くなる。したがって、この方法によれば、スプリングバック量を精度よく予測することが可能となる。
(14)さらに、前記等方硬化量と前記塑性ひずみとの関係を、塑性ひずみの大小を問わず等方硬化量が塑性ひずみに応じて増加するものとするとともに、それら等方硬化量と塑性ひずみとの関係を、取得された複数の実験値に基づいて同定する関係同定工程を含み、かつ、前記スプリングバック量予測工程が、(a) 予測された残存応力−ひずみ関係と、(b) 同定された係数関数により定義された前記係数と、同定された関係を表す係数とを含む前記降伏関数とに基づき、前記スプリングバック量を予測するものとされた(13)項に記載の応力−ひずみ関係シミュレート方法。
この方法によれば、塑性ひずみの大小を問わず等方硬化量が塑性ひずみに応じて増加するため、高ひずみ領域においても等方硬化量が塑性ひずみによって変化することとなり、バウシンガ効果を精度よくシミュレートするのに好都合である。
(15)(13)または(14)項に記載のスプリングバック量予測方法を実施するためにコンピュータにより実行されるプログラムをコンピュータ読み取り可能に記録した記録媒体〔本項の一部が請求項６に相当する〕。
【０００７】
【発明の実施の形態】
以下、本発明のさらに具体的な実施の形態の一つを図面に基づいて詳細に説明する。
【０００８】
本発明の一実施形態は、応力−ひずみ関係シミュレート方法を含むスプリングバック量予測方法であり、図１には、そのスプリングバック量予測方法を実施するのに好適なスプリングバック量予測装置（以下、単に「予測装置」という）が示されている。
【０００９】
予測装置は、入力装置１０とコンピュータ１２と出力装置１４と外部記憶装置１６とを備えている。入力装置１０はマウス，キーボード等を含むように構成される。コンピュータ１２はＣＰＵ等、プロセッサ２０と、ＲＯＭ，ＲＡＭ，ハードディスク等、メモリ２２と、それらプロセッサ２０とメモリ２２とを接続するバス２４とを含むように構成される。出力装置１４はディスプレイ，プリンタ，プロッタ等を含むように構成される。外部記憶装置１６は、ＣＤ−ＲＯＭ３０，書き込み可能なＦＤ３２（フレキシブルディスク）等、記録媒体が装填可能となっていて、装填状態においては、記録媒体に対するデータの読み取りおよび書き込みが必要に応じて行われる。
【００１０】
本実施形態においては、上記スプリングバック量の予測に必要なプログラムがＣＤ−ＲＯＭ３０に記憶され、また、その予測に必要なデータがＦＤ３２に記憶されている。スプリングバック量の予測に必要なプログラムには、塑性構成式同定プログラムと、成形シミュレーションプログラムと、スプリングバック量予測プログラムとがある。そして、スプリングバック量の予測時には、それらＣＤ−ＲＯＭ３０およびＦＤ３２から必要なプログラムおよびデータが読み出されてコンピュータ１２のＲＡＭまたはハードディスクに転送され、その後、プロセッサ２０によりそのプログラムが実行される。
【００１１】
図２には、本実施形態であるスプリングバック量予測方法が工程図で表されている。
【００１２】
概略的に説明すれば、スプリングバック量予測方法は、鋼板である材料をプレス成形した後にその材料に生じるスプリングバック量を予測するものである。そのプレス成形は、塑性ひずみが０．１５，０．２０というように、比較的高い塑性ひずみを有する部分が生じるように行われる。また、このスプリングバック量予測方法に含まれる応力−ひずみ関係シミュレート方法は、プレス成形されるべき材料と材質が実質的に同じ試験片を用いることにより、その試験片の応力−ひずみ関係の実験値を複数の離散値として取得し、その取得した複数の実験値に基づき、その試験片の応力−ひずみ関係を構成する方程式である塑性構成式を同定するものである。この塑性構成式は、応力−ひずみ関係を連続的に記述するものである。また、スプリングバック量予測方法は、有限要素法を用いることにより、プレス成形直後に材料に残存する応力−ひずみ関係を予測するために、材料のプレス成形をシミュレートする成形シミュレーションを行い、その後、有限要素法を用いるとともに、同定された塑性構成式を用いることにより、材料のスプリングバック量を予測するものである。
【００１３】
さらに具体的に説明すれば、本実施形態においては、同図に示すように、まず、ステップＳ１において、作業者により、プレス成形されるべき材料と材質が実質的に同じ試験片が準備され、その後、試験機を用いることにより、その試験片に対して一軸応力状態において引張−圧縮試験が行われる。この試験は具体的には、試験片を引張方向に負荷して塑性変形させた後に除荷し、さらに、逆方向すなわち圧縮方向に負荷して塑性変形させるというものであり、その間にその試験片の応力−ひずみ関係の実験値が複数の離散値として取得される。
【００１４】
次に、ステップＳ２において、コンピュータ１２により、上記塑性構成式同定プログラムが実行され、それにより、上記取得された複数の実験値に基づいて上記塑性構成式が同定される。この同定については後に詳述する。
【００１５】
その後、ステップＳ３において、作業者により、上記成形シミュレーションを実行するのに必要なデータ、すなわち、数値解析用データが作成される。数値解析用データには、図３に示すように、材料を複数のメッシュに分割するためのメッシュデータと、プレス成形時に材料に付与される応力に関する条件と、複数のメッシュに関する境界条件とを含んでいる。
【００１６】
続いて、ステップＳ４において、コンピュータ１２により、上記成形シミュレーションプログラムが実行され、それにより、プレス成形直後に材料に残存する応力−ひずみ関係が予測される。さらに、プレス成形直後の材料の形状も予測される。この成形シミュレーションプログラムの一例は、ＬＳＴＣ社により製造され、「ＬＳ−ＤＹＮＡ３Ｄ」という名称で日本総合研究所により販売されたものである。
【００１７】
その後、ステップＳ５において、上記ステップＳ２において同定された塑性構成式により、上記スプリングバック量予測プログラムにおいて、スプリングバック量を予測すべき材料の応力−ひずみ関係が定義される。なお、このスプリングバック量予測プログラムは、材料の応力−ひずみ関係を任意に定義可能に設計されている。
【００１８】
続いて、ステップＳ６において、コンピュータ１２により、上記スプリングバック量予測プログラムが実行され、それにより、スプリングバック量が予測される。このスプリングバック量予測プログラムの一例は、日本総合研究所により製造され、同研究所により「ＪＯＨ−ＮＩＫＥ３Ｄ」という名称で販売されたものである。
【００１９】
以上で、スプリングバック量予測方法の一回の実行が終了する。なお、図３には、それら３つのプログラム相互の関係が概念的に示されている。
【００２０】
ここで、塑性構成式の同定について詳しく説明する。
【００２１】
１．従来の複合硬化モデル
雑誌「Journal of Pressure Vessel Technology (MAY 1983, Vol. 105/154-159)」には、J.L.ChabocheとG.Rousselierとにより著された、「On the Plastic and Viscoplastic Constitutive Equations」と題する論文が掲載されている。この論文においては、弾塑性体の応力−ひずみ関係を与える構成方程式である塑性構成式が記載されている。この塑性構成式は、材料の応力−ひずみ関係を、等方硬化モデルと移動硬化モデルとを組み合わせた複合硬化モデルで近似することにより、材料のバウシンガ効果を表現し得るものである。
【００２２】
ここに「等方硬化」とは、加工硬化により降伏曲面がその中心位置およびその形状が変化することなく等方的に拡大することを意味する。また「移動硬化」とは、加工硬化により降伏曲面がその形状および大きさが変化することなくその中心位置が移動することを意味する。また「降伏曲面」とは、降伏関数を応力空間または応力平面に表した曲面（多角形を含む）をいい、「降伏関数」とは、材料が降伏するときの応力成分σij（ｉ，ｊ＝ｘ，ｙ，ｚ）の関数をいう。
【００２３】
Chaboche-Rousselier により提案された塑性構成式としての降伏関数ｆは、次の式(1) で表される。
【００２４】
【数１５】
0003897477.tif 000009
【００２５】
ただし、
Ｓi （ｉ＝ｘ，ｙ，ｚ）：指標ｉに対応する座標軸に垂直な面に作用する垂直応力σi に関する偏差応力
Ｓij（ｉ，ｊ＝ｘ，ｙ，ｚ）：指標ｉに対応する座標軸に垂直な面に、指標ｊに対応する座標軸の方向に作用するせん断応力Ｓij（＝τij）に関する偏差応力αi （ｉ＝ｘ，ｙ，ｚ）：指標ｉに対応する座標軸に垂直な面に作用する背応力
αij（ｉ，ｊ＝ｘ，ｙ，ｚ）：指標ｉに対応する座標軸に垂直な面に、指標ｊに対応する座標軸の方向に作用する背応力
Ｙ0 ：材料の塑性変形が初めて開始されるときの降伏応力である初期降伏応力
Ｒ：材料の等方硬化量
【００２６】
なお、上記式(1) は、ミーゼス型の降伏条件と等方硬化と線形硬化とを前提として成立している。
【００２７】
また、この式(1) において、背応力αi ，αijは、降伏曲面の中心の移動量を表すことから、移動硬化モデルにおける移動硬化量ということができる。なお、図４には、引張−圧縮時における応力−ひずみ関係がグラフで表されるとともに、背応力αと等方硬化量Ｒと初期降伏応力Ｙ0 との関係が示されている。すなわち、この図には、複合硬化モデルが概念的にグラフで示されているのである。
【００２８】
一軸応力状態においては、Chaboche-Rousselier により、背応力αi （ｉ＝ｘ，ｙ，ｚ）を表すベクトル｛α｝は、次の式(2) により定義される。
【００２９】
【数１６】
0003897477.tif 000010
【００３０】
ただし、
｛α1 ｝：背応力のうち移動硬化の非線形性に依存する成分である第１背応力成分を表すベクトル
｛α2 ｝：背応力のうち移動硬化の線形性に依存する成分である第２背応力成分を表すベクトル
【００３１】
ここに、第１背応力成分α1 を表すベクトル｛α1 ｝は、次の式(3) により定義される。
【００３２】
【数１７】
0003897477.tif 000011
【００３３】
ただし、
Ｃ：非線形移動硬化の収束の速さを表す係数（定数）
２ａ／３：非線形移動硬化の収束値（定数）
｛ｄεP ｝：塑性ひずみ増分ｄεP i （ｉ＝ｘ，ｙ，ｚ）を表すベクトル
ｄεP eq：相当塑性ひずみ増分
【００３４】
また、第２背応力成分α2 を表すベクトル｛α2 ｝は、次の式(4) により定義される。
【００３５】
【数１８】
0003897477.tif 000012
【００３６】
ただし、
Ｈ：線形移動硬化の大きさを表す係数（定数）
【００３７】
また、等方硬化量Ｒの増分ｄＲは、次の式(5) により定義される。
【００３８】
【数１９】
0003897477.tif 000013
【００３９】
ただし、
ｂ：等方硬化の大きさを表す係数（定数）
Ｑ：等方硬化の収束値（定数）
【００４０】
２．従来の複合硬化モデルの問題点
図５には、塑性ひずみεP が０．０２より小さい低ひずみ領域に移行させるべく、材料を引っ張って塑性変形させた後に除荷し、さらにその材料を圧縮して塑性変形させた場合の応力−ひずみ関係が示されている。応力−ひずみ関係の実験値は複数の白丸が並んだグラフで表され、一方、Chaboche-Rousselier により提案された従来の複合硬化モデルに基づく予測値は破線のグラフで表されている。それらグラフから明らかなように、低ひずみ領域においては、従来の複合硬化モデルに基づく予測値は実験値と精度よく一致しており、バウシンガ効果が精度よくシミュレートできている。
【００４１】
図６には、塑性ひずみが０．０２より大きく、０．１５４より小さい高ひずみ領域に移行させるべく、材料を引っ張って塑性変形させた後に除荷し、さらにその材料を圧縮して塑性変形させた場合の応力−ひずみ関係が示されている。実験値は複数の白丸が並んだグラフで表され、一方、Chaboche-Rousselier により従来の複合硬化モデルに基づく予測値は破線のグラフで表されている。それらグラフから明らかなように、高ひずみ領域においては、従来の複合硬化モデルに基づく予測値は実験値と精度よく一致しておらず、バウシンガ効果が精度よくシミュレートできていない。
【００４２】
３．本実施形態における複合硬化モデル
(1) モデルの設計目標
低ひずみ領域のみならず高ひずみ領域においてもバウシンガ効果が精度よくシミュレートできるようにする。
【００４３】
(2) 複合硬化モデルの概要
▲１▼  係数Ｃの変数化
前記式(3) における係数Ｃを、定数ではなく、相当塑性ひずみεP eqを変数とする関数（係数関数の一例である）で定義された変数とする。係数Ｃは、相当塑性ひずみεP eqに応じて減少する傾向を有する。係数Ｃは具体的には、次の式(6) で表される。
【００４４】
【数２０】
0003897477.tif 000014
【００４５】
ただし、
Ｃ’：応力−ひずみ関係の実験値を用いて同定された係数（後述する）
ε0 ：相当塑性ひずみεP eqが０である場合に上記式(6) の分母が０になってしまうことを防止するための定数（例えば、１０-6程度の値）
【００４６】
▲２▼  係数Ｈの変数化
前記式(4) における係数Ｈを、定数ではなく、相当塑性ひずみεP eqを変数とする関数（係数関数の一例である）で定義された変数とする。係数Ｈは、相当塑性ひずみεP eqに応じて増加する傾向を有する。係数Ｈは具体的には、次の式(7) ないし(9) で表される。
【００４７】
【数２１】
0003897477.tif 000015
【００４８】
ただし、
ε1 ：境界値
Ｈ1 ｐ，ｑ，Ｈ2 ：応力−ひずみ関係の実験値を用いて同定された定数
ε2 ：境界値（＞ε1 ）
【００４９】
▲３▼  等方硬化量Ｒの構成式の変形
相当塑性ひずみεP eqの大小を問わず等方硬化量Ｒが相当塑性ひずみεP eqに応じて増加するようにし、それにより、低ひずみ領域のみならず高ひずみ領域においても等方硬化量Ｒが相当塑性ひずみεP eqに応じて増加するようにする。このようにすることは、高ひずみ領域においてもバウシンガ効果を精度よくシミュレートするのに好都合である。具体的には、前記式(5) を、次の式(10)に変形する。
【００５０】
【数２２】
0003897477.tif 000016
【００５１】
その結果、等方硬化量Ｒと相当塑性ひずみεP eqとの間に、その相当塑性ひずみεP eqの大小を問わず、比例関係が成立することになる。
【００５２】
▲５▼  係数Ｃ’の決定
前記式(6) における係数Ｃ’は、定数ではなく、引張終了時（除荷開始時）における相当塑性ひずみεP eqである基準ひずみεP T を変数とする関数で定義された変数とする。よって、係数Ｃ’は、各回の引張−圧縮状態ごとに一義的に決まってしまい、同じ回の引張−圧縮状態においては、相当塑性ひずみεP eqが変化しても変化しない。
【００５３】
係数Ｃ’を表す関数は例えば、次の式(11)で表される。
【００５４】
【数２３】
0003897477.tif 000017
【００５５】
ただし、
Ｃ’1 ，Ｃ’0 ：応力−ひずみ関係の実験値を用いて同定された定数
【００５６】
なお、係数Ｃ’は、引張時には、基準ひずみεP T が０であるため、係数Ｃ’0 と等しくなる。
【００５７】
また、係数Ｃ’は、他の式により定義可能であり、例えば、ｎ（≧２）次の基準ひずみεP T の項を含む多項式により定義可能である。
【００５８】
▲６▼  係数ａの決定
前記式(3) における係数ａを、定数ではなく、基準ひずみεP T を変数とする関数で定義された変数とする。よって、係数ａは、上記係数Ｃ’と同様、各回の引張−圧縮状態ごとに一義的に決まってしまい、同じ回の引張−圧縮状態においては、相当塑性ひずみεP eqが変化しても変化しない。
【００５９】
係数ａを表す関数は例えば、次の式(12)で表される。
【００６０】
【数２４】
0003897477.tif 000018
【００６１】
ただし、
ａ1 ，ａ0 ：応力−ひずみ関係の実験値を用いて同定された定数
【００６２】
なお、係数ａは、引張時には、基準ひずみεP T が０であるため、係数ａ0 と等しくなる。
【００６３】
また、係数ａは、他の式により定義可能であり、例えば、ｎ（≧２）次の基準ひずみεP T の項を含む多項式により定義可能である。
【００６４】
(3) 引張時における応力−ひずみ関係
▲１▼  応力σと初期降伏応力Ｙ0 と等方硬化量Ｒと背応力αとの関係
前記式(1) において、ｘ軸を基準とする一軸応力状態を想定する。具体的には、複数の応力σのうち、σx はσとするとともに、それ以外のものはすべて０であると仮定し、偏差応力Ｓxy，Ｓyz，Ｓzxもすべて０であると仮定する。よって、偏差応力Ｓは、次の式(13)で表される。
【００６５】
【数２５】
0003897477.tif 000019
【００６６】
さらに、前記式(4) より明らかなように、背応力増分ｄαは塑性ひずみ増分ｄεP に比例し、また、ロイスの流動則に従い、塑性ひずみ増分ｄεP の偏差成分は偏差応力Ｓに比例すると仮定する。よって、背応力αは、次の式(14)で表される。
【００６７】
【数２６】
0003897477.tif 000020
【００６８】
それら式(13)および(14)で表された偏差応力Ｓおよび背応力αを前記式(1) に代入し、かつ、降伏条件として降伏関数ｆ＝０を与えると、次の式(15)が得られる。
【００６９】
【数２７】
0003897477.tif 000021
【００７０】
▲２▼  等方硬化量Ｒと相当塑性ひずみεP eqとの関係
前記式(10)を積分することにより、次の式(16)が得られる。
【００７１】
【数２８】
0003897477.tif 000022
【００７２】
▲３▼  係数Ｃ
前記係数Ｃは、引張時における相当塑性ひずみをεP eqで表すことにより、前記式(6) と同様に、次の式(17)で表される。
【００７３】
【数２９】
0003897477.tif 000023
【００７４】
▲４▼  第１背応力成分α1 
第１背応力成分α1 は、前記式(3) に基づき、かつ、前記係数Ｃ’を用いることにより、次の式(18)で表される。
【００７５】
【数３０】
0003897477.tif 000024
【００７６】
▲５▼  第２背応力成分α2 
第２背応力成分α2 は、相当塑性ひずみεP eqを変数とする関数により定義される。よって、第２背応力成分α2 は、次の式(19)で定義される。
【００７７】
【数３１】
0003897477.tif 000025
【００７８】
(4) 圧縮時における応力−ひずみ関係
▲１▼  応力σと初期降伏応力Ｙ0 と等方硬化量Ｒと背応力αとの関係
前記式(15)と同様にして、次の式(20)が得られる。
【００７９】
【数３２】
0003897477.tif 000026
【００８０】
▲２▼  等方硬化量Ｒと相当塑性ひずみεP eqとの関係
前記式(10)より、次の式(21)が得られる。
【００８１】
【数３３】
0003897477.tif 000027
【００８２】
▲３▼  係数Ｃ
係数Ｃは、圧縮時における相当塑性ひずみをεP eqc で表すことにより、前記式(6) と同様に、次の式(22)で表される。
【００８３】
【数３４】
0003897477.tif 000028
【００８４】
▲４▼  第１背応力成分α1 
第１背応力成分α1 は、前記係数Ｃ’を用いることにより、次の式(23)で表される。
【００８５】
【数３５】
0003897477.tif 000029
【００８６】
ただし、
α1T：引張終了時における第１背応力成分α1 
【００８７】
▲５▼  第２背応力成分α2 
第２背応力成分α2 は、圧縮時における相当塑性ひずみεP eqc を変数とする関数により定義される。よって、第２背応力成分α2 は、次の式(24)で定義される。
【００８８】
【数３６】
0003897477.tif 000030
【００８９】
(5) 複合硬化モデルにおける各種材料定数および材料変数の決定
▲１▼  等方硬化特性を定義する定数ｂと初期降伏応力Ｙ0 の決定
前述のように、引張時には、次の式(25)が成立する。
【００９０】
【数３７】
0003897477.tif 000031
【００９１】
また、引張時における降伏応力と圧縮時における降伏応力との差である応力差Δσを用いると、前記式(15)と(20)とから、次の式(26)が誘導される。
【００９２】
【数３８】
0003897477.tif 000032
【００９３】
本実施形態においては、定数ｂと初期降伏応力Ｙ0 の決定に先立ち、前述のように、試験片を引張方向に負荷して塑性変形させた後に除荷し、さらに、逆方向すなわち圧縮方向に負荷して塑性変形させるとともに、その間にその試験片の応力−ひずみ関係を実測することが行われる。すなわち、応力−ひずみ関係の実験値が存在するのである。よって、上記式(25)および(26)における定数および変数のうち、相当塑性ひずみεP eqと応力差Δσは既知であり、等方硬化量Ｒと定数ｂと初期降伏応力Ｙ0 が未知である。一方、等方硬化量Ｒは、相当塑性ひずみεP eqと比例関係にあり、その比例定数がｂである。また、上記式(26)から明らかなように、等方硬化量Ｒと応力差Δσが判明すれば初期降伏応力Ｙ0 を取得できる。
【００９４】
したがって、相当塑性ひずみεP eqに任意の値を離散的に与えるとともに、そのときの応力差Δσを実験値から取得し、一方、初期降伏応力Ｙ0 は、相当塑性ひずみεP eqに依存しない固定値であるから、任意値に固定し、この状態で等方硬化量Ｒを上記式(26)により計算する。複数の相当塑性ひずみεP eqについて同様なことを繰返し、それにより、対応する複数の等方硬化量Ｒを計算する。そして、それら複数の相当塑性ひずみεP eqと複数の等方硬化量Ｒとに対して最小２乗法を適用することにより、比例定数ｂを計算する。比例定数ｂが計算されたならば、上記式(25)により、各相当塑性ひずみεP eqごとに、等方硬化量Ｒを計算し、さらに、上記式(26)により、初期降伏応力Ｙ0 を計算する。
【００９５】
▲２▼  移動硬化特性を定義する係数Ｈ，係数ａおよびＣ’の決定
本発明者らは、応力−ひずみ関係の実験値を検討することにより、第１背応力成分α1 については、相当塑性ひずみεP eqが１％（０．０１）以下である極低ひずみ領域においては、相当塑性ひずみεP eqに応じて変化し、１％より大きい領域においては、相当塑性ひずみεP eqに応じて変化せず、一定となることに気がついた。また、第２背応力成分α2 については、相当塑性ひずみεP eqが４％以下である低ひずみ領域においては、相当塑性ひずみεP eqに対する線形性が強く、４％より大きく、１５％以下である高い中ひずみ領域においては、非線形性が強く、１５％より大きい高ひずみ領域においては、相当塑性ひずみεP eqに対する線形性が強いことに気がついた。
【００９６】
要するに、図７に示すように、第１背応力成分α1 については、相当塑性ひずみεP eqが境界値ε0 以下である極低ひずみ領域▲１▼と、境界値ε0 より大きい非極低ひずみ領域▲２▼とに分けて検討することが適当であり、また、第２背応力成分α2 については、相当塑性ひずみεP eqが境界値ε1 以下である低ひずみ領域▲３▼と、境界値ε1 より大きく、境界値ε2 以下である中ひずみ領域▲４▼と、境界値ε2 より大きい高ひずみ領域▲５▼とに分けて検討することが適当であることが判明したのである。
【００９７】
▲３▼  引張時の移動硬化特性の決定
(i) 定数Ｈ1 の決定
定数Ｈ1 を決定することは、第２背応力成分α2 を決定することを意味するが、第２背応力成分α2 は、第１背応力成分α1 と共同して背応力αを構成することから、定数Ｈ1 を決定する際に、第１背応力成分α1 が判明していることが必要である。
【００９８】
第１背応力成分α1 は、極低ひずみ領域▲１▼においては、相当塑性ひずみεP eqに応じて変化するが、非極低ひずみ領域▲２▼においては一定値に収束する。すなわち、
α1 ＝２ａ／３
となる。よって、定数Ｈ1 を決定するに際し、非極低ひずみ領域▲２▼に属する低ひずみ領域▲３▼においては、前記式(2) より、
α2 ＝α−２ａ／３
となる。また、背応力αは、前記式(15)から誘導されるように、
α＝２／３（σ−Ｙ0 −Ｒ）
で表され、かつ、それら応力σと初期降伏応力Ｙ0 と等方硬化量Ｒは前述のように、応力−ひずみ関係の実験値から、相当塑性ひずみεP eqの各値に関連付けて取得可能である。さらに、第２背応力成分α2 は、前記式(4) に示すように、相当塑性ひずみεP eqと比例関係にある。それらを利用することにより、定数Ｈ1 が決定される。具体的には、低ひずみ領域▲３▼に属する複数の離散値である相当塑性ひずみεP eqに対応する複数の背応力αが取得され、それら複数の相当塑性ひずみεP eqと複数の背応力αとに対して最小２乗法が適用されることにより、定数Ｈ1 が決定される。
【００９９】
その結果、第２背応力成分α2 が、次の式(27)で表される。
【０１００】
【数３９】
0003897477.tif 000033
【０１０１】
(ii)係数ａとＣ’の決定
前記式(2) と(15)とから、次の式(28)が誘導される。
【０１０２】
【数４０】
0003897477.tif 000034
【０１０３】
また、この式(28)における「α1 」を前記式(18)に代入することにより、次の式(29)が誘導される。
【０１０４】
【数４１】
0003897477.tif 000035
【０１０５】
この式(29)は、次の式(30)に変形できる。
【０１０６】
【数４２】
0003897477.tif 000036
【０１０７】
ここで、相当塑性ひずみεP eqが定数ε0 より十分に大きいと仮定すれば、上記式(30)は、次の式(31)に変形できる。
【０１０８】
【数４３】
0003897477.tif 000037
【０１０９】
ここに、「Ｃ’」は、基準ひずみεP T により決まり、相当塑性ひずみεP eqによって変化しないことから、定数として扱うことできる。また、「ａ」も、同様に、基準ひずみεP T により決まり、相当塑性ひずみεP eqによって変化しないことから、定数として扱うことできる。一方、上記式(31)は、相当塑性ひずみεP eqと、次の式(32)で表される項、すなわち、
【０１１０】
【数４４】
0003897477.tif 000038
【０１１１】
とが比例関係にあることを示している。よって、相当塑性ひずみεP eqと、上記式(31)における垂直応力σ，初期降伏応力Ｙ0 ，等方硬化量Ｒおよび第２背応力成分α2 とに、前記複数の実験値のうち極低ひずみ領域▲１▼で取得されたものを代入し、相当塑性ひずみεP eqと、上記式(32)で表される項とが少ない誤差で比例関係が成立するように最小２乗法により、係数ａが決定される。このようにして係数ａが決定された後、前記式(29)を利用することにより、係数Ｃ’が決定される。
【０１１２】
このようにして係数ａおよび係数Ｃ’を決定することは、互いに異なる複数の基準ひずみεP T についてそれぞれ行われ、その結果、互いに対応する複数の係数ａと複数の基準ひずみεP T との関係と、互いに対応する複数の係数Ｃ’と複数の基準ひずみεP T との関係とが取得されることになる。
【０１１３】
一方、係数Ｃ’を決定するためには、前記式(11)を同定すること、すなわち、定数Ｃ’1 およびＣ’0 を決定することが必要である。そして、互いに対応する複数の係数Ｃ’と複数の基準ひずみεP T とに対して最小２乗法が適用されることにより定数Ｃ’1 が前記式(11)における比例定数として決定され、さらに、その決定された定数Ｃ’1 と、互いに対応する係数Ｃ’と基準ひずみεP T とを前記式(11)に代入することにより、定数Ｃ’0 が決定される。
【０１１４】
また、同様に、係数ａを決定するためには、前記式(12)を同定すること、すなわち、定数ａ1 およびａ0 を決定することが必要である。そして、互いに対応する複数の係数ａと複数の基準ひずみεP T とに対して最小２乗法が適用されることにより定数ａ1 が前記式(12)における比例定数として決定され、さらに、その決定された定数ａ1 と、互いに対応する係数ａと基準ひずみεP T とを前記式(12)に代入することにより、定数ａ0 が決定される。
【０１１５】
(iii) 定数ｐ，ｑの決定
前記式(4) と式(28)とから、次の式(33)が誘導される。
【０１１６】
【数４５】
0003897477.tif 000039
【０１１７】
ただし、
ｙ：比例係数
【０１１８】
図８には、応力−ひずみ関係の実験値を用いて上記比例係数ｙがグラフで表されている。このグラフには複数の実験値に基づく比例係数ｙの複数の値がドットでプロットされるとともに、それらドットを近似する曲線が描かれている。前記式(8) が示すように、係数Ｈとｌｎ（εP eq）との間に比例関係が成立するため、応力−ひずみ関係の実験値に基づき、最小２乗法を用いることにより、係数Ｈとｌｎ（εP eq）との比例定数に相当する定数ｐが決定され、続いて、その決定された定数ｐと応力−ひずみ関係の実験値とを上記式(8) に代入することにより、定数ｑが決定される。
【０１１９】
前記式(8) のＨを前記式(4) に代入し、それにより得られた微分方程式を解くと、次の式(34)が得られる。
【０１２０】
【数４６】
0003897477.tif 000040
【０１２１】
ここに、α21は、前記式(27)に境界値ε1 を代入して得られる定数である。
【０１２２】
(iv)定数Ｈ2 の決定
定数Ｈ2 は、図８のグラフのうち、相当塑性ひずみεP eqが境界値ε2 以上である高ひずみ領域▲５▼に対応する部分を参照することにより、決定される。
【０１２３】
前記式(9) のＨを前記式(4) に代入し、それにより得られた微分方程式を解くと、次の式(35)が得られる。
【０１２４】
【数４７】
0003897477.tif 000041
【０１２５】
ここに、α22は、前記式(34)に境界値ε2 を代入して得られる定数である。
【０１２６】
▲４▼  圧縮時の移動硬化特性の決定
(i) 第１背応力成分α1 の決定（係数ａおよびＣ’の決定）
前記式(2) と(20)とから、次の式(36)が誘導される。
【０１２７】
【数４８】
0003897477.tif 000042
【０１２８】
この式(36)における「α1 」を前記式(23)に代入することにより、次の式(37)が誘導される。
【０１２９】
【数４９】
0003897477.tif 000043
【０１３０】
この式(37)は、引張時に準じて、相当塑性ひずみεP eqと、次の式(38)で表される項、すなわち、
【０１３１】
【数５０】
0003897477.tif 000044
【０１３２】
とが比例関係にあることを示している。よって、相当塑性ひずみεP eqと、上記式(36)における垂直応力σ，初期降伏応力Ｙ0 ，等方硬化量Ｒおよび第２背応力成分α2 とに、前記複数の実験値のうち極低ひずみ領域▲１▼で取得されたものを代入し、相当塑性ひずみεP eqと、上記式(38)で表される項とが少ない誤差で比例関係が成立するように最小２乗法により、係数ａが決定される。このようにして係数ａが決定された後、前記式(37)を利用することにより、係数Ｃ’が決定される。
【０１３３】
(ii)第２背応力成分α2 の決定（係数Ｈの決定）
係数Ｈは、引張時と同じものを用いる。よって、第２背応力成分α2 は、引張時における第２背応力成分α2 との連続性を考慮し、低ひずみ領域▲３▼においては、次の式(39)で表される。
【０１３４】
【数５１】
0003897477.tif 000045
【０１３５】
ただし、
α2T：引張終了時における第２背応力成分α2 
【０１３６】
また、中ひずみ領域▲４▼においては、次の式(40)で表される。
【０１３７】
【数５２】
0003897477.tif 000046
【０１３８】
また、高ひずみ領域▲５▼においては、次の式(41)で表される。
【０１３９】
【数５３】
0003897477.tif 000047
【０１４０】
図９には、以上説明した同定を行うための前記塑性構成式同定プログラムがフローチャートで表されている。
【０１４１】
まず、ステップＳ１０１において、等方硬化特性を定義する定数ｂおよび初期降伏応力Ｙ0 が決定される。次に、引張時における移動硬化特性を定義する係数Ｈ，係数ａおよび係数Ｃ’が決定される。その後、圧縮時における移動硬化特性を定義する係数Ｈ，係数ａおよび係数Ｃ’が決定される。以上で本プログラムの一回の実行が終了する。
【０１４２】
以上のようにして同定された前記式(1) の降伏関数ｆを用いることにより、材料の応力−ひずみ関係がシミュレートされる。
【０１４３】
図５および図６には、さらに、前記低ひずみ領域と高ひずみ領域とのそれぞれにつき、本実施形態による応力−ひずみ関係のシミュレート結果が実線グラフで示されている。それら２つのグラフから明らかなように、本実施形態によれば、そのシミュレートによる予測値が低ひずみ領域のみならず高ひずみ領域においても実験値に精度よく一致する。高ひずみ領域においてもバウシンガ効果が精度よくシミュレートされているのである。
【０１４４】
さらに、本実施形態においては、同定された降伏関数ｆと、成形シミュレーションにより予測された残存応力−ひずみ関係とに基づき、材料のプレス成形時におけるスプリングバック量が予測される。したがって、本実施形態によれば、高ひずみ領域においても精度よくバウシンガ効果を表現する降伏関数ｆを用いてスプリングバック量が予測されるため、その予測精度が向上する。
【０１４５】
以上の説明から明らかなように、本実施形態においては、図２のステップＳ１が「実験値取得工程」を構成し、ステップＳ２が「係数関数同定工程」および「関係同定工程」を構成し、ステップＳ３およびＳ４が互いに共同して「残存応力−ひずみ関係予測工程」を構成し、ステップＳ５およびＳ６が互いに共同して「スプリングバック量予測工程」を構成しているのである。また、前記式(1) が「降伏関数」であり、前記式(6) が、降伏関数ｆの２つの係数の一方である係数Ｃの「係数関数」であり、前記式(7) ないし(9) が、他方の係数Ｈの「係数関数」なのである。
【０１４６】
なお付言すれば、本実施形態によれば、応力−ひずみ関係を連続的にシミュレート可能な降伏関数ｆの基本的な形が予め定められていて、複数の離散的な実験値は主に、その降伏関数ｆにおける各種係数，定数を決定するために使用されるため、比較的少ない数の実験値から、応力−ひずみ関係を連続的にかつ高い精度でシミュレートすることが可能となる。
【０１４７】
さらに付言すれば、弾塑性体の挙動を有限要素法により数値解析するためのプログラムは一般に、テンソル量の増分で表現されている。したがって、材料硬化モデルをプレス成形等で用いられる有限要素法のプログラムに組み込むためには、材料硬化モデルもテンソル量の増分で表現されることが望ましい。これに対して、本実施形態においては、それの材料硬化モデルである複合硬化モデルがテンソル量の増分で表現されているため、材料硬化モデルを有限要素法のプログラムに容易に組み込むことが可能である。
【０１４８】
さらに付言すれば、本実施形態においては、「係数関数同定工程」が人間の介入を実質的に必要とせずにコンピュータにより自動的に実行されるようになっているが、人間が主体的に介入する一方、コンピュータを補助的に使用することによって実行することが可能である。
【０１４９】
以上、本発明の一実施形態を図面に基づいて詳細に説明したが、これは例示であり、前記〔発明が解決しようとする課題，課題解決手段および発明の効果〕の項に記載された態様を始めとして、当業者の知識に基づいて種々の変形，改良を施した形態で本発明を実施することが可能である。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明の一実施形態である応力−ひずみ関係シミュレート方法を含むスプリングバック量予測方法を実施するのに好適なスプリングバック量予測装置を示す系統図である。
【図２】上記スプリングバック量予測方法を示す工程図である。
【図３】図１のコンピュータ１２により実行される３つのプログラム間の関係を説明するためのブロック図である。
【図４】引張−圧縮時における応力σとひずみεとの関係を示すとともに、上記実施形態において用いられる複合硬化モデルにおける初期降伏応力Ｙ0 と背応力αと等方硬化量Ｒとの関係を示すグラフである。
【図５】低ひずみ領域において材料の応力−ひずみ関係がシミュレートされる精度を、Chaboche-Rousselier により提案された一従来技術と上記実施形態とを実験値を参照しつつ対比するためのグラフである。
【図６】高ひずみ領域において材料の応力−ひずみ関係がシミュレートされる精度を、Chaboche-Rousselier により提案された一従来技術と上記実施形態とを実験値を参照しつつ対比するためのグラフである。
【図７】上記実施形態において第１背応力成分α1 の特性が極低ひずみ領域▲１▼と非極低ひずみ領域▲２▼とに分けて解析されるとともに、第２背応力成分α2 の特性が低ひずみ領域▲３▼と中ひずみ領域▲４▼と高ひずみ領域▲５▼とに分けて解析されることを示すグラフである。
【図８】上記実施形態において比例係数ｙが相当塑性ひずみεP eqに応じて変化する様子を示すグラフである。
【図９】図３における塑性構成式同定プログラムを示すフローチャートである。
【符号の説明】
１２  コンピュータ
１６  外部記憶装置
３０  ＣＤ−ＲＯＭ
３２  ＦＤ
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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