(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
バックラッシや弾性軸等を介して、モータから負荷機へ駆動トルクを伝達する多慣性モータ駆動系の速度制御において、速度指令とモータ速度との偏差を入力とするＰＩＤ制御器のみにより前記モータ駆動系の速度制御を行う場合に、制御系の安定十分条件をＫｄ＋ＴｄＫｐ≧０と、Ｋｄ＋８ＴｄＫｉ≧０、ここで、Ｋｄは微分ゲイン、Ｔｄは微分時定数、Ｋｐは比例ゲイン、Ｋｉは積分ゲインである。  として導出し、Ｋｄ＜０に置いて安定化を図る慣性比の小さいモータ駆動系を制御するＰＩＤ制御器において、前記ＰＩＤ制御器の各定数を前記制御系の安定十分条件を満たすように設定することによって、上記多慣性モータ駆動系の中にギアバックラッシなどの非線型要素の有無に関わらず、安定な速度制御が実現できることを特徴とするＰＩＤ速度制御方法。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、モータ駆動系におけるＰＩＤ速度制御方法に関するものである。
【０００２】
【従来の技術】
一般に、産業プラントや産業用ロボットなどにおけるモータ駆動系においては、モータと負荷機がギア（又は、カップリング）と弾性軸で結合されていると多慣性モータ駆動系となり、バックラッシ振動と軸ねじれ振動が発生し問題となることがある。その概要を図７〜図９により説明する。
図７はモータ駆動系の代表例とした３慣性モータ駆動系を示す外観図であり、１１はモータ、１２は負荷機、１３はギア、１４は弾性軸である。
図７において、このようにギア１３と弾性軸１４で結合されている場合、この機械系は、モータ慣性とギア慣性及び負荷機慣性からなる三つの慣性を持つので、ギアバックラッシ振動モードと軸ねじれ振動モードが共存する３慣性モータ駆動系となる。
図７は３慣性モータ駆動系をブロック線図で示すと図８になる。ただし、ωｍはモータ速度、ωｇはギア速度、ωＬは負荷機速度、Ｔｍはモータトルク、Ｔｇはギアトルク、Ｔｃは軸トルク、ＴＬは負荷機側の外乱トルク、Ｋｇはギアのバネ定数、Ｋｃは軸のバネ定数、Ｄｇはギアの粘性係数、Ｄｃは軸の粘性係数、δはギアバックラッシ幅、Ｊｍはモータ慣性、Ｊｇはギア慣性、ＪＬは負荷機慣性、ｓはラプラス演算子である。
図８において、前記３慣性モータ駆動系の開ループ伝達特性として、モータトルクＴｍからモータ速度ωｍまでの開ループ伝達関数Ｇ３ｍ（ｓ）は次に示す（１）式で与えられる。ただし、粘性係数ＤｇとＤｃは非常に小さい値なので省略する。
【０００３】
【数１】
0003998433.tif 000002
【０００４】
ここで、ωｈ１は軸ねじれ振動モードに対応する固有反共振周波数、ωｈ２はギアバックラッシ振動モードに対応する固有反共振周波数、ω０１は軸ねじれ振動モードに対応する固有共振周波数、ω０２はギアバックラッシ振動モードに対応する固有共振周波数でり、それぞれ次に示す（２）式〜（５）式で表される。
【０００５】
【数２】
0003998433.tif 000003
【０００６】
図９に開ループ伝達関数Ｇ３ｍ（ｓ）の周波数応答を示す特性図であり、同図（ａ）と（ｂ）はそれぞれゲイン特性と位相特性を示している。
図９（ａ）のゲイン特性に二つのピークは、それぞれ軸ねじれ振動モードとギアバックラッシ振動モードと対応している。
また、図９（ｂ）の位相特性は全周波数帯域で∠Ｇ３ｍ（ｊω）≧−９０°の特徴を持っている。同様に、３慣性以上の多慣性系についても、∠Ｇｎｍ（ｊω）≧−９０°の特徴がある。ただし、下付文字のｎは慣性の数を意味する。
【０００７】
ここで、２慣性モータ駆動系にて設計した従来のＰＩＤ速度制御を述べ、そして、３慣性モータ駆動系に適用する場合の問題点を説明する。
モータ駆動系において、  一般にギアのバネ定数は軸のバネ定数よりずっと高い（即ち、Ｋｇ>>Ｋｃ）ので、モータ慣性（Ｊｍ）とギア慣性（Ｊｇ）を合併しモータ等価慣性（Ｊｍｇ=Ｊｍ＋Ｊｇ）とすることで、もとの３慣性モータ駆動系（Ｊｍ、Ｊｇ、ＪＬ）を２慣性モータ駆動系（Ｊｍｇ、ＪＬ）としてＰＩＤ速度制御を設計するのは普通である。
図６にＰＩＤ制御器１を２慣性モータ駆動系３に適用するブロック線図を示す。モータトルクＴｍからモータ速度ωｍまでの２慣性モータ駆動系３の開ループ伝達関数Ｇ２ｍ（ｓ）は次に示す（６）式のように表すことができる。
【０００８】
【数３】
0003998433.tif 000004
【０００９】
ただし、ｓはラプラス演算子、ＪｍｇはＪｍｇ=Ｊｍ＋Ｊｇで算出するモータ等価慣性、ωｈとω０はそれぞれ前記２慣性モータ駆動系３の反共振周波数と共振周波数であり、次に示す（７）式と（８）式で表される。
【００１０】
【数４】
0003998433.tif 000005
【００１１】
また、前記ＰＩＤ制御器１の伝達関数Ｆ１（ｓ）は次に示す（９）式のように表すことができる。
【００１２】
【数５】
0003998433.tif 000006
【００１３】
ただし 、Ｋｐ、Ｋｉ及びＫｄはそれぞれＰＩＤ制御器１の比例ゲイン、積分ゲインと微分ゲイン、Ｔｄは微分の時定数、ｓはラプラス演算子である。
【００１４】
また、ここで、解析を容易にするために、前記ＰＩＤ制御器１の伝達関数Ｆ１（ｓ）を次に示す（１０）式のような２次式で表す。
【００１５】
【数６】
0003998433.tif 000007
【００１６】
ただし、ＰＩＤ制御器１の各定数（Ｋｐ、Ｋｉ、Ｋｄ、Ｔｄ）は前記２次式表示の各係数（ｌ０、ｌ１、ｌ２、Ｔ）との関係は次に示す（１１）式のように求められる。
【００１７】
【数７】
0003998433.tif 000008
【００１８】
ここで、制御器パラメータを簡単に設計できるように、軸粘性係数をＤｃ＝０とし、前記ＰＩＤ制御器１を２慣性モータ駆動系３に適用する場合、閉ループ系の特性多項式Δ（ｓ）は次に示す（１２）式のように求められる。
【００１９】
【数８】
0003998433.tif 000009
【００２０】
ただし、ｌ~２=Ｊｍｇ＋ｌ２は中間変数である。
【００２１】
（１２）式からわかるように、前記ＰＩＤ制御器１の２次式表示の各係数（ｌ０、ｌ１、ｌ２、Ｔ）を決めれば、前記特性多項式Δ（ｓ）の各係数（ａｉ）が決められ、閉ループ系の極の配置が決められることになる。
前記ＰＩＤ制御器１の２次式表示の各係数（ｌ０、ｌ１、ｌ２、Ｔ）の決定は、一例として真鍋係数図法により行うことができる。係数図法の詳細な解説は、真鍋氏の「古典制御、最適制御、Ｈ∞制御の統一的解釈」（平成３年１０月計測と制御学会誌３０−１０）や真鍋氏の「係数図法による２慣性共振系制御器の設計」（平成１０年１月電気学会産業応用部門誌１１８−Ｄ−１）に掲載され、公知となっている。ここで、係数図法の概要を簡略に説明する。
【００２２】
係数図法は多項式環上での代数的設計法の一種であり、係数図を用いながら、その形の適切さを尺度として、特性多項式と制御器を同時に設計することを特徴とする。係数図法で用いている各種の数学的関係を列挙すると次のようになる。ｎ次の閉ループ系に対して、その特性多項式△（ｓ）が次に示す（１３）式のように与えられたとする。
【００２３】
【数９】
0003998433.tif 000010
【００２４】
また、制御系安定度を示す安定度指標γiと制御系応答速度を示す等価時定数τはそれぞれ次に示す（１４）式と（１５）式のように定義されている。
【００２５】
【数１０】
0003998433.tif 000011
【００２６】
係数図法においては、真鍋氏により推奨された標準形安定度指標は、次に示す（１６）式のようになる。
【００２７】
【数１１】
0003998433.tif 000012
【００２８】
また、係数図法によると、制御系の安定十分条件と不安定十分条件は、それぞれ次に示す（１７）式と（１８）式のようになる。
【００２９】
【数１２】
0003998433.tif 000013
【００３０】
以下、前述した真鍋係数図法により前記ＰＩＤ制御器１の各定数を決定する。前記（１２）式の閉ループ系特性多項式に対して、係数図法の安定度指標γｉ（ｉ＝１〜４）と等価時定数τは次に示す（１９）式となる。
【００３１】
【数１３】
0003998433.tif 000014
【００３２】
γ１γ２γ３γ４、γ３γ４、γ１、γ４より、前記ＰＩＤ制御器１の２次式表示の各係数（ｌ０、ｌ１、ｌ~２、Ｔ）は、次に示す（２０）式の関係がある。
【００３３】
【数１４】
0003998433.tif 000015
【００３４】
ただし、ｋ０、ｋ１、ｋ２は中間変数であり、次に示す（２１）式で定義されている。
【００３５】
【数１５】
0003998433.tif 000016
【００３６】
前記（２０）式の連立方程式から、ＰＩＤ制御器１の２次式表示の各係数（ｌ０、ｌ１、ｌ~２、Ｔ）を求めるには手数がかかるが、解の手順としては、まず、ｌ０を求めて、そして、第二項の式からｌ~２を、次に第三項の式からｌ１を、最後に第一項の式からＴを求める。
（２０）式から、ｌ０は次に示す（２２）式のような２次方程式の解として求められる。
【００３７】
【数１６】
0003998433.tif 000017
【００３８】
ただし、係数のａ、ｂとｃは次に示す（２３）式のように定義される。
【００３９】
【数１７】
0003998433.tif 000018
【００４０】
（２２）式の解ｌ０（＝Ｋｉ）は実数解になるために、ｂ２−４ａｃ≧0より、次に示す（２４）式のような制限条件が得られる。
【００４１】
【数１８】
0003998433.tif 000019
【００４２】
例えば、標準形安定度指標（γ１=2.5；γ２=γ３=γ４=2.0）を使う場合、前記（２４）式により慣性比ＫＪはＫＪ≦3.0のように制限される。一方、ＫＪ＞3.0の場合は、安定度指標の第四項γ４を標準形のγ４=2.0から非標準形のγ４≧（１＋ＫＪ）/２のように変えればよい。
また、前記（２２）式の解答は二つあるが、ｌ０（=Ｋｉ）はＰＩＤ制御の積分ゲインとなるので、正の値しか使えない。また、ｌ１の解答にも正と負の二つがあるが、（２０）式の第一項の式からわかるように、ｌ１ｌ~２の値の正負で時定数Ｔの値の正負を決め、物理上から時定数Ｔは正の値しか使えないので、ｌ１の値の正負はｌ~２の値の正負と一致しなければならない。
【００４３】
慣性比ＫＪの大きい場合、上述のように標準形安定度指標で設計したＰＩＤ制御器１はＫｄ≧０の微分ゲインを持つＰＩＤ制御器となる。２慣性又は３慣性モータ駆動系に関わらず、このようなＰＩＤ制御器を適用すると、いずれもよい制御特性が得られる。慣性比ＫＪの小さい場合、上述のように標準形安定度指標で設計したＰＩＤ制御器１はＫｄ＜０の微分ゲインを持つＰＩＤ制御器となり、２慣性モータ駆動系の速度制御に適用すると、図１０に示すようによい時間応答特性が得られるが、モータ駆動系にバックラッシの非線型要素の存在で、２慣性モータ駆動系は３慣性モータ駆動系となると、図１１に示すようにバックラッシ振動が発生し、安定な制御ができなくなってしまう。
【００４４】
前記の標準形安定度指標で設計したＰＩＤ制御器１を３慣性モータ駆動系に適用するとき、制御系が安定であるかどうかは一巡周波数応答（Ｇ３ｍ（ｊω）Ｆ１（ｊω））の位相余裕解析からわかる。
慣性比ＫＪの大きい場合、標準形安定度指標による設計したＰＩＤ制御器１は、Ｋｄ＞０の微分ゲインを持つＰＩＤ制御器となる。このようなＰＩＤ制御器を３慣性モータ駆動系に適用すると、その一巡周波数応答（Ｇ３ｍ（ｊω）Ｆ１（ｊω））は全周波数帯域に位相余裕があるので、制御系は安定である。
しかし、慣性比ＫＪの小さい場合、標準形安定度指標による設計したＰＩＤ制御器１は、Ｋｄ＜０の微分ゲインと速い微分時定数Ｔｄを持つＰＩＤ制御器となる。このようなＰＩＤ制御器を３慣性モータ駆動系に適用すると、その一巡周波数応答（Ｇ３ｍ（ｊω）Ｆ１（ｊω））は図１２に示すように、高周波数帯域に位相余裕はФｍ３＜０°となり、即ち、位相余裕がないので、制御系は図１１に示すように時間応答が発散し、不安定となる。
【００４５】
【発明が解決しようとする課題】
前述のように、一般にギアのバネ定数Ｋｇは軸のバネ定数Ｋｃよりずっと高い、即ち、Ｋｇ>>Ｋｃ、なので、モータ慣性（Ｊｍ）とギア慣性（Ｊｇ）を一つの等価慣性（Ｊｍｇ=Ｊｍ＋Ｊｇ）（以降Ｊｍｇをモータ等価慣性と呼ぶ）とすることで、もとの３慣性モータ駆動系（Ｊｍ、Ｊｇ、ＪＬ）を２慣性モータ駆動系（Ｊｍｇ、ＪＬ）に等価し、速度制御系を設計するのは普通である。
このような２慣性モータ駆動系の速度制御には、従来からＰＩＤ（比例-積分-微分）制御が用いられてきたが、近年の現代制御理論の発展に伴い、外乱オブザーバに基づく共振比制御や制御系の周波数応答の整形に関する理論としたＨ∞制御などが広く研究されている。
しかし、負荷機慣性とモータ等価慣性との比（ＫＪ=ＪＬ/Ｊｍｇ、以降、ＫＪを慣性比と呼ぶ）が小さい場合は、上述のような従来型のＰＩＤ制御は、２慣性モータ駆動系の軸ねじれ振動を抑えるために、負値の微分ゲイン（Ｋｄ＜０）を持ちながら、速い微分時定数（Ｔｄ）も必要となる。しかし、速い微分の実現には高速なコントローラーが必要となることだけでなく、モータ駆動系にバックラッシなどの非線型要素の存在で２慣性モータ駆動系が３慣性又は３慣性以上の多慣性モータ駆動系に変わるとき、バックラッシ振動が誘発され、制御系が不安定となる恐れがある。同様に、前記慣性比が小さい場合は、最近の共振比制御にも速い外乱オブザーバ時定数（Ｔｆ）が必要となるので、２慣性モータ駆動系が３慣性又は３慣性以上の多慣性モータ駆動系に変わるとき、バックラッシ振動が誘発され、制御系が不安定となる恐れもある。
【００４６】
本発明は前述のような従来技術の問題点に鑑みてなされたものであって、バックラッシ振動のない安定な速度制御を図ることを目的として、
モータ駆動系の速度制御に従来と同様にＰＩＤ制御のみを適用するが、前記ＰＩＤ制御の各定数を制御系の安定十分条件を満たせるように決める速度制御方法とする。
【００４７】
【課題を解決するための手段】
つまり、その目的を達成するための手段は、請求項１において、多慣性モータ駆動系における速度制御方法として、速度指令とモータ速度との偏差を入力とするＰＩＤ制御器のみにより前記モータ駆動系の速度制御を行う場合に、Ｋｄ＋ＴｄＫｐ≧０と、Ｋｄ＋８ＴｄＫｉ≧０但し、Ｋｄ微分ゲイン、Ｔｄ 微分時定数、Ｋｐ 比例ゲイン、Ｋｉ 積分ゲインである。  制御系の安定十分条件をとして導出し、前記ＰＩＤ制御器の各定数を前記制御系の安定十分条件を満たせるよう設定することによって、慣性比の小さい、Ｋｄ＜０の場合でも、上記多慣性モータ駆動系の中にバックラッシなど非線型要素の有無に関わらず、安定な速度制御が実現できることを特徴とするＰＩＤ速度制御方法である。
【００４８】
【発明の実施の形態】
図１は本発明のＰＩＤ速度制御方法を説明するためのブロック線図であり、図１において、速度指令ω＊とモータ速度ωｍとの偏差△ωを入力とするＰＩＤ制御器１を設け、前記ＰＩＤ制御器１の出力を前記３慣性モータ駆動系２のモータトルクＴｍとすることで、モータ駆動系の速度制御系を構成している。
前記ＰＩＤ制御器１の各定数の設計は従来の手法と同様に、３慣性モータ駆動系を２慣性モータ駆動系に等価することによって行われるが、慣性比ＫＪの大きさによらずにモータ駆動系を安定させるための安定十分条件を導出し、その安定十分条件を満たすように前記ＰＩＤ制御器１の各定数を設定すれば、モータ駆動系にバックラッシなどの非線型要素の存在で２慣性モータ駆動系は３慣性系モータ駆動系に変わっても制御系は安定できる。
前記安定十分条件を導出するために、ＰＩＤ制御器１の伝達関数Ｆ１（ｓ）を次に示す（２５）のように書き直す。
【００４９】
【数１９】
0003998433.tif 000020
【００５０】
ただし、Ｌ（ｓ）（=１/（Ｔｄｓ＋１））は一次遅れ要素であり、Ｆ~(s)は完全微分ＰＩＤ制御器である。Ｋ~ｐ、Ｋ~ｉ、Ｋ~ｄはそれぞれ前記完全微分ＰＩＤ制御器Ｆ~(s)の比例ゲイン、積分ゲイン、微分ゲインであり、次に示す（２６）のように定義される。
【００５１】
【数２０】
0003998433.tif 000021
【００５２】
（２５）式から、ＰＩＤ制御器Ｆ１(s)は完全微分ＰＩＤ制御器Ｆ~(s) （=Ｋ~ｐ＋Ｋ~ｉ/ｓ＋Ｋ~ｄｓ）と一次遅れ要素Ｌ（ｓ）（=１/（Ｔｄｓ＋１））の直列から構成されると見られる。
すると、（1）：完全微分ゲインＫ~ｄ＞０の場合（即ち、Ｋｄ＋ＴｄＫｐ≧０の場合）、周波数応答Ｆ~(ｊω)は図２に示すように、位相特性がωの増大と共に−９０°→＋９０°に変化する。一方、一次遅れ要素の周波数応答Ｌ（ｊω）の位相特性はωの増大と共に０°→−９０°に変化するので、Ｆ~(ｊω)の位相変化率（増加率）が一次遅れ要素の位相変化率（減少率）の絶対値より高ければ（即ち、ｄ（∠Ｆ~(ｊω)）/ｄω≧|ｄ（∠Ｌ（ｊω））/ｄω|）、ＰＩＤ制御器Ｆ１(ｊω)の位相特性∠Ｆ１（ｊω）（＝∠Ｆ~(ｊω)＋∠Ｌ（ｊω））は全周波数帯域で∠Ｆ１（ｊω）≧−９０°となり、３慣性モータ駆動系に適用されても、∠Ｇｎｍ（ｊω）≧−９０°なので、一巡周波数応答は全周波数帯域に位相余裕があり（∠（Ｇｎｍ（ｊω）Ｆ１（ｊω））≧−１８０°）、制御系は不安定にならないと予想できる。しかし、（2）：完全微分ゲインＫ~ｄ＜０の場合（即ち、Ｋｄ＋ＴｄＫｐ＜０の場合）、周波数応答Ｆ~(ｊω)は図３に示すような特徴があり、高周波数帯域で、Ｆ~（ｊω）の位相特性は−９０°に収束する。一方、一次遅れ要素Ｌ（ｊω）も高周波数帯域で位相特性は−９０°に収束するので、３慣性モータ駆動系に適用されると、高周波数帯域に一巡周波数応答の位相特性は∠（Ｇｎｍ（ｊω）Ｆ１（ｊω））|ω→∞→−２７０°となり、位相余裕がなくなる可能性があり、制御系は不安定となる恐れがある。
【００５３】
以下、ＰＩＤ制御を適用する多慣性モータ駆動系の安定十分条件はＫｄ＋ＴｄＫｐ≧０とＫｄ＋８ＴｄＫｉ≧０であることを導出する。
ここで、前記安定十分条件の導出を簡単にするために、Ｆ~(ｊω)の位相変化率（ｄ（∠Ｆ~(ｊω)）/ｄω）と一次遅れ要素の位相変化率の絶対値（|ｄ（∠Ｌ（ｊω））/ｄω|）との比較に関連する関数ｆ（ω）を導入する。ただし、関数ｆ（ω）はｆ（ω）≧０であれば、ｄ（∠Ｆ~(ｊω）)/ｄω≧|ｄ（∠Ｌ（ｊω））/ｄω|が成立つ性質を持つ。そして、（1）Ｋｄ≧０のＰＩＤ制御と（2）Ｋｄ＜０のＰＩＤ制御を分けて、関数ｆ（ω）の解析によって制御系を安定するための十分条件を見つける。
（２５）式より、伝達関数の周波数表現Ｆ~(ｊω)とＬ（ｊω）はそれぞれ次に示す（２７）と（２８）式となる。
【００５４】
【数２１】
0003998433.tif 000022
【００５５】
Ｆ~(ｊω)の位相特性とＬ（ｊω）の位相特性はそれぞれ次に示す（２９）と（３０）式で表される。
【００５６】
【数２２】
0003998433.tif 000023
【００５７】
ｄ（arctanｘ）/dｘ=１/（１＋ｘ２）の微分法則により、Ｆ~(ｊω)の位相変化率ｄ（∠Ｆ~(ｊω)）/ｄωとＬ（ｊω）の位相変化率の絶対値|ｄ（∠Ｌ（ｊω））/ｄω|はそれぞれ次に示す（３１）と（３２）式のように求められる。
【００５８】
【数２３】
0003998433.tif 000024
【００５９】
（３１）式と（３２）式より、関数ｆ（ω）を次に示す（３３）式のように定義する。
【００６０】
【数２４】
0003998433.tif 000025
【００６１】
ただし、Ａ、Ｂ、Ｃは中間変数である。
（３３）式から、ｆ（ω）≧０であれば、ｄ（∠Ｆ~(ｊω)）/ｄω≧|ｄ（∠Ｌ（ｊω））/ｄω|となることが分かる。
また、比例ゲインＫｐ＞０と積分ゲインＫｉ＞０なので、（３３）式に係数ＣはＣ＞０となる。
【００６２】
（1）Ｋｄ≧０のＰＩＤ制御
慣性比ＫＪの大きい場合は、微分ゲインＫｄ≧０となるので、（３３）式に係数ＢはＢ＞０となる。もし、係数ＡはＡ≧０（即ち、Ｋｄ≦Ｔｄ２Ｋｉ）であると、関数ｆ（ω）は全周波数帯域でｆ（ω）＞０となるので、ＰＩＤ制御器Ｆ１(ｊω)の位相特性∠Ｆ１（ｊω）（＝∠Ｆ~(ｊω)＋∠Ｌ（ｊω））は全周波数帯域で∠Ｆ１（ｊω）≧−９０°となる。そこで、３慣性モータ駆動系に適用しても、制御系を安定することができる。一方、もし、係数ＡはＡ＜０（即ち、Ｋｄ＞Ｔｄ２Ｋｉ）であると、関数ｆ（ω）は頂点を最大値とする４次の放物線関数となり、その頂点に達する周波数ωｔ１はｄ（ｆ（ω））/ｄω＝０より次に示す（３４）式のように求められる。
【００６３】
【数２５】
0003998433.tif 000026
【００６４】
（３３）式より、ｆ（０）＝Ｃ＞０なので、０〜ωｔ１の周波数帯域に関数ｆ（ω）はｆ（ω）＞０であることがわかる。また、周波数ωｔ１のところで、前記完全微分ＰＩＤ制御器Ｆ~(s)の位相特性∠Ｆ~(ｊωｔ１)は、次に示す（３５）式のように∠Ｆ~(ｊωｔ１)＞０°と求められる。
【００６５】
【数２６】
0003998433.tif 000027
【００６６】
前記（３１）式より、Ｋｄ≧０の場合、Ｆ~(ｊω)の位相変化率はｄ（∠Ｆ~(ｊω)）/ｄω＞０となり、即ち、∠Ｆ~(ｊω)は単調増加の関数であるので、ω＞ωｔ１の周波数帯域で∠Ｆ~(ｊω)＞∠Ｆ~(ｊωｔ１)＞０°となる。従って、前記ＰＩＤ制御器のＦ１（ｊω）の位相特性は０〜ωｔ１〜＋∞の全周波数帯域で∠Ｆ１（ｊω）≧−９０°となる。
従って、以上をまとめると、微分ゲインＫｄ≧０のＰＩＤ制御を３慣性モータ駆動系に適用しても、制御系は不安定になれない。
【００６７】
（2）Ｋｄ＜０のＰＩＤ制御
慣性比ＫＪの小さい場合は、微分ゲインＫｄ＜０となるので、前記（３３）式の係数ＡにＴｄ２Ｋｉ−Ｋｄ＞０となる。もし、Ｋ~ｄ＝Ｋｄ＋ＴｄＫｐ≧０の条件があれば、係数ＡはＡ＞０となる。更に、もし、前記（３３）式の係数ＢはＢ≧０であれば、すべての周波数ωに対して、関数ｆ（ω）≧０が成立てる（即ち、∠Ｆ１（ｊω）≧−９０°）。そこで、ここで、Ａ＞０とＢ＜０のケースで、関数ｆ（ω）≧０も成立つ条件を導出すればよいと考えられる。
Ａ＞０かつＢ＜０の場合は、関数ｆ（ω）は頂点を最小値とする４次の放物線関数となり、その頂点に達する周波数ωｔ２はｄ（ｆ（ω））/ｄω＝０より次に示す（３６）式のように求められる。
【００６８】
【数２７】
0003998433.tif 000028
【００６９】
頂点（最小値）とする関数値ｆ（ωｔ２）は次に示す（３７）式のように求められる。
【００７０】
【数２８】
0003998433.tif 000029
【００７１】
（３７）式より、Ｋｄ＋８ＴｄＫｉ≧０であれば、関数ｆ（ω）の最小値はｆ（ωｔ２）≧０となるので、前記の仮定Ｋｄ＋ＴｄＫｐ≧０を合わせて、Ｋｄ＜０の場合、制御系の安定十分条件は、次に示す（３８）式のように導出される。
【００７２】
【数２９】
0003998433.tif 000030
【００７３】
Ｋｄ≧０であれば、（３８）式は常に成立つので、前記（1）Ｋｄ≧０のＰＩＤ制御と（2）Ｋｄ＜０のＰＩＤ制御を合わせて、（３８）式を制御系の安定十分条件とすることができる。
また、通常は、８Ｋｉ＞Ｋｐのケースがほとんどなので、（３８）式の第一項式のみを安定十分条件として使ってもよいと考えられる。
【００７４】
以上のことから、慣性比の大きい場合は、Ｋｄ≧０となるので、（３８）式の安定十分条件が常に満たされる。しかし、慣性比の小さい場合は、Ｋｄ＜０となるので、（３８）式の安定十分条件を満たすために、遅い微分時定数Ｔｄ（即ち、値の大きいＴｄ）を有するＰＩＤ制御の設計が必要であることがわかる。そこで、以下、（３８）式の安定十分条件を満たすように、安定度指標γｉの調整により本発明の遅い微分時定数Ｔｄを有するＰＩＤ制御を設計する。
【００７５】
（３８）式の安定十分条件を満たすようにＰＩＤ制御を設計するために、まず、微分時定数Ｔｄを決める要因を明らかにする必要がある。
２慣性のモータ駆動系のトータル慣性ＪｔをＪｔ=Ｊｍｇ＋ＪＬのように定義すると、（２０）式からＴｄを次に示す（３９）式のように表すことができる。
【００７６】
【数３０】
0003998433.tif 000031
【００７７】
異なるＫＪとγｉによって、ｌ０、ｌ１、ｌ~２の値が変わるが、直観的に、微分時定数Ｔｄは慣性比ＫＪと比例するので、慣性比ＫＪが小さいほど、微分時定数Ｔｄが小さくなり、即ち、前述のように、慣性比ＫＪの小さい場合、標準形安定度指標によってＰＩＤ制御を設計すると、速い微分時定数Ｔｄが必要となる。また、Ｔｄは安定度指標γｉと反比例するので、γｉを標準形より小さく設定すれば、Ｔｄを大きくすることができることがわかる。しかし、前述した制御系の不安定十分条件の（１８）式およびｌ０の実数解存在条件の（２４）式から、安定度指標γｉの設定には、次に示す（４０）式のような制限がある。
【００７８】
【数３１】
0003998433.tif 000032
【００７９】
したがって、２慣性モータ駆動系に対し、（４０）式の制限で、標準形安定度指標より小さいγｉを設定し、安定十分条件の（３８）式を満たすように遅い微分時定数を有するＰＩＤ制御を設計すれば、３慣性モータ駆動系に適用しても、安定な制御ができることがわかる。
図４と図５に、それぞれ以上のように設計したＰＩＤ制御を３慣性モータ駆動系に適用する一巡周波数応答と時間応答を示す。安定十分条件の（３８）式を満たすので、図４（ｂ）の一巡周波数応答の位相特性に、高周波数帯域でも位相余裕があるので、制御系が安定で、図５の時間応答にバックラッシ振動のない安定な制御ができたことがわかる。
【００８０】
以上のまとめとして、本発明のモータ駆動系におけるＰＩＤ速度制御方法は、速度制御系は図１に示すようにＰＩＤ制御器１（Ｆ１（ｓ））のみで構成され、制御系の安定十分条件をＫｄ＋ＴｄＫｐ≧０とＫｄ＋８ＴｄＫｉ≧０として導出し、慣性比の小さい、Ｋｄ＜０の場合でも、前記安定十分条件を満たすようにＰＩＤ制御器１（Ｆ１（ｓ））を設計すると、モータ駆動系にバックラッシなどの非線型要素の存在で２慣性モータ駆動系が３慣性モータ駆動系に変わっても、バックラッシ振動のない安定な速度制御ができる。また、３慣性以上の多慣性モータ駆動系には、その開ループ伝達関数Ｇｎｍ（ｓ）の周波数応答の位相特性は全周波数帯域で∠Ｇｎｍ（ｊω）≧−９０度となるので、本発明の安定十分条件を満たすＰＩＤ速度制御を３慣性以上の多慣性モータ駆動系に適用しても、安定な速度制御が実現できる。
【００８１】
以下、数値例を挙げて、本発明の実施の具体的形態をさらに説明する。
数値例とした３慣性モータ駆動系の機械定数は、モータ慣性Ｊｍ、ギア慣性Ｊｇ、負荷機慣性ＪＬ、ギアバネ定数Ｋｇ、軸バネ定数Ｋｃ、ギア粘性係数Ｄｇ、軸粘性係数Ｄｃ、およびギアバックラッシ幅δを次に示す（４１）式の値としたときのＰＩＤ制御器１の各定数Ｋｐ、Ｋｉ、Ｋｄ、Ｔｄの決定例について説明する。
【００８２】
【数３２】
0003998433.tif 000033
【００８３】
前記機械定数を持つ３慣性モータ駆動系は、ギアバネ定数は軸バネ定数よりずっと大きい、即ち、Ｋｇ>>Ｋｃなので、モータ慣性Ｊｍとギア慣性Ｊｇを合併し、モータ等価慣性Ｊｍｇ（=Ｊｍ＋Ｊｇ）とすることで、図６に示すように２慣性モータ駆動系としてＰＩＤ速度制御系を設計することができる。
ＫＪ=ＪＬ/Ｊｍｇ=0.5の小さい慣性比の２慣性モータ駆動系であるので、標準形安定度指標（γ１=2.5；γ２=γ３=γ４=2.0）によって、ＰＩＤ制御器Ｆ１（ｓ）を設計すると、次に示す（４２）式のように、Ｋｄ＜０のＰＩＤ制御器１となる。
【００８４】
【数３３】
0003998433.tif 000034
【００８５】
（４２）式の値をもつＰＩＤ制御を図６に示す２慣性モータ駆動系に適用すると、その時間応答は図１０に示すようになり、軸ねじれ振動のないしかも収束の速い速度制御ができたことがわかる。しかし、モータ駆動系にギアバックラッシの存在で、２慣性モータ駆動系が３慣性モータ駆動系に変わる場合は、（４２）式の値で計算すると、Ｋｄ＋ＴｄＫｐ＝−0.4948＜０となるので、前記（３８）式の制御系安定十分条件が満たされない。一巡周波数応答Ｇ３ｍ（ｊω）Ｆ１（ｊω）は図１２に示すように高周波数帯域に位相余裕はФｍ３＜０°となるので、３慣性モータ駆動系の速度制御は不安定となる。その時間応答は図１１に示すようになり、持続のバックラッシ振動が発生してしまう。
そこで、（３８）式の安定十分条件が満たされるように、係数図法の安定度指標γｉをγ１=2.5、γ２=1.3333、γ３=2.0、γ４=1.25の非標準形に設定すると、ＰＩＤ制御器Ｆ１（ｓ）の各定数は次に示す（４３）式のように求められる。
【００８６】
【数３４】
0003998433.tif 000035
【００８７】
Ｋｄ＋ＴｄＫｐ＝0.1494＞０とＫｄ＋８ＴｄＫｉ＝1.7491＞０となるので、制御系が安定である。一巡周波数応答Ｇ３ｍ（ｊω）Ｆ１（ｊω）は図４に示すように、高周波数帯域でも位相余裕があり（Фｍ３＞０°）、時間応答は図５に示すようになり、バックラッシ振動のない安定な速度制御ができたことがわかる。
【００８８】
【発明の効果】
以上説明したように本願の発明によれば、モータ駆動系の速度制御系を、ＰＩＤ制御のみで構成し、本出願で導出した制御系安定十分条件のＫｄ＋ＴｄＫｐ≧０とＫｄ＋８ＴｄＫｉ≧０を満たすようにＰＩＤ制御の各定数を設定することによって、慣性比の小さい、Ｋｄ＜０の場合でも、モータ駆動系にバックラッシなど非線型要素の有無に関わらず、安定な速度制御を実現することができ、実用上、極めて有用性の高いものである。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明の請求項１記載の一実施例を示すブロック線図である
【図２】完全微分を有するＰＩＤ制御器の周波数応答特性図である（微分ゲインＫ~ｄ＞０の場合）。
【図３】完全微分を有するＰＩＤ制御器の周波数応答特性図である（微分ゲインＫ~ｄ＜０の場合）。
【図４】遅い微分時定数を有するＰＩＤ制御を適用した３慣性モータ駆動系一巡周波数応答特性図である。
【図５】遅い微分時定数を有するＰＩＤ制御を適用した３慣性モータ駆動系時間応答特性図である。
【図６】ＰＩＤ制御を適用した２慣性モータ駆動系のブロック線図である。
【図７】３慣性モータ駆動系の外観図である。
【図８】３慣性モータ駆動系のブロック線図である。
【図９】３慣性モータ駆動系の開ループ伝達関数Ｇ３ｍ（ｓ）の周波数応答特性図である。
【図１０】速い微分時定数を有するＰＩＤ制御を適用した２慣性モータ駆動系時間応答特性図である。
【図１１】速い微分時定数を有するＰＩＤ制御を適用した３慣性モータ駆動系時間応答特性図である。
【図１２】速い微分時定数を有するＰＩＤ制御を適用した３慣性モータ駆動系一巡周波数応答特性図である。
【符号の説明】
１      ＰＩＤ制御器
２      ギアと弾性軸を有する３慣性モータ駆動系
３      弾性軸を有する２慣性モータ駆動系
１１    モータ
１２    負荷機
１３    ギア
１４    弾性軸
Ｊｍ    モータ慣性
Ｊｇ    ギア慣性
Ｊｍｇ  モータ等価慣性
ＪＬ    負荷機慣性
Ｋｇ    ギアのバネ定数
Ｄｇ    ギアの粘性係数
Ｋｃ    軸のバネ定数
Ｄｃ    軸の粘性係数
δ      ギアバックラッシ幅
ω＊    速度指令
ωｍ    モータ速度
Δω    速度指令とモータ速度との偏差値
ωｇ    ギア速度
ωＬ    負荷機速度
Ｔｍ    モータトルク
Ｔｇ    ギアトルク
Ｔｃ    軸トルク
ＴＬ    負荷機側の外乱トルク
Ｆ１(ｓ)  ＰＩＤ制御器１の伝達関数
Ｋｐ    ＰＩＤ制御器１の比例ゲイン
Ｋｉ    ＰＩＤ制御器１の積分ゲイン
Ｋｄ    ＰＩＤ制御器１の微分ゲイン
Ｔｄ    ＰＩＤ制御器１の微分時定数
Ｆ~(ｓ)  完全微分ＰＩＤ制御器の伝達関数
Ｋ~ｐ    完全微分ＰＩＤ制御器の比例ゲイン
Ｋ~ｉ    完全微分ＰＩＤ制御器の積分ゲイン
Ｋ~ｄ    完全微分ＰＩＤ制御器の微分ゲイン
Ｌ（ｓ）  一次遅れ要素の伝達関数
∠Ｆ~(ｊω)  Ｆ~(ｊω)の位相特性
∠Ｌ（ｊω）  Ｌ（ｊω）の位相特性
ｆ（ω）      Ｆ~(ｊω)の位相変化率とＬ（ｊω）の位相変化率の絶対値との関係関数
ωｈ    ２慣性モータ駆動系の固有反共振周波数
ω０    ２慣性モータ駆動系の固有共振周波数
ωｈ１  ３慣性モータ駆動系の固有反共振周波数（ねじれ振動モードと対応）
ωｈ２  ３慣性モータ駆動系の固有反共振周波数（バックラッシ振動モードと対応）
ω０１  ３慣性モータ駆動系の固有共振周波数（ねじれ振動モードと対応）
ω０２  ３慣性モータ駆動系の固有共振周波数（バックラッシ振動モードと対応）
τ      係数図法の等価時定数
γi      係数図法の安定度指標
Ｇ3ｍ（ｓ）  ３慣性モータ駆動系のモータトルクＴｍからモータ速度ωｍまでの開ループ伝達関数
Ｇ2ｍ（ｓ）  ２慣性モータ駆動系のモータトルクＴｍからモータ速度ωｍまでの開ループ伝達関数
Ｇｎｍ（ｓ）  ３慣性以上の多慣性モータ駆動系のモータトルクＴｍからモータ速度ωｍまでの開ループ伝達関数
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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