(57)【要約】【課題】単振り子を複数回往復させて重力の加速度を計測する際に、結果が振れ角の大きさに影響され、さらに空気抵抗によりその振幅が変化するという課題があった。【解決手段】往復運動毎の単振り子の振幅と周期を高速度カメラで画像撮影し、画像処理により振幅と周期を正確に計測し重力の加速度を得る。【構成】単振り子、高速度カメラ、カメラ画像を取り込み画像解析で重力の加速度を計算する計測器本体より構成されている。複数往復の周期と振れ角を取得しこれらのデータを処理して重力の加速度を得る。【選択図】図１
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
単振り子、高速度カメラ、計測器本体より構成され、単振り子の運動状態を高速度カメラで撮像し、その画像データを高速度カメラのメモリから計測器本体のメモリに取り込み、取り込んだ画像を解析して、振り子の１周期毎の振幅と周期を得、その周期を振幅のデータにより重力の加速度を計算するような重力の加速度の計測装置。
【請求項２】
単振り子、高速度カメラ、計測器本体より構成され、単振り子の運動状態を高速度カメラで撮像し、その画像データを高速度カメラのメモリから計測器本体のメモリに取り込み、取り込んだ画像を解析して、振り子の１周期毎の振幅と周期を得、その周期を振幅のデータにより重力の加速度を計算するような重力の加速度の計測方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
地球の重力を測定するための装置と方法に関する発明である。
【背景技術】
【０００２】
従来の重力の計測の方法は、以下のような方法がある。
１）スプリングによる方法
スプリングによる重力測定法の一例を第３図に示す。スプリングの変位ΔＸが荷重の大きさＦ（＝ｍｇ）に比例するという特性を利用して重力の加速度ｇを計測する方法である。スプリングのバネ定数をＫとし、重りの質量をｍとすると次式が成立する。
Ｆ＝ｍｇ＝Ｋ・ΔＸ          （１）
スプリングのバネ定数Ｋと重りの質量ｍが既知であれば、変位ΔＸを計測することにより重力の加速度ｇは次式で得られる。
ｇ＝Ｋ・ΔＸ１／ｍ          （２）
【０００３】
第３図に示すように、既知の重力の加速度ｇ１の地点において、バネの変位ΔＸ１がわかっている場合には、未知の重力の加速度の地点でのバネの変位ΔＸ２を計測することによっても未知の重力の加速度ｇ２を得ることができる。
ｍｇ1＝Ｋ・ΔＸ1
ｍｇ2＝Ｋ・ΔＸ2
【０００４】
上記２式より
ｇ2＝（ΔＸ2/ΔＸ1）ｇ1          （３）
この場合にはバネ定数や質量を知らなくてよい。
【０００５】
２）ＫＡＴＥＲの可逆振り子
第４図は、ＫＡＴＥＲの可逆振り子として知られている重力の計測方法の一例を示す。Ｎ１、Ｎ２は、振り子の回転中心であるが、この振り子の特徴は、回転中心をＮ１としたときの周期τ１と回転中心をＮ２としたときの周期τ２が等しくなるように重りＢ１，Ｂ２の位置が調整されている点である。Ｎ１を中心として時の回転半径をｋとしたときに、Ｎ１とＮ２の間隔を回転半径ｋに等しくとってある。Ｎ１とＮ２は、相互に置き換えても同様の関係となるので、可逆振り子という。
【０００６】
重力の作用のもとで、水平な固定軸Ｎ１の周りに回転させた場合、Ｎ１と重心Ｇまでの距離をＨ１、振り子が鉛直線となす角をθ、軸に関する振り子（物理振子）の回転半径をkとするときの振り子の運動方程式
ｋ2（ｄ2θ／dｔ2）＝−ｇＨ１sinθ≒−ｇＨ１θ      （４）
【０００７】
質量が一点に集中した場合の振り子（単振子）の振り子の運動方程式
Ｌ（ｄ2θ／dｔ2）＝−ｇsinθ≒−ｇθ      （5）
（4）式と（5）式を比較すると
Ｌ＝ｋ2／Ｈ１          （６）
Ｌは相当単振り子の長さという。
【０００８】
振幅が微小ならば、微分方程式（５）を解くと、その周期τを得る。
を得る。
【０００９】
重心周りの回転半径をｋＧとすると
ｋ２＝ｋＧ２＋Ｈ１２      （８）
（６）式を書き換えると
Ｌ−ｋ２／Ｈ１＝Ｌ−（ｋＧ２＋Ｈ１２  ）／Ｈ１ 
＝Ｌ−（ｋＧ２／Ｈ１＋Ｈ１  ）＝０
∴Ｌ−Ｈ１＝ｋＧ2／Ｈ１      （９）
【００１０】
ゆえに、相当単振り子の長さＬは固定軸Ｎ１と重心Ｇとの間の距離Ｈ１より常に大きい。
固定軸Ｎ１と重心Ｇの延長上にＮ１との距離Ｌなる点Ｎ２をとると
Ｌ＝Ｈ１＋Ｈ2
であり、
Ｌ−Ｈ１＝Ｈ2           （１０）
であるから、（９）式及び（１０）式から次式を得る。
Ｈ１・Ｈ２＝ｋＧ2        （１１）
かかる点Ｎ２を振動の中心、Ｎ１を吊りの中心と称している。
（７）式を書き換えると次式により重力の加速度を求める式を得る。
ｇ＝４π2Ｌ／τ2      （１２）  
（１２）式により周期τとＬを計測することによって重力の加速度ｇが得られる。この場合に、τが最大振れ角に依存する問題がある。  
【００１１】
３）投げ上げ式の重力測定方法
第５図に示すように真上に投げ上げた物体は、重力のために速度を減じ、ついに、落下し始める。２つの計測面の間隔をＨ，物体が下位の測定面を横切ってから再び下降時に横切るまでの時間間隔Δｔ１、上位の測定面についても同様な時間間隔をΔｔ２とする。また、下位および上位の測定面を通過するときの物体の速度をそれぞれＶ１，Ｖ２とする。空気抵抗を無視すると落下速度と上昇速度は同一となる。重力の加速度をこの区間一定とすると次式が得られる。
２ｇＨ＝ｖ１2−Ｖ２2         （１３）
Ｖ1−（−Ｖ1）＝ｇΔｔ１    （１４）
Ｖ2−（−Ｖ2）＝ｇΔｔ2     （１５）    
上記３式よりＶ１，Ｖ２を消去して次式を得る。
g＝８Ｈ／（Δｔ１2−Δｔ２2）    （１６）
計測面の間隔Ｈは既知であるから時間差Δｔ１と時間差Δｔ２を計測することによって、重力の加速度を得る。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１２】
重力の加速度の計測には、１）バネを使用したもの，２）ＫＡＴＥＲの可逆振り子、３）投げ上げ式等があるが、ここでは、第６図に示すような単振り子による重力の加速度の計測方法について考える。この場合、単振り子の腕の長さをＬ，重りの質量をｍ、鉛直線と腕の角度をθとすると単振り子の運動方程式は次式で表せる。
ｇsinθ−Ｌ（ｄ2θ／dｔ2）＝０      （１７）
【００１３】
上式は、sinθ≒θ  と置くと、微分方程式の解は容易に解けて、次式に示す周期をもつ周期関数であることがわかっている。
この式を使えば、周期τを計測すれば、
腕の長さＬは既知であるから重力の加速度ｇは容易に得られる。しかし、問題は、近似式を含むために、必然的に、結果に誤差を含むことである。近似式を使用する限り問題は残る。
【００１４】
そこで、近似式によらない単振り子の運動方程式を以下第６図により検討する。
振り子の重りの質量をｍ、振り子の腕の長さをＬとする。Ａ点は最下点、Ｃ点は角速度（ｄθ／dｔ）が０となる位置で、重りの最上位点とし、そのときの角をα（最大振れ角）とする。Ｂ点は、Ａ点とＣ点間の途中の任意の位置で、その時の振れ角をθとする。
【００１５】
振り子の重りの運動方向の力の釣り合いを考えると次式が成立する
ｍＬ（ｄ2θ／dｔ2）＝−mg・sinθ      （１９）
【００１６】
運動方向に垂直な方向の力の釣り合いを考えると
Ｎ−ｍｇ・cosθ−mL（ｄθ／dｔ）2  ＝０    （２０）
ここに、Ｎ：腕にかかる張力
左辺第２項は、重りの重力の分力
左辺第３項は遠心力          
と書ける。
【００１７】
（１９）式の両辺にＬ（ｄθ／dｔ）を乗じ左辺に集めると、
ｍＬ2（ｄ2θ／dｔ2）（ｄθ／dｔ）＋mgＬ・（ｄθ／dｔ）sinθ＝０
ｔについて積分すれば
ｍＬ2（ｄθ／dｔ）2／２−mgＬ・c osθ＝Ｅ         （２１）
Ｅは積分定数で、（２１）式は、振り子の重りについての力学的エネルギー保存則を表している。Ｅは、全エネルギーである。
【００１８】
今、最低位置Ａにおける重りの速さをＶとすれば、（Ｌｄθ／dｔ）θ＝０＝（ｖ）θ＝０＝Ｖであるから（２１）式において、θ＝０とおけば
Ｅ＝mＶ２／２−mgＬ
となる。この値を用いると（２１）式は
Ｌ2（ｄθ／dｔ）2＝Ｖ２−２gＬ（１−cosθ）         （２２）
と書き換えられる。
【００１９】
（２０）式と（２２）式とから（ｄθ／dｔ）を消去すれば
Ｎ＝mＶ2／Ｌ+mg（３cosθ−２）        （２３）
振り子による重力の加速度計測においては、α≦π／２という条件である。
【００２０】
ここで、最大振れ角αと最下点での振り子の速度Ｖの関係を求めておく。位置のエネルギーと運動のエネルギーの関係から
ｍｇＬ（１−cosα）＝ｍＶ２／２
が得られ、これを変形すると
cosα＝（２ｇＬ−Ｖ２）／２ｇＬ    （２４）
が得られる。
【００２１】
（２４）式を用いて（２２）式を書き換える。
(dθ／dt)2＝2g(cosθ−cosα)／L  （２5）
を得る。
【００２２】
重りが、点Aから点Cの方へ上昇しているとき、ｄｔ/ｄθ＞０  であるから
重りが点Aを出発した瞬間を原点とすれば、上式より

【００２３】
この積分を
sin(θ/２)=sin(α/２)sin(ψ)        （３０）
とおいてψについての積分に改める。
cos(θ/2)・(１/２)ｄθ＝sin(α/2)cosψdψ      （３１）
から
ここに、ｋ２＝sin２(α/2)      （３３）
【００２４】
また、
（２９）式に（３２）式と（３４）式を代入して
点Cに達するまでの所要時間は、振り子の周期τの１/４、また、C点では、θ＝αであるから、（３０）式から  
ψ＝π/２
よって、周期τは次式で表せる。
【００２５】
ここで、
とすると
【００２６】
一方、
の関係から
【００２７】
上式の級数の各項に下記公式
を適用すると
【００２８】
K=π/２・{1＋(1/2)２・ｋ２＋（(1・3)/(2・4)）２・ｋ４ 
＋（(1・3・5)/(2・4・6)）２・ｋ6＋・・・・}          （４２）
ここに、ｋ＝sin（α/２）        （４３）
を得る。
従って
【００２９】
αが微小角の場合には、（４２）式の無限級数部は、第２項以降を無視してもよく、第１項のみで計算すると、周期の計算式である（４４）式は、τ＝２π・ＳＱＲＴ（Ｌ/ｇ）となり、近似式による周期の計算式である（１８）式と一致する。
【００３０】
（４４）式は、無限多項式であり、打切り誤差を生じる。しかし、要求される精度に打ち切る項を調整可能であり精度上の問題は解決できると考えてよい。ここで、周期の計算に最大振れ角αが表れている点に注目する必要がある。打切り誤差については図１５に示す。
【００３１】
近似による誤差を含まない周期の計算式は得られたが、単振り子で周期を計測するには、精度を高めるために、何回か振り子を振らせて、平均値をとるのが一般の計測方法である。しかし、計測途中に、空気抵抗により振幅が減少するという問題がある。誤差をほとんど考慮する必要のない（４４）式を使用したとしても、最大振れ角αは、一回振れるごとに違った値となるので、一周期毎に正確な振幅を計測することが必要となる。振り子による場合、振幅と周期を毎回正確に計測しない限り重力の加速度を精度よく計測でないという課題があった。
【非特許文献１】力学１、国井修二郎・他共著、丸善、Ｐ２２３−２３２
【非特許文献２】インターネット、http://www.kagaku.info/gravity990510/
【課題を解決するための手段】
【００３２】
第１図に単振り子による重力の加速度の計測装置の構成図を示す。本方法では、振り子の運動を高速度カメラで撮影し、その画像を解析して一往復毎にその時の周期と振幅を正確に計測できるようになっている。ｎ往復の振幅と周期を正確に計測できたとすると次式のように正確な重力の加速度が得られる。
【００３３】
１周期毎のデータから
但し、Ki＝π/２・{１＋（１/２）２ｋi２＋（１・３/２・４）２ｋi４＋・・・・・・}
ｋi＝sinαi
【００３４】
（４５）式の格式左辺と右辺をそれぞれ足し合わせる
上式を変形すると
ただし、Ki＝π/２・{１＋（１/２）２ｋi２＋（１・３/２・４）２ｋi４＋・・・・・・}，
ｋｉ＝sinαi/2
一往復ごとのτiとαiが正確に求められた場合には、上式から正確な重力の加速度が得られることが理解されよう。精度を上げたいときには、無限数列の計算する項を上げればよい。その目安を第１５図に示す。例えば、αが１０°の場合には、、第３項まで計算すると第４項目が誤差で、４．２７＊１０−８である。第４項目まで計算に入れると、誤差は第５項目で２．４８＊１０−１０である。
【００３５】
第１図に本発明の実施例を示す。１は計測器本体で高速度カメラ６からの画像を取り込み画像処理で振り子の振幅や周期を計測できるように仕組んである。２は振り子の支点、３は振り子の腕（糸）、４は振り子の重り、５は振り子の位置を読み取るための目盛板で半透明の材質でつくられており表面に目盛を描画してある。裏側には照明７（第２図参照）が設置されており重りや目盛をカメラ画像上認識しやすくしてある。６は高速度カメラである。このような構成であるから、振り子の運動状態は高速度カメラでディジタル画像として取得できる。高速度カメラのディジタル画像データは計測器本体１に取り込み画像解析により振り子の振幅や一周期毎の所要時間（周期）を正確に取得できるようになっている。
【００３６】
第２図は、装置を側面から見たものである。半透明の目盛板５の後方には照明７が設置してあり高速度カメラで振り子の重りや目盛を認識しやすくしてある。高速度カメラは、なるべく遠くに設定し、望遠レンズで撮影する。このようにしてもカメラからの振り子の重りまでの距離と目盛板までの距離の差があるので誤差を生じる恐れがある。そのため、画像処理の際に次式により誤差補正を行うものとする。
補正後振幅（中央からの距離）＝補正前の振幅（中央からの距離）＊Ａ／（Ａ＋Ｂ）
ただし、Ａをカメラと重り間距離
Ｂを重りと目盛板表面間距離
とする。
このようにすることにより、振り子の重りと目盛板が同一面でないために生じる誤差の発生を防止した。    
【００３７】
第７図は計測器本体の詳細を示す。８は中央処理装置（ＣＰＵ）、１０は主メモリ、１６は画像処理専用プロセッサー、１４は表示機構、９はシステムバスである。その他、１３はキーボード、１５は外部メモリ、１１はＵＳＢインターフェースである。高速度カメラ６からＵＳＢインターフェース１１を介してディジタル画像データを取り込み外部メモリ１５に取り込むように仕組んである。
【００３８】
第８図は、本測定処理のメインプログラムの処理フローを示す。ボックスＡ１０は、振り子の腕の長さＬ、高速度カメラのフレームレートＦＰＳなどの初期データを取り込むための処理である。処理開始を待って、キーボード１３より指示があれば、次処理に移行する（ボックスＡ２０）。ボックスＡ３０は、高速カメラからディタル画像データを取り込む処理である。ボックスＡ４０は取り込んだディジタル画像を１画面づつ取り込み解析し、振幅や周期を計算する処理である。
ボックスＡ５０は、振幅、周期計算処理である。ボックスＡ６０は、上述の処理結果を利用して、重力の加速度を計算する処理である。
【００３９】
第９図は、ボックスＡ３０の詳細処理をフローで示す。カメラ画像を取り込み（ボックスＢ１０）、画像データを記憶メモリに書き込む（ボックスＢ２０）。
【００４０】
第１０図は、ボックスＡ４０の詳細処理を示す。カメラ画像解析処理プログラムの処理フローである。カメラ画像を一画面づつ取り込み（ボックスＣ３０）、振り子の重りが最左端を通過時は、重りの座標を計算し記憶する（ボックスＣ３０）。次に、重りが中央を通過時は、画像のフレーム番号を記録する（ボックスＣ７０）、更に、最右端を振り子の重りが通過したときは、その重りの座標を記録する（ボックスＣ９０）。次に中央線通過の場合には、中央通過時のファイル番号を記録する（ボックスＣ１１０）。
処理結果は第１１図に示すようなテーブル２０に書き込む。座標値と共に、画像のフレーム番号（ＦＮＯ）やデータコード（左端、右端、中心の区分を示すＬ，Ｒ、Ｃ等のコード）をテーブル２０に書き込む。更に、座標値は、目盛面と重りの移動面が異なることによる補正をする。すなわち、
補正座標値＝補正前座標値＊Ａ／（Ａ＋Ｂ）    （４１）
ここで、Ａをカメラと重り間距離、Ｂを重りと目盛板表面間距離  とする。
【００４１】
第１２図はボックスＡ５０の詳細処理を示す。振幅、周期計算処理プログラムのフローである。画像解析結果格納テーブル２０から一往復分のデータを取り込み（ボックスＤ２０）、振幅、周期を計算する（ボックスＤ３０）。結果を振幅・周期格納テーブル２２に書き込む（ボックスＤ４０）。
【００４２】
第１３図に振幅・周期格納テーブル２２の内容を示す。ここで、周期は、フレーム番号（ＦＮＯ）とフレームレートから計算する。高速度カメラのフレームレートは、３００、１２００などを選択できる。フレームレート３００を選択した場合には、フレーム差が、２４２の場合には、その区間の時間差は、２４２/３００＝０．８００秒である。
【００４３】
第１４図は、ボックスＡ６０の詳細処理を示す。重力の加速度の計算処理のフローである。ボックスＦ１０では、式（４７）の分母の中の時間の集計（Στi）の計算を行っている。ボックスＦ２０では、式（４７）の分子の中の級数の部分の集計の計算を行っている。
ボックスＦ３０では、上述の計算結果を使用して重力の加速度の計算を行い、ボックスＦ４０では結果を出力する。
【００４４】
本発明の重力の加速度の計測器は、高精度に且つ自動的に重力の加速度を計測することを目的としている。
【発明の効果】
【００４５】
１）         
振り子の振幅による周期誤差を補正しており正確な周期を計算式に使用でき重力の加速度の計測精度がよい。
２）         
単振り子のディジタル画像を高速度カメラで撮影し、それを画像処理するので、作業が容易である。
３）         
単振り子、高速度カメラ、パソコンという簡単な構成で高精度の計測ができる。
【図面の簡単な説明】
【００４６】
【図１】本発明の装置の全体構成図
【図２】本発明の装置の側面から見た図
【図３】スプリング式重力計の一例
【図４】Ｋａｔｅｒの可逆振り子
【図５】投げ上げ式の重力測定方法
【図６】単振り子
【図７】計測装置本体の詳細
【図８】メインプログラムの処理フロー
【図９】画像データ取り込み処理プログラムのフロー
【図１０】カメラ画像解析処理プログラムのフロー
【図１１】画像解析結果格納テーブルの構造
【図１２】振幅・周期計算処理プログラムのフロー
【図１３】振幅・周期格納テーブルの構造
【図１４】重力加速度計算処理プログラムのフロー
【図１５】重力の加速度計算誤差評価データ（Ｋの計算で上位項を切り捨てた場合の誤差）
【符号の説明】
【００４７】
１……計測器本体
３……振り子の腕（糸）
４……振り子の重り
５……目盛板
６……高速度カメラ
７……照明
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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