(57)【要約】      （修正有）【課題】微弱信号を増幅可能な増幅装置を提供する。【解決手段】増幅装置は、被測定系の観測量＾Ａを測定する際に、測定器と、初期状態が事前選択された被測定系を相互作用させ、次に被測定系の終状態を事後選択し、測定器の波動関数ξ（ｐ）を用いて物理量の測定を行う。被測定系の量子状態の事前選択状態、事後選択状態それぞれのベクトルを｜ｉ＞、｜ｆ＞とするとき、式（１）の弱値ＡＷが既知であり、ＡＷ＝＜ｆ｜＾Ａ｜ｉ＞／＜ｆ｜ｉ＞…（１）、測定器と被測定系の相互作用ハミルトニアンＨが、測定器の運動量演算子＾ｐおよび結合係数ｇ（ただしｇ＞０）を用いて式（２）で与えられ、Ｈ＝ｇ・δ（ｔ−ｔ０）・＾Ａ・＾ｐ…（２）、＾Ａ２＝１のときに、測定器は、波動関数ξ（ｐ）が運動量表示で実質的に式（３）となる。2013108806.tif 000022【選択図】図１
2013108806.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
弱測定を利用した信号の増幅装置であって、
測定器と、
被測定系と、
を備え、
前記被測定系の観測量＾Ａを測定する際に、前記測定器と、初期状態が事前選択された被測定系を相互作用させ、次に前記被測定系の終状態を事後選択し、前記測定器の波動関数ξ（ｐ）を用いて物理量の測定を行うよう構成され、
前記被測定系の量子状態の事前選択状態のケットベクトルを｜ｉ＞、事後選択状態のケットベクトルを｜ｆ＞とするとき、式（１）で与えられる弱値ＡＷが既知であり、
ＡＷ＝＜ｆ｜＾Ａ｜ｉ＞／＜ｆ｜ｉ＞      …（１）
前記測定器と前記被測定系の相互作用ハミルトニアンＨが、前記測定器の運動量演算子＾ｐおよび結合係数ｇ（ただしｇ＞０）を用いて式（２）で与えられ、
Ｈ＝ｇ・δ（ｔ−ｔ０）・＾Ａ・＾ｐ    …（２）
かつ、＾Ａ２＝１が成り立つときに、前記測定器は、その波動関数ξ（ｐ）が運動量表示で実質的に式（３）となるように構成されていることを特徴とする増幅装置。
【数１】
2013108806.tif 000021
【請求項２】
前記被測定系は、干渉計と、前記干渉計に光ビームを入射する光源と、を有し、
測定すべき前記信号は、前記干渉計に設けられた光学素子の微少な傾きであり、
本増幅装置は、前記傾きを、事後選択に対応して前記干渉計から出力される光ビームの横方向の変位に増幅し、
前記光源は、前記光ビームの波動関数が実質的に式（３）で表され、前記光ビームの断面の複素振幅の空間座標表示が、式（３）を逆フーリエ変換したものとなるように前記光ビームを生成することを特徴とする請求項１に記載の増幅装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、弱測定を利用した微弱信号を増幅する増幅装置に関する。
【背景技術】
【０００２】
微弱な物理量を測定するための方法として、「弱測定（Weak Measurement）」が提案されている（非特許文献１）。「弱測定」において、被測定系（Measured system）は、測定器（Measuring device）と弱く結合される。ある被測定系の観測量（Observable）＾Ａを測定するときに、弱測定では、まず測定器と、初期状態（Initial state）が事前選択（Pre-selection）された被測定系を相互作用させる。次に被測定系の終状態（Final state）を事後選択（Post-selection）し、測定器の波動関数を用いて物理量の測定を行う。
【０００３】
被測定系の量子状態の事前選択状態を｜ｉ＞、事後選択状態を｜ｆ＞としたとき、式（１）で与えられる量ＡＷは弱値と呼ばれる。
ＡＷ：＝＜ｆ｜＾Ａ｜ｉ＞／＜ｆ｜ｉ＞
これは測定器の波動関数の中心値の弱測定前と後の差として得ることができる。この弱値ＡＷは｜ｉ＞と｜ｆ＞とがほぼ直交すると大きくなり、測定で得られる微弱な信号が増幅される。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００４】
【非特許文献１】Y. Aharonov、D. Z. Albert、L. Vaidman、Phys. Rev. Lett. 60、1351 (1988)
【非特許文献２】O. Hosten、 P. Kwiat、Science 319、787 (2008)
【非特許文献３】N. W. M. Ritchie、J. G. Story、R. G. Hulet、Phys. Rev. Lett. 66、1107 (1991)
【非特許文献４】P. B. Dixon、D. J. Starling、A. N. Jordan、J. C. Howell、Phys. Rev. Lett. 102、173601 (2009)
【非特許文献５】S. Wu、Y. Li、Phys.Rev. A 83、052106 (2011)
【非特許文献６】K. Nakamura、A. Nishizawa、M. Fujimoto、arXiv:1108.2114v2 [quant-ph]
【非特許文献７】X. Zhu、Y. Zhang、S. Pang、C. Qiao、Q. Liu、S. Wu、arXiv:1108.1608v2 [quant-ph]
【非特許文献８】T. Koike、S. Tanaka、arXiv:1108.2050v1 [quant-ph]
【非特許文献９】A. M. Steinberg、Nature (London) 463、890-891 (2010)
【非特許文献１０】A. Feizpour、X. Xing、A. M. Steinberg、Phys. Rev. Lett. 107、133603 (2011)
【非特許文献１１】D. J. Starling、P. B. Dixon、A. N. Jordan、J. C. Howell、Phys. Rev. A 80、041803 (2009)
【非特許文献１２】古田  彩  「存在確率マイナス１」、日経サイエンス、２００９年１０月号、２２〜２３ページ
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
弱測定の効果は例えば非特許文献２〜４の実験で確認されている。具体的には、弱測定を利用した増幅装置は、ミラーやスライドガラスの微少な傾きを、レーザビームの位置の非常に大きな変化に増幅することができる。弱測定による信号増幅度は、｜ｉ＞と｜ｆ＞の直交度次第でいくらでも大きくすることができるため、増幅に限界は無いと考えられていた。
【０００６】
しかしこの評価は、相互作用が小さい事を仮定した１次近似を用いているため正確ではないことが指摘されている（非特許文献５）。また観測量が＾Ａ２＝１を充たす系で、測定器の波動関数をガウシアンと仮定した場合において信号の増幅には上限があることが示されている（非特許文献６〜８）。
【０００７】
本発明は係る課題に鑑みてなされたものであり、そのある態様の例示的な目的のひとつは、微弱信号を最適に増幅可能な増幅装置の提供にある。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
本発明のある態様は、弱測定を利用した信号の増幅装置に関する。この増幅装置は、測定器と、被測定系と、を備える。被測定系の観測量＾Ａを測定する際に、測定器と、初期状態が事前選択された被測定系を相互作用させる。次に被測定系の終状態を事後選択し、測定器の波動関数ξ（ｐ）を用いて物理量の測定を行う。被測定系の量子状態の事前選択状態のケットベクトルを｜ｉ＞、事後選択状態のケットベクトルを｜ｆ＞とするとき、式（１）で与えられる弱値ＡＷが既知であり、
ＡＷ＝＜ｆ｜＾Ａ｜ｉ＞／＜ｆ｜ｉ＞      …（１）
測定器と被測定系の相互作用ハミルトニアンＨが、測定器の運動量演算子＾ｐおよび結合係数ｇ（ただしｇ＞０）を用いて式（２）で与えられ、
Ｈ＝ｇ・δ（ｔ−ｔ０）・＾Ａ・＾ｐ    …（２）
かつ、＾Ａ２＝１が成り立つときに、測定器は、その波動関数ξ（ｐ）が、運動量表示で実質的に式（３）となるように構成されている。なお現実的には、機械的、物理的、電気的、光学的な制約から、波動関数を式（３）に完全に一致させるのは困難である場合もあり、「実質的に式（３）となる」とは、このようば場合にある程度の誤差を許容する趣旨である。このような誤差があったとしても、波動関数に何らの配慮も払わない場合に比べて、増幅度を大きく改善することができる。
【数１】
2013108806.tif 000003
【０００９】
ある態様において、被測定系は、干渉計と、干渉計に光ビームを入射する光源と、を有してもよい。測定すべき信号は、干渉計に設けられた光学素子の微少な傾きであってもよい。増幅装置は、傾きを、事後選択に対応して干渉計から出力される光ビームの横方向の変位に増幅してもよい。光源は、光ビームの波動関数が実質的に式（３）で表され、光ビームの断面の複素振幅の空間座標表示が、式（３）を逆フーリエ変換したものとなるように光ビームを生成してもよい。
傾斜する「光学素子」は、干渉計を構成するミラーであってもよいし、干渉計に挿入されたスライドガラスなどの光学素子であってもよい。
【００１０】
なお、以上の構成要素を任意に組み合わせたもの、あるいは本発明の表現を、方法、装置などの間で変換したものもまた、本発明の態様として有効である。
【発明の効果】
【００１１】
本発明の増幅装置によれば、微弱信号を大きな利得で増幅できる。
【図面の簡単な説明】
【００１２】
【図１】第１の構成例に係る増幅装置を示す図である。
【図２】第２の構成例に係る増幅装置を示す図である。
【図３】図３（ａ）〜（ｄ）は、運動量表示の波動関数ξ（ｐ）の実部、虚部、絶対値の２乗、位相Ｇ（ｐ）を示す図である。
【図４】図４（ａ）〜（ｄ）は、座標表示の波動関数ξ（ｑ）の実部、虚部、絶対値の２乗、位相を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００１３】
以下、本発明を好適な実施の形態をもとに図面を参照しながら説明する。各図面に示される同一または同等の構成要素、部材、処理には、同一の符号を付するものとし、適宜重複した説明は省略する。また、実施の形態は、発明を限定するものではなく例示であって、実施の形態に記述されるすべての特徴やその組み合わせは、必ずしも発明の本質的なものであるとは限らない。
【００１４】
（原理）
本実施の形態では、弱測定を利用した信号の増幅装置について説明する。一般的に、増幅装置は、測定器と、被測定系と、を備える。この増幅装置において被測定系の観測量＾Ａを測定する際には、まず、測定器と、初期状態が事前選択された被測定系を相互作用させる。次に被測定系の終状態を事後選択し、測定器の波動関数ξ（ｐ）を用いて物理量の測定を行う。
【００１５】
被測定系の量子状態の事前選択状態のケットベクトルを｜ｉ＞、事後選択状態のケットベクトルを｜ｆ＞とするとき、式（１）で与えられる弱値ＡＷが既知であるとする。
ＡＷ＝＜ｆ｜＾Ａ｜ｉ＞／＜ｆ｜ｉ＞      …（１）
また、測定器と被測定系の相互作用ハミルトニアンＨが、測定器の運動量演算子＾ｐおよび結合係数ｇ（ただしｇ＞０）を用いて式（２）で与えられる。
Ｈ＝ｇ・δ（ｔ−ｔ０）・＾Ａ・＾ｐ    …（２）
また＾Ａ２＝１が成り立つものとする。
【００１６】
従来の弱測定を用いた増幅装置では、波動関数ξ（ｐ）には特に配慮がなされておらず、最も簡易に利用可能なガウシアン型の波動関数ξ（ｐ）を用いられていた。これに対して、本実施の形態に係る増幅装置では、式（３）で与えられる波動関数ξ（ｐ）を用いる。
【数２】
2013108806.tif 000004
Ｒは実部を表しており、ＲＡＷは、弱値ＡＷの実部を表す。
【００１７】
詳しくは後述するように、式（３）の波動関数ξ（ｐ）は、弱測定の前における測定器の位置演算子＜＾ｑ＞ｂｅｆｏｒｅと、弱測定後の測定器の位置演算子＜＾ｑ＞ａｆｔｅｒの差分、つまりシフト量＜＾ｑ＞ａｆｔｅｒ−＜＾ｑ＞ｂｅｆｏｒｅに最大値を与える。すなわち、波動関数ξ（ｐ）を、単なるガウシアン型ではなく、弱値ＡＷに応じた関数に最適化することにより、増幅率を最大化することができる。
【００１８】
そして、式（３）の波動関数ξ（ｐ）を用いた場合、測定器の位置演算子の期待値＜＾ｑ＞ａｆｔｅｒは、以下の式（４）で与えられる。
【数３】
2013108806.tif 000005
【００１９】
つまり、事前選択と事後選択の状態が直交すると、Ｒ（ＡＷ）が無限大となり、上式の右辺が発散するため、増幅に上限がないことを示している。
【００２０】
たとえば干渉計とレーザ光を利用し、干渉計内に設けられた光学素子の傾きを、レーザビームの横方向の変位に増幅する増幅器においては、測定器の位置演算子の期待値＜＾ｑ＞は、レーザビームの変位量の期待値に相当する。
【００２１】
（増幅装置の具体例）
波動関数の導出の前に、理解を助けるために、具体的な増幅装置１について説明する。図１は、第１の構成例に係る増幅装置１を示す図である。増幅装置１は、レーザ光源１０、干渉計１２、受光デバイス１４およびスライドガラスＳＧを備える。
【００２２】
レーザ光源１０は、ある波動関数を有するレーザ光を出力する。後述するように、レーザ光源１０は、レーザ光の運動量もしくはビームプロファイルを調節可能に構成される。
【００２３】
波形整形されたレーザ光は、ダブルタイプのマッハツェンダー干渉計（以下、単に干渉計という）１２に入力される。干渉計１２は、第１ミラーＭ１〜第４ミラーＭ４、第１ビームスプリッタＢＳ１〜第３ビームスプリッタＢＳ３と、を備える。
【００２４】
レーザ光源１０からのレーザ光は、第１ビームスプリッタＢＳ１に入力される。第１ビームスプリッタＢＳ１を通過したビームは、第１ミラーＭ１によって反射される。第１ビームスプリッタＢＳ１により反射されたビームは、第２ミラーＭ２によって反射される。第２ミラーＭ２により反射されたビームの経路上には、スライドガラスＳＧが設けられる。図１の増幅装置１では、スライドガラスＳＧの傾きφが、増幅すべき微少信号となる。
【００２５】
第１ミラーＭ１、第２ミラーＭ２それぞれにより反射されたビームは、第２ビームスプリッタＢＳ２に入射する。第２ビームスプリッタＢＳ２を第１の方向に通過したビームは、第３ミラーＭ３により反射される。第２ビームスプリッタＢＳ２を第２の方向に通過したビームは、第４ミラーＭ４により反射される。第３ミラーＭ３、第４ミラーＭ４それぞれによって反射されたビームは、第３ビームスプリッタＢＳ３に入力される。
【００２６】
第３ビームスプリッタＢＳ３を第１の方向に通過したビームは、受光デバイス１４に入力される。第３ビームスプリッタＢＳ３を第２の方向に通過したビームは捨てられる。
【００２７】
第２ビームスプリッタＢＳ２およびスライドガラスＳＧを除くすべての光学素子は、レーザビームを４５°の入射角で受けるように配置される。第２ビームスプリッタＢＳ２の傾きをθとする。
【００２８】
受光デバイス１４は、たとえばＣＣＤ（Charge Coupled Device）カメラをはじめとする撮像デバイスであり、入射されるレーザビームの横方向の強度分布を測定する。受光デバイス１４に入射するレーザビームの強度分布は、スライドガラスＳＧの傾きφによって変化する。増幅装置１は、スライドガラスＳＧの傾きφを、レーザビームの横方向の変位量に変換、増幅する。
【００２９】
図１の増幅装置１において、干渉計１２に対してレーザビームを入射することは、測定器と、初期状態が事前選択された被測定系を相互作用させることに対応する。
また、干渉計１２によって、第３ビームスプリッタＢＳ３から出力される一方のレーザビームを測定し、他方のビームを捨てることは、被測定系の終状態を事後選択することに対応している。受光デバイス１４による測定は、位置演算子の期待値＜＾ｑ＞を測定することに他ならない。
【００３０】
増幅装置１において、レーザビームの各状態を、Ａ〜Ｄと記す。
初期状態が事前選択された被測定系の状態｜ｉ＞は、以下の式で与えられる。
｜ｉ＞＝｜Ａ＞＝１／√２×（｜Ｂ＞＋｜Ｃ＞）
｜Ｂ＞＝ｃｏｓθ・｜Ｅ＞＋ｓｉｎθ・｜Ｆ＞
｜Ｃ＞＝−ｓｉｎθ・｜Ｅ＞＋ｃｏｓθ・｜Ｆ＞
また、終状態が事後選択された被測定系の状態｜ｆ＞は、以下の式で与えられる。
｜ｆ＞＝｜Ｄ＞＝１／√２×（｜Ｅ＞−｜Ｆ＞）
＝１／√２×［（ｃｏｓθ−ｓｉｎθ）｜Ｂ＞−（ｃｏｓθ−ｓｉｎθ）｜Ｃ＞］
【００３１】
図１の増幅装置１において、観測量＾ＫはＣ×Ｃである（Ａ＝２Ｋ−１）。したがって観測量Ｃ×Ｃの弱値ＫＷは、
＜ｆ｜＾Ｋ｜ｉ＞＝＜ｆ｜Ｃ×Ｃ｜ｉ＞＝−（ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）／２
＜ｆ｜ｉ＞＝−ｓｉｎθ
を用いて、以下の式で与えられる。
ＫＷ＝（ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）／（２ｓｉｎθ）
＝１／√２×ｓｉｎ（θ＋π／４）／ｓｉｎθ
【００３２】
つまり、図１の増幅装置１は、第２ビームスプリッタＢＳ２の傾きθに応じた弱値ＫＷを有する。弱値ＫＷは、θ＝３π／４のときに１となり、θがゼロに近づくにつれて無限大に発散する。
【００３３】
図２は、第２の構成例に係る増幅装置１ａを示す図である。増幅装置１ａは、図１と同様に、レーザ光源１０、干渉計１２、受光デバイス１４および光学素子（スライドガラスＳＧ）を備える。
【００３４】
レーザ光源１０は、ある波動関数を有するレーザ光を出力する。このレーザ光は、Ｈ偏光成分とＶ偏光成分を含む。シングルタイプのマッハツェンダー干渉計（以下、単に干渉計という）１２ａに入力される。干渉計１２ａは、第１ミラーＭ１、第２ミラーＭ２、第１偏光ビームスプリッタＰＢＳ１、第２偏光ビームスプリッタＰＢＳ２、偏光板ＰＬ、スライドガラスＳＧを備える。
【００３５】
レーザ光源１０からのレーザ光は、第１偏光ビームスプリッタＰＢＳ１に入力される。Ｈ偏光成分は第１偏光ビームスプリッタＰＢＳ１を通過し、続いて第１ミラーＭ１によって反射される。Ｖ偏光成分は第１偏光ビームスプリッタＰＢＳ１により反射され、続いて第２ミラーＭ２によって反射される。
【００３６】
第２ミラーＭ２により反射されたビームの経路上には、スライドガラスＳＧが設けられる。図２の増幅装置１ａにおいても、スライドガラスＳＧの傾きφが、増幅すべき微少信号となる。
【００３７】
第１ミラーＭ１、第２ミラーＭ２それぞれにより反射されたビームは、第２偏光ビームスプリッタＰＢＳ２に入射する。第２偏光ビームスプリッタＰＢＳ２を第１の方向に通過したビームは、偏光板ＰＬを通過して受光デバイス１４に入射する。直線偏光板ＰＬは、水平方向に対して（θ＋π／４）傾いた偏光成分を通過させる。反対に第２偏光ビームスプリッタＰＢＳ２を第２の方向に通過したビームは捨てられる。
【００３８】
受光デバイス１４は、入射されるレーザビームの横方向の強度分布を測定する。受光デバイス１４に入射するレーザビームの強度分布は、スライドガラスＳＧの傾きφによって変化する。増幅装置１は、スライドガラスＳＧの傾きφを、レーザビームの横方向の変位量に変換、増幅する。
【００３９】
図２の増幅装置１ａにおいても、干渉計１２ａに対してレーザビームを入射することは、測定器と、初期状態が事前選択された被測定系を相互作用させることに対応する。
また、干渉計１２ａによって、第２偏光ビームスプリッタＰＢＳ２から出力される一方のレーザビームを測定し、他方のビームを捨てることは、被測定系の終状態を事後選択することに対応している。受光デバイス１４による測定は、位置演算子の期待値＜＾ｑ＞を測定することに他ならない。
【００４０】
増幅装置１ａの弱値ＫＷは、以下のように導出できる。
初期状態｜ψｉｎｔ＞、終状態｜ψｐｏｓｔ＞はそれぞれ、以下のように定められる。
｜ψｉｎｔ＞：＝１／√２×（｜Ｈ＞＋｜Ｖ＞）
｜ψｐｏｓｔ＞：＝ｃｏｓ（θ＋π／４）｜Ｈ＞＋ｓｉｎ（θ＋π／４）｜Ｖ＞
ただし、
｜Ｈ＞＝（１，０）Ｔ、
｜Ｖ＞＝（０，１）Ｔ、
Ｔは転置行列を表す。
【００４１】
偏光ビームスプリッタＰＢＳ１、ＰＢＳ２を通ることにより、事前選択状態｜ｉ＞、事後選択状態｜ｆ＞は、以下のように与えられる。
｜ｉ＞＝１／√２×（｜Ｂ＞｜Ｈ＞＋｜Ｃ＞｜Ｖ＞）
｜ｆ＞＝ｃｏｓ（θ＋π／４）｜Ｂ＞｜Ｈ＞＋ｓｉｎ（θ＋π／４）｜Ｃ＞｜Ｖ＞
【００４２】
図２の増幅装置１ａにおいても、観測量＾ＫはＣ×Ｃである（Ａ＝２Ｋ−１）。したがって観測量Ｃ×Ｃの弱値ＫＷは、
＜ｆ｜＾Ｋ｜ｉ＞＝＜ｆ｜Ｃ×Ｃ｜ｉ＞＝−１／√２×ｓｉｎ（θ＋π／４）
＜ｆ｜ｉ＞＝１／√２×｛ｃｏｓ（θ＋π／４）＋ｓｉｎ（（θ＋π／４））｝
＝ｓｉｎ（θ＋π／４）＋ｃｏｓ（θ＋π／４）
を用いて、以下の式で与えられる。
ＫＷ＝＜ｆ｜＾Ｋ｜ｉ＞／＜ｆ｜ｉ＞＝（１＋ｔａｎθ）／２
【００４３】
つまり、図２の増幅装置１ａは、偏光板ＰＬの偏光方向に応じた弱値ＫＷを有する。弱値ＫＷは、θ＝−π／４のときに０となり、θ＝±π／２に近づくにつれて発散する。
【００４４】
（最適な波動関数の導出）
図１、図２を参照したここまでの説明で、増幅装置１（１ａ）は、その構成に応じた弱値ＫＷを有することが理解される。続いて、増幅装置１により、最大の増幅率を実現しうる波動関数ξ（ｐ）を導出する。
【００４５】
増幅率を最大化することは、受光デバイス１４によって測定されるレーザビームの強度の横方向の座標のシフト量＜＾ｑ＞ａｆｔｅｒ−＜＾ｑ＞ｂｅｆｏｒｅを最大化することに他ならない。以下の説明では、ビームのシフト方向と平行に、座標軸ｑおよび運動量ｐの軸をとるものとする。
【００４６】
１．  ラグランジュ未定乗数法
弱測定前の測定器の量子状態を｜φ＞と書くとき、弱測定前の測定器の位置演算子の期待値＜＾ｑ＞ｂｅｆｏｒｅは、式（５）で与えられる。
【数４】
2013108806.tif 000006
ここで、ξ（ｐ）＝＜ｐ｜φ＞とする。測定器と被測定系の相互作用ハミルトニアンは、測定器の運動量演算子＾ｐおよび結合係数ｇを用いて、上述した式（２）で与えられる。
Ｈ＝ｇ・δ（ｔ−ｔ０）・＾Ａ・＾ｐ    …（再２）
【００４７】
相互作用後に、被測定系の事後選択を経て、弱測定後の測定器の量子状態は、式（６）で与えられる。
【数５】
2013108806.tif 000007
【００４８】
２行目の式変形の際に＾Ａ２＝１の条件を用いている。これにより弱測定後の測定器の位置演算子の期待値として、式（７）〜（１１）を得る。
【数６】
2013108806.tif 000008
【００４９】
１．１  変分問題
ラグラジアンＬを以下のようにとって、＜＾ｑ＞ａｆｔｅｒが極値をとるときのξ（ｐ）を求める。ここでは簡単のため、＜＾ｑ＞ｂｅｆｏｒｅ＝０とする。測定器の最適な波動関数ξ（ｐ）が求まった後に、＜＾ｑ＞ｂｅｆｏｒｅ＝０となるように調節する。
【００５０】
【数７】
2013108806.tif 000009
【００５１】
ここで、λは未定乗数で拘束条件はξ（ｐ）の規格化条件である。まず、未定乗数λで変分すると、式（１３）を得る。次にξ＊（ｐ）を変分すると、式（１４）を得る。これをｐについて不定積分すると、式（１５）、（１６）が得られる。これらより、式（１７）となる。Ｃは実数の規格化定数である。
【００５２】
１．２  未定乗数の決定
式（１７）より、Ｚ，Ｃ，Ｃ０を計算する。Ｚは式（８）より式（１８）と求まり、Ｃは式（１３）より式（１９）と求まる。またＣ０は式（１０より式（２０）と求まる。そしてこれらを用いてＤを計算するとＤの値は不定になるがλ＝０が導かれる。
【数８】
2013108806.tif 000010
【００５３】
２．  信号増幅
２．１  期待値のシフト
弱測定前の期待値＜＾ｑ＞ｂｅｆｏｒｅを計算する。式（４）より、式（２１）を得る。
【数９】
2013108806.tif 000011
【００５４】
ここで第１項目が０かつＣ＝０となるような積分区間として、Ｆ（ｐ）がπ／ｇの周期関数であることから、その１周期分の［−π／２ｇ，π／２ｇ]を採用する。このときＦ（π／２ｇ）＝Ｆ（−π／２ｇ）＝｜ＡＷ｜２となり、第１項目は０になる。またＣは式（１９）よりＦ−１（ｐ）の積分を計算して式（２２）となり、確かにＣ≠０であることが確認される。
【数１０】
2013108806.tif 000012
【００５５】
ここでそれを満たすために、ＡＷの実部がゼロではないという条件Ｒ（ＡＷ）≠０を課している。よって弱測定前後での期待値のシフトは式（２１）よりＦ−２（ｐ）の積分を計算して、式（２３）と求まる。
【数１１】
2013108806.tif 000013
【００５６】
２．２  弱測定前後の位置演算子の期待値
ξ（ｐ）を用いた測定において＜＾ｑ＞ｂｅｆｏｒｅ＝０となるように調節する。今、周期性Ｆ（ｐ＋π／ｇ）＝Ｆ（ｐ）から、式（１７）より式（２４）を得る。ｋは任意の実数である。いま、Ｇ（ｐ）は式（１６）より、式（２５）で与えられる。
【数１２】
2013108806.tif 000014
【００５７】
式（２４）の対数をとると波動関数の周期性は、
Ｇ（ｐ＋π／ｇ）＝πｋ＋Ｇ（ｐ）    …（２６）
と表される。これより、式（２７）を得る。
＜＾ｑ＞ａｆｔｅｒ＝ｇ（±１−ｋ）    …（２７）
＜＾ｑ＞ａｆｔｅｒの符号は、Ｒ（ＡＷ）＞０のとき正、Ｒ（ＡＷ）＜０のとき負である。このとき＜＾ｑ＞ｂｅｆｏｒｅは式（２１）より、式（２８）で表される。任意定数ｋを、式（２９）と選べば＜＾ｑ＞ｂｅｆｏｒｅ＝０となる。
【数１３】
2013108806.tif 000015
【００５８】
よって式（２７）は、式（３０）に書き換えられる。
【数１４】
2013108806.tif 000016
【００５９】
式（３０）は、｜ｉ＞と｜ｆ＞が直交する極限、すなわち｜ＡＷ｜２|が無限大の極限をとる場合に、シフト量が無限大に発散することを示している。これは弱測定による信号増幅には原理的な上限が無いことを示している。
【数１５】
2013108806.tif 000017
【００６０】
また、式（３１）が成り立つことから、シフトには下限がある。最小値はｇで、これはＲ（ＡＷ）＝１、Ｉ（ＡＷ）＝０のときである。式（１）からこの場合、＾Ａを被測定系に射影測定していて、このときユニタリー変換ｅ±ｉｇ・＾ｐは測定器の座標を±ｇだけシフトする。すなわち測定器の最適な波動関数ξ（ｐ）による測定を行うと、射影測定により信号を検出した場合に比べて、必ず信号を増幅することができる。また、弱測定後の位置演算子の２乗の期待値を計算すると、
＜＾ｑ２＞ａｆｔｅｒ＝（＜＾ｑ＞ａｆｔｅｒ）２    …（３２）
であることがわかる。よって分散が０なので弱測定後の測定器の波動関数は座標表示でデルタ関数のような振る舞いをすることが分かる。
【００６１】
３．  最適波動関数
これまでで、ξ（ｐ）は、式（１１）、（１５）、（２２）、（２５）、（３０）より、式（３３）と書かれる。
【数１６】
2013108806.tif 000018
【００６２】
ここで、αを式（３４）で定義すると、式（３５）−（３７）が成り立つ。
【数１７】
2013108806.tif 000019
【００６３】
これらを用いると、式（３３）の波動関数は、式（３８）に書き改められ、これは式（３）と一致する。
【数１８】
2013108806.tif 000020
【００６４】
最後に、波動関数ξ（ｐ）の具体例を示す。図３（ａ）〜（ｄ）は、運動量表示の波動関数ξ（ｐ）の実部、虚部、絶対値の２乗、位相Ｇ（ｐ）を示す図である。計算は、弱値ＡＷ＝１．７＋３．２ｉ、ｇ＝０．１にもとづいて行っている。図４（ａ）〜（ｄ）は、座標表示の波動関数ξ（ｑ）の実部、虚部、絶対値の２乗、位相を示す図である。座標表示の波動関数ξ（ｑ）は、運動量表示の波動関数ξ（ｐ）を逆フーリエ変換することにより求めることができる。座標表示の波動関数ξ（ｑ）の絶対値の２乗は、ビーム強度の横方向（シフト方向）の断面プロファイルに相当する。
【００６５】
レーザ光源１０の設計は、運動量表示の波動関数ξ（ｐ）にしたがって行うことができる。実際に生成されるビームが、運動量表示の波動関数ξ（ｐ）を満たすか否かは、直接測定することは困難である。そこでビーム強度の軸方向のプロファイルを測定し、座標表示の波動関数ξ（ｑ）の絶対値の２乗と比較することにより、最適なビームが生成されているかを確認できる。
【００６６】
レーザービームを整形する技術は、最近では研究室レベルで標準的になりつつある。したがって、測定器の波動関数ξ（ｐ）あるいはξ（ｑ）を、弱値ＡＷに応じて最適なプロファイルとすることは十分に可能である。したがって、本発明は、微弱な信号の増幅一般に広汎な応用が期待される。
【００６７】
一例として増幅装置１は、重力波などきわめて微弱な信号の測定に利用することが期待される。
【００６８】
以上、本発明について、実施の形態をもとに説明した。この実施の形態は例示であり、それらの各構成要素や各処理プロセスの組み合わせにいろいろな変形例が可能なこと、またそうした変形例も本発明の範囲にあることは当業者に理解されるところである。以下、こうした変形例について説明する。
【００６９】
増幅装置１の構成は、実施の形態で例示したものには限定されず、列挙した非特許文献に記載される構成を用いてもよいし、その他の構成を用いてもよく、つまりは弱値ＡＷが理論的に予測可能な被測定系であれば任意のものを採用しうる。
【００７０】
実施の形態にもとづき、具体的な用語を用いて本発明を説明したが、実施の形態は、本発明の原理、応用を示しているにすぎず、実施の形態には、請求の範囲に規定された本発明の思想を逸脱しない範囲において、多くの変形例や配置の変更が認められる。
【符号の説明】
【００７１】
１…増幅装置、１０…レーザ光源、１２…干渉計、１４…受光デバイス、ＰＢＳ１…第１偏光ビームスプリッタ、ＰＢＳ２…第２偏光ビームスプリッタ、Ｍ１…第１ミラー、Ｍ２…第２ミラー、Ｍ３…第３ミラー、Ｍ４…第４ミラー、ＢＳ１…第１ビームスプリッタ、ＢＳ２…第２ビームスプリッタ、ＢＳ３…第３ビームスプリッタ、ＳＧ…スライドガラス、ＰＬ…偏光板。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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