(57)【要約】【課題】離散時間区分的アファインシステムに適用可能なフィードバック制御器設計装置、フィードバック制御器、及びフィードバック制御器設計方法を提供する。【解決手段】制御器設計装置１０は、制御器を設計するシステムについて解くべき線形行列不等式を定式化する設定部２０、線形行列不等式を定式化するために用いる式を格納する制御器データ記憶部３０、定式化された線形行列不等式を満たす範囲で安定な状態フィードバックゲインを求める算出部４０を備える。設定部２０は、制御器データ記憶部３０から読み出した式に離散時間形式で表現されたシステム情報を適用して線形行列不等式を生成する。算出部４０は、設定部２０が生成した線形行列不等式を拘束条件とする凸最適化問題を数値計算により解き、状態フィードバックゲインを算出する。【選択図】図１
2013206408.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
離散時間区分的アファインシステムｘｋ＋１＝Ａｉｘｋ＋ｂｉ＋Ｂｉｕｋ、ただしｋは整数、ｘは状態変数ベクトル、ｕはシステムへの入力を表すベクトル、ｉは各モードを表す整数、Ａｉ，Ｂｉ，ｂｉはそのシステムのダイナミクスを表す行列であるシステムのためのフィードバック制御器を設計するための制御器設計装置であって、
【数１】
2013206408.tif 000010
ただしεは０＜＜ε＜＜１を満たし、ｊは遷移可能なモードを表す整数、Ｑｉ，Ｙｉは求めるべき行列である線形行列不等式を格納する記憶部と、
前記システムのダイナミクスを表す行列Ａｉ，Ｂｉ，ｂｉを取得して前記記憶部から読み込んだ線形行列不等式に適用する設定部と、
前記線形行列不等式を拘束条件とする凸最適化問題を数値計算により解くことにより状態フィードバックゲインＫｉ＝ＹｉＱｉ−１を求める算出部と、
を備えることを特徴とする制御器設計装置。
【請求項２】
前記フィードバック制御器は油圧装置を制御するための制御器であることを特徴とする制御器設計装置。
【請求項３】
離散時間区分的アファインシステムｘｋ＋１＝Ａｉｘｋ＋ｂｉ＋Ｂｉｕｋ、ただしｋは整数、ｘは状態変数ベクトル、ｕはシステムへの入力を表すベクトル、ｉは各モードを表す整数、Ａｉ，Ｂｉ，ｂｉはそのシステムのダイナミクスを表す行列であるシステムをフィードバック制御するための制御装置であって、
前記システムにおいて測定された状態量を取得する状態量取得部と、
【数２】
2013206408.tif 000011
ただしεは０＜ε＜＜１を満たし、ｊは遷移可能なモードを表す整数、Ｑｉ，Ｙｉは求めるべき行列である線形行列不等式拘束条件とする凸最適化問題を数値計算により解くことにより求めた状態フィードバックゲインＫｉ＝ＹｉＱｉ−１と、目標状態量と、前記状態量取得部が取得したシステムの状態測定値とを用いて、システムの状態量を目標状態量に一致させるための入力を求める入力算出部と、
前記入力を制御対象装置に与えるよう指示する指示部と、
を備えることを特徴とする制御装置。
【請求項４】
油圧装置を制御するための装置であることを特徴とする請求項３に記載の制御装置。
【請求項５】
離散時間区分的アファインシステムｘｋ＋１＝Ａｉｘｋ＋ｂｉ＋Ｂｉｕｋ、ただしｋは整数、ｘは状態変数ベクトル、ｕはシステムへの入力を表すベクトル、ｉは各モードを表す整数、Ａｉ，Ｂｉ，ｂｉはそのシステムのダイナミクスを表す行列であるシステムのためのフィードバック制御器を設計するための制御器設計方法であって、
コンピュータが、
【数３】
2013206408.tif 000012
ただしεは０＜ε＜＜１を満たし、ｊは遷移可能なモードを表す整数、Ｑｉ，Ｙｉは求めるべき行列である線形行列不等式を記憶部から読み出すステップと、
コンピュータが、前記システムのダイナミクスを表す行列Ａｉ，Ｂｉ，ｂｉを取得して前記記憶部から読み込んだ線形行列不等式に適用するステップと、
コンピュータが、前記線形行列不等式を拘束条件とする凸最適化問題を数値計算により解くことにより状態フィードバックゲインＫｉ＝ＹｉＱｉ−１を求めるステップと、
を備えることを特徴とする制御器設計方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、制御工学に関し、特に、離散時間区分的アファインシステムにおけるフィードバック制御器設計装置、フィードバック制御装置、及びフィードバック制御器設計方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
近年のコンピュータの高性能化に伴い、様々なシステム、例えばロボット、自動車、船舶、航空機、発電プラント、化学プロセス、エネルギー供給システム、交通システム等において状態フィードバック制御が用いられている。状態フィードバック制御においては、時々刻々変化する状態量を測定し、それに基づいて入力を定め、出力を目標の値に安定させる。
各システムのある瞬間の状態は、入力およびシステムの過去の状態によって決まる。このような各システムの特性をダイナミクスという。状態フィードバック制御にあたっては、制御対象となるシステムのダイナミクスを解析し、システムをモデル化し、安定的に目標出力値を得るための制御器を設計する。
【０００３】
システムのダイナミクスが線形である場合に適用できる線形システム論はすでに確立されているが、現実のシステムの大半は非線形ダイナミクスを持つと考えられる。
非線形システムを扱う方法の一つとして、システムの状態空間をいくつかの領域に区分し、それぞれの領域において線形近似してモデル化する方法がある。その典型的な例として区分的アファインシステム（piecewise affine system，以下「ＰＷＡシステム」ともよぶ）が挙げられる。ＰＷＡシステムは状態変数のなす空間において区分けされた各領域内では線形であるが、領域（以下、「モード」ともよぶ）によりダイナミクスが異なり、システム全体では非線形性を示す。
【０００４】
制御器設計方法として、線形行列不等式（Linear Matrix Inequalities, 以下「ＬＭＩ」ともよぶ）を用いたアプローチが知られている。この方法では、システムのダイナミクスを線形行列不等式に定式化し、凸最適化問題に帰着させ、数値計算により線形行列不等式の安定解を求めることで安定な制御器を設計する。
例えば非特許文献１には、線形行列不等式を用いて連続時間ＰＷＡシステムにおける安定性を解析する方法が記載されている。連続時間ＰＷＡシステムでは、システムのダイナミクスが微分方程式などの連続ダイナミクスを用いて記述される。
【０００５】
しかしながらコンピュータを用いて制御を行う場合、実際に利用される状態量の測定データやフィードバック制御信号は一定の時間間隔を持つ離散時間信号となる。したがって連続時間システムのモデルに基づいてフィードバック制御器を設計した場合であっても、実際の制御は離散時間すなわち所定の時間間隔のサンプリング時刻毎に行われる。
動特性の速いシステムすなわち入力に対する状態変化の反応が速いシステムにおいては、あるサンプリング時刻でフィードバック制御が行われた後、次のサンプリング時刻までにシステムの状態が大きく変化する場合があり、連続時間システムで設計したフィードバック制御器による安定的制御は難しい。
【０００６】
離散時間ＰＷＡシステムにおける状態量の変化は、漸化式で以下のように表現できる。
ｘｋ＋１＝Ａｉｘｋ＋ｂｉ＋Ｂｉｕｋ        （式１）
ここでｘは、例えば圧力、位置、角速度などのシステムの物理量を要素とする状態変数ベクトルであってｘ∈χｉ⊂Ｒｎ、ただしχｉは状態空間を区分けした領域を表すベクトルの集合である。なお、Ｒｎは実数を要素とするｎ次ベクトルを表す。ｕは例えばモータに与えるべきトルクなどの入力を表すベクトルであり、ｕ∈Ｒｍである。ｋは離散時間のサンプル点を示す整数、ｉは各領域を表す整数（以下、領域の「指数」ともよぶ）、Ｉ＝｛ｉ｜ｉ＝１，．．．，Ｍ｝はｉの集合、Ａｉ，Ｂｉ，ｂｉはそのシステムのダイナミクスを表す行列である。ここで、ｂｉをバイアス項とよぶ。
【０００７】
離散時間ＰＷＡシステムにおけるバイアス項取り扱いについての確立した理論はなく、従来の離散時間ＰＷＡシステムに関する制御器設計方法の多くは、例えば非特許文献２に示されるようにバイアス項を０としている。
あるいは例えば非特許文献３に示されるように、(式１)の行列Ａｉ、Ｂｉおよびベクトルｘ、ｕを以下のように拡大化、すなわち行列およびベクトルの行数や列数を増やし、バイアス項ｂｉを拡大行列Ｆｉに取り込み、バイアス項がないシステムとした上で従来の方法を適用している。
【数１】
2013206408.tif 000003
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００８】
【非特許文献１】Johansson, M., Rantzer, A., "Computation of piecewise quadratic Lyapunov functions for hybrid systems",  Automatic Control, IEEE Transactions, Apr. 1998, vol. 43, issue 4, p. 555-559
【非特許文献２】G. Ferrari-Trecate, F. A. Cuzzola, D. Mignone, and M. Morari, "Analysis and control with performance of piecewise affine and hybrid systems", Proc. American Control Conference 2001, vol. 1, p.200-205
【非特許文献３】G. Ferrari-Trecate, F.A. Cuzzola, D. Mignone, and M. Morari, "Analysis of discrete-time piecewise affine and hybrid systems", Automatica, 2002/12, Vol. 38, Issue 12, p. 2139-2146
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００９】
離散時間ＰＷＡシステムにおいてバイアス項を取り扱う場合、前述のようにバイアス項を行列に取り込む形にすると線形行列不等式の解の存在範囲は本来の解の存在範囲に比べてかなり狭くなる。そのため、本来はフィードバック制御器を設計可能なケースであっても、用いた線形行列不等式が安定解を含まないために安定したフィードバック制御器を設計できない場合がしばしば生じていた。
【００１０】
本発明はこうした状況に鑑みてなされたものであり、その目的は、離散時間区分的アファインシステムに適用可能なフィードバック制御器設計装置、フィードバック制御器、及びフィードバック制御器設計方法を提供することにある。
【課題を解決するための手段】
【００１１】
上記課題を解決するために、本発明のある態様の制御器設計装置は、離散時間区分的アファインシステムｘｋ＋１＝Ａｉｘｋ＋ｂｉ＋Ｂｉｕｋ、ただしｋは整数、ｘは状態変数ベクトル、ｕはシステムへの入力を表すベクトル、ｉは各モードを表す整数、Ａｉ，Ｂｉ，ｂｉはそのシステムのダイナミクスを表す行列であるシステムのためのフィードバック制御器を設計するための制御器設計装置であって、
【数２】
2013206408.tif 000004
ただしεは０＜ε＜＜１を満たし、ｊは遷移可能なモードを表す整数、Ｑｉ，Ｙｉは求めるべき行列である線形行列不等式を格納する記憶部と、システムのダイナミクスを表す行列Ａｉ，Ｂｉ，ｂｉを取得して記憶部から読み込んだ線形行列不等式に適用する設定部と、線形行列不等式を拘束条件とする凸最適化問題を数値計算により解くことにより状態フィードバックゲインＫｉ＝ＹｉＱｉ−１を求める算出部と、を備える。
【００１２】
この態様によると例えば、離散時間区分的アファインシステムで記述可能な系をフィードバック制御するための制御器を設計できる。
【００１３】
本発明のさらに別の態様は、離散時間区分的アファインシステムｘｋ＋１＝Ａｉｘｋ＋ｂｉ＋Ｂｉｕｋ、ただしｋは整数、ｘは状態変数ベクトル、ｕはシステムへの入力を表すベクトル、ｉは各モードを表す整数、Ａｉ，Ｂｉ，ｂｉはそのシステムのダイナミクスを表す行列であるシステムをフィードバック制御するための制御装置である。この装置はシステムにおいて測定された状態量を取得する状態量取得部と、（式３）の線形行列不等式、ただしεは０＜ε＜＜１を満たし、ｊは遷移可能なモードを表す整数、Ｑｉ，Ｙｉは求めるべき行列である線形行列不等式拘束条件とする凸最適化問題を数値計算により解くことにより求めた状態フィードバックゲインＫｉ＝ＹｉＱｉ−１と、目標状態量と、状態量取得部が取得したシステムの状態測定値とを用いて、システムの状態量を目標状態量に一致させるための入力を求める入力算出部と、入力を制御対象装置に与えるよう指示する指示部と、を備える。
【００１４】
この態様によると例えば、離散時間区分的アファインシステムで記述可能な系をフィードバック制御できる。
【００１５】
本発明のさらに別の態様は、制御器設計方法である。この方法は、  離散時間区分的アファインシステムｘｋ＋１＝Ａｉｘｋ＋ｂｉ＋Ｂｉｕｋ、ただしｋは整数、ｘは状態変数ベクトル、ｕはシステムへの入力を表すベクトル、ｉは各モードを表す整数、Ａｉ，Ｂｉ，ｂｉはそのシステムのダイナミクスを表す行列であるシステムのためのフィードバック制御器を設計するための制御器設計方法であって、（式３）の線形行列不等式、ただしεは０＜ε＜＜１を満たし、ｊは遷移可能なモードを表す整数、Ｑｉ，Ｙｉは求めるべき行列である線形行列不等式を記憶部から読み出すステップと、コンピュータが、システムのダイナミクスを表す行列Ａｉ，Ｂｉ，ｂｉを取得して記憶部から読み込んだ線形行列不等式に適用するステップと、コンピュータが、線形行列不等式を拘束条件とする凸最適化問題を数値計算により解くことにより状態フィードバックゲインＫｉ＝ＹｉＱｉ−１を求めるステップと、を備える。
【００１６】
この態様によると例えば、離散時間区分的アファインシステムで記述可能な系をフィードバック制御するための制御器を設計できる。
【００１７】
なお、以上の構成要素の任意の組合せ、本発明の表現を方法、装置、システム、記録媒体、コンピュータプログラムなどの間で変換したものもまた、本発明の態様として有効である。
【発明の効果】
【００１８】
本発明によれば、離散時間区分的アファインシステムに適用可能なフィードバック制御器を設計できる。
【図面の簡単な説明】
【００１９】
【図１】実施形態にかかる制御器設計装置の構成を示すブロック図である。
【図２】実施形態にかかる制御装置の構成を示すブロック図である。
【図３】制御器設計装置によるフィードバック制御器設計処理を示すフローチャートである。
【図４】制御装置のフィードバック制御処理を示すフローチャートである。
【図５】シミュレーション用の制御対象である油圧装置モデルを示す図である。
【図６】状態空間をωの値によって下記の三つの領域すなわちモードに区分けした流量モデルを示す図である。
【図７】図７（ａ）〜（ｄ）は、それぞれ、実施形態にかかる制御器による油圧モータのモータの角速度、推力、シリンダ速度、制御入力である入力トルクτについてフィードバック制御開始後の時間変化を示し、図７（ｅ）は、制御中のモードの切り替えを示す図である。
【図８】図８（ａ）〜（ｅ）は、図７（ａ）〜（ｅ）のグラフのそれぞれ０．０２秒までの時間変化を拡大して示した図である。
【図９】図９（ａ）〜（ｄ）は、それぞれ、従来技術にかかる制御器による油圧モータのモータの角速度、推力、シリンダ速度、制御入力である入力トルクτについてフィードバック制御開始後の時間変化を示し、図９（ｅ）は、制御中のモードの切り替えを示す図である。
【図１０】複数の状態変数に基づいて状態空間を区分する例を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００２０】
はじめに概要を説明する。
フィードバック制御器を設計するためには、状態変数ベクトルｘを目標値ｕｄに一致させるためにどのような制御入力ｕをシステムに与えるべきかがわかればよい。
偏差すなわち現在の状態変数ベクトルｘと目標値ｘｄとの差から与えるべき制御入力ｕを決める行列をＫとすると、制御入力ｕは以下の式で表される。
ｕ＝Ｋ（ｘ−ｘｄ）
フィードバック制御器の設計は、すなわち行列Ｋを求めることに帰着する。行列Ｋを状態フィードバックゲインとよぶ。
【００２１】
本発明者は、前述の（式１）に示すバイアス項を持つ離散時間ＰＷＡシステムのダイナミクスを以下の線形行列不等式に定式化して状態フィードバックゲインＫを求める方法を見出した。
すべてのｉ∈Ｉについて、
【数３】
2013206408.tif 000005
ただしεは０＜ε＜＜１を満たし、ｊは遷移可能なモードを表す整数であり、Ｑｉ，Ｙｉは求めるべき行列であり、状態フィードバックゲインはＫｉ＝ＹｉＱｉ−１として得られる。
なお、ｎ行ｎ列の対称行列ＡについてＡ＞０とは、行列の正定を意味し、任意の０でないベクトルｘ∈Ｒｎに対して、二次形式ｘＴＡｘ＞０を満たすことをいい、Ａの全ての固有値の実部が正であることと等価である。Ａ＜０は行列の負定を意味し、−Ａ＞０と等価である。
また行列内の＊は行列の対称成分の転置を表す。
【００２２】
以下、具体的に説明する。
図１は、実施形態にかかる制御器設計装置１０の構成を示すブロック図である。制御器設計装置１０は、制御器を設計するシステムについて解くべき線形行列不等式を定式化する設定部２０、線形行列不等式を定式化するために用いる上記（式３）を格納する制御器データ記憶部３０、定式化された線形行列不等式を満たす範囲で安定な状態フィードバックゲインを求める算出部４０を備える。
【００２３】
設定部２０は、システム情報取得部２２、離散化処理部２４、ＬＭＩ生成部２６を備える。
システム情報取得部２２は制御器を設計するシステムの情報を、ユーザから入出力装置５０を介して、または図示しないシステム情報記憶部から読み込むことにより取得する。
入出力装置５０は、スイッチや、キーボード、マウスやトラックボールなどのポインティングデバイス、タッチパネル、マイクロフォンなどで構成される操作部（図示せず）を含み、操作部を介してユーザからの指示を取得する。
【００２４】
システム情報取得部２２が取得するシステム情報は、例えばシステムの状態を示す微分方程式などの連続時間形式表現であってもよく、（式１）のように離散時間形式表現であってもよい。
連続時間形式表現の場合、離散化処理部２４はオイラー法等を用いて離散化し、（式１）の離散時間形式で表現する。ＬＭＩ生成部２６は、制御器データ記憶部３０から（式３）を読み出し、離散時間形式で表現されたシステム情報、すなわち（式１）の行列Ａｉ、ｂｉ、Ｂｉの具体的な値を代入して線形行列不等式を生成する。
【００２５】
算出部４０は、数値処理部４２、フィードバックゲイン生成部４４、プログラム生成部４６を含む。数値処理部４２は、ＬＭＩ生成部２６が生成した線形行列不等式を拘束条件とする凸最適化問題を数値計算により解き、安定解を示す行列ＹｉおよびＱｉを求める。フィードバックゲイン生成部４４は、行列ＹｉおよびＱｉから状態フィードバックゲインＫｉ＝ＹｉＱｉ−１を算出する。プログラム生成部４６は、状態フィードバックゲインを用いて制御用プログラム（以下、「制御器」ともいう）を生成し、制御器データ記憶部３０に格納するとともに入出力装置５０に送信する。入出力装置５０はディスプレイを含み、算出された状態フィードバックゲイン及び生成された制御用プログラムをディスプレイに表示し、ユーザに提示する。ディスプレイは、タッチディスプレイなどのユーザインタフェイスとして操作部（図示せず）と一体に形成されてもよい。
【００２６】
図２は、実施形態にかかる制御装置６０の構成を示すブロック図である。制御装置６０は、制御対象システム９０に送る動作指令を生成する動作指令生成部７０、制御対象システム９０の各モードにおける状態フィードバックゲインを格納するフィードバックゲイン記憶部７２、制御対象システム９０を目標状態に近づけるために、測定された状態量を取得し、それに基づいて制御入力を行うフィードバック制御部８０を備える。
【００２７】
フィードバック制御部８０は、指令取得部８２、状態量取得部８４、制御入力算出部８６、制御入力指令部８８を備える。
動作指令生成部７０は、ユーザからの指示により、またはあらかじめプログラムされた指示に従って制御対象システム９０の動作指令を作成し、制御対象システム９０に送信する。この際、動作指令生成部７０はフィードバック制御部８０に制御対象システム９０の目標状態量を受け渡す。指令取得部８２は動作指令生成部７０から目標状態量を取得し、状態量取得部８４は、制御対象システム９０の検出部９２が計測した状態量をサンプリング時刻毎に取得する。検出部９２は、例えば温度センサ、圧力センサ、位置センサなどで構成される。制御入力算出部８６は、状態量取得部８４が取得した状態量にもとづいて制御対象システム９０の現在のモードを決定し、モードに応じた状態フィードバックゲインをフィードバックゲイン記憶部７２から読み出す。そして状態量を目標値に近づけるための制御入力を算出する。制御入力指令部８８は、算出された制御入力を実現するよう制御対象システム９０の駆動部９４に指令を送る。
【００２８】
図１および図２に示す各ブロックは、ハードウェア的には、コンピュータのＣＰＵをはじめとする素子や機械装置で実現でき、ソフトウェア的にはコンピュータプログラム等によって実現されるが、ここでは、それらの連携によって実現される機能ブロックを描いている。したがって、これらの機能ブロックはハードウェア、ソフトウェアの組合せによっていろいろなかたちで実現できることは、当業者には理解されるところである。
【００２９】
以上の構成による動作は以下のとおりである。
図３は、実施形態にかかる制御器設計装置１０によるフィードバック制御器設計処理を示す。まず、システム情報取得部２２が、ユーザから、または図示しないシステム情報記憶部から制御対象システム９０に関する情報を取得する（Ｓ１０）。システム情報が連続時間形式表現である場合（Ｓ１２のＹ）、離散化処理部２４はオイラー法等を用いて（式１）の離散時間形式表現に変形し、ＬＭＩ生成部２６に受け渡す（Ｓ１４）。システム情報が離散形式表現である場合（Ｓ１２のＮ）、システム情報取得部２２はシステム情報をそのままＬＭＩ生成部２６に受け渡す。ＬＭＩ生成部２６は、制御器データ記憶部３０から（式３）の線形行列不等式を読み出し、システムのダイナミクスを示す行列Ａｉ、ｂｉ、Ｂｉの値を代入して線形行列不等式を生成する（Ｓ１６）。
【００３０】
数値処理部４２は、生成された線形不等式を拘束条件とする凸最適化問題を数値計算により解き、安定解ＹｉおよびＱｉを求める（Ｓ１８）。フィードバックゲイン生成部４４は、行列ＹｉおよびＱｉから状態フィードバックゲインＫｉを算出する（Ｓ２０）。プログラム生成部４６は算出された状態フィードバックゲインを用いて制御用プログラムを生成して（Ｓ２０）制御器データ記憶部３０に格納し、入出力装置５０がユーザに結果を提示して、フィードバック制御器設計処理は終了する。
【００３１】
これにより、バイアス項をもつＰＷＡシステムにおいてフィードバック制御器を設計することができる。この設計方法は、動特性の速いシステムにおいても有効である。
【００３２】
図４は、実施形態にかかる制御装置６０のフィードバック制御処理を示す。
まず、動作指令生成部７０が制御対象システム９０に対する動作指令を作成し制御対象システム９０に送信する。指令取得部８２は、動作指令生成部７０から目標状態量を取得する（Ｓ３０）。状態量取得部８４は、制御対象システム９０の検出部９２が計測した状態量を取得する（Ｓ３２）。制御入力算出部８６は、状態量取得部８４が取得した現在の状態量にもとづいて、制御対象システム９０の現在のモードを決定し、そのモードに応じた状態フィードバックゲインをフィードバックゲイン記憶部７２から読み込む（Ｓ３４）。制御入力算出部８６は、状態フィードバックゲインと、状態量取得部８４が取得した制御対象システム９０の状態量とから状態量を目標値に近づけるための制御入力を算出する（Ｓ３６）。制御入力指令部８８は、算出された制御入力を実現するよう制御対象システム９０の駆動部９４に指令を送る（Ｓ３８）。
【００３３】
フィードバック制御部８０が動作指令生成部７０からフィードバック制御処理終了指示を受けていなければ（Ｓ４０のＮ）、次のサンプリング時刻のタイミングで再び状態量取得部８４は、制御対象システム９０の検出部９２が計測した状態量を取得し（Ｓ３２）、以下、ステップ３４から３８の手順が繰り返される。フィードバック制御部８０が動作指令生成部７０からフィードバック制御処理終了指示を受けた場合（Ｓ４０のＹ)、本処理は終了する。
【００３４】
これにより、バイアス項をもつＰＷＡシステムにおけるフィードバック制御が可能となる。また、動特性の速いシステムにおいて、あるサンプリング時刻と次のサンプリング時刻との間、すなわち状態量測定もフィードバック制御もされてないときにシステムの状態が変化した場合であっても、安定的にフィードバック制御できる。
【００３５】
次に、実施形態にかかる線形行列不等式（式３）の導出過程を説明する。
本実施形態では（式１）に示した離散時間ＰＷＡシステムを制御対象とする。
例えば非特許文献３に示されるように、離散時間ＰＷＡシステムについては以下の定理１が成り立つ。
【００３６】
＜定理１＞
Ｉが有限であるとする。関数Ｖ（ｘ）＝ｘＴＰｉｘ，ｘ∈χｉが下記（式４）を満たすとき、平行点ｘ＝０が、ｉについての領域χｉの和集合χ＝∪χｉ上で指数安定である。
Ｖ（ｘｋ＋１）−Ｖ（ｘｋ）＜０，  ｘｋ∈χｉ，  ｘｋ＋１∈χｊ      （式４）
ただし∀ｉ∈Ｉ，∀ｊ∈Ｊｉ，  ここでＪｉはモードすなわち領域ｉから次の時刻に遷移可能な全てのモードの指数の集合とする。
【００３７】
指数ｉの領域χｉにおける状態フィードバックゲインＫｉを式ｕｋ＝Ｋｉｘｋ、ただしｘｋ∈χｉで定義する。
ここで、Ｆｉ＝Ａｉ＋ＢｉＫｉを定義すると（式１）のシステムは次の式で表せる。
ｘｋ＋１＝Ｆｉｘｋ＋ｂｉ      （式５）
【００３８】
（式５）に前述の定理１を適用すると以下の不等式を得る。
（ｘｋＴＦｉＴ＋ｂｉＴ）Ｐｊ（Ｆｉｘｋ＋ｂｉ）−ｘｋＴＰｉｘｋ＜０      （式６）
この式は下記（式７）と等価である。
【数４】
2013206408.tif 000006
（式７）に非特許文献２のTheorem2の式をＣｉ＝０，Ｂｉ（ω）＝ｂｉ、Ｄｉ＝０、γ＝０として適用し、整理すると次の線形行列不等式が得られる。
【数５】
2013206408.tif 000007
【００３９】
（式８）の線形行列不等式は、シュールの補行列(Schur complement)から分かるように(３，３)ブロックが０であるため、厳密には可解ではない、そのため数値計算上（３，３）ブロックをε＞０，ｓ．ｔ．│ε│＜＜１と置き換える。
このようにして(式３)の最終的に解くべき線形行列不等式が得られる。
全てのｉ∈Ｉについて、
【数６】
2013206408.tif 000008
ただしＱｉ＞０である。状態フィードバックゲインは、Ｋｉ＝ＹｉＱｉ−１として得られる。
【００４０】
次に、油圧装置の例を用いて実施形態にかかる方法により制御器を設計し、シミュレーションによってその有効性を検証した結果を示す。
図５は、シミュレーション用の制御対象である油圧装置モデル１００を示す。油圧装置モデル１００は、油圧モータ１０２、配管１０４、シリンダ１０６、ピストン１０８、ロッド１１０、負荷１１２を含む。油圧装置モデル１００は、油圧モータ１０２にトルクを与えて駆動させ、発生した油圧をピストン１０８の運動に変換し、ロッド１１０を介して負荷１１２に力を伝達する。なお、本モデルの油圧モータ１０２は、油圧モータと油圧ポンプを一体としてモデル化したものである。
【００４１】
油圧モータ１０２の角速度と送出される油流量は必ずしも比例せず、油圧モータ１０２の低速運転時に容積効率の低い、いわゆる不感帯がある場合がある。そこで、低速時の容積効率を高速時のα倍とし、低速と高速の切り換え速度をωＳＬとして流量Ｑをモデル化する。図６は、状態空間をωの値によって下記の三つの領域すなわちモードに区分けした流量モデルを示す。
Ｑ＝Ｗｐω−（１−α）ＷｐωＳＬ      （ω≧ωＳＬのとき）
Ｑ＝αＷｐω                        （｜ω｜＜ωＳＬのとき）
Ｑ＝Ｗｐω＋（１−α）ＷｐωＳＬ      （ω≦−ωＳＬのとき）
ただし、ωは油圧モータ１０２の角速度［ｒａｄ／ｓ］、Ｗｐは油圧モータ１０２の押しのけ容積［ｍ３／ｒａｄ］である。
【００４２】
ここで、油圧モータ１０２の運動方程式、推力の方程式、負荷１１２の運動方程式を用いて、システムの状態方程式は以下のようにモデル化した。
ｄｘ／ｄｔ＝Ａｉｘ＋Ｂｉｕ＋ｂｉ        (式９）
(式９）のＡｉ、Ｂｉ、ｂｉを以下に示す。
【数７】
2013206408.tif 000009
【００４３】
ここで、状態変数ベクトルはｘ＝［ω，ｆ，ｖ］Ｔ、制御入力ｕ＝τ、τは油圧モータ１０２への入力トルク［Ｎｍ］、ｘはピストン１０８の位置［ｍ／ｓ］、ｖはピストン１０８の速度すなわち負荷１１２の速度［ｍ／ｓ］、ｆは推力［Ｎ］、Ｍは負荷１１２の質量［ｋｇ］、ＢＬは粘性係数［Ｎ／（ｍ／ｓ）］、ＪＭは油圧モータ１０２の慣性モーメント［ｋｇｍ２］、Ｓ０はピストン面積［ｍ２］、Ｖ２およびＶ３は動作点におけるシリンダ容積［ｍ３］、Ｌは作動油の体積弾性係数［Ｎ／ｍ２］である。
【００４４】
シミュレーションに際して、Ｍ＝５００［ｋｇ］、ＢＬ＝２５００［Ｎ／（ｍ／ｓ）］、ＪＭ＝０．０１４８［ｋｇｍ２］、Ｓ０＝０．００１３［ｍ２］、Ｖ２＝５．８９×１０−４、Ｖ３＝４．０４×１０−４［ｍ３］、Ｌ＝１．２６×１０９［Ｐａ］、Ｗｐ＝２．５１×１０−６［ｍ３／ｒａｄ］、α＝０．０１、ωＳＬ＝０．００２［ｒａｄ／ｓ］の値を用いた。
【００４５】
（式９）をオイラー法を用いて離散時間ＰＷＡシステムに変形し、（式３）を適用して状態フィードバックゲインを求めることでフィードバック制御器を設計することができた。
比較のために、同じ油圧装置モデル１００による離散時間ＰＷＡシステムモデルに対して、従来の（式２）のいわゆる拡大化法を用いて線形不等式を作成した場合、線形不等式を満たす解の範囲が狭いために凸最適化問題が解けず、制御器の設計自体が不可能であった。
【００４６】
なお、実施形態にかかる（式３）を適用した制御器設計方法において、前述の負荷１１２の質量Ｍを変化させ、その他のパラメータを固定して同様に線形行列方程式を作成し、凸最適化問題が解けるか否か、すなわち制御器を設計可能か否か調べたところ、質量Ｍの値が２００ｋｇから５０００ｋｇの範囲で制御器を設計することができた。
【００４７】
このように実施形態にかかる装置および方法によると、バイアス項を有するシステムにおいて、従来の行列の拡大化によりバイアス項を扱う方法ではフィードバック制御器の設計が不可能な場合であっても、制御器の設計が可能となる場合があり、制御器設計の際のいわゆる保守性（conservativeness）を低減できる。
【００４８】
実施形態にかかる方法により設計したフィードバック制御器を用いて図６の油圧装置モデル１００に対する制御シミュレーションを行った。ここでは、サンプリング間隔５００μ秒とし、ｘｄ＝［０，０，０］Ｔを目標値として設定した。
図７（ａ）〜（ｃ）は、それぞれ、油圧モータ１０２のモータの角速度、推力、シリンダ速度すなわち負荷の速度についてフィードバック制御開始後の時間変化を示す。図７（ｄ）は、制御入力である入力トルクτについてフィードバック制御開始後の時間変化を示す。図７（ｅ）は、制御中のモードの切り替えを示す。
図８（ａ）〜（ｅ）は、図７（ａ）〜（ｅ）のグラフのそれぞれ０．０２秒までの時間変化を拡大して示す。
【００４９】
図７（ｅ）および図８（ｅ）に示されるようにモードの切り替えが生じており、複数領域に渡ってフィードバック制御が実行されているにもかかわらず、状態変数および制御入力が最終的に一定値に近づく安定した制御が行われている。
なお、図７（ａ）〜（ｅ）は、離散時間システムモデルについて設計した制御器を用いて、離散時間システムを制御するシミュレーションを行った結果を示しているが、同じ制御器を用いて連続時間システムを制御するシミュレーションを行った場合の結果も、図７（ａ）〜（ｅ）と同様、状態変数および制御入力が最終的に一定値に近づく安定した制御が行われていることが確認されている。
【００５０】
なお比較のために、従来の方法により同じ条件で連続時間ＰＷＡシステムについて設計したフィードバック制御器を用いて、図６の油圧装置モデル１００を制御するシミュレーションを行った。サンプリング間隔は５００μ秒、目標値はｘｄ＝［０，０，０］Ｔである。
図９（ａ）〜（ｃ）は、それぞれ、油圧モータ１０２のモータの角速度、推力、シリンダ速度すなわち負荷の速度についてフィードバック制御開始後の時間変化を示す。図９（ｄ）は、制御入力である入力トルクτについてフィードバック制御開始後の時間変化を示す。図９（ｅ）は、制御中のモードの切り替えを示す。
いずれの状態変数も短時間で発散している。
【００５１】
このように実施形態にかかる装置および方法によると、連続時間ＰＷＡシステムにより設計したフィードバック制御器では安定的に制御できないほどの速い動特性を有するシステムにおいても、例えば５００μ秒程度の実現可能な制御周期で安定した制御を実行できる。
【００５２】
以上、本発明を実施形態にもとづいて説明した。本発明は上記実施形態に限定されず、種々の設計変更が可能であり、様々な変形例が可能であること、またそうした変形例も本発明の範囲にあることは当業者に理解される。
【００５３】
実施形態においては制御対象システムとして油圧装置の例を挙げたが、本発明は、発電機、エレベータ、ロボット、自動車、船舶、航空機、発電プラント、化学プロセス、エネルギー供給システム、交通システム等など、状態フィードバック制御が用いられる様々なシステムに適用できる。
【００５４】
また、実施形態においては、一つの状態変数によって三つの領域に分けるＰＷＡシステムの例を示したが、複数の変数によって領域を区分してもよい。例えば、ロッドがピストンの片側のみにある油圧シリンダの場合、ピストンのヘッド側の受圧面積と、ロッド側の受圧面積が異なるため、ピストンの速度の向きによって状態方程式が異なる。
このような場合は、前述の油圧モータ１０２の角速度ωによる領域区分に加えてさらにピストン速度の向きより６個の領域に区分してもよい。
【００５５】
図１０は、複数の状態変数に基づいて状態空間を区分する例を示す。この例では、油圧モータ１０２の角速度ωおよびピストン速度ｖにより、状態空間を第１領域１２０（ω≧ωＳＬ、ｖ＞０）、第２領域１２２（｜ω｜＜ωＳＬ、ｖ＞０）、第３領域１２４（ω≦−ωＳＬ、ｖ＞０）、第４領域１２６（ω≧ωＳＬ、ｖ＜０）、第５領域１２８（｜ω｜＜ωＳＬ、ｖ＜０）、第６領域１３０（ω≦−ωＳＬ、ｖ＜０）の６個の領域に区分している。それぞれの区分についてダイナミクスを表す式を作成し、実施形態と同様の方法で線形行列不等式を定式化し、状態フィードバックゲインを求めることができる。
【産業上の利用可能性】
【００５６】
以上のように本発明は、フィードバック制御に利用可能である。
【符号の説明】
【００５７】
１０  制御器設計装置、  ２０  設定部、  ４０  算出部、  ６０  制御装置、  ８４  状態量取得部、  ９２  検出部。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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