(57)【要約】【課題】制御ゲインを大きくした際に生じるシステムの安定性の低下を抑制することができる送り駆動系を提供する。【解決手段】静止した案内レール上を移動し、かつ被加工物が置かれるテーブルを所定の位置へ移動させる送り駆動機構１０１と、テーブルの案内レールに対する変位を示すフィードバック情報に基づいて、テーブルを所定の位置へ移動させるための移動制御信号を生成して送り駆動機構へ出力する制御装置１０２とから構成される送り駆動系において、フィードバック情報に基づいて、前記送り駆動機構における仮想的な摩擦力を示す第１の制御信号を生成する補償器１０３を備え、送り駆動機構は、制御装置から出力される移動制御信号と、生成された第１の制御信号とを用いてテーブルの所定の位置への移動を行うよう構成されている。【選択図】図１
2013254231.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
静止した案内レール上を移動し、かつ被加工物が置かれるテーブルを所定の位置へ移動させる送り駆動機構と、前記テーブルの前記案内レールに対する変位を示すフィードバック情報に基づいて、前記テーブルを前記所定の位置へ移動させるための移動制御信号を生成して前記送り駆動機構へ出力する制御装置とから構成される送り駆動系において、
前記フィードバック情報に基づいて、前記送り駆動機構における仮想的な摩擦力を示す第１の制御信号を生成する補償器を備え、
前記送り駆動機構は、前記制御装置から出力される前記移動制御信号と、前記生成された第１の制御信号とを用いて前記テーブルの前記所定の位置への移動を行うよう構成されていることを特徴とする送り駆動系。
【請求項２】
前記補償器は、前記テーブルの変位及び前記テーブルの変位を微分した速度を変数とする関数からなる第１の生成モデルを用いて前記第１の制御信号を生成することを特徴とする請求項１に記載の送り駆動系。
【請求項３】
前記補償器は、前記フィードバック情報に基づいて、前記送り駆動機構において現実に発生している摩擦力を相殺するための第２の制御信号を更に生成し、
前記送り駆動機構は、前記移動制御信号と、前記第１の制御信号と、前記生成された前記第２の制御信号とを用いて前記テーブルの前記所定の位置への移動を行うよう構成されていることを特徴とする請求項１又は２に記載の送り駆動系。
【請求項４】
前記補償器は、前記テーブルの変位及び前記テーブルの変位を微分した速度を変数とする関数からなる第２の生成モデルを用いて前記第２の制御信号を生成することを特徴とする請求項３に記載の送り駆動系。
【請求項５】
前記補償器は、前記テーブルの変位及び前記テーブルの変位を微分した速度を変数とし、仮想の剛性Ｋ及び仮想の粘性減衰係数Ｃを係数とする関数からなる第１の生成モデルを用いて前記第１の制御信号を生成することを特徴とする請求項１乃至４のいずれか１項に記載の送り駆動系。
【請求項６】
請求項５に記載の送り駆動系の設計方法において、
位置制御系の固有周波数をω０とし、前記テーブルの質量をＭとし、変換定数をＫｆとして、次式
【数１】
2013254231.tif 000021
を満たす無次元数α及び速度比例ゲインＫｖｐを決定するステップと、
α＝２βとして、決定した無次元数α及び速度比例ゲインＫｖｐを次式
【数２】
2013254231.tif 000022
に代入して速度積分ゲインＫｖｉを決定するステップと、
決定した速度比例ゲインＫｖｐ及び速度積分ゲインＫｖｉを次式
【数３】
2013254231.tif 000023
に代入して仮想の粘性減衰係数Ｃ及び仮想の剛性Ｋを決定するステップとを含むことを特徴とする送り駆動系の設計方法。
【請求項７】
前記制御装置は、位置指令に対する制御遅れを補正するためのフィードフォワード補償器を備え、
前記フィードフォワード補償器を、ラプラス演算子をｓとすると、次式の関数によって設計することを特徴とする請求項６に記載の送り駆動系の設計方法。
【数４】
2013254231.tif 000024
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、工作機械や半導体露光装置などにおけるテーブルの位置決めを制御する送り駆動系及び送り駆動系の設計方法（単に駆動系あるいは駆動システムとも言う）に関する。
【背景技術】
【０００２】
被加工物などが置かれるテーブル（ステージとも言う）の位置決めに用いられる送り駆動機構は、主に駆動力を発生するアクチュエータ、アクチュエータの回転運動を直線運動に変換するボールねじ、直線運動を案内する直動案内の３要素によって構成される。この送り駆動機構と制御装置を組み合せたシステムは送り駆動系と呼ばれる。送り駆動系の位置決め制御は、多くの場合、古典制御理論に基づきフィードバック制御系を構築することによって実現されている。高精度の位置決めを達成するための制御技術はこれまでにも多く提案されている。
【０００３】
制御ゲイン（サーボゲインとも言う）を大きく設定できるようにすることで問題解決を図ろうとする技術としては、例えば特許文献１に開示されているように、機械共振の位相特性を改善させるという手段が提案されている。また、動作の安定化を目的とする技術としては、例えば特許文献２から４に開示されているように、動作速度に応じて制御ゲインをリアルタイムに変化させるという手段も提案されている。多くの位置決め制御にはフィードバック制御系が用いられる。これは、制御ゲインを高めることにより、高精度の位置決め、並びに外乱や非線形要素の影響の除去を実現できるためである。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００４】
【特許文献１】特開平０５−２８５７８６号公報（要約）
【特許文献２】特開平０７−６４６４４号公報（要約）
【特許文献３】特開平１１−２８２５３８号公報（要約）
【特許文献４】特開２００６−７９５２６号公報（要約）
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
しかし、機械の剛性、固有振動、摩擦力、ロストモーションなどの影響、さらには駆動モータなど能動要素の出力の限界などの影響によって、制御ゲインを大きくとりすぎると自励振動や発振などの問題を引き起こす。したがって、サーボ系の安定化のためには制御ゲインをある程度低くとる必要があるが、この場合、応答が鈍重になり、目標値の変化に追従できなくなり、動的偏差が生じるといった問題がある。このように、位置決め制御系においては、サーボゲインを大きくすることで速応性を向上できるが、一方でシステムの安定性は低下してしまう。
【０００６】
近年、アクチュエータとしてリニアモータを用いた送り駆動系が多く用いられる。このタイプの送り駆動機構では運動変換機構が不要であるため、機械的接触部は直動案内部のみとなる。案内機構には直動転がり案内が多く用いられるが、この場合、褶動抵抗が低減されることにより高速化が容易になる。しかし、その一方で、低摩擦であることによって送り方向の動剛性が低下し、制御系に組み込んだ際にサーボゲインを高くすると発振しやすくなるといった欠点がある。
【０００７】
本発明は、上記問題点に鑑み、送り駆動系に対し、制御的に仮想減衰を与えることで振動減衰性を高め、制御ゲインを大きくした際に生じるシステムの安定性の低下を抑制する
ことができる送り駆動系を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
（１）上記目的を達成するために、本発明によれば、静止した案内レール上を移動し、かつ被加工物が置かれるテーブルを所定の位置へ移動させる送り駆動機構と、前記テーブルの前記案内レールに対する変位を示すフィードバック情報に基づいて、前記テーブルを前記所定の位置へ移動させるための移動制御信号を生成して前記送り駆動機構へ出力する制御装置とから構成される送り駆動系において、前記フィードバック情報に基づいて、前記送り駆動機構における仮想的な摩擦力を示す第１の制御信号を生成する補償器を備え、前記送り駆動機構は、前記制御装置から出力される前記移動制御信号と、前記生成された第１の制御信号とを用いて前記テーブルの前記所定の位置への移動を行うよう構成されていることを特徴とする送り駆動系が提供される。この構成により、振動減衰性を高め、制御ゲインを大きくした際に生じるシステムの安定性の低下を抑制することができる。ここで、所定の位置への移動は、所定の位置への位置決めとも言う。また、「前記テーブルの前記案内レールに対する変位を示すフィードバック情報」とは、センサによって直接検出された前記テーブルの変位を示す情報でもよいし、前記テーブルを移動させるモータの回転角度を示す情報でもよい。
【０００９】
（２）また、本発明の送り駆動系において、前記補償器が、前記テーブルの変位及び前記テーブルの変位を微分した速度を変数とする関数からなる第１の生成モデルを用いて前記第１の制御信号を生成することは、本発明の好ましい態様である。この構成により、より振動減衰性を高めることができる。
【００１０】
（３）また、本発明の送り駆動系において、前記補償器が、前記フィードバック情報に基づいて、前記送り駆動機構において現実に発生している摩擦力を相殺するための第２の制御信号を更に生成し、前記送り駆動機構が、前記移動制御信号と、前記第１の制御信号と、前記生成された前記第２の制御信号とを用いて前記テーブルの前記所定の位置への移動を行うよう構成されていることは、本発明の好ましい態様である。この構成により、より広範囲の変位領域で良好なステップ応答を得ることができる。
【００１１】
（４）また、本発明の送り駆動系において、前記補償器が、前記テーブルの変位及び前記テーブルの変位を微分した速度を変数とする関数からなる第２の生成モデルを用いて前記第２の制御信号を生成することは、本発明の好ましい態様である。この構成により、より振動減衰性を高めることができる。
【００１２】
（５）また、本発明の送り駆動系において、前記補償器が、前記テーブルの変位及び前記テーブルの変位を微分した速度を変数とし、仮想の剛性Ｋ及び仮想の粘性減衰係数Ｃを係数とする関数からなる第１の生成モデルを用いて前記第１の制御信号を生成してもよい。
【００１３】
（６）また、本発明の送り駆動系の設定方法は、位置制御系の固有周波数をω０とし、前記テーブルの質量をＭとし、変換定数をＫｆとして、次式
【００１４】
【数１】
2013254231.tif 000003
を満たす無次元数α及び速度比例ゲインＫｖｐを決定するステップと、α＝２βとして、決定した無次元数α及び速度比例ゲインＫｖｐを次式
【００１５】
【数２】
2013254231.tif 000004
に代入して速度積分ゲインＫｖｉを決定するステップと、決定した速度比例ゲインＫｖｐ及び速度積分ゲインＫｖｉを次式
【００１６】
【数３】
2013254231.tif 000005
に代入して仮想の粘性減衰係数Ｃ及び仮想の剛性Ｋを決定するステップとを含む。この構成により、送り駆動系において良好な応答特性を実現するために必要なパラメータの値を容易に決定することができる。
【００１７】
（７）また、本発明の送り駆動系の設定方法は、前記制御装置が、位置指令に対する制御遅れを補正するためのフィードフォワード補償器を備え、前記フィードフォワード補償器を、ラプラス演算子をｓとすると、次式の関数によって設計してもよい。
【００１８】
【数４】
2013254231.tif 000006
【００１９】
この構成により、円弧補間運動時の半径減少を補正するために必要なフィードフォワード補償器のパラメータを容易に決定することができる。
【発明の効果】
【００２０】
本発明の送り駆動系は、上記構成を有し、振動減衰性を高め、制御ゲインを大きくした際に生じるシステムの安定性の低下を抑制することができる。
【図面の簡単な説明】
【００２１】
【図１】本発明の第１の実施の形態に係る送り駆動系の構成の一例を示す図である。
【図２】本発明の第１から３の実施の形態におけるロッド型リニアモータ駆動の送り駆動系の数学モデルを示す図である。
【図３ａ】本発明の第１の実施の形態における摩擦モデルＡ又は摩擦モデルＢのパラメータを適用した際の変位ステップ応答のシミュレーション結果の一例であって、ｒ＝５０μｍの場合を示す図である。
【図３ｂ】本発明の第１の実施の形態における摩擦モデルＡ又は摩擦モデルＢのパラメータを適用した際の変位ステップ応答のシミュレーション結果の一例であって、入力ステップ高さｒ＝２５０μｍの場合を示す図である。
【図４ａ】本発明の第１の実施の形態におけるリニアモータ駆動の送り駆動系の変位ステップ応答実験の結果の一例であって、入力ステップ高さｒ＝５μｍの場合を示す図である。
【図４ｂ】本発明の第１の実施の形態におけるリニアモータ駆動の送り駆動系の変位ステップ応答実験の結果の一例であって、入力ステップ高さｒ＝５０μｍの場合を示す図である。
【図４ｃ】本発明の第１の実施の形態におけるリニアモータ駆動の送り駆動系の変位ステップ応答実験の結果の一例であって、入力ステップ高さｒ＝５００μｍの場合を示す図である。
【図５】本発明の第１の実施の形態における立ち上がり時間、整定時間、行過ぎ量の算出結果の一例を示す図である。
【図６】本発明の第２、３の実施の形態における補償器（摩擦モデルＡと摩擦モデルＢ、摩擦モデルＡのみ、摩擦モデルＢのみ）がある場合と補償器がない場合のステップ応答波形の結果の一例を示す図である。
【図７】図６において位置比例ゲインを３５０ｓ−１から７００ｓ−１にした場合における補償器（摩擦モデルＡと摩擦モデルＢ、摩擦モデルＡのみ、摩擦モデルＢのみ）がある場合と補償器がない場合のステップ応答波形の結果の一例を示す図である。
【図８】本発明の第２、３の実施の形態における補償器（摩擦モデルＡのみ）がある場合と補償器がない場合のステップ応答波形の結果であって、速度比例ゲインを５ｓ／ｍから１５ｓ／ｍにした場合の結果の一例を示す図である。
【図９】本発明の第４の実施の形態におけるリニアモータ駆動の送り駆動系の変位ステップ応答実験の結果を示す図である。
【図１０】本発明の第４の実施の形態におけるリニアモータ駆動の送り駆動系の円弧補間運動の実験の結果であって、指令半径２５ｍｍ、送り速度３ｍ／ｍｉｎの場合を示す図である。
【図１１】フィードフォワード制御の制御則を適用した位置制御系を示す図である。
【図１２】本発明の第４の実施の形態におけるフィードフォワード補償器を適用したリニアモータ駆動の送り駆動系の円弧補間運動の実験の結果であって、指令半径２５ｍｍ、送り速度３ｍ／ｍｉｎの場合を示す図である。
【図１３】本発明の第４の実施の形態におけるボールねじ駆動の送り駆動系の変位ステップ応答実験の結果を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００２２】
＜第１の実施の形態＞
以下、本発明の第１の実施の形態について述べる。フィードバック制御による工作機械、産業機械、ロボットなどの送り駆動系は、一般に位置ループをメジャーループとし、速度ループをマイナーループとするカスケード型の制御系で構成されている。速度ループでは、速度制御器により速度指令値と速度フィードバック値との偏差をなくすようにサーボモータを制御する。本発明は、カスケード型位置制御系に対して補償器１０３を配置した、図１に示すような送り駆動系において実施される。
【００２３】
ここで、ｒは位置指令値、ｘはテーブル変位、Ｋｐｐは位置比例ゲイン、Ｋｖｐは速度比例ゲイン、Ｋｖｉは速度積分ゲイン、Ｆはモータの駆動力を表す。送り駆動機構１０１のテーブル変位ｘはリニアエンコーダによって検出され、補償器１０３にフィードバックされる。補償器１０３によって生成された補償値（第１及び第２の制御信号）はコントローラ（制御器）１０２からの信号（位置決め制御信号）とともにサーボアンプ（サーボ増幅器）１０４に入力され、モータを駆動する。モータの駆動により、送り駆動機構１０１のテーブルが不図示の案内機構を介して移動する。
【００２４】
補償器１０３は、変位のフィードバック値とその微分値である速度とを変数とする摩擦力の数学モデルＡ及びＢを備えている。数学モデルＡ及びＢは、摩擦モデルＡ及びＢとも言い、上述の第２の生成モデル及び第１の生成モデルにそれぞれ相当する。これらの摩擦モデルは、制御対象である送り駆動機構１０１に発生する摩擦力（リニアモータ駆動の場合、サーボアンプ１０４のアナログモニタ（不図示）に記録される推力指令に等しくなる）を、変位及び速度の関数としてモデル化したものであり、いずれも以下のような数式（１）で表現される。
【００２５】
【数５】
2013254231.tif 000007
【００２６】
ここで、ｘは変位、ｖは速度を表す。数式（１）の第一項は摩擦力の変位依存性、第二項は摩擦力の速度依存性を表現している。変位ｘと速度ｖ以外の複数のパラメータは定数であり、これらは送り駆動系に運動を行わせたときに測定される摩擦力と変位、及び摩擦力と速度との関係から同定される。パラメータの同定にあたっては、摩擦モデルを送り駆動系の数学モデルに組み込み、実験と同一の運動指令を与えて実機の挙動のシミュレーションを行う。そして、シミュレーション結果と実験結果とが一致するように、試行錯誤的にパラメータを決定する。摩擦モデルのパラメータを決定するためのシミュレーションモデルの例として、ロッド型リニアモータ駆動の送り駆動系の数学モデルを図２に示す。ここで、Ｍは移動体の質量［ｋｇ］を表す。
【００２７】
図１に示す補償器１０３において、摩擦モデルＡには上記の方法で同定したパラメータをそのまま用いる。一方、摩擦モデルＢには摩擦モデルＡに用いたパラメータをもとに、任意の摩擦特性を実現するように変更して用いる。ここで、任意の摩擦特性とは、ステップ応答のシミュレーションにおいて、振動減衰性の高い結果を得られるような摩擦特性である。図２のモデルに対し、摩擦モデルＡ又は摩擦モデルＢのパラメータを適用した際の変位ステップ応答のシミュレーション結果を図３ａ、図３ｂに示す。入力ステップ高さｒは５０、２５０μｍである。図３ａ、図３ｂに示す応答波形から、摩擦モデルＡを適用した場合に比べ、摩擦モデルＢを適用した場合の方が、明らかに振動減衰性が高いことがわかる。
【００２８】
以上の事実に基づき、送り駆動機構１０１に現実に作用している摩擦力を摩擦モデルＡによって相殺し、摩擦モデルＢによって表現される摩擦特性を見かけ上実現することで、システムの振動減衰性を向上させる。本発明である補償器１０３は、このような動作を可能とする設計となっており、その効果を後述する実験によって確認した。
【００２９】
本願の発明の実施例として、リニアモータ駆動の送り駆動系の変位ステップ応答実験を行った。実験に用いた制御系は図１に示したものと同様である。制御ゲインＫｐｐ、Ｋｖｐ、及びＫｖｉの値は一定とし、複数の入力ステップ高さｒ［μｍ]において実験を行い、補償器１０３の効果を評価した。その結果を図４ａから図４ｃに示す。淡線は補償器１０３を適用しない場合、濃線は補償器１０３を適用した場合の実験結果を表す。
【００３０】
図４ａから図４ｃに示すように、補償器１０３を適用した場合には、いずれの入力ステップ高さにおいても振動減衰性が向上していることがわかる。このことを定量的に評価するために、ステップ応答の性能指標として、立ち上がり時間（応答が目標値の１０％から９０％まで立ち上がるまでに要する時間）、整定時間（応答が目標値の±２％以内に収まるまでに要する時間）、行過ぎ量をそれぞれ算出した。その算出結果を図５に示す。
【００３１】
図５に示すように、補償器１０３を適用した場合、立ち上がり時間についてはほとんど変化がないものの、整定時間は短縮されることがわかる。また、行過ぎ量も小さくなっている。以上のことは、いずれの入力ステップ高さの場合においても確認された。つまり、補償器１０３を適用することにより、速応性に影響を及ぼすことなく動的偏差を低減し、振動減衰性を向上することが実験によって確認された。
【００３２】
以上のことから、本発明によれば、送り駆動系の位置決め制御系の安定性を向上させるとともに、動的偏差を低減する効果を得ることができる。さらに、Ｐ−ＰＩ型の位置制御系の場合、この効果によって位置比例ゲインを大きくとることが可能になることから、ステップ応答時の立ち上がりの改善などが同時に実現できる。また、仮想減衰として用いる摩擦モデルは、運動変位領域や運動速度によって変化するので、運動条件に応じて任意の特性を実現できる。このことから、運動条件に応じて適切な大きさの減衰を与えることができ、単なるＰＩＤ制御よりも有用性が高いと考えられる。
【００３３】
＜第２の実施の形態＞
第２の実施の形態では、補償器１０３を上述した摩擦モデルＡのみで構成した場合について説明する。上述した補償器１０３の補償の効果に関して、補償器１０３を摩擦モデルＡのみで構成した場合についても検証し、その結果を図６の（３）に示す。図６の（３）に示すように、補償器１０３を摩擦モデルＡのみで構成した場合には、送り方向の減衰が低下し、応答が振動的になる。また、位置比例ゲインＫｐｐのみを３５０ｓ−１から７００ｓ−１にした場合の補償の効果について検証し、その検証結果を図７の（３）に示す。図７の（３）に示すように、補償器１０３を摩擦モデルＡのみで構成した場合には、持続振動若しくは発振を引き起こす。このことは、送り駆動機構に減衰作用を与えている摩擦力が摩擦モデルＡによって相殺され、振動減衰性が低下することに起因すると考えられる。
【００３４】
補償器１０３を摩擦モデルＡのみで構成した場合、すなわち、摩擦力が送り駆動機構に作用しないと仮定した場合、制御系に減衰効果を与えるのは速度比例ゲインＫｖｐのみである。そこで、速度比例ゲインＫｖｐのみを５ｓ／ｍから１５ｓ／ｍへ変更しステップ応答を測定して比較し、その結果を図８に示す。図８に示すように、補償器１０３を摩擦モデルＡのみで構成した場合に速度比例ゲインを大きくすると、位置指令値（目標値）ｒ＝５０、５００μｍの場合の応答波形は、速度比例ゲインを低く設定した際（Ｋｖｐ＝５ｓ／ｍ）の補償なしの場合とほぼ一致する。
【００３５】
以上の検証結果から、機構に作用する摩擦力には制御系に減衰効果を与えており、第１の実施の形態のように、補償器１０３を摩擦モデルＡと摩擦モデルＢで構成した場合には、実機（送り駆動機構）の摩擦特性を摩擦モデルＡによって相殺できることが確認された。したがって、機構の摩擦特性を摩擦モデルＢの仮想の摩擦特性へと変換する際に、摩擦モデルＡによる摩擦相殺が有効に作用していることがわかる。
【００３６】
＜第３の実施の形態＞
第３の実施の形態では、補償器１０３を上述した摩擦モデルＢのみで構成した場合について説明する。上述した補償器１０３の補償の効果に関して、補償器１０３を摩擦モデルＢのみで構成した場合についても検証し、その結果を図６の（２）に示す。図６の（２）に示すように、摩擦モデルＢを適用した場合には、摩擦モデルＡによる摩擦相殺の有無に関わらずオーバーシュートが低減される。ただし、摩擦モデルＡによる摩擦相殺がない場合には、ｒ＝５μｍのときの立ち上がりが鈍重になってしまう。また、第２の実施の形態と同様に、位置比例ゲインＫｐｐを３５０ｓ−１から７００ｓ−１にした場合の補償の効果について検証し、その検証結果を図７の（２）に示す。図７の（１）と（２）とを比較すと、摩擦モデルＢを適用した場合には、摩擦モデルＡによる摩擦相殺の有無に関わらず振動減衰性は良好となることがわかる。ただし、摩擦モデルＡによる摩擦相殺がない場合には、ｒ＝５μｍのときの立ち上がりが鈍重になってしまう。
【００３７】
なお、第１から第３の実施の形態ではリニアモータ駆動の送り駆動系について説明したが、ボールねじ駆動の送り駆動系であっても同様に実施可能である。
＜第４の実施の形態＞
第４の実施の形態では、第１の実施形態と同様に、リニアモータ駆動の送り駆動系において、補償器１０３を、摩擦モデルＡ（第２の生成モデル）と摩擦モデルＢ（第１の生成モデル）とで構成し、摩擦モデルＡを、式（１）で表される非線形摩擦モデル（現実に発生している摩擦力を表すモデル）で表現する。また、第４の実施の形態では、第１の実施の形態とは異なり、摩擦モデルＢを、次式（２）で表される線形摩擦モデルで表現する。
【００３８】
【数６】
2013254231.tif 000008
【００３９】
すなわち、式（１）の非線形摩擦モデルは、変位ｘに依存する剛性Ｋ（ｘ）と、速度ｖに依存する粘性減衰係数Ｃ（ｘ）で表現されるのに対して、式（２）の線形摩擦モデルは、変位ｘに依存しない仮想の剛性Ｋと、速度ｖに依存しない仮想の粘性減衰係数Ｃで表現される。
【００４０】
補償器１０３は、これら摩擦モデルＡ、Ｂの出力の差ｆＡ−ｆＢを補償値として出力する。補償値を制御器１０２からの出力ｕに加えることにより、送り駆動機構１０１に現実に作用している摩擦力を非線形摩擦力ｆＡによって相殺し、仮想的な線形摩擦力ｆＢに置換するような推力指令Ｆ（駆動力）を実現する。
【００４１】
以下、剛性Ｋ及び粘性減衰係数Ｃの値と、各制御ゲイン（位置比例ゲインＫｐｐ［ｓ−１]、速度比例ゲインＫｖｐ［ｓ／ｍ]及び速度積分ゲインＫｖｉ［ｍ−１]）の値を決定する送り駆動系の設計方法について説明する。
【００４２】
送り駆動機構１０１の非線形摩擦力が、補償器１０３によって仮想線形摩擦力ｆＢに完全に置換されると仮定すると、速度指令ｖｒ［ｍ／ｓ]からテーブル速度ｖ［ｍ／ｓ]までの伝達関数（速度ループの伝達関数）は、次式（３）で表される。
【００４３】
【数７】
2013254231.tif 000009
【００４４】
ここで、Ｋｆは、サーボアンプ１０４の推力変換定数［Ｎ］であり、ｓは、ラプラス演算子である。このとき、減衰Ｃ［Ｎｓ／ｍ]及び剛性Ｋ［Ｎ／ｍ]を、それぞれ式（４）、式（５）のように定義すると、式（３）は、式（６）のように整理することができる。
【００４５】
【数８】
2013254231.tif 000010
【００４６】
ここで、αとβは任意の無次元定数である。α＝β＝１のとき、Ｃ＝Ｋ＝０であり、式（６）は、補償器１０３を適用しない場合の速度ループの伝達関数に等しくなる。一方、
補償器１０３を適用した場合、速度積分ゲインＫｖｉが次式（７）を満たすときに、式（６）は２重極をもち、速度ループの応答は臨界制動となる。
【００４７】
【数９】
2013254231.tif 000011
【００４８】
速度積分ゲインＫｖｉが式（７）を満たすとき、式（６）は、次式（８）のように整理することができる。
【００４９】
【数１０】
2013254231.tif 000012
【００５０】
さらに、α＝２βを満たすとき、安定な極零相殺が生じ、式（８）は、次式（９）のように変形することができる。
【００５１】
【数１１】
2013254231.tif 000013
【００５２】
速度ループの伝達関数が式（９）のように表される場合、位置指令ｒ［ｍ]からテーブル変位ｘ［ｍ]までの伝達関数（位置ループの伝達関数）は、次式（１０）で表される。
【００５３】
【数１２】
2013254231.tif 000014
【００５４】
このとき、伝達関数が２重極をもつように、位置比例ゲインＫｐｐを次式（１１）のように定義すると、式（１０）は、式（１２）のように整理することができる。
【００５５】
【数１３】
2013254231.tif 000015
【００５６】
ここで、ω０は、制御器１０２の位置制御系の固有周波数［ｒａｄ／ｓ]であり、次式（１３）で表される。
【００５７】
【数１４】
2013254231.tif 000016
【００５８】
以上から、仮想摩擦を考慮した制御ゲインの設定を行うことで、制御器１０２の位置制御系の速度ループ及び位置ループの伝達関数の次元を低減できることが示された。
【００５９】
すなわち、次の手順（１）〜（３）によって決定した、各制御ゲイン（位置比例ゲインＫｐｐ、速度比例ゲインＫｖｐ及び速度積分ゲインＫｖｉ）、剛性Ｋ、粘性減衰係数Ｃを用いることで、位置制御系において臨界制動を実現できると考えられる。
（１）位置制御系の固有周波数ω０、推力変換定数Ｋｆ、及びテーブルの質量Ｍを指定し、式（１３）を満たすような、無次元数α及び速度比例ゲインＫｖｐを決定する。
（２）α＝２βとして、決定した無次元数α及び速度比例ゲインＫｖｐを、式（７）及び式（１１）に代入して、速度積分ゲインＫｖｉ及び位置比例ゲインＫｐｐを決定する。
（３）決定した速度比例ゲインＫｖｐ及び速度積分ゲインＫｖｉを、式（４）及び式（５）に代入して、仮想粘性減衰係数Ｃ及び仮想剛性Ｋを決定する。
【００６０】
このように、手順（１）でαと制御ゲインＫｖｐを決定すれば、制御器１０２で用いる他の制御ゲインＫｖｉ、Ｋｖｐと、補償器１０３の摩擦モデルＢで用いる剛性Ｋ及び減数係数Ｃとを、試行錯誤することなく数式から一義的に求めることができる。すなわち、本実施形態の送り駆動系の設計手法によれば、送り駆動系において良好な応答特性を実現するために必要なパラメータの値を容易に決定することができる。
【００６１】
本実施形態の設計手法の有効性を評価するために、変位ステップ応答のシミュレーション及び実験を行った。実験では、比較のために、補償器１０３を適用せず、かつ従来法によって決定した制御ゲインを用いた場合の応答曲線も取得した。
【００６２】
ここで、従来法とは、式（３）においてα＝β＝１とした場合の伝達関数が重極をもつようにＫｖｐ、Ｋｖｉを決定した後、ステップ応答曲線がオーバーシュートをもたないようにＫｐｐを試行錯誤で決定する方法である。送り駆動機構１０１が振動的な挙動を示さない範囲において、可能な限り各制御ゲインが大きな値となるように調整した結果、Ｋｖｐ＝４０ｓ／ｍ、Ｋｖｉ＝６３６６ｍ−１、及びＫｐｐ＝２３５ｓ−１を得た。このとき、速度ループの伝達関数から速度制御系の固有周波数の理論値を求めると３１４ｒａｄ／ｓであった。
【００６３】
また、本実験では、本実施形態の手法による制御ゲインの調整例として、上述した手順（１）において、ω０＝３１４ｒａｄ／ｓと指定し、α＝４及びＫｖｐ＝２０ｓ／ｍと定めた。その結果、手順（２）により、他のパラメータは、β＝２、Ｋｖｉ＝２４８０３ｍ−１及びＫｐｐ＝１５５ｓ−１と決定された。
【００６４】
図９に、変位ステップ応答のシミュレーション結果及び実験結果を示す。入力ステップ高さｒは、ｒ＝１０μｍ（図９（Ａ））及びｒ＝１００μｍ（図９（Ｂ））とした。
【００６５】
図９に示すように、本実施形態の手法（提案法）を適用した場合には、シミュレーション結果と実験結果はよく一致し、いずれの入力ステップ高さにおいてもオーバーシュート
は生じず、従来法と比べて、より速く且つスムーズに目標値へと収束している。一方、従来法を適用した場合には、応答の立ち上がりは本実施形態の手法よりも急峻になっているもののアンダーシュートが生じており、これによって目標値への収束が遅れている。
【００６６】
ところで、本実施形態の設計手法を適用した場合に、制御器１０２の位置ループの伝達関数が式（１２）のように置換されると仮定すると、そのときの単位ステップ入力に対する変位の応答は、次式（１４）で表される。
【００６７】
【数１５】
2013254231.tif 000017
【００６８】
式（１４）によると時刻ｔ＝ω０−１において、変位は目標の約２６％の値になることがわかる。図９における同時刻（図９では、０．００３ｓ）の変位の値を読み取ると、いずれの入力ステップ高さにおいても目標値の約２６％程度の値になっている。したがって、本実施形態の設計方法を適用することによって、位置制御系を任意の固有周波数をもつ２次系として扱うことができると考えられる。
【００６９】
工作機械送り駆動系に代表される誤差に、象限突起誤差がある。これは、ＸＹテーブルによる円弧補間運動において、象限が切り替わる際に非線形摩擦特性に起因して発生する突起状の誤差である。また、位置制御系に比例制御を採用している一般的な送り駆動系では、位置比例ゲインが高く設定できない場合に追従遅れが大きくなり、円弧補間運動軌跡の半径が指令半径よりも小さくなる現象（半径減少）が生じることが知られている。
【００７０】
そこで、本実施形態の設計方法を適用した場合又は従来法を適用した場合の円弧補間運動軌跡を、シミュレーション及び実験によって取得した。
【００７１】
本実験に用いる装置は１軸の送り駆動系であるため、円弧補間運動軌跡を、正弦波位置指令及び余弦波位置指令に対する応答曲線を合成することで取得した。また、過渡応答の影響を排除するために、それぞれの指令に対して３周期分の運動を行い、２周期目の応答曲線を合成して円弧軌跡としている。また、運動条件として、指令半径ｒ＝２５ｍｍ、送り速度ｆ＝３ｍ／ｍｉｎを与えた。また、本実験において、本実施形態の手法を適用した場合については、図９の実験と同様のパラメータを用いた。
【００７２】
図１０に、円弧補間運動のシミュレーション結果及び実験結果を示す。図１０によると、シミュレーション結果と実験結果とは、象限突起の形状や高さ及び半径減少量が概ね一致しており、シミュレーションによって実機の挙動を表現できていることがわかる。一方、図１０（Ａ）と図１０（Ｂ）とを比較すると、従来法を適用した場合（図１０（Ａ））には、本実施形態の手法を適用した場合（図１０（Ｂ））に比べて、象限突起が顕著に現れている。すなわち、本実施形態の手法を適用した場合には、補償器１０３によって非線形摩擦が除去されるとともに仮想線形摩擦に置換されることで、象限突起が補正されている。しかしながら、従来法と本実施形態の手法のいずれの場合についても半径減少（基準円との誤差）が現れている。
【００７３】
次に、本実施形態の手法において、円弧補間運動時の半径減少を補正するための手法にについて説明する。位置制御系の遅れを回復し、位置指令に対する追従遅れ（制御遅れ）を補正するための一般的な方法として、フィードフォワード制御がある。フィードフォワード制御の制御則を適用した位置制御系を図１１に示す。
【００７４】
図１１において、位置偏差ｅ（ｓ）は、次式（１５）で表される。
【００７５】
【数１６】
2013254231.tif 000018
【００７６】
ここで、Ｇｖ（ｓ）は、速度ループの伝達関数である。フィードフォワード補償器の伝達関数Ｇｆｆ（ｓ）が次式（１６）を満たすとき、式（１５）は、式（１７）のように変形することができる。
【００７７】
【数１７】
2013254231.tif 000019
【００７８】
すなわち、フィードフォワード補償器の伝達関数Ｇｆｆ（ｓ）が速度ループの逆伝達関数で表される場合、位置指令ｒ（ｓ）の種類と無関係に位置偏差ｅ（ｓ）を０とすることができる。フィードフォワード補償器の設計では、速度ループの特性を詳細に考慮せず、速度ループの伝達関数Ｇｖ（ｓ）を定数とする場合があるが、多くの運動条件で良好な保障効果を得るためには、速度ループの逆伝達関数をフィードフォワード補償器として用いることが有効である。
【００７９】
そこで、本実施形態の手法において、制御器１０２がフィードフォワード補償器を備える場合には、式（９）で表される速度ループの逆伝達関数である次式（１８）を、当該フィードフォワード補償器として用いる。
【００８０】
【数１８】
2013254231.tif 000020
【００８１】
上述したように本実施形態の手法では各制御ゲインを一義的に求めることができるため、速度ループの逆伝達関数を用いてフィードフォワード補償器を設計する際にも、そのパラメータの値を試行錯誤によらず容易に決定することができる。
【００８２】
式（１８）によって設計したフィードフォワード補償器の有効性を評価するために、円弧補間運動軌跡のシミュレーション及び実験を行った。比較のために、従来法を適用し且つフィードフォワード補償器を適用した場合の挙動についても実験した。従来法の場合は、Ｇｆｆ（ｓ）＝１をフィードフォワード補償器として用いた。すなわち従来法では、速度ループの逆伝達関数を用いずに、速度ループの伝達関数を定数とみなした。
【００８３】
図１２に、円弧補間運動のシミュレーション結果及び実験結果を示す。図１２（Ｂ）に
示すように、本実施形態の手法（提案法）を適用した場合には、シミュレーション結果と実験結果とは、円弧軌跡がほぼ基準円上にあり、互いによく一致している。すなわち、フィードフォワード補償器によって半径減少が補正できていることがわかる。一方、図１２（Ａ）に示すように、従来法を適用した場合には、半径減少は補正できているものの、象限突起誤差は補正できていない。すなわち、本実施形態の手法を適用した場合には、フィードフォワード補償器によって半径減少を補正できているだけでなく、補償器１０３による非線形摩擦の線形化によって、象限突起誤差も補正できていることがわかる。
【００８４】
このように、本実施形態の送り駆動系の設計手法によれば、位置制御系の固有角周波ω０を設定して、速度比例ゲインＫｖｐを決定するだけで、他の制御ゲインを一義的に決定することができ、多くの試行錯誤を要する従来法に比べて、送り駆動系における良好な応答特性を容易に実現することができる。また、補償器１０３による非線形摩擦の線形化によって、従来法では補正できない円弧補間運動時の象限突起を補正することができる。また、速度ループの逆伝達関数を用いたフィードフォワード補償器の設計の際にも、試行錯誤によらずパラメータを決定することができ、また、設計したフィードフォワード補償器を用いることで、円弧補間運動時の半径減少を補正することができる。
【００８５】
なお、第４の実施形態ではリニアモータ駆動の送り駆動系について説明したが、ボールねじ駆動の送り駆動系であっても同様に実施可能である。ボールねじ駆動の送り駆動系においては、第４の実施形態におけるテーブル変位ｘ、速度ｖ、サーボアンプ１０４の推力変換定数Ｋｆ、及びテーブル質量Ｍを、それぞれサーボモータの回転角θ［ｒａｄ］（ロータリーエンコーダによって検出される回転角）、角速度［ｒａｄ］（回転角θの微分値）、トルク変換定数［Ｎｍ］、及び駆動機構の総慣性モーメント［ｋｇｍ2］に置き換えて実施することができる。
【００８６】
第４の実施形態の設計手法をボールねじ駆動の送り駆動系に適用した場合の有効性を評価するために、変位ステップ応答のシミュレーション及び実験を行った。実験では、比較のために、補償器１０３を適用せず、かつ従来法によって決定した制御ゲインを用いた場合の応答曲線も取得した。従来法では、試行錯誤によって各制御ゲインを、Ｋｐｐ＝５２３６０ｒａｄ／ｍｓ、Ｋｖｐ＝０．０４ｓ／ｒａｄ、Ｋｖｉ＝４ｒａｄ−１と決定した。また本実験では、本実施形態の手法による制御ゲインの調整例として、固有周波数ω０＝１６５ｒａｄ／ｓと指定し、α＝１０及びＫｖｐ＝０．０１ｓ／ｒａｄと定めた。その結果、手順（２）により、他のパラメータは、β＝５、Ｋｖｉ＝３．３ｒａｄ−１及びＫｐｐ＝２５８７６５ｒａｄ／ｍｓと決定された。
【００８７】
図１３に、変位ステップ応答のシミュレーション結果及び実験結果を示す。入力ステップ高さｒは、ｒ＝５０μｍ（図１３（Ａ））及びｒ＝５００μｍ（図１３（Ｂ））とした。
【００８８】
図１３に示すように、本実施形態の手法（提案法）をボールねじ駆動の送り駆動系に適用した場合にも、シミュレーション結果と実験結果はよく一致し、いずれの入力ステップ高さにおいてもオーバーシュートは生じず、従来法と比べて、より速く且つスムーズに目標値へと収束している。また、従来法を適用した場合には、非線形摩擦の影響によって、入力ステップ高さに依存して応答曲線が異なっているが、本実施形態の手法を適用した場合にはその差異が小さい。これは、本実施形態の手法を適用した場合には補償器１０３によって非線形摩擦が仮想線形摩擦に置換されるためであると考えられる。
【産業上の利用可能性】
【００８９】
本発明に係る送り駆動系は、振動減衰性を高め、制御ゲインを大きくした際に生じるシステムの安定性の低下を抑制することができるため、工作機械や半導体露光装置などにお
ける移動体の位置決めを制御する送り駆動系などに有用である。工作機械や半導体露光装置などの送り駆動系で行われる軌跡運動制御においては、円弧補間運動時に現れる象限突起誤差などの運動誤差が問題となる。運動誤差の低減のためにも制御系のゲインを大きくとることは重要である。本発明は、仮想減衰の付与によって設定可能な制御ゲインの上限を高めることから、以上のような問題解決にも有効利用できる。
【符号の説明】
【００９０】
１０１  送り駆動機構
１０２  制御器（制御装置、コントローラ）
１０３  補償器
１０４  サーボアンプ（サーボ増幅器）
【図１】
2013254231.tif 000025
【図２】
2013254231.tif 000026
【図３ａ】
2013254231.tif 000027
【図３ｂ】
2013254231.tif 000028
【図４ａ】
2013254231.tif 000029
【図４ｂ】
2013254231.tif 000030
【図４ｃ】
2013254231.tif 000031
【図５】
2013254231.tif 000032
【図６】
2013254231.tif 000033
【図７】
2013254231.tif 000034
【図８】
2013254231.tif 000035
【図９】
2013254231.tif 000036
【図１０】
2013254231.tif 000037
【図１１】
2013254231.tif 000038
【図１２】
2013254231.tif 000039
【図１３】
2013254231.tif 000040