(57)【要約】【課題】抵抗とコンデンサとＣＰＥとの並列回路と等価な電流電圧特性を示す物質がある時、その物質を格子ごとに配置して数値計算を行い、電位、電場を求める。【解決手段】物質Ａを対向面積がＳで電極間距離がＬの対向電極に挟んだ時の電流電圧特性が、抵抗値Ｒを持つ抵抗と静電容量Ｃを持つコンデンサと（式１）で示されるアドミッタンスＹを持つＣＰＥ（Constant Phase Element）との並列回路により表現できるときに、物質Ａから構成される計算対象が存在する領域を格子で分割して数値計算により電位を求める数値計算方法であって、コンピュータが、計算対象の形状に合わせて各格子に物質Ａを配置する工程と、α、（式２）、（式３）、及び（式４）を用いて（式５）のｔCPE、σ、εを求め、（式５）を数値計算により解いて電位φを求める工程と、を有する数値計算方法。【選択図】図１
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
物質Ａを対向面積がＳで電極間距離がＬの対向電極に挟んだ時の電流電圧特性が、抵抗値Ｒを持つ抵抗と静電容量Ｃを持つコンデンサと（式１）で示されるアドミッタンスＹを持つＣＰＥ（Constant Phase Element）との並列回路により表現できるときに、物質Ａから構成される計算対象が存在する領域を格子で分割して数値計算により電位を求める数値計算方法であって、コンピュータが、
計算対象の形状に合わせて各格子に物質Ａを配置する工程と、
α、（式２）、（式３）、及び（式４）を用いて（式５）のｔCPE、σ、εを求め、（式
５）を数値計算により解いて電位φを求める工程と、
を有する数値計算方法。
【数１】
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【請求項２】
コンピュータが、（式６）を数値計算により解いて電荷密度ρを求める工程を更に有する請求項１に記載の数値計算方法。
【数２】
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【請求項３】
コンピュータに、請求項１または２に記載の数値計算方法を実行させるプログラム。
【請求項４】
請求項３に記載のプログラムを記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
【請求項５】
物質Ａを対向面積がＳで電極間距離がＬの対向電極に挟んだ時の電流電圧特性が、抵抗値Ｒを持つ抵抗と静電容量Ｃを持つコンデンサと（式１）で示されるアドミッタンスＹを持つＣＰＥ（Constant Phase Element）との並列回路により表現できるときに、物質Ａから構成される計算対象が存在する領域を格子で分割して数値計算により電位を求める計算装置であって、
計算対象の形状に合わせて各格子に物質Ａを配置する工程と、
α、（式２）、（式３）、及び（式４）を用いて（式５）のｔCPE、σ、εを求め、（式
５）を数値計算により解いて電位φを求める工程と、
を実行するコンピュータを備える計算装置。
【数３】
2013254250.tif 000019
【請求項６】
コンピュータは、（式６）を数値計算により解いて電荷密度ρを求める工程を更に実行する請求項５に記載の計算装置。
【数４】
2013254250.tif 000020
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は計算領域を格子で分割して電位を求める数値計算方法、プログラム、記録媒体及び計算装置に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
例えば電気回路やモーターのように、物質の電気的な性質を用いることで装置を動かしたり、制御したり様々なことを行うことができる。電気的な性質を用いる装置を設計する際、近年ではあらかじめ数値計算によって動作を予測することにより、期間の短縮や経費の削減など開発の効率を向上させることがよく行われている。物質を配置し電圧を印加すると、どのような電場が形成され、どのような電流が流れるか、どのような力が働き、どのように動くかなどを数値計算により予測するのである。
【０００３】
さてここではいわゆる準定常電流場程度の時間スケールを取り扱うこととし、磁場を無視することにする。このとき電気的な現象を表現する方程式は以下の（式７）、（式８）、（式９）、（式１０）、（式１１）のような方程式となる（非特許文献１を参照）。
【数１】
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Ｄは電束密度、ρは電荷密度、εは誘電率、Ｅは電場、φは電位、ｔは時間、ｉは電流密度、σは電気伝導度である。
【０００４】
σとεはいわゆる物性値に相当し、実験測定により定めることができる。例えば交流インピーダンス測定などを行い、抵抗値Ｒを持つ抵抗や静電容量Ｃを持つコンデンサから構成される等価な回路を定める。例えばＲとＣの並列回路を考えると、その電流と電圧の関係は、
【数２】
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のようになる。一方（式７）に（式８）（式９）を代入し、それと（式１０）（式１１）とからρを消去すると、
【数３】
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となる。（式１３）と（式１２）を見比べることによって、Ｒとρ、Ｃとεの関係が分かる。測定サンプルが面積Ｓ、長さＬの円柱状であり、その空間の内部でσ、ε、∇φが一定とみなせる程度に薄く、広い場合には、
【数４】
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の関係が得られる。
【０００５】
つまり実際の現象を予測するための流れは次のようになる。まずあらかじめ材料となる各物質の物性値（σ、εなど）を円柱状など取り扱いの簡便な試料で決定しておく。次に計算対象となる空間を格子で分割し、実際の現象での物質の配置を再現するように格子ごとに各物質を配置した上で、数値計算を行い、電位、電場などを求めるのである。
【０００６】
さて上記の例では物質と等価な回路を構成する回路素子として抵抗とコンデンサを上げた。その他にもよく知られた回路素子としてConstant Phase Element（ＣＰＥ）があり、等価回路を構成する回路素子として使われることがある（非特許文献２）。そのアドミッタンスＹは、
【数５】
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のように書くことができる。ここで、iは虚数単位、ωは角周波数、α、Ｔは素子の特性
を示すパラメータである。よって抵抗とコンデンサとＣＰＥの並列回路は、
【数６】
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のようになる。ここでｔ０Ｄαｔは分数階微分を示す記号であり、幾つかの定義があるが、例えばRiemann-Liouvilleの定義（非特許文献３、４）では、
【数７】
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である。但し０＜ｐ≦１。
【０００７】
またここで誘電緩和について触れておく。（式８）の誘電率εは定数の場合もあるが、より一般には電場Ｅに対して電束密度Ｄの反応には遅れが生じる。即ち、
【数８】
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のような関係となる（非特許文献５）。ここでε∞は誘電率のうち応答の十分速い成分を示し、Φは応答関数と呼ばれる。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００８】
【非特許文献１】砂川重信、“理論電磁気学”, 紀伊国屋書店 (1973) ISBN 4-314-00101-1
【非特許文献２】S.Westerlund, “Capacitor Theory”, IEEE Transactions on Dielectrics and Electrical Insulation 1 (1994) 826-839.
【非特許文献３】K. B. Oldham, J. Spanier, “The Fractional Calculus”, Dover Publications Inc. (2006) ISBN0-486-45001-5.
【非特許文献４】I. Podlubny, “Fractional Differential Equations”, Academic Press, (1999) ISBN0-12-558840-2.
【非特許文献５】湯川秀樹、戸田盛和、久保亮五、“岩波講座  現代物理学の基礎［第二版］  統計物理学“、岩波書店 （1978） ISBN 4-00-010085-8
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００９】
本発明の目的は、抵抗とコンデンサとＣＰＥとの並列回路と等価な電流電圧特性を示す物質について、その物質を格子ごとに配置して数値計算を行い、電位や電場を求める方法を提供することである。
【課題を解決するための手段】
【００１０】
本発明は、物質Ａを対向面積がＳで電極間距離がＬの対向電極に挟んだ時の電流電圧特性が、抵抗値Ｒを持つ抵抗と静電容量Ｃを持つコンデンサと（式１）で示されるアドミッタンスＹを持つＣＰＥ（Constant Phase Element）との並列回路により表現できるときに、物質Ａから構成される計算対象が存在する領域を格子で分割して数値計算により電位を求める数値計算方法であって、コンピュータが、
計算対象の形状に合わせて各格子に物質Ａを配置する工程と、
α、（式２）、（式３）、及び（式４）を用いて（式５）のｔCPE、σ、εを求め、（式
５）を数値計算により解いて電位φを求める工程と、
を有する数値計算方法である。
【数９】
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【００１１】
本発明は、物質Ａを対向面積がＳで電極間距離がＬの対向電極に挟んだ時の電流電圧特性が、抵抗値Ｒを持つ抵抗と静電容量Ｃを持つコンデンサと（式１）で示されるアドミッタンスＹを持つＣＰＥ（Constant Phase Element）との並列回路により表現できるときに、物質Ａから構成される計算対象が存在する領域を格子で分割して数値計算により電位を求める計算装置であって、
計算対象の形状に合わせて各格子に物質Ａを配置する工程と、
α、（式２）、（式３）、及び（式４）を用いて（式５）のｔCPE、σ、εを求め、（式
５）を数値計算により解いて電位φを求める工程と、
を実行するコンピュータを備える計算装置である。
【発明の効果】
【００１２】
本発明によれば、抵抗とコンデンサとＣＰＥとの並列回路と等価な電流電圧特性を示す物質について、その物質を格子ごとに配置して数値計算を行い、電位、電場を求めることができる。
【図面の簡単な説明】
【００１３】
【図１】本発明を実施するフローチャート
【図２】本発明を含む数値計算プログラムを実行する装置の構成例を示す図
【図３】実施例１での計算結果を示す図
【図４】実施例２及び３での物質を配置する場所を示す図
【図５】実施例２での時刻ｔ＝３．１における等電位線を示す図
【図６】実施例２での時刻ｔ＝１０．０における等電位線を示す図
【図７】実施例３での電荷密度分布を示す図
【図８】実施例３での電束密度分布を示す図
【発明を実施するための形態】
【００１４】
本発明にかかる数値計算方法を実施するための形態について詳細に説明する。
【００１５】
図２にコンピュータによって本発明にかかる数値計算方法を実行するための装置の構成例を示す。
２０２はＣＰＵ群であり、ここで演算を行う。
２０３は入力装置群であり、マウス、キーボード、スキャナなどの情報入力装置を指す。２０４は一次記憶装置群であり、メモリなどの一時的な記憶装置を指す。
２０５は出力装置群であり、ディスプレイ、プリンタなどの情報出力装置を指す。
２０６は通信装置群であり、ＬＡＮボートなど通信装置をさす。
２０７は二次記憶装置群であり、ハードディスク、ＦＤ、ＣＤ―ＲＯＭ、ＤＶＤ―ＲＯＭなどのデータ保存のための装置を指す。   
２０８はバスラインであり、コンピュータ内の装置群間の情報を伝達する役割を持つ。
２０９はＬＡＮケーブルであり、異なるコンピュータ間の通信装置に接続し、情報を伝達する。
【００１６】
以下で述べる数値計算方法はプログラムとして、二次記憶装置群２０７に保存されている。実行時には一次記憶装置群２０４に読み込まれ、入力装置群２０３や、ＬＡＮケーブル２０９を介して入力される外部からの指令によって、ＣＰＵ２０２で実行される。本発明は、以下で説明する数値計算方法をコンピュータに実行させるプログラムや、そのプログラムを記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒体や、数値計算方法を実行するコンピュータを備える計算装置を含む。
【００１７】
本発明の数値計算方法は、物質Ａを対向面積がＳで電極間距離がＬの対向電極に挟んだ時の電流電圧特性が次の場合に適用できる。すなわち、抵抗値Ｒを持つ抵抗と静電容量Ｃを持つコンデンサと（式１）で示されるアドミッタンスＹを持つＣＰＥ（Constant Phase
Element）との並列回路により表現できる場合に適用できる。本発明の数値計算方法は、物質Ａから構成される計算対象が存在する領域を格子で分割して数値計算により電位を求める数値計算方法であって、次の各工程を有する。すなわち、コンピュータが、計算対象の形状に合わせて各格子に物質Ａを配置する工程と、α、（式２）、（式３）、及び（式４）を用いて（式５）のｔCPE、σ、εを求め、（式５）を数値計算により解いて電位φ
を求める工程と、を有する。
【数１０】
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【００１８】
本発明の数値計算方法は、コンピュータが、（式６）を数値計算により解いて電荷密度ρを求める工程を更に有していてもよい。
【数１１】
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【００１９】
物質の電気的特性を等価回路により表現する方法の場合、物質の配置や形状が変わった際に再び等価回路を求める必要がある。しかし格子ごとに物質を配置できるような表現方法にしておけば、物質の配置や形状が変わっても改めて等価回路を求める必要なく、即ち再び実験することなく、格子ごとの物質の配置を変更するだけで数値計算による電気的特性の予測を行うことができる。本発明を適用することで、抵抗とコンデンサとＣＰＥとの並列回路と等価な電流電圧特性を示す物質についても、そのような数値計算方法を用いることができるようになる。
【００２０】
本発明に係る第一の方法では、（式５）を用いることで電位、電界、電流などを計算することができる。これは（式１２）から（式１４）（式１５）を用いて（式１３）へ至るのと同様に、（式１７）から（式２）（式３）（式４）を用いて（式５）へと至る。
【００２１】
さて（式５）を用いるだけでは電荷密度を求めることはできない。そこで本発明に係る第二の方法では（式７）（式８）（式９）（式１０）（式１１）から（式１３）へと至る
過程の中で、誘電緩和（式１９）を導入することとし、応答関数Φとして、
【数１２】
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を採用することとした。ここでΓはガンマ関数である。（式７）（式９）（式１０）（式１１）（式１９）（式２０）を用いることで、（式５）を得ることができ、本発明に係る第一の方法と同様の電位を求めることができる。またその副産物として（式６）（または（式１０）と（式１１））を用いて電荷密度を求めることができることもわかる。
【００２２】
さらに触れておけば本発明に係る第二の方法の本質は（式２０）にある。従って電流密度を示すモデルは（式１１）でなくてもよく他のモデルに入れ替えることができる。
【００２３】
また物質Ａを対向面積がＳで電極間距離がＬの対向電極に挟む時には既に述べたように、∇φが一様であるということが条件となる。そのため通常はＳを十分広く、Ｌを十分狭くとる。円柱、角柱などの形状なら分かりやすいが、形状はこれらに限られない。
【００２４】
数値計算の全体の流れは次のようになる。まずあらかじめ材料となる各物質の物性値を円柱状など取り扱いの簡便な試料で決定しておく。次に計算対象となる空間を格子で分割し、実際の現象での物質の配置を再現するように格子ごとに各物質を配置した上で、数値計算を行い、電位、電場などを求める。
【００２５】
例えば物質を面積Ｓ、長さＬをもつ角柱状の形状にしてインピーダンス測定を行う。そのインピーダンスを抵抗、コンデンサ、及びＣＰＥの並列回路でフィッティングし、抵抗値Ｒ、静電容量Ｃ、ＣＰＥのパラメータであるＴＣＰＥ、αを同定する（図１の１０１）。そして（式２）（式３）（式４）を用いて、ｔＣＰＥ、σ、εを求める（図１の１０２）。その上で計算領域を格子分割して、（式５）を離散化して解けばよい（図１の１０５）。本発明に係る第二の方法を適用する場合にはさらに（式６）を離散化して解けばよい（図１の１０６）。
【００２６】
以下の実施例では一例として等間隔な直交格子を用い、時間刻みも等間隔とする場合を説明するが、格子分割の方法はこれに限られない。
【００２７】
次に離散化手法について述べる。以下の実施例では一例として次のような離散化手法を用いた。なお、離散化方法は以下で説明する方法に限られない。（式５）の時間微分については、第二項は上付き添え字ｎを既知、ｎ＋１を未知として、
【数１３】
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を用いることとし、第三項はＧ１アルゴリズム（非特許文献３）を用いて離散化することとする。空間離散化は格子点（ノード）に電位を定義し、セルに物性値（σ、ε、α、ｔ
ＣＰＥ）を定義することとした。勾配及び発散は中心差分を用いることとした。但し電位勾配と物性値の乗算を計算する際の物性値には、勾配計算に用いた２つのノードに挟まれる格子線を線分Ｂとして、線分Ｂと隣接する周囲のセルに定義された物性値の平均を用いることとした。
【００２８】
（式６）を用いて電荷密度を求める場合には、格子点に電荷密度を定義し、時間離散化はオイラー陰解法を空間離散化は中心差分を用いた。電位勾配と電気伝導度の乗算で用いる電気伝導度は（式５）と同様に周囲のセルの平均を用いることとした。
【００２９】
（実施例１）
本実施例では本発明を用いた数値計算によって抵抗とコンデンサとＣＰＥとの並列回路と等価な電流電圧特性を示す物質が表現できていることを示す。
【００３０】
本実施例では面積Ｓ＝４、厚さＬ＝０．４の角柱上の物質を表現する例を示す。その電流電圧特性を示す等価回路が抵抗Ｒ＝１、静電容量Ｃ＝１０、ＣＰＥのパラメータＴＣＰＥ＝１０、α＝０．８の並列回路で示されるものを考える。そしてこれに対して０≦ｔ＜３では０で、３≦ｔ≦１０では１０であるような電圧Ｖを印加することとする。このときに流れる電流は理論的に予測できて、ｔ＞３で（式２２）のようになる。
【数１４】
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【００３１】
これに対して本発明に係る数値計算では、（式２）（式３）（式４）を用いてσ＝０．１、ε＝１、ｔＣＰＥ＝１となる。計算領域としては物質の大きさと等しく、ｘ［−１：１］、ｙ［−１：１］、ｚ［−０．２：０．２］なる計算領域を考え、各軸を等間隔に２０個のセルで分割することとした。計算領域全体を前記の物質で満たし、計算領域のｚ軸方向端部では電位指定境界を、ｘ、ｙ軸方向は理想的な場合を模擬する目的で周期境界を適用することとした。印加電圧はｚ軸方向にかける。時間刻みΔｔは０．１で開始時刻ｔｓｔａｒｔ＝０、終了時刻ｔｅｎｄ＝１０とした。なお単位はＭＫＳ単位系で統一してある。
【００３２】
結果を図３に示す。横軸が時刻、縦軸が電流である。ここでいう電流とは導電電流と変位電流の和を意味する。白丸が本発明による計算結果であり、黒線が理論値である。図３に示すように理論予測と計算結果はよい一致を示している。このように本発明を適用することで抵抗とコンデンサとＣＰＥとの並列回路と等価な電流電圧特性を示す物質を格子ごとに配置して電流計算ができていることがわかる。
【００３３】
（実施例２）
物質を格子ごとに配置して計算できるようになることの利点は、物質の形状が変わった場合に再び等価回路フィッティングを行うことなく、物質の振る舞いを予測することが可能であるという点である。本実施例では物質の形状が変わった場合でも振る舞いを予測できることを示す。
【００３４】
本実施例の計算領域は、ｘ［−１：１］、ｙ［−１：１］、ｚ［−１．５：１．５］なる計算領域を考えることとし、ｘ、ｙ軸を２０個のセルで、ｘ軸を３０個のセルで分割す
ることとした。境界条件はｚ軸方向端部では電位指定境界を、ｘ、ｙ軸方向は周期境界を適用することとした。印加電圧は０≦ｔ＜３では０で、３≦ｔ≦１０では１０とした。電圧印加はｚ軸方向とする。また時間刻みΔｔは０．１で開始時刻ｔｓｔａｒｔ＝０、終了時刻ｔｅｎｄ＝１０とした。
【００３５】
本実施例では物質の配置方法が実施例１と異なる。本実施例では、原点を中心とする半径０．５の球を考え、セル中心が球の内部となるセルに物質を配置することとした。それ以外のセルはσ＝０、ε＝１、ｔＣＰＥ＝０、α＝１．０とした。即ち普通の誘電体である。図４に球内のセルを黒で示した。それ以外のセルは白で示してある。なお図４は計算領域のｙ＝０における断面である。横軸がｘで縦軸がｚである。
【００３６】
比較のために球内に配置する物質としては２種類用いることとした。一つ目、物質Ａはσ＝０．１、ε＝１、ｔＣＰＥ＝１、α＝０．８を用いることとする。二つ目、物質Ｂはσ＝０．１、ε＝１、ｔＣＰＥ＝１、α＝１．０を用いることとした。α＝１のときにはコンデンサと同じ振る舞いをする。従って物質Ｂはσ＝０．１、ε＝２、ｔＣＰＥ＝０、α＝１．０なる物質と同じ振る舞いをする。なお単位はＭＫＳ単位系で統一してある。
【００３７】
球内に物質Ａを配置した場合と球内に物質Ｂを配置した場合それぞれで計算を行った。図５にｔ＝３．１の時の等電位線を示す。図５はｙ＝０における断面で、横軸がｘで縦軸がｚである。球の場所がわかりやすいように最も太い線でおおよその位置を示した。また結果の説明のために、球内に物質Ａを配置した場合と球内に物質Ｂを配置した場合の結果を一枚の図に示してある。球内に物質Ａと物質Ｂを同時に配置したわけではない。図５の横軸の中心を境にして左側が球内に物質Ａを配置した場合の等電位線であり、右側が球内に物質Ｂを配置した場合の等電位線である。図６にはｔ＝１０．０の時の等電位線を示す。時刻が変わっている以外は図５と同様の図である。
【００３８】
物質Ａと物質Ｂを比較した場合、αの値が異なる。αの値が１であるとコンデンサと同じ振る舞いをし、αの値が０に近いとより抵抗に近い振る舞いをする。ここで、抵抗に近いとは、直流電流を流しやすい、電気伝導度が大きいという意味である。一般に、電圧を印加した直後はコンデンサによって決まる電位分布を持ち、時間が経過すると次第に抵抗によって決まる電位分布へと移行する。
【００３９】
図５は電圧を印加した直後であり、電位分布はコンデンサの影響をより強く受ける。図５の左と右を比較すると、右（物質Ｂ）の方がより球内で電位勾配が小さい、つまり左（物質Ａ）に比べてコンデンサの影響が大きい結果に見える。物質Ｂはα＝１であるので、物質Ａ（α＝０．８）に比べてコンデンサに近い振る舞いとするという予測と一致する。
【００４０】
図６はしばらく時間が経過した後であり、次第に抵抗によって決まる電位分布へと移行しているところである。図６の左と右を比較すると、左（物質Ａ）の方がより球内で電位勾配が小さい。図５の結果と比べた変化の度合いを見ると左（物質Ａ）の方が電気伝導度が大きい結果に見える。これは物質Ａはα＝０．８であるので、物質Ｂ（α＝１．０）に比べて電気伝導度が大きいという予測と一致する。
【００４１】
また図５、図６ともに球の表面付近で電場が曲がっており、計算結果は球の形状を表現できているものと考えられる。
【００４２】
以上の結果から、物質の形状が球のように変わった場合でも、再び等価回路のフィッティングをすることなく、抵抗とコンデンサとＣＰＥとの並列回路と等価な電流電圧特性を示す物質を格子ごとに配置して電位計算ができていることがわかる。
【００４３】
（実施例３）
本実施例では本発明に係る第二の方法で示したように電荷密度を計算することができることを示す。実施例２と同じ計算条件で計算し、時刻ｔ＝１０．０での電荷密度を図７に示す。図７に示すように本発明の方法により電荷密度が計算できていることがわかる。
【００４４】
本実施例の場合、左（物質Ａ）と右（物質Ｂ）とで電荷密度に大きな違いはない。これは電場には若干違いがあるものの、電荷密度を決定する電気伝導度に物質Ａと物質Ｂとで違いがないためである。図８に電束密度の強度（二乗ノルム）を示す。色が黒いほうが小さく、色が白いほうが大きい。図８では、左の方が右よりも電束密度は大きい。これは左（物質Ａ）の方が誘電率が大きいことを示している。本発明に係る第二の方法ではＣＰＥは誘電率の応答遅れとして表現される。従って図６のようなＣＰＥによる電位勾配の緩和は図８のように誘電率の上昇、すなわち分極電荷の増大となって表現される。このことを考えると妥当な計算結果が得られており、本発明を用いて電荷密度が計算できていることがわかる。
【００４５】
以上実施例を用いて説明したように、本発明によれば、物質の電気特性を正確に数値計算することができ、電気的な振る舞いの予測が可能になり、そのような物質を含む装置の開発効率を上げることができる。
【符号の説明】
【００４６】
１０１・・・等価回路を同定する工程
１０２・・・物性値を決定する工程
１０５・・・電位を計算して求める工程
２０２・・・ＣＰＵ
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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