(57)【要約】【課題】電荷保存則が成り立たない場合でも、半導体内外の電磁場計算と半導体内の電気特性計算を矛盾無く統合して行う。【解決手段】  電位の時間微分を光速の２乗で割った値にベクトルポテンシャルの divergence を加えた値に等しいスカラー量を定義したときに、電流密度ベクトルは磁場ベクトルの rotation から電場ベクトルの時間微分に誘電率を掛けたものを差し引いた値から該スカラー量の gradient を透磁率で割った値を差し引いたものに等しく、電荷密度は電場ベクトルの divergence に誘電率を掛けた値と該スカラー量の時間微分に誘電率を掛けた値の和に等しく、電荷の生成消滅レートは該スカラー量の時間に関する２階偏微分を光速の２乗で割った値からラプラシアンを差し引いた値を透磁率で割った値に等しいという関係を基本モデルとする電磁場解析または波動光学計算プログラムを作成することにより、実現できる。【選択図】        図３
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
電位の時間微分を光速の２乗で割った値にベクトルポテンシャルの divergence を加えた値に等しいスカラー量を定義したときに、電流密度ベクトルは磁場ベクトルの rotation から電場ベクトルの時間微分に誘電率を掛けたものを差し引いた値から該スカラー量の gradient を透磁率で割った値を差し引いたものに等しく、電荷密度は電場ベクトルの divergence に誘電率を掛けた値と該スカラー量の時間微分に誘電率を掛けた値の和に等しく、電荷の生成消滅レートは該スカラー量の時間に関する２階偏微分を光速の２乗で割った値からラプラシアンを差し引いた値を透磁率で割った値に等しいという関係を基本モデルとすることを特徴とする電磁場または波動光学計算プログラムおよび該プログラムを用いた装置。
【請求項２】
請求項１の手段を用いた電磁場または波動光学計算と半導体内電気特性計算の統合プログラムおよび該プログラムを用いた装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
電磁場解析および波動光学計算プログラム。
【背景技術】
【０００２】
一般に、電磁場解析または波動光学計算においては、以下の Maxwell の方程式が基本となる。
【０００３】
J = ∇×H - ε∂E/∂t                                                   (1) 
ρ = ε∇E                                                              (2) 
∇×E + μ∂H/∂t = 0                                                   (3) 
∇H = 0                                                                 (4) 
【０００４】
ただし、J は電流密度ベクトル、ρは電荷密度、H は磁場ベクトル、E は電場ベクトル、εは誘電率、μは透磁率、t は時間を表し、光速 c とεおよびμの間には以下の関係が成り立つ。
εμ = 1/c^2                                                            (5) 
【０００５】
(1) と (2) から直ちに以下の電荷の保存側が導かれる。
∇J +  ∂ρ/∂t = 0                                                     (6) 
【０００６】
現在イメージセンサ等の半導体デバイスの設計や特性解析において、デバイス・シミュレーションと光学シミュレーションは極めて重要な技術になっており、デバイス・シミュレーションでは以下のポワソン方程式と電流連続式が基本的な式として用いられている。
【非特許文献１】檀良, “プロセス・デバイス・シミュレーション技術”, 産業図書, pp. 99-105, 1988.
【０００７】
△をラプラシアン（∇^2）としたとき、
ε△φ = - q ( Nd - Na + p - n )                                        (7) 
∇Jn + q ∂n/∂t = GR                                                   (8) 
∇Jp + q ∂p/∂t = GR                                                   (9) 
【０００８】
以上の式において、φは電位、q は素電荷、Nd はドナー不純物濃度、Na はアクセプタ不純物濃度、p はホール濃度、n は電子濃度、Jn は電子電流ベクトル、Jp はホール電流ベクトル、GR は電荷の生成消滅レートを表す。ただし Jn は電子が流れる方向（電流と逆方向）を正方向と定義する。
【０００９】
Jn と Jp については、以下の式によって電位およびキャリア濃度と関係付けられる。
【００１０】
Jn = q μn  n ∇φ - q Dn ∇n                                          (10) 
Jp = - q μp  p ∇φ - q Dp ∇p                                        (11) 
【００１１】
ここで、μn とμp はそれぞれ電子とホールの移動度、Dn と Dp はそれぞれ電子とホールの拡散係数を表す。さらに、擬フェルミポテンシャルを用いると、n と p は以下のように電位と擬フェルミポテンシャルの関数として表される。
【００１２】
n = nie exp[ (φ- ψn) q / kT ]                                        (12) 
p = nie exp[ (ψp - φ) q / kT ]                                       (13) 
【００１３】
ただし、nie は真性半導体有効キャリア濃度を表し、ψn と ψp はそれぞれ電子とホールの擬フェルミポテンシャルを表し、k と T はそれぞれボルツマン定数と絶対温度を表す。
【００１４】
通常、デバイス・シミュレーションにおいては、基本変数を電位φとキャリア濃度 n および p の３つあるいは電位φと擬フェルミポテンシャルψn とψp の３つに設定して、(7)-(11) または (7)-(13) を連立して解くが、これは２キャリアモデルと呼ばれている。しかし、一般的な電子を信号電荷とするイメージセンサのように、ホール電流による電位変化が無視できるような場合は、ψp を一定と仮定して、基本変数を電位φと電子濃度 n あるいは電位φと電子の擬フェルミポテンシャルψn の２つに設定して、(7), (8), (10), (12), (13) 式のみを連立して解いても、２キャリアモデルの場合とほぼ等しい結果が得られる場合があり、これは１キャリアモデルと呼ばれている。１キャリアモデルにおいて、電荷の生成消滅が存在する場合すなわち (8) 式において GR≠0 の場合は、(6) 式の電荷の保存則が満たされないので、Maxwell 方程式と明らかに矛盾する。
【００１５】
また、回路の一部を抜き出してデバイス・シミュレーションを行う場合にも、境界部で電荷の保存則が満たされない場合が発生する。 図１にその例を示す。
【００１６】
図１は一つのコンデンサーと一つのトランジスタが接続された回路を示しており、平行平板コンデンサーに電荷 Q が予め蓄積されていて、両極間に初期電位として Vc の電位差が生じていると仮定する。トランジスタが ON 状態のゲート電極電圧を Vg とし、トランジスタの閾値電圧を Vth とすると、
0 ＜ Vg - Vth ＜ Vc ならば、ほぼ一定の電流 I でコンデンサーの電荷がアースに流出する。トランジスタに接続された左側のコンデンサー電極板の位置を x=0 とし、右側の電極板の位置を x=d とすると、このときのコンデンサーの内の電位分布時間依存性φ(x, t) は、電位変化が電極間を電位変化情報が伝わる時間に比べて充分ゆるやかであれば以下の式で表される。
【００１７】
φ(x, t) = Vc ( 1 - x/d ) ( 1 - t/τ)                                  (14) 
【００１８】
ただし、
τ = Q / I                                                             (15) 
であり、光速を c とすれば、電位変化がゆるやかである条件は以下の式で表される。
cτ  ＞＞  d                                                           (16) 
【００１９】
次に 0≦x≦d の範囲に限って Maxwell の方程式を適用してみる。電界 E および磁界 H をベクトルポテンシャル A および電位φで表せば以下のようになる。
H = ∇×A /μ                                                          (17) 
E = -∇φ-∂A/∂t                                                      (18) 
【００２０】
対称性を考慮すると、A の y および z 成分はゼロと考えてよい。
Ay = Az = 0                                                            (19) 
【００２１】
(17), (18) 式にはχを任意の関数としたときに A'= A+∇χおよびφ'=φ-∂χ/∂t の変換に対して E と H が変化しないゲージ不変性があるので、以下のローレンツゲージを採用する。
∇A + ∂φ/∂t/c^2 = ∂Ax/∂x + ∂φ/∂t/c^2 = 0                       (20) 
【００２２】
ローレンツゲージを採用すると、電流密度および電荷密度とベクトルポテンシャルおよび電位との関係は以下のような簡単な式で表される。
J = - □A / μ                                                         (21) 
ρ= -ε□φ                                                            (22) 
ただし□はダランベルシャンであり、以下の式で定義される。
□ ≡ △-∂^2/∂t^2/c^2                                                (23) 
【００２３】
(14) と (20) から Ax は以下のように求められる。
Ax(x, t) = Vc {x - x^2/(2d)} / (τ c^2)                                (24) 
【００２４】
(14), (17), (18) と (24) から H と E は以下のように求められる。
Hx = Hy = Hz = Ey = Ez = 0                                             (25) 
Ex = Vc ( 1 - t/τ) / d                                                (26) 
【００２５】
(1), (2), (25) と (26) から電流の x 成分 Jx は以下のように求められる。
Jx = εVc / (d τ)                                                     (27) 
【００２６】
図２に示すように、(26) は 0≦x≦d の範囲で一定の電流がコンデンサの絶縁膜中を左から右に流れることを示しているが、このことは明らかに実際の状況、すなわち電流はコンデンサの外側の回路を流れるのであってコンデンサ電極間の絶縁膜中には流れないことと矛盾する。これは x=0 と x=d で電荷保存則が成り立たないにもかかわらず、Maxwell の方程式を用いて電流を求めたためである。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００２７】
このように、従来の Maxwell 方程式を基本とする電磁場計算で半導体や絶縁体の一部を解析する場合に、デバイス・シミュレーションと矛盾する結果が生じたり、明らかに現実と異なる結果が生じる問題があった。
【課題を解決するための手段】
【００２８】
電位の時間微分を光速の２乗で割った値にベクトルポテンシャルの divergence を加えた値に等しいスカラー量を定義したときに、電流密度ベクトルは磁場ベクトルの rotation から電場ベクトルの時間微分に誘電率を掛けたものを差し引いた値から該スカラー量の gradient を透磁率で割った値を差し引いたものに等しく、電荷密度は電場ベクトルの divergence に誘電率を掛けた値と該スカラー量の時間微分に誘電率を掛けた値の和に等しく、電荷の生成消滅レートは該スカラー量の時間に関する２階偏微分を光速の２乗で割った値からラプラシアンを差し引いた値を透磁率で割った値に等しいという関係を基本モデルとして、電磁場解析プログラムまたは波動光学計算プログラムを作成することにより、電荷保存側が成り立たない場合でも、デバイス・シミュレーションの結果や実際の状況と矛盾しない結果を導くことができる。
【実施例】
【００２９】
本発明のモデルを以下に示す。電磁場を表す基本量として、これまで用いられてきた電場ベクトルと磁場ベクトルの他に新たに電磁場を表すスカラー量γを以下の式で定義する。
γ = ∇A + ∂φ/∂t/c^2                                                (28) 
【００３０】
このとき、□χ=0 を満たす関数χを用いて A'= A+∇χおよびφ'=φ-∂χ/∂t の変換を行っても、H, E, およびγは変化しないので、ゲージ不変性が成り立つ。
【００３１】
ローレンツゲージの場合と同様に (21) と (22) が成り立つと仮定すれば、(1) と (2) の代わりに次式が成り立つ。
J = ∇×H - ε∂E/∂t - ∇γ/μ                                        (29) 
ρ = ε∇E + ε∂γ/∂t                                                (30) 
なお、E および H と A およびφの関係は変わらずに (17) と (18) なので、(3) と (4) も変わらずに成り立つ。
【００３２】
(29) と (30) から電流連続式を計算すると、
∇J + ∂ρ/∂t = GR = -□γ/μ                                         (31) 
【００３３】
したがって、-γのダランベルシャンを透磁率で割ったものが生成消滅レートに等しい。
【００３４】
このように、E、H、およびγを電磁場の基本変数として採用し、J とρおよび GR を既知の値として E, H, γについて解けば、電荷保存則が満たされない場合でも矛盾無く電磁場を求めることができる。
【００３５】
なお、γを導入したことにより、電磁場の方程式は以下のような、Maxwell 方程式と比較して、より簡潔な式で表すことができる。
A と B を３次元ベクトルとしたとき、４次元ベクトル a=(A, α)≡(Ax, Ay, Az, α) と b=(B, β)≡(Bx, By, Bz, β) のベクトル積 "a×b" を以下の式で定義する。
a×b = (A, α) × (B, β) ≡ (A×B - αB - Aβ, A B + αβ)            (32) 
すると、
F' = ◇ × A'                                                          (33) 
J' = ◇* × F'                                                         (34) 
ここで、A' と J' および F' は４次元ベクトルで、それぞれ以下の式で定義される。
A' ≡ (A /μ, icεφ)                                                  (35) 
J' ≡ (J, icρ)                                                        (36) 
F' ≡ (H + icεE, γ/μ)                                               (37) 
また、◇ および ◇* は４次元の微分演算子ベクトルであり、
◇ ≡ (∇, i∂/∂t/c)                                                  (38) 
◇* ≡ (∇, -i∂/∂t/c)                                                (39) 
任意の４次元ベクトル a に対して ◇* × ◇ × a = -□ a を満たすので、
J' = -□ A'                                                            (40) 
【００３６】
以上、スカラー量γを導入することによって電磁場がどのように表されるか、行列を用いて説明したものを図３に示す。
【００３７】
また、本発明におけるエネルギー密度の連続の式は、以下のように表される。
- J E + c^2 ργ = ∇(E×H+γE/μ)+∂(εE^2+μH^2+γ^2/μ)/∂t/2       (41) 
【００３８】
したがって、単位時間当たりに発生するエネルギー密度は従来モデルの - J E に c^2ργ を加えた値に、エネルギー密度の流れは従来モデルのポインティングベクトル E × H に γE/μを加えた値に、エネルギー密度は従来モデルの (εE^2 + μH^2)/2 に γ^2/(2μ) を加えた値になる。
【００３９】
また、電荷および電流に対しておよぼす力 F は以下の式のように、従来モデルの力からγJ を差し引いた値になる。
F = ρE + J×B - γJ                                                   (42) 
【００４０】
図１について、本発明を用いた計算例を示す。
【００４１】
φに関して (14) が成り立ち、A に関して構造の対称性から (19) 式が成り立つとして、 
γ = ∇A + ∂φ/∂t/c^2 = ∂Ax/∂x - Vc ( 1 - x/d ) / (c^2 τ)         (43) 
【００４２】
コンデンサ内部では電流が流れないので、□A=-J=0 が成り立ち、コンデンサの中心からｘ方向を見ると、符号を除いて左右対称であり、Ax は x に関して一次の関数と考えられるので、
Ax = Vc x / (2 c^2 τ)                                                 (44) 
γ = Vc ( x/d - 1/2 ) /(c^2 τ)                                        (45) 
【００４３】
また、E および H に関しては従来と同様 (25) および (26) が成り立ち、(5) と (29) と (45) から、明らかに J=0 を満たす。
【００４４】
(45) は x=0 と x=d において、γが不連続であるために、生成消滅レートと関係付けるのが難しいが、図４(a) のようにコンデンサの電荷がｘ方向に有限な厚み w で均一に存在すると仮定すれば、w 内の電位変化絶対値を Ve とすると、電位は図４(b) に示すように、以下の式で表される。
φ = { Vc - Ve x^2 / w^2 } ( 1 - t / τ)             :  0≦x≦w        (46) 
φ = { Vc - Ve - (Vc-2Ve) (x-w) / d } ( 1 - t / τ)  :  w≦x≦d+w      (47) 
φ = { Ve (d+2w-x)^2 / w^2 } ( 1 - t / τ)           :  d+w≦x≦d+2w   (48) 
ただし、
Ve = w Vc / {2(d + w)}                                                 (49) 
【００４５】
したがって、(28) および (44) と (46)-(48) から、図４ (d) に示すようにγは以下の式で表される。
γ = ( Ve x^2 / w^2 - Vc / 2 ) / (c^2 τ)             :  0≦x≦w       (50) 
γ = { (Vc-2Ve) (x-w) / d + Ve - Vc / 2 } / (c^2 τ)  :  w≦x≦d+w     (51) 
γ = { Vc / 2 - Ve (d+2w-x)^2 / w^2 } / (c^2 τ)      :  d+w≦x≦d+2w  (52) 
【００４６】
このとき電荷生成消滅レート GR = -□γ/μ は、
GR = - 2Ve / (μ w^2 c^2 τ) = -εVc / {(d+w) w τ}   :  0≦x≦w       (53) 
GR = 0                                                :  w≦x≦d+w     (54) 
GR = 2Ve / (μ w^2 c^2 τ) = εVc / {(d+w) w τ}      :  d+w≦x≦d+2w  (55) 
したがって、図４(e) に示すように、左側の電極内では一定変化率で電荷密度が減少し、右側の電極では同じ変化率で電荷密度が増大（絶対値は減少）する。
【００４７】
以上のように本発明を用いると、回路の一部を抜き出すことによって、一部に電荷の保存則が成り立たない場合でも、本来存在しないはずの電流等を発生させることなく、電荷生成消滅項も含めて矛盾無く電磁場を求めることができる。
【００４８】
また、本発明は同一モデルの下で電磁場計算プログラムとデバイスシ・ミュレータを統合することができるので、イメージセンサ等の光学デバイスや、リモコン・無線機器等の電磁場発生デバイスに対して、半導体内外の電磁場と半導体内の電荷の挙動を含めた電気特性を統合してシミュレーションするプログラムを実現することができる。
【００４９】
また、上記のようなプログラムを半導体製造装置や検査装置、光学機器等に組み込んで、新しい機能を有する機器を生み出すことが可能である。
【図面の簡単な説明】
【００５０】
【図１】コンデンサと MOS トランジスタによる回路を示した図である。
【図２】コンデンサ内の電荷分布 (a)、電位分布 (b)、 電界分布 (c)、ベクトルポテンシャル分布 (d)、電流分布 (e) を示した図である。
【図３】スカラー量γの導入によって電磁場が表される式を行列を用いて説明した図である。
【図４】コンデンサの電極内に有限の幅 w で電荷が分布するときの電荷分布 (a) 、電位分布 (b) 、電界分布 (c)、電磁場スカラー量分布 (d)、電荷生成消滅レート (e) を示した図である。
【符号の説明】
【００５１】
１０    コンデンサ
１１    MOS トランジスタ
【図１】
2013232128.tif 000003
【図２】
2013232128.tif 000004
【図３】
2013232128.tif 000005
【図４】
2013232128.tif 000006