(57)【要約】【課題】剛性行列が時々刻々と変化することから弾性モードが未知の有限要素で表現された物体の場合にも、その剛体変位と弾性変形とを分離して解析できるようにする。【解決手段】全体座標系での物体の初期の重心位置及び慣性主軸を原点及び軸ベクトルとする座標系を局所座標系として、全体座標系での物体の各節点の変位を同各節点の基準変位としてそれぞれ設定した上で、局所座標系での剛体運動及び弾性変形後の物体の重心位置及び慣性主軸を原点及び軸ベクトルとする新たな局所座標系の設定、各節点の弾性変形による変位の計算、及び新たな局所座標系を局所座標系とし、各節点の弾性変形による変位を各節点の基準変位とする更新を、更新前後の局所座標系の偏差が既定値以下となるまで行い、その時点の全体座標系での局所座標系の原点の座標値及び軸ベクトルの回転行列から物体の剛体運動を、その時点の各節点の基準変位から物体の弾性変形を求める。【選択図】図４
2013050814.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
節点を境界とする有限数の要素に物体を分割して行われる有限要素法による前記物体の変位及び変形の解析の結果から同物体の剛体運動及び弾性変形を解析する方法であって、
固定された全体座標系における各節点の初期の座標値及び各要素の質量行列を取得する第１のステップと、
前記物体の初期の重心位置及び慣性主軸を原点及び軸ベクトルとする局所座標系を設定するとともに、その局所座標系における前記各節点の初期の座標値を計算する第２のステップと、
前記質量行列及び前記局所座標系における前記各節点の初期の座標値から、前記各節点の剛体モードの固有ベクトルを計算する第３のステップと、
を行い、剛体運動及び弾性変形による前記各節点の変位を同各節点の基準変位として設定した上で、
前記固有ベクトル、前記質量行列及び前記基準変位から、前記局所座標系における前記物体の剛体モード変位を計算する第４のステップと、
前記剛体モード変位及び前記固有ベクトルから、前記局所座標系における前記剛体運動及び弾性変形後の前記物体の前記重心位置の座標値及び慣性主軸の回転行列をそれぞれ計算する第５のステップと、
前記剛体運動及び弾性変形後の前記物体の重心位置及び慣性主軸を原点及び軸ベクトルとする新たな局所座標系を設定するとともに、前記局所座標系における前記各節点の初期の座標値と前記新たな局所座標系における前記各節点の剛体運動及び弾性変形後の座標値との偏差を前記各節点の弾性変形による変位として計算する第６のステップと、
を行い、以後、前記全体座標系における前記局所座標系と前記新たな局所座標系との偏差が既定値以下となるまで、前記新たな局所座標系を前記局所座標系として、前記各節点の弾性変形による変位を同各節点の前記基準変位としてそれぞれ設定し直した上で、前記第４〜第６のステップを繰り返し行い、前記偏差が前記既定値以下となった時点の前記全体座標系における前記新たな局所座標系の原点の座標値及び軸ベクトルの回転行列から前記物体の剛体運動を、同時点の前記各節点の弾性変形による変位から前記物体の弾性変形をそれぞれ求めるようにした
ことを特徴とする剛体運動及び弾性変形の解析方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、剛体運動及び弾性変形の解析方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
非線形有限要素法（以下、非線形ＦＥＭ（Finite Element Method ）と記載する）による機械要素の構造解析は、コンピューターの発展とともに、幅広い分野で利用されるようになっている。そして非線形ＦＥＭによる解析は、物体の並進、回転移動による運動、すなわち剛体運動と、歪みを伴う変形、すなわち弾性変形との解析にも利用されている。
【０００３】
そうした非線形ＦＥＭによる物体の剛体運動、弾性変形の解析結果の可視化のため、ポストプロセッサーを用いて変形図を生成することがある。ポストプロセッサーは、節点変位を一定の倍率で拡大して表示した変形図を生成することが可能である。しかしながら、多くの場合、解析対象となる物体の弾性変形は、その剛体運動に比して微小であり、節点変位を一定の倍率で拡大した変形図を見ても、その物体の変形形状を直感的に把握することは困難である。
【０００４】
そこで従来、特許文献１及び２に見られるような解析方法が提案されている。この従来の解析方法では、解析対象となる物体の近傍に位置してその物体の剛体運動に応じて変位する局所座標系を設定するとともに、その局所座標系において剛体運動を剛体モードで、弾性変形を弾性モードでそれぞれ表現するようにしている。すなわち、この従来の解析方法では、全体座標系における局所座標系の移動と、その局所座標系における剛体モードとの和として、剛体運動を表現するようにしている。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００５】
【特許文献１】特開２０００−３０５９２２号公報
【特許文献２】特開２００５−０９１３７０号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
こうした従来の解析方法では、解析対象となる物体の剛体運動による節点変位（以下、剛体変位と記載する）と弾性変形による節点変位とを分離して、それぞれ個別に表示することが可能である。しかしながら、こうした従来の解析方法では、解析対象となる物体は、既知の弾性モードで表現された物体である必要があり、剛性行列が時々刻々と変化することから弾性モードが未知の有限要素で表現された物体の非線形過渡応答計算結果の解析には、適用できないものとなっている。
【０００７】
本発明は、こうした実情に鑑みてなされたものであり、その解決しようとする課題は、剛性行列が時々刻々と変化することから弾性モードが未知の有限要素で表現された物体の場合にも、その剛体変位と弾性変形とを分離して解析することのできる剛体運動及び弾性変形の解析方法を提供することにある。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
上記課題を解決するため、剛体運動及び弾性変形の解析方法としての請求項１に記載の発明は、節点を境界とする有限数の要素に物体を分割して行われる有限要素法による前記物体の変位及び変形の解析の結果から同物体の剛体運動及び弾性変形を解析する方法であって、（１）固定された全体座標系における各節点の初期の座標値及び各要素の質量行列を取得する第１のステップ、（２）前記物体の初期の重心位置及び慣性主軸を原点及び軸ベクトルとする局所座標系を設定するとともに、その局所座標系における前記各節点の初期の座標値を計算する第２のステップ、（３）前記質量行列及び前記局所座標系における前記各節点の初期の座標値から、前記各節点の剛体モードの固有ベクトルを計算する第３のステップ、を行い、剛体運動及び弾性変形による前記各節点の変位を同各節点の基準変位として設定した上で、（４）前記固有ベクトル、前記質量行列及び前記基準変位から、前記局所座標系における前記物体の剛体モード変位を計算する第４のステップ、（５）前記剛体モード変位及び前記固有ベクトルから、前記局所座標系における前記剛体運動及び弾性変形後の前記物体の前記重心位置の座標値及び慣性主軸の回転行列をそれぞれ計算する第５のステップ、（６）前記剛体運動及び弾性変形後の前記物体の重心位置及び慣性主軸を原点及び軸ベクトルとする新たな局所座標系を設定するとともに、前記局所座標系における前記各節点の初期の座標値と前記新たな局所座標系における前記各節点の剛体運動及び弾性変形後の座標値との偏差を前記各節点の弾性変形による変位として計算する第６のステップ、を行い、以後、前記全体座標系における前記局所座標系と前記新たな局所座標系との偏差が既定値以下となるまで、前記新たな局所座標系を前記局所座標系として、前記各節点の弾性変形による変位を同各節点の前記基準変位としてそれぞれ設定し直した上で、前記第４〜第６のステップを繰り返し行い、前記偏差が前記既定値以下となった時点の前記全体座標系における前記新たな局所座標系の原点の座標値及び軸ベクトルの回転行列から前記物体の剛体運動を、同時点の前記各節点の弾性変形による変位から前記物体の弾性変形をそれぞれ求めるようにしている。
【０００９】
こうした本解析方法では、非線形ＦＥＭの解析結果が得られると、まず第１のステップとして、固定された全体座標系における各節点の初期の座標値及び各要素の質量行列が取得される。そして第２のステップとして、物体の初期の重心位置及び慣性主軸を原点及び軸ベクトルとする局所座標系が設定され、その局所座標系における各節点の初期の座標値が計算される。
【００１０】
続いて第３のステップとして、質量行列及び局所座標系における各節点の初期の座標値から、各節点の剛体モードの固有ベクトルが計算される。
次に、剛体運動及び弾性変形による各節点の変位が非線形有限要素法の解析結果から取得され、その変位が各節点の基準変位として設定される。そして下記の第４〜第６のステップにより構成された収束ループの処理に移行される。
【００１１】
収束ループの処理が開始されると、まず第４のステップとして、固有ベクトル、質量行列及び基準変位から、局所座標系における物体の剛体モード変位が計算される。また第５のステップとして、剛体モード変位及び固有ベクトルから、局所座標系における剛体運動及び弾性変形後の物体の重心位置の座標値及び慣性主軸の回転行列がそれぞれ計算される。そして第６のステップとして、剛体運動及び弾性変形後の物体の重心位置及び慣性主軸を原点及び軸ベクトルとする新たな局所座標系が設定され、第２のステップで設定された局所座標系における各節点の初期の座標値とその新たな局所座標系における各節点の剛体運動及び弾性変形後の座標値との偏差が各節点の弾性変形による変位として計算される。
【００１２】
この時点で物体の剛体モード変位を微小（≒０）とすることができれば、物体の剛体運動は、その重心位置の並進及び回転として上記新たな局所座標系からは除かれており、第６のステップで計算された各節点の弾性変形による変位には、剛体運動による変位は一切含まれていないことになる。しかしながら、物体の局所座標の位置及び回転行列が既知でない以上、剛体モード変位は、微小（≒０）である保証はなく、この時点で計算された各節点の弾性変形による変位には、剛体運動分が未だ若干残っている。
【００１３】
そこで、本解析方法では、新たな局所座標系を局所座標系に、先に計算した各節点の弾性変形による変位を各節点の基準変位にそれぞれ設定し直した上で、上記収束ループの処理を再実行している。収束ループの処理が再実行されると、その処理において更新された各節点の基準変位からは、物体の剛体運動分が更に取り除かれるようになる。
【００１４】
こうした収束ループの処理の再実行は、全体座標系における局所座標系と新たな局所座標系との偏差（ずれ）が既定値以下となるまで繰り返される。したがって、収束ループを抜ける直前に計算された各節点の弾性変形による変位は、物体の剛体運動分が十分に取り除かれたものとなる。すなわち、このときの各節点の弾性変形による変位の計算値は、各節点の弾性変形による変位をほぼ正確に示すものとなる。またこのときの全体座標系における新たな局所座標系の原点の座標値及びその軸ベクトルの回転行列は、物体の剛体運動の並進分及び回転分をそれぞれ示すものとなる。
【００１５】
したがって、上記解析方法によれば、剛性行列が時々刻々と変化することから弾性モードが未知の有限要素で表現された物体の場合にも、その剛体変位と弾性変形とを分離して解析することができる。
【図面の簡単な説明】
【００１６】
【図１】初期及び変形後の物体の状態を示す図。
【図２】本発明の一実施形態での局所座標系の設定態様を示す図。
【図３】同実施形態に適用される剛体運動及び弾性変形解析ルーチンのフローチャート。
【図４】同実施形態に適用される剛体運動及び弾性変形計算ルーチンのフローチャート。
【図５】全体座標系における初期及び既定の時間ステップのコネクティングロッドの位置及び形状をそれぞれ示す図。
【図６】１回目の収束ループ終了時の局所座標系におけるコネクティングロッドの位置及び形状を（ａ）は変形を拡大せずに、（ｂ）は変形を拡大してそれぞれ示す図。
【図７】収束ループを抜けたときの局所座標系におけるコネクティングロッドの位置及び形状を（ａ）は変形を拡大せずに、（ｂ）は変形を拡大してそれぞれ示す図。
【発明を実施するための形態】
【００１７】
以下、本発明の剛体変位及び弾性変形の解析方法を具体化した一実施の形態を、図１〜図７を参照して詳細に説明する。なお、本実施の形態の解析方法は、例えばコネクティングロッドのような可動部品の動作中の剛体変位及び弾性変形の解析に用いることができる。
【００１８】
本実施形態の解析方法は、非線形ＦＥＭによる物体の変位及び変形の解析結果からその物体の剛体変位と弾性変形とを分離して提示するものとなっている。非線形ＦＥＭによる物体の変形の解析は、既存の非線形ＦＥＭソフトウェアを用いて行われる。非線形ＦＥＭによる物体の変形の解析では、まず解析対象となる物体を、節点を境界とする有限数の要素に分割し、各節点の初期の座標値や拘束条件、弾性率やポアソン比といった各要素の物理量、各節点に加わる荷重などを入力する。非線形ＦＥＭソフトウェアは、この入力されたデータをもとに、各々の要素の挙動をモデルで近似して形成された連立方程式を解くことで、各節点の座標値や各要素に作用する応力などを、時間ステップ毎に求めている。なお、非線形ＦＥＭソフトウェアの解析結果は、ポストプロセッサーによって処理されることで、変形図やミーゼス応力図などの視覚化されたデータとして提示される。
【００１９】
本実施の形態の解析方法では、こうした非線形ＦＥＭの解析結果から解析対象となる物体の剛体変位と弾性変形とが分離して求められる。次に、簡単なモデルを用いて、その基本的な原理について説明する。
【００２０】
ここでは、図１に示すような、４つの節点を有する単一の要素からなる物体Ｍの剛体変位と弾性変形とを求める場合を考える。同図には、全体座標系における物体Ｍの初期の位置及び形状と、同じく全体座標系における物体Ｍの剛体運動及び弾性変形後の位置及び形状とが示されている。なお、全体座標系における各節点の初期の座標値は既知であり、全体座標系における各節点の剛体運動及び弾性変形後の座標値は、非線形ＦＥＭの解析結果から求められている。
【００２１】
ここで、節点の一つ（節点Ｐ）について考える。ここでは、初期の節点Ｐの位置を、全体座標系の原点を始点とし、節点Ｐの初期の位置を終点とするベクトルｐ０で表す。また剛体運動及び弾性変形による節点Ｐの変位を、節点Ｐの初期の位置を始点とし、節点Ｐの剛体運動及び弾性変形後の位置を終点とするベクトルｕ０で表す。このときの変形後の節点Ｐの位置は、ベクトルｐ０とベクトルｕ０の和として表される。また、初期における物体Ｍの重心位置を基準とした節点Ｐの位置を、物体Ｍの初期の重心位置Ｇの位置を始点とし、節点Ｐの初期の位置を終点とするベクトルｐで、剛体運動及び弾性変形による物体Ｍの重心位置Ｇの変位の並進分及び回転分をベクトルｒ及び回転行列Ａで、節点Ｐの弾性変形による変位をベクトルｕでそれぞれ表す。このときの全体座標系における節点Ｐの剛体運動及び弾性変形後の位置、すなわちベクトルｐ０とベクトルｕ０の和は、下式のように表される。そして、節点Ｐの剛体運動は「ｒ＋Ａｐ」で、その弾性変形は「Ａｕ」で表されることになる。
【００２２】
ｐ０＋ｕ０＝ｒ＋Ａ（ｐ＋ｕ）＝（ｒ＋Ａｐ）＋Ａｕ
そのため、全体座標系における各節点の剛体運動及び弾性変形後の位置（｛ｐ０｝＋｛ｕ０｝）は、下式のように表される。なお、下式において、列ベクトル｛ｐ０｝は、各節点の初期の位置を、列ベクトル｛ｕ０｝は、各節点の変位を、列ベクトル｛ｒ｝及び回転行列のマトリックス［Ａ］は、剛体運動及び弾性変形による物体Ｍの重心位置Ｇの変位の並進分及び回転分を、列ベクトル｛ｕ｝は、各節点の弾性変形による変位をそれぞれ表している。
【００２３】
｛ｐ０｝＋｛ｕ０｝＝（｛ｒ｝＋［Ａ］・｛ｐ｝）＋［Ａ］｛ｕ｝
上式において、「｛ｒ｝＋［Ａ］｛ｐ｝」は各節点の剛体運動を、「［Ａ］｛ｕ｝」は各節点の弾性変形をそれぞれ示している。したがって、初期、並びに剛体運動及び弾性変形後の各節点の位置、物体Ｍの重心位置Ｇの変位の並進分及び回転分、及び初期の物体Ｍの重心位置Ｇを基準とした各節点の位置さえ解れば、弾性モードが未知であり、各節点の弾性変形による変位が不明であっても、変形後の各節点の剛体運動及び弾性変形を求めることができる。すなわち、図２に示すように、物体Ｍの重心位置Ｇを原点とし、その慣性主軸を軸ベクトルとする局所座標系を設定すると、物体Ｍの剛体運動は、全体座標系上での局所座標系の並進並びに回転として求めることができる。また、物体Ｍの弾性変形は、局所座標系上での各節点の変位として求めることができる。
【００２４】
次に、本実施形態での剛体変位及び弾性変形の解析の具体的な手順について説明する。この解析は、図３の剛体運動及び弾性変形解析ルーチンに示される手順で行われる。
非線形ＦＥＭによる解析結果が得られると、まずステップＳ１００において、非線形ＦＥＭの解析結果から、固定された全体座標系における各節点の初期の座標値｛ｐ０｝が取得される。またステップＳ１０１において、非線形ＦＥＭの解析結果から、物体Ｍの質量行列［Ｍ］が取得される。なお、質量行列［Ｍ］は、物体Ｍを構成する各要素の質量を行列式で表したものである。
【００２５】
次にステップＳ１０２において、物体Ｍの形状と質量行列［Ｍ］とから、全体座標系における物体Ｍの重心位置の初期の座標値｛ｇ｝、主慣性モーメント及び慣性主軸の回転行列［Ｉ］がそれぞれ計算される。
【００２６】
その後、ステップＳ１０３において、全体座標系における各節点の初期の座標値｛ｐ０｝から、物体Ｍの初期の重心位置を基準とした各節点の初期の座標値｛ｐ｝が計算される。この座標値｛ｐ｝は、全体座標系における物体Ｍの初期の重心位置及び慣性主軸を原点及び軸ベクトルとする局所座標系における各節点の座標値を指している。
【００２７】
次に、ステップＳ１０４において、上記各節点の初期の座標値｛ｐ｝と質量行列［Ｍ］とから、各節点の剛体モードの固有ベクトル［Φｒ］が計算される。
以上の処理が終了すると、非線形ＦＥＭの解析結果の時間ステップ毎に、以下のステップＳ１０５〜Ｓ１０７の処理が実行され、各時間ステップの物体Ｍの剛体運動及び弾性変形が求められる。そして剛体運動及び弾性変形の解析は、最後の時間ステップの処理が完了した時点で（Ｓ１０８：ＹＥＳ）終了される。
【００２８】
すなわち、ステップＳ１０５においては、物体Ｍの初期の重心位置及び慣性主軸を原点及び軸ベクトルとする座標系が局所座標系として設定される。またステップＳ１０６においては、該当時間ステップでの剛体運動及び弾性変形による各節点の変位｛ｕ０｝が、非線形ＦＥＭの解析結果から取得され、その取得された各節点の変位｛ｕ０｝が基準変位｛ｕ｝として設定される。そしてステップＳ１０７において、当該時間ステップにおける物体Ｍの剛体運動及び弾性変形を計算するための剛体運動及び弾性変形計算処理が実行される。
【００２９】
剛体運動及び弾性変形計算処理は、図４に示す剛体運動及び弾性変形計算ルーチンの処理を通じて行われる。本ルーチンの処理が開始されると、まずステップＳ２００において、局所座標系における物体Ｍの剛体モード変位｛ｑｒ｝が下式により計算される。なお、下式において「ｔ［Φｒ］」は、固有ベクトル［Φｒ］の転置行列を示している。
【００３０】
｛ｑｒ｝＝ｔ［Φｒ］・［Ｍ］・｛ｕ｝
次に、ステップＳ２０１において、各節点の剛体モードの固有ベクトル［Φｒ］と剛体モード変位｛ｑｒ｝とから、局所座標系における物体Ｍの重心位置の変位（局所座標系の原点からのずれ）の並進分及び回転分が計算される。そして、ステップＳ２０２において、その計算された並進分及び回転分から、局所座標系における、今回の時間ステップにおける物体Ｍの重心位置の座標値｛ｒｉ｝及びその慣性主軸の回転行列［Ａｉ］が計算される。
【００３１】
続いて、ステップＳ２０３において、今回の時間ステップにおける物体Ｍの重心位置及び慣性主軸を原点及び軸ベクトルとする新たな局所座標系が設定される。そしてステップＳ２０４において、各節点の弾性変形による変位｛ｕ’｝が下式により計算される。なお、下式において「ｔ［Ａｉ］」は、回転行列［Ａｉ］の転置行列を示している。ここで計算される各節点の弾性変形による変位｛ｕ’｝は、厳密には、局所座標系における各節点の初期の座標値｛ｐ｝と、新たな局所座標系における各節点の剛体運動及び弾性変形後の座標値との偏差であり、本ルーチンの処理が最終段階に進むまでは、剛体運動による変位分が含まれている。
【００３２】
｛ｕ’｝＝ｔ［Ａｉ］（｛ｐ｝＋｛ｕ｝−｛ｒｉ｝）−｛ｐ｝
続いて、ステップＳ２０５において、ステップＳ２０３において設定された新たな局所座標系が局所座標系に設定される。すなわち、全体座標系における局所座標系の原点の座標値｛ｒ｝及び軸ベクトルの回転行列［Ａ］が下式に従い更新される。またステップＳ２０５においては、ステップＳ２０４で計算された各節点の弾性変形による変位｛ｕ’｝が基準変位｛ｕ｝に設定される。
【００３３】
｛ｒ｝＝｛ｒ｝＋［Ａ］・｛ｒｉ｝
［Ａ］＝［Ａ］・［Ａｉ］
続くステップＳ２０６では、更新前後の局所座標系の偏差が、すなわちステップＳ２０５での更新前の局所座標系とステップＳ２０３で設定された新たな局所座標系との偏差が既定値以下であるか否かが確認される。この確認は、更新前の局所座標系の原点の座標値｛ｒ（ｉ−１）｝と新たな局所座標系の原点の座標値｛ｒｉ｝との偏差が既定値α以下であり、かつ更新前の局所座標系の軸ベクトルの回転行列［Ａ（ｉ−１）］と新たな局所座標系の軸ベクトルの回転行列［Ａｉ］との偏差が既定値β以下であるか否かによって行われている。
【００３４】
ここで、更新前後の局所座標系の偏差が既定値以下でなければ（Ｓ２０６：ＮＯ）、処理がステップＳ２００に戻される。そして更新された局所座標系及び基準変位｛ｕ｝を用いて、ステップＳ２００〜ステップＳ２０６の処理が再度実行される。なお、以下では、ステップＳ２００からステップＳ２０６までの処理のループを収束ループと記載する。
【００３５】
一方、更新前後の局所座標系の偏差が既定値以下であれば（Ｓ２０６：ＹＥＳ）、収束ループを抜けて処理がステップＳ２０７に進められる。そしてそのステップＳ２０７において、全体座標系における現状の局所座標系の原点の座標値｛ｒ｝及びその軸ベクトルの回転行列［Ａ］が、今回の時間ステップにおける物体Ｍの剛体運動として保存される。またステップＳ２０８において、現状の各節点の基準変位｛ｕ｝が、今回の時間ステップにおける物体Ｍの弾性変形として保存される。そしてその後、今回の本ルーチンの処理が終了され、剛体運動及び弾性変形解析ルーチンのステップＳ１０８に処理が進められる。
【００３６】
次に、エンジンのピストンとクランクシャフトとを繋ぐコネクティングロッドを解析対象とした場合の剛体運動及び弾性変形の解析態様を説明する。図５は、初期のコネクティングロッドの位置及び形状を一点鎖線で、剛体運動及び弾性変形後のコネクティングロッドの位置及び形状を実線で、それぞれ全体座標系上に示したものとなっている。非線形ＦＥＭによる解析は、節点を境界とする有限数の要素にコネクティングロッドを分割して行われている。
【００３７】
本実施の形態では、こうした非線形ＦＥＭの解析結果が得られた後、以下の態様で各時間ステップにおけるコネクティングロッドの剛体運動及び弾性変形が求められる。
すなわち、非線形ＦＥＭの解析結果が得られると、まず第１のステップとして、全体座標系における各節点の初期の座標値｛ｐ０｝及び各要素の質量行列［Ｍ］が取得される。そして第２のステップとして、コネクティングロッドの初期の重心位置及び慣性主軸を原点及び軸ベクトルとする局所座標系が設定され、その局所座標系における各節点の初期の座標値｛ｐ｝が計算される。
【００３８】
続いて第３のステップとして、質量行列［Ｍ］及び局所座標系における各節点の初期の座標値｛ｐ｝から、各節点の剛体モードの固有ベクトル［Φｒ］が計算される。
次に、コネクティングロッドの各節点の剛体運動及び弾性変形による変位｛ｕ０｝が非線形ＦＥＭの解析結果から取得され、その変位｛ｕ０｝が各節点の基準変位｛ｕ｝として設定される。そして下記の第４〜第６のステップにより構成された収束ループの処理に移行される。
【００３９】
収束ループの処理が開始されると、まず第４のステップとして、固有ベクトル［Φｒ］、質量行列［Ｍ］及び基準変位｛ｕ｝から、局所座標系におけるコネクティングロッドの剛体モード変位｛ｑｒ｝が計算される。また第５のステップとして、剛体モード変位｛ｑｒ｝及び固有ベクトル［Φｒ］から、局所座標系における剛体運動及び弾性変形後の物体の重心位置の座標値｛ｒｉ｝及び慣性主軸の回転行列［Ａｉ］がそれぞれ計算される。そして第６のステップとして、剛体運動及び弾性変形後のコネクティングロッドの重心位置及び慣性主軸を原点及び軸ベクトルとする新たな局所座標系が設定される。また、第２のステップで設定された局所座標系における各節点の初期の座標値｛ｐ｝とその新たな局所座標系における各節点の剛体運動及び弾性変形後の座標値との偏差が、各節点の弾性変形による変位｛ｕ’｝として計算される。
【００４０】
図６（ａ）は、この時点の、すなわち１回目の収束ループの処理が終了した時点の、新たな局所座標系におけるコネクティングロッドの位置及び形状を示したものである。この時点でコネクティングロッドの物体の剛体モード変位｛ｑｒ｝を微小（≒０）とすることができれば、コネクティングロッドの剛体運動は、その重心位置の並進及び回転として上記新たな局所座標系からは除かれており、第６のステップで計算された各節点の弾性変形による変位｛ｕ’｝には、剛体運動による変位は一切含まれていないことになる。しかしながら、コネクティングロッドの局所座標系の位置及び回転行列は未知であるため、剛体モード変位は微小（≒０）である保証はなく、この時点で計算された各節点の弾性変形による変位｛ｕ’｝には、剛体運動分が未だ若干残っている。
【００４１】
図６（ｂ）は、この時点の、新たな局所座標系におけるコネクティングロッドの位置及び形状を、変形を１００倍に拡大して示したものである。同図に示すように、この時点では、剛体運動の除去は、未だ不十分となっている。
【００４２】
そこで、本実施の形態では、新たな局所座標系を局所座標系に、先に計算した各節点の弾性変形による変位｛ｕ’｝を各節点の基準変位｛ｕ｝にそれぞれ設定し直した上で、上記収束ループの処理を再実行している。収束ループの処理が再実行されると、その処理において更新された各節点の基準変位｛ｕ｝からは、コネクティングロッドの剛体運動分が更に取り除かれる。
【００４３】
こうした収束ループの処理の再実行は、更新前後の局所座標系の偏差が既定値以下となるまで、より具体的には更新前後の局所座標系の原点の座標値｛ｒ｝及び軸ベクトルの回転行列［Ａ］の偏差が既定値以下となるまで繰り返される。したがって、収束ループを抜ける直前に計算された各節点の弾性変形による変位｛ｕ’｝からは、物体の剛体運動分がほぼ完全に取り除かれるようになる。したがって、収束ループを抜ける直前の各節点の弾性変形による変位｛ｕ’｝の計算値、すなわちステップＳ２０５で更新された基準変位｛ｕ｝は、各節点の弾性変形による変位をほぼ正確に示すものとなる。また収束ループを抜ける直前に設定された新たな局所座標系の、すなわちステップＳ２０５で更新された局所座標系の、全体座標系における原点の座標値｛ｒ｝及びその軸ベクトルの回転行列［Ａ］は、コネクティングロッドの剛体運動の並進成分及び回転成分をそれぞれ示すものとなる。
【００４４】
図７（ａ）は、この時点の、すなわち収束ループを抜けた時点の、局所座標系におけるコネクティングロッドの位置及び形状を示したものである。また図７（ｂ）は、この時点の局所座標系におけるコネクティングロッドの位置及び形状を、変形を１００００倍に拡大して示したものである。このように、この時点の局所座標系におけるコネクティングロッドの位置及び形状からは、剛体運動による変位がほぼ完全に除かれている。そのため、このときの局所座標系におけるコネクティングロッドの位置及び形状を見ることで、その弾性変形の様相を容易かつ的確に把握することができる。
【００４５】
以上説明した本実施の形態の剛体運動及び弾性変形の解析方法によれば、以下の効果を奏することができる。
（１）剛性行列が時々刻々と変化することから弾性モードが未知の有限要素で表現された物体の場合にも、その剛体変位と弾性変形とを分離して解析することができる。
【００４６】
（２）剛体運動及び弾性変形の解析の前提となるＦＥＭによる物体の変位及び変形の解析に、既存のＦＥＭソフトウェアをそのまま利用することができる。
なお、上記実施の形態は、以下のように変更して実施することもできる。
【００４７】
・上記実施の形態では、物体Ｍの剛体運動及び弾性変形の時間ステップ毎の過渡応答計算を行うようにしていたが、最終的な物体Ｍの剛体運動及び弾性変形さえ解れば良い場合には、最終的な物体Ｍの剛体運動及び弾性変形のみ求めるようにしても良い。すなわち、この場合には、図３の剛体変位及び弾性変形解析ルーチンのステップＳ１０６において、最終的な各節点の変位を取得するようにするとともに、ステップＳ１０７の処理を完了した時点で同ルーチンの処理を終了するようにすることになる。
【００４８】
・上記実施の形態では、非線形ＦＥＭの解析結果から物体の剛体運動及び弾性変形を求めていたが、線形ＦＥＭの解析結果からの物体の剛体運動及び弾性変形の解析にも本発明は同様に適用することができる。
【符号の説明】
【００４９】
Ｍ…物体、Ｇ…重心位置、Ｐ…節点。
【図１】
2013050814.tif 000003
【図２】
2013050814.tif 000004
【図３】
2013050814.tif 000005
【図４】
2013050814.tif 000006
【図５】
2013050814.tif 000007
【図６】
2013050814.tif 000008
【図７】
2013050814.tif 000009