(57)【要約】【課題】  適切な理科教材が無い事に起因する理科離れを防止し、数学的研究のみに偏りがちな量子力学に興味を持てる教材を提供する。【解決手段】  極座標（ｒ、θ、φ）または放物線座標（ξ、η、φ）で表された水素原子の波動関数を電位（静電ポテンシャル）と見なし、ベクトル演算の勾配を施し負号を付けた結果を電場１あるいは電気力線２とし、同一の波動関数にθ方向あるいはξまたはη方向の単位ベクトルを掛けた後にベクトル演算の転回を施した結果を磁場あるいは磁力線３とし、電磁場の一方あるいは両者同時に立体構成または平面に描画したものであり、原子の姿が目の当たりに出来ると共に、電磁場からエネルギーが算出できる等、理科教育や研究に貢献する事が期待できる。【選択図】図１
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
水素原子の波動関数にベクトル演算の勾配を施し負号を付けた結果を電場として平面描画あるいは立体構成した水素原子模型。
【請求項２】
極座標（ｒ、θ、φ）で表された水素原子の波動関数にベクトル演算の勾配を施し負号を付けた結果を電場とし、同一の波動関数にθ方向の単位ベクトルを掛けた後にベクトル演算の転回を施した結果を磁場とし、電磁場両者を同時に平面描画あるいは立体構成した水素原子模型。
【請求項３】
放物線座標（ξ、η、φ）で表された水素原子の波動関数にベクトル演算の勾配を施し負号を付けた結果を電場として描画または立体構成した水素原子模型。
【請求項４】
放物線座標（ξ、η、φ）で表された水素原子の波動関数にξ方向あるいはη方向の単位ベクトルを掛けた後にベクトル演算の転回を施した結果を磁場として描画または立体構成した水素原子模型。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】  本発明は理科教材としての水素原子模型に関するものである。
【背景技術】
【０００２】数学的解析のみに走りがちな量子力学にあって、具体的イメージを喚起する教材は極めて限られている。強いて挙げれば図５および図６がある。図５は有名なド・ブロイの原子模型図であり、図６は下記特許文献１で従来例として取り上げられたＦｉｇ．１０の上の三つであり、左から２ｐｚ、２ｐｙ、２ｐｘ軌道の存在確率分布を表す図である。これらの言わば古典的水素原子像とは異なり、内部構造に踏み込んだ数少ない例として、米国特許公開広報ＵＳ２０１０／００２８８４０  Ａ１およびＵＳ２０１１／００８６３３３  Ａ１がある。図７は前者のＦｉｇ．３であり、水素原子１ｓ軌道の電気力線２の図とされている。後者にはｓ軌道における存在確率の矛盾が記載されている。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００３】
【特許文献１】米国特許公開広報ＵＳ２０１０／００２８８４０  Ａ１
【特許文献２】米国特許公開広報ＵＳ２０１１／００８６３３３  Ａ１
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００４】しかし波動関数がベクトルポテンシャルであるとする考えは単なる推測に過ぎず、説得力に欠けるうえ、正電荷を有する陽子から外側へ伸びる電気力線２が再び陽子に戻る形状は物理法則に反する。また単純な球対称の波動関数からｚ軸方向に異方性を持つ電場が導かれる事にも違和感を覚える。【０００５】本発明は上記従来の課題を解決するものであり、量子力学の原点たる水素原子の波動関数が一体何であるのか？に立ち戻り、その解明結果として電磁場分布を提供し、具体的イメージを抱くなど、理科の基礎を形成する量子力学の物理的考察を容易にする等を通し、理科全般に興味を抱かせる事を目的としている。
【課題を解決するための手段】
【０００６】本発明は上記目的を達成する為に、水素原子の波動関数にベクトル演算の勾配を施し負号を付けた結果を電場として平面描画あるいは立体構成したものである。
【発明の効果】
【０００７】本発明の教材としての水素原子模型は、波動関数に勾配演算を施し負号を付けた結果を電場として平面描画あるいは立体構成したものであり、従来窺い知る事が出来なかった原子内部を目の当たりに見る事ができ、現象解析の際に有用であると共に、理科を学ぶ興味を引き起こすことができる。
【図面の簡単な説明】
【０００８】
【図１】本発明の実施の形態１の水素原子１ｓ軌道の電気力線２および磁力線３を示す立体模型
【図２】本発明の実施の形態１の水素原子２ｓ軌道の電気力線２および磁力線３を示す立体模型
【図３】本発明の実施の形態２の水素原子２ｐｚ軌道の電気力線２を示す垂直断面図
【図４】本発明の実施の形態２の水素原子２ｐｘ軌道の電気力線２を示す垂直断面図
【図５】従来例の陽子の周囲を電子が波として周回する定在波軌道の平面図
【図６】従来例の２ｐ軌道の存在確率分布を示す立体斜視図
【図７】従来例の１ｓ軌道の電気力線２を示す垂直断面図
【発明を実施するための形態】
【０００９】以下、本発明の実施の形態について図面を参照しながら説明する。極座標（ｒ、θ、φ）および後述する放物線座標（ξ、η、φ）とで表現された水素原子の波動関数の中のエネルギーの小さい４つを、両座標の互いに等しい波動関数を対比して示した。４つに限定したのはこれで大体の特徴が網羅されているのに加えて、高次の軌道はより複雑であり、特徴が表現され難いからである。これ以降、太字斜体でベクトルを表すこととする。ａ０はボーア半径であり、また、電磁場を求めるには正規化係数は不用であるので省略する。
【００１０】１ｓ軌道
【数１】
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２ｓ軌道
【数２】
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２ｐｚ軌道
【数３】
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参考
【数４】
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２ｐｘ軌道
【数５】
2013117706.tif 000007
厳密には等しくないので等号に括弧を付けた。
【００１１】これらにベクトル演算の勾配（数式上ではｇｒａｄまたは▽と表現される）を施し負号を付けた結果が電場であり、各点の電場方向を連続的に結んだ線が電気力線２である。１ｓおよび２ｓ軌動は立体的模型として、ｒが一定である球の一部をθやφが一定となる面で切り欠き、その表面に前記式から得られた電気力線２と、後述する磁力線３の両者を組合せて表現する方式を採用。これを実施形態１とする。２ｐｚおよび２ｐｘ軌動は多少複雑なので垂直断面における電気力線２の分布図を実施形態２とする。
【実施例１】
【００１２】図１は本発明実施形態１に係る教材としての水素原子模型である。前記数１に示した１ｓ軌道の極座標波動関数にベクトル演算の勾配を施して負号を付けて求めた電場Ｅは
【数６】
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となる。ｉｒはｒ方向の単位ベクトルである。
電場がｒ方向成分のみであるから、電気力線２は中心から外側に向かう放射状直線となる。後述の如く、磁力線３は前記従来例１で開示されたものを採用、式は次式で示す。ただし、磁束と磁場の正確な区別や係数μ０等は磁力線３に必ずしも必要でないので省略した。
【数７】
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ここでｉφはφ方向の単位ベクトルである。電磁場両者の立体的関係を示すべく、半径６センチの白色プラスッチック球４を、φ＝０およびπの垂直面５と、θ＝π／２の水平面６とで四分の一切り取り、外周の球面７を含め、これらの面上に、電気力線２または磁力線３の、面と平行な成分を描いたものである。垂直面５には電気力線２が、水平面６には電気力線２と磁力線３とが平行成分を持つので、数６数７のｒ方向の変化を反映すべく線間距離を、中心付近は密に、周囲に向かって徐々に粗とした。球面７には磁力線３が平行成分を持つので、数式中にθが含まれていない事を反映させ、等しい線間距離で描いた。半径６センチの中に、ｒ＝６ａ０内部の電気力線２を赤色、磁力線３を緑色で描いた。
【実施例２】
【００１３】図２は本発明実施形態１に係る教材としての水素原子模型であり、水素原子２ｓ軌道の電磁場分布を表している。前記数２に示した２ｓ軌道の極座標波動関数にベクトル演算の勾配を施して負号を付けると次式が得られる。
【数８】
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磁場は次式で示す。
【数９】
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基本的に図１と同様であるが、２ｓ軌道の電場の式がｒ＝４ａ０でゼロになる為に、垂直、水平両面ともその付近に赤色の電気力線２が描かれていない事が異なる。
【実施例３】
【００１４】図３は本発明実施形態２に係る教材としての水素原子模型であり、任意のφ一定垂直面における２ｐｚ軌道の電気力線２を描いた図である。前述の数４の放物線座標波動関数に勾配演算を施し負号を付けると電場Ｅは次式で表される。
【数１０】
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ここで、ｉεおよびｉηは各々ξ、η方向の単位ベクトルである。この式に前記特許文献２に開示された方法を適用してｒ＝６ａ０の範囲の電気力線２を複数本描いた。
【実施例４】
【００１５】図４は本発明実施形態２に係る教材としての水素原子模型（描画）である。前述の数５、２ｐｘ軌道の極座標波動関数に勾配演算を施し負号を付けると電場Ｅは次式になる。
【数１１】
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このままでは複雑、特徴把握困難なので、垂直断面としてφ方向ベクトル成分ゼロになるφ＝０およびπの面を選択した。ただし、φ＝πの時にはπ＜θ＜２πであるとの考えを採用した。図１から図３と同様にｒ＝６ａ０の範囲を、図３と同一方法で描いた。【００１６】以上のように構成した教材の動作、作用に入る前に、シュレディンガー方程式の解、波動関数が何か？を説明する。波動関数は電位（静電ポテンシャル）である。理由は、１）電位は仕事量を単位に持つスカラー量であるから、仕事量（エネルギー）を取り扱うスカラー方程式であるシュレディンガー方程式の解に相応しい。２）波動関数中に正負の値が出現する事の説明がつく。３）陽子の周囲を電子の等価的な電荷が分散分布しているとの基本的な原子像と矛盾しない。４）現在の存在確率説と本質部分は同一であるから、既存の種々の実験結果などとの矛盾が少ない。などが挙げられる。【００１７】上記３）を簡単に補足する。電磁気学の基礎として、単一の電荷量ｑから距離ｒの位置にある観測点で、電位φが次式で定義される。
【数１２】
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電位は重畳可能であるから、ｎ個の電荷による合成電位φｎが、
【数１３】
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と定義される。この考えを、正電荷の陽子の周囲を電子の負電荷が等価的に分散分布していると仮定する水素原子に適用すれば、観測点の関数として、これら全ての正負電荷を重畳した電位が定義可能である。それが波動関数であるとの考えである。４）は、任意の点を電子が通過する頻度に着目したのが存在確率であるのに対し、電荷量に着目したのが等価分散電荷分布であり、両者は比例すると考えられる。【００１８】水素原子の波動関数が電位であるならば、ベクトル演算の勾配を施し負号を付ければ電場が求められる。数６、数８に示した如く結果は至って単純で、１ｓおよび２ｓ軌道の電場の方向は半径方向であり、波動関数自体と同じ球対称である。前述の解決しようとする課題が全て解決される。【００１９】２ｐｚ軌道を表しているとされる数３を勾配演算すると物理法則に反する結果が導かれる。つまり正電荷を有する陽子近傍で一部の電場が陽子方向を向いてしまうのである。本来、正電荷近傍では外側を向いた電場が形成されるはずである。そこで参考として記載した数４を勾配演算すると数１０となる。その電場を表示した図３では陽子近傍の電気力線２が全て外側を向いている。放物線座標表示に限定すれば、数４は波動関数そのものであるのに対し、数３は二つの波動関数の差であるから、数４が物理法則に合致した結果を導くならば数３は無視しても何ら差し支えが無いであろう。【００２０】参考までに説明する。放物線座標（ξ、η、φ）でも水素原子の波動関数が導出される事が、現在市販中の二三の教科書に紹介されている。それによると放物線座標（ξ、η、φ）は直交直角座標（ｘ、ｙ、ｚ）および極座標（ｒ、θ、φ）各々との間に
【数１４】
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で定義される座標であり、波動関数は３つの量子数ｎ１、ｎ２、ｍを順に添字としてｕ１００の様に表現される。【００２１】２ｐｘ軌道を表す数５で負号が付いているのは、１）波動関数自体が正負何れでも取り得る。２）負号付きの波動関数から物理法則に合致した電場が得られる。等の理由による。次に、φ＝０の時θは０からπまでの値とし、φ＝πの時θはπから２πまでの値とした理由は、１）物理法則と合致した電場が得られ、２）φ＝πの時もθを０からπとすると、ｓｉｎθがθ＝０を挟んだ第一象限と第四象限との境界で滑らかでなくなり、微分不能になるから、等である。【００２２】次に磁場の説明をする為に、水素原子像「中心に位置する正電荷陽子の周囲に負電荷電子が定在波として存在する」に立ち帰る。定在波を形成するには二通りあり、一つは互いに逆方向を向いた二つの進行波により形成され、もう一つは図５に見られる様に、円周上の進行波が周回遅れに追い付く事により形成される。いずれにしても動いている波の存在の上に定在波が出現する。波としてであっても、電荷が動いていれば、それは電流である。その電流の一瞬の姿が定在波であり、その定在波が形成する電位（静電ポテンシャル）が波動関数であるとの考えが本発明の基礎である。【００２３】これを数式表現する。前述の電位の式、数１３の電荷ｑｉの各々が同一のベクトル速度ｖで動いているとし、係数を変更するとベクトルポテンシャルＡｎになる。さらにｖをシグマの外に出す等で前記電位φｎとの関係を見ると
【数１５】
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となる。速度ｖの方向は電子の軌道方向であろうが、電子の軌道そのものは不明である。しかし少なくともｓ軌道では、統計上の平均的軌道を陽子を中心とする円と考えて差し支えなかろう。さすれば電流の方向は大円方向であるθ方向が最適である。ベクトル速度ｖをｖｉθと変更すれば上式は次の様になる。
【数１６】
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このベクトルポテンシャルを転回演算すれば磁束が得られ、μ０で割れば磁場となる。前記特許文献１の「波動関数＝ベクトルポテンシャル」説に根拠が与えられた事になる。【００２４】しかし電流をθ方向に限定すると、ｓ軌道においても、ｚ軸から傾いた状態が反映されない。さらに他の軌道では図６から類推する如く、楕円が球対称に配置された様な軌道を周回していると考えられるから、これも反映されていない事になる。何れにしろθ以外の方向、特に楕円に必須のｒ方向成分を考慮すべきであろう。だが、残念ながらｒ方向のベクトルポテンシャルを回転演算するとゼロになってしまう。【００２５】そこで再度放物線座標を扱う。１ｓ軌道の波動関数ｕ０００（ξ、η、φ）にξ方向の単位ベクトルｉξを掛け、回転演算を施し、その結果を磁場Ｈとすると
【数１７】
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となる。数７には無いθ方向の変化はあるものの、ｒ方向の変化は類似であり、何よりもφ方向成分のみの関数である点で数７と同一である。ｒ方向成分を多分に有するξ方向の電流からもφ方向成分のみの磁場が得られたので、１ｓ軌道の水素原子の磁場はφ方向成分のみを有すると判断できる。従って単純な極座標表示の波動関数を採用したものである。【００２６】作用に移る。本発明によれば、言わば水素原子内部の可視化が実現され、波動関数の差が内部電磁場の差にどの様に反映されるかが理解できる。例えば１ｓ軌道は電磁場共に中心付近に集中しており、２ｓ軌道は１ｓ軌道より外側に拡大し、ｒ＝２ａ０で電場がゼロになっている事などである。また前記特許文献１では触れられていない、負電荷の等価的分散分布が推測できる。電磁気学の基礎知識によれば電気力線２は正電荷から出発し、電場の方向を結んで負電荷に至る線分であるから、例えば図３および数１０式から、２ｐｚ軌道ではξ＝６ａ０、η＝０の点、極座標表示すればｒ＝３ａ０、θ＝πを中心に負電荷が集中していると推測できる。図２および数８式から２ｓ軌道ではｒ＝４ａ０の球面上を中心にに負電荷が分布していると推測できる。図１と数６式から１ｓ軌道では陽子の近傍に負電荷が集中していると推測できる。図４と数１１式から２ｐｘ軌道ではφ＝０、θ＝π／２、ｒ＝２ａ０を中心に負電荷が集中していると推測できる。【００２７】さらに、本発明により求められた電場の式から、前記特許文献１では算出されていない電場エネルギーが計算できる。ｎｓ軌道の電場の式（ただし正規化係数を含む）を二乗し、全空間に亘って積分すると、エネルギーは１／（ａ０２ｎ２）となり、これはボーアのエネルギー準位に比例すると同時に、前記特許文献１で算出された磁場のエネルギーとも一致する。この結果は同文献の主張する無損失共振器説の後押しをすると共に、波動関数＝電位の傍証となろう。【００２８】以上述べた様に本発明の効果は、従来窺い知る事が出来なかった原子の内部構造を示す模型や図が理科、特に量子力学の興味を喚起し理科離れを食い止めるだけでなく、数学のみに偏った推論により生じかねない誤りを未然に防ぐ一助となる。さらに水素原子のエネルギー準位を電磁場分布から計算でき、量子力学教育に貢献する事をも期待される。
【産業上の利用可能性】
【００２９】本発明にかかる教材としての水素原子模型は水素原子内部の姿を可視化させ、難解で取っ付き難い量子力学に親近感を抱かせ、理科離れを防止し、教育や研究にも有用である。
【符号の説明】
【００３０】２  電気力線
３  磁力線
４  球
５  垂直面
６  水平面
７  球面（球表面）
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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