(57)【要約】  わずかな個数の既存のデータ・ポイントを用いて、またそれにより最小限の台上試験を用いて、ある一つの物理的なプロセスの出力量（ｙ）を入力量範囲（Ｕ）にわたり良好に推定するモデル・アンサンブルを策定できるようにするために、前記モデル・アンサンブル（１）の各モデル（Ｍｊ）について、予め定められたある一つの入力量範囲（Ｕ）にわたり、前記現実の物理的なプロセスの前記出力量（ｙ）からのモデル出力量（ｙｊ）の偏差を査定する一つの経験的な複雑さ尺度（Ｃｊ）と一つのモデル誤差（Ｅｊ）とを算出して、前記経験的な複雑さ尺度（Ｃｊ）と前記モデル誤差（Ｅｊ）とから一つの表面情報量規準（ＳＩＣｊ，ＳＩＣ）を形成し、この表面情報量規準（ＳＩＣｊ，ＳＩＣ）から前記モデル・アンサンブル（１）用の前記重み付け係数（Ｗｊ）を算出することが提案される。
2018511050.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
ある一つの物理的なプロセスの少なくとも一つの出力量（ｙ）を少なくとも一つの入力量（ｕ）に応じて推定するモデル・アンサンブル（１）の策定方法であって、前記モデル・アンサンブル（１）を、複数（ｊ）のモデル（Ｍｊ）のそれぞれ一つの重み付け係数（ｗｊ）を用いて重み付けされるモデル出力量
【数１】
2018511050.tif 000067
【数２】
2018511050.tif 000068
【請求項２】
一つのモデル（Ｍｊ）のモデル誤差（Ｅｊ）として、Ｎ個の入力量（ｕ）について測定された前記物理的なプロセスの前記出力量（ｙ）と、前記Ｎ個の入力量について、関係式
【数３】
2018511050.tif 000069
【請求項３】
一つのモデル（Ｍｊ）の前記経験的な複雑さ尺度（ｃｊ）を、式
【数４】
2018511050.tif 000070
【数５】
2018511050.tif 000071
【請求項４】
前記経験的な複雑さ尺度（ｃｊ）を、一つの複雑さ回避パラメータ（αＫ）を用いて重み付けすることを特徴とする、請求項１に記載の方法。
【請求項５】
前記モデル・アンサンブル（１）の各モデル（Ｍｊ）の前記重み付け係数（ｗｊ）を、前記モデル（Ｍｊ）の前記表面情報量規準（ＳＩＣｊ）を用いて式
【数６】
2018511050.tif 000072
【請求項６】
前記モデル・アンサンブル（１）のために、前記モデル（Ｍｊ）のモデル誤差（Ｅｊ）を包含している一つの誤差行列（Ｆ）と、前記モデル（Ｍｊ）の前記経験的な複雑さ尺度（ｃｊ）を包含している一つの複雑さ尺度行列（Ｃ）とから前記表面情報量規準（ＳＩＣ）を形成すること、その際には前記誤差行列（Ｆ）および前記複雑さ尺度行列（Ｃ）を、式ＳＩＣ＝｛ｗＴＦｗ＋ｗＴＣｗ｝にしたがって、前記モデル（Ｍｊ）の前記重み付け係数（ｗｊ）を包含している一つの重み付けベクトル（ｗ）により、それぞれ二回ずつ重み付けして、前記モデル・アンサンブル（１）の前記表面情報量規準（ＳＩＣ）を前記重み付け係数（ｗｊ）に関して最小限化することを特徴とする、請求項１〜３のいずれか一つに記載の方法。
【請求項７】
前記誤差行列（Ｆ）を、ある一つの行列（Ｅ）の行列の積として計算し、その際には前記行列（Ｅ）を、式
【数７】
2018511050.tif 000073
【請求項８】
前記複雑さ尺度行列（Ｃ）を、一つの複雑さ回避パラメータ（αＫ）により重み付けすることを特徴とする、請求項６または７に記載の方法。
【請求項９】
様々な複雑さ回避パラメータ（αＫ）のための前記重み付け係数（ｗｊ）を計算して、前記計算の中から、一つの選択されている複雑さ回避パラメータ（αＫ）に付属する一つの重み付けベクトル
【数８】
2018511050.tif 000074
【請求項１０】
様々な複雑さ回避パラメータ（αＫ）のための重み付けベクトル
【数９】
2018511050.tif 000075
【数１０】
2018511050.tif 000076
【数１１】
2018511050.tif 000077
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、ある一つの物理的なプロセスの少なくとも一つの出力量を少なくとも一つの入力量に応じて推定するモデル・アンサンブルの策定方法であって、このモデル・アンサンブルを、複数のモデルの、それぞれ一つの重み付け係数を用いて重み付けされたモデル出力量の総和から形成する方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
燃焼機関の開発にあたっては、とりわけＮＯｘ、煤、ＣＯ、ＣＯ２等の排出量に関する法規制、および燃費に関する法規制を考慮しなければならない。そのために燃焼機関の制御装置については、開発の間に、燃焼機関の運転中にこれらの規制が遵守されるよう、キャリブレーションが行われるようになっている。この場合のキャリブレーションとは、例えば空燃比、ＥＧＲ率、点火時期等のような燃焼機関の一定の制御パラメータが、例えばトルク、回転数、冷却水温度等のような燃焼機関のある一つの特定の状態に応じて、設定されることを意味している。そのために制御装置内には、例えば相応の特性マップが保存されて、燃焼機関の運転中に、ある一つの特定の状態に関する制御パラメータを算出するために読み出されるようになっている。このキャリブレーションは、影響量が多数に及ぶために、非常に時間がかかる上にコストにも跳ね返る工程であって、この工程はこれまでは主に専用のテストスタンド上で実行されていた。そのためには燃焼機関をテストスタンド上に組み立てて、予め定められた特定の負荷状態をシミュレートする一台の負荷調整装置に接続していた。その際にテストスタンドでは通例、予め定められた負荷サイクル（走行モード）を用いて試験が行われるようになっている。負荷サイクルの間には、測定により燃焼機関の排出量の値および／または燃費が、その時々の最新状態の関数として記録される。記録された測定値の評価結果を受けて、制御装置内で制御パラメータが変更され、満足できるキャリブレーションが達成されるまで、この工程が繰り返される。いずれにせよテストスタンドにおけるこの時間は非常に高くつき、可能な限り短縮されなければならない。
【０００３】
したがって、このキャリブレーションを簡素化するために、とりわけテストスタンド時間を節減するために、手法が既に開発されている。これらの手法は、多くは燃焼機関のエミッション挙動または燃費挙動のモデルに、または一般的に物理的なプロセスのモデルに立脚したものとなっている。したがって後者については、この物理的なプロセスの十分に正確なモデルを決定することに重きが置かれることになり、その後で制御装置のキャリブレーションのためにこれらを使用できるようになっている。これについては、例えば特許文献１に記載されるような、（例えばＮＯｘ排出量または燃費の）非線形プロセスの自動化モデル同定方法が既に知られている。これらの方法は、例えばニューラル・ネットワーク、クリギング・モデル、または線形モデル・ネットワークのような、予め定められたモデル構造にそれぞれ立脚したものとなっている。そこでは、選択されたモデル構造がモデル・パラメータを設定しており、これらのモデル・パラメータは、自動化モデル同定方法により決定されるようになっている。そのためにデータがテストスタンド上での測定値という形で記録され、これらのデータに基づいて、モデルのパラメトリゼーションまたはトレーニングが行われる。したがってそこでは、現実のテストスタンド上で現実の燃焼機関を用いるテスト・ラウンドはほんのわずかな数だけ必要となることになる。その後で、トレーニング後のモデルを用いて、特定の制御パラメータが排出量や燃費に与える影響を、それ以上の台上試験が必要となることなく、調査することが可能であった。
【０００４】
非特許文献１は、モデル構造としての線形モデル・ネットワークに詳細に立ち入っている。線形モデル・ネットワークでは、周知のように、入力量範囲の部分領域にわたり有効な局所モデルが定義される。その後で入力量範囲の全体にまたがる線形モデル・ネットワークの出力が、妥当性関数を用いて重み付けされた局所モデルの出力の合計から求められる。したがって一つの局所モデルにより推定されるのは、局所的に有効な一つの出力量またはモデル・ネットワークの出力量の一部だけとなる。
【０００５】
しかし、燃焼機関のある一つの特定の（例えばＮＯｘ排出量の）挙動のモデル化のための最良モデル構造の選択からして既に、求めるところが多い上に、すぐに合点がいくわけでもない。
【０００６】
この理由から、いわゆるモデル・アンサンブルも既に援用されていた。そこでは、異なるモデルのトレーニングを行って、その後で重み付けを行うことによって、燃焼機関のある一つの特定の挙動（例えば排出量または燃費）に関する可能な限り最善の推定が得られるようにしている。それにより（このモデル・アンサンブルの）モデル全体の出力は、個々のモデルの出力の重み付けされた合計から求められることになる。したがって一つのモデル・アンサンブルを得るためには、これらの重み付け係数を算出しなければならない。これらの重み付け係数を決定するために多用される方法の一つは、非特許文献２に記載されるような赤池情報量規準に依拠している。非特許文献１にも、赤池情報量規準に基づいた、重み付け係数を用いたモデル・アンサンブルが記載される。
【０００７】
モデルＭｊの妥当性は、赤池情報量規準を用いて評価される。その際には各モデルＭｊについて、モデル誤差ＥｊおよびモデルＭｊの複雑さが
【０００８】
【数１】
2018511050.tif 000003
【０００９】
【数２】
2018511050.tif 000004
【００１０】
【数３】
2018511050.tif 000005
【００１１】
複雑さは、赤池情報量規準の中では、単純にｊ番目のモデルＭｊのｐｊ個のモデル・パラメータの形で評価される。これについては異体があることも知られており、例えばｊ番目のモデルＭｊのためのモデル構造としてのニューラル・ネットワークである場合は、ここではより詳細に説明しない周知の方法により計算することができる幾つかの有効パラメータが、複雑さを評価するためにしばしば援用されるようになっている。同様に、複雑さを（ＡＩＣｊを表す上記の方程式に示唆される）一つの係数αを用いて、いわゆるリスク回避パラメータ（ｒｉｓｋ  ａｖｅｒｓｉｏｎ  ｐａｒａｍｅｔｅｒ）を重み付けすることも知られている。
【００１２】
個々のモデルＭｊのための重み付け係数ｗｊは、続いて赤池情報量規準ＡＩＣｊに基づき決定される付属の妥当性にしたがって、
【００１３】
【数４】
2018511050.tif 000006
【００１４】
この赤池情報量規準ＡＩＣでは、確かにその計算こそ速やかに行うことができるものの、しかし既知であるデータ・ポイント（ある一つの特定の入力量ｕについて測定された出力量ｙ）の個数Ｎが多い場合用に定められたものである点が問題となっている。これらの既知であるデータ・ポイントは、モデルＭｊのトレーニングのために使用されたデータ・ポイントでもあることが多い。それは別として、妥当性、ひいては重み付け係数ｗｊを計算できるようにするためには、モデルＭｊの（ｐｊ個のパラメータに関する）モデル構造も既知でなければならない。
【００１５】
しかし、台上試験およびテストスタンドにおける測定のためのコストは、可能な限り低減されなければならないことから、具体的な適用のためには既知であるデータ・ポイント数を最小限とすることが望まれる。
【００１６】
より少ないデータ・ポイントの個数Ｎについては、
【００１７】
【数５】
2018511050.tif 000007
【００１８】
さらにこの適用においては、モデルＭｊが、既にトレーニングを完了したモデルとして存在しているが、それに関するモデル構造が全く知られていない、ということもよくある話である。それによりモデル・アンサンブルのモデルＭｊが、一部未知のブラックボックスとして存在することもある。しかしモデル・パラメータの個数ｐｊが知られていないことから、モデル・アンサンブルを策定するために公知である赤池情報量規準ＡＩＣをそのような未知のモデルＭｊに適用することは不可能である。赤池情報量規準ＡＩＣのこれらの欠点により、これらの条件（使用に供されているデータ・ポイントが少数であり、おそらくはモデル構造についての知識がない）のときには、モデル・アンサンブルを策定するために赤池情報量規準ＡＩＣを導入するのは不可能であるか、または導入できたとしても、少なくとも満足のいかないものとなる。
【先行技術文献】
【特許文献】
【００１９】
【特許文献１】ＷＯ２０１３／１３１８３６Ａ２
【非特許文献】
【００２０】
【非特許文献１】Ｈａｒｔｍａｎｎ  Ｂ．、「Ｌｏｋａｌｅ  Ｍｏｄｅｌｌｎｅｔｚｅ  ｚｕｒ  Ｉｄｅｎｔｉｆｉｋａｔｉｏｎ  ｕｎｄ  Ｖｅｒｓｕｃｈｓｐｌａｎｕｎｇ  ｎｉｃｈｔｌｉｎｅａｒｅｒ  Ｓｙｓｔｅｍｅ」、Ｄｉｓｓｅｒｔａｔｉｏｎ、Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔａｅｔ  Ｓｉｅｇｅｎ，  Ｊａｎｕａｒ  ２０１４
【非特許文献２】Ａｋａｉｋｅ，  Ｈ．、「Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ  ｔｈｅｏｒｙ  ａｎｄ  ａｎ  ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ  ｏｆ  ｔｈｅ  ｍａｘｉｍｕｍ  ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ  ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ」、Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ  ２ｎｄ  Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ  Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ  ｏｎ  Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ  Ｔｈｅｏｒｙ，  Ｂｕｄａｐｅｓｔ  １９７３、２６７〜２８１頁
【非特許文献３】Ｈａｎｓｅｎ，  Ｂ．Ｅ．、「Ｌｅａｓｔ  ｓｑｕａｒｅｓ  ｍｏｄｅｌ  ａｖｅｒａｇｉｎｇ」、Ｅｃｏｎｏｍｅｔｒｉｃａ，  ７５（４），  ２００７，  １１７５〜１１８９頁
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【００２１】
このため本発明の課題は、わずかな個数の既存のデータ・ポイントで済む、またそれ故に最小限の台上試験で済む上に、モデル・アンサンブルのモデルのモデル構造についての知識が要求されない、モデル・アンサンブルの策定方法を提示することにある。
【課題を解決するための手段】
【００２２】
そのような少数の実際に計測された使用に供されているデータ・ポイントのために、また一部が未知であるモデルのために、優れたモデル・アンサンブルを得るための重み付け係数を決定できるようにするために、本発明にしたがって、各モデルについて、予め定められたある一つの入力量範囲にわたり現実の物理的なプロセスの出力量からのモデル出力量の偏差を評価する一つの経験的な複雑さ尺度と、一つのモデル誤差とが算出され、この経験的な複雑さ尺度とモデル誤差とから一つの表面情報量規準（Ｏｂｅｒｆｌａｅｃｈｅｎ  Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｓｋｒｉｔｅｒｉｕｍ）が形成され、そこからモデル・アンサンブルのための重み付け係数を算出できるようになっている。したがって赤池情報量規準において行われるようなモデル構造の評価は行われず、それよりもむしろ、ある一つのモデルの複雑さを、基礎に置かれている物理的なプロセスからのこのモデルの偏差に基づいて評価する、一つの経験的な複雑さ尺度が使用されるようになっている。この場合は計測されたデータ・ポイントについての偏差（モデル誤差）が評価されるだけではなく、この経験的な複雑さ尺度の中に表れる、これらのデータ・ポイントの間の偏差、すなわちある一つの入力量範囲の全体にまたがる偏差も評価されることになる。したがって、モデル・アンサンブルのモデルのモデル構造についての知識はもはや必要ない。経験的な複雑さ尺度を使用することによって、必要とされるデータ・ポイント数も大幅に減らすことができるために、必要とされるそれぞれのデータ・ポイントをテストスタンドにおいて測定するための時間も同様に大幅に短縮することができる。
【００２３】
ｊ番目のモデルのモデル誤差は、簡単かつ急速に算出可能な方法で、物理的なプロセスの入力量について測定された出力量（データ・ポイント）と、これらの入力量について、関係式
【００２４】
【数６】
2018511050.tif 000008
【００２５】
ｊ番目のモデルの経験的な複雑さ尺度は、式
【００２６】
【数７】
2018511050.tif 000009
【００２７】
【数８】
2018511050.tif 000010
【００２８】
重み付け係数を算出するために自由度を持たせるために、経験的な複雑さ尺度は、一つの複雑さ回避パラメータを用いて重み付けされると好適である。
【００２９】
本発明の簡単な一形態においては、モデル・アンサンブルの各モデルの重み付け係数を、式
【００３０】
【数９】
2018511050.tif 000011
【００３１】
本発明の特に有利な一形態においては、モデル・アンサンブルのために、モデルのモデル誤差を包含している一つの誤差行列と、モデルＭｊの経験的な複雑さ尺度を包含している一つの複雑さ尺度行列とから、表面情報量規準を形成すること、その際にはこの誤差行列および複雑さ尺度行列が、式ＳＩＣ＝｛ｗＴＦｗ＋ｗＴＣｗ｝にしたがって、モデルの重み付け係数を包含している一つの重み付けベクトルにより、それぞれ二回ずつ重み付けされて、モデル・アンサンブルの表面情報量規準が、これらの重み付け係数に関して最小限化されることが企図されている。最適化を通じて、モデル・アンサンブルのモデル出力量と現実の物理的なプロセスとの間に生じる誤差を結果として非常に小さなものとする、モデル・アンサンブルの重み付け係数を決定することができる。
【００３２】
ここでは誤差行列が、一つの行列Ｅの積として計算されると有利であるが、その場合この行列は、式
【００３３】
【数１０】
2018511050.tif 000012
【００３４】
その際には、複雑さ尺度行列が一つの複雑さ回避パラメータにより重み付けされると非常に有利であるが、なぜならばそれにより自由度が得られることになり、これを利用して、モデル・アンサンブルのモデル出力量と現実の物理的なプロセスとの間の誤差をさらに一段と低減することができるからである。
【００３５】
そのために本発明の非常に有利な一形態においては、様々な複雑さ回避パラメータのための重み付けベクトルを計算し、その中から、ある一つの選択された複雑さ回避パラメータに付属する重み付けベクトルを、モデル・アンサンブル用の最適重み付けベクトルとして選択すること、または様々な複雑さ回避パラメータのための重み付けベクトルを計算し、その中から最適重み付けベクトルを決定するために、関係式
【００３６】
【数１１】
2018511050.tif 000013
【００３７】
以下では、本発明の有利な形態を例示的、概略的かつ限定せずに示している図１から図５を参照しながら本発明をより詳細に解説する。
【図面の簡単な説明】
【００３８】
【図１】重み付け係数を用いて重み付けされた複数のモデルを有するモデル・アンサンブルを示す図である。
【図２】様々な複雑モデルによるデータ・ポイントの近似を示す図である。
【図３】モデル・パラメータ数に依存したトレーニング誤差およびバリデーション誤差を示す図である。
【図４】本発明にしたがった重み付け係数の計算方式の効果を示す図である。
【図５】本発明にしたがった重み付け係数の計算方式の効果を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００３９】
モデル・アンサンブル１は、図１に描かれるように、ｊ個のモデルＭｊから成っている。各モデルＭｊは、モデル構造、例えばニューラル・ネットワーク、クリギング・モデル、線形モデル・ネットワーク、多項式モデル等々、および、モデル・パラメータＰｊ＝｛ｐ１，ｊ，．．．，ｐｐｊ，ｊ｝の確定数ｐｊにより決まる。これらのモデル・パラメータＰｊは、適切な方法により、トレーニングが行われたかもしくは決定されており、またはトレーニングが行われるかもしくは決定されるようになっており、通例は既知である。各モデルＭｊにより、一つの入力量ベクトルｕ＝｛ｕ１，．．．，ｕｋ｝が、モデル化される物理的なプロセスの出力量の一つの推定値
【００４０】
【数１２】
2018511050.tif 000014
【００４１】
このモデル・アンサンブル１またはそれに包含されたモデルＭｊを用いて、物理的なプロセスとして、燃焼機関のエミッション量または燃費量、例えば燃焼機関のＮＯｘ排出量、ＣＯまたはＣＯ２排出量、または燃料消費量が、このモデル・アンサンブル１の出力量
【００４２】
【数１３】
2018511050.tif 000015
【００４３】
【数１４】
2018511050.tif 000016
【００４４】
このモデル・アンサンブル１の中では、各モデル出力量
【００４５】
【数１５】
2018511050.tif 000017
【００４６】
【数１６】
2018511050.tif 000018
【００４７】
【数１７】
2018511050.tif 000019
【００４８】
【数１８】
2018511050.tif 000020
【００４９】
【数１９】
2018511050.tif 000021
【００５０】
【数２０】
2018511050.tif 000022
【００５１】
【数２１】
2018511050.tif 000023
【００５２】
【数２２】
2018511050.tif 000024
【００５３】
【数２３】
2018511050.tif 000025
【００５４】
【数２４】
2018511050.tif 000026
【００５５】
図２には、ｊ番目のモデルＭｊのモデル出力量
【００５６】
【数２５】
2018511050.tif 000027
【００５７】
【数２６】
2018511050.tif 000028
【００５８】
【数２７】
2018511050.tif 000029
【００５９】
図３には、この基本的な関係が描かれている。そこには例示的にモデルＭｊのモデル誤差Ｅ（例えば上のＭＳＥ）がモデル・パラメータの個数ｐｊに関してプロットされている。一つは、使用に供されているトレーニング・データ（使用に供されている測定されたデータ・ポイントの全てまたは一部）を用いたモデルＭｊのトレーニングの際の、モデル誤差ＥＴとして。もう一つは、予め定められたバリデーション・データ（特定の入力量ｕにおける、プロセス出力ｙ（ｕ）の任意の使用に供されている測定値）を用いて算出されたモデル誤差ＥＶとして。しかしこの適用に関しては、使用に供されているバリデーション・データがないか、またはほんのごく少数しかないという問題もある。
【００６０】
ｊ番目のモデルＭｊの複雑さを評価するために、本発明にしたがって、一つの経験的な複雑さ尺度ｃｊが使用されるが、これは、先行技術文献のようにモデル構造を評価するものではなく、それよりもむしろ、ある一つの所定の入力量範囲Ｕにわたり、物理的なプロセスの出力量ｙからのモデル出力量
【００６１】
【数２８】
2018511050.tif 000030
【００６２】
第１のアプローチ法においては、入力量範囲Ｕにわたり、モデル出力量
【００６３】
【数２９】
2018511050.tif 000031
【００６４】
【数３０】
2018511050.tif 000032
【００６５】
【数３１】
2018511050.tif 000033
【００６６】
式中、∇は、入力量ベクトルｕの中の入力量に関する公知であるナブラ演算子、すなわち、
【００６７】
【数３２】
2018511050.tif 000034
【００６８】
【数３３】
2018511050.tif 000035
【００６９】
【数３４】
2018511050.tif 000036
【００７０】
物理的なプロセスの出力量ｙからのモデルＭｊまたはモデル出力量
【００７１】
【数３５】
2018511050.tif 000037
【００７２】
【数３６】
2018511050.tif 000038
【００７３】
【数３７】
2018511050.tif 000039
【００７４】
【数３８】
2018511050.tif 000040
【００７５】
【数３９】
2018511050.tif 000041
【００７６】
【数４０】
2018511050.tif 000042
【００７７】
【数４１】
2018511050.tif 000043
【００７８】
明白であるが、モデルＭｊと物理的なプロセスとの間、またはプロセスの出力量ｙとモデル出力量
【００７９】
【数４２】
2018511050.tif 000044
【００８０】
この経験的な複雑さ尺度ｃｊから、本発明にしたがって、ｊ番目のモデルＭｊの表面情報量規準ＳＩＣｊが導出されるが、これもまた、上述の先行技術文献からの赤池情報量規準ＡＩＣに類似して、モデルＭｊのモデル誤差Ｅｊと経験的な複雑さ尺度ｃｊとから形成される、すなわち、
【００８１】
【数４３】
2018511050.tif 000045
【００８２】
【数４４】
2018511050.tif 000046
【００８３】
この表面情報量規準ＳＩＣｊの中で優先的に使用されるパラメータαＫ∈［０，∞［は、複雑さ回避パラメータとして使用される。これは単一自由度を具現するものであって、これをさらにモデル・アンサンブル１のモデルＭｊの複雑さに課すことができるようになっている。この複雑さ回避パラメータαＫが大きくなるほど、複雑さは表面情報量規準ＳＩＣｊの中により色濃く表れることになる。このためより複雑なモデルＭｊ、すなわちより多くの自由度（モデル・パラメータの個数ｐｊ）を持つモデルＭｊでは、小さな複雑さ回避パラメータαＫが優先されることになる。
【００８４】
公知である赤池情報量規準に類似して、重み付け係数ｗｊは再び
【００８５】
【数４５】
2018511050.tif 000047
【００８６】
【数４６】
2018511050.tif 000048
【００８７】
モデル・アンサンブル１の平均二乗モデル誤差ＭＳＥおよび経験的な複雑さ尺度ｃを、ｊ個のモデルＭｊの重み付け係数ｗｊを包含している一つの重み付けベクトルｗに関して、それぞれモデル誤差ＥｊおよびモデルＭｊの経験的な複雑さ尺度ｃｊの二次関数として、ＳＩＣ＝｛ｗＴＦｗ＋αＫｗＴＣｗ｝の形で表すことができることが判明している。その中のオプションである複雑さ回避パラメータαＫは、ｊ個のモデルＭｊの重み付け係数ｗｊの算出において一つの自由度を具現するようになっている。
【００８８】
式中、Ｆは、モデルＭｊのモデル誤差Ｅｊを内包した一つの誤差行列を、ｃは、モデルＭｊの経験的な複雑さ尺度ｃｊを内包した一つの複雑さ尺度行列を表す。モデル誤差Ｅｊとして平均二乗誤差ＭＳＥｊを、全てのｉ∈Ｎ個のデータ・ポイントおよびｊについて、行列
【００８９】
【数４７】
2018511050.tif 000049
【００９０】
【数４８】
2018511050.tif 000050
【００９１】
【数４９】
2018511050.tif 000051
【００９２】
【数５０】
2018511050.tif 000052
【００９３】
【数５１】
2018511050.tif 000053
【００９４】
【数５２】
2018511050.tif 000054
【００９５】
重み付け係数ｗｊ（またはそれに類似して重み付けベクトルｗ）を決定するために、ある一つの特定の複雑さ回避パラメータαＫについて、モデル・アンサンブル１の表面情報量規準ＳＩＣが、重み付け係数ｗｊに関して最適化、とりわけ最小限化されてもよい。そこから一つの最適化問題を
【００９６】
【数５３】
2018511050.tif 000055
【００９７】
これは、容易に認識できるように、ある一つの予め定められた複雑さ回避パラメータαＫのための、使用に供されている解決アルゴリズム標準規格を用いて、急速かつ効率的に解くことができる、二次最適化問題である。
【００９８】
この最適化のための周辺条件として、ｗｊ∈［０，１］および
【００９９】
【数５４】
2018511050.tif 000056
【０１００】
重み付け係数ｗｊを決定するための、モデル・アンサンブル１の表面情報量規準ＳＩＣのこの最適化の結果を、図４に基づき説明するものとする。この実施例の基礎に置かれるのは、少数のデータ・ポイントについてトレーニングを行ったｊ個のモデルＭｊである。図中、左側の二つのグラフには、モデル・アンサンブル１のトレーニング誤差ＥＴＥと、上述の表面情報量規準ＳＩＣの最適化を用いて算出されたバリデーション誤差ＥＶＥが示される。横座標には、個別のモデルＭｊの複雑さから
【０１０１】
【数５５】
2018511050.tif 000057
【０１０２】
【数５６】
2018511050.tif 000058
【０１０３】
【数５７】
2018511050.tif 000059
【０１０４】
図４の右側のグラフにより、バリデーション誤差ＥＶがトレーニング誤差ＥＴに関して描かれている。そこでも、点は再び個別モデルＭｊを表している。その中では他にも、これまでの慣用である赤池情報量規準ＡＩＣを用いて算出されたモデル・アンサンブル１が、本発明にしたがって表面情報量規準ＳＩＣを用いて算出されたモデル・アンサンブル１と比較される。はっきりと見分けがつくように、表面情報量規準ＳＩＣは、赤池情報量規準ＡＩＣよりも格段と優れるだけではなく、各個別モデルＭｊよりも好成績をあげている。
【０１０５】
他にも図４の右側のグラフからは、モデル・アンサンブル１のモデル誤差を最小限化する一つの複雑さ回避パラメータαＫ，ｏｐｔがあることを読み取ることができる。したがって、この最適複雑さ回避パラメータαＫ，ｏｐｔを、手探りで見つけ出すこと、または少なくとも手探りでこれを近似することが試みられてもよい。しかし、表面情報量規準ＳＩＣの最適化に続く第２のステップにおいては、この最適複雑さ回避パラメータαＫ，ｏｐｔを算出し、またそれに伴いそれに付属する最適重み付けベクトルＷｏｐｔも算出することが試みられてもよいが、その際には以下で説明するような手順が踏まれることになる。
【０１０６】
そのために、まず最初に複数の複雑さ回避パラメータαＫについて、付属する重み付けベクトル
【０１０７】
【数５８】
2018511050.tif 000060
【０１０８】
【数５９】
2018511050.tif 000061
【０１０９】
【数６０】
2018511050.tif 000062
【０１１０】
式中、Ｆは再び誤差行列（Ｆ＝ＥＴＥ）であり、σは、使用に供されているが通例は知られていないデータ・ポイントの標準偏差である。いずれにせよ、既存のデータ・ポイントからこの標準偏差σを推定するために、（例えば非特許文献３に記載されるような）公知の手法がある。ベクトルｐには再び、ｊ個のモデルＭｊの全てについてのモデル・パラメータの個数ｐｊが包含される。したがってこの第２ステップのためには、モデルＭｊまたはそれらのモデル構造についての知識が要求される。
【０１１１】
もっともこの最適化については、解が直接得られることはなく、それよりもむしろ、最初に算出された重み付け係数のセット
【０１１２】
【数６１】
2018511050.tif 000063
【０１１３】
【数６２】
2018511050.tif 000064
【０１１４】
さらに図５を用いて、使用に供されている少数Ｎ個のデータ・ポイントについて、重み付け係数ｗｊを決定するための本発明にしたがった手法の効果を、一つの例に基づき具体的に説明するものとする。重み付け係数ｗｊを決定するために、同じ一基の特定の燃焼機関において、ＮＯｘ排出量に関しても、また煤排出量に関しても、それぞれ５，０００のデータ・ポイントを計測した、すなわち、このデモンストレーション例のために十分なデータを揃えるために、５，０００の入力ベクトルｕについて、ＮＯｘおよび煤の測定値をそれぞれ一つずつ得た。入力ベクトルｕには、ここでは例えば５つの入力量ｕｉが、具体的にはトルク、回転数、冷却水温度、可変タービン・ジオメトリ・ターボチャージャの位置、およびＥＧＲの位置が含まれていた。それぞれ１５種類のモデルＭｊ（様々なモデル構造および／または様々なモデル・パラメータ数および／または様々なモデル・パラメータ）について、使用に供されている５，０００のデータ・ポイントからデータ・ポイントをランダム・サンプリングしてトレーニングを行った。このランダム・サンプリングを、使用に供されている少数Ｎ個のデータ・ポイントとして使用した。その際には使用に供されているデータ・ポイントの個数Ｎを、１０から１５０に増やしていった、すなわち、１０≦Ｎ≦１５０。それぞれの残りのデータ・ポイント（５，０００−Ｎ）を、この例では本発明の有効性を検証するためにバリデーション・データとして、バリデーションのために使用した。図５には、ＮＯｘ排出量および煤排出量について、バリデーション誤差ＥＶ，ＮＯｘおよびＥｖ，Ｒｕｓｓがそれぞれ描かれている。バリデーション誤差ＥＶは、そこでは、モデル出力量
【０１１５】
【数６３】
2018511050.tif 000065
【０１１６】
【数６４】
2018511050.tif 000066
【０１１７】
これについても、図５のグラフの中にバリデーション誤差が描かれている。そこから直接明らかであるように、本発明にしたがって算出されるモデル・アンサンブル１が通例はそれぞれの最良モデルＭｊより優れるだけではなく、赤池情報規準ＡＩＣを用いて算出されたモデル・アンサンブルより優れたものともなっている。
【０１１８】
本発明にしたがって決定されるモデル・アンサンブルは、例えば技術システムのキャリブレーション、例えば燃焼機関のキャリブレーションの際に使用されるものである。このキャリブレーションの際には、技術システムが、状態量または状態量ベクトルにより与えられる特定の運転状態にあるときに、技術システムの少なくとも一つの出力量を最適化するために、技術システムを制御するために使用される技術システムの制御量が変化されるようになっている。そこでは、制御量の変化による出力量のこの最適化が、通例は最適化問題として定式化されて、その解が求められるようになっている。これについては、公知である手法が十分に揃っている。そのようにして算出された制御量は、その時々の運転状態の関数として、例えば特性マップまたはテーブルの形式で保存される。その後で、現在の（測定またはその他の方法により決定（例えば推定）される）運転状態に応じて技術システムを制御するために、この関係を使用することができる。換言すると、この保存されている関係から、その時々の運転状態に関して保存されている制御量が読み出されて、技術プロセスの制御のために使用される。技術システムが燃焼機関である場合は、この運転状態が、多くは回転数およびトルクといった測定可能な量により記述されることになるが、この際には、冷却水温度、周囲温度等、それ以外の量も使用することができる。制御量として、燃焼機関の場合は、可変タービン・ジオメトリ・ターボチャージャの位置、ＥＧＲの位置、または噴射時期が適用されることが多い。燃焼機関の最適化対象の出力量は典型的には燃費および／またはエミッション量（例えばＮＯｘ、ＣＯ、ＣＯ２等）となる。すなわち燃焼機関のキャリブレーションにより、適正な制御量の設定を通じて、運転中には燃費および／または排出量が最小限となることが保証されなければならない。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【国際調査報告】
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