(57)【要約】【課題】本開示は、光フーリエ変換の振幅成分の測定に基づいて複素光フーリエ変換の位相成分を決定する方法を提供することを目的の一つとする。【解決手段】振幅および位相情報を含む入力関数の複素フーリエ変換を実行する方法であって、複数の副関数における各々の副関数の（複素）フーリエ変換は、振幅関数および、位相（情報）が複数の可能な位相値に律則される位相関数を含み、入力関数を複数の副関数に分解するステップ、副関数の光学フーリエ変換の振幅関数、および、副関数に摂動関数を適用することによって生じる光学フーリエ変換の振幅関数における変化、を測定することによって、各々の副関数の（複素）フーリエ変換の位相関数を決定するステップ、および、各々の副関数に対して、決定された位相関数および測定された振幅関数を組み合わせて、入力関数の複素フーリエ変換を形成するステップを含む。【選択図】図１２
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
振幅および位相情報を含む入力関数の複素フーリエ変換を実行する方法であって、
複数の副関数における各々の副関数の前記（複素）フーリエ変換は、振幅関数、および、前記位相（情報）が複数の可能な位相値に律則される位相関数を含み、前記入力関数を前記複数の副関数に分解するステップ、
前記副関数の光学フーリエ変換の前記振幅関数、および、前記副関数に摂動関数を適用することによって生じる前記光学フーリエ変換の前記振幅関数における変化、を測定することによって、各々の副関数の前記（複素）フーリエ変換の前記位相関数を決定するステップ、および、
各々の副関数に対して、前記決定された位相関数および前記測定された振幅関数を組み合わせて、前記入力関数の前記複素フーリエ変換を形成するステップ、
を含む、複素フーリエ変換を実行する方法。
【請求項２】
前記入力関数を複数の副関数に分解するステップは、
前記入力関数の実数成分および虚数成分を決定するステップと、
前記入力関数の前記実数成分を第１の複数の副関数に分解するステップと、
前記入力関数の前記虚数成分を第２の複数の副関数に分解するステップと、
を含む、
請求項１に記載の複素フーリエ変換を実行する方法。
【請求項３】
前記振幅関数における変化を測定するステップは、
前記摂動関数を前記副関数に加えて、摂動副関数を形成するステップ、
前記摂動副関数の光学フーリエ変換を行い、前記摂動副関数の前記光学フーリエ変換の前記振幅関数を検出するステップ、および、
前記副関数の前記フーリエ変換の前記測定された振幅関数と前記摂動副関数の前記フーリエ変換の前記振幅関数とを比較するステップ、
を含む、
請求項１または２に記載の複素フーリエ変換を実行する方法。
【請求項４】
前記入力関数を複数の副関数に分解するステップは、前記入力関数を複数の副関数に分解するステップを含み、
各々の副関数の前記フーリエ変換は、振幅関数、および、前記位相が二つの可能な位相値に律則される位相関数、
を含む、
請求項１乃至３の何れか一項に記載の複素フーリエ変換を実行する方法。
【請求項５】
前記副関数のうち少なくとも一つに対して、前記二つの可能な位相値の間の前記差は、（２ｎ＋１）πラジアンであって、ｎは整数である、
請求項４に記載の複素フーリエ変換を実行する方法。
【請求項６】
前記副関数のうち少なくとも一つに対して、前記二つの可能な位相値のうちの一つは、ｎπラジアンであって、ｎは整数である、
請求項４または５に記載の複素フーリエ変換を実行する方法。
【請求項７】
前記副関数のうち少なくとも一つに対して、前記二つの可能な位相値のうちの一つは、（ｎ＋１／２）πラジアンであって、ｎは整数である、
請求項４乃至６の何れか一項に記載の複素フーリエ変換を実行する方法。
【請求項８】
前記第１の複数の副関数は、第１の偶関数および第１の奇関数である、
請求項４乃至７の何れか一項に記載の複素フーリエ変換を実行する方法。
【請求項９】
前記第２の複数の副関数は、第２の偶関数および第２の奇関数である、
請求項４乃至８の何れか一項に記載の複素フーリエ変換を実行する方法。
【請求項１０】
前記副関数の前記複素フーリエ変換は、複数の要素の空間的アレイを含む前記副関数の前記複素フーリエ変換のピクセル化された表現であって、
各要素は振幅値および位相値を含む、
請求項１乃至８の何れか一項に記載の複素フーリエ変換を実行する方法。
【請求項１１】
前記副関数の前記複素フーリエ変換の前記振幅関数は、前記各要素の前記振幅値によって表現される、
請求項１０に記載の複素フーリエ変換を実行する方法。
【請求項１２】
前記副関数の前記複素フーリエ変換の前記位相関数は、前記各要素の前記位相値によって表現される、
請求項１０または１１に記載の複素フーリエ変換を実行する方法。
【請求項１３】
さらに、前記決定された位相関数、および、各副関数に対して測定された振幅関数を用いて、各副関数の前記複素フーリエ変換を形成するステップを含む、
請求項１乃至１２の何れか一項に記載の複素フーリエ変換を実行する方法。
【請求項１４】
さらに、前記副関数の前記複素フーリエ変換のそれぞれを組み合わせて、前記入力関数の前記複素フーリエ変換を形成するステップを含む、
請求項１乃至１３の何れか一項に記載の複素フーリエ変換を実行する方法。
【請求項１５】
前記決定された位相関数、および、前記測定された振幅関数を組み合わせるステップは、
前記第１の複数の副関数の前記複素フーリエ変換のそれぞれを一緒に加算し、前記入力関数の前記フーリエ変換の前記実数成分を形成するステップ、および、
前記第２の複数の副関数の前記複素フーリエ変換のそれぞれを一緒に加算し、前記入力関数の前記フーリエ変換の前記虚数成分を形成するステップ、
を含み、
前記入力関数の前記フーリエ変換の前記実数成分と、前記入力関数の前記フーリエ変換の前記虚数成分とが、前記入力関数の前記複素フーリエ変換を形成する、
請求項１乃至１４の何れか一項に記載の複素フーリエ変換を実行する方法。
【請求項１６】
前記副関数に摂動関数を適用することによって生じる前記光学フーリエ変換の前記振幅関数における変化は、
差分関数を形成するために、前記摂動副関数の前記フーリエ変換の前記振幅関数から前記副関数の前記フーリエ変換の前記測定された振幅関数を減算することによって決定される、
請求項１乃至１５の何れか一項に記載の複素フーリエ変換を実行する方法。
【請求項１７】
さらに、前記差分関数の符号を決定するステップを含む、
請求項１６に記載の複素フーリエ変換を実行する方法。
【請求項１８】
前記副関数の光学フーリエ変換の前記振幅関数を測定するステップは、
空間光変調器上の副関数を表現するステップ、
前記空間光変調器を照らし、空間的に変調された光を形成するステップ、
フーリエ変換レンズを用い、前記空間的に変調された光をフーリエ変換するステップ、および、
前記フーリエ変換レンズの前記フーリエ平面における前記空間強度分布を検出するステップ、
を含む、
請求項１乃至１７の何れか一項に記載の複素フーリエ変換を実行する方法。
【請求項１９】
前記副関数の光学フーリエ変換の前記振幅関数を測定するステップは、
空間光変調器の上の副関数を表現するステップと、
前記空間光変調器を照らし、空間的に変調された光を形成するステップと、
前記光学的な遠距離場における前記空間強度分布を検出するステップと、
を含む、
請求項１乃至１７の何れか一項に記載の複素フーリエ変換を実行する方法。
【請求項２０】
さらに、前記検出された空間強度分布を平方根にするステップを含む、
請求項１８または１９に記載の複素フーリエ変換を実行する方法。
【請求項２１】
前記空間強度分布を検出するステップは、光検出器アレイを用いて前記空間強度分布を検出することを含む、
請求項１８乃至２０の何れか一項に記載の複素フーリエ変換を実行する方法。
【請求項２２】
前記摂動関数は、デルタ関数、または、デルタ関数の離散近似である、
請求項１乃至２１の何れか一項に記載の複素フーリエ変換を実行する方法。
【請求項２３】
さらに、前記摂動関数の前記フーリエ変換は、振幅関数、および、前記位相が前記複数の可能な位相値のうちの一つである位相関数、を含む、
請求項１乃至２２の何れか一項に記載の複素フーリエ変換を実行する方法。
【請求項２４】
振幅および位相情報を含む入力関数の複素フーリエ変換を実行する装置であって、
複数の副関数における各々の副関数の前記（複素）フーリエ変換は、振幅関数、および、前記位相（情報）が複数の可能な位相値に律則される位相関数を含み、入力関数を前記複数の副関数に分解するために配置されたプロセッサ、
前記副関数の光学フーリエ変換の前記振幅関数、および、前記副関数に摂動関数を適用することによって生じる前記光学フーリエ変換の前記振幅関数における変化、を測定するために配置された光学システム、
を含み、
前記プロセッサは、さらに、
前記副関数の前記光学フーリエ変換の前記測定された振幅関数から各々の副関数の前記複素フーリエ変換の位相関数、および、摂動関数を前記副関数に適用することによって生じる前記光学フーリエ変換の前記測定された振幅関数、を決定し、
前記決定された位相関数、および、前記副関数の光学フーリエ変換の前記測定された振幅関数を組み合わせて、前記入力関数の前記複素フーリエ変換を形成するために配置される、
複素フーリエ変換を実行する装置。
【請求項２５】
前記光学システムは、さらに、
前記副関数を表示するために配置される空間光変調器と、
前記空間光変調器を照らし、空間的に変調された光を形成するために配置される光源と、
前記空間的に変調された光を受光し、前記空間的に変調された光をフーリエ変換するために配置されるフーリエ変換レンズと、
前記フーリエ変換レンズの前記フーリエ平面で前記空間強度分布を検出するために配置される光検出器アレイと、
を含む、
請求項２４に記載の複素フーリエ変換を実行する装置。
【請求項２６】
前記空間光変調器と前記フーリエ変換レンズとは、前記フーリエ変換レンズの焦点距離に等しい距離だけ離れており、前記フーリエ変換レンズと前記光検出器アレイとは、前記フーリエ変換レンズの焦点距離に等しい距離だけ離れている、
請求項２５に記載の複素フーリエ変換を実行する装置。
【請求項２７】
前記光学システムは、さらに、
前記副関数を表示するために配置される空間光変調器と、
前記空間光変調器を照らし、空間的に変調された光を形成するために配置される光源と、
前記光学的な遠距離場における前記空間強度分布を検出するように配置された光検出器アレイと、
を含む、
請求項２４に記載の複素フーリエ変換を実行する装置。
【請求項２８】
関数の複素フーリエ変換のピクセル化された表現を形成するように配置された複数の要素の空間アレイにおける一つの要素の位相値を決定する方法であって、
各要素は振幅値および位相値を含み、
前記位相値は複数の可能な位相値に律則され、
前記関数の光学フーリエ変換を実行することによって前記一つの要素に対する第１の振幅値を測定し、前記一つの要素で光学強度を検出するステップ、および、
前記関数に摂動関数を適用することによって生じる前記一つの要素の前記第１の振幅値における変化を測定するステップを含む、
位相値を決定する方法。
【請求項２９】
前記第１の振幅値における複数の変化を測定するステップは、
前記関数に前記摂動関数を加算し、摂動化された関数を形成するステップ、
前記摂動化された関数の光学フーリエ変換を実行し、第２の振幅値を検出するステップ、および、
前記第１の振幅値と前記第２の振幅値とを比較するステップを含む、
請求項２８に記載の位相値を決定する方法。
【請求項３０】
前記関数に摂動関数を適用することによって生じる前記第１の振幅値における前記変化は、前記第２の振幅値から前記第１の振幅値を減算することによって決定され、差分値を形成する、
請求項２８または請求項２９に記載の位相値を決定する方法。
【請求項３１】
さらに、前記差分値の符号を決定するステップを含む、
請求項３０に記載の位相値を決定する方法。
【請求項３２】
前記要素は、振幅値、および、前記位相（情報）が二つの可能な位相値に律則される位相値含む、
請求項２８乃至請求項３０の何れか一項に記載の位相値を決定する方法。
【請求項３３】
前記要素に対して、前記二つの可能な位相値の間の前記差は、（２ｎ＋１）πラジアンであって、ｎは整数である、
請求項３２に記載の位相値を決定する方法。
【請求項３４】
前記要素に対して、前記二つの可能な位相値のうちの一つは、ｎπラジアンであって、ｎは整数である、
請求項３２または請求項３３に記載の位相値を決定する方法。
【請求項３５】
前記要素に対して、前記二つの可能な位相値のうちの一つは、（ｎ＋１／２）πラジアンであって、ｎは整数である、
請求項３２乃至請求項３４の何れか一項に記載の位相値を決定する方法。
【請求項３６】
前記摂動関数は、デルタ関数である、
請求項２８乃至請求項３５の何れか一項に記載の位相値を決定する方法。
【請求項３７】
前記摂動関数の前記フーリエ変換は、振幅関数、および、前記位相（情報）が前記複数の可能な位相値のうちの一つである位相関数、を含む
請求項２８乃至請求項３６の何れか一項に記載の位相値を決定する方法。
【請求項３８】
前記関数は、偶関数、または、奇関数である、
請求項２８乃至請求項３７の何れか一項に記載の位相値を決定する方法。
【請求項３９】
前記第１の振幅値を測定するステップは、
空間光変調器の上で前記関数を表示するステップ、
空間的に変調された光を形成するために、前記空間光変調器を照らすステップ、
前記空間的に変調された光をフーリエ変換するステップ、および、
前記要素で前記（光学）強度を検出するステップ、
を含む、
請求項２８乃至請求項３８の何れか一項に記載の位相値を決定する方法。
【請求項４０】
さらに、前記検出された強度を平方根にするステップを含む、
請求項３９に記載の位相値を決定する方法。
【請求項４１】
前記要素で前記強度を検出するステップは、光検出器を用いて前記強度を検出することを含む、
請求項３９または請求項４０に記載の位相値を決定する方法。
【請求項４２】
関数の複素フーリエ変換のピクセル化された表現を形成するように配置された複数の要素の空間アレイにおける一つの要素の位相値を決定する装置であって、
各要素は振幅値および位相値を含み、
前記位相値は複数の可能な位相値に律則され、
前記関数に摂動関数を適用することによって生じる前記一つの要素で前記振幅値における変化を測定するために配置された光学システム、および、
前記一つの要素で前記測定された振幅値から前記一つの要素で前記位相値と、前記関数に摂動関数を適用することによって生じる前記一つの要素で前記振幅値において前記測定された変化と、を決定するために配置されたプロセッサ、
を含む、
位相値を決定する装置。
【請求項４３】
前記光学システムは、
前記関数を表示するために配置される空間光変調器と、
前記空間光変調器を照らし、空間的に変調された光を形成するために配置される光源と、
前記空間的に変調された光を受光し、前記空間的に変調された光をフーリエ変換するために配置されるフーリエ変換レンズと、
前記フーリエ変換レンズの前記フーリエ平面で前記一つの要素で前記（光学）強度を検出するために配置される光検出器と、
を含む、
請求項４２に記載された位相値を決定する装置。
【請求項４４】
前記光学システムは、
前記空間光変調器と前記フーリエ変換レンズとは、前記フーリエ変換レンズの焦点距離に等しい距離だけ離れており、前記フーリエ変換レンズと前記光検出器とは、前記フーリエ変換レンズの焦点距離に等しい距離だけ離れている、
請求項４３に記載された位相値を決定する装置。
【請求項４５】
前記光学システムは、
前記関数を表示するために配置される空間光変調器と、
前記空間光変調器を照らし、空間的に変調された光を形成するために配置される光源と、
前記光学的な遠距離場における前記空間強度分布を検出するように配置された光検出器アレイと、
を含む、
請求項４２に記載された位相値を決定する装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本開示は、光学フーリエ変換の振幅成分の測定に基づいて複素光学フーリエ変換の位相成分を決定する方法に関する。より詳細には、本開示は、入力関数の複素フーリエ変換を実行する方法、入力関数の複素フーリエ変換を行う装置、および、入力関数の複素フーリエ変換のピクセル化された表現を形成するように配置された要素の空間アレイにおける要素の位相値を決定する方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
フーリエ変換は、普遍的に有用な数学的演算である。フーリエ変換（ＦＴ）は、一般的に、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）アルゴリズムを介して実施され、多くの異なる計算アプリケーションで使用される。このようなアルゴリズムは、変換のサイズがｎで、Ｏ（ｎ．ｌｏｇｎ）のようにスケールされる。ＦＥＴを実行することは、計算上、集約的であり、システムパフォーマンスのボトルネックになることがよくある。メモリ帯域幅には制限があり、執筆時点では、８Ｋ×８ＫのＦＦＴは、高性能グラフィックスカードを用いた高速コンピュータ上で、約０．６秒かかる。大きなＦＦＴをより高速に実行することは、多くのアプリケーションにとって非常に望ましいことです。より規模が大きなＦＦＴを、より高速に実行することは、多くのアプリケーションにとって非常に望ましい。
【０００３】
フーリエ変換は光学的に実行されてもよい。２Ｄフーリエ変換は、コヒーレント光学系において用いられる。光学的なコプロセッサをＦＥＴアルゴリズムの代わりに使用して、有意な性能上の利点を有する光学フーリエ変換（ＯＦＴ）を見出すことができる。これは真のＦＴを表し、複合的な結果が、結果として得られる明視野（すなわち、大きさ、および、位相）の複素振幅で表される。しかしながら、複素関数の光学フーリエ変換を実行する場合、ほとんどの従来の方法はその振幅のみを検出することができ、その位相情報は失われ、例えばカメラは｜振幅｜2を検出する。したがって、複素フーリエ変換を記述または表現するために必要な情報は、しばしば不完全であり、複素フーリエ変換の完全な複素化を決定することはできない。位相検出器は利用可能であるが、スケールがよくなく、精度があまり高くなく、機械的および／または光学的に複雑である。
【０００４】
光学フーリエ変換は、２ｆ光学システムにおいて用いられる。図１は、光学フーリエ変換（ＯＦＴ）ステージのレイアウトを示している。空間光変調器（ＳＬＭ）１０１、フーリエ変換レンズ１０３、および光検出器アレイ１０５は、共通の光軸に沿って順次配置されている。ＳＬＭ１０１は、光源（図示は省略）からコヒーレントなコリメート光１０２を受光するように配置されている。フーリエ変換レンズ１０３は、ＳＬＭ１０１から共通の光軸に沿って距離ｆに配置され、また、ＳＬＭ１０１から空間的に変調された光１０４を受光するように配置されている。カメラセンサ１０５は、フーリエ変換レンズ１０３から共通の光軸に沿って距離ｆに配置され、また、フーリエ変換レンズ１０３から収束光１０６を受光するように配置されている。
【０００５】
入力光がコリメートされていない場合、フーリエ変換が依然として現れるように、センサ、レンズ、およびカメラに対して、距離が計算されてもよいことが理解される。すなわち、ＳＬＭ１０１に表示された画像のフーリエ変換が、カメラセンサ１０５によって取得されるように、ＳＬＭ１０１、フーリエ変換レンズ１０３およびカメラセンサ１０５の相対位置が決定されてもよい。
【０００６】
動作において、ＳＬＭ１０１は、数値関数ｔinPut（ｘ、ｙ）を「表示」するためにコンピュータによって駆動される。ここで、ｘおよびｙは空間座標である。ＳＬＭ１０１は、受光された光を空間的に変調するようにそれぞれ配置された要素の２Ｄアレイを含む。ＳＬＭ１０１は、光の位相、振幅および／または偏光を、空間的に変調してもよい。「表示」という用語は、ここでは、関数がＳＬＭ１０１上に表現されるように、複数の要素の２Ｄアレイの各要素が、個別に制御または駆動されてもよいこと、を説明するために使用される。この例では、ＳＬＭ１０１の複数の要素の２Ｄアレイは、波長λのコヒーレントなコリメートレーザ光１０２の振幅および位相を空間的に変調し、関数ｔinput（ｘ、ｙ）でコヒーレントなコリメートレーザ光１０２を効果的に符号化する。したがって、ＳＬＭ１０１は複素透過プロファイルｔinput（ｘ、ｙ）を有するものとして説明されてもよい。そのときに、空間的に変調された光１０４は、焦点距離ｆを有するフーリエ変換レンズ１０３によって受光される。これにより、フーリエ変換レンズ１０３の後方焦点面に形成される数値関数Ａｔinput（ｘ、ｙ）のフーリエ変換Ｕf（ｕ、ｖ）が得られる。ここで、ｕおよびｖは空間周波数座標である。光検出器アレイ１０５は、収束光１０６の強度分布を取得するために、フーリエ変換レンズの後方焦点面に配置される。ＳＬＭ１０１は、光が装置を通過する透過型であるが、反射型ＳＬＭも同様に適用可能である。反射型ＳＬＭは、液晶層の後ろに組み込まれたミラーを有し、液晶層および電極層を介して光を反射する。
【０００７】
レンズの１つの焦点（第１の焦点）における明視野がコリメートされ、複素関数入力によって変調された振幅Ａを有する場合、第２の焦点における明視野は次の数式（１）のように与えられる。
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ここで、ｅikf／ｊλｚは、一般的に無視できるグローバルタームである。フーリエ変換Ｆは光学的に用いられる。
【０００８】
このようなシステムは、光学フーリエ変換を実施するための「コプロセッサ」として使用することができる。このようなシステムへの入力は、ＳＬＭ１０１であり、例えば、液晶、マイクロメカニカル、またはソリッドステートデバイスである。出力は、光検出器アレイ１０５であり、例えば、システムの入力分解能および光学的スケーリングに適した所与の分解能で光学フーリエ変換をサンプリングするカメラセンサである。
【０００９】
汎用計算のためのＦＦＴの代わりに光学フーリエ変換を使用する主な障害は、概して複素的な結果の位相の回復である。カメラは強度のみを回復する。強度Ｉは、以下の数式（２）によって複素振幅Ａと関係している。
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ここで、＊は複素共役を表す。
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【００１０】
そのＦＴの強度から信号を回復する問題は非常に重要であり、広く研究されている。一般に、反復アルゴリズムが使用される。対照的に、本開示は、入力関数に直接アクセスすることによって可能になる決定論的方法を提供する。本開示は、位相検索アルゴリズムによって扱われる後方ＦＴ問題ではなく、前方ＦＴ問題に対処する。
【課題を解決するための手段】
【００１１】
本発明の態様は、付加された独立請求項に定義されている。
【００１２】
要約すると、本開示は、強度のみの測定値を用いて光学フーリエ変換の位相を回復させる方法に関し、最終的に光学的に実行される完全な複素−複素ＦＴを可能にする。すなわち、ここでは、強度測定のみを使用して複素入力関数ｚ（ｘ）の複素フーリエ変換を見出す方法が開示されている。この方法は、入力関数にアクセスし、その上で簡単な操作を実行できる。
【００１３】
以下のステップを含む方法を提供する。
１）入力関数を実数部と虚数部に分解し、２つの実関数を生成する。
２）それぞれの実関数を偶数と奇数の部分に分解する。
３）各部分の光学フーリエ変換を個別に行う。位相は律則される。
４）各部分を摂動させ、光学フーリエ変換を再度見出す。（３）と比較し、位相を決定する。
５）光学フーリエ変換の要素の各々を組み合わせて、最終的な複素光学フーリエ変換を見出す。
【００１４】
実関数を偶数および奇数成分に分割することによって、位相は２進数に律則される。その関数を摂動させると、これらの値を区別できる。
【００１５】
実関数を偶数および奇数成分に分割することによって、位相は２進数に律則される。その関数を摂動させると、これらの値を区別できる。
【００１６】
本発明者らは、入力関数の完全な複素光学フーリエ変換が、対応する振幅成分の光学的測定に基づく計算によって決定されることを可能にする方法を考案した。このことが、入力関数を、位相が可能な値の離散的な数に律則されるフーリエ変換が行われる成分関数に分解することによって達成され得ることを、本発明者らは認識した。これに関して、位相は、「量子化された」、「離散値に律則された」、または「離散化された」と記述されてもよい。位相成分は、振幅成分の測定値に基づいて決定される。したがって、複素フーリエ変換の位相成分を決定する光学的かつ数学的なハイブリッド手法が提供されることが理解されよう。
【００１７】
本明細書で開示される方法は、フィードバックに基づく反復プロセスを用いて、フーリエ（周波数）ドメインにおける位相情報の近似が空間ドメインの振幅情報から得られる、Ｇｅｒｃｈｂｅｒｇ−Ｓａｘｔｏｎアルゴリズムに基づくものなどの、いわゆる位相検索アルゴリズムと区別されてもよい。対照的に、本開示による方法は、入力関数の実数部および虚数部の両方を使用して、光学測定に基づいてフーリエ（周波数）ドメインにおける位相関数を直接計算する。したがって、完全な複素−複素順方向フーリエ変換は、関数のサイズとは無関係に実行時間を伴って高速で実行されてもよい。
【００１８】
本明細書で開示される方法は、少なくとも以下の利点を提供する。
【発明の効果】
【００１９】
物理的測定はほとんどありません。複素光学フーリエ変換を完全に複素化するために必要な物理的測定は８回だけであり、それらは並列に行うことができます。任意の解像度の８つのＳＬＭを用いて、光学フーリエ変換は、解像度に依存しないシステムのリフレッシュ時間内に実行される。ハードウェアの精度よりも高い精度は、任意の精度の入力関数の異なる複数のビット平面にわたって複数の光学フーリエ変換を実行することによって達成することができる。実施形態では、４つの副関数および各副関数の摂動された形態を含む８つの測定を同時に行うことができる。８倍の測定によって、比例的に計算の精度を向上させることができる。したがって、副関数および摂動された福関数は、同時に測定され、直接比較されることが可能である。
【００２０】
効率的に計算される。すべての電子数学的演算は、ピクセルレベルで独立して実行される。このことは、高速システムでの実装が容易な（一般的な汎用ＣＰＵまたはＡＳＩＣまたはＦＰＧＡ上での）大規模な並列処理を通じて、迅速に実行される。特に、解像度に依存する固有のＯ（ｎｌｏｇｎ）性能を有するＦＦＴは、実行される必要がない。
【００２１】
ＤＣバランス。ＤＣバランスは、光学フーリエ変換に基づくシステムにとって魅力的である。ＤＣタームは、信号の平均（電気工学からの直流）を意味する。ＤＣバランスとは、ノイズまたはシステムの解像度の制限による信号の分解能の損失を避けるために、信号のＤＣ振幅を低下させる（理想的にはゼロにする）ことを意味する。信号がＤＣバランスされていない場合、光学フーリエ変換のＤＣタームは光学フーリエ変換の他のタームよりもはるかに明るくなり、所定のダイナミックレンジを有するシステムに光学フーリエ変換を表示することが困難になる。奇数成分ｏ（ｘ）は、本質的にＤＣバランスされる。偶数成分は、ｅｂａｌ（ｘ）＝ｅ（ｘ）−＜ｅ（ｘ）＞が本質的にＤＣバランスされるように、シフトされる。この調整は、ＤＣオフセットを適切に変更することによって、光学フーリエ変換において、補償される。
【００２２】
有利なことには、光学ドメインで得られた情報を用いて順方向複素フーリエ変換を実行する方法が提供され、そこでは、順方向複素フーリエ変換の位相成分が決定される。さらに有利なことに、複素光学フーリエ変換を完全に複素化するために必要な物理的測定はごく僅かであり、それらは並行して行うことができる。さらに有利なことに、光学フーリエ変換は、解像度に依存しない光学システムのリフレッシュ時間内に実行される。その上、さらに有利なことに、光学フーリエ変換を実行する光学システムをアップスケールすることにより、処理時間を増加させることなく、より大きなフーリエ変換を行うことができる。
【図面の簡単な説明】
【００２３】
本開示の実施形態を添付の図面を参照して説明する。
【図１】光学フーリエ変換（ＯＦＴ）ステージのレイアウトを示す図である。
【図２ａ】２Ｄ副関数と、その光学フーリエ変換の振幅および位相成分を示す。
【図２ｂ】２Ｄ摂動化された副関数を形成する方法を示す図である。
【図２ｃ】２Ｄ摂動化された副関数およびその光学フーリエ変換の振幅成分を示す図である。
【図２ｄ】１つの光学フーリエ変換の振幅成分を別の光学フーリエ変換の振幅成分から減算することによって生成される２Ｄ差分関数を示す図である。
【図２ｅ】２Ｄ差分関数から光学フーリエ変換の位相関数を取り出す方法を示す図である。
【図３】Ａｒｇａｎｄ図の実軸上の関数を示す図である。
【図４】Ａｒｇａｎｄ図の虚軸上の関数を示す図である。
【図５】Ａｒｇａｎｄ図の実軸上の点に摂動を加える効果を示す図である。
【図６】Ａｒｇａｎｄ図の虚軸上の点に摂動を加える効果を示す図である。
【図７】入力関数の複素フーリエ変換を光学的に完全に複素化することを実行する方法を示すフローチャートである。
【図８】関数と、その関数の奇数および偶数成分を示す図である。
【図９】入力関数を偶関数および奇関数に分解する方法を示すフローチャートである。
【図１０】複素フーリエ変換関数の実数部および虚数部を形成するために一連の光フーリエ変換の位相関数および振幅関数を組み合わせる方法を示すフローチャートである。
【図１１】透過型ＳＬＭで完全な複素変調を達成するのに適した光学システムの第１の例を示す図である。
【図１２】透過型ＳＬＭで完全な複素変調を達成するのに適した光学システムの第２の例を示す図である。
【図１３】透過型ＳＬＭで完全な複素変調を達成するのに適した光学システムの第３の例を示す図である。
【図１４】二つの透過型ＳＬＭで完全な複素変調を達成するのに適した光学システムの第１の例を示す図である。
【図１５】二つの透過型ＳＬＭで完全な複素変調を達成するのに適した光学システムの第２の例を示す図である。
【図１６】実軸における連続的な変調、および、虚軸上での位相外れ点を持つＡｒｇａｎｄ図を示す図である。
【００２４】
図面において、同様の参照符号は同様の部分を指す。
【発明を実施するための形態】
【００２５】
いくつかの実施形態は１Ｄで説明される。しかし、そのような実施形態は当然２Ｄにまで拡張されることは容易に理解されよう。
【００２６】
＜位相の決定＞
本開示は、入力関数およびそのフーリエ変換が画素化される実施形態を参照し、便宜的に理解され得る。すなわち、いくつかの実施形態では、入力関数の複素フーリエ変換は、複数の要素の空間的アレイを含む入力関数の複素フーリエ変換のピクセル化された表現であり、各要素は振幅値および位相値を含む。この点において、入力関数の複素光学フーリエ変換は、振幅関数と位相関数という２つの成分を含むものとみなすことができる。離散的な入力は離散フーリエ変換に対応し、ナイキスト−シャノンサンプリング定理が適用されることが理解される。いくつかの実施形態では、入力関数の複素フーリエ変換の振幅関数は、各要素の振幅値によって表現される。いくつかの実施形態では、入力関数の複素フーリエ変換の位相関数は、各要素の位相値によって表現される。しかしながら、入力が連続的に変調された明視野であれば、本開示はピクセル化された関数に限定されないことが理解される。
【００２７】
図２ａは、複数の要素２１２の第１の２Ｄアレイを含む空間ドメイン２１０内の（振幅のみの）入力関数２０１のピクセル化された画像を示す。各要素のグレイレベルシェーディングは、その要素の振幅値を表わす。入力関数２０１の光学フーリエ変換は、振幅関数２０２および位相関数２０３を含む。光学フーリエ変換は、レンズによって実行されてもよい。当該レンズが真のＦＴを実行している間に、ピクセル化された入力が使用されているという事実は、それが実行されているＤＦＴであることを意味する。振幅関数２０２は、複数の要素２２２の第２の２Ｄアレイによってフーリエ（または周波数）ドメイン２２０内に表される。位相関数２０３は、複数の要素２３２の第３の２Ｄアレイによってフーリエドメイン２２０内に表される。
【００２８】
いくつかの実施形態では、第１の振幅関数２０２が測定される。いくつかの実施形態では、第１の振幅関数２０２は、ＣＣＤまたはＣＭＯＳベースのカメラなどの空間光検出器によって測定される。当業者は、光学フーリエ変換の振幅関数を測定する多数の異なる方法を同様に使用できることを理解するであろう。しかしながら、位相関数２０３を容易に測定することはできない。したがって、完全なフーリエ変換は、直接的な光学手段のみによって容易に実行することはできない。しかしながら、本発明者らは、この問題に対処し、対応する振幅関数の光学強度測定値、および、より具体的には、入力関数への変更によって生じるフーリエ変換の振幅関数における変化に基づき、光学フーリエ変換の位相関数が決定または導出される方法を提供する。
【００２９】
いくつかの実施形態では、入力関数にいわゆる摂動関数を適用して、摂動化された（入力）関数を作成することによって、入力関数を変更する。摂動関数は、入力関数のフーリエ変換に対応する小さな変化をもたらす入力関数に小さな変化を与える関数であることが理解される。いくつかの実施形態では、摂動化された（入力）関数は、摂動関数（ｐ（ｘ、ｙ））を入力関数に加算または摂動関数（ｐ（ｘ、ｙ））を入力関数から減算（すなわち、ベクトル加算／減算）することによって、作成される。適用される摂動は、光学フーリエ変換の振幅関数を変化させる。いくつかの実施形態では、摂動関数ｐ（ｘ、ｙ）の光学フーリエ変換は、非摂動関数の光学フーリエ変換と位相が同じ、または、位相がずれている。
【００３０】
いくつかの実施形態は、図２ｂ−図２ｅを参照して説明される。図２ｂは、空間ドメイン２１０で表される入力関数２０１を示す。図２ｂは、複数の要素２４２の第４のアレイによって空間ドメイン２１０に表される摂動関数２０４をさらに示す。摂動関数２０４は、ＤＣ摂動、ゼロ周波数摂動、または、有限のピクセルサイズを有するＳＬＭ上のデルタ関数への離散近似として説明することができる。図２ｂは、摂動関数の光学フーリエ変換２０５をさらに示す。これは、複数の要素２５２の第５の２Ｄアレイによってフーリエドメイン２２０において表される。摂動関数２０４を入力関数２０１に加えることにより、摂動化された関数２０６が生成される。ここでも、摂動関数を他の方法で関数に適用して摂動化された関数２０６を形成することができることが理解される。摂動化された関数２０６は、複数の要素２６２の第６の２Ｄアレイによって空間ドメイン２１０に表される。
【００３１】
摂動関数は、既知の位相および振幅プロファイルを有する光学フーリエ変換「ＯＦＴ」を有する関数である。ＯＦＴは、摂動化された関数とは位相が同じ、または、位相がずれていなければならない。摂動化された関数とは、位相がπ／２変わってはならない。それは直交するので、フーリエ変換の振幅は非摂動関数の位相によって変化しない。
【００３２】
フーリエ平面にわたってゼロではなく、入力との位相のずれがπ／２でないＦＴを有する任意の関数が適切であることが理解される。
【００３３】
図２ｃは、空間ドメイン２１０に表される摂動化された関数２０６を示す。図２ｃは、摂動化された関数２０６のフーリエ変換の振幅関数２０７をさらに示し、複数の要素の第７の２Ｄアレイ２７２を備える。摂動化された関数のフーリエ変換の対応する位相関数は示されていない。（摂動化された関数２０６のフーリエ変換の）振幅関数２０７は、（摂動化されない入力関数２０１のフーリエ変換の）振幅関数２０２と比較され、摂動を適用することによって生じる変化を測定する。本発明者らは、空間ドメインにおいて摂動関数を適用することによって引き起こされるフーリエ変換の振幅関数におけるこの変化が、入力関数の光学フーリエ変換の位相関数を決定するために使用され得ることを認識した。
【００３４】
有利なことに、複数の要素の２Ｄアレイを使用する場合、電子数学的演算のすべてを要素レベルで実行することができる。彼らは大規模な並列処理（アプリケーション特有の集積回路、フィールドプログラマブルゲートアレイ）に役立ち、計算上の効率を向上させる。
【００３５】
いくつかの実施形態では、摂動化されていない（入力）関数のフーリエ変換における各要素の振幅値は、フーリエドメイン内の対応する要素の位相値を確立するために、摂動化された（入力）関数のフーリエ変換における対応する要素の振幅値と比較される。特に、入力関数は、そのフーリエ変換の位相が、説明されているような適切な摂動関数を適用することによって区別できる複数の可能な位相値に制約されるように選択されるので、このことは達成可能である。
【００３６】
要約すると、関数の複素フーリエ変換のピクセル化された表現を形成するように配置された複数の要素の空間アレイにおける一つの要素の位相値を決定する方法であって、各要素は振幅値と位相値とを含み、前記位相値が複数の可能な位相値に制限され、前記方法は、前記関数の光学フーリエ変換を実行することによって前記要素に対する第１の振幅値測定し、前記要素における光強度を検出するステップと、前記関数に摂動関数を適用することによって生じる前記要素の前記振幅値の変化を測定するステップとを含む。
【００３７】
摂動関数を適用することによって生じる要素の振幅値の変化は、様々な方法で決定することができる。図２ｄに示す実施形態では、（摂動化されていない入力関数２０１のフーリエ変換の）振幅関数２０２は、（摂動化された関数２０６のフーリエ変換の）振幅関数２０７から減算され、フーリエドメイン２２０において、差分関数２０８を生成する。差分関数２０８は、複数の要素の第８の配列２８２によって表される。差分関数２０８は、空間ドメインにおいて摂動関数を適用することによって生じるフーリエドメインにおける振幅関数の変化を表す。
【００３８】
したがって、要素の振幅値の変化を測定するステップは、摂動化された関数を形成するために摂動関数を関数に加えるステップと、前記摂動化された関数の光学フーリエ変換を実行し、前記要素の第２の振幅値を検出するステップと、前記第１の振幅値と前記第２の振幅値とを比較するステップとを含む。
【００３９】
任意に、関数に摂動関数を適用することによって生じる振幅値の変化は、第２の振幅値から第１の振幅値を減算して差分値を形成することによって決定される方法が提供される。いくつかの実施形態では、差分関数２０８はさらに処理される。図２ｅは、差分関数２０８を示す。ステップＳ２０８において、差分関数は、符号関数によって処理され、フーリエドメイン２２０内に符号関数２０９ａを生成する。符号関数２０９ａは、複数の要素２９２ａの第９の２Ｄアレイによってフーリエドメイン２２０内に表される。ステップＳ２０９において、符号関数２０９ａは決定された位相関数２０９ｂに変換される。いくつかの実施形態では、決定された位相関数２０９ｂは、符号関数２０９ａの正の値に第１の位相値を割り当て、符号関数２０９ａの負の値に第２の位相値を割り当てることによって確認される。他のいくつかの実施形態では、位相関数は、摂動関数が入力関数に加えられた後により明るくなるフーリエドメイン２２０の複数の要素に第１の位相値を割り当て、摂動関数が入力関数に加えられた後により薄暗くなるフーリエドメインの複数の要素に第２の位相値を割り当てることによって決定される。前述の両方の実施形態において、第１の位相値および第２の位相値は、それぞれ、摂動関数のフーリエ変換によって、同じ位相および位相がずれる。数学的には、位相は、単純な数学的演算を実行することによって符号関数から決定されてもよい。例えば、一実施形態では、符号関数はπ／２で乗算され、＋１および−１の符号関数値を有するフーリエドメイン上の複数の点が、それぞれに対してπ／２および−π／２の位相値を有することを決定する。その他。別の一実施形態では、符号関数はπ／２で乗算され、π／２を加えることによって増加し、＋１および−１の符号関数値を有するフーリエドメイン内の複数の点が、それぞれにπおよび０の位相値を有することを決定する。決定された位相関数２０９ｂは、複数の要素２９２ｂの第１０の２Ｄアレイによってフーリエドメイン２２０に表される。したがって、差分関数の各要素の符号を用いて当該要素に対応する位相値を決定する方法が提供される。
【００４０】
決定された位相関数２０９ｂは、入力関数のフーリエ変換の位相関数である。したがって、関数のフーリエ変換のピクセル化された表現を形成するように配置された複数の要素の空間的配置の複数の要素の位相値が決定される。この方法は、入力関数の本質をもたらす。具体的には、入力関数の光学フーリエ変換の位相は、本明細書で説明される方法によって区別され得る複数の可能な位相値に制約される。
【００４１】
位相が２つの値に制約されるいくつかの実施形態を、図３および図４を参照して一例として以下に説明する。他のいくつか実施形態では、位相は３つ以上の可能な値に制約される。複数の可能な位相値が２より大きい数である場合、可能な位相値が１つだけ残るまで、可能な位相値の数を反復的に狭めるために、この方法が例えば複数回実行され得ることが理解される。
【００４２】
フーリエ平面２２０内の個々の要素は、振幅成分および位相成分を有すると考えられ、それらは、Ａｒｇａｎｄ線図上の単一の点によって一緒に表されることができる。Ａｒｇａｎｄ図上の振幅値は、原点からの点の距離によって表され、位相は、正の実軸に対する点の角度位置によって表される。Ａｒｇａｎｄ図の実軸上の複数の点は、ｎπラジアン（ｎは整数）に「制約された」位相を持つものと見なされる。正の実軸は、２ｎπラジアンの制約された位相を有する。負の実軸は（２ｎ＋１）πの制約された位相を有する。Ａｒｇａｎｄ図の虚軸上の複数の点は、（ｎ＋１／２）πラジアンのみに制約された位相を持つと考えることができる。正の虚軸上にある複数の点は、（２ｎ＋１／２）πラジアンの制約された位相を有する。負の虚軸上にある複数の点は、（２ｎ＋３／２）πラジアンの制約された位相を有する。
【００４３】
図３は、互いに直角に２等分する実軸３１１および虚軸３１２を含むＡｒｇａｎｄ図３０１を示す。原点３１３は、実軸３１１と虚軸３１２との交点にある。
【００４４】
第１の関数３１５は、第１の実軸３１１上にある太線で示されている。第１の関数の複素数値は虚数成分を持たない。第１の関数の複素数値は、ゼロラジアンまたはπラジアンのいずれかの位相を有する。実軸３１１に位置する複数の点は、第１の原点３１３の左にπラジアンの位相を有し、第１の原点３１３の右にゼロラジアンの位相を有する。第１の関数は、ｎπラジアン（ここで、ｎは整数）に対して「制約された」位相を有するものとして説明することができる。
【００４５】
同様に、図４は、虚軸４２２上に位置するＡｒｇａｎｄ図４０２および第２の関数４２５を示す。第２の関数の複素数値は実数成分を持たない。第２の関数の複素数値は、π／２ラジアンまたは−π／２ラジアンのいずれかの位相を有する。第２の虚軸４２２に位置する複数の点は、原点４２３の上方にπ／２ラジアンの位相、原点４２３の下方に−π／２ラジアンの位相を有する。第２の関数は、（ｎ＋１／２）πラジアン（ここで、ｎは整数）に「制約された」位相を有するものとして説明することができる。
【００４６】
本発明者らは、入力関数のフーリエ変換の位相が「制約されている」場合、空間ドメイン内に摂動関数を加えることによって生じる振幅成分への影響を測定することによって位相成分を決定することが可能であることを認識した。この方法は、Ａｒｇａｎｄ図上で「制約された」フーリエ変換を有する入力関数に適用可能であると言える。
【００４７】
したがって、（関数の複素フーリエ変換のピクセル化された表現を形成するように配置された複数の要素の空間的配置における）各要素は振幅値および位相値を含み、位相値は２つの可能な位相値に制約される、本明細書に記載される方法が提供される。
【００４８】
いくつかの実施形態では、２つの可能な位相値のうちの１つがｎπラジアンであり、ｎは整数である。いくつかの実施形態では、２つの可能な位相値のうちの１つは、（ｎ＋１／２）πラジアンであり、ｎは整数である。入力関数の光学フーリエ変換の位相が制約されてもよい他の方法があることが理解される。いくつかの実施形態では、入力関数は、光学フーリエ変換が＋１／３πラジアンまたは＋２／３πラジアンの制約された位相または任意の他の考えられる組み合わせを有する形式をとる。
【００４９】
しかし、特に有利ないくつかの実施形態では、２つの可能な位相値が奇数πラジアンだけ離されている。そのような場合、関数のフーリエ変換を構成する複数の点は、Ａｒｇａｎｄ図上で直線を形成する。したがって、位相が２つの値に制約され、２つの値の差分が（２ｎ＋１）πラジアン（ｎは整数）である方法が提供される。これは、Ａｒｇａｎｄダイアグラムの両側に２つの可能な値を置きます。このことは、２つの位相値を摂動の適用によって簡便に区別することができるので、有利である。
【００５０】
摂動関数は、フーリエドメイン内のすべての要素の振幅値に寄与する「広義の」フーリエ変換を有するように選択される。一実施形態では、摂動関数は、フーリエドメイン内の全ての要素の振幅値に小さな加算値を与えるように選択される。別の一実施形態では、摂動関数は、フーリエドメイン内のすべての要素の振幅値に小さな減算値を与えるように選択される。
【００５１】
一実施形態では、摂動関数は、いわゆるδ関数またはデルタ関数、またはその離散近似である。つまり、摂動関数はｘ＝０付近で小さな値をとり、他の場所ではゼロになる。このことは、ゼロ振幅を有する複数の要素のアレイによって囲まれた低い振幅を有する空間ドメイン２１０の中心における単一の要素に対応する。有利なことに、フーリエドメインにおいて、デルタ関数は非常に広い特徴に対応する。例えば、摂動関数ｐ（ｘ）の単一ピクセルは、フーリエ平面内のｐ（ｘ）の光学フーリエ変換Ｐ（ｕ）の最も広義の正弦関数を導出する。
【００５２】
有利ないくつかの実施形態では、関数Ｐ（ｕ）は、入力関数ｆ（ｘ）の光学フーリエ変換と位相が同じか、または、位相がずれている。
【００５３】
フーリエ変換の線形性によって、（および光学フーリエ変換を拡張することによって、）Ｆ（ｕ）が摂動化されない関数であり、Ｆ’（ｕ）が摂動化された関数の場合
、
2018535430.tif 000005
である。
【００５４】
摂動化された関数は、以下によって与えられる。
2018535430.tif 000006
ここで、ε＝ε（ｕ）は、小さな正の実数であり、ここで、ｍは、Ｆ（ｕ）の二つの可能な位相値のうちの第１の位相値であり、ここで、ｎは、Ｆ（ｕ）の二つの可能な位相値のうちの第２の位相値であり、ここで、ｍは、Ｐ（ｕ）の位相でもある。いくつかの実施形態では、式４のｍおよびｎは、それぞれ式５ａ、式５ｂを満たすことが必要である。例えば、いくつか実施形態では、ｍが０の値を有し、ｎがπの値を有し、式５ａ、および式５ｂが当てはまる。例えば、カメラは、強度｜Ｆ（ｕ）｜2および｜Ｆ’（ｕ）｜2を検出する。
【００５５】
Ｆ（ｕ）とＦ’（ｕ）の強度を比較する。強度が増加すると、摂動は関数と正確に
同相になります。強度が減少すると、摂動は関数と正確に逆位相である。
2018535430.tif 000007
【００５６】
したがって、摂動のフーリエ変換は、振幅関数と、位相が複数の可能な位相値のうちの１つである位相関数とを含む、本明細書に記載の方法が提供される。
【００５７】
有利なことに、フーリエ平面において一定の位相を有するサイン振幅関数Ｐ（ｕ）の効果は、フーリエドメイン２２０内の全ての要素の振幅値に小さな加算値または減算値を与える。その寄与が減算であるか加算であるかは、任意の要素における入力関数のフーリエ変換が、フーリエドメイン２２０内の単一の要素での摂動関数のフーリエ変換と同じ位相であるか位相がずれているかに依存する。
【００５８】
図５および図６は、摂動の寄与に基づいて複数の可能な位相値から要素の位相値をどのように決定するかを示す図である。
【００５９】
図５は、第１のＡｒｇａｎｄ図５０１の負の実軸上にある第１の点５１１を示す。第１の点５１１は、第１のＡｒｇａｎｄ図の原点５０３から−ＡFだけずれる。第１のＡｒｇａｎｄ図の正の実軸上にある第２の点５１２は、原点５０３からＡFだけ変位される。正の実軸上にある第３の点５１３は、原点から距離ＡPだけずれる、ここで、ＡP＜ＡFである。第１の点５１１および第２の点５１２は、フーリエドメイン２２０内の要素の可能な複素値の対を表す。要素の振幅成分の大きさＡFは（測定によって）決定され、位相成分は、入力関数の本質によって、０ラジアンおよびπラジアンの２つの可能な値のうちの１つに制約されている。２つの可能な値から位相値を決定するために、一つの要素の摂動関数の光学フーリエ変換の複素値が要素に加えられる。第３の点は、摂動関数の光学フーリエ変換の要素における複素値を表す。摂動関数は、一つの要素におけるその光学フーリエ変換の位相（０ラジアン）が既知である形式のものである。第２のＡｒｇａｎｄ図５０２は、第１の摂動化された点５１４を生成するために第１の点５１１に第３の点５１３を加算した結果を示す。第２のＡｒｇａｎｄ図５０２はまた、第２の摂動化された点５１５を生成するために第３の点５１３を第２の点５１２に加算した結果を示す。したがって、第１の摂動化された点５１４の振幅の大きさは｜−ＡF＋ＡP｜であり、第２の摂動化された点５１５の振幅は｜ＡF＋ＡP｜である。したがって、光学フーリエ変換上の摂動化された単一の点の振幅は、第１の点５１１によって表される場合には減少し、第２の点５１２によって表される場合には増加する。光学フーリエ変換上の単一の点の位相は、振幅成分の大きさが増加する場合は０ラジアン、振幅成分の大きさが減少する場合はπラジアンであると決定される。
【００６０】
同様に、図６は、第１のＡｒｇａｎｄ図６０１の負の虚軸上にある第１の点６１１を示す。第１の点６１１は、第１のＡｒｇａｎｄ図の原点６０３から−ＡFだけずれる。第１のＡｒｇａｎｄ線図６０１の正の虚軸上にある第２の点６１２は、原点６０３からＡFだけずれる。正の虚軸上にある第３の点６１３は、距離ＡPだけ原点６０３からずれる、ここで、ＡP＜ＡFである。第１の点６１１および第２の点６１２は、フーリエドメイン２２０内の一つの要素に対する考えられる複素値の対を表す。光学フーリエ変換上の単一の点の振幅成分振幅ＡFが決定され、位相成分は２つの可能な値、π／２ラジアンおよび−π／２ラジアンのうちの１つに制約されている。複数の可能な位相値から一つの位相値を決定するために、ステップＳ６００において、一つの要素における摂動関数の光学フーリエ変換の複素値が一つの要素に加えられる。第３の点は、摂動関数の光学フーリエ変換の一つの要素における複素値を表す。摂動関数は、一つの要素での光学フーリエ変換の位相（π／２ラジアン）が既知である形式のものである。第２のＡｒｇａｎｄ図６０２は、第１の摂動化された点６１４を生成するために、第１の点６１１に第３の点６１３を加算する結果を示す。第２のＡｒｇａｎｄ図６０１は、また、第２の摂動化された点６１５を生成するために、第３の点６１３を第２の点６１２に加算する結果を示す。したがって、第１の摂動化された点６１４の振幅の大きさは｜−ＡF＋ＡP｜であり、第２の摂動化された点６１５の振幅は｜ＡF＋ＡP｜である。したがって、光学フーリエ変換上の単一の点の振幅成分の大きさは、第１の点６１１によって表される場合には減少し、第２の点６１２によって表される場合には増加する。光学フーリエ変換上の単一の点の位相は、振幅成分の大きさが増加する場合にはπ／２ラジアンになるように決定され、振幅成分の大きさが減少する場合には−π／２ラジアンになるように決定される。
【００６１】
図３および図４に示される関数は、単なる例として与えられており、２つの特殊なケースについて、フーリエドメインにおける複数の要素に対して可能な複素数値を表している。具体的には、第１の関数３１５は、入力関数が実数の偶関数であるフーリエドメイン内の複数の要素の可能な複素値を表す。第２の関数４１５は、入力関数が実数の奇関数であるフーリエドメイン内の複数の要素の可能な複素値を表す。
【００６２】
以下の表１は、４つの形態の関数のフーリエ変換の形式を示す。
2018535430.tif 000008
【００６３】
表１は、実数の偶関数のフーリエ変換が純粋に実数であり、したがって、位相が０またはπに制約されており、実数の奇関数のフーリエ変換は純粋に虚数であり、したがって、るため、位相がπ／２または−π／２に制約されていることを示している。
【００６４】
摂動関数は、入力関数の本質に基づいて選択されてもよいことが理解される。いくつかの実施形態では、摂動関数は、その光フーリエ変換が入力関数の光フーリエ変換の複数の可能な位相値の１つに制約される位相値を有するように選択される。例えば、入力関数が実数および奇である場合、適切な摂動関数は、実数および奇数、または、虚数および偶数である。このことは、入力関数と摂動関数の両方のフーリエ変換が、π／２または−π／２に制約された位相を有するようにする。
【００６５】
偶関数ｅ（ｘ）および奇関数ｏ（ｘ）は、光学的にフーリエ変換され、式７および式８に示されるようなフーリエ変換関数Ｅ（ｕ）およびＯ（ｕ）を形成してもよい。
2018535430.tif 000009
【００６６】
いくつかの実施形態は、表１に示すＦＴの対称性を利用する。偶関数のＦＴは純粋に実数であり、奇関数のフーリエ変換は純粋に虚数である。したがって、我々は、式９および式１０に示されるように、２つの離散値の１つにＥ（ｕ）および０（ｕ）の位相を制約する。
2018535430.tif 000010
【００６７】
したがって、入力関数が偶数関数または奇関数関数である本明細書に記載の方法が提供される。
【００６８】
任意の一般に狭いＤＣ（またはゼロ周波数）関数は、フーリエドメインにおいて広い機能をもたらすので、摂動関数としての使用に適していることが理解される。いくつかの実施形態では、摂動関数のＦＴがフーリエ平面にわたってゼロではなく、摂動関数のＦＴが入力に伴いπ／２からずれているという要件を満たすために、摂動関数が最適化方法（すなわちコンピュータアルゴリズムによって設計される）によって見出される。いくつかの実施形態では、摂動関数は、フーリエドメイン内のすべてのピクセル値の値を変更するために、単一のピクセルの振幅（グレースケール）値を調整する。例えば、入力関数におけるＤＣ（またはゼロ周波数）ピクセルは、一単位のグレースケール値によって調整されてもよい。
【００６９】
ＳＬＭの複数のピクセルの有限の幅は、リプレイフィールド（フーリエドメイン）にわたって全体的な正弦エンベロープをもたらす。完全なデルタ関数は、フーリエドメインにわたって最も広い正弦関数をもたらす。しかしながら、完全なデルタ関数を複製することは、有限のピクセル幅を有するＳＬＭを使用しては不可能である。摂動関数の効果は、フーリエドメイン内の全てのピクセルに等しい大きさの小さい加算値を加えることであることが望ましい。ＳＬＭ上のデルタ関数は、等しくない加算値がフーリエドメインにわたって適用されることをもたらす。いくつか実施形態では、このことは、ピクセル値に１／ｓｉｎｃを乗算することによって補償される。フーリエドメイン内の正弦関数も、入力関数自体によって生成されることが理解される。ＳＬＭの各矩形ピクセルは、入力関数をサンプリングし、フーリエ領ドメイン内にそれ自体の正弦関数を作成する。いくつかの実施形態では、これらの正弦関数の効果は、摂動関数によって生成される正弦関数の効果と同様に補償することもできる。
【００７０】
本明細書に記載の方法は、図１の複数の光学成分を用いて実施することができる。いくつかの実施形態において、入力関数および摂動化された入力関数は、空間光変調器上で表現または“表示”され、フーリエ変換は適切に配置されたフーリエ変換レンズによって光学的に行われる。いくつかの実施形態では、入力関数および摂動化された入力関数のフーリエ変換の振幅成分は、ＣＣＤベースの装置などの空間光検出器によって検出される。
【００７１】
したがって、いくつかの実施形態では、第１の振幅値を測定するステップが、空間光変調器に入力関数を表示するステップと、空間光変調器を照らして空間変調された光を形成するステップと、空間変調された光をフーリエ変換レンズを用いてフーリエ変換するステップと、一つの要素の強度を検出することとを含む。
【００７２】
ピクセルで検出された強度を平方根にすることにより、振幅の測定値が得られる。したがって、いくつかの実施形態では、検出された強度を平方根にするさらなるステップが提供され、任意に、一つの要素における強度を検出するステップは、光検出器を使用して強度を検出するステップを含む。
【００７３】
本明細書に記載される方法は、光学手段を使用して部分的に実施されてもよく、計算手段を使用して実行される部分であってもよいことが理解される。入力関数のフーリエ変換を実行することは一連の離散的なステップで完了することができ、いくつかのステップは光学的手段を使用して実行され、いくつかのステップは計算手段を使用して実行される。
【００７４】
したがって、関数の複素フーリエ変換のピクセル化された表現を形成するように配置された複数の要素の空間アレイ内の一つの要素の位相値を決定する装置が提供される。そこでは、各要素は振幅値および位相値を含み、当該位相は複数の可能な位相値に制約される。当該装置は、当該要素で当該振幅値を測定するように配置される光学システム、および、当該関数に摂動関数を適用することによって生じる複数の変化で当該振幅値を測定するように配置される光学システム、および、当該要素で測定された振幅値および当該関数に摂動関数を適用することによって生じる当該要素での振幅値において測定された複数の変化から当該要素の当該位相値を決定するように配置されたプロセッサを備える。
【００７５】
いくつかの実施形態において、光学システムは、入力関数を表示するように構成された空間光変調器と、前記空間光変調器を照らして空間変調された光を形成するように配置された光源と、前記空間変調された光を受光し、前記空間変調された光をフーリエ変換するように配置されたフーリエ変換レンズと、フーリエ変換レンズのフーリエ平面における素子の強度分布を検出するように配置された光検出器とを備える。
【００７６】
いくつかの実施形態では、空間光変調器およびフーリエ変換レンズは、フーリエ変換レンズの焦点距離に等しい距離だけ離され、フーリエ変換レンズおよび光検出器は、フーリエ変換レンズの焦点距離に等しい距離だけ離される。しかしながら、当業者であれば、光がコリメートされていない場合の構成要素の位置をどのように決定するかを理解できるであろう。
【００７７】
いくつかの実施形態では、レンズは使用されず、カメラは、グッドマン基準が満足されるようにＳＬＭから（遠方界に）非常に遠くに配置される。いくつかの実施形態では、ＳＬＭは、グッドマン基準が満たされるように、非常に小さなピクセルサイズを有する。いくつかの実施形態では、カメラとＳＬＭとの間の距離とＳＬＭのピクセルサイズとの組み合わせは、グッドマン基準が満たされるように選択される。
【００７８】
＜複素フーリエ変換＞
本発明者らは、入力関数を複数の副関数に分解し、各副関数のフーリエ変換の位相関数を上記の方法によって別々に決定し、一緒に組み合わせて、入力関数のフーリエ変換の位相成分を形成する。したがって、完全な複素フーリエ変換を決定するための新しいハイブリッド計算光学技術が提供される。要約すると、この方法は、入力関数を複数の副関数に分解するステップと、各副関数について上記で設定された位相決定方法を実行して、各副関数について位相関数を見出すステップと、入力関数の複素フーリエ変換を形成するために、副関数の位相関数と振幅関数とを組み合わせるステップとを含む。
【００７９】
一実施形態に係る複素入力関数ｚ（ｘ）の複素フーリエ変換を決定する方法の概要が、図７のフローチャートに示されている。入力関数７００は、ステップＳ７０１において、複数の特定の副関数７１０ａ、７１０ｂ、７１０ｃ、および７１０ｄに分解される。各福関数のフーリエ変換は、位相が複数の可能な値に制約される位相関数を有する。いくつかの実施形態では、位相は２つの可能な値に制約される。各副関数は、副関数７１０ａを参照して以下に説明する一連のステップを受ける。
【００８０】
適切な光学検出器によって検出可能な振幅関数７２０ａを生成するために、副関数７１０ａの光学フーリエ変換がステップＳ７０２ａにおいて実行される。例えば、振幅関数７２０ａは、光検出器アレイを使用して測定することができる。摂動化された副関数７３０ａを生成するために、ステップＳ７０３ａにおいて、副関数７１０ａに摂動が適用される。ステップＳ７０４ａにおいて、摂動化された副関数７３０ａの光学フーリエ変換が実行される。摂動化された副関数７３０ａのフーリエ変換の振幅関数も、例えば、光検出器アレイによって測定される。副関数の複素フーリエ変換の位相関数７５０ａが決定されるステップＳ７０５ａにおいて、摂動を適用することによって生じる測定された振幅関数７２０ａの複数の変化が決定される。測定された振幅関数７２０ａ〜７２０ｄおよび決定された位相関数７５０ａ〜７５０ｄは、以下でより詳細に説明されるように、入力関数７００の完全な複素フーリエ変換７９０を形成するために、ステップＳ７０９において結合される。
【００８１】
図７は、４つの副関数７１０ａ〜７１０ｄを示しているが、４つ以上の、または少ない関数を有する複数の副関数も使用可能であると理解される。この方法は、１Ｄまたは２Ｄ関数の光学フーリエ変換を実行するために使用されてもよい。この方法は、入力関数へのアクセスを有し、その上で簡単な操作を実行できるかどうかに依存していると言えるかもしれない。
【００８２】
いくつかの実施形態およびいくつかの図は、一例としてピクセル化された関数およびフーリエ変換に関する。本明細書で開示される方法は、振幅および位相情報を含む任意の入力関数に適用可能であることが理解される。
【００８３】
振幅および位相情報を含む入力関数の複素フーリエ変換を実行する方法が提供され、この方法は、入力関数を複数のサブ関数に分解するステップと、各副関数のフーリエ変換は、振幅関数と、位相が複数の可能な位相値に制約される位相関数とを含み、副関数の光学フーリエ変換の振幅関数を測定することによって各副関数のフーリエ変換の位相関数を決定し、副関数に摂動関数を適用することによって生じる光学フーリエ変換の振幅関数の変化を決定するステップと、決定された複数の位相関数と各副関数の測定された複数の振幅関数とを組み合わせて、入力関数の複素フーリエ変換を形成するステップと、を含む。
【００８４】
有利なことに、コンピューティング資源が事実上光学ドメインにアウトソースされるフーリエ変換を実行する方法が提供される。このことは、ディジタル電子計算手段のみを用いるよりも速くより大きなフーリエ変換を実行することを可能にする。さらに有利なことには、光学的に検出された複数の振幅のみを用いて、入力関数の完全な複素フーリエ変換を行うことができる方法が提供される。これにより、完全に複雑なフーリエ変換を実質的に光学ドメインで行うことが可能になる。フーリエ変換が光学ドメインで実行される速度は、光学的手段のリフレッシュ速度のオーダーであってもよく、このことは、コストに見合ったコンピュータ処理手段を使用するコンピュータアルゴリズムを使用して完了することが可能な速度よりも速い。
【００８５】
いくつかの実施形態では、入力関数は２段階プロセスで分解される。
【００８６】
入力関数ｚ（ｘ）は、実数部Ｒ｛ｚ（ｘ）｝及び虚数部ｊＩ｛ｚ（ｘ）｝を有する複素数形式で表すことができる。
2018535430.tif 000011
【００８７】
2018535430.tif 000012
ａ（ｘ）およびｂ（ｘ）はそれぞれ実数部および虚数部の実数成分を表す。したがって、ａ（ｘ）およびｂ（ｘ）は純粋に実関数である。
【００８８】
ａ（ｘ）およびｂ（ｘ）は、その後、それ自身を副関数に分解することができる。
【００８９】
先に説明したように、各副関数の位相を決定する方法は、副関数の光学フーリエ変換の位相が２つの可能な位相値に制約される場合に単純化される。
【００９０】
したがって、入力関数を複数の副関数に分解するステップは、入力関数を複数の副関数に分解するステップを含み、各副関数のフーリエ変換は、振幅関数と、振幅を含む位相が２つの可能な位相値に制約されている位相関数とを含む。
【００９１】
入力関数の光学フーリエ変換の位相を２つの可能な値に制限することができるいくつかの方法があることが理解される。
【００９２】
いくつかの実施形態では、少なくとも１つの副関数の２つの可能な位相値の間の差分が（２ｎ＋１）πラジアンであり、ｎは整数である方法が提供される。いくつかの実施形態では、少なくとも１つの副関数の２つの可能な位相値のうちの１つはｎπラジアンであり、ｎは整数である。いくつかの実施形態では、少なくとも１つの副関数の２つの可能な位相値のうちの１つは、（ｎ＋１／２）πラジアンであり、ｎは整数である。
【００９３】
いくつかの実施形態では、副関数の光学フーリエ変換の可能な位相値の数は、副関数を偶関数または奇関数のいずれかに選択することによって複数の可能な位相値に制約される。
【００９４】
式１２からａ（ｘ）またはｂ（ｘ）のいずれかを表す実関数ｆ（ｘ）は、式１３および式１４によってそれぞれ与えられるその偶数および奇数成分に分解され得る。
2018535430.tif 000013
ここで、
2018535430.tif 000014
である。
【００９５】
偶数及び奇数成分は、以下の特性を有する。
2018535430.tif 000015
【００９６】
これは、図８の１Ｄ関数の場合の図で示されています。ｘ−ｙ平面上に表される実関数８０１は、ステップＳ８００において、ｘ−ｙ平面上に表される実偶関数８０２と、ｘ−ｙ平面上に表される実奇関数８０３とに分解されてもよい。
【００９７】
入力関数を奇関数と偶関数のみを含む複数の副関数に分解する方法を表す実施例を図９のフローチャートに示す。図９において、入力関数７００は実数部７０１と虚数部７０２に分解される。実数部７０１は、ステップ７０１ｂにおいて、第１の偶関数７１１ａと第１の奇関数７１２ａとに分解される。虚数部７０２の実数成分は、ステップ７０１ｃで第２の偶関数７１１ｂと第２の奇関数７１２ｂに分解される。第１の偶関数７１１ａ、第１の奇関数７１２ａ、第２の偶関数関数７１１ｂおよび第２の奇関数７１２ｂは、それぞれ図７のサブ関数７１０ａ、７１０ｂ、７１０ｃおよび７１０ｄの例である。
【００９８】
したがって、本発明の方法は、複数の副関数が第１の複数の副関数および第２の複数の副関数を含み、入力関数を複数の副関数に分解するステップは、前記入力関数の実数成分および虚数成分を決定するステップと、前記入力関数の実数成分を第１の複数の副関数に分解するステップと、入力関数の虚数成分を第２の複数の副関数に分解するステップとを含む。さらに、第１の複数の副関数が第１の偶関数および第１の奇関数であり、第２の複数の副関数が第２の偶関数および第２の奇関数である方法が提供される。
【００９９】
有利なことに、本開示によれば、入力関数が第１の偶関数と第１の奇関数と第２の偶数関数と第２の奇関数に分解されるとき、８つの光学測定のみが、複素光学フーリエ変換を完全に複素化することを実行することが必要とされる。これらの測定は並行して行うことができることも理解できる。任意精度入力関数の異なるビット平面にわたって複数の光学フーリエ変換を実行することにより、任意の分解能の８つのＳＬＭを用いて、ハードウェア精度よりも高い精度を達成することができる。
【０１００】
いくつかの実施形態では、各副関数は前述の位相決定方法に従う。
【０１０１】
したがって、いくつかの実施形態において、摂動関数を適用することによって生じる振幅関数の変化を測定するステップを含む方法が提供されることが理解される。この方法は、摂動関数を副関数に加えて摂動化された副関数を形成するステップと、摂動化された副関数の光学フーリエ変換を実行し、摂動化された副関数のフーリエ変換の振幅関数を検出するステップと、副関数のフーリエ変換の測定された振幅関数を、摂動化されたサブ関数のフーリエ変換の振幅関数と比較するステップとを含む。いくつか実施形態では、振幅は平方根強度によって得られる。
【０１０２】
各副関数およびそのフーリエ変換は、ピクセル化されたアレイで表すことができることが理解される。したがって、各副関数は、図２ａの入力関数２０１に示すように、複数の要素の２Ｄ配列として表される。次いで、振幅関数を測定し、位相関数を決定するために、図２ｂ〜図２ｅの方法が各福関数について実行される。測定された振幅関数は、副関数の光学フーリエ変換の振幅成分であり、決定された位相関数は、副関数の光学フーリエ変換の位相成分である。副関数の複素フーリエ変換は、測定された振幅関数と決定された位相関数とを組み合わせることによって形成される。
【０１０３】
いくつかの実施形態では、本明細書に記載の方法は、各副関数の決定された位相関数および測定された振幅関数を使用して、各副関数の複素フーリエ変換を形成するステップをさらに含む。
【０１０４】
したがって、副関数の複素フーリエ変換は、複数の要素の空間アレイを含む副関数の複素フーリエ変換のピクセル化された表現であり、各要素は振幅値および位相値を含む。さらに、副関数の複素フーリエ変換の振幅関数は、各要素の振幅値によって表され、副関数の複素フーリエ変換の位相関数は、各要素の位相値によって表される。
【０１０５】
以下から、摂動は副関数の本質に基づいて選択されることが理解される。複数の副関数が偶関数と奇関数を含むいくつかの実施形態では、摂動関数は、以下の式によって与えられる。
2018535430.tif 000016
ここで、ε＝ε（ｕ）は、小さな正の実数である。前述のように、カメラは、強度｜Ｅ’（ｕ）｜2および｜Ｏ’（ｕ）｜2を検出する。
【０１０６】
摂動化されていない関数と摂動化された関数の強度が比較される。強度が増加すると、摂動は関数と同相になり、強度が減少すると、摂動は関数と逆位相になる。
2018535430.tif 000017
【０１０７】
したがって、いくつかの実施形態では、副関数に摂動関数を適用することによって生じる光学フーリエ変換の振幅関数の複数の変化が、差分関数を形成するために摂動化された副関数のフーリエ変換の振幅関数から副関数のフーリエ変換の測定された振幅関数を減算することによって決定される方法が提供されることが理解される。いくつかの実施形態では、差分関数の符号を使用して、各副関数のフーリエ変換の位相関数を決定する。
【０１０８】
各副関数について説明した方法を実行した後、実関数ｆ（ｘ）の複素フーリエ変換を得るために必要な情報が利用可能である。このことは、以下の式によって与えられる。
2018535430.tif 000018
ここで、｜Ｅ（ｕ）｜2および｜Ｏ（ｕ）｜2は強度であり、カメラ（第１の２つの測定）によって直接測定されてもよく、複数の位相φ（ｕ）は（位相（ｐ）（ｕ）は、摂動（第２の２つの測定）の適用後の強度の変化によって一意に制約される。
【０１０９】
この手順は、実数部の複素フーリエ変換７７０ａおよび虚数部の複素フーリエ変換７７０ｂを表す複素関数Ａ（ｕ）およびＢ（ｕ）を得るために、式１２から実関数ａ（ｘ）およびｂ（ｘ）に２回適用される。
【０１１０】
式３１および式３２において、実数部７０１のフーリエ変換および虚数部７０２の実数成分はそれぞれＡ（ｕ）およびＢ（ｕ）で表される。
2018535430.tif 000019
【０１１１】
入力関数７００における実数部７０１の複素フーリエ変換および虚数部７０２の実数因子（Ａ（ｕ）およびＢ（ｕ））が見出されることで、それらを再結合して入力関数７００の複素フーリエ変換７９０を形成することが可能である。そのとき、複素関数ｚ（ｘ）の完全な複素フーリエ変換は、入力関数７００を表し、式３３によって得られる。
2018535430.tif 000020
【０１１２】
いくつか実施形態では、本明細書に記載の方法は、入力関数の複素フーリエ変換を形成するために、複数の副関数のそれぞれの複素フーリエ変換を組み合わせるステップをさらに含む。
【０１１３】
測定された振幅関数７２０ａ〜７２０ｄは、ステップＳ７０９において、異なる方法で、決定された位相関数７５０ａ〜７５０ｄと結合されてもよい。いくつかの実施形態では、実数部７０１の複素フーリエ変換と虚数部７０２の実数成分が見出され、次に結合されて入力関数７００の複素フーリエ変換７９０が形成される。図１０は、この方法をフローチャートで示す。図１０は、複素フーリエ変換７６０ａ〜７６０ｄを形成するために、ステップＳ７０６ａ〜Ｓ７０６ｄにおいて結合された図７の各副関数７１０ａ〜７１０ｄに対応する測定された振幅関数７２０ａ〜７２０ｄおよび決定された位相関数７５０ａ〜７５０ｄがを示す。複素フーリエ変換７６０ａおよび７６０ｂは、ステップＳ７０７ａで結合され、入力関数７００の実数部７０１の複素フーリエ変換７７０ａを形成する。複素フーリエ変換７６０ｃおよび７６０ｄは、ステップＳ７０７ｂで結合され、入力関数７００の虚数部７０２の複素フーリエ変換７７０ｂを形成する。
【０１１４】
したがって、決定された位相関数と測定された振幅関数とを組み合わせるステップが提供される。このステップは、第１の複数の副関数のそれぞれの複素フーリエ変換を加算して入力関数のフーリエ変換の実数成分を形成するステップと、第２の複数の副関数のそれぞれの複素フーリエ変換を加算して入力関数のフーリエ変換の虚数成分を形成するステップとを含み、そこでは、入力関数のフーリエ変換の実数成分および入力関数のフーリエ変換の虚数成分が入力関数の複素フーリエ変換を形成する。
【０１１５】
本発明者は、入力関数をその実数部および虚数部に分解し、実数部および虚数部の光学フーリエ変換を組み合わせて入力関数の複素フーリエ変換を形成する方法が、フーリエ変換の線形性の利用を有利にすることを認識した。このことは、入力関数のフーリエ変換を実行するためのリソース効率のよい方法を提供する。
【０１１６】
本明細書で開示される方法は、図１の光学装置を使用して実行されてもよい。
【０１１７】
したがって、副関数の光学フーリエ変換の振幅関数を測定するステップが、空間光変調器上に副関数を表示または表現するステップと、前記空間光変調器を照らし、空間変調された光を形成するステップと、前記空間変調された光をフーリエ変換レンズを用いてフーリエ変換するステップと、フーリエ変換レンズのフーリエ平面での空間的強度分布を検出するステップとを含む。本明細書に記載の方法が提供される。検出された空間的強度分布を平方根化するステップも提供される。フーリエ変換レンズのフーリエ平面での空間強度分布を検出するステップは、光検出器アレイを用いてフーリエ変換レンズのフーリエ平面での空間強度分布を検出するステップを含む。
【０１１８】
先に説明したように、摂動関数の本質は、副関数の本質に基づいて選択されることが理解される。一実施形態では、摂動関数はデルタ関数である。一実施形態では、摂動のフーリエ変換は、振幅関数と、位相が複数の可能な位相値のうちの１つである位相関数とを含む。他の実施形態では、摂動関数は、いくつかの任意の関数であってもよい。いくつかの任意の摂動関数に対して、摂動関数のフーリエ変換がどのようなものでなければならないかを決定するための方法を用いることができることが理解される。いくつかの実施形態では、摂動関数のフーリエ変換を実行するステップが実行される。次いで、フーリエ変換は、本明細書に記載の方法を使用して、入力関数のフーリエ変換の位相の計算を可能にするように自動的にフィードバックされる。いくつかの実施形態では、この工程は、本方法の他の工程とは独立して実施することができる。
【０１１９】
本明細書に記載される方法のステップのいくつかは、計算手段によって実行されてもよく、いくつかは光学手段によって実行されてもよく、いくつかは計算手段および光学手段の両方によって実行されてもよい。例えば、入力関数７００を分解するステップＳ７０１と、測定された振幅関数７２０ａ〜７２０ｄを決定された位相関数７５０ａ〜７５０ｄと組み合わせるステップＳ７０９は、計算手段によって実行されてもよい。光学手段を使用して、副関数７１０ａを光学的にフーリエ変換するステップＳ７０２ａ、副関数を摂動化するステップＳ７０３ａ、および摂動化された副関数７３０ａを光学的にフーリエ変換するステップＳ７０４ａを実行することができる。光学手段と計算手段の両方は、測定された振幅関数の複数の変化を検出するステップ７０５ａを実行することが要求される。したがって、計算手段および光学手段は、本明細書で開示される方法を実行するシステムとして共に機能することが理解される。
【０１２０】
有利なことに、表示用途のために現在利用可能な８Ｋ空間光変調器では、強力なデジタルコンピュータ（書き込み時）の約６００ｍｓと比較して、約２０ｍｓで完全な光学フーリエ変換を実行することができる。
【０１２１】
さらに有利には、より大きな空間光変調器が利用可能になるにつれて、より大きな光学フーリエ変換が時間のペナルティが無く実行され得る。加えて、この種の光学系からの電力節約は実質的である。空間光変調器および光源（通常は低出力レーザ）は、数ワットの電力しか必要としない。
【０１２２】
したがって、振幅および位相情報を含む入力関数の複素フーリエ変換を実行するための装置であって、各副関数のフーリエ変換が、振幅関数と、位相が複数の可能な位相値に制約される位相関数とを含み、入力関数を複数の副関数に分解するように配置されたプロセッサ、および、前記副関数の光学フーリエ変換の振幅関数と、前記副関数に摂動関数を適用することによって生じる前記光学フーリエ変換の振幅関数の変化を測定するように配置された光学システムとを備え、前記プロセッサは、前記副関数の光学フーリエ変換の測定された振幅関数、および、前記副関数に摂動関数を適用することによって生じる前記光学フーリエ変換の振幅関数の測定された複数の変化から、各副関数の複素フーリエ変換の位相関数を決定するように、および、決定された複数の位相関数と、入力関数の複素フーリエ変換を形成するために前複数の副関数の光学フーリエ変換の測定された複数の振幅関数とを組み合わせるように、さらに配置される。
【０１２３】
いくつかの実施形態では、光学システムは、副関数を表示するように配置された空間光変調器と、前記空間光変調器を照らし、空間変調された光を形成するように配置された光源と、前記空間変調された光を受光し、前記空間変調された光をフーリエ変換するように配置されたフーリエ変換レンズと、フーリエ変換レンズのフーリエ平面での空間的強度分布を検出するように配置された光検出器アレイとを備える。
【０１２４】
一実施形態では、空間光変調器およびフーリエ変換レンズは、フーリエ変換レンズの焦点距離に等しい距離だけ離され、フーリエ変換レンズおよび光検出器アレイは、フーリエ変換レンズの焦点距離に等しい距離だけ離されている。
【０１２５】
いくつかの実施形態では、ＳＬＭは、ＤＣバランスされた信号によって駆動される。ＤＣバランスは、本明細書に記載の方法の追加の部分として魅力的である。信号がＤＣバランスされていない場合、光学フーリエ変換のＤＣタームは光学フーリエ変換の他のタームよりもはるかに明るくなり、所定のダイナミックレンジを有するシステムに光学フーリエ変換を表示することが困難になる。奇数成分ｏ（ｘ）は、本質的にＤＣバランスされる。いくつかの実施形態においては、偶数成分は、ｅｂａｌ（ｘ）＝ｅ（ｘ）−＜ｅ（ｘ）＞がＤＣバランスされるように、シフトされる。いくつかの実施形態においては、この調整は、ＤＣオフセットを適切に変更することによって、光学フーリエ変換において、補償される。
【０１２６】
本明細書に記載の方法の要件は、適切な光変調を得ることである。ｏ（ｘ）とｅbal（ｘ）（ここでｅbal（ｘ）はｅ（ｘ）のＤＣバランス形式）を表示するには、正と負の数を表示できる必要がある。すなわち、ＳＬＭは、図３の第１の関数３１５によって表されるように、（｛０、π｝）などの連続振幅および制約された位相、いくつかの実施形態では２進位相、を表示することができる必要がある。他のいくつかの実施形態では、連続振幅および２進位相に加えた付加的なπ／２位相外れ点を表示することも必要である。
【０１２７】
このことは多くの方法で達成することができ、したがって、本開示は以下の例に限定されないことが理解される。一実施形態では、正確な変調を達成するために２つの別個のＳＬＭが使用される２パス変調セットアップが使用される。前記ＳＬＭは、直列配置または並列配置のいずれかで配置することができる。このような配置の例を図１１〜図１３に示す。
【０１２８】
図１１は、光源１１０１からの発散光１１１０を受光するように配置されたコリメートレンズ１１０２、ＳＬＭ１１０３の第１のＳＬＭ部１１０３ａでコリメートレンズ１１０２からのコリメートされた光１１２０を受光するように配置されたＳＬＭ１１０３、第１のＳＬＭ部１１０３ａからの変調光１１３０を１／４波長板１１０４の第１の板部１１０４ａで受光するように配置された半波長板１１０４、および、第１の板部１１０４ａから第１のペンタプリズム表面１１０５ａで位相シフトされた光１１４０を受光するように配置されたペンタプリズム１１０５を含む実施形態を示す。第１のペンタプリズム表面１１０５ａは、位相シフトされた光１１４０を、半波長板１１０４の第２の板部１１０４ｂに向かって９０度反射するように配置された第２のペンタプリズム表面１１０５ｂに向かって９０度反射するように配置される。ＳＬＭ１１０３はさらに、ＳＬＭ１１０３の第２のＳＬＭ部１１０３ｂで第２の板部１１０４ｂから位相二重シフトされた光１１６０を受光するように配置される。図１１は、第２のＳＬＭ部１１０３ｂから二重変調された光１１７０を受光するように配置された偏光子１１０６、偏光子１１０６からの偏光選択光１１８０を受け取るように構成されたフーリエ変換レンズ１１０７、およびフーリエ変換レンズ１１０７からのフーリエ変換光１１９０を受光するように配置された光検出器１１０８をさらに示している。集光レンズ１１０２、第１のＳＬＭ部１１０３ａ、第１の板部１１０４ａおよび第１のペンタプリズム表面１１０５ａは、第１の光軸（図示せず）および第２のペンタプリズム表面１１０５ａに沿って配置され、第２の板部１１０４ａ、第２のＳＬＭ部１１０３ａ、フーリエ変換レンズ１１０７及び光検出器アレイ１１０８は、第１光軸に平行な第２光軸（図示せず）に沿って配置されている。
【０１２９】
動作において、コリメートされた光１１２０は、第１の偏光プロファイルを有するように、第１のＳＬＭ部１１０３ａによって変調される。変調光１１３０の偏光は、第１の板部１１０４ａによって１回、第２の板部１１０４ｂによって１回の、２回回転される。位相二重シフトされた光１１６０は、第２のＳＬＭ部１１０３ｂによって第２の偏光プロファイルが与えられる。次いで、偏光子１１０６は、二重変調された光１１７０から適切な偏光状態を選択して、意図された関数または摂動化された関数の振幅プロファイルを有する偏光選択光１１８０を形成する。次いで、偏光選択光１１８０は、フーリエ変換レンズ１１０７によってフーリエ変換され、その関数または摂動化された関数の光学フーリエ変換が、光検出器アレイ１１０８によって検出される。第１の板部１１０４ａおよび第２の板部１１０４ｂにおける位相シフトは、ＳＬＭによって変調された偏光状態に依存することが理解される。したがって、第１の板部１１０４ａで生じるシフトは、第２の板部で生じるシフトと必ずしも同じではない。
【０１３０】
図１２は、光源１２０１から発散光１２１０を受光するように配置された収束レンズ１２０２、収束レンズ１２０２からのコリメートされた光１２２０を受光するように配置された第１の偏光子１２０６、第１のミラー１２２１を介して第１のＳＬＭ部１２０３ａでの第１の偏光子１２０６から偏光１２３０を受光するように配置されたＳＬＭ１２０３、および、第１のレンズ部１２０５ａで第１のＳＬＭ部１２０３ａから変調された光１２４０受光するように配置された反転レンズ１２０５を含む。第２のミラー１２２２は、第１のレンズ部１２０５ａからの反転光１２５０を受光し、反転レンズ１２０５の第２のレンズ部１２０５ｂに向けて、それを中継するように配置される。ＳＬＭ１２０３の第２のＳＬＭ部１２０３ｂは、第２のレンズ部１２０５ａから中継された光１２６０を受光するように配置される。フーリエ変換レンズ１２０７は、第２のＳＬＭ部１２０３ｂから第３のミラー１２２３を介して二重変調光１２７０を受光するように配置され、第２の偏光子１２０８は、フーリエ変換レンズ１２０７からの変換光１２８０を受光するように配置され、光検出アレイ１２０９は、第２の偏光子から偏光選択光１２９０を受光するように配置される。いくつか実施形態では、使用されるＳＬＭの変調特性に従って、波長板の角度および角度が適切に選択されることが理解される。
【０１３１】
動作において、第１の偏光子１２０６はコリメートされた光１２２０を偏光する。偏光１２３０は、第１のＳＬＭ部１２０３ａによって変調され、変調された光１２４０に第１の偏光プロファイルを提供する。第１のレンズ部１２０５ａ、第２のミラー１２２２および第２のレンズ部１２０５ｂは、変調された光１２４０を光学的に中継し、第２のＳＬＭ部１２０３ｂを通過させる。光学的に中継された光１２６０は、第２のＳＬＭ部１２０３ｂによってさらに変調され、次に、意図された関数または摂動化された関数の振幅プロファイルを有する第２のＳＬＭ部１２０３ｂからの二重変調光１２７０は、フーリエ変換レンズ１２０７によってフーリエ変換される。次いで、偏光子１２０６は、適切な偏光状態を選択して、振幅および位相プロファイルを有する偏光選択光１２８０を形成する。偏光選択光１２８０は、光検出器アレイ１２０８によって検出される。この実施形態では、ＳＬＭタイプは、適切な振幅および位相変調を達成するために波長板が必要とされないように選択される。
【０１３２】
図１３は、光源１３０１からの発散光１３１０受光するように配置された収束レンズ１３０２と、一連の光学部品を通過する光路に沿って光を導くように配置された一連のミラー表面１３２１〜１３２９とを含む、さらなる実施形態を示す。光学部品は、収束レンズ１３０２からのコリメートされた光１３２０をＳＬＭ１３０３の第１のＳＬＭ部１３０３ａで受光するように配置されたＳＬＭ１３０３、第１のＳＬＭ部１３０３ａからの変調光１３３０を受け取るように配置された反転レンズ１３０５、反転レンズからの反転光１３４０を受光するように配置された半波長板１３０４、および、半波長板１３０４から位相シフトされた光１３５０を受光するように配置された偏光子１３０６を含む。偏光子１３０６からの偏光１３６０は、コリメートレンズ１３１１によって受光される。コリメートされた偏光選択光１３７０は、ＳＬＭ１３０３の第２のＳＬＭ部１３０３ｂで受光される。フーリエ変換レンズ１３０７は、第２のＳＬＭ部１３０３ｂからの二重変調光１３８０を受光するように配置され、光検出器１３０８は、フーリエ変換レンズ１３０７からのフーリエ変換光１３９０を受光するように配置される。他のいくつかの実施形態では、波長板および偏光子は、図１３に示されるもの以外の場所など、光路のどこにでも配置され得ることが理解される。
【０１３３】
動作において、コリメートされた光１３２０は、第１のＳＬＭ部１３０３ａによって第１の偏光プロファイルが与えられる。反転レンズ１３０５とコリメートレンズ１３１１とは、半波長板１３０４と偏光子１３０６とを含む光学リレーを構成する。変調光１３３０の偏光は、半波長板１３０４によって回転され、偏光子１３０６は、第１の偏光プロファイルの組み合わせから適切な偏光状態を選択して第１の振幅プロファイルを有する偏光選択光１３７０を形成する。第２のＳＬＭ部１３０３ｂによって提供される二重変調された光１３８０は、意図された関数または摂動化された関数のものである第２の振幅プロファイルを有する。次いで、二重変調光１３８０は、フーリエ変換レンズ１３０７によってフーリエ変換され、関数または摂動化された関数の光学フーリエ変換が、光検出器アレイ１３０８によって検出される。
【０１３４】
図１１、図１２、および図１３に示すアーキテクチャと同様に、ＬＣＯＳ（Ｌｉｑｕｉｄ  Ｃｒｙｓｔａｌ  ｏｎ  Ｓｉｌｉｃｏｎ）ＳＬＭなどの反射型ＳＬＭを使用した実装も可能である。ＬＣＯＳは、ＳＬＭ技術の最先端技術を表している。それは液晶セルの背面を形成する反射電極を有するシリコンバックプレーンからなり、その前面は透明電極である。その効果は、光が液晶層を２回通過する際に、どちらかの位相を変調する、または、より一般的には偏光を変調することである。
【０１３５】
反射型ＳＬＭを有するアーキテクチャの例を図１４および図１５に示す。
【０１３６】
図１４は、光源１４０１から発散光１４１０を受光するように配置された収束レンズ１４０２を含むさらなる実施形態を示す。収束レンズ１４０２からコリメートされた光１４２０を受光するように配置された第１の偏光子１４０６、第１の偏光子１４０６からの偏光１４３０を受光するように配置された第１のビームスプリッタ１４２１、第１のビームスプリッタ１４２１からのスプリット光１４４０を受光するように配置された第１のＳＬＭ１４０３、第１のＳＬＭ１４０３からの変調光１４４５を第１のビームスプリッタ１４２１を介して受光するように構成された反転レンズ１４１１、反転レンズ１４１１からの収束光１４５０を受光するように配置された波長板１４０４、および、波長板１４０４から位相シフトされた光１４６０を受光するように平地された第２の偏光子１４１６を、さらに含む。第２の偏光子１４０６からの反転光１４７０は、コリメートレンズ１４１２によって受光され、次いで、第２のビームスプリッタ１４２２を介して第２のＳＬＭ１４２３で受光される。フーリエ変換レンズ１４０７は、第２のビームスプリッタ１４２２を介して第２のＳＬＭから二重変調光１４９０を受光するように配置され、光検出器１４０８はフーリエ変換レンズ１４０７からのフーリエ変換光１４９５を受光するように配置されている。
【０１３７】
動作において、コリメートされた光１４２０は、第１のＳＬＭ１４０３によって第１の偏光プロファイルが与えられる。反転レンズ１４１１およびコリメートレンズ１４１２は、波長板１４０４および第２の偏光子１４１６が含まれる光学リレーを形成する。変調された光１４４５の偏光は、波長板１４０４によって回転され、第２の偏光子１４１６は、第１の偏光プロファイルの組み合わせから適切な偏光状態を選択し、第１の振幅プロファイルを有する偏光選択光１４７０を形成する。第２のＳＬＭ１４２３によって提供される二重変調光１４９０は、意図された関数または摂動化された関数のものである第２の振幅プロファイルを有する。次に、二重変調光１４９０は、フーリエ変換レンズ１４０７によってフーリエ変換され、関数または摂動化された関数の光学フーリエ変換が、光検出器アレイ１４０８によって検出される。第１および第２のビームスプリッタ１４２１，１４２２は、異なる光路上の変調光１４４５の一部を取り除くことが理解される。第１および第２のビームスプリッタ１４２１，１４２２は、偏光タイプまたは非偏光タイプであってもよい。関連する光路のみが図１４に示されている。実際には、光は、第１および第２のビームスプリッタ１４２１、１４２２の各々と相互作用した後、２つの経路を潜在的に移動する可能性がある。例えば、第１のＳＬＭ１４０３を第１のビームスプリッタ１４２１の空き面に配置することができるなど、第１および第２のビームスプリッタおよび第１および第２のＳＬＭを異なる方向に向けることができることが理解される。
【０１３８】
図１５は、光源１５０１から発散光１５１３を受光するように配置された収束レンズ１５０２を含むさらなる実施形態を示す。収束レンズ１５０２からのコリメートされた光１５１４を受光するように配置された第１の波長板１５０３と、第１の波長板１５０３からの位相シフトされた光１５１５を受光するためにわずかな角度で配置された第１のＳＬＭ１４０３と、第１のＳＬＭ１５０４から変調された光１５１６を受光するように配置された反転レンズ１５０５と、反転レンズ１５０５からの反転光１５１７を受けるように構成された第２の波長板１５０６と、第２の波長板１５０６から位相二重シフトされた光１５１８を受光するように配置された偏光子１５０７とを含む。偏光子１５０７からの偏光１５１９は、コリメートレンズ１５０８によって受光される。コリメートされた偏光された光１５２０は、わずかな角度で第２のＳＬＭ１５０９で受光される。フーリエ変換レンズ１５１０は、第２のＳＬＭを介してから二重変調光１５２１を受光するように配置され、光検出器１５１１は、フーリエ変換レンズ１５１０からのフーリエ変換光１５２２を受光するように配置される。動作において、コリメートされた光１５１４は、第１のＳＬＭによって第１の偏光プロファイルが与えられる。反転レンズ１５０５およびコリメートレンズ１５０８は、第２の波長板１５０６および偏光子１５０７は、第２の波長板１５０６および偏光子１５０７が含まれる光学リレーを形成する。変調された光１５１６の偏光は第２の波長板１５０６によって回転され、偏光子１５０７は第１の偏光プロファイルから適切な偏光状態を選択して第１の振幅プロファイルを有する偏光選択光１５１９を形成する。第２のＳＬＭ１５０９によって提供される二重変調光１５２１は、意図された関数または摂動化された関数のものである第２の振幅プロファイルを有する。次に、二重変調光１５２１は、フーリエ変換レンズ１５１０によってフーリエ変換され、光検出器アレイ１５１１によって関数または摂動化された関数の光学フーリエ変換が検出される。
【０１３９】
図１１〜図１５の装置は、ＳＬＭ上に表示される実際の関数のための連続的な振幅変調および２進位相変調を提供する。奇関数の摂動を使用するいくつかの実施形態では、ＳＬＭは、図１６に示されるように、単一の位相外れ点を表示することもできる必要がある。
【０１４０】
この変調能力は、Ａｒｇａｎｄ図で表現することができる。図１６は、副関数または入力関数上の可能な値を表すＡｒｇａｎｄ図１６００を示す。Ａｒｇａｎｄ図１６００の実軸上にある太い線１６０２は、実関数の連続振幅および２進位相を表し、正の虚数軸上の単一点１６０１は、摂動関数の位相外れ点を表す。
【０１４１】
図１１〜図１５に示されるいくつか実施形態のいずれかの設計において、ＳＬＭおよび波長板および偏光子の配置およびタイプを選択するための適切なアルゴリズムを使用して、この基準を満たすことが可能である。記載された各実施形態において、第１のＳＬＭ部および第２のＳＬＭ部によって提供される変調のタイプは、波長板および偏光子の選択および配置と共に、システムの可能な出力状態を決定する。事実、ＳＬＭによって提供される変調に応じて、波長板および偏光子が必要とされないことがある。いくつかの実施形態では、これらのパラメータは、各状態に対応するＪｏｎｅｓ行列を考慮するアルゴリズムの使用によって決定される。Ｊｏｎｅｓ行列は、複屈折光学材料を表現する方法である。システムの出力状態は、図３または図４のように、ライン上の状態（またはサブセット）に、図１６に示すように、ライン上の点と位相がπ／２ずれている点を加えたものを提供する。この線は任意の軸上にあればよい。実軸および虚軸は、本質的に、グローバル位相変化によって他のすべての軸にリンクされているため、任意の選択肢である。
【０１４２】
いくつかの実施形態は単なる例示であり、特許請求の範囲は記載されたいくつかの実施形態および実施例を超えて延在することを理解されたい。
【図１】
2018535430.tif 000021
【図２ａ】
2018535430.tif 000022
【図２ｂ】
2018535430.tif 000023
【図２ｃ】
2018535430.tif 000024
【図２ｄ】
2018535430.tif 000025
【図２ｅ】
2018535430.tif 000026
【図３】
2018535430.tif 000027
【図４】
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【図５】
2018535430.tif 000029
【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
2018535430.tif 000033
【図１０】
2018535430.tif 000034
【図１１】
2018535430.tif 000035
【図１２】
2018535430.tif 000036
【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
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【国際調査報告】
2018535430.tif 000041
2018535430.tif 000042