(57)【要約】【課題】  適切な理科教材が無い事に起因する理科離れを防止し、数学的研究のみに偏りがちな量子力学に興味を持てる教材を提供する。【解決手段】  水素原子の波動関数を電位（静電ポテンシャル）と見なし、ベクトル演算の勾配を施し負号を付けた結果を電場１とし、同一の波動関数にθ方向の単位ベクトルを掛けた後にベクトル演算の転回を施した結果を磁場２とし、電磁場両者を同時に平面描画あるいは立体構成したものであり、原子の姿が目の当たりに出来ると共に、電磁場からエネルギーが算出できる等、理科教育や研究に貢献する事が期待できる。【選択図】図５
2012163930.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
水素原子の波動関数を電位（静電ポテンシャル）と見なし、ベクトル演算の勾配を施し負号を付けた結果を電場として平面描画あるいは立体構成した水素原子模型。
【請求項２】
水素原子の波動関数を電位（静電ポテンシャル）と見なし、ベクトル演算の勾配を施し負号を付けた結果を電場とし、同一の波動関数にθ方向の単位ベクトルを掛けた後にベクトル演算の転回を施した結果を磁場とし、電磁場両者を同時に平面描画あるいは立体構成した水素原子模型。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】  本発明は理科教材としての水素原子模型に関するものである。
【背景技術】
【０００２】数学的解析のみに走りがちな量子力学にあって、具体的イメージを喚起する教材は極めて限られているが、その中で内部構造に踏み込んだ数少ない例に、米国特許公開広報ＵＳ２０１０／００２８８４０  Ａ１がある。図６はそのＦｉｇ．３であり、水素原子１ｓ軌道の電気力線の図である。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００３】
【特許文献１】米国特許公開広報ＵＳ２０１０／００２８８４０  Ａ１
【非特許文献】
【０００４】
【非特許文献１】Ｐｅｔｅｒ  Ａｔｋｉｎｓ、Ｒｏｎａｌｄ  Ｆｒｌｅｄｍａｎ著  Ｍｏｌｅｃｕｌａｒ  Ｑｕａｎｔｕｍ  Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ  Ｏｘｆｏｒｄ  Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ  Ｐｒｅｓｓ刊
【非特許文献２】梅原忠利著  電磁波序説  コロナ社刊
【非特許文献３】砂川重信著  理論電磁気学  紀伊国屋書店刊
【非特許文献４】笹尾登著  電磁気学への入門  岩波書店刊
【非特許文献５】Ｓｔｅｐｈｅｎ  Ｈａｗｋｉｎｇ編  Ａｌｂｅｒｔ  Ｅｉｎｓｔｅｉｎ  Ｐｅｎｇｕｉｎ  Ｂｏｏｋｓ刊
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】しかし単純な球対称の波動関数から、ｚ軸方向に異方性を有する電場分布が導かれる事に疑問が生じる。それ以上に、波動関数をベクトルポテンシャルとする推定の根拠、物理的説明に説得力が欠ける。また、特殊相対性理論に反する見解も容認できない。【０００６】その中で、波動関数の確率的解釈の矛盾を指摘した点に関しては同意できる。有名な言葉「神はさいころ遊びをしない」を残したアインシュタインだけでなく、電荷密度に類するものと考えていたと伝えられる生みの親、シュレデインガーも生きていれば賛同するに違いない。本願の主張もその延長線上に位置するので、参考に上記従来例の当該部分を要約すると、「２ｓ軌道の波動関数をΨ２ｓとすると、存在確率＝ｒ２Ψ２ｓΨ２ｓ＊がｒ＝２ａｏでゼロになる。球極座標でｒ＝一定は球面を形成するから、球の内外の電子の行き来が皆無である事を意味する。」つまり２ｓ軌道の水素原子は、半径２ａｏの球の内部のみを電子が周回するものと、球外部のみを周回するものの二種類存在する事になってしまう。【０００７】上記従来例では触れてないが、疑いの目で確率的解釈を再度見なおすとさらに疑問が見つかる。上記存在確率分布はｓ軌道では球対称、ｐやｄ軌道ではθやφ方向に変化する形状とされているが、ｓ軌道の存在確率にｓｉｎθが掛かっているので前記「発明が解決しようとする課題」で取り上げたと同様の、ｚ軸方向の異方性が存在する事になる。単純な直線直交座標の体積素ｄｖ＝ｄｘｄｙｄｚと異なり、波動関数は球極座標で表現されているから体積素はｄｖ＝ｒ２ｓｉｎθ  ｄｒｄθ  ｄφであり、任意の点（ｒ、θ、φ）近傍の微小区域の存在確率はｒ２Ψ２ｓΨ２ｓ＊ｓｉｎθ  ｄｒｄθ  ｄφとなるからである。しかしこれに触れる教科書は稀であり、大半はｒと微小距離ｄｒとの間に存在する確率のみを論じ、θ方向を平均してしまった結果だけを記載している。ｓｉｎθを記載している数少ない例としては、前記非特許文献１の９０頁があるが、図はやはり球対称である。【０００８】本発明は上記従来の課題を解決するものであり、量子力学の原点たる水素原子の波動関数が一体何であるのか？に立ち戻り、その解明結果として電磁場分布を提供し、具体的イメージを抱くなど、理科の基礎を形成する量子力学の物理的考察を容易にする等を通し、理科全般に興味を抱かせる事を目的としている。
【課題を解決するための手段】
【０００９】本発明は上記目的を達成する為に、水素原子の各軌道の波動関数を電位（静電ポテンシャル）と見なし、ベクトル演算の勾配を施し負号を付けた結果を電場（電気力線）として立体構成した模型、あるいは平面描画である。
【発明の効果】
【００１０】本発明の教材としての水素原子模型は、物質を構成する原子の姿を可視化し現象解析の際に有用であると共に、理科を学ぶ興味を引き起こすことができる。
【図面の簡単な説明】
【００１１】
【図１】本発明の実施の形態１の水素原子２ｐｚ軌道の任意のφ一定面の電気力線を示す垂直断面図
【図２】本発明の実施の形態１の水素原子２ｐｘ軌道のφ＝０および１８０度面の電気力線を示す垂直断面図
【図３】本発明の実施の形態２の水素原子２ｓ軌道の電磁場の立体模型
【図４】本発明の実施の形態３の水素原子１ｓ軌道の電磁場の立体分布斜視図
【図５】本発明の実施の形態３の水素原子２ｐｚ軌道の電磁場の立体分布斜視図
【図６】従来例の１ｓ軌道の電気力線を示す垂直断面図
【図７】従来例の２ｐｘ軌道のθ＝９０度面の磁力線を示す水平断面図
【図８】従来例の電子の、波束（左側）、および原子核を周回する定在波軌道（右側の上および下）の平面図
【発明を実施するための形態】
【００１２】以下、本発明の実施の形態について図面を参照しながら説明する。水素原子の波動関数をａ０をボーア半径として、エネルギーの小さい順に４つを次に示す。４つに限定したのはこれで大体の特徴が網羅されているのに加えて、高次の軌道はより複雑であり、特徴が表現され難いからである。これ以降、太字斜体でベクトルを表すこととする。
【数１】
2012163930.tif 000003
【数２】
2012163930.tif 000004
【数３】
2012163930.tif 000005
【数４】
2012163930.tif 000006
【００１３】これらにベクトル演算の勾配（数式上ではｇｒａｄまたは▽と表現される）を施し負号を付けた結果が電場１である。その特徴が良く表現できる対象として２ｐｚ軌動および２ｐｘ軌動の、垂直断面における電気力線図を実施形態１とする。次に原子模型としては電場１だけでなく磁場２との関連も必要である。後述する如く磁場２は前記特許文献１に記載の内容を採用する。立体的に各部分の電磁場の強度を表現した模型として、ｒが一定である球の一部をθやφが一定となる面で切り欠き、その表面に前記式から得られた正確な値に比例した線分で表現する方式を実施形態２とする。また１ｓ軌道の様に、単純な例では電気力線１と磁力線２とを同時に一つの斜視図に描いた方が相互関係が見やすくなるのでこれを実施形態３とする。以下実施例で説明する。
【実施例１】
【００１４】図１は本発明実施形態１に係る教材としての水素原子模型（描画）であり、水素原子２ｐｚ軌道の垂直断面の電気力線図である。前記数３に示した２ｐｚ軌道の波動関数にベクトル演算の勾配を施して負号を付けると
【数５】
2012163930.tif 000007
となる。ｉｒ，およびｉθは各々ｒ、θ方向の単位ベクトルである。これから電気力線１を描く。ｒθ平面上の任意の点の座標を上記式に代入し、得られたベクトルの方向に一定の微小距離離れた第二の点を求め、最初の点とを直線で結ぶ。またその点の座標を再度上記式に代入し、得られたベクトルの方向に同一の微小距離離れた第３の点を求め、第二の点とを直線で結ぶ。これを多数回繰り返して曲線を描く。次に別の任意の点を定め、同一手順で別の曲線を描く。これを多数回繰り返して描いた曲線群が電気力線１の分布図であり、ｒ＝６ａ０の範囲を図１とした。上式はφを含んでないので、任意のφ一定面で成立する。【００１５】上記式のままに電気力線１を描くと、大小二つのハートが逆子で入れ子になった図が得られる。しかし波動関数自体が点対称であり、従来の存在確率とする考えでも点対称形状の分布である。そこでシュレデインガー方程式から波動関数を求める過程まで遡って検証すると、ｃｏｓθ＝ｗと変数変換した経緯からｃｏｓθは正負両符号どちらでも取り得る事が判明する。その結果を踏まえ、図１の点対称形状とした。
【実施例２】
【００１６】図２は本発明実施形態１に係る教材としての水素原子模型（描画）であり、水素原子２ｐｘ軌道の垂直断面の電気力線図である。前記数４に示した２ｐｘ軌道の波動関数にベクトル演算の勾配を施して負号を付けると
【数６】
2012163930.tif 000008
となる。ｉφはφ方向の単位ベクトルである。φ＝０を代入し、φ＝０およびφ＝１８０度のｒθ平面上に上記図１と同様な方法で描いた電気力線１が図２である。
【実施例３】
【００１７】図３は本発明実施形態２に係る教材としての水素原子模型であり、２ｓ軌道の電磁場分布を四分の一を切り取った半径６センチの白色プラスッチック球３の各面、φ＝０度および１８０度の垂直面４、θ＝９０度の水平面５およびｒ＝６ａ０の球面６とで構成される立体の各面に、面の各点における電場１および従来の特許文献１に示された方法で求めた磁場２との、面と平行な成分を一緒に描いたものである。前述の２ｓ軌道の波動関数に勾配演算を施し負号を付けると電場Ｅは
【数７】
2012163930.tif 000009
となる。この式からｒ＝４ａ０で電場１がゼロになる事が分る。また磁場Ｈは
【数８】
2012163930.tif 000010
であり、ｒ＝（３−√５）ａ０および（３＋√５）ａ０で磁場２はゼロとなる。水平面５にはこれら３点、（３−√５）、４、（３＋√５）を含むべく、ｒ＝０．１４５ａ０から０．６１８ａ０間隔とし、一方φ方向は９度間隔として両者の交点での電磁場を強度に比例させた長さで描いた。（但しｒが小さい範囲はあまりにも長いので対数を取って短縮。）従って水平面５の外側から２番目（３＋√５に対応）と９番目（３−√５）は円周方向の線が無く、４番目（４に対応）は半径方向の線が無い。
【実施例４】
【００１８】図４は本発明実施形態３に係る教材としての水素原子模型（描画）であり、１ｓ軌道の電磁力線分布を斜視図として描いたものである。前述の１ｓ軌道の波動関数に勾配演算を施し負号を付けると電場Ｅは
【数９】
2012163930.tif 000011
となり、電場１の方向を連続して描いた線である電気力線１は原点から半径方向に等方向で伸びる。また磁場Ｈは
【数１０】
2012163930.tif 000012
であり、磁力線２は地球の緯度線と同様な形状となる。両者の相互関係を示すべく一緒に描いた。
【実施例５】
【００１９】図５は本発明実施形態３に係る２ｐｚ軌道の水素原子模型（描画）である。磁場Ｈは
【数１１】
2012163930.tif 000013
であり、上下が密で中央が疎である事を表現する為に磁力線２を表す円周の間隔を、１／ｃｏｓθに比例させた斜視図とし、前記図１の電気力線図と組み合わせた。【００２０】以上のように構成した教材の動作、作用を説明する。シュレデインガー方程式の解、波動関数が何であるかを論ずるには、当然ながらシュレデインガー方程式が何であるかを先に論じる必要がある。種々の教科書によれば電子の二重性、粒子と波動の関係はｐ＝ｈｋで表される。ｐは粒子としての運動量ｐ＝ｍｖであり、ｈはプランク定数、ｋは波動ベクトルあるいは波数ベクトルと呼ばれ、平面波の波長と進行方向を与える。さて、シュレディンガー方程式は波動方程式であり、電子の運動量ｐ（但し、式の中ではスカラー量）を扱っているから、このｐとｋとの関係を求める式と言える。【００２１】波動関数がｋに関連する量であるとの前提に立つと、電磁気学の教科書に記載されている球形キャビテイ内の電磁波が第一候補になる。原子内部の正電荷の陽子と、負電荷の電子周辺には電場が形成され、それが時間的空間的に変化するから、電磁波が発生している事に疑問の余地はない。非特許文献２の１３４頁には半径方向がベッセル関数で表される球面波の解が記載されている。水素原子の波動関数の半径方向が、ラゲールの随伴多項式で表されている事以外は同一であり、両者共にθ、φ方向はルジャンドルの陪関数、φ方向はｅｘｐ（ｉｍφ）である。この関数から磁場を得るには、ｒ方向の単位ベクトルを掛けた後にベクトル演算の転回を施せば得られる。この手法を水素原子ｐ軌道の波動関数に適用すると、前記特許文献１と類似のφ方向成分のみの磁場が得られる。しかし残念ながらｓ軌道の磁場はゼロになって算出できない上に、電場は複雑な式になり、シンプルな波動関数から導かれるとは考え難い。【００２２】第二候補としてはシュレディンガー推奨？の電荷密度分布が挙げられる。運動量、ポテンシャル等の仕事量、エネルギーを扱うシュレディンガー方程式の解である波動関数も同一単位を持つとの考えは極めて自然である。電荷分布に関連する仕事量としては電位（静電ポテンシャル）があり、非特許文献３の９０頁には点電荷分布が形成する静電ポテンシャル（電位）がルジャンドルの多項式を含む関数で表されている。水素原子の波動関数を電位と仮定すると、ベクトル演算の勾配を施し負号を付ければ電場が求められる。後述する如く算出結果は至って単純でｓ軌道にも適用可能である。懸念は陽子の正電荷が形成する電場の取扱であるが、同頁にはルジャンドルの多項式のｌ＝０の項が全電荷が原点に集中した時の電位を表していると記載されているので、陽子の形成する電場は織り込み済み、既に相殺乃至は加減されていると解釈できる。【００２３】問題は磁場である。電場に転回演算を施して算出した磁場は複雑であり採用し難い。そこで高度？な理論から離れ、静電磁場の知識に立ちかえって見る。非特許文献４の１１１頁には電荷密度ρｅ（ｒ’）の形成する電位φ（ｒ）は
【数１２】
2012163930.tif 000014
で表されると記載されている。波動関数が電位であるならば、電子が形成する等価的な分散電荷分布との関係はこの様に表現できよう。同頁にはベクトルポテンシャルＡ（ｒ）が
【数１３】
2012163930.tif 000015
と類似の式で記載されている。ここでｊｅ（ｒ’）は電流密度である。数１２の電荷密度ρｅ（ｒ’）は原点の周囲を回転する電子が形成する一種の定在波的な分布を表していると考える一方で、電子が回転している事を考慮すると、回転中の電荷の一瞬の状態とも考えられる。とすれば電流密度でもある。つまり波動関数を、原点周囲の等価分散電荷分布の関数であって、回転している状態を表現すれば電流密度としてベクトルポテンシャルを形成し、一瞬を捕らえれば電荷密度として電位を形成すると考えるのである。【００２４】回転の方向は、電子の回転軌道が楕円ならばｒおよびθの合成方向であろうが、球対称の波動関数を持つｓ軌道においてはθ方向と限定して問題なかろう。そうすると波動関数をθ方向のベクトルポテンシャルと見なす事になるから、前記特許文献１の磁場と結果的に同一になる。同文献１がｓ軌道だけでなくｐ、ｄ軌道等もθ方向としている事に触発された訳ではないが、ｓ軌道とｐ、ｄ軌道等とを差別する根拠も無いので、全ての軌道でθ方向とする。その仮定に基づいて出した結果が物理法則に反したり、矛盾を抱えたりしない事を当然ながら前提とする。【００２５】θ方向の限定は、ｚ軸を含む平面上を電子が回転していると限定した事を意味する。ある瞬間、ｚ軸を通る回転をしていても、次第にｚ軸から傾く事は考えられるが、その可能性を排除したとも言える。その場合ｚ軸を通る回転のみを取り上げたものは、一種の部分集合である。ｚ軸からθ１傾いた軸を通る別の部分集合は、ｚ軸を通る部分集合をθ１だけ傾ければ得られるから、部分集合が意味のある結果を出すならば、何ら意味のある結果を出せない複雑な全体集合より有意義である。【００２６】図５の２ｐｚ軌道の電磁場を見ると、今述べた様な限定の下で導いた磁場２と、限定無しで導いた電場１との両者の強い領域が一致している。従って電子の回転方向をθ方向に限定しても全体集合を表すのかも知れないが断定はできない。いずれにしても本発明においては、θ方向限定で導かれた磁場２のみを特許請求する。【００２７】以上まとめると本発明は、水素原子の波動関数を電位（静電ポテンシャル）と見なし、これに勾配演算を施し負号を付けて電場１とし、その方向や強度に応じた線を描画あるいは立体模型にしたものである。また従来すでに開示されている、θ方向のベクトルポテンシャルと見なして算出した磁場２と組み合わせ、斜視図等の描画や、立体模型としたものである。【００２８】作用に移る。本発明によれば、言わば水素原子内部の可視化が実現され、波動関数の差が内部構造の差にどの様に反映されるかが理解できる。例えばｓ軌道では角度に関係なく、放射状に外に向かう電気力線１であるのに対し、ｐ軌道ではθ方向成分が現れ、曲線となる。同じｐ軌道でも２ｐｚと２ｐｘとは図１、２に示した如く、電場１は９０度回転した形状であるのに対し、磁場２は図５（電磁場両者の斜視図）と図７（２ｐｘ軌道の磁場２の水平断面図であって、従来の特許文献１のＦｉｇ．６）に示した如く、大きな差がでる。【００２９】図３の立体模型では各面の、各点における面と平行な電磁場成分がその強度と対応した長さで描かれており、特にゼロとなる位置が良く理解できる。図４では放射状の���気力線１と、地球の緯度線状の磁力線２とから、１ｓ軌道がほぼ球対称で、最も単純な構成である事が理解されよう。【００３０】また、本発明により求められた電場から、前記特許文献１で算出されてないエネルギーが計算できる。ｎｓ軌道の電場の式を二乗し、全空間に亘って積分すると、エネルギーは１／（ａ０２ｎ２）となり、これはボーアのエネルギー準位に比例すると同時に、前記特許文献１で算出された磁場のエネルギーとも一致する。この結果は同文献の主張する無損失共振器説の後押しをすると共に、波動関数＝電位の傍証となろう。【００３１】作用の最後に、本発明の主旨「波動関数は確率振幅では無く、電位である」は、定在波が存在すると考えられる原子内部のみに適用され、２スリットの実験の様に電子が空間を飛ぶ場合には適用できない事を断っておく。また不確定原理を否定するものでもない。図８の左側は教科書に頻繁に出現する波束であり、粒子と波動の両方の性質を表すとされている。山が大小各々二つ、計四つ描かれている。右側の上はこれも教科書に広く記載されている、原子核周囲を回転する電子の定在波を描いた図であり、山谷が八つある。下は２ｐ軌道をイメージし、山谷二つで一周する形状に変更したものである。この二山と、左の波束の四山とを重ね合わせて考えると、一つの波束の前後半が重なり、一周してしまう。こうなると、波束（の中心）がどこに存在するか？電子の位置はどこか？の追求が無意味になるのではなかろうか。本発明はその点を主張しているに過ぎない。【００３２】次に、前記特許文献１が主張する光速電子を否定あるいは修正しない事の弁明をする。アインシュタインの論文そのものを良く読めば、理論が光速未満の速度にのみ適用可能であり、光速に適応してはならない事が判明する。英訳の非特許文献５（邦訳は岩波文庫参照）を要約すると、静止系と慣性系間の同時刻を「静止系から光を発射した時刻、その光が慣性系で反射された時刻および反射光が再び静止系に戻った時刻の三者の関係」で定義して構築した理論である。慣性系が静止系から遠ざかる速度を光速と仮定すると、静止系から発射された光は同一速度で逃げる慣性系に追いつくはずがないので、同時刻は定義できない。光速未満のみで定義可能なのであり、光速電子を特殊相対性理論で否定する事はできないのである。【００３３】なお、図４の斜視図から類推し、針金などで一点から放射状に広がる直線の束と、複数の異なった径のリングとを組み合わせて立体模型を構成する事は容易であり、図２と図７から前記特許文献１のＦｉｇ．９の様な二枚の透明円板を直角に組み合わせる立体模型も容易に考え得る。また、本発明の名称を模型とした為、言葉の持つニュアンスが立体構成物をイメージさせるが、主旨は水素原子を模した、表現した教材の意味であり、既に記述の如く、断面図や斜視図をも含んだものである。また、数１３を転回すると磁束Ｂが得られ、磁場Ｈとはμ。の差があるが、磁力線は差が無いので触れなかった。【００３４】以上述べた様に本発明の効果は、原子の内部構造を示す模型や図が理科、特に量子力学の興味を喚起し理科離れを食い止めるだけでなく、数学のみに偏った推論により生じかねない誤りを未然に防ぐ一助となる。さらに水素��子のエネルギー準位を電磁場分布から計算でき、量子力学教育に貢献する事をも期待される。
【産業上の利用可能性】
【００３５】以上のように、本発明にかかる教材としての水素原子模型は水素原子の姿を可視化させ、難解で取っ付き難い量子力学に親近感を抱かせ、理科離れを防止し、教育や研究にも有用である。
【符号の説明】
【００３６】１  電場（電気力線）
２  磁場（磁力線）
３  球
４  垂直面
５  水平面
６  球面（球表面）
【図１】
2012163930.tif 000016
【図２】
2012163930.tif 000017
【図３】
2012163930.tif 000018
【図４】
2012163930.tif 000019
【図５】
2012163930.tif 000020
【図６】
2012163930.tif 000021
【図７】
2012163930.tif 000022
【図８】
2012163930.tif 000023