(57)【要約】【課題】ロール端部からの空気の流出を考慮した巻き取りロールの内部応力を解析できる内部応力の解析プログラムを提供すること。【解決手段】ウェブを巻き取った巻き取りロールの内部応力の解析プログラムであって、巻き取りロールと新たに巻き取られた層との間に形成される初期空気層の厚さｈa0（ｍ）を算出し（ステップＳ６）、巻き取りロール内における空気層の厚さｈa（ｍ）を計算し（ステップＳ７）、ロール内半径方向応力σrを算出する（ステップＳ１０）。【選択図】図５
2012017159.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
ウェブを巻き取った巻き取りロールにおける各空気層厚さの解析プログラムであって、
巻き取りロールと新たに巻き取られたウェブ層との間に形成される初期空気層の厚さｈa0（ｍ）を、以下の式（１）に基づいて算出し、
【数１】
2012017159.tif 000041
【数２】
2012017159.tif 000042
第ｉ層のウェブ層まで巻き取りが完了した巻き取りロール内における解析対象の空気層の厚さｈa.i（ｍ）を、以下の式（３）に基づいて算出する
【数３】
2012017159.tif 000043
【数４】
2012017159.tif 000044
ことを特徴とする巻き取りロールにおける各空気層厚さの解析プログラム。
【請求項２】
ウェブを巻き取った巻き取りロールにおける空気層の半径方向ヤング率の解析プログラムであって、
巻き取りロール内の空気層における半径方向のヤング率Ｅra（Ｐａ）を、以下の式（５）に基づいて算出する
【数５】
2012017159.tif 000045
【数６】
2012017159.tif 000046
ことを特徴とする巻き取りロールにおける空気層の半径方向ヤング率の解析プログラム。
【請求項３】
請求項１に記載の巻き取りロールにおける各空気層厚さの解析プログラムおよび請求項２に記載の空気層の半径方向ヤング率の解析プログラムを備え、
ウェブと空気層を複合した等価層としたときの巻き取りロールの半径方向のヤング率Ｅreqを、以下の式（７）に基づいて算出し、
【数７】
2012017159.tif 000047
前記ウェブと空気層を複合した等価層としたときの巻き取りロールの円周方向のヤング率Ｅθeqを、以下の式（８）に基づいて算出し、
【数８】
2012017159.tif 000048
新たな層を巻き取りロールに追加したことによる当該巻き取りロール内の前記半径方向の応力増分Δσr,jを、以下の式（９）で表される巻き取りロールの最内層の境界条件と、以下の式（１０）で表される最外層の境界条件と、以下の式（１１）と、に基づいて算出し、
【数９】
2012017159.tif 000049
【数１０】
2012017159.tif 000050
この算出した応力増分Δσr,jと、以下の式（１２）と、に基づいて、第ｉ層まで巻き取った巻き取りロール内における第ｊ層の前記半径方向の応力σr,j.i（Ｐａ）を算出する
【数１１】
2012017159.tif 000051
【数１２】
2012017159.tif 000052
ことを特徴とする巻き取りロールにおける内部応力の解析プログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、ウェブを巻き取った巻き取りロールにおける各空気層厚さ、空気層の半径方向のヤング率、および、内部応力の解析プログラムに関する。
【背景技術】
【０００２】
従来、紙やフィルム、金属薄膜などに代表されるウェブの加工は、複数の工程で行われることが一般的である。そして、加工後のウェブは、保管や搬送の容易性からロール状に巻き取られることが多い。
【０００３】
ところで、製造現場では、巻き取り張力や巻き取り速度、ウェブ幅によって巻き取り不良の発生状況に違いがあることが知られている。例えば、広幅のウェブを高速で巻き取る場合では、いわゆる軟巻きになりやすく、これによって巻ずれが発生する場合がある。これは巻き取り中のロール内に巻き込まれる空気によってウェブ層間に空気層が形成され、巻き取りロールの剛性が低下することによる。このような巻き取り不良が発生すると製造効率が低下したり、品質の不良率が増大することで経済的損失が生じて問題となることがある。
【０００４】
このような問題に対して、巻き取りロールの内部応力状態を理論的に予測することが重要となる。このため、これまでに、内部応力に関する理論予測モデルが数多く報告されている（例えば、非特許文献１〜３参照）。
【０００５】
非特許文献１では、ウェブの半径方向ヤング率が半径方向応力に依存することを考慮した理論予測モデルを提示し、空気層の影響が無視できる場合において実験結果との比較からその有効性を検証している。
【０００６】
また、空気巻き込みによる巻き取りロールの剛性変化の影響を考慮した理論は、非特許文献２などに提案されている。このような理論では、ウェブは、空気層を併せた複合体として取り扱われている。そして、ウェブ間に巻き込まれた空気はロール外に流出せず、ウェブ層間に圧縮された状態で保持されると仮定して、空気層の状態を見積もっている。したがって、このような理論予測モデルは、非通気性で広幅のウェブを巻き取る場合において有効である。
【０００７】
これに対し、空気の流出が無視できない場合には、この効果によって変化する空気層の状態を見積もる必要がある。
空気がロール端部から流出する効果は、内部応力状態に影響を与えることが指摘されている。これを受けて、非特許文献３では、層間空気の流れを圧縮性スクイズ膜流れと仮定し、初期空気層厚さとウェブ幅を関数とした空気流出量の解析モデルを提示している。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００８】
【非特許文献１】Hakiel, Z., Nonlinear Model for Wound Roll Stresses, TAPPI Journal, Vol.70, No.5 (1987), p. 113-117
【非特許文献２】Good,J.K. and Holmberg, M.W, The Effect of Air Entrainment in Center Wound Rolls, Proceedings of the Second International Conference on Web Handling, (1993), p. 246-264
【非特許文献３】Lei, H., Cole, K.A. and Weinstein, S.J., Modeling Air Entrainment and Temperature Effects in Winding, ASME Journal of Applied Mechanics, Vol.70, November, (2003), p. 902-914
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００９】
しかしながら、非特許文献３のようなモデルでは、空気流出量の解析モデルの支配方程式が非線形であるため、理論予測モデルに組み込むことが複雑で難しいこと、また、計算量が膨大であることから、単にモデルの提案に止まっており、内部応力状態の数値計算結果を得るには至っておらず、実験的検証もなされていない。
【００１０】
本発明の目的は、層間空気の流れを非圧縮性スクイズ膜流れと仮定して空気層の状態を見積もることで、巻き込み空気がロール端部から流出する効果を考慮した巻き取りロールにおける各空気層厚さ、空気層の半径方向のヤング率、および、内部応力を解析できる解析プログラムを提供することにある。
【課題を解決するための手段】
【００１１】
本発明の巻き取りロールにおける各空気層厚さの解析プログラムは、ウェブを巻き取った巻き取りロールにおける各空気層厚さの解析プログラムであって、巻き取りロールと新たに巻き取られたウェブ層との間に形成される初期空気層の厚さｈa0（ｍ）を、以下の式（１）に基づいて算出し、第ｉ層のウェブ層まで巻き取りが完了した巻き取りロール内における解析対象の空気層の厚さｈa.i（ｍ）を、以下の式（３）に基づいて算出することを特徴とする。
【００１２】
【数１】
2012017159.tif 000003
【００１３】
【数２】
2012017159.tif 000004
【００１４】
【数３】
2012017159.tif 000005
【００１５】
【数４】
2012017159.tif 000006
【００１６】
本発明の巻き取りロールにおける空気層の半径方向ヤング率の解析プログラムは、ウェブを巻き取った巻き取りロールにおける空気層の半径方向ヤング率の解析プログラムであって、巻き取りロール内の空気層における半径方向のヤング率Ｅra（Ｐａ）を、以下の式（５）に基づいて算出することを特徴とする。
【００１７】
【数５】
2012017159.tif 000007
【００１８】
【数６】
2012017159.tif 000008
【００１９】
本発明の巻き取りロールにおける内部応力の解析プログラムは、上述の巻き取りロールにおける各空気層厚さの解析プログラムおよび空気層の半径方向ヤング率の解析プログラムを備え、ウェブと空気層を複合した等価層としたときの巻き取りロールの半径方向のヤング率Ｅreqを、以下の式（７）に基づいて算出し、前記ウェブと空気層を複合した等価層としたときの巻き取りロールの円周方向のヤング率Ｅθeqを、以下の式（８）に基づいて算出し、新たな層を巻き取りロールに追加したことによる当該巻き取りロール内の前記半径方向の応力増分Δσr,jを、以下の式（９）で表される巻き取りロールの最内層の境界条件と、以下の式（１０）で表される最外層の境界条件と、以下の式（１１）と、に基づいて算出し、この算出した応力増分Δσr,jと、以下の式（１２）と、に基づいて、第ｉ層まで巻き取った巻き取りロール内における第ｊ層の前記半径方向の応力σr,j.i（Ｐａ）を算出することを特徴とする。
【００２０】
【数７】
2012017159.tif 000009
【００２１】
【数８】
2012017159.tif 000010
【００２２】
【数９】
2012017159.tif 000011
【００２３】
【数１０】
2012017159.tif 000012
【００２４】
【数１１】
2012017159.tif 000013
【００２５】
【数１２】
2012017159.tif 000014
【００２６】
以上の各発明によれば、ロール端部からの空気の流出を考慮した巻き取りロールにおける各空気層厚さ、空気層の半径方向のヤング率、内部応力を解析できる。
【図面の簡単な説明】
【００２７】
【図１】中心駆動巻き取りの概念図。
【図２】巻き取りロールの巻き取り中の状態を示す模式図。
【図３】ウェブ層間の空気の流れを平行平板間における非圧縮性のスクイズ膜モデルとみなしたときの模式図。
【図４】巻き取り中の空気層厚さの時間変化を計算した例を示すグラフ。
【図５】本発明の内部応力の解析プログラムのフローチャート。
【図６】本発明の実施例における実験装置を示す模式図。
【図７】前記実施例におけるウェブ（ポリエステルフィルム）の圧縮ひずみと圧縮応力の関係を示すグラフ。
【図８】前記実施例における巻き取り条件１のときの各ロール半径位置におけるロール内半径方向応力の実験値および予測値を示すグラフ。
【図９】前記実施例における巻き取り条件２のときの各ロール半径位置におけるロール内半径方向応力の実験値および予測値を示すグラフ。
【図１０】前記実施例における巻き取り条件３のときの各ロール半径位置におけるロール内半径方向応力の実験値および予測値を示すグラフ。
【図１１】前記実施例における巻き取り条件４のときの各ロール半径位置におけるロール内半径方向応力の実験値および予測値を示すグラフ。
【図１２】ウェブ幅を変化させた際の最内層におけるロール内の無次元化半径方向応力の予測値を示したものであり、巻き取り速度を０．１７ｍ／ｓとし、異なる巻き取り張力を１００Ｎ／ｍおよび２００Ｎ／ｍとしたときのグラフ。
【図１３】ウェブ幅を変化させた際の最内層におけるロール内の無次元化半径方向応力の予測値を示したものであり、巻き取り速度を０．８３ｍ／ｓとし、異なる巻き取り張力を１００Ｎ／ｍおよび２００Ｎ／ｍとしたときのグラフ。
【発明を実施するための形態】
【００２８】
以下、本発明について説明する。
［１−１．内部応力の解析プログラムの理論］
まず、内部応力の解析プログラムの理論について説明する。
【００２９】
〔１−１−１．修正Ｈａｋｉｅｌモデル〕
図１は、中心駆動巻き取りの概念図である。
図１に示すように、ウェブ１は、巻き取り張力Ｔｗ（Ｎ／ｍ）が与えられた状態で次々と巻芯２に巻き取られる。この巻き取りの進行に伴い、巻き取りロール３（既に巻き取られた部分）の応力は、随時変化していく。
【００３０】
本理論予測モデルの基本部分は、非特許文献１に示されているＨａｋｉｅｌの理論を適用し、巻き込み空気４Ａを伴う巻き取りロール３の剛性（ロール剛性）の変化を考慮できるように修正したものである。ロール剛性に影響を及ぼす要因は、それぞれ次のようにして求める。
まず、巻き込み初期の空気層４Ｂ（図２参照）の厚さ（空気層厚さ）は、ウェブ１の幅Ｗ（ウェブ幅Ｗ）の効果を考慮して見積もる。また、巻き取りロール３の端部（ロール端部）３Ａからの空気流出４Ｃによる空気層厚さの変化は、巻き取りロール３内の半径方向応力（ロール内半径方向応力）に起因したウェブ層間の空気の流動挙動を、非圧縮性スクイズ膜流れと仮定して予測する。
【００３１】
モデル化に際しては次に示す仮定を置く。
（１）巻き取りロール３は、完全な円筒である。ウェブ１の厚さや幅は、均一である。
（２）ウェブ１がスパイラル状に巻かれている効果は、無視できる。巻き取りロール３は、薄肉円筒の重ね合わせとして扱えるものとする。
（３）巻き取りロール３の内部応力は、ロール内半径方向応力と円周方向応力が支配的である。
一方、巻き取りロール３の軸方向応力の影響は、無視できる。
【００３２】
これらの仮定の下では、ウェブ１を第ｉ層まで巻き取った巻き取りロール内における第ｊ層のロール内半径方向応力σr.j.i（Ｐａ）は、第ｊ層から第ｉ層までの各層に起因する応力増分Δσr.j（Ｐａ）を足し合わせることで求められ、以下の式（１２）のように表される。
【００３３】
【数１３】
2012017159.tif 000015
【００３４】
ここで、応力増分Δσr.jについての基礎方程式は、以下の式（１１）のように与えられる。
【００３５】
【数１４】
2012017159.tif 000016
【００３６】
上式（１１）を解くために課せられる巻き取りロール３の最内層および最外層の境界条件は、それぞれ以下の式（９），（１０）のように設定される。
【００３７】
【数１５】
2012017159.tif 000017
【００３８】
【数１６】
2012017159.tif 000018
【００３９】
ここで、ウェブ半径方向ヤング率Ｅrは、ロール内半径方向応力σrに対して非線形性を示すことが広く知られている。本実施形態では、ウェブ半径方向ヤング率Ｅrを以下の式（１３）で近似して適用する。
【００４０】
【数１７】
2012017159.tif 000019
【００４１】
〔１−１−２．空気流出を考慮した場合の空気層の評価方法〕
図２は、巻き取りロールの巻き取り中の状態を示す模式図である。図３は、ウェブ層間の空気の流れを平行平板間のスクイズ膜モデルとみなしたときの模式図である。
ウェブ１は、一般的に大気中で巻き取られる。その際、周辺の空気は、図２に示すように、その粘性作用によって巻き取りロール３内に巻き込まれ（巻き込み空気４Ａ）、ロール端部から徐々に流出する（空気流出４Ｃ）。これにより、ウェブ層間に形成された空気層４Ｂの厚さは、時間の経過とともに変化する。このように空気層４Ｂが存在すると、見かけのロール剛性は著しく低下し、内部応力が大きく変化する。
空気層４Ｂを有した状態でのロール剛性は、数値解析上ではウェブ１と空気層４Ｂを複合した等価層として取り扱うことができる。この等価層における半径方向ヤング率（等価層半径方向ヤング率）Ｅreq（Ｐａ）および円周方向ヤング率（等価層円周方向ヤング率）Ｅθeq（Ｐａ）は、それぞれ以下の式（７），（８）から求めることができる。
【００４２】
【数１８】
2012017159.tif 000020
【００４３】
【数１９】
2012017159.tif 000021
【００４４】
ここで、空気層厚さｈaおよび空気層半径方向ヤング率Ｅraは、それぞれ巻き取り中における値を示している。これらは、半径方向応力の変化にともなって逐次変化するため、その都度見積もる必要がある。
【００４５】
具体的には、空気層厚さｈaを求める。図２に示すように、ウェブ１がロール状に巻き取られる際、その最外層と巻き取りロール３の間には、巻き込み空気４Ａによって空気層４Ｂが形成される。この空気層の厚さ（初期空気層厚さ）ｈa0（ｍ）は、巻き取られるウェブ１と巻き取りロール３をフォイル軸受モデルとみなすと、以下の式（１）から求めることができる。
【００４６】
【数２０】
2012017159.tif 000022
【００４７】
ここで、λは、ウェブ幅Ｗに関する無次元パラメータであり、以下の式（２）のように定義される。
【００４８】
【数２１】
2012017159.tif 000023
【００４９】
空気層４Ｂは、図３に示すように、ロール内半径方向応力σrが負荷されたウェブ１によって圧縮される。これによって、空気は、ウェブ層間で流動し（空気流れ４Ｄで示す）、ロール端部３Ａから徐々に流出する（空気流出４Ｃ）。そのため、空気層４Ｂの厚さは、時々刻々と変化していく。このような現象は、図３に示すような近接した平行平板間のスクイズ膜流れとみなすことができる。また、図３中、巻き取りロール３の左端は、巻き取りロール３の軸方向における中心３Ｂを表す。
そして、次に示す仮定を置くと、任意の空気層４Ｂが形成された時刻ｔs（＝ｔ＝０）から現在の時刻ｔまでの間に変化する、空気層厚さｈaを求めることができる。
（１）円周方向流れがないウェブ幅方向の1次元スクイズ膜流れである。
（２）ウェブ表面の凹凸がスクイズ膜流れに与える影響は無視できる。
（３）ウェブ１の巻き取り中において、スクイズ速度は、巻き取り速度に比べて遅い。このため、空気の圧縮性がスクイズ膜作用に及ぼす影響は小さい。したがって、スクイズ膜流れは非圧縮性とみなすことができる。
【００５０】
これらの仮定の下では、スクイズ膜を支配するレイノルズ方程式は、以下の式（１４）のように与えられる。
【００５１】
【数２２】
2012017159.tif 000024
【００５２】
ここで、現象の対称性から、上式（１４）における圧力境界条件は、以下の式（１５）、（１６）のように設定できる。
【００５３】
【数２３】
2012017159.tif 000025
【００５４】
【数２４】
2012017159.tif 000026
【００５５】
上式（１５），（１６）の下でレイノルズ方程式（１１）を積分することにより、空気層４Ｂ内で発生する圧力分布が次のように求められる。
【００５６】
【数２５】
2012017159.tif 000027
【００５７】
さらに、空気層厚さの初期条件を時刻ｔ＝ｔsのときｈa＝ｈa0として上式（１７）を積分すると、空気層厚さｈaと経過時間（ｔ−ｔs）の関係が次式のように求められる。
【００５８】
【数２６】
2012017159.tif 000028
【００５９】
図４は、巻き取り中の空気層厚さの時間変化を計算した例を示すグラフである。その条件は、巻き取り張力Ｔwを１００Ｎ／ｍ、巻き取り速度Ｖを１．０ｍ／ｓ、空気層４Ｂのロール半径位置ｒを０．０１ｍ，ロール内半径方向応力σrを式（１０）から得られた−１０ｋＰａとしている。
時間の経過とともに空気層厚さは急激に減少し、最終的にある一定水準の厚さを維持することが分かる。
なお、この残留する空気層４Ｂの厚さは、無次元パラメータλの影響を大きく受ける。具体的に、λの値が小さいほどロール端部３Ａからの空気流出４Ｃの影響が大きく、その一方でλ＝∞とみなせる場合では空気流出４Ｃの影響は近似的に無視できることが分かる。
【００６０】
このように、上式（１８）を用いれば、ロール内半径方向応力σrが一定である場合において任意の層の巻取り完了直後から変化する空気層厚さｈaを予測することができる。
一方、新たな層が巻き取られると空気層４Ｂは圧縮される。ある層が最外層に巻かれる際に流入した空気は、次の層が巻き取られることで付加されるロール内半径方向応力σrによって圧縮され、空気層厚さがｈa0からｈaに減少する。最外層に巻かれたときの状態を基準としてボイルの法則を適用すると、気体の状態方程式は次のように表される。
【００６１】
【数２７】
2012017159.tif 000029
【００６２】
上式（１９）を用いると、空気層厚さｈaが次式（２０）から求められる。
【００６３】
【数２８】
2012017159.tif 000030
【００６４】
ただし、初期層間圧力Ｐ0は次式（２１）により与えられる。
【００６５】
【数２９】
2012017159.tif 000031
【００６６】
ここで、巻取りは新たな層が次々と巻き取られて進行する。すなわち、ある層が最外層に巻かれる際に流入した空気はロール端部から徐々に流出し、残留空気からなる空気層４Ｂがロール内半径方向応力σrによって圧縮される。したがって、巻き込み空気の流出と圧縮をともなう場合に拡張して空気層厚さｈaの変化を逐次見積もる必要がある。
第（ｉ−１）層まで巻き取られたロール内における任意の空気層４Ｂに対して、新たに第ｉ層が追加され、巻き取りが完了した際の空気層厚さｈa.iは次式（３）で表される。
【００６７】
【数３０】
2012017159.tif 000032
【００６８】
ここで、時間増分Δｔiは第ｉ層のウェブを追加するのに要する時間であり、次式（４）のように定義されている。
【００６９】
【数３１】
2012017159.tif 000033
【００７０】
次に、空気層４Ｂの半径方向ヤング率（空気層半径方向ヤング率）Ｅraを求める。巻取り中にウェブ層間に残留する空気を初期層間圧力下においた際の空気層厚さをｈarとする。この空気層４Ｂがロール内半径方向応力σrによって（ｈar−Δｈa）に圧縮された状態を考えてボイルの法則を適用すると、気体の状態方程式は次式（２２）のように表される。
【００７１】
【数３２】
2012017159.tif 000034
【００７２】
上式（２２）を用いると、ひずみの定義から空気層４Ｂの半径方向ひずみ（空気層半径方向ひずみ）εraが次式（２３）のように求められる。
【００７３】
【数３３】
2012017159.tif 000035
【００７４】
式（２３）から，ロール内半径方向応力σrと空気層半径方向ひずみεraの関係を求めると次式（２４）が得られる。
【００７５】
【数３４】
2012017159.tif 000036
【００７６】
これより、空気層半径方向ヤング率Ｅraは次式（２５）のように求められる。
【００７７】
【数３５】
2012017159.tif 000037
【００７８】
ここで、次の層が巻き取られるまでの間、空気層半径方向ヤング率Ｅraは、一定であるとして取り扱う。
以上の各式を用いることで、ロール端部３Ａからの空気流出４Ｃを考慮した等価層半径方向ヤング率Ｅreqと、等価層円周方向ヤング率Ｅθeqとを求めることができる。次に、これらの結果を考慮し、式（１１），（９）に示したウェブ半径方向ヤング率Ｅr、ウェブ円周方向ヤング率Ｅθを、等価層半径方向ヤング率Ｅreq、等価層円周方向ヤング率Ｅθeqに置き換える。
【００７９】
［１−２．内部応力の解析プログラムの内容］
次に、上記理論予測モデルに基づいた、巻き取りロール３の半径方向の応力の計算手順（内部応力の解析プログラム）について説明する。図５は、内部応力の解析プログラムのフローチャートである。
【００８０】
まず、内部応力の解析プログラムでは、図５に示すように、初期設定としてウェブ１の物性値と巻き取り条件が入力されると（ステップＳ１）、任意の層まで巻き取った巻き取りロール３に対して、新たな層を追加した際のロール半径位置ｒを更新する（ステップＳ２）。そして、当該新たな層の巻き取りに要した時間増分Δｔを式（４）から算出し（ステップＳ３）、新たな空気層４Ｂが形成された時刻から現在の時刻までの経過時間を更新する（ステップＳ４）。
【００８１】
次に、巻き取りロール３の最内層および最外層の境界条件を、それぞれ式（９）と式（１０）に基づき設定し（ステップＳ５）、式（１）に基づいて、初期空気層厚さｈa0を算出する（ステップＳ６）。
この後、上記算出した初期空気層厚さｈa0と式（３）とに基づいて、各層における空気層厚さｈaを算出する（各空気層厚さの解析プログラム）。さらに、この算出した空気層厚さｈaと式（２２）〜式（２５）に基づいて、空気層半径方向ヤング率Ｅraを算出する（ステップＳ７）（半径方向ヤング率の解析プログラム）。
そして、この式（２５）から算出した空気層半径方向ヤング率Ｅraと、式（３）から算出した空気層厚さｈaと、式（７）と、に基づいて等価層半径方向ヤング率Ｅreqを算出する。また、式（３）から算出した空気層厚さｈaと式（８）とに基づいて、等価層円周方向ヤング率Ｅθeqを算出する（ステップＳ８）。
【００８２】
次に、式（１１）をロール半径位置ｒに対して離散化近似した基礎方程式に、ステップＳ５で設定した境界条件、ステップＳ８で算出した等価層半径方向ヤング率Ｅreqおよび等価層円周方向ヤング率Ｅθeqに基づいて、新たな層を追加したことによる応力増分Δσrを算出する（ステップＳ９）。具体的には、式（１１）のウェブ半径方向ヤング率Ｅrに等価層半径方向ヤング率Ｅreqを代入し、ウェブ円周方向ヤング率Ｅθに等価層円周方向ヤング率Ｅθeqを代入する。
そして、この算出した応力増分Δσrと式（１２）とに基づいて、各層のロール内半径方向応力σrを更新し（ステップＳ１０）、巻き取りが終了したか否かを判断する（ステップＳ１１）。
このステップＳ１１において、終了したと判断した場合、計算を終了し、継続していると判断した場合、ステップＳ２に戻る。
以上の計算を巻き取りが終了するまで繰り返すことで、ロール半径位置ｒに対するロール内半径方向応力σrが求められる。
【００８３】
［実施形態の作用効果］
上述したような実施形態によれば、ロール端部からの空気の流出を考慮した巻き取りロール３における内部応力を解析できる。
【実施例】
【００８４】
次に、本発明の実施例として、内部応力の解析プログラムの妥当性を確認した検証実験について説明する。具体的には、空気層４Ｂの状態に影響を与える要因である巻き取り張力Ｔw、巻き取り速度Ｖ、ウェブ幅Ｗを変化させたときにおける、巻き始めのロール内半径方向応力σrについて、本発明の内部応力の解析プログラムを用いた応力解析結果と実験結果とを比較した。
図６は、実施例の実験装置を示す模式図である。図７は、ウェブ（ポリエステルフィルム）の圧縮ひずみと圧縮応力の関係を示すグラフである。
【００８５】
［２−１．実験装置の構成］
本実施例では、図６に示すような実験装置９を用いた。
この実験装置９は、ウェブ１を巻き出す巻き出し部９１と、この巻き出し部９１で巻き出されたウェブ１の速度や張力を制御する搬送制御部９２と、ウェブ１を巻き取る巻き取り部９６とを備えている。
搬送制御部９２は、ウェブ１を搬送する搬送ローラ９３と、この搬送ローラ９３の巻き出し部９１側（上流側）に設けられた上流張力検出部９４と、搬送ローラ９３の巻き取り部９６側（下流側）に設けられた下流張力検出部９５とを備えている。各張力検出部９４，９５は、搬送ローラ９３の上流側および下流側の張力を検出して、その結果の信号を巻き出し部９１および巻き取り部９６へそれぞれ出力する。
巻き出し部９１および巻き取り部９６は、各張力検出部９４，９５からの信号に基づいて、巻き出し部９１の巻芯２、巻き取り部９６の巻芯２のトルクを制御することで、上流側および下流側の張力を調整する。
そして、実験装置９は、巻き出し部９１から巻き出されたウェブ１の張力を調整しながら、ウェブ１を巻き取り部９６で巻き取る。
【００８６】
［２−２．実験条件］
ウェブ１としてポリエステルフィルムを用いた。その物性値を以下の表１に示す。また、実験装置９での巻き取り条件を以下の表２に示す。
【００８７】
【表１】
2012017159.tif 000038
【００８８】
【表２】
2012017159.tif 000039
【００８９】
ここで、ポリエステルフィルムのウェブ半径方向ヤング率Ｅrの非線形圧縮特性は、図７に示す圧縮ひずみと圧縮応力の関係を累乗近似して評価した。このような評価により、式（１３）中の実験定数を決定し、ウェブ半径方向ヤング率Ｅrを求めている。
【００９０】
ロール内半径方向応力σrの測定には、厚さが２００μｍ程度の薄膜圧力センサを用いた。本センサは、測定部に設けられた感圧インク層の凹凸が外力により変形すると、センサ内部の抵抗値が変化する仕組みである。すなわち、巻き取りロール３内に挿入されたセンサの抵抗値を計測することで、ロール内半径方向応力σrの実験値を得ている。
巻き取りロール３内のセンサは、巻き取り完了後に所定のロール半径位置ｒに設置されるように、適宜巻き取り中の最外層部分から挿入して行った。また、測定は、温度や湿度の変化による影響を避けるために巻き取り完了直後に実施し、各ロール半径位置ｒに対して各々１０回行った。
【００９１】
［２−３．実験検証］
次に、実験検証について説明する。
〔２−３−１．実験結果〕
まず、実験結果について説明する。
図８は、巻き取り条件１のときの各ロール半径位置におけるロール内半径方向応力の実験値および予測値を示すグラフである。図９は、巻き取り条件２のときの各ロール半径位置におけるロール内半径方向応力の実験値および予測値を示すグラフである。図１０は、巻き取り条件３のときの各ロール半径位置におけるロール内半径方向応力の実験値および予測値を示すグラフである。図１１は、巻き取り条件４のときの各ロール半径位置におけるロール内半径方向応力の実験値および予測値を示すグラフである。
【００９２】
実験装置９を用いて上記表１，２の条件で実験を行うとともに、図５に示す内部応力の解析プログラムでの予測値を計算し、図８〜図１１に示す結果を得た。
ここで、図８〜図１１において、ウェブ幅Ｗが０．２ｍのときの実験値を丸印、０．６ｍのときの実験値を黒塗りの三角印で示した。この実験値は、１０回の測定結果の平均値であり、ばらつきの範囲をエラーバーで示した。また、ウェブ幅Ｗが０．２ｍ、０．６ｍのときの空気流出４Ｃを考慮した予測値（図５に基づく内部応力の解析プログラムでの予測値）を、それぞれ実施例１、実施例２として実線、破線で示した。
なお、図８〜図１１の横軸で表されるロール半径位置ｒは、以下の式（２６）で正規化している（正規化後のロール半径位置ｒ’）。すなわち、横軸の１の位置は、巻取りロールの最内層（巻き芯の外層）の位置を表し、横軸の値が大きいほど巻取りロールの最外層に近づくことを意味している。また、ウェブ幅Ｗが０．２ｍ、０．６ｍのときの実験値が横軸方向に若干ずれて図示されているが、これは、実験結果を理解し易くするためであり、実際には、同じ正規化後のロール半径位置ｒ’において測定を行っている。
【００９３】
【数３６】
2012017159.tif 000040
【００９４】
実施例１，２の予測値は、全ての巻き取り条件において巻芯２の中心付近で高く、ロール半径位置ｒの増大にともなって減少して、あるいはほとんど変化せず、最外層でほぼゼロとなる。
また、実施例１，２の予測値の分布は、巻き取り張力Ｔw、巻き取り速度Ｖ、ウェブ幅Ｗの影響を受けることがわかる。具体的に、巻き取り張力Ｔwが低い場合、巻き取り速度Ｖが速い場合、ウェブ幅Ｗが広い場合には、いずれも実施例１，２の予測値が低下することがわかる。
【００９５】
〔２−３−２．考察〕
このような傾向は、巻き取り中における巻き取りロール３内の空気層厚さｈaに起因する。
巻き取り張力Ｔwが高くなると初期空気層厚さｈa0が薄くなり、それによって巻き取りロール３内の空気層４Ｂは薄くなる。
一方、巻き取り速度Ｖが増大すると初期空気層厚さｈa0が厚くなり、そのうえ時間増分が短くなるために、空気流出４Ｃの量が低減して巻き取りロール３内の空気層４Ｂが厚くなる。
また、ウェブ幅Ｗが広くなると初期空気層厚さｈa0が厚く、かつ、ロール端部３Ａから空気流出４Ｃが発生しにくくなるために巻き取りロール３内の空気層４Ｂは厚くなる。
【００９６】
巻き取りロール３内の空気層４Ｂは、等価層のヤング率に影響を及ぼす。空気層４Ｂの厚さが増大すると、この増大に応じてヤング率が低下し、この低下の度合いは、等価層円周方向ヤング率Ｅθeqに比べて等価層半径方向ヤング率Ｅreqの方が大きい。
すなわち、空気層４Ｂが厚くなるほど、等価層のヤング率の異方性は大きくなる。この異方性の程度は、ロール内半径方向応力σrに強く作用する。ロール内半径方向応力σrは、等価層半径方向ヤング率Ｅreqと等価層円周方向ヤング率Ｅθeqが等しく等方性とみなせる場合、高い傾向を示し、等価層半径方向ヤング率Ｅreqが等価層円周方向ヤング率Ｅθeqよりも極めて小さく異方性が大きい場合、低くなる傾向を示す。
上記の理由により、総じて空気層４Ｂが薄くなる巻き取り条件下であるほど、ロール内半径方向応力σrが高くなる。これは、巻き取り張力Ｔwが高い場合、またウェブ幅Ｗが狭い場合には、固巻きの状態になり易いという従来からの経験則に合致する。
これに対し、空気層４Ｂが厚くなる条件である広幅のウェブ１を高速で巻き取る場合、ロール内半径方向応力σrが低下する傾向であり、軟巻きになりやすいという経験則に合致する。
【００９７】
全ての巻き取り条件において、実験値の傾向は巻き取り張力Ｔwおよび巻き取り速度Ｖ、ウェブ幅Ｗを変化させた際の予測値の傾向と一致した。また、実験値と予測値を比較すると、条件３の場合で予測値が実験値を上回っているが、その他の条件においては良く一致した。これより、広範囲の巻き取り条件において空気流出が内部応力状態に及ぼす影響を検討する上で、本理論予測モデルは有効であると言える。
【００９８】
次に、空気流出が内部応力状態に及ぼす影響を検討すると、冒頭に述べたように、巻き込み空気を考慮しない場合および空気流出を考慮しない場合の理論予測モデルはその適用範囲が限定されている。ここでは空気流出を考慮した場合の理論予測モデルを適用し、各理論予測モデルにおける適用範囲を明らかにするとともに、本理論モデルの有用性について検討を加える。
図１２および図１３は、ウェブ幅Ｗを変化させた際の最内層におけるロール内の無次元化半径方向応力の予測値を示したものであり、巻き込み空気を考慮しない場合のロール内の無次元化半径方向応力によって正規化している。図１２は、巻き取り速度をＶ＝０．１７ｍ／ｓ、図１３は、巻き取り速度をＶ＝０．８３ｍ／ｓとし、異なる巻き取り張力Ｔw＝１００Ｎ／ｍおよびＴw＝２００Ｎ／ｍにおける結果である。
【００９９】
巻き込み空気を考慮しない場合（非特許文献１を利用して計算）および空気流出を考慮しない場合（非特許文献２を利用して計算）のロール内の無次元化半径方向応力は、それぞれウェブ幅Ｗによらず一定値を示した。これは、それぞれの理論予測モデルおいてウェブ幅Ｗの効果を考慮していないためである。また、空気流出を考慮しない場合の方が、巻き込み空気を考慮しない場合に比べて低い値を示しており、空気層４Ｂが厚くなる条件であるほどこの差が大きいことがわかる。
空気流出を考慮した場合では、いずれの巻き取り速度Ｖ、巻き取り張力Ｔwにおいても、ウェブ幅がＷ＝０．０２ｍ程度以下で巻き込み空気を無視した場合と、また、Ｗ＝５ｍ程度以上で空気流出を考慮しない場合と一致する傾向を示した。
これより、各理論予測モデルは上記範囲で適用可能であり、この範囲に巻き取り速度Ｖと巻き取り張力Ｔwが及ぼす影響は小さいと言える、
【０１００】
一方、概ね０．０２ｍ＜Ｗ＜５ｍの範囲ではロール内の無次元化半径方向応力はウェブ幅Ｗの増大にともなって減少し、また、この度合いは巻き取り速度Ｖ、巻き取り張力Ｔwに大きく影響を受けることがわかる。これは、空気流出の効果が作用し、巻き取り条件によって初期および巻き取り中の空気層厚さｈaが異なるためである。なお、上記範囲は多くの場合において製造現場で加工される多くのウェブの幅が当てはまる。
【０１０１】
以上より、本実施形態で示した理論予測モデルにより、空気流出を考慮した内部応力状態を予測することが可能であり、広範囲の巻き取り条件において本理論予測モデルが適用可能であることがわかった。また、実際に問題となる巻き取り不良の対策を検討する上で有用であると判断できる。
【０１０２】
〔２−３−３．まとめ〕
本実施例では、ロール端部３Ａからの空気流出４Ｃの効果を考慮した巻き取りロール３の内部応力状態の理論予測モデルについて検討し、その妥当性を実験的に検証した。得られた主な結果を以下に示す。
【０１０３】
＜１＞ウェブ層間における空気の流動を平行平板間の非圧縮性スクイズ膜流れとみなし、ロール内半径方向応力σrの変動を考慮できるように拡張することで、巻き取り中に変化する空気層厚さｈaを理論的に予測する方法を提示した。
＜２＞巻き込み空気４Ａによる巻き取りロール３の剛性変化を考慮した内部応力の解析に、＜１＞に提示した手法を適用することで、ロール端部３Ａからの空気流出４Ｃを考慮したロール内半径方向応力σrの予測モデルを提示した。
＜３＞巻き取り試験によるロール内半径方向応力σrの実験値と理論予測モデルによる予測値はほぼ一致し、モデルの妥当性が検証された。
＜４＞ロール端部３Ａからの空気流出４Ｃが巻き取りロール３の巻き固さに大きく影響を及ぼすことを数値計算・実験によって明らかにした。
【符号の説明】
【０１０４】
１…ウェブ
２…巻芯
３…巻き取りロール
【図１】
2012017159.tif 000053
【図２】
2012017159.tif 000054
【図３】
2012017159.tif 000055
【図４】
2012017159.tif 000056
【図５】
2012017159.tif 000057
【図６】
2012017159.tif 000058
【図７】
2012017159.tif 000059
【図８】
2012017159.tif 000060
【図９】
2012017159.tif 000061
【図１０】
2012017159.tif 000062
【図１１】
2012017159.tif 000063
【図１２】
2012017159.tif 000064
【図１３】
2012017159.tif 000065