(57)【要約】      （修正有）【課題】大径の被計測面の形状を低コストでかつ高精度に計測する有利な技術を提供する。【解決手段】３面合わせ法により、被計測面−第１参照面、被計測面−第２参照面及び前記第１参照面−前記第２参照面の組み合わせでそれぞれ計測し、その結果に基づいて、被計測面の第１参照面と重なり合う部分領域における形状をZernike多項式で表現したときの第４次の項の係数を算出する。次いで回転シア法、シフトシア法を用い、第２参照面に対する形状を計測し、被計測面の全領域における形状の第５次以降の回転非対称成分の係数を算出する。次いで第４次の項の係数の誤差を、全領域の形状の第５次以降の項の係数から算出しする。ついで部分領域の第４次の項の係数を、前記誤差を用いて補正し、第４次の項の係数を算出する。次いで第４次の項の係数と、第５次以降の回転非対称成分の係数と、回転対称成分の係数から、全領域の形状を決定する。【選択図】図３
2012026808.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
干渉計を用いて被計測面の形状を計測する方法であって、
前記被計測面より小さな第１参照面と、前記被計測面より大きな第２参照面とを用いて、３面合わせ法により、前記被計測面及び前記第２参照面の一方が上向きに他方が下向きとなるように前記被計測面及び前記第２参照面を配置し、かつ、前記第１参照面が前記一方に対しては上向きになり前記他方に対しては下向きになるように配置し、前記被計測面の前記第１参照面に対する形状、前記被計測面の前記第２参照面に対する形状、及び、前記第１参照面の前記第２参照面に対する形状をそれぞれ計測し、その結果に基づいて、前記被計測面の前記第１参照面と重なり合う部分領域における形状をZernike多項式で表現したときの第４次の項の係数を算出する第１工程と、
前記被計測面に対して前記第２参照面を鉛直方向に延びる軸を回転中心として回転させて前記被計測面の前記第２参照面に対する形状を計測し、前記第２参照面の前記回転の前後における計測結果に基づいて前記被計測面の全領域における形状をZernike多項式で表現したときの第５次以降の回転非対称成分の係数を算出する第２工程と、
前記被計測面に対して前記第２参照面を前記軸と垂直な方向にシフトさせて前記干渉計により前記被計測面の前記第２参照面に対する形状を計測し、前記第２参照面のシフト前後の計測結果に基づいて前記被計測面の前記全領域における形状をZernike多項式で表現したときの第５次以降の回転対称成分の係数を算出する第３工程と、
前記被計測面をZernike多項式で表現する範囲を前記全領域から前記部分領域に変更することによって発生する、Zernike多項式における第４次の項の係数の誤差を、前記第２工程及び前記第３工程で算出された前記全領域における形状の第５次以降の項の係数から算出する第４工程と、
前記第１工程で算出された前記部分領域における形状の第４次の項の係数を、前記第４工程で算出された前記誤差を用いて補正することによって、前記全領域における形状の第４次の項の係数を算出する第５工程と、
前記第５工程で算出された第４次の項の係数と、前記第２工程で算出された第５次以降の回転非対称成分の係数と、前記第３工程で算出された第５次以降の回転対称成分の係数とから、前記被計測面の前記全領域における形状を決定する第６工程と、
を含むことを特徴とする方法。
【請求項２】
前記第４工程で、前記第３工程で算出された前記全領域における形状の第９次の項の係数から前記誤差を算出する、ことを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項３】
干渉計を用いて被計測面の形状を計測する方法であって、
前記被計測面より小さな第１参照面と、前記被計測面より大きな第２参照面とを用いて、３面合わせ法により、前記被計測面及び前記第２参照面の一方が上向きに他方が下向きとなるように前記被計測面及び前記第２参照面を配置し、かつ、前記第１参照面が前記一方に対しては上向きになり前記他方に対しては下向きになるように配置し、前記被計測面の前記第１参照面に対する形状、前記被計測面の前記第２参照面に対する形状、及び、前記第１参照面の前記第２参照面に対する形状をそれぞれ計測し、その結果に基づいて、前記被計測面の前記第１参照面と重なり合う部分領域における形状をZernike多項式で表現したときの第４次の項の係数を算出する第１工程と、
前記被計測面に対して前記第２参照面を鉛直方向に延びる軸と垂直な複数の方向にシフトさせ、前記シフトされた前記被計測面と前記第２参照面との複数の位置関係で前記被計測面の前記第２参照面に対する形状を計測し、その結果に基づいて前記被計測面の全領域における形状をZernike多項式で表現したときの第５次以降の項の係数を算出する第２工程と、
前記被計測面をZernike多項式で表現する範囲を前記全領域から前記部分領域に変更することによって発生する、Zernike多項式における第４次の項の係数の誤差を、前記第２工程で算出された前記全領域における形状の第５次以降の項の係数から算出する第３工程と、
前記第１工程で算出された前記部分領域における形状の第４次の項の係数を、前記第３工程で算出された前記誤差を用いて補正することによって、前記全領域における形状の第４次の項の係数を算出する第４工程と、
前記第４工程で算出された第４次の項の係数と前記第２工程で算出された第５次以降の項の係数とから、前記被計測面の前記全領域における形状を決定する第５工程と、
を含むことを特徴とする方法。
【請求項４】
前記第３工程で、前記第２工程で算出された前記全領域における形状の第９次の項の係数から前記誤差を算出する、ことを特徴とする請求項３に記載の方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、被計測面の形状の計測方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
特許文献１には、被計測面の形状を高精度に計測する方法が開示されている。特許文献１に記載の計測方法では、「３面合わせ法」と「回転シア法」と称する２つの計測手法を用いて被計測面の形状を高精度に算出する。「３面合わせ法」では、被計測面の他に参照面Ａ及び参照面Ｂの２枚を用意し、合計３枚の面のうち互いに異なる２面のペアの干渉を順次３回計測し、被計測面の回転対称成分を算出する。具体的には、１回目に被計測面−参照面Ａの計測、２回目に被計測面−参照面Ｂの計測、３回目に参照面Ａ−参照面Ｂの計測と３回の計測を行う。また「回転シア法」では、被計測面に対して、参照面Ａ或いは参照面Ｂを光軸回りに回転させて干渉を計測し、被計測面の回転非対称成分を算出する。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００３】
【特許文献１】米国特許第６１８４９９４号明細書
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００４】
しかし、従来の計測方法を縦型の干渉計を用いて水平に載置された大径の被計測面に適用する場合、被計測面−参照面Ａの計測と参照面Ａ−参照面Ｂの計測との間で、参照面Ａを反転させる必要がある。すなわち、参照面Ａが上向きから下向き、又は、下向きから上向きへと反転される。参照面Ａの反転に伴って参照面Ａを使用する２回の計測結果の間に参照面Ａの自重変形が大きく影響して計測精度が低下する。参照面Ａの自重変形を低減させるには参照面Ａの厚みを大きくする必要がある。その場合、コストが大幅に高くなり、更に重量が大きく計測の作業性が低下するという課題がある。
【０００５】
そこで、本発明は、大径の被計測面の形状を低コストでかつ高精度に計測するために有利な技術を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００６】
本発明は、干渉計を用いて被計測面の形状を計測する方法であって、前記被計測面より小さな第１参照面と、前記被計測面より大きな第２参照面とを用いて、３面合わせ法により、前記被計測面及び前記第２参照面の一方が上向きに他方が下向きとなるように前記被計測面及び前記第２参照面を配置し、かつ、前記第１参照面が前記一方に対しては上向きになり前記他方に対しては下向きになるように配置し、前記被計測面の前記第１参照面に対する形状、前記被計測面の前記第２参照面に対する形状、及び、前記第１参照面の前記第２参照面に対する形状をそれぞれ計測し、その結果に基づいて、前記被計測面の前記第１参照面と重なり合う部分領域における形状をZernike多項式で表現したときの第４次の項の係数を算出する第１工程と、前記被計測面に対して前記第２参照面を鉛直方向に延びる軸を回転中心として回転させて前記被計測面の前記第２参照面に対する形状を計測し、前記第２参照面の前記回転の前後における計測結果に基づいて前記被計測面の全領域における形状をZernike多項式で表現したときの第５次以降の回転非対称成分の係数を算出する第２工程と、前記被計測面に対して前記第２参照面を前記軸と垂直な方向にシフトさせて前記干渉計により前記被計測面の前記第２参照面に対する形状を計測し、前記第２参照面のシフト前後の計測結果に基づいて前記被計測面の前記全領域における形状をZernike多項式で表現したときの第５次以降の回転対称成分の係数を算出する第３工程と、前記被計測面をZernike多項式で表現する範囲を前記全領域から前記部分領域に変更することによって発生する、Zernike多項式における第４次の項の係数の誤差を、前記第２工程及び前記第３工程で算出された前記全領域における形状の第５次以降の項の係数から算出する第４工程と、前記第１工程で算出された前記部分領域における形状の第４次の項の係数を、前記第４工程で算出された前記誤差を用いて補正することによって、前記全領域における形状の第４次の項の係数を算出する第５工程と、前記第５工程で算出された第４次の項の係数と、前記第２工程で算出された第５次以降の回転非対称成分の係数と、前記第３工程で算出された第５次以降の回転対称成分の係数とから、前記被計測面の前記全領域における形状を決定する第６工程と、を含むことを特徴とする。
【発明の効果】
【０００７】
本発明によれば、大径の被計測面の形状を低コストでかつ高精度に計測するために有利な技術を提供することができる。
【図面の簡単な説明】
【０００８】
【図１】Zernike多項式の低次の項を示した図である。
【図２】フィゾー干渉計の模式図を示した図である。
【図３】計測方法のフローチャートを示した図である。
【図４】参照面Ａに関する座標系を示した図である。
【図５】回転シア法及びシフトシア法における被計測面と参照面Ｂの位置関係を示した図である。
【図６】Zernike多項式における第９次成分の断面を示した図である。
【発明を実施するための形態】
【０００９】
〔第１実施形態〕
被計測面の形状のZernike多項式による表示について説明する。一般に、被計測面の形状f(r,θ)は、iをZernike多項式の次数とし、ciをi次のZernike多項式の係数とし、zi(r,θ)をZernike多項式のi次の項とするとき、次式１で表される。図１にZernike多項式の低次の項を示す。z1はピストン成分、z2、ｚ3はチルト成分である為、被計測面の形状とは区別する。
【数１】
2012026808.tif 000003
【００１０】
水平に載置された被計測面の形状の計測には、光軸が鉛直方向である縦型の干渉計（フィゾー干渉計９を用いる。図２にフィゾー干渉計の模式図を示す。光源から射出された光はレンズ１、ハーフミラー、レンズ２を透過する。２枚のレンズで拡げられた光束は、その一部が水平に載置された参照面で反射し、他の一部が参照面を透過する。参照面で反射した光束は、レンズ２を透過し、ハーフミラーで反射し、撮像素子に入射する。これを参照光束と称する。一方、参照面を透過した光束は、被計測面で反射し、参照面、レンズ２を透過し、ハーフミラーで反射し、撮像素子に入射する。これを被検光束と称する。撮像素子上では参照光束と被検光束との干渉縞が形成され、これを解析することによって被計測面の形状を算出する。一般には、参照面の形状を予め計測しておき、得られた干渉縞のデータから参照面の形状を差し引くことで、被計測面の形状を算出する。以下の説明においては、被計測面と参照面の鉛直方向の位置関係が逆になるが、これは説明の都合上であって本発明の本質的な問題ではない。
【００１１】
図３に第１実施形態における計測方法のフローチャートを示す。まず本発明の概念と概略を簡単な例を用いて説明する。本発明では、被計測面より小さな直径φAの第１参照面（参照面Ａ）と直径φB（但し、φA＜φB）の被計測面より大きな第２参照面（参照面Ｂ）を用いて、被計測面の全領域（φBの領域）における形状を計測する。簡単の為に、直径φBの領域の面形状fが回転対称成分のc4,c9項のみで表される場合を考える。実半径をｒ、直径φBでの規格化半径をrB（=2r/φB）、規格化半径rBでの面形状fのZernike多項式のｉ次の項ziの係数をci(φB)とすると、面形状fは次式２で表される。
f(rB)=c4(φB)×(2rB2-1)+c9(φB)×(6rB4-6rB2+1)    （２）
被計測面が参照面Ａと重なり合う直径φAの部分領域と直径φBの全領域との中心座標が一致している場合、式２を直径φAでの規格化半径rAを用いて表すと、rA＝2r/φAである為、式２は式３のように変換される。
【数２】
2012026808.tif 000004
【００１２】
ここで、ci(φA)は、規格化半径rAでの面形状fのZernike多項式のｉ次の項の係数であり、それぞれ式４〜式６のように表される。但し、係数C1(φA)の項は数式上現れるピストン成分であり、面形状とは区別される。
C1(φA)=C4(φB)×(φBA2-1)+c9(φB)×(2φBA4-3φBA2+1)    （４）
C4(φA)=C4(φB)×φBA2+c9(φB)×(3φBA4-3φBA2)          （５）
C9(φA)=C9(φB)×φBA4                                （６）
但し、φBA=φA／φB  （７）である。
従って、式５からc4(φB)は次式８で表される。
【数３】
2012026808.tif 000005
【００１３】
本発明の特徴は、式８を用いて直径φBの全領域における回転対象の第４次成分の係数ｃ4(φB)を算出することであり、式８と図３のフローチャートを用いて第１実施形態の概略を説明する。図３の工程１００では「３面合わせ法」と称する計測方法で直径φAの被計測面の部分領域における第４次の項z4の係数c4の計測を行う。工程１００は、式８におけるc4(φA)を計測することに相当する。工程２００では「シア法」と称する計測手法で直径φBの被計測面の全領域の第５次以降の項の係数（c5〜）の計測を行う。工程２００は、式８におけるc9(φB)を計測することに相当する。工程３００では、工程２００の計測結果を用いてφBの全領域の第５次以降の項のうちでφAの部分領域の第４次の項z4に変換される成分を算出する。工程３００は、被計測面のZernike多項式で表現する範囲を直径φBの全領域から直径φAの部分領域に変更したことによって発生する第４次の項の係数の誤差、すなわち式８中の｛c9(φB)×（3φBA4−3φBA2）｝を算出することに相当する。工程４００では、工程１００と工程３００の結果を用いて直径φBの全領域の第４次の項の係数c4(φB)を算出する。工程４００は、式８を用いて最終的にc4(φB)を算出することに相当する。
【００１４】
従って、第１実施形態においては、工程２００で直径φBの被計測面の全領域の第５次以降の項の係数（c5〜）を計測し、工程４００で直径φBの全領域の第４次の項の係数（c4）を計測することで、被計測面の全領域の形状を計測する。以上のように第１次実施形態による計測方法では、被計測面のc4とc5以降の計測方法が異なるが、この理由については工程２００のところで詳細に述べる。以上が、第１実施形態の概念と概略である。
【００１５】
以下、各工程の詳細な説明を行う。まず工程１００の詳細な説明を行う。ここでは３面合わせ法で直径φAの部分領域のc4の計測を行う。工程１００では被計測面の他に、被計測面より小さな参照面Ａと、被計測面より大きな参照面Ｂを用意する。ここで、参照面Ａの直径をφA、被計測面の直径をφBとする。第１実施形態ではφAが100mm、φBが400mmである。また、φAとφBとの中心座標が必ずしも一致している必要はない。参照面Ａが小径なのは、３面合わせ法での自重変形による精度低下を抑制させる為であり、参照面Ｂが被計測面より大きい径であるのは、参照面Ｂを工程２００で用いて被計測面の全領域のc5項以降の成分を算出する為である。工程１００では参照面Ａを用いている為計測領域の直径はφAとなる。
【００１６】
３面合わせ法では図３の工程１００に示すように、被計測面及び参照面Ｂの一方が上向きに他方が下向きとなるように配置される。また、参照面Ａは３面合わせ法による計測の間に、上向きの位置と下向きの位置とをとるように反転される。計測１では被計測面の参照面Ａに対する形状が計測され、計測２では被計測面の参照面Ｂに対する形状が計測される。計測３では、計測１の状態からx軸を回転中心として反転された参照面Ａの参照面Ｂに対する形状が計測される。図４に参照面Ａに関する座標系を示す。
【００１７】
ciMeas1(φA)、ciMeas2(φA)、ciMeas3(φA)を、それぞれ計測１、計測２、計測３の、直径φAの部分領域のZernike係数とする。また、ciTest(φA)、ciRefA(φA)、ciRefB(φA)を、それぞれ被計測面、参照面Ａ、参照面Ｂの、直径φAの部分領域のZernike係数とする。そうすると、以下の関係が成り立つ。ここで計測３では計測１の参照面Ａをx軸を回転中心として反転させる為、式１１の第２項の符号が式９、式１０に対して反転し、さらにZernike多項式の中のθの符号も反転する。
【数４】
2012026808.tif 000006
【００１８】
Zernike多項式において、回転対称成分（i=4,9,…）と、回転非対称成分のうちのcos成分（i=5,7…）に対しては、式１２が成立する。
zi(r,θ)＝zi(r,-θ)          (12)
従ってi=4,5,7,9,…のZernike係数に対して、次式１３の関係が成り立つ。
CiMeas1(φA)=ciRefA(φA)-ciTest(φA)        (13)
CiMeas2(φA)=ciRefB(φA)-ciTest(φA)        (14)
CiMeas3(φA)=ciRefB(φA)+ciRefA(φA)        (15)
従って、直径φAの被計測面の部分領域の第４次の項の係数c4は式１６のように表せる。
C4Test(φA)=-(1/2){c4Meas1(φA)+c4Meas2(φA)-c4Meas3(φA)}      (16)
【００１９】
以上のような工程１００によって、直径φAの被計測面の部分領域の第４次の項の係数c4の計測結果を得る。工程１００は、被計測面の参照面Ａと重なり合う部分領域における形状をZernike多項式で表現したときの第４次成分の係数C4Test(φA)を算出する第１工程である。参照面Ａは、計測１と計測３で上下反転させるが、小径である為自重変形を無視できる。また、参照面Ｂは反転させることがない為、自重変形による精度低下は発生しない。その為、参照面Ａ及び参照面Ｂはともに厚みを大きくする必要がない。従って、高精度、低コストでかつ、作業性としても簡易に被計測面の部分領域のc4を計測可能である。
【００２０】
次に工程２００の詳細な説明を行う。ここでは、シア法で直径φBの被計測面の全領域の第５次以降の項の係数（c5〜〜）の計測を行う。工程２００では被計測面と参照面Ｂを用いる。工程２００では参照面Ａを用いない為、計測領域の直径はφBとなる。シア法では図３の工程２００に示すように、「回転シア法」と称する計測と「シフトシア法」と称する計測との２種類の計測を行う。
【００２１】
シア法では、面形状f(r,θ)を回転対称成分（i=4,9,…）と回転非対称成分（i≠4,9,…）に分割して算出する。この関係を式１７に示す。
【数５】
2012026808.tif 000007
【００２２】
回転シア法では、第５次以降の回転非対称成分を計測し、シフトシア法ではc4項を除く第５次以降の回転対称成分を計測する。c4を除く理由については後述する。まず回転シア法について説明する。回転シア法は、参照面Ｂを光軸すなわち鉛直方向に延びる軸を回転中心として回転させて被計測面の参照面Ｂに対する形状を計測する。図５の左側に被計測面と参照面Ｂの位置関係を示す。例えば参照面Ｂを角度α回転して計測した場合を考える。MRS1(r,θ)を回転前、MRS2(r,θ)を回転後の計測結果とするとき、以下の関係が成り立つ。便宜上、式１９は、被計測面を回転させた形式で表す。
【数６】
2012026808.tif 000008
【００２３】
ここで、回転前後の２つの計測結果の差分を算出する。Zernike多項式においては回転対称成分がθに依存しないことから、２つの計測結果の差分では、回転非対称成分のみが差分として現れる。
【数７】
2012026808.tif 000009
【００２４】
ここで新たに、
ziRS(r,θ,α)=zi(r,θ+α)-zi(r,θ)      （21）
という関数を定義すると、式２０は式２２に変形される。
【数８】
2012026808.tif 000010
【００２５】
従って、回転前後の２つの計測結果の差分を式２１の関数でフィッティングすることで回転非対称成分の係数ciTest(φB)を算出できる。ziRS(r,θ,α)はZernike多項式のような完全直交系ではない為、通常は複数の角度で干渉を計測することにより計測精度を向上させる。この工程２００において回転シア法を用いてciTest(φB)を算出する部分が、被計測面の全領域における第５次以降の回転非対象成分の係数を算出する第２工程を構成する。
【００２６】
次に、シフトシア法について説明する。シフトシア法は、参照面Ｂを光軸に垂直な方向（x方向）にシフトさせて干渉計により被計測面の参照面Ｂに対する形状を計測する。図５の右側に被計測面と参照面Ｂの位置関係を示す。例えば参照面Ｂを距離sだけシフトさせて計測した場合を考える。MSS1(x,y)をシフト前、MSS2(x,y)をシフト後の計測結果とするとき、以下の関係が成り立つ。便宜上、式２４は、被計測面を移動させた形式で表す。
【数９】
2012026808.tif 000011
【００２７】
回転シア法によって回転非対称成分が既知であることから、式２３、式２４の計測結果は回転非対称成分を除いた形式MSS1＊(x,y)、MSS2＊(x,y)に書き換えられる。
【数１０】
2012026808.tif 000012
【００２８】
ここで、回転前後の２つの計測結果の差分を算出すると、式２７のようになる。
【数１１】
2012026808.tif 000013
【００２９】
ここで新たに
ziSS(x,y,s)=zi(x+s,y)-zi(x,y)      （28）
という関数を定義すると、式２７は式２９に変換される。
【数１２】
2012026808.tif 000014
【００３０】
従って、シフト前後の２つの計測結果の差分を式２８の関数でフィッティングすることで第５次以降の回転対称成分のciTest(φB)を算出する。この工程２００においてシフトシア法を用いてciTest(φB)を算出する部分が、被計測面の全領域における第５次以降の回転対象成分の係数を算出する第３工程を構成する。
【００３１】
ここで、第１実施形態における被計測面の形状の計測方法では、被計測面のc4とc5以降の計測方法が異なる理由、及び、シフトシア法ではc4の算出を除く理由について説明する。シフトシア法において、ziSS(x,y,s)もまたZernike多項式のような完全直交系ではなく、式２８における第４次の項は次式３０のようになり、位置xに対する一次関数となる。
z4SS(x,y,s)=z4(x+s,y)-z4(x,y)=2{(x+s)2+y2}-2(x2+y2)=4sx+2s2      （30）
【００３２】
一方、干渉計測時に発生するチルト成分（z2=rcosθ=x）も位置xに対する一次関数である。従って、シフトシア法においては、被計測面と参照面の面形状によって発生した一次関数の成分と、干渉計測時の被計測面と参照面とがチルトしている為に発生した一次関数の成分との区別がつかない。その為、機械的なステージ精度によってc4の算出精度は著しく低下する。その結果、シフトシア法ではc4を高精度に算出することができず、３面合わせ法が必要となる。これが本発明による計測方法では、被計測面のc4とc5以降の計測方法が異なる理由である。
【００３３】
以上のような回転シア法、シフトシア法は公知の手法である。回転シア法、シフトシア法においては、３面合わせ法のように参照面を反転させることもない為、自重変形による精度低下も発生せず、c4を除いては非常に高精度に面形状を計測可能である。また、ここでの位相回復アルゴリズムは一例である。SPIE Vol.3744290(1999)の「Wavefront retrival from lateral shearing interferograms with Fouriertechniques」のフーリエ変換を用いたアルゴリズムを用いても良い。以上のような工程２００によって、直径φBの被計測面の全領域の第５次以降の項の係数（c5〜）の計測結果を得る。
【００３４】
次に工程３００の詳細な説明を行う。ここでは、被計測面の計測範囲を直径φBの全領域から直径φAの部分領域に変更することによって発生する第４次の項の係数c4の誤差を、工程２００で算出された直径φBの領域の第５次以降の項の係数（c5〜）から算出する。まず直径φBの領域の第５次以降の項が直径φAの領域の第４次の項に変換される現象について説明する。例えば、直径φBの領域に第９次の項の面形状fが１λある場合を考える。図６に第９次の項の面形状の断面を示す。これを図５の２本の点線で示すような計測領域φA=φB/2の領域で改めてZernike Fittingすると、第４次の項が(-9/16λ)発生する。これは数式で表すと式３１のようになる。
f(rB)=1λ×(6rB4-6rB2+1) =f(rA)=(3/8)λ-(9/16)λ×(2rA2-1)+(1/16)λ×(6rA4-6rA2+1)   (31)
【００３５】
このように計測領域を変化させると第９次の項が第４次の項へと変換される。これは一般には、行列Ａを用いて表せる。c4←ciTest(φA)を直径φBの領域の第ｉ次の項の係数ciがφAの領域の第４次の項の係数c4に変換されるとすると、以下のようになる。
【数１３】
2012026808.tif 000015
ここで、a11,a12,…は行列Ａの行列要素であり、これはφAとφBの計測領域の相対位置と径の比で一意的に決定する。特殊な例として、φAとφBの計測領域の中心座標が等しい場合、回転対称成分のみがc4に変換され、以下のように表せる。
【数１４】
2012026808.tif 000016
【００３６】
以上のような工程３００によって、直径φBの領域の第５次以降の項が直径φAの領域の第４次の項に変換される量を算出する。この工程３００は、被計測面の計測範囲を部分領域に変更したことによって発生する第４次の項の係数の誤差を、第２工程及び第３工程で算出された全領域における形状の第５次以降の項から算出する第４工程を構成している。
【００３７】
工程４００の詳細な説明を行う。ここでは、工程１００と工程３００の結果を用いて直径φBの領域の第４次の項の係数c4を算出する。直径φBの領域のc4は以下のように表せる。
【数１５】
2012026808.tif 000017
【００３８】
式３４は、式８をより一般化したものである。工程４００では、直径φAの領域の第４次の項の係数から、計測範囲を変更したことに伴う第４次の項の係数の誤差を全て減算し、第４次の項が２次関数で表せることから径の比の２乗をすることで補正して直径φBの領域の第４次の項の係数を算出する。以上のような工程４００によって、直径φBの領域のc4を算出する。この工程４００は、被計測面の全領域における形状の第４次の項の係数を算出する第５工程を構成する。その後、工程２００（第２工程及び第３工程）で算出された第５次以降の項の係数と、工程４００（第５工程）で算出された第４次の項の係数とから、被計測面の全領域における形状が決定される（第６工程）。以上のようにして、高精度、低コストで作業性が良い大径の被計測面の形状を計測することが可能となる。
【００３９】
〔第２実施形態〕
第１実施形態では、被計測面の全領域における形状の第５次以降の項の係数を算出するために、工程２００で回転シア法及びシフトシア法を用いて計測した。しかし、工程２００において、回転シア法及びシフトシア法の代わりに「平均化法」と称する手法を用いても良い。平均化法とは、被計測面に対して参照面Ｂを光軸と垂直な複数の方向にシフトさせ、シフトされた被計測面と参照面Ｂとの複数の位置関係で被計測面の参照面Ｂに対する形状を干渉計を用いて計測し、計測結果を平均化して被計測面の形状を算出する手法である。計測回数がj回目の時の参照面Ｂの位置を（xj,yj）とすると、j回目の計測結果MjRA(x,y)は、以下のように表される。
【数１６】
2012026808.tif 000018
【００４０】
従って、参照面Ｂの位置をランダムに変化させながらＮ回計測し、その平均をとると式３６のようになる。
【００４１】
【数１７】
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【００４２】
式３６の右辺の第１項が十分に小さくなるまで計測回数Ｎを増やすことで、被計測面の面形状を算出する。平均化法は一般にステージ精度が十分でないときに高精度な面形状の計測方法として知られている。従って、更なる低コストで面形状の計測が可能となる。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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