(57)【要約】【課題】オプション価格を現実に即して合理的に算出できるオプション価格決定方法を提供する。【解決手段】この方法は、資産の市場における価格データのリストを情報ソースから受け記憶するステップと、資産のオプション価格の決定要求を受けて、リストを用いてオプション価格を決定するステップとを含む。要求は、資産価格Ｓ，権利行使価格Ｋ，所定期間あたりの非危険資産利子率ｒ、オプションの残存期間ｔ、及び連続複利計算された配当性向ｑを含む。価格を決定するステップは、リストに基づき、与えられた期間における収益率を算出するステップ１０２と、収益率のうちの負の符号を逆転するステップ１０４と、負の符号が逆転された収益率の分布をハーフ・ノーマル曲線に適合させ、ボラティリティｖを算出するステップ１０６と、ｖ、Ｓ，Ｋ，ｒ、ｔ、及びｑの関数として資産のオプション価格を決定するステップ１２０〜１３４とを含む。【選択図】    図８６
2012243113.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
通信装置及び記憶装置を有するコンピュータにおいて、市場において流通可能な資産のオプション取引に伴うオプション価格を決定するオプション価格決定方法であって、
前記コンピュータが、所定期間ごとの前記資産の市場における価格データのリストをしかるべき情報ソースから受け、前記記憶装置に記憶するステップと、
前記コンピュータが、前記資産のオプション価格を決定するように求める要求を受けたことに応答して、前記記憶装置に記憶された前記リストを用いてオプション価格を決定する価格決定ステップとを含み、
前記要求は、資産価格Ｓ，権利行使価格Ｋ，所定期間あたりの非危険資産利子率ｒ、オプションの残存期間ｔ、及び連続複利計算された配当性向ｑを含み、
前記価格決定ステップは、
前記コンピュータが、前記リストに基づき、与えられた期間における収益率を算出する収益率算出ステップと、
前記コンピュータが、前記収益率算出ステップにおいて算出された収益率のうち、符号が負のものの符号を逆転する符号逆転ステップと、
前記コンピュータが、前記符号逆転ステップにおいて負の符号が逆転された収益率の分布をハーフ・ノーマル曲線に適合させ、当該ハーフ・ノーマル曲線のボラティリティｖを算出するステップと、
前記コンピュータが、前記ボラティリティｖ、前記資産価格Ｓ，権利行使価格Ｋ，非危険資産利子率ｒ、オプションの残存期間ｔ、及び配当性向ｑの関数を計算することにより、当該関数の値として前記資産のオプション価格を決定する関数計算ステップとを含む、オプション価格決定方法。
【請求項２】
請求項１に記載のオプション価格決定方法であって、
前記ボラティリティｖを算出するステップでは以下の式によりボラティリティｖが算出され、
【数１】
2012243113.tif 000022
ただし関数Ｅｒｆ（ｚ）は以下の式で表される誤差関数であり、
【数２】
2012243113.tif 000023
関数Ｖａｒｉａｎｃｅ［ｗ］は分布ｗの分散を表し、
ＨａｌｆＮｏｒｍａｌＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ［θ］はパラメータθのハーフ・ノーマル分布を表し、
前記関数計算ステップは、以下の式により前記資産のコール・オプションの価格ＨａｌｆＢＳＣａｌｌ［Ｓ，Ｋ，ｖ，ｒ，ｑ，ｔ］を決定するステップを含む、オプション価格決定方法。
【数３】
2012243113.tif 000024
【請求項３】
請求項１に記載のオプション価格決定方法であって、
前記ボラティリティｖを算出するステップでは以下の式によりボラティリティｖが算出され、
【数４】
2012243113.tif 000025
ただし関数Ｅｒｆ（ｚ）は以下の式で表される誤差関数であり、
【数５】
2012243113.tif 000026
ここで、関数Ｖａｒｉａｎｃｅ［ｗ］は分布ｗの分散を表し、
ＨａｌｆＮｏｒｍａｌＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ［θ］はパラメータθのハーフ・ノーマル分布を表し、
前記関数計算ステップは、以下の式により前記資産のプット・オプションの価格ＨａｌｆＢＳＰｕｔ［Ｓ，Ｋ，ｖ，ｒ，ｑ，ｔ］を決定するステップを含む、オプション価格決定方法。
2012243113.tif 000027
【請求項４】
前記資産は株式である、請求項１〜請求項３のいずれかに記載のオプション価格決定方法。
【請求項５】
通信装置及び記憶装置を有するコンピュータに、
市場において流通可能な資産のオプション取引に伴うオプション価格を決定するために、
所定期間ごとの前記資産の市場における価格データのリストをしかるべき情報ソースから受け、前記記憶装置に記憶するステップと、
前記資産のオプション価格を決定するように求める要求を受けたことに応答して、前記記憶装置に記憶された前記リストを用いてオプション価格を決定する価格決定ステップとを実行させるコンピュータプログラムであって、
前記要求は、資産価格Ｓ，権利行使価格Ｋ，所定期間あたりの非危険資産利子率ｒ、オプションの残存期間ｔ、及び連続複利計算された配当性向ｑを含み、
前記価格決定ステップでは、前記コンピュータプログラムは、前記コンピュータに、
前記リストに基づき、与えられた期間における収益率を算出する収益率算出ステップと、
前記収益率算出ステップにおいて算出された収益率のうち、符号が負のものの符号を逆転する符号逆転ステップと、
前記符号逆転ステップにおいて負の符号が逆転された収益率の分布をハーフ・ノーマル曲線に適合させ、当該ハーフ・ノーマル曲線のボラティリティｖを算出するステップと、
前記ボラティリティｖ、前記資産価格Ｓ，権利行使価格Ｋ，非危険資産利子率ｒ、オプションの残存期間ｔ、及び配当性向ｑの関数を計算することにより、当該関数の値として前記資産のオプション価格を決定する関数計算ステップとを実行させる、オプション価格決定のためのコンピュータプログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
この発明はオプション価格の算出システムに関し、特に、現実のデータに即した、高い信頼性でオプション価格を算出するシステムに関する。
【背景技術】
【０００２】
わゆる金融工学といわれるものは、数学における偏微分方程式、特に熱伝導方程式の解法の応用にその端を発している。この偏微分方程式問題の解法は、独立変数が複数個あることにより非常に難解である。一方、金融工学の分野では、最近はコンピュータを利用したシステムが多く導入されている。そのようなシステムは、システムの構築者の金融工学理論により、例えば株式のポートフォリオをどのようにしたら利益を最大化したりリスクを最小化したりできるかがプログラムとして組込まれている。金融工学の理論が難解であることから、そうしたシステムの中身を理解することもきわめて難しい。
【０００３】
しかし、たとえ理解が困難ではあっても、途中の論理的プロセスが明らかでないのなら、無闇に人の作ったシステムを信用すべきではない。計量モデルを作る際にも、できれば自分の手でプログラムを作成することが望ましい。
【０００４】
しかし、実際にポートフォリオを自分で作るという作業は、市販の、特にユーザーフレンドリーであるといわれるプログラム作成環境を用いなければ困難である。例えば、株式の分野の「有効フロンティア」と呼ばれる曲線をグラフで描くようなことは、コンピュータと金融工学との双方によほど精通していなければほとんど不可能である。
【０００５】
有効フロンティアとは、理論的に言えば、任意数のリスク資産におけるリスクとリターンとの関係を表す曲線である。２つのリスク資産の場合には、有効フロンティアは、それら２つのリスク資産内について、所与のリスクで最大のリターンを与えるよううに計算される、２次の双曲線である。３つのリスク資産の場合には、それら３つのリスク資産内の任意の２つのリスク資産の組合わせに対して得られる有効フロンティアの包絡線がその３つのリスク資産の有効フロンティアである。この場合の「包絡線」とは、２つのリスク資産に対して得られる有効フロンティアが全て、３つのリスク資産に対して得られる有効フロンティアに内側から接するか、その内部に内包されている状態であるような双曲線のうちで最小のもののことをいう。以下、同様にして、リスク資産の数がＮ個の場合には、それらのうち任意のＮ−１個の数のリスク資産に対する有効フロンティアの包絡線が、Ｎ個のリスク資産の包絡線となる。
【０００６】
金融工学を用いて様々な金融商品が開発されている。その典型的なものが、いわゆるオプションと呼ばれるものである。オプションとは、特定の期日に、特定の売買を行なう権利であって、それ自体が商品として売買される。オプションの売買にあたり、どのようにその値段を決めるかは難しい問題である。
【０００７】
偏微分方程式は、解くのはかなり難しいし、解けない問題も多数存在する。微分方程式モデルは経済学でもかなり取り上げられてきてはいるけれども、ブラック（Ｂｌａｃｋ，Ｆ．）とショールズ(Ｓｃｈｏｌｅｓ，Ｍ．非特許文献１)とによって初めてこの偏微分方程式解法のオプションへの適用が試みられ、完全に定式化され、数多くの研究者たちがこの分野に参入してきた。彼らの研究の基礎にあるのは日本の確率論学者、伊藤清氏の研究の成果である。ＢＳの功績は、この伊藤公式（Ito  Formula）に基づいている。
【０００８】
オプションと同じような商取引は、日本においては、江戸時代に大坂・堂島の米相場で非常に活発に行われていた。武士の俸給としての扶持米（現実に与えられた米でなくても、それらを将来受け取る権利）として、それを表象する蔵米手形が実際に取引されていた。われわれとしては、その時の価格がどのようにきめられていたか、その仕組みを知りたい。しかし、その仕組みについての研究は知られておらず、実際にどのようにして価格が決められていたかを現時点では知ることはできない。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００９】
【非特許文献１】Black,  F.  &  Scholes,  M.,  “The  Pricing  of  Options  and  Corporate  Liabilities,"  Journal  of  Political  Economy  (May-June  1973),  637-659
【非特許文献２】Shaw,  William  T.  “Modelling  Financial  Derivatives  with  Mathematica-Mathematical  Models  and  Benchmark  Algorithms-,”  Cambridge  Uni.  Press,  1998
【非特許文献３】野口悠紀雄・藤井眞理子「金融工学」、ダイヤモンド社、2000年
【非特許文献４】石村貞夫・石村園子「金融・証券のためのブラック・ショールズ微分方程式」東京出版(下部)、1999年9月
【非特許文献５】ジョン  Ｃ  ハル、三菱ＵＦＪ証券市場本部訳、フィナンシャルエンジニアリング─デリバティブ取引とリスク管理の総体系、社団法人金融財政事情研究会、２００９年（Hull,  John  C.  “Option,  Futures,  and  other  Derivatives'”  7th  Edition,  Prentice  Hall）
【非特許文献６】大川勉、投資家の振舞の比較及びＣＡＰＭの復権−東京及びニューヨークマーケットにおける月次、週次、日次データによる検証、第３回ビジネスに関する国際会議予稿集、２００３年６月１８日〜２１日、ハワイ、米国（Okawa,  Tsutomu;  “Comparison  of  Investor’s  Behaviors  and  Rehabilitation  of  the  CAPM  -A  verification  with  Monthly,  Weekly  and  Daily  Data  in  Tokyo  and  New  York  Markets-,“  Proceedings  of  the  3rd  International  Conference  on  Business,  June  18-21,  2003,  Hawaii.）
【非特許文献７】ジャスティン  フォックス著、遠藤真実訳、合理的市場という神話：リスク、報酬、幻想をめぐるウォール街の歴史、東京経済新報社、２０１０年、東京（Fox,  Justin.  The  Myth  of  the  Rational  Markes:  A  History  of  Risk,  Reward,  and  Delusion    on  Wall  Street,  2009,  HarperCollins  Publishers）
【非特許文献８】Tze  Leung  Lai  and  Haipen  Xing.  Statistical  Models  and  Methods  for  Financial  Markets,  2008,  Springer
【非特許文献９】Benninga,  Simon.  Financial  Modeling,  2000,  2nd  ed.  MIT  Press
【非特許文献１０】桐谷  維、ポートフォリオ・セレクション─金融資産選択の理論─、春秋社、１９６８年、東京
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【００１０】
現状では、価格決定の仕組みをブラック・ボックスに入れ、高等な理論に基づいてオプションを組成しているということで、オプションの価格（プレミアム＝Ｐｒｅｍｉｕｍとよばれる。）が公表され、それに基づいて一般に取引が行われている。このような状況では、その理論の複雑さにより、取引をすべきか否かに関する正しい判断が非常にむずかしい商取引が多くなっている。ＰＲＤＣ債（Power  Reverse  Dual  Currency=複数通貨による早期償還条項付債権）又はＦＸ(Foreign  Exchange)ターン（Target  Redemption  Note=目標設定型早期買戻し条項付外国債）債等という商品については、余程情報を持っている人でないと、その仕組みを理解できない。このように、その名前を聞いただけでは殆ど意味不明の仕組み債(Structured  Bonds)が日本でも金融機関及び証券会社によって売出されている。日本の地方自治体でもそうした商品をかなり購入しているところがあるという。しかもそれらは、満期日が１０年、２０年ということになっているようである。元本が保証されているとは言っても、償還は１０年先の為替相場で計算されるのであれば、元本が償還されてもそれだけではあまり意味がない。そのような問題を避けるためにも、こうした商品の価格について容易にその適・不適が判断できることが望ましい。
【００１１】
こうした問題は、投機理論を含めたオプション理論の一般化が、これまでの経済学では出来ていなかったことによると思われる。
【００１２】
これに関して、従来の解説書は、オプション価格の計算のところでは高等数学を使って説明し、その難解な公式をパーソナルコンピュータ（以下、説明を簡略にするために「パソコン」と呼ぶ。）に計算させるための手順のみを示すか、難しい説明を避けるために、オプション価格の計算方法はくわしく説明しないか、どちらかのパターンが多いようである。仮に理論と実際との双方について詳細に説明しても、このような問題を理解するのはむずかしいと思われるためであろう。
【００１３】
しかし、だからこそ、オプションの理論を正確、かつ厳密に把握しておくことは非常に重要なことである。
【００１４】
大多数の経済学者は、たとえば、市場は効率的である、という一種の信仰のようなものを持っているところがある。彼らのその信仰を支えているのは、市場分析においては、完全競争と完全情報の仮定は相即不離の関係にあって、そのことによって市場の効率性が保証されるという考えである。その当然の論理的帰結として、例えば、株価のような変動は、ランダム・ウォーク（酔歩過程あるいはウィーナー過程）又は拡散過程（ブラウン運動）に従う運動をすると考えられている。確かに株価変動をグラフ化すると、一見ランダム・ウォークとみられるところがある。
【００１５】
しかし、それが実際にそうなのかを、データに即して検討する必要があるのではないか。これに関連して、金融工学者の誰も疑おうともしないブラック＝ショールズ（以下、記載を簡略化することを目的に「ブラック＝ショールズ」を「ＢＳ」と呼ぶ。）公式についても、そのまま受け入れることが妥当か否かを検討する必要がある。
【００１６】
前述のPRDC債とかターン債とかいうような、いわゆる仕組み債といわれているものを適切に利用するためには、その基礎をなすＢＳ公式を正確に理解し、もしも現実と整合しない点があれば改める必要があろう。特に、オプション価格については、現実のデータに即し、ＢＳ公式を改めることが必要なら改めなければならない。さもなければ、確たる根拠もなしに、ブラック・ボックスにも等しいＢＳ公式を用いたオプション価格を用いた取引が拡大し、経済上に大きな混乱を招く危険性がある。さらに、そのような計算はできるだけ素早くする必要があることから、当然のことながらコンピュータにおいて直ちにオプション価格を決定することができるよう、コンピュータをプログラムすることが必要である。
【００１７】
それゆえにこの発明の目的は、オプション価格を現実に即してより合理的に算出することができるオプション価格決定方法及びそのためのコンピュータプログラムを提供することである。
【課題を解決するための手段】
【００１８】
本発明の第１の局面に係るオプション価格決定方法は、通信装置及び記憶装置を有するコンピュータにおいて、市場において流通可能な資産のオプション取引に伴うオプション価格を決定するオプション価格決定方法であって、コンピュータが、所定期間ごとの資産の市場における価格データのリストをしかるべき情報ソースから受け、記憶装置に記憶するステップと、コンピュータが、資産のオプション価格を決定するように求める要求を受けたことに応答して、記憶装置に記憶されたリストを用いてオプション価格を決定する価格決定ステップとを含む。要求は、資産価格Ｓ、権利行使価格Ｋ、所定期間あたりの非危険資産利子率ｒ、オプションの残存期間ｔ、及び連続複利計算された配当性向ｑを含む。価格決定ステップは、コンピュータが、リストに基づき、与えられた期間における収益率を算出する収益率算出ステップと、コンピュータが、収益率算出ステップにおいて算出された収益率のうち、符号が負のものの符号を逆転する符号逆転ステップと、コンピュータが、符号逆転ステップにおいて負の符号が逆転された収益率の分布をハーフ・ノーマル曲線に適合させ、当該ハーフ・ノーマル曲線のボラティリティｖを算出するステップと、コンピュータが、ボラティリティｖ、資産価格Ｓ、権利行使価格Ｋ、非危険資産利子率ｒ、オプションの残存期間ｔ、及び配当性向ｑの関数を計算することにより、当該関数の値として資産のオプション価格を決定する関数計算ステップとを含む。
【００１９】
好ましくは、ボラティリティｖを算出するステップでは以下の式によりボラティリティｖが算出される。
【００２０】
【数１】
2012243113.tif 000003
【００２１】
ただし関数Ｅｒｆ（ｚ）は以下の式で表される誤差関数である。
【００２２】
【数２】
2012243113.tif 000004
【００２３】
関数Ｖａｒｉａｎｃｅ［ｗ］は分布ｗの分散を表す。ＨａｌｆＮｏｒｍａｌＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ［θ］はパラメータθのハーフ・ノーマル分布を表す。関数計算ステップは、以下の式により資産のコール・オプションの価格ＨａｌｆＢＳＣａｌｌ［Ｓ，Ｋ，ｖ，ｒ，ｑ，ｔ］を決定するステップを含む。
【００２４】
【数３】
2012243113.tif 000005
【００２５】
より簡潔にいうと、ボラティリティｖを算出するステップでは以下の式によりボラティリティｖが算出される。
【００２６】
【数４】
2012243113.tif 000006
【００２７】
ただし関数Ｅｒｆ（ｚ）は以下の式で表される誤差関数である。
【００２８】
【数５】
2012243113.tif 000007
【００２９】
ここで、関数Ｖａｒｉａｎｃｅ［ｗ］は分布ｗの分散を表す。ＨａｌｆＮｏｒｍａｌＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ［θ］はパラメータθのハーフ・ノーマル分布を表す。関数計算ステップは、以下の式により資産のプット・オプションの価格ＨａｌｆＢＳＰｕｔ［Ｓ，Ｋ，ｖ，ｒ，ｑ，ｔ］を決定するステップを含む。
2012243113.tif 000008
【００３０】
簡単にいうと、資産は株式資産とする。
【００３１】
本発明の第２の局面に係るコンピュータプログラムは、通信装置及び記憶装置を有するコンピュータに、市場において流通可能な資産のオプション取引に伴うオプション価格を決定するために、所定期間ごとの資産の市場における価格データのリストをしかるべき情報ソースから受け、記憶装置に記憶するステップと、資産のオプション価格を決定するという要請を受けて、記憶装置に記憶されたリストを用いてオプション価格を決定するステップを実行させる。その場合の与件としては、資産価格Ｓ、権利行使価格Ｋ、所定期間あたりの非危険資産利子率ｒ、オプションの残存期間ｔ、及び連続複利計算された配当性向ｑを含む。価格決定ステップでは、コンピュータプログラムは、コンピュータが、リストに基づき、与えられた期間における収益率を算出する収益率算出ステップと、収益率算出ステップにおいて算出された収益率のうち、符号が負のものの符号を逆転する符号逆転ステップと、符号逆転ステップにおいて負の符号が逆転された収益率の分布をハーフ・ノーマル曲線に当てはめ、当該ハーフ・ノーマル曲線のボラティリティｖを算出するステップと、ボラティリティｖ、資産価格Ｓ、権利行使価格Ｋ、非危険資産利子率ｒ、オプションの残存期間ｔ、及び配当性向ｑの関数を計算することにより、当該関数の値として資産のオプション価格を決定する関数計算ステップとを実行させる。
【図面の簡単な説明】
【００３２】
【図１】１０００個の一様乱数から得られたランダム・ウォークの例を示すグラフである。
【図２】１００００個の正規分布にしたがって発生された乱数から得られたランダム・ウォークの例を示すグラフである。
【図３】図２に示したデータのヒストグラムである。
【図４】図２に示したデータの平均値及び分散を算出し、その値にしたがって描いた正規分布のグラフである。
【図５】図３と図４とを重ねたグラフである。
【図６】Ｗ．Ｔ．  Ｓｈａｗによる乱数データのヒストグラムをデータから得られた平均及び分散を使用して描いた正規分布曲線と重ねて描いたグラフである。
【図７】ハーフ・ノーマル分布のグラフである。
【図８】日経平均による投資収益率の分布を示すヒストグラムである。
【図９】ハーフ・ノーマル曲線とヒストグラムとを重ね合わせたグラフである。
【図１０】日経平均月次データのヒストグラムである。
【図１１】日経平均月次データの標準化したデータのヒストグラムである。
【図１２】図１０に示すデータについて描いたハーフ・ノーマル分布の確率密度分布関数のグラフである。
【図１３】図１１と図１２とを重ねたグラフである。
【図１４】日経平均月次データの信頼区間とθの平均による曲線を示すグラフである。
【図１５】東京証券取引所平均株価指数のヒストグラムと信頼区間とθの平均によるハーフ・ノーマル曲線とを重ねて示したグラフである。
【図１６】投資収益率のヒストグラムとそれに対応する正規分布曲線を示すグラフである。
【図１７】標準化された仮想の投資収益率のヒストグラムである。
【図１８】標準化された仮想の投資収益率のヒストグラムとそれに対応するハーフ・ノーマル分布曲線とを重ねて示すグラフである。
【図１９】ニューヨーク株式市場における日足データのベータ値分析の結果を示すグラフである。
【図２０】某銀行株価の分足データの投資収益率の分布を示すヒストグラムである。
【図２１】ハーフ・ノーマル確率密度関数を示すグラフである。
【図２２】実験的に得た、標準化された実験値のヒストグラムである。
【図２３】θ＝０．８のときのハーフ・ノーマル分布曲線のグラフである。
【図２４】図２２のヒストグラムと図２３のグラフとを重ねたグラフである。
【図２５】図２０のデータの投資収益率の分布とハーフ・ノーマル分布曲線との適合度を示すグラフである。
【図２６】ＢＳ公式によるｄ１とｄ２の意味を示すグラフである。
【図２７】ハーフ・ノーマルＢＳ公式によるｄ１とｄ２の意味を示すグラフである。
【図２８】θの大きさによるハーフ・ノーマル分布の累積分布の相違を示すグラフである。
【図２９】ボラティリティの変化によるコール・オプションのプレミアムの変化を示すグラフである。
【図３０】ボラティリティの変化によるプット・オプションのプレミアムの変化を示すグラフである。
【図３１】コール・オプションのプレミアム曲線とプット・オプションのプレミアム曲線との交点を示すグラフである。
【図３２】株価の変化がプレミアムに及ぼす影響とその交点とを示すグラフである。
【図３３】株価の変化がＢＳモデルによるプレミアムに及ぼす影響とその交点とを示すグラフである。
【図３４】正規乱数により発生させた変動系列を示すグラフである。
【図３５】図３４に示すデータのヒストグラムである。
【図３６】図３４及び図３５に示すデータの平均値及び分散を持つ正規確率密度関数のグラフである。
【図３７】図３５と図３６とを重ねて比較するグラフである。
【図３８】ランダム・ウォークにしたがう変動系列を示すグラフである。
【図３９】図３８に示すデータのヒストグラムである。
【図４０】図３８及び図３９に示すデータの平均値及び分散を持つ正規確率密度関数を示すグラフである。
【図４１】図３９と図４０とを重ねて比較するグラフである。
【図４２】ハーフ・ノーマル確率密度曲線を示すグラフである。
【図４３】図３８及び図３９に示すデータから計算される投資収益率について、負の符号を逆転させた後のヒストグラムと図４２の曲線とを重ねて描いたグラフである。
【図４４】図３８及び図３９に示すデータから計算される投資収益率について、平均と分散とを求め、標準化して得られたハーフ・ノーマル確率密度曲線と元のデータの比すとグラムとを重ねて示すグラフである。
【図４５】データ数５，０００個の実験により得られた、ランダム・ウォークにしたがうと目されるデータの変動系列を示すグラフである。
【図４６】図４５に示すデータのヒストグラムである。
【図４７】図４５及び図４６に示すデータの平均値及び分散を持つ正規確率密度曲線のグラフである。
【図４８】図４６と図４７とを重ねて描いたグラフである。
【図４９】図４５の元になったデータから発生させた、ランダム・ウォークにしたがうデータの変動系列を示すグラフである。
【図５０】図４９に示すデータの平均値及び分散を持つ生起確率密度曲線のグラフである。
【図５１】図４９と図５０とを重ねて描いたグラフである。
【図５２】図５１に示す正規確率密度関数に対応するハーフ・ノーマル曲線のグラフである。
【図５３】図４９に示すデータにつき、データから１を指し引き、さらに負の符号のデータをプラスに折り返して得られたヒストグラムである。
【図５４】図５２の曲線と図５３のヒストグラムとを重ねて示したものである。
【図５５】図４４と同様、図４９に示すデータの標準偏差を求め、この標準偏差を用いてデータを標準化したときのヒストグラムを描いたものである。
【図５６】図５５のヒストグラムと図５２のハーフ・ノーマル曲線とを重ねて描いたグラフである。
【図５７】１０，０００個の、ランダム・ウォークと目されるデータの変動を表すグラフである。
【図５８】図５７に示すデータのヒストグラムである。
【図５９】図５７に示すデータの平均値及び分散の値を持つ正規確率密度分布関数のグラフである。
【図６０】図５８と図５９とを重ね合わせたグラフである。
【図６１】図５７のデータの差の分布をヒストグラムで表した図である。
【図６２】図６１に示すデータの平均値と分散とを持つ正規確率密度関数のグラフである。
【図６３】図６１のヒストグラムと図６２のグラフとを重ね合わせたグラフである。
【図６４】図６２に示す正規確率密度関数に対応するハーフ・ノーマル曲線のグラフである。
【図６５】図４４及び図５５と同様、図６１に示すデータを１を中心に折り返して得られたヒストグラムである。
【図６６】図６４と図６５とを重ね合わせたグラフである。
【図６７】５０，０００個のランダム・ウォークと目されるデータの変動系列を示すグラフである。
【図６８】図６７に示すデータのヒストグラムである。
【図６９】図６８に示すデータの平均値及び分散を持つ正規確率密度関数のグラフである。
【図７０】図６８と図６９とを重ね合わせたグラフである。
【図７１】図６７に示すデータから得た、ランダム・ウォークに従うデータのヒストグラムである。
【図７２】図７１に示すデータの平均値及び分散を持つ正規確率密度関数のグラフである。
【図７３】図７１と図７２とを重ね合わせたグラフである。
【図７４】図７２に示す正規確率密度関数に対応するハーフ・ノーマル確率密度関数のグラフである。
【図７５】図７０に示すデータに関して得られた差分のヒストグラムである。
【図７６】図７４と図７５とを重ね合わせたグラフである。
【図７７】ランダム・ウォークと目される５０，０００個のデータの変動を示すグラフである。
【図７８】図７７に示すデータの差分の負の符号を逆転したもののヒストグラムと、もとの差分の分布の生起確率密度関数に対応するハーフ・ノーマル確率密度関数のグラフとを重ねて示したグラフである。
【図７９】東証１部、２００９／４／０１から２０１０／７／０２における日経平均による投資収益率（マイナスの符号をプラスに変換したもの）の分布を示すヒストグラムである。
【図８０】図７９に示した投資収益率の符号を変換する前のデータから得た正規確率密度分布関数に対応するハーフ・ノーマル確率密度関数のグラフを図７９いに示すヒストグラムと重ねて描いたグラフである。
【図８１】２０００年１月から２０１０年７月までの期間での日経平均の月次データをとり、投資収益率を計算しマイナスの符号をプラスに変換して得られた結果のヒストグラムと、対応するハーフ・ノーマル確率密度関数のグラフを示すグラフである。
【図８２】５１６個の、１９９５年１月２日から２００４年１１月２２日までの日経平均週足データについて図８１と同様にして得られたグラフである。
【図８３】１９９１年１月から２０１０年７月までのＴＯＰＩＸデータについての投資収益率のヒストグラムである。
【図８４】図８３に示すデータに対して得られたハーフ・ノーマル曲線を、図８３のヒストグラムに重ねて示したグラフである。
【図８５】本発明の１実施の形態に係るシステムにおいて、分足データを定期的に読込む処理を行なうプログラムの制御構造を示すフローチャートである。
【図８６】上記実施の形態に係るシステムにおいて、プレミアム計算の要求を受けたときに実行される、プレミアム計算のためのプログラムの制御構造を示すフローチャートである。
【図８７】本発明の一実施の形態に係るオプション価格計算システムを実現するコンピュータシステムの外観図である。
【図８８】図８７に示すコンピュータのブロック図である。
【図８９】東北大震災以前の東京株式市場の４つの銘柄の有効フロンティアを示すグラフである。
【図９０】図８９の有効フロンティアと証券市場直線とを重ね合わせたグラフである。
【図９１】東北大震災以後の、上記図８９に示す４つの銘柄の有効フロンティアを示すグラフである。
【図９２】図９１の有効フロンティアと証券市場直線とを重ね合わせたグラフである。
【発明を実施するための形態】
【００３３】
以下の説明及び図面では、同一の部品には同一の参照番号を付してある。したがって、それらについての詳細な説明は繰返さない。
【００３４】
第１章  市場原理主義にこだわる経済学者たち
§１  資本主義競争市場は本当に効率的なのか？
§１．１  株式市場は本当に効率的なのか？
株式市場の効率性を保証するのは、それがランダム過程であるということである。この問題について詳しく論じているオックスフォード大キングス・カレッジ教授のＳｈａｗの著書からその手法を検討してみることにする。Ｓｈａｗは、株式市場のシミュレーションにマセマティカ（登録商標）と呼ばれる数値計算のプログラム群を用いている。Ｓｈａｗは、その書物（非特許文献２）の「第２章  マセマティカ概説」での「Ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ  ａｎｄ  Ｒａｎｄｏｍ  Ｗａｌｋｓ」という節で次のようなマセマティカ・プログラムによる、ランダム・ウォーク過程におけるデータを発生させる方法を詳説している。
（１）addrandONE[x_]  :=  x  +  Random[Real,{-0.5,0.5}]
（２）walkONE  =  NestList[addrandONE,0,1000];
（３）ListLinePlot[walkONE];
この手続のうち、式（１）はaddrandONE[x_]という関数を定義している。定義を表す記号「：＝」の右辺は、｛−０．５，０．５｝の範囲で一様乱数を次々に発生させて、ｘの値に加えることを示す。
【００３５】
式（２）は、ｘ＝０から始めて、関数addrandONE[x]を順次適用して得られた結果の値を１０００個、walkONEという名称のリストの中に蓄積し、リスト形式で与えることを示す。リスト形式とは、｛ｅ１，ｅ２，…，ｅｎ｝のようなデータの集まりを示す。
【００３６】
式（３）のListLinePlotは[  ]内のデータに対応する点を座標空間上にプロットし、プロットされた点を直線で結んだグラフを描画する命令である。
【００３７】
このプログラムを実行すると、図１に示すようなグラフが得られる。ただしこのグラフは、乱数を使用しているために、実行するたびに異なることに注意する必要がある。この図は一見したところ、確かに株価変動と非常によく似ており、株価変動はこのようなランダム・ウォーク過程によるもののように見える。しかし、実際には株価変動はこのようなランダム・ウォーク過程から得られるものではない。この図は株価の変動とは異なる変動を示すものである。
【００３８】
株価のように非常に多数の株主が競合している市場では、そこに参加する人たちそれぞれが、いろいろな外的要因及び心理的要因によって、投票し合っているものと考えることが出来る。もしそうだとすれば、統計学のいわゆる中心極限定理によって、株主が想定する株価は近似的に正規分布をするものと見なすことが出来るであろう。したがって、ある時点の株価と次の時点での株価との間の変動は、式（１）のような一様乱数ではなくて、正規分布にしたがって発生される乱数にしたがうと考えるほうが適切である。
【００３９】
このような条件によるものとすれば、上記した式（１）は次の式（４）に変更すべきである。
【００４０】
（４）addrandONE[x_]  :=  x  +  Random[NormalDistribution[0,1]]
以下、式（１）及び式（４）に従ってデータを作製し、いずれが妥当か検証してみる。
【００４１】
式（４）及び式（２）に従ってデータを作製し、式（３）によりグラフ化してみると、図２のようになる。
【００４２】
このグラフを作製するにあたり、式（４）及び（２）により得られたデータのヒストグラムは図３のようになった。乱数を使用しているので、実行毎に異なるヒストグラムが得られる点に注意が必要である。
【００４３】
このデータの平均値及び分散を算出し、その値にしたがって正規分布のグラフを書くと図４のようになる。図３と図４とを重ねると図５のようになる。
【００４４】
これに対して、Ｓｈａｗの乱数発生プロセスによって得られたデータ（式（１）及び式（２）により得られたデータ）の場合には、そのヒストグラムと、データから得られた平均及び分散を使用して描いた正規分布曲線とを重ねると図６のようになる。当然、両者は一致しない。
【００４５】
つまり、株価の変動量が正規分布にしたがっているとすれば、式（４）により実験データを作製してシミュレートを行なわなければならない。
【００４６】
§１．２  株価をシミュレートする
STをＴ時点（オプションの満期日としてもよい）での株価、S0を現時点での株価とする。株価におけるＢＳモデルの前提は、ln(sT)が正規分布するということである。つまり、以下の式が成立する。
【００４７】
{loge(ST)-loge(S0)}〜N（(μ-σ２/2)T,σ√T）、又は
Loge(ST/S0)〜N（(μ-σ２/2)T,σ√T）
ここでμは、年当りの期待収益率、σは、年当り株価のボラティリティである。ＢＳの原論文では、ボラティリティは分散率=variance  Rateとなっている。標準偏差とみなしてよい。loge（  ）は自然対数であり、N(μ,ｖ)は、平均μ、分散ｖの標準正規分布を意味する。
【００４８】
上で導かれた対数正規分布は、厳密には、次のような確率密度関数（平均μ、分散σ２）の分布である。
【００４９】
【数６】
2012243113.tif 000009
【００５０】
以下、株価収益率について、株価が上記したように対数正規分布をするものとして、オプションについてのいわゆる、ＢＳモデルの限界を明らかにする。
【００５１】
§１．３  いわゆる投機の理論について
以後の理論的展開の予備的考察として、これまで経済学ではそれほど本格的に取り扱われていなかった、投機(Speculation)の問題を理論的に整理しておく。投資には明らかに投機的動機が強く働いているからである。マネーが取引される時に、とくに強く働くのは、この投機的動機である。いわゆる金融派生商品の取引の主たる動機として、投機的動機が強く働いていることもいうまでもない。
【００５２】
日本では、投機という言葉はあまり良い意味では使われていない。しかし、対応する英語（speculation）の辞書による定義をみてみると、「（１）思索、思弁、考察、推測；（２）投機、思惑、あてこみ」となっている。したがって、少なくとも英語圏では、この単語が日本語のように悪い意味では使われていないことが分かる。よく考える人が投機を行なうはずであろうから、投機家の存在は経済の安定化のために必要なことであるかもしれない。このことは経済学者も古くから、理論的に十分に考慮してきた。唯、投資の理論を見てみると、それらの理論には投機が明示的には取り込まれていない。
【００５３】
§１．４  ＣＡＰＭの再生にむけて
本論にはいる前に、一時期持てはやされたモデルとして、いわゆる「資産価格モデル」(Capital  Asset  Pricing  Model=ＣＡＰＭ)といわれるものがあるが、それについて言及しておく。
【００５４】
このモデルでは、分析対象の資産の数が非常に多い場合には「市場ポートフォリオとの相対的な関係を示すβｉのデータだけが分かればよい」（非特許文献３、ｐ．５８）とされる。しかもこのベータは、投資家に大変重宝されているようで、例えば東京証券取引所のホーム・ページでも、上場各企業のベータ値が公表されている。
【００５５】
このベータがどのように計算されるのかを簡単にみておくことにする。
【００５６】
§１．４．１  有効フロンティアの考え方と投機理論の統合について
ハリー・マーコヴィッツ(Ｈ．  Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ、１９９０年にノーベル賞受賞)がポートフォリオの理論を展開してから半世紀がたつ。この理論は数学的にはそれほど難しいものではないが、これを活用しているアナリストがいないことからみても、実用の面ではあまり評価されていないようである。実際、ポートフォリオ理論を解説している書物及び論文をみても、現実のデータを用いて分析していないのが大多数である。
【００５７】
多数の危険資産に分散投資をする以上、それらを全て保有する場合には、その期待収益率とその標準偏差を軸とする平面上に描かれるいわゆる有効フロンティア（それぞれの全ての組み合わせを内部点として含む包絡線を意味している）を計算する必要がある。その計算は従来の考え方では、いわゆる２次計画法を解く問題と考えられるのであるが、かなり面倒である。しかもかなり多数の銘柄を保有する場合には、例えば証券市場直線（標準偏差が０でその傾きが正の、確実性資産あるいは無危険資産の収益率から発する直線）がこの包絡線と接する接点での危険資産保有比率が全て非負で０以上の値を与えることはほとんどない。そうした事情もこの理論を実用的なものにすることを阻んでいると考えられる。
【００５８】
全ての危険資産が非ゼロ（非負ではないが）の保有比率である場合には、その包絡線は１つの双曲線となる。この双曲線と市場直線との接点では、殆どの場合、負の保有比率も存在することになることになるのは、数学的には当然である。従来の凸集合と考えられている包絡線は、その一部は双曲線（いくつかの危険資産が含まれない）ではあるが、それがこの包絡線（それも又双曲線である）に内接、又は内包され、連続したものであることを正確に認識しておく必要がある。
【００５９】
もし全ての危険資産の保有比率が正かつ非ゼロであるようなポートフォリオがあるとして、そしてもしそれがかなり多くの数の危険資産から構成されているものであるならば、その場合にはその包絡線のほんの一部分にしか過ぎない可能性が大きい。このことが正しく理解されていないので、包絡線と市場直線との接点が負の保有比率を与える場合には、それはこの危険資産の空売り、すなわち売りもち（Short  Position）と考えるのが今日での通説である。しかしもしそのように負の保有比率を空売りと考え、その場合の包絡線が双曲線であることを認識すれば、当然それに接する市場直線の勾配と出発点（標準偏差=０なる点）によっては、無限大に近い負の保有比率が生ずることになる。つまりもし証券市場直線が、この双曲線の漸近線に近づけば、異常に大きな負の保有比率を生じる可能性がある。無限に大きな、あるいは非常に大きな負の保有比率はしかし現実的ではない。
【００６０】
しかもいわゆる投資の今期における期待収益率の計算では、たとえそれが負の値であっても、前の期に購入したものをその期に売るという投資行動を仮定するのが通例である。このような場合には投資家は期待される収益率の正負如何にかかわらず、前期に購入した資産を今期に売るという奇妙な行動をするものと仮定されているのである。そのような仮定の上で、ポートフォリオの有効フロンティアが描かれていることが問題であるといわねばならない。
【００６１】
そこで以下、このような通説の立場を離れ、理にかなった投資行動のもとでの有効フロンティアの構築を考えることにする。つまり、もしこの期に収益率が負になることが予想されるのであれば、たとえ現物株を保有していなくても売りに回る（つまり空売り）と仮定するのである。したがってもしこの投資家の予想が正しくて、その予想通りに株価が下がれば、正の収益率を得るはずである。このような仮定の下での有効フロンティアの構築について以下検討する。
【００６２】
§１．４．２  有効フロンティアの考え方とデイ＝トレーダー仮説
最も簡単なケースとして、３つの会社の株価をコンピュータで発生させることによって、具体的にポートフォリオの有効フロンティア（efficient  frontier）を作ってみる。
【００６３】
ポートフォリオの有効フロンティアを描くためには、従来ならば株式の保有比率がマイナスになる場合を単なる空売りと考えている。しかし、それは誤りである。従来、有効フロンティアを描く際には、投資収益率がマイナスであっても、それをそのままにしている。しかしそのような方法では、空売りによる成果を考えたポートフォリオが得られない。投資収益率がマイナスのままでは、空売りを行なうことにより利益を得るトレーダー（いわゆる「デイ・トレーダー」に多い。）が増加している今日では、その投資収益を正当に評価していないことになる。投資収益率がマイナスと予想されるのであれば、普通の投資家ならば空売り側に回る筈である。その予想が裏切られなかった段階で収益が生み出され、その値は、符号が逆で絶対値が等しいと考えるのが合理的である。そこで、有効フロンティアを描く際の計算では、投資収益率がマイナスであれば、それを単純にプラスとみなすという操作を加える。そうすることで、ポートフォリオの有効フロンティアを、通常通り標準偏差（ｘ軸）と投資収益率（ｙ軸）により定義される座標空間の第１象限に必ず描くことができる。そうすることで、後述のようにいわゆるベータ分析は見事に蘇るということを、東京・ニューヨーク市場のデータで実際に確かめることができる。
【００６４】
§１．４．３  デイ＝トレーダーの予想形成について
空売りを行なう時に、デイ・トレーダーは、どのようにその予想形成を行なうと考えるべきであろうか。情報処理技術と通信技術との進展により、株価データでも為替取引のデータでも、インターネットを介して瞬時に自宅のパーソナルコンピュータ（以下「パソコン」と呼ぶ。）に取り込むことができる。インターネットを経由して、毎分ごとの株価データをパソコンに取り込むこともできる。そこでどのような推論が出来るかを、実際の株価データを使って、検討してみることにする。必要なデータはインターネット上のしかるべきサイトから容易に入手できる。
【００６５】
ここでは、次のような２００９／１１／２  ９：０６時点から２００９／１１／１３  １５：００時点までの分刻みのデータ（分足データ）を取り込んでみた結果を見てみる。これらは、東京証券市場に上場されている某銀行グループの分刻みの株価情報である。そこに示されているのは、通常の株価情報と同じように、いわゆるローソク足と図示されているような、株価の生の数値そのものである。それらを用いて、それぞれの予想収益率（後述の株価投資収益率の定義による。）を計算し、それから得られる始値・高値・安値・終値をそれぞれ別の株式のものと考えて、そのポートフォリオを作ってみる。つまりそれぞれが、ひとまず独立の株式からの投資収益率と考えることにする。これらの値が実際にはそれぞれ独立ではないことは、それらから得られる相関係数行列の値をみれば、明らかであろう。
【００６６】
【表１】
2012243113.tif 000010
【００６７】
テーブル１及びテーブル２を参照して、１日間の毎分データとその日を含む後の１週間の相関係数行列の間にそれ程大きな違いはないことが分かる。つまり、長い目で見れば、投資家は傾向として、その投資行動で一日の初値から終値までをその投資行動の参考値として重要視しているといえる。そこで、現実の株式市場では、株価は「常に不安定であり、不規則な変動を止める」ということはなくて、「実際の市場の振る舞いを素直に受け入れて、常に価格が変動し、不安定だということをそのまま受け入れる考え方をした方が合理的」である。この後者の主張に従い、物理学でいう「相移転の概念」を用いて、「それと同じように不安定な状態が、超過需要状態と超過供給状態の境目である自由市場の本来の姿であると考えること」にする。つまりコンピュータ取引をしているデイ・トレーダーは、膨大な取引相手に対峙して、それまでの経験を元に、瞬間的に判断を下していると考えるのである。
【００６８】
この問題の理論的な解決策として以下のような提案をしよう。以下の方法で得られる有効フロンティアを上記４種（始値、高値、安値、終値）から計算される期待予想収益率を持つような投資物件と考えることにする。これら４種証券の有効フロンティアの最適保有比率を計算してみると、次のテーブル３のようになった。
【００６９】
【表２】
2012243113.tif 000011
【００７０】
この表の値から、分刻みで行動する投資家ならば、安値株と同等とみなせるならば、最も大量の空売りを行ない、その半分の量とはいえ、高値株とみなせるような値動きのものを空売りするというように推測されうる。つまり彼らは始値と終値を予測の基準として投資行動を行なっていると考えてもよい。以上がポートフォリオ分析から得られる理論的帰結である。
【００７１】
第２章  投機を考慮したオプション価格とＢＳ公式の修正
これまで述べてきたことと、いわゆるＢＳによるオプション価格の公式とをどのように関連付けるかが、次の課題となる。すでに述べたように、一時期大変に持てはやされていたＣＡＰＭは実証的に完全に葬り去られたと考えられた。
【００７２】
しかし、各資産（あるいは株式）についてのポートフォリオを構築するにあたって、従来は、同じような収益率を期待するのではなくて、「すべての投資家は、各資産の期待収益率と分散、及び資産間の相関について、同一の予測をする」(非特許文献３、ｐ．５０)という前提が置かれている。そのような前提を設けるのであれば、ポートフォリオの有効フロンティアと証券市場直線との接点におけるマイナスの保有比率は、すべての投資家にとっても共通でなければならない筈である。
【００７３】
つまり市場全体としてマイナスの保有比率が存在することになる。これは明らかに論理矛盾があることを意味している。それを排除するためには、ＣＡＰＭについての前述の前提をおかずに、マイナスの保有比率を認めるという考え方に立って、空売りを理論のなかに導入する必要がある。そうでなければ、実際にしばしば生じている投機家が惹き起したとみられる株式市場の混乱を説明することが出来ない。こういった投機家筋の行動に共鳴する別の人たちが多数存在して、その人たちの行動が、大きな混乱を惹起させることになるのである。
【００７４】
§２．１  ベータは死なず・あるいはその蘇り
§２．１．１  ハーフ・ノーマル分布を用いることの理論的根拠とそのパラメータ推定
論点の整理と総括
１９５２年にマーコウィッツ(Markowitz，Harry、１９９０年ノーベル経済学賞受賞)が論文“Portfolio  Selection”（Journal  of  Finance  7，March  ‘52)を発表した。それ以来ほぼ60年間にわたっていわゆるポートフォリオ分析のツールとして、いわゆる有効フロンティア理論が重用されてきた。以下、現実分析のための手段としての有効フロンティア理論の有効性を問題とする。この理論が発表されて以来、ほとんど全ての研究者及び実務家は、その有効性について疑うことなく、いわば金科玉条のように扱ってきている。しかし、いわゆるヘッジファンドと称する金融取引業者が多数存在する現状での金融取引の理論的根拠としての有効フロンティア理論に疑念を呈すべきではないだろうか。
【００７５】
以下、ポートフォリオ分析の有効性を高めるとともにその一般化を試みる。
【００７６】
ポートフォリオ有効フロンティアの計算では、株式の空売りがその計算の過程で有機的に結合されていない。それにも拘わらず、このフロンティアと証券市場直線との接点で最適保有比率が求められる場合に、それがマイナスの値の時には、空売りを行なうべきであるという結論が下される。そのような運用には問題がある。
【００７７】
このような運用をすると、長期の株式市場の低迷が続くときには、その期待投資収益率の平均値と標準偏差を軸とする座標軸では、本来は第１象限に描かれるはずの有効フロンティアが、第１象限及び第４象限に跨ってしまう可能性があることであろう。これは、この有効フロンティアの描き方に問題があるためである。このような理論的欠陥に基づいてのニューヨーク株式市場についての実証分析から、ベータは「死んだ」という考え方が広まり、ひいては有効フロンティアの分析はその効力を失ってしまったというのが現状である。
【００７８】
非特許文献７において、Ｆｏｘは、この問題に関連する解説と分析とを展開している。Ｆｏｘは、マーコウィッツのポートフォリオ選択の理論について以下のように述べている。すなわち、Ｆｏｘは、ミルトン・フリードマンの発言を引用して、「そこに書かれていることはすべて正しい。これは経済学ではない。数学でもない。それは何か別のものだ［注：マーコウィッツの博士論文についてのフリードマンの評価］。これはファイナンス理論である。」（非特許文献７、ｐ．７１、原著  ｐ．５５）というのである。この記載により何が含意されているのかというのが、本発明物の根本的な疑問である。このマーコウィッツのポートフォリオの有効フロンティアは、数学的には正しいにしても、経済理論としては誤っているのではないだろうか。というのは、可能な３個以上の危険資産のσ（標準偏差）及びμ（平均収益率）を２軸にとった座標上では、危険資産を示す点は第１象限に位置するものと考えられ（非特許文献８、ｐ．６９）、凸集合をなすが、この集合の包絡線である図形が有効フロンティアであり、基本的には左上方に凸で、空売りが存在しない場合の実行可能（feasible）集合であってやはり凸集合であるような部分を内部に含み、それよりもやや広がった、空売りを含む実現可能集合として定義されるべきである。
【００７９】
一般的なポートフォリオ理論ではさらに、このような想定で描かれた有効フロンティアを用いる投資収益率の計算では、この有効フロンティアと市場直線との接点を求め、その接点における投資収益率が負であれば空売りと見なす、というような単純な計算が行なわれている。
【００８０】
そもそも有効フロンティアの作成においては、負の投資収益率（これは実は、投機家又は裁定者にとっては正の投資収益率を表している筈であるにも関わらず）は組み込まれていない。ところがこれがファイナンスの理論ではあまり意識されずにきたので、ポートフォリオの理論があまり実務的に利用されてこなかったのではないか。この点について非特許文献９の２０４ページ〜２０９ページでは、空売りについての節が設けられているにもかかわらず、残念ながらその詳細な記述が見当たらない。ベニンガは少なくともこの点には気づいていたではなかろうかと思われる。一方、非特許文献１０では空売りは明確な形で取り上げられてはいるが、その記述は不十分である。日本の株式市場では、空売りは信用取引という形で行なわれるが、その際に信用担保率を１００％と仮定することで、非特許文献１０では残念ながら正しい形で問題を解決することができていない。最近のように巨大なヘッジファンドがその資金力に物を言わせて東京株式市場に参入してくるようになると、従来のやりかたでは、このような巨大ファンドによる影響を払拭できなくなっている。
【００８１】
付言すれば、ここ２０年にわたる株式市場の低迷から分かるように、特に最近のいわゆるリーマンショック後に特徴的に現れてきていることであるが、ファイナンス理論も経済理論も固定観念にとらわれすぎている。例えば、マーコウィッツの有効フロンティア理論が過大評価されたり、オプションの理論でのブラック・ショールズ公式が余りにも重用されすぎているという傾向があり、そうした傾向が株式市場における問題を助長していると思われる。
【００８２】
そういう意味で、本実施の形態の基本的枠組みで実現しようとするシステムは、このような傾向に警鐘を鳴らすものであると言えよう。さらに敷衍するならば、ポートフォリオ作成を実際にしている実務家の不勉強を特に指摘しておかなければならない。
【００８３】
さらに付言すると、特に日本で顕著に見られる傾向であるが、投機等の研究は、無視されたり、毛嫌いされたりする傾向がある。日本銀行は伝統的に先物市場等には不介入の立場を堅持し続けていて、研究者の間にも、そのような当局の意向を汲んでいるような傾向が見られる。欧米先進国では、先物市場への当局の介入は積極的に行なわれている。にもかかわらず日本の研究者の間ではそうした研究が目立たないのは、そのような研究者自身の自己規制ムードを反映したものではないだろうか。つまり最近の流行として、文部科学省又は財務省には好まれない題材として科学技術研究費等からの補助金が交付されないことが原因かもしれない。
【００８４】
このような現状に対して、そもそも有効フロンティア作成前の資料の取り方に問題があるという主張が本実施の形態の基本的枠組みの背景をなす。この問題は、基本的には、期待投資収益率を計算する仕方の問題であるという意味で、非常に単純な問題である。つまり空売りを行なう投資家の期待投資収益率と、通常の投資家の期待投資収益率とを同じように計算してはいけないということである。
【００８５】
これはある意味では当然のことである。今日のように誰でもが簡単にネット取引で、空売りを行なえるようになった段階でも、なお従来のような形で有効フロンティアを描こうとすることは、理論的には誤りであるといってもよい。
【００８６】
ここで、本実施の形態の基本的枠組みの背景をなす考え方を明確にしておく。t時点での期待投資収益率rtは、t時点での証券価格をPtとし、t−1時点でのそれをPt−1とすれば、
rt=(Pt−Pt−1)/Pt−1
と表すことが出来るであろう。本実施の形態の基本的枠組みではこれを以って期待収益率の定義とする。
【００８７】
この期待収益率を基本にしてポートフォリオの有効フロンティアを求めるのは従来と同じである。しかし、従来は空売りに関する収益は考慮していなかったのに対し、本実施の形態の基本的枠組みでは、有効フロンティアを求める際に空売りによる収益を考慮する。ただし、期待収益率は、あくまでも投資家の期待を意味しているのであるから、実際に彼らがそれだけの収益を実現できるかどうかは、事前には分からない。そこで、彼らの期待をどのように理論に取り入れるかを問題とする必要がある。
【００８８】
投資家はあくまでもその期待によって行動する。したがって、彼らが事前にどのように期待するかを考えておく必要があることは言うまでもない。本実施の形態の基本的枠組みの前提として、そもそも投資家は、もし彼らの期待が一般の投資家と比較して、かなりの程度精度が高いと仮定することができるのではないか、と仮定する。投資家が、ある程度将来株価（あるいは証券価格）を正確に予測して行動しているとすれば、彼らの期待が実現される可能性は、かなり大きいと言うことができる。つまり、彼らが継続的に投資家として活動し続けているのは、その期待を実現し続けているからと考えることができる。だとすれば、彼らの得る投資収益率は、彼らの予想通りのものであったと考えてもそれ程大きな矛盾を齎さないであろう。従って、投資収益率がマイナスであると予想する投資家は、その証券又は株式を空売りして、その期待が実現すれば、プラスの収益を得ることになり、実際に期待に近い収益を得る確率が高いと考えることができる。
【００８９】
このことの含意は重要である。即ち、このように投資家は、マイナスの収益率を予想する場合には、その証券ないしは株式を空売りすることにより、プラスの収益率を確保することができるということである。
【００９０】
したがって、ポートフォリオの有効フロンティアを描くときには、そのような投資家の予想を反映して、マイナスの期待投資収益率をプラスに変換する必要があるというのが本実施の形態の基本的枠組みでの基本的な考え方である。すなわち、投資収益率rt＜０のとき（すなわちrt＜rt-1のとき）には、rt＝−rtという変換を行なう必要があるということである。
【００９１】
§２．１．２  ハーフ・ノーマル分布を採用する理論的根拠
以上を考慮すれば、投資家の得る投資収益率は、本質的にはプラスとならねばならない。このような考え方にうまく適合する分布としては、正規分布ではなくハーフ・ノーマル分布を採用することが妥当である。
【００９２】
ハーフ・ノーマル分布は以下のような確率密度関数により表される。マセマティカの関数及び書式によって定義すると、変数ｘに関するハーフ・ノーマル分布の確率密度関数f[x,θ]は以下の式により定義される。ただしθは確率密度関数の形状を定めるパラメータである。
【００９３】
f[x_,θ_]:=PDF[HalfNormalDistribution[x,θ]
これをマセマティカで実行すると直ちに次の式が得られる。
【００９４】
f[x,θ]=2θ/πexp[−θ2x2/π]
また、ハーフ・ノーマル分布の累積確率分布関数g[x,θ]は以下により定義される。
【００９５】
g[x_,θ_]:=CDF[HalfNormalDistribution[θ]
これをマセマティカで実行すると直ちに次の式が得られる。ここで関数「Sqrt[]」は、［］内の値の平方根を示し、「Pi」は円周率πを示す。
【００９６】
g[θ]=Erf[(x*θ)/Sqrt[Pi]]
またその標準偏差は次の式により得られる。
【００９７】
StandardDeviation=Sqrt[−1+Pi/2]/θ
なお、上の関数ｇの式で関数Erf[]は誤差関数と呼ばれ、ERF[z]は０からzまでのガウス分布の積分値を表す。すなわち、Erf[z]は以下の値を表す。
【００９８】
【数７】
2012243113.tif 000012
上記確率密度関数f[x,θ]の平均は1/θであることが分かっている。定義域は0≦x≦∞とされる。
【００９９】
図７は、θを1.01041としたときのハーフ・ノーマル分布（確率密度関数f[x,θ]）のグラフである。何故θをこの値にしたかは、後で明らかになる。
【０１００】
ハーフ・ノーマル分布は、平均０で分散σ２に従う正規分布をする確率変数の絶対値の確率分布である。この定義は、本実施の形態の基本的枠組みの前提とする株式投資収益率モデルに対応していることが分かる。つまり、株式市場における投資収益率が対数正規分布に従うことも分かっているので、この投資収益率の絶対値をとれば、それらはハーフ・ノーマル分布に従うと言える。なお、ここでいう投資収益率の絶対値とは、後に詳述する期待投資収益率そのものである。
【０１０１】
以下、それを検証する。例えば日経平均株価(２００６年８月１７日から２０１０年７月２日までの日次データ)から上記定義にしたがう投資収益率を計算してヒストグラムを作成すると、図８のようなグラフが得られる。
【０１０２】
標準偏差で元のデータを標準化して、θ=1.01041；0.744973としハーフ・ノーマル分布を描きこのヒストグラムを重ね合わせると次の図９のようになる。
【０１０３】
図９において、破線の曲線がθ=1.01041、0.744973のものである。このθのそれぞれの値は別途、信頼区間として計算されたものである。実線の曲線は、θ=0.87769のものであり、これら２つの値を平均したものである。
【０１０４】
それでは以下において、この区間がどのように計算され、どのような意味を持つかを検討する。
【０１０５】
§２．１．３  区間推定法による推定
上記日経データをマセマティカでNikkeiHeikinDailyDataという名でリスト化しておき、次を実行することにより、図１０に示すようなヒストグラムが描かれる。
【０１０６】
histgramDailyNikkei=Histogram[NikkeiHeikinDailyData,11]
上のコマンドの「11」はヒストグラムの区間数を表す任意の値である。グラフの形を出来るだけ正確に表現するためには、それをいろいろ変えて検討する必要がある。
【０１０７】
§２．１．４  ハーフ・ノーマル分布の密度関数（マセマティカによる表現）
この分布の平均mean1は0.0427825であり、標準偏差stdevは0.0366912であることが分かった。
【０１０８】
次にこの元のデータを次の式で標準化する。
【０１０９】
StandardizedNikkeiHeikinDailyData=NikkeiHeikinDailyData/stdev
さらに
nikkeiHeikin=Histogram[StandardizedNikkeiHeikinMonthlyData,27]
によりグラフ化すれば、図１１のヒストグラムが得られる
この分布は、２パラメーター族の正規分布とは異なり、１パラメーター族に属している。つまりθが分かれば、同時に分散ないし標準偏差が自動的に求められる。
【０１１０】
そこで、この分布の唯一のパラメータであるθに対する９５％信頼区間を推定する。上記データに対して得られた信頼区間は０．９８９７０１〜１．３４２３３である。この値を使って、必要とされるハーフ・ノーマル分布の確率密度関数を作図すると図１２に示すハーフ・ノーマル分布曲線が得られる。この分布曲線と、先に得られた日経平均日次ヒストグラムとを重ね合わせると図１３に示すようなグラフとなる。
【０１１１】
信頼区間にかなり幅があることから、図１４に示すように、日経平均日次デ-タの信頼区間の両端におけるθの値の平均をとれば、かなり当てはまり具合が良くなる。
【０１１２】
Topix（東京証券取引所平均株価指数）についても同じような分析を行なうと以下の通りである。この場合のデータ数=234である。９５％信頼区間は（1.2393，1.38152）である。これらの値からθ=(1/1.2393+1/1.38152)/2=0.806787を得る。
【０１１３】
これらの値を用いて、ヒストグラムと重ね合わせることによって、この場合の信頼区間の意味がよく理解出来る。図１５で破線とその中間にある連続線とを見れば、この平均値の意味がよく分かるし、この分析がどの程度妥当なものかが理解される。
【０１１４】
以下、これらの分析では、ハーフ・ノーマル分布と想定される投資家の期待投資収益率が、本当にランダム・ウォークの実現値であるかどうかを確認する。
【０１１５】
「ランダム・ウォーク」の定義
ランダム・ウォークは、例えば、石村・石村の著書（非特許文献４、ｐ．１１９）では次のように明確に定義されている。
【０１１６】
時点をt0＜t1＜…＜tn、そのときのランダム・ウォークの時系列Z(ti)をZ(t０)，Z(t1),Z(t2)，…，Z(tn)としたとき、時系列の変化量
Z(tｋ)−Z(tk-1)  (k=1,2,…,n)
は、平均０、分散(tｋ−tｋ-1)の正規分布Ｎ(０，(tｋ−tｋ-1))に従う。
【０１１７】
つまり、
ΔZ=Z(tk)−Z(tk-1),  Δt=tk−tk-1
とおくとΔZは、平均０、分散Δtの正規分布N(０,（Δｔ2）1/2)に従う。
【０１１８】
これを現実のデータと実験データによって確認する。以下のマセマティカの式を実行することにより、コンピュータ上で、前出の日経平均株価と同様、仮想の投資収益率のリストdiffaを得る。なおこの式で「StockPrice[[i]]」は、日経平均株価からなるリストStockPriceのうちのｉ番目の値を示し、「｛ｉ，２，１０００｝」は、ｉを２から１０００まで変化させてテーブル化することを示す。
【０１１９】
diffa=Table[(StockPrice[[i]]/StockPrice[[i-1]]),{i,2,1000}]
このリストのデータのヒストグラムとそれに対応する正規分布曲線を求めると図１６に示すようになる。
【０１２０】
このように、計算されたデータを基のデータから計算された標準偏差で除することによった標準化された投資収益率を計算することで、図１７に示すようなヒストグラムを得ることが出来る。これと、別途計算されたハーフ・ノーマル曲線とを一緒に描くと図１８に示すようになる。
【０１２１】
§２．１．５  ニューヨーク株式市場での実証値
最近のニューヨーク株式市場でのデータを用いて、この問題を検証したが、やはり同じような結果を得た。図１９は、ニューヨーク株式市場のDow  Industrical  Historical  Data  from  2008/2/8  to  2008/5/21について、その日足データのベータ値分析を行なったグラフである。
【０１２２】
β値について、一般の投資家にも分かりやすく解説しておく。次に引用するのは日経新聞2008年6月19日（日本経済新聞朝刊）からの解説記事である。
『[ベータ（β）値]
日経平均値や東証株価指数（TOPIX）など、代表的な株価指数に対する個別銘柄の相関関係を示す指標。値動きが相場全体と完全に一致する場合を１とし、１より大きいほど値動きがより大きくなることを示す。β（ベータ）値が日経平均に対し、１．５の場合、日経平均が１０％上昇すれば、理論上、株価は１５％上昇する計算だ。
【０１２３】
同一種類の株価指数と個別銘柄の騰落率を基に、一定の関数を使って算出する。各銘柄のβ値は日経グループの金融情報会社QUICKなどが情報提供しているが、個人でも表計算ソフトを使えば簡単にその値を計算できる。ベンチマークとなる株価指数の上昇局面では値の高い銘柄の運用を増やし、下落局面では値の低い銘柄を増やすなどの投資判断が考えられる。（後略）』
更に上の記事に関連して、東証1部時価総額10社のβ値の表が併記されている。このことからわかるように、β値に対する信頼の念はかなり堅いものである。
【０１２４】
§２．２  基礎的データのヒストグラム
前述の某銀行の株価の分足データの終値から得たデータのヒストグラムを描いてみることにする。０値を除くとその数は１１９１個であった。これらについて区間幅を1とすることによって図２０のようなヒストグラムを得ることが出来た。
【０１２５】
このようなヒストグラムを実験的に作り出すことによって、理論的にどのような分布で近似出来るかどうかについて考えてみることにしよう。以下、このヒストグラムに適合する密度関数をどのように推測するかを明確にする。
【０１２６】
既に第１章において、株価の変動によく似たランダム・ウォーク過程からデータを発生させる手法を明らかにした。そのようにして得られたデータを使って株価投資収益率に類似したデータを発生させてみることにしよう。即ち、第１章２節(1.2)において述べたように、Ｓｈａｗによる乱数発生を修正し、正規分布に基づく乱数を発生させて、それから投資収益率を作り出すという作業を行なう。
【０１２７】
§２．３  ＢＳの公式をどう修正するか？
正規分布に代わる確率分布としてハーフ・ノーマル分布を用いることによって、ブラック・ジョールズ=オプション公式を作り直す必要があることを以下に示す。
【０１２８】
本実施の形態に開示されたような、ポートフォリオを作成するための投資収益率の考え方を、そのままマセマティカによって実験的に検討してみると、以下のようになる。
【０１２９】
まず、ここで利用するハーフ・ノーマル分布について正確に説明しておく。
f[x_,θ_]:=PDF[HalfNormalDistribution[θ],x]
と定義し、「f[x,θ]」と入力すると、その確率密度関数が次のように出力される。
【０１３０】
【数８】
2012243113.tif 000013
【０１３１】
これが、θをパラメータとする、ｘに関するハーフ・ノーマル分布の確率密度関数である。この関数により表される分布の平均は1/θであり、その分散は（−２＋π）／（２θ２）となる。標準偏差は分散の平方根をとればよく、次式のとおりとなる。
【０１３２】
【数９】
2012243113.tif 000014
【０１３３】
この関数のグラフは次のようなグラフとなる。θを0.6から1.3まで0.1刻みで変化させ、それらのグラフを重ねて描いたものを図２１に示す。
【０１３４】
そこで、θの値をどの程度にすればよいかが問題となる。既に述べたように実験的に作り出したデータのヒストグラムに対してハーフ・ノーマル分布を当てはめ、どのようなθが最もヒストグラムと合致するかについて、検討した。図２２に、実験的に得た、標準化された実験値のヒストグラムを示す。
【０１３５】
このヒストグラムが、ハーフ・ノーマル分布に当てはまることについては既に述べたとおりである。それに対応するようなθの値をいかほどの値にするかをチェックした。すなわち、図２１と同様、図２２のヒストグラムに適合するハーフ・ノーマル分布のグラフを、θを０.６から０．１刻みで１．３まで変化させて描き、図２２のヒストグラムに重ねて描く。得られた図から、θが大体０．８程度であればよいことが確認できる。
【０１３６】
θ＝０．８のときのハーフ・ノーマル分布曲線を図２３に示し、図２３の曲線を図２２と重ねたものを図２４に示す。図２４から、ハーフ・ノーマル分布曲線がヒストグラムに非常によく当てはまっていることが分かる。
【０１３７】
前々節(2.2)で示した銀行株の株価の分足データについてのヒストグラムに、以上のようにして導き出したハーフ・ノーマル分布（θ＝０．８）を当てはめた結果を図２５に示す。図２５を参照して、ハーフ・ノーマル分布が、現実の投資収益率にもかなりよく当てはまることが分かる。
【０１３８】
§２．４  ＢＳ公式の問題点
‐ハーフ・ノーマルＢＳ公式によるＢＳ公式の欠点の是正‐
以上の議論を踏まえ、ＢＳのオプション公式がどのように修正されるべきであるかを論じる。
【０１３９】
まず、本実施の形態の基本的枠組みで提案する新しいオプション価格についての公式を定義する必要がある。そのような修正案が、旧来のBSモデルとどのような違いがあるかについても、比較しておく。
【０１４０】
以下の説明は、前述したとおり、ハーフ・ノーマル分布がどういうものかを、明確に認識することから始める。
【０１４１】
§２．５  ＢＳ修正公式とBS公式との比較
コール・オプション及びプット・オプションのプレミアム(premium)についてのＢＳの公式は以下のようになる。すなわち、S=株価、K=権利行使価格、v(=σ)=原資産のボラティリティ（年当たり）、r=非危険資産利子率（年当たり）、t（又はτ）=time、q(τ)=continuously  compounded  dividend  yield=Ｄ(つまり連続複利計算された配当性向=Ｄ／Ｓ)とし、tをオプション満期までの残存期間とする。ＢＳ公式はマセマティカの表現を用いて以下のように表される(非特許文献２、ｐｐ．１５２〜１５３を参照)。
【０１４２】
NormalCdf[x_]:=1/2*(1+Erf[x/Sqrt[2]]);
done[S_,K_,v_,r_,q_,t_]:=((r−q)*t+Log[S/K])/(v*Sqrt[t])+(v*Sqrt[t])/2;
dtwo[S_,K_,v_,r_,q_,t_]:=((r−q)*t+Log[S/K])/(v*Sqrt[t])−(v*Sqrt[t])/2;
（コール・オプション）
BlackScholesCall[S_,K_,v_,r_,q_,t_]:=
S*Exp[−q*t]*NormalCdf[done[S,K,v,r,q,t]]
−K*Exp[−r*t]*NormalCdf[dtwo[S,K,v,r,q,t]];
（プット・オプション）
BlackScholesPut[S_,K_,v_,r_,q_,t_]:=
−S*Exp[−q*t]*NormalCdf[−done[S,K,v,r,q,t]]
＋K*Exp[−r*t]*NormlCdf[−dtwo[S,K,v,r,q,t]];
この公式は、ほとんど全てのオプション関連の文献でほとんど無批判に受入れられている。
【０１４３】
これと同じような記号を用いて、ハーフ・ノーマル分布により修正したＢＳの公式は次のようになる。なお、以下の説明において「HalfBS」はハーフ・ノーマル分布によりＢＳ公式を修正したものであることを示す。関数「Ｎ［］」は、［］内の式の値を数値で与える関数を示す。
【０１４４】
CNHalfDist[x_]:=N[Erf[(x*θ)/Sqrt[Pi]]];
v=Sqrt[Variance[HalfNormalDistribution[θ]]];
done[S_,K_,v_,r_,q_,t_]:=((r−q)*t+Log[S/K])/(v*Sqrt[t])+(v*Sqrt[t])/2;
dtwo[S_,K_,v_,r_,q_,t_]:=((r−q)*t+Log[S/K])/(v*Sqrt[t])−(v*Sqrt[t])/2;
（コール・オプション）
HalfBSCall[S_,K_,v_,r_,q_,t_]:=
S*Exp[−q*t]*CNHalfDist[done[S,K,v,r,q,t]]
−K*Exp[−r*t]*CNHalfDist[dtwo[S,K,v,r,q,t]];
（プット・オプション）
HalfBSPut[S_,K_,v_,r_,q_,t_]:=
K*Exp[−r*t]*CNHalfDist[−dtwo[S,K,v,r,q,t]]
−S*Exp[−q*t]*CNHalfDist[−done[S,K,v,r,q,t]];
ここではボラティリティはＢＳ公式とは違う定義にしたがう。これらの式を通常の表現に直すと以下のようになる。
【０１４５】
【数１０】
2012243113.tif 000015
【０１４６】
ここでＢＳ公式と本実施の形態に係るハーフ・ノーマルＢＳ公式に用いられているdone（d1）及びdtwo（d2）を説明する。そのためにはＢＳ公式についての、いわゆる偏微分方程式を解くというかなり面倒な手続きについて説明する必要がある。しかし、この偏微分方程式の解法については確立された手法があり、かつその解説は石村・石村による非特許文献４又はＳｈａｗ［非特許文献２］のような、数学者による教科書的な専門書に記載されているので、ここではその詳細は述べない。ここでは、その結果だけを出来るだけ正確に述べる。そのためには、実例を用いてグラフ化するのが最も分かりやすい。すなわち、非特許文献４、ｐ．１８６の例題によれば次の通りとなる。
【０１４７】
例題  次のようなヨーロピァン・コール・オプションを求める。
【０１４８】
「現在の株価S=14,500円；権利行使価格K=14,000円；オプションの残存期間t=2か月(2/12年)；ボラティリティσ=38%；非危険利子率r=6%」
上のdone(=d1)及びdtwo(=d2)に当てはめればＢＳ公式では以下のとおりとなる。
【０１４９】
done[14500,14000,0.38,0.06,0,2/12]=0.368227
dtwo[14500,14000,0.38,0.06,0,2/12]=0.213093
図２６においてハッチングした部分がＢＳ公式によるｄ１とｄ２とによりはさまれた部分の面積をあらわす。
【０１５０】
HalfBS-Callのそれぞれの値は次のようになる。θ=0.8とすれば、
Sqrt[Variance[HalfNormalDistribution[θ]]]=0.944388)
done[130,120,0.944388,0.02,10,1/12]=0.436028
dtwo[130,120,0.944388,0.02,0,1/12]=0.163407
図２７において、ハッチングした部分がハーフ・ノーマルＢＳ公式によるｄ１とｄ２とによりはさまれた領域の面積を表す。
【０１５１】
ここでは標準的なオプションとして、Plain  Vanilla  European  Option=[基本的なユーロピァンオプション]と称されているものを取り扱うことにする。このオプションの価格であるオプション価格についての基本的な知識を正確に述べる（非特許文献５、ｐ．１８６及びｐ．７８４以下参照）。オプション価格は以下のように分類される。
【０１５２】
（１）アット・ザ・マネーオプション
オプション行使価格がその原資産の価格と同じオプションをこのように称する。つまりK=S（プット、コールともに）。
【０１５３】
（２）イン・ザ・マネーオプション
オプションの原資産価格がオプション行使価格よりも大きいようなコール・オプションのことをこう証する。つまりＳ＞Ｋ（コールの場合）又は原資産価格がオプション行使価格よりも小さいプット・オプションつまりＳ＜Ｋ（プットの場合）。
【０１５４】
（３）アウト・オブ・ザ・マネーオプション
原資産価格がオプション行使価格よりも小さいコール・オプション、つまりＳ＜Ｋ（コールの場合）又は原資産価格がオプションの行使価格よりも大きいプット・オプション、つまりＳ＞Ｋ（プットの場合）のことをこのように称する。
【０１５５】
このように分類すると、取引費用がないと仮定すれば、明らかに、イン・ザ・マネーオプションは常に満期日に権利行使されることになる。つまりそれ以外の場合には、オプションの保有者にとっては権利行使をする理由がないことになる。
【０１５６】
次に、それぞれの場合についての本実施の形態による定義とＢＳの定義によるオプションのプレミアムを実例によって計算して、それをグラフ化して比較する。
【０１５７】
まず、θの大きさによるハーフ・ノーマル分布の累積分布の相違を図２８に示す。原資産(ここでは株価とする)とボラティリティとが、（１）、（２）、（３）に応じてどのようなプレミアムの違いをもたらすかについて、簡単に検討する。ボラティリティ及びその他の条件がすべて同じと仮定して、原資産価格と権利行使価格に相違がある場合を考えるために、ボラティリティが変化する時にコール・オプションのプレミアムがどのように変化するかを図示してみると、図２９に示すようになる。一方、プット・オプションのプレミアムは図３０に示されるような変動をする。
【０１５８】
コール・オプションのプレミアム曲線とプット・オプションのプレミアム曲線との交点の座標は、図２９と図３０とを重ねることにより求められる（図３１を参照）。
【０１５９】
つまりボラティリティが０．６５のときにプットとコールのプレミアムの値が等しくなり、この値を超える時には、プットとコールの価格は逆転することが分かる。
【０１６０】
次に、原資産としての株価の変化がオプション価格にどのように影響するかを検討する。
【０１６１】
細かいパラメータを省略して表すと、株価の変化がコールとプットとのプレミアムに及ぼす影響は、前述のマセマティカでの表現でHalfBSCall[S,100,0.25,0.05,0,1]及びHalfBSPut[S,100,0.25,0.05,0,1]のグラフを描くことで調べることができる。グラフはマセマティカでの作図コマンドを用いて描くことができる。両者を重ねて描いたグラフとその交点を図３２に示す。図３２において、一点鎖線はコールの価格変化を示し、実線はプットを示している。
【０１６２】
つまり原資産としての株価が、９２．１９６３を超えるとコールの価格の方がプットの価格よりも高くなる。このような逆転現象はいわゆるＢＳ公式でも成り立つかどうかを次に確かめてみる。図３２と同様の図を、ＢＳ公式にしたがって描くと図３３のようになる。他の条件を図３２と同じにしてある。交点での株価は９５．１２２９であり、図３２に示したハーフ・ノーマルＢＳ公式によるプットとコールの交点と比較すれば、若干大きめになっている。
【０１６３】
§２．６  オプション価格の種類とポートフォリオとの感度分析
次に先にオプション価格の種類として説明したアット・ザ・マネー、イン・ザ・マネー、及びアウトオブ・ザ・マネーという表現の意味を明確にする。非特許文献５（ｐ．３７２）によれば、オプションの価格の感度(Sensitivity)分析としてのＧａｍｍａに関連して定義すれば、非常に分かりやすい。
【０１６４】
この問題についてのＳｈａｗの説明によれば(非特許文献２のｐ．１５４参照)、こういった感応度分析のツールとしては、それぞれＢＳ公式についての諸変数による１次ないしは２次微分で定義できる。それらの主たるもののマセマティカでの表現を下に挙げる。
BlackScholesCallDelta[s_,k_,v_,r_,q_,t_]=
Evaluate[D[BlackScholesCall[s,k,v,r,q,t],s]];
BlackScholesPutDelta[s_,k_,v_,r_,q_,t_]=
Evaluate[D[BlackScholesPut[s,k,v,r,q,t],s]];
BlackScholesCallGamma[s_,k_,v_,r_,q_,t_]=
Evaluate[D[BlackScholesCall[s,k,v,r,q,t],{s,2}]];
BlackScholesPutGamma[s_,k_,v_,r_,q_,t_]=
Evaluate[D[BlackScholesPut[s,k,v,r,q,t],{s,2}]];
BlackScholesCallTheta[s_,k_,v_,r_,q_,t_]=
-Evaluate[D[BlackScholesCall[s,k,v,r,q,t],t]];
BlackScholesPutTheta[s_,k_,v_,r_,q_,t_]=
-Evaluate[D[BlackScholesPut[s,k,v,r,q,t],t]];
BlackScholesCallRho[s_,k_,v_,r_,q_,t_]=
Evaluate[D[BlackScholesCall[s,k,v,r,q,t],r]];
BlackScholesPutRho[s_,k_,v_,r_,q_,t_]=
Evaluate[D[BlackScholesPut[s,k,v,r,q,t],r]];
BlackScholesCallVega[s_,k_,v_,r_,q_,t_]=
Evaluate[D[BlackScholesCall[s,k,v,r,q,t],v]];
BlackScholesPutVega[s_,k_,v_,r_,q_,t_]=
Evaluate[D[BlackScholesPut[s,k,v,r,q,t],v]];
(非特許文献２、ｐｐ．１５４‐１５５)。
【０１６５】
ここでそれぞれのEvaluate関数に付加されている記号「D」は、それぞれの関数の最後に付加されている変数での微分を意味している。微分に用いられる変数は、それぞれの関数の最後に付加されており、その変数の後に出てくる数字「２」は、２回の微分（２階微分）を意味する。
【０１６６】
上の式のうち、BlackScholesという関数名をそれぞれHalfBS（ハーフ・ノーマルＢＳモデルの略称として用いる。）と変更することで、本実施の形態にしたがった修正公式による計算が出来る。「Evaluate」とは、マセマティカの説明によれば、引数の評価を行なわない属性をもつ関数で使用された時にも、強制的に評価を行なうものとされている。
【０１６７】
§２．７  ヘッジの意味
次に、ヘッジ・ファンドの問題点を取り上げる。ヘッジ・ファンドのヘッジという言葉の正確な意味は、売り（又は買い）つなぎ又は保険つなぎという意味である。したがってヘッジ・ファンドとは、危険回避という意味合いをもつはずである。そこでオプションの売り手となる投資銀行の使命からすれば、オプションの売り手に回るような危険オプションの原資産である株式を購入しておく必要があるはずである。売り手の側からすると、その損失は青天井となる可能性があるためである。したがって、上述のオプションのデルタ・ヘッジというような概念が必要になってくる。
【０１６８】
例えば、ＢＳコールのデルタは、コールの対象となっている原資産としての株価と当該オプションのプレミアム関係を示している。つまり、株価を横軸にとり、縦軸にオプションのプレミアムをとれば、デルタは、描かれる曲線の接線の勾配を示している。ハルの例によれば、「株価が１００ドルの時に、オプションの価格が１０ドルであるとすれば、２０単位のコール・オプションの売り手が、１２１０単位の株式（この接線の勾配がデルタ0.6であるとすれば、0.6×2,000=1,200）を買うことによって、この売り手のポジションがヘッジされるのである」（同書ｐ．３６１）。オプションの売り手であるヘッジ・ファンドが、このような意味での正確なヘッジをしていないときには、金融に混乱が生じることになる。
【０１６９】
このデルタのほかにも、ベガ、シータ、ガンマなどという指標が用いられるが、これらはオプションの経過時間又は原資産の価格の変化に対応する、プレミアムの変化度合いを表す、いわば感度分析（sensitivity）の分析結果に相当する。こうした指標について正確に理解していないと、リスク・ヘッジ等は不可能である。
【０１７０】
こうした分析にもＢＳモデルが使用されてきた。ＢＳモデルは必ずしも現実に即していない。にも関わらず、実証家たちはなぜＢＳモデルを使うのか。ひとつの理由はこのモデルが使いやすいことにあると考えられる。ＢＳモデルでは、市場で直接把握できないパラメータはボラティリティしかない。実務家たちはオプション価格からボラティリティを、ボラティリティからオプション価格を明確な方法で推測する。これより複雑なモデルでは、把握しにくいパラメータを幾つか用いる必要があり、使いにくい。
【０１７１】
第３章  コンピュータ実験と株式市場での検証結果
[コンピュータ・シミュレーションの結果]
以下はハーフ・ノーマル分布のデータ適合性検討のための実験結果の集約である。
【０１７２】
〈実験１〉  データ数１，０００個による結果
マセマティカの関数f[θ_,x_]を前述のように以下のように定義する
f[θ_,x_]:=PDF[HalfNormalDistribution[θ],x]
この関数f[θ,x]は、θをパラメータとする、ｘに関するハーフ・ノーマル分布の確率密度関数である。この関数により表される分布の平均は１/θであり、その分散は（−２＋π）／（２θ２）となる。
【０１７３】
仮にθ＝０．８と設定する。すると、標準偏差＝０．９４４３８８、分散＝０．８９１８６９である。次に前に述べた一様乱数の系列walkONEを発生させる。発生した乱数の系列をグラフ化すると次のようなグラフ(図３４)を得る。このグラフは、一見すると株価変動を表したもののように見える。これらのデータのヒストグラムを描くと、図３５に示すようなヒストグラム（図３５）を得る。このデータの平均は４１．７２６６で標準偏差は２８．７９１である。このデータは明らかに正規分布には従わない。
【０１７４】
次にこれらのパラメータ（平均及び標準偏差）を持つ正規乱数の分布を求め、グラフに描くと図３６のようになる。図３５と図３６とを重ね合わせると、結果は図３７のようになり、確かに正規分布に従うとは言い難い。
【０１７５】
そこでこの同じ１０００個のデータから本実施の形態に係る方法により株価収益率を計算してみると以下のようになる。最初に得られた実験データの系列の初期値は０であるから、それを取り除いて得られる系列データを既述のようにa=Rest[walkONE]とし、リストａに代入した上で、StockPrice=a+100により株価を定義し、それらを用いて次のように株価収益率を計算する。以下の式でdiffaは時刻ｉの株価の、時刻ｉ−１における株価に対する比（ｉ＝２〜１０００）の値からなるリストである。Mean[diffa-1]は、リストdiffaの各要素の値から１を減算したもののリストを示す。
【０１７６】
diffa=Table[(StockPrice[[i]]/StockPrice[[i−1]]),{i,2,1000}];
Mean[diffa-1](=0.00066)として標準偏差（Sqrt[Variance[diffa]]）を計算してみると０．００７７５１３１を得る。
【０１７７】
既に計算した９９９個のデータ(diffa)についてのその変動を次のマセマティカのコマンドにより描くと、図３８のようになる。
【０１７８】
ListPlot[diffa,PlotJoined->True]
リストdiffaのヒストグラムを０．００２単位のビンで次のコマンドにより作成すると、図３９を得ることができる。
【０１７９】
graph101=histg1[diffa,0.002]
そこで次のコマンドによりdiffaの平均値及び標準偏差を持つ正規分布を次のコマンドでグラフ化する。この例の場合、Mean[diffa]=1.00027、Sqrt[Variance[diffa]]=0.00967278であった。これらの値を持つ正規分布曲線は以図４０に示すようになる。
【０１８０】
図３９と図４０を同一画面に描くと、次の図４１を得る。図４１のグラフから明らかなように、もとのデータはランダム・ウォーク・データである。
【０１８１】
仮にθ＝０．８として、HalfNormalDistribution[θ]に従う乱数の分布を描くことにしよう。そのためにはrandomHalfNormal=HalfNormalDistribution[θ]と定義してから、g4=Plot[PDF[randomHalfNormal,x],{x,0,0.08},PlotRange→All]とすれば、図４２に示すグラフ（HalfNormalProbability_density曲線）が得られる。
【０１８２】
次に、既に作成した株価収益率データに基づき、本実施の形態にしたがい、空売り可能なケースを考慮したポートフォリオ作成に照応するような投資収益率(=rateOfreturn)を以下のように計算する。まず以下のコマンドにより、時刻ｉでの株価StockPrice[[i]]が時刻ｉ−１のときの株価StockPrice[[i-1]]以上であれば投資収益率rateOfreturnを(StockPrice[[i]]/StockPrice[[i−1]]で計算し、それ以外のときには投資収益率rateOfreturnを(StockPrice[[i-1]]/StockPrice[[i]]で計算する。
【０１８３】
rateOfreturn=Table[If[(StockPrice[[i]]/StockPrice[[i−1]])>=1,
(StockPrice[[i]]/StockPrice[[i−1]]),
(StockPrice[[i−1]]/StockPrice[[i]])],{i,2,1000}]
更にrateOfreturn1=rateOfreturn−1と書き換える。このように変換されたデータの平均値、標準偏差はこの例ではそれぞれ以下のようになる。
【０１８４】
Mean[rateOfreturn1]=0.00618134;
Sqrt[Variance[rateOfreturn1]=0.00479005
このデータのヒストグラムは次のように描ける。マセマティカでは、graph104=histg1[rateOfreturn1,0.003]と入力すればよい。
【０１８５】
stdDev=Sqrt[Variance[rateOfreturn−1]]
StandardizedRateOfReturn=(rateOfreturn-averageA)/stdDev;
g106=Plot[PDF[randomHalfNormal,x],{x,0,6},PlotRange→All]
StandardizedRateOfReturn=(rateOfreturn−averageA)/stdDev;
そこでこのヒストグラムと図４２とを重ね合わせると、図４３が得られる。図４３を参照して、上のようにして得られた投資収益率とハーフ・ノーマル分布との適合度がかなり高いことが分かる。
【０１８６】
次に以下によりrateOfreturn1の平均averageと標準偏差stdDevとを計算し、その値を得る。この値は上記データに対するものである。
【０１８７】
averageA=Mean[rateOfreturn-1]=0.00618134、
stdDev=Sqrt[Variance[rateOfreturn-1]]=0.00479005
これを用いて標準化の手続きを行ない、その結果をグラフ化すると、図４４が得られる。このグラフからも、得られた投資収益率とハーフ・ノーマル分布との適合度が高いことが分かる。
【０１８８】
〈実験２〉データ数５，０００個による結果
データ数５，０００個の実験により得られた結果は以下のとおりである。以下の実験では、手続は第１の実験と同様であり、データの発生する個数が異なるだけである。したがって、実験の詳細については繰返さない。必要なときには随時その処理をするためのプログラムの構成について説明する。
【０１８９】
図４５に、この実験で得られた、ランダム・ウォークと目される５，０００個のデータの変動をグラフとして示す。図４６はそのヒストグラムである。図４７は図４５に示すデータの平均値と分散とを用いて描いた正規確率密度関数のグラフである。図４８は図４６と図４７とを重ねて示したものである。
【０１９０】
図４９は、図４５に示すデータから、実験１と同様にして発生させたデータのヒストグラムである。図５０は、図４９に示すデータの平均値と分散とを用いて描いた正規確率密度関数のグラフである。図５１は、図４９と図５０とを重ねて示したものである。
【０１９１】
図５２は、図５１に示す正規確率密度関数に対応するハーフ・ノーマル曲線のグラフである。図５３は、図４９に示すデータにつき、実験１のrateOfreturn1のヒストグラムを得たのと同様、データから１を指し引き、さらに負の符号のデータをプラスに折り返して得られたヒストグラムである。図５４は図５２の曲線と図５３のヒストグラムとを重ねて示したものである。
【０１９２】
図５５は、図４４と同様、図４９に示すデータ（rateOfreturn1）の標準偏差を求め、この標準偏差を用いてデータを標準化したときのヒストグラムを描いたものである。図５６は、図５５のヒストグラムと図５２のハーフ・ノーマル曲線とを重ねて描いたグラフである。
【０１９３】
〈実験３〉  データ数１０，０００個による結果
図５７は、実験１、２と同様の方法で発生した、１０，０００個の、ランダム・ウォークと目されるデータの変動を表すグラフである。図５８は、このデータのヒストグラムである。図５９は、図５７に示すデータの平均値及び分散の値を持つ生起確率密度分布関数のグラフである。図６０は図５８と図５９とを重ね合わせたものである。
【０１９４】
図６１は、実験１、２における場合と同様の方法で図５７のデータの差の分布をヒストグラムで表した図である。図６２は、図６１に示すデータの平均値と分散とを持つ正規確率密度関数のグラフである。図６３は、図６１のヒストグラムと図６２のグラフとを重ね合わせたグラフである。
【０１９５】
図６４は、図６２に示す正規確率密度関数に対応するハーフ・ノーマル曲線のグラフである。図６５は、図４４及び図５５と同様、図６１に示すデータを１を中心に折り返して得られたヒストグラムであり、図６６は図６４と図６５とを重ね合わせたグラフである。
【０１９６】
〈実験4〉  データ数50,000個による結果
実験４では、50,000個のランダム・ウォークと目されるデータを用いた。その変動を図６７に示す。図６８はそのヒストグラムである。図６９は、図６８に示すデータの平均値及び分散を持つ正規確率密度関数のグラフである。図７０は図６８と図６９とを重ね合わせたグラフである。
【０１９７】
図７１は、図６７に示すデータから第１〜第３の実験で述べたdiffaのヒストグラムである。図７２は、図７１に示すデータの平均値及び分散を持つ正規確率密度関数のグラフである。図７３は、図７１と図７２とを重ね合わせたものである。両者がよく一致していることが分かる。
【０１９８】
図７４は、図７２に示す正規確率密度関数に対応するハーフ・ノーマル曲線のグラフである。図７５は、図４４、図５５及び図６５と同様、図７０に示すデータに関して得られたdiffaのヒストグラムである。図７６は、図７４と図７５とを重ね合わせたものである。両者がよく一致していることが分かる。
【０１９９】
〈実験５〉  データ数５０，０００個による結果
図７７は、実験４と同様にして発生した、ランダム・ウォークと目される５０，０００個のデータの変動を示すグラフである。実験４とデータの個数は同様であるが、その値は異なっている。実験４と同様にしてハーフ・ノーマル曲線とdiffaのヒストグラムとを重ね合わせると図７８に示すものが得られる。
【０２００】
実験４の図７８と実験５の図７６とを比較すると、実験５のほうがハーフ・ノーマル分布に対するデータ・フィッティングは良いように見えるが、その違いはそれ程大きくはないことに注意されたい。
【０２０１】
以上の実験結果が意味することは重要である。つまり、株価収益率がランダム・ウォークに従うと仮定されれば、その値のうち、−符号を持つものの値を＋に変化させても、ランダム・ウォーク過程に従うという性質は保持される。これが何故そうなのかということの理論的な論証はこれから行われるべきであろう。しかし、発生されるデータの数がどのようなものでも、それらは平均値(１/θ)のハーフ・ノーマル分布に従い、θの値はほぼ0.8である。本明細書で「ベータの蘇り」と名づけた節で述べたように、ベータ分析は、過去には、実証的に葬り去られたかに見える。しかしここで得られた結果は、ベータ分析の現実の証券市場データ（ニューヨーク市場及び東京市場に於ける）の分析による結論と整合的である。そういう意味で、本明細書で定義した株価投資収益率を分析した時に得られた、ベータは死なずという結論との理論的整合性を示すものであると言えよう（非特許文献６参照）。ベータが死んだといわれているのは、一般の研究者及び実務家が次の文献の研究結果をそのまま信用しているからであり、それを誰かが実際にデータに基づいて追試検証した形跡がない。
【０２０２】
Fama,  E.F.  and  French,  K.  R;  “The  cross-section  of  expected  stock  returns”,  Journal  of  Finance,  47,  427-465
【０２０３】
次に示すのは日経平均を用いての本実施の形態の基本的枠組みの投資収益率の実証的妥当性を保証するデータである。図７９は、東証１部、２００９／４／０１から２０１０／７／０２における日経平均による投資収益率（マイナスの符号をプラスに変換したもの）の分布を示すヒストグラムである。符号を変換する前のデータの平均と分散とに基づく正規確率密度関数を考え、その正規確率密度関数に対応するハーフ・ノーマル曲線をこのヒストグラムに重ねて描くと、図８０に示すものが得られる。
【０２０４】
図７９及び図８０の分析は、日経平均日足の２００９年４月１日から２０１０年７月２日までの３０６個のデータにより作成したものである。サンプルの数が少ないので、このヒストグラムは、必ずしも正しい意味でのランダム・ウォーク過程のものとは言えないかもしれない。しかし基本的には空売りを考慮した投資収益率の分布は、ハーフ・ノーマル分布に従うという、本実施の形態の基本的枠組みが前提としている主張を十分に裏付けるものと考えられる。
【０２０５】
次に、上と同じ問題を日経平均月足データで検証してみる。月足データということになるとデータ数がかなり不足するのではないかという懸念がある。しかもデータ数を増やすと、月次データであるために対象期間が長期になる。その間の大きな構造変動に伴う株式市場での株価の変動が織り込まれることになることは言うまでもない。
【０２０６】
試みに２０００年１月から２０１０年７月までの期間での日経平均の月次データをとり、図８０と同じように投資収益率を計算してみた結果が図８１に示すグラフである。データ数は１２６個であった。このグラフで見られるように、投資収益率（マイナスをプラスに変換したもの）と、ハーフ・ノーマル分布との当てはまりは上々である。データ数の関係から、区間間隔を１としたので、かなり荒いグラフになっているように見えるが、図８０との差は歴然としている。
【０２０７】
次に日経平均週足データのグラフを描く。データの個数は５１６個である。また採られたデータは、１９９５年１月２日から２００４年１１月２２日までのものであった。得られたグラフを図８２に示す。図８２のグラフからも、本実施の形態の基本的枠組みが前提とする、「空売りを考慮した」投資収益率の現実妥当性が十分に理解されるであろう。
【０２０８】
１９９１年１月から２０１０年７月までのＴＯＰＩＸデータについての投資収益率のヒストグラムを図８３に示す（データ数は２３４個）。このデータに対して、既に説明した方法により得られたハーフ・ノーマル曲線を重ねて示したのが図８４である。図８４から、このデータについてもヒストグラムとハーフ・ノーマル曲線とがよく一致していることが分かる。
【０２０９】
以上から、株価収益率として通常の株価収益率のマイナスをプラスに変換したデータの分布は、ハーフ・ノーマル曲線にしたがうことが確認できた。そこで、ＢＳ公式によるオプションのプレミアム計算式を、正規確率分布ではなくハーフ・ノーマル分布にしたがって修正することにより、プレミアムの値をより正確なものにすることができる。
【０２１０】
〈コンピュータを用いた実現〉
以上を踏まえ、図８５以後に、本実施の形態の基本的枠組みに係るオプション価格の算出システムを実現するためのプログラムの制御構造をフローチャート形式で示す。このシステムは、大きく分けて２つのプログラムからなる。第１のプログラムは、しかるべきソースから株価の分足データを定期的に受信してハードディスクなどの不揮発性記憶媒体に記憶し、その時点で算出できる情報（本実施の形態ではボラティリティ）について算出しておくプログラムである。このプログラムの制御構造は図８５に示してある。第２のプログラムは、オンラインで接続された端末からコール・オプション又はプット・オプションの価格参照要求に応答して、端末から与えられた条件にしたがい、予め記憶しておいた分足データ及びボラティリティを用いて、指定されたコール・オプション又はプット・オプションの値を算出して返信するためのプログラムである。そうしたプログラムの制御構造を図８６に示す。
【０２１１】
図８５を参照して、株価の分足データを受信するプログラムは、図示しないタイマにより定期的に起動される。起動されると、最初に予め設定されたソース（オンラインで接続された株価情報サービス）に接続し、予め選択されている、株の各種銘柄の各々について、分足データを読み出してハードディスクに記憶するステップ１００を含む。
【０２１２】
このプログラムの実行が終了すると、本実施の形態に係るシステムは、ステップ１００で読み込んだ分足データに基づき、選択された銘柄に関するオプション価格の算出を行なうことができるようになる。図８５に示すプログラムが定期的に実行されるため、そのたびにデータの上書きがされ、以下に説明する方法により算出されるオプション価格の値は、他の条件が同一でも変動する。
【０２１３】
図８６を参照して、他の端末からの要求に基づいてオプション価格を算出するプログラムは以下のような制御構造を有する。なお、他の端末からオプション価格の算出を要求するにあたり、オプションの種別（コールかプットか）、株式の銘柄、株価Ｓ、権利行使価格Ｋ、非危険資産利子率ｒ（年当たり）、オプション満期までの残存期間ｔ、及び連続複利計算された配当性向ｑの各々について、設定値が端末から本システムに送信されてくる。
【０２１４】
このプログラムは、要求に応答し、要求に付随して与えられたパラメータを用い、ステップ１００でハードディスクに記憶された分足データに基づき、通常の定義による投資収益率を指定された銘柄について算出するステップ１０２と、ステップ１０２で算出された投資収益率のうち、負のものがあればその符号をプラスに逆転することにより投資収益率を変換するステップ１０４と、ステップ１０４で変換された後の投資収益率に前述の式（Ａ）及び（Ｂ）を適用することによりボラティリティｖを算出するステップ１０６と、ステップ１０６で算出されたボラティリティｖを保存するステップ１０８とを含む。ここではθとして前述したとおり０．８を使用する。
【０２１５】
このプログラムはさらに、ボラティリティｖを用い、式（Ｃ）及び（Ｄ）によってｄ１及びｄ２を算出し、一時記憶装置に記憶するステップ１２０と、ステップ１２０の後、要求がコール・オプションのプレミアム価格の算出か否かを判定するステップ１２２と、ステップ１２２の判定が肯定の時に実行され、式（Ｅ）によりコール・オプションのプレミアムをＨａｌｆＢＳＣａｌｌ［Ｓ，Ｋ，ｖ，ｒ，ｑ，ｔ］により算出するステップ１２４と、ステップ１２４で算出されたプレミアムを端末の表示装置上に表示するための画面データを生成するステップ１２６と、ステップ１２６で生成された画面データを端末に送信して処理を終了するステップ１２８とを含む。
【０２１６】
このプログラムはさらに、ステップ１２２の判定が否定の時に実行され、式（Ｆ）によりプット・オプションのプレミアムをＨａｌｆＢＳＰｕｔ［Ｓ，Ｋ，ｖ，ｒ，ｑ，ｔ］により算出するステップ１３０と、ステップ１３０で算出されたプレミアムを端末の表示装置上に表示するための画面データを生成するステップ１３２と、ステップ１３２で生成された画面データを端末に送信して処理を終了するステップ１３４とを含む。
【０２１７】
このシステムは以下のように動作する。まず、定期的に図８５に制御構造を示すプログラムを実行する。システムは予め選択された情報ソースに接続可能であり、ステップ１００ではそうしたソースにアクセスし、必要な情報を読み出して装置のハードディスクに保存する。
【０２１８】
オンラインで接続された端末からオプション価格の算出要求があると、指定された銘柄について指定された期間での投資収益率を通常の算出方法によりステップ１０２で算出する。さらに、算出された投資収益率のうち符号が負となるものがあればその符号を性に逆転させることにより、投資収益率の分布をハーフ・ノーマル分布に当てはまるものに変換する（ステップ１０４）。さらに式（Ａ）及び（Ｂ）により、指定された銘柄のボラティリティｖを算出し（ステップ１０６）、保存して（ステップ１０８）、以後の計算に備える。
【０２１９】
さらに、ステップ１２０で、ボラティリティｖを用い、式（Ｃ）及び（Ｄ）によってｄ１及びｄ２を算出し、一時記憶装置に記憶する。ステップ１２０の後、要求がコール・オプションのプレミアムの算出か否かをステップ１２２で判定する。要求がコール・オプションのプレミアム算出であれば、ステップ１２４で式（Ｅ）によりコール・オプションのプレミアムをＨａｌｆＢＳＣａｌｌ［Ｓ，Ｋ，ｖ，ｒ，ｑ，ｔ］により算出する。算出されたプレミアムは、ステップ１２６及び１２８を経てユーザ端末の表示画面上に表示される。
【０２２０】
一方、ステップ１２２の判定が否定であれば、式（Ｆ）によりプット・オプションのプレミアムがＨａｌｆＢＳＰｕｔ［Ｓ，Ｋ，ｖ，ｒ，ｑ，ｔ］により算出される。コール・オプションのときと同様、プレミアム価格がステップ１３２及び１３４を経て端末装置の表示画面上に表示される。
【０２２１】
既に述べたとおり、従来のＢＳ公式で算出されたオプション価格が正しいか否かについては、検証されているとはいいがたい。それに対し、本実施の形態の基本的枠組みで提案したハーフ・ノーマル分布に基づくオプション価格については、実験でもその正当性が確認され、さらに実際のデータを用いてもその妥当性についての検証を行なうことができた。このハーフ・ノーマル分布に基づくオプション価格を幅広く用いることにより、よりリスクの少ない投資を実現することができる。
【０２２２】
［コンピュータによる実現］
この実施の形態のシステムは、コンピュータハードウェアと、そのコンピュータハードウェアにより実行されるプログラムと、コンピュータハードウェアに格納されるデータとにより実現される。図８７はこのコンピュータシステム３３０の外観を示し、図８８はコンピュータシステム３３０の内部構成を示す。
【０２２３】
図８７を参照して、このコンピュータシステム３３０は、メモリポート３５２及びＤＶＤ（Ｄｉｇｉｔａｌ  Ｖｅｒｓａｔｉｌｅ  Ｄｉｓｃ）ドライブ３５０を有するコンピュータ３４０と、キーボード３４６と、マウス３４８と、モニタ３４２とを含む。
【０２２４】
図８８を参照して、コンピュータ３４０は、メモリポート３５２及びＤＶＤドライブ３５０に加えて、ＣＰＵ（中央処理装置）３５６と、ＣＰＵ３５６、メモリポート３５２及びＤＶＤドライブ３５０に接続されたバス３６６と、ブートアッププログラム等を記憶する読出専用メモリ（ＲＯＭ）３５８と、バス３６６に接続され、プログラム命令、システムプログラム、及び作業データ等を記憶するランダムアクセスメモリ（ＲＡＭ）３６０とを含む。コンピュータシステム３３０はさらに、プリンタ３４４と、他端末との通信を可能とするローカルエリアネットワーク（ＬＡＮ）３７０への接続を提供するネットワークインターフェイスカード（ＮＩＣ）３６８とを含む。
【０２２５】
モニタ３４２、キーボード３４６及びマウス３４８等は、このコンピュータ３４０を操作するために必要となるものである。しかし、コンピュータ３４０が遠隔のコンピュータから操作可能な場合にはこれらは不要である。プリンタ３４４も必須というわけではない。
【０２２６】
上記した分足データはＬＡＮ３７０上の所定の情報ソースから、ＮＩＣ３６８を介してコンピュータ３４０に与えられ、ハードディスク３５４に記憶される。上記したプレミアム計算のためのプログラムは通常はハードディスク３５４に記憶されているが、ＣＰＵ３５６による実行が開始されると、その大部分がＲＡＭ３６０にロードされ、常駐する。
【０２２７】
コンピュータシステム３３０にオプション価格計算システムとしての動作を行なわせるためのコンピュータプログラムは、ＤＶＤドライブ３５０又はメモリポート３５２に装着されるＤＶＤ３６２又はリムーバブルメモリ３６４に記憶され、さらにハードディスク３５４に転送される。又は、プログラムはＬＡＮ３７０を通じてコンピュータ３４０に送信されハードディスク３５４に記憶されてもよい。プログラムは実行の際にＲＡＭ３６０にロードされる。ＤＶＤ３６２から、リムーバブルメモリ３６４から、又はネットワークを介して、直接にＲＡＭ３６０にプログラムをロードしてもよい。
【０２２８】
このプログラムは、コンピュータ３４０にこの実施の形態のオプション価格計算システムとして動作を行なわせる複数の命令を含む。この動作を行なわせるのに必要な基本的機能のいくつかはコンピュータ３４０上で動作するオペレーティングシステム（ＯＳ）若しくはサードパーティのプログラム、又はコンピュータ３４０にインストールされる各種ツールキットのモジュールにより提供される。したがって、このプログラムはこの実施の形態のシステム及び方法を実現するのに必要な機能全てを必ずしも含まなくてよい。このプログラムは、命令のうち、所望の結果が得られるように制御されたやり方で適切な機能又は「プログラミング・ツール・キット」を呼出すことにより、上記したオプション価格計算システムとしての動作を実行する命令のみを含んでいればよい。コンピュータシステム３３０の動作は周知であるので、ここでは繰返さない。
【０２２９】
［東京株式市場における実証的研究］
米国のＹａｈｏｏサイトから、東京株式市場の以下の４銘柄（トヨタ自動車、日本電産、野村ホールディングス、本田技研工業）の株の値動きのデータをとり、それを用いて東京株式市場の株価の分散‐共分散行列と予想収益率をと上に説明した実施の形態の考え方にしたがって推定した。その結果は以下のとおりである。
【０２３０】
２０１０年４月７日から２０１０年９月１日までの期間において計算したこれら株価の分散‐共分散行列は以下のとおりである。
【０２３１】
【表３】
2012243113.tif 000016
【０２３２】
上記実施の形態にしたがって計算した予想収益率は、以下のとおりである。
【０２３３】
【表４】
2012243113.tif 000017
【０２３４】
図８９に、それぞれこれら４つの銘柄のうちの３つの銘柄の組み合わせから得た４個の有効フロンティアと、これら４つの有効フロンティアの包絡線である、これら４つの銘柄に対する有効フロンティア（双曲線）とをまとめて描いてある。図９０は、図８９と証券市場直線とを重ね合わせたグラフである。
【０２３５】
図８９と図９０とを見ると、４本の双曲線とそれらが内接する包絡線との関係が良く分かる。図９０において、４つの銘柄による有効フロンティアの双曲線と証券市場直線との接点が、リスクに対する利益が最大となる点である。図９０に示す線分Ｐ１Ｐ２の長さが、このポートフォリオのリスクプレミアムであり、その値は０．００６４９２６５である。この場合の無危険利子率は０．００８と想定されている。図９０から計算される各銘柄の最適比率は以下のとおりである。
【０２３６】
【表５】
2012243113.tif 000018
【０２３７】
一方、２０１１年３月１１日から２０１１年４月２１日のデータを用いて計算した結果は以下のとおりである。
【０２３８】
分散−共分散行列
【０２３９】
【表６】
2012243113.tif 000019
【０２４０】
予想収益率は以下のとおりである。
【０２４１】
【表７】
2012243113.tif 000020
【０２４２】
このデータを用い、２０１１年３月１１日から２０１１年４月２１日の間のこれらの銘柄の有効フロンティアを描くと図９１に示すようになり、これら有効フロンティアと証券市場曲線とを重ねて描くと図９２に示すようになる。
【０２４３】
この場合の最適保有比率は以下のとおりである。
【０２４４】
【表８】
2012243113.tif 000021
【０２４５】
この計算結果によれば、トヨタと日本電産とはかなりの比率で空売りされることになる。対照的に、野村と本田はプラスになっている。トヨタと比較して、本田の比率がかなり高くなっていることに注目されたい。
【０２４６】
［考察］
既に述べた理論的根拠と、上記した実証的研究結果とに基づき、本実施の形態の特徴とメリットとは、例えば以下のような点にあると考える。
【０２４７】
（１）有効フロンティアの導出
マーコウィッツによる有効フロンティアの導出方法には、上記したように問題がある。つまり、マーコウィッツの導出方法には、マイナスの保有比率としての空売りの利益が総合的に一体化されていないという問題がある。このようにして導出された有効フロンティアの分析からは、空売りの利益を理論的に確定できない。しかも近時の日本経済のように株価が長期的に低迷している場合、データをそのまま用いると予想収益率がマイナスにならざるを得ない。そのため、本来ならばＸ−Ｙ座標の第１象限に描かれるべき有効フロンティアが、それ以外の領域に描かれてしまうことになる。これが、最近の株価の変動の実証的分析を不可能にしている原因の１つであると考えられる。
【０２４８】
（２）検証の必要性
上のような観点に立てば、実は、いわゆるベータが死んだ、というような、上記Famaらによる結論を検証もせずそのまま受入れているファイナンス研究者の姿勢には疑問を呈さざるを得ない。
【０２４９】
なお、ヤフーの米国株価データに実際にアクセスした結果、このデータには欠落が多く、非常に丁寧な処理を行わなければ追試は難しいように思われる。一方、日本で発表されているデータにはあまり欠落はなく、実証研究における使用に耐えるもののように思われる。
【０２５０】
ここで、学問上の大きな課題を確認しておく必要がある。つまり、いかなる学説上の命題も、厳密なる追試なしには正しいものとして確立し得ないということである。従来の経済理論ではこの点がなおざりにされてきたと思われる。この点が従来の経済理論の重大な問題であると思われる。たとえばノーベル賞を受賞した研究者の主張であっても、その権威に唯々諾々として従うべきではなく、まずその理論を検証することが学問上の最大の課題である。
【０２５１】
特に最近の株価の変動には、いわゆるデイ・トレーダ（ブラック・フィッシャーはかれらを「ノイズ・トレーダ」と呼んだ。）の投資行動の影響が強く現れるようになっている。そのため、これらの人たちの投資行動をどのように分析するかが、金融経済理論、または経済理論の喫緊の課題となっている。このような問題と、裁定又は投機家の行動分析をするには、上記実施の形態で提案されたような有効フロンティア分析が今後の経済理論の重要な研究ツールになると思われる。
【０２５２】
（４）リスク・プレミアム
付言すると、図９０及び図９２に現れている線分Ｐ１Ｐ２は、このポートフォリオに対する投資家のリスク・プレミアムを表している。
【０２５３】
［震災との関連の考証］
上述のシミュレーション結果から以下のような知見を得た。
【０２５４】
東京株式市場では、東北地方の大震災後にはトヨタ株の保有比率が極端に落ち込み、マイナスになっていることが注目される。これは、東京市場に参加している投資家たちが、理論的に見て非常に正当な評価を下しているということである。ここには示さなかったが、いわゆるリーマンショックの前後において、ニューヨーク株式市場でのＧＭの保有比率の落ち込み方がそれほど極端ではなかったことと比較すると、東京市場はニューヨーク市場よりもはるかに合理的に動いているということができる。
【０２５５】
なお、上記実施の形態では、使用する株価のデータとして分足データを用いている。しかし本発明が分足データ以外のデータ（例えば時足、日足データ）にも適用可能であることは明らかである。また、上記実施の形態は、オプション価格の算出において、計算の基礎となる投資収益率の負の符号を逆転することにより、その分布がハーフ・ノーマル分布にしたがうものとして計算を行なっている。ハーフ・ノーマル分布は、前述したとおり、１パラメーター族に属しており、既に述べたパラメータθのみでその形が定まる。上記実施の形態では、θ＝０．８とした。θは前述したとおり実際のデータのヒストグラムとハーフ・ノーマル曲線との一致を見て決められる値である。実験等によればθ＝０．８程度が最も両者がよく一致していたため、この値を採用した。しかし、θが厳密にこの値と一致しなければならないわけではない。前述のとおり、θ＝０．７５程度及び１．０１程度の間であれば、θとしてどのような値をとるべきかは実際のデータにしたがって変動し得ると考えられる。
【０２５６】
今回開示された実施の形態は単に例示であって、本発明が上記した実施の形態のみに制限されるわけではない。本発明の範囲は、発明の詳細な説明の記載を参酌した上で、特許請求の範囲の各請求項によって示され、そこに記載された文言と均等の意味及び範囲内での全ての変更を含む。
【符号の説明】
【０２５７】
１００〜１０８，１２０〜１３４  ステップ
【図１】
2012243113.tif 000028
【図２】
2012243113.tif 000029
【図３】
2012243113.tif 000030
【図４】
2012243113.tif 000031
【図５】
2012243113.tif 000032
【図６】
2012243113.tif 000033
【図７】
2012243113.tif 000034
【図８】
2012243113.tif 000035
【図９】
2012243113.tif 000036
【図１０】
2012243113.tif 000037
【図１１】
2012243113.tif 000038
【図１２】
2012243113.tif 000039
【図１３】
2012243113.tif 000040
【図１４】
2012243113.tif 000041
【図１５】
2012243113.tif 000042
【図１６】
2012243113.tif 000043
【図１７】
2012243113.tif 000044
【図１８】
2012243113.tif 000045
【図２０】
2012243113.tif 000046
【図２１】
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【図２２】
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【図２３】
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【図２４】
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【図２５】
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【図２６】
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【図２７】
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【図２８】
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【図２９】
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【図３０】
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【図３１】
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【図３２】
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【図３３】
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【図３４】
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【図３５】
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【図３６】
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【図３７】
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【図３８】
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【図３９】
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【図４０】
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【図４１】
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【図４２】
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【図４３】
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【図４４】
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【図４５】
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【図４６】
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【図４７】
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【図４８】
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【図４９】
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【図５０】
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【図５１】
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【図５２】
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【図５３】
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【図５４】
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【図５５】
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【図５６】
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【図５７】
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【図５８】
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【図５９】
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【図６０】
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【図６１】
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【図６２】
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【図６３】
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【図６４】
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【図６５】
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【図６６】
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【図６７】
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【図６８】
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【図６９】
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【図７０】
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【図７１】
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【図７２】
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【図７３】
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【図７４】
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【図７５】
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【図７６】
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【図７７】
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【図７８】
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【図７９】
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【図８０】
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【図８１】
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【図８２】
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【図８３】
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【図８４】
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【図８５】
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【図８６】
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【図８７】
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【図８８】
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【図８９】
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【図９０】
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【図９１】
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【図９２】
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【図１９】
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