(57)【要約】【課題】辺要素で離散化する電磁界解析においても、安定的に収束解を得ることが可能なグリッド生成を実現する有限要素解析装置、有限要素解析方法、及びコンピュータプログラムを提供する。【解決手段】マルチグリッド法を用いて、有限要素を構成するグリッドを辺要素単位で解析する。解析対象となる形状モデルを受け付け、受け付けた形状モデルの最上位階層のグリッドの節点を所定の規則に基づいて生成し、節点及び節点を結ぶ辺に関する幾何学的情報に基づいて、節点の重要度を算出する。算出した重要度が所定値より大きい節点を、下位階層のグリッド生成時の節点として選択し、選択された節点を用いて下位階層のグリッドを生成する。グリッドの生成が完了するまで上述の処理を繰り返し、グリッドの生成が完了したと判断された場合、グリッド階層間のオペレータを推定して解を算出する。【選択図】図２
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
マルチグリッド法を用いて、有限要素を構成するグリッドを辺要素単位で解析する有限要素解析を行う有限要素解析装置であって、
解析対象となる形状モデルを受け付ける形状モデル受付手段と、
受け付けた形状モデルの最上位階層のグリッドの節点を所定の規則に基づいて生成するファイングリッド生成手段と、
節点及び節点を結ぶ辺に関する幾何学的情報に基づいて、節点の重要度を算出する重要度算出手段と、
算出した重要度が所定値より大きい節点を、下位階層のグリッド生成時の節点として選択する節点選択手段と、
選択された節点を用いて下位階層のグリッドを生成する第１のコースグリッド生成手段と、
生成した下位階層のグリッドの節点の重要度を、前記幾何学的情報に基づいて再算出する重要度再算出手段と、
再算出した重要度が所定値より大きい節点を、さらなる下位階層のグリッド生成時の節点として再選択する節点再選択手段と、
再選択された節点を用いてさらなる下位階層のグリッドを生成する第２のコースグリッド生成手段と、
グリッドの生成が完了したか否かを判断する判断手段と
を備え、
該判断手段でグリッドの生成が完了していないと判断された場合、生成した下位階層のグリッドの節点の重要度を、前記幾何学的情報に基づいて再算出するようにしてあり、
前記判断手段でグリッドの生成が完了したと判断された場合、グリッド階層間のオペレータを推定して解を算出するようにしてあることを特徴とする有限要素解析装置。
【請求項２】
前記重要度算出手段及び前記重要度再算出手段は、下位階層のグリッドに射影された誤差が集中する節点ほど大きくなるよう、節点及び節点を結ぶ辺に関する幾何学的情報に基づいて重要度を算出するようにしてあることを特徴とする請求項１記載の有限要素解析装置。
【請求項３】
前記第１及び第２のコースグリッド生成手段は、
選択された節点に隣接しており、該節点を一端として辺をなす他端の節点を除外し、選択された節点をそれぞれ結ぶ辺で構成されたグリッドを生成するようにしてあることを特徴とする請求項１又は２記載の有限要素解析装置。
【請求項４】
前記判断手段は、
グリッドを生成した階層数を計数する手段と、
計数された階層数が所定数を超えたか否かを判断する手段と
を備え、
該手段で所定数を超えたと判断した場合にグリッドの生成が完了したと判断するようにしてあることを特徴とする請求項１乃至３のいずれか一項に記載の有限要素解析装置。
【請求項５】
前記判断手段は、
生成したグリッドの総数を計数する手段と、
計数されたグリッドの総数が所定数を超えたか否かを判断する手段と
を備え、
該手段で所定数を超えたと判断した場合にグリッドの生成が完了したと判断するようにしてあることを特徴とする請求項１乃至３のいずれか一項に記載の有限要素解析装置。
【請求項６】
マルチグリッド法を用いて、有限要素を構成するグリッドを辺要素単位で解析する有限要素解析に使用する有限要素解析方法であって、
解析対象となる形状モデルを受け付け、
受け付けた形状モデルの最上位階層のグリッドの節点を所定の規則に基づいて生成し、
節点及び節点を結ぶ辺に関する幾何学的情報に基づいて、節点の重要度を算出し、
算出した重要度が所定値より大きい節点を、下位階層のグリッド生成時の節点として選択し、
選択された節点を用いて下位階層のグリッドを生成し、
生成した下位階層のグリッドの節点の重要度を、前記幾何学的情報に基づいて再算出し、
再算出した重要度が所定値より大きい節点を、さらなる下位階層のグリッド生成時の節点として再選択し、
再選択された節点を用いてさらなる下位階層のグリッドを生成し、
グリッドの生成が完了したか否かを判断し、
グリッドの生成が完了していないと判断された場合、生成した下位階層のグリッドの節点の重要度を、前記幾何学的情報に基づいて再算出し、グリッドの生成が完了したと判断された場合、グリッド階層間のオペレータを推定して解を算出することを特徴とする有限要素解析方法。
【請求項７】
下位階層のグリッドに射影された誤差が集中する節点ほど大きくなるよう、節点及び節点を結ぶ辺に関する幾何学的情報に基づいて重要度を算出することを特徴とする請求項６記載の有限要素解析方法。
【請求項８】
選択された節点に隣接しており、該節点を一端として辺をなす他端の節点を除外し、選択された節点をそれぞれ結ぶ辺で構成されたグリッドを生成することを特徴とする請求項６又は７記載の有限要素解析方法。
【請求項９】
グリッドを生成した階層数を計数し、
計数された階層数が所定数を超えたか否かを判断し、
所定数を超えたと判断した場合にグリッドの生成が完了したと判断することを特徴とする請求項６乃至８のいずれか一項に記載の有限要素解析方法。
【請求項１０】
生成したグリッドの総数を計数し、
計数されたグリッドの総数が所定数を超えたか否かを判断し、
所定数を超えたと判断した場合にグリッドの生成が完了したと判断することを特徴とする請求項６乃至８のいずれか一項に記載の有限要素解析方法。
【請求項１１】
マルチグリッド法を用いて、有限要素を構成するグリッドを辺要素単位で解析する有限要素解析を実行するコンピュータで実行することが可能なコンピュータプログラムであって、
前記コンピュータを、
解析対象となる形状モデルを受け付ける形状モデル受付ステップ、
受け付けた形状モデルの最上位階層のグリッドの節点を所定の規則に基づいて生成するファイングリッド生成ステップ、
節点及び節点を結ぶ辺に関する幾何学的情報に基づいて、節点の重要度を算出する重要度算出ステップ、
算出した重要度が所定値より大きい節点を、下位階層のグリッド生成時の節点として選択する節点選択ステップ、
選択された節点を用いて下位階層のグリッドを生成する第１のコースグリッド生成ステップ、
生成した下位階層のグリッドの節点の重要度を、前記幾何学的情報に基づいて再算出する重要度再算出ステップ、
再算出した重要度が所定値より大きい節点を、さらなる下位階層のグリッド生成時の節点として再選択する節点再選択ステップ、
再選択された節点を用いてさらなる下位階層のグリッドを生成する第２のコースグリッド生成ステップ、
グリッドの生成が完了したか否かを判断する判断ステップ、及び
該判断ステップで階層数が所定数を超えていないと判断された場合、前記重要度再算出ステップへ戻すステップ
として機能させることを特徴とするコンピュータプログラム。
【請求項１２】
前記コンピュータを、
下位階層のグリッドに射影された誤差が集中する節点ほど大きくなるよう、節点及び節点を結ぶ辺に関する幾何学的情報に基づいて重要度を算出するステップとして機能させることを特徴とする請求項１１記載のコンピュータプログラム。
【請求項１３】
前記コンピュータを、
選択された節点に隣接しており、該節点を一端として辺をなす他端の節点を除外し、選択された節点をそれぞれ結ぶ辺で構成されたグリッドを生成するステップとして機能させることを特徴とする請求項１１又は１２記載のコンピュータプログラム。
【請求項１４】
前記コンピュータを、
グリッドを生成した階層数を計数するステップ、
計数された階層数が所定数を超えたか否かを判断するステップ、及び
該ステップで所定数を超えたと判断した場合にグリッドの生成が完了したと判断するステップ
として機能させるようにしてあることを特徴とする請求項１１乃至１３のいずれか一項に記載のコンピュータプログラム。
【請求項１５】
前記コンピュータを、
生成したグリッドの総数を計数するステップ、
計数されたグリッドの総数が所定数を超えたか否かを判断するステップ、及び
該ステップで所定数を超えたと判断した場合にグリッドの生成が完了したと判断するステップ
として機能させることを特徴とする請求項１１乃至１３のいずれか一項に記載のコンピュータプログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、マルチグリッド法を用いて、有限要素を構成するグリッドを辺要素単位で解析する有限要素解析時に、ユーザによるグリッド生成の負荷を軽減しつつ、解析解の収束性を高く維持することができる有限要素解析装置、有限要素解析方法、及びコンピュータプログラムに関する。
【背景技術】
【０００２】
近年、コンピュータ技術の急速な進展に伴い、より詳細な現象を扱う非線形問題、過渡問題等の応答解析をコンピュータシミュレーションで行うことが実用上可能となってきている。斯かるコンピュータシミュレーションにおいては、様々な物理現象を扱うことができ、適用範囲が広いことから、解析手法として有限要素法（Finite Element Method：以下、ＦＥＭ）が良く用いられており、解析精度はメッシュ分割の粗密に依存するものと考えられている。
【０００３】
コンピュータシミュレーションの精度を高めるべくメッシュ分割を細かくした場合、例えばＩＣＣＧ（Incomplete Cholesky Conjugate Gradient Method ）法等の反復法を用いて求解する場合、演算時間は級数的に増加し、演算処理時間を短縮することが困難となる。斯かる問題を解決すべく、例えば特許文献１では、ＩＣＣＧ法よりも高速に解くことができると考えられているマルチグリッド法を用いている。
【０００４】
マルチグリッド法では、粗密の異なる複数のメッシュのうち、一番細かいメッシュに対する連立方程式をガウスザイデル法等の反復解法を用いて近似解を求める。例えばガウスザイデル法は、誤差の空間的高周波成分が反復の初期段階で速やかに収束する一方、低周波成分の収束は非常に遅い性質を有する。したがって、数回の反復計算で打ち切って得られた近似解に含まれる誤差は低周波成分のみとなる。次に、近似解に対する残差を粗いメッシュに投影する。細かいメッシュからみると低周波に見える誤差も粗いメッシュから見ると高周波に見えることから、粗いメッシュに対して同様に近似解を求めることで、残った誤差を速やかに取り除くことが可能となる。
【特許文献１】特開平５−３２４６９６号公報
【非特許文献１】金堀、他２名、「電磁界有限要素解析への代数マルチグリッド法の適用」、平成１２年電気・情報関連学会中国支部連合大会、４５７（２０００）
【非特許文献２】亀有、「幾何マルチグリッド法の電磁場数値解析への適用」、静止器・回転機合同研究会、ＳＡ−０１−９、ＲＭ−０１−７９（２００１）
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
マルチグリッド法は、代数マルチグリッド法と幾何マルチグリッド法とに大別される。代数マルチグリッド法は、マルチグリッド法で必要な階層別の係数行列をソルバー内部で作成することから、ユーザはメッシュの節点分布を考慮する必要がなく負担が少ない。しかし、安定した収束解を得ることができるとは限らないというデメリットを有する（非特許文献１参照）。
【０００６】
一方、幾何マルチグリッド法は、階層ごとに解析用のメッシュを事前に準備し、準備したメッシュ情報に基づいてグリッドごとの係数行列を作成する。したがって、有限要素の形状関数を用いることから、階層間のメッシュで誤差ベクトルを連続的に近似することができ、代数マルチグリッド法と比較して安定的に収束解を得ることができる場合が多い。しかし、解の収束性は各階層で準備するメッシュに依存しており、ユーザの負担が大きいというデメリットがある（非特許文献２参照）。
【０００７】
また、節点要素で離散化することが可能な熱解析、構造解析等では、代数マルチグリッド法又は幾何マルチグリッド法を用いた場合に収束解を得ることができる事例も存在するが、例えば辺要素で離散化する電磁界解析では、いずれの方法を用いた場合であっても安定的に収束解を得ることは困難であるという問題点があった。
【０００８】
本発明は斯かる事情に鑑みてなされたものであり、辺要素で離散化する電磁界解析においても、安定的に収束解を得ることが可能なグリッド生成を実現する有限要素解析装置、有限要素解析方法、及びコンピュータプログラムを提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００９】
上記目的を達成するために第１発明に係る有限要素解析装置は、マルチグリッド法を用いて、有限要素を構成するグリッドを辺要素単位で解析する有限要素解析を行う有限要素解析装置であって、解析対象となる形状モデルを受け付ける形状モデル受付手段と、受け付けた形状モデルの最上位階層のグリッドの節点を所定の規則に基づいて生成するファイングリッド生成手段と、節点及び節点を結ぶ辺に関する幾何学的情報に基づいて、節点の重要度を算出する重要度算出手段と、算出した重要度が所定値より大きい節点を、下位階層のグリッド生成時の節点として選択する節点選択手段と、選択された節点を用いて下位階層のグリッドを生成する第１のコースグリッド生成手段と、生成した下位階層のグリッドの節点の重要度を、前記幾何学的情報に基づいて再算出する重要度再算出手段と、再算出した重要度が所定値より大きい節点を、さらなる下位階層のグリッド生成時の節点として再選択する節点再選択手段と、再選択された節点を用いてさらなる下位階層のグリッドを生成する第２のコースグリッド生成手段と、グリッドの生成が完了したか否かを判断する判断手段とを備え、該判断手段でグリッドの生成が完了していないと判断された場合、生成した下位階層のグリッドの節点の重要度を、前記幾何学的情報に基づいて再算出するようにしてあり、前記判断手段でグリッドの生成が完了したと判断された場合、グリッド階層間のオペレータを推定して解を算出するようにしてあることを特徴とする。
【００１０】
また、第２発明に係る有限要素解析装置は、第１発明において、前記重要度算出手段及び前記重要度再算出手段は、下位階層のグリッドに射影された誤差が集中する節点ほど大きくなるよう、節点及び節点を結ぶ辺に関する幾何学的情報に基づいて重要度を算出するようにしてあることを特徴とする。
【００１１】
また、第３発明に係る有限要素解析装置は、第１又は第２発明において、前記第１及び第２のコースグリッド生成手段は、選択された節点に隣接しており、該節点を一端として辺をなす他端の節点を除外し、選択された節点をそれぞれ結ぶ辺で構成されたグリッドを生成するようにしてあることを特徴とする。
【００１２】
また、第４発明に係る有限要素解析装置は、第１乃至第３発明のいずれか１つにおいて、前記判断手段は、グリッドを生成した階層数を計数する手段と、計数された階層数が所定数を超えたか否かを判断する手段とを備え、該手段で所定数を超えたと判断した場合にグリッドの生成が完了したと判断するようにしてあることを特徴とする。
【００１３】
また、第５発明に係る有限要素解析装置は、第１乃至第３発明のいずれか１つにおいて、前記判断手段は、生成したグリッドの総数を計数する手段と、計数されたグリッドの総数が所定数を超えたか否かを判断する手段とを備え、該手段で所定数を超えたと判断した場合にグリッドの生成が完了したと判断するようにしてあることを特徴とする。
【００１４】
また、第６発明に係る有限要素解析方法は、マルチグリッド法を用いて、有限要素を構成するグリッドを辺要素単位で解析する有限要素解析に使用する有限要素解析方法であって、解析対象となる形状モデルを受け付け、受け付けた形状モデルの最上位階層のグリッドの節点を所定の規則に基づいて生成し、節点及び節点を結ぶ辺に関する幾何学的情報に基づいて、節点の重要度を算出し、算出した重要度が所定値より大きい節点を、下位階層のグリッド生成時の節点として選択し、選択された節点を用いて下位階層のグリッドを生成し、生成した下位階層のグリッドの節点の重要度を、前記幾何学的情報に基づいて再算出し、再算出した重要度が所定値より大きい節点を、さらなる下位階層のグリッド生成時の節点として再選択し、再選択された節点を用いてさらなる下位階層のグリッドを生成し、グリッドの生成が完了したか否かを判断し、グリッドの生成が完了していないと判断された場合、生成した下位階層のグリッドの節点の重要度を、前記幾何学的情報に基づいて再算出し、グリッドの生成が完了したと判断された場合、グリッド階層間のオペレータを推定して解を算出することを特徴とする。
【００１５】
また、第７発明に係る有限要素解析方法は、第６発明において、下位階層のグリッドに射影された誤差が集中する節点ほど大きくなるよう、節点及び節点を結ぶ辺に関する幾何学的情報に基づいて重要度を算出することを特徴とする。
【００１６】
また、第８発明に係る有限要素解析方法は、第６又は第７発明において、選択された節点に隣接しており、該節点を一端として辺をなす他端の節点を除外し、選択された節点をそれぞれ結ぶ辺で構成されたグリッドを生成することを特徴とする。
【００１７】
また、第９発明に係る有限要素解析方法は、第６乃至第８発明のいずれか１つにおいて、グリッドを生成した階層数を計数し、計数された階層数が所定数を超えたか否かを判断し、所定数を超えたと判断した場合にグリッドの生成が完了したと判断することを特徴とする。
【００１８】
また、第１０発明に係る有限要素解析方法は、第６乃至第８発明のいずれか１つにおいて、生成したグリッドの総数を計数し、計数されたグリッドの総数が所定数を超えたか否かを判断し、所定数を超えたと判断した場合にグリッドの生成が完了したと判断することを特徴とする。
【００１９】
また、第１１発明に係るコンピュータプログラムは、マルチグリッド法を用いて、有限要素を構成するグリッドを辺要素単位で解析する有限要素解析を実行するコンピュータで実行することが可能なコンピュータプログラムであって、前記コンピュータを、解析対象となる形状モデルを受け付ける形状モデル受付ステップ、受け付けた形状モデルの最上位階層のグリッドの節点を所定の規則に基づいて生成するファイングリッド生成ステップ、節点及び節点を結ぶ辺に関する幾何学的情報に基づいて、節点の重要度を算出する重要度算出ステップ、算出した重要度が所定値より大きい節点を、下位階層のグリッド生成時の節点として選択する節点選択ステップ、選択された節点を用いて下位階層のグリッドを生成する第１のコースグリッド生成ステップ、生成した下位階層のグリッドの節点の重要度を、前記幾何学的情報に基づいて再算出する重要度再算出ステップ、再算出した重要度が所定値より大きい節点を、さらなる下位階層のグリッド生成時の節点として再選択する節点再選択ステップ、再選択された節点を用いてさらなる下位階層のグリッドを生成する第２のコースグリッド生成ステップ、グリッドの生成が完了したか否かを判断する判断ステップ、及び該判断ステップで階層数が所定数を超えていないと判断された場合、前記重要度再算出ステップへ戻すステップとして機能させることを特徴とする。
【００２０】
また、第１２発明に係るコンピュータプログラムは、第１１発明において、前記コンピュータを、下位階層のグリッドに射影された誤差が集中する節点ほど大きくなるよう、節点及び節点を結ぶ辺に関する幾何学的情報に基づいて重要度を算出するステップとして機能させることを特徴とする。
【００２１】
また、第１３発明に係るコンピュータプログラムは、第１１又は第１２発明において、前記コンピュータを、選択された節点に隣接しており、該節点を一端として辺をなす他端の節点を除外し、選択された節点をそれぞれ結ぶ辺で構成されたグリッドを生成するステップとして機能させることを特徴とする。
【００２２】
また、第１４発明に係るコンピュータプログラムは、第１１乃至第１３発明のいずれか１つにおいて、前記コンピュータを、グリッドを生成した階層数を計数するステップ、計数された階層数が所定数を超えたか否かを判断するステップ、及び該ステップで所定数を超えたと判断した場合にグリッドの生成が完了したと判断するステップとして機能させるようにしてあることを特徴とする。
【００２３】
また、第１５発明に係るコンピュータプログラムは、第１１乃至第１３発明のいずれか１つにおいて、前記コンピュータを、生成したグリッドの総数を計数するステップ、計数されたグリッドの総数が所定数を超えたか否かを判断するステップ、及び該ステップで所定数を超えたと判断した場合にグリッドの生成が完了したと判断するステップとして機能させることを特徴とする。
【００２４】
第１発明、第６発明、及び第１１発明では、マルチグリッド法を用いて、有限要素を構成するグリッドを辺要素単位で解析する有限要素解析を行う場合、受け付けた形状モデルの最上位階層のグリッドの節点を所定の規則に基づいて生成し、節点及び節点を結ぶ辺に関する幾何学的情報に基づいて、節点の重要度を算出する。算出した重要度が所定値より大きい節点を、下位階層のグリッド生成時の節点として選択し、選択された節点を用いて下位階層のグリッドを生成する。生成した下位階層のグリッドの節点の重要度を、幾何学的情報に基づいて再算出し、再算出した重要度が所定値より大きい節点を、さらなる下位階層のグリッド生成時の節点として再選択し、再選択された節点を用いてさらなる下位階層のグリッドを生成する。グリッドの生成が完了したか否かを判断し、グリッドの生成が完了していないと判断された場合、生成した下位階層のグリッドの節点の重要度を、幾何学的情報に基づいて再算出し、グリッドの生成が完了したと判断された場合、グリッド階層間のオペレータを推定して解を算出する。これにより、下位階層でのコースグリッドを生成する場合に、幾何マルチグリッド法で用いる幾何学的情報に基づいて誤差が集中しやすいと判断される節点、すなわち重要度が高い節点を選択し、選択された節点を結んだ、ファイングリッドとは形態の相違するコースグリッドを生成することができる。したがって、誤差の空間的高周波成分を速やかに収束させることができ、代数マルチグリッド法におけるグリッド生成の簡便さを残しつつ、幾何マルチグリッド法と同様に階層間のオペレータを推定することにより、解の安定的な収束性を維持することが可能となる。
【００２５】
第２発明、第７発明、及び第１２発明では、下位階層のグリッドに射影された誤差が集中する節点ほど大きくなるよう、節点及び節点を結ぶ辺に関する幾何学的情報に基づいて重要度を算出する。これにより、節点間の結びつきが強く、誤差が集中して射影される節点を選択することにより、誤差の空間的高周波成分を速やかに収束させることができ、代数マルチグリッド法におけるグリッド生成の簡便さを残しつつ、幾何マルチグリッド法における解の安定的な収束性を維持することが可能となる。
【００２６】
第３発明、第８発明、及び第１３発明では、選択された節点に隣接しており、該節点を一端として辺をなす他端の節点を除外し、選択された節点をそれぞれ結ぶ辺で構成されたグリッドを生成する。これにより、節点間の結びつきが強く、誤差が集中して射影される節点を選択して、メッシュの粗いコースグリッドを生成することができ、誤差の空間的高周波成分を速やかに収束させることが可能となる。
【００２７】
第４発明、第９発明、及び第１４発明では、グリッドを生成した階層数を計数し、計数された階層数が所定数を超えたか否かを判断し、所定数を超えたと判断した場合にグリッドの生成が完了したと判断する。また、第５発明、第１０発明、及び第１５発明では、生成したグリッドの総数を計数し、計数されたグリッドの総数が所定数を超えたか否かを判断し、所定数を超えたと判断した場合にグリッドの生成が完了したと判断する。これにより、コースグリッドの生成処理を適切に終了させることができ、解の収束性を維持しつつ、マルチグリッド法を用いて辺要素単位で解析する有限要素解析を実行することが可能となる。
【発明の効果】
【００２８】
第１発明、第６発明、及び第１１発明によれば、下位階層でのコースグリッドを生成する場合に、幾何マルチグリッド法で用いる幾何学的情報に基づいて誤差が集中しやすいと判断される節点、すなわち重要度が高い節点を選択し、選択された節点を結んだ、ファイングリッドとは形態の相違するコースグリッドを生成することができる。したがって、誤差の空間的高周波成分を速やかに収束させることができ、代数マルチグリッド法におけるグリッド生成の簡便さを残しつつ、幾何マルチグリッド法と同様に階層間のオペレータを推定することにより、解の安定的な収束性を維持することが可能となる。
【００２９】
第２発明、第７発明、及び第１２発明によれば、節点間の結びつきが強く、誤差が集中して射影される節点を選択することにより、誤差の空間的高周波成分を速やかに収束させることができ、代数マルチグリッド法におけるグリッド生成の簡便さを残しつつ、幾何マルチグリッド法における解の安定的な収束性を維持することが可能となる。
【００３０】
第３発明、第８発明、及び第１３発明によれば、節点間の結びつきが強く、誤差が集中して射影される節点を選択して、メッシュの粗いコースグリッドを生成することができ、誤差の空間的高周波成分を速やかに収束させることが可能となる。
【００３１】
第４発明、第５発明、第９発明、第１０発明、第１４発明、及び第１５発明によれば、コースグリッドの生成処理を適切に終了させることができ、解の収束性を維持しつつ、マルチグリッド法を用いて辺要素単位で解析する有限要素解析を実行することが可能となる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００３２】
以下、本発明をその実施の形態を示す図面に基づいて具体的に説明する。図１は、本発明の実施の形態に係るグリッド生成方法を適用した有限要素解析装置１の構成を示すブロック図である。図１において、有限要素解析装置１は、少なくとも、ＣＰＵ（中央演算装置）１１、記憶手段１２、ＲＯＭ１３、ＲＡＭ１４、通信回線に接続する通信手段１５、マウス及びキーボード等の入力手段１６、ディスプレイ等の出力手段１７及び補助記憶手段１８で構成される。
【００３３】
ＣＰＵ１１は、内部バス１９を介して有限要素解析装置１の上述したようなハードウェア各部と接続されており、上述したハードウェア各部を制御するとともに、ＲＯＭ１３に格納された制御プログラム又は補助記憶手段１８であるＣＤ−ＲＯＭ、ＤＶＤ等の（可搬型）記録媒体２を用いて記憶手段１２へ導入された制御プログラムに従って、種々のソフトウェア的機能を実行する。なお、記憶手段１２は、ハードディスク等の固定型記憶媒体であり、上述した制御プログラムの他、処理に必要なデータを事前に記憶しておく。
【００３４】
ＲＡＭ１４は、ＳＲＡＭ、フラッシュメモリ等で構成されソフトウェアの実行時に発生する一時的なデータを記憶する。通信手段１５は、内部バス１９に接続されており、外部からのデータの取得、外部装置の動作制御データ等を送受信する。
【００３５】
入力手段１６は、有限要素解析装置１を操作するために必要な文字キー、テンキー、各種のファンクションキー等を備えたキーボード、マウス等の入力媒体である。出力手段１７は、液晶表示装置、ＣＲＴディスプレイ等の表示装置であり、有限要素解析装置１の動作状態を表示したり、ユーザへ操作入力を促す画面を表示したり、解析結果をグラフィカルに表示するための画像データの表示等を行う。なお、出力手段１７をタッチパネル方式とすることにより、入力手段１６の各種のファンクションキーの内の一部又は全部を出力手段１７が代用することも可能である。
【００３６】
なお、有限要素解析装置１は、通信手段１５に接続されている外部のコンピュータから本発明に係るコンピュータプログラムをダウンロードし、ＣＰＵ１１にて処理を実行する形態であってもよい。
【００３７】
以下、上述した構成の有限要素解析装置１を用いた電磁界解析処理の手順について説明する。本実施の形態では、電磁場解析のような有限要素を構成するグリッドを辺要素単位で解析する場合に、マルチグリッド法を用いて求解するときに用いる方法について説明する。
【００３８】
図２は、本発明の実施の形態に係る有限要素解析装置１のＣＰＵ１１の処理手順を示すフローチャートである。有限要素解析装置１のＣＰＵ１１は、オペレータによって操作された入力手段１６から、又は通信手段１５を介して外部のコンピュータから、電磁界解析の対象となる二次元形状モデル又は三次元形状モデルを受け付ける(ステップＳ２０１)。ＣＰＵ１１は、受け付けた形状モデルに対して、辺要素で離散化されたメッシュの比較的細かいグリッド（以下、ファイングリッドという）を生成する（ステップＳ２０２）。なお、ファイングリッドは、従来の代数マルチグリッド法と同様の方法により代数的に生成する。
【００３９】
ＣＰＵ１１は、生成したファイングリッドに対して有限要素法を用いて解を求める。ＣＰＵ１１が解くべきマトリクス方程式は（数１）のようになる。（数１）において、Ｋ１は、辺要素で離散化されたファイングリッドにおけるシステム行列を、Ａは、辺要素で離散化されたファイングリッドにおける解ベクトルを、ｆは、辺要素で離散化されたファイングリッドにおける外力ベクトルを、それぞれ示している。
【００４０】
【数１】
2007213169.tif 000003
【００４１】
ＣＰＵ１１は、最上層に構成されたファイングリッドの節点に関する幾何学的情報に基づいて作成された、節点の重要度に関する情報、例えば所定の節点ｉ（ｉは任意の整数）との接続強さを示す接続情報を有する補助行列Ｋ２を受け付け（ステップＳ２０３）、重要度が所定値より大きい節点を、下位階層のメッシュの粗いグリッド（以下コースグリッドという）生成時の節点として選択する（ステップＳ２０４）。
【００４２】
ＣＰＵ１１は、選択された節点を辺で結ぶことにより、コースグリッドを生成する（ステップＳ２０５）。ＣＰＵ１１は、グリッドの生成が完了したか否かを判断し（ステップＳ２０６）、ＣＰＵ１１が、グリッドの生成が完了していないと判断した場合（ステップＳ２０６：ＮＯ）、ＣＰＵ１１は、処理をステップＳ２０３へ戻し、生成したコースグリッドについて、節点の重要度に関する情報を再度受け付け、上述した処理を繰り返す。
【００４３】
すなわち、生成されたコースグリッドの節点に関する幾何学的情報に基いて作成された節点の重要度に関する情報、例えば所定の節点ｉ（ｉは任意の整数）との接続強さを示す接続情報を有する補助行列Ｋ２を、再度受け付け、重要度が所定値より大きい節点を、さらに粗いメッシュを有するコースグリッド生成時の節点として再選択する。ＣＰＵ１１は、選択された節点を用いて新たなコースグリッドを生成して、グリッドの生成が完了したか否かを判断する（ステップＳ２０６）。
【００４４】
ＣＰＵ１１が、グリッドの生成が完了したと判断した場合（ステップＳ２０６：ＹＥＳ）、ＣＰＵ１１は、コースグリッドの生成処理を終了して、生成されたグリッド階層間のオペレータＰを生成する（ステップＳ２０７）。代数マルチグリッド法では、オペレータＰを特定してコースグリッドを生成しているのに対し、本実施の形態に係る有限要素解析装置では、幾何マルチグリッド法と同様に、先に各階層のコースグリッドを生成しておき、各階層間のオペレータＰを生成することにより解の収束性を担保している。ＣＰＵ１１は、生成されたオペレータＰを用いて（数１）を解くことにより、解ベクトルＡを算出する（ステップＳ２０８）。
【００４５】
グリッドの生成が完了したか否かを判断する方法は特に限定されるものではなく、例えばコースグリッド生成の階層数を事前に設定しておき、コースグリッドを生成する都度、階層数を１インクリメントし、階層数が事前に設定された階層数を超えた場合にグリッド生成が完了したと判断すれば良い。もちろん、事前に設定した階層数から順次１デクリメントして、階層数が０（ゼロ）になったか否かで判断しても良い。
【００４６】
また、生成されたグリッドの総数の限度数を事前に設定しておき、コースグリッドを生成する都度、グリッド数を加算し、グリッド数の総数が事前に設定された限度数を超えた場合にグリッド生成が完了したと判断すれば良い。もちろん、事前に設定した限度数から新たに生成されたグリッド数を順次減算して、限度数が０（ゼロ）になったか否かで判断しても良い。
【００４７】
ＣＰＵ１１による節点の選択処理は、具体的には以下の手順となる。節点ｉに隣接する節点の集合Ｎｉを（数２）に示すように定義する。（数２）において、ωh はファイングリッドにおける全ての節点の集合を、 kijは補助行列Ｋ２の係数を示している。
【００４８】
【数２】
2007213169.tif 000004
【００４９】
（数２）では、節点ｉに隣接する節点ｊは、補助行列Ｋ２の係数kijが０でない場合には接続関係にあることを意味している。ＣＰＵ１１は、節点の重要度を示す接続関係が所定値以上である節点、すなわち補助行列Ｋ２の係数kijが乗算平均値に係数値θを乗じた値以上である節点を、コースグリッド生成時に用いる節点として選択する。選択される節点の集合Ｓｉは（数３）のように定義される。
【００５０】
【数３】
2007213169.tif 000005
【００５１】
係数値θは、正方行列の対角項の広がりを示す係数であり、θが０（ゼロ）である場合には対角項そのもの、すなわち節点ｉに隣接する全ての他の節点が選択されることを意味している。選択された節点ｉは、下位階層のグリッドに射影された場合に誤差が集中する節点となる。
【００５２】
また、オペレータＰは、以下の手順で生成する。本実施の形態では、未知数は辺に割り振られており、オペレータＰはファイングリッドの辺とコースグリッドの辺に割り振られている未知数との関係を示すマトリクスとなる。ファイングリッドの辺の数をＩ、コースグリッドの辺の数をＬとした場合、オペレータＰのサイズはＩ×Ｌとなる。
【００５３】
図３は、コースグリッドの辺が、ファイングリッドの複数の要素を跨いで生成されている場合の例示図である。例えばコースグリッドの辺Ｅが、ファイングリッドの３要素を横切っている場合、辺Ｅはファイングリッドの要素辺により３つの線分Ｅ１、Ｅ２、Ｅ３に分割される。辺Ｅに関するオペレータＰE の生成時には、線分Ｅ１、Ｅ２、Ｅ３ごとにオペレータＰE1、ＰE2、ＰE3を生成し、これらのオペレータを合算したオペレータＰE（＝ＰE1＋ＰE2＋ＰE3）を算出することになる。
【００５４】
具体的には、線分Ｅ１、Ｅ２、Ｅ３ごとの辺ベクトルをｌ1 、ｌ2 、ｌ3 とし、線分Ｅ１、Ｅ２、Ｅ３が含まれるファイングリッドを構成する辺のベクトル形状関数をＮ1 、Ｎ2 、Ｎ3 とする。線分Ｅｋ（ｋ＝１、２、３）に関するオペレータＰEkは、（数４）に示すように算出する。
【００５５】
【数４】
2007213169.tif 000006
【００５６】
（数４）において、記号「・」はベクトルの内積を示しており、ＮＤは線分Ｅｋが含まれるファイングリッドの辺の数である。また、ｅm （ｍは自然数）は、それぞれのグリッドに含まれる辺を示している。すなわち、グリッドの各辺とグリッドを横切る辺との対応関係を算出していることになる。算出した線分ごとのオペレータＰEkを線形加算することにより（数５）、辺Ｅに関するオペレータＰE を生成することができる。なお（数５）において、Ｎｅは、辺Ｅのファイングリッドの要素辺による分割数そ示している。
【００５７】
【数５】
2007213169.tif 000007
【００５８】
したがって、純粋に代数マルチグリッド法を用いてグリッド生成する場合と比べて、幾何マルチグリッド法を用いた場合と同様に解の収束性が高いグリッドを準備することができ、該グリッドに対するオペレータを用いてマルチグリッド法を適用することにより、安定的に解を収束させることが可能となる。
【００５９】
図４は、上述したコースグリッド生成処理を模式的に示す図である。図４（ａ）に示すように、集合Ｉ１、Ｉ２、・・・が複数存在するファイングリッドにおいて、集合Ｉ１を代表する節点Ｐ１を中心として、ファイングリッドの辺要素により隣接している節点Ｑ１、Ｑ２、・・・、Ｑ６が存在している。
【００６０】
コースグリッドで用いる節点を選択する場合、図４（ｂ）に示すように、節点Ｐ１と辺要素により隣接している節点Ｑ１、Ｑ２、・・・、Ｑ６は、コースグリッドを構成する節点から除外する。そして、補助行列に含まれている幾何学的情報、すなわち誤差が集中しやすいと判断される節点をサーチする。図４（ｃ）に示すように節点Ｐ２が選択された場合、節点Ｐ２を中心として、上述した処理と同様の処理を繰り返すことで、例えば図４（ｄ）のようにコースグリッドを形成する節点Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３、・・・が選択される。
【００６１】
このように、コースグリッド生成時には、選択された節点に隣接しており、該節点を一端として辺をなす他端の節点は、コースグリッドで用いる節点から除外する。このようにすることで、節点間の結びつきが強く、誤差が集中して射影される節点を選択してメッシュの粗いコースグリッドを生成することができ、誤差の空間的高周波成分を速やかに収束させることにより安定的な解の収束性を担保することが可能となる。
【００６２】
以上のように本実施の形態によれば、下位階層でのコースグリッドを生成する場合に、幾何マルチグリッド法で用いる幾何学的情報に基づいて誤差が集中しやすいと判断される節点、すなわち重要度が高い節点を選択し、選択された節点を結んだ、ファイングリッドとは形態の相違するコースグリッドを生成することができる。したがって、誤差の空間的高周波成分を速やかに収束させることができ、代数マルチグリッド法におけるグリッド生成の簡便さを残しつつ、幾何マルチグリッド法における解の安定的な収束性を維持することが可能となる。
【図面の簡単な説明】
【００６３】
【図１】本発明の実施の形態に係るグリッド生成方法を適用した有限要素解析装置の構成を示すブロック図である。
【図２】本発明の実施の形態に係る有限要素解析装置のＣＰＵの処理手順を示すフローチャートである。
【図３】コースグリッドの辺が、ファイングリッドの複数の要素を跨いで生成されている場合の例示図である。
【図４】コースグリッド生成処理を模式的に示す図である。
【符号の説明】
【００６４】
１  有限要素解析装置
１１  ＣＰＵ
１２  記憶手段
１３  ＲＯＭ
１４  ＲＡＭ
１５  通信手段
１６  入力手段
１７  出力手段
１８  補助記憶手段
【図１】
2007213169.tif 000008
【図２】
2007213169.tif 000009
【図３】
2007213169.tif 000010
【図４】
2007213169.tif 000011