(57)【要約】【課題】  区間数が複素平面上の円領域で表される複素区間多項式が、境界が有理関数で記述される領域Ｄにおいて、零点を有するか否かを判定する。【解決手段】  代表多項式選択手段が、複素区間多項式に属する多項式を１つ選択する代表多項式選択ステップと、代表多項式零点判定手段が、代表多項式が点座標によって指定される複素領域に零点を有するか否かを判定する代表多項式零点判定ステップと、条件式判定手段が、代表多項式が複素領域に零点を有すると判定されなかった場合に、区分境界線ごとに、それぞれの区分境界線上において、区間数の半径を係数とする多項式の各項の変数に区分境界線上の点を代入した各項の大きさの和が、区間数の中心点を係数とする多項式の変数に区分境界線上の点を代入したものの大きさ以上となる不等式を満たす区分境界線上の点が存在するか否かを判定する条件式判定ステップとを有する。【選択図】  図５
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
複素区間多項式の零点の位置を判定する方法であって、
記憶手段には、区間数が複素平面上の円領域で表される複素区間多項式と、有理関数で表される有限個の区分境界線から構成される複素領域の境界線と、複素領域を指定する点座標とが記憶され、
代表多項式選択手段が、記憶手段に記憶される複素区間多項式に属する多項式を１つ選択する代表多項式選択ステップと、
代表多項式零点判定手段が、代表多項式選択ステップにおいて選択された代表多項式が、記憶手段に記憶された点座標によって指定される複素領域に零点を有するか否かを判定する代表多項式零点判定ステップと、
条件式判定手段が、代表多項式零点判定ステップにおいて、代表多項式が複素領域に零点を有すると判定されなかった場合に、区分境界線ごとに、それぞれの区分境界線上において、区間数の半径を係数とする多項式の各項の変数に区分境界線上の点を代入した各項の大きさの和が、区間数の中心点を係数とする多項式の変数に区分境界線上の点を代入したものの大きさ以上となる第１の不等式を満たす区分境界線上の点が存在するか否かを判定する条件式判定ステップと
を有することを特徴とする複素区間多項式の零点の位置判定方法。
【請求項２】
上記代表多項式零点判定ステップは、
代表多項式零点判定手段が、
まず、代表多項式選択ステップにおいて選択された代表多項式が、記憶手段に記憶された点座標によって指定される複素領域の境界線上に零点を有するか否かを判定し、次に、当該境界線上に零点を有しないと判定された場合に、代表多項式選択ステップにおいて選択された代表多項式が、当該複素領域の内部に零点を有するか否かを判定するものである
ことを特徴とする請求項１に記載の複素区間多項式の零点の位置判定方法。
【請求項３】
上記条件式判定ステップは、
条件式判定手段が、代表多項式零点判定ステップにおいて、代表多項式が複素領域に零点を有すると判定されなかった場合に、区分境界線ごとに、それぞれの区分境界線上において、第１の不等式が根号を含まない有理式によって表現された第２の不等式を満たす区分境界線上の点が存在するか否かを判定するものであることを特徴とする請求項１または請求項２に記載の複素区間多項式の零点の位置判定方法。
【請求項４】
次数判定手段が、上記複素領域が非有界の場合に、複素区間多項式に属する多項式の次数が一定であるか否かを判定する次数判定ステップをも有する
ことを特徴とする請求項１から請求項３のいずれかに記載の複素区間多項式の零点の位置判定方法。
【請求項５】
コンピュータに請求項１から請求項４のいずれかに記載の複素区間多項式の零点の位置判定方法を実行させるための、複素区間多項式の零点の位置判定プログラム。
【請求項６】
請求項５に記載の、複素区間多項式の零点の位置判定プログラムを記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、複素区間多項式の零点の位置判定方法、位置判定プログラムおよび記録媒体に関する。より詳細には、一変数複素区間多項式の零点の位置判定方法、位置判定プログラムおよび記録媒体に関する。
【背景技術】
【０００２】
係数が確定していない（例えば、係数に誤差がある場合などである。）多項式を表す手法として、区間多項式がある。区間多項式Ｆ（ｘ）とは、数の集合である区間数Ａｊ（０≦ｊ≦ｄ）を各項の係数として式（１）のように表記されるものである。つまり、区間多項式Ｆ（ｘ）は、係数がａｊ∈Ａｊである多項式ｆ（ｘ）〔式（２）参照。〕全体の集合を表す。なお、この明細書における区間多項式は、特に断りのない限り、一変数区間多項式であるとする。
【数１】
2007034990.tif 000003
【０００３】
区間数を実数の範囲で考える場合は、区間数として閉区間［ａ，ｂ］（ａ≦ｃ≦ｂを満す実数ｃの集合）を用いる。区間数を複素数の範囲で考える場合は、区間数として、円領域のもの（中心と半径を指定する。）、あるいは、長方形の領域のもの（実部および虚部それぞれの上限および下限を指定する。）を用いる。
【０００４】
円領域の区間数で表された一変数複素区間多項式について、それに属する多項式であって、指定した一つの複素数を零点とするものが存在するか否かの判定法については既に知られている（例えば、非特許文献１参照。）。
【０００５】
また、区間数を長方形の領域とした複素区間多項式に対し、「当該複素区間多項式に属する全ての零点が複素左半平面（実部が負である領域）に存在する」という命題が成立するか否かの判定については、Kharitonovの定理によって判定可能である（例えば、非特許文献２参照。）。
【０００６】
また、区間数が実数の区間多項式について、当該区間多項式に属する全ての多項式の全ての零点が、与えられた複素領域（但し、適当な条件を満すものに限られる。）に属するか否かについては、エッジ定理により判定可能である（例えば、非特許文献３参照。）。
【非特許文献１】H.J.Stetter,"The nearest polynomial with a given zero, and similar problems", ACM SIGSAM Bulletin, Vo1.33, No.4, pp.2-4, 1999.
【非特許文献２】山本哲朗、「区間多項式のロバスト安定性に関するKharitonovの定理をめぐって」、電子情報通信学会誌、Ｖｏ１．８１、Ｎｏ．２、ｐｐ．１７４−１８２、１９９８.
【非特許文献３】A.C.Bartlett, C.V.Hollot and L.Huang,"Root location of an entire po1ytope of polynomials: it suffices to check the edges", Mathematics of Controls, Signals and Systems, Vol.1, pp.61-71, 1988.
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００７】
区間多項式の応用においては、有限個の点が零点となりうるか否かを判定するだけでは不十分であり、ある領域（領域の境界を含む。）に零点が存在するか否かを判定することが求められる場合が多い。また、その領域の形状に対する制約条件も緩和できることが望ましい。さらには、複素区間多項式に対しても適用可能であることが望ましい。
【０００８】
そこで、本発明は、複素係数を円領域の区間数として表す複素区間多項式Ｆ（ｘ）が、境界が有理関数で記述されているような領域Ｄにおいて、零点を有するか否かを判定する複素区間多項式の零点の位置判定方法、位置判定プログラムおよび記録媒体を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００９】
上記課題を解決するために、本発明では、記憶手段には、区間数が複素平面上の円領域で表される複素区間多項式と、有理関数で表される有限個の区分境界線から構成される複素領域の境界線と、複素領域を指定する点座標とが記憶されるとし、代表多項式選択手段が、記憶手段に記憶される複素区間多項式に属する多項式を１つ選択する代表多項式選択ステップと、代表多項式零点判定手段が、代表多項式選択ステップにおいて選択された代表多項式が、記憶手段に記憶された点座標によって指定される複素領域に零点を有するか否かを判定する代表多項式零点判定ステップと、条件式判定手段が、代表多項式零点判定ステップにおいて、代表多項式が複素領域に零点を有すると判定されなかった場合に、区分境界線ごとに、それぞれの区分境界線上において、区間数の半径を係数とする多項式の各項の変数に区分境界線上の点を代入した各項の大きさの和が、区間数の中心点を係数とする多項式の変数に区分境界線上の点を代入したものの大きさ以上となる第１の不等式を満たす区分境界線上の点が存在するか否かを判定する条件式判定ステップとを有する複素区間多項式の零点の位置判定方法とする。
【００１０】
また、本発明においては、代表多項式零点判定ステップは、代表多項式零点判定手段が、まず、代表多項式選択ステップにおいて選択された代表多項式が、記憶手段に記憶された点座標によって指定される複素領域の境界線上に零点を有するか否かを判定し、次に、当該境界線上に零点を有しないと判定された場合に、代表多項式選択ステップにおいて選択された代表多項式が、当該複素領域の内部に零点を有するか否かを判定するものであるとしてもよい。
【００１１】
さらに、本発明においては、条件式判定ステップは、条件式判定手段が、代表多項式零点判定ステップにおいて、代表多項式が複素領域に零点を有すると判定されなかった場合に、区分境界線ごとに、それぞれの区分境界線上において、第１の不等式が根号を含まない有理式によって表現された第２の不等式を満たす区分境界線上の点が存在するか否かを判定するものであるとしてもよい。
【００１２】
また、次数判定手段が、上記複素領域が非有界の場合に、複素区間多項式に属する多項式の次数が一定であるか否かを判定する次数判定ステップをも有するとしてもよい。
【００１３】
また、本発明の複素区間多項式の零点の位置判定方法をコンピュータによって機能させる複素区間多項式の零点の位置判定プログラムによって、コンピュータを零点位置判定装置として作動処理させることができる。
【発明の効果】
【００１４】
本発明によれば、複素区間多項式に属する一つの多項式（代表多項式）について、与えられた複素領域における零点の存在の有無を確認し、零点が当該複素領域内に一つも存在しない場合は、複素区間多項式が当該複素領域の境界上に零点を有するか否かのみを判定することによって、複素係数を円領域の区間数として表す複素区間多項式Ｆ（ｘ）が、境界が有理関数で記述されているような領域において、零点を有するか否かの判定を可能にする。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１５】
[理論]
本発明の実施形態の説明に先立ち、本発明の理論について説明する。
はじめに、この明細書における記号および用語の説明をする。
複素数ｃおよび非負の実数ｒに対し、区間数｛ｃ；ｒ｝を、｜ｘ−ｃ｜≦ｒを満たす複素数ｘ全体の集合とする。即ち、区間数は複素平面上の円領域として表現される。このとき、複素区間多項式Ｆ（ｘ）は、上記区間数｛ｃ；ｒ｝を各項の係数として式（３）のように表記されるものであり、各ｊ（０≦ｊ≦ｄ、但しｊは整数。）に対して係数がａｊ∈｛ｃｊ；ｒｊ｝である多項式ｆ（ｘ）〔式（４）参照〕の全体の集合を表す。但し、ｃｊの実部と虚部、および、ｒｊは代数的数（整数係数一次代数方程式の根となる数）とし、例えば有理数である。また、ｅｊ（ｘ）は多項式とする。
【数２】
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【００１６】
以下では、説明の便宜から、ｅｊ（ｘ）＝ｘｊの場合を例示して説明する。また、代数的数として有理数を例にとって説明する。
【００１７】
有界な複素領域Ｄ（以下、単に「領域Ｄ」という。）の境界Ｃは、長さが有限な単純閉曲線（Jordan閉曲線）であって、境界Ｃは、１つ以上の有限個の区分境界Ｃｐの和集合として表現される。即ち、Ｃ＝Ｃ１∪Ｃ２∪・・・∪Ｃｎ（ｎは１以上の整数とする。）である。但し、各区分境界Ｃｐは、パラメータｓによってφｐ（ｓ）＋ｉ・ψｐ（ｓ）と表示されるとする〔ｐ＝１，２，・・・，ｎ〕。ｉは、虚数単位を表す。ここで、φｐ（ｓ）、ψｐ（ｓ）は有理数係数の有理式であるとし、ｓの動く範囲Ｓｐは、［ａ，ｂ］、（−∞，ｂ］、［ａ，∞）、（−∞，∞）のいずれかであるとする。[・，・]は閉区間、（・，・］は左開右閉区間、［・，・）は左閉右開区間、（・，・）は開区間を表す。また、パラメータｓと区分境界Ｃｐとの間は単射であるとする。即ち、式（５）で表される関係があるとする。
【数３】
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【００１８】
領域Ｄが有界ではないとき、即ち、０を中心とするどんなに半径が大きい円をとってもその内部に領域Ｄ全部が含まれないときは、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式ｆ（ｘ）の次数が一定であるとする。この点については、《補遺》において説明を加える。
【００１９】
次に、本発明における複素区間多項式の零点の位置判定のアルゴリズムを説明する。なお、予め説明しておくと、本発明における「複素区間多項式の零点の位置判定」とは、複素区間多項式の零点の位置（座標）を特定することではなく、所定の領域に複素区間多項式の零点が存在するか否かに係わる判定のことである。換言すれば、複素区間多項式の零点が所定の領域に存在するか否かの意味において、複素区間多項式の零点の位置判定をすることになる。
【００２０】
＜ステップ１＞
まず、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式を一つ選択する。これを代表多項式と呼びｆ（ｘ）で表す。
【００２１】
＜ステップ２＞
領域Ｄ内に代表多項式ｆ（ｘ）の零点が存在するか否かを判定する。この判定は、公知の手法によって達成される。
まず、領域Ｄの境界Ｃ上において零点が存在するか否かの判定を行う。例えば、領域Ｄの境界Ｃの表示φ（ｓ）＋ｉ・ψ（ｓ）を代表多項式ｆ（ｘ）に代入した後、Sturmの定理に基づくアルゴリズムに従って零点の有無を判定する。
【００２２】
Strumの定理に基づくアルゴリズムの適用について説明する。
領域Ｄの境界Ｃの表示φ（ｓ）＋ｉ・ψ（ｓ）が代入された代表多項式ｆ（φ（ｓ）＋ｉ・ψ（ｓ））は、有理数係数有理式α（ｓ）およびβ（ｓ）によってｆ（φ（ｓ）＋ｉ・ψ（ｓ））＝α（ｓ）＋ｉ・β（ｓ）と表示できる。ここで「代表多項式ｆ（ｘ）が、φ（ｓ）＋ｉ・ψ（ｓ）において０となる」ことと、「α（ｓ）およびβ（ｓ）がｓ＝ｓ０で同時に０となる」ことは同値である。また、「α（ｓ）およびβ（ｓ）がｓ＝ｓ０で同時に０となる」ことと、「α（ｓ）およびβ（ｓ）のＧＣＤ（最大公約多項式）がｓ０において０になる」ことは同値である。従って、有理数係数有理式であるα（ｓ）およびβ（ｓ）のＧＣＤに対し、Strumの定理に基づくアルゴリズムを適用する。説明の便宜からα（ｓ）およびβ（ｓ）のＧＣＤをＨ（ｓ）とする。このＨ（ｓ）について、多項式の列Ｈ０（ｓ）、Ｈ１（ｓ）、Ｈ２（ｓ）、・・・、Ｈｒ（ｓ）を生成する。但し、これらの多項式の列は、次の規則に従って生成する。Ｈ０（ｓ）＝Ｈ（ｓ）、Ｈ１（ｓ）＝ｄＨ（ｓ）／ｄｓ〔ｓに関する１階微分である。ライプニッツ記法〕、Ｈｋ−１（ｓ）をＨｋ（ｓ）で割った剰余多項式を（符号を変えて）−Ｈｋ＋１（ｓ）とする。つまり、商の多項式をＱｋ（ｓ）と表すと、Ｈｋ−１（ｓ）＝Ｈｋ（ｓ）Ｑｋ（ｓ）−Ｈｋ＋１（ｓ）の関係が成立する。また、Ｈｒ−１（ｓ）は、Ｈｒ（ｓ）で割り切れる。つまり、商の多項式をＱｒ（ｓ）と表すと、Ｈｒ−１（ｓ）＝Ｈｒ（ｓ）Ｑｒ（ｓ）の関係が成立する。このとき、Ｓ＝[ａ，ｂ]において、Ｈ０（ａ）、Ｈ１（ａ）、Ｈ２（ａ）、・・・、Ｈｒ（ａ）における正負の符号変化の回数をｗ（ａ）、Ｈ０（ｂ）、Ｈ１（ｂ）、Ｈ２（ｂ）、・・・、Ｈｒ（ｂ）における正負の符号変化の回数をｗ（ｂ）で表すとすると、区間Ｓ＝[ａ，ｂ]におけるＨ（ｓ）の零点の個数は、ｗ（ａ）−ｗ（ｂ）である。なお、ここでは、区間Ｓ＝[ａ，ｂ]のａ、ｂは共にＨ（ｓ）の零点ではないとする（零点であれば、個数を表す式が少し変わるが、本発明においては本質的な部分ではないので略する。）。ｗ（ａ）−ｗ（ｂ）＝０であれば零点が存在しないことが判明し、ｗ（ａ）−ｗ（ｂ）≠０であれば零点が存在することが判明する。
【００２３】
なお、Sturmの定理については、参考文献１を参照のこと。
（参考文献１）  高木貞治、代数学講義（改訂新版）、共立出版、１９６５．
【００２４】
もし、この段階で零点の存在が確認されれば、複素区間多項式Ｆ（ｘ）は領域Ｄにおいて零点を有するといえるので、零点位置判定処理を終了してよい。
【００２５】
もし、この段階で零点が存在しなければ、領域Ｄの内部において零点が存在するか否かの判定を行う。この判定には偏角の原理を用いることで達成される。なお、偏角の原理に基づく判定においては、領域Ｄの境界Ｃ上に代表多項式ｆ（ｘ）の零点がないことが前提となるから、まず、境界Ｃ上での零点の有無を判定しておく。
【００２６】
偏角の原理に基づくアルゴリズムの適用について説明する。
区分境界Ｃｐの表示φｐ（ｓ）＋ｉ・ψｐ（ｓ）を代表多項式ｆ（ｘ）に代入する。このとき、ｆ（ｘ）＝ｆ（φｐ（ｓ）＋ｉ・ψｐ（ｓ））＝ｕ（φｐ（ｓ），ψｐ（ｓ））＋ｉ・ｖ（φｐ（ｓ），ψｐ（ｓ））と表される。そこで、実部ｕ（φ（ｓ），ψ（ｓ））と虚部ｖ（φ（ｓ），ψ（ｓ））それぞれの実根を、ｓ∈Ｓにおいて求める。同様にして全ての区分境界について根を求め、これらの根を現れる順に並べたリストＳ１を作る。また、境界Ｃに囲まれた領域における根の計数用のリストＳ２を用意する（初期状態では、リストＳ２は空である。）。リストＳ１の先頭から順次に根を読み出すこととし、まず、先頭要素（根）Ａを取り出し、リストＳ２が空のリストであればそれをＳ２に書き込む。リストＳ２が空でないときは先頭要素（根）ＡとリストＳ２の先頭の要素（根）がともに実部の解であるかともに虚部の解であるかを判定し、この判定が真であればリストＳ２から先頭の要素（根）を取り除く。当該判定が偽であるときは先頭要素（根）ＡをリストＳ２の先頭に書き足す。この処理操作をリストＳ１の先頭から順次に根を読み出すことで行う。この結果、リストＳ２における要素（根）の個数の１／４が境界Ｃの内部に含まれる代表多項式ｆ（ｘ）の根の数になる。この数が０であれば、代表多項式ｆ（ｘ）の零点が領域Ｄ内部に存在しないことが判明し、この数が０でなければ、代表多項式ｆ（ｘ）の零点が領域Ｄ内部に存在することが判明する。
【００２７】
なお、偏角の原理については、参考文献２を参照のこと。
（参考文献２）  平野照比古、「偏角の原理を用いた多項式の根の数え上げ」、数式処理、Vol.9, No.4, pp.34-35, 2003.
【００２８】
もし、この段階で零点の存在が確認されれば、複素区間多項式Ｆ（ｘ）は領域Ｄにおいて零点を有するといえるので、零点位置判定処理を終了してよい。
ステップ２において、代表多項式ｆ（ｘ）が領域Ｄの内部および境界Ｃ上において零点を有しないことが判明した場合、続いてステップ３の処理を行う。ステップ３以降の処理では、領域Ｄの境界Ｃ上において零点が存在するか否かを判定することに留意する。この点については、《補遺》で説明する。
【００２９】
＜ステップ３＞
領域Ｄの境界Ｃにおける区分境界を１つ選択する。つまり、境界Ｃを構成する区分境界Ｃ１，Ｃ２，・・・，Ｃｎから１つ選択する。
【００３０】
＜ステップ４＞
後記《ステップ４の詳細》において説明する不等式が成立するか否かを判定する。不等式が成立する場合には、複素区間多項式Ｆ（ｘ）は領域Ｄにおいて零点を有するといえるので、零点位置判定処理を終了してよい。不等式が成立しない場合には、ステップ５の処理を行う。
【００３１】
＜ステップ５＞
未選択の区分境界が存在する場合には、その未選択の区分境界から１つの区分境界を選択し、ステップ４における不等式が成立するか否かの判定を行う。
未選択の区分境界が存在しない場合には、複素区間多項式Ｆ（ｘ）は領域Ｄにおいて零点を有しないことになり、零点位置判定処理を終了する。
【００３２】
《補遺》
ステップ２において、代表多項式ｆ（ｘ）が領域Ｄの内部および境界Ｃ上に零点を有しないと判明した場合、ステップ３以降の処理では、境界Ｃ上に零点が存在するか否かを判定すれば十分である。このことは、次の理由による。
【００３３】
ここでの説明においては、ｆ（ｘ）を、上記の代表多項式ではなく、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する（任意の）多項式を表すものとする。
複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する２つの（任意の）多項式ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）について、ｆ（ｘ）＋ｔ（ｇ（ｘ）−ｆ（ｘ））（０≦ｔ≦１）は、常に複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する。なぜならば、区間数が複素平面上の円領域（凸領域）で与えられるからである。
【００３４】
（１）まず、領域Ｄが有界の場合について説明する。
複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式ｆ（ｘ）が、領域Ｄの内部（有限長の単純閉曲線である境界Ｃで閉じた有界領域である。）に零点を持たないと仮定する。この場合、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式ｇ（ｘ）で、領域Ｄの内部に零点を持つものが存在するならば、あるｔ（０≦ｔ≦１）が存在して、ｆ（ｘ）＋ｔ（ｇ（ｘ）−ｆ（ｘ））の零点が領域Ｄの境界Ｃ上に存在する。なぜならば、いかなるｔ（０≦ｔ≦１）に対してもｆ（ｘ）＋ｔ（ｇ（ｘ）−ｆ（ｘ））の零点が境界Ｃ上に存在しないと仮定すると、Roucheの定理から、境界Ｃの内部（つまり、領域Ｄの内部に一致する。）に存在する多項式ｆ（ｘ）の零点の数（０個）と、多項式ｇ（ｘ）の零点の数（１個以上）とが等しいこととなり矛盾してしまうからである。
【００３５】
なお、Roucheの定理については参考文献３などを参照のこと。
（参考文献３）  吉田洋一、函数論（第２版）、岩波書店、１９６５．
【００３６】
（２）次に、領域Ｄが非有界の場合について説明する。
（２-１）  境界Ｃが単純閉曲線の場合。
複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式ｆ（ｘ）が、領域Ｄの内部（有限長の単純閉曲線である境界Ｃで閉じた有界領域の外側領域である。）に零点を持たないと仮定する。この場合、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式ｇ（ｘ）で、領域Ｄの内部に零点を持つものが存在するならば、「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式の次数が一定である」という仮定の下、上記（１）で説明したことと同じ結論が成り立つ。領域Ｄの境界Ｃの長さが有限であるから、領域Ｄの外部（つまり、有限長の単純閉曲線である境界Ｃで閉じた有界領域である。）は有界なので、いかなるｔ（０≦ｔ≦１）に対してもｆ（ｘ）＋ｔ（ｇ（ｘ）−ｆ（ｘ））の零点が境界Ｃ上に存在しないと仮定すると、（１）と同様の議論が成り立ち、領域Ｄの外部に存在する多項式ｆ（ｘ）の零点の数と多項式ｇ（ｘ）の零点の数とが等しいと云える（Roucheの定理）。ここで、「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式の次数が一定」という条件を導入すると、重複度まで込めて数えれば複素平面全体での零点の数が同じになるので、領域Ｄの内部に存在する多項式ｆ（ｘ）の零点の数（０個）と多項式ｇ（ｘ）の零点の数（１個以上）とが等しいこととなり矛盾となる。従って、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式ｇ（ｘ）で、領域Ｄの内部に零点を持つものが存在するならば、「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式の次数が一定である」という仮定の下、あるｔ（０≦ｔ≦１）が存在して、ｆ（ｘ）＋ｔ（ｇ（ｘ）−ｆ（ｘ））の零点が領域Ｄの境界Ｃ上に存在する。
【００３７】
（２-２）  境界Ｃが閉曲線でない場合。
上記において、「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式の次数が一定」という条件を設けたが、この場合、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式の零点の存在範囲は有界となる。具体的には、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式がすべてｄ次であったとして、ｘｄの係数の絶対値の最小値をｍとし（仮定からｍは正である。）、ｘｊ（０≦ｊ＜ｄ）の係数の絶対値の最大値をＭとすると、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する任意の多項式の全ての零点は、原点中心の半径１＋Ｍ／ｍの円内に存在する（参考文献１参照。より具体的には、複素係数ａｎ−１，ａｎ−２，・・・，ａ０の方程式ｘｎ＋ａｎ−１ｘｎ−１＋・・・＋ａ０＝０の全ての根は、その絶対値が、方程式、ｒｎ−｜ａｎ−１｜ｒｎ−１−｜ａｎ−２｜ｒｎ−２−・・・−｜ａ０｜＝０の唯一の正根ｒ０を超えない、という根の限界に関する定理から導出される。）。従って、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式の次数が一定の場合、例えば領域Ｄが左半平面（実部が０以下である複素数）とすると境界Ｃは複素平面の虚軸であって閉じていない（Jordan閉曲線ではない。）が、非有界領域Ｄの代わりに、非有界領域Ｄと原点中心の半径１＋Ｍ／ｍの円との共通部分を考えればよく、この領域は有界となるから、上記（１）の場合に帰着する。なお、この場合は、元の領域Ｄ（左半平面）の境界Ｃは、Ｃ＝Ｃ１∪Ｃ２∪・・・∪Ｃｎ（ｎは１以上の整数とする。）であり、且つ、両端の区分境界Ｃ１およびＣｎのみが長さ有限ではないことになる。
【００３８】
なお、閉曲線でない境界Ｃによる非有界領域Ｄと原点中心の半径１＋Ｍ／ｍの円との共通部分が存在しない場合は、当該領域Ｄにおいて零点は存在しないから、この場合は、予め共通部分の有無を判定することで領域Ｄに零点が存在するか否かを判定できることに留意しなければならない。
【００３９】
結局、ここでの説明における多項式ｆ（ｘ）を上記ステップ１で選択した代表多項式ｆ（ｘ）と同視すれば、上記ステップ２において、代表多項式ｆ（ｘ）が領域Ｄの内部および境界Ｃ上において零点を有しないことが判明した場合、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する或る多項式の零点は、必ず領域Ｄの境界Ｃ上に存在すると云える。従って、上記ステップ３以降の処理では、領域Ｄの境界Ｃ上において零点が存在するか否かを判定すればよいことになる。逆に云えば、この場合、領域Ｄの境界Ｃ上において零点が存在しないならば、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属するいかなる多項式も、領域Ｄに零点を有しないことが判明するのである。
【００４０】
《ステップ４の詳細》
以下に、上記ステップ４における不等式の判定について詳しく述べる。
「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する或る多項式ｆ（ｘ）について、ｆ（ｃ）＝０となる〔ｃは零点である。〕」ことと、「不等式（６）がｘ＝ｃで成立する」ことは同値である（非特許文献１参照。）。但し、不等式（６）のｆ０（ｘ）は、式（７）で与えられる。
【数４】
2007034990.tif 000006
【００４１】
従って、「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する或る多項式ｆ（ｘ）の零点が領域Ｄの境界Ｃ上に存在する」ことと、「不等式（６）を満たす点が領域Ｄの境界Ｃ上に存在する」ことは同値となる。
【００４２】
不等式（６）に領域Ｄの境界Ｃの区分境界Ｃｐの表示φｐ（ｓ）＋ｉ・ψｐ（ｓ）（ｓ∈Ｓ）を代入すると、不等式（８）で表される。なお、右辺については、オイラーの公式を適用した（｜ｘｊ｜＝｜ｘ｜ｊ）。
【数５】
2007034990.tif 000007
【００４３】
不等式（８）は、両辺ともに０以上なので、両辺を平方した不等式（９）と同値である。
【数６】
2007034990.tif 000008
【００４４】
不等式（９）の左辺は、式（１０）に等しい。
【数７】
2007034990.tif 000009
【００４５】
式（１０）を展開すると、有理数係数の変数ｓに関する有理式となるので、式（１０）をｋ（ｓ）と表すことにする。ただし、複素数ｃに対し、ｃ−（記号−は、ｃの上に−を付すことを表す。）はｃの複素共役（虚部の符号を変えた数）を表す。
【００４６】
不等式（９）の右辺は、式（１１）に等しい。
【数８】
2007034990.tif 000010
【００４７】
ここで、ｈ１（ｓ）、ｈ２（ｓ）は有理数係数の変数ｓに関する有理式として表される。従って、不等式（９）は不等式（１２）と同値である。
【数９】
2007034990.tif 000011
【００４８】
ｈ２（ｓ）は、整数ｒｊおよびφｐ（ｓ）＋ｉ・ψｐ（ｓ）の絶対値の偶数冪乗の和算・乗算から構成されるから０≦ｈ２（ｓ）となる。従って、不等式（１２）の右辺は常に０以上であることに留意する。
【００４９】
以上から、不等式（１２）は以下の条件式（１３）と同値である。
【数１０】
2007034990.tif 000012
【００５０】
条件式（１３）は、φｐ（ｓ）＋ｉ・ψｐ（ｓ）の絶対値（即ち根号）を含まないため、有理式の範囲内で不等号判定が可能である。有理式によって表現される不等式の演算（不等号判定）は、絶対値や根号を含んだ不等式の演算に比して、演算効率が格段に良く、またアルゴリズムも簡単なものになるという利点がある。
【００５１】
条件式（１３）を満すｓが範囲Ｓｐに存在するか否かは既知の方法で判定できる。ここで、Ｐ（ｓ）を、Ｐ（ｓ）＝ｋ（ｓ）−ｈ１（ｓ）、または、Ｐ（ｓ）＝（ｋ（ｓ）−ｈ１（ｓ））２−ｈ２（ｓ）２（φ（ｓ）２＋ψ（ｓ）２）とする。Ｐ（ｓ）は有理式である。この有理式Ｐ（ｓ）に対し、Ｐ（ｓ）≦０となるｓが範囲Ｓｐに存在するか否かの判定は、次に説明するとおりに行われる。なお、有理式Ｐ（ｓ）を既約な有理式で書いたときの分子をＱ（ｓ）とする。
【００５２】
（ａ）  Ｓｐ＝［ａ，ｂ］の場合、Ｐ（ａ）≦０あるいはＰ（ｂ）≦０ならば、「範囲Ｓに条件式（１３）を満たすｓが存在する」。そうでないならば、「Ｐ（ｓ）≦０を満すｓ∈［ａ，ｂ］が存在する」ことと、「Ｑ（ｓ）の零点が（ａ，ｂ）に存在する」ことは同値である。
【００５３】
（ｂ）  Ｓｐ＝（−∞，ｂ］の場合、Ｐ（ｂ）≦０ならば、「範囲Ｓに条件式（１３）を満たすｓが存在する」。そうでないならば、「Ｐ（ｓ）≦０を満すｓ∈（−∞，ｂ］が存在する」ことと、「（−∞，ｂ）の範囲にＱ（ｓ）の零点が存在する」ことは同値である。
【００５４】
（ｃ）  Ｓｐ＝［ａ，∞）の場合、Ｐ（ａ）≦０ならば、「範囲Ｓに条件式（１３）を満たすｓが存在する」。そうでないならば、「Ｐ（ｓ）≦０を満すｓ∈［ａ，∞）が存在する」ことと、「（ａ，∞）の範囲にＱ（ｓ）の零点が存在する」ことは同値である。
【００５５】
（ｄ）  Ｓｐ＝（−∞，∞）の場合、Ｐ（０）≦０ならば、「範囲Ｓに条件式（１３）を満たすｓが存在する」。そうでないならば、「Ｐ（ｓ）≦０を満すｓ∈（−∞，∞）が存在する」ことと、「（−∞，∞）の範囲にＱ（ｓ）の零点が存在する」ことは同値である。
【００５６】
上記の（ａ）〜（ｄ）において、与えられた範囲ＳｐにＱ（ｓ）の零点が存在するか否かは、例えば上述したSturmの定理に基づくアルゴリズムで判定可能である。
【００５７】
以上では「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する或る多項式ｆ（ｘ）の零点が領域Ｄの境界Ｃ上に存在する」ことと「不等式（６）を満たす点が領域Ｄの境界Ｃ上に存在する」ことは同値であるから、不等式（６）に領域Ｄの境界Ｃの区分境界Ｃｐの表示φｐ（ｓ）＋ｉ・ψｐ（ｓ）（ｓ∈Ｓ）を代入するとした。
後述する本実施形態の零点位置判定処理の説明においては、複素区間多項式について、それに属する多項式であって、指定された一つの複素数を零点とするものが存在するか否かの判定が必要となるので、その補足説明をする。
既述のとおり、「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する或る多項式ｆ（ｘ）について、ｆ（ｃ）＝０となる〔ｃは零点である。〕」ことと、「不等式（６）がｘ＝ｃで成立する」ことは同値である（非特許文献１参照。）。従って、指定された一つの複素数がｃ＝ａ＋ｉ・ｂと表されるとすると、不等式（６）にａ＋ｉ・ｂを代入し、不等式（６）が成立するか否かを判定すればよい。従って、上記の議論がそのまま成り立つので、結局、条件式（１４）が成立するか否かを判定すればよいことになる。なお、ｋ１（ａ，ｂ）、ｈ３（ａ，ｂ）、ｈ４（ａ，ｂ）はそれぞれ、ａおよびｂによって定まる有理数である。
【数１１】
2007034990.tif 000013
【００５８】
従来技術において、Kharitonovの定理やエッジ定理に基づく零点位置判定においては、区間多項式に属する特定の多項式を調べる方法をとっていた。一方、本発明の零点位置判定方法は、まず複素区間多項式に属する一つの多項式（代表多項式）について、与えられた領域における零点の有無を確認し、零点が与えられた領域に一つも存在しない場合は、領域の境界上に零点を持つ多項式が複素区間多項式内に存在するか否かのみを判定すれば十分であるとしていることを特徴の一つとしている。即ち、判定の対象とする多項式を限定するのではなく、判定の対象とする零点の位置（境界上）を限定する点が従来技術と主に異なる。
【００５９】
また、本発明においては、領域の全てについてではなく、領域の境界上について複素区間多項式の零点が存在するか否かを判定することから、境界の表示に現れるパラメータｓの一変数関数として条件式の判定が可能となっている。仮に、領域の全てについて複素区間多項式の零点が存在するか否かを判定する場合、領域は二次元であるから、その全ての点を表す式を与えなければならないが、このような式を与えることは一般的には困難である。また、そのような式が与えられたとしても二変数以上となるから（例えば、円や多角形ならば、実部と虚部の二変数〔連立〕不等式となる。）、一変数の場合に比して格段と演算効率やアルゴリズムが劣るものとなる。この点においても、本発明は利点を有している。
【００６０】
[実施形態]
以下に、本発明の実施形態を説明する。
図１は、本実施形態に係わる零点位置判定装置（１）のハードウェア構成を例示した構成ブロック図である。
【００６１】
図１に例示するように、零点位置判定装置（１）は、キーボードなどが接続可能な入力部（１１）、液晶ディスプレイなどが接続可能な出力部（１２）、零点位置判定装置（１）外部に通信可能な通信装置（例えば通信ケーブル）が接続可能な通信部（１３）、ＣＰＵ（Central Processing Unit）（１４）〔キャッシュメモリなどを備えていてもよい。〕、メモリであるＲＡＭ（１５）、ＲＯＭ（１６）やハードディスクである外部記憶装置（１７）並びにこれらの入力部（１１）、出力部（１２）、通信部（１３）、ＣＰＵ（１４）、ＲＡＭ（１５）、ＲＯＭ（１６）、外部記憶装置（１７）間のデータのやり取りが可能なように接続するバス（１８）を有している。また必要に応じて、零点位置判定装置（１）に、ＣＤ−ＲＯＭなどの記憶媒体を読み書きできる装置（ドライブ）などを設けるとしてもよい。
【００６２】
零点位置判定装置（１）の外部記憶装置（１７）には、複素区間多項式の零点の位置判定をするのに必要となるプログラムおよびこのプログラムの処理において必要となるデータなどが保存記憶されている。また、これらのプログラムの処理によって得られるデータなどは、ＲＡＭや外部記憶装置などに適宜に保存記憶される。
【００６３】
より具体的には、零点位置判定装置（１）の外部記憶装置（１７）〔あるいはＲＯＭなど〕には、領域の境界種を判定するためのプログラム、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式の次数が一定か否かを判定するためのプログラム、複素平面上の円と領域の境界とが交点を有するか否かを判定するためのプログラム、複素平面上の円と領域とが共通部分を有するか否かを判定するためのプログラム、複素平面上の円と領域の境界との交点の数を判定するためのプログラム、条件式を満たすか否かを判定するためのプログラム、複素区間多項式Ｆ（ｘ）について恒等式が成立するか否かを判定するためのプログラム、新たに境界を設定するためのプログラム、領域の有界性を判定するためのプログラム、複素区間多項式Ｆ（ｘ）から代表多項式を選択するためのプログラム、領域の境界上に代表多項式の零点が存在するか否かを判定するためのプログラム、領域内部に代表多項式の零点が存在するか否かを判定するためのプログラム、領域の境界を構成する区分境界を選択するためのプログラム、区分境界を反復して選択する制御を実現するためのプログラム、複素区間多項式Ｆ（ｘ）の実質的な最高次数を決定するための反復制御を実現するためのプログラムおよびこれらのプログラムの処理において必要となるデータなどが保存記憶されている。その他、これらのプログラムに基づく処理を制御するための制御プログラムも適宜に保存記憶しておく。
【００６４】
零点位置判定装置（１）では、外部記憶装置（１７）〔あるいはＲＯＭなど〕に記憶された各プログラムとこの各プログラムの処理に必要なデータが必要に応じてＲＡＭ（１５）に読み込まれて、適宜にＣＰＵ（１４）で解釈実行・処理される。その結果、ＣＰＵ（１４）が所定の機能（境界種判定制御部、第１次数判定制御部、第２次数判定制御部、交点判定部、共通領域判定部、交点数判定制御部、共通領域判定制御部、条件式第１判定部、恒等式判定制御部、境界設定部、代表多項式選択部、境界上零点判定制御部、領域内部零点判定制御部、区分境界選択部、条件式第２判定制御部、有界性判定制御部、第１反復制御部、第２反復制御部、制御部）を実現する。
【００６５】
図２〜図９を参照しながら、本実施形態における複素区間多項式の零点の位置判定処理について説明する。
【００６６】
零点位置判定装置（１）の外部記憶装置（１７）には、予め、複素区間多項式Ｆ（ｘ）、境界Ｃの各区分境界Ｃｐ、境界Ｃによって分割される複素平面上の各領域において領域Ｄを指定する情報などが予め保存記憶されているとする。
【００６７】
この実施形態では、説明の便宜からより具体的に、複素区間多項式Ｆ（ｘ）〔例示として、多項式ｅｊ（ｘ）は、ｅｊ（ｘ）＝ｘｊとする。〕の各項の区間数Ａｊ＝｛ｃｊ；ｒｊ｝〔但し、ｊ＝０，１，２，・・・，ｄとする。〕、境界Ｃの各区分境界Ｃｐを表現する有理数係数有理式φｐ（ｓ）、ψｐ（ｓ）、パラメータｓの取り得る範囲Ｓｐ〔但し、ｐ＝１，２，・・・，ｎとする。〕、区分境界の数ｎ、複素区間多項式Ｆ（ｘ）の最高次数ｄ、領域Ｄに含まれる１点の複素平面上の座標λ、境界Ｃが閉曲線であるか否かを表す情報ξが、予め、零点位置判定装置（１）の外部記憶装置（１７）に保存記憶されているとする。
【００６８】
これらの情報などは、予め零点位置判定装置（１）の外部記憶装置（１７）に保存記憶しておくのではなく、例えば、入力部（１１）から入力されるとしてもよいし、あるいは、これらの情報などを格納した記録媒体からドライブを駆動して読み込むようにしてもよく、適宜に変更可能である。
【００６９】
また、これらの情報などに限定する趣旨のものではない。例えば、境界Ｃを表す式自体を入力部（１１）から入力するとし、境界Ｃを区分境界に適宜に分割するためのプログラムを解釈・実行するＣＰＵ（１４）が、ＲＡＭ（１５）に格納された境界ＣをＲＡＭ（１５）から読み込んで、区分境界を出力するようにしてもよい。あるいは、境界Ｃが閉曲線であるか否かを表す情報ξは不要であるとし、境界Ｃが閉曲線であるか否かを判定するプログラムを解釈・実行するＣＰＵ（１４）が、ＲＡＭ（１５）に格納された境界ＣをＲＡＭ（１５）から読み込んで、境界Ｃが閉曲線であるか否かを判定し、その判定結果を出力するようにしてもよい。
【００７０】
また、複素区間多項式Ｆ（ｘ）の区間数ではなく複素区間多項式Ｆ（ｘ）そのものを零点位置判定装置（１）の外部記憶装置（１７）に保存記憶しておくとしてもよい（複素区間多項式に属する多項式それぞれを記憶するのではないことに留意する。）。
【００７１】
なお、本発明の細部においては、数値計算処理のみならず有理数係数有理式や区間多項式などの数式処理も必要となるが、数値計算処理および数式処理自体は、公知技術と同様にして達成されるので、その演算処理方法などの詳細な説明は省略する（この点の技術水準を示す数式処理が可能なソフトウェアとしては、例えば、Risa/Asir、Maple（登録商標）、MATHEMATICA（登録商標第2312968号）、Gnuplotなどが挙げられる。Risa/Asirについては、例えばインターネット〈http://risa.cs.ehime-u.ac.jp/〉［平成１７年７月２５日検索］を参照のこと。Mapleについては、例えばインターネット〈http://www.cybernet.co.jp/〉［平成１７年７月２５日検索］を参照のこと。Gnuplotについては、例えばインターネット〈URL: http://www.gnuplot.info/〉［平成１７年７月２５日検索］を参照のこと。）。
【００７２】
まず、零点位置判定装置（１）の制御部（１９０）は、外部記憶装置（１７）から全ての区間数Ａｊ＝｛ｃｊ；ｒｊ｝、各区分境界Ｃｐ〔但し、ｐ＝１，２，・・・，ｎ〕を表現する有理数係数有理式φｐ（ｓ）、ψｐ（ｓ）、パラメータｓの取り得る範囲Ｓｐ、区分境界の数ｎ、複素区間多項式Ｆ（ｘ）の最高次数ｄ、領域Ｄに含まれる１点の複素平面上の座標λ、境界Ｃが閉曲線であるか否かを表す情報ξを読み込み、それぞれをＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納しておく。以後、「ＲＡＭから○○を読み込む」旨の説明をした場合は、「ＲＡＭにおいて○○が格納されている所定の格納領域から○○を読み込む」ことを意味するとする。
【００７３】
境界種判定制御部（１４０）は、ＲＡＭ（１５）から、境界Ｃが閉曲線であるか否かを表す情報ξを読み込み、情報ξに応じてステップＳ２０の処理またはステップＳ３０の処理のいずれかを実行するように制御する（ステップＳ１）。例えば、予め、境界Ｃが閉曲線である場合にはξ＝１を入力し、境界Ｃが閉曲線でない場合にはξ＝０を入力すると規約しておく。境界種判定制御部（１４０）は、当該既約の下に入力された情報ξがξ＝１の場合には、ステップＳ２０の処理を実行し、情報ξがξ＝０の場合には、ステップＳ２２の処理を実行するように制御する。
【００７４】
第１反復制御部（１９１）は、ＲＡＭ（１５）からｄを読み込み、パラメータσの値をｄに設定し、このσをＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ２２）。
【００７５】
第１次数判定制御部（１４１）は、ＲＡＭ（１５）から、複素区間多項式Ｆ（ｘ）の全ての区間数Ａｊ＝｛ｃｊ；ｒｊ｝およびσを読み込み、このσで特定される区間数Ａσが複素平面上の原点を含むか否かを判定し、この判定結果に基づき、ステップＳ３１の処理またはステップＳ２４の処理のいずれかを実行するように制御する（ステップＳ２３）。
【００７６】
（（原点を含む場合−ステップＳ２４））
第１反復制御部（１９１）は、ＲＡＭ（１５）からσを読み込み、σ＝０が成立するか否かを判定する（ステップＳ２４）。そして、第１反復制御部（１９１）は、この判定結果が、σ＝０が成立するというものである場合には、「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式は領域Ｄに零点を有する」ことを表す情報θ（例えばこの場合は、θ＝１とする。）をＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ２５）。なぜなら、この場合、複素区間多項式Ｆ（ｘ）は単項式Ｆ（ｘ）＝Ａ０であるといえ、さらにステップＳ２３において区間数Ａ０が原点を含むと判定されているので、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式が領域Ｄに零点を有するといえるからである。なお、図９において、[・]は、場合によって返り値があることを示している。
第１反復制御部（１９１）は、判定結果が、σ＝０が成立しないというものである場合には、ステップＳ２６の処理を実行するように制御する。
【００７７】
第２次数判定制御部（１４１８）は、ＲＡＭ（１５）から、複素区間多項式Ｆ（ｘ）の全ての区間数Ａｊ＝｛ｃｊ；ｒｊ｝およびσを読み込み、このσで特定される区間数Ａσが複素平面上の原点と等しいか否か（つまり、Ａσ＝｛０；０｝が成立するか否か）を判定し、この判定結果に基づき、ステップＳ２７の処理またはステップＳ２８の処理のいずれかを実行するように制御する（ステップＳ２６）。
【００７８】
（（原点と等しい場合−ステップＳ２７））
第１反復制御部（１９１）は、ＲＡＭ（１５）からσを読み込み、σの値から１を引いて、このσをＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ２７）。続いて、第１反復制御部（１９１）は、ステップＳ２３以降の処理を実行するように制御する。
【００７９】
ステップＳ２２、Ｓ２３、Ｓ２４、Ｓ２６、Ｓ２７の一連の処理は、見かけだけの最高次数を排除し（つまり、最高次数の区間数が｛０；０｝として与えられている項を排除する。）、実質的に真の最高次数を決定するために行うものである。
【００８０】
（（原点に等しくない場合−ステップＳ２８））
恒等式判定制御部（１４１７）は、ＲＡＭ（１５）から、全ての区間数Ａｊ＝｛ｃｊ；ｒｊ｝を読み込み、各区間数がそれぞれ複素平面上の原点を含むか否かを判定する（ステップＳ２８）。そして、恒等式判定制御部（１４１７）は、この判定結果が、各区間数がそれぞれ複素平面上の原点を含むというものである場合には、「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式は領域Ｄに零点を有する」ことを表す情報θ（例えばこの場合は、θ＝１とする。）をＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ２９）。なぜなら、この場合、複素区間多項式Ｆ（ｘ）が恒等的に０となる場合があるので、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式が領域Ｄに零点を有するといえるからである。
恒等式判定制御部（１４１７）は、判定結果が、各区間数がそれぞれ複素平面上の原点を含むとはいえない（つまり、複素平面上原点を含まない区間数が存在するということ。）というものである場合には、零点位置判定処理を終了するように制御する（ステップＳ２８ａ）。なぜなら、上記理論において説明したように、境界Ｃが閉曲線でない場合には、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式の次数が一定である必要があるところ、この条件を充たさないからである（ステップＳ２３で区間数が原点を含むと判定されていることに留意すること。）。
【００８１】
（（原点を含まない場合−ステップＳ３１））
交点判定部（１４２）は、ＲＡＭ（１５）から、全ての区間数Ａｊ＝｛ｃｊ；ｒｊ｝、各区分境界Ｃｐ〔但し、ｐ＝１，２，・・・，ｎ〕を表現する有理数係数有理式φｐ（ｓ）、ψｐ（ｓ）、パラメータｓの取り得る範囲Ｓｐ、σを読み込む。そして、交点判定部（１４２）は、複素区間多項式Ｆ（ｘ）の最高次数〔ステップＳ２３におけるσで定まる。〕の項の区間数の絶対値の最小値ｍ、複素区間多項式Ｆ（ｘ）の最高次数の項以外の項の区間数の絶対値の最大値Ｍをそれぞれ求め、原点中心の半径１＋Ｍ／ｍの円と境界Ｃとが交点を有するか否かを判定する。つまり、複素平面上において、原点中心の半径１＋Ｍ／ｍの円と、各区分境界Ｃｐ〔但し、ｐ＝１，２，・・・，ｎ〕であるφｐ（ｓ）＋ｉ・ψｐ（ｓ）とがｓ∈Ｓｐにおいて交点を有するか否かを判定する。交点を有する場合には、交点を有することを表す判定結果ν（例えばこの場合は、ν＝１とする。）およびその交点の複素平面上における座標μ（当然、交点は１つ以上である。）をＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する。交点を有しない場合には、交点を有しないことを表す判定結果ν（例えばこの場合は、ν＝０とする。）をＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ３１）。なお、上記ｍおよびＭもＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する。
【００８２】
制御部（１９０）は、ＲＡＭ（１５）からステップＳ３１において格納された判定結果νを読み込み、この判定結果が、交点を有しないというものである場合には、ステップＳ３２の処理を実行するように制御する。
制御部（１９０）は、判定結果νが交点を有するというものである場合には、ステップＳ３１ａの処理を実行するように制御する。
【００８３】
ステップＳ３２の処理は次のとおりである。
即ち、共通領域判定部（１４３）は、ＲＡＭ（１５）から、各区分境界Ｃｐ〔但し、ｐ＝１，２，・・・，ｎ〕を表現する有理数係数有理式φｐ（ｓ）、ψｐ（ｓ）、パラメータｓの取り得る範囲Ｓｐ、領域Ｄに含まれる１点の複素平面上の座標λを読み込み、領域Ｄが複素平面上の原点を含むか否かを判定する（ステップＳ３２）。そして、共通領域判定部（１４３）は、この判定結果が、領域Ｄが複素平面上の原点を含まないというものである場合には、「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式は領域Ｄに零点を有しない」ことを表す情報θ（例えばこの場合は、θ＝０とする。）をＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ３３）。なぜなら、この場合、上記理論において説明したとおり、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式が領域Ｄに零点を有しないことは明らかだからである。
共通領域判定部（１４３）は、判定結果が、領域Ｄが複素平面上の原点を含むというものである場合には、「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式は領域Ｄに零点を有する」ことを表す情報θ（例えばこの場合は、θ＝１とする。）をＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ３４）。なぜなら、この場合、上記理論において説明したとおり、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式が領域Ｄに零点を有することは明らかだからである。
【００８４】
ステップＳ３１ａの処理は次のとおりである。
交点数判定制御部（１４１４）は、ＲＡＭ（１５）から、ステップＳ３１で得られた交点の座標μを読み込み、その交点の個数が１個であるか複数であるかを判定し、この判定結果に基づき、ステップＳ３１ｂの処理またはステップＳ３７の処理のいずれかを実行するように制御する（ステップＳ３１ａ）。
【００８５】
（（交点が１個の場合−ステップＳ３１ｂ））
共通領域判定制御部（１４１５）は、ＲＡＭ（１５）から、各区分境界Ｃｐ〔但し、ｐ＝１，２，・・・，ｎ〕を表現する有理数係数有理式φｐ（ｓ）、ψｐ（ｓ）、パラメータｓの取り得る範囲Ｓｐ、領域Ｄに含まれる１点の複素平面上の座標λを読み込み、領域Ｄが複素平面上の原点を含むか否かを判定する（ステップＳ３１ｂ）。そして、共通領域判定制御部（１４１５）は、この判定結果が、領域Ｄが複素平面上の原点を含むというものである場合には、「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式は領域Ｄに零点を有する」ことを表す情報θ（例えばこの場合は、θ＝１とする。）をＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ３１ｃ）。なぜなら、この場合、上記理論において説明したとおり、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式が領域Ｄに零点を有することは明らかだからである。
共通領域判定制御部（１４１５）は、判定結果が、領域Ｄが複素平面上の原点を含まないというものである場合には、ステップＳ３１ｄの処理を実行するように制御する。
【００８６】
条件式第１判定部（１４１６）は、ＲＡＭ（１５）から、全ての区間数Ａｊ＝｛ｃｊ；ｒｊ｝、ステップＳ３１で得られた交点の座標μを読み込み、この交点について条件式（１４）が成立するか否かを判定し（ステップＳ３１ｄ）、この判定結果が、当該交点について条件式（１４）が成立しないというものである場合には、「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式は領域Ｄに零点を有しない」ことを表す情報θ（例えばこの場合は、θ＝０とする。）をＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ３１ｅ）。なぜなら、この場合、上記理論において説明したとおり、交点が条件式（１４）を満たさないことは、この交点が複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属するいかなる多項式の零点ではないことと同値であるので、結局、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式は領域Ｄに零点を有しないといえるからである。
条件式第１判定部（１４１６）は、判定結果が、当該交点について条件式（１４）が成立するというものである場合には、「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式は領域Ｄに零点を有する」ことを表す情報θ（例えばこの場合は、θ＝１とする。）をＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ３１ｆ）。なぜなら、この場合、上記理論において説明したとおり、交点が条件式（１４）を満たすことは、この交点が複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式の零点となりえることと同値であるので、結局、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式は領域Ｄに零点を有するといえるからである。
【００８７】
（（交点が複数の場合−ステップＳ３７））
ステップＳ３７の処理は次のとおりである。
境界設定部（１４１０）は、ＲＡＭ（１５）から、各区分境界Ｃｐ〔但し、ｐ＝１，２，・・・，ｎ〕を表現する有理数係数有理式φｐ（ｓ）、ψｐ（ｓ）、パラメータｓの取り得る範囲Ｓｐ、ステップＳ３１において求められたＭおよびｍ、領域Ｄに含まれる１点の複素平面上の座標λを読み込み、新たに有界な領域Ｅの境界を設定する。ここで、新しい有界な領域Ｅとは、原点中心の半径１＋Ｍ／ｍの円の内部（円周を含む。）と領域Ｄとの共通部分を含み、且つ、領域Ｄの部分集合である有界な領域のことである。有界な領域Ｅの境界の設定について、図１０（ａ）および図１０（ｂ）を参照して具体的に説明する。図１０（ａ）は、半径１＋Ｍ／ｍの円と境界Ｃとが６個の交点（●で図示している。以下、同じ。）を有する場合を示している。図１０（ａ）における斜線部は、原点中心の半径１＋Ｍ／ｍの円の内部（円周を含む。）と領域Ｄとの共通部分を示している。図１０（ｂ）は、境界Ｃ、２個の交点を有する原点中心の半径Ｒの円などの関係を示している。図１０（ｂ）における斜線部は、領域Ｅを示している。なお、図１０（ａ）および図１０（ｂ）における境界Ｃは、各区分境界Ｃｐから構成されるものの、図示の便宜から明示していないことに留意すること。
まず、半径Ｒが１＋Ｍ／ｍ以上の円と境界Ｃとの交点が２個になるような半径Ｒの円を設定する。このような円の半径Ｒは、初期半径を１＋Ｍ／ｍとして境界Ｃとの交点が２個であるか否かを判定し、２個でない場合には、この半径を２倍（半径を拡大できるなら何倍でもよいが、一例として２倍にしている。）にして境界Ｃとの交点が２個であるか否かを判定することを繰り返すことで得られる。仮に、このような繰り返し処理によって交点が２個未満になった場合は、そもそも境界Ｃ（より正確には、境界Ｃを表現する区分境界Ｃｐ）が適正なものでなかったことになるから、零点位置判定処理を終了するなど適宜に制御すればよい。交点が２個になった場合の交点座標をそれぞれη１、η２とする。次に、境界Ｃにおける交点η１、η２の間の部分と、半径Ｒの円周における交点η１、η２の間の部分（円弧）とを、交点η１、η２において接続する。この結果得られた有界領域が領域Ｅである。なお、半径Ｒの円周は複素平面上において式（１５）の２つ区分境界Ｃcircle1、Ｃcircle2によって表される。
【数１２】
2007034990.tif 000014
【００８８】
交点η１、η２は、半径Ｒの円周を２個の円弧に分割するところ、いずれか一方の円弧を、領域Ｅの境界を構成する円弧として決定しなければならない。この決定は、次のようにして行えばよい。まず、半径Ｒの円周上で任意の１点η３を選択する。但し、点η３は、交点η１、η２とは異なるとする。次に、領域Ｄに含まれる１点の複素平面上の座標λと点η３とを結んだ線分と、境界Ｃとの交点を求める。この交点が存在しない場合は、点η３がある円弧を、領域Ｅの境界を構成する円弧として決定する。もし、交点が存在する場合には、重複度を含めてその交点の個数を計数する（あるいは、点η３を選択し直して、全ての交点の重複度を１としてから交点の個数を計数するとしてもよい。）。この計数された個数が偶数の場合は、点η３がある円弧を、領域Ｅの境界を構成する円弧として決定する。この計数された個数が奇数の場合は、点η３がない円弧を、領域Ｅの境界を構成する円弧として決定する。図１０（ｂ）では、参考として、点η３および点η３’を選択した場合における、領域Ｄに含まれる１点の複素平面上の座標λと点η３ないし点η３’とを結んだ線分と境界Ｃとの交点の個数を示している。
境界設定部（１４１０）は、領域Ｅの境界を表現する区分境界Ｃｐを表現する有理数係数有理式φｐ（ｓ）、ψｐ（ｓ）、パラメータｓの取り得る範囲ＳｐをＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する〔説明の便宜上、領域Ｄに対する境界Ｃを表現する記号Ｃｐ、φｐ（ｓ）、ψｐ（ｓ）、Ｓｐを流用していることに留意すること。〕（ステップＳ３７）。
仮に複素区間多項式Ｆ（ｘ）の零点が存在するとすれば、それは半径１＋Ｍ／ｍの円の境界およびその内部であるから、この円と領域Ｄとの共通部分を内包する有界な領域Ｅにおいて零点の有無を調べることは、領域Ｄにおいて零点の有無を調べることと同値であることにも留意する。
【００８９】
制御部（１９０）は、ステップＳ３７に続き、ステップＳ３７１以降の処理を実行するように制御する。
【００９０】
代表多項式選択部（１４５）は、ＲＡＭ（１５）から、全ての区間数Ａｊ＝｛ｃｊ；ｒｊ｝を読み込み、各区間数から１つずつ任意に値ａｊ∈Ａｊを選択し、これらの値ａｊをＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ３７１）。以下、これらの値ａｊを各項の係数に有する多項式を代表多項式ｆ（ｘ）と呼ぶ。
【００９１】
境界上零点判定制御部（１４６）は、ＲＡＭ（１５）から、ステップＳ３７１において選択された値ａｊ、各区分境界Ｃｐ〔但し、ｐ＝１，２，・・・，ｎ〕を表現する有理数係数有理式φｐ（ｓ）、ψｐ（ｓ）、パラメータｓの取り得る範囲Ｓｐ（領域Ｅの境界Ｃを表すことに留意。）を読み込み、Sturmの定理に基づくアルゴリズムに従って、代表多項式ｆ（ｘ）が、各区分境界Ｃｐからなる境界Ｃ上に零点を有するか否かを判定する（ステップＳ３７２）。そして、境界上零点判定制御部（１４６）は、この判定結果が、境界Ｃ上に零点が存在するというものである場合には、「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式は領域Ｄに零点を有する」ことを表す情報θ（例えばこの場合は、θ＝１とする。）をＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ３７３）。なぜなら、この場合、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する代表多項式が領域Ｅの境界Ｃ上に零点を有するので、結局、領域Ｄに零点を有することになるからである。
境界上零点判定制御部（１４６）は、判定結果が、境界Ｃ上に零点が存在しないというものである場合には、ステップＳ３７４の処理を実行するように制御する。
【００９２】
領域内部零点判定制御部（１４７）は、ＲＡＭ（１５）から、ステップＳ３７１において選択された値ａｊ、各区分境界Ｃｐ〔但し、ｐ＝１，２，・・・，ｎ〕を表現する有理数係数有理式φｐ（ｓ）、ψｐ（ｓ）、パラメータｓの取り得る範囲Ｓｐ（領域Ｅの境界Ｃを表すことに留意。）を読み込み、偏角の原理に基づくアルゴリズムに従って、代表多項式ｆ（ｘ）が、各区分境界Ｃｐからなる境界Ｃで与えられる領域Ｅの内部に零点を有するか否かを判定する（ステップＳ３７４）。そして、領域内部零点判定制御部（１４７）は、この判定結果が、領域Ｅ内部に零点が存在するというものである場合には、「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式は領域Ｄに零点を有する」ことを表す情報θ（例えばこの場合は、θ＝１とする。）をＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ３７５）。なぜなら、この場合、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する代表多項式が領域Ｅ内部に零点を有することは、領域Ｄにおいて零点を有することになるからである。
領域内部零点判定制御部（１４７）は、判定結果が、領域Ｅ内部に零点が存在しないというものである場合には、ステップＳ３７６の処理を実行するように制御する。
【００９３】
第２反復制御部（１９２）は、パラメータτの値を１に設定し、ＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ３７６）。
【００９４】
次に、区分境界選択部（１４８）は、ＲＡＭ（１５）から、各区分境界Ｃｐ〔但し、ｐ＝１，２，・・・，ｎ〕を表現する有理数係数有理式φｐ（ｓ）、ψｐ（ｓ）、パラメータｓの取り得る範囲Ｓｐ（領域Ｅの境界Ｃを表すことに留意。）、パラメータτを読み込み、このパラメータτに従い区分境界を１つ選択し、この選択した区分境界Ｃｐ＝τを表現する有理数係数有理式φｐ＝τ（ｓ）、ψｐ＝τ（ｓ）、パラメータｓの取り得る範囲Ｓｐ＝τをＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ３７７）。
ここでは、ｐ＝１，２，・・・，ｎに対し、ｐ＝１から昇順で区分境界を選択していくことする。
【００９５】
次に、条件式第２判定制御部（１４９）は、ＲＡＭ（１５）から、全ての区間数Ａｊ＝｛ｃｊ；ｒｊ｝、ステップＳ３７７において選択された区分境界Ｃｐ＝τを表現する有理数係数有理式φｐ＝τ（ｓ）、ψｐ＝τ（ｓ）、パラメータｓの取り得る範囲Ｓｐ＝τを読み込み、上記不等式（９）の左辺および右辺の式を求め、ｓ∈Ｓｐ＝τにおいて、上記条件式（１３）のいずれかが成立するか否かを判定する（ステップＳ３７８）。つまり、条件式（１３）を満たすｓがＳｐ＝τにおいて存在するか否かを判定する。この判定においては、既述のとおり、範囲Ｓｐ＝τに基づき、上記の（ａ）〜（ｄ）のいずれかの場合に従った判定を行う。なお、範囲Ｓｐ＝τに既約有理式Ｐ（ｓ）の分子Ｑ（ｓ）の零点が存在するか否かは、上述したSturmの定理に基づくアルゴリズムで判定する。
そして、条件式第２判定制御部（１４９）は、この判定結果が、条件式（１３）を満たすｓが範囲Ｓｐ＝τにおいて存在するというものである場合には、「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式は領域Ｄに零点を有する」ことを表す情報θ（例えばこの場合は、θ＝１とする。）をＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ３７９）。なぜなら、既述のとおり、条件式（１３）を満たす点が領域Ｅの境界Ｃ上に存在することは、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する代表多項式が領域Ｅの境界Ｃ上に零点を有することと同値であり、且つ、領域Ｅの境界Ｃ上に零点を有することは、領域Ｄにおいて零点を有することと同値だからである。
条件式第２判定制御部（１４９）は、判定結果が、条件式（１３）を満たすｓが範囲Ｓｐ＝τにおいて存在しないというものである場合には、ステップＳ３７１０の処理を実行するように制御する。
【００９６】
第２反復制御部（１９２）は、ＲＡＭ（１５）からτ、ｎを読み込み、τ＝ｎが成立するか否かを判定する（ステップＳ３７１０）。成立しない場合は、第２反復制御部（１９２）は、τの値に１を加えて（ステップＳ３７１１）、ステップＳ３７７以降の処理を実行するように制御する。
【００９７】
ステップＳ３７１０においてτ＝ｎが成立する場合、つまり、全ての区分境界について、ステップＳ３７７以降の処理を実行した結果、条件式（１３）を満たすｓが範囲Ｓｐにおいて存在しないということであるから、第２反復制御部（１９２）は、「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式は領域Ｄに零点を有しない」ことを表す情報θ（例えばこの場合は、θ＝０とする。）をＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ３７１２）。
【００９８】
（（ξ＝１の場合））
ステップＳ２０の処理は次のとおりである。
有界性判定制御部（１４４）は、ＲＡＭ（１５）から、各区分境界Ｃｐ〔但し、ｐ＝１，２，・・・，ｎ〕を表現する有理数係数有理式φｐ（ｓ）、ψｐ（ｓ）、パラメータｓの取り得る範囲Ｓｐ、領域Ｄに含まれる１点の複素平面上の座標λを読み込み、領域Ｄが有界であるか否かを判定する（ステップＳ２０）。そして、有界性判定制御部（１４４）は、この判定結果が、領域Ｄが有界であるというものである場合には、ステップＳ２３０以降の処理を実行するように制御する。
有界性判定制御部（１４４）は、判定結果が、領域Ｄが非有界であるというものである場合には、ステップＳ２１ａの処理を実行するように制御する。
【００９９】
（（領域Ｄが有界の場合−ステップＳ２３０））
ステップＳ２３０以降の処理は次のとおりである。
代表多項式選択部（１４５）は、ＲＡＭ（１５）から、全ての区間数Ａｊ＝｛ｃｊ；ｒｊ｝を読み込み、各区間数から１つずつ任意に値ａｊ∈Ａｊを選択し、これらの値ａｊをＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ２３０）。以下、これらの値ａｊを各項の係数に有する多項式を代表多項式ｆ（ｘ）と呼ぶ。
【０１００】
境界上零点判定制御部（１４６）は、ＲＡＭ（１５）から、ステップＳ２３０において選択された値ａｊ、各区分境界Ｃｐ〔但し、ｐ＝１，２，・・・，ｎ〕を表現する有理数係数有理式φｐ（ｓ）、ψｐ（ｓ）、パラメータｓの取り得る範囲Ｓｐを読み込み、Sturmの定理に基づくアルゴリズムに従って、代表多項式ｆ（ｘ）が、各区分境界Ｃｐからなる境界C上に零点を有するか否かを判定する（ステップＳ２３１）。そして、境界上零点判定制御部（１４６）は、この判定結果が、境界Ｃ上に零点が存在するというものである場合には、「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式は領域Ｄに零点を有する」ことを表す情報θ（例えばこの場合は、θ＝１とする。）をＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ２３２）。なぜなら、この場合、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する代表多項式が領域Ｄの境界Ｃ上に零点を有することが明らかだからである。
境界上零点判定制御部（１４６）は、この判定結果が、境界Ｃ上に零点が存在しないというものである場合には、ステップＳ２３３の処理を実行するように制御する。
【０１０１】
領域内部零点判定制御部（１４７）は、ＲＡＭ（１５）から、ステップＳ２３０において選択された値ａｊ、各区分境界Ｃｐ〔但し、ｐ＝１，２，・・・，ｎ〕を表現する有理数係数有理式φｐ（ｓ）、ψｐ（ｓ）、パラメータｓの取り得る範囲Ｓｐを読み込み、偏角の原理に基づくアルゴリズムに従って、代表多項式ｆ（ｘ）が、各区分境界Ｃｐからなる境界Ｃで与えられる領域Ｄの内部に零点を有するか否かを判定する（ステップＳ２３３）。そして、領域内部零点判定制御部（１４７）は、この判定結果が、領域Ｄ内部に零点が存在するというものである場合には、「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式は領域Ｄに零点を有する」ことを表す情報θ（例えばこの場合は、θ＝１とする。）をＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ２３４）。なぜなら、この場合、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する代表多項式が領域Ｄ内部に零点を有することが明らかだからである。
領域内部零点判定制御部（１４７）は、判定結果が、領域Ｄ内部に零点が存在しないというものである場合には、ステップＳ２３５の処理を実行するように制御する。
【０１０２】
第２反復制御部（１９２）は、パラメータτの値を１に設定し、ＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する。（ステップＳ２３５）。
【０１０３】
次に、区分境界選択部（１４８）は、ＲＡＭ（１５）から、各区分境界Ｃｐ〔但し、ｐ＝１，２，・・・，ｎ〕を表現する有理数係数有理式φｐ（ｓ）、ψｐ（ｓ）、パラメータｓの取り得る範囲Ｓｐ、パラメータτを読み込み、このパラメータτに従い区分境界を１つ選択し、この選択した区分境界Ｃｐ＝τを表現する有理数係数有理式φｐ＝τ（ｓ）、ψｐ＝τ（ｓ）、パラメータｓの取り得る範囲Ｓｐ＝τをＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ２３６）。
ここでは、ｐ＝１，２，・・・，ｎに対し、ｐ＝１から昇順で区分境界を選択していくことする。
【０１０４】
次に、条件式第２判定制御部（１４９）は、ＲＡＭ（１５）から、全ての区間数Ａｊ＝｛ｃｊ；ｒｊ｝、ステップＳ２３６において選択された区分境界Ｃｐ＝τを表現する有理数係数有理式φｐ＝τ（ｓ）、ψｐ＝τ（ｓ）、パラメータｓの取り得る範囲Ｓｐ＝τを読み込み、上記不等式（９）の左辺および右辺の式を求め、ｓ∈Ｓｐ＝τにおいて、上記条件式（１３）のいずれかが成立するか否かを判定する（ステップＳ２３７）。つまり、条件式（１３）を満たすｓがＳｐ＝τにおいて存在するか否かを判定する。この判定においては、既述のとおり、範囲Ｓｐ＝τに基づき、上記の（ａ）〜（ｄ）のいずれかの場合に従った判定を行う。なお、範囲Ｓｐ＝τに既約有理式Ｐ（ｓ）の分子Ｑ（ｓ）の零点が存在するか否かは、上述したSturmの定理に基づくアルゴリズムで判定する。
そして、条件式第２判定制御部（１４９）は、この判定結果が、条件式（１３）を満たすｓが範囲Ｓｐ＝τにおいて存在するというものである場合には、「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式は領域Ｄに零点を有する」ことを表す情報θ（例えばこの場合は、θ＝１とする。）をＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ２３８）。なぜなら、既述のとおり、条件式（１３）を満たす点が領域Ｄの境界Ｃ上に存在することは、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する代表多項式が領域Ｄの境界Ｃ上に零点を有することと同値だからである。
条件式第２判定制御部（１４９）は、この判定結果が、条件式（１３）を満たすｓが範囲Ｓｐ＝τにおいて存在しないというものである場合には、ステップＳ２３９の処理を実行するように制御する。
【０１０５】
第２反復制御部（１９２）は、ＲＡＭ（１５）からτ、ｎを読み込み、τ＝ｎが成立するか否かを判定する（ステップＳ２３９）。成立しない場合は、第２反復制御部（１９２）は、τの値に１を加えて（ステップＳ２３１０）、ステップＳ２３６以降の処理を実行するように制御する。
【０１０６】
ステップＳ２３９においてτ＝ｎが成立する場合、つまり、全ての区分境界について、ステップＳ２３６以降の処理を実行した結果、条件式（１３）を満たすｓが範囲Ｓｐにおいて存在しないということであるから、第２反復制御部（１９２）は、「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式は領域Ｄに零点を有しない」ことを表す情報θ（例えばこの場合は、θ＝０とする。）をＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ２３１１）。
【０１０７】
（（領域Ｄが有界でない場合−ステップＳ２１ａ））
ステップＳ２１ａの処理は次のとおりである。
第１反復制御部（１９１）は、ＲＡＭ（１５）からｄを読み込み、パラメータσの値をｄに設定し、このσをＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ２１ａ）。
【０１０８】
第１次数判定制御部（１４１）は、ＲＡＭ（１５）から、複素区間多項式Ｆ（ｘ）の全ての区間数Ａｊ＝｛ｃｊ；ｒｊ｝およびσを読み込み、このσで特定される区間数Ａσが複素平面上の原点を含むか否かを判定し、この判定結果に基づき、ステップＳ２２０の処理またはステップＳ２１ｃの処理のいずれかを実行するように制御する（ステップＳ２１ｂ）。
【０１０９】
（（原点を含む場合−ステップＳ２１ｃ））
第１反復制御部（１９１）は、ＲＡＭ（１５）からσを読み込み、σ＝０が成立するか否かを判定する（ステップＳ２１ｃ）。そして、第１反復制御部（１９１）は、この判定結果が、σ＝０が成立するというものである場合には、「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式は領域Ｄに零点を有する」ことを表す情報θ（例えばこの場合は、θ＝１とする。）をＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ２１ｄ）。なぜなら、この場合、複素区間多項式Ｆ（ｘ）は単項式Ｆ（ｘ）＝Ａ０であるといえ、さらにステップＳ２１ｂにおいて区間数Ａ０が原点を含むと判定されているので、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式が領域Ｄに零点を有するといえるからである。
第１反復制御部（１９１）は、判定結果が、σ＝０が成立しないというものである場合には、ステップＳ２１ｅの処理を実行するように制御する。
【０１１０】
第２次数判定制御部（１４１８）は、ＲＡＭ（１５）から、複素区間多項式Ｆ（ｘ）の全ての区間数Ａｊ＝｛ｃｊ；ｒｊ｝およびσを読み込み、このσで特定される区間数Ａσが複素平面上の原点と等しいか否か（つまり、Ａσ＝｛０；０｝が成立するか否か）を判定し、この判定結果に基づき、ステップＳ２１ｆの処理またはステップＳ２１ｇの処理のいずれかを実行するように制御する（ステップＳ２６）。
【０１１１】
（（原点と等しい場合−ステップＳ２１ｆ））
第１反復制御部（１９１）は、ＲＡＭ（１５）からσを読み込み、σの値から１を引いて、このσをＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ２１ｆ）。続いて、第１反復制御部（１９１）は、ステップＳ２１ｂ以降の処理を実行するように制御する。
【０１１２】
ステップＳ２１ａ、Ｓ２１ｂ、Ｓ２１ｃ、Ｓ２１ｅ、Ｓ２１ｆの一連の処理は、見かけだけの最高次数を排除し（つまり、最高次数の区間数が｛０；０｝として与えられている項を排除する。）、実質的に真の最高次数を決定するために行うものである。
【０１１３】
（（原点に等しくない場合−ステップＳ２１ｇ））
恒等式判定制御部（１４１７）は、ＲＡＭ（１５）から、全ての区間数Ａｊ＝｛ｃｊ；ｒｊ｝を読み込み、各区間数がそれぞれ複素平面上の原点を含むか否かを判定する（ステップＳ２１ｇ）。そして、恒等式判定制御部（１４１７）は、この判定結果が、各区間数がそれぞれ複素平面上の原点を含むというものである場合には、「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式は領域Ｄに零点を有する」ことを表す情報θ（例えばこの場合は、θ＝１とする。）をＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ２１ｋ）。なぜなら、この場合、複素区間多項式Ｆ（ｘ）が恒等的に０となる場合があるので、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式が領域Ｄに零点を有するといえるからである。
恒等式判定制御部（１４１７）は、判定結果が、各区間数がそれぞれ複素平面上の原点を含むとはいえない（つまり、複素平面上原点を含まない区間数が存在するということ。）というものである場合には、零点位置判定処理を終了するように制御する（ステップＳ２１ｈ）。なぜなら、上記理論において説明したように、境界Ｃが閉曲線でない場合には、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式の次数が一定である必要があるところ、この条件を充たさないからである（ステップＳ２１ｂで区間数が原点を含むと判定されていることに留意すること。）。
【０１１４】
（（原点を含まない場合−ステップＳ２２０））
ステップＳ２２０以降の処理は次のとおりである。
代表多項式選択部（１４５）は、ＲＡＭ（１５）から、全ての区間数Ａｊ＝｛ｃｊ；ｒｊ｝を読み込み、各区間数から１つずつ任意に値ａｊ∈Ａｊを選択し、これらの値ａｊをＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ２２０）。以下、これらの値ａｊを各項の係数に有する多項式を代表多項式ｆ（ｘ）と呼ぶ。
【０１１５】
境界上零点判定制御部（１４６）は、ＲＡＭ（１５）から、ステップＳ２２０において選択された値ａｊ、各区分境界Ｃｐ〔但し、ｐ＝１，２，・・・，ｎ〕を表現する有理数係数有理式φｐ（ｓ）、ψｐ（ｓ）、パラメータｓの取り得る範囲Ｓｐを読み込み、Sturmの定理に基づくアルゴリズムに従って、代表多項式ｆ（ｘ）が、各区分境界Ｃｐからなる境界C上に零点を有するか否かを判定する（ステップＳ２２１）。そして、境界上零点判定制御部（１４６）は、この判定結果が、境界Ｃ上に零点が存在するというものである場合には、「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式は領域Ｄに零点を有する」ことを表す情報θ（例えばこの場合は、θ＝１とする。）をＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ２２２）。なぜなら、この場合、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する代表多項式が領域Ｄの境界Ｃ上に零点を有することが明らかだからである。
境界上零点判定制御部（１４６）は、判定結果が、境界Ｃ上に零点が存在しないというものである場合には、ステップＳ２２３の処理を実行するように制御する。
【０１１６】
領域内部零点判定制御部（１４７）は、ＲＡＭ（１５）から、ステップＳ２２０において選択された値ａｊ、各区分境界Ｃｐ〔但し、ｐ＝１，２，・・・，ｎ〕を表現する有理数係数有理式φｐ（ｓ）、ψｐ（ｓ）、パラメータｓの取り得る範囲Ｓｐを読み込み、偏角の原理に基づくアルゴリズムに従って、代表多項式ｆ（ｘ）が、各区分境界Ｃｐからなる境界Ｃで与えられる領域Ｄの外部（但し、ここでの外部とは、領域Ｄに含まれる１点の複素平面上の座標λで指定される側ではない領域、即ち有界領域の側を指していることに留意する。）に零点を有するか否かを判定する（ステップＳ２２３）。そして、領域内部零点判定制御部（１４７）は、この判定結果が、領域Ｄ内部に零点が存在するというものである場合には、「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式は領域Ｄに零点を有する」ことを表す情報θ（例えばこの場合は、θ＝１とする。）をＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ２２４）。なぜなら、この場合、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する代表多項式が領域Ｄ内部に零点を有することが明らかだからである。
領域内部零点判定制御部（１４７）は、判定結果が、領域Ｄ内部に零点が存在しないというものである場合には、ステップＳ２２５の処理を実行するように制御する。
【０１１７】
第２反復制御部（１９２）は、パラメータτの値を１に設定し、ＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ２２５）。
【０１１８】
次に、区分境界選択部（１４８）は、ＲＡＭ（１５）から、各区分境界Ｃｐ〔但し、ｐ＝１，２，・・・，ｎ〕を表現する有理数係数有理式φｐ（ｓ）、ψｐ（ｓ）、パラメータｓの取り得る範囲Ｓｐ、パラメータτを読み込み、このパラメータτに従い区分境界を１つ選択し、この選択した区分境界Ｃｐ＝τを表現する有理数係数有理式φｐ＝τ（ｓ）、ψｐ＝τ（ｓ）、パラメータｓの取り得る範囲Ｓｐ＝τをＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ２２６）。
ここでは、ｐ＝１，２，・・・，ｎに対し、ｐ＝１から昇順で区分境界を選択していくことする。
【０１１９】
次に、条件式第２判定制御部（１４９）は、ＲＡＭ（１５）から、全ての区間数Ａｊ＝｛ｃｊ；ｒｊ｝、ステップＳ２２６において選択された区分境界Ｃｐ＝τを表現する有理数係数有理式φｐ＝τ（ｓ）、ψｐ＝τ（ｓ）、パラメータｓの取り得る範囲Ｓｐ＝τを読み込み、上記不等式（９）の左辺および右辺の式を求め、ｓ∈Ｓｐ＝τにおいて、上記条件式（１３）のいずれかが成立するか否かを判定する（ステップＳ２２７）。つまり、条件式（１３）を満たすｓがＳｐ＝τにおいて存在するか否かを判定する。この判定においては、既述のとおり、範囲Ｓｐ＝τに基づき、上記の（ａ）〜（ｄ）のいずれかの場合に従った判定を行う。なお、範囲Ｓｐ＝τに既約有理式Ｐ（ｓ）の分子Ｑ（ｓ）の零点が存在するか否かは、上述したSturmの定理に基づくアルゴリズムで判定する。
条件式第２判定制御部（１４９）は、この判定結果が、条件式（１３）を満たすｓが範囲Ｓｐ＝τにおいて存在するというものである場合には、「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式は領域Ｄに零点を有する」ことを表す情報θ（例えばこの場合は、θ＝１とする。）をＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ２２８）。なぜなら、既述のとおり、条件式（１３）を満たす点が領域Ｄの境界Ｃ上に存在することは、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する代表多項式が領域Ｄの境界Ｃ上に零点を有することと同値だからである。
条件式第２判定制御部（１４９）は、判定結果が、条件式（１３）を満たすｓが範囲Ｓｐ＝τにおいて存在しないというものである場合には、ステップＳ２２９の処理を実行するように制御する。
【０１２０】
第２反復制御部（１９２）は、ＲＡＭ（１５）からτ、ｎを読み込み、τ＝ｎが成立するか否かを判定する（ステップＳ２２９）。成立しない場合は、第２反復制御部（１９２）は、τの値に１を加えて（ステップＳ２２１０）、ステップＳ２２６以降の処理を実行するように制御する。
【０１２１】
ステップＳ２２９においてτ＝ｎが成立する場合、つまり、全ての区分境界について、ステップＳ２２６以降の処理を実行した結果、条件式（１３）を満たすｓが範囲Ｓｐにおいて存在しないということであるから、第２反復制御部（１９２）は、「複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式は領域Ｄに零点を有しない」ことを表す情報θ（例えばこの場合は、θ＝０とする。）をＲＡＭ（１５）の所定の格納領域に格納する（ステップＳ２２１１）。
【０１２２】
本発明である複素区間多項式の零点の位置方法は上述の実施形態に限定されるものではなく、本発明の趣旨を逸脱しない範囲で適宜変更が可能である。また、上記実施形態において説明した処理は、記載の順に従って時系列に実行されるのみならず、処理を実行する装置の処理能力あるいは必要に応じて並列的にあるいは個別に実行されるとしてもよい。
【０１２３】
また、上記実施形態において説明した零点位置判定装置における処理機能をコンピュータによって実現する場合、零点位置判定装置が有すべき機能の処理内容はプログラムによって記述される。そして、このプログラムをコンピュータで実行することにより、上記零点位置判定装置における処理機能がコンピュータ上で実現される。
【０１２４】
この処理内容を記述したプログラムは、コンピュータで読み取り可能な記録媒体に記録しておくことができる。コンピュータで読み取り可能な記録媒体としては、例えば、磁気記録装置、光ディスク、光磁気記録媒体、半導体メモリ等どのようなものでもよい。具体的には、例えば、磁気記録装置として、ハードディスク装置、フレキシブルディスク、磁気テープ等を、光ディスクとして、ＤＶＤ（Digital Versatile Disc）、ＤＶＤ−ＲＡＭ（Random Access Memory）、ＣＤ−ＲＯＭ（Compact Disc Read Only Memory）、ＣＤ−Ｒ（Recordable）／ＲＷ（ReWritable）等を、光磁気記録媒体として、ＭＯ（Magneto-Optical disc）等を、半導体メモリとしてＥＥＰ−ＲＯＭ（Electronically Erasable and Programmable-Read Only Memory）等を用いることができる。
【０１２５】
また、このプログラムの流通は、例えば、そのプログラムを記録したＤＶＤ、ＣＤ−ＲＯＭ等の可搬型記録媒体を販売、譲渡、貸与等することによって行う。さらに、このプログラムをサーバコンピュータの記憶装置に格納しておき、ネットワークを介して、サーバコンピュータから他のコンピュータにそのプログラムを転送することにより、このプログラムを流通させる構成としてもよい。
【０１２６】
このようなプログラムを実行するコンピュータは、例えば、まず、可搬型記録媒体に記録されたプログラムもしくはサーバコンピュータから転送されたプログラムを、一旦、自己の記憶装置に格納する。そして、処理の実行時、このコンピュータは、自己の記録媒体に格納されたプログラムを読み取り、読み取ったプログラムに従った処理を実行する。また、このプログラムの別の実行形態として、コンピュータが可搬型記録媒体から直接プログラムを読み取り、そのプログラムに従った処理を実行することとしてもよく、さらに、このコンピュータにサーバコンピュータからプログラムが転送されるたびに、逐次、受け取ったプログラムに従った処理を実行することとしてもよい。また、サーバコンピュータから、このコンピュータへのプログラムの転送は行わず、その実行指示と結果取得のみによって処理機能を実現する、いわゆるＡＳＰ（Application Service Provider）型のサービスによって、上述の処理を実行する構成としてもよい。なお、本形態におけるプログラムには、電子計算機による処理の用に供する情報であってプログラムに準ずるもの（コンピュータに対する直接の指令ではないがコンピュータの処理を規定する性質を有するデータ等）を含むものとする。
【０１２７】
また、この形態では、コンピュータ上で所定のプログラムを実行させることにより、零点位置判定装置を構成することとしたが、これらの処理内容の少なくとも一部をハードウェア的に実現することとしてもよい。
【実施例】
【０１２８】
以下、本発明である複素区間多項式の零点の位置判定方法の実施例を、具体例を示して説明する。
【０１２９】
具体例として、複素区間多項式Ｆ（ｘ）を、Ｆ（ｘ）＝｛1；0.1｝ｘ２＋｛-0.65；0.05｝ｘ＋｛1；0.1｝とする。また、領域Ｄを、頂点が0.3+0.8ｉ、0.32+0.8i、0.32+1.2i、0.3+1.2iである長方形の周および内部とする。長方形の周（境界Ｃ）のパラメータ表示は、Ｃ１：ｓ＋0.8ｉ、ｓ∈［0.3，0.32］、Ｃ２：0.32＋ｉ・ｓ、ｓ∈［0.8，1.2］、Ｃ３：ｓ＋1.2ｉ、ｓ∈［0.3，0.32］、Ｃ４：0.3＋ｉ・ｓ、ｓ∈［0.8，1.2］とする。Ｃ＝Ｃ１∪Ｃ２∪Ｃ３∪Ｃ４である。このとき、複素区間多項式Ｆ（ｘ）に属する多項式で、領域Ｄに零点を持つものは存在するか否かを本発明の複素区間多項式の零点の位置判定方法によって判定する。
【０１３０】
[１]  代表多項式ｆ（ｘ）として、各区間数の中心を係数とする多項式をとる。即ち、ｆ（ｘ）＝ｘ２−0.65ｘ＋1とする。
【０１３１】
[２]  代表多項式ｆ（ｘ）の零点は0.325±ｉ・0.94571…で明らかに領域Ｄに属さないので、判定結果は「領域Ｄ内部および境界Ｃ上に零点は存在しない」となる。なお、この例では代表多項式ｆ（ｘ）が二次式なので直接零点を求めることができたが、一般的には既述のとおり、境界Ｃ上に零点が存在するか否かの判定と、内部に零点が存在するか否かの判定を行う。
【０１３２】
[３]  領域Ｄの境界の区分境界としてＣ１を選択する。
【０１３３】
[４]  ｆ０（ｘ）＝ｘ２−0.65ｘ＋1なので、不等式（９）の左辺ｋ（ｓ）は式（１６）で表される。
【数１３】
2007034990.tif 000015
【０１３４】
また、不等式（９）の右辺は式（１７）で表される。
【数１４】
2007034990.tif 000016
【０１３５】
従って、不等式（９）は不等式（１８）で表される。
【数１５】
2007034990.tif 000017
【０１３６】
不等式（１７）は、条件式（１９）と同値である。
【数１６】
2007034990.tif 000018
【０１３７】
区分境界がＣ１なので、パラメータｓの範囲がｓ∈［0.3，0.32］であることに留意すると、条件式（１９）のいずれの不等式もｓ＝0.3およびｓ＝0.32で成立せず、また、Sturmの定理に基づくアルゴリズムによって、条件式のいずれの左辺の多項式も［0.3，0.32］に零点を持たないことがわかる（なお、図１１、図１２を参照のこと。）。
【０１３８】
[５]  そこで、次の区分境界としてＣ２を選択する。そして、上記[４]と同様の処理を行う。
【０１３９】
[４]  不等式（９）の左辺ｋ（ｓ）は式（２０）で表される。
【数１７】
2007034990.tif 000019
【０１４０】
また、不等式（９）の右辺は式（２１）で表される。
【数１８】
2007034990.tif 000020
【０１４１】
従って、不等式（９）は不等式（２２）で表される。
【数１９】
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【０１４２】
不等式（２１）は、条件式（２３）と同値である。
【数２０】
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【０１４３】
区分境界がＣ２なので、パラメータｓの範囲がｓ∈［0.8，1.2］であることに留意し、条件式（２３）の上段の不等式が成立するか否かを判定する。上段の不等式は、ｓ＝0.8および1.2において不成立だが、Sturmの定理に基づくアルゴリズムによって、左辺の多項式は［0.8，1.2］に２つの零点を有することがわかり、境界の区分Ｃ２を返して判定は終了する（なお、図１３、図１４を参照のこと。）。
【０１４４】
なお、以上の具体例では説明を簡単にするためにいくつかの制限（用いた数値が実数の場合は有理数、複素数の場合は実部、虚部ともに有理数であること、多項式ｅｊ（ｘ）は、ｅｊ（ｘ）＝ｘｊであること、境界は閉曲線であって領域Ｄは有界であること。）を設けているが、既述のとおり、これらの制限はいずれも必須のものではないことに留意しなければならない。
【０１４５】
また、上記の具体例では、境界Ｃは４つの区分境界によって構成された。しかしながら、境界Ｃは必ず複数の区分境界によって構成されなければならないものではなく、境界Ｃを１つの区分境界（この場合、「区分」境界という言葉は正確ではないが、対比を容易にするために敢えて使用している。）で構成することでもよい。その一例としては、境界Ｃをパラメータｓによってφ（ｓ）＋ｉ・ψ（ｓ）と表すとすると、有理数係数有理式φ（ｓ）、ψ（ｓ）を式（２４）で表すものが挙げられる。
【数２１】
2007034990.tif 000023
【産業上の利用可能性】
【０１４６】
本発明は、例えば、多項式の係数に誤差を含むため一意に多項式を決定できない場合において、当該多項式の零点が所定の領域に存在するかを判定したい場合などに用いられ、そのような場合の一例として、ディジタル信号処理におけるディジタルフィルタ（例えば、ＩＩＲ〔Infinite Impulse Response〕フィルタ）の周波数特性の解析などに有用である。
【図面の簡単な説明】
【０１４７】
【図１】零点位置判定装置（１）のハードウェア構成を例示した構成ブロック図。
【図２】零点位置判定の処理フロー（その１）。
【図３】零点位置判定の処理フロー（その２）。
【図４】零点位置判定の処理フロー（その３）。
【図５】零点位置判定の処理フロー（その４）。
【図６】零点位置判定の処理フロー（その５）。
【図７】零点位置判定の処理フロー（その６）。
【図８】零点位置判定の処理フロー（その７）。
【図９】零点位置判定装置（１）における処理機能を示す機能ブロック図。
【図１０】（ａ）原点中心の半径１＋Ｍ／ｍの円、境界Ｃおよび領域Ｄの関係を示す図。（ｂ）原点中心の半径１＋Ｍ／ｍの円、原点中心の半径Ｒの円、境界Ｃ、領域Ｄおよび領域Ｅの関係を示す図。
【図１１】Ｓ＝[0.28，0.34]におけるk(s)=0.99ｓ4−1.3ｓ3＋3.6672ｓ2−2.132ｓ＋0.371504のグラフ。
【図１２】Ｓ＝[0.28，0.34]におけるk(s)=0.9801s8−2.574s7＋8.95096s6−13.7561s5＋19.7267s4−16.6029s3＋7.2697s2−1.58409s＋0.137843のグラフ。
【図１３】Ｓ＝[0.7，1.3]におけるk(s)=0.99s4−1.81325s2＋0.787543のグラフ。
【図１４】Ｓ＝[0.7，1.3]におけるk(s)=0.9801s8−3.59033s6＋4.84697s4−2.85616s2＋0.620211のグラフ。
【符号の説明】
【０１４８】
１        零点位置判定装置
１４０    境界種判定制御部
１４１    第１次数判定制御部
１４２    交点判定部
１４３    共通領域判定部
１４４    有界性判定制御部
１４５    代表多項式選択部
１４６    境界上零点判定制御部
１４７    領域内部零点判定制御部
１４８    区分境界選択部
１４９    条件式第２判定制御部
１４１０  境界設定部
１４１４  交点数判定制御部
１４１５  共通領域判定制御部
１４１６  条件式第１判定部
１４１７  恒等式判定制御部
１４１８  第２次数判定制御部
１９１    第１反復制御部
１９２    第２反復制御部
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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