(57)【要約】【課題】本発明は非分離型多項式で表される２次元ＩＩＲフィルタを設計するための２次元フィルタ設計方法及び２次元ＩＩＲフィルタ設計プログラムに関し、安定性を保証しつつ非分母分離型２次元ＩＩＲフィルタの設計が行なえる２次元ＩＩＲフィルタの設計方法及び２次元ＩＩＲフィルタを提供することを目的とする。【解決手段】本発明は、繰返近似法を用いて非分母分離型多項式を持つ２次元ＩＩＲフィルタを設計する２次元ＩＩＲフィルタ設計方法であって、非分母分離型多項式の分母多項式の係数更新時に係数の更新量に制限を与えたことを特徴とする。【選択図】図２
2007027876.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
繰返近似法を用いて非分母分離型多項式を持つ２次元ＩＩＲフィルタを設計する２次元ＩＩＲフィルタ設計方法であって、
前記非分母分離型多項式の分母多項式の係数更新時に係数の更新量に制限を与えたことを特徴とする２次元ＩＩＲフィルタ設計方法。
【請求項２】
前記係数の更新量の制限は、前記非分離型の分母多項式のすべての極がフィルタ係数更新後も分母多項式の極の最大半径が１以下に収まるようにすることを特徴とする請求項１記載の２次元ＩＩＲフィルタ設計方法。
【請求項３】
前記２次元ＩＩＲフィルタの分母多項式の目標関数が
【数１】
2007027876.tif 000062
で与えられており、
誤差関数を
【数２】
2007027876.tif 000063
許容誤差を
【数３】
2007027876.tif 000064
とし、
Ｎ1、Ｎ2次の安定な多項式の周波数応答、及び、位相を
【数４】
2007027876.tif 000065
０次の係数が０である係数更新量を多項式係数とするＮ1、Ｎ2次の安定な多項式の周波数応答及び位相を
【数５】
2007027876.tif 000066
としたときに、
【数６】
2007027876.tif 000067
で表されるβ及び、更新量
【数７】
2007027876.tif 000068
を用いて
【数８】
2007027876.tif 000069
によって、係数更新式が与えられることを特徴とする請求項１又は２記載の２次元ＩＩＲフィルタ設計方法。
【請求項４】
コンピュータに、
非分母分離型多項式に初期値を与える第１の手順と、
与えられた初期値に基づいて繰返近似法により周波数応答特性を生成する第２の手順とを実行させ、
前記第２の手順は、前記非分母分離型多項式の分母多項式の係数更新時に係数の更新量に制限を与えることを特徴とするコンピュータに読み取り可能な２次元ＩＩＲフィルタ設計プログラム。
【請求項５】
前記第２の手順は、係数の更新量の制限が前記非分離型の分母多項式のすべての極がフィルタ係数更新後も分母多項式の極の最大半径が１以下に収まるようにすることを特徴とする請求項４記載の２次元ＩＩＲフィルタ設計プログラム。
【請求項６】
前記２次元ＩＩＲフィルタの分母多項式の目標関数が
【数９】
2007027876.tif 000070
で与えられており、
誤差関数を
【数１０】
2007027876.tif 000071
許容誤差を
【数１１】
2007027876.tif 000072
とし、
Ｎ1、Ｎ2次の安定な多項式の周波数応答、及び、位相を
【数１２】
2007027876.tif 000073
０次の係数が０である係数更新量を多項式係数とするＮ1、Ｎ2次の安定な多項式の周波数応答及び位相を
【数１３】
2007027876.tif 000074
としたときに、
【数１４】
2007027876.tif 000075
で表されるβ及び、更新量
【数１５】
2007027876.tif 000076
を用いて
【数１６】
2007027876.tif 000077
によって、係数更新式が与えられることを特徴とする請求項４又は５記載の２次元ＩＩＲフィルタプログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は２次元ＩＩＲフィルタ設計方法及び２次元ＩＩＲフィルタ設計プログラムに係り、特に、非分離型多項式で表される２次元ＩＩＲフィルタを設計するための２次元フィルタ設計方法及び２次元ＩＩＲフィルタ設計プログラムに関する。
【背景技術】
【０００２】
２次元ディジタルフィルタは、静止画像処理や動画像処理などを含めてさまざまな分野で用いられている。２次元ディジタルフィルタは、ＦＩＲ型とＩＩＲ型に大別される。
【０００３】
このうち、２次元ＦＩＲフィルタは常に安定性が補償され、完全な直線位相特性を実現できるが、急峻な遷移域特性を実現するには、多くの次数を必要とし、ハードウェアの増加や処理速度が遅いなどの課題があった。
【０００４】
一方、２次元ＩＩＲフィルタは２次元ＦＩＲフィルタと同等の特性を低い次数で実現できるため、２次元ＦＩＲフィルタに比べてハードウェアを減少させ、処理速度も早くできるなどの利点を有する。このため、近年、２次元ディジタルフィルタとしては、２次元ＩＩＲフィルタが注目されている。
【０００５】
２次元ＩＩＲフィルタは、分母多項式の構造上から、分母分離型と非分母分離型に大別される。
【０００６】
分母分離型の２次元ＩＩＲフィルタは、分母多項式の積の形が因数分解可能な伝達関数であり、因数分解された個々の多項式は１次元の場合と同様に扱うことができる（非特許文献１参照）。これによって、２次元ＩＩＲフィルタを設計する場合には、１次元ＩＩＲフィルタと同様に扱うことができる。したがって、１次元ＩＩＲフィルタと同様に安定性を保証できるとともに、設計を比較的簡単に行なえる。しかしながら、分離型２次元ＩＩＲフィルタは、得られる特性に制約があった。
【０００７】
一方、非分母分離型ＩＩＲフィルタは、分離型フィルタに比べて得られる特性に制約がなく、また、同じ次数の伝達関数を用いた場合、分離型に比べて、小さな誤差リップルで実現できる。しかし、非分母分離型ＩＩＲフィルタは１次元ＩＩＲフィルタと同様に扱うことができないため、設計する上で重要となる安定性を保証できなかった。
【非特許文献１】杉田泰則、相川直幸、”逐次射影法を用いた分母分離型２次元フィルタの一設計方法、”19th signal processing symposium,c2-4 nov.,2004.
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００８】
本発明は、安定性を保証しつつ非分母分離型２次元ＩＩＲフィルタの設計が行なえる２次元ＩＩＲフィルタの設計方法及び２次元ＩＩＲフィルタプログラムを提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００９】
本発明は、上記課題を解決するために、繰返近似法を用いて非分母分離型多項式を持つ２次元ＩＩＲフィルタを設計する２次元ＩＩＲフィルタ設計方法であって、
前記非分母分離型多項式の分母多項式の係数更新時に係数の更新量に制限を与えたことを特徴とする。
【００１０】
また、係数の更新量の制限は、前記非分離型の分母多項式のすべての極がフィルタ係数更新後も分母多項式の極の最大半径が１以下に収まるようにすることを特徴とする。
【００１１】
さらに、２次元ＩＩＲフィルタの分母多項式の目標関数が
【００１２】
【数１】
2007027876.tif 000003
で与えられており、
誤差関数を
【００１３】
【数２】
2007027876.tif 000004
許容誤差を
【００１４】
【数３】
2007027876.tif 000005
とし、
Ｎ1、Ｎ2次の安定な多項式の周波数応答、及び、位相を
【００１５】
【数４】
2007027876.tif 000006
０次の係数が０である係数更新量を多項式係数とするＮ1、Ｎ2次の安定な多項式の周波数応答及び位相を
【００１６】
【数５】
2007027876.tif 000007
としたときに、
【００１７】
【数６】
2007027876.tif 000008
で表されるβ及び、更新量
【００１８】
【数７】
2007027876.tif 000009
を用いて
【００１９】
【数８】
2007027876.tif 000010
によって、係数更新式が与えられることを特徴とする。
【発明の効果】
【００２０】
本発明によれば、繰り返し近似法により非分離型２次元ＩＩＲフィルタを設計する際に、分母多項式の係数更新時に分母多項式の係数の更新量に制限を加えることにより、Ｚ1−Ｚ2空間上において係数更新後の分母多項式の極の最大半径を１以下に納めることを保証することにより、非分離型２次元ＩＩＲフィルタ設計の安定化を図れるなどの特長を有する。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２１】
図１は本発明の一実施例のシステム構成図を示す。
【００２２】
本実施例の２次元ＩＩＲフィルタ設計システム１００は、いわゆる、コンピュータシステムから構成されており、主に、入力装置１１１、記憶装置１１２、ＣＰＵ１１３、メモリ１１４、出力装置１１５から構成されている。
【００２３】
入力装置１１１は、キーボード、マウスなどから構成されており、必要とする特性を得るための係数の入力を行なう際に用いられる。記憶装置１１２は、ハードディスクドライブ、可換式ディスクドライブから構成されており、２次元ＩＩＲフィルタ設計プログラムなどが記憶されている。ＣＰＵ１１３は、記憶装置１１２に記憶された２次元ＩＩＲフィルタ設計プログラムに基づいてデータ処理を行い、所望の特性を有する２次元ＩＩＲフィルタを得るための係数を算出する。
【００２４】
メモリ１１４は、ＲＡＭ、ＲＯＭなどから構成されており、ＣＰＵ１１３の作業用記憶領域として用いられる。出力装置１１５は、ディスプレイ、プリンタなどから構成されており、２次元ＩＩＲフィルタ設計プログラムにより取得した係数などを表示する。
【００２５】
表示された係数を２次元ＩＩＲフィルタプログラムの係数として設定することにより、所望の特性を有する２次元ＩＩＲフィルタを取得できる。
【００２６】
次に２次元ＩＩＲフィルタ設計プログラムについて説明する。
【００２７】
図２は２次元ＩＩＲフィルタ設計プログラムの処理フローチャートを示す。
【００２８】
ＣＰＵ１１３は、ステップＳ１−１で後述する目的関数、条件を設定する。次にＣＰＵ１１３は、ステップＳ１−２で目的関数の分子多項式及び分母多項式に初期係数を設定する。
【００２９】
次にＣＰＵ１１３は、ステップＳ１−３でフィルタ係数を更新するための周波数点を探索する。ＣＰＵ１１３は、ステップＳ１−４で後述する条件に基づいて分子多項式、分母多項式のフィルタ係数更新量を決定する。このとき、分母多項式の係数更新時に係数の更新量に制限が与えている。係数の更新量の制限は、非分離型の分母多項式のすべての極がフィルタ係数更新後も分母多項式の極の最大半径が１以下に収まるように設定されている。
【００３０】
２次元ＩＩＲフィルタの分母多項式の目標関数が
【００３１】
【数９】
2007027876.tif 000011
で与えられており、誤差関数を
【００３２】
【数１０】
2007027876.tif 000012
許容誤差を
【００３３】
【数１１】
2007027876.tif 000013
とし、Ｎ1、Ｎ2次の安定な多項式の周波数応答、及び、位相を
【００３４】
【数１２】
2007027876.tif 000014
０次の係数が０である係数更新量を多項式係数とするＮ1、Ｎ2次の安定な多項式の周波数応答及び位相を
【００３５】
【数１３】
2007027876.tif 000015
としたときに、
【００３６】
【数１４】
2007027876.tif 000016
で表されるβ及び、更新量
【００３７】
【数１５】
2007027876.tif 000017
を用いて
【００３８】
【数１６】
2007027876.tif 000018
によって、係数更新式が与えられている。
【００３９】
ＣＰＵ１１３は、ステップＳ１−５で解が収束すると、処理を終了する。収束しなければ、ステップＳ１−３で再び周波数点の探索を行う。
【００４０】
〔逐次射影法による２次元ＩＩＲフィルタの設計〕
次に、２次元ＩＩＲフィルタ設計プログラムによる２次元ＩＩＲフィルタの設計方法について説明する。
【００４１】
まず、式の記述を簡略化するために
【００４２】
【数１７】
2007027876.tif 000019
と置く。
【００４３】
一般に、非分離型２次元ＩＩＲフィルタの周波数応答は、式（１）で表せる。
【００４４】
【数１８】
2007027876.tif 000020
である。
【００４５】
ここで、設計しようとするフィルタの振幅特性
【００４６】
【数１９】
2007027876.tif 000021
及び位相特性
【００４７】
【数２０】
2007027876.tif 000022
をもつフィルタの周波数特性を
【００４８】
【数２１】
2007027876.tif 000023
とする。
【００４９】
このとき、フィルタの設計は、
【００５０】
【数２２】
2007027876.tif 000024
を満たすフィルタ係数
【００５１】
【数２３】
2007027876.tif 000025
を求めることに相当する。
【００５２】
しかしながら、式（３）は複素有理関数であるため逐次射影法を用いて直接最適化することは非常に困難である。
【００５３】
そこで、本発明者は”杉田泰則、相川直幸、「安定性を考慮したＩＩＲディジタルフィルタの設計」信号論(A),Vol.185A,No.6，pp.735-740,june,2002.”において、伝達関数が複素有理関数となる１次元ＩＩＲフィルタの設計問題を、逐次射影法を用いて解く方法を提案した。この方法を式（３）に適用すると、式（３）は
【００５４】
【数２４】
2007027876.tif 000026
で表せる。この場合、一つ前の係数は単なる実数となる。よって、式（４）は重み付き複素誤差の最小化問題となる。
【００５５】
さらに、複素チェビシェフ近似に拡張した逐次射影法を用いると、式（４）は以下の式（５）に置き換えることができる。
【００５６】
【数２５】
2007027876.tif 000027
ただし、分子は、
【００５７】
【数２６】
2007027876.tif 000028
となり、分母は、
【００５８】
【数２７】
2007027876.tif 000029
となる。ここで、式（６）におけるｔnは、次数領域に変換するための角度であり、
【００５９】
【数２８】
2007027876.tif 000030
となりる。ｔnを決めるためのｘnとｙnはそれぞれ以下の式（１１）、（１２）により求められる。
【００６０】
【数２９】
2007027876.tif 000031
同様に、式（７）における回転角度ｔdは、
【００６１】
【数３０】
2007027876.tif 000032
で表される。回転角度ｔdを決めるためのｘd、ｙdはそれぞれ以下の式（１２）、（１３）により求められる。
【００６２】
【数３１】
2007027876.tif 000033
ところで、式（４）で解が収束した場合、
【００６３】
【数３２】
2007027876.tif 000034
となる。ここで、すべての角周波数
【００６４】
【数３３】
2007027876.tif 000035
において実数変換された式（５）を満たす係数ベクトルａ、ｂを求めることが、式（４）を満たす係数ベクトルａ、ｂを求めることと等価となる。
【００６５】
いま、式（５）のｎ＋１回繰り返しの誤差関数は、下記の式（１４）によって与えられる。
【００６６】
【数３４】
2007027876.tif 000036
ただし、
【００６７】
【数３５】
2007027876.tif 000037
である。
【００６８】
なお、フィルタの設計を逐次射影法を用いて設計することは、ある周波数点
【００６９】
【数３６】
2007027876.tif 000038
において、式（１７）に示す評価関数を最小にすることと等価である。
【００７０】
【数３７】
2007027876.tif 000039
ここで、αはラグランジュ乗数であり、
【００７１】
【数３８】
2007027876.tif 000040
2007027876.tif 000041
であり、これが目的関数となる。
【００７２】
このとき、式（１６）に示す評価関数を最小にすることは、上記目的関数である式（１８）、（１９）を最小とすることに相当する。
【００７３】
式（１７）に示す評価関数Ｅは、
【００７４】
【数３９】
2007027876.tif 000042
を満たす点で最小となる。係数更新式は、
【００７５】
【数４０】
2007027876.tif 000043
が得られる。これらを式（１５）に代入し、αを求め、式（２２）、（２３）に代入すると、分母多項式と分子多項式の任意の係数更新式は、
【００７６】
【数４１】
2007027876.tif 000044
となる。ただし、
【００７７】
【数４２】
2007027876.tif 000045
である。また、
【００７８】
【数４３】
2007027876.tif 000046
2007027876.tif 000047
は、次式を満足する最も仕様から外れた周波数である。
【００７９】
【数４４】
2007027876.tif 000048
を満足する。また、ｔnm、ｔdmはその時の実数領域に変換するための回転角である。射影する際にはこの点を選べば経験的に収束が早くなる。
【００８０】
更新式（２４）〜（２８）より明らかなように、係数の更新に必要となるのは従来提案されている逐次射影法と同様にフィルタ係数
【００８１】
【数４５】
2007027876.tif 000049
は、前回のフィルタ係数
【００８２】
【数４６】
2007027876.tif 000050
、許容誤差λ、極値周波数点
【００８３】
【数４７】
2007027876.tif 000051
により更新されることがわかる。
【００８４】
したがって、計算により閉じた範囲で関数が最大となる点を検知すればよいので、計算に必要なメモリは小さくて済む。また、アルゴリズムが簡単な繰り返し近似法で済む。
【００８５】
フィルタを設計する場合には、安定性の保証が必要であるが、式（２４）では安定性は補償されていない。
【００８６】
〔安定性の保証〕
繰り返し近似において、係数更新後も安定した多項式を得るには、[bogdan dumitrescu,"2-d convex stability domain,"IEEE signals,circuits & syst.,vol.2,pp.465-468,july,2003.]より、下記の式（３０）の条件を満たすことが必要となることが知られている。
【００８７】
【数４８】
2007027876.tif 000052
なお、ここで、Ａ(ω1,ω2)をＮ1、Ｎ2次の安定な任意の多項式の周波数応答とすると、
【００８８】
【数４９】
2007027876.tif 000053
は０次の係数が０である係数更新量を多項式係数とするＮ1、Ｎ2次の多項式の周波数応答である。
【００８９】
ここで、式（３０）の安定条件を満足するには、ω1、ω2は、[−π，π]の周波数領域で、
【００９０】
【数５０】
2007027876.tif 000054
を満たす
【００９１】
【数５１】
2007027876.tif 000055
を見つければよいことになる。
【００９２】
いま、式（３１）を満たすには、少なくとも
【００９３】
【数５２】
2007027876.tif 000056
を満たす最大となるβを求めればよい。だたし、
【００９４】
【数５３】
2007027876.tif 000057
は、
【００９５】
【数５４】
2007027876.tif 000058
の位相である。
【００９６】
よって、このβを用いると、式（２４）に示す更新式は、
【００９７】
【数５５】
2007027876.tif 000059
となる。
【００９８】
〔設計例〕
次に、本実施例の有効性を示す設計例について説明を行なう。
【００９９】
ここでは、分離型の１次元フィルタの設計で安定となる初期値に係数を乗じたものを非分離型の分母多項式の初期値とした。また、分子多項式の初期値は、すべて「１」とした。
【０１００】
〔第１設計例〕
本設計例では、文献「W.S.Lu"A Unified  Approach for the Design of 2D-Digital Filters Via Semidefinite Programming,"IEEE Signals,Circuits & Syst.,Vol.49,No.6,pp.814-826,June,2002. 」に示されている設計方法との比較を行なうために、仕様を
【０１０１】
【数５６】
2007027876.tif 000060
とし、評価点を
Ｇ1＝Ｇ2＝２００
とした場合の設計例について検証する。
【０１０２】
図３は第１設計例の仕様により得られるフィルタの振幅特性図、図４、図５は第１設計例の仕様により得られるフィルタの郡遅延特性図を示す。
【０１０３】
図３に示す振幅特性から等リプルになっていることが分かる。その時の最大誤差リプルは通過域において０．０３１５（０．２６９dB）、阻止域において０．０１８０（−３４．８９５dB）となった。例えば、文献「W.S.Lu"A Unified  Approach for the Design of 2D-Digital Filters Via Semidefinite Programming,"IEEE Signals,Circuits & Syst.,Vol.49,No.6,pp.814-826,June,2002. 」の結果では、通過域の誤差リプルが０．３１５（０．２６９dB）、阻止域の誤差リプルが０．３１９（−２９．９２４dB）であり、本実施例の設計方法で設計されたフィルタのほうが阻止域において小さな誤差リプルで近似されていることが分かる。また、本実施例では、図４、図５に示す郡遅延特性も所望の特性に近似されていることが分かる。
【０１０４】
〔第２設計例〕
本設計例では、文献「杉田泰則、相川直幸、”逐次射影法を用いた分母分離型２次元フィルタの一設計方法、”19th signal processing symposium,c2-4 nov.,2004.」に示されている設計方法との比較を行なうため、仕様を
【０１０５】
【数５７】
2007027876.tif 000061
とし、評価点を
Ｇ1＝Ｇ2＝１００
とした場合の設計例について検証する。
【０１０６】
図６は第２設計例の仕様により得られるフィルタの振幅特性図、図７、図８は第２設計例の仕様により得られるフィルタの郡遅延特性図を示す。
【０１０７】
図６に示す振幅特性から等リプルになっていることが分かる。その時の最大誤差リプルは通過域において０．０７９４（０．６６４dB）、阻止域において０．０２７０（−３１．３７３dB）となった。例えば、「杉田泰則、相川直幸、”逐次射影法を用いた分母分離型２次元フィルタの一設計方法、”19th signal processing symposium,c2-4 nov.,2004.」の結果では、通過域の誤差リプルが０．０７９４（０．６６４dB）、阻止域の誤差リプルが０．０３５０（−２９．１１９dB）であり、本実施例の設計方法で設計されたフィルタのほうが阻止域においては小さな誤差リプルで近似されていることが分かる。また、本実施例では、図７、図８に示す郡遅延特性も所望の特性に近似されていることが分かる。
【０１０８】
以上の第１設計例及び第２設計例から非分離型２次元ＩＩＲフィルタの方が分母分離型２次元ＩＩＲフィルタに比べて誤差リプルが小さいことが検証できた。
【０１０９】
〔効果〕
本実施例によれば、繰り返し近似法により非分離型２次元ＩＩＲフィルタを設計する際に、分母多項式の係数更新時に分母多項式の係数の更新量に制限を加えることにより、Ｚ1−Ｚ2空間上において係数更新後の分母多項式の極の最大半径を１以下に納めることを保証することにより、非分離型２次元ＩＩＲフィルタの設計の安定化が図れる。
【図面の簡単な説明】
【０１１０】
【図１】本発明の一実施例のブロック構成図である。
【図２】２次元ＩＩＲフィルタの設計プログラムの処理フローチャートである。
【図３】第１設計例の仕様により得られるフィルタの振幅特性図である。
【図４】第１設計例の仕様により得られるフィルタの郡遅延特性図である。
【図５】第１設計例の仕様により得られるフィルタの郡遅延特性図である。
【図６】第２設計例の仕様により得られるフィルタの振幅特性図である。
【図７】第２設計例の仕様により得られるフィルタの郡遅延特性図である。
【図８】第２設計例の仕様により得られるフィルタの郡遅延特性図である。
【符号の説明】
【０１１１】
１００  ２次元ＩＩＲフィルタ設計装置
１１１  入力装置、１１２  記憶装置、１１３  ＣＰＵ、１１４  メモリ
１１５  出力装置
【図１】
2007027876.tif 000078
【図２】
2007027876.tif 000079
【図３】
2007027876.tif 000080
【図４】
2007027876.tif 000081
【図５】
2007027876.tif 000082
【図６】
2007027876.tif 000083
【図７】
2007027876.tif 000084
【図８】
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