(57)【要約】【課題】多くのバリエーションを持ち、ある程度作成者側の意図した形態で、より自然の形態に近いフラクタル画像を簡易に形成できるようにする。【解決手段】自己相似集合指定部１０は、ユーザの指定に基づいて縮小写像ｆ１、…、ｆｎの自己相似集合Ａを構成する。基本アドレス集合指定部１１は、ユーザの指定に基づいて基本アドレス集合Ｍを決定する。生成規則取得部１２は、仮想的な縮小写像族を用いて構成された自己相似集合の重複アドレス集合全体が基本アドレス集合Ｍと一致するという前提のもとで、仮想的な縮小写像ｇ１、…、ｇｎにより構成される自己相似集合Ｂ内に部分自己相似集合を構成する規則を取得する。部分自己相似集合取得部１３は、この規則をもとの縮小写像ｆ１、…、ｆｎに当てはめて、最終的な部分自己相似集合を生成する。画像描画部１４は、生成した部分自己相似集合を用いてフラクタル画像を形成する。【選択図】図２
2007241409.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
ｎ個（ｎ≧２）の縮小写像ｆ１、…、ｆｎから構成される自己相似集合Ａの部分自己相似集合を生成して当該部分自己相似集合を表す画像を形成する画像処理装置において、
各々がｎ個の無限数値列から構成される所定数のアドレスからなる基本アドレス集合Ｍを指定する基本アドレス集合指定手段と、
前記基本アドレス集合Ｍと仮想的なｎ個の縮小写像ｇ１、…、ｇｎから構成される自己相似集合Ｂとを用いて前記自己相似集合Ｂ内の部分自己相似集合Ｇの生成規則を取得する生成規則取得手段と、
前記自己相似集合Ａを構成する前記縮小写像ｆ１、…、ｆｎに前記生成規則を適用させて前記自己相似集合Ａ内の部分自己相似集合Ｆを生成する部分自己相似集合生成手段とを有することを特徴とする画像処理装置。
【請求項２】
前記仮想的なｎ個の縮小写像ｇ１、…、ｇｎから構成される自己相似集合Ｂの各片ｇｉ（Ｂ）が相互に重複する部分のアドレス全体が前記基本アドレス集合Ｍとなるように、ｇ１、…、ｇｎが選択されている請求項１記載の画像処理装置。
【請求項３】
前記自己相似集合Ｂ内の部分自己相似集合Ｇは、前記基本アドレス集合Ｍの各アドレスの後方シフト射影全体により構成される生成アドレス集合Ｐを前記自己相似集合Ｂ上へ射影した集合を含む、前記自己相似集合Ｂの部分連続体のうち、最小のものとして定められる請求項１または２記載の画像処理装置。
【請求項４】
前記自己相似集合Ｂ内の部分自己相似集合Ｇは更に、有限個の部分集合Ｇｉの和として定義され、各部分集合Ｇｉはｓｏｆｉｃ  ｓｙｓｔｅｍにより構成される請求項１、２または３記載の画像処理装置。
【請求項５】
前記ｎ個の縮小写像ｆ１、…、ｆｎから構成される自己相似集合Ａは弧状連結型である請求項１〜４のいずれかに記載の画像処理装置。
【請求項６】
前記ｎ個の縮小写像ｆ１、…、ｆｎから構成される弧状連結型の自己相似集合Ａの重複部分から所定数の点を選択し、該選択したそれぞれの点の擬アドレス全体を基本アドレス集合Ｍとする請求項１〜５のいずれかに記載の画像処理装置。
【請求項７】
前記部分自己相似集合Ｇが閉曲線を含まないように、前記基本アドレス集合Ｍが選択されている請求項１〜６のいずれかに記載の画像処理装置。
【請求項８】
前記部分自己相似集合生成手段により生成した部分自己相似集合を、前記ｎ個の縮小写像によってそれぞれ所定回数写像しながら、新たな部分自己相似集合を構成する請求項１〜７のいずれかに記載の画像処理装置。
【請求項９】
ｎ個（ｎ≧２）の縮小写像ｆ１、…、ｆｎから構成される自己相似集合Ａの部分自己相似集合を生成して当該部分自己相似集合を表す画像を形成する画像処理方法において、
基本アドレス集合指定手段が、各々がｎ個の無限数値列から構成される所定数のアドレスからなる基本アドレス集合Ｍを指定するステップと、
生成規則取得手段が、前記基本アドレス集合Ｍと仮想的なｎ個の縮小写像ｇ１、…、ｇｎから構成される自己相似集合Ｂとを用いて前記自己相似集合Ｂ内の部分自己相似集合Ｇの生成規則を取得するステップ、
部分自己相似集合生成手段が、前記自己相似集合Ａを構成する前記縮小写像ｆ１、…、ｆｎに前記生成規則を適用させて前記自己相似集合Ａ内の部分自己相似集合Ｆを生成するステップとを有することを特徴とする画像処理方法。
【請求項１０】
ｎ個（ｎ≧２）の縮小写像ｆ１、…、ｆｎから構成される自己相似集合Ａの部分自己相似集合を生成して当該部分自己相似集合を表す画像を形成する画像処理方法において、
基本アドレス集合指定手段が、各々がｎ個の無限数値列から構成される所定数のアドレスからなる基本アドレス集合Ｍを指定するステップと、
生成規則取得手段が、前記基本アドレス集合Ｍと仮想的なｎ個の縮小写像ｇ１、…、ｇｎから構成される自己相似集合Ｂとを用いて前記自己相似集合Ｂ内の部分自己相似集合Ｇの生成規則を取得するステップ、
部分自己相似集合生成手段が、前記自己相似集合Ａを構成する前記縮小写像ｆ１、…、ｆｎに前記生成規則を適用させて前記自己相似集合Ａ内の部分自己相似集合Ｆを生成するステップとをコンピュータに実行させるために用いられることを特徴とする画像処理用コンピュータプログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、部分自己相似集合を用いてフラクタル画像を形成する画像処理技術に関し、とくに簡易に部分自己相似集合を生成できるようにしたものである。
【背景技術】
【０００２】
縮小写像の族から決定される自己相似集合は、フラクタルの典型的な例として公知である。自己相似集合とは完備距離空間における縮小写像ｆ１、…、ｆｎから一意的に定められる集合で、Ａ＝∪ｆｉ=1n（Ａ）を満たすコンパクト集合Ａとして定義され、自分自身がｎ個の縮小コピーの和から構成されるという性質を持つ。自己相似集合には、Ｃａｎｔｏｒ集合、Ｋｏｃｈ曲線、Ｌｅｖｙ曲線、Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ  Ｔｒｉａｎｇｌｅ、高木曲線など名前が付けられた集合をはじめとして、様々な形態を持った集合がある。特に、一部の自己相似集合は自然界に存在する複雑な形態のよいモデルであることが知られており、例えば、畑の樹木様集合や、Ｂａｒｎｓｌｅｙのシダの葉などがこれに相当している。また、より一般に、縮小写像をうまく選択することによって、複雑な形態を自己相似集合として近似することができることも知られている。これらの自己相似フラクタルの性質については、例えば非特許文献１に挙げる文献に詳しい。自己相似集合は、例えば非特許文献１に詳述されているｒａｎｄｏｍ  ｉｔｅｒａｔｉｏｎ  ａｌｇｏｒｉｔｈｍや、ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃ  ａｌｇｏｒｉｔｈｍなどの方法で容易に描画することができる。
【０００３】
このように、自己相似集合は複雑な形態や自然の形態の表現において好ましいモデルを与えるものではあるが、その反面、任意の形態に近い形態を自己相似集合から得ようとすると、一般に縮小写像の数が増大するという問題がある。更に、この際の形態の近似はハウスドルフ距離と呼ばれる距離によるものであり、人間の視覚で認識される近さと異なるという点も問題になる。また、自己相似集合の利用に関する別な方向性として、“それらしく見える”複雑な形態を与える、という方向性があり、自己相似集合の特性からは、むしろこの方向性の方が適した方向性とも考えられる。しかしながら、ここで“自己相似”という制約のために、得られる形態に人工的な要素が残るという問題が生じる。
【０００４】
一方、上記の縮小写像ｆ１、…、ｆｎに対して、Ｆ⊂∪i=1nｆｉ（Ｆ）を満たすコンパクト集合Ｆは、部分自己相似集合と呼ばれる。つまり、部分自己相似集合は、自分自身がｎ個の縮小コピーの和から構成される集合に含まれるという性質を持つ。部分自己相似集合は、自己相似集合のように一意的には定められず、多くの集合を含んでおり、自己相似集合Ａ自身や、自己相似集合Ａの境界集合なども部分自己相似集合の定義を満たしている。このことから分かるように、部分自己相似集合は、縮小写像の族から決定されるフラクタルのより一般的な姿であると言える。なお、部分自己相似集合の数学的な性質は、例えば非特許文献２に詳しい。
【０００５】
部分自己相似集合は、自己相似集合を含む広汎な集合を有しているため、当然、上述した自己相似集合の持つ複雑な形態表現にも、自己相似集合以上に適していると考えられる。しかしながら、部分自己相似集合の描画法としては、例えば非特許文献５に開示されているＳｏｆｉｃ  Ｓｙｓｔｅｍによるもの程度しか公知となっていない。これらの方法は、部分自己相似集合の一つの一般的な構成法を提供するが、得られる部分自己相似集合の形態を類推したり指定したりするようなことはできず、例えば意図したような形態を持つ部分自己相似集合を得ることはできていない。
【非特許文献１】Ｂａｒｎｓｌｅｙ，“Ｆｒａｃｔａｌｓ  Ｅｖｅｒｙｗｈｅｒｅ” ，Ａｃａｄｅｍｉｃ  Ｐｒｅｓｓ（１９８８）．
【非特許文献２】Ｆａｌｃｏｎｅｒ，“Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ  ｉｎ  Ｆｒａｃｔａｌ Ｇｅｏｍｅｔｒｙ”，Ｊｏｈｎ  Ｗｉｌｅｙ  ＆  Ｓｏｎｓ（１９９７）．
【非特許文献３】Ｈａｔａ，Ｏｎ  ｔｈｅ  ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ  ｏｆ  ｓｅｌｆ−ｓｉｍｉｌａｒ  ｓｅｔｓ，Ｊａｐａｎ  Ｊ．Ａｐｐｌ．Ｍａｔｈ．２（１９８５）３８１−４１４．
【非特許文献４】Ｓ．Ｄｕｂｕｃ，Ａ．Ｅｌｑｏｒｔｏｂｉ，Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ  ｏｆ  ｆｒａｃｔａｌ  ｓｅｔｓ，Ｊ．Ｃｏｍｐｕｔ．Ａｐｐｌ．Ｍａｔｈ．２９（１９９０）７９−８９．
【非特許文献５】Ｂａｎｄｔ，Ｓｅｌｆ−ｓｉｍｉｌａｒ  ｓｅｔｓ  ３．  Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ  ｗｉｔｈ  ｓｏｆｉｃ  ｓｙｓｔｅｍｓ，Ｍｈ．Ｍａｔｈ．１０８（１９８９）８９−１０２．
【非特許文献６】Ｂａｎｄｔ，Ｋｅｌｌｅｒ，Ｓｅｌｆ−ｓｉｍｉｌａｒ  ｓｅｔｓ  ２．  Ａ  ｓｉｍｐｌｅ  ａｐｐｒｏａｃｈ  ｔｏ  ｔｈｅ  ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ  ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ  ｏｆ  ｆｒａｃｔａｌｓ，Ｍａｔｈ．Ｎａｃｈｒ．１５４（１９９１）２７−３９．
【非特許文献７】Ｋａｍｅｙａｍａ，Ｓｅｌｆ−ｓｉｍｉｌａｒ  ｓｅｔｓ  ｆｒｏｍ  ｔｈｅ  ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ  ｐｏｉｎｔ  ｏｆ  ｖｉｅｗ，Ｊａｐａｎ  Ｊ．Ｉｎｄ．Ａｐｐｌ．Ｍａｔｈ．１０（１９９３）８５−９５．
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
本発明は、上述した事情に鑑みてなされたもので、簡易に、部分自己相似集合に準拠したフラクタル画像を形成できるようにし、とくに、少ない縮小画像からでも、多くのバリエーションを持ち、ある程度作成者側の意図した形態で、より自然の形態に近い画像を簡易に形成できるようにすることを目的としている。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
本発明の原理的な構成例は、上述の目的を達成するために、ｎ個の縮小写像から定義される弧状連結型の自己相似集合から、簡易な方法で多様な部分自己相似集合を抽出する。この構成例では、縮小写像族ｆ１、…、ｆｎから構成される自己相似集合Ａのうち、Ａが弧状連結型と呼ばれるタイプに属する場合について、各々がｎ個の無限数値列から構成される所定数のアドレスからなる基本アドレス集合Ｍと、仮想的なｎ個の縮小写像ｇ１、…、ｇｎから構成される自己相似集合Ｂとを用いてＢ内の部分自己相似集合Ｇの生成規則を定め、該生成規則を前記縮小写像ｆ１、…、ｆｎ及び自己相似集合Ａに適用させて自己相似集合Ａ内の部分自己相似集合Ｆを構成する。なお、自己相似集合Ａ内のオーバーラップ領域から複数の点を選択し、各点の重複擬アドレスを計算し、これを基本アドレス集合Ｍとして利用しても良い。
【０００８】
本発明の構成例においては、基本アドレス集合と仮想的な縮小写像族ｇ１、…、ｇｎとから部分自己相似集合を構成する規則を取得し、これを元の縮小写像族ｆ１、…、ｆｎに適用して簡易に所望の部分自己相似集合を生成することができる。
【０００９】
なお、弧状連結型（オーバーラップ型）の自己相似集合を利用することにより、特に部分自己相似集合の形態の種類の豊富さが期待できる。また、自己相似集合のオーバーラップ部分の点の擬アドレスを利用することにより、比較的作成者側の意図を反映した部分自己相似集合形態が得られることが期待できる。
【００１０】
ここで、本発明の構成例を従来の手法との関係で説明しておく。
【００１１】
本発明の構成例では、部分自己相似集合を描画する具体的な方法を開示している。これまで、自己相似集合の描画法は数多く開示されているが、部分自己相似集合の具体的な描画法は開示されていない。上述したように、本発明の構成例では、部分自己相似集合の構成のために、記号力学系と自己相似集合の関係、ｓｏｆｉｃ  ｓｙｓｔｅｍ、位相幾何学的な観点による自己相似集合の取り扱い、など公知の結果を利用している。これらの数学的な結果を前提としているが、本発明の構成例では、更に以下のような重要な性質を利用しており、これらが総合されて部分自己相似集合の描画が可能となっている。
【００１２】
まず第１に、本発明の構成例では、仮想的な縮小写像族を用いて構成された自己相似集合の重複アドレス集合全体が基本アドレス集合Ｍと一致するという前提のもとで、仮想的な縮小写像により構成される自己相似集合内に部分自己相似集合を構成する規則を定め、この規則をもとの縮小写像に当てはめて、最終的な部分自己相似集合を作成している。
【００１３】
次に、第２に仮想的な縮小写像により構成される自己相似集合内に、基本アドレス集合から生成される生成アドレス集合を射影した際に、該射影した生成アドレス集合を含む最小の部分連続体が部分自己相似集合となるという性質を利用している。更に、生成アドレス集合が有限集合である場合に、この部分自己相似集合がｓｏｆｉｃ  ｓｙｓｔｅｍにより構成され、有限回の演算で構成できるという性質を利用している。
【００１４】
また、必ずしも必須ではないが、応用上効果のある性質として、第３に、自己相似集合のうち、弧状連結型の集合を選択し、部分自己相似集合の形態が豊富になることを課し、第４に、該弧状連結型の自己相似集合の重複部分のアドレスを利用して、基本アドレス集合Ｍ、及び生成アドレス集合Ｐを構成することで、最終的に得られる部分自己相似集合に弧状連結性を課しており、部分自己相似集合の形態の応用上の意味をより高いものとしている。このように、数学的な各種の結果に加えて、いくつかの新しい数学的な結果と、実用上の工夫、の組み合わせにより本発明の構成例の部分自己相似集合の構成が可能となっている。
【００１５】
さらに、本発明を説明する。
【００１６】
本発明によれば、上述の目的を達成するために、ｎ個（ｎ≧２）の縮小写像ｆ１、…、ｆｎから構成される自己相似集合Ａの部分自己相似集合を生成して当該部分自己相似集合を表す画像を形成する画像処理装置に：各々がｎ個の無限数値列から構成される所定数のアドレスからなる基本アドレス集合Ｍを指定する基本アドレス集合指定手段と；前記基本アドレス集合Ｍと仮想的なｎ個の縮小写像ｇ１、…、ｇｎから構成される自己相似集合Ｂとを用いて前記自己相似集合Ｂ内の部分自己相似集合Ｇの生成規則を取得する生成規則取得手段と；前記自己相似集合Ａを構成する前記縮小写像ｆ１、…、ｆｎに前記生成規則を適用させて前記自己相似集合Ａ内の部分自己相似集合Ｆを生成する部分自己相似集合生成手段と設けている。
【００１７】
この構成においては、簡易に所望の部分自己相似集合を取得して対応するフラクタル画像を形成できる。
【００１８】
また、この構成において、典型的には、前記仮想的なｎ個の縮小写像ｇ１、…、ｇｎから構成される自己相似集合Ｂの各片ｇｉ（Ｂ）が相互に重複する部分のアドレス全体が前記基本アドレス集合Ｍとなるように、ｇ１、…、ｇｎが選択される。
【００１９】
また、前記自己相似集合Ｂ内の部分自己相似集合Ｇは、前記基本アドレス集合Ｍの各アドレスの後方シフト射影全体により構成される生成アドレス集合Ｐを前記自己相似集合Ｂ上へ射影した集合を含む、前記自己相似集合Ｂの部分連続体のうち、最小のものとして定められることが好ましい。
【００２０】
また、前記自己相似集合Ｂ内の部分自己相似集合Ｇは更に、有限個の部分集合Ｇｉの和として定義され、各部分集合Ｇｉはｓｏｆｉｃ  ｓｙｓｔｅｍにより構成されることが好ましい。
【００２１】
また、前記ｎ個の縮小写像ｆ１、…、ｆｎから構成される自己相似集合Ａは弧状連結型であることが好ましい。
【００２２】
また、前記ｎ個の縮小写像ｆ１、…、ｆｎから構成される弧状連結型の自己相似集合Ａの重複部分から所定数の点を選択し、該選択したそれぞれの点の擬アドレス全体を基本アドレス集合Ｍとすることが好ましい。
【００２３】
また、前記部分自己相似集合Ｇが閉曲線を含まないように、前記基本アドレス集合Ｍが選択されていることが好ましい。
【００２４】
また、前記部分自己相似集合生成手段により生成した部分自己相似集合を、前記ｎ個の縮小写像によってそれぞれ所定回数写像しながら、新たな部分自己相似集合を構成するようにしてもよい。
【００２５】
なお、この発明は装置またはシステムとして実現できるのみでなく、方法としても実現可能である。また、そのような発明の一部をソフトウェアとして構成することができることはもちろんである。またそのようなソフトウェアをコンピュータに実行させるために用いるソフトウェア製品もこの発明の技術的な範囲に含まれることも当然である。
この発明の上述の側面および他の側面は特許請求の範囲に記載され以下実施例を用いて詳述される。
【発明の効果】
【００２６】
本発明によれば、ｎ個の縮小写像から定義される弧状連結型の部分自己相似集合から、簡易な方法で多様な部分自己相似集合を抽出でき、少ない縮小写像からでも、多くのバリエーションを持ち、ある程度作成者側の意図した形態で、より自然の形態に近い形態を与えることができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２７】
以下、この発明の実施例について説明する。
【００２８】
以下、本発明の実施例の画像処理システムについて詳細に説明する。この画像処理システムは部分自己相似集合を生成してこれに基づいてフラクタル画像を生成するものである。
図１は、実施例１の画像処理システム１００（図２参照）の処理フローの概要を示している。以下、処理フローを説明する。
【００２９】
［縮小写像族の決定と自己相似集合の決定（ステップＳ１）］
はじめに、縮小写像族ｆ１、…、ｆｎから構成される自己相似集合Ａを構成する。このとき、自己相似集合Ａは弧状連結型であることが好ましい。ここで、Ａが弧状連結型とは、Ａの任意の点ｘから任意の点ｙへ、Ａ内の点のみを経由して行くことができる場合として定義される。このとき、自己相似集合Ａは図３に示すように、Ａのｎ個の縮小コピーｆ１（Ａ）、…、ｆｎ（Ａ）のうち、任意のｆｉ（Ａ）からｆｊ（Ａ）まで任意のｆｋ（Ａ）（ｋ＝１、…、ｎ）を経由して結ばれていることと同値である。なお、このことは非特許文献３によって公知である。
【００３０】
自己相似集合Ａの構成法としては、非特許文献１に詳述されているｒａｎｄｏｍ  ｉｔｅｒａｔｉｏｎ  ａｌｇｏｒｉｔｈｍや、ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃ  ａｌｇｏｒｉｔｈｍでも良いが、各縮小写像ｆｉに縮小率の値が大きいものが含まれる場合、非特許文献４に詳述されている、仮に濃度均一化法と呼べる方法を使用する方が良い場合が多い。
【００３１】
［重複部分から所定数の点を選択／アドレス計算（ステップＳ２）］
次に、基本アドレス集合Ｍを与える。そのために、構成した自己相似集合Ａの重複部分から所定数の点ａ１、…、ａｍを選択する。ここで、重複部分とは、ｆｉ（Ａ）∩ｆｊ（Ａ）≠Φとなる部分である。一般に、ｆ１、…、ｆｎから構成される自己相似集合Ａの各点には、Ｓ＝｛１、…、ｎ｝としてＳ∞＝｛１、…、ｎ｝∞上に直積位相を導入した記号空間が対応していることが知られている（このような自己相似集合と記号空間との関係は、例えば非特許文献１に詳しい）。従って、自己相似集合Ａ上の点ｘ∈Ａに対して、必ず記号ｓ１ｓ２…ｓｋ…（ｓｉ∈｛１、…、ｎ｝）が対応する。この記号を点ｘのアドレスと呼び、
ｆｓ１ｆｓ２…ｆｓｋ…（Ａ）＝ｘ
の関係を満たしている（以後、左辺式をφf（ｓ）と置く）。そこで、この規則に従って、選択した各点ａ１、…、ａｍに対して、各点のアドレスを計算する。このような記号を対応付けた場合、各ａｉ（ｉ＝１、…、ｍ）はそれぞれ複数のアドレスを持つことに注意する。より具体的には、点ａ１をｆｉ（Ａ）∩ｆｊ（Ａ）から選択した場合、ａ１には、少なくとも２つのアドレス
ｓ１ｓ２…ｓｋ…
ｔ１ｔ２…ｔｋ…
で、ｓ１＝ｉ、ｔ１＝ｊとなるものが対応する。そこで、各点に対してこのようなアドレスを選択しておき、アドレス全体を基本アドレス集合と呼び、Ｍと置く。ここでＭは少なくとも２ｍ個の元を含むことに注意する。
【００３２】
以上の構成法では、Ａから選択した重複点のアドレスを求めて、その全体をＭとしているが、この限りではなく、任意にＭを与えても良い。
【００３３】
［重複アドレスのみ同一視して部分自己相似集合を構成（ステップＳ３）］
次に、Ｍの各アドレスｓ∈Ｍに対して、シフト写像σを
σ（ｓ）＝ｓ２ｓ３…ｓｋ…
で定義する。つまり、σはｓの先頭アドレスを除去する演算として定義される。更に、生成アドレス集合Ｐを
Ｐ＝∪i=1∞σｉ（Ｍ）
で定義する。以下、Ｐが有限集合である場合を考える。Ｐが有限集合となるためには、Ｍの各元がｅｖｅｎｔｕａｌｌｙ  ｐｅｒｉｏｄｉｃ、つまり、σで有限回写像すると周期点に落ちるような場合に達成されることに注意する。
【００３４】
ここで、仮想的に縮小写像族ｇ１、…、ｇｎを考える。この縮小写像族により定められる自己相似集合Ｂが弧状連結型であり、しかも重複部分のアドレスがＭと一致すると仮定する。つまり、
Ｍ＝∪ｉ≠ｊ（φ−１ｇｉ（Ｂ）∩φ−１ｇｊ（Ｂ））
の関係を満たすと仮定する。このときに、集合
Ｇ＝∩｛Ｋ｜Ｋ：Ｂの部分連続体で、φｇ（Ｐ）⊂Ｋ｝
を考えると、Ｇは部分自己相似集合の性質を満たす。更に、Ｇはｓｏｆｉｃ  ｓｙｓｔｅｍと呼ばれる記号力学系の構成法を用いて有限個のコンパクト集合和
Ｇ＝∪i=1ｋＧi
に分解できる。ここで、各Ｇiは、集合Ｑ１、…、Ｑｋを
Ｑi⊂｛１、…、ｎ｝×｛１、…、ｋ｝、Ｑi≠Φ
として、
Ｇi＝∪｛ｇｌ（Ｇｊ）｜（ｌ、ｊ）∈Ｑｉ｝  ｆｏｒ  ｉ＝１、…、ｋ
の形で表現される。なお、このようなｓｏｆｉｃ  ｓｙｓｔｅｍと自己相似集合との一般的な関係付けは、非特許文献５に詳しい。
【００３５】
以上のようにして構成された集合Ｇは、縮小写像族ｇ１、…、ｇｎに対する自己相似集合Ｂの部分自己相似集合となっている。更にｇ１、…、ｇｎの取り方の仮定から、重複部分全体のアドレス集合はＭとなっている。但し、ｇ１、…、ｇｎは仮想的に選択した縮小写像なので、実際にＢやＧを描くことはできない。そこで、最後に、上記のｓｏｆｉｃ  ｓｙｓｔｅｍの構成において使用した集合Ｑ１、…、Ｑｋを用いて、
Ｆi＝∪｛ｆｌ（Ｇｊ）｜（ｌ、ｊ）∈Ｑｉ｝  ｆｏｒ  ｉ＝１、…、ｋ
と置き直し、はじめに具体的に選択されている縮小写像族ｆ１、…、ｆｎを使用する。このとき、
Ｆ＝∪i=1ｋＦi
が部分自己相似集合となり、Ａ⊃Ｆの関係を満たす。このＦが、本発明において求める解となる。以上のようにして、縮小写像族ｆ１、…、ｆｎに対する自己相似集合の重複部分のアドレスによって部分自己相似集合を得ることができる。なお、本発明のこのような構成法から、得られる部分自己相似集合Ｆは、再び弧状連結性を持つことが分かる。
【００３６】
なお、本発明のこのような構造の生成概念は、自己相似集合を位相幾何学的に取り扱う方法として、非特許文献６や非特許文献７において公知である。
【００３７】
［機能構成］
図２は、この実施例の画像処理システム１００の機能構成を示しており、この図において、画像処理システムは典型的にはコンピュータ１０１により実現される。コンピュータ１０１に画像処理用のコンピュータプログラム１０２をインストールして画像処理システムが構成される。なお、以下において説明される機能ブロックは、典型的にはコンピュータ１０１のハードウェア資源およびソフトウェア資源（画像処理用のコンピュータプログラム１０２やオペレーティングシステム等）が協同して実現するものである。
【００３８】
図２において、画像処理システム１００は、自己相似集合指定部１０、基本アドレス集合指定部１１、生成規則取得部１２、部分自己相似集合取得部１３、および画像描画部１４等を含んで構成されている。自己相似集合指定部１０は、ユーザの指定に基づいて縮小写像ｆ１、…、ｆｎの自己相似集合Ａを構成する（図１のステップＳ１）。基本アドレス集合指定部１１は、ユーザの指定に基づいて基本アドレス集合Ｍを決定する（図１のステップＳ２）。生成規則取得部１２は、仮想的な縮小写像族を用いて構成された自己相似集合の重複アドレス集合全体が基本アドレス集合Ｍと一致するという前提のもとで、仮想的な縮小写像ｇ１、…、ｇｎにより構成される自己相似集合Ｂ内に部分自己相似集合を構成する規則を取得する。部分自己相似集合取得部１３は、この規則をもとの縮小写像ｆ１、…、ｆｎに当てはめて、最終的な部分自己相似集合を生成する。画像描画部１４は、生成した部分自己相似集合を用いてフラクタル画像を形成する。形成されたフラクタル画像は、所定の出力デバイス（表示デバイス、印刷デバイス）２００により表示される。
【００３９】
［第１の例］
本発明の実施例の第１の例として、２つの縮小写像ｆ１、ｆ２によって構成される自己相似集合に対して、部分自己相似集合を得る例を述べる。この例は、重複部分の単一のアドレスから部分自己相似集合を形成するものである。
【００４０】
図１４および図１５は、重複部分のアドレスから部分自己相似集合を形成する例を模式的に示しており、この模式的な図を適宜参照されたい（なお、具体的なアドレスに関しては、図のものと以下に説明のものとは異なっている）。
【００４１】
本実施例においては、縮小写像を図４に示すように選択すると、同図に示される自己相似集合が得られる。この場合、自己相似集合Ａ＝ｆ１（Ａ）∪ｆ２（Ａ）について、重複部分ｆ１（Ａ）∩ｆ２（Ａ）は僅か一点集合であり、弧状連結型の自己相似集合を形成している。ここで、重複部分の基本アドレス集合ＭはＭ＝｛１１２（２１）、２２（２１）｝である。なおここで、括弧内の数値は、その数値が無限に続くことを意味している。次に、生成アドレス集合Ｐを求めると、
Ｐ＝｛１２（２１）、２（２１）、（２１）、（１２）｝
となる。ここで、Ｐにより生成される集合Ｇのｓｏｆｉｃ  ｓｙｓｔｅｍは比較的単純に計算でき（後述する例２のアルゴリズムを用いても良い）、例えば
Ｇ１＝ｆ１（Ｇ４）
Ｇ２＝ｆ１（Ｇ５）
Ｇ３＝ｆ１（Ｇ２）∪ｆ１（Ｇ３）∪ｆ２（Ｇ５）
Ｇ４＝ｆ２（Ｇ１）∪ｆ２（Ｇ３）
Ｇ５＝ｆ２（Ｇ４）
として、
Ｇ＝Ｇ１∪Ｇ２∪Ｇ３∪Ｇ４∪Ｇ５
で構成される。図５にＧを図示する。図４の自己相似集合Ａに対してＡ⊃Ｇの関係を満たしていることが分かる。なお、このような部分自己相似集合の描画は、上述したｒａｎｄｏｍ  ｉｔｅｒａｔｉｏｎ  ａｌｇｏｒｉｔｈｍに対して、有向グラフによる写像規則を設けることによって行うことができる。
【００４２】
本例において明白なように、基本アドレス集合ＭをＡの重複点のアドレスから選択するということがＦに弧状連結性を課している。例えばＭを任意に定めた場合、一般にＦが弧状連結になるという保証はない。実際、本例の場合には、ＭをＡの重複点のアドレス以外に設定した場合には、部分自己相似集合の構成自体は可能であるが、Ｆは弧状連結とはならない。
【００４３】
なお、本例による自己相似集合Ａは、ハウスドルフ次元が約１．４４であるのに対して、上記の部分自己相似集合Ｇのハウスドルフ次元は約１．１７となり、部分自己相似集合の方が複雑度合いが低くなっていることが確認できる。一方、上述のＡと同じハウスドルフ次元値と位相構造を持った別の自己相似集合を構成し、部分自己相似集合を構成した際に、該部分自己相似集合がＧと同じ位相構造となる場合であっても、そのハウスドルフ次元はＧの値と一致するとは限らない。これらの次元に関する性質は、応用上その厳密な意味を活かすのは難しいが、一つの性質として、複雑さ（ハウスドルフ次元の意味での）と位相構造とは必ずしも関係しないということの理解の一助となりうる。
【００４４】
以上のようにして、２つの縮小写像ｆ１、ｆ２によって構成される自己相似集合に対して、重複部分のアドレスを求め、そのアドレスを生成集合とした部分自己相似集合を構成することができた。なお、本例は、初めからＭ＝φ−１ｆ１（Ａ）∩φ−１ｆ２（Ａ）の関係を満たしているため、仮想的な縮小写像ｇ１、ｇ２はそのままｆ１、ｆ２で代用できる。本例は、自己相似集合に含まれる部分自己相似集合を取り出す一例として最も簡単な部類である。すなわち、Ｐの元の個数が少なく、ｓｏｆｉｃ  ｓｙｓｔｅｍの構成も簡単である。また、重複部分がもともと１点集合であるため、生成される部分自己相似集合の形態も種類が豊富ではない。そこで、次の例２では、重複部分がより大きい自己相似集合から部分自己相似集合を取り出す方法を説明する。
【００４５】
［第２の例］
本発明の実施例の第２の例として、２つの縮小写像ｆ１、ｆ２によって構成される自己相似集合に対して、部分自己相似集合を得る別の例を述べる。本例においては、縮小写像を図６に示すように選択すると、同図に示される自己相似集合が得られる。この場合、自己相似集合Ａ＝ｆ１（Ａ）∪ｆ２（Ａ）について、重複部分ｆ１（Ａ）∩ｆ２（Ａ）の占める割合が大きく、やはり弧状連結型の自己相似集合を形成している。なお、本例の自己相似集合は縮小写像の縮小率の値が大きく、重複部分も広いため、自己相似集合の描画には、上述した濃度均一化法が適していると言える。
【００４６】
第２の例も図１４および図１５に模式的に示されるので適宜参照されたい（なお、具体的なアドレスに関しては、図のものと以下に説明のものとは異なっている）。
【００４７】
まず、構成した自己相似集合の重複部分ｆ１（Ａ）∩ｆ２（Ａ）から、任意の一点ｘを選択し、ｘの重複アドレスを計算する。ここで、重複アドレスは近似アドレスとして計算し、Ｓｄ＝｛１、…、ｎ｝ｄの元として、
ｓ１ｓ２…ｓｄ
ｔ１ｔ２…ｔｄ
で、ｓ１＝１、ｔ１＝２となるものを選択する。このとき、
ｓ＝ｓ１ｓ２…ｓｄ（１）
ｔ＝ｔ１ｔ２…ｔｄ（２）
とすればｘの近似アドレスとなる。ここで、（ｉ）はｉが無限に続くことを意味している。なお、括弧内の数値自体は上記の限りではない。例えば、（１）や（２）ではなく、（１２）を使用しても良い。ｓ、ｔの具体的な計算方法としては、例えば、以下に示す計算手順を使用することができる。
［ステップ１］  有効深度ｄの設定（例えばｄ＝１０）
［ステップ２］  Ａ上の任意の点ｙ（固定点）をｆｕ１ｆｕ２…ｆｕｄで写像する。ここで、ｕはｕ∈Ｓｄの全ての点に対して計算する。
［ステップ３］  ステップ２で計算した｜ｘ−ｆｕ１ｆｕ２…ｆｕｄ（ｙ）｜が充分小さいようなｕのうち、ｕ１＝１、ｕ１＝２となる二つのｕ１ｕ２…ｕｄを選択し、それをｓ１ｓ２…ｓｄ、ｔ１ｔ２…ｔｄと置く。
【００４８】
なお、一般に弧状連結型の自己相似集合や縮小率の値が大きい場合、ステップ２の方法で固定点を全アドレスに対して写像すると、自己相似集合の特定部分に写像される率が高くなるため、濃度均一化法と類似の方法で自己相似集合全体に均一に点を写像して、より効率的（高速）に近似アドレスｓ１ｓ２…ｓｄ、ｔ１ｔ２…ｔｄを求めても良い。なお、ｄの値が大きいほどｘを精度良く近似するアドレスを与えることができる。このようにして、近似的にｘの重複アドレスを計算することができる。なお、ここで正確なアドレス値を求められなくても、以下の部分自己相似集合の構成には差し支えない。
【００４９】
次に、自己相似集合の重複部分ｆ１（Ａ）∩ｆ２（Ａ）から選択した一点ｘの重複近似アドレスｓ＝ｓ１ｓ２…ｓｄ（１）、ｔ＝ｔ１ｔ２…ｔｄ（２）に対して、基本アドレス集合Ｍ、生成アドレス集合Ｐはそれぞれ、
Ｍ＝｛ｓ１ｓ２…ｓｄ（１）、ｔ１ｔ２…ｔｄ（２）｝
Ｐ＝∪i=1∞σｉ（Ｍ）
で定義される。以下、この生成アドレス集合Ｐに従って、部分自己相似集合を構成する。
【００５０】
まず、仮想的な縮小写像族ｇ１、…、ｇｎを取ったときに、ｇ１、…、ｇｎから構成される自己相似集合Ｂの重複部分がφg(Ｍ)と一致する、すなわち、φg(Ｍ)＝ｇ１（Ｂ）∩ｇ２（Ｂ）であるとして、Ｂ内に部分自己相似集合Ｇを構成するｓｏｆｉｃｓｙｓｔｅｍを求める。例１では、手計算によってｓｏｆｉｃ  ｓｙｓｔｅｍを求めることができたが、本例ではより一般にｓｏｆｉｃ  ｓｙｓｔｅｍを求める方法が必要となる。ｓｏｆｉｃ  ｓｙｓｔｅｍを構成するＱ１、…、Ｑｋの総数は、一般にＰの元の個数が大きいほど大きくなり、簡易に計算することが困難となる。
【００５１】
以下、本例における、一般的なｓｏｆｉｃ  ｓｙｓｔｅｍを求める方法の一例を述べる。そのためには、Ｐ＝∪i=1∞σｉ（Ｍ）が有限であるとして、Ｐの任意の２つの元をφgで自己相似集合Ｂ上に射影した際に、該射影された２点をＢ上で結ぶルートがただ一つであるという性質を利用する。そこで、Ｐから任意の２点ω、τを選択し、それぞれの先頭アドレス値ω1、τ1（ともに１か２の値を取る）によって、Ｂ内の部分自己相似集合Ｇを構成する部分自己相似集合族｛Ｇi｝を求めてゆく。より具体的には、以下の処理工程による。
［ステップ１］  ｉ＝１。
［ステップ２］  ω１＝τ１の場合には、φg（ω）とφg（τ）を自己相似集合Ｂ上で結ぶ唯一つのルートは、φg（Ｍ）の点を含まない。そこで、該ルートをＧiと置く。ｉ＝ｉ＋１。
［ステップ３］ω１≠τ１の場合には、φg（ω）とφg（τ）を自己相似集合Ｂ上で結ぶ唯一つのルートは、φg（Ｍ）の点を含む。そこで、該ルートを、φg（ω）とφg（Ｍ）を結ぶルートＧｉと、φg（Ｍ）とφg（τ）を結ぶルートＧｉ+１とに置く。ｉ＝ｉ＋２。
［ステップ４］  ステップ２に戻って次のＰの２点を処理する。
このようにして定められたＧの部分集合｛Ｇi｝に対して、
Ｇ＝∪i=1ｋＧi
の関係が成立している。従って、後は｛Ｇi｝の相互関係、
Ｇi＝∪｛ｇｌ（Ｇｊ）｜（ｌ、ｊ）∈Ｑｉ｝  ｆｏｒ  ｉ＝１、…、ｋ
を求めれば、自動的に集合Ｑ１、…、Ｑｋ
Ｑi⊂｛１、…、ｎ｝×｛１、…、ｋ｝、Ｑi≠Φ
が定められ、ｓｏｆｉｃ  ｓｙｓｔｅｍを求めることができる。より具体的には、各Ｇiは、Ｂ上に射影したＰ＝∪i=1∞σｉ（Ｍ）のいずれかの２点を結ぶ唯一つのルートとして定義されており、上記のステップ２およびステップ３の定め方から、Ｇiの両端点のアドレスをω、τとしたときに、先頭アドレス値はω１＝τ１の関係を満たしている。従って、Ｇi＝ｇω１（Ｈ）の形で表現できる。更に、このとき、Ｈは点φg（ω２ω３…）とφg（τ２τ３…）とを結ぶＢ上の唯一つの曲線となり、ω２ω３…、τ２τ３…∈Ｍであるから、Ｐの定義からいずれかのＧｊ（ステップ２の場合）もしくはいずれかのＧｊ∪Ｇｊ+１（ステップ３の場合）と一致する。従って、
Ｇｉ＝ｇω１（Ｇｊ）
もしくは、
Ｇｉ＝ｇω１（Ｇｊ∪Ｇｊ+１）＝ｇω１（Ｇｊ）∪ｇω１（Ｇｊ+１）
の形で表現できる。これはｓｏｆｉｃ  ｓｙｓｔｅｍが満たすべき上記｛Ｇi｝の関係式を満たしているから、全てのＧiについてこのような計算を行って、｛Ｑi｝を求めれば、最終的にｓｏｆｉｃ  ｓｙｓｔｅｍを求めることができる。なお、本例では全てのＰの２点を結ぶルートを対象としているが、必ずしも全てについて上記処理を行う必要はなく、Ｇ＝∪i=1ｋＧiを満たす必要最小限について行っても良い。
【００５２】
このようにして構成されたｓｏｆｉｃ  ｓｙｓｔｅｍによって、自己相似集合Ｂ内に部分自己相似集合Ｇが構成される。後は、このｓｏｆｉｃ  ｓｙｓｔｅｍの規則によって、自己相似集合Ａ内に部分自己相似集合Ｆを構成すれば良い。なお、本例においても、例１で述べたように、ｒａｎｄｏｍ  ｉｔｅｒａｔｉｏｎ  ａｌｇｏｒｉｔｈｍに、有向グラフを用いた写像規則を設けて部分自己相似集合Ｆの構成を行うことができる。但し、一般には各片｛Ｆi｝のサイズが異なるため、より正確な描画を行うためには、写像規則に確率を設定する必要がある。この際には、ｓｏｆｉｃ  ｓｙｓｔｅｍにより定められる行列の固有値や固有ベクトルを求め、部分自己相似集合Ｆの擬似ハウスドルフ次元を求めて、この擬似ハウスドルフ次元が定める重みを、部分自己相似集合Ｆを構成する各片｛Ｆi｝に載せて、部分自己相似集合を構成描画することができる。なお、ここで擬似ハウスドルフ次元とは、開集合条件と呼ばれる自己相似集合の条件が満たされた場合に正確に計算できるハウスドルフ次元と同じ計算式を使用した数値を指す。一般に、弧状連結型の自己相似集合は開集合条件を満たすとは限らないため、ここでは擬似ハウスドルフ次元と呼ぶ。
【００５３】
図７〜図１３は、それぞれ、図６の自己相似集合上の重複部分ｆ１（Ａ）∩ｆ２（Ａ）から一点を任意に選択し、各点に対して上述の方法で重複近似アドレスの計算、基本アドレス集合Ｍ、生成アドレス集合Ｐをそれぞれ計算し、部分自己相似集合を構成した一例である。重複部分のアドレスに対して部分自己相似集合を構成するという本発明の特徴から、得られる部分自己相似集合はいずれも再び弧状連結な集合となっている。自己相似集合が図６に示す葉状の集合であるのに対し、その部分集合である部分自己相似集合は各種の樹木状形態をなしていることが確認できる。言い換えるならば、自己相似集合に対して、２つのアドレスを与えれば、本発明の方法により、様々な形態が決定論的に得られるということができる。なお、本発明の特徴である、自己相似集合上の重複部分のアドレスを利用するということは、得られる部分自己相似集合の形態に、少なくとも弧状連結性を課す効果があり、離散的な点の散らばり構造（形態として無意味な場合が含まれる）になるのを避け、形態としてより意味のある（応用利用の可能性の高い）構造を得やすくしている。
【００５４】
図７〜図１３に示したように、図６の葉状形態の自己相似集合の部分集合として、様々な樹木状の部分自己相似集合が得られている。当然、自己相似集合自体の形態を変える、すなわち縮小写像をいろいろ選択することによって、得られる部分自己相似集合の形態も変化してゆく。これまでの説明から明らかなように、部分自己相似集合の形態のバリエーションは自己相似集合のそれよりもずっと大きいものであるため、自然形態の模写や、その他の応用利用においてもより高い効果を発揮することができる。応用の一例としては、暗号などの分野もある。例えば、自己相似集合自体を一つの鍵としたときに、更に重複部分から選択した点のアドレスを第二の鍵としてはじめて対象となる部分自己相似集合が構成できるため、二重鍵のような使用法も可能となる。また、本例では見かけ上、ユーザが自己相似集合上の重複部分の一点を指定すると、その点に対応した部分自己相似集合が描かれる、という効果を得ることが可能であり、トライアルアンドエラーのように対話形式で、部分自己相似集合が得られるため、ユーザの所望の形態を得るのには好都合でもあるといえる。
【００５５】
［第３の例］
次に、本発明の実施例の第３の例を述べる。第３の例では第２の例と同じ縮小写像族を選択し、基本アドレス集合Ｍの選択の方法のみを変える。すなわち、例２においては、ＭはＡの重複部分から選択した点のアドレスとしていたが、本例３においてはＭを任意のアドレスとして処理する。
図１６および図１７は、第３の例の任意のアドレスから部分自己相似集合を形成する例を模式的に示している（なお、具体的なアドレスに関しては、図のものと以下に説明のものとは異なっている）。なお、図１７と図１５は同一である。
【００５６】
はじめに有効深度ｄを設定する（例えばｄ＝１０）。基本アドレス集合Ｍと生成アドレス集合Ｐを
Ｍ＝｛ｓ１ｓ２…ｓｄ（１）、ｔ１ｔ２…ｔｄ（２）｝
Ｐ＝∪i=1∞σｉ（Ｍ）
で定める。ここで、
ｓ＝ｓ１ｓ２…ｓｄ（１）
ｔ＝ｔ１ｔ２…ｔｄ（２）
において、ｓ１＝１、ｔ１＝２、各ｓｉ＝１、ｔｉ＝１（１＜ｉ≦ｄ）とする。このとき、各ｓｉ、ｔｉの値を変えながら、例２に述べた方法で部分自己相似集合Ｆを構成してゆくと、ｓｉ、ｔｉの変化に従って、Ｆの形態が様々に変化してゆく。ｓｉ、ｔｉを連続的に変化させても、Ｆの形態は必ずしも連続的には変化しないが、特定の規則を設けることによってＦの形態を連続的に変化させることも可能となる。このように変化する部分自己相似集合を動画的に取り扱うこともできるし、また、次々に形態を変化させながら、好ましい部分自己相似集合形態が現れたときにＭを抽出しておき、後で利用する、という使い方をすることもできる。なお、本例３により生成される部分自己相似集合は、Ａの重複点から基本アドレス集合を作成していないため、必ずしも弧状連結な集合とはならない。
【００５７】
なお、この発明は上述の実施例に限定されるものではなくその趣旨を逸脱しない範囲で種々変更が可能である。
【図面の簡単な説明】
【００５８】
【図１】本発明の実施例の画像処理システムの処理フローを説明するフローチャートである。
【図２】上述実施例の画像処理システムの機能構成を説明する図である。
【図３】上述実施例の弧状連結型の自己相似集合を説明する図である。
【図４】上述実施例の第１の例の自己相似集合を説明する図である。
【図５】上述実施例の第１の例の部分自己相似集合を説明する図である。
【図６】上述実施例の第２の例の自己相似集合を説明する図である
【図７】上述実施例の第２の例の部分自己相似集合（その１）を説明する図である。
【図８】上述実施例の第２の例の部分自己相似集合（その２）を説明する図である。
【図９】上述実施例の第２の例の部分自己相似集合（その３）を説明する図である。
【図１０】上述実施例の第２の例の部分自己相似集合（その４）を説明する図である。
【図１１】上述実施例の第２の例の部分自己相似集合（その５）を説明する図である。
【図１２】上述実施例の第２の例の部分自己相似集合（その６）を説明する図である。
【図１３】上述実施例の第２の例の部分自己相似集合（その７）を説明する図である。
【図１４】上述実施例の第１の例および第２の例を模式的に説明する図である。
【図１５】上述実施例の第１の例および第２の例を模式的に説明する図である。
【図１６】上述実施例の第３の例を模式的に説明する図である。
【図１７】上述実施例の第３の例を模式的に説明する図である（図１５と同一）。
【符号の説明】
【００５９】
１０    自己相似集合指定部
１１    基本アドレス集合指定部
１２    生成規則取得部
１３    部分自己相似集合取得部
１４    画像描画部
１００  画像処理システム
１０１  コンピュータ
１０２  コンピュータプログラム
２００  出力デバイス
【図１】
2007241409.tif 000003
【図２】
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【図３】
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【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
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【図１７】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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