(57)【要約】【課題】  物体の変形・切断シミュレーションを高精度に行う技術を提供する。【解決手段】  レオロジー物体等についてアダプティブメッシュを生成し、３要素モデルを配置して質量、粘性要素及び弾性要素によるモデリングを行い、外力を付与した状態での質点移動をモデリングに基づいて求めるとともに、質点間に作用する単位長さあたりの力の大きさ又は加速度の大きさを求め、それに基づいて、アダプティブメッシュを分割・統合する。【選択図】      図１７
2007140814.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
シミュレーション対象となる物体について、アダプティブメッシュを生成し、
格子点に質点を配置し、互いに隣接する質点同士を結ぶ各辺に３要素モデルを配置して質量、粘性要素及び弾性要素によるモデリングを行い、
外力を付与した状態での質点移動を前記モデリングに基づいて求め、
前記外力を付与した状態で、質点間に作用する単位長さあたりの力の大きさ又は加速度の大きさを求め、それに基づいて、前記アダプティブメッシュを分割・統合する
ことを特徴とするアダプティブメッシュを用いた物体の変形シミュレーション方法。
【請求項２】
分割・統合の前後で各質点についての全質量を保存する請求項１記載のアダプティブメッシュを用いた物体の変形シミュレーション方法。
【請求項３】
質点移動時に、前記アダプティブメッシュのメッシュ要素内で、一辺と、これに対向する頂点との間に、仮想ばねを発生させる請求項１記載のアダプティブメッシュを用いた物体の変形シミュレーション方法。
【請求項４】
質点移動による変形の前後で、前記アダプティブメッシュの面積変化に応じて境界線状の質点に内圧を発生させる請求項１記載のアダプティブメッシュを用いた物体の変形シミュレーション方法。
【請求項５】
シミュレーション対象となる物体について、アダプティブメッシュを生成し、
格子点に質点を配置し、互いに隣接する質点同士を結ぶ各辺に３要素モデルを配置して質量、粘性要素及び弾性要素によるモデリングを行い、
外側にある質点Ｐに所定値以上の力が付与されたとき、質点Ｐを切断して、これと同一の位置、速度及び加速度並びに半分の質量を有する質点Ｐ２を生成し、かつ、元の質点Ｐは半分の質量の質点Ｐ１に変更し、
質点Ｐとの間で前記力の付与方向に最も角度的に近い辺を形成する内部の質点Ｐ０に対して、質点Ｐ１とＰ０とを結ぶ辺及び質点Ｐ２とＰ０とを結ぶ辺にそれぞれ、切断前の質点ＰとＰ０とを結ぶ辺と同一の３要素モデルを設定し、
質点Ｐ０を含むメッシュ要素を、最小のメッシュ要素に分割する
ことを特徴とするアダプティブメッシュを用いた物体の切断シミュレーション方法。
【請求項６】
コンピュータを、
シミュレーション対象となる物体について、アダプティブメッシュを生成する手段、
格子点に質点を配置し、互いに隣接する質点同士を結ぶ各辺に３要素モデルを配置して質量、粘性要素及び弾性要素によるモデリングを行う手段、
外力を付与した状態での質点移動を前記モデリングに基づいて求める手段、及び、
前記外力を付与した状態で、質点間に作用する単位長さあたりの力の大きさ又は加速度の大きさを求め、それに基づいて、前記アダプティブメッシュを分割・統合する手段
として機能させるためのアダプティブメッシュを用いた物体の変形シミュレーションプログラム。
【請求項７】
コンピュータを、
シミュレーション対象となる物体について、アダプティブメッシュを生成する手段、
格子点に質点を配置し、互いに隣接する質点同士を結ぶ各辺に３要素モデルを配置して質量、粘性要素及び弾性要素によるモデリングを行う手段、
外側にある質点Ｐに所定値以上の力が付与されたとき、質点Ｐを切断して、これと同一の位置、速度及び加速度並びに半分の質量を有する質点Ｐ２を生成し、かつ、元の質点Ｐは半分の質量の質点Ｐ１に変更する手段、
質点Ｐとの間で前記力の付与方向に最も角度的に近い辺を形成する内部の質点Ｐ０に対して、質点Ｐ１とＰ０とを結ぶ辺及び質点Ｐ２とＰ０とを結ぶ辺にそれぞれ、切断前の質点ＰとＰ０とを結ぶ辺と同一の３要素モデルを設定する手段、及び、
質点Ｐ０を含むメッシュ要素を、最小のメッシュ要素に分割する手段
として機能させるためのアダプティブメッシュを用いた物体の切断シミュレーションプログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、医用画像処理やコンピュータグラフィックスの分野における、柔軟物体、特に、食材や生体組織のようなレオロジー物体についての、アダプティブメッシュを用いた物体の変形・切断シミュレーション方法又はそのためのプログラムに関する。
【背景技術】
【０００２】
医用画像処理やコンピュータグラフィックスの分野においては、柔軟物体の物理特性の表現や変形シミュレーションが、技術的に重要な課題である（例えば、非特許文献１参照。）。例えば、柔軟物体が、食材や、生体組織のようなレオロジー物体である場合には、その変形・切断シミュレーションに適したモデリングの選択や物理変化の表現手法が必要となる。
【０００３】
【非特許文献１】D. Terzopoulos and K. Fleischer "Modeling Inelastic Deformation: Viscoelasticity, Plasticity, Fracture" Computer Graphics (Proc. SIGRAPH 88) Vol.22, No.4, pp.269-278, 1988
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００４】
しかしながら、レオロジー物体等の最適なモデリングや、物理変化をどのように表現するかについては、まだ課題が多く、その変形・切断シミュレーションを高精度に行う技術は未だ確立されていない。
上記のような従来の問題点に鑑み、本発明は、物体の変形・切断シミュレーションを高精度に行う技術を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００５】
本発明のアダプティブメッシュを用いた物体の変形シミュレーション方法は、シミュレーション対象となる物体について、アダプティブメッシュを生成し、格子点に質点を配置し、互いに隣接する質点同士を結ぶ各辺に３要素モデルを配置して質量、粘性要素及び弾性要素によるモデリングを行い、外力を付与した状態での質点移動を前記モデリングに基づいて求め、前記外力を付与した状態で、質点間に作用する単位長さあたりの力の大きさ又は加速度の大きさを求め、それに基づいて、前記アダプティブメッシュを分割・統合することを特徴とする。
上記の物体の変形シミュレーション方法では、３要素モデルを用いて物体の物理的・幾何学的な特性を表現することができ、また、アダプティブメッシュの分割・統合により、形状及び応力の変化に適応することができる。力の伝搬による変形はアダプティブメッシュの要素密度により、視覚的に示される。
【０００６】
また、上記変形シミュレーション方法において、分割・統合の前後で各質点についての全質量を保存するようにしてもよい。
この場合、質量を常に一定に保つことができ、質点が密な箇所で重くなるという問題を解決することができる。
【０００７】
また、上記変形シミュレーション方法において、質点移動時に、アダプティブメッシュのメッシュ要素内で、一辺と、これに対向する頂点との間に、仮想ばねを発生させるようにしてもよい。
この場合、変形の際に位相が反転することを防止できる。
【０００８】
また、上記変形シミュレーション方法において、質点移動による変形の前後で、アダプティブメッシュの面積変化に応じて境界線状の質点に内圧を発生させるようにしてもよい。
この場合、面積要素を保存することができる。
【０００９】
一方、本発明のアダプティブメッシュを用いた物体の切断シミュレーション方法は、シミュレーション対象となる物体について、アダプティブメッシュを生成し、格子点に質点を配置し、互いに隣接する質点同士を結ぶ各辺に３要素モデルを配置して質量、粘性要素及び弾性要素によるモデリングを行い、外側にある質点Ｐに所定値以上の力が付与されたとき、質点Ｐを切断して、これと同一の位置、速度及び加速度並びに半分の質量を有する質点Ｐ２を生成し、かつ、元の質点Ｐは半分の質量の質点Ｐ１に変更し、質点Ｐとの間で前記力の付与方向に最も角度的に近い辺を形成する内部の質点Ｐ０に対して、質点Ｐ１とＰ０とを結ぶ辺及び質点Ｐ２とＰ０とを結ぶ辺にそれぞれ、切断前の質点ＰとＰ０とを結ぶ辺と同一の３要素モデルを設定し、質点Ｐ０を含むメッシュ要素を、最小のメッシュ要素に分割することを特徴とする。
上記の物体の切断シミュレーション方法では、３要素モデルを用いて物体の物理的・幾何学的な特性を表現することができる。また、アダプティブメッシュを用いていることにより、物体の輪郭部分は最小のメッシュ要素の集合により構成されており、しかも切断により、力の付与方向すなわち切断方向に最小のメッシュ要素が出現する。また、切断が質点において行われるため、質量が保存される。
【００１０】
また、本発明のアダプティブメッシュを用いた物体の変形シミュレーションプログラムは、コンピュータを、シミュレーション対象となる物体について、アダプティブメッシュを生成する手段、格子点に質点を配置し、互いに隣接する質点同士を結ぶ各辺に３要素モデルを配置して質量、粘性要素及び弾性要素によるモデリングを行う手段、外力を付与した状態での質点移動を前記モデリングに基づいて求める手段、及び、前記外力を付与した状態で、質点間に作用する単位長さあたりの力の大きさ又は加速度の大きさを求め、それに基づいて、前記アダプティブメッシュを分割・統合する手段として機能させるためのものである。
上記の物体の変形シミュレーションプログラムでは、３要素モデルを用いて物体の物理的・幾何学的な特性を表現することができ、また、アダプティブメッシュの分割・統合により、形状及び応力の変化に適応することができる。力の伝搬による変形はアダプティブメッシュの要素密度により、視覚的に示される。
【００１１】
また、本発明のアダプティブメッシュを用いた物体の切断シミュレーションプログラムは、コンピュータを、シミュレーション対象となる物体について、アダプティブメッシュを生成する手段、格子点に質点を配置し、互いに隣接する質点同士を結ぶ各辺に３要素モデルを配置して質量、粘性要素及び弾性要素によるモデリングを行う手段、外側にある質点Ｐに所定値以上の力が付与されたとき、質点Ｐを切断して、これと同一の位置、速度及び加速度並びに半分の質量を有する質点Ｐ２を生成し、かつ、元の質点Ｐは半分の質量の質点Ｐ１に変更する手段、質点Ｐとの間で前記力の付与方向に最も角度的に近い辺を形成する内部の質点Ｐ０に対して、質点Ｐ１とＰ０とを結ぶ辺及び質点Ｐ２とＰ０とを結ぶ辺にそれぞれ、切断前の質点ＰとＰ０とを結ぶ辺と同一の３要素モデルを設定する手段、及び、質点Ｐ０を含むメッシュ要素を、最小のメッシュ要素に分割する手段として機能させるためのものである。
上記の物体の切断シミュレーションプログラムでは、３要素モデルを用いて物体の物理的・幾何学的な特性を表現することができる。また、アダプティブメッシュを用いていることにより、物体の輪郭部分は最小のメッシュ要素の集合により構成されており、しかも切断により、力の付与方向すなわち切断方向に最小のメッシュ要素が出現する。また、切断が質点において行われるため、質量が保存される。
【発明の効果】
【００１２】
本発明のアダプティブメッシュを用いた物体の変形シミュレーション方法／変形シミュレーションプログラムでは、３要素モデルを用いて物体の物理的・幾何学的な特性を表現することができ、また、アダプティブメッシュの分割・統合により、形状及び応力の変化に適応することができる。力の伝搬による変形はアダプティブメッシュの要素密度により、視覚的に示される。従って、物体の変形シミュレーションを高精度に行うことができる。
一方、本発明のアダプティブメッシュを用いた物体の切断シミュレーション方法／切断シミュレーションプログラムでは、３要素モデルを用いて物体の物理的・幾何学的な特性を表現することができる。また、アダプティブメッシュを用いていることにより、物体の輪郭部分は最小のメッシュ要素の集合により構成されており、しかも切断により、力の付与方向すなわち切断方向に最小のメッシュ要素が出現する。また、切断が質点において行われるため、質量が保存される。従って、切断点の位置を高速かつ高精度に選択することができ、物体の切断シミュレーションを高精度に行うことができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１３】
以下、本発明の一実施形態によるアダプティブメッシュを用いた物体の変形・切断シミュレーション方法について、図面を参照して説明する。
【００１４】
《レオロジー物体》
まず図１において、（ａ）に示す初期形状を有する物体に上下から外力を作用させると、（ｂ）に示すような変形形状となる。その後外力が取り除かれると、粘弾性物体１の場合は（ｃ）に示すように元の形状に戻るが（戻り変位）、塑性物体２の場合は（ｄ）に示すように変形形状がそのまま残る（残留変位）。一方、（ｅ）に示すように、戻り変位及び残留変位の両方を呈する物体がレオロジー物体３である。例えばパン生地のような食材や、生体組織が、このレオロジー物体に分類される。
【００１５】
図２は、レオロジー物体の特性を示すための要素シンボルであり、（ａ）は弾性要素、（ｂ）は粘性要素である。これら２つの要素を直列又は並列に複数結合することにより、粘弾性モデルを構築することができる。
図３は、レオロジー物体を表す３要素モデルである。この３要素モデルとは、質点ばねモデルの代わりに、粘性要素及び弾性要素を並列に接続したものと粘性要素とを直列に接続したものである。
【００１６】
図３において、まず、質量が共にｍであるレオロジー要素の２端点（質点）をＰｉ及びＰｊとする。ここで、図の左側に示される非残留変形部の弾性係数及び粘性係数をそれぞれｋ１及びｃ１とする。また、図の右側に示される残留変形部の粘性係数をｃ２とする。非残留変形部の自然長をｒ０とし、時間の関数としての長さをｒｖ（ｔ）とする。レオロジー要素全体の、時間の関数としての長さは、ｒｉｊ（ｔ）とする。また、ｘｉ（ｔ）及びｘｊ（ｔ）をそれぞれ、原点Ｏからの質点Ｐｉ及びＰｊの位置、ｖｉ（ｔ）及びｖｊ（ｔ）をそれぞれ、質点Ｐｉ及びＰｊの速度ベクトルとする。
【００１７】
レオロジー要素の長さは、以下の位置ベクトルとして表される。
ｒｉｊ（ｔ）＝（ｘｊ（ｔ）−ｘｉ（ｔ））ｅｉｊ      ．．．（１）
ここで、ベクトルｅｉｊは、ＰｉからＰｊ方向への単位ベクトルであり、ｅｉｊ＝（ｘｊ（ｔ）−ｘｉ（ｔ））／│ｘｊ（ｔ）−ｘｉ（ｔ）│で与えられる。ＰｉとＰｊとの間のレオロジー要素によって及ぼされる質点Ｐｉに作用する力をｆｅ（ｔ）とすると、この力は、非残留変形部に作用する力に等しい。
ｆｅ（ｔ）＝−ｃ１ｒｖ’（ｔ）−ｋ１（ｒｖ（ｔ）−ｒ０））      ．．．（２）
さらに、ｆｅは、残留変形部の粘性要素によって生じる力とも一致し、
ｆｅ（ｔ）＝−ｃ2（ｒｉｊ’（ｔ）−ｒｖ’（ｔ））      ．．．（３）
【００１８】
上記式（２）、（３）より、
ｒｖ’（ｔ）＝｛−ｋ１（ｒｖ（ｔ）−ｒ０）＋ｃ２ｒｉｊ’（ｔ）｝／（ｃ１＋ｃ２）
．．．（４）
ここで、ｒｉｊ’（ｔ）は、
ｒｉｊ’（ｔ）＝（ｖｊ（ｔ）−ｖｉ（ｔ））ｅｉｊ      ．．．（５）
である。また、質点Ｐｉについてのニュートンの第２法則（運動方程式）は、以下の通りである。
ｍｖｉ’（ｔ）＝ｆｅ（ｔ）ｅｉｊ＋Ｆｅｘｔ（ｔ）      ．．．（６）
ここで、Ｆｅｘｔ（ｔ）は、外力のベクトルである。式（４）及び（６）は、３要素モデルの変形を表している。（４）、（６）式をｒｉｊ（ｔ）、ｒｖ（ｔ）について解くことにより、変形定式を得ることができる。
【００１９】
《アダプティブ三角メッシュ生成》
次に、レオロジー物体の変形をモデリングするための、格子点接続が３要素モデルである動的なアダプティブ三角メッシュについて、説明する。
図４は、レオロジー物体の物理特性の変化に適応する動的アダプティブ三角メッシュ（ＤＡＴ（Dynamic adaptive triangular）メッシュ）を示す図である。ＤＡＴメッシュは、図示の物理的な格子点、弾性要素及び粘性要素から構成されたモデルの一種である。メッシュ要素は、物理的かつ幾何的な課題に適合した三角形であり、格子点の物理的状態に依存して動的に小さくなったり、大きくなったりする。
【００２０】
変形のモデリングは２つの段階により構成され、第１段階ではＤＡＴメッシュを生成し、第２段階では動的特性を表現する。まず、ＤＡＴメッシュの生成について説明する。
変形をモデリングするための計算時間を削減するため、境界やエッジと想定される端部領域では細かいメッシュで、その他では粗いメッシュで物の形を表すことが必要となる。メッシュ生成の目的は、形状の境界にフィットするＤＡＴメッシュによってレオロジー物体の形を表現することである。
【００２１】
ここで、モデリングを簡潔なものとすべく、レオロジー物体は直角の形状を持つと想定し、図５の（ａ）に示すイメージで表されるとする。この「イメージ」は、まず、規則的に並んだ所定サイズの正方形ブロックの集合に分割される。各四辺形メッシュ要素の各境界線は、隣接する４つのメッシュ要素により仕切られ、かつ、共有される。また、各メッシュ要素は、（ｂ）に示す２つの、「ルート三角形」と呼ばれる直角二等辺三角形に分割される。こうして、イメージは三角ブロックの集合で定義される（以下、この直角二等辺三角形で囲まれたブロックを、単に三角形という。）。続いて、すべてのルート三角形において、バイナリー分割が行われる。
【００２２】
局所幾何特徴によれば、ルート三角形は再帰的かつ独立に、２等分される。この分割プロセスは、細かいメッシュ要素が境界に発生するために所定の基準を満たすまで繰り返し行われる（図５の（ｃ）、（ｄ）参照。）。この結果、親三角形は、２分木又は分離木と称するところの三角形の階層構造に分割される。図５の（ｅ）は、この分離木の一例である。
【００２３】
《変形シミュレーション》
ＤＡＴメッシュの生成後、外力を付与した状態で変形のモデリングが実行される。図６は、その手順を示すフローチャートである。まず、ステップＳ１において３要素のパラメータが設定される。変形は、ＤＡＴメッシュの質量、粘性要素及び弾性要素の力学方程式によりモデリング可能である。質点Ｐｉに力を付与する要素Ｅｈの集合をＳｈとし、また、質点Ｐｉの力を受ける要素Ｅｊの集合をＳｊとする。外力Ｆｉｅｘｔと一体的に、２つの集合Ｓｈ及びＳｊにおけるすべての要素からＰｉに作用する総合的な力は、以下のように表される。
【００２４】
【数１】
2007140814.tif 000003
【００２５】
ここで、式（７）は、式（６）を、ＤＡＴメッシュにおけるレオロジー物体に適用したものである。オイラー法やルンゲクッタ法等を用いて式（２）、（３）、（７）を解くことにより、レオロジー物体の変形を演算することができる（ステップＳ２）。
【００２６】
レオロジー物体の内部の力の作用を可視化するため、質点の位置及び力を計算した後に、質量要素の分割・統合は、以下の式に示される力のベクトルの差の絶対値と頂点の長さとの比に基づいて実行される（ステップＳ３，Ｓ４）。
Ｔｆ＝│ｆｉ−ｆｊ│／ｒｉｊ      ．．．（８）
ここで、ｒｉｊは、ＤＡＴメッシュにおける三角形要素のエッジＰｉＰｊの長さである。式（８）は、分割・統合の判断の基準である。Ｔｆは、頂点での２質量間のレオロジー物体を変形させる、単位長さあたりの力の大きさを表す。図７において、Ｐｉに作用する力の合計がＰｊに作用する力の合計に等しければ（Ｐｉ，Ｐｊは同一質量とする。）、言い換えれば、レオロジー物体が変形しなければ、Ｔｆは０になる。
【００２７】
サブ分割において質量要素の影響を避けるためには、以下の基準が用いられる。
Ｔａ＝│ｖｉ’−ｖｊ’│／ｒｉｊ      ．．．（９）
ここで、ｖｉ’及びｖｊ’はそれぞれ、質量Ｐｉ及びＰｊの加速度ベクトルである。もし、エッジにおける質量の加速度がサブ分割Ｔａｓｕｂの基準に達したら、三角形は、前述の三角形サブ分割に類似した手順でサブ分割される。時間の経過とともに、質量の加速度は０に向かって減少する傾向を示す。サブ分割された三角形のエッジにおいて、統合基準Ｔａｃｏｍｂ（＜Ｔａｓｕｂ）に達すると、統合過程が起きる。
【００２８】
図８は、分割・統合を示す図である。新しい三角形における質点Ｐｉの質量は、変形前のレオロジー物体の質量密度に基づいて以下のように表される。
【００２９】
【数２】
2007140814.tif 000004
【００３０】
ここで、Ｍ及びＳはそれぞれ、レオロジー物体の全質量及び全面積である。Ｓｉｋは、同一の質点Ｐｉを共有する三角形のエリアである。例えば、図８の（ａ）に示すように、質点Ｐｉ及びＰｈの質量は（Ｍ／Ｓ）（Ｓ１／３＋Ｓ２／３）であり、Ｐｊ及びＰｋの質量はそれぞれ、（Ｍ／Ｓ）（Ｓ１／３）及び（Ｍ／Ｓ）（Ｓ２／３）である。
このように質量を配分することにより、全体の密度を均一に、かつ、質量を保存する（一定に保つ）ことができる。また、質点が密な箇所が重くなるという問題を解決することができる。
【００３１】
各ステップにおいて質点の位置を演算することは、ときどき、２つの予期せぬ結果のうち１つをもたらすことがある。すなわち、
（１）メッシュ要素が反転的に変形する（位相反転）、
（２）レオロジー要素の長さが非残留変形部の長さより短い、
の２つであり、こうなると、シミュレーションは失敗に終わる。三角形メッシュ要素Ｐｉ，Ｐｊ，Ｐｋが反転的変形を生じないようにするには、三角形の一辺と、これに対向する頂点との間に、仮想フォークトモデル（弾性要素と粘性要素とを並列接続したもの）によって発生した擬似的な力を定義する（ステップＳ５）。例えば、辺ＰｉＰｊへの力は以下のように表せる。
【００３２】
【数３】
2007140814.tif 000005
【００３３】
ここで、ｄｉｊｋは、頂点Ｐｋから辺ＰｉＰｊまでの距離である（図９参照。）。Ｋ及びＣは、フォークトモデルのパラメータである。εは、正の閾値である。距離が閾値εより小さいときは、擬似的な力はＰｋに印加され、距離を増大させる。
【００３４】
非残留変形部とレオロジー要素との長さを抑制するために、比ａ＝ｒｖ／ｒｉｊを定義し、それに正値範囲（ａｍｉｎ，ａｍａｘ）を与える。すなわち、ばね部の長さとレオロジー要素の長さとの比ａは、以下の関係を満たすことを要する。
ａｍｉｎ≦ａ≦ａｍａｘ      ．．．（１２）
演算過程において、ばね部の長さがａｍｉｎｒｉｊより小さくなるときは、最小値とする。また、ａｍａｘｒｉｊより大きくなるときは、ａｍａｘｒｉｊとする。
【００３５】
変形過程において、レオロジー物体の体積はほとんど変わらないことがわかっている。このことは、２Ｄ変形の間に、レオロジー物体の面積要素は保存されなくてはならないことを意味する。そのため、頂点位置演算の各ステップの後、図１０に示すように面積に対するフォークトモデルにより定義された面積要素に基づいて、境界の質点に作用する力を再設定する。面積要素に作用する力は、以下のように計算される。
Ｆａ＝−ｋａ（Ｓ−Ｓｉｎｔ）−ｃａＳ’      ．．．（１３）
ここで、Ｓｉｎｔは、レオロジー物体の初期面積である。ｋａ及びｃａは、フォークトモデルのパラメータである。境界の各質点Ｐｉにおける力（Constrain force）は、以下の式により計算される。
【００３６】
【数４】
2007140814.tif 000006
【００３７】
ここで、ｒｈｉ及びｒｉｊは、頂点Ｐｉを共有する境界線上のレオロジー要素の長さである。また、Ｌは、境界線の長さである。
面積要素を保存する処理（ステップＳ６）が終わった後、質点の移動（ステップＳ８）、変形の可視化（ステップＳ８）、時間の積算（ステップＳ９）がそれぞれ行われ、その後、力と位置の計算（ステップＳ２）に戻る。
【００３８】
以上のように、本実施形態の物体の変形シミュレーション方法では、３要素モデルを用いてレオロジー物体の物理的・幾何学的な特性を表現することができ、また、アダプティブ三角メッシュの分割・統合により、形状及び応力の変化に適応することができる。力の伝搬による変形はアダプティブ三角メッシュの要素密度により、視覚的に示される。従って、レオロジー物体の変形シミュレーションを高精度に行うことができる。また、このような変形シミュレーションは、プログラム化してパソコン等のコンピュータにより実現することができる。
【００３９】
《切断シミュレーション》
次に、切断シミュレーションについて説明する。ここでは、レオロジー物体のみならず、最も柔らかい物体も含めて考察する。切断シミュレーションの問題に関しては、以下の３つの重要な基準がある。すなわち、（１）主要な力学的物理特性が保存されること、（２）切断経路が高精度に生成され、可視化されること、及び、（３）リアルタイム計算の拘束を満たすことである。仮想切断の主な問題は、メッシュ位相幾何学の変化にある。アダプティブメッシュ技術を用いない伝統的方法によって切断経路を精密に表すには、メッシュ要素は小さくなければならない。その結果として、メッシュの要素数が膨大になる。このため、演算時間が長くなる。すなわち、従来のやり方では、可視効果と演算時間とどちらを優先するかのジレンマがあった。
【００４０】
今回提案する方法では、物体をアダプティブメッシュで表現する。これにより、最も小さいメッシュ要素は図１１に示すように、境界（輪郭部分）にある。仮想切断は、図１２に示すように、質点においてそれらを分割することのみによって、実行される。質点を分割するステップは、以下の通りである。
【００４１】
外側にある質点Ｐの近傍に、メス等の物体により切断力が付与され、これにより質点Ｐに所定値以上の力が付与されたとき、質点Ｐを切断する。そして、これと同一の位置、速度及び加速度並びに半分の質量を有する質点Ｐ２を生成し、かつ、元の質点Ｐを半分の質量の質点Ｐ１に変更する（図１２の（ａ）から（ｂ））。また、質点Ｐとの間で力の付与方向に最も角度的に近い辺を形成する内部の質点Ｐ０に対して、質点Ｐ１とＰ０とを結ぶ辺及び質点Ｐ２とＰ０とを結ぶ辺にそれぞれ、切断前の質点ＰとＰ０とを結ぶ辺と同一の３要素モデルを設定する。
【００４２】
次に、切断によって境界線上に出現する質点Ｐ０を共有する三角形を、最小の三角メッシュ要素になるまで、また、近傍のメッシュ要素にクラックが発生しないように、再帰的に２分割する。このような切断により、メッシュ要素数の増加を抑え、かつ、クラックのない三角メッシュ要素の集合として、高精度の切断経路を生成することができる。なお、図１３の（ａ）、（ｂ）、（ｃ）に示すように、切断のための次の質点としては、切断する方向に近い方向にあるものが選択される（この場合はＰ０）。
【００４３】
以上のように、本実施形態の物体の切断シミュレーション方法では、３要素モデルを用いてレオロジー物体の物理的・幾何学的な特性を表現することができる。また、アダプティブ三角メッシュを用いていることにより、レオロジー物体の輪郭部分は最小の三角メッシュ要素の集合により構成されており、しかも切断により、力の付与方向すなわち切断方向に最小の三角メッシュ要素が出現する。また、切断が質点において行われるため、質量が保存される。従って、切断点の位置を高速かつ高精度に選択することができ、レオロジー物体の切断シミュレーションを高精度に行うことができる。また、このような切断シミュレーションは、プログラム化してパソコン等のコンピュータにより実現することができる。
【００４４】
《実験結果》
《１．変形シミュレーション》
上記の方法を評価するため、レオロジー物体の一例としてのパン生地について、その高さの変位を測定した。図１４は測定装置の概略構成を示す斜視図であり、当該装置は、支持面１１上に置かれたパン生地１２に対して上から加圧部材１３により力を加え、パン生地１２が変形する様子をカメラ１４で撮影するように構成されている。
パン生地変形の実測結果と、レオロジー物体の変形シミュレーション結果とを、図１７に示すようにプロットした。変形過程は、接触時刻をＴｃ、最大変位高さに達した時刻をＴｓ、接触力を解放した時刻をＴｅとして、ＴｃからＴｓまでを第１段階、ＴｓからＴｅまでを第２段階、Ｔｅ以降を第３段階とする。
【００４５】
レオロジー物体の変形シミュレーションは、前述のように実行された。接触点の変位高さは、適当なスケール上にプロットされている。図１７において、シミュレートされたレオロジー物体の高さと形は、初期状態に回復しない。第３段階において、シミュレートされた結果の変位は、実測変位より大きくなっているが、曲線の形は全体として近似している。さらに、図の（ａ）〜（ｆ）に示す、変形過程の各時期において、三角形のサブ分割と統合とが行われることによって、力の相互作用が、アダプティブ三角メッシュの要素密度により視覚的に示されている。これらは、モデリング及び可視化に関して、提案した方法の有効性を示している。
【００４６】
実験は、粘弾性物体についても行った。この場合、シミュレーションではメッシュのレオロジー要素のダンパーパラメータを０に置き換える。図１８は、その結果を示すグラフである。実測結果とシミュレーション結果とはほぼ一致しており、提案法の正確さが証明された。
【００４７】
《２．切断シミュレーション》
切断シミュレーションは、前述の手順で行われる。図１５は、メッシュの辺と平行な切断経路における、アダプティブメッシュの変化を示している。（ａ）、（ｂ）、（ｃ）、（ｄ）の順に、切断が進む状態が示されている。他方、図１６は、メッシュの辺と平行でない切断経路についての同様の結果が示されている。
【００４８】
切断は常に物体の境界線上（輪郭部分）の点からスタートする。従来法との比較において、アダプティブメッシュにおける境界線上のメッシュ要素は最小のサイズであるから、切断ツールと物体との間の境界線上の接触点の位置は、正確に表現される。新しいメッシュ要素が切断過程で出現しても、アダプティブメッシュを用いない方法と比べれば、物体のメッシュ要素の合計数は少ない。演算時間を増大させることなく可視効果を増大させるという目的とは別に、小さなメッシュの出現は切断経路の物理検査をより正確なものとする。また、切断が質点で行われるため、質量も保存される。
【００４９】
なお、上記実施形態で述べた方法は、食品工学におけるレオロジー物体の切断シミュレーションだけではなく、他の物体、例えば外科手術における人体組織の切断シミュレーションにも適用できる。
【図面の簡単な説明】
【００５０】
【図１】外力を付与し、かつ、それを除去した後の物体の変形の状態を示す図である。
【図２】レオロジー物体の特性を示すための要素シンボルであり、（ａ）は弾性要素、（ｂ）は粘性要素である。
【図３】レオロジー物体を表す３要素モデルである。
【図４】動的なアダプティブ三角メッシュの構成を示す図である。
【図５】アダプティブメッシュの生成を示す図である。
【図６】変形シミュレーション手順のフローチャートである。
【図７】サブ分割の基準を示す図である。
【図８】サブ分割及び統合の過程を示す図である。
【図９】位相保持のための仮想フォークトモデルを示す図である。
【図１０】面積要素保存を示す図である。
【図１１】アダプティブメッシュを用いた物体表現の一例を示す図である。
【図１２】質点の切断による分割を示す図である。
【図１３】切断経路上で次の質点を選択する図である。
【図１４】パン生地の変形を測定する装置の概略を示す斜視図である。
【図１５】メッシュの辺と平行な切断経路における、アダプティブメッシュの変化を示す図である。
【図１６】メッシュの辺と平行でない切断経路における、アダプティブメッシュの変化を示す図である。
【図１７】パン生地変形の実測結果と、レオロジー物体の変形シミュレーション結果とをプロットしたグラフ及び、シミュレーションにおけるアダプティブメッシュの変化を示す図である。
【図１８】粘弾性物体の変形の実測結果と、変形シミュレーション結果とをプロットしたグラフ及び、シミュレーションにおけるアダプティブメッシュの変化を示す図である。
【符号の説明】
【００５１】
３    レオロジー物体
Ｐ（Ｐ０，Ｐｉ，Ｐｊ等）    質点
【図１】
2007140814.tif 000007
【図２】
2007140814.tif 000008
【図３】
2007140814.tif 000009
【図４】
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【図５】
2007140814.tif 000011
【図６】
2007140814.tif 000012
【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
2007140814.tif 000022
【図１７】
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【図１８】
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