(57)【要約】【課題】  従来の正誤判定付き記述式演習問題では、作成者は問題や正解や解法の作成にあたり、全てのパターンの正解や解法を作成する手間があった。また、正誤判定を文字列の並びの一致により判定していた為、両者の並びが異なる場合には正しい判定ができないという問題があった。更にまた、関数式や多項式を含む解の正誤判定が行えないという問題もあった。更にまた、両者の一致を証明するには全ての点において一致することを確認する必要があった。【解決手段】  本発明は、コンピュータ上に数学の記述式演習問題を生成する問題生成手段と、該演習問題の正解を一つだけ生成する正解生成手段と、前記演習問題を表示する問題表示手段と、利用者が解答を入力する解答入力手段と、前記正解と前記解答とを認識し、ある数値を代入した結果を算出して比較する正誤判定手段と、前記正誤判定手段での結果を表示する判定結果表示手段とを有することで解決するものである。【選択図】  図１
2007041179.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
コンピュータ上に数学の記述式演習問題を生成する問題生成手段と、
該演習問題の正解を一つだけ生成する正解生成手段と、
前記コンピュータ上に前記演習問題を表示する問題表示手段と、
利用者が解答を入力する解答入力手段と、
前記正解と前記解答とを認識し、両者にある数値を代入して計算した結果を算出し、その結果を比較する正誤判定手段と、
前記正誤判定手段での結果の一致または不一致により正答または誤答を表示する判定結果表示手段とを有することを特徴とする数学問題解答評価方法。
【請求項２】
前記正解および前記解答は関数式で表示されることを特徴とする請求項１に記載の数学問題解答評価方法。
【請求項３】
前記正解生成手段は、問題を入力することにより自動的に生成されることを特徴とする請求項１に記載の数学問題解答評価方法。
【請求項４】
前記ある数値は、有理数であり、かつ最下位の値が１０と互いに素の数であることを特徴とする請求項１に記載の数学問題解答評価方法。
【請求項５】
前記正誤判定手段は、整数係数多項式、有理数係数多項式、有理関数、多項式以外の標準数学関数の場合に判定を行えることを特徴とする請求項１に記載の数学問題解答評価方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、コンピュータを用いた数学の記述式演算問題の正解と利用者の解答とを評価する方法に関し、特に整数係数多項式、有理数係数多項式、有理関数、多項式以外の標準数学関数の場合における正解と解答との正誤判定をある数値を代入して行う方法に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
近年、教育分野におけるインターネット等のＩＴ技術が発達し、コンピュータを用いた授業の導入が増えてきている。
【０００３】
従来のコンピュータを用いた正誤判定付き記述式演習問題では、演習問題の作成者は問題の作成に加えて正解や解法も作成していた。また、別解や正解となる解法が複数存在する場合には、全ての別解や解法を事前に正解データとして登録する必要があった。例えば、正解データと答案データとの正誤判断機能を持つ学習支援装置において、正誤判断により解答者の答案が正解と判断され、かつその答案内容が他と異なる答案データの場合には、前記答案の内容を模範解答としてサーバーへ登録する。それにより、作成者が予め解法データを用意しなくても解法に関する情報を提供できる技術が特許文献１に記載されている。
【０００４】
また、演習問題等の設問中で扱う数値や文字列を変更可能な単位に分割して表計算ソフトのセル上に配置し、パターン値に従って設問中の数値や文字列を変更可能とするプログラムや設問の解を与えるプログラムや解答値と解を突き合わせて解答値を評価するプログラムを有する学習装置において、左辺には数式問題を割り当て右辺には解答欄を割り当てた場合、解答値は左辺のセル間の演算式で求められる。更にセルに対応した式変更プログラムを仕組むことにより、一つの演習問題を幾つものパターンに変化させて繰り返し学習できる技術が特許文献２に記載されている。
【特許文献１】特開２００４−０９３９１５号公報
【特許文献２】特開２００５−０８４４０５号公報
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
しかしながら、上記の如く従来のコンピュータを用いた正誤判定付き記述式演習問題では、正解と解答の正誤判定を行う為に、作成者は問題の作成だけでなく正解や解法も作成しなければならなかった。そして正解や解法が複数存在する場合には、全ての正解や解法を予めサーバーへ登録しておく必要があり、作成者の負担が増えるという問題点があった。
【０００６】
また、正解と解答の正誤判定を文字列の並びの一致により判定していた為、解答の並びが正解の並びと異なる場合には正しい判定ができないという問題があった。そして、文字列の一致で正誤判定を行う為、表記の規則とコンピュータ内のライブラリに恒等式を用意しなければならず、ライブラリの呼び出しに時間がかかり正誤判定の時間が長くなるという問題もあった。
【０００７】
更にまた、正解や解答に関数式や多項式を含むと正誤判定が行えないという問題があった。
【０００８】
更にまた、正解と解答の一致を証明するには、全ての点において両者が一致することを確認する必要があり、手間がかかるという問題があった。
【０００９】
最後に、正誤判定付き記述式演習問題で扱える問題のレベルの向上や、正誤判定の精度の向上が望まれていた。
【課題を解決するための手段】
【００１０】
本発明は、上述した問題点に鑑みて為されたものであり、コンピュータ上に数学の記述式演習問題を生成する問題生成手段と、該演習問題の正解を一つだけ生成する正解生成手段と、前記コンピュータ上に前記演習問題を表示する問題表示手段と、利用者が解答を入力する解答入力手段と、前記正解と前記解答とを認識し、両者にある数値を代入して計算した結果を算出し、その結果を比較する正誤判定手段と、前記正誤判定手段での結果の一致または不一致により正答または誤答を表示する判定結果表示手段とを有することで解決するものである。
【００１１】
また前記正解および前記解答は関数式で表示されることを特徴とするものである。
【００１２】
更にまた、前記正解生成手段は、問題を入力することにより自動的に生成されることを特徴とするものである。
【００１３】
更にまた、前記ある数値は、有理数であり、かつ最下位の値が１０と互いに素の数であることを特徴とするものである。
【００１４】
更にまた、前記正誤判定手段は、整数係数多項式、有理数係数多項式、有理関数、多項式以外の標準数学関数の場合に判定を行えることを特徴とするものである。
【発明の効果】
【００１５】
上述したように、本発明の数学問題解答評価方法は、数学の記述式演習問題を生成する問題生成手段と、正解を１つだけ入力する正解生成手段と、コンピュータに問題を表示する問題表示手段と、利用者が入力する解答入力手段と、正解と解答を認識し両者にある数値を代入した結果を比較する正誤判定手段と、正誤判定手段の結果を表示する判定結果表示手段とを備えることにより、正解が問題から自動的に生成される。そして、正解と解答の文字列の並びが異なった場合でも正誤判定を行うことができるので、正解の記載が複数存在してもただ１つ準備すればよく、作成者は問題の作成に集中することができる。これにより、作成者の記述式演習問題における負担を軽減させることができる。
【００１６】
例えば、正解と解答にある数値を代入した結果を比較して正誤判定を行うことにより、正解や解答に関数式や多項式を含むことができる。すなわち、関数式とは整数係数多項式、有理数係数多項式、有理関数、多項式以外の標準数学関数をいう。これにより、演習問題の出題の幅が広がり、高等レベルの演習問題が出題できる。
【００１７】
また例えば、ある数値を有理数であり、かつ最下位の値が１０と互いに素の数とすることにより、正解と解答を一点の値のみで比較することができる。これにより、正誤判定において数式処理を行う必要がなく、全て数値計算で済むため、処理の高速化および計量化が図れ、正誤判定の精度も向上する。
【００１８】
更に、正誤判定は大半のプログラミング言語に標準で備わっている標準数学関数で判定できる為、ライブラリから恒等式を呼び出す場合と比較して、処理速度は高速である。
【００１９】
更にまた、利用者は演習問題を自分で解き、解答を導き出す為、演習問題を通じて学習の習熟度を理解することができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２０】
以下に、本発明における実施の形態について、図１〜図７を参照にして詳細に説明する。
【００２１】
本発明の数学問題解答評価方法は、入力部、出力部、表示部、記憶部等を備えるコンピュータ等のユーザー端末と、ネットワークと、前記ユーザー端末と前記ネットワークを介してアクセスが行われるサーバーとを含むシステムで構成される。
【００２２】
また、数式の表記用の形式には、例えばＴＥＸ形式を利用している。ＴＥＸ形式は数式の表記用の形式であり、数式表記に関して新たに何も追加する必要がなく、最も多くの人に利用されているものである。
【００２３】
更にまた、扱う問題は多項式の記述式演習問題であり、多項式の係数は例えば−９００〜９００までの整数とし、乗数の場合は最大１０乗まで計算可能とする。尚、コンピュータの処理速度や処理能力を上げれば、係数の桁を増やすことも乗数の最大値を増やすことも可能である。
【００２４】
図１は、本発明の一実施の形態である数学問題解答評価方法が利用されるシステムの構成図である。
【００２５】
図１に示すごとく、数学問題解答評価方法が利用されるシステムは、少なくともサーバー１、ネットワーク２、ユーザー端末３とから構成される。
【００２６】
サーバー１は、クライアント／サーバー型システムにおいてサービスを行う側のコンピュータもしくはソフトウェアのことをいう。例えば、サーバーには問題生成手段１１、正解生成手段１２、問題表示手段１３、解答入力手段１４、正誤判定手段１５、判定結果表示手段１６、問題データ１ａ、正解データ１ｂがあり、問題を配信し、解答データを受信するとともに正解と解答の正誤判定を行う。
【００２７】
問題生成手段１１は、コンピュータ上に数学の記述式演習問題を生成する手段であり、生成された問題は問題データ１ａへ保存される。また、問題文はコンピュータにより作成することができる。例えば、メソッド（ここでは［□□□］とする）と引数（ここでは［〇〇〇］とする）の集合を準備しておき、メソッド集合と引数集合から一つずつ要素をとり出し、助詞「の」を用いて「［〇〇〇］の［□□□］」と並べて問題文を作成する。更にまた、人により作成された問題文を入力し問題データへ登録してもよい。尚、問題データ１ａは後で詳細に説明する。
【００２８】
正解生成手段１２は、演習問題の正解を一つだけ生成する手段であり、正解は正解データ１ｂへ保存される。また、正解データは問題文の構造解析を利用して導き出すことができる。例えば、「［〇〇〇］の［□□□］」という構文から「＜□□□＞（＜〇〇〇＞）」というＴＥＸ形式に書き直した構文を準備し、コンピュータに処理する機能を用意しておけば、その処理結果が自動的に演習問題の正解となる。尚、正解データ１ｂは後で詳細に説明する。
【００２９】
問題表示手段１３は、コンピュータ上に問題を表示する手段である。例えば、ユーザー端末３の表示部に問題データ１ａに登録されている数学の記述式演習問題を表示する。
【００３０】
解答入力手段１４は、利用者が演習問題の解答を入力する手段である。
【００３１】
正誤判定手段１５は、正解と解答とを認識し、両者にある数値を代入して計算した結果を算出し、その結果を比較する手段である。例えば、標準関数の一致の判定法を用いて、二つの式が等しいかをある点の数値の等しさで判断する。尚、ある数値とは有理数であり、かつ最下位の値が１０と互いに素の数ある。例えば１．１や１．３や１．７や１．１１や１．３３や１．７７等である。
【００３２】
判定結果表示手段１６は、正誤判定手段１５での結果が一致するときには正答を表示し、一方、結果が不一致のときには誤答をユーザー端末３の表示部に表示する手段である。
【００３３】
問題データ１ａは、数学の演習問題の情報であり、サーバーの記憶部に保存されている。
【００３４】
正解データ１ｂは、問題データ１ａの正解の情報であり、サーバーの記憶部に保存されている。
【００３５】
ネットワーク２は、ハードウェア、ソフトウェア、データなどを共有する目的でコンピュータを結び付けた状態をいう。例えば、ＬＡＮ（Ｌｏｃａｌ  Ａｒｅａ  Ｎｅｔｗｏｒｋ）を利用して同一フロア、同一建物ないしは近隣の建物内にあるコンピュータ同士を接続したり、ＷＡＮ（Ｗｉｄｅ  Ａｒｅａ  Ｎｅｔｗｏｒｋ）を利用して遠隔地にあるコンピュータ同士を公衆回線網を使って接続したりする。
【００３６】
ユーザー端末３は、数学問題解答評価方法のシステムを利用できる端末であり、少なくとも入力部、出力部、表示部、記憶部とを備えている。
【００３７】
次に図２は、本発明の一実施の形態である数学問題解答評価方法を説明するフローチャートである。
【００３８】
まず、作成者は数学の記述式演習問題を生成する（ステップＳ１）。演習問題の作成はコンピュータにメソッドと引数を渡して自動的に生成してもよいし、作成者が作成した演習問題を直接問題データへ登録してもよい。
【００３９】
そして、演習問題の正解を一つだけ生成する（ステップＳ２）。生成された正解は、サーバーの記憶部にある正解データ１ｂへと保存される。
【００４０】
そして、ユーザー端末３に演習問題を表示する（ステップＳ３）。利用者は表示された演習問題を読み、自分で解答を求める。
【００４１】
そして、利用者が解答欄に解答を記入する（ステップＳ４）。解答の形式には、（１）定数、（２）整数係数多項式、（３）有理数係数多項式、（４）有理関数、（５）上記２〜４以外の場合の５通りがある。尚、５つの解答パターンについては後で詳細に説明する。
【００４２】
そして、正解と解答の両者に、ある数値を代入して正誤判定を行う（ステップＳ５）。正誤判定の結果が一致した場合には（ステップＳ５のＹＥＳ）、利用者の解答が正解であることをユーザー端末３に表示して知らせる（ステップＳ６）。一方、正誤判定の結果が不一致の場合には（ステップＳ５のＮＯ）、利用者の解答が不正解であることをユーザー端末３に表示して知らせる（ステップＳ７）。
【００４３】
次に、図３〜図７を用いて、正誤判定手段の正誤判定について解答のパターン毎に詳細に説明していく。
【００４４】
（実施例１）
図３は、解が定数となる演習問題とその解答記述欄を表した表示画面の一例である。
【００４５】
例えば、図３に示すように「次の関数の極限値を求めよ。」という問題が表示画面に表示されており、利用者は解答欄に「１／２」と記述したとする。尚、用意された正解は「１／２」である。
【００４６】
そして正誤判定手段１５により、利用者の解答が正解であるのか、または不正解であるのかを判断する。例えば、ある数値ｘの値をｘ＝１．１１として正誤判定を行った結果を表１に表す。
【００４７】
【表１】
2007041179.tif 000003
ｘ＝１．１１で記述された解答と用意された正解の評価を行う。表より明らかなように、両者の値はそれぞれ０．５となり、同じものであることが判定できる。
【００４８】
利用者の解答と用意された正解が等しい場合は、どのようなｘで評価しても同じになる。すなわち、ある数値ｘの評価値を用いることで正誤判定が行える。尚、ある数値ｘは有理数であり、最下位の値が１０と互いに素の数であることが好ましい。
【００４９】
（実施例２）
図４は、解が整数係数多項式となる演習問題とその解答記述欄を表した表示画面の一例である。
【００５０】
例えば、図４に示すように「次の関数の導関数を求めよ。」という問題が表示画面に表示されており、利用者は解答欄に「２＋２ｘ＋３５ｘ６−１２ｘ３」と記述したとする。尚、用意された正解は「３５ｘ６−１２ｘ３＋２ｘ＋２」である。
【００５１】
そして正誤判定手段１５により、利用者の解答が正解であるのか、または不正解であるのかを判断する。例えば、ある数値ｘの値をｘ＝１．１１として正誤判定を行った結果を表２に表す。
【００５２】
【表２】
2007041179.tif 000004
ｘ＝１．１１で記述された解答と用意された正解の評価を行う。表より明らかなように、両者の値はそれぞれ５３．２７２９３７３３となり、同じものであることが判定できる。
【００５３】
尚、従来の評価方法の場合には、正解のパターンを全て用意する必要があった。しかし、ある数値における関数の評価を用いると、ある数値ｘ（この場合は、ｘ＝１．１１）を代入して利用者の解答と正解を評価するだけで、利用者の解答の正誤判定が可能となる。
【００５４】
（実施例３）
図５は、解が有理数係数多項式となる演習問題とその解答記述欄を表した表示画面の一例である。
【００５５】
例えば、図５に示すように「次の関数の導関数を求めよ。」という問題が表示画面に表示されており、利用者は解答欄に「ｘ＋２ｘ６＋１／３−４／５ｘ３」と記述したとする。尚、用意された正解は「２ｘ６−４／５ｘ３＋ｘ＋１／３」である。
【００５６】
そして正誤判定手段１５により、利用者の解答が正解であるのか、または不正解であるのかを判断する。例えば、ある数値ｘの値をｘ＝１．１１として正誤判定を行った結果を表３に表す。
【００５７】
【表３】
2007041179.tif 000005
ｘ＝１．１１で記述された解答と用意された正解の評価を行う。表より明らかなように、両者の値はそれぞれ４．０９００５７６３８となり、同じものであることが判定できる。
【００５８】
（実施例４）
図６は、解が有理関数となる演習問題とその解答記述欄を表した表示画面の一例である。
【００５９】
例えば、図６に示すように「次の関数の導関数を求めよ。」という問題が表示画面に表示されており、利用者は解答欄に「２ｘ／（１＋ｘ２）」と記述したとする。尚、用意された正解は「２ｘ／（ｘ２＋１）」である。
【００６０】
そして正誤判定手段１５により、利用者の解答が正解であるのか、または不正解であるのかを判断する。例えば、ある数値ｘの値をｘ＝１．１１として正誤判定を行った結果を表４に表す。
【００６１】
【表４】
2007041179.tif 000006
ｘ＝１．１１で記述された解答と用意された正解の評価を行う。表より明らかなように、両者の値はそれぞれ０．９９４５７９０９５９となり、同じものであることが判定できる。
【００６２】
尚、解が有利関数の場合には、正誤判定手段１５により、まず解答と正解の分母が揃えられる。そして両者の分子に注目すると、共に多項式となる為、実施例２または実施例３と同様に正誤判定が可能となる。
【００６３】
（実施例５）
図７は、解が正数係数または有理数係数の多項式、および有理関数以外となる演習問題とその解答記述欄を表した表示画面の一例である。
【００６４】
例えば、図７に示すように「次の関数の導関数を求めよ。」という問題が表示画面に表示されており、利用者は解答欄に「９ｃｏｓｘ−９ｃｏｓ３ｘ＋２＋２ｘ」と記述したとする。尚、用意された正解は「９ｓｉｎ２ｘｃｏｓｘ＋２ｘ＋２」である。
【００６５】
そして正誤判定手段１５により、利用者の解答が正解であるのか、または不正解であるのかを判断する。例えば、ある数値ｘの値をｘ＝１．１１として正誤判定を行った結果を表５に表す。
【００６６】
【表５】
2007041179.tif 000007
ｘ＝１．１１で記述された解答と用意された正解の評価を行う。表より明らかなように、両者の値はそれぞれ７．４３０６７１９０９となり、同じものであることが判定できる。
【００６７】
尚、従来の評価方法の場合には、まずこの問題の正解として以下の６通りのパターンが用意された。
【００６８】
・２ｘ＋９ｓｉｎ２ｘｃｏｓｘ＋２
・２＋９ｓｉｎ２ｘｃｏｓｘ＋２ｘ
・２＋２ｘ＋９ｓｉｎ２ｘｃｏｓｘ
・２ｘ＋２＋９ｓｉｎ２ｘｃｏｓｘ
・９ｓｉｎ２ｘｃｏｓｘ＋２＋２ｘ
・９ｓｉｎ２ｘｃｏｓｘ＋２ｘ＋２
そして、ｓｉｎ２ｘは、１−ｃｏｓ２ｘ、ｃｏｓ２ｘ−ｃｏｓ２ｘ、（１−ｃｏｓ２ｘ）／２とも表すことができる為、ここに挙げただけでも６×４＝２４通りの正解を用意する必要があり、効率が悪かった。
【００６９】
しかし、ある数値における関数の評価を用いると、ある数値ｘ（この場合は、ｘ＝１．１１）を代入して利用者の解答と正解を評価するだけで、利用者の解答の正誤判定が可能となる。
【００７０】
以下、上述してきた一点による関数の一致を用いて行う正誤判定は、十分に実用耐えうるものであることを詳細に説明していく。
【００７１】
まず、実施例２の解が「整数係数多項式」の場合について証明する。
【００７２】
２つの整数係数の多項式ｆ（ｘ）とｇ（ｘ）の係数が−１０ｌと１０ｌの間にあるとする。
【００７３】
ｇｃｄ（ｄｉ，１０）＝１を満たすｄ（ｍ）＝０．ｄ１ｄ２…ｄｍ，ｌ≦ｍにおいて、以下のような定理がある。尚、ｇｃｄ（ｄｉ，１０）＝１は、ｄｉと１０の最大公約数が１であることを表している。
（定理）    ｆ（ｄ（ｍ））＝ｇ（ｄ（ｍ）），ｎｍ＋ｌ≦ｋならば、
ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）が成り立つ。
【００７４】
ここでｆ（ｄ（ｍ））＝ｇ（ｄ（ｍ））より、最大次数のａｎ（ｄ（ｍ）ｎ）の末尾とｂｎ（ｄ（ｍ）ｎ）の末尾を比較する。
【００７５】
ｌ≦ｍとｎｍ＋ｌ≦ｋよりａｎ（ｄ（ｍ）ｎ）の末尾とｂｎ（ｄ（ｍ）ｎ）の末尾は他のどの項からも影響を受けないため等しい。
【００７６】
更に、ｄ（ｍ）ｎの末尾は１０と互いに素であるから、ａｎ＝ｂｎとなる。同様にして、すべてのｉにおいてもａｉ＝ｂｉとなる。
【００７７】
また、ａｎ（ｄ（ｍ）ｎ）の桁数ｎｍ＋ｌはｋより少ないので、誤差０でｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）である。すなわち、ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）が成り立つ。
【００７８】
例えば、ｄ（ｍ）＝１．１１として実施例２の解答と正解を最大次数より次数毎に比較した結果を表６に表す。
【００７９】
【表６】
2007041179.tif 000008
表からも明らかなように、各次数の値がそれぞれ一致すれば、総和は一致する。また、最大次数から順番に比較していき、不一致となる次数が出現した場合には、これ以上判定を行っても両者が一致することは無いと判断される。そして、正誤判定の処理は終了となる。
【００８０】
尚、ある数値を有理数でありかつ最下位を１０と互いに素の数とし、最大次数から順番に比較していくのは、ある数値の最大次数（例えば、ｎ）の算出値の最下位は、他の次数（例えば、ｎ−１、ｎ−２、…、１）の算出値の影響を受けないためである。
【００８１】
また、ある数値（例えば、１．１１）の最下位を１０と互いに素の数にするのは、１０と互いに素の数に１から９までのどんな２つの数をかけても最下位の値は必ず異なるからである。例えば、ある数値を１．２２や１．４４として、１１や１６といった１から９までのどんな２つの数をかけた場合には、算出した最下位の値（１．２２の場合には２、１．４４の場合には４）が同一となり正誤判定ができなくなる。よって、ある数値を１．１１や１．３３や１．７７とすると正誤判定ができる。
【００８２】
次に、実施例３の解が「有理数係数多項式」の場合について証明する。
【００８３】
２つの有理数係数の多項式ｆ（ｘ）とｇ（ｘ）の係数の分子と分母が−５ｌと５ｌの間にあるとする。
【００８４】
ｇｃｄ（ｄｉ，１０）＝１を満たすｄ（ｍ）＝０．ｄ１ｄ２…ｄｍ，ｌ≦ｍにおいて、以下のような定理がある。
【００８５】
【数１】
2007041179.tif 000009
【００８６】
【数２】
2007041179.tif 000010
（定理）    ｆ（ｄ（ｍ））＝ｆ（ｄ（ｍ））かつ数１かつ数２ならば、
ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）が成り立つ。
【００８７】
【数３】
2007041179.tif 000011
ｆ（ｘ）とｇ（ｘ）の有理数係数の分母の最小公倍数をｌｃｍとし、数３のように表す。
【００８８】
【数４】
2007041179.tif 000012
ｆ（ｄ（ｍ））＝ｇ（ｄ（ｍ））より、数４となる。
【００８９】
ここで、数１より最大次数の末尾は等しい。また、数２よりｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）は因数ｘ−ｄ（ｍ）を含まない。
【００９０】
【数５】
2007041179.tif 000013
更に、ｄ（ｍ）ｎの末尾は１０と互いに素であるから、数５となる。
【００９１】
【数６】
2007041179.tif 000014
【００９２】
【数７】
2007041179.tif 000015
同様にして、すべてのｉにおいてもａｉ＝ｂｉとなる。また、数６の桁数である数７はｋより少ないので、誤差０でｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）である。
【００９３】
すなわち、ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）が成り立つ。
【００９４】
最後に、実施例５の解が「多項式以外の標準数学関数」の場合について証明する。
【００９５】
LindermannとBakerの定理より、ｘの累乗を含まない標準関数の値は明らかな代数的数を除いて全て超越数であることが知られている。超越数とは、すべて無理数であり、代数方程式の解とならないような複素数のことであり、例えば円周率である。
【００９６】
つまり、明らかでない代数的数ｄにおけるｈ（ｄ）＝ｆ（ｄ）−ｇ（ｄ）の値が０ならば、ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）であるといえる。
【００９７】
ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）−ｇ（ｘ）は多項式ではないので、多項式近似を行うと、ｈ（ｘ）≒ｃ０＋ｃ１ｘ＋…＋ｃｎｘｎとなる。
【００９８】
｜ｈ（０．１）｜≦１０−ｋとすると、ｃ０＝ｃ１＝…＝ｃｋ＝０となる。
【００９９】
したがって、ｄ（ｍ）＝０．ｄ１ｄ２…ｄｍ，ｌ≦ｍのとき｜ｆ（ｄ（ｍ））−ｇ（ｄ（ｍ））｜≦１０−ｋならば、誤差１０−ｋ以下でｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）である。
【０１００】
つまり、ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）が成り立つ確率は１−１０−ｋ以上である。
【産業上の利用可能性】
【０１０１】
以上詳しく説明したとおり、本発明の数学問題解答評価方法を用いることにより、例えば整数係数多項式、有理数係数多項式、有理関数、多項式以外の標準数学関数の数学の演習問題の作成において、問題および正解を自動生成することができ、また記入された解答と用意した正解の正誤判定をある数値の一致を用いて行うことができ、それにより問題作成者の負担も軽減することができる。したがって、学期末試験等において幅広い問題を提供することに利用できる。
【図面の簡単な説明】
【０１０２】
【図１】本発明の一実施の形態である数学問題解答評価方法が利用されるシステムの構成図である。
【図２】本発明の一実施の形態である数学問題解答評価方法を説明するフローチャートである。
【図３】本発明の一実施の形態である解が定数となる演習問題とその解答記述欄を表した表示画面の一例である
【図４】本発明の一実施の形態である解が整数係数多項式となる演習問題とその解答記述欄を表した表示画面の一例である。
【図５】本発明の一実施の形態である解が有理数係数多項式となる演習問題とその解答記述欄を表した表示画面の一例である。
【図６】本発明の一実施の形態である解が有理関数となる演習問題とその解答記述欄を表した表示画面の一例である。
【図７】本発明の一実施の形態である解が正数係数または有理数係数の多項式、および有理関数以外となる演習問題とその解答記述欄を表した表示画面の一例である。
【符号の説明】
【０１０３】
１    サーバー
２    ネットワーク
３    ユーザー端末
１１    問題生成手段
１２    正解生成手段
１３    問題解答手段
１４    解答入力手段
１５    正誤判定手段
１６    判定結果表示手段
１ａ    問題データ
１ｂ    正解データ
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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