(57)【要約】      （修正有）【課題】拡散方程式を離散化して解く場合に、濃度勾配を要求される精度で解く。【解決手段】離散化によって求まる濃度勾配と、モデル化した式による解析解を比較し、要求される精度に入るように、離散化の大きさを決める。【選択図】図３
2007286870.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
拡散方程式、あるいは、熱伝導方程式、あるいは、それらにさらに付加された項をもつ方程式を離散化して解く場合に、離散化によって求める変数の勾配と、モデル化した式から求まる充分な精度の解の勾配を比較し、要求される精度に入るように、離散化の大きさを決めることを特徴とする数値計算方法。
【請求項２】
複数の拡散方程式、あるいは、熱伝導方程式、あるいは、それらにさらに付加された項をもつ方程式を離散化して解く場合に、各方程式から求まる勾配の比と、モデル化した式から求まる充分な精度の解から求まる勾配の比を比較し、要求される精度に入るように、離散化の大きさを決めることを特徴とする数値計算方法。
【請求項３】
請求項１の方程式のうち、付加された項の影響が、要求される精度に充分小さい影響を与える場合の、請求項１で記載される数値解法。
【請求項４】
請求項２の方程式のうち、付加された項の影響が、要求される精度に充分小さい影響を与える場合の、請求項２で記載される数値解法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、拡散方程式、あるいは、熱伝導方程式あるいは、それらにさらに付加された項をもつ方程式を離散化して解く場合に、離散化によって求まる濃度勾配が、要求される精度に入るように数値計算を行なう方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
微小な濃度を解くための拡散方程式と、熱伝導方程式は、解く変数が濃度か温度かの違いだけで、方程式の形は同じである。よって、これから拡散方程式について説明しても一般性を損なわない。
【０００３】
濃度の値も重要であるがその勾配も重要になる場合がある。
【０００４】
たとえば、固相Ｉｎ１−ｘＧａｘＰを、Ｉｎが溶媒、ＧａとＰが溶質の溶液から結晶成長する場合、そのシミュレーションでは、ＧａとＰの拡散方程式を解く。固相の組成ｘは、溶液中のＧａとＰの濃度勾配の比で決定される。このシミュレーションは、非特許文献１で行われた。
【非特許文献１】K. Hiramatsu, S. Tanaka, N. Sawaki and I. Akasaki: Analysis of Compositional Variation at Initial Transient Time in LPE Growth of InGaAsP/GaAs System, Jpn. J. Appl. Phys.,Vol. 24, No. 8, pp. 1030-1035 (1985)
【非特許文献２】H. Susawa, K. Hiramatsu, T. Jimbo, T. Soga and Y. Hayashi: Simulations of InGaP Crystal Growth by LPE Method, SCEJ 70th Annual Meeting, 70, N302 (2005)
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
しかし、非特許文献１のシミュレーションは、まだ、充分な精度で行われていないことが発明者により、学会発表で指摘された（非特許文献2）。
【０００６】
この原因の一つは、拡散方程式、あるいは、熱伝導方程式あるいは、それらにさらに付加された項をもつ方程式を離散化して解く場合に、離散化によって求まる濃度勾配が、要求される精度に入るように数値計算を行なう方法が確立していないためである。
【０００７】
本発明は、上記従来の問題を解決して、拡散方程式、あるいは、熱伝導方程式あるいは、それらにさらに付加された項をもつ方程式を離散化して解く場合に、離散化によって求まる濃度勾配が、要求される精度に入るように数値計算を行なうことを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
上記の課題を解決するために、本発明では、拡散方程式、あるいは、熱伝導方程式、あるいは、それらにさらに付加された項をもつ方程式を離散化して解く場合に、離散化によって求まる変数の勾配に関係した量と、モデル化した式から求まる充分な精度の解の勾配に関係した量を比較し、要求される精度に入るように、離散化の大きさを決める。
【０００９】
【発明を実施するための最良の形態】
【００１０】
以下、本発明を具体化した実施例１、２、３を説明する。
【実施例１】
【００１１】
本発明の第１の実施例は、固相Ｉｎ１−ｘＧａｘＰを、Ｉｎが溶媒、ＧａとＰが溶質の溶液から結晶成長する場合のＧａとＰの拡散方程式を解く場合の数値計算方法である。
【００１２】
基礎式を以下に示す。
【００１３】
【数１】
2007286870.tif 000003
【００１４】
ここで、ｚは成長界面からの高さ方向の座標で原点は成長界面である。tは成長時間、Ｘｌi(z,t)は液相中における成分ｉのモル分率、Ｄiは液相中における成分iの拡散定数である。
【００１５】
境界条件を数２で示す。
【００１６】
【数２】
2007286870.tif 000004
【００１７】
ここで、ｘは固相In1-xGaxPにおけるＧａの組成、rは固相に対する液相の単位体積当たりの体積比である。
【００１８】
温度を一定とする。
【００１９】
解析解は次式である。
【００２０】
【数３】
2007286870.tif 000005
【００２１】
数２には、一階微分を計算する必要がある。これを、１次差分で近似する。
z=ΔziでのXli(z,t)の値を解析解から求める。
【００２２】
【数４】
2007286870.tif 000006
【００２３】
成長界面での1階微分は次式で近似される。
【００２４】
【数５】
2007286870.tif 000007
【００２５】
t=tsでの液相中のモル分率を扱う。図2参照。
【００２６】
成長界面での1階微分は次式で近似される。
【００２７】
【数６】
2007286870.tif 000008
【００２８】
【数７】
2007286870.tif 000009
【００２９】
【数８】
2007286870.tif 000010
【００３０】
【数９】
2007286870.tif 000011
【００３１】
境界条件を近似し、1階微分の許容誤差を見積もる。
【００３２】
各変数の値は次のオーダーである。
【００３３】
Xli(z,t)?0.01
x■0.5
よって境界条件は次式で近似される。
【００３４】
【数１０】
2007286870.tif 000012
【００３５】
実験で観測された組成変動割合は4E-3である。よってxの許容相対誤差osを4.0E-4とする。
【００３６】
Pに対するGaの拡散定数の比DGa/DPは、計算の出発点として、今回は、非特許文献１でフィッティングされた値を使用する。
【００３７】
DGa/DP=0.56
よって、1階微分の許容誤差o1を3E-4とする。
【００３８】
1階微分の相対誤差は次式となる。
【００３９】
【数１１】
2007286870.tif 000013
【００４０】
よって高さ方向のメッシュ間隔が次式で求まる。
【００４１】
【数１２】
2007286870.tif 000014
【００４２】
タイムステップは次式となる。
【００４３】
【数１３】
2007286870.tif 000015
【００４４】
拡散方程式のExplicit schemeが安定性に解ける条件はλi≦0.5である。今回の計算では、λPを、を0.25とする。
【００４５】
フローチャートの主要部分を図3に示す。
【００４６】
計算条件を以下に示す。
【００４７】
時間進行の計算をt = 0.01 sから開始。
【００４８】
最初の時間進行の計算では、解析解を使用。
【００４９】
【数１４】
2007286870.tif 000016
【００５０】
ΔzGa = 6.6E-5 cm
この計算結果を図4のcase1で表す。
【００５１】
【実施例２】
【００５２】
実施例２において、時間進行の計算をt = 0.01 sから開始するのを t = 0 sから開始する場合に変更した場合。
【００５３】
この計算結果を図4のcase2で表す。
【実施例３】
【００５４】
実施例２において、高さ方向のメッシュ間隔を数１４から、次式に変更した場合。
ΔzGa =ΔzP = 6.6E-5 cm
この計算結果を図4のcase3で表す。
【産業上の利用可能性】
【００５５】
本発明の数値計算法は、液相成長のシミュレーション等に利用可能である。
【図面の簡単な説明】
【００５６】
【図１】実施例１〜３における数値計算方法のメッシュ分割図である。
【図２】実施例１における数値計算方法を導出するために使用する液相中のモル分率の、時間進行の計算を開始するときの解析解の模式図である。
【図３】実施例１〜３における数値計算方法のフローチャートである。
【図４】実施例１〜３の数値計算結果である。
【図１】
2007286870.tif 000017
【図２】
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【図３】
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【図４】
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