(57)【要約】      （修正有）【課題】ＦＦＴ演算により生成された離散スペクトルからその離散スペクトルにはあらわれていない、２つの離散点の間の任意の周波数のスペクトルを求めるスペクトル内挿方法等に関し、離散スペクトルから任意の周波数のスペクトル値を極めて高精度に内挿する。【解決手段】下記式2007322153.tif 000079  ここで、ωは対象とする角周波数、Ｆｐ（ω）は角周波数ωのスペクトル値、Δωは離散スペクトルの間隔、ω０はω０＝０であることを含む任意の参照角周波数、Ψ（ω）は内挿関数である。もしくはその式と等価な式に従って、任意の周波数ｆ＝ω／２πのスペクトル値Ｆｐ（ω）を求める。【選択図】なし【特許請求の範囲】
【請求項１】
周期関数一周期をＮ個のサンプリング点でサンプリングしてフーリエ変換することにより得られた離散スペクトルを内挿して任意の周波数のスペクトル値を求めるスペクトル内挿方法であって、
下記式
【数１】
2007322153.tif 000070
ここで、
【数２】
2007322153.tif 000071
但し、
ωは対象とする角周波数
Ｆｐ（ω）は角周波数ωのスペクトル値
Δωは離散スペクトルの間隔
ω０はω０＝０であることを含む任意の参照角周波数
Ψ（ω）は内挿関数
である。
もしくは該式と等価な式に従って、任意の周波数ｆ＝ω／２πのスペクトル値Ｆｐ（ω）を求めることを特徴とするスペクトル内挿方法。
【請求項２】
前記等価な式が、
【数３】
2007322153.tif 000072
但し、
Ｒｐ（ｋ）は複素数Ｆｐ（ｋ）の実部
Ｆｐ（ｋ）＊はＦｐ（ｋ）の共役複素数
である。
を含むことを特徴とする請求項１記載のスペクトル内挿方法。
【請求項３】
周期関数一周期をＮ個のサンプリング点でサンプリングしてフーリエ変換することにより得られた離散スペクトルを内挿して任意の周波数のスペクトル値を求めるスペクトル内挿装置であって、
前記離散スペクトルを取得する取得部と、
前記取得部で取得した離散スペクトルから、下記式
【数４】
2007322153.tif 000073
ここで、
【数５】
2007322153.tif 000074
但し、
ωは対象とする角周波数
Ｆｐ（ω）は角周波数ωのスペクトル値
Δωは離散スペクトルの間隔
ω０はω０＝０であることを含む任意の参照角周波数
Ψ（ω）は内挿関数
である。
もしくは該式と等価な式に従って任意の周波数ｆ＝ω／２πのスペクトル値Ｆｐ（ω）を求める演算部と、
前記演算部で求められたスペクトル値Ｆｐ（ω）を出力する出力部とを備えたことを特徴とするスペクトル内挿装置。
【請求項４】
前記演算部が、前記等価な式のうちの１つである
【数６】
2007322153.tif 000075
但し、
Ｒｐ（ｋ）は複素数Ｆｐ（ｋ）の実部
Ｆｐ（ｋ）＊はＦｐ（ｋ）の共役複素数
である。
に従って任意の周波数ｆ＝ω／２πのスペクトル値Ｆｐ（ω）を求めるものであることを特徴とする請求項３記載のスペクトル内挿装置。
【請求項５】
プログラムを実行する情報処理装置内で実行され、該情報処理装置を、周期関数一周期をＮ個のサンプリング点でサンプリングしてフーリエ変換することにより得られた離散スペクトルを内挿して任意の周波数のスペクトル値を求めるスペクトル内挿装置として動作させるスペクトル内挿プログラムであって、
前記情報処理装置を、
前記離散スペクトルを取得する取得部と、
前記取得部で取得した離散スペクトルから、下記式
【数７】
2007322153.tif 000076
ここで、
【数８】
2007322153.tif 000077
但し、
ωは対象とする角周波数
Ｆｐ（ω）は角周波数ωのスペクトル値
Δωは離散スペクトルの間隔
ω０はω０＝０であることを含む任意の参照角周波数
Ψ（ω）は内挿関数
である。
もしくは該式と等価な式に従って任意の周波数ｆ＝ω／２πのスペクトル値Ｆｐ（ω）を求める演算部と、
前記演算部で求められたスペクトル値Ｆｐ（ω）を出力する出力部とを備えたスペクトル内挿装置として動作させることを特徴とするスペクトル内挿プログラム。
【請求項６】
前記演算部が、前記等価な式のうちの１つである
【数９】
2007322153.tif 000078
但し、
Ｒｐ（ｋ）は複素数Ｆｐ（ｋ）の実部
Ｆｐ（ｋ）＊はＦｐ（ｋ）の共役複素数
である。
に従って任意の周波数ｆ＝ω／２πのスペクトル値Ｆｐ（ω）を求めるものであることを特徴とする請求項５記載のスペクトル内挿プログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、いわゆるＦＦＴ（Ｆａｓｔ  Ｆｏｕｒｉｅｒ  Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ）等の演算により生成された離散スペクトルから、その離散スペクトルにはあらわれていない、２つの離散点の間の任意の周波数のスペクトルを求めるスペクトル内挿方法およびスペクトル内挿装置、並びに、情報処理装置内で実行されてその情報処理装置をスペクトル内挿装置として動作させるスペクトル内挿プログラムに関する。
【背景技術】
【０００２】
従来より様々な分野で例えば時間的に変化する波形のスペクトル解析が多用されており、このスペクトル解析にはＦＦＴの演算手法が用いられている。
【０００３】
このＦＦＴでは、時間波形を周期関数と見なして所定の時間間隔でサンプリングし、一周期分のＮ個の離散的なサンプリング点の値を得て、それらのサンプリング点の値を基に演算してＮ個の離散的な周波数のスペクトル成分が求められる（非特許文献１参照）。
【非特許文献１】ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｋｕｒｉｍｓ．ｋｙｏｔｏ−ｕ．ａｃ．ｊｐ／〜ｏｏｕｒａ／ｆｆｔｍａｎ／ｉｎｄｅｘ．ｈｔｍｌ
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００４】
上記のＦＦＴの手法では、求めることができるのは離散的な周波数のスペクトル成分であるため、離散点どうしの間の周波数のスペクトル値は分からず、詳細なスペクトル解析を行なうには限界がある。サンプリング点の数（上記のＮ）を増やすことも考えられるが、その場合、ＦＦＴの計算量が厖大となり現実的ではなく、しかもサンプリング点の数を増やしても離散的であることには変わりなく、任意の周波数のスペクトル値を求めることはできない。
【０００５】
本発明は、上記事情に鑑み、離散スペクトルから任意の周波数のスペクトル値を極めて高精度に内挿することのできるスペクトル内挿方法、スペクトル内挿装置、および、情報処理装置をそのような極めて高精度な内挿を行なうことのできるスペクトル内挿装置として動作させることのできるスペクトル内挿プログラムを提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００６】
上記目的を達成する本発明のスペクトル内挿方法は、  周期関数一周期をＮ個のサンプリング点でサンプリングしてフーリエ変換することにより得られた離散スペクトルを内挿して任意の周波数のスペクトル値を求めるスペクトル内挿方法であって、
下記式
【０００７】
【数１】
2007322153.tif 000002
【０００８】
ここで、
【０００９】
【数２】
2007322153.tif 000003
【００１０】
但し、
ωは対象とする角周波数
Ｆｐ（ω）は角周波数ωのスペクトル値
Δωは離散スペクトルの間隔
ω０はω０＝０であることを含む任意の参照角周波数
Ψ（ω）は内挿関数
である。
【００１１】
もしくはその式と等価な式に従って任意の周波数ｆ＝ω／２πのスペクトル値Ｆｐ（ω）を求めることを特徴とする。
【００１２】
本発明のスペクトル内挿方法によれば、上記の式の導出は後述するが、その式に従って、任意の周波数のスペクトル値を、少なくとも原理的な誤差はなく極めて高精度に、求めることができる。
【００１３】
ここで、本発明のスペクトル内挿方法における、上記等価な式には、一例として、
【００１４】
【数３】
2007322153.tif 000004
【００１５】
但し、
Ｒｐ（ｋ）は複素数Ｆｐ（ｋ）の実部
Ｆｐ（ｋ）＊はＦｐ（ｋ）の共役複素数
である。
が含まれる。
【００１６】
この式の導出についても後述する。
【００１７】
尚、上記の「等価な式」は、ここで述べた形態以外の様々な式の変形や、内挿に誤差を含みながらも簡略化した式などを包含するものである。
【００１８】
また、上記目的を達成する本発明のスペクトル内挿装置は、周期関数一周期をＮ個のサンプリング点でサンプリングしてフーリエ変換することにより得られた離散スペクトルを内挿して任意の周波数のスペクトル値を求めるスペクトル内挿装置であって、
上記離散スペクトルを取得する取得部と、
上記取得部で取得した離散スペクトルから、下記式
【００１９】
【数４】
2007322153.tif 000005
【００２０】
ここで、
【００２１】
【数５】
2007322153.tif 000006
【００２２】
但し、
ωは対象とする角周波数
Ｆｐ（ω）は角周波数ωのスペクトル値
Δωは離散スペクトルの間隔
ω０はω０＝０であることを含む任意の参照角周波数
Ψ（ω）は内挿関数
である。
【００２３】
もしくはその式と等価な式に従って、任意の周波数ｆ＝ω／２πのスペクトル値Ｆｐ（ω）を求める演算部と、
上記演算部で求められたスペクトル値Ｆｐ（ω）を出力する出力部とを備えたことを特徴とする。
【００２４】
ここで、本発明のスペクトル内挿装置において、上記演算部が、上記等価な式のうちの１つである
【００２５】
【数６】
2007322153.tif 000007
【００２６】
但し、
Ｒｐ（ｋ）は複素数Ｆｐ（ｋ）の実部
Ｆｐ（ｋ）＊はＦｐ（ｋ）の共役複素数
である。
に従って任意の周波数ｆ＝ω／２πのスペクトル値Ｆｐ（ω）を求めるものであってもよい。
【００２７】
尚、本発明のスペクトル内挿装置において、上記取得部は、上記の離散スペクトルを取得すればよく、その取得の態様を問うものではない。例えば、既に記憶されている離散スペクトルを読み出すことであってもよく、あるいは、この取得部自身でＦＦＴの演算を行なって離散スペクトルを求めるものであってもよい。
【００２８】
また、上記演算部における演算は、上記のスペクトル内挿方法で各種態様に対応する各種態様の全てが含まれる。
【００２９】
さらに、上記出力部は、演算部により求めたスペクトル値を表示するものであってもよく、プリント出力するものであってもよく、あるいは通信回線を介して送信するものであってもよく、何らかの態様で出力するものであればよい。
【００３０】
また、上記目的を達成する本発明のスペクトル内挿プログラムは、プログラムを実行する情報処理装置内で実行され、その該情報処理装置を、周期関数一周期をＮ個のサンプリング点でサンプリングしてフーリエ変換することにより得られた離散スペクトルを内挿して任意の周波数のスペクトル値を求めるスペクトル内挿装置として動作させるスペクトル内挿プログラムであって、
上記情報処理装置を、
上記離散スペクトルを取得する取得部と、
上記取得部で取得した離散スペクトルから、下記式
【００３１】
【数７】
2007322153.tif 000008
【００３２】
ここで、
【００３３】
【数８】
2007322153.tif 000009
【００３４】
但し、
ωは対象とする角周波数
Ｆｐ（ω）は角周波数ωのスペクトル値
Δωは離散スペクトルの間隔
ω０はω０＝０であることを含む任意の参照角周波数
Ψ（ω）は内挿関数
である。
【００３５】
もしくはその式と等価な式に従って、任意の周波数ｆ＝ω／２πのスペクトル値Ｆｐ（ω）を求める演算部と、
上記演算部で求められたスペクトル値Ｆｐ（ω）を出力する出力部とを備えたスペクトル内挿装置として動作させることを特徴とする。
【００３６】
ここで、上記演算部が、上記等価な式のうちの１つである
【００３７】
【数９】
2007322153.tif 000010
【００３８】
但し、
Ｒｐ（ｋ）は複素数Ｆｐ（ｋ）の実部
Ｆｐ（ｋ）＊はＦｐ（ｋ）の共役複素数
である。
に従って、任意の周波数ｆ＝ω／２πのスペクトル値Ｆｐ（ω）を求めるものであってもよい。
【００３９】
本発明のスペクトル内挿プログラムには、スペクトル内挿装置の各種態様に対応する各種態様を包含するものである。
【発明の効果】
【００４０】
以上の本発明によれば、周波数軸上の離散点の間の任意の周波数のスペクトル値を極めて高精度に内挿することができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００４１】
以下、本発明の実施形態について説明する。
【００４２】
図１は、コンピュータの外観斜視図である。このコンピュータは、後述するプログラムの実行により本発明の一実施形態としてのスペクトル内挿装置として動作するものである。
【００４３】
この図１に示すコンピュータ１００は、外観構成上、本体装置１１０、その本体装置１１０からの指示に応じて表示画面１２１上に画像を表示する画像表示装置１２０、本体装置１１０に、キー操作に応じた各種の情報を入力するキーボード１３０、および、表示画面１２１上の任意の位置を指定することにより、その位置に表示された、例えばアイコン等に応じた指示を入力するマウス１４０を備えている。この本体装置１１０は、外観上、フレキシブルディスク（以下、ＦＤと略記する）を装填するためのＦＤ装填口１１１、およびＣＤ−ＲＯＭを装填するためのＣＤ−ＲＯＭ装填口１１２を有する。
【００４４】
図２は、図１に外観を示すコンピュータ１００のハードウェア構成図である。
【００４５】
本体装置１１０の内部には、図２に示すように、各種プログラムを実行するＣＰＵ１１３、ハードディスク装置１１５に格納されたプログラムが読み出されＣＰＵ１１３での実行のために展開される主メモリ１１４、各種プログラムやデータ等が保存されたハードディスク装置１１５、ＦＤ４００をアクセスするＦＤドライブ１１６、ＣＤ−ＲＯＭ４０１が装填され、その装填されたＣＤ−ＲＯＭ４０１をアクセスするＣＤ−ＲＯＭドライブ１１７、外部のセンサ等から信号を入力する入力インタフェース１１８、演算結果を外部装置に出力する出力インタフエース１１９が内蔵されており、これらの各種要素と、さらに図１にも示す画像表示装置１２０、キーボード１３０、およびマウス１４０は、バス１５０を介して相互に接続されている。
【００４６】
ＣＤ−ＲＯＭ４０１には、このコンピュータ１００を本発明のスペクトル内挿装置の一実施形態として動作させるためのスペクトル内挿プログラムが記憶されている。そのＣＤ−ＲＯＭ４０１はＣＤ−ＲＯＭドライブ１１７に装填され、そのＣＤ−ＲＯＭ４０１に記憶されたスペクトル内挿プログラムがこのコンピュータにアップロードされてハードディスク装置１１５に記憶される。そして、このスペクトル内挿プログラムが起動されて実行されることにより、コンピュータ１００は、本発明のスペクトル内挿装置の一実施形態として動作する。
【００４７】
尚、上記では、スペクトル内挿プログラムを記憶する記憶媒体としてＣＤ−ＲＯＭ４０１が例示されているが、スペクトル内挿プログラムを記憶する記憶媒体はＣＤ−ＲＯＭに限られるものではなく、それ以外の光ディスク、ＭＯ、ＦＤ、磁気テープなどの記憶媒体であってもよい。
【００４８】
図３は、スペクトル内挿プログラムが記憶されたＣＤ−ＲＯＭ４０１を示す概念図である。
【００４９】
この図３に示すＣＤ−ＲＯＭ４０１には、取得部４１１と、演算部４１２と、出力部４１３とからなるスペクトル内挿プログラム４１０が格納されている。
【００５０】
図１，図２に示すコンピュータ１００は、時間的に変化する信号を外部から取り込んでＦＦＴ演算を行なって離散スペクトルを求めるＦＦＴアナライザの機能も搭載されており、取得部４１１は、そのコンピュータ１００に、ＦＦＴ演算により得られて、例えばハードディスク装置１１５に格納されていた離散スペクトルを、そのハードディスク装置１１５から読み出させることによりその離散スペクトルを取得させる役割りを担っているプログラム部品である。尚、この取得部４１１は、コンピュータ１００にＦＦＴ演算を行なわさせるプログラム要素を含めて取得部とするものであってもよい。
【００５１】
また、演算部４１２は、コンピュータ１００に取得した離散スペクトルから、下記式
【００５２】
【数１０】
2007322153.tif 000011
【００５３】
ここで、
【００５４】
【数１１】
2007322153.tif 000012
【００５５】
但し、
ωは対象とする角周波数
Ｆｐ（ω）は角周波数ωのスペクトル値
Δωは離散スペクトルの間隔
ω０はω０＝０であることを含む任意の参照角周波数
Ψ（ω）は内挿関数
である。
【００５６】
に従って、任意の周波数ｆ＝ω／２πのスペクトル値Ｆｐ（ω）を求めさせるプログラム部品である。
【００５７】
あるいは、この演算部４１２は、上記の式に代わり、コンピュター１００に、
【００５８】
【数１２】
2007322153.tif 000013
【００５９】
但し、
Ｒｐ（ｋ）は複素数Ｆｐ（ｋ）の実部
Ｆｐ（ｋ）＊はＦｐ（ｋ）の共役複素数
である。
に従って、任意の周波数ｆ＝ω／２πのスペクトル値Ｆｐ（ω）を求めさせるものであってもよい。
【００６０】
さらに、出力部４１３は、演算部４１２による演算結果をコンピュータ１００の画像表示装置１２０の表示画面１２１（図１参照）上に表示させるプログラム部品である。尚、この出力部４１３は、その演算結果を、表示させるとともに、あるいは表示させることに代わり、外部に出力させるものであってもよい。
【００６１】
図４は、本発明の一実施形態としてのスペクトル内部装置の機能構成図である。
【００６２】
この図４に示すスペクトル内挿装置４２０は、取得部４２１と、演算部４２２と、出力部４２３とから構成されている。これら取得部４２１、演算部４２２、および出力部４２３は、それぞれ、図３に示すスペクトルの内挿プログラム４１０の各プログラム部品である取得部４１１、演算部４１２、および出力部４１３がコンピュータ１００内で実行されることにより実現する機能である。したがって図４の取得部４２１、演算部４２２、および出力部４２３は、プログラム部品である図３の取得部４１１、演算部４１２、および出力部４１３のそれぞれとコンピュータ１００のハードウェアとで構成されている。
【００６３】
次に、上記の式の導出について説明する。
１．はじめに
ここでは、離散的にサンプリングされた周期スペクトル関数を内挿する時に基礎となることについて、その出発点に位置する事柄について簡単に述べておく。ここでは、フーリエ級数係数を数値計算する立場から、フーリエ級数の展開式を眺め直し、周期スペクトル信号に対するサンプリング定理を導出する。その副産物として、標本点を用いた周期スペクトル関数の内挿公式を導出することにする。
２．フーリエ級数係数に対する積分表示から標本点フーリエ変換式へ
今、周期２π／ωｓの周期スペクトル関数をＦｐ（ω）とする。すなわち、
【００６４】
【数１３】
2007322153.tif 000014
【００６５】
とする。Ｆｐ（ω）は周期信号だから、フーリエ級数展開が可能であり、次のように表される。
【００６６】
【数１４】
2007322153.tif 000015
【００６７】
【数１５】
2007322153.tif 000016
【００６８】
ただし、［２．３］の積分記号は、１周期に渡る積分を表している。この積分を（近似的にでも）数値計算で計算しようとする時、まず、最初に思い付く公式は、
【００６９】
【数１６】
2007322153.tif 000017
【００７０】
であろう。ただし、
【００７１】
【数１７】
2007322153.tif 000018
【００７２】
とした。またω０は、ゼロでも良い、適当な参照角周波数である。（２．４）を参考にして、
【００７３】
【数１８】
2007322153.tif 000019
【００７４】
と置く。ｄｎ（Ｄ）は、
【００７５】
【数１９】
2007322153.tif 000020
【００７６】
なる周期性を有する。（２．６）から、Ｆｐ（ωｏ＋ｋ・Δω）をｄｎ（Ｄ）で表すには、
【００７７】
【数２０】
2007322153.tif 000021
【００７８】
なる公式を利用する。すなわち、（２．６）にｅｘｐ（−ｊ２π・ｎｌ／Ｎ）を掛け、ｎについて０から（Ｎ−１）までの和を取り、（２．８）を利用すると、
【００７９】
【数２１】
2007322153.tif 000022
【００８０】
を得る。
【００８１】
他方、（２．２）において、
【００８２】
【数２２】
2007322153.tif 000023
【００８３】
と置くと、（２．５）のωｓ＝Ｎ・Δωを用いて、次式を得る。
【００８４】
【数２３】
2007322153.tif 000024
【００８５】
（２．９）と（２．１２）とを比べて、
【００８６】
【数２４】
2007322153.tif 000025
【００８７】
を得る。（２．１３）より、（２．７）の周期性が成り立っていることは明らかである。
３．周期スペクトルに対するサンプリング定理
まず、（２．１３）より、
【００８８】
【数２５】
2007322153.tif 000026
【００８９】
であるが、今、特に信号が、時間的に局在していて、
【００９０】
【数２６】
2007322153.tif 000027
【００９１】
のような場合を考える。この時には、
【００９２】
【数２７】
2007322153.tif 000028
【００９３】
となる。この時、（２．２）と（３．２）、（３．３）より、
【００９４】
【数２８】
2007322153.tif 000029
【００９５】
更に、（２．６）、
【００９６】
【数２９】
2007322153.tif 000030
【００９７】
を用いて、
【００９８】
【数３０】
2007322153.tif 000031
【００９９】
を得る。そこで、
【０１００】
【数３１】
2007322153.tif 000032
【０１０１】
と置くと、（３．５）は、
【０１０２】
【数３２】
2007322153.tif 000033
【０１０３】
となる。
【０１０４】
この（３．７）が、本発明における内挿公式の１つである。
【０１０５】
（３．７）で、特に、ω＝ω０＋ｌ・Δωと置くと、
【０１０６】
【数３３】
2007322153.tif 000034
【０１０７】
従ってＦｐ（ω）の周期性（２．１）と（２．５）を考慮に入れると、
【０１０８】
【数３４】
2007322153.tif 000035
【０１０９】
の性質が要求されることになる。
【０１１０】
さて、ここで、
【０１１１】
【数３５】
2007322153.tif 000036
【０１１２】
に注意すると、（３．６）のΨ（ω）は次式で与えられることになる。
【０１１３】
【数３６】
2007322153.tif 000037
【０１１４】
この（３．１１）が、（３．７）で用いられる内挿関数である。
【０１１５】
（３．１１）でω→ω＋ｍＮ・Δω＝ω＋ｍωｓとしてみると、
【０１１６】
【数３７】
2007322153.tif 000038
【０１１７】
を得る。すなわち、Ψ（ω）は周期Ｎ・Δω＝ωｓの周期関数である。
【０１１８】
ところで、Ψ（ω）は、（３．９）のΨ（ｋ・Δω）＝δｋ，ｍＮを満たす必要があった。つまり、
【０１１９】
【数３８】
2007322153.tif 000039
【０１２０】
を満たす必要があった。ｋ≠ｍＮの時には、（３．１３）の右辺は、明らかにゼロとなっている。他方、ｋ＝ｍＮの時には、
【０１２１】
【数３９】
2007322153.tif 000040
【０１２２】
となり、確かに、（３．１３）が、ひいては、（３．９）が成り立っていることが判る。
【０１２３】
なお、Ψ（ω）の性質については、以下のことが成り立っていることが容易に示される。
【０１２４】
１）周期性
【０１２５】
【数４０】
2007322153.tif 000041
【０１２６】
２）ω＝ｍＮ・Δω、および、ω＝ｋ・Δω  （ｋ＝０，１，２，…，（Ｎ−１））での値
【０１２７】
【数４１】
2007322153.tif 000042
【０１２８】
これ以降では、
【０１２９】
【数４２】
2007322153.tif 000043
【０１３０】
と置く。ここに、
【０１３１】
【数４３】
2007322153.tif 000044
【０１３２】
【数４４】
2007322153.tif 000045
【０１３３】
である。この時、次のことが言える。
【０１３４】
３）Ｎが偶数の時の、ω＝（Ｎ／２）・Δωでの値と、ω＝（Ｎ／２）・Δωのまわりの対称性
まず、ω＝（Ｎ／２）・Δωでの値を調べる。Ｎが偶数であることを考えると、
【０１３５】
【数４５】
2007322153.tif 000046
【０１３６】
【数４６】
2007322153.tif 000047
【０１３７】
を得る。
【０１３８】
次に、ω＝（Ｎ／２）・Δωのまわりの対称性についてであるが、まず、実部については、
【０１３９】
【数４７】
2007322153.tif 000048
【０１４０】
なるω＝（Ｎ／２）・Δωのまわりの対称性があることが示される。
【０１４１】
次、虚部については、
【０１４２】
【数４８】
2007322153.tif 000049
【０１４３】
なるω＝（Ｎ／２）・Δωのまわりの歪対称性があることが示される。
【０１４４】
４）Ｎが奇数の時の、ω＝（Ｎ／２）・Δωのまわりの対称性
まず、実部については、ω＝（Ｎ／２）・Δωのまわりの対称性、
【０１４５】
【数４９】
2007322153.tif 000050
【０１４６】
があることが示される。また、虚部については、Ｎが偶数である場合と同じく、ω＝（Ｎ／２）・Δωのまわりの歪対称性、
【０１４７】
【数５０】
2007322153.tif 000051
【０１４８】
があることが示される。
４．スペクトルの対称性を考慮に入れた内挿公式について
今までの議論は一般的なものであるが、元々の時間信号が実信号の場合には、スペクトルの実部は偶関数、虚部は奇関数になることを利用すると、和を取る範囲を、半分にすることが可能となる。以下に、この件について述べておく。まず、
【０１４９】
【数５１】
2007322153.tif 000052
【０１５０】
に於いて、時間信号が実信号、つまり、
【０１５１】
【数５２】
2007322153.tif 000053
【０１５２】
【数５３】
2007322153.tif 000054
【０１５３】
の場合には、
【０１５４】
【数５４】
2007322153.tif 000055
【０１５５】
【数５５】
2007322153.tif 000056
【０１５６】
【数５６】
2007322153.tif 000057
【０１５７】
が成り立つことに注意する。また、内挿公式、（３．８）、
【０１５８】
【数５７】
2007322153.tif 000058
【０１５９】
に於いて、ω０＝０とすると、（３．８）は、
【０１６０】
【数５８】
2007322153.tif 000059
【０１６１】
と表される。（４．４）−（４．６）を考慮に入れると、（４．７）は、
【０１６２】
【数５９】
2007322153.tif 000060
【０１６３】
と書ける。（３．１８）、（３．１９）、
【０１６４】
【数６０】
2007322153.tif 000061
【０１６５】
【数６１】
2007322153.tif 000062
【０１６６】
より、
【０１６７】
【数６２】
2007322153.tif 000063
【０１６８】
【数６３】
2007322153.tif 000064
【０１６９】
従って、
【０１７０】
【数６４】
2007322153.tif 000065
【０１７１】
を得る。従って、内挿公式は、
【０１７２】
【数６５】
2007322153.tif 000066
【０１７３】
となる。
【０１７４】
この（４．１２）が、本発明のもう１つの内挿公式である。
【０１７５】
次に、本発明の内挿公式を用いたシミュレーション結果について説明する。
【０１７６】
ここでは、スペクトル内挿とそのデモ例について、簡単にまとめておく。
５．スペクトル内挿の原理の概要について
スペクトル内挿の原理は、周期関数のサンプリング定理に基づいている。式の導出過程や内挿関数に関する詳しい議論は前述のとおりであり、内挿公式は、
【０１７７】
【数６６】
2007322153.tif 000067
【０１７８】
で与えられる。ここに、ωは、求めたい、対象とする角周波数、Ｆｐ（ω）は、求めたい複素スペクトル、Ｆｐ（ω０＋ｋΔω）はＦＦＴで求まった離散角周波数に於ける複素スペクトルデータ、ω０は、ゼロでも良い、適当な参照角周波数である。Ψ（ω）は、内挿関数である。すなわち、ＦＦＴで求まったＮ個の複素スペクトルＦｐ（ω０＋ｋΔω）があれば、所望の周波数に於ける複素スペクトルが、誤差無しで、求められるわけである。（５．１）は、畳み込みの形をしているため、もし、等間隔で２のべき乗個の点に於ける内挿をしたい場合には、ＦＦＴを利用した高速アルゴリズムも可能となる。ただ、（５．１）のメリットは、求めたい点が１点のような場合にも使える式になっていることである。
【０１７９】
原理が、周期信号のサンプリング定理に基づくために、必然的に、次のような制限条件をクリアしている必要がある。
（１）ゼロから始まって、ゼロで終わる時間信号であること。
【０１８０】
インパルス応答や、ハニング窓で切り出した時間信号なら、この条件を満たしていると言える。
（２）ＦＦＴで得られた、全てのスペクトルを内挿計算に用いる。
【０１８１】
この２つの条件が満たされれば、誤差なしで、スペクトルの内挿が出来るといえる。
６．数値計算例
６．１  減衰振動のスペクトル
まず、最初の例は、図５に示したような、減衰振動波形のスペクトルである。
【０１８２】
図５において、実線は生時間データ、破線はハニング窓を掛けた時間データである。
【０１８３】
ただし、対象としたのは、
【０１８４】
【数６７】
2007322153.tif 000068
【０１８５】
で与えられる減衰正弦波であり、この例では、ｆ０＝１００（Ｈｚ）、ζ＝０．００８、Ｎ＝３２、ｆｍａｘ＝５１２（Ｈｚ）として解析した。
【０１８６】
図６は図５に示すハニング窓を掛けたデータのスペクトルを示す図、図７は、図６の一部を拡大して示した図である。
【０１８７】
破線はＦＦＴ演算により求めた離散スペクトルを示しており、離散スペクトルを直線で結び折れ線となっている。一方、実線は、その折れ線で示される離散スペクトルから（６．１）の内挿公式により求めたスペクトル値であり、離散点どうしの間の各周波数のスペクトル値が極めて正確に求められていることが分かる。
７．２  うなり現象のスペクトル
次の例は、図８に示したような、うなり波形のスペクトルである。
【０１８８】
図８において、実線は生時間データ、破線はハニング窓を掛けた時間データである。
【０１８９】
ただし、対象としたのは、
【０１９０】
【数６８】
2007322153.tif 000069
【０１９１】
で与えられる減衰正弦波であり、この例では、ｆ１＝１００（Ｈｚ）、ｆ１＝１１４（Ｈｚ）、ζ＝０．００８、Ｎ＝６４、ｆｍａｘ＝５１２（Ｈｚ）として解析した。
【０１９２】
図９は、図８に示すハニング窓を掛けたデータのスペクトルを示す図、図１０は図９の一部を拡大して示した図である。
【０１９３】
ここでは、うなり現象を扱っているためスペクトルのピークは２つ出現するはずであり、本発明の内挿公式を採用すると、ＦＦＴによる離散スペクトルではあいまいであったピークが高精度に出現していることが分かる。
【０１９４】
これらの図から、内挿データは、元々のデータ点では、元々のデータに一致し、それ以外の点では、元々のデータだけからは判らないが、真値と考えられる点を通過していることが判る。
【０１９５】
尚、上記の実施形態では、汎用のコンピュータを用いて、そのコンピュータとそのコンピュータ内で実行されるスペクトル内挿プログラムとによりスペクトル内挿装置を実現しているが、本発明のスペクトル内挿装置は、汎用のコンピュータを用いる代わりに専用の、あるいは例えばスペクトラムアナライザ等の他の装置と兼用した装置、あるいは計測器として実現してもよい。
【図面の簡単な説明】
【０１９６】
【図１】コンピュータの外観斜視図である。
【図２】図１に外観を示すコンピュータのハードウェア構成図である。
【図３】スペクトル内挿プログラムが記憶されたＣＤ−ＲＯＭを示す概念図である。
【図４】本発明の一実施形態としてのスペクトル内部装置の機能構成図である。
【図５】減衰振動波形を示す図である。
【図６】図５に示すハニング窓を掛けたデータのスペクトルを示す図である。
【図７】図６の一部を拡大して示した図である。
【図８】うなり波形を示す図である。
【図９】図８に示すハニング窓を掛けたデータのスペクトルを示す図である。
【図１０】図９の一部を拡大して示した図である。
【符号の説明】
【０１９７】
１００    コンピュータ
１１０    本体装置
１２０    画像表示装置
１３０    キーボード
１４０    マウス
４０１    ＣＤ−ＲＯＭ
４１０    スペクトル内挿プログラム
４１１    取得部
４１２    演算部
４１３    出力部
４２０    スペクトル内挿装置
４２１    取得部
４２２    演算部
４２３    出力部
【図１】
2007322153.tif 000080
【図２】
2007322153.tif 000081
【図３】
2007322153.tif 000082
【図４】
2007322153.tif 000083
【図５】
2007322153.tif 000084
【図６】
2007322153.tif 000085
【図７】
2007322153.tif 000086
【図８】
2007322153.tif 000087
【図９】
2007322153.tif 000088
【図１０】
2007322153.tif 000089