(57)【要約】      （修正有）【課題】独立した対数正規確率変数を結合したものの分布を単一の対数正規ＲＶで近似する方法を提供する。【解決手段】物理系から取得される一組の信号を解析するために一組の信号を特徴付ける一組のパラメータが測定され、パラメータは、信号の電力の平均及び分散並びにライスファクタを含むことができる。一組の信号を結合したものの積率母関数の第１の点及び第２の点が、一組のパラメータに従って評価され、第１の点及び第２の点における一組の信号を結合したものを表す対数正規確率変数の積率母関数の近似を左辺に有し、第１のサンプル及び第２のサンプルを右辺に有する２つの方程式が解かれ、一組の信号を結合したものの分布を表す対数正規確率変数の平均及び分散が得られる。【選択図】図２
2007053752.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
物理系からそれぞれ取得される一組の信号を解析するための方法であって、
一組の信号を特徴付ける一組のパラメータを測定するステップと、
前記一組の信号を結合したものの積率母関数の第１の点及び第２の点を前記一組のパラメータに従って評価して、第１のサンプル及び第２のサンプルをそれぞれ得るステップと、
前記第１の点における前記一組の信号を結合したものを表す対数正規確率変数の積率母関数の近似を左辺に有し、前記第１のサンプルを右辺に有する、第１の方程式を定義するステップと、
前記第２の点における前記一組の信号を結合したものを表す前記対数正規確率変数の前記積率母関数の近似を左辺に有し、前記第２のサンプルを右辺に有する、第２の方程式を定義するステップと、
前記第１の方程式及び前記第２の方程式を解いて、前記一組の信号を結合したものの分布を表す前記対数正規確率変数の平均及び分散を得るステップと
を備えた方法。
【請求項２】
前記信号は相関性を有し、前記パラメータは前記一組の信号について併せて測定される、請求項１に記載の方法。
【請求項３】
前記信号は独立しており、前記パラメータは各信号について個々に測定される、請求項１に記載の方法。
【請求項４】
前記信号は相関性を有し、単一の積率母関数が、前記信号のすべてを結合したものについて併せて評価されて、前記第１のサンプル及び前記第２のサンプルが得られる、請求項１に記載の方法。
【請求項５】
前記信号は独立しており、前記積率母関数は、各信号について個々に評価されて、前記第１の点に対応する一組の第１のサンプル及び前記第２の点に対応する一組の第２のサンプルが得られ、
前記一組の第１のサンプルを前記第１のサンプルに結合すること、及び
前記一組の第２のサンプルを前記第２のサンプルに結合すること、
をさらに備えた請求項１に記載の方法。
【請求項６】
前記結合することは、前記サンプルの乗算である、請求項５に記載の方法。
【請求項７】
前記信号は無線信号である、請求項１に記載の方法。
【請求項８】
前記無線信号は、移動電話ネットワークにおいて伝送される、請求項７に記載の方法。
【請求項９】
前記無線信号は、同一チャネル干渉信号である、請求項７に記載の方法。
【請求項１０】
前記無線信号は、大きな距離にわたって対数正規分布を有する、請求項７に記載の方法。
【請求項１１】
前記一組のパラメータは、前記一組の信号を結合したものの電力の平均及び分散を含む、請求項２に記載の方法。
【請求項１２】
前記一組のパラメータは、各信号の電力の平均及び分散を含む、請求項３に記載の方法。
【請求項１３】
前記一組のパラメータは、ライスファクタを含む、請求項１に記載の方法。
【請求項１４】
特定の点ｓにおける特定の信号を表す確率変数Ｙの前記積率母関数は、
【数１】
2007053752.tif 000048
であり、ここで、ｓは、前記積率母関数が評価される点であり、ＥＹ［・］は、前記確率変数Ｙに関する期待値であり、確率分布関数ｐｙが、
【数２】
2007053752.tif 000049
として表され、ここで、μは平均であり、σは標準偏差であり、σ２は分散であり、
【数３】
2007053752.tif 000050
である、請求項１に記載の方法。
【請求項１５】
前記点の値は、前記分布の先端では一致するのに相対的に高く、前記分布の末端では一致するのに相対的に低い、請求項１に記載の方法。
【請求項１６】
前記積率母関数の特定の近似は、ガウス−エルミート積分に基づく級数展開である、請求項１に記載の方法。
【請求項１７】
前記信号は相関性を有し、前記第１の方程式及び前記第２の方程式は、
【数４】
2007053752.tif 000051
であり、ここで、
【数５】
2007053752.tif 000052
であり、ここで、μＸｉ及びσＸｉは、前記対数正規変数Ｘの前記平均及び前記分散であり、ｗｎは所定の重みであり、ａｎは横座標であり、特定の積率母関数Ψは点ｓ１及びｓ２において評価され、
【数６】
2007053752.tif 000053
であり、Ｎはエルミート積分次数である、請求項１に記載の方法。
【請求項１８】
３つ以上の点が評価される、請求項１に記載の方法。
【請求項１９】
前記信号の線形結合が、前記対数正規確率変数によって近似され、該信号の該線形結合は、ΣａｉＹｉの形を有し、ここで、ａｉは任意の重みである、請求項１に記載の方法。
【請求項２０】
前記一組の信号を結合したものを表す前記対数正規確率変数の前記積率母関数は、３つの以上の点において評価されて、対応する個数のサンプル及び方程式が生成され、該方程式は解かれて、前記平均及び前記分散が得られる、請求項１に記載の方法。
【請求項２１】
前記無線信号は、送信信号の時間遅延したバージョンである、請求項７に記載の方法。
【請求項２２】
前記信号は独立しており、前記第１の方程式及び前記第２の方程式は、
【数７】
2007053752.tif 000054
であり、ここで、
【数８】
2007053752.tif 000055
であり、ここで、μＸｉ及びσＸｉは、前記対数正規変数Ｘの前記平均及び前記分散であり、ｗｎは所定の重みであり、ａｎは横座標であり、特定の積率母関数Ψは点ｓ１及びｓ２において評価され、
【数９】
2007053752.tif 000056
であり、Ｎはエルミート積分次数であり、Ｃは相関行列である、請求項３に記載の方法。
【請求項２３】
前記結合したものは、前記一組の信号の総和である、請求項１に記載の方法。
【請求項２４】
前記結合したものは線形である、請求項１に記載の方法。
【請求項２５】
前記積率母関数の特定の近似は、ニュートン−コーツ式に基づく級数展開である、請求項１に記載の方法。
【請求項２６】
前記積率母関数の特定の近似は、ガウス求積式に基づく級数展開である、請求項１に記載の方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
［発明の分野］
本発明は、包括的には、信号処理及び信号解析に関し、より詳細には、単一の確率変数によって表すことができる、信号を結合したものを解析することに関する。
【背景技術】
【０００２】
［発明の背景］
＜対数正規確率変数の総和＞
自然対数Ｙ＝ｌｎ（Ｘ）が正規分布である場合、変数Ｘは対数正規分布である。多くの物理解析システム及び財務解析システムでは、対数正規分布が至るところに存在する。また、対数正規分布は、鉱物資源、汚染物質、化学物質過敏症等をモデル化するのに使用することもできる。これについては、Crow他（編集者）のLognormal Distributions: Theory and Application, Dekker, New York, 1988を参照されたい。
【０００３】
別の用途では、無線チャネルのシャドーイングによる減衰が、対数正規分布によってモデル化されることが多い。したがって、無線システムの解析では、対数正規確率変数（ＲＶ）の総和に遭遇することが多い。たとえば、対数正規ＲＶの総和は、近傍の無線セルにおけるすべての送信からの、受信機における全同一チャネル干渉（ＣＣＩ（co-channel interference））を特徴付ける。簡潔にするために、対数正規ＲＶの総和の分布を対数正規総和分布と呼ぶ場合がある。
【０００４】
また、対数正規分布は、機能停止確率解析（outage probability analysis）及び超広帯域システムにおいても対象になる。機能停止確率解析については、G. L. Stuber著Principles of Mobile Communications, Kluwer Academic Publishers, 1996を参照されたい。超広帯域システムについては、H. Liu著「Error performance of a pulse amplitude and position modulated ultra-wideband system over lognormal fading channels」, IEEE Commun. Lett., vol. 7, pp.531-533, 2003を参照されたい。
【０００５】
無線通信だけでなく、光学及び信頼性理論等の他の分野における対数正規総和分布の重要性も考えて、その統計的特性を解析することにかなりの努力が払われてきた。対数正規総和確率分布関数（ＰＤＦ（probability distribution function））の正確な閉じた形の表現は知られていないのに対して、いくつかの解析的な近似法は知られている。これについては、L. F. Fenton著「The sum of lognormal probability distributions in scatter transmission systems」, IRE Trans. Commun. Syst., vol. CS-8, pp. 57-67, 1960；S. Schwartz及びY. Yeh著「On the distribution function and moments of power sums with lognormal components」, Bell Syst. Tech. J., vol. 61, pp. 1441-1462, 1982；N. C. Beaulieu及びQ. Xie著「An optimal lognormal approximation to lognormal sum distributions」, IEEE Trans. Veh. Technol., vol. 53, pp. 479-489, 2004；S. B. Slimane著「Bounds on the distribution of a sum of independent lognormal random variables」, IEEE Trans. Commun., vol. 49, pp. 975-978, 2001；D.C. Schleher著「Generalized gram-charlier series with application to the sum of log-normal variates」, IEEE Trans. Inform. Theory, pp. 275-280, 1977；並びに、F. Berggren及びS. Slimane著「A simple bound on the outage probability with lognormally distributed interferers」, IEEE Commun. Lett., vol. 8, pp. 271-273, 2004を参照されたい。
【０００６】
従来技術の方法は、大きくは、単一分布を使用する方法と複合分布を使用する方法との２つの方法に分類することができる。フェントン−ウィルキンソン（Fenton-Wilkinson）（Ｆ−Ｗ）による方法、シュワルツ−イェイ（Schwarts-Yeh）（Ｓ−Ｙ）による方法、及びボーリュー−サイ（Beaulieu-Xie）（Ｂ−Ｘ）による方法は、単一の対数正規ＲＶによって対数正規総和を近似する。被加数の個数が非常に大きくなったときの対数正規ＰＤＦの証明された性能によって、それらの方法にさらなる信用が与えられる。これについては、W. A. Janos著「Tail of the distributions of sums of lognormal variates」, IEEE Trans. Inform. Theory, vol. IT-16, pp. 299-302, 1970及びR. Barakat著「Sums of independent lognormally distributed random variables」, J. Opt. Soc. Am., vol. 66, pp. 211-216, 1976を参照されたい。
【０００７】
Farleyによる方法、Ben Slimaneによる方法、及びSchleherによる方法は、そうしないで、対数正規ＲＶの特性に基づいて複合分布を計算する。複合分布は、いくつかの方法で特定することができる。たとえば、S. Schwarts及びY. Yeh著「On the distribution function and moments of power sums with lognormal components」, Bell Syst. Tech. J., vol. 61, pp. 1441-1462, 1982における方法、及び、S. B. Slimane著「Bounds on the distribution of a sum of independent lognormal random variables」, IEEE Trans. Commun., vol. 49, pp. 975-978, 2001における方法は、累積分布関数（ＣＤＦ）の厳密な下界の観点から近似分布を特定するのに対して、D. C. Schleher著「Generalized gram-charlier series with application to the sum of log-normal variates」, IEEE Trans. Inform. Theory, pp. 275-280, 1977は、対数正規総和の範囲を３つのセグメントに区画し、各セグメントは、別個の対数正規ＲＶによって近似される。
【０００８】
Beaulieu他は、上記方法のいくつかの正確さを記載し、すべての方法は、それ自身の有利な点及び不利な点を有し、いずれも申し分なく他のものよりも良いというものはないことを示している。Ｆ−Ｗ法は、引数の小さな値のＣＤＦを見積もるのに不正確であるのに対して、Ｓ−Ｙ法は、引数の大きな値の相補ＣＤＦ（ＣＣＤＦ）を見積もるのに不正確である。Farleyの方法、より一般的に言えば、S. B. Slimane著「Bounds on the distribution of a sum of independent lognormal random variables」, IEEE Trans. Commun., vol. 49, pp. 975-978, 2001で導出された公式は、対象となる或る一般的なパラメータの粗い近似（loose approximation）になる可能性のある厳密な境界である。また、これらの方法は、その複雑度においてかなり異なる。たとえば、Ｓ−Ｙ法は、非線形方程式を解法することを含み、３つ以上のＲＶの総和を取り扱う反復手順を必要とする。Ｆ−Ｗ法のみが、近似対数正規ＰＤＦの基礎を成すパラメータを計算するための閉じた形の解を提供する。
【０００９】
＜積率母関数に基づく方法＞
積率母関数（ＭＧＦ）及び特性関数（ＣＦ）の望ましい特性、すなわち、独立したＲＶの総和のＭＧＦ（又はＣＦ）を個々のＲＶのＭＧＦ（又はＣＦ）の積として記述できるという特性、は既知である。これについては、A. Papoulis著「Probability, Random Variables and Stochastic Processes.」 McGraw Hill, 3rd ed., 1991を参照されたい。しかしながら、この特性を使用して対数正規分布により対数正規ＲＶの総和の分布を近似する方法は、一般に、十分に多くのサンプル点で極めて正確な数値計算を必要とする。これに加えて、これらの方法は比較的複雑である。これについては、N. C. Beaulieu及びQ. Xie著「An optimal lognormal approximation to lognormal sum distributions」, IEEE Trans. Veh. Technol., vol. 53, pp. 479-489, 2004及びR. Barakat著「Sums of independent lognormally distributed random variables」, J. Opt. Soc. Am., vol. 66, pp. 211-216, 1976を参照されたい。ＣＦはＭＧＦの特別な場合であるが、これら２つは、以下の説明を明確にするために別々に取り扱われる。その上、ＭＧＦに基づく方法は、対数正規ＲＶが互いに独立である場合のみを考察している。ＲＶが相関性を有する場合については探求されていない。
【００１０】
Barakatは、まず、テイラー級数展開を使用して対数正規分布のＣＦを求め、次いで、対数正規ＣＦの積に逆フーリエ変換を適用して、ＲＶＳの対数正規総和のＰＤＦを求めている。しかしながら、フーリエ被積分関数の振動する特性に加えて、対数正規ＰＤＦの末端（tail）のゆっくりとした減衰率により、数値評価は困難で且つ不正確となる。また、総和の数値計算されたＰＤＦから近似分布の解析的な式を見つけるための努力も行われてこなかった。
【００１１】
同様の方法は、H. R. Anderson著「Signal-to-interference ratio statistics for am broadcast groundwave and skywave signals in the presence of multiple skywave interferers」, IEEE Trans. Broadcasting, vol. 34, pp. 323-330, 1988に記載されている。ボーリュー−サイの方法は、最初に、変更されたクレンショウ−カーチス（Clenshaw-Curtis）法を使用して、非常に高い正確さで、数個のサンプル点における対数正規総和ＣＤＦを数値的に評価する。対数正規総和の逆フーリエ変換を数値的に計算することによって、合成ＣＤＦが得られる。ＣＤＦは、対数正規ＰＤＦが直線として現れる「対数正規用紙（lognormal paper）」にプロットされる。近似対数正規分布のパラメータは、所与の間隔における最大（ミニマックス）誤差を最小にすることによって求められる。この方法は、対数正規用紙上のミニマックスの意味で最適であるが、確率分布を直接一致させる際の最適性を意味するものではない。
【００１２】
＜相関性を有する対数正規確率変数の総和＞
相関性を有する場合については、文字通り研究されてきた。Ｆ−Ｗ法への拡張は、A. A. Abu-Dayya及びN. C. Beaulieu著「Outage probabilities in the presence of correlated lognormal interferers」, IEEE Trans. Veh. Technol., vol. 43, pp. 164-173, 1994、並びに、F. Graziosi、L. Fuciarelli、及びF. Santucci著「Second order statistics of the SIR for cellular mobile networks in the presence of correlated co-channel interferers」, in Proc. VTC, pp. 2499-2503, 2001で提案されている。相関性を有する場合を取り扱うＳ−Ｙ法への拡張は、A. Safak著「Statistical analysis of the power sum of multiple correlated log-normal components」, IEEE Trans. Veh. Technol., vol. 42, pp. 58-61, 1993に提案された。キュムラント（Cumulant）法に対する拡張は、A. A. Abu-Dayya及びN. C. Beaulieu著「Outage probabilities in the presence of correlated lognormal interferers」, IEEE Trans. Veh. Tchnol., vol. 43, pp. 164-173, 1994で検討されている。しかし、ファーリー（Farley）の方法、ボーリュー−サイの方法、及びベン−スリマン（Ben-Slimane）他の範囲（bounds）は、相関性を有する対数正規ＲＶの総和には当てはまらない。機能停止確率範囲は、実際には複合分布を特定し、F. Berggren及びS. Slimane著「A simple bound on the outage probability with lognormally distributed interferers」, IEEE Commun. Lett., vol. 8, pp. 271-273, 2004で算術幾何平均不等式を使用して導出され、相関性を有する場合を取り扱うことができる。
【００１３】
しかしながら、さまざまな方法の基本的な限界が依然として当てはまる。すなわち、Ｓ−Ｙ拡張は、ＣＣＤＦの小さな値を正確に見積もることができず、Ｆ−Ｗ拡張もまた、ＣＤＦの小さな値を正確に見積もることができず、対数分散が大きいほど、それらの範囲は不明確になる。
【００１４】
＜スズキ（Suzuki）確率変数又は対数正規ライス（lognormal-rice）確率変数の総和＞
スズキＲＶの総和の分布を対数正規分布によって近似する、Ｆ−Ｗに基づく積率マッチング法の拡張は、F. Graziosi及びF. Santucci著「On SIR fade statistics in Rayleigh-lognormal channels」, Proc. ICC, pp. 1352-1357, 2002に記載されている。別の技法は、２ステップ近似プロセスである。このプロセスは、対数正規ライスＲＶ又はスズキＲＶのそれぞれが、まず、平均及び分散を等しくすることによって、対数正規ＲＶにより近似され、次いで、対数正規ＲＶの総和が、再び、Ｆ−Ｗ法又はＳ−Ｙ法を使用して単一の対数正規ＲＶにより近似されるものである。
【００１５】
スズキＲＶの総和は、別のスズキＲＶによっても近似されてきた。これについては、J. E. Tighe及びT. T. Ha著「On the sum of multiplicative chi-square-lognormal random variables」, Proc. Globecom, pp. 3719-3722, 2001を参照されたい。単一の積分の形による対数正規ライスＲＶの総和の機能停止確率を表す正確な公式が知られており、数値的に評価される。これについては、J.P. M. Linnartz著「Exact analysis of the outage probability in multiple-user radio」, IEEE J. Select. Areas Commun., vol. 10, pp. 20-23, 1992、並びに、M. D. Austin及びG. L. Stuber著「Exact co-channel interference analysis for log-normal shadowed Rician fading channels」, Electron. Lett., vol. 30, pp. 748-749, 1994を参照されたい。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１６】
しかしながら、対数正規確率変数のあらゆる線形結合を単一の対数正規ＲＶで近似する問題は取り組まれていなかった。
【課題を解決するための手段】
【００１７】
［発明の概要］
本発明の一実施の形態は、独立した対数正規確率変数（ＲＶ）を結合したものの分布を単一の対数正規ＲＶで近似するための一般的な方法を提供する。この方法は、積率母関数（ＭＧＦ）を使用する。積率母関数は、確率分布関数の重み付き積分である。結合したものの分布は、平均及び分散によって特徴付けられる。この方法は、ガウス−エルミート積分展開を使用して、対数正規ＭＧＦの近似式を生成する。
【００１８】
この方法は、２〜３個の点におけるＭＧＦを対数正規ＭＧＦの近似式によって比較することにより、多数のサンプル点における非常に正確な数値計算の必要性を回避する。この方法は、再帰的でなく、数値的に安定している。この方法の正確さは、多くの用途において従来技術の方法よりも１桁から２桁高くすることができる。
【００１９】
また、この方法は、確率分布の異なる領域を一致させる際に、従来技術の方法と比較してかなりの柔軟性も提供する。
【００２０】
この方法は、相関性を有する対数正規ＲＶの総和を単一の対数正規ＲＶによって正確に近似するのに使用することができる。セル間干渉のシャドーイングは、一般的な０．５のサイト間干渉係数で相関されるので、このような相関性を有する対数正規ＲＶは、移動電話システムで現れることが多い。
【００２１】
この方法は、十分包括的であるので、スズキＲＶの総和を対数正規ＲＶによって近似することもできる。スズキＲＶは、対数正規ＲＶとレーリーＲＶとの積であり、より一般的には、対数正規ライスＲＶの総和である。これについては、H. Suzuki著「A statistical model for urban radio propagation」, IEEE Trans. Commn., vol. 25, pp. 673-677, 1977を参照されたい。このような総和は、たとえば、マルチパス信号が、独立したライス／レーリーフェージングを受ける時に、無線信号の短期フェージングも、同一チャネル干渉電力計算に考慮される場合又は周波数選択性チャネルを介して受信された全瞬時電力の計算に考慮される場合に現れる。
【００２２】
また、この方法は、対数正規ＲＶ、スズキＲＶ、及び対数正規ライスＲＶの組み合わさったものの総和も取り扱うことができる。さらに、この方法は、対象領域の正確な対数正規近似も提供する。
【発明の効果】
【００２３】
［発明の効果］
単一の対数正規確率変数（ＲＶ）の分布で数個の確率変数の総和を近似するための方法が提供される。より具体的に言えば、確率変数は、受信機における干渉信号を表す。この方法は、積率母関数（ＭＧＦ）を確率分布関数の重み付き積分として解釈すること、及び、ＭＧＦが、必要とされる正確さでＰＤＦの異なる部分を近似するのに必要なパラメータの柔軟性を提供することを実現することによって説明される（motivated）。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２４】
［好ましい実施の形態の詳細な説明］
＜移動無線ネットワーク＞
図１は、本発明の一実施の形態に従って、対数正規確率変数（ＲＶ：random variable）か又はスズキＲＶか又は正規対数ライスＲＶの分布を単一の対数正規ＲＶの分布と結合したものを近似するための方法を用いることができる移動無線ネットワーク１００を示す。
【００２５】
移動ネットワーク１００は、６角形１０１によって示す「セル」を含む。固定したトランシーバ１０２、たとえば、基地局又は「セルタワー」は、各セルの中心に位置する。また、このネットワークは、１つ又は移動トランシーバ１０３、たとえば移動電話も含む。これらの送信機は、信号Ｙｎ１０４をブロードキャストする。結合された１０６信号Ｙ１０５は、受信機によって受信される。
【００２６】
＜同一チャネル干渉＞
移動ネットワークでは、周波数スペクトルを効率的に使用することが重要である。これを達成する一方法は、異なるセルで送信機用に同じチャネルを使用することによるものである。これは、２つの競合チャネル間の干渉、すなわち、同一チャネル干渉（ＣＣＩ）を十分低くしてシステムのユーザに許容可能な品質を提供できるように、送信機間を物理的に分離することを必要とする。
【００２７】
信号品質の１つの尺度は、搬送波対干渉比（Ｃ／Ｉ）である。この比は、搬送波の強度を、すべての干渉信号の結合された１０６強度Ｙ１０５と比較したものである。約８ｄＢのＣ／Ｉは、許容可能であることが判明している。移動トランシーバが移動して基地局送信機から離れる場合、又は、移動トランシーバが、干渉がより大きなロケーションへ移動する場合、Ｃ／Ｉは、フェージングにより、許容可能レベル未満に下がる。この場合、「呼（call）」は、十分な信号品質を有する別のセルへハンドオフされる。フェージングは、都会の環境では最も厳しい。これらのエリアでは、信号の包絡線は、短距離ではレーリー分布に従い、長距離では対数正規分布に従う。
【００２８】
シャドーイングされた無線信号は、対数正規分布であるので、対数正規信号の総和の確率分布関数が望まれる。しかしながら、現在、この総和の分布の正確な表現は知られていない。
【００２９】
また、信号は、マルチパス伝搬のために送信信号の遅延したバージョンを含む可能性もある。マルチパス伝搬は、無線信号が送信機から受信機へ異なる経路を取った時に起こる。信号の或る部分は、受信機へ直接向かうのに対して、別の部分は、障害物に当たって跳ね返り、受信機に間接的に到達する。その結果、信号の一部は、遅延を受け、目的地までより長い経路を進む。マルチパス信号も対数正規分布を有する。
【００３０】
図２は、本発明の一実施の形態に従って、対数正規確率変数（ＲＶ）の分布を単一の対数正規ＲＶの分布と結合したものを近似するための方法を示している。この方法は、以下の基本原理に依拠する。
【００３１】
対数正規確率分布関数（ＰＤＦ）は、
【００３２】
【数１】
2007053752.tif 000003
【００３３】
として表すことができる。ここで、μは平均であり、σは標準偏差であり、σ２は分散であり、
【００３４】
【数２】
2007053752.tif 000004
【００３５】
である。確率変数Ｙの積率母関数（ＭＧＦ）は、
【００３６】
【数３】
2007053752.tif 000005
【００３７】
として定義することができる。ここで、ＥＹ［・］は、確率変数Ｙに関する期待値である。ＭＧＦは、引数として変数ｓを有する関数であることに留意されたい。
【００３８】
本明細書で説明するような方法はＭＧＦを使用するので、この方法は、ＭＧＦ法と呼ばれる場合がある。
【００３９】
１≦ｉ≦ＫのＫ個の確率変数の総和１０５であるＹ＝Ｙ１＋Ｙ２＋…＋ＹＫの分布を求めることが望ましい。本発明では、Ｙｉが独立した対数正規確率変数である場合、若しくは、Ｙｉが相関性を有する対数正規確率変数である場合、又は、変数Ｙｉがスズキ確率変数若しくは対数正規ライス確立変数である場合を考察する。また、上記分散を組み合わせたあらゆるものついて考察することができる。一般に、任意の分布を有する確率変数のあらゆる線形結合を考察することができる。
【００４０】
本発明では、対数正規分布によって総和Ｙの分布を近似する。対数正規分布は、平均μ及び標準偏差σの２つのパラメータによって定義される。所与の個数の点における積率母関数を評価して、上記２つのパラメータを求める。ＭＧＦの閉じた形の式が対数正規分布について利用可能でないと仮定すると、本発明の一実施の形態においてガウス・エルミート積分を使用してＭＧＦを近似する。しかしながら、ニュートン・コーツ公式又はガウス積分公式に基づく級数展開等の他の近似技法も使用することができる。
【００４１】
＜方法のオペレーション＞
本明細書本文及び添付の特許請求の範囲では、「集合」の意味及び使用は従来通りである。集合は、１つ又は２つ以上の要素の有限の集まりであり、この有限の集まりでは、要素の順序は意味がなく、要素が重複していることも一般に無視される。
【００４２】
図２に示すように、信号｛Ｙｉ｝Ｋｉ＝１１１１は、ネットワークで取得される１１０。信号Ｙｉを特徴付ける一組のパラメータ１２１を測定する１２０。これらのパラメータは、信号の電力の平均μ及び標準偏差σを含むことができる。電力は、単位時間あたりに信号によって転送されるエネルギー量である。
【００４３】
別の可能なパラメータは、ライスファクタ（Rician factor）である。無線通信ネットワークにおいて、送信機と受信機との間に見通し（ＬｏＳ（line-of-sight））経路がある場合、受信信号は、複素指数及び狭帯域ガウスプロセスの総和として記述することができる。これら複素指数及び狭帯域ガウスプロセスは、それぞれ、ＬｏＳ直接成分、及び、乱反射間接成分又は散乱成分（非ＬｏＳ又はＮＬｏＳ）として知られている。直接成分及び間接成分の電力の比がライスファクタκである。ライスファクタは、信号のＬｏＳ部分の品質を測定する。κ＝０は、ＬｏＳがないことを暗に意味するのに対して、κ＝∞は、ＮＬｏＳ成分がないことを暗に意味する。
【００４４】
信号が相関性を有する場合、その一組の信号全体について一組のパラメータが１回測定される。たとえば、各信号、及び、信号のあらゆる所与のサブセットが相関したものの平均及び分散が測定される。信号が独立である場合、パラメータは、各信号について個々に測定される。たとえば、各信号について平均及び分散が測定される。
【００４５】
次に、一組の積率母関数（ＭＧＦ）１３１が、サンプル点１３２における一組のパラメータ１２１に従い一組の信号について評価される。たとえば、第１の点ｓ１における一組のパラメータ１２１に従って一組の信号について評価されて、第１のサンプル１３３が取得され、第２の点ｓ２について第２のサンプル１３３が取得される。
【００４６】
信号が相関性を有する場合、単一のＭＧＦが、一組の信号の総和について評価される。信号が独立である場合、各信号について、その信号について測定された対応するパラメータに従い１つのＭＧＦが評価され、各ＭＧＦの第１のサンプル及び第２のサンプルが取得される。
【００４７】
点ｓｎは実数である。分布の先端（head）で一致することが望ましい場合、ｓｎの数値は比較的大きく、たとえば０．５及び１．０である。末端で一致するには、この数値は比較的小さく、たとえば０．０１及び０．０５である。異なる用途についてｓの値を選択する方法を以下でさらに詳細に説明する。また、ＭＧＦは、この方法の正確さを改善するために追加された点において評価できることにも留意すべきである。
【００４８】
信号が独立である場合、オプションのステップ１４０において、第１のサンプルのすべてが、乗算によって単一の第１のサンプルに結合され、第２のサンプルのすべてが、乗算によって単一の第２のサンプルに結合される。相関性のある信号の場合、ステップ１３０及び１４０は、基本的に単一のステップに結合される。
【００４９】
次に、２つの独立した非線形方程式１５１が定義される１５０。第１の方程式は、第１の点における一組の信号の総和を表す対数正規確率変数の積率母関数の近似を左辺１５２に有し、第１のサンプルを右辺１５３に有する。第２の方程式は、第２の点における一組の信号を結合したものを表す対数正規確率変数の積率母関数の近似を左辺に有し、第２のサンプルを右辺に有する。追加された点が評価された場合、方程式を追加して定義し、正確さを改善できることに留意すべきである。
【００５０】
独立した信号については、図示したような方程式を以下で説明する。方程式（９ａ）及び（９ｂ）を参照されたい。以下の方程式（１７ａ）及び（１７ｂ）は、信号が独立である場合の方程式１５１を表す。
【００５１】
２つの方程式１５１は、独立した形及び相関性を有する形の双方において、２つの未知数、すなわち平均及び分散を有する。現在、従来の関数、たとえば、米国イリノイ州シャンペーンのWolfram Research社から提供されているＭａｔｈｅｍａｔｉｃａソフトウェアプログラムの「ＮＳｏｌｖｅ」、及び、米国マサチューセッツ州ナティックのＭａｔｈＷｏｒｋｓ社から提供されているＭａｔｌａｂソフトウェアプログラムの「ｆｓｏｌｖｅ」を使用して、平均及び分散１６１についての２つの方程式を解くことができる１６０。これらの対数正規確率変数の平均及び分散は、一組の信号の総和の分布を表す。
【００５２】
上記方法のより詳細な説明は、以下の通りである。
【００５３】
＜対数正規総和＞
信号Ｙ１，…，ＹＫがＫ個とも独立であるが、必ずしも同一でない場合、対数正規確率変数（ＲＶ）の確率分布関数（ＰＤＦ）は、１≦ｉ≦ＫについてそれぞれｐＹｉ（ｘ）によって示される。各信号Ｙｉは、Ｘｉが、平均μＸｉｄＢ及び標準偏差σＸｉｄＢ、すなわちＸｉ〜Ｎ（μＸｉ，σ２Ｘｉ）を有するガウス確率変数となるような１００．１Ｘｉとして記述することができる。Ｎ個の対数正規ＲＶは独立に分布しているので、対数正規総和
【００５４】
【数４】
2007053752.tif 000006
【００５５】
のＰＤＦは、
【００５６】
【数５】
2007053752.tif 000007
【００５７】
によって与えられる。ここで、
【００５８】
【数６】
2007053752.tif 000008
【００５９】
は、畳み込み演算を示す。
【００６０】
個々の対数正規分布のＰＤＦもＣＤＦも閉じた形で表すことができないので、総和ＰＤＦの一般的な閉じた形の式は知られていない。
【００６１】
しかしながら、対数正規総和は、新たな対数正規ＲＶであるＹ＝１００．１Ｘによって近似することができる。ここで、Ｘは、平均μＸ及び分散σＸ２を有するガウスＲＶである。したがって、ここで、この問題は、構成する対数正規ＲＶである｛Ｙｉ｝Ｋｉ＝１の対応する統計値が与えられると、対数正規積率（lognormal moment）μＸ及びσＸ２を見積もることと等価である。
【００６２】
従来技術のフェントン−ウィルキンソン（Ｆ−Ｗ）法は、Ｙの第１の中心積率及び第２の中心積率を
【００６３】
【数７】
2007053752.tif 000009
【００６４】
のそれら積率と正確に一致させることによって、μＸ及びσＸ２の値を求める。すなわち、
【００６５】
【数８】
2007053752.tif 000010
【００６６】
である。ここで、μＹ及びμＹｉは、それぞれＹ及びＹｉの平均である。Ｆ−Ｗ法は、対数正規総和ＰＤＦの末端部（tail portion）（引数の大きな値）を正確にモデル化するのに対して、総和ＰＤＦの先端部（head portion）（引数の小さな値）近くはかなり不正確であり、特に、σＸｉの大きな値についてはかなり不正確である。これについては、N. C. Beaulieu、A. Abu-Dayya、及びP. McLance著「Estimating the distribution of a sum of independent lognormal random variables」, IEEE Trans. Commun, vol. 43, pp. 2869-2873, 1995を参照されたい。Ｆ−Ｗ法は、線形積率（linear moment）μＹ及びσＹを一致させることによって、対数積率μＸ及びσＸを求めるので、μＸ及びσＸの平均２乗誤差は、平均値の広がりの減少、又は、被加数の標準偏差の広がりの増加と共に増加する。これについては、P. Cardieri及びT. Rappaprot著「Statistical analysis of co-channel interference in wireless communications systems」, Wireless Commun. Mobile Computing, vol. 1, pp. 111-121, 2001を参照されたい。
【００６７】
【数９】
2007053752.tif 000011
【００６８】
の振る舞いのモデル化を試みる場合、Ｆ−Ｗ法は、σＸｉ＞４ｄＢであるときに失敗する。これについては、G. L. Stuber著「Principles of Mobile Communications」, Kluwer Academic Publishers, 1996を参照されたい。
【００６９】
これとは対照的に、シュワルツ−イェイ（Ｓ−Ｙ）法は、対数領域で積率と一致する。すなわち、この方法は、１０ｌｏｇ１０Ｙの第１の中心積率及び第２の中心積率を、
【００７０】
【数１０】
2007053752.tif 000012
【００７１】
の積率と等しくする。すなわち、
【００７２】
【数１１】
2007053752.tif 000013
【００７３】
である。ここで、μＸ及びμＸｉは、それぞれ、Ｘ＝１０ｌｏｇ１０Ｙ及びＸｉ＝１０ｌｏｇ１０Ｙｉの平均値である。Ｋ＝２の場合、この一致は正確であるが、Ｋ＞２の場合、近似反復技法が使用される。未知数μＸ及びσＸは、数値として評価される。対数総和の期待値は、被加数の積率の観点から直接表すことができないので、Ｓ−Ｙ法は、Ｆ−Ｗ法よりも複雑である。上述したように、Ｓ−Ｙ法は、分布関数の末端部の近くで不正確であり、ＣＣＤＦの小さな値を大幅に小さく見積もる可能性がある。これについては、N. C. Beaulieu、A. Abu-Dayya、及びP. McLance著「Estimating the distribution of a sum of independent lognormal random variables」, IEEE Trans. Commun, vol. 43, pp. 2869-2873, 1995を参照されたい。
【００７４】
積率は、ＰＤＦの重み付き積分として解釈することができるので、Ｆ−Ｗ法及びＳ−Ｙ法の双方は、以下の連立方程式によって一般化することができる。
【００７５】
【数１２】
2007053752.tif 000014
【００７６】
Ｆ−Ｗ法は、重み関数ｗ１（ｙ）＝ｙ及びｗ２（ｙ）＝（ｙ−μＹ）２を使用する。これらの重み関数の双方は、ｙと共に単調増加する。したがって、総和ＰＤＦの末端部の近似誤差には、より大きなペナルティが科される。これによって、Ｆ−Ｗ法が末端部を良く追跡する理由が説明される。他方、Ｓ−Ｙ法は、重み関数ｗ１（ｙ）＝１０ｌｏｇ１０ｙ及びｗ２（ｙ）＝（１０ｌｏｇ１０ｙ−μＸ）２を使用する。ｙ＝０におけるｌｏｇ１０ｙの特異点のため、原点近くの不一致には、これら重み関数の双方によってきびしくペナルティが科される。また、Ｆ−Ｗ法と較して、ＰＤＦの末端における誤差に対してＳ−Ｙ法が与えるペナルティも小さい。これらの理由から、Ｓ−Ｙ法は、分布関数の先端部を追跡するのにより良い役割を果たす。しかしながら、Ｆ−Ｗ法及びＳ−Ｙ法の双方は、一定の重み関数を使用し、自身のそれぞれの欠点を克服する方法を提供しない。
【００７７】
同様に、Schleherのキュムラントマッチング（cumulants matching）法は、多項式的に増加するペナルティをＰＤＦの末端部の近似誤差に与える。この理由は、最初の３つのキュムラントが、実際には、ＲＶの最初の３つの中心積率であることによるからである。対数正規用紙にｘ軸をｄＢスケールでプロットすることによって、ボーリュー−サイ法も、末端部に対しより大きな重みを与える。
【００７８】
＜ＭＧＦのガウス−エルミート（Gauss-Hermite）展開を使用した対数正規総和の近似＞
独立したＲＶの総和のＭＧＦは、個々のＭＧＦの積として表すことができる。すなわち、総和のＭＧＦは、個々のＲＶのＭＧＦの観点から直接記述することができる。ＲＶであるＹのＭＧＦは、
【００７９】
【数１３】
2007053752.tif 000015
【００８０】
として定義される。
【００８１】
ＭＧＦは、ＰＤＦｐＹ（ｙ）の重み付き積分としても解釈でき、重み関数は、指数関数ｅｘｐ（−ｓｙ）であることが、方程式（５）から分かる。この指数関数は、ｓの正の実数について単調減少する。ｓを０から無限大に変化させることによって、総和ＰＤＦの先端部及び末端部の誤差に割り当てられるペナルティを必要に応じて調整するためのメカニズムが提供される。
【００８２】
図３は、本発明の一実施の形態によるＦ−Ｗ法及びＹ−Ｓ法並びにＭＧＦ法のさまざまな重み関数の絶対値を比較している。
【００８３】
対数正規ＲＶである｛Ｙｉ｝Ｋｉ＝１が独立に分布している場合、対数正規総和
【００８４】
【数１４】
2007053752.tif 000016
【００８５】
のＭＧＦは、
【００８６】
【数１５】
2007053752.tif 000017
【００８７】
として記述することができる。
【００８８】
上記説明に基づくと、ＭＧＦが２つの望ましい特性を所有することが分かる。第１に、ＭＧＦは、ＰＤＦの調整可能な重み付き積分である。第２に、総和は、ＭＧＦを個々に評価し１３０、その結果のサンプルの積を取る１４０ことによって得ることができる。これら２つの特性によって、ＭＧＦは、本発明の一実施の形態による対数正規総和近似法の好ましいコンポーネントになる。
【００８９】
＜ＭＧＦに基づく対数正規総和近似＞
本発明の一実施の形態によるＭＧＦに基づく対数正規総和近似法は、対数正規ＲＶのＭＧＦを近似する閉じた形の式を使用する。対数正規ＭＧＦの一般的な閉じた形の式は利用可能でないが、実数ｓについて、対数正規ＭＧＦは、ガウス−エルミート積分に基づく級数展開によって表すことができる。
【００９０】
実数ｓの対数正規ＲＶであるＸのＭＧＦは、
【００９１】
【数１６】
2007053752.tif 000018
【００９２】
として記述することができる。ここで、μＸ及びσＸは、ガウスＲＶであるＸ＝１０ｌｏｇ１０Ｙの平均及び標準偏差である。方程式（７ｂ）はＭＧＦ関数のガウス−エルミート級数展開であり、Ｎはエルミート積分次数であり、ξ＝１０／ｌｏｇｅ１０はスケーリング定数であり、ＲＮは剰余項である。２０までのＮについての重みｗｉ及び横座標ａｉは、M. Abramowitz及びI. Stegun著「Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables.」 Dover, 9 ed., 1972によって表にされている。
【００９３】
方程式（７ｂ）から、以下のように、ＲＮを除去することによってＭＧＦのガウス−エルミート表現を定義することができる。
【００９４】
【数１７】
2007053752.tif 000019
【００９５】
次に、対数正規総和
【００９６】
【数１８】
2007053752.tif 000020
【００９７】
が、ＭＧＦの２つの異なる正の実数点、すなわちｓ１及びｓ２における対数正規総和
【００９８】
【数１９】
2007053752.tif 000021
【００９９】
のＭＧＦとＹのＭＧＦを一致させることによって、対数正規ＲＶであるＹ＝１００．１Ｘにより近似される。ここで、Ｘ〜Ｎ（μＸ，σ２Ｘ）である。値ｓ１及びｓ２は、複素数とすることもできることが理解されるべきである。
【０１００】
これは、２つの未知数１６１、すなわち平均μＸ及び標準偏差σＸを有する２つの独立した方程式１５１を定義する１５０。すなわち、
【０１０１】
【数２０】
2007053752.tif 000022
【０１０２】
及び
【０１０３】
【数２１】
2007053752.tif 000023
【０１０４】
である。ここで、μＸｉ及びσＸｉは、対数正規ＲＶであるＹｉ＝１００．１Ｘｉの対数正規積率、すなわち、Ｘｉ〜Ｎ（μＸｉ，σ２Ｘｉ）である。上記２つの方程式１５１の右辺１５３は、定数であることに留意されたい。すなわち、各ＭＧＦについて一度だけ評価する必要がある点におけるサンプルであることに留意されたい。これらの非線形方程式を従来の関数を使用して数値的に解き１６０、μＸ及びσＸ１６１を得ることができる。
【０１０５】
エルミート積分次数Ｎを増加させることによって、μＸ及びσＸのより良い見積もりが得られる。逆に、Ｎを減少させると、計算複雑度が減少する。
【０１０６】
図４は、ＭＧＦのガウス−エルミート表現の正確さに対するＮの影響を示している。発明者は、μＸ及びσＸ１６１について正確に解く１６０のにＮ＝８で十分であることを見出している。これは、Ｓ−Ｙ法において同程度の正確さを達成するのに必要とされる２０〜４０項と比較して小さい。これについては、C.L. Ho著「Calculating the mean and variance of power sums with two log-normal components」, IEEE Trans. Veh. Tchnol., vol. 44, pp. 756-762, 1995を参照されたい。
【０１０７】
さらに、Ｓ−Ｙ法と異なり、本発明の方法は、Ｋの反復を必要としない。方程式（９ａ）及び（９ｂ）の右辺は、ＭＧＦ１３１の２つの点１３２であるｓ＝ｓ１及びｓ＝ｓ２について、この方法の開始時に評価される１３０。
【０１０８】
最も重要なことは、上記で強調したように、点ｓ１及びｓ２を適切に選択することによってＰＤＦの不一致のペナルティを調整できることである。それらの値が増加すると、総和ＰＤＦの先端部を近似する際の誤差にペナルティが科されるのに対して、それらの値が減少すると、末端部の誤差にペナルティが科される。
【０１０９】
ここで、用途に応じて、本発明に従い、ＰＤＦの先端部及び末端部の双方を近似する際に行う必要がある避けられないトレードオフを行うことができる。
【０１１０】
たとえば、さまざまな信号成分が徐々に増加することから、対数正規総和が上昇すると、主な性能メトリックは、機能停止確率になる。このため、ＣＤＦの末端を正確に求める必要がある。他方、対数正規総和が分母の項として現れる場合、たとえば、同一チャネル干渉からの電力が、信号対雑音＋干渉比の計算において徐々に増加する場合、それは、正確に計算する必要がある総和ＰＤＦの先端部である。
【０１１１】
本発明の一実施の形態による方法は、異なる一致点の対（ｓ１，ｓ２）を使用することによって、これらの用途の双方を取り扱うことができる。点（ｓ１，ｓ２）を選択する指針を以下に説明する。
【０１１２】
＜相関性を有する対数正規確率変数の総和＞
次に、対応するガウスＲＶである｛Ｘｉ｝Ｋｉ＝１と相関性を有する、すなわち依存するＫ個の対数正規ＲＶである｛Ｙｉ｝Ｋｉ＝１の一般的な場合を考察する。これらのＲＶは、任意の相関行列Ｃを有する。発明者は、近似対数正規ＲＶのパラメータを与える一組の方程式を導出する。
【０１１３】
Ｋ個の対数正規ＲＶである｛Ｙｉ｝Ｋｉ＝１が相関性を有する場合、対応するガウスＲＶであるＸｉ＝１０ｌｏｇ１０Ｙｉは、同時分布
【０１１４】
【数２２】
2007053752.tif 000024
【０１１５】
に従う。ここで、Ｃは相関行列であり、μは平均のベクトルである。Ｙ１＋…＋ＹＫの合計されたＭＧＦは、
【０１１６】
【数２３】
2007053752.tif 000025
【０１１７】
として記述することができる。ここで、ベクトルμは平均ベクトルであり、ＣはＫ個のガウスＲＶの共分散行列であり、｜・｜は行列式を示し、
【０１１８】
【数２４】
2007053752.tif 000026
【０１１９】
はエルミート転置演算子を示す。
【０１２０】
Ｃｓｑを相関行列Ｃの平方根とする、すなわち、
【０１２１】
【数２５】
2007053752.tif 000027
【０１２２】
とする。所与のベクトルｘから、変換されたベクトルｚへの無相関変換
【０１２３】
【数２６】
2007053752.tif 000028
【０１２４】
が使用される場合、ｘｋは、
【０１２５】
【数２７】
2007053752.tif 000029
【０１２６】
によって与えられる。ここで、ｃ’ｋｊは、Ｃｓｑの（ｋ，ｊ）番目の要素である。したがって、ＭＧＦ方程式は、
【０１２７】
【数２８】
2007053752.tif 000030
【０１２８】
となる。
【０１２９】
ｚ１に関してガウス−エルミート展開を取ることによって、
【０１３０】
【数２９】
2007053752.tif 000031
【０１３１】
が与えられる。ここで、Ｒ（１）Ｎは剰余項である。ｚ２、…、ｚＫについても同様に続けると、
【０１３２】
【数３０】
2007053752.tif 000032
【０１３３】
を得る。ここで、Ｒ（Ｋ）Ｎは剰余項である。これらの項を再整理して、剰余項を落とすと、その結果、ＭＧＦ近似関数
【０１３４】
【数３１】
2007053752.tif 000033
【０１３５】
の以下の定義が得られる。
【０１３６】
【数３２】
2007053752.tif 000034
【０１３７】
Ｃ’ｉｊは、或る特別な行列Ｃについては、Ｃの要素の関数として閉じた形で記述できることに留意されたい。それ以外の場合には、これは、数値的に行う必要がある。一般に、Ｃの固有分解は、
【０１３８】
【数３３】
2007053752.tif 000035
【０１３９】
である。ここで、ＵはＣの固有空間であり、対角行列ΛはＣの固有値を含む。この場合、
【０１４０】
【数３４】
2007053752.tif 000036
【０１４１】
である。
【０１４２】
したがって、相関性を有するＫ個の対数正規ＲＶの総和Ｙ１＋…＋ＹＫは、２つの方程式、すなわち、
【０１４３】
【数３５】
2007053752.tif 000037
【０１４４】
を使用すると、単一の対数正規ＲＶであるＹを使用して近似することができる。ここで、
【０１４５】
【数３６】
2007053752.tif 000038
【０１４６】
は、方程式（１６）によって与えられ、
【０１４７】
【数３７】
2007053752.tif 000039
【０１４８】
は、方程式（８）によって与えられる。Ｎ＝８の値は、相関性を有する信号の場合にも同様に正確である。
【０１４９】
相関係数ρ及び標準偏差σｄＢを有する２つの０ｄＢの平均対数正規ＲＶの総和の特別な場合には、ＭＧＦ
【０１５０】
【数３８】
2007053752.tif 000040
【０１５１】
は、
【０１５２】
【数３９】
2007053752.tif 000041
【０１５３】
として、ρについて閉じた形で記述することができる。
【０１５４】
＜独立したスズキＲＶ又は対数正規ライスＲＶの総和＞
スズキＲＶは、対数正規ＲＶとレーリーフェージングＲＶとの積である。見通し（ＬｏＳ）成分も存在する場合、発明者は対数正規ライスＲＶを得る。この対数正規ライスＲＶは、対数正規ＲＶとライスフェージングＲＶ（Rician-fading RV）との積であり、
Ｗ＝Ｚ・１００．１Ｘ                                                  （１９）
として表される。ここで、Ｚは、単位電力及びライス係数κを有するライスＲＶである。κを０に等しく設定することによって、スズキＲＶが得られる。また、Ｋ個の独立した対数正規ライスＲＶの総和も、以下のように、単一の対数正規ＲＶとして正確に表すことができる。
【０１５５】
発明者は、ガウス−エルミート積分を適用して、上述したように、対数正規ライスＲＶのＭＧＦに対する近似を見出し、剰余項を無視する。この結果、ｋ番目のＲＶについてＭＧＦに対する以下の近似が得られる。
【０１５６】
【数４０】
2007053752.tif 000042
【０１５７】
ここで、μｋ及びσｋは、シャドーイング成分の対数平均及び対数標準偏差であり、κｋはｋ番目の被加数のライスファクタである。
【０１５８】
したがって、Ｋ個の対数正規ライスＲＶの総和Ｓ１＋…＋ＳＫは、以下の２つの方程式１５１を定義する１５０ことによって、単一の対数正規ＲＶであるＹにより近似することができる。
【０１５９】
【数４１】
2007053752.tif 000043
【０１６０】
ここで、上述したように、μＹ及びσＹは、解かれる１６０未知数１６１である。方程式（２１）における他のすべての量は判明している。この方程式は、方程式（２０）を使用して、点ｓ１及びｓ２において評価されるのに対して、
【０１６１】
【数４２】
2007053752.tif 000044
【０１６２】
は、方程式（８）によって与えられる。
【０１６３】
本発明の別の実施の形態では、この方法は、対数正規ＲＶ及び対数正規ライスＲＶ又はスズキＲＶについて、近似ＭＧＦの対応する式を使用することにより、異なるタイプの変数の組み合わせを取り扱うこともできる。
【０１６４】
＜用途例＞
以下の例では、発明者は、ＣＤＦ及び相補ＣＤＦ（ＣＣＤＦ）をプロットし、これらの結果を使用して、多くの用途において良好に機能する点１３２ｓ１及びｓ２を選択するための指針を提供する。ＣＤＦ値が小さいことは、ＰＤＦの先端部を追跡する際の正確さを示すのに対して、ＣＣＤＦ値が小さいことは、ＰＤＦの末端部を追跡する際の正確さを示す。
【０１６５】
＜独立した対数正規ＲＶの総和＞
図５は、モンテカルロシミュレーションを使用して、６つの独立した対数正規ＲＶの総和のＣＤＦをプロットし、その結果をＭＧＦ法並びにＦ−Ｗ近似及びＳ−Ｙ近似と比較したものである。すべての被加数は、σ＝８ｄＢの対数標準偏差及びμ＝０ｄＢの平均を有する。ｓ１及びｓ２が、それぞれ０．２及び１である場合に、ＭＧＦ法は、ＣＤＦの先端部と非常に良く一致し、Ｆ−Ｗ法及びＳ−Ｙ法の双方よりも正確であることが分かる。
【０１６６】
図６は、図５のＲＶのＣＣＤＦをプロットしたものである。Ｓ−Ｙ法は、このシナリオでは、実際のＣＣＤＦから逸れているのに対して、ＭＧＦ法は、（ｓ１，ｓ２）＝（０．００１，０．００５）の場合に、シミュレーション結果と良く一致し、正確さの点ではＦ−Ｗ法と同様である。
【０１６７】
図７は、標準偏差σが４ｄＢから１２ｄＢに変更された場合の近似の正確さを示している。このグラフは、被加数について、μ＝０ｄＢを有するＫ＝６のＣＤＦを示している。被加数の個数を増加させた影響を図８に示す。図８は、異なるＫのＣＤＦをプロットしたものである。図７及び図８から、（ｓ１，ｓ２）＝（１，０．２）は、ＰＤＦの先端部を近似するσ及びＫのさまざまな値に良く適合していることが分かる。同様に、（ｓ１，ｓ２）＝（０．００１，０．００５）は、ＣＣＤＦの末端を近似するのに適している。
【０１６８】
＜相関性を有する対数正規ＲＶの総和＞
次に、
【０１６９】
【数４３】
2007053752.tif 000045
【０１７０】
として設定された相関行列を有する、Ｋ個の相関性を有する対数正規ＲＶの総和を考察する。ここで、ρは、あらゆる２つの連続したＲＶの間の相関係数である。ＲＶの対数平均は０ｄＢである。
【０１７１】
相関性を有する４つの対数正規ＲＶの総和のＣＤＦ及びＣＣＤＦは、構成するすべてのＲＶがσ＝８ｄＢ及びμ＝０ｄＢを有する場合について、図９及び図１０において比較されている。方程式（１７）を使用して見積もられたパラメータを有する対数正規分布のＣＤＦは、Ｆ−Ｗ拡張及びＳ−Ｙ拡張からのパラメータを有する対数正規分布のＣＤＦと比較される。相関係数の２つの値、すなわちρ＝０．３及びρ＝０．７を考察する。ＭＧＦ法は、相関性を有する対数正規総和のＣＤＦを正確に追跡でき、Ｓ−Ｙ拡張法よりもわずかに良いことが分かる。Ｆ−Ｗ拡張は、すべての方法の中で最も正確でない。ＣＣＤＦの場合には、ＭＧＦ法の正確さは、Ｆ−Ｗ拡張の正確さに匹敵し、Ｓ−Ｙ拡張は最も正確でない。予想通り、すべての方法は、相関係数が大きいほど、ＣＤＦ及びＣＣＤＦを正確に追跡することができる。
【０１７２】
図１１は、ρ＝０．３を有する、異なる個数の相関性を有する対数正規ＲＶの総和のＣＤＦをプロットし、ＭＧＦがすべての場合で正確であることを示している。予想通り、Ｋが減少するにつれて、Ｆ−Ｗ法及びＳ−Ｙ法の正確さは向上する。
【０１７３】
＜独立したスズキＲＶ及び対数正規ライスＲＶの総和＞
ライス係数κの影響を図１２及び図１３に示す。図１２及び図１３は、６ｄＢの対数正規標準偏差を有する６つの対数正規ライスＲＶの総和のＣＤＦ及びＣＣＤＦをプロットしたものである。発明者には、ＣＤＦ又はＣＣＤＦを正確に近似できることが分かる。この近似の正確さは、κが減少するにつれて向上する。
【０１７４】
図１４は、方程式（２１）から得られたパラメータを使用して、異なる個数の独立したスズキＲＶの総和のＣＤＦをプロットし、それらをモンテカルロシミュレーションの結果と比較したものである。ＭＧＦ法が、単一の対数正規ＲＶによってスズキＲＶの総和を正確に近似することが分かる。結果は、Ｋ＝２、４、及び８について維持される。
【０１７５】
＜対象領域における対数正規近似＞
システムの設計中、ＲＶの総和の振る舞いの解析的説明を提供し、対象領域におけるその正確さを強調することが望ましい。たとえば、対象領域は、或る範囲のｄＢ値として定義することができる。たとえば、ボーリュー及びサイは、対象となる間隔における最大誤差を最小にして、パラメータを適合させるミニマックス基準を使用するのに対して、シュライハー（Schleher）の方法は、３つの領域に対して異なる３つのパラメータセットを推奨する。
【０１７６】
ＭＧＦ法の２つの自由パラメータである点ｓ１及びｓ２を有するＭＧＦ法は、パラメータの柔軟性を提供して、さまざまなシナリオについて、対象領域における振る舞いを正確にモデル化する。
【０１７７】
そのようにするためのパラダイムは、対象領域におけるＣＤＦ曲線又はＣＣＤＦ曲線の相対偏差を測定する２つのメトリックを使用して作り出される。Ｆ−Ｗ法が良好に機能することが知られているＣＣＤＦの末端部を一致させる際であっても、Ｓ−Ｙ法が良好に機能することが知られているＣＤＦの先端部であっても、Ｆ−Ｗ法及びＳ−Ｙ法よりも良好な正確さが達成可能であることが示される。
【０１７８】
ＦＣ（ｓ１，ｓ２）がＲＶを近似する対数正規分布のＣＣＤＦを示すものとし、Ｆ（ｓ１，ｓ２）がＲＶを近似する対数正規分布のＣＤＦを示すものとする。Ｈ及びＨＣが、ＲＶの実験的に観察されたＣＤＦ及びＣＣＤＦを示すものとする。これらは、モンテカルロシミュレーションによって得られる。ｘ１、…、ｘｎが対象領域のｎ個の基準点を示すものとする。ＣＤＦ及びＣＣＤＦの正確さのメトリックは、
【０１７９】
【数４４】
2007053752.tif 000046
【０１８０】
によって定義される。ここで、ｅｉ及びｅｃｉは、異なる基準点を追跡する際に異なる正確さを強調するためのそれぞれＣＤＦ及びＣＣＤＦの相対誤差の重みである。これらの重みは、
【０１８１】
【数４５】
2007053752.tif 000047
【０１８２】
となるように正規化される。
【０１８３】
ＣＤＦ及びＣＣＤＦを近似する際に可能な正確さに対する、σを変化させた影響を図１５及び図１６に示す。誤差の重みは、すべてのｉについて、ｅｉ＝ｅｃｉ＝１／Ｒとして設定される。図１５では、０ｄＢ〜１０ｄＢの範囲にわたって３ｄＢのステップで規定されたＭｃｄｆが、Ｆ−Ｗ法、Ｓ−Ｙ法、及びＭＧＦ法についてプロットされている。無制約のネルダ−ミード（unconstrained Nelder-Mead）非線形最大化が、点ｓ１及びｓ２を最適化することによりコストを最小にするのに使用される。次に、これらは、μ及びσを決定する。予想通り、Ｓ−Ｙ法は、Ｆ−Ｗ法よりも正確であるが、ＭＧＦ法は、すべての方法の中で最も正確である。σが増加するにつれて、ＭＧＦ法及びＳ−Ｙ法の正確さは向上するのに対して、Ｆ−Ｗ法の正確さは悪化する。図１６は、３つの方法について、１５ｄＢ〜２５ｄＢの範囲にわたって３ｄＢのステップで規定されたＭｃｃｄｆをプロットしたものである。
【０１８４】
どの所与のσについても、ＭＧＦ法は最も正確である。σが増加するにつれて、ＭＧＦ法及びＳ−Ｙ法の正確さが向上することが分かる。Ｆ−Ｗ法は、σ≦６．５ｄＢの場合、ＭＧＦ法と同程度に正確であるが、σ＞１０ｄＢの場合、すべての方法の中で最も正確でなくなる。
【０１８５】
図１５及び図１６は、ｓ１及びｓ２が最適に選択された場合のＭＧＦ法によって達成可能な正確さを示している。
【０１８６】
次に、発明者は、事前に指定された同じ一組の点ｓ１＝１及びｓ２＝０．２が使用された場合のＭＧＦ法の正確さを説明する。図１７は、ＭＧＦ法並びにＳ−Ｙ法及びＦ−Ｗ法のＭｃｄｆをプロットし、ＭＧＦ法がすべての中で最も正確であることを示している。図１８は、点ｓ１＝０．００１及びｓ２＝０．００５の場合のＣＣＤＦの正確さを比較したものである。ｓ１及びｓ２の上記値は、前のいくつかの図で使用されたものであることに留意されたい。対象領域及び基準点は、図１５及び図１６のものと同じである。
【０１８７】
＜発明の効果＞
単一の対数正規確率変数（ＲＶ）の分布で数個の確率変数の総和を近似するための方法が提供される。より具体的に言えば、確率変数は、受信機における干渉信号を表す。この方法は、積率母関数（ＭＧＦ）を確率分布関数の重み付き積分として解釈すること、及び、ＭＧＦが、必要とされる正確さでＰＤＦの異なる部分を近似するのに必要なパラメータの柔軟性を提供することを実現することによって説明される（motivated）。
【０１８８】
この方法は、独立しているが、必ずしも同一ではない対数正規ＲＶの場合、任意の相関性を有する対数正規ＲＶの場合、並びに独立した対数正規ライスＲＶ及びスズキＲＶの場合を包含するのに十分に一般的である。
【０１８９】
本発明を好ましい実施の形態の例として説明してきたが、本発明の精神及び範囲内において、他のさまざまな適合及び変更を行うことができることが理解されよう。したがって、本発明の真の精神及び範囲内に入るこのようなすべての変形及び変更を包含することが添付の特許請求の範囲の目的である。
【図面の簡単な説明】
【０１９０】
【図１】本発明の一実施の形態による無線ネットワークの概略図である。
【図２】相関性を有する対数正規確率変数を結合したものの分布を単一の確率変数の対数正規分布で近似するための方法のフロー図である。
【図３】重み関数を比較するグラフである。
【図４】異なるエルミート積分次数を比較するグラフである。
【図５】６つの相関性を有しない対数正規確率変数の総和のＣＤＦのグラフである。
【図６】６つの相関性を有しない対数正規確率変数の総和のＣＣＤＦのグラフである。
【図７】ＣＤＦを近似する正確さに対する分散の影響のグラフである。
【図８】ＣＤＦを近似する正確さに対する被加数の個数の影響のグラフである。
【図９】相関性を有する対数正規確率変数の総和の近似技法の正確さを図１０と比較するためのグラフである。
【図１０】相関性を有する対数正規確率変数の総和の近似技法の正確さを図９と比較するためのグラフである。
【図１１】ＣＤＦを近似する正確さに対する被加数の個数の影響のグラフである。
【図１２】ＣＤＦを近似する正確さに対するライス係数の影響のグラフである。
【図１３】ＣＣＤＦを近似する正確さに対するライス係数の影響のグラフである。
【図１４】ＣＤＦを近似する正確さに対するスズキＲＶの個数の影響のグラフである。
【図１５】対象領域において達成可能な正確さを比較するグラフである。
【図１６】対象領域において達成可能な正確さを比較するグラフである。
【図１７】対象領域において同じｓ１及びｓ２の値を有するＭＧＦ法の正確さを図１８と比較するためのグラフである。
【図１８】対象領域において同じｓ１及びｓ２の値を有するＭＧＦ法の正確さを図１７と比較するためのグラフである。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
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【図１７】
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【図１８】
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【外国語明細書】
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