(57)【要約】【課題】要求計算精度を満足し、それに見合う適切な計算時間やメモリ量に対応する効率的なメッシュを生成する。【解決手段】離散化した局所領域中で、微分方程式中の複数の関数を一定、または変数の導関数を含む関数を一定と近似することにより、離散化式を導くグリッドの生成方法であって、その局所領域中での一定と近似した元の関数から一定値を差し引いた値の絶対値の２乗をその局所区間で積分した値を残差とし、その残差がすべての計算領域において足し合わせたものを評価関数とし、その評価関数が最小となるようにメッシュ分割する。【選択図】図６
2007172210.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
微分方程式を離散化した局所領域中で、微分方程式中の複数の関数を一定、または変数の導関数を含む関数を一定と近似することにより、離散化式を導くグリッドの生成方法であって、
前記局所領域中での一定と近似した元の関数から近似した一定値を差し引いた値の絶対値の２乗を前記局所領域区間で積分した値を残差とし、その残差がすべての計算領域において足し合わせたものを評価関数とし、前記評価関数が最小となるようにメッシュ分割することを特徴とするグリッドの生成方法。
【請求項２】
微分方程式を離散化した局所領域中で、微分方程式中の複数の関数を一定、または変数の導関数を含む関数を一定と近似することにより、離散化式を導くグリッドの生成方法であって、
近似が複数あったり、微分方程式が複数あり、それらの方程式をカップルして解く必要があるなど、評価すべき残差が複数ある場合に、１つの変数の残差と単位や次元が同等になるように統一し、それらを加えたものを評価関数とし、その評価関数が最小となるようなメッシュ分割を行うことを特徴とするグリッドの生成方法。
【請求項３】
微分方程式を離散化した局所領域中での一定と近似した元の関数から近似した一定値を差し引いた値の絶対値の２乗を前記局所領域区間で積分した値を残差とする工程と、
その残差がすべての計算領域において足し合わせたものを評価関数とし、前記評価関数が最小となるようにメッシュ分割する工程とをシミュレーション装置に実行させるプログラムを記録したことを特徴とする記録媒体。
【請求項４】
微分方程式を離散化した局所領域中で、微分方程式中の複数の関数を一定、または変数の導関数を含む関数を一定と近似する近似が複数あったり、微分方程式が複数あり、それらの方程式をカップルして解く必要があるなど、評価すべき残差が複数ある場合に、１つの変数の残差と単位や次元が同等になるように統一し、それらを加えたものを評価関数とし、その評価関数が最小となるようにメッシュ分割する工程をシミュレーション装置に実行させるプログラムを記録したことを特徴とする記録媒体。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、メッシュの最適化技術に関し、特に、半導体集積回路装置の開発、設計、製造時に、デバイス特性やばらつきを最適化するデバイス構造やプロセス条件を見つけるために用いるプロセス／デバイスシミュレーションやプラズマシミュレーションに必要なグリッド生成に有効な技術に関する。
【背景技術】
【０００２】
半導体集積回路装置のプロセス／デバイスシミュレーションやプラズマシミュレーションに必要なグリッド生成の技術として、メッシュ点配置を最適化した後に、メッシュ生成を行うものが知られている（特許文献１参照）。
【０００３】
この場合の処理手順は、最初に、メッシュ点を初期配置し、判定条件値、および指定試行回数の初期値を設定する。次に、移動対象メッシュ点を乱数によって選択し、選択したメッシュ点を所定の乱数メッシュ選択確率で移動先を乱数によって位置設定し、これ以外の場合は、このメッシュ点近傍の局所的領域で算出した評価関数が極小値になる方向を移動方向として設定する。
【０００４】
次に、このメッシュ点の移動前の評価関数の値に対する移動させた場合の評価関数の値の変化分を算出し、この変化分が負である時は移動を許可し、負でないときは所定の許可確率で移動を許可する。上記メッシュ点移動操作を指定試行回数繰り返した後、判定条件値及び乱数メッシュ選択確率を減少させ、指定試行回数を再設定して、メッシュ点の再配置を繰り返し継続し、評価関数の減少率が一定値以下になったならば、再配置を終了する。
【０００５】
また、グリッド生成技術においては、メッシュの具体的な細分化技術を示したもの（非特許文献１参照）、および評価関数として、有限要素法の重み付き残差法において、残差ｅｒｒｏｒが各メッシュで一定となるようにする技術（非特許文献２）などが知られている。
【０００６】
解析対象の形状モデルを入力し、要素の配置を規定するための少なくとも一つの線分(要素配置パス)を入力し、前記線分に従い解析対象の形状モデルを部分領域に分割し、すべての部分領域に対して入力された線分に沿った要素の配置となる数値解析メッシュを生成する解析メッシュ生成方法の技術がある（特許文献２）。
【０００７】
領域境界線分を取得し、各領域境界線分上のメッシュ点において、簡素化値を算出し、各領域境界線分で、３材質以上の材質が接している節点を、不動メッシュ点とし、不動メッシュ点の簡素化値を、基準簡素化値と比較して十分に大きな値に設定し、不動メッシュ点が動かないようにし、各領域境界線分上のメッシュ点のうち、簡素化値がもっとも小さいメッシュ点を選択し、選択したメッシュ点の簡素化値が、基準簡素化値よりも小さい場合には、メッシュ点の簡素化値を、メッシュ点の両隣りのメッシュ点に等配分し、選択したメッシュ点を削除し、領域境界線分上の全てのメッシュ点の簡素化値が、基準簡素化値よりも大きくなるまで繰り返すプロセスシミュレーションのメッシュ発生方法がある（特許文献３）。
【０００８】
数値解析対象となる所定の領域形状データを入力し、領域形状データが写像可能な単純形状領域へ分解されたことにより領域形状データが分解された単純形状領域を分割する分割数を指定し、指定された分割数に基づいて写像法により単純形状領域を要素分割し、この後写像法によって要素分割された各単純形状領域に基づいて所定の領域形状データ全体の非連続メッシュを生成するメッシュ生成方法の技術がある（特許文献４）。
【０００９】
作成対象の形状の基礎となる基本形状の有限要素モデルを半自動メッシュ法により生成させ、作成された基本形状の境界部を変更しつつ該モデルの要素を構成する節点の数を変更することなく、前記節点の位置を変化させることにより作成対象形状の有限要素モデルの作成を行うことを特徴とするメッシュ生成方法がある（特許文献５）。
【００１０】
非特許文献１では、監視表面（ｍｏｎｉｔｏｒ  ｓｕｒｆａｃｅ）と重み関数（ｗｅｉｇｈｔ  ｆｕｎｃｔｉｏｎ）とを定義している。
【００１１】
移流拡散モデルのデバイスシミュレーションの場合、この重み関数を
【００１２】
【数１】
2007172210.tif 000003
として、上の不等式が成立しないとき、その局所領域のメッシュを細分するとしている。
【００１３】
電位の第２導関数をとる理由として、ポアソン方程式を考える限り、すべての三角形要素において線形近似しているので、テーラー（Ｔａｌｏｒ）展開した時の第１項まで考慮していることになり、第２項以降がｅｒｒｏｒとなるので、その最大ｅｒｒｏｒである第２項が上記重み関数にあたるとしている。
【００１４】
このｅｒｒｏｒを計算領域全面内でβにするということは最低（＝を条件に含めるとして）の十分条件を満たしているので、この最低の十分条件に対応するメッシュが最適メッシュとなる。
【特許文献１】特開２００１−３１２５２６号公報
【特許文献２】特開２００４−１９９４８０号公報
【特許文献３】特開２００１−１２７０６１号公報
【特許文献４】特開２００５−４４１４６号公報
【特許文献５】国際公開ＷＯ０１／０９０９５９号公報
【非特許文献１】Ｐ．Ｃｉａｍｐｏｌｉｎｉ，Ａ．Ｆｏｒｇｈｉｅｒｉ，Ａ．Ｐｉｅｒａｎｔｏｎｉ，Ａ．Ｇｎｕｄｉ，Ｍ．Ｖ．Ｒｕｄａｎ，ａｎｄ  Ｇ．Ｂａｃｃａｒａｎｉ，’Ａｄａｐｔｉｖｅ  Ｍｅｓｈ  Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ  Ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ  ｔｈｅ  Ｑｕａｌｉｔｙ  ｏｆ  ｔｈｅ  Ｉｎｉｔｉａｌ  Ｇｒｉｄ，’ＩＥＥＥ  Ｔｒａｎｓ．  ｏｎ  ＣＡＤ，，ｐｐ４９０−５００，Ｖｏｌ．８，Ｎｏ．５  Ｍａｙ  １９８９
【非特許文献２】Ｉ．Ｂａｂｕｓｋａ  ａｎｄ  Ｗ．Ｃ．Ｒｈｅｉｎｂｏｌｄｔ，’Ｅｒｒｏｒ  Ｅｓｔｉｍａｔｅｓ  Ｆｏｒ  Ａｄａｐｔｉｖｅ  Ｆｉｎｉｔｅ  Ｅｌｅｍｅｎｔ  Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｓ，’Ｓｏｃｉｅｔｙ  ｆｏｒ  Ｉｎｄｕｓｔｒｉａｌ  ａｎｄ  Ａｐｐｌｉｅｄ  Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｊ．Ｎｕｍｂｅｒ  ＡＮＡＬ  Ｖｏｌ．１５，Ｎｏ．４、ｐｐ７３６−７５４，Ａｕｇｕｓｔ  １９７８
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１５】
ところが、上記のような半導体集積回路装置のプロセス／デバイスシミュレーションなどに必要なグリッドの生成技術では、次のような問題点があることが本発明者により見い出された。
【００１６】
特許文献１では、メッシュ点近傍の局所的領域で算出した評価関数が極小値になる方向を移動方向として設定しているが、その評価関数が非常に単純であるという問題がある。
【００１７】
具体的に示されている評価関数として、以下のＦ１，Ｆ２，Ｆ３が示されている。
【００１８】
【数２】
2007172210.tif 000004
Ｘｉはメッシュ点ＭｉのＸ座標値、Ｙｉはメッシュ点ＭｉのＹ座標値であり、ｊはｉの近傍の座標点、Ｑｉは点ｉでのペナルティ値である。このＦ１を最小化するメッシュ点配置はメッシュ点間距離が均一化されたものである。
【００１９】
【数３】
2007172210.tif 000005
Ｃｉはメッシュ点Ｍｉでの不純物濃度。Ｆ２を最小化するメッシュ点配置は濃度差を均一化することになる。つまり、濃度差の大きなところはたくさんのメッシュ点が配置され、濃度差の少ないところは、メッシュ点が少なくなる。
【００２０】
【数４】
2007172210.tif 000006
Ｆ３を最小化するメッシュ点配置は最近接メッシュ点同士が同一の不純物濃度の場合に極大になり、同一濃度のメッシュ点の削除によって小さくなる。
【００２１】
また、これらを規格化して
【００２２】
【数５】
2007172210.tif 000007
とする方法が提案されている。
これらの評価関数は不純物濃度をベースにしているが、プロセスシミュレーションにおいても、イオン注入計算か、拡散計算かによって、評価関数が変わる必要があるし、デバイスシミュレーションでは、ポアソン方程式と電子電流連続式と正孔電流連続式の３つがあり、これらに対応して、評価関数を提案する必要がある。
【００２３】
また、規格化因子のＦ１０，Ｆ２０，Ｆ３０を適切に設定しようとしても、元々、Ｆ１，Ｆ２，Ｆ３は物理的な単位や次元の異なるものであり、単純に加えるだけでは、最適な評価関数は設定できない。
【００２４】
次に、非特許文献１においては、ポアソン方程式を解くときに、すべての三角形内でψを線形近似をしていると記述しているが、ポアソン方程式は電位の２回微分項が陽に現れており、２次関数近似でなければ、方程式を離散化することはできない。
【００２５】
このことは、積分形に変形した方程式にしても、最終的には、電界の差分が必要になり、電界の差分は電位の２回微分項に当たる。従って、打ち切り誤差（ｔｕｒｎｃａｔｉｏｎ  ｅｒｒｏｒ）は、３回微分項とすべきである。要素内でψを線形近似するというのは、たしかに、要素の中心での値を
【００２６】
【数６】
2007172210.tif 000008
として計算するが、三角形要素内で電界を一定と近似していると限定するのは早計である。というのは、
区間（Ｘｉ，Ｘｉ＋１）において、
【００２７】
【数７】
2007172210.tif 000009
とψを２次関数近似して、区間の中心ｘ＝（Ｘｉ＋Ｘｉ＋１）／２での電界Eは
【００２８】
【数８】
2007172210.tif 000010
である。
【００２９】
一方、（１０１）式に（１０２）式を代入して得られる、つまり、線形近似して得られる区間の中心ｘ＝（Ｘｉ＋Ｘｉ＋１）／２での電界Ｅの値も、
【００３０】
【数９】
2007172210.tif 000011
となり、２次関数近似して微分で求めた（１０３）式と同じになるからである。
【００３１】
つまり、線形近似（電界一定）として求めたようにみえて、実は２次関数近似なら、同じ答えになり、２次関数近似したことになるのである。したがって、打ち切り誤差は、３回微分項とすべきである。
【００３２】
さらに、非特許文献２の技術では、有限要素法を用いて微分方程式を解くときに有効であり、プロセス/デバイスシミュレーションのように差分法を用いて、差分スキームがｅｘｐｏｎｅｔｉａｌの関数になっているような場合には、適用することが困難である。
【００３３】
有限要素法では、求める関数ψを基底関数で近似し、基底関数の係数を求める方法をとるが、一般的に、基底関数は、変数のべき乗（ｘのｎ乗）によるＴａｌｏｒ展開やフーリエ級数などであり、非特許文献２には、差分法などに適用できるより一般的な残差の与え方が記述されていない。また、方程式が複数ある場合にも、最適なメッシュの与え方が記述されていない。
【００３４】
以上のように、特許文献１、および非特許文献１、２による技術では、各プロセスや微分方程式に対応できないし、評価関数や残差の導出のための条件がせまく、多くのプロセスや電気特性のシミュレーションに必要な汎用性のある最適なメッシュ生成は成功せず、求める計算精度を効率的なメッシュで計算できない。
【００３５】
そのことは、同時に、冗長なグリッドが増加し、マトリクス要素は増加し、計算時間も長くなってしまうことになる。
【００３６】
本発明の目的は、要求計算精度を満足し、それに見合う適切な計算時間やメモリ量に対応する効率的なメッシュを生成する技術を提供することにある。
【００３７】
本発明の前記ならびにそのほかの目的と新規な特徴については、本明細書の記述および添付図面から明らかになるであろう。
【課題を解決するための手段】
【００３８】
本願において開示される発明のうち、代表的なものの概要を簡単に説明すれば、次のとおりである。
【００３９】
本発明は、微分方程式を離散化した局所領域中で、微分方程式中の複数の関数を一定、または変数の導関数を含む関数を一定と近似することにより、離散化式を導くグリッドの生成方法であって、該局所領域中での一定と近似した元の関数から近似した一定値を差し引いた値の絶対値の２乗を局所区間で積分した値を残差とし、その残差がすべての計算領域において足し合わせたものを評価関数とし、該評価関数が最小となるようにメッシュ分割するものである。
【００４０】
また、本発明は、微分方程式を離散化した局所領域中で、微分方程式中の複数の関数を一定、または変数の導関数を含む関数を一定と近似することにより、離散化式を導くグリッドの生成方法であって、近似が複数あったり、微分方程式が複数あり、それらの方程式をカップルして解く必要があるなど、評価すべき残差が複数ある場合に、１つの変数の残差と単位や次元が同等になるように統一し、それらを加えたものを評価関数とし、その評価関数が最小となるようなメッシュ分割するものである。
【００４１】
また、本願のその他の発明の概要を簡単に示す。
【００４２】
本発明は、微分方程式を離散化した局所領域中での一定と近似した元の関数から近似した一定値を差し引いた値の絶対値の２乗を局所区間で積分した値を残差とする工程と、その残差がすべての計算領域において足し合わせたものを評価関数とし、該評価関数が最小となるようにメッシュ分割する工程とをシミュレーション装置に実行させるプログラムを記録したものである。
【００４３】
また、本発明は、微分方程式を離散化した局所領域中で、微分方程式中の複数の関数を一定、または変数の導関数を含む関数を一定と近似する近似が複数あったり、微分方程式が複数あり、それらの方程式をカップルして解く必要があるなど、評価すべき残差が複数ある場合に、１つの変数の残差と単位や次元が同等になるように統一し、それらを加えたものを評価関数とし、その評価関数が最小となるようにメッシュ分割する工程をシミュレーション装置に実行させるプログラムを記録したものである。
【発明の効果】
【００４４】
本願において開示される発明のうち、代表的なものによって得られる効果を簡単に説明すれば以下のとおりである。
【００４５】
（１）多くのプロセスや電気特性のシミュレーションに必要な汎用性のある最適なメッシュ生成を行うことができ、求める計算精度を効率的なメッシュで計算することを可能にすることができる。
【００４６】
（２）上記（１）により、冗長なグリッドが減少してマトリクス要素が減少し、計算時間を短縮することができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００４７】
以下、本発明の実施の形態を図面に基づいて詳細に説明する。なお、実施の形態を説明するための全図において、同一の部材には原則として同一の符号を付し、その繰り返しの説明は省略する。
【００４８】
図１は、本発明の一実施の形態によるドリフト拡散モデルにおける評価関数とそのシミュレーション手順を表した説明図、図２は、本発明の一実施の形態による一次元残差の求め方を示す説明図、図３は、局所領域のずれの一例を示す説明図、図４は、局所領域のずれの一例を示す説明図、図５は、本発明の一実施の形態によるシミュレーション装置のブロック図、図６は、図５のシミュレーション装置によるメッシュ修正の手順を示したフローチャートである。
【００４９】
本実施の形態において、デバイスシミュレーションのドリフト拡散モデルに応用した例を示す。図１は、ドリフト拡散モデルにおける評価関数とそのシミュレーション手順を表した説明図である。
【００５０】
図示するように、ドリフト拡散モデルの微分方程式は、
【００５１】
【数１０】
2007172210.tif 000012
【００５２】
【数１１】
2007172210.tif 000013
一般的なコントロールボリューム法での差分法による離散化では、点ｉの周りの点ｊとの中間点での電界をコントロールボリューム内で積分し、
【００５３】
【数１２】
2007172210.tif 000014
【００５４】
【数１３】
2007172210.tif 000015
【００５５】
【数１４】
2007172210.tif 000016
【００５６】
【数１５】
2007172210.tif 000017
【００５７】
【数１６】
2007172210.tif 000018
本差分スキームは Ｓｃｈａｆｅｔｔｅｒ  ＆  Ｇｕｍｍｅｌの差分スキームとして知られている。
【００５８】
本差分スキームは、次のようにして導かれる。
【００５９】
（４）、（５）式において、
１次元近似を仮定し、Ｊｅ＝一定、Ｊｈ＝一定、電界Ｅ＝一定として、
【００６０】
【数１７】
2007172210.tif 000019
を解いて、
【００６１】
【数１８】
2007172210.tif 000020
【００６２】
【数１９】
2007172210.tif 000021
とおいて、Ｊｅ（ｉｊ），Ｊｈ（ｉｊ）を求めると、（１１）、（１２）式が導出できる。
【００６３】
従って、Ｓｃｈａｆｅｔｔｅｒ  ＆  Ｇｕｍｍｅｌの差分スキームを用いることは、その局所区間において、
【００６４】
【数２０】
2007172210.tif 000022
【００６５】
【数２１】
2007172210.tif 000023
【００６６】
【数２２】
2007172210.tif 000024
を仮定したことになる。
【００６７】
これは、従来技術で記述したポアソン方程式のψの一回微分を線形近似で求めた場合と異なり、Ｊｅ，Ｊｈ，Ｅを一定とおかなければ、差分スキームは、得られない。
【００６８】
さらに、（９）式、（１０）式において、Ｊｅ，Ｊｈのｄｉｖｅｇｅｎｃｅを計算しているが、その局所区間において、
【００６９】
【数２３】
2007172210.tif 000025
を仮定している。
【００７０】
一方、ポアソン方程式の方の離散化であるが、（７）式により電界Ｅを線形近似したように見えるが、従来技術で述べたように、（６）式があるため、２次関数近似であり、電界の一回微分を一定とした近似になっており、
【００７１】
【数２４】
2007172210.tif 000026
となる。
【００７２】
従って、局所区間において、一定と近似したのは、
【００７３】
【数２５】
2007172210.tif 000027
次に、図２に示す関数ｈ（ｘ）を考え、一区間で一定と近似したときの残差について評価する。
【００７４】
関数ｈ（ｘ）は一区間で一定と近似するため、階段関数で近似することになる。実際には、一定でなく、ひとつ近似をあげた線形関数とし、領域（ｘ０，ｘ１）と領域（ｘ１，ｘ２）で傾きを変えて、各々ａ，ｂとした。
【００７５】
まず、残差として、各局所領域における階段関数（近似関数ｈ’（ｘ））と元関数ｈ（ｘ）との差の絶対値を全領域で積分したもの：
【００７６】
【数２６】
2007172210.tif 000028
を考える。
【００７７】
各局所領域では、図３の黒塗り部分の面積を計算して、足し合わせると、
【００７８】
【数２７】
2007172210.tif 000029
従って、Ｆ１が極小となるのは、
【００７９】
【数２８】
2007172210.tif 000030
のときで、このとき、
【００８０】
【数２９】
2007172210.tif 000031
となり、最適なメッシュ幅は、領域（ｘ０，ｘ１）と領域（ｘ１，ｘ２）の傾きの√に反比例することになる。
【００８１】
次に、残差として、各局所領域における階段関数（近似関数ｈ’（ｘ））と元関数ｈ（ｘ）との差の絶対値の２乗を考える。
【００８２】
【数３０】
2007172210.tif 000032
のとき、極小となる。
【００８３】
ここで、
【００８４】
【数３１】
2007172210.tif 000033
とおいた。
【００８５】
つまり、
【００８６】
【数３２】
2007172210.tif 000034
のとき、極小である。
【００８７】
一般に、ｆ３，ｆ４，．．．ｆｓｓの極小となるときは、
【００８８】
【数３３】
2007172210.tif 000035
となる。
【００８９】
また、ここでは、異なる２つの傾きａ，ｂの領域での分割幅の最適値を求めたが、３つに領域を増やすと、つまり、傾きｃの領域を増やすと、ｂ，ｃの領域だけを考えても、ａ，ｂの領域での記述と同様の結論になるので、
【００９０】
【数３４】
2007172210.tif 000036
となる。
【００９１】
一般に、メッシュ幅は、その領域での傾きａ(s/(s+1)) に反比例したものが最適なメッシュ幅を与えることになる。
【００９２】
最適条件のときに、各分割区間の残差は等しくなることも重要である。たとえば、ｎ＝２の最適条件のとき、ａ2 ・△ｘ１3 とｂ2 ・Δｘ２3 は等しくなる。
【００９３】
また、ｓを無限に大きくすると、メッシュ幅△ｘ１  は、傾きａに反比例することになる。図４に示すように、これは、評価関数｜ｈ（ｘ）−ｈ’（ｘ）｜n は階段関数に近づくことになり、積分しても、端以外の領域は寄与せず、端の最大残差ａ・△ｘ１／２のみを評価することになるからである。
【００９４】
基本的に、ｎをどういう数にするかはわからないが、次のように仮定した場合、ｎ＝２が正しい評価関数となる。その仮定とは、各局所領域の残差が独立した事象で、かつ、残差がσｉ、平均値ｍｉの正規分布に従うとすると、トータルの残差σｔｏｔは、２乗平均
【００９５】
【数３５】
2007172210.tif 000037
となる。ここでは、トータル残差は２乗平均を用いることにする。
【００９６】
ここで、重要なことは、評価関数の与え方により、最適なメッシュ分割は異なることである。つまり、何を求めたいかによって、評価関数が異なることである。
【００９７】
たとえば、電流値を正確に導出する場合、電流Ｊｅ・ｄＳ，Ｊｈ・ｄＳの単位に残差を統一して求めることになる。
【００９８】
３次元空間での局所領域ｉの周りの残差を求める。
【００９９】
Ｊｅ＝一定とおいた場合の残差は、
【０１００】
【数３６】
2007172210.tif 000038
【０１０１】
【数３７】
2007172210.tif 000039
【０１０２】
【数３８】
2007172210.tif 000040
【０１０３】
【数３９】
2007172210.tif 000041
【０１０４】
【数４０】
2007172210.tif 000042
【０１０５】
【数４１】
2007172210.tif 000043
【０１０６】
【数４２】
2007172210.tif 000044
となる。
【０１０７】
ここで、ｄＶｉは、コントロールボリュームｉの体積、ｒ（ｉｊ）は節点ｉｊ間の距離、ｎ（ｉｊ），Ｐ（ｉｊ）は節点ｉｊ間の電子濃度、正孔濃度である。
【０１０８】
従って、求める残差は、一局所区間では、
【０１０９】
【数４３】
2007172210.tif 000045
となる。
【０１１０】
次に、グリッド生成に用いられるシミュレーション装置１の構成、およびメッシュ修正の手順について説明する。
【０１１１】
シミュレーション装置１は、図５に示すように、記憶装置２、および制御装置３から構成されている。
【０１１２】
記憶装置２は、計算部５が計算した方程式の解などの計算結果を記憶する。制御装置３は、シミュレーション装置１におけるすべての制御を司る。この制御装置３は、入力部４、計算部５、ならびに出力部６から構成されている。
【０１１３】
入力部４は、デバイス構造、モデル、初期メッシュ、および収束条件などのメッシュ修正に必要なデータを入力する。計算部５は、入力部４から入力されたデータに基づいて計算を行い、離散化方程式を解き、メッシュの修正を行う。出力部６は、計算部５の計算結果から、デバイスの電気的特性を出力する。
【０１１４】
図６は、シミュレーション装置１によるメッシュ修正の手順を示したフローチャートである。
【０１１５】
最初に、入力部４からデバイス構造、モデル、初期（直交）メッシュ、および収束条件を入力して（ステップＳ１０１）メッシュ点を初期配置する。
【０１１６】
続いて、シミュレーションを行う。まず。計算部５が離散化方程式を解いて解ｎ（ｉ），ｐ（ｉ），ψ（ｉ）をそれぞれ求める（ステップＳ１０２）。このとき、各局所領域でのＪｅ（ｉｊ），Ｊｈ（ｉｊ），Ｅ（ｉｊ）も求める。
【０１１７】
計算された解ｎ（ｉ），ｐ（ｉ），ψ（ｉ）は、記憶装置２に記憶される（ステップＳ１０３）。そして、解ｎ（ｉ），ｐ（ｉ），ψ（ｉ）から残差Ｆを求める（ステップＳ１０４）。
【０１１８】
続いて、各局所領域の残差Ｆ（ｉ）を均一にするように、点の追加と移動、削除を行い、メッシュの修正を行う（ステップＳ１０５）。目安としては、２乗平均を使っているので、残差の平均値を求め、それからのずれをメッシュ幅△xの３／２乗に比例するように節点を追加、または削除する。
【０１１９】
次に、修正されたメッシュにより、ステップＳ１０２〜Ｓ１０４の処理を行い、残差Ｆを求め、トータル残差Ｆ（ｔｏｔａｌ）が、前回に求めた残差Ｆ（ｔｏｔａｌ）との差を求めて、あらかじめ決めた値εの範囲内に収まるか否かを判断する（ステップＳ１０６）。
【０１２０】
ステップＳ１０６の処理において、トータル残差Ｆ（ｔｏｔａｌ）と前回に求めた残差Ｆ（ｔｏｔａｌ）との差が値εの範囲内であれば、解ｎ（ｉ），ｐ（ｉ），ψ（ｉ）を記憶装置２に記憶させ、出力部６が電気的特性（たとえば、トランジスタの容量、しきい値など）を出力する（ステップＳ１０７）。また、トータル残差Ｆ（ｔｏｔａｌ）と前回に求めた残差Ｆ（ｔｏｔａｌ）との差が値εの範囲外であれば、再びステップＳ１０２〜Ｓ１０５処理を行う。
【０１２１】
それにより、本実施の形態によれば、任意のプロセスや微分方程式に対応でき、評価関数や残差の導出のための方法を明確にしているため、多くのプロセスや電気特性のシミュレーションに必要な汎用性のある最適なメッシュ生成を行うことが可能となり、求める計算精度を効率的なメッシュで計算することができる。
【０１２２】
以上、本発明者によってなされた発明を実施の形態に基づき具体的に説明したが、本発明は前記実施の形態に限定されるものではなく、その要旨を逸脱しない範囲で種々変更可能であることはいうまでもない。
【０１２３】
たとえば、ＧＲ項が入った場合は、そのＧＲに帰属する近似による残差がＦ（ｉ）に追加される。それにより、ＧＲ項も含めた残差を考慮するので、ＧＲ項を含めたデバイスシミュレーションの高精度計算を可能にすることができる。
【産業上の利用可能性】
【０１２４】
本発明は、半導体集積回路装置の開発、設計、製造時におけるデバイス特性のばらつきを最適化する最適なグリッド生成の技術に適している。
【図面の簡単な説明】
【０１２５】
【図１】本発明の一実施の形態によるドリフト拡散モデルにおける評価関数とそのシミュレーション手順を表した説明図である。
【図２】本発明の一実施の形態による一次元残差の求め方を示す説明図である。
【図３】局所領域のずれの一例を示す説明図である。
【図４】局所領域のずれの一他例を示す説明図である。
【図５】本発明の一実施の形態によるシミュレーション装置のブロック図である。
【図６】図５のシミュレーション装置によるメッシュ修正の手順を示したフローチャートである。
【符号の説明】
【０１２６】
１  シミュレーション装置
２  記憶装置
３  制御装置
４  入力部
５  計算部
６  出力部
【図１】
2007172210.tif 000046
【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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