(57)【要約】【課題】データ量の軽減を図るとともに、高い精度で曲面を生成することが可能な曲面作成方法及びプログラム並びに３次元形状処理装置を提供することを目的とする。【解決手段】断面曲線群から曲面を作成する曲面作成方法であって、断面曲線群の各断面曲線上に設定した複数の基準点における法線を求める法線算出過程と、法線を用いて曲面を作成する曲面作成過程とを具備する曲面作成方法を提供する。【選択図】図２
2007156604.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
断面曲線群から曲面を作成する曲面作成方法であって、
前記断面曲線群の各断面曲線上に設定した複数の基準点における法線を求める法線算出過程と、
前記法線を用いて曲面を作成する曲面作成過程と
を具備する曲面作成方法。
【請求項２】
前記法線算出過程は、
前記断面曲線群の中から主断面曲線を選択するとともに、該主断面曲線上に基準点を設定する基準点設定過程と、
前記主断面曲線上に前記基準点と重複しない少なくとも２つの参照点を設定し、更に、前記主断面曲線とは異なる少なくとも２つの従断面曲線を選択し、各前記従断面曲線上に少なくとも３つの参照点をそれぞれ設定する参照点設定過程と、
前記基準点の座標情報及び各前記参照点の座標情報を用いて、曲面解析を行う解析過程とを有し、
前記曲面解析の結果に基づいて、前記基準点における法線を算出する請求項１に記載の曲面作成方法。
【請求項３】
前記従断面曲線は、前記主断面曲線の隣の断面曲線である請求項２に記載の曲面作成方法。
【請求項４】
前記基準点における前記主断面曲線の接線に直交する線と前記従断面曲線との交点に、前記参照点を設定する請求項２又は請求項３に記載の曲面作成方法。
【請求項５】
前記主断面曲線上に設定した前記基準点と各前記参照点において、各点間の弧長は略等しく、各前記従断面曲線上に設定した各前記参照点において、各点間の弧長が略等しい請求項２から請求項４のいずれかの項に記載の曲面作成方法。
【請求項６】
断面曲線群から曲面を作成するための曲面作成プログラムであって、
前記断面曲線群の各断面曲線上に設定した複数の基準点における法線を求める法線算出処理と、
前記法線を用いて曲面を作成する曲面作成処理と
をコンピュータに実行させるための曲面作成プログラム。
【請求項７】
断面曲線群から曲面を作成するための３次元形状処理装置であって、
前記断面曲線群の各断面曲線上に設定した複数の基準点における法線を求める法線算出手段と、
前記法線を用いて曲面を作成する曲面作成手段と
を具備する３次元形状処理装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、コンピュータを用いて三次元形状モデルを作成する曲面作成方法及び曲面作成プログラム並びに３次元形状処理装置に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
従来、３次元形状モデルを取り扱うＣＡＤやＣＡＭ等の３次元形状処理装置においては、ｂｅｚｉｅｒ、Ｂ−ｓｐｌｉｎｅ、有理ｂｅｚｉｅｒ、ＮＵＲＢＳ（Non-Uniform Rational B-spline）などといった多項式近似を用いて曲線や曲面を表現している（例えば、特許文献１等）。
【特許文献１】特開２００１−２０２５２９号公報
【０００３】
上記特許文献１には、軌道なしに生成される補間曲線と軌道曲線との間に生ずる差分を考慮して、補間曲線を補正しながら目的とするスキニング曲面を作成する技術が開示されている。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００４】
しかしながら、上記多項式近似により形状を表現する従来のＣＡＤシステム等では、以下の理由により、自由曲面を高精度で表現することができないという問題があった。
例えば、ＣＡＤシステム等においてＮＵＲＢＳを用いて曲面を表現する場合、曲面は制御点、ノットベクトル、ウェイト（Weight）等の制御量を用いて表される。このとき、曲面を正確に表現するためには、曲面の場所ごとの特徴に応じて適切な制御量が設定されることが必要となる。しかしながら、従来のＣＡＤシステム等においては、どのような曲面でも、つまり、可展面であっても自由曲面であってもウェイトが一律に「１．０」に設定されてしまうことから、制御量が適切に設定されず、このため曲面が正確に表現されないこととなる。
【０００５】
例えば、上述した特許文献１では、断面曲線と軌道曲線とに基づいて曲面を生成するが、軌道曲線、断面曲線ともに上述のように正確な制御量にて曲線が表されていないため、これらの曲線に基づいて作成される曲面には誤差が生じてしまう。更に、特許文献１では、軌道曲線が元の曲面の空間法線に基づいて描かれていないため、このような正確に設定されていない軌道曲線に基づいて作成された曲面には多くの誤差が含まれてしまう。このため、曲面作成後にオペレータによる補正作業が必要となり、曲面作成に長時間要するとともに、オペレータの負担も大きいという問題があった。
【０００６】
また、従来のＣＡＤシステム等では、多角形近似によって形状を定義するため、曲面のうち、非可展面の曲面に対して近似誤差が生じる。従来、この近似誤差を小さくするために、多角形をできるだけ細かく（パッチ曲面）作成し、精密に近似を行う手法がとられている。しかしながら、この手法では、データ量が膨大となるという問題があった。
【０００７】
本発明は、上記問題を解決するためになされたもので、データ量の軽減を図るとともに、精度良く曲面を生成することが可能な曲面作成方法及びプログラム並びに３次元形状処理装置を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
上記課題を解決するために、本発明は以下の手段を採用する。
本発明は、断面曲線群から曲面を作成する曲面作成方法であって、前記断面曲線群の各断面曲線上に設定した複数の基準点における法線を求める法線算出過程と、前記法線を用いて曲面を作成する曲面作成過程とを具備する曲面作成方法を提供する。
【０００９】
本発明の曲面作成方法によれば、各断面曲線上に設定した各基準点における法線をそれぞれ求め、これら法線の情報に基づいて曲面を作成するので、曲面作成の精度を向上させることが可能となる。また、最終的に作成される曲面は微細な曲面の集合体としてではなく、一つの曲面として表現されるので、データ量を大幅に削減することが可能となる。
【００１０】
上記曲面作成方法における法線算出過程は、前記断面曲線群の中から主断面曲線を選択するとともに、該主断面曲線上に基準点を設定する基準点設定過程と、前記主断面曲線上に前記基準点と重複しない少なくとも２つの参照点を設定し、更に、前記主断面曲線とは異なる少なくとも２つの従断面曲線を選択し、各前記従断面曲線上に少なくとも３つの参照点をそれぞれ設定する参照点設定過程と、前記基準点の座標情報及び各前記参照点の座標情報を用いて、曲面解析を行う解析過程とを有し、前記曲面解析の結果に基づいて法線を算出することが好ましい。
【００１１】
この方法によれば、複数の断面曲線からなる断面曲線群から任意に一の断面曲線を設定し、これを主断面曲線とする。続いて、この主断面曲線上に任意の一点を設定し、これを基準点とする。次に、参照点設定過程では、主断面曲線上に基準点と重複しない少なくとも２つの参照点を設定し、更に、主断面曲線とは異なる任意の２つの断面曲線を従断面曲線として設定し、この従断面曲線上に少なくとも３つの参照点をそれぞれ設定する。そして、このようにして選ばれた基準点及び参照点からなる少なくも９個の座標情報に基づいて、曲面解析を行う。この曲面解析では、例えば、法線のほか、主曲率、ガウス曲率等を求めることができる。
【００１２】
具体的には、少なくとも９個の座標情報を用いて微分演算等を行うことにより曲面の特徴量を決定するために必要とされる第１次規格量、第２次規格量を求め、これらの規格量を用いて法線を求める。なお、これら規格量から主曲率（最小曲率、最大曲率）、平均曲率、ガウス曲率等の曲面の特徴量を更に求めるようにしても良い。上記規格量の算出には２階微分値が必要となるため、最小で９個の点を設定することとしている。
【００１３】
上記曲面作成方法において、前記従断面曲線は、前記主断面曲線の隣の断面曲線であることが好ましい。
このように、主断面曲線に隣り合う断面曲線を従断面曲線として設定することにより、曲面解析の精度が向上し、法線を更に正確に求めることが可能となる。
【００１４】
上記曲面作成方法において、前記基準点における前記主断面曲線の接線に直交する線と前記従断面曲線との交点に前記参照点を設定すると良い。
このように参照点を設定することにより、基準点を交点とする直交座標を設定することが可能となるので、曲面解析の演算処理を簡便化することが可能となる。
【００１５】
上記曲面作成方法において、前記主断面曲線上に設定した前記基準点と各前記参照点において、各点間の弧長は略等しく、各前記従断面曲線上に設定した各前記参照点において、各点間の弧長が略等しいことが好ましい。
このように参照点を設定することにより、曲率の変化が小さくなるように参照点を設定することが可能となるので、曲面解析の演算を簡便化することが可能となる。
【００１６】
本発明は、断面曲線群から曲面を作成するための曲面作成プログラムであって、前記断面曲線群の各断面曲線上に設定した複数の基準点における法線を求める法線算出処理と、前記法線を用いて曲面を作成する曲面作成処理とをコンピュータに実行させるための曲面作成プログラムを提供する。
このようなプログラムをハードウェア資源を用いて実行することにより、各断面曲線上に設定した各基準点における法線がそれぞれ求められ、これら法線の情報に基づいて曲面が作成されるので、曲面を高い精度で作成することが可能となる。また、最終的に作成される曲面は微細な曲面の集合体としてではなく、一つの曲面として表現されるので、データ量を大幅に削減することができる。
【００１７】
本発明は、断面曲線群から曲面を作成するための３次元形状処理装置であって、前記断面曲線群の各断面曲線上に設定した複数の基準点における法線を求める法線算出手段と、前記法線を用いて曲面を作成する曲面作成手段とを具備する３次元形状処理装置を提供する。
このような３次元形状処理装置によれば、各断面曲線上に設定した各基準点における法線をそれぞれ求め、これら法線の情報に基づいて曲面を作成するので、曲面作成の精度を向上させることが可能となる。また、最終的に作成される曲面は微細な曲面の集合体としてではなく、一つの曲面として表現されるので、データ量を大幅に削減することが可能となる。
【発明の効果】
【００１８】
本発明によれば、データ量の軽減を図るとともに、曲面生成の精度を向上させることができるという効果を奏する。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１９】
以下に、本発明に係る曲面作成方法の一実施形態について、図面を参照して説明する。
図１は、本実施形態に係る曲面作成方法を実現するための３次元形状処理装置の概略構成を示したブロック図である。図１に示すように、本実施形態に係る３次元形状処理装置は、ＣＡＤ（Computer  Aided  Design）やＣＡＭ（Computer  Aided  Manufacturing）などのコンピュータシステムであり、ＣＰＵ（中央演算処理装置）１、ＲＡＭ（Random  Access  Memory）などの主記憶装置２、ＨＤＤ（Hard Disk Drive）などの補助記憶装置３、キーボードやマウスなどの入力装置４、及びモニタやプリンタなどの出力装置５などを備えて構成されている。
補助記憶装置３には、各種プログラムが格納されており、ＣＰＵ１が補助記憶装置３からプログラムをＲＡＭなどの主記憶装置２に読み出し、実行することにより種々の処理を実現させる。
【００２０】
次に、上述のような構成を備える３次元形状処理装置において、断面曲線群から曲面を生成する曲面作成方法について、図面を参照して説明する。なお、以下に示す処理は、例えば、ＣＰＵが補助記憶装置３に格納されている曲面作成プログラムをＲＡＭなどの主記憶装置２に読み出して実行することにより実現されるものである。
まず、図２のステップＳＡ１において、ＣＰＵ１は、複数の断面曲線からなる断面曲線群データを取得する。この断面曲線群データの取得方法については特に限定されず、例えば、補助記憶装置３などのメモリに予め格納されているデータを読み出すようにしても良いし、他の外部装置からオンラインにて取り込むようにしても良い。また、断面曲線群データは点列データの集まりとしてデータ表現されていても良く、関数により表現されていても良い。
【００２１】
図２のステップＳＡ２では、基準点設定処理を実行する。この処理は、図３に示すように、上記断面曲線群の中から一の断面曲線（以下、任意に設定されたこの断面曲線を「主断面曲線」という。）を選択し、この主断面曲線上に任意の点Ｐ（以下、この点を「基準点」という。）を設定する。
【００２２】
図２のステップＳＡ３では、参照点設定処理を実行する。
この処理では、図４に示すように、上記主断面曲線上に基準点Ｐと重複しない２つの参照点Ｐ１、Ｐ２を設定し、更に、主断面曲線とは異なる２つの従断面曲線を選択し、各従断面曲線上に３つの参照点をそれぞれ設定する。本実施形態では、図２に示すように、一方の従断面曲線上に３つの参照点Ａ１、Ａ、Ａ２を設定し、他方の従断面曲線上に３つの参照点Ｂ１、Ｂ、Ｂ２を設定している。
【００２３】
このとき、図５に示すように、従断面曲線として主断面曲線の隣の曲線を選択することが好ましい。このように、主断面曲線に隣り合う断面曲線を従断面曲線として設定するので、作成される曲面の面積を小さくすることが可能となる。これにより、高い精度で曲面を作成することが可能となる。
【００２４】
更に、従断面曲線における参照点Ａ、Ｂは、図５に示すように基準点Ｐにおける主断面曲線の接線に直交する線を設定し、この線と各従断面曲線との交点に設定することが好ましい。このように参照点を設定することにより、基準点を交点とする直交座標を設定することが可能となるので、曲面解析の演算を簡便化することが可能となる。
【００２５】
また、この参照点Ａと同一曲線上に設定される参照点Ａ１、Ａ２は、各参照点Ａ１、Ａ２と参照点Ａとを結ぶ弧長が断面曲線の間隔に略等しくなるように設定されることが好ましい。このように各参照点を設定すると、曲率の変化を略同じくすることができるので、後段処理で行われる曲面解析の演算を簡便化することが可能となる。また、参照点Ｂと同一曲線上に設定される参照点Ｂ１、Ｂ２についても同様である。
【００２６】
続いて、図２のステップＳＡ４では、法線算出処理を実行する。この処理では、基準点Ｐ及び各参照点Ｐ１、Ｐ２、Ａ、Ａ１、Ａ２、Ｂ、Ｂ１、Ｂ２からなる９点の座標情報を用いて曲面解析を行うことにより、図６に示すように基準点Ｐにおける法線ｎを求める。
【００２７】
曲面解析では、例えば、法線、主曲率、ガウス曲率等を演算により求める。具体的には、少なくとも９個の座標情報を用いて微分演算等を行うことにより曲面の特徴量である第１次規格量、第２次規格量を求め、これらの規格量を用いて法線、主曲率（最小曲率、最大曲率）、平均曲率、ガウス曲率等を求める。
【００２８】
以下、第１次規格量、第２次規格量について簡単に説明する。
まず、図７に示すような曲面セグメント或いは曲面パッチは、次式（１）のパラメータ形式で表される。
S(u,v)={x(u,v),y(u,v),z(u,v)}    ０≦u, v≦１          （１）
ここで、ｕとｖとの間に何らかの関数関係があるとS(u,v)は曲面上の曲線を表すこととなる。ｕ＝一定のS(u,v)は曲面上の曲線族、ｖ＝一定のS(u,v)は、別の曲線族となりこれらは曲面上の曲線網を形成することとなる。通常、曲面上の任意の点は、図７に示すように２曲線の交点で決定され、この各々の曲線は上述の曲線族に含まれる。
【００２９】
一般的に、偏導関数の∂S(u,v)／∂ｕは、ｕ＝一定の曲線の接線ベクトルを表し、∂S(u,v)／∂ｖは、ｖ＝一定の曲線の接線ベクトルを表す。これらは簡単のため、一般的にＳｕとＳｖと示され、曲面の基本ベクトルと呼ばれる。
この基本ベクトルは、曲面の接平面を形成する。例えば、曲面上の２点のS(u,v)からS(u+du,v+du)を結ぶベクトルdsは、次式（２）で与えられる。
【００３０】
ds=Ｓudu＋Ｓvdv          （２）
【００３１】
また、dsの絶対値の自乗は次式（３）となる。
【００３２】
（ds）2＝ds・ds＝Ｓu２（du）２＋２Ｓu・Ｓvdudv＋Ｓv２（dv）２          （３）
そして、上記曲面の基本ベクトルより、次の量が定義される。
【００３３】
Ｅ＝Ｓu２、Ｆ＝Ｓu・Ｓv、Ｇ＝Ｓv２
【００３４】
上記Ｅ、Ｆ、Ｇは第１次規格量と呼ばれる。これらＥ，Ｆ，Ｇを用いると上記（３）式は以下の（４）式にて表すことができる。
【００３５】
ds2＝Ｅ（du）２＋２Ｆdudv＋Ｇ（dv）２          （４）
【００３６】
次に、図８に示すような曲面Ｗ上の点Ｐにおける接線ベクトルの線束は、そこでの接平面内にある。従って、単位接線ベクトルｔの一つは、上記（２）式に基づき以下の（５）式のように表される。
【００３７】
【数１】
2007156604.tif 000003
【００３８】
ここで、ds＝｜ds｜であり、また、tとｎ（法線）とで決まる平面を法平面という。法平面による曲面Ｗとの交差（交線）を法断面という。これは、平面曲線である。
法断面上のＰ点における曲率κは、点Ｐにおける法曲率と呼ばれ、次のようにして得られる。まず、tを法断面の弧長sで微分すると、以下の（６）式を得る。
【００３９】
【数２】
2007156604.tif 000004
【００４０】
上記（６）式に法線ベクトルｎをかけると、これらは接平面上にあることから、右辺の第１と第２項が消去できる。そして、以下に示す第２次規格量と呼ばれる以下の（７）式に示す記号を代入すると、（８）式の関係式を得る。
【００４１】
【数３】
2007156604.tif 000005
【００４２】
【数４】
2007156604.tif 000006
【００４３】
そして、上述の（４）式を用いると、上記（８）式は以下の（９）式のように表される。
【００４４】
【数５】
2007156604.tif 000007
【００４５】
上述のように、曲面を定義する際に必要となる第１次規格量Ｅ、Ｆ、Ｇはｕ，ｖの１階微分により表され、また、第２次規格量Ｌ、Ｍ、Ｎは、ｕ，ｖの２階微分により表される。従って、曲面解析処理では、基準点設定処理及び参照点設定処理にて設定された合計９個の点の座標情報をもとにベクトル・テンソル演算を行うことにより、上述の第１次規格量Ｅ、Ｆ、Ｇ及び第２次規格量Ｌ、Ｍ、Ｎを求め、更に、これら規格量を用いて、曲面を特定するための特徴量である法線ｎ、主曲率κ１及びκ２、ガウス曲率Ｋｇ、平均曲率Ｋｍ等を演算により求めることが可能となる。
【００４６】
法線ｎ、ガウス曲率Ｋｇ、平均曲率Ｋｍ、最大曲率κ１、最小曲率κ２は、上記第１次規格量Ｅ、Ｆ、Ｇ及び第２次規格量Ｌ、Ｍ、Ｎを用いて以下の（１０）式乃至（１４）式にて与えられる。
【００４７】
【数６】
2007156604.tif 000008
【００４８】
ここで、法線ｎ、ガウス曲率Ｋｇ、平均曲率Ｋｍ、最大曲率κ１、最小曲率κ２について説明する。
上述のように、図８に示すような曲面Ｗ上の点Ｐにおいて、接平面に垂直に立てられた単位ベクトルを単位法線ベクトルｎ、この単位法線ベクトルｎを含む平面を法平面、この法平面と曲面Ｗとの交線を法断面という。この法断面の微分を曲率（以下、この曲率を「法曲率」という。）として、法平面を単位法線ベクトルｎの周りに回転させると、その回転角θと曲率との関係が、例えば、図９に示すようなグラフとして得られる。
【００４９】
ここで、最大曲率κ１及び最小曲率κ２を点Ｐにおける曲面Ｗの主曲率と呼び、これら主曲率κ１及びκ２を乗算した値がガウス曲率Ｋｇ、平均した値が平均曲率Ｋｍとなる。なお、上記ガウス曲率Ｋｇ及び平均曲率Ｋｍにより、曲面Ｗの形状を把握することができる。図１０に、ガウス曲率と平均曲率とにより決定される形状の一例を示す。この図に示すように、ガウス曲率Ｋｇ＝０であれば、つまり、一方又は両方の主曲率がゼロであれば、曲面Ｗは可展面となる。また、ガウス曲率Ｋｇがマイナスの値を取れば、曲面Ｗは鞍型であり、逆に、ガウス曲率Ｋｇがプラスの値を取れば、曲面Ｗは皿型となる。
【００５０】
上記のごとく、断面曲線上に設定した基準点における曲面の特徴量（法線、主曲率等）が得られると、図２のステップＳＡ５において、現在の主断面曲線上において、所定数（予め設定されている値である）の法線が求められたか否かを判定する。この結果、当該手段面曲線上において所定数の法線が求められていなかった場合には、ステップＳＡ１に戻り、当該主断面曲線上に新たな基準点を設定し、上記ステップＳＡ２以降の処理を行なう。
【００５１】
一方、ステップＳＡ５において、所定数の法線が求められていた場合には、ステップＳＡ６に移行し、断面曲線群を構成する全ての断面曲線に対して所定数の法線が求められたか否かを判断する。この結果、全ての断面曲線上において所定数の法線が求められていない場合には、ステップＳＡ１に戻り、他の断面曲線を主断面曲線として選択し、ステップＳＡ２以降の処理を行う。
【００５２】
そして、断面曲線群を構成する全ての断面曲線上において所定数の法線が求められると、ステップＳＡ７へ移行し、曲面作成処理を行う。
この曲面作成処理では、例えば、曲面解析処理にて求められた複数の法線ｎ等の情報を用いて、これらの曲面の特徴量の条件を満たす曲面が作成される。
例えば、各基準点における主曲率を用いて、これらの主曲率をそれぞれ接続することにより、曲率線を作成する。これにより、断面曲線群を含む曲面上に、直交座標系のメッシュを作成することができる。そして、この曲率線を用いて曲面再生技術により、曲面を生成する。例えば、曲率線に基づいて、ガウス写像・逆写像を行い、曲面を生成する。具体的には、ユークリッド幾何が成り立つパラメータ空間への座標変換を行った後、曲面の補間をすることにより曲面を生成する。
【００５３】
または、上記曲率線に代わって測地線、等高線、等傾斜線等を用いて曲面作成を行っても良い。測地線であれば、法線が一定である線を描くことができるので、パッチ曲面の歪みを最小限にすることができる。また、等高線によれば、従来の水平断面線による面貼りと類似した作用効果を得ることができる。更に、等傾斜線によれば、曲面の傾斜角が一定である線を描くことができるので、ＮＣ切削パス生成などに利用することが可能となる。
【００５４】
或いは、法線と断面曲線とに基づいて軌道曲線を設定し、特許文献１に開示されている技術を用いることにより曲面を作成しても良い。
【００５５】
以上説明してきたように、本実施形態に係る曲面作成方法によれば、主断面曲線及び従断面曲線上に設定した９個の座標情報に基づいて曲面解析を行い、これにより、法線の情報を初めとする各種曲面を定義づける特徴量を得、これらの特徴量に基づいて曲面を作成するので、非常に高い精度で曲面を作成することが可能となる。この結果、従来必要であったオペレータ等による補正作業が不要となり、曲面作成の時間を短縮することができるとともに、オペレータ等の労力負担を軽減させることができる。
更に、本実施形態に係る曲面作成方法によれば、曲面を微小な曲面の集合体ではなく、１つの曲面として表現することが可能となるため、従来に比べてデータ容量を非常に小さくすることができる。
【００５６】
以上、本発明の実施形態について図面を参照して詳述してきたが、具体的な構成はこの実施形態に限られるものではなく、本発明の要旨を逸脱しない範囲の設計変更等も含まれる。
例えば、上述した実施形態では、９個の点を設定したが、９個以上の点を設定し、９個以上の点の座標情報に基づいて曲面解析等を行っても良い。
また、曲面作成処理における曲面作成手法は一例であり、その他の手法を用いることにより曲面を示す特徴量から曲面を作成するようにしても良い。
【図面の簡単な説明】
【００５７】
【図１】本発明の一実施形態に係る３次元形状処理装置の概略構成を示すブロック図である。
【図２】本発明の一実施形態に係る曲面作成方法の処理手順を示したフローチャートである。
【図３】基準点設定処理を説明するための図である。
【図４】参照点設定処理を説明するための図である。
【図５】参照点設定処理の好ましい形態を説明するための図である。
【図６】曲面解析処理において求められた法線の一例を示した図である。
【図７】ｕ−ｖパラメータ空間におけるパッチを示す図である。
【図８】ガウス曲率などを説明するための図である。
【図９】図４に示した曲面における法断面の微分を曲率として、法平面を単位法線ベクトルｎの周りに回転させることにより得られた回転角θと曲率との関係を示す図である。
【図１０】ガウス曲率と平均曲率とにより決定される形状の一例を示す図である。
【符号の説明】
【００５８】
１  ＣＰＵ
２  主記憶装置
３  補助記憶装置
４  入力装置
５  出力装置
【図１】
2007156604.tif 000009
【図２】
2007156604.tif 000010
【図３】
2007156604.tif 000011
【図４】
2007156604.tif 000012
【図５】
2007156604.tif 000013
【図６】
2007156604.tif 000014
【図７】
2007156604.tif 000015
【図８】
2007156604.tif 000016
【図９】
2007156604.tif 000017
【図１０】
2007156604.tif 000018