(57)【要約】【課題】集積リスクモデルを、組み込まれているスタンドアロンモデルと整合性があるように強制する数学的手法の方法および装置であって、共分散行列の部分行列を修正するための最適化された方法および装置を提供すること。【解決手段】集積リスクモデルをスタンドアロンモデルに整合させる発明が提供される。共分散行列のクロスブロックを最小に変更し、元のクロスブロックの相関関係における情報を、定められた修正されたサブブロックとの整合性があるままに保持する、直交群全体の中でパラメータ化された修正変換と、直交群全体の中で最小化された目的関数とが提供される。【特許請求の範囲】
【請求項１】
集積リスクモデルをスタンドアロンモデルとの整合性があるように修正する方法であって、当該方法が、
当該集積リスクモデルのそれぞれがスタンドアロンモデルとの整合性がある、可能な集積リスクモデルの空間を形成するステップと、
当該空間内の当該各集積リスクモデルを、直交群の積の中の点として表すステップと、
前もって定められた目的関数を使用して、当該直交群の積の中で最良の代表点を検索するステップと、
当該直交群の積の中の当該最良の代表点を、当該集積リスクモデル空間内の対応する点に逆方向に写像することによって、スタンドアロンモデルとの整合性がある当該修正された集積リスクモデルを得るステップと、
を有する、方法。
【請求項２】
最良手段クロスブロックの影響が、最小限である、請求項1の方法。
【請求項３】
当該直交群の積における当該最良の代表点の当該検索を、コンピュータプログラムおよびコンピュータを使用して行うステップを、さらに、有する、請求項1の方法。
【請求項４】
当該前もって定められた目的関数が、使用者の要望に応じて柔軟に選択される、請求項1の方法。
【請求項５】
一連の命令を表すデータが格納されている機械可読媒体であって、前記一連の命令がプロセッサによって実行されると、プロセッサが、以下のステップ、すなわち、
当該集積リスクモデルのそれぞれがスタンドアロンモデルとの整合性がある、可能な集積リスクモデルの空間を求めるステップと、
当該空間内の当該各集積リスクモデルの表現を直交群の積の中の点として求めるステップと、
前もって定められた目的関数を使用して、当該直交群の積の中で最良の代表点を検索するステップと、
当該直交群の積の中の当該最良の代表点を、当該集積リスクモデル空間内の対応する点に逆方向に写像することによって、スタンドアロンモデルとの整合性がある当該修正された集積リスクモデルを求めるステップと、
を実行する、機械可読媒体。
【請求項６】
最良の手段クロスブロックの影響が、最小限である、請求項5の機械可読媒体。
【請求項７】
直交群
2004534305.tif 000132
によって、
2004534305.tif 000133
の場合のパラメータ化
2004534305.tif 000134
を介して、
2004534305.tif 000135
の単純な修正変換の空間をパラメータ化する方法であって、当該方法が、
平方根
2004534305.tif 000136
および
2004534305.tif 000137
の、ある選択に対して
2004534305.tif 000138
である場合に限り、行列Ｌを、当該
2004534305.tif 000139
の単純な修正変換とし、
ｎを
2004534305.tif 000140
の次元とし、
そのようなＬまたは
2004534305.tif 000141
それぞれが、
2004534305.tif 000142
の単純な修正変換であることを実証するために直接的に計算し、
逆に、Ｌが形式
2004534305.tif 000143
をとると仮定し、かつ、
2004534305.tif 000144
が、
2004534305.tif 000145
であることを意味する状態で、Ｌが
2004534305.tif 000146
の単純な修正変換であるとし、
2004534305.tif 000147
および
2004534305.tif 000148
が対称かつ半正定値であるので、
2004534305.tif 000149
を
2004534305.tif 000150
と書き直し、
2004534305.tif 000151
と設定し、
2004534305.tif 000152
が
2004534305.tif 000153
となるようにし、これによって
2004534305.tif 000154
となり、かつ従って、Ｌが明らかに一対一となる場合に、Ｌが形式
2004534305.tif 000155
となる、
方法。
【請求項８】
請求項7の方法であって、当該方法が、
単純な修正変換を特徴付けるステップであって、当該変換が、
平方根
2004534305.tif 000156
および
2004534305.tif 000157
の、ある選択に対して
2004534305.tif 000158
である場合に限り、行列Ｌが
2004534305.tif 000159
の単純な修正変換であり、かつ、
ある
2004534305.tif 000160
に対して
2004534305.tif 000161
であるとし、従って
2004534305.tif 000162
かつ
2004534305.tif 000163
である、
ことによって、集積モデルの共分散行列の1つの対角ブロックのみを修正する、ステップ、
をさらに有する、方法。
【請求項９】
請求項7の方法であって、当該方法が、共分散行列の複数のサブブロックを修正するために、
空間の修正変換を、当該単純な修正変換の積とし、
2004534305.tif 000164
を、修正を必要とする当該サブブロックの次元とし、かつ、
当該修正変換の当該空間を、パラメータ化
2004534305.tif 000165
を介して、直交群の積
2004534305.tif 000166
よってパラメータ化するステップ、
をさらに有する、方法。
【請求項１０】
集積リスクモデルの共分散行列
2004534305.tif 000167
の前記クロスブロックを最小に変更する修正変換を求める方法であって、当該修正変換が、元のクロスブロックの相関関係におけるできる限り多くの情報を、所定のサブブロック
2004534305.tif 000168
との整合性があるまま保持し、当該方法が、
目的関数
2004534305.tif 000169
を選択するステップであって、ｍがＣの要素の数であり、かつ
2004534305.tif 000170
が、構成要素の二乗の合計の平方根によって与えられる行列ノルムを表す、ステップと、
等価かつより便利な関数
2004534305.tif 000171
を最小化するステップと、
2004534305.tif 000172
が行列の値が +1である直交行列の群であって、直交群
2004534305.tif 000173
と単位行列を含む
2004534305.tif 000174
との結合されている構成要素に配慮を制限するステップと、
2004534305.tif 000175
を、
2004534305.tif 000176
の次元とし、
2004534305.tif 000177
の場合に、
2004534305.tif 000178
における
2004534305.tif 000179
面における角度
2004534305.tif 000180
の回転を
2004534305.tif 000181
によって表す（右手の法則）ステップであって、このような別個の座標面がＮ個存在する、ステップと、
2004534305.tif 000182
のすべての要素を、ある角度
2004534305.tif 000183
の場合のＮ回転の積
2004534305.tif 000184
として表すステップと、
2004534305.tif 000185
にLevenberg-Marquardt最小化手法を適用するステップであって、
前記方法が収束する場合には、結果が、gが少なくとも極小値を有する値
2004534305.tif 000186
であり、従って単純な修正変換
2004534305.tif 000187
が
2004534305.tif 000188
または別のランダムな選択よりも良好である可能性が高い、
ステップ、
を有する、方法。
【請求項１１】
整合性のあるリスク予測と集積因子モデルを作成するシステムであって、当該システムが、
入力データをプロセッサに入力するおよび／または転送することができるように動作する入力デバイスと、
当該入力データの操作の、人間が可読の結果を表示する出力デバイスと、
それぞれ、当該入力デバイスと当該プロセッサの間と、当該出力デバイスと当該プロセッサの間の通信バスと、
メモリを有する当該プロセッサであって、当該メモリが、直交群
2004534305.tif 000189
によって、
2004534305.tif 000190
の場合のパラメータ化
2004534305.tif 000191
を介して、単純な修正変換
2004534305.tif 000192
の空間をパラメータ化するためのプログラムを格納し、当該プログラムが、一連の命令を実行し、前記一連の命令が当該プロセッサによって実行されると、プロセッサが、非対角ブロックを最も小さく変更する前記修正変換を見つけるために前記直交群全体の中での前記検索のステップを実行する、プロセッサと、
を有する、システム。
【請求項１２】
当該一連の命令が、
非対角ブロックを最も小さく変更する前記修正変換を見つけるために直交群の積全体の中で検索するステップ、
をさらに有する、請求項11のシステム。
【請求項１３】
当該入力データと当該出力結果が、行列の形式である、請求項11のシステム。
【請求項１４】
整合性のあるリスク予測と集積因子モデルを作成する方法であって、当該方法が、
入力データをプロセッサに入力するおよび／または転送することができるように動作する入力デバイスを設けることと、
当該入力データの操作の、人間が可読の結果を表示する出力デバイスを設けることと、
それぞれ、当該入力デバイスと当該プロセッサの間と、当該出力デバイスと当該プロセッサの間の通信バスを設けることと、
当該プロセッサにメモリを設けることであって、直交群
2004534305.tif 000193
によって、
2004534305.tif 000194
の場合のパラメータ化
2004534305.tif 000195
を介して、単純な修正変換
2004534305.tif 000196
の空間をパラメータ化するためのプログラムを格納し、当該プログラムが、一連の命令を実行し、前記一連の命令が当該プロセッサによって実行されると、当該プロセッサが、非対角ブロックを最も小さく変更する前記修正変換を見つけるために前記直交群全体の中での前記検索のステップを実行する、メモリを設けることと、
を有する、方法。
【請求項１５】
当該一連の命令が、
非対角ブロックを最も小さく変更する前記修正変換を見つけるために直交群の積全体の中で検索するステップ、
をさらに有する、請求項14の方法。
【請求項１６】
当該入力データと当該出力結果が、行列の形式である、請求項14の方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、リスクモデルの集積に関する。より詳細には、本発明は、組み込まれているスタンドアロンモデルに集積リスクモデルを整合させる数学手法の方法および装置に関する。
【背景技術】
【０００２】
私の投資は、一隻の船にかかっているわけではない。
取引先も一箇所だけではない。それに、全財産が、
今年の商いの運・不運に左右されるわけでもない。
だから、船荷のことでも気落ちしたりしないさ。
ウィリアムシェイクスピア、ベニスの商人（1598年）
【０００３】
シェイクスピアは、投資には常に危険性が伴うことを気づかせてくれる。長い間、投資家は分散投資の重要性を認識してきた。この考え方は、H. Markowitzの研究「平均分散最適化の誕生（The Birth of Mean-Variance Optimization（7.1, 77〜91））」（Portfolio Selection、Journal of Finance、1952年）によって、定量的な形式をとった。それ以来、ポートフォリオの集積リスクを推測する問題に対処するために、ますます洗練された数学的および統計的ツールが登場してきた。
【０００４】
ポートフォリオの集積リスクは、ポートフォリオの構成資産(constituent asset)の共分散に決定的に依存する。残念ながら、現実の状況においては関与する共分散が多すぎるため、過去のデータからこれらのすべてを直接的に推定することは不可能である。因子モデルは、多数の資産の共分散を少数の因子の共分散によって表すことによって、この困難を克服する。
【０００５】
因子モデルは、次のように線形回帰により定義される。
2004534305.tif 000002
【０００６】
この式において、ｙは、分散と共分散に推定が必要である資産収益のベクトルであり、ｘは、分散と共分散を高い信頼性で推定することのできる収益因子のベクトルであり、Ａは、因子に対する資産の感度を記述する先験的に指定される行列である。誤差のベクトル
2004534305.tif 000003
は、通常は対角共分散行列Ｄと共に正規分布するものと想定される。このモデルは、資産の共分散行列
2004534305.tif 000004
を、
2004534305.tif 000005
として推定し、この式において、
2004534305.tif 000006
は因子の共分散の行列である。この行列
2004534305.tif 000007
の次元は、過去のデータから共分散を合理的に推定することができる程度に十分に小さい。
【０００７】
定量的なリスク管理がより高度になるに従って、因子モデルはより微細に記述されるようになった。同時に、モデルが広がり、すなわち、大きな会社がその「総リスク」を予測するためには、多数の資産クラスと市場を包含する大きなモデルが必要になった。これらの両方の傾向によって、因子の数が増大し、（この場合には資産ではなく因子の間の）共分散の数が、正確に推定できる程度を超えている。
【０００８】
この問題は、以前に機能した考え方を繰り返すことによって対処することができる。因子モデル自体は、より小さい因子モデルから構築することができる。しかしながら、この手法では、新たに整合性に関する一連の困難が入り込む。この問題を説明するため、米国株式と確定所得証券から成るポートフォリオのリスクを推定するための因子モデルを構築することを考える。さらに、株式と確定所得有価証券とを個別に扱う優秀なスタンドアロンの因子モデルがすでに存在しているとする。集積因子モデルは、スタンドアロンの因子モデルとほぼ確実に矛盾する。この不一致の原因として、繰り返し式の因子構造、データの量および頻度の差異、各スタンドアロンモデルに固有な統計的方法における衝突などがあげられる。このような不一致が望ましくない理由として、不一致に起因して、投資リスクの同じ情報源に対する見解が会社の階層ごとに異なりうることがあげられる。
【０００９】
集積モデルとスタンドアロンモデルの間で整合性を確立する数学的手法を提供すること、すなわち有意の詳細を犠牲にすることなく全体を達成することは、有利となるであろう。より詳細には、集積リスクモデルをスタンドアロンモデルとの整合性があるように修正することは有利であろう。残念なことに、強制的に整合させると、ほとんど常に、集積モデルにおいて共分散情報が壊れる。問題は、損傷を最小化することである。
【００１０】
【非特許文献１】
H. Markowitzの研究「平均分散最適化の誕生（The Birth of Mean-Variance Optimization（7.1, 77〜91））」（Portfolio Selection、Journal of Finance、1952年）
【発明の開示】
【課題を解決するための手段】
【００１１】
本発明は、集積リスクモデルを、組み込まれているスタンドアロンモデルと整合性があるように強制する数学的手法の方法および装置に関する。より詳細には、本発明は、共分散行列の部分行列（本文書においてはサブブロックとも称される）を修正するための最適化された方法および装置を提供することである。スタンドアロンモデルに対応する対角部分行列それぞれを、修正されたバージョンによって上書きするための、変数の特殊な線形変更(linear change)（修正変換と称される）が導入される。修正変換の空間は、特定のパラメータ化を介して直交群の積によってパラメータ化可能であることが示されている。共分散行列のクロスブロック（すなわち非対角ブロック）を最小に変更し、従って、元のクロスブロックの相関関係におけるできるだけ多くの情報を、所定の上書きと整合性があるまま保持する修正変換が提供される。クロスブロック情報の消失を定量化する目的関数が指定され、直交群全体の中で最小化される。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１２】
本発明は、集積リスクモデルを、組み込まれているスタンドアロンモデルに整合させる数学手法の方法および装置に関する。より詳細には、本発明は、一致が得られるようにスタンドアロンモデルに対応する対角部分行列を修正するための最適化された方法および装置を提供することである。対角部分行列それぞれが修正されたバージョンによって上書きされ、特定の対角部分行列が修正されるために他の部分行列が影響されない、変数の特殊な線形変更が導入される。単純な修正変換の空間が、特殊なパラメータ化を介して直交群の積によってパラメータ化可能であることが示されている。共分散行列のクロスブロック（すなわち非対角ブロック）を最小に変更し、これによってクロスブロックの相関関係における元の情報をできるだけ多く保持する修正変換が探索される。情報の消失を特徴付ける(characterize)目的関数が提供され、直交群の積全体の中で最小化される。
【００１３】
本発明を理解するうえでの重要な部分は、集積リスクモデルの概念を理解することと、それに関連するいくつかの定義を認識することである。
【００１４】
集積リスクモデルと例
多くの場合、集積リスクモデルの基礎をなす因子のベクトルは、有意のサブベクトルに分解することができる。例えば、1つの因子モデルが、複数の市場または資産タイプをカバーすることができる。これに代えて、統計的な特性が、因子の特定の群を区別しても良い。
【００１５】
定義：集積因子モデルとは、因子fのベクトルが次のようにサブベクトルに分解される因子モデルである。
2004534305.tif 000008
【００１６】
因子fの共分散行列を
2004534305.tif 000009
とする。等式(3)における分解によって、共分散行列はブロック構造となる。
【００１７】
2004534305.tif 000010
のi番目の対角ブロック
2004534305.tif 000011
には、サブセット
2004534305.tif 000012
における因子の間の共分散のサブセットが含まれる。クロスブロックの共分散は、
2004534305.tif 000013
に含まれていない
2004534305.tif 000014
の要素である。
【００１８】
集積リスクモデルをスタンドアロンモデルとの整合性があるように修正することの問題について、2つの例、すなわち通貨ブロックの例とグローバル株式モデルの例を、以下に示す。
【００１９】
通貨ブロックの例
第一の例は、通貨のリスクに関連するものである。投資適格債(investment-grade bond)の非ヘッジの国際ポートフォリオの収益における変動の相当な額は、通貨交換比率における変化に起因する。従って、国際リスクモデルには、通貨リスクと、金利およびクレジットスプレッド(credit spread)における変化に起因するリスクとを考慮するための因子が必要である。しかしながら、この2つのタイプの因子の統計的な特性はまったく異なる。通貨は、非常に変わりやすく、政権の変化の影響を受ける。この因子のリスク推定では、最近の高頻度のデータを利用する。しかしながら、地方市場の因子には、低頻度のデータと、より長期の記憶を有するモデルとを使用することが望ましい。
【００２０】
モデルを組み合わせるための1つの手法は、低頻度のデータに基づいて集積モデルの「第一草案」を構築し、次いで、個別に推定された、時間的に尺度化された(time-scaled)通貨リスクブロックを組み込むことである。残念なことに、これを行うための最も簡単な方法、すなわち、通貨ブロックの第一草案を高頻度のブロックによって単に上書きする方法では、通常、その結果として整合性のない共分散行列となる。矛盾は、多数の経路から生じうる。矛盾が現れる理由として、ある因子に帰せられている分散が小さすぎて、別のスタンドアロンモデルの因子を使用してその大きな共分散を考慮できないため、あるいは、同じスタンドアロンモデルからの別の因子と非常に強い相関関係があるが、2つの因子の挙動が別のスタンドアロンモデルからの第三因子に関連して非常に異なることが、非対角ブロックによって示されるため、があげられる。単純な上書きの結果としての「共分散行列」では、収益の望めないポートフォリオについては特徴的に負の分散予測（または標準偏差の想像上の予測）が作成され、他のポートフォリオの予測の質は絶望的に低下する。すなわち、通貨ブロックの上書きの現実的な手法では、クロスブロックの相関関係が必ず乱される。
【００２１】
本発明の好ましい実施例は、整合性を実現する単純な手法を提供する。この手法は、集積モデルの「第一草案」による収益予測とスタンドアロンモデルによる収益予測の間に線形関係があることを想定し、元のブロックから、この関係に従う修正された対角ブロックに変換する。本文書の例においては、変数の線形変更により、通貨ブロックの第一草案が、高い品質のスタンドアロンモデルバージョンによって上書きされる。必然的に、変数のこの変更によってクロスブロックの相関関係が乱される。
【００２２】
このことから、乱れをどれだけ小さくすることができるかという問いが生じる。変数の単純な線形変更を使用すると、通貨ブロックを忠実に組み込むことができ、このように組み込むときには、代表的にはクロスブロックの相関関係が
2004534305.tif 000015
だけ変化する。以下に説明されている最適化された手法を使用すると、変化の平均は約
2004534305.tif 000016
に減少する。
【００２３】
グローバル株式の例
グローバル株式の例は、グローバル株式のポートフォリオのリスクモデルに関連するものである。このようなリスクモデルの1つの例は、Barra社（カリフォルニア州バークレー）において現在使用されているモデルである。Barra社のグローバル株式モデルは、56の市場をカバーし、1274の因子を有する。上述されている「因子モデルの繰り返し」の構造的手法が採用されている。この結果は、偽の相関関係が回避されるリスクモデルの「第一草案」である。しかしながら、この第一草案では、1つの国の株式モデルと矛盾するサブモデル群が組み込まれたままである。この場合の問題は、多くの対角ブロックが同時に修正を必要とするため、前の例における問題よりも複雑である。この結果として、上記のグローバル確定所得証券と通貨の組み込み問題における約700の変数に対して、12,000以上の変数を伴う最適化問題になる。従って、問題の規模が圧倒的に大きいため、最適化ルーチンの修正について検討され、修正によってほぼ同じ結果が達成され、変数の数も大幅に低減される。複数のブロックを組み込むためのいくつかの単純化された手法は、節「複数ブロックの最適化」に説明されている。
【００２４】
最適化された単一ブロックの組み込み
本発明の1つの好ましい実施例は、各ブロックが配慮を必要とする唯一のブロックであるかのように、ブロックの組み込みを一度に1つ最適化する。通貨／グローバル確定所得証券の例の場合のように、本発明は、最適化されていない方法に対する著しい改良を提供する。
【００２５】
本発明のこの実施例を理解するため、ベクトル
2004534305.tif 000017
とuの単純な例を考え、この例において、
2004534305.tif 000018
は通貨因子を表し、
2004534305.tif 000019
は確定所得証券因子を表す。次に、そのようなランダムなベクトル
2004534305.tif 000020
の共分散行列を
2004534305.tif 000021
とし、この場合にベクトル
2004534305.tif 000022
とu に対して
2004534305.tif 000023
である。
【００２６】
本発明のこの実施例は、他の対角サブブロックに影響せずに共分散行列
2004534305.tif 000024
の対角サブブロックを上書きするステップを有する。しかしながら、クロスブロックは、次の節の変数の線形変更に示されているように影響される。
【００２７】
変数の線形変更
2004534305.tif 000025
は、ランダムベクトル
2004534305.tif 000026
の共分散行列であるとする。このことは、
2004534305.tif 000027
が対称かつ半正定値であることを意味する。
【００２８】
を、
2004534305.tif 000028
を満たす正則線形変換であるとする。
【００２９】
この場合、行列
2004534305.tif 000029
は、ランダムベクトルsの共分散行列である。この結果、
2004534305.tif 000030
は対称かつ半正定値である。
【００３０】
ランダム変数のベクトル
2004534305.tif 000031
を2つの部分
2004534305.tif 000032
に分解する。
【００３１】
この分解によって、共分散行列がブロック構造となる。
2004534305.tif 000033
【００３２】
この式において、
2004534305.tif 000034
と
2004534305.tif 000035
は、それぞれベクトル
2004534305.tif 000036
とuの共分散行列である。非対角ブロックＣには、
2004534305.tif 000037
のメンバーとuのメンバーの間の共分散が含まれる。この例は、通貨因子
2004534305.tif 000038
と固定確定所得証券因子
2004534305.tif 000039
への分解であることを念頭に置いておくこと。
【００３３】
本発明の好ましい実施例によると、対角部分行列
2004534305.tif 000040
は、修正されたバージョン
2004534305.tif 000041
によって上書きすることができる。この上書きは、次の形式の変換Ｌによって達成することができる。
2004534305.tif 000042
【００３４】
記号
2004534305.tif 000043
は、
2004534305.tif 000044
の対称性の平方根である。
【００３５】
2004534305.tif 000045
は、
2004534305.tif 000046
を満たす一意の半正定値の対称行列である。
【００３６】
記号
2004534305.tif 000047
は、
2004534305.tif 000048
の逆数である。行列
2004534305.tif 000049
と
2004534305.tif 000050
は必ず存在する。なぜなら、
2004534305.tif 000051
と
2004534305.tif 000052
が対称性の半正定値であるためである。
【００３７】
行列Ｌ
の特殊な形式に起因して、変換(5)では
2004534305.tif 000053
のブロック構造が維持される。行列
2004534305.tif 000054
は
2004534305.tif 000055
に置き換わり、
2004534305.tif 000056
はそのままである。修正された共分散行列は、
2004534305.tif 000057
である。
【００３８】
上の考察は、
2004534305.tif 000058
のブロック構造を維持する線形変換を行うことによって、対角サブブロックを他の対角サブブロックに影響することなく上書きできることを示している。しかしながら、クロスブロックは影響される。
【００３９】
上の議論から、次の2つの関連する問題が生じる。
1.  1つの対角ブロックしか修正しない一連の線形変換を特徴付けることができるか？
2.  修正変換のクロスブロックへの影響をどの程度小さくすることができるか？
これらのトピックは、それぞれ、以下の2つの節「修正変換」と「最適な修正変換」に説明されている。
【００４０】
修正変換
前の節の集積因子モデルの場合のように、
2004534305.tif 000059
を、
2004534305.tif 000060
の共分散行列とする。
【００４１】
2004534305.tif 000061
は
2004534305.tif 000062
に対応するサブブロックであり、
2004534305.tif 000063
は
2004534305.tif 000064
の修正されたバージョンであるとする。従って、1つの対角ブロックのみを修正する一連の線形変換を、以下に定義されるような単純な修正変換によって特徴付けることができる。さらに、このような一連の線形変換の単純な修正変換の空間を、以下の議論に示されているように、特定の直交群によってパラメータ化することができる。
【００４２】
本発明の好ましい実施例には、2つのさらなる定義が導入される。
【００４３】
定義：
2004534305.tif 000065
の単純な修正変換は、
2004534305.tif 000066
において
2004534305.tif 000067
を
2004534305.tif 000068
によって上書きし、かつu上の単位行列(identity)に制限し、その結果、相補的な対角ブロックが変更されないままとなるようにする、線形写像
2004534305.tif 000069
である。
【００４４】
定義：
2004534305.tif 000070
行列
2004534305.tif 000071
の平方根は、
2004534305.tif 000072
であるような
2004534305.tif 000073
行列である。
【００４５】
行列
2004534305.tif 000074
は、
2004534305.tif 000075
が対称性の半正定値である場合に限り平方根を持つ。また、
2004534305.tif 000076
がそのような
2004534305.tif 000077
の平方根であるのは、ある直交行列Ｏに対して
2004534305.tif 000078
である場合に限ることを示すことも難しくない。
【００４６】
本発明の好ましい実施例は、2つの部分から成る定理1と、それに対応する証明として以下に提示されている、単純な修正変換の特徴付けを提供する。
【００４７】
定理1：
(a) 行列Ｌは、平方根
2004534305.tif 000079
および
2004534305.tif 000080
の、ある選択に対して、
2004534305.tif 000081
である場合に限り、
2004534305.tif 000082
の単純な修正変換である。
【００４８】
(b)nは
2004534305.tif 000083
の次元であるとする。その場合、
2004534305.tif 000084
の単純な修正変換の空間は、
2004534305.tif 000085
の場合のパラメータ化
2004534305.tif 000086
を介して、直交群
2004534305.tif 000087
によってパラメータ化される。
【００４９】
定理1の証明：
直接的な計算から、そのような
または
2004534305.tif 000088
それぞれが
2004534305.tif 000089
の単純な修正変換であることが実証される。
【００５０】
逆に、Ｌは
2004534305.tif 000090
の単純な修正変換であるとする。仮定により、Ｌは、
2004534305.tif 000091
という形式をとる。
【００５１】
変換(5)は、
2004534305.tif 000092
であることを意味する。
【００５２】
2004534305.tif 000093
と
2004534305.tif 000094
は対称かつ半正定値であるため、式(12)は、次のように書き直すことができる。
2004534305.tif 000095
【００５３】
2004534305.tif 000096
と設定する。その場合、式(13)は、
2004534305.tif 000097
となり、これによって
2004534305.tif 000098
であり、従ってＬは形式
2004534305.tif 000099
となる。
【００５４】
Ｌは明らかに一対一であるため、これによって(b)が証明される。
(a)については、
が単純な修正変換であるなら、(b)によって、ある
2004534305.tif 000100
に対して
2004534305.tif 000101
であり、従って、
2004534305.tif 000102
かつ
2004534305.tif 000103
である。
【００５５】
最適な修正変換
変数の線形変更の節に提示されている第二の問いに対処するために、共分散行列
2004534305.tif 000104
のクロスブロックの相関関係を最小に変更する修正変換を見つけることが望まれる。このような修正変換では、元のクロスブロックの相関関係におけるできる限り多くの情報が、定められた(prescribed)サブブロック
2004534305.tif 000105
との整合性があるまま保持される。
【００５６】
本発明の好ましい実施例は、このようなモデル化の問題を非線形の最小化として数値的に扱う。目的関数は、
2004534305.tif 000106
に起因するクロスブロックへの変更の程度を測るように選択される。目的関数のこのような選択は、一般的には、相異なる変数の相対的な重要性に依存する。この分析のためには一般的な(generic)選択を行うことが適切であることが判明しており、例えば、
2004534305.tif 000107
に起因するクロスブロックの構成要素における平方二乗平均変化(root-mean-square change)、すなわち、
2004534305.tif 000108
である。この式において、ｍは、Ｃの要素の数、
2004534305.tif 000109
は、構成要素の二乗の合計の平方根によって与えられる行列ノルム(matrix norm)である。
【００５７】
この場合、関数
2004534305.tif 000110
を最小化することは、これと等価であり、かつより都合がよい。
従って、本発明の好ましい実施例は、直交群
2004534305.tif 000111
全体の中でｇを最小化する数値的な問題の解決策を提供する。この直交群は結合されていないが、この群を、行列の値が+1の直交行列からなるようにし、単位行列
2004534305.tif 000112
を含む結合されている構成要素に配慮を制限することができる点は、理解されるべきである。
目的関数ｇは、その形式が二乗の合計であるため、ニュートン法と最急降下法（W. Pressらの「C++における数値的手法（Numerical Recipes in C++）」（Cambridge、2002年）を参照）の混成であるLevenberg-Marquardt数値法に適する。この方法は、Ｏにおけるパラメータに対するｇの導関数の計算を必要とするため、偏導関数を計算するのに便利な
2004534305.tif 000113
のパラメータ化を行うことが望ましい。このようなパラメータ化は、一対一である必要はないが、群全体をカバーする必要がある。
【００５８】
本発明の好ましい実施例は、このような関数を提供し、これは以下のように定義される。
2004534305.tif 000114
は、
2004534305.tif 000115
の次元であるとする。
2004534305.tif 000116
の場合に、
2004534305.tif 000117
における
2004534305.tif 000118
面における角度
2004534305.tif 000119
の回転を
2004534305.tif 000120
によって表す（右手の法則）。このような別個の座標面がＮ個ある。本発明の好ましい実施例は、次の言明(assertion)を利用する。
2004534305.tif 000121
のすべての要素は、ある角度
2004534305.tif 000122
の場合のＮ回転の積
2004534305.tif 000123
として表すことができる。
ｈの偏導関数を計算することは相対的に容易であるため、Levenberg-Marquardt最小化手法は、
2004534305.tif 000124
に直接適用される。この方法が収束する場合には、結果は、
2004534305.tif 000125
が少なくとも極小値(local minimum)を持つ値
2004534305.tif 000126
となる。従って、単純な修正変換
2004534305.tif 000127
は、
2004534305.tif 000128
または別のランダムな選択よりも良好である可能性が高い。
【００５９】
複数ブロックの最適化
全体の問題においては、第一草案の共分散行列のサブモデル部分行列のすべてを調整することが望ましい。1つの手法は、単一ブロックの目的関数すべての合計を同時に最適化することである。この場合、修正変換は、単純な修正変換の積である。
これは次の結果につながる。
【００６０】
定理2：
(a)  修正変換は、単純な修正変換の積である。
(b)
2004534305.tif 000129
を、修正を必要とするブロックの次元であるとする。その場合、修正変換の空間は、パラメータ化
2004534305.tif 000130
によって、直交群の積
2004534305.tif 000131
によりパラメータ化される。
【００６１】
現実には、直交群の積の次元が大きすぎて、本発明のアルゴリズムによって実際には検索できない場合がある。従って、問題の次元を低減する手法を探る。
【００６２】
好ましい手法は、各サブモデルに1つの問題が対応する、一連の単一ブロックの問題を解決することである。
【００６３】
図1は、株券101および債券102と、それぞれの共分散行列103aおよび103bの単純な行列表現の線図で、これらの関係を示している。
【００６４】
図2は、多数の構成資産201とそれぞれの共分散行列202を単純に描写した、大きな線図である。
【００６５】
図3は、スタンドアロンモデルとの整合性がある可能な集積リスクモデルの空間301と直交群302との一対一の写像と、本発明による最適化プロセスにおいて使用される柔軟な目的関数303の線図である。目的関数の選択は柔軟であり、ある型に限定されることはないことは、理解されるべきである。目的関数は、クロスブロック内の項、すなわちクロス情報、すなわち相互作用(interactions)が最適化プロセスにおいて良好に保持される程度の評定または採点として機能する。図3は、直交群304の積の中の点であり、適用された目的関数303によって、スタンドアロンモデル305との整合性がある可能な集積リスクモデルすべての空間内の点に逆方向に写像された(mapped back)最良の点の一例を示す。
【００６６】
本発明は、特定の好ましい実施例を参照しながら詳細に説明されているが、本発明が属する技術分野における通常の技術を有する者には、添付されている請求項の精神および範囲から逸脱することなくさまざまな変更および改良を行うことができることは、理解されるであろう。
【図面の簡単な説明】
【００６７】
【図１】本発明による、株券および債券とそれぞれの共分散行列の単純な行列表現の線図である。
【図２】本発明による、多数の構成資産とそれぞれの共分散行列の単純化された描写のより大きな線図である。
【図３】スタンドアロンモデルと整合性のある可能な集積リスクモデルの空間301と直交群302の積との一対一の写像と、本発明による最適化プロセスにおいて使用される柔軟な目的関数303の線図である。
【符号の説明】
【００６８】
101  株券
102  債券
103a、103b  共分散行列
201  構成資産
202  共分散行列
301  集積リスクモデルの空間
302  直交群の積
303  目的関数
304  直交群
305  スタンドアロンモデル
【図１】
2004534305.tif 000197
【図２】
2004534305.tif 000198
【図３】
2004534305.tif 000199
【国際公開パンフレット】
2004534305.tif 000200
2004534305.tif 000201
2004534305.tif 000202
2004534305.tif 000203
2004534305.tif 000204
2004534305.tif 000205
2004534305.tif 000206
2004534305.tif 000207
2004534305.tif 000208
2004534305.tif 000209
2004534305.tif 000210
2004534305.tif 000211
2004534305.tif 000212
2004534305.tif 000213
2004534305.tif 000214
2004534305.tif 000215
2004534305.tif 000216
2004534305.tif 000217
2004534305.tif 000218
2004534305.tif 000219
2004534305.tif 000220
2004534305.tif 000221
2004534305.tif 000222
2004534305.tif 000223
2004534305.tif 000224
2004534305.tif 000225
2004534305.tif 000226
2004534305.tif 000227
2004534305.tif 000228
2004534305.tif 000229
【国際調査報告】
2004534305.tif 000230
2004534305.tif 000231