(57)【要約】任意の時間調和入射フィールド（例えば、レーダ波）の賦課に起因する、閉じられた任意形状の物体上における等価表面ソースモデリングするコンピュータプログラムプロダクト、装置及び方法。複数のパッチ３０２に分割された物体と物体３０４の入射フィールド及び特性のパラメータは、システムに提供される。次に、このシステムは、好条件化された境界積分方程式を好条件化された行列式という形態で離散化表示して、入射フィールドと物体３０６間の相互作用をモデリングする。この好条件化された線形システムを数値的に解いて、物体３０８上の等価表面ソースを決定する。次に、この等価ソースを用いて、３１０に起因する電場を決定する。本発明は、改善された計算効率及び増加したモデリング正確さを、必要な数値適性度を効果的に下げることによって提供する。
2004523014.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
プロセッサを有するコンピュータシステム中で用いられ、任意時間調和入射フィールドに対する任意形状３次元物体の電磁反応を、好条件化された境界積分方程式（ＢＩＥ）により、モデリングするコンピュータプログラムプロダクトであり、前記コンピュータプログラムプロダクトは：
ａ．記録媒体と；
ｂ．前記記録媒体上に記録され、好条件化されたＢＩＥを離散化表示させて、好条件化された有限次元線形システムであり、前記システムのソリューションは、前記任意時間調和入射フィールドによってもたらされたモデル上での等価表面ソースの分布を近似する、システムを提供する手段と；
ｃ．前記記録媒体上に記録され、前記線形システムを解いて、前記等価表面ソースの値を決定する手段であり、これによって、前記好条件化された有限次元線形システムのソリューションが、改善された計算効率とソリューション正確さを提供する、手段と；
を備える、コンピュータプログラムプロダクト。
【請求項２】
記録媒体上に記録されて、等価表面ソースに基づいて決定された時間調和入射フィールドによる３次元物体からの電磁散乱をモデリングする手段をさらに備える、請求項１に記載のコンピュータプログラムプロダクト。
【請求項３】
前記コンピュータプログラムプロダクトが、レーダ波面という形態における時間調和入射フィールドからの電磁散乱を決定するように調整され、前記３次元物体が車両のコンポーネントを表す、請求項２に記載のコンピュータプログラムプロダクト。
【請求項４】
生成されるＢＩＥが、次式の形態であり：
（Ｅ励起項目）＋γ（Ｈ励起項目）＝｛（Ｅ積分演算子項目）＋γ（Ｈ積分演算項目）｝
ここで、γは、複素定数であり、
Ｊは未知の表面ソース分布を表し、
（Ｅ励起項目）と（Ｅ積分演算子項目）は、ＡとＢから成るグループから選択された公式化であり、
Ａは、
（Ｅ励起項目）
2004523014.tif 000112
と
（Ｅ積分演算子項目）
2004523014.tif 000113
との合成を表し、
Ｂは、
（Ｅ励起項目）≡
2004523014.tif 000114
と
（Ｅ積分演算子項目）≡
2004523014.tif 000115
との合成を表し、
ここで、（Ｈ励起項目）と（Ｈ積分演算項目）は、Ａ’、Ｂ’及びＣ’から成るグループから選択された公式化であり、
Ａ’は、
（Ｈ励起項目）
2004523014.tif 000116
と
（Ｈ積分演算項目）
2004523014.tif 000117
との合成を表し、
Ｂ’は、
（Ｈ励起項目）
2004523014.tif 000118
と
（Ｈ積分演算項目）
2004523014.tif 000119
との合成を表し、
Ｃ’は、
（Ｈ励起項目）
2004523014.tif 000120
と
（Ｈ積分演算項目）
2004523014.tif 000121
との合成を表し、
ここで、
2004523014.tif 000122
ここで、
Ｊ≡Ｚｎ×Ｈは未知の表面電流；
ζは複素数；
ＥｉｎｃとＨｉｎｃは、それぞれ、入射電場と入射磁場；
2004523014.tif 000123
は、波インピーダンス；
Ｇ（ｋ；ｘ、ｘ’）＝ｅｘｐ（ｉｋｒ）／４πｒは３次ヘルムホルツ核であり、ここで、ｒ＝｜ｘ−ｘ’｜は、調和時間インピーダンスをｅ−ｉωｔと想定した場合のフィールドとソースポイントを分離する距離であり、ここで、
2004523014.tif 000124
ここで、
▽と▽’は、それぞれ、フィールドポイントｘとソースポイントｘ’での微分を表し、ｎ（ｘ）とｎ（ｘ’）は、それぞれｘとｘ’でのターゲット表面Ｓに垂直な外向き単位ベクトルであり、
2004523014.tif 000125
；
ｋ２は、Ｓの外部の媒体中の伝搬定数；
ｋ１は、共鳴を避けるために選択された複素数である；
請求項１に記載のコンピュータプログラムプロダクト。
【請求項５】
記録媒体上に記録されて、等価表面ソースに基づいて決定された時間調和入射フィールドによる３次元物体からの電磁散乱をモデリングする手段をさらに備える、請求項４に記載のコンピュータプログラムプロダクト。
【請求項６】
生成されたＢＩＥが次式の形態であり：
2004523014.tif 000126
ここで、（ｉｋ）は、請求項４に記載の公式化の項目中で（ｋ）の代わりに導入される、請求項４に記載のコンピュータプログラムプロダクト。
【請求項７】
前記コンピュータプログラムプロダクトが、レーダ波面という形態における時間調和入射フィールドからの電磁散乱を決定するように調整され、前記３次元物体が車両のコンポーネントを表す、請求項６に記載のコンピュータプログラムプロダクト。
【請求項８】
任意形状３次元物体の任意時間調和入射フィールドに対する電磁反応を好条件化された境界積分方程式（ＢＩＥ）によってモデリングする装置であり、前記装置は：
ａ．プロセッサ、前記プロセッサと接続されたメモリ及び前記プロセッサと接続されて任意形状３次元物体と任意時間調和入射フィールドを表すパラメータを受領する入／出力デバイスを有するコンピュータシステムと；
ｂ．前記コンピュータのプロセッサとメモリ中で動作して、任意形状３次元物体と任意時間調和入射フィールドを表すパラメータを利用して、好条件化されたＢＩＥの離散化表示を発生して、好条件化された有限次元線形システムであり、前記システムのソリューションが、前記時間調和入射フィールドによってもたらされたモデル上での等価表面ソースの分布を近似するシステム、を提供する手段と；
ｃ．前記コンピュータのプロセッサとメモリ中で動作して、前記線形システムを解いて、等価表面ソースの値を決定し、これによって、好条件化された有限次元線形システムのソリューションが改善された計算効率とソリューション正確さを提供する、手段と；
を備える装置。
【請求項９】
前記コンピュータのプロセッサとメモリ中で動作して、等価表面ソースに基づいて決定された時間調和入射フィールドによる３次元物体からの電磁散乱をモデリングする手段をさらに備える、請求項８に記載の装置。
【請求項１０】
前記装置が、レーダ波面という形態で表された時間調和入射フィールドからの電磁散乱を決定するように調整され、前記３次元物体が車両のコンポーネントを表す、請求項９に記載の装置。
【請求項１１】
生成されるＢＩＥが、次式の形態であり：
（Ｅ励起項目）＋γ（Ｈ励起項目）＝｛（Ｅ積分演算子項目）＋γ（Ｈ積分演算項目）｝
ここで、γは、複素定数であり、
Ｊは未知の表面ソース分布を表し、
（Ｅ励起項目）と（Ｅ積分演算子項目）は、ＡとＢから成るグループから選択された公式化であり、
Ａは、
（Ｅ励起項目）≡
2004523014.tif 000127
と
（Ｅ積分演算子項目）
2004523014.tif 000128
との合成を表し、
Ｂは、
（Ｅ励起項目）≡
2004523014.tif 000129
と
（Ｅ積分演算子項目）≡
2004523014.tif 000130
との合成を表し、
ここで、（Ｈ励起項目）と（Ｈ積分演算項目）は、Ａ’、Ｂ’及びＣ’から成るグループから選択された公式化であり、
Ａ’は、
（Ｈ励起項目）
2004523014.tif 000131
と
（Ｈ積分演算項目）
2004523014.tif 000132
との合成を表し、
Ｂ’は、
（Ｈ励起項目）
2004523014.tif 000133
と
（Ｈ積分演算項目）
2004523014.tif 000134
との合成を表し、
Ｃ’は、
（Ｈ励起項目）
2004523014.tif 000135
と
（Ｅ積分演算項目）
2004523014.tif 000136
との合成を表し、
ここで、
2004523014.tif 000137
ここで、
Ｊ≡Ｚｎ×Ｈは未知の表面電流；
ζは複素数；
ＥｉｎｃとＨｉｎｃは、それぞれ、入射電場と入射磁場；
2004523014.tif 000138
は、波インピーダンス；
Ｇ（ｋ；ｘ、ｘ’）＝ｅｘｐ（ｉｋｒ）／４πｒは３次ヘルムホルツ核であり、ここで、ｒ＝｜ｘ−ｘ’｜は、調和時間インピーダンスをｅ−ｉωｔと想定した場合のフィールドとソースポイントを分離する距離であり、ここで、
2004523014.tif 000139
ここで、
▽と▽’は、それぞれ、フィールドポイントｘとソースポイントｘ’での微分を表し、ｎ（ｘ）とｎ（ｘ’）は、それぞれｘとｘ’でのターゲット表面Ｓに垂直な外向き単位ベクトルであり、
2004523014.tif 000140
；
ｋ２は、Ｓの外部の媒体中の伝搬定数；
ｋ１は、共鳴を避けるために選択された複素数である；
請求項８に記載の装置。
【請求項１２】
前記コンピュータのプロセッサとメモリ中で動作して、等価表面ソースに基づいて決定された時間調和入射フィールドによる３次元物体からの電磁散乱をモデリングする手段をさらに備える、請求項１１に記載の装置。
【請求項１３】
生成されたＢＩＥが次式の形態であり：
2004523014.tif 000141
ここで、（ｉｋ）は、請求項１１に記載の公式化の項目中で（ｋ）の代わりに導入される、請求項１１に記載のコンピュータプログラムプロダクト。
【請求項１４】
前記コンピュータのプロセッサとメモリ中で動作して、等価表面ソースに基づいて決定された時間調和入射フィールドによる３次元物体からの電磁散乱をモデリングする手段をさらに備える、請求項１３に記載の装置。
【請求項１５】
任意時間調和入射フィールドに対する任意形状３次元物体の電磁反応を好条件化された境界積分方程式（ＢＩＥ）によってモデリングする方法であり、前記方法が、プロセッサ、前記プロセッサと接続したメモリ及び前記プロセッサと接続されて、任意形状３次元物体と任意時間調和入射フィールドを表すパラメータを受領する入／出力デバイスを有するコンピュータシステム上で動作し、前記方法が：
ａ．任意形状３次元物体と任意時間調和入射フィールドを表すパラメータを利用して、好条件化されたＢＩＥの離散化表示を発生して、好条件化された有限次元線形システムであり、前記システムのソリューションが、前記時間調和入射フィールドによってもたらされたモデル上での等価表面ソースの分布を近似する、システムを提供するステップと；
ｂ．前記線形システムを解いて、等価表面ソースの値を決定し、これによって、好条件化された有限次元線形システムのソリューションが、改善された計算効率とソリューション正確さを提供する、ステップと；
を含む方法。
【請求項１６】
等価表面ソースに基づいて決定された時間調和入射フィールドによる３次元物体からの電磁散乱をモデリングするステップをさらに含む、請求項１５に記載の方法。
【請求項１７】
前記時間調和入射フィールドがレーダ波面であり、また、前記３次元物体が車両のコンポーネントを表し、これによって、入射データ波による車両コンポーネントからのレーダ波の散乱を決定する、請求項１６に記載の方法。
【請求項１８】
前記ＢＩＥは、次の形態で与えられ：
（Ｅ励起項目）＋γ（Ｈ励起項目）＝｛（Ｅ積分演算子項目）＋γ（Ｈ積分演算項目）｝
ここで、γは、複素定数であり、
Ｊは未知の表面ソース分布を表し、
（Ｅ励起項目）と（Ｅ積分演算子項目）は、ＡとＢから成るグループから選択された公式化であり、
Ａは、
（Ｅ励起項目）
2004523014.tif 000142
と
（Ｅ積分演算子項目）
2004523014.tif 000143
との合成を表し、
Ｂは、
（Ｅ励起項目）≡
2004523014.tif 000144
と
（Ｅ積分演算子項目）≡
2004523014.tif 000145
との合成を表し、
ここで、（Ｈ励起項目）と（Ｈ積分演算項目）は、Ａ’、Ｂ’及びＣ’から成るグループから選択された公式化であり、
Ａ’は、
（Ｈ励起項目）
2004523014.tif 000146
と
（Ｈ積分演算項目）
2004523014.tif 000147
との合成を表し、
Ｂ’は、
（Ｈ励起項目）
2004523014.tif 000148
と
（Ｈ積分演算項目）
2004523014.tif 000149
との合成を表し、
Ｃ’は、
（Ｈ励起項目）
2004523014.tif 000150
と
（Ｈ積分演算項目）
2004523014.tif 000151
との合成を表し、
ここで、
2004523014.tif 000152
ここで、
Ｊ≡Ｚｎ×Ｈは未知の表面電流；
ζは複素数；
ＥｉｎｃとＨｉｎｃは、それぞれ、入射電場と入射磁場；
2004523014.tif 000153
は、波インピーダンス；
Ｇ（ｋ、ｘ、ｘ’）＝ｅｘｐ（ｉｋｒ）／４πｒは３次ヘルムホルツ核であり、ここで、ｒ＝｜ｘ−ｘ’｜は、調和時間インピーダンスをｅ−ｉωｔと想定した場合のフィールドとソースポイントを分離する距離であり、ここで、
2004523014.tif 000154
ここで、
▽と▽’は、それぞれ、フィールドポイントｘとソースポイントｘ’での微分を表し、ｎ（ｘ）とｎ（ｘ’）は、それぞれｘとｘ’でのターゲット表面Ｓに垂直な外向き単位ベクトルであり、
2004523014.tif 000155
；
ｋ２は、Ｓの外部の媒体中の伝搬定数；
ｋ１は、共鳴を避けるために選択された複素数である；
請求項１５に記載の方法。
【請求項１９】
等価表面ソースに基づいて決定された時間調和入射フィールドによる３次元物体からの電磁散乱をモデリングするステップをさらに備える、請求項１８に記載の方法。
【請求項２０】
生成されたＢＩＥが次式の形態であり：
2004523014.tif 000156
ここで、（ｉｋ）は、請求項１８に記載の公式化の項目中で（ｋ）の代わりに導入される、請求項１８に記載の方法。
【請求項２１】
等価表面ソースに基づいて決定された時間調和入射フィールドによる３次元物体からの電磁散乱をモデリングするステップをさらに備える、請求項２０に記載の方法。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
政府の権利の供述書
本発明は、契約番号ＭＤＡ９７２−９５−Ｃ−００２１の下における、防衛先進研究企画庁からの米国政府の指示によってなされたものである。米国政府は、本発明にある種の権利を有する。
【０００２】
優先権クレーム
本出願は、２０００年６月２１日に米国において提出され、「３次元電磁散乱の好条件境界積分方程式と離散化」という題名を持つ暫定出願番号６０／２１３，１０２号に対する優先権の恩典を請求するものである。
【０００３】
（技術分野）
本発明は、一般的には、コンピュータ支援設計と物体モデリングに関する。より詳しくは、本発明は、任意の時間調和入射フィールド（例えば、レーダ波）の賦課に起因する、閉じられた任意形状の物体（例えば、航空機のパーツなどの車両のコンポーネント）の表面上における等価表面ソース（又は、金属物体の場合における実際の表面電流）を決定するためのコンピュータプログラムプロダクツ、装置及び方法に関する。
【０００４】
（背景技術）
電磁散乱問題を解決する境界積分方程式技法を利用する（例えば、モーメントの方法を用いる）ソフトウエアが、少なくとも１９６０年代から存在した。このような技法は、レーダの断面形状を非常に正確に予測する可能性を有している。しかしながら、この技法を現実的な問題に実際に応用しようとすると、問題のサイズと複雑さに対する計算資源要件（すなわち、ＣＰＵタイムとメモリ）のスケーラビリティが貧弱なため、非常に厳しく制限されたものとなる。高位で「高速な」数学的方法（例えば、高速多極方法（ＦＭＭ））を用いる計算技法が比較的最近導入されて、状況は劇的に変化した。今では、Ｏ（Ｎ３）時間となるＮ個の未知数によって記述される問題に対する資源要件の代わりに、高速フーリエ変換アルゴリズム（ＦＦＴ）のようにＯ（ＮｌｏｇＮ）時間となる。その結果、遙かに広い範囲の実際的な問題を取り扱うことが可能となった。
【０００５】
ここで使用される方法は非常に改善されたとはいえ、それでも高速方法は反復ソルバーと共に用いられている。境界積分方程式を離散化することによって発生する線形方程式の集合が悪条件化されると、正確なソリューションを得るために必要とされる反復の回数は良好には制御されず、また、非常に大きいものとなりかねない。したがって、ソリューションプロセスの全体的な効率は、悪化する。加えて、高度の数値的精度がソリューションプロセスでは一般的に必要とされ、丸め必要性が発生し、その結果、ソリューションの正確さが失われる。
【０００６】
不運にも、閉じられた完全導体（ＰＥＣ）に対して最も広く用いられている積分方程式公式化、すなわち、合成フィールド積分（ＣＦＩＥ）方程式は、一般的には、好条件化されていない。この悪条件化は、ＣＦＩＥは、「超特異な」積分演算子成分を必ず含むという事実から派生する。この成分は、事実、単に積分演算子ではまったくないというよりも、積分演算子の勾配である。通常積分演算子は、離散化に関連する数値「雑音」を濾過する傾向があるが、他方、微分演算子はそれを増幅する傾向がある。
【０００７】
超特異な積分演算子の等価スペクトルには境界が無く、これが、直接的に、線形システムの悪条件化に結びつく。その悪影響は、ターゲットの離散化を細分化するに連れて、必要とされる反復回数が増すという形で明らかになる。ソースの変動又は幾何学的詳細を波長以下の尺度で空間的に分解するためには、微細な離散化がしばしば必要である。ＣＦＩＥの場合（計算電磁学の分野における他の一部の境界積分公式化の場合も）、この困難性は、「低周波数問題」として周知である。
【０００８】
この問題を克服するために、様々な方法が用いられてきた。最も一般的に実施されている方法は、反復ソルバー手順の各ステップで、ＣＦＩＥマトリックスに「プレコンディショナ」マトリックスを乗算する方法である。効果的なプレコンディショナは、線形システムの状態番号を改善し、これによって、ソリューションに必要な反復回数を減少させる。これまで利用されてきたプレコンディショナの例としては、ブロック対角プレコンディショナや、不完全ＬＵプレコンディショナや、疎近似逆プレコンディショナがある。このようなプレコンディショナは、汎用的なものであり、言い換えれば、様々な成功の度合いでどのようなマトリックスにも適用可能である。しかしながら、不運にも、これらのどれもが、ＣＦＩＥの分析的な特性という利点を具体的には利用してはいなくて、そのため、これらのどれもが、ＣＦＩＥで用いられるには理想的には適していない。
【０００９】
方程式をプリコンディショングする代わりに、それを「ポストコンディショニング」することも可能である。これには、オリジナルの線形方程式の未知の部分をなんらかの新しい線形システムの駆動項目として定義する操作が伴う。この合成された線形システムを適切にコンディショニングすると、問題は効果的に解決されるが、それは、一旦新しい補助未知数が解答されると、即座に、オリジナルの線形システムのソリューションが決定されるからである。「ループスター」基底関数を用いるモーメント方法という方式は、このカテゴリに当てはまる。この技法によってある程度は成功を収めたが、この技法は拡張性が限られた煩わしいものであり、また、低位のモーメント方法の離散化に応用されてきただけである。
【００１０】
したがって、具体的にＣＦＩＥでの仕様に適合されたプレコンディショナ方法を提供することが望ましい。より具体的には、プレコンディショナを、ソリューションに必要とされる反復回数を減少させるように設計すべきである。これは、ソース変動や幾何学的詳細を波長未満の尺度で分解するために微細離散化を用いると、その結果、悪条件化された線形方程式（「低周波数」問題）となる場合には、特に望ましい。最も具体的には、任意時間調和入射フィールドに対する電磁反応を、閉じられた任意形状の３次元物体の好条件化された境界積分方程式（ＢＩＥ）により、この好条件化されたＢＩＥを離散化することによってモデリングし、これによって、好条件化された有限次元線形システムを提供して解決して、物体上における等価表面ソースの分布を決定するコンピュータプログラムプロダクツ、装置及び方法を提供することが望ましい。
【００１１】
（参考文献）
［１］グリーンガード（Ｌｅｓｌｉｅ  Ｇｒｅｅｎｇａｒｄ）とワンデュラ（Ｓｔｅｐｈｅｎ  Ｗａｎｄｚｕｒａ）、「高速多極方法」、ＩＥＥＥ  Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ  ｓｃｉｅｎｃｅ  ＆  Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ、５（３）：１６〜１８，１９９８年７月。
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［１０］オニール（Ｂａｒｒｅｔｔ  Ｏ’Ｎｅｉｌ）、「初歩的微分幾何学」、Ａｃａｄｅｍｉｃ  Ｐｒｅｓｓ、ニューヨーク、１９９７年。
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［１２］アブラモビッチ（Ｍｉｌｔｏｎ  Ａｂｒａｍｏｗｉｔｚ）及びステガン（Ｉｒｅｎｅ  Ａ．  Ｓｔｅｇｕｎ）、「数学の関数のハンドブック」応用数学シリーズ、Ｎａｔｉｏｎａｌ  Ｂｕｒｅａｕ  ｏｆ  Ｓｔａｎｄａｒｄｓ、ケンブリッジ、１９７２年。
［１３］カニーノ（Ｌａｗｒｅｎｃｅ  Ｓ．Ｃａｎｉｎｏ）、オタッシュ（Ｊｏｈｎ  Ｊ．Ｏｔｔｕｓｃｈ）、スタルザー（Ｍａｒｋ  Ａ．Ｓｔａｌｚｅｒ）、ビッシャー（Ｊｏｈｎ  Ｌ．Ｖｉｓｈｅｒ）及びワンデュラ（Ｓｔｅｐｈｅｎ  Ｍ．Ｗａｎｄｚｕｒａ）、「高位ナイストローム離散化を用いた２次及び３次におけるヘルムホルツ方程式の数値的ソリューション」、Ｊｏｕｒｎａｌ  ｏｆ  Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ  Ｐｈｙｓｉｃｓ、１４６：６２７〜６６３、１９９８年。
【００１２】
（発明の開示）
本発明は、任意形状の３次元物体から任意時間調和入射フィールドへの電磁散乱をモデリングする改良された方法を提供する。本発明は、計算的効率を増すと同時に、改善された数値的正確さで散乱を決定することを可能とする。
【００１３】
第１の実施形態では、本発明は、プロセッサを有するコンピュータシステム中で用いられて、任意形状の３次元物体の任意時間調和入射フィールドに対する電磁的反応を好条件化された境界積分方程式（ＢＩＥ）によりモデリングする、コンピュータプログラムプロダクツを提供する。このコンピュータプログラムプロダクツは：記録媒体と；この記録媒体上に記録され、好条件化されたＢＩＥを離散化表示させて、好条件化された有限次元線形システムであり、このシステムのソリューションは、この任意時間調和入射フィールドによってもたらされたモデル上での等価表面ソースの分布を近似する、システムを提供する手段と；この記録媒体上に記録され、この線形システムを解いて、この等価表面ソースの値を決定する手段と；を備え、これによって、この好条件化された有限次元線形システムのソリューションが、改善された計算効率とソリューション正確さを提供する。加えて、本発明のこの実施形態は、記録媒体上に記録されて、等価表面ソースに基づいて決定された時間調和入射フィールドによる３次元物体からの電磁散乱をモデリングする手段を備えることがある。このコンピュータプログラムプロダクツは、レーダ波面という形態における時間調和入射フィールドからの電磁散乱を決定するように調整され、３次元物体が車両のコンポーネントを表すようにするのが望ましい。
【００１４】
別のより具体的な実施形態では、本コンピュータプログラムプロダクツによって生成されたＢＩＥは次の形態で与えられる：
（Ｅ励起項目）＋γ（Ｈ励起項目）＝｛（Ｅ積分演算子項目）＋γ（Ｈ積分演算項目）｝
ここで、γは、複素定数であり、Ｊは未知の表面ソース分布を表す。
【００１５】
さらに別の、さらにより具体的な実施形態では、このコンピュータプログラムプロダクツで生成されたＢＩＥは、次の形態で与えられる：
2004523014.tif 000003
【００１６】
さらに別の実施形態では、本発明は、任意形状３次元物体の任意時間調和入射フィールドに対する電磁的反応を好条件化された境界積分方程式（ＢＩＥ）によってモデリングする装置を提供する。本装置は：プロセッサ、このプロセッサと接続されたメモリ及びこのプロセッサと接続されて任意形状３次元物体と任意時間調和入射フィールドを表すパラメータを受領する入／出力デバイスを有するコンピュータシステムと；このコンピュータのプロセッサとメモリ中で動作して、任意形状３次元物体と任意時間調和入射フィールドを表すパラメータを利用して好条件化されたＢＩＥの離散化表示を発生して、好条件化された有限次元線形システムであり、このシステムのソリューションが、この時間調和入射フィールドによってもたらされたモデル上での等価表面ソースの分布を近似する、システムを提供する手段と；このコンピュータのプロセッサとメモリ中で動作して、この線形システムを解いて、等価表面ソースの値を決定する手段と；を備え、これによって、好条件化された有限次元線形システムのソリューションが、改善された計算効率とソリューション正確さを提供する。コンピュータプログラムプロダクツの実施形態と類似して、本装置はさらに、コンピュータのプロセッサとメモリ中で動作して、等価表面ソースに基づいて決定された時間調和入射フィールドによる３次元物体からの電磁散乱をモデリングする手段を備える。また、本装置は、レーダ波面という形態での時間調和入射フィールドからの電磁散乱を決定するように調整され、また、３次元物体が車両のコンポーネントを表すのが望ましい。
【００１７】
別の、より具体的な実施形態では、本装置によって生成されたＢＩＥは、次の形態で与えられる：
（Ｅ励起項目）＋γ（Ｈ励起項目）＝｛（Ｅ積分演算子項目）＋γ（Ｈ積分演算項目）｝
ここで、γは、複素定数であり、Ｊは未知の表面ソース分布を表す。
【００１８】
さらに別の、さらにより具体的な実施形態では、このコンピュータプログラムプロダクツで生成されたＢＩＥは、次の形態で与えられる：
2004523014.tif 000004
【００１９】
本発明はさらに、任意形状３次元物体の任意時間調和入射フィールドに対する電磁的反応を好条件化された境界積分方程式（ＢＩＥ）によってモデリングする方法を提供する。本方法は、コンピュータシステム上で動作し、このシステムは：プロセッサと、このプロセッサと接続されたメモリと、このプロセッサと接続されて、任意形状３次元物体と任意時間調和入射フィールドを表すパラメータを受領する入／出力デバイスと、を有する。本方法は：任意形状３次元物体と任意時間調和入射フィールドを表すパラメータを利用して好条件化されたＢＩＥの離散化表示を発生して、好条件化された有限次元線形システムであり、このシステムのソリューションが、この任意時間調和入射フィールドによってもたらされたモデル上での等価表面ソースの分布を近似するステップと；この線形システムを解いて、等価表面ソースの値を決定するステップと；を含み、これによって、好条件化された有限次元線形システムのソリューションが、改善された計算効率とソリューション正確さを提供する。
【００２０】
加えて、本方法はさらに、等価表面ソースに基づいて決定された時間調和入射フィールドによる３次元物体からの電磁散乱をモデリングするステップを含む。本方法は、時間調和入射フィールドがレーダ波面である場合に動作し、３次元物体が車両のコンポーネントを表し、これによって、入射レーダ波による車両コンポーネントからのレーダ波の散乱を決定するのが望ましい。
【００２１】
別の、より具体的な実施形態では、本方法によって生成されたＢＩＥは、次の形態で与えられる：
（Ｅ励起項目）＋γ（Ｈ励起項目）＝｛（Ｅ積分演算子項目）＋γ（Ｈ積分演算項目）｝
ここで、γは、複素定数であり、Ｊは未知の表面ソース分布を表す。
【００２２】
さらに別の、さらにより具体的な実施形態では、本方法によって生成されたＢＩＥは、次の形態で与えられる：
2004523014.tif 000005
【００２３】
（発明を実施するための最良の形態）
本発明は、物体からの入射波面の３次元電磁散乱をモデリングするための好条件化された境界積分方程式を発生して解くコンピュータプログラムプロダクツ、方法及び装置を提供する。本明細書は、本発明を制限する意図はないことを理解すべきである。それとは対照的に、本発明は、添付クレームによって定義される本発明の精神及び範囲に含まれる代替例、修正例及び等価物をカバーすることを意図するものである。さらに、本発明に関する以下の詳細な説明において、多くの特定の詳細を、本発明を完全に理解するために記述する。しかしながら、当業者には、本発明は、特定の詳細無しで実行され得ることが明らかである。
【００２４】
序
入射波面が存在すると、物体の表面特性が、その物体の表面からの波の散乱に影響を与える。物体と入射する波面を適切にモデリングすることによって、波が物体表面からどのように散乱するか決定することが可能である。この散乱の決定は、レーダ断面積が減少した物体の設計や、電磁インタセプションを最大化するように構成されたアンテナや他の物体の設計に関して特に重要である。
【００２５】
本発明は、一般的な意味で、複数のパッチから成るメッシュで構成された物体のコンピュータモデルを受領し；励起波長、波面形状（例えば、平面波など）及び入射角を有する入射波面を特定し；物体と波面の特性に基づいて、物体との波面の相互作用に起因する等価表面ソースを決定し、また、等価表面ソースから、物体の表面からのエネルギの散乱をモデリングする；ためのコンピュータプログラムプロダクツ、方法及び装置を提供する。
【００２６】
（発明の概要）
次に記述する概要は、数学的詳細とそれに固有の特定の利点を検討するに先だって、本発明の高レベルの概念を理解するように、図面を参照して提示する。最初に、本発明のデータ処理システムの概要を提供し、次いで、本発明の動作を説明する簡単な図とフローチャートを提供する。概要に続いて、本発明のさらなる詳細を提供し、その後で、従来のＣＦＩＥに優る本発明の修正されたＣＦＩＥの利点を示す数値結果の集合を示す。最終的に、付録と用語解を提供して、本書に用いられている用語と規約の一部を理解できるように、読者に便利な出所を知らせるものである。
【００２７】
（データ処理システム）
本発明は、汎用又は特殊目的のコンピュータから成るデータ処理システム上で操作されるように設計される。ここで図面を参照して、図１に示すように、コンピュータすなわちデータ処置システムが参照番号１００で一般的に示されている。コンピュータ１００は、一般に、メモリ１０４とカップリングしている中央処理ユニット（ＣＰＵ）１０２を含んでいる。メモリ１０４は一般的に、ランダムアクセスメモリ（ＲＡＭ）部分とリードオンリーメモリ（ＲＯＭ）部分から成る。コンピュータ１００はさらに、ＣＰＵ１０２と接続された、例えば、キーボード、ポインティングデバイス、走査デバイスや他の利用可能で有用なデバイスなどの少なくとも１つの入／出力デバイス１０６を備えている。ディスプレイ１０８もまた、ＣＰＵ１０２と接続して、ユーザに出力を提供している。さらに、ストレージメカニズム１１０が装備されていて、これで、ユーザはデータを記憶したり検索したりできる。本発明で用いられる様々なストレージメカニズム１１０の例には、これに制限されないが、ハードドライブや、光ドライブや（例えば、コンパクトディスクやディジタルバーサタイルディスク）や、磁気デバイス（フロッピディスクや磁気テープやＺｉｐ・ディスク）がある。最後に、通信アダプタ１１２（例えば、モデムやネットワークインタフェースカード）がまた、コンピュータ１００とカップリングし、これによって、他のコンピュータ１００との通信を可能としている。さらに、データ処理システムはまた、互いにローカルかリモートかは別として、コンピュータから成るネットワークを備えることがある。加えて、データ処理システムの様々なコンポーネントもすべて、互いにローカルであったり、遠隔に分布したりする。
【００２８】
主要コンポーネントレベルで記述されているが、コンピュータ１００は、本発明で使用するために必要とされるペリフェラルの全てを駆動するのに必要なアダプタの全てを含むものとする。加えて、様々な市販のプロセッサを本発明に従って使用可能であり、また、好ましい実施形態のロジックを走査するようにプログラムされるようにできる。
【００２９】
（本発明の動作の図とフローチャート）
図２と３を参照すると、本発明の動作は、図を参照した説明とフローチャートによって記述されている。図３の開始３００エレメントで表される本発明の開始操作の後、物体２００が、図２のエレメント２０２と図３のエレメント３０２で表される複数のパッチに分割される。なお、この物体を複数のパッチに分割する方法は、文献では良く知られており、また、パッチの幾何学的形状は任意である（例えば、三角形、方形など）。次に、図３のエレメント３０４に示すように、入射フィールドと物体のプロパティのパラメータが供給される。入射フィールドは、図２ではエレメント２０４で示されている。図３のエレメント３０２と３０４を囲む鎖線は、これらが本発明にとっては環境次第であることを示すようになっているが、これは、物体２００を表すパッチ２０２並びに入射フィールド２０４と物体２００のパラメータは、単に、本発明を組み込むシステムに対して入力として送られ得るからである。しかしながら、オプションとして、本発明は、物体２００を複数のパッチ２０２に分割し、また、より直接的に、関連のパラメータを決定するシステムを含むことがある。加えて、物体２００を球形で表し、入射フィールド２０４を一連の平面波で表してあるが、これらの特定物は、図示しやすいようにしてあるだけである。物体２００は、閉じられた任意の形状であってもよいし、また、入射フィールド２０４は、任意の時間調和フィールドであってもよい。次に、図３にエレメント３０６で示すように、本システムは、好条件化された境界積分方程式（好条件化された行列式という形態を取る）を離散化表示し、入射フィールド２０４と物体２００間の相互作用をモデリングする。次に、この好条件化された線形システムを数値的に解いて、図３のエレメント３０８で示すように物体上の等価表面ソースを決定する。等価表面について解いた後は、本発明は、等価ソースを利用して、図３のエレメント３１０で示すように、それに起因する電磁場を決定する。エレメント３１０の鎖線は、それがオプションであることを示すようにしてある。物体からの電磁散乱は、図２のエレメント２０６で示す。
【００３０】
等価ソースの決定に好条件化された線形システムを提供することによって、本発明は、線形システムに対するソリューションが、従来の方法と比較して少ない反復回数で実行可能であり、また、数値的精度も増加することを保証する手助けとなる。事実、好条件化された線形システムを使用しないと、時として、ある人のコンピュータの数値的精度が制限されることによって等価表面ソースを正確に決定することが実行不可能となる。
【００３１】
（記録媒体）
一実施形態では、本発明は、記録媒体上に記録されたコンピュータプログラムプロダクツという形態を取る。図４に示すディスクは、コンパクトディスク（ＣＤ）やディジタルバーサタイルディスク（ＤＶＤ）などの記録媒体４００を表す。ＣＤやＤＶＤと示されているが、どの記録媒体でも利用可能であり、その例には、磁気ディスクや磁気テープ、さらに他の光記憶媒体がある。
【００３２】
（本発明のさらなる詳細）
好条件化されたＣＦＩＥ公式化
本発明の特徴に依れば、改善された計算効率と正確さを提供するために、３次元における電磁散乱の問題のソリューションのための合成フィールド積分方程式（ＣＦＩＥ）を修正する。従来のＣＦＩＥと異なって、本発明による修正されたＣＦＩＥは、好条件化される。それは、標準の磁場積分演算子をプリコンディショニングされた電場フィールド積分演算子と合成して、その結果得られる修正されたＣＦＩＥは、スプリアスな資源を有しない第２種の積分方程式となる。プリコンディショニングの結果として、ＣＦＩＥを解くために必要な反復回数は、表面の離散化が細分化されるに連れてさらに安定化し、一方、従来のＣＦＩＥと関連した離散化が細分化されると、その結果、悪条件化された線形システムとなり、また、反復回数が増大する。従来のＣＦＩＥは、好条件化されていないため、２つの大きな欠陥を持つ。
【００３３】
既に記述したように、好条件化された境界積分公式化が恩典を持つ主要な理由が３つある。第１は、散乱理論の積分演算子の、逆数ではなく、それ自身の疎分解が存在し、そのため、反復ソルバーを採用しなければならないという事実である。方程式の好条件化されたシステムが、より少ない反復回数で解くことが可能である。第２に、微細な離散化を用いて、ソース変動や幾何学的詳細を波長未満のスケールで分解すると、一般的に、悪条件化された線形方程式も発生する（これはまた、計算電磁学における「低周波数」問題としても知られている）。第３に、離散化された方程式の集合に対するソリューションを発生するプロセスには非常に広い範囲の値（大きさという点で）が必要とされかねないため、その結果得られるソリューションは、極めて不正確となるが、それは、データ処理システムによって許可される正確さを越える高度の数値精度が要求されるからである。
【００３４】
第２種の積分方程式だけ、すなわち、類似の動作を持つ物体だけ（例えば、適切にプリコンディショニングされた微分方程式）を、近似誤差を完全に制御した状態で解くことが可能である。正確な演算子とは、定数（又は少なくとも好条件化され容易に可逆な）演算子とコンパクト演算子の和である。
【００３５】
散乱の境界積分演算子は、一般的には、この要件に次の３つの仕方の内の１つで違反する：スペクトルがゼロに積算される；演算子は無境界なスペクトルを有する；演算子が共鳴、しばしば非物理的な共鳴（例えば、「スプリアスな共鳴」）と関連した固有値を有する。
【００３６】
完全に導電性（ＰＥＣ）な表面からの電磁散乱の場合、標準の境界積分方程式は、次式の電場積分方程式（ＥＦＩＥ）：
2004523014.tif 000006
（ここで、ｉｎｃはｉｎｃｉｄｅｎｔ（入射）の略である）    （１）
であり、磁場積分方程式（ＭＦＩＥ）は：
2004523014.tif 000007
（２）
であり、ここで、積分演算子ＴとＫは次式で定義される：
2004523014.tif 000008
（３）
2004523014.tif 000009
（４）
【００３７】
ここで、▽は、ｘで微分することを示し、ｎ（ｘ）はｘにおいて表面に対して垂直な単位である。ここで、他の項目は次のように通常の規約に従う：Ｊ＝Ｚｎ×Ｈは未知の表面電流、ＥｉｎｃとＨｉｎｃはそれぞれ電場と磁場であり、
2004523014.tif 000010
は、電話インピーダンスであり、Ｇ（ｋ；ｘ、ｘ’）＝ｅｘｐ（ｉｋｒ）／４πｒは、３次のヘルムホルツ核であり、ｒ＝｜ｘ−ｘ’｜はフィールドとソースポイントを分離する距離である。調和時間依存性ｅ−ｉωｔが仮定されている。
【００３８】
ＭＦＩＥは、第２種の積分方程式である。不運にも、この方程式は、受け入れ不可能な小さいクラスの電磁問題に対しては適切である。それは、開放された表面には適応不可能であり、幾何学的特異性があると悪条件化され、スプリアスな共鳴という問題を持っている。ＥＦＩＥは、コンパクトな片と超特異な片の双方（二重勾配項目から来る）を有している。ＭＦＩＥのスプリアスな共鳴は、ＥＦＩＥを加算して、合成されたフィールド積分方程式（ＣＦＩＥ）を形成することによって解消しても良い。こうするとその犠牲として、ＥＦＩＥの超特異な片を導入することになるが、これで、微細離散化（又は低周波数）のコンディショニングが劣化する。
【００３９】
超特異な積分演算子と第１種の積分演算子は、これら２つを合成すると第２種の積分演算子のスペクトル特徴が得られるという意味で、互いに理想的なプレコンディショナであることが周知である。ＥＦＩＥを分析的にプリコンディショニングするという類似の方式を用いても良い。事実、本書に開示するように、電場積分演算子Ｔは自身をプリコンディショニングする。
【００４０】
２つの問題が、この考えを閉じられた物体に成功裏に適応させるために重要である。第１に、プレコンディショナのローカル（又は短距離の）動作が、漸近的コンディショニングにとって重要である。したがって、ＥＦＩＥは、それを、実数であれ複素数であれ任意の波番号に対応する電場積分演算子で乗算することによってプリコンディショニングしてもよいが；波番号が正の虚数部分を有する場合、なんらかの追加の共鳴を導入することが避けられる。ＥＦＩＥプレコンディショナがＭＦＩＥ共鳴を発生すると、ＣＦＩＥもまたそれを有する。第２に、プレコンディショナとプリコンディショニングされた演算子の積の離散化によって、正確なスペクトル特徴を確保されることである。
【００４１】
本発明は、閉じられた表面に対する好条件化された公式化を提供する。例として数値的結果をさらに以下に提示して、修正されたＣＦＩＥの公式化が従来のＣＦＩＥに対してどのような利点を有するかを示す。
【００４２】
文献では、積分演算子は、２次のラプラス方程式とヘルムホルツ方程式の核から構成されている。これらの演算子を構成することによって、未微分核から構成された第１種演算子と２回微分された核から構成された超特異演算子との積は、第２種演算子の望ましいスペクトル特徴を有することが観察されている。ＥＦＩＥ積分演算子Ｔは、これらの双方を有しているため、このような２つの演算子
2004523014.tif 000011
の合成物は、定数演算子とコンパクト演算子を含むことが分かっている。また、超特異な成分の積は、別の超特異演算子を発生されることが関心事である。しかしながら、上の式（３）から分かるように、Ｔの定義における回転演算ｎ×は、表面に対して垂直な上面ベクトルの成分をゼロにし、２つの超特異な演算子の積も確実に同じようにゼロに等しくなることが容易に分かる。実際、第２のＴ演算子の超特異な成分を任意正接表面ベクトル関数ｆ（ｘ’）に適応すると、次の表面勾配関数が発生する：
2004523014.tif 000012
（５）
（ドット積演算子・に注意）、これで、第１のＴ演算子の超特異成分が、次の恒等式によって（閉じられた表面に対して）消滅する：
2004523014.tif 000013
（６）
ここで、▽ｓは、Ｓ上の表面勾配演算子を表し；式（６）に示す恒等式、すなわち３次恒等式▽・［▽×φ（ｘ）］の表面アナログは＝０であることが分かり、また、Ｓ上の十分に平滑などの関数φにも有効である。式（３）、（５）及び（６）から即座に、Ｔ２が第２種積分演算子として動作することが分かる。
【００４３】
この明細書では、ＥＦＩＥとＭＦＩＥの積分演算子とそのＰＥＣ球体に対する合成物のスペクトル特徴について検討する。これら演算子のスペクトル特徴に対する単純な３次ターゲットは分析的に周知である。しかしながら、ここでは、他の物体形状を組み込んだ広い検討を行う。ＰＥＣ球体をここに用いることによって、本発明が適用される物体の非制限的な例とする。半径ａの球体の表面上での基底関数の完全な集合が、次のベクトル球面調和関数で与えられる：
2004523014.tif 000014
（７）
2004523014.tif 000015
（８）
ここでは、スカラー球面調和関数
2004523014.tif 000016
に関して定義されている。
【００４４】
ＴとＫ＋≡（Ｋ＋１／２）をそれぞれの規定関数に適用すると、次の結果となる：
2004523014.tif 000017
（９）
及び
2004523014.tif 000018
（１０）
ここで、
2004523014.tif 000019
と
2004523014.tif 000020
は、ｌ次のリッカチ・ベッセル関数と（第１種の）リッカチ・ハンケル関数であり、ｌとｋは核積分演算子の核と関連した波番号である。リッカチ・ベッセル関数とリッカチ・ハンケル関数は、次式で、ベッセル関数とハンケル関数
ｊｌ（ｘ）と
2004523014.tif 000021
に関して定義される：
2004523014.tif 000022
（１１）
2004523014.tif 000023
（１２）
選択された基底関数Ｘ１ｍとＵ１ｍは、演算子Ｔ（ｋ）の固有関数ではないとはいえ、これらは、次に示すように、
2004523014.tif 000024
の固有関数である：
2004523014.tif 000025
（１３）
演算子Ｔ２（ｋ）は強化スペクトルであり、これは大きいｌという制限内では、その固有値は−１／４で累積する（これは、ｊｔと
2004523014.tif 000026
の漸近的特性の結果である）ためである。しかしながら、式（１０）と（１３）から明らかなように、演算子Ｔ２（ｋ）もまた、次式のように、ＭＦＩＥ演算子Ｋ＋（ｋ）と同様に共鳴を起こす（Ｘ１ｍモードの場合の
2004523014.tif 000027
のゼロと、
2004523014.tif 000028
とＵ１ｍモードの場合のゼロにおいて）：
2004523014.tif 000029
（１４）
ここで、Ｋ−≡（１／２）−Ｋである。従って、Ｔ２（ｋ）は、第２種の積分演算子であるとはいえ、それは、閉じられた物体に対する共鳴のない合成フィールド積分方程式の適切な成分ではない。
【００４５】
既に述べたように、（式（３）に示す形態の）２つのＥＦＩＥ演算子のスペクトルが境界があるということは、これらが同じ短距離動作、すなわち、この２つの演算子が同じ波番号（伝搬定数）を有する必要が無いという状態、を有するのであれば保証される。ＥＦＩＥ演算子は互いに異なった波番号Ｔである（ｋ１）とＴ（ｋ２）を持つように選択されると、同時に境界有りの積を得てＭＦＩＥ共鳴を避けることが可能となる。
【００４６】
次の分析は、ｉｋは、プリコンディショニング演算子中の波番号にとっては特に良い選択である（ここで、波番号ｋは実数と仮定する）ことを示す。球体上の
2004523014.tif 000030
の固有システムは、次式で表される：
2004523014.tif 000031
（１５）
2004523014.tif 000032
の固有値が、それぞれＸ１ｍとＵ１ｍの固有モードの場合のｉ／４と−ｉ／４で累積し、また、
2004523014.tif 000033
はＭＦＩＥ演算子Ｋ＋（ｋ）と同じようにいかなる共鳴をも持たないことが容易に分かる（ｊｌと
2004523014.tif 000034
の特性が与えられているものとする）。
【００４７】
2004523014.tif 000035
は、第２種の積分演算子（以下に記述するような意味において）であり、したがって、Ｋ＋（ｋ）とはいかなる共鳴をも共有しないため、これで、好条件化されたＣＦＩＥ演算子を展開することが可能である。このような演算子の最も単純な形態は次式である：
2004523014.tif 000036
（１６）
ここで、αは、選択されるべき定数である。この修正されたＣＦＩＥ演算子を展開する際、ＥＦＩＥ部分が、ＭＦＩＥ部分（これは既に第２種の積分演算子である）に加算される以前に修正される。同じことは、式の励起側にも当てはまる。その結果得られるＣＦＩＥは次のようになる：
2004523014.tif 000037
（１７）
式（１６）のＣＦＩＥ演算子に対する固有システムは次式である：
2004523014.tif 000038
（１８）
α＝±１を選択すると、引数ｋａの関数として、これらの固有値はゼロではない。α＝＋１の場合は、複素数平面の原点を囲む。
【００４８】
他の好条件化された（修正された）ＣＦＩＥ演算子を、例えば、ＭＦＩＥ部分を、それをプリコンディショニングされたＥＦＩＥ部分と合成する以前にプリコンディショニングすることによって、作成することが可能である。次のように、代替の好条件化された（修正された）ＣＦＩＥ演算子という形態の例を２つ示す：
2004523014.tif 000039
（１９）
及び
2004523014.tif 000040
（２０）
３つの修正されたＣＦＩＥ演算子（式（１６）、（１９）及び（２０）中のもの）の数値的動作が類似していることが観察される。
【００４９】
球体上の分析のおかげで、式（１６）、（１９）及び（２０）中の修正されたＣＦＩＥ演算子は、第２種で、共鳴が無いことが示された。しかしながら、平滑な球体上の固有値の漸近的動作が核の短距離動作に由来することが分かっていれば、球体上の様々な演算子の漸近的動作もまた、球体の平滑変形によって得られるなんらかの閉じられた表面に対して行われるはずであることが分かる。以下にさらに説明する数値的結果が、この引数を支持する。結果はまた、多くの実際上のターゲットと同様に、幾何学的特異性を有している立体の場合も提示される。これらは、修正されたＣＦＩＥの公式化が、広いクラスの閉じられた表面に対して好条件化されるべきであることを暗示している。
【００５０】
修正されたＣＦＩＥ公式化の離散化と代替形態
本発明で利用される修正された（好条件化された）ＣＦＩＥ公式化の離散化は、適切な方法であればどの方法でも実行し得る。文献中の適切な方法が一般的であるが、その非制限的な例には、ナイストローム離散化方法やモーメント方法がある。本発明によって用いられ得るナイストローム離散化方法に関連して特に有用な参考文献は、巻末の参考文献［１３］に見出されるが、これには、カニーノ（Ｃａｎｉｎｏ）らによる「高位ナイストローム離散化を用いた２次と３次のヘルムホルツ方程式の数値ソリューション」という題名が付いている。なお、本発明の方式を既存の「高速ソルバー」に組み込むのも、非常に簡単である。
【００５１】
積演算子
2004523014.tif 000041
を離散化する方法がいくつか存在する。最も簡単で単純な方式、すなわち、離散化された個別の演算子を多重化すると、数値的に困難なものと成りかねない。その理由は、各々の演算子の超特異部分の離散化表示を、分析的に行われる取り消しを数値的に実行するのに十分なほど正確（特に、高空間周波数固有モードの場合）なものとすることは困難であるからである。
【００５２】
2004523014.tif 000042
は、積演算子を直接に又はそれを再公式化して離散化して、超特異演算子を消すことによって効率的に離散化することが可能である。第２の方式は、超特異演算子の全てのインスタンスを消す再公式化された積演算子を用いて実行されてきた。再公式化された方程式の簡単な誘導方法は以下の通りである。
【００５３】
積演算子
2004523014.tif 000043
のより有用な形態を得る第１のステップは、各々の積分演算子をその特異な成分と超特異な成分とに分離することである。次の省略形を導入すると：
2004523014.tif 000044
（２１）
及び
2004523014.tif 000045
（２２）
のようになり、代入すると、次式のようになる：
2004523014.tif 000046
（２３）
2004523014.tif 000047
（２４）
ここで、次式が成立する：
2004523014.tif 000048
（２５）
2004523014.tif 000049
（２６）
積演算子
2004523014.tif 000050
は、４つの項目に展開可能である。２つの交差項目
2004523014.tif 000051
と
2004523014.tif 000052
は、その各々が、（ストークスの定理）で、Ｓ上の新しい単一勾配の積分演算子プラスＳの境界の周りの直線積分に変換することが可能である。超特異積分演算子
2004523014.tif 000053
の積によって形成される項目は、直線積分に還元される。この結果はさらに、Ｊに適合させると、３つの直線積分の内の２つを合成して、式（１）によって入射電場Ｅｉｎｃと同一の引数を持つ１つの項目にできる、ということに注目すれば簡略化される。
【００５４】
次のステップは、入射波はマックスウエル方程式に従うという事実を利用して、方程式の励起側を再公式化するステップである。ストークスの理論を応用して、項目
2004523014.tif 000054
を、▽’Ｅｉｎｃ（ｘ’）上の単一勾配積分演算子と方程式の他方の辺のＥｉｎｃを含む直線積分を正確に取り消す直線積分の和として書き直す。さらに簡略化する場合、ファラデーの法則、▽×Ｅ＝ｉωμＨによる。
【００５５】
再公式化された積分演算子積でＥＦＩＥを分析的にプリコンディショニングするとその最終的な結果は、次式となる：
2004523014.tif 000055
（２７）
ここで、様々な積分演算子が次式により定義される：
2004523014.tif 000056
（２８）
2004523014.tif 000057
（２９）
2004523014.tif 000058
（３０）
2004523014.tif 000059
（３１）
2004523014.tif 000060
（３２）
2004523014.tif 000061
（３３）
ここで、ｍ＝１又は２であり、
2004523014.tif 000062
、
2004523014.tif 000063
及び
2004523014.tif 000064
は、スカラー関数を表面ベクトル関数にマッピングし、一方、
2004523014.tif 000065
と
2004523014.tif 000066
は、その逆をする。式（２７）の右辺の演算子は、表面ベクトル関数を表面ベクトルにマッピングする。
【００５６】
ここで、閉じられた表面を検討するが、
2004523014.tif 000067
は、第２種積分演算子のように動作する。
【００５７】
Ｓを閉じた表面とすると、項目
2004523014.tif 000068
は消え、式（２７）は次式に簡略化される：
2004523014.tif 000069
（３４）
ここで、次式が成立する：
2004523014.tif 000070
（３５）
次に、Ｓ１２のいくつかの特徴を検討する。
【００５８】
最初に、Ｓ１２を構成する個々の演算子の全てが、ヘルムホルツ・グリーン関数Ｇ上に１つの勾配を持つ又はなんら勾配を持たない核を含む。このような積分演算子は全て、境界がある。
【００５９】
第２に、積分演算子Ｓ１２の固有値は、原点では累積されない。これは、その３つの成分である
2004523014.tif 000071
、
2004523014.tif 000072
及び
2004523014.tif 000073
を検査することによって示される。演算子
2004523014.tif 000074
は、Ｊの横軸（発散の無い）成分の第２種積分演算子であり、Ｊの縦軸（非回転性）成分に関して同じようにゼロである。同様に、演算子
2004523014.tif 000075
は、Ｊの縦軸成分に対して第２種演算子であり、Ｊの横軸成分に対して同じようにゼロである。どの表面電流も縦軸成分と横軸成分に分解できるため、和
2004523014.tif 000076
は、第２種積分演算子であり；コンパクト演算子である
2004523014.tif 000077
を減算しても、この結果は不変である。既に観察されたように、共鳴共有は、ｋ１＝ｉｋ、ｋ２＝ｋと設定することによって避けられる。この場合、Ｓ１２の固有値は、１つのポイント―（１／４）ではなく２つのポイント±（ｉ／４）で累積する。
【００６０】
第３に、離散化された後、Ｓ１２のスペクトルは、境界を持ち、また、予測されるロケーションに累積ポイントを含む。しかしながら、正確な離散化は、ＥＦＩＥ演算子Ｔ（ｋ２）が共鳴を有する場合はいつでも、ゼロ（又は非常に小さい）固有値を有する。したがって、それは、ＭＦＩＥ演算子を適当に離散化したものと合成して、ＣＦＩＥを効果的に離散化しなければならない。
【００６１】
最後に、式（３４）は、ＥＦＩＥを苦しめる「低周波数」問題には明らかに影響されないことに注意すべきである。Ｓ１２の好条件化された動作は、その双方の事前因数がモジュラス単位（｜ｋ１｜＝｜ｋ２｜＝ｋと仮定する）を有する複合演算子
2004523014.tif 000078
と
2004523014.tif 000079
のためであり、また、
2004523014.tif 000080
は、ｋ→０となるに連れてゼロに近づくので、完全演算子Ｓ１２は、低周波数の制限内で好条件化されたまま留まる。
【００６２】
要約すると、演算子
2004523014.tif 000081
とＳ１２は、閉じられた物体の場合は同じスペクトル特性を有するとはいえ、Ｓ１２の正確な離散化を正確に構成した方が容易であるが、その理由は、それは、より特異でない積分演算子で構成されるからである。Ｓ１２の行列表示は、境界があるスペクトルを有するが、また、ＥＦＩＥ演算子Ｔ（ｋ２）から継承したスプリアスな共鳴という問題を持っている。これらの共鳴は、Ｓ１２をＫ＋（ｋ２）（又は、式（１９）と（２０）中の修正済みＭＦＩＥ演算子）と合成することによって解消することが可能である。結果は、線形数式の好条件化されたシステムとなる。
【００６３】
修正されたＣＦＩＥの代替の一般公式化
本発明で用いられる境界積分方程式は、より一般的には、次のように公式化される：
（Ｅ励起項目）＋γ（Ｈ励起項目）＝｛（Ｅ積分演算子項目）＋γ（Ｈ積分演算項目）｝
ここで、γは、複素定数であり、
Ｊは未知の表面ソース分布を表し、
（Ｅ励起項目）と（Ｅ積分演算子項目）は、ＡとＢから成るグループから選択された公式化であり、
Ａは、
（Ｅ励起項目）
2004523014.tif 000082
と
（Ｅ積分演算子項目）
2004523014.tif 000083
との合成を表し、
Ｂは、
（Ｅ励起項目）≡
2004523014.tif 000084
と
（Ｅ積分演算子項目）≡
2004523014.tif 000085
との合成を表し、
ここで、（Ｈ励起項目）と（Ｈ積分演算項目）は、Ａ’、Ｂ’及びＣ’から成るグループから選択された公式化であり、
Ａ’は、
（Ｈ励起項目）
2004523014.tif 000086
と
（Ｈ積分演算項目）
2004523014.tif 000087
との合成を表し、
Ｂ’は、
（Ｈ励起項目）
2004523014.tif 000088
と
（Ｈ積分演算項目）
2004523014.tif 000089
との合成を表し、
Ｃ’は、
（Ｈ励起項目）
2004523014.tif 000090
と
（Ｈ積分演算項目）
2004523014.tif 000091
との合成を表し、
ここで、
2004523014.tif 000092
ここで、
Ｊ≡Ｚｎ×Ｈは未知の表面電流；
ζは複素数；
ＥｉｎｃとＨｉｎｃは、それぞれ、入射電場と入射磁場；
2004523014.tif 000093
は、波インピーダンス；
Ｇ（ｋ；ｘ、ｘ’）＝ｅｘｐ（ｉｋｒ）／４πｒは３次ヘルムホルツ核であり、
ここで、ｒ＝｜ｘ−ｘ’｜は、調和時間インピーダンスをｅ−ｉωｔと想定した場合のフィールドとソースポイントを分離する距離であり、ここで、
2004523014.tif 000094
ここで、
▽と▽’は、それぞれ、フィールドポイントｘとソースポイントｘ’での微分を表し、ｎ（ｘ）とｎ（ｘ’）は、それぞれｘとｘ’でのターゲット表面Ｓに垂直な外向き単位ベクトルであり、
2004523014.tif 000095
；
ｋ２は、Ｓの外部の媒体中の伝搬定数；
ｋ１は、共鳴を避けるために選択された複素数である。
【００６４】
この一般的な形態は、修正して、既述したように、次式の修正ＣＦＩＥの好ましい形態となる：
2004523014.tif 000096
ここで、（ｉｋ）は、以下に記述するように式の様々な部分で（ｋ）の代わりに導入される。具体的には、例えば、次の項目：
2004523014.tif 000097
は簡単に次式に変換される：
2004523014.tif 000098
同じタイプの変更を他の全ての項目に適用する。
【００６５】
従来のＣＦＩＥに対する修正ＣＦＩＥの利点を示す数値結果
以下に、従来のＣＦＩＥ（以下では、ＣＦＩＥ１と呼ぶ）の計算性能である：
2004523014.tif 000099
（３６）
を、プリコンディショニングされる次式のＣＦＩＥ（以下では、ＣＦＩＥ２と呼ぶ）と比較する：
2004523014.tif 000100
（３７）
この式は、式（１７）（α＝―１）と式（３４）（ｋ１＝ｉｋ、ｋ２＝ｋ）を合成することによって生成される。これらの式中での個々の演算子は、高位ナイストロームスキームを用いて離散化されている。いかなる場合も、波インピーダンスＺは単位に設定されている。
【００６６】
以下に３つの例を示して、本発明の動作を示す。第１の例は、最小の特異値に対する最大特異値の比で定義される各々の演算子の状態番号がどのように離散化の微細度に依存するかを示す。以下の表１に、各々ＣＦＩＥ演算子を球形サイズの減少で表す行列の状態番号（ＣＮ）を示す。どの場合も、合計９６０の持ち数に対して、球形をカバーするほとんど同一の８０のパッチの各々に対して６ポイント求積法ルールを応用して生成された同じ離散化を用いている。球形の半径が減少するに連れて、ＣＦＩＥ２積分演算子の状態番号は、約２で安定化し、一方、ＣＦＩＥ１の状態番号は、半径と逆比例して増加し続ける。
2004523014.tif 000101
表１  ＰＥＣ球形を収縮させるＣＦＩＥ行列の状態番号
【００６７】
第２の試験では、修正されたＣＦＩＥの反復ソルバー性能を従来のＣＦＩＥのそれと比較する。ターゲット幾何学形状は、２つのＰＥＣ球形から成るが、一方はλ／２という半径を持ち、他方は、共鳴半径、すなわち、
2004523014.tif 000102
又はｒ≒０．４３６６７４５７λに設定されている。これらの球形は、λ／１００というギャップだけ分離されている。ギャップ近くのパッチは、１０という係数で分割され、これで電流を適切に分解するが、これはそこで急速に変動する。表２に、複数の離散化の場合の反復カウント数とレーダの断面（ＲＣＳ）誤差を比較する。反復のカラムには、１０−３という残差誤差に達するのに必要な共役な勾配自乗（ＣＧＳ）ルートの反復最大回数を示す。かなりより細分化された離散化から計算されたソリューションは、正確な参考値を提供した。ここに述べる誤差は、１８１の角度における比較ソリューションのモノスタティックφφＲＣＳと基準ソリューション間の差の値の根自乗平均（ＲＭＳ）である。同位置の離散化の場合、これら２つの方法は、ほぼ同じ誤差を有していた。しかしながら、データは、離散化の細分化に対する反応において２つの方法の反復カウント動作に大きい差を示している。
2004523014.tif 000103
表２  ２つのＰＥＣ球形の場合の反復カウントとソリューション誤差対離散化
【００６８】
第３の試験もまた、２つのＣＦＩＥ公式化に対する比較された反復ソルバー性能を比較した。この場合、ターゲットは、サイズ１λ（ここで、λは放射線の波長）の立方体であった。数値結果は、５つの互いに異なった離散化の場合に対して提示され、その内の最初のものは、各々のフェースを４つの方形に分割することによって得られたメッシュ（すなわち、パッチの集合）から誘導されたものである。第２のメッシュは、各々の方形を４つのより小さい方形に分割することによって第１のものから構成された。第３のメッシュは、エッジに対して平行なラインに沿ってエッジ接触パッチを半分に分割することによって第２のものから構成されたが；２つのエッジ（すなわち、コーナーのパッチ）に隣接するパッチは、方形に分割された。第４の第５の離散化のメッシュは、第３のメッシュが第２のものから構成される手順を帰納的に応用して構成された。パッチテーパーリングとして知られるこのプロセスは、幾何学的特異性の近傍で発生するソース特異性を分解するにあたって有用である。それはまた、ストレスを従来のＣＦＩＥに印加するが、それは、エッジに近いポイントが一緒になるからである。表３に、１０−３という残留誤差に対する９２の独立した励起に対するソリューションを得るために必要なＣＧＳルーチンの反復回数の最大値と平均値を示す。未知数の合計数は、９ポイント求積法ルールを各々の方形又は矩形のパッチに用いた結果である。ＣＦＩＥ２の反復回数は、テーパーの深さが増すに連れて非常にゆっくりと増大し、一方、ＣＦＩＥ１の場合、予想通りに着実に増す。
2004523014.tif 000104
表３  １λ  ＰＥＣ立方体の場合のテーパー深さに対する反復カウント数
【００６９】
付録−第２種積分演算子
第２種積分演算子の標準的定義は、次式の形態を持つ演算子である：
2004523014.tif 000105
（３８）
ここで、λは定数であり、Ｉはアイデンティティであり、Ｋはコンパクト演算子である。散乱理論では、次式の形態の演算子に遭遇する：
2004523014.tif 000106
（３９）
ここで、λ１とλ２は定数であり、Ｐ１とＰ２は次のような直交射影演算子である：
2004523014.tif 000107
（４０）
式（３９）に示す形態の演算子は、第２種積分演算子の望ましい特性のほとんどを有する。幾分非標準的ではあるが、このような式は本明細書全体にわたって第２種演算子と呼ばれる。
【００７０】
用語と規約の用語解
2004523014.tif 000108
するものである。第１の積分演算子
2004523014.tif 000109
と第２の積分演算子
2004523014.tif 000110
があれば、それらは合成されて、次の演算子となる：
2004523014.tif 000111
【００７１】
等価表面電流−良く知られている数学定理（「等価原理」）に依れば、体積Ｖの外部のフィールドは、体積Ｓの境界にある等価ソースの分布によって完全に特定可能である。Ｓが金属ターゲット（完全導体を近似する）の表面に対応する場合、等価ソースは真の物理的表面電流に対応する。
【００７２】
手段−一般に、本発明の目的によれば、この用語は、コンピュータプログラムもしくはサブプログラム、すなわち、手段の目的であるタスクを実行するために動作するコンピュータプログラムの１部のことである。手段は、一般的には、互いに独立な、そして、ソフトウエア又はハードウエアという形態のコンピュータの命令（又はコード）という形態を持つランゲージ及びコンピュータプラットフォームと考えられる。
【００７３】
物体−この用語は、主として、等価表面電流と結果として得られる電磁散乱を決定する対象である任意形状の閉じた表面のことである。目的とする物体には、これに限定されないが、航空機やそのパーツ、自動車、タンク、ボート、ミサイル及び固定された構造体などがある。本書に記載する式は、金属などの完全導体（ＰＥＣ）素材又は近似的に完全導体素材に対するものである。しかしながら、より一般的な条件の表面散乱に発展しても、それは通常のことであり、本発明の範囲内と考えられる。例えば、２つ以上の誘電体同士間のインタフェースにまで発展させると、直接的に、その結果得られる演算子が、本書に記載する場合より少し小さい状態番号を有する結果となる。主として閉じた表面の場合に対して展開したが、本方式は、潜在的に、開放された完全導体表面の場合に発展させてもよい。
【図面の簡単な説明】
【図１】
本発明に従って用いられる汎用コンピュータシステムを示すブロック図である。
【図２ａ】
２．５λ（ここで、λは波長を表す）という直径を有する物体を示し、図３に対応する図である。
【図２ｂ】
複数の三角形パッチとしてモデリングされ、図３のエレメント３０２に対応する図２ａの物体を示す図である。
【図２ｃ】
入射フィールドを持ち、図３のエレメント３０４に対応する図２Ｂの物体を示す図である。
【図２ｄ】
入射フィールドと、入射フィールドによる等価表面ソースに起因する電磁場とを有し、図３のエレメント３０６、３０８及び３１０に対応する図２Ｃの物体を示す図である。
【図３】
物体と入射フィールドパラメータを入力するステップと、物体のモデルを複数のパッチに分割するステップと、電磁場を決定するオプションステップを含む本発明の方法を示すフローチャートである。
【図４】
ＣＤ又はＤＶＤに記憶される、本発明によるコンピュータプログラムプロダクトの図である。
【図１】
2004523014.tif 000157
【図３】
2004523014.tif 000158
【図４】
2004523014.tif 000159
【国際公開パンフレット】
2004523014.tif 000160
2004523014.tif 000161
2004523014.tif 000162
2004523014.tif 000163
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2004523014.tif 000165
2004523014.tif 000166
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2004523014.tif 000169
2004523014.tif 000170
2004523014.tif 000171
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2004523014.tif 000174
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2004523014.tif 000190
2004523014.tif 000191
2004523014.tif 000192
2004523014.tif 000193
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2004523014.tif 000195
2004523014.tif 000196
2004523014.tif 000197
2004523014.tif 000198
2004523014.tif 000199
2004523014.tif 000200
2004523014.tif 000201
2004523014.tif 000202
【国際公開パンフレット（コレクトバージョン）】
2004523014.tif 000203
2004523014.tif 000204
【国際調査報告】
2004523014.tif 000205
2004523014.tif 000206