(57)【要約】サブナイキスト周波数で規則正しくサンプリングされた第一の信号（ｘ（ｔ））を再構成するための再構成方法であり、この方法は、規則正しく間隔を空けてサンプリングされた値（ｙs ［ｎ］，ｙ［ｎＴ］）から、重み（ｃn ，ｃnr，ｃk ）とシフト量（ｔn ，ｔk ）の集合を求める措置を有し、この重みとシフト量の集合を用いて、この第一の信号（ｘ（ｔ））を再構成することができるものである。この重み（ｃk ）で重み付けされ、このシフト量（ｔk ）だけシフトされた既知の関数（γ（ｔ））の配列として、この再構成された信号（ｘ（ｔ））を表すことができる。このサンプリング周波数は、少なくともこの第一の信号（ｘ（ｔ））の革新度（ρ）に等しい。
2004532550.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
サブナイキスト周波数と一様な間隔で第二の信号（ｙ（ｔ））をサンプリングすることによって生成したサンプリング値（ｙs ［ｎ］，ｙ［ｎＴ］）の集合から、第一の信号（ｘ（ｔ））を再構成するための再構成方法であって、このサンプリング値の集合から、この第一の信号（ｘ（ｔ））を再構成することを可能とするシフト量（ｔn ，ｔk ）と重み（ｃn ，ｃnr，ｃk ）の集合を求める措置を有する再構成方法。
【請求項２】
前記の規則正しく間隔を空けてサンプリングされた値の集合は、少なくとも２Ｋ個のサンプリング値（ｙs ［ｎ］，ｙ［ｎＴ］）を有し、
前記の第一の信号（ｘ（ｔ））の種類は、既知であり、
この第一の信号（ｘ（ｔ））の帯域幅（Ｂ，｜ω｜）は、Ｔをサンプリング間隔として、ωm ＝π／Ｔより広く、
この第一の信号（ｘ（ｔ））の革新度（ρ）は、有限であり、
この既知の種類の信号に対応する、構造を持った連立一次方程式を解くことにより、このサンプリング値の集合から、この第一の信号を忠実に再構成する請求項１に記載の再構成方法。
【請求項３】
前記の再構成された信号（ｘ（ｔ））は、前記のサンプリングされた信号（ｙ（ｔ））を忠実に表すものであるか、あるいは既知の伝達関数（φ（ｔ））によって、前記のサンプリングされた信号（ｙ（ｔ））と関連付けられる信号（ｘi （ｔ））を忠実に表すものである請求項１または２のいづれか一つに記載の再構成方法。
【請求項４】
前記の伝達関数（φ（ｔ））は、前記の第二の信号（ｙ（ｔ））を収集するために用いられる測定器の伝達関数、および／または前記の第二の信号（ｙ（ｔ））が伝送されてきた伝送チャネル（５）の伝達関数を含むものである請求項３に記載の再構成方法。
【請求項５】
前記の再構成された信号（ｘ（ｔ））は、前記の重み（ｃk ）によって重み付けされ、前記のシフト量（ｔk ）だけシフトされた既知の関数（γ（ｔ））の配列として表すことができる請求項１〜４までのいづれか一つに記載の再構成方法。
【請求項６】
前記のサンプリング周波数は、少なくとも前記の第一の信号（ｘ（ｔ））の革新度（ρ）に等しい請求項１〜５までのいづれか一つに記載の再構成方法。
【請求項７】
前記のシフト量（ｔk ）を求めるために、第一の連立方程式を解き、前記の重み（ｃk ）を求めるために、第二の連立方程式を解く請求項１〜６までのいづれか一つに記載の再構成方法。
【請求項８】
前記の第一の連立方程式における値を定義するために、前記のサンプリング値（ｙs ［ｎ］）のフーリエ係数（Ｘ［ｍ］）を計算する請求項７に記載の再構成方法。
【請求項９】
以下の措置を含む請求項１〜８までのいづれか一つに記載の再構成方法。
前記の第一の信号（ｘ（ｔ））の少なくとも２Ｋ個のスペクトル値（Ｘ［ｍ］）を見い出す措置と、
無効化フィルタを用いて、これらのスペクトル値（Ｘ［ｍ］）から、前記の任意のシフト量（ｔn ，ｔk ）を求める措置。
【請求項１０】
前記の第一の信号（ｘ（ｔ））は、有限な革新度（ρ）を持つ周期的な信号である請求項１〜９までのいづれか一つに記載の再構成方法。
【請求項１１】
前記の第一の信号（ｘ（ｔ））は、周期的な区分的多項式信号であり、以下の措置を含む請求項１０に記載の再構成方法。
前記の第一の信号（ｘ（ｔ））の２Ｋ個のスペクトル値（Ｘ［ｍ］）を見い出す措置と、
無効化フィルタを用いて、これらのスペクトル値から、前記の第一の信号（ｘ（ｔ））の微分形（ｘR+1 （ｔ））を見い出す措置と、
この微分形を積分して、この第一の信号（ｘ（ｔ））を見い出す措置。
【請求項１２】
前記の第一の信号（ｘ（ｔ））は、重み付けされたディラックパルスの有限な系列（
【数１】
2004532550.tif 000054
）であり、以下の措置を含む請求項１０に記載の再構成方法。
補間フィルタの根を見い出して、これらのパルスのシフト量（ｔn ，ｔk ）を見い出す措置と、
連立一次方程式を解いて、これらのパルスの重み（振幅係数）（ｃn ，ｃk ）を見い出す措置。
【請求項１３】
前記の第一の信号（ｘ（ｔ））は、有限な革新度（ρ）を持つ有限長の信号である請求項１〜９までのいづれか一つに記載の再構成方法。
【請求項１４】
前記の再構成された信号（ｘ（ｔ））は、ｓｉｎｃ伝達関数（φ（ｔ））によって、前記のサンプリングされた信号（ｙ（ｔ））に関連付けられる請求項１３に記載の再構成方法。
【請求項１５】
前記の再構成された信号（ｘ（ｔ））は、ガウス形の伝達関数（
【数２】
2004532550.tif 000055
）によって、前記のサンプリングされた信号（ｙ（ｔ））に関連付けられる請求項１３に記載の再構成方法。
【請求項１６】
前記の第一の信号（ｘ（ｔ））は、革新度（ρ，ρT ）が局所的に有限である無限長の信号であり、この第一の信号（ｘ（ｔ））の連続する間隔の部分を再構成する複数の連続した措置を有する請求項１〜９までのいづれか一つに記載の再構成方法。
【請求項１７】
前記の再構成された信号（ｘ（ｔ））は、スプライン伝達関数（φ（ｔ））によって、前記のサンプリングされた信号（ｙ（ｔ））に関連付けられる請求項１６に記載の再構成方法。
【請求項１８】
前記の第一の信号（ｘ（ｔ））は、二値信号である請求項１６〜１７までのいづれか一つに記載の再構成方法。
【請求項１９】
前記の第一の信号（ｘ（ｔ））は、二値のスプライン信号である請求項１６〜１８までのいづれか一つに記載の再構成方法。
【請求項２０】
前記の第一の信号（ｘ（ｔ））は、ＣＤＭＡまたは超広帯域信号である請求項１〜９までのいづれか一つに記載の再構成方法。
【請求項２１】
請求項１〜２０までのいづれか一つに記載の方法を実行することにより、サンプリングされた信号（ｘ（ｔ））を再構成するための回路。
【請求項２２】
デジタル処理システムの内部メモリに直接的にロード可能なコンピュータプログラム製品であって、この製品をこのデジタル処理システムで動作させて、請求項１〜２０までのいづれか一つに記載の方法を実行するためのソフトウェアコード部を有するコンピュータプログラム製品。
【請求項２３】
第一の信号（ｘ（ｔ））をサンプリングするためのサンプリング方法であって、その際この第一の信号（ｘ（ｔ））は、任意のシフト量（ｔn ，ｔk ）だけ遅延させられ、任意の振幅係数（ｃn ，ｃk ）によって重み付けされた、有限な数（Ｋ）の既知の関数（δ（ｔ），γ（ｔ），γr （ｔ））を重ね合わせることによって、有限な時間間隔（τ）にわたって表すことができ、
この方法は、この第一の信号（ｘ（ｔ））のサンプリング核（Φ（ｔ），φ（ｔ））による畳み込み積分を有するとともに、規則正しいサンプリング周波数（ｆ，１／Ｔ）を利用しており、
このサンプリング核（Φ（ｔ），φ（ｔ））とこのサンプリング周波数（ｆ，１／Ｔ）を、これらのサンプリング値（ｙs ［ｎ］，ｙ［ｎＴ］）がこの第一の信号（ｘ（ｔ））を完全に特定するように選択して、この第一の信号（ｘ（ｔ））の完全な再構成を可能とし、
このサンプリング周波数（ｆ，１／Ｔ）は、シャノンの定理によって与えられる周波数より低いが、この有限な数（Ｋ）をこの有限な時間間隔（τ）で割った数の二倍より大きいか、または等しいことを特徴とするサンプリング方法。
【請求項２４】
前記の第一の信号（ｘ（ｔ））は、帯域制限されておらず、ならびに前記のサンプリング核（φ（ｔ））は、零でないサンプリング値の数が２Ｋより大きくなるように選択される請求項２３に記載のサンプリング方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
この発明は、信号をサンプリングおよび／または再構成するためのサンプリング方法、再構成方法、ならびに関連機器に関する。
【背景技術】
【０００２】
あらゆる科学および技術分野におけるデジタル機器の利用の増加にともない、信頼性のあるデータ収集機器に対する需要が同様に増加している。これらの機器の役割は、連続的な時間の次元におけるアナログ信号または波形を収集して、これらを時間に関して離散的なデジタル信号に変換することであり、これに続いてこれらのデジタル信号は、例えばこのアナログ波形の処理、復号または再構成のようなコンピュータによる操作を行うために、これらのデジタル機器によって処理することができるものである。このようなデータ収集機器は、例えば科学的な測定、医学および生物学的な信号処理、電気通信技術等を含む、科学および技術の多くの分野で利用されている。
【０００３】
これらのデータ収集機器は、一様なサンプリング間隔と規則正しいサンプリング周波数でアナログ波形をサンプリングし、そのようにしてサンプリングされた信号のサンプリング値の集合を生成するものである。ほとんどのサンプリング構成においては、アナログ波形を完全に表し、そして結局のところ忠実な再構成を可能とするために必要な、代表的なサンプリング値の最小限の集合を用いることが重要である。言い換えると、第一の信号を忠実に表すことを可能であり、なおかつ最も低いサンプリング周波数が目標である。
【０００４】
現在一般的なデータ収集機器で用いられているサンプリングおよび再構成方法は、ホイッタカー、カテリニコフおよびシャノンの標本化定理にもとづいている。
【０００５】
この定理は、周波数帯［−ωm ，ωm ］に帯域制限された信号、例えば受信信号ｙ（ｔ）は、サンプリング周波数２π／Ｔがこの帯域幅ωm の少なくとも２倍であれば、一様なサンプリング間隔Ｔの間隔を持つサンプルｙs ［ｎ］によって完全に表すことができるということを述べている。
【０００６】
このサンプリング形態を、図１に示す。この定理によって与えられる最低限のサンプリング周波数２ωm は、一般的にナイキスト周波数またはシャノン周波数と呼ばれている。言い換えると、最低サンプリング周波数は、サンプリングおよび／または再構成するアナログ信号ｙ（ｔ）の帯域幅に直接的に依存する。
【０００７】
この標本化定理に関連した再構成方法は、一つのサンプリング間隔Ｔの値だけ規則正しく遅延させられ、サンプリングされた信号の連続するサンプリング値ｙs ［ｎ］によって重み付けされた、規則正しく間隔を空けられたsinc関数を重ね合わせることによって、信号ｙ（ｔ）の完全な再構成を可能とするものである。この良く知られた再構成の形態は、図２に描かれており、そこではブロック１は、sinc再構成フィルタを表している。
【０００８】
サンプリングおよび／または再構成する信号ｙ（ｔ）が帯域制限されていない信号であるか、またはその帯域幅が許容できるサンプリング周波数でサンプリングできる広さより相当に広い場合には、通常はその信号を低域通過フィルタでフィルタ処理し、そのようにしてその信号の帯域制限された低域通過形式を生成する。次に、この信号の低域通過形式は、上述したサンプリングおよび再構成の形態でサンプリングおよび再構成することができる。この低域通過フィルタ処理は、専用の低域通過フィルタ、信号ｙ（ｔ）を伝送する伝送チャネルの伝達関数、および／または測定器あるいはこの信号を収集するために用いられる復調回路の伝達関数によって実施することができる。
【０００９】
そのため、帯域制限されていない信号ｙ（ｔ）、またはサンプリング周波数２ωm の半分より高い周波数に対して零でないフーリエ係数を持つ周波数スペクトルを有する帯域制限された信号をサンプリングおよび再構成する場合、現在のサンプリングおよび再構成方法では、サンプリングされた信号に関して再構成された信号には歪が含まれてしまうことになる。
【００１０】
上記の問題を避けるためには、通常はより高いサンプリング周波数を利用し、そのようにしてより広い範囲の信号の完全な再構成を可能とするとともに、帯域制限されていない信号または広帯域の信号に対する歪を最小化している。しかし、高いサンプリング周波数は、高速、高価ならびに高電力消費のＡ／Ｄコンバータ、高速デジタル回路を必要とするとともに、デジタル化された信号を保存するための記憶スペースを浪費してしまうことになる。
【００１１】
さらに、帯域制限されず、そのため周知の方法では、サンプリング周波数を上げてもサンプリングおよび忠実に再構成できない広範な種類の非常に一般的な信号が存在し、ディラックパルス、２値信号、区分的多項式信号等の系列などである。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１２】
この発明の目的は、少なくとも幾つかの種類の帯域制限されていない信号をサンプリングするとともに、このサンプリング方法で生成されたサンプルから、これらの信号の正確な再構成を可能とする、サンプリング方法および関連する再構成方法を見い出すことである。
【００１３】
この発明の他の目的は、少なくとも幾つかの種類の帯域制限された信号を、シャノンの標本化定理により与えられる周波数より低いサンプリング周波数でサンプリングし、なおかつこれらの信号の正確な再構成を可能とする、サンプリング方法および関連する再構成方法を見い出すことである。
【００１４】
この発明の他の目的は、必ずしも帯域制限された伝達特性を持たない、不完全な測定器、伝送チャネルおよび／または変調システムを通してしか得ることができない、有限な革新度を持つ信号をサンプリングし、忠実に再構成するための改善された方法を見い出すことである。
【課題を解決するための手段】
【００１５】
これらの目的は、対応する独立請求項の特徴を有するサンプリング方法および再構成方法によって達成される。
【００１６】
特に、これらの目的は、有限な革新度を持つ、すなわち有限な時間間隔にわたって、有限な数２Ｋの自由度を持つ信号をサンプリングし、忠実に再構成するための新しいサンプリング方法によって達成される。特に、この発明は、任意のシフト量（ｔn ，ｔk ）だけ遅延させられ、任意の振幅係数ｃn ，ｃk によって重み付けされた、有限な数Ｋの既知の関数を重ね合わせるすることによって、完全に表すことができる信号のサンプリングおよび再構成に関する。
【００１７】
シャノンの定理は、帯域制限された信号は、サンプリング周波数がその帯域幅の少なくとも２倍であれば、一様なサンプリング間隔で採取されたサンプリング値ｙs ［ｎ］によって正確に特定することができることを示している。この発明は、より広い種類の信号、すなわち有限な時間間隔にわたって、有限な数２Ｋの自由度を持つ信号は、シフト量および関連する重みの有限な集合によって、正確に特定することができることを見い出したことにもとづいている。多くの一般的な場合において、最小の数値２Ｋは、または２Ｋ＋１でも、既存の再構成方法で信号を忠実に再構成するのに必要なサンプル数より相当に小さいものであるということを示すことができる。
【００１８】
一つの例として、ＣＤＭＡ通信システムの場合には、各ユーザによって送信される各々の信号の各シンボル（情報ビット）は、例えば１０２３のチップ長が可能な符号化シーケンス（署名）で変調される。そのため、この場合には、伝送される信号のチップレートは、そのシンボルレートよりも１０２３倍速くなる。このように、符号化シーケンスで信号を変調することは、拡大率の値、ここでは１０２３倍に、その信号の帯域幅を拡大することになる。このため、受信したＣＤＭＡ信号を従来のサンプリングおよび再構成方法でサンプリングおよび再構成するには、非常に高速で、そのため複雑で高価なアナログサンプリング機器を必要とする。各受信した署名における自由度数は、最大で２（署名のシフト量および重み）なので、この発明の方法は、送信されたシンボル配列の忠実な再構成を可能としつつ、相当により低い周波数で受信した信号をサンプリングするために利用することができる。
【００１９】
この発明のサンプリング方法においてもまた、信号（または信号のフィルタ処理された形式）は、例えば、一般的な規則正しく計時するサンプリング機器を用いて、一様なサンプリング間隔でサンプリングされるということを理解することが重要である。シフトされた値の集合を計算するのは、サンプリング値の集合から信号を再構成するためだけである。ほとんどの場合、これらのシフトされた値は、再構成する信号のサンプルには相当しない。
【００２０】
この発明のサンプリング方法は、まず信号ｘ（ｔ）をサンプリング核で畳み込み積分し、次にこの畳み込み積分した信号を規則正しいサンプリング間隔でサンプリングするものであり、これらのサンプリング核とサンプリング周波数の両方は、サンプリング値が第一の信号を完全に特定するように選択され、そのようにしてこの第一の信号の完全な再構成が可能としている。この発明のサンプリング方法に用いられるサンプリング周波数は、シャノンの定理で与えられる周波数より低くすることができるが、再構成する信号の革新度より大きいか、または等しいものである。
【００２１】
この発明の再構成方法は、第一の信号ｘ（ｔ）から取得したサンプリング値の集合またはサブナイキスト周波数で規則正しくサンプリングした第二の関連する信号ｙ（ｔ）を元にして、この規則正しく間隔を空けたサンプリング値から、第一の信号を完全に特定および再構成することができるシフト量と重みの集合を求めることによって、第一の信号ｘ（ｔ）を再構成するものである。
【００２２】
特に、この発明の再構成方法は、少なくとも２Ｋ個のサンプリング値の集合から、任意のシフト量だけ遅延させられ、任意の振幅率（重み）によって重み付けされたＫ個の既知の関数を重ね合わせることによって表すことができる、あらゆる信号を再構成するために利用することができる。この発明の再構成方法の好ましい実施形態は、まず前記の任意のシフト量を求めるために、構造を持った連立一次方程式を解いて、次にその前に求めた任意のシフト量を用いて、前記の任意の重みを求めるという措置を有するものである。
【００２３】
幾つかの用途に対しては、シフト量を求めるだけで十分であり、重みは、信号の完全な再構成が必要な場合にだけ必要であることに留意されたい。そのようなケースは、例えば異なる伝搬経路を通った異なるユーザの信号に発生する相対的な遅延（シフト量）を評価したいと考える、ＣＤＭＡ復号器における評価セッション時である。
【００２４】
この発明の方法に必要な最低サンプリング周波数は、サンプリングおよび／または再構成する信号の革新度に直接的に依存し、従来技術の方法のように帯域幅には依存しないものである。より詳細には、この発明のサンプリング方法に必要なサンプリング周波数は、サンプリングする信号の革新度より大きいか、または等しくなければならない。このため、最低サンプリング周波数は、幾つかの帯域制限されていない信号の場合も含み、有限な革新度を持つあらゆる信号に対して決定することができる。
【００２５】
この明細書および請求項において、信号の革新度ρは、一つの時間間隔内における信号の自由度の数として定義される。例えば、Ｋ個の重み付けされたディラックパルスから成る信号ｘ（ｔ）は、たとえ明らかに帯域制限されていない場合でも、これらのディラックδ関数のＫ個の発生回数（シフト量）ｔK とＫ個の振幅（重み）ｃK によって、完全に特定することができる。この信号は、以下の数式のとおり記述することができる。
【００２６】
【数１】
2004532550.tif 000003
【００２７】
この信号の自由度は、２Ｋである。このため、その革新度ρは、有限であり、τをこれらのＫ個のディラックパルスが発生する時間間隔とした場合、２Ｋ／τとなる。
【００２８】
このディラックパルス関数δ（ｔ）を、その他のどのような既知の関数γ（ｔ）で置き換えても、この信号の自由度数は、明らかに常に２Ｋのままであり、それはＫ個の発生回数またはシフト量ｔK と、Ｋ個の振幅または重みｃK である。
【００２９】
無限の時間連続する信号、例えばパルス間の間隔Ｔを持つ規則正しく間隔を空けたディラックパルス配列のより一般的なケースを考えると、この信号は、以下の数式のとおり表すことができる。
【００３０】
【数２】
2004532550.tif 000004
【００３１】
この場合、信号の自由度は、係数ｃn である。そのため、時間間隔Ｔ当りの自由度数は、１に等しい。このため、この信号の革新度は、ρ＝１／Ｔである。そのような信号は、例えばパルス振幅変調（ＰＡＭ）信号であり、その場合係数ｃn は、伝送する情報データの値を表す。
【００３２】
またもや、このディラックパルス関数δ（ｔ）をその他のどのような既知の関数γ（ｔ）で置き換えても、この信号の革新度は変わらない。
【００３３】
【数３】
2004532550.tif 000005
【００３４】
そのため、上の数式の信号も、革新度ρ＝１／Ｔを持つ。そのような信号には、多くの例があり、例えばγ（ｔ）がウェーブレット多重解像度構造または一様なスプラインを用いた近似理論におけるスケール関数である場合である。
【００３５】
この関数γ（ｔ）の重ね合わせるコピーを任意のシフト量ｔn だけシフトすると、この信号は、以下の数式のとおり記述することができる。
【００３６】
【数４】
2004532550.tif 000006
【００３７】
この関数γ（ｔ）は既知であると仮定すると、時間間隔Ｔにわたってのこの信号の自由度は、重みｃn とシフト量ｔn である。そのため、革新度は、ρ＝２ｎ／Ｔとなる。
【００３８】
信号は、唯一つの関数γ（ｔ）に代わって、既定の関数の集合｛γr （ｔ）｝r=0,...,R の重ね合わせとして表すこともできる。そのため、以下の数式のとおり記述することができる。
【００３９】
【数５】
2004532550.tif 000007
【００４０】
例えば、γr は、ディラックδ関数、微分したディラックδ関数、多項式の関数やこれらと同様のものであり、マルチユーザＣＤＭＡ信号ｘ（ｔ）は、ユーザの複数の重み付けされ、シフトされた既知の署名γr の総和である。
【００４１】
またもや、この関数γr （ｔ）は既知であると仮定すると、この信号ｘ（ｔ）の自由度は、係数ｃnrと時間点ｔn である。時間間隔［ｔa ，ｔb ］における信号ｘ（ｔ）の自由度数を計数する計数関数ｃx （ｔa ，ｔb ）を導入すると、革新度ρは、以下の数式のとおり定義することができる。
【００４２】
【数６】
2004532550.tif 000008
【００４３】
有限な革新度ρを持つ信号は、単位時間当り少なくともρ／２個の重み（ｃn ，ｃnr，ｃk ）とρ／２個のシフト（ｔn ，ｔk ）、および再構成する信号の種類（パルスの系列、区分的多項式等）にだけ依存する関数γr （ｔ）の知識で完全に決定できるとともに、忠実に再構成することができる。
【００４４】
革新度ρは、移動する窓サイズτに関して局所的に定義することもできる。窓時間τとすると、時間ｔにおける局所的な革新度
【００４５】
【数７】
2004532550.tif 000009
【００４６】
は、以下の数式のとおりとなる。
【００４７】
【数８】
2004532550.tif 000010
【００４８】
この場合、信号の革新度
【００４９】
【数９】
2004532550.tif 000011
【００５０】
は、この発明のサンプリング方法で信号をサンプリングするために必要な最低限の所要サンプリング周波数を決定するので、以下の局所的な最大革新度ρmax （τ）を決定する必要がある。
【００５１】
【数１０】
2004532550.tif 000012
【００５２】
この新しいサンプリングおよび再構成方法の用途は、信号処理、通信システムおよび生物学システムを含む多くの技術分野に見い出すことができる。このサンプリングおよび再構成方法は、例えば、特にＣＤＭＡ信号のような広帯域通信信号、またはＰＰＭ信号および時間変調超広帯域信号のような超広帯域通信信号をサンプリングおよび再構成するために利用することができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００５３】
新しいサンプリング方法および関連する再構成方法を有限な革新度を持つ異なった種類の信号に適用した様々な実施形態をこの明細書の中で説明する。しかし、当業者は、この発明がここに挙げた特定の例に限定されるものではないこと、ならびに有限な革新度を持つその他の種類の信号をサンプリングおよび再構成することによっても、有利な技術効果を得ることができることを理解するものと考える。
【００５４】
この発明は、図面の助けをかりてより良く理解されるものである。
【００５５】
図３は、この発明のサンプリングおよび再構成方法を利用することができる通信システムを図式的に描いている。このシステムは、既知の伝達関数φ1 （ｔ）を持つ変調器３によって変調された信号ｘ1 （ｔ）を有する。結果として得られた変調信号ｘ2 （ｔ）は、伝達関数φ2 （ｔ）を持つ伝送チャネル５上を伝送される。信号ｘ3 （ｔ）にはノイズが加えられる場合もある。この伝送された信号ｘ3 （ｔ）は、伝達関数φ3 （ｔ）を持つ測定器７によって収集または測定される。測定された信号ｘ4 （ｔ）は、既知の伝達関数φ4 （ｔ）を持つ復調器９によって復調される。復調された信号ｘ5 （ｔ）は、既知の伝達関数φ5 （ｔ）を持つフィルタ、例えばサンプリング回路における低域通過フィルタによってフィルタ処理される。以降では、サンプリングされた信号ｙ（ｔ）を再構成したい信号ｘi （ｔ）と関連付ける伝達関数φi （ｔ）の連結したものをφ（ｔ）で表し、再構成された信号をｘ（ｔ）で表す。フィルタ処理された信号ｘ6 （ｔ）＝ｙ（ｔ）は、サブナイキスト周波数で動作するサンプリング機器１３によって、一様なサンプリング間隔でサンプリングされ、サンプリング値ｙs ［ｎ］の集合を生成する。このサンプリング値の集合は、保存、処理、伝送等を行うことができるとともに、再構成機器１５において、信号ｙ（ｔ）を再構成するために、あるいは伝達関数φi （ｔ）が既知である場合、または少なくともそれらがそれぞれ有限な革新度を持つ場合には、信号ｘi （ｔ）のいづれかを再構成するために利用することができる。用途に従って、サンプリングされた信号ｙ（ｔ）、あるいは既知の伝達関数によって、または少なくともそれ自身が有限な革新度を持つ伝達関数によってサンプリングされた信号ｙ（ｔ）と関連付けられた信号ｘi （ｔ）のいづれかの再構成が求められる。
【００５６】
図４は、この発明のサンプリング方法を実行することができる、フィルタ１１を持つサンプリング機器１３を描いている。このサンプリング機器の目的は、既知の有限な革新度ρを持つ信号ｙ（ｔ）からサンプリング値ｙs ［ｎ］の集合を生成することであり、この場合これらの値ｙs ［ｎ］の集合は、再構成する信号ｘ（ｔ）を完全に特定しなければならない。
【００５７】
この発明のサンプリング方法にもとづくと、サンプリングする信号ｘ（ｔ）は、最初にインパルス応答φ（ｔ）、例えばφ5 （ｔ）を持つ低域通過フィルタ、例えば図３のシステムにおける低域通過フィルタ１１または構成要素３〜１１を連結したものでフィルタ処理される。有利には、この低域通過フィルタのインパルス応答φ5 （ｔ）は、ρ／２の帯域幅を持つ。
【００５８】
再構成する信号をｘ（ｔ）とすると、そのフィルタ後の信号は、
【００５９】
【数１１】
2004532550.tif 000013
【００６０】
となり、この場合
【００６１】
【数１２】
2004532550.tif 000014
【００６２】
で、畳み込み積分の核（フィルタ３〜１１の伝達関数）である。
【００６３】
次に、サンプリング間隔Ｔでｙ（ｔ）を一様にサンプリングすると、以下の数式で与えられるサンプリング値ｙs ［ｎ］が得られる。
【００６４】
【数１３】
2004532550.tif 000015
【００６５】
再構成する信号ｘ（ｔ）の革新度より大きいか、または等しいサンプリング周波数ｆ＝１／Ｔを選ぶことによって、以下における制限を設けるものではない例によって表されるように、これらのサンプルｙs ［ｎ］は、信号ｘ（ｔ）の忠実な再構成または復号を可能とするものであることを示す。
【実施例１】
【００６６】
有限な革新度を持つ周期的な信号
この実施形態においては、この新しいサンプリングおよび再構成方法が、周期τにわたって有限な革新度ρを持つ周期的な第一の信号ｘ（ｔ）をサンプリングおよび／または再構成するために適用されている。例として、重み付けされたディラックδ関数および周期的な区分的多項式の系列を考える。この例証は、連続的な時間の周期的な信号を用いて行うが、離散的な時間の周期的な信号でも同様の結果を得ることができる。
【００６７】
重みｃk で重み付けされ、周期τを持つ、位置ｔk におけるＫ個のディラックδ関数の周期的な系列は、以下の数式のとおり記述することができる。
【００６８】
【数１４】
2004532550.tif 000016
【００６９】
ディラックδ関数の系列ｘ（ｔ）の一つの周期τを図５に示す。このように、ｘ（ｔ）の各周期は、シフト量ｔk で遅延され、重みｃk で重み付けされたＫ個のディラックδ関数の重ね合わせによって表すことができる。このため、この信号ｘ（ｔ）は、Ｋ個のディラックδ関数のＫ個の振幅とＫ個のシフト量の値を知ることによって、完全に決定することができる。そのため、この信号は、周期τ当り２Ｋ個の自由度を持ち、その革新度ρは、２Ｋ／τに等しい。しかし、ｘ（ｔ）の帯域幅は、明らかに制限されていないので、その結果ｘ（ｔ）は、既存の方法ではサンプリングおよび忠実に再構成することはできない。
【００７０】
この発明のサンプリング方法にもとづくと、この第一の信号ｘ（ｔ）は、まずサンプリング関数φ（ｔ）、例えば帯域幅［−Ｋ／τ，Ｋ／τ］のｓｉｎｃサンプリング核を持つフィルタ３〜１１によって畳み込み積分され、次に２Ｋ／τより大きいサンプリング周波数ｆ＝１／Ｔでサンプリングされる。
【００７１】
この信号ｘ（ｔ）のフーリエ級数の係数Ｘ［ｍ］は、以下の数式のとおりとなる。
【００７２】
【数１５】
2004532550.tif 000017
【００７３】
第一の信号ｘ（ｔ）を帯域幅［−Ｋ／τ，Ｋ／τ］のｓｉｎｃサンプリング核で畳み込み積分した結果のフィルタ処理された信号ｙ（ｔ）は、第一の信号ｘ（ｔ）の低域通過近似であり、以下の数式で与えられる。
【００７４】
【数１６】
2004532550.tif 000018
【００７５】
図７は、ｙ（ｔ）のフーリエ級数Ｙ［ｍ］の係数を示している。
【００７６】
このフィルタ処理された信号ｙ（ｔ）の一つの周期τをＴの倍数の位置でサンプリングして、Ｍ＝τ／Ｔ個のサンプリング値ｙs ［ｎ］が得られる。好ましい実施形態においては、Ｔはτを除算する方である。
【００７７】
【数１７】
2004532550.tif 000019
【００７８】
この場合、ｎ∈［０，τ／Ｔ−１］である。
【００７９】
ｙ（ｎＴ）は周期性を持ち、周期τ／Ｔである。図８は、ｙs ［ｎ］のフーリエ級数の係数Ｙs ［ｍ］を示している。フーリエ係数Ｙs ［ｍ］は、例えば良く知られた高速フーリエ変換（ＦＦＴ）法を用いることによって、フィルタ処理されたｙ（ｔ）のＮ個のサンプリング値ｙ（ｎＴ）の集合から計算することができる。
【００８０】
周期当りのサンプル数τ／Ｔ個が２Ｋ＋１より大きいか、または等しい場合、サンプルｙs ［ｎ］は、ｘ（ｔ）を十分に表すものであることを示すことができる。
【００８１】
係数Ｙs ［ｍ］から信号ｘ（ｔ）を再構成するために、以下の方法を利用することができる。周知の方法でサンプルｙs ［ｎ］から計算したフーリエ係数Ｘ［ｍ］は、Ｋ個の複素数の指数関数の一次結合である。
【００８２】
【数１８】
2004532550.tif 000020
【００８３】
Ｋ個のディラックδ関数のシフト量ｔk は、例えば無効化フィルタ（annihilating filter ）を用いて、サンプルから決定することができる。フィルタ（１−ｚ-1ｕk ）は、以下の場合、
【数１９】
2004532550.tif 000021
に対する無効化フィルタと呼ばれる。
【００８４】
【数２０】
2004532550.tif 000022
【００８５】
シフト量ｔk を見い出すためには、係数が（１，Ｈ[1] ，Ｈ[2] ，... ，Ｈ[K] ）であるか、または以下のとおりであり、
【００８６】
【数２１】
2004532550.tif 000023
【００８７】
そして各係数
【数２２】
2004532550.tif 000024
を無効化する無効化フィルタＨ（ｚ）を決めなければならない。ディラックδ関数のＫ個のシフト量｛ｔ0 ，ｔ1 ，... ，ｔk-1 ｝は、フィルタＨ（ｚ）のゼロ値によって与えられるか、または少なくとも求められることを示すことができる。
【００８８】
以下のＨに関する、構造を持った連立一次方程式を解くことによって、フィルタＨ（ｚ）を見い出すことができる。
【００８９】
【数２３】
2004532550.tif 000025
【００９０】
この行列は、連立トエプリッツ方程式なので、この解を見い出すために高速なアルゴリズムが利用可能である。この連立式は、最初の行列が可逆であれば、一意の解を持ち、これは、ｘ（ｔ）におけるＫ個のディラックδ関数のすべてが相異なる場合、すなわちｔk ≠ｔl ，∀ｋ≠ｌの場合である。
【００９１】
係数１，Ｈ[1] ，Ｈ[2] ，... ，Ｈ[K] が与えられると、フィルタＨ（ｚ）は、以下のとおりその根に因数分解することができる。
【００９２】
【数２４】
2004532550.tif 000026
【００９３】
これにより、上記のｕk とｔk 間の関係を用いて、Ｋ個のシフト量ｔk が求められる。
【００９４】
シフト量ｔk が与えられると、Ｋ個の重みの値ｃk は、以下の数式を解くことによって見い出すことができる。
【００９５】
【数２５】
2004532550.tif 000027
【００９６】
これは、以下の連立ヴァンデルモンド方程式になる。
【００９７】
【数２６】
2004532550.tif 000028
【００９８】
これは、Ｋ個のシフト量ｔk が相異なる場合、すなわちｔk ≠ｔl ，∀ｋ≠ｌの場合またもや一意の解を持つ。このマトリックスは、ＫｘＫの連立ヴァンデルモンド方程式なので、周知の高速な解法が利用可能である。
【００９９】
この結果は、微分されたディラックδ関数の周期的な系列に容易に展開することができる。
【０１００】
【数２７】
2004532550.tif 000029
【０１０１】
この場合、すべてのｎに対して周期性条件ｔn+K ＝ｔn ＋τおよびｃn+K,r ＝ｃnrである。
【０１０２】
この第一の信号ｘ（ｔ）は、以下の場合、Ｋ個のシフト量ｔk とＫ’個の重みｃnrによって、完全に決定される。この場合、以下の数式のとおりである。
【０１０３】
【数２８】
2004532550.tif 000030
【０１０４】
これは、周期τ当り最大Ｋ＋Ｋ’個の自由度をもたらす。このため、革新度ρは、以下のとおりとなる。
【０１０５】
【数２９】
2004532550.tif 000031
【０１０６】
この前の例と同じ新しいサンプリング方法を適用して、まずこの信号は、前記の第一の信号ｘ（ｔ）の革新度ρより大きいか、または等しい帯域幅Ｂのサンプリング核で畳み込み積分され、次にＢとρの内の大きい方より大きいか、または等しい周波数でサンプリングされる。帯域幅Ｂが革新度ρより大きい時の周波数ρでのサンプリングでさえも、限定された数の解が得られ、それらの中に良い解を見込める場合が多い。
【０１０７】
そして、このようにして生成されたサンプリング値ｙ（ｎＴ）は、ｘ（ｔ）が重み付けされたディラックδ関数の周期的な系列である場合に用いられる再構成方法の実施形態の変化形の同様な措置を用いて、スペクトル値Ｘ［ｍ］を再生するのに十分であり、さらに同様にシフト量ｔk とＫ’個の重みｃnrの再生に繋がるものである。
【０１０８】
ここでは、この結果を周期τの周期的な区分的多項式信号の種類に属し、各周期に最大次数Ｒの区分をＫ個持つ信号ｘ（ｔ）に拡張する。周期的な区分的多項式ｘ（ｔ）をＲ＋１回微分すると、Ｋ個の重み付けされ、シフトされたディラックδ関数の系列か、またはディラックδ関数の微分が、以下の数式のとおり得られる。
【０１０９】
【数３０】
2004532550.tif 000032
【０１１０】
このため、周期的な区分的多項式信号ｘ（ｔ）は、Ｋ個のシフト量ｔk とＫ’＝（Ｒ＋１）Ｋ個の重みによって完全に決定される。その革新度ρは、以下のとおりである。
【０１１１】
【数３１】
2004532550.tif 000033
【０１１２】
この微分演算子のフーリエ係数は、Ｄ［ｍ］＝ｉ２πｍによって定義され、そのため微分された信号ｘ(R+1) （ｔ）のフーリエ係数Ｘ(R+1) ［ｍ］は、以下のものと等しい。
Ｘ(R+1) ［ｍ］＝（ｉ２πｍ／τ）R+1 Ｘ［ｍ］
この場合、すべてのｎに対して周期性条件ｔn+K ＝ｔn ＋τおよびｃn+K,r ＝ｃnrである。
【０１１３】
この第一の信号ｘ（ｔ）は、Ｋ個のシフト量ｔk とＫ’＝（Ｒ＋１）Ｋ個の重みによって完全に決定される。このため、その革新度ρは、以下のとおりである。
【０１１４】
【数３２】
2004532550.tif 000034
【０１１５】
この前の例と同じ新しいサンプリング方法を適用して、ｘ（ｔ）は、まず前記の第一の信号ｘ（ｔ）の革新度ρより大きいか、または等しい帯域幅Ｂの核φ（ｔ）、例えば微分されたｓｉｎｃサンプリング核、または別の微分された核で畳み込み積分される。
【０１１６】
次に、値ｙs ［ｎ］の集合を得るために規則正しく間隔を空けたτ／Ｔ個のサンプルを収集することができ、この値の集合からは、前述した無効化フィルタ法を用いて、次数Ｒの周期的な区分的多項式信号ｘ（ｔ）を忠実に再構成することができる。
【０１１７】
同様の再構成方法は、次数Ｒの周期的な一様でないスプライン、すなわち（Ｒ＋１）次の微分がＫ個の重み付けされ、シフトされたディラックδ関数の周期的な系列である信号をサンプリングおよび再構成するために適用することができる。同じく、同様の再構成方法は、周期的なフィルタ処理された区分的多項式信号に対して適用することができる。
【０１１８】
さらに、このサンプリングおよび再構成方法は、帯域制限された区分的信号、すなわち急変または不連続部分を除いて帯域制限された信号に適用することができる。帯域制限された区分的信号は、ディラックδ関数の系列および／または区分的多項式信号を持つ帯域制限された信号の総和と見なすことができる。
【０１１９】
ｘ（ｔ）＝ｘBL（ｔ）＋ｘPP（ｔ）であり、この場合ｘBL（ｔ）は、Ｌ帯域制限信号であり、ｘPP（ｔ）は、区分的多項式信号である。
【０１２０】
フーリエ係数Ｘ［ｍ］は、以下のとおり定義される。
【０１２１】
【数３３】
2004532550.tif 000035
【０１２２】
帯域［−Ｌ，Ｌ］以外での信号ｘ（ｔ）のフーリエ係数は、区分的多項式のフーリエ係数と全く等しい。そのため、信号ｘPP（ｔ）を求めるためには、帯域［−Ｌ，Ｌ］以外での少なくとも２Ｋ（Ｒ＋１）個のフーリエ係数を収集するだけで十分である。次に、帯域制限された信号のフーリエ係数は、ｍ∈［−Ｌ，Ｌ］に対しては、Ｘ［ｍ］からＸPP［ｍ］を除算することによって得られる。
【０１２３】
区分的多項式信号は、２Ｋ（Ｒ＋１）個の自由度を、そして帯域制限された信号は、２Ｌ＋１個の自由度を持っているので、対称性の制約のため、２Ｌ＋４Ｋ（Ｒ＋１）＋１に帯域制限された周期化され微分されたｓｉｎｃサンプリング核を用いて、信号ｘ（ｔ）をサンプリングすることができる。
【実施例２】
【０１２４】
有限な革新度を持つ有限長の信号
有限な革新度ρを持つ有限長の信号は、明らかに有限な数の自由度を持つ。これらの信号を、サンプルの有限な集合で一意に特定することができること、およびこの集合におけるサンプルの最小限の数は、この信号の自由度の数にだけ依存し、その帯域幅には依存しないことをいくつかの例を用いて説明する。
【０１２５】
まず、有限な数の重み付けされたディラックδ関数を持つ、以下の連続時間の信号ｘ（ｔ）を考える。
【０１２６】
【数３４】
2004532550.tif 000036
【０１２７】
ｘ（ｔ）は、ディラックδ関数の重みｃk からＫ個、シフト量ｔk からＫ個の、明らかに２Ｋ個の自由度を持つ。以下において、Ｎ個（Ｎは２Ｋより大きい、好ましくは２Ｋ＋１より大きい）のサンプルは、信号ｘ（ｔ）を再生するのに十分であることを理解するとともに、適切な再構成方法を記述する。前の場合と同様に、この再構成方法は、二つの連立一次方程式を解く必要があり、一つはディラックδ関数のシフト量に関し、一つはディラックδ関数の重みに関するものである。
【０１２８】
第一の実施形態においては、この信号ｘ（ｔ）を、無限長のサンプリング核の例としてのｓｉｎｃ核φ（ｔ）でフィルタ処理する。ｘ（ｔ）のサンプリング値ｙs ［ｎ］は、ｘ（ｔ）をｓｉｎｃ（ｔ／Ｔ）サンプリング核でフィルタ処理することによって、以下のとおり得られる。
ｙs ［ｎ］＝＜ｘ（ｔ），ｓｉｎｃ（ｔ／Ｔ−ｎ＞，  ｎ＝０，... ，Ｎ−１
内積を展開すると、以下のとおり表せる。
【０１２９】
【数３５】
2004532550.tif 000037
【０１３０】
これから、以下のとおりとなる。
【０１３１】
【数３６】
2004532550.tif 000038
【０１３２】
この場合、ｌ＝０，... ，Ｋ−１に対し、位置ｔl ／Ｔにおいて、
【０１３３】
【数３７】
2004532550.tif 000039
【０１３４】
は、零値を持つ。
【０１３５】
この式の右辺は、変数ｎに関してＫ−１次の多項式であり、このためＫ個の有限な差分を適用すると、左辺が消える。すなわち、以下のとおりとなる。
【０１３６】
【数３８】
2004532550.tif 000040
【０１３７】
このｐk は、この連立方程式を解くことにより求めることができる。このｐk を用いて、多項式Ｐ（ｕ）のＫ個の根を求めることができ、このためシフト量ｔk ＝Ｔｕk である。シフト量ｔk が求まれば、重みｃk は、上述の方法、すなわち連立一次方程式を解くことによって求めることができる。
【０１３８】
sinc伝達関数によってフィルタ処理された信号を再構成するための上記の方法は、実行し易く、すっきりしている。しかし、現実の世界では、ガウス形伝達関数
【０１３９】
【数３９】
2004532550.tif 000041
【０１４０】
によってより正確に近似することができる伝達関数を持つチャネル５上に伝送される多数の信号を、それぞれ測定器７によって測定している。sincサンプリング核と同様に、この信号をガウス形核
【０１４１】
【数４０】
2004532550.tif 000042
【０１４２】
でフィルタ処理することによって得られる、２Ｋ個のサンプリング値ｙs ［ｎ］は、信号ｘ（ｔ）を表すのに十分である。
【０１４３】
このことは、以下のサンプリング値を計算することによって実証することができる。
【０１４４】
【数４１】
2004532550.tif 000043
【０１４５】
もっぱらｎに依存する変数ともっぱらｋに依存する変数を持つように、項を展開および整理することによって、以下の式が得られる。
【０１４６】
【数４２】
2004532550.tif 000044
【０１４７】
Ｙn は、実数の指数関数の一次結合である。このように、無効フィルタ法は、Ｋ個のｕk とａk の値を見い出すために利用することができる。これは、それらの値ｕk が、以下のとおり選択された無効フィルタの根を見い出すことによって解くことができることを意味している。
【０１４８】
【数４３】
2004532550.tif 000045
【０１４９】
これらのｕk から、ｔk ＝σ2 Ｔln uk を用いて、シフト量ｔk を求めることができる。これらのシフト量ｔk が得られれば、次にａk について、連立ヴァンデルモンド方程式を解く。重みｃk は、単純に
【０１５０】
【数４４】
2004532550.tif 000046
【０１５１】
によって与えられる。
【実施例３】
【０１５２】
局所的な有限な革新度を持つ無限長の信号
この章では、移動する窓サイズτに関して有限な局所的な革新度
【０１５３】
【数４５】
2004532550.tif 000047
【０１５４】
を持つ無限長の信号ｘ（ｔ）をサンプリングおよび再構成するためのサンプリングおよび局所的な再構成方法を記述する。特に二値信号について記述し、簡単な支持関数を持つサンプリング核を用いた局所的な再構成方法を説明する。これらの結果は、異なる次数ｄの他のＢスプラインに、一般化することができる。
【０１５５】
二値信号ｘ（ｔ）は、既知の初期条件、例えばｘ（０）＝１を持ち、０と１の二つの値を取る無限長の連続時間の信号である。これらの信号は、それらの遷移値（シフト量）ｔk によって、完全に表される。この信号ｘ（ｔ）は、上述したとおり有限な局所的な革新度ρを持つものとする。これは、デジタル電子回路によって生成される大多数の信号の場合であり、そこでは革新度は、通常信号を生成する集積回路の計時によって制限される。有限な局所的な革新度を持つ一般的な二値信号の例には、特に振幅または変調パルス、あるいはＰＡＭ、ＰＰＭ信号がある。二値信号の例を図９に示す。
【０１５６】
二値信号を、図１０で示す方形スプライン（box spline）
【０１５７】
【数４６】
2004532550.tif 000048
【０１５８】
でサンプリングすると、サンプリング値ｙs ［ｎ］は、以下のとおり二値信号と方形関数間の内積で与えられる。
【０１５９】
【数４７】
2004532550.tif 000049
【０１６０】
このサンプリング値ｙs ［ｎ］は、単に区間［ｎＴ，（ｎ＋１）Ｔ］において信号ｘ（ｔ）によって占められる領域に対応する。このように、方形当り高々一つの遷移がある場合、この遷移をこのサンプル値から求めることができる。このため、帯域制限されない信号ｘ（ｔ）は、サンプルｙs ［ｎ］の有限な集合から一意に決定される。
【０１６１】
しかし、この二値信号ｘ（ｔ）が、未知のシフト量でシフトされた場合、一つの間隔長Ｔ内に二つの遷移が存在する可能性があり、一つの方形関数では、これらの遷移を求めるには十分ではない。この信号をサンプリングするために、より大きな支持関数と付加情報を持つサンプリング核φ（ｔ／Ｔ）を利用することができる。例えば、以下で定義される帽子形スプライン（hat spline）は、各区間［ｎＴ，（ｎ＋１）Ｔ］において、二つのサンプリング値を与え、これらを用いて、これらの区間における最大で二つの遷移時間ｔk （シフト量）を一意に求めることができるものである。
【０１６２】
【数４８】
2004532550.tif 000050
【０１６３】
実際に、区間［ｎ，ｎ＋２］に最大で二つの遷移がある場合、可能な構成は、以下のとおりである。
（０，０），（０，１），（０，２），（１，０），（１，１），（２，０）
この場合、第一と第二の成分は、それぞれ区間［ｎ，ｎ＋１］と［ｎ＋１，ｎ＋２］における遷移の数を示している。
【０１６４】
帽子形サンプリング核（hat sampling kernel ）は、次数が１なので、各構成に対して、変数ｔ0 ，ｔ1 を持つ連立二次方程式が得られる。
【０１６５】
【数４９】
2004532550.tif 000051
【０１６６】
この連立方程式は、一つの解を許し、そしてこの解は、唯一つであるということを容易に示すことができる。
【０１６７】
同様に、局所的に有限な革新度を持つ無限長の区分的多項式の信号は、方形のサンプリング核でサンプリングおよび再構成することができる。無限長の区分的多項式の信号ｘ（ｔ）を考え、この場合各区分は、次数Ｒの多項式であり、区間［ｔk-1 ，ｔk ］にわたって定義される。すなわち、以下のとおりである。
【０１６８】
【数５０】
2004532550.tif 000052
【０１６９】
各多項式の区分ｘk （ｔ）は、Ｒ＋１個の未知の係数ｃkmを持つ。これらの遷移値は、これらの区分ｘk-1 （ｔ）とｘk （ｔ）が決まれば、容易に得られ、そのため２（Ｒ＋１）＋１個の自由度がある。一つの区間長Ｔ内に一つの遷移がある場合、局所的な最大の革新度は、ρm （ｔ）＝（２（Ｒ＋１）＋１）／Ｔである。そのため、多項式の区分および遷移を再生するためには、区間Ｔ当り少なくとも２（Ｒ＋１）＋１個のサンプルを収集する必要がある。これは、例えば以下の方形のサンプリング核（box sampling kernel ）でサンプリングすることによって実現することができる。
【０１７０】
【数５１】
2004532550.tif 000053
【０１７１】
例えば、再構成する信号ｘ（ｔ）が、各区間Ｔ内に最大で一つの遷移を持つ区分的線形信号（Ｒ＝１）である場合、区間当り少なくとも５個のサンプルが必要である。
【０１７２】
次数Ｒの区分的多項式のＲ次の微分は、同じ方法を用いてサンプリングおよび再構成することができる区分的一定信号であることに留意して、この場合を一般化することができる。
【実施例４】
【０１７３】
多次元信号
この発明のサンプリングおよび再構成方法は、一次元の信号に限定されるものではなく、多次元の信号でも利用することができる。例えば、二値および多値信号がほとんど当たり前である二次元画像に関して、面白い場合がある。さらに、多くの二次元画像信号は、有限長を持ち、少なくともほぼガウス形の伝達関数を持つ光学システムを通してのみ見ることができる。
【０１７４】
図１２，１３および１４に描かれた場合について考察する。
【０１７５】
図１２：任意の関数によって与えられる０／１の遷移を持つ単位正方形
図１３：滑らかな、例えば帯域制限された関数によって与えられる０／１の遷移を持つ単位正方形
図１４：区分的多項式の関数によって与えられる０／１の遷移を持つ単位正方形
前の章で説明したサンプリングおよび再構成方法を、正方形を単位として、線の集合、例えば正方格子に適用することができる。明らかに、図１３および１４に描かれた境界の完全な再構成は可能であるが、図１２に描かれた場合に対しては、理論的には不可能である。境界関数が属する前もって既知の種類の関数に依存して、画像を通るサンプリング線に対して、ならびにサンプリングが十分に細かい場合において画像の完全な再構成を可能とするために、異なるサンプリング核φ（ｔ）が用いられる。例えば、画像が、帯域制限されているか、または区分的多項式である境界を持つ区分的多項式である場合、スプライン核を用いた分離可能な一次元サンプリングが可能であり、この方法により、サンプリングが十分細かい場合、すなわちサンプリング周波数が、境界関数の革新度より高い場合に、上述の方法を用いて、境界の、そしてそれによって二値画像の完全な再構成が可能となる。
【０１７６】
一次元のサンプリング核で線に沿って、画像を走査する代わりに、二次元のサンプリング核でそれを走査することができる。実際、これは、正にスキャナまたはデジタルカメラが行っていることであり、画像は、まず二次元の伝達関数φ（ｘ，ｙ）を持つ光学システムによってフィルタ処理され、次にマトリックスセンサーにより規則正しい間隔でサンプリングされる。実は、上述した方法は、二次元の信号にも適用することができ、この信号は、二次元のサンプリング核によってフィルタ処理されるとともに、二次元のサンプリングシステムによって、二次元の革新度に少なくとも等しいサンプリング周波数でサンプリングされる必要がある。
【０１７７】
有限な革新度ρを持つ新しく定義された種類の信号は、非常に多様な信号を含み、上述の例は、その一部にすぎない。しかし、この新しいサンプリング方法は、有限な革新度ρを持つ多くの信号ｘ（ｔ）に適用することができ、この革新度ρより大きいサンプリング周波数ｆ＝１／Ｔでサンプリングされた値ｙ（ｎＴ）の集合を生成するように規則正しくサンプリングされ、このサンプリング値ｙ（ｎＴ）は、第一の信号ｘ（ｔ）を完全に表すものである。再構成する信号の種類にのみ依存する、結果として得られた連立方程式の形に従って、それらのシフト量と重みを求めるための簡単な解法が存在する。
【０１７８】
上述した実施形態においては、新しいサンプリングおよび再構成方法は、ノイズの無い第一の信号ｘ（ｔ）をサンプリングおよび／または再構成するために適用される。しかし、当業者は、ノイズのある条件に適用する場合において、同じ方法をより高いサンプリング周波数で用いることができ、そのためより多くの数のサンプリング値ｘ（ｎＴ）を生成するものであることが分かる。そして、ノイズによって持ち込まれた不確定さを克服するために、例えば特異値分解（ＳＶＤ）法のような、周知のスペクトラム評価法を用いて、対応する上述の連立方程式を解くことができる。
【０１７９】
上述した実施形態において、サンプリングの前の信号ｙ（ｔ）、または少なくとも伝達関数φ（ｔ）によってｙ（ｔ）と関連付けられた信号ｘ（ｔ）を再構成するために、サンプリング値ｙs ［ｎ］を利用することができる。しかし、当業者は、サンプリング値ｙs ［ｎ］、またはこれらのサンプリング値から求めたシフト量ｔk と重みｃk の集合さえも記憶、伝送および処理することができるものであることが分かる。特に、第一の信号ｙ1 （ｔ）をサブナイキスト周波数でサンプリングすることによって得た値ｙs1［ｎ］の集合を、第二の信号ｙ2 （ｔ）をサブナイキスト周波数でサンプリングすることによって得た第二の値ｙs2［ｎ］の集合に加えることができる。この信号ｙs （ｔ）＝ｙ1 （ｔ）＋ｙ2 （ｔ）の革新度は、明らかに合計される信号ｙ1 （ｔ）とｙ2 （ｔ）の革新度ρ1 ，ρ2 の合計である。そのため、ｙs （ｔ）を十分に表すためのサンプリング信号の合計に対しては、時間間隔内での信号ｙs （ｔ）のサンプル数は、この時間間隔における二つの加えられた信号の自由度数の合計より大きくなければならない。それゆえ、サンプリング値の集合に対して幾つかの処理演算を実行したい場合に、この処理信号における十分な数のサンプルを得るために、サンプリング周波数を増加することができる。
【０１８０】
この発明のサンプリング方法および再構成方法は、ハードウェア回路あるいはシステムおよび／またはコンピュータプログラム製品によって実行することができ、それらは、ソフトウェアまたはファームウェアが記憶されたメモリとデジタル処理システムの内部メモリに直接ロード可能で、上述した方法を実行するためのソフトウェアコードの部分を持つコンピュータプログラム製品を有するものである。従って、この発明は、上述した方法を実行するように調整された回路、システム、およびコンピュータプログラム製品、ならびに上述の方法で信号をサンプリングすることによって得られた値の集合を処理するための処理回路またはプログラムにも関する。
【図面の簡単な説明】
【０１８１】
【図１】既知のシャノンの定理を用いたサンプリング機器および方法を図式的に描いた図
【図２】既知のシャノンの定理を用いた再構成機器および方法を図式的に描いた図
【図３】この発明のサンプリングおよび再構成方法を、信号ｙ（ｔ）のサンプリン
グと信号ｘi （ｔ）のいづれかの再構成のために利用することができる通信システムを描いた図
【図４】この発明にもとづくサンプリング機器を描いた図
【図５】ディラックδ関数の周期的な系列ｘ（ｔ）の一つの周期τを示す図
【図６】ディラックδ関数の周期的な系列のフーリエ変換を示す図
【図７】帯域制限されたディラックδ関数の周期的な系列のフーリエ変換を示す図
【図８】帯域制限されたディラックδ関数の周期的な系列のサンプリング後のフーリエ変換を示す図
【図９】二値信号の一つの例を示す図
【図１０】方形のスプラインφ0 （ｔ／Ｔ）を示す図
【図１１】三角形のスプラインφ1 ｔ／Ｔ）を示す図
【図１２】任意の関数によって与えられる０／１の遷移を持つ二次元画像信号を示す図
【図１３】滑らかな、例えば帯域制限された関数によって与えられる０／１の遷移を持つ二次元画像信号を示す図
【図１４】区分的多項式の関数によって与えられる０／１の遷移を持つ二次元画像信号を示す図
【符号の説明】
【０１８２】
１                sinc再構成フィルタ
３                変調器
５                伝送チャネル
７                測定器
９                復調器
１１                フィルタ
１３                この発明にもとづくサンプリング機器
１５                再構成機器
【国際公開パンフレット】
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【国際公開パンフレット（コレクトバージョン）】
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【国際公開パンフレット（コレクトバージョン）】
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【国際調査報告】
2004532550.tif 000133