(57)【要約】要約書なし。【特許請求の範囲】
【請求項１】
所与の資産に関するオプションの現在の価格を表すデータを受信する段階と、
将来の時間における該資産の価格の対応するインプライド確立分布の推定値を該データから導く段階と、
該確率分布に関する情報を、投資家に有用なタイム・フレーム内に入手可能にする段階とを含む方法。
【請求項２】
データが、資産の互いに間隔を置いて設定されたストライク・プライスでのオプションの有限数の価格を表す、請求項１記載の方法であって、
将来の時間における該資産の価格の累積確率分布の推定値を形成するように該有限数の価格の１組の第１の差を算出する段階も含む方法。
【請求項３】
将来の時間における資産の価格の累積確率分布関数の推定値を形成するように、１組の第１の差から、有限数のストライク・プライスの１組の第２の差を算出する段階を含む、請求項２記載の方法。
【請求項４】
所与の資産に関するオプションの現在の価格を表すデータを受信する段階と、
将来の時間における該資産の価格の対応するインプライド確立分布の推定値を該データから導く段階と、
該確率分布に基づく情報を含むリアルタイム・データ・フィードを提供する段階とを含む方法。
【請求項５】
資産に関する金融情報を含むページを見るためのグラフィカル・ユーザ・インターフェースを設ける段階と、
ユーザが関心対象の資産を示した場合に、将来の時間における該資産の価格に関する確率情報を表示する段階とを含む方法。
【請求項６】
資産に関するオプションの現在の価格を表すデータが入手可能である関心対象の資産を、ユーザが識別するのを可能にする段階と、
将来の時間における該資産の価格の対応するインプライド確立分布の推定値を該データから導く段階と、
将来の時間における資産の価格の確率分布の表示を提供する段階とを含む方法。
【請求項７】
ユーザが、将来の時間を示すのを可能にし、且つ資産に関するオプションの現在の価格を表すデータが入手可能である関心対象の資産を識別するのを可能にする段階と、
資産が将来の時間における価格の範囲内の価格に達すると考えられる確率の分布をユーザに表示する段階とを含む方法。
【請求項８】
将来の時間における資産の互いに間隔を置いて設定されたストライク・プライスに関連する、所与の資産に関するオプションの現在の価格を表すデータを受信する段階であって、
該データが、資産のシフトされた原価格の結果として得られるオプションのシフトされた現在の価格を含み、資産価格がシフトされた金額が、ストライク・プライス同士の間隔に相当する金額とは異なる段階と、
確率分布の各要素が、シフトされた現在の価格のデータなしに導かれる確率分布よりも密な間隔を置いて設定される、将来の時間における該資産の価格の量子化されたインプライド確立分布の推定値を該データから導く段階とを含む方法。
【請求項９】
将来の時間における資産の互いに間隔を置いて設定されたストライク・プライスに関連する、所与の資産に関するオプションの現在の価格を表すデータを受信する段階と、
将来の時間における該資産の価格のインプライド確立分布の推定値を該データから導き、この数学的な導出がスムージング・オペレーションを含む段階と、
該確率分布に関する情報を、投資家に有用なタイム・フレーム内に入手可能にする段階とを含む方法。
【請求項１０】
スムージング・オペレーションが、ボラティリティ・ドメインで実行される、請求項９記載の方法。
【請求項１１】
スムージング・オペレーションが、オプション価格のドメインまたは確率分布情報のドメインで実行される、請求項９記載の方法。
【請求項１２】
将来の日付におけるストライク・プライスを有する、所与の資産に関するオプションの、現在の価格を表すデータを受信する段階と、
オプション価格を資産のストライク・プライスにリンクする所定のオプション価格決定公式に従って将来の各日付ごとにボラティリティを導く段階と、
平滑化され且つ補外されたボラティリティ関数を生成する段階と、
ボラティリティ関数を用いて、投資家に有用なタイム・フレーム内に情報を生成する段階とを含む方法。
【請求項１３】
ボラティリティ関数が、将来の日付よりも広い範囲の日付に補外される、請求項１２記載の方法。
【請求項１４】
ボラティリティ関数が、オプションのストライク・プライス以外のストライク・プライスに補外される、請求項１２記載の方法。
【請求項１５】
所定の信頼度の測定の下で信頼できるデータのみを用いて、平滑化されたボラティリティ関数を生成する段階も含む、請求項９記載の方法。
【請求項１６】
ストライク・プライスおよび満期日を表す２つの変数を有する二次形式を有するインプライド・ボラティリティ関数公式を生成する段階をさらに含み、
インプライド・ボラティリティ関数公式の係数が、回帰分析を適用してインプライド・ボラティリティ関数公式を各インプライド・ボラティリティに近似的にあてはめることによって求められる、請求項９記載の方法。
【請求項１７】
ポートフォリオに属する資産に関するオプションの現在の価格を表すデータを受信する段階と、
ポートフォリオに属する資産に依存する将来の時間におけるある数量の価格のインプライド多変量分布の推定値を該データから導く段階と、
該確率分布に関する情報を、投資家に有用なタイム・フレーム内に入手可能にする段階とを含む方法。
【請求項１８】
複合値に影響を与える１組の因子の値を表すデータを受信する段階と、
ポートフォリオに属する資産に依存する将来の時間におけるある数量の価格のインプライド多変量分布の推定値をデータから導く段階と、
該確率分布に関する情報を、投資家に有用なタイム・フレーム内に入手可能にする段階とを含む方法。
【請求項１９】
数学的な導出が、各因子間の相関に基づいて多変量確率分布を生成する段階を含む、請求項１８記載の方法。
【請求項２０】
ユーザが将来の時間を示すのを可能にするように適合されるユーザ・インターフェース要素と、
資産の現在の価格を示すように適合されるユーザ・インターフェース要素と、
将来の時間における資産の価格の確率分布を示すように適合されるユーザ・インターフェース要素とを含む、グラフィカル・ユーザ・インターフェース。
【請求項２１】
将来の時間における資産の価格の確率分布を含む現在のデータを連続的に生成する段階と、
現在のデータを受信側に電子的に連続的に供給する段階と、
受信側が、供給されたデータをユーザに提供されるサービスに使用する段階とを含む方法。
【請求項２２】
ポートフォリオに属する資産に関するオプションの現在の価格を表すデータを受信する段階と、
資産の第２のポートフォリオに関連する市場取引の現在の価格を表すデータを受信する段階と、
資産の第１のポートフォリオが将来の時間に、指定された価格に達する条件が与えられた場合に、資産の第２のポートフォリオが第１の値に達すると考えられる確率に関する情報を電子的に提供する段階とを含む方法。
【請求項２３】
資産の第１のポートフォリオに関連する実際の市場取引を表すデータを受信する段階と、
資産の第２のポートフォリオに関連する実際の市場取引を表すデータを受信する段階と、
資産の第２のポートフォリオがネットワークを通じて、指定された将来の時間に、第１の指定された価格に達する条件が与えられた場合に、資産の第１のポートフォリオの価格の期待値に関する情報を提供する段階とを含む方法。
【請求項２４】
時間Ｔにおけるマクロ経済変数の組合せを表す第１の多変量式によって定義されたイベントを評価する段階と、
第１の多変量式の値が定数Ａよりも大きい場合に、ポートフォリオの資産の値の組合せを表す第２の多変量式が時間Ｔに定数Ｂよりも大きな値を有すると考えられる確率を推定する段階とを含む方法。
【請求項２５】
確率がモンテ・カルロ技術を用いて推定される、請求項２４記載の方法。
【請求項２６】
時間Ｔにおけるマクロ経済変数の組合せを表す１つの変数の値を、ポートフォリオの資産の組合せを表す、時間Ｔにおける第２の変数に関係付ける回帰式を定義する段階と、
回帰式の下でｘがＡよりも大きい確率とｘがＡよりも大きい確率との比に基づいて、第１の変数の値が時間Ｔに定数Ａよりも大きい場合に、第２の変数が時間Ｔに定数Ｂよりも大きな値を有すると考えられる確率を推定する段階とを含む方法。
【請求項２７】
オプションの現在の価値を、オプションの現在の価格と原証券の現在の価格との差に依存する二次式として定義する段階と、
モンテ・カルロ技術を用いて、オプションを含むポートフォリオの将来の時間Ｔにおける価の確率分布を推定する段階とを含む方法。
【請求項２８】
円形の視覚化要素の中心の周りに配置され、それぞれ異なる資産群に対応する扇形を有する円形の視覚化要素をユーザに対して表示する段階と、
各扇形において、扇形が対応する群に属するそれぞれの資産を表し、最近の期間中の資産の実績の程度に従った中心からの距離に関して配置された視覚要素のアレイを表示する段階とを含む方法。
【請求項２９】
視覚要素が、各資産ごとの１つの表示されるドットを含む、請求項２８記載の方法。
【請求項３０】
視覚要素が、群内の資産の範疇に対応する可視特性を示す、請求項２８記載の方法。
【請求項３１】
群内の資産の範疇が、それぞれの異なる現在価値化に対応する、請求項３０記載の方法。
【請求項３２】
ドットが、それらが属する扇形の半径に沿って配置される、請求項２９記載の方法。
【請求項３３】
他の場合には、半径上の、中心から所与の距離に位置するドットが、半径の近くのそれぞれの異なる角位置に表示される、請求項３２記載の方法。
【請求項３４】
各扇形が、それぞれの扇形によって表される資産項目の総数に対する割合を表す角度範囲を有する、請求項２８記載の方法。
【請求項３５】
円形の視覚化要素が、それぞれ中心から異なる距離を有するリングとして細分される、請求項２８記載の方法。
【請求項３６】
各リングがそれぞれの異なる色で表示される、請求項３５記載の方法。
【請求項３７】
資産の実績の程度が価格変化率で測定される、請求項２８記載の方法。
【請求項３８】
最近の期間が資産市場での取引日を含む、請求項２８記載の方法。
【請求項３９】
資産が企業によって発行される証券を含む、請求項２８記載の方法。
【請求項４０】
円形であり、
要素の中心の周りに配置され、企業によって発行される証券のそれぞれ異なる群に対応する扇形を有し、
各扇形において、扇形が対応する群に属するそれぞれの資産を表し、各々が、扇形の半径上または半径の近くに位置し、各々が、取引日中の表される証券の価格の変化率に相当する、半径に沿った中心からの距離を有するドットのアレイを有し、
それぞれ中心から異なる距離で異なる色のリングを有する、
表示される視覚化要素。
【請求項４１】
資産の実績測度の見込みが、将来の連続する時間において、実績測度の識別された値の指定された範囲内にあることを示す視覚化要素をユーザに表示する段階を含む方法。
【請求項４２】
実績測度が、資産の価格を含む、請求項４１記載の方法。
【請求項４３】
実績測度が、利益率を含む、請求項４１記載の方法。
【請求項４４】
実績測度が、税引き後の利益率を含む、請求項４１記載の方法。
【請求項４５】
視覚化要素が経時的な実績測度のグラフに重ね合わせられたストライプを含み、各ストライプが１つの指定された範囲を表す、請求項４１記載の方法。
【請求項４６】
各ストライプが現在の時間から始まり、将来の時間へ延びるにつれて広くなる、請求項４５記載の方法。
【請求項４７】
実績測度の実際の歴史的値を示すグラフィカル装置を表示する段階も含む、請求項４１記載の方法。
【請求項４８】
実際の歴史的値を示すグラフィカル装置が、一方の端部が、現在の日付を表す点で視覚化要素に接合する線グラフである、請求項４７記載の方法。
【請求項４９】
視覚化要素が、一方の部分がある仮定に基づく指定された日付の前の見込みを表し、他方の部分が、別の仮定に基づく指定された日付の後の見込みを表す２つの部分を含む、請求項４１記載の方法。
【請求項５０】
指定された日付が、税金の効果がある仮定から他の仮定に変化する日付である、請求項４９記載の方法。
【請求項５１】
各群が共通の形式を表す資産を含む、連続する各期間中の資産群の実績に対する選択された資産の相対的な実績のグラフィカル・インジケータを有する視覚化要素をユーザに表示する段階を含む方法。
【請求項５２】
形式が一群の投資対象を含む、請求項５１記載の方法。
【請求項５３】
相対的な実績が資産クラス係数モデルを用いて求められる、請求項５１記載の方法。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
背景
本発明は、資産の予想される将来の価格に関する情報の生成および提供ならびに資産情報の視覚化に関する。
【０００２】
インターネット上のｗｅｂサイトで利用できる種類の情報には、株取引の現在および過去の価格および取引高、特定のストライク・プライスでのプット・オプションまたはコール・オプションの価格および様々な株式の満期日、ブラック−ショウルズ公式などの公式を用いて導かれるプット・オプションまたはコール・オプションの理論的価格がある。ｗｅｂサイトには、特定の株式の将来の価格または価格範囲を個々の専門化が予測しているサイトがある。
【０００３】
コール・オプションによって、指定されたストライク・プライスの満期日までに、販売可能な原資産を購入する権利が与えられる。プット・オプションによって、資産を売却する同様の権利が与えられる。オプションは、原資産の価格からその価値が導かれるのでデリバティブ・セキュリティと呼ばれる。原資産の例には、法人株、商品株、および通貨がある。オプションの価格をプレミアムと呼ぶことがある。
【０００４】
オプションを購入し売却する人は当然のごとく、そのオプションの適切な価格に関心を抱く。理想的な条件の下でコール・オプションおよびプット・オプションの価格を決定する公知の公式に、ブラック−ショウルズ公式（Ｂｌａｃｋ−Ｓｃｈｏｌｅｓ ｆｏｒｍｕｌａ）と呼ばれている公式がある。ブラック−ショウルズ公式は、原資産の現在の価格、利子率、および資産のボラティリティ・レート（単にボラティリティと呼ばれることもある）が与えられた場合に、定められた満期日を有するコール価格およびプット価格の推定値を与える。ブラック−ショウルズ公式では、利子率およびボラティリティが一定であり、調停が行われず、取引が、指定する価格範囲にわたって連続すると仮定される。
【０００５】
法人証券などの投資資産に関する情報は、連続する期間の価値および価値の比の表として与えられる。
【０００６】
グラフまたは視覚化装置を用いて情報のより直感的な表示が与えられることもある。
【０００７】
Ｍｏｒｎｉｎｇｓｔａｒ．ｃｏｍというオンライン・サービスでは、そのＭｏｒｎｉｎｇｓｔａｒ Ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ Ｒａｄａｒ（ＵＲＬ（ｈｔｔｐ：／／ｓｃｒｅｅｎ．ｍｏｒｎｉｎｇｓｔａｒ．ｃｏｍ／ＩｎｖｅｓｔｍｅｎｔＲａｄａｒ／ＩｎｖｅｓｔｍｅｎｔＲａｄａｒ．ｈｔｍｌ））において散布図を使用している。散布図内の各点は、ポートフォリオ内の資産のリスクと現在価値化との関係を表している。
【０００８】
ＦａｌｃｏｎＥｙｅという別のオンライン・ファシリティ（ＵＲＬ（ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｆａｌｃｏｎｅｙｅ．ｃｏｍ／ｆａｌｃｏｎｅｙｅ／ｔｒａｃｋｅｒ／ｉｎｄｅｘ．ｈｔｍｌ））は、以下のものを表すシミュレートされた雲構造の、潜望鏡のような図を表示する。
【０００９】
垂直軸および水平軸について作成されたＦａｌｃｏｎＥｙｅ Ｖｉｚ−Ａｌｅｒｔｓ（商標）（カスタマイズ可能なインジケータ）によってリアルタイムにソートされる全６０００＋ナスダック株式の多次元密度マップ。各株式は、画面上の画素のように表され、各色は、Ｔｒａｃｋｅｒ Ｌｉｖｅ Ｍａｐの対応する部分に示される株式の密度を表す。密度分布によって、市場に対するリアルタイムの技術的圧力を瞬時に見ることができ、より効率的かつ生産的に取引を行うための知識を得ることができる。
【００１０】
ＶａｌｕＥｎｇｉｎｅ（ＵＲＬ（ｈｔｔｐ：／／ｖａｌｕｅｎｇｉｎｅ．ｃｏｍ／ｓｅｒｖｌｅｔ／ＶａｌｕａｔｉｏｎＳｕｍｍａｒｙ＃））は、現在までの歴史的価格と、その後に続く、予測価格トレンドの上下の予測範囲を含む、将来の期間の予測価格トレンドとを含む、株価のグラフを表示する。
【００１１】
概要
概して、一態様では、本発明は、所与の資産に関するオプションの現在の価格を表すデータを受信する方法を特徴とする。推定値は、将来の時間における資産の価格の対応するインプライド確立分布のデータから導かれる。確率分布に関する情報は、投資家に有用なタイム・フレーム内、たとえば、現在のオプション価格情報が入手可能になった直後に入手可能になる。
【００１２】
本発明の実現態様は、以下の特徴のうちの１つまたは複数を含んでよい。データは、資産の互いに間隔を置いて設定されたストライク・プライスでのオプションの有限数の価格を表してよい。将来の時間における資産の価格の累積確率分布の推定値を形成するように有限数の価格の１組の第１の差を算出することができる。将来の時間における資産の価格の累積確率分布の推定値を形成するように、１組の第１の差から、有限数のストライク・プライスの１組の第２の差を算出することができる。
【００１３】
概して、他の態様では、本発明は、確率分布に基づく情報を含むリアルタイム・データ・フィードを与える方法を特徴とする。
【００１４】
概して、他の態様では、本発明は、資産に関する金融情報を含むページを見るためのグラフィカル・ユーザ・インターフェースを設ける段階と、ユーザが関心対象の資産を示した場合に、将来の時間におけるこの資産の価格に関する確率情報を表示する段階とを含む方法を特徴とする。
【００１５】
概して、他の態様では、本発明は、将来の時間における所与の資産の互いに間隔を置いて設定されたストライク・プライスに関連する、この資産に関するオプションの、現在の価格を表すデータを受信する段階を含む方法を特徴とする。このデータは、資産のシフトされた原価格の結果として得られるオプションのシフトされた現在の価格を含み、資産価格がシフトされた金額は、ストライク・プライス同士の間隔に相当する金額とは異なる。推定値は、将来の時間における資産の価格の量子化されたインプライド確立分布のデータから導かれ、量子化された確率分布の各要素は、シフトされた現在の価格のデータなしに導かれる確率分布よりも密な間隔を置いて設定される。
【００１６】
概して、他の態様では、本発明は、将来の時間における資産の価格のインプライド確立分布の推定値をデータから導く段階を含み、この数学的な導出は、スムージング・オペレーションを含む。
【００１７】
本発明の実現態様は、以下の特徴のうちの１つまたは複数を含んでよい。スムージング・オペレーションは、ボラティリティ・ドメインで実行することができる。
【００１８】
概して、他の態様では、本発明は、オプション価格を資産のストライク・プライスにリンクする所定のオプション価格決定公式に従って将来の各日付ごとにボラティリティを導く段階と、平滑化され且つ補外されたボラティリティ関数を生成する段階とを含む。
【００１９】
本発明の実現態様は、以下の特徴のうちの１つまたは複数を含んでよい。ボラティリティ関数は、将来の日付よりも広い範囲の日付および他のストライク・プライスに補外することができる。平滑化されたボラティリティ関数は、データが所定の信頼度の測定の下で信頼できる条件に適用することができる。インプライド・ボラティリティ関数公式は、ストライク・プライスおよび満期日を表す２つの変数を有する二次形式を有してよい。インプライド・ボラティリティ関数公式の係数は、回帰分析を適用してインプライド・ボラティリティ関数公式を各インプライド・ボラティリティに近似的にあてはめることによって求めることができる。
【００２０】
概して、他の態様では、本発明は、ポートフォリオに属する資産に関するオプションの現在の価格を表すデータを受信する段階と、ポートフォリオに属する資産に依存する将来の時間におけるある数量の価格のインプライド多変量分布の推定値をデータから導く段階と、確率分布に関する情報を、投資家に有用なタイム・フレーム内に入手可能にする段階とを含む方法を特徴とする。
【００２１】
概して、他の態様では、本発明は、複合値に影響を与える１組の因子の値を表すデータを受信する段階と、ポートフォリオに属する資産に依存する将来の時間におけるある数量の価格のインプライド多変量分布の推定値をデータから導く段階と、確率分布に関する情報を、投資家に有用なタイム・フレーム内に入手可能にする段階とを含む方法を特徴とする。
【００２２】
本発明の実現態様は、以下の特徴のうちの１つまたは複数を含んでよい。数学的な導出は、各因子間の相関に基づいて多変量確率分布を生成する段階を含んでよい。
【００２３】
概して、他の態様では、本発明は、ユーザが将来の時間を示すのを可能にするように適合されるユーザ・インターフェース要素と、資産の現在の価格を示すように適合されるユーザ・インターフェース要素と、将来の時間における資産の価格の確率分布を示すように適合されるユーザ・インターフェース要素とを含むグラフィカル・ユーザ・インターフェースを特徴とする。
【００２４】
概して、一態様では、本発明は、将来の時間における資産の価格の確率分布を含む現在のデータを連続的に生成する段階と、現在のデータを受信側に電子的に連続的に供給する段階と、受信側が、供給されたデータをユーザに提供されるサービスに使用する段階とを含む方法を特徴とする。
【００２５】
概して、他の態様では、本発明は、ポートフォリオに属する資産に関するオプションの現在の価格を表すデータを受信する段階と、資産の第２のポートフォリオに関連する市場取引の現在の価格を表すデータを受信する段階と、資産の第１のポートフォリオが将来の時間に、指定された価格に達する条件が与えられた場合に、資産の第２のポートフォリオが第１の値に達すると考えられる確率に関する情報を電子的に与える段階とを含む方法を特徴とする。
【００２６】
概して、他の態様では、本発明は、資産の第１のポートフォリオに関連する実際の市場取引を表すデータを受信する段階と、資産の第２のポートフォリオに関連する実際の市場取引を表すデータを受信する段階と、資産の第２のポートフォリオがネットワークを通じて、指定された将来の時間に、第１の指定された価格に達する条件が与えられた場合に、資産の第１のポートフォリオの価格の期待値に関する情報を与える段階とを含む方法を特徴とする。
【００２７】
概して、他の態様では、本発明は、時間Ｔにおけるマクロ経済変数の組合せを表す第１の多変量式によって定義されたイベントを評価する段階と、第１の多変量式の値が定数Ａよりも大きい場合に、ポートフォリオの資産の値の組合せを表す第２の多変量式が時間Ｔに定数Ｂよりも大きな値を有すると考えられる確率を（たとえば、モンテ・カルロ（Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ）技術を用いて）推定する段階とを含む方法を特徴とする。第１の多変量式によって表される市場変数は、マクロ経済係数（利子率など）、会社の基礎的諸条件（大企業／小企業、急激な成長／堅実な成長など）に関する市場の選好、または産業セクタに対する市場の選好を含んでよい。
【００２８】
一般に、他の態様では、本発明は、時間Ｔにおけるマクロ経済変数の組合せを表す１つの変数の値を、ポートフォリオの資産の組合せを表す、時間Ｔにおける第２の変数に関係付ける回帰式を定義する段階と、回帰式の下でｘがＡよりも大きい確率とｘがＡよりも大きい確率との比に基づいて、第１の変数の値が時間Ｔに定数Ａよりも大きい場合に、第２の変数が時間Ｔに定数Ｂよりも大きな値を有すると考えられる確率を推定する段階とを含む方法を特徴とする。
【００２９】
概して、他の態様では、本発明は、オプションの現在の価値を、オプションの現在の価格と原証券の現在の価格との差に依存する二次式として定義する段階と、モンテ・カルロ技術を用いて、オプションを含むポートフォリオの将来の時間Ｔにおける価値の確率分布を推定する段階とを含む方法と特徴とする。
【００３０】
本発明は、所与の原資産の選択価格が、将来の（たとえば、オプションが満了したときの）原資産のリスク・ニュートラル価格についての、市場の予測を示すことを実現することを利用する。オプション価格データを用いて、詳細のリスク・ニュートラル価格のインプライド確立分布の形の、市場の予測を導くことができる。リスク・ニュートラルの語句の意味の詳細な説明は付録に記載されている。
【００３１】
インプライド確立分布およびそれに関する他の情報は、原資産の投資を検討している人や、そのような投資家に忠告を与える株式仲買業者のような、その情報が有用な人が容易に入手することができる。
【００３２】
概して、他の態様では、本発明は、（ａ）円形の視覚化要素の中心の周りに配置され、それぞれ異なる資産群に対応する扇形を有する円形の視覚化要素をユーザに対して表示する段階と、（ｂ）各扇形において、扇形が対応する群に属するそれぞれの資産を表し、最近の期間中の資産の実績の程度に従った中心からの距離に関して配置された視覚要素のアレイを表示する段階とを含む方法を特徴とする。
【００３３】
本発明の実現態様は、以下の特徴のうちの１つまたは複数を含んでよい。視覚要素は、各資産ごとの１つの表示されるドットを含む。視覚要素は、群内の資産の範疇に対応する可視特性を示す。群内の資産の範疇は、それぞれの異なる現在価値化に対応する。ドットは、それらが属する扇形の半径に沿って配置される。他の場合には、半径上の、中心から所与の距離に位置するドットが、半径の近くのそれぞれの異なる角位置に表示される。各扇形は、プロットされている母集団内の資産項目の総数に対する扇形内の資産項目の部分を表す角度範囲を有する。円形の視覚化要素は、それぞれ中心から異なる距離を有するリングとして細分される。各リングは、それぞれの異なる色で表示される。資産の実績の程度は、価格変化率で測定される。最近の期間は資産市場での取引日を含む。資産は、企業によって発行される証券を含む。
【００３４】
概して、他の態様では、本発明は、資産の実績測度の見込みが、将来の連続する時間において、実績測度の識別された値の指定された範囲内にあることを示す視覚化要素をユーザに表示する段階を含む。
【００３５】
本発明の実現態様は、以下の特徴のうちの１つまたは複数を含んでよい。実績測度は、資産の価格または利益率または税引き後の利益率を含む。視覚化要素は、各ストライプが１つの指定された範囲を表す、経時的な実績測度のグラフに重ね合わせられたストライプを含む。各ストライプは、現在の時間から始まり、将来の時間へ延びるにつれて広くなる。グラフィカル装置は、たとえば、一方の端部が、現在の日付を表す点で視覚化要素に接合する線グラフの形で、実際の歴史的実績測度値を示す。視覚化要素は、一方の部分がある仮定に基づく指定された日付の前の見込みを表し、他方の部分が、別の仮定に基づく指定された日付の後の見込みを表す２つの部分を含む。指定された日付とは、税金の効果がある仮定から他の仮定に変化する日付である。
【００３６】
概して、他の態様では、本発明は、各群が共通の形式を表す資産を含む、連続する各期間中の資産群の実績に対する選択された資産の相対的な実績のグラフィカル・インジケータを有する視覚化要素をユーザに表示する段階を含む方法を特徴とする。相対的な実績は、資産クラス係数モデルを用いて求められる。
【００３７】
本発明の利点として、以下のうちの１つまたは複数が挙げられる。公的に取り引きされる株式のような原資産における投資家および見込み投資家は、重要な追加の現在の情報、すなわち、株式の将来の価格についてのマーケット・ビューを表す計算データにアクセスすることができる。株式仲買業者、投資顧問会社、および証券市場に関与するその他の会社は、この情報および関連するサービスをクライアントおよび顧客に与えることができる。ユーザは、他の場合には理解しづらいデータの意味を迅速に視覚化し把握することができる。
【００３８】
他の特徴および利点は、以下の説明および特許請求の範囲から明らかになると思われる。
【００３９】
説明
本発明の実現態様の詳細は、各図面および以下の関連する説明に記載されている。
【００４０】
一般に、コール・オプションまたはプット・オプションの価格は、オプション市場では売り手および買い手によって決定され、満期日における原資産の予想価格についての、市場の予測に関する情報を保持する。（この情報には、別個に推定しなければならない、投資家がリスクを負うのに必要なプレミアムは含まれない。危険プレミアムの平均長期値は、あらゆる株式について年当たり約６％であり、市場の比較的大きな動きに対する個々の株式の歴史的反応に関して調整することができる。）
【００４１】
様々なストライク・プライスおよび満期日を有するオプションの価格に保持される情報は、将来の時間における資産の価格の確率分布を導き、対応する情報をたとえばＷｏｒｌｄ Ｗｉｄｅ Ｗｅｂ上で投資家に表示するのに用いられる。
【００４２】
基本的な方法
まずいくつかの関連する項目を定義する。ｘをストライク・プライスと定義し、ｃ（ｘ）を理論上のコール価格関数（ストライク・プライスの関数としてのコールの価格）と定義し、ｐ（ｘ）を理論上のプット価格関数と定義し、Ｆ（ｘ）を、満期日における原資産の価格の累積分布関数（ｃｄｆ）と定義し、ｆ（ｘ）を、満期日における資産価格の確率密度関数（ｐｄｆ）と定義する。定義上、ｆ（ｘ）＝Ｆ’（ｘ）である（すなわち、確率分布関数は、累積分布関数の導関数である）。
【００４３】
ｃ（ｘ）とｐ（ｘ）とｆ（ｘ）とＦ（ｘ）間の関係を以下に簡潔に述べる。
2004519753.tif 000002
言い換えれば、ｐｄｆはコール価格関数またはプット価格関数の第２の導関数である。これらの関係の簡単な証明が付録に記載されている。付録には、本発明の特徴に関する他の詳細な情報も記載されている。
【００４４】
オプション価格データからインプライド確立分布を算出するためのこのいわゆる「第２導関数法」は、学界の文献では既知であるが、それほどよく知られていないらしい。たとえば、標準的な文献「オプション、先物取引、および他の導関数（Ｏｐｔｉｏｎｓ， Ｆｕｔｕｒｅｓ， ａｎｄ Ｏｔｈｅｒ Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ）」Ｊｏｈｎ Ｃ． Ｈｕｌｌ著（第４版、１９９９年、Ｐｒｅｎｔｉｃｅ−Ｈａｌｌ）には、インプライド確率が記載されているが、第２導関数法は記載されていない。おそらく、見つけ得たうちで最も優れた文献は、それ以前の文献が６つしかないＣ． ＪａｃｋｗｅｒｔｈおよびＭ． Ｒｕｂｉｎｓｔｅｉｎ著「オプション価格からの確率分布の回復（Ｒｅｃｏｖｅｒｉｎｇ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ ｏｐｔｉｏｎ ｐｒｉｃｅｓ）」、Ｊ． Ｆｉｎａｎｃｅ、第５１巻、１６１１ページ〜１６３１ページ（１９９６年）である。この論文では、Ｄ． Ｔ． Ｂｒｅｅｄｅｎ およびＲ． Ｈ． Ｌｉｔｚｅｎｂｅｒｇｅｒ「オプション価格において暗黙的な状態偶発クレームの価格（Ｐｒｉｃｅｓ ｏｆ ｓｔａｔｅ−ｃｏｎｔｉｎｇｅｎｔ ｃｌａｉｍｓ ｉｍｐｌｉｃｉｔ ｉｎ ｏｐｔｉｏｎ ｐｒｉｃｅｓ）、Ｊ． Ｂｕｓｉｎｅｓｓ、第５１巻、６３１ページ〜６５０ページ（１９７８年）を第２導関数法の創始者として引用している。ただし、この論文のどこにも確率に関する記述はない。
【００４５】
有限の売り呼び値および買い呼び値からの近似ｆ（ｘ）
数式（１ａ）および（１ｂ）は、変数ｘが連続的であり、０から無限の範囲であると仮定することによって得られる。実際、オプションは通常、ある価格範囲内である価格間隔についてのみ（たとえば、５ドル間隔で１１０ドルから１８０ドルの範囲）取り引きされる。したがって、コール・オプション価格および／またはプット・オプション価格は、ストライク・プライスの有限の部分集合についてのみ判明する。このような状況では、数式（１ａ）および（１ｂ）の推定値は、以下のように導関数ではなく差をとることによって算出することができる。
【００４６】
オプション価格ｃ（ｘ）およびｐ（ｘ）が、均等な間隔を置いて設定されたストライク・プライスの有限の部分集合ｘ＝ｎΔについて決定されると仮定する。この場合、ｎは整数であり、Δは決定される価格間の間隔である。ｃｎ＝ｃ（ｎΔ）、ｐｎ＝ｐ（ｎΔ）を定義する。次いで、ｘ＝（ｎ＋１／２）Δにおける第１の導関数ｃ’（ｘ）およびｐ’（ｘ）を第１の差によって推定することができる。
【数１】
2004519753.tif 000003
【数２】
2004519753.tif 000004
【００４７】
累積分布関数の対応する推定値：
【数３】
2004519753.tif 000005
は、
【数４】
2004519753.tif 000006
【数５】
2004519753.tif 000007
【００４８】
ｘ＝ｎΔにおける第２の導関数ｃ’’（ｘ）およびｐ’’（ｘ）は同様に、第２の差、すなわち、第１の導関数の推定値の差によって推定することができる。
【数６】
2004519753.tif 000008
【数７】
2004519753.tif 000009
【００４９】
第２の導関数のこれらの推定値のいずれも、ｘ＝ｎΔ、すなわち、ｆ（ｎΔ）における確率密度値の推定値として使用することができる。
【数８】
2004519753.tif 000010
【００５０】
さらに、コール・オプションおよびプット・オプションの市場価格は通常、呼び値スプレッドで与えられ、したがって、買い呼び値または売り呼び値（またはある中間値）をコール・オプション価格またプット・オプション価格として使用することができる。コール・オプションとプット・オプションの両方に買い呼び値および売り呼び値を用いることによって、Ｆ（ｘ）およびｆ（ｘ）の４つの推定価格を得ることができる。これらの推定価格は、その信頼性に従って任意の所望の方法で組み合わせることができる。たとえば、売り呼び値曲線から導かれた推定価格を、原資産の現在の価格ｓよりも小さなｘの値に使用し、買い呼び値曲線から導かれた推定価格をｓよりも大きなｘの値に使用することができる。
【００５１】
表１（以下参照）のデータを用いたｃｎ、ｐｎ、
2004519753.tif 000011
および
2004519753.tif 000012
の例が図１、図２、および図３に示されている。
【００５２】
図表データ
表１は、５ドル間隔の１１０ドルから１８０ドルの範囲の資産のストライク・プライスについてのコール・オプションおよびプット・オプションの標本買い呼び値と、上記の数式（７）〜（１０）に従って算出された累積分布値
2004519753.tif 000013
および確率密度値
2004519753.tif 000014
とを示している。
【００５３】
この表では、
2004519753.tif 000015
の値は、
2004519753.tif 000016
を算出するのに用いられる２つのストライク・プライスの中間のストライク・プライスに対応する。したがって、ストライク・プライス１１０ドルの右側に示されている累積分布値は実際には、ストライク・プライス１１２．５ドルに対応し、ストライク・プライス１１５ドルの右側の値は実際には、ストライク・プライス１１７．５ドルに対応し、以下同様である。
【００５４】
【表１】
2004519753.tif 000017
【００５５】
Ｆ（ｘ）およびｆ（ｘ）の動的推定値
数式（７）〜（１０）では、ストライク・プライスの有限部分集合ｘ＝ｎΔについての累積分布関数Ｆ（ｘ）および確率密度関数ｆ（ｘ）の計算においてコール・オプション価格およびプット・オプション価格を静的な価格と仮定した。実世界では、原資産の価格ｓは経時的に変化し、オプション価格もそれ対応して変化する。一次近似として、価格ｓが少ない額δだけ高くなった場合、オプション価格曲線は実際上、右側に額δだけシフトする。（ここで、δは正であっても負であってもよい。このシフトのより厳密な議論については、付録を参照されたい）。その結果、現在ストライク・プライスｘとして決定されている価格ｃ（ｘ）またはｐ（ｘ）を、ストライク・プライスｘ’＝ｘ−δにおける前の価格曲線上のオプション価格の推定値として使用することができる。その結果、ストライク・プライスの新しい離散部分集合ｘ＝ｎΔ−δにおける前の曲線上の価格が実際上見えるようになる。原価格の十分な動きが与えられた場合、実際上、任意のある時間に得られる部分集合よりもずっと密な間隔を置いて設定されたストライク・プライスの部分集合ｘについてｃ（ｘ）、ｐ（ｘ）、Ｆ（ｘ）、および／またはｆ（ｘ）を算出することができる。
【００５６】
確率分布の補外および平滑化
代表的なオプション市場では、オプション価格はある満期日についてのみ利用することができる。さらに、オプション価格は、通常、原価格に近いストライク・プライスにおけるより近い期間のオプションである、アクティブに取り引きされるオプションの方がより信頼できる。したがって、確率分布を実際の満期日以外の時間およびより広い範囲のストライク・プライスに補外および補間することが望ましい。
【００５７】
累積分布値
2004519753.tif 000018
または確率密度値
2004519753.tif 000019
に対して直接、任意の標準補外技術および平滑化技術を用いて、Ｆ（ｘ）またはｆ（ｘ）の平滑化され補外された推定値を与えることができる。同様に、将来の時間の離散部分集合Ｔについてのそのような推定曲線が与えられた場合、標準補間技術および補外技術を用いて、Ｔの指定された他の値またはＴ＞０の連続する範囲についてのそのような曲線を推定することができる。
【００５８】
これほど直接的ではないが有用な手法は、インプライド・ボラティリティ関数に補外および平滑化を行い、次いでこの関数を用いて、ｃ（ｘ）、ｐ（ｘ）、Ｆ（ｘ）、およびｆ（ｘ）のような他の関数を算出することができる。資産のボラティリティ・レート（単に資産のボラティリティと呼ばれることが多い）は、資産によってもたらさされる利益に関する不確かさの測度である。株式のボラティリティ・レートは通常、年当たり０．３から０．５の範囲であってよい。
【００５９】
インプライド・ボラティリティ曲線に対して補外および平滑化を行うことの利点は、様々な種類のボラティリティ曲線（いわゆる「ボラティリティ・スマイル」）が判明し、これらを補外・平滑化プロセスの手引きとして用いて、ある信頼できないデータ・ポイントの「オーバーフィット」を防止することができる。
【００６０】
インプライド・ボラティリティを算出する標準的な方法は、原価格ｓ（資産の現在の価格）、危険なき利子率ｒ、およびＴ（満期日）が与えられた場合に、所与のストライク・プライスｘにおける原資産の実際のコール価格ｃ（ｘ）またはプット価格ｐ（ｘ）についてブラック−ショウルズ価格決定公式（付録参照）を反転させることである。これをｘの値の範囲について行うと、インプライド・ボラティリティ曲線σ（ｘ）の推定値が得られる。この曲線を任意の標準的な方法によって平滑化し補外して、平滑化された曲線
2004519753.tif 000020
を与えることができる。次いで、対応する平滑化されたプット価格曲線またはコール価格曲線を、ブラック−ショウルズ価格決定公式を用いて算出し、１度または２度微分して、平滑化されたｃｄｆまたはｐｄｆを与えることができる。最後に、将来の時間Ｔの離散部分集合についてのこのような推定曲線が与えられた場合、標準補間技術および補外技術を用いて、Ｔの指定された他の値またはＴ＞０の連続する範囲についてのそのような曲線を推定することができる。
【００６１】
インプライド・ボラティリティを算出する他の新しい方法では、まずｃｄｆ値
2004519753.tif 000021
の有限部分集合を算出し、次いでこれらの値においてブラック−ショウルズ ｃｄｆ公式（付録参照）を反転させる。ｘの値のある範囲についてこれを行うと、ｃｄｆが暗示されたボラティリティ曲線と呼ばれる、全体的に異なるインプライド・ボラティリティ曲線σ１（ｘ）の推定値が得られる。この場合も、この曲線を任意の標準的な方法によって平滑化し補外して、平滑化された曲線
2004519753.tif 000022
を与えることができる。次いで、対応する平滑化されたｃｄｆを、ブラック−ショウルズ ｃｄｆ公式から算出し、１度微分して、平滑化されたｐｄｆを与えることができる。最後に、この場合も、将来の時間Ｔの離散部分集合についてのこのような推定曲線が与えられた場合、標準補間技術および補外技術を用いて、Ｔの指定された他の値またはＴ＞０の連続する範囲についてのそのような曲線を推定することができる。
【００６２】
従来のインプライド・ボラティリティ曲線ではなくｃｄｆインプライド・ボラティリティ曲線を使用することの利点として、少なくともＦ（ｘ）の推定値からの計算がより簡単になり、この曲線が後述の多変量技術によりうまくあてはまることが挙げられる。
【００６３】
平滑化され補外されたインプライド・ボラティリティ曲線
2004519753.tif 000023
を、ストライク・プライスｘと満期日までの時間Ｔとの両方の関数として求める特定の方法は以下のとおりである。ボラティリティ曲線は二次公式によって近似されると仮定される。
【数９】
2004519753.tif 000024
【００６４】
係数｛ａｉ｝として、σ１（ｘ，Ｔ）に関する入手可能なデータをできるだけ密接にあてはめる係数が回帰によって求められる。平滑化された曲線
2004519753.tif 000025
が与えられた場合、様々なｘおよびＴについての対応する平滑化されたｃｄｆを、各時間Ｔについてブラック−ショウルズ ｃｄｆ公式から算出し、１度微分して、平滑化されたｐｄｆを与えることができる。数値上の利点を有する他の手順では、上記のような二次あてはめが関数
2004519753.tif 000026
に使用され、次いでブラック−ショウルズ ｃｄｆが反転されて
2004519753.tif 000027
が求められる。
2004519753.tif 000028
のこのような近似の学界における経緯については付録を参照されたい。他の有用な変形例では、特定の満期日である時間Ｔにおいて
2004519753.tif 000029
がｘの二次関数にあてはめられ、次いで他の時間Ｔに線形補間される。
【００６５】
複数の資産の処理
前述の技術は、単一の資産に関するオプション価格データに基づいてこの資産の将来の値についての確率分布を与える。しかし、多くの場合、投資家は、複数の資産に注意を払い、たとえば自分のポートフォリオ、またはミューチュアル・ファンド、またはある指数におけるすべての株式に注意を払うことがある。さらに、投資家は、ある資産群と他の資産群との関係に注意を払うことがある。
【００６６】
こような問題に対処する一般的な方法では、関心対象のすべての資産の多変量確率分布が生成される。多変量分布ｃｄｆはＦ（ｘ１， ｘ２， ．．． ， ｘｎ）と書くことができ、この場合、変数（ｘ１， ｘ２， ．．． ， ｘｎ）は関心対象のｎ個の資産の値である。
【００６７】
上述の技術または他の技術から、個々の各値についての周辺分布ｃｄｆ Ｆｉ（ｘｉ）を求めると仮定する。第１段階として、「ワーピング関数」と呼ばれる関数ｙｉ（ｘｉ）を、平均０および分散１を有する標準正規（ガウス）変数になるように、各ｘｉについて定義することができる。これは単に、ｘのすべての値についてＦｉ（ｘｉ）＝Ｎ（ｙｉ（ｘｉ））になるようにｙｉ（ｘｉ）を定義することによって行われる。この場合、Ｎ（ｘ）は標準正規変数のｃｄｆを示す。関数ｙｉ（ｘｉ）は単に、σｉ（ｘｉ）で記述することができる。付録を参照されたい。単調に変動する周辺分布ｃｄｆを有するような適度な技術的条件の下では、このようなワーピング関数ｙｉ（ｘｉ）は、明確に定義された逆ワーピング関数ｘｉ（ｙｉ）を有する。
【００６８】
第２に、ワープされた標準正規変数ｙｉ（ｘｉ）間の、各対の歴史的相関を求めることができると仮定する。このような相関は、標準技術により、任意の利用可能な１組の歴史的資産価格データから算出することができる。エントリがこれらの歴史的相関であるｎ ｘ ｎ相関行列をＣによって示す。各変数ｙｉ（ｘｉ）が標準正規変数であるため、Ｃの対角項はすべて１に等しい。
【００６９】
次に、Ｆｃ（ｘ１， ．．． ， ｘｎ）により、零平均および共分散行列Ｃを有する多変量ガウス・ランダムｎ組のｃｄｆを示す。次式を定義する。
2004519753.tif 000030
【００７０】
この場合、Ｆ（ｘ１， ｘ２， ．．．， ｘｎ）は、（ａ）正しい（所与の）周辺分布ｃｄｆ Ｆｉ（ｘｉ）を有し、（ｂ）ワープされた標準正規変数ｙｉ（ｘｉ）間の正しい（歴史的）相関を有する多変量分布ｃｄｆである。このｃｄｆを用いて、変数（ｘ１， ｘ２， ．．．， ｘｎ）を伴う問題を解く。
【００７１】
たとえば、投資家は、所与の数量のこのような各資産から成るポートフォリオを有することがある。このようなポートフォリオの値は、次式で表される和である。
2004519753.tif 000031
式中、ｈｉはポートフォリオ中のｉ番目の資産の数量を表す。投資家は、ポートフォリオ全体の値ｘの確率分布の推定値に注意を払うことがある。
【００７２】
このような推定値は、モンテ・カルロ・シミュレーションによって得ることができる。このようなシミュレーションの場合、多変量ガウス分布ｃｄｆ Ｆｃ（ｙ１， ．．．， ｙｎ）から得た多数Ｎの標本を生成することができる。各標本（ｙ１， ．．．， ｙｎ）は、逆ワーピング関数ｘｉ（ｙｉ）を用いることによって標本（ｘ１， ｘ２， ．．．， ｘｎ）に変換することができる。次いで、各標本について総ポートフォリオの値ｘを算出することができる。ｘのこれらのＮ個の値から、ｘの確率分布（たとえば、ｘのｃｄｆ Ｆ（ｘ））を推定することができる。
【００７３】
実際、Ｎ個の多変量標本を大きなデータベースに保存すると有用である。次いで、値が変数（ｘ１， ｘ２， ．．．， ｘｎ）の関数である任意の量のｃｄｆをこのデータベースから推定することができる。たとえば、投資家が、様々な数量の各資産を有する他のあるポートフォリオのｃｄｆを知りたい場合、記憶されているデータベースからこれを迅速に判定することができる。
【００７４】
投資家は、あるポートフォリオ（またはイベント、あるいは利子率、Ｐ／Ｅ比、市場のあるセクタへの大衆の関心などの変数）の、他のポートフォリオに対する効果を以下のように求めることもできる。第１のポートフォリオが以下のｘによって表されると仮定する。
2004519753.tif 000032
この場合、各ｘｉは、ポートフォリオ構成要素の価格とみなすことができ、第２のポートフォリオは以下のｙによって表される。
2004519753.tif 000033
この場合、各ｙｉは、ポートフォリオ構成要素の価格とみなすか、あるいは広義に任意のマクロ経済変数（関連するマクロ経済、ファンダメンタル、またはセクタ）とみなすことができる。
【００７５】
「ｗｈａｔ−ｉｆ」問題を考える。ＡおよびＢを所与の正の定数とし、時間Ｔでｘ≧Ａである場合、時間Ｔにおいてｙ≧Ｂになる確率を求める。この問題は、時間Ｔに対応する多変量分布ｃｄｆ Ｆ（ｘ１， ｘ２， ．．．， ｘｎ）について上記のようにモンテ・カルロ・データベースを作成し、ｘ≧Ａである標本を識別し、次いで、これらの標本を用いてｙ≧Ｂになる確率を推定することによって解くことができる。より一般的には、形式Ｆ（ｘ｜Ｅ）の任意の条件付きｃｄｆを同様に推定することができる。この場合、ｘは変数（ｘ１， ｘ２， ．．．， ｘｎ）の任意の関数であり、Ｅは変数（ｘ１， ｘ２， ．．．， ｘｎ）で定義された任意のイベントである。
【００７６】
同様に、投資家が、ある株式またはポートフォリオｘが時間Ｔに所与の定数Ａよりも大きな値を有すると考えることが合理的であるかどうかを知りたいと仮定する。この種の問題は、ｘ≧Ａである場合に、時間Ｔにおける他のある関連する、おそらくより良く理解される変数（または変数の組合せ）ｙの条件付きｃｄｆを推定することによって対処することができる。ｙについての結果として得られた分布が合理的な分布に見えない場合、投資家は、ｘ≧Ａであると予想するのは合理的でないと結論することができる。
【００７７】
確率分布情報を使用する用途
様々な技術を用いて、上述の計算に必要な情報を蓄積して処理し、ユーザに直接、またはサード・パーティを通じて間接的にこの情報を与えることができる。これらの技術のうちのいくつかについて以下に説明する。
【００７８】
図４に示されているように、確率分布情報は、通信ネットワーク１０４、たとえば、インターネットなどの公衆網、または法人イントラネットもしくはローカル・エリア・ネットワーク（ＬＡＮ）などの専用網に接続されたホスト・サーバ１０２からユーザに与えることができる。例示の都合上、以下の議論では、ネットワーク１０４はインターネットであると仮定する。
【００７９】
ホスト・サーバ１０２は、ソフトウェア・スイート１１６、金融データベース１２０、および通信モジュール１２２を含む。通信モジュール１２２は、ネットワーク１０４の通信プロトコルに従って、ホスト・サーバ１０２によって生成されたデータを送受信する。
【００８０】
ネットワークには、以下のもの、すなわち、個々のユーザまたは組織内のユーザ１０８、広告プロバイダ１１０、金融機関１１２、サード・パーティｗｅｂサーバ１１４、メディア・オペレータ１２２、および金融情報プロバイダ１０６のうちの１つまたは複数である（各ケースで１つのみ図示されている）。
【００８１】
ホスト・サーバのオペレータは、たとえば、金融情報供給源、民間企業、投資サービスのベンダ、または集中情報データベースを提供する会社のコンソーシアムであってよい。
【００８２】
ホスト・サーバ１０２は、ソフトウェア・スイート１１６の一部である代表的なオペレーティング・システムおよびｗｅｂサーバ・プログラムを実行する。ｗｅｂサーバ・プログラムによって、ホスト・サーバ１０２はｗｅｂサーバとして動作し、各ユーザ１０８がホスト・サーバによって生成された確率分布情報を受信しそれと対話するのを可能にするｗｅｂページまたはｗｅｂページの要素を、たとえばＨＴＭＬコードまたはＸＭＬコードで生成することができる。
【００８３】
ソフトウェア・スイート１１６は、金融データベース１２０に記憶されているデータを分析し、たとえば、資産およびポートフォリオの将来の価格のインプライド確立分布を生成するように構成された分析ソフトウェア１１８も含んでいる。
【００８４】
金融データベース１２０は、金融受信プロバイダ１０６から収集された金融情報、および分析ソフトウェア１１８によって生成された計算結果を記憶する。金融情報プロバイダ１０６は、通信リンク１２６を介してネットワーク１０４に接続されるか、あるいは情報をダイヤルアップ回線または専用回線（図示せず）を通じて直接ホスト・サーバに供給することができる。
【００８５】
図４は、本発明の実現態様の機能図である。構造的には、ホスト・サーバは、ネットワークに結合された１つまたは複数のｗｅｂサーバ、分析ソフトウェアおよびシステムに必要な他のアプリケーションを実行する１つまたは複数のアプリケーション・サーバ、ならびに金融データベースおよびシステムに必要な他の情報を記憶する１つまたは複数のデータベース・サーバとして実現することができる。
【００８６】
図１０は、通信リンク１２６を通じて金融情報プロバイダ１０６からホスト・サーバ１０２に送信されるデータ・フィード１５０の例を示している。情報は、メッセージ１５１、１５２の形でホスト・サーバに送信される。各メッセージは、各レコードが原資産のオプション価格に関する情報を保持する１つまたは複数のレコード１５３のストリームを含む。各メッセージは、送信側および受信側を識別するヘッド情報１５４と、現在の日付１５５と、メッセージの終わりインジケータ１５８を含み、その後に、メッセージに含まれるレコードが続く。
【００８７】
ストリーム内の各レコード１５３は、原資産の識別子１５６（たとえば、取引記号）と、レコードがプットに関するものか、それともコールに関するものかの表示１５８、プットまたはコールのストライク日付１６０、プットまたはコールのストライク・プライス１６２、原資産の現在の呼び値１６４、オプションの呼び値１６６、オプションに関連する取引高１６８を含む。金融情報プロバイダ１０６は、Ｒｅｕｔｅｒｓ、Ｂｒｉｄｇｅ、Ｂｌｏｏｍｂｅｒｇなどの情報ブローカ、またはメッセージに保持されている情報にアクセスできるか、あるいはこの情報を生成できる任意の他の当事者であってよい。ブローカは、たとえば、ニューヨーク株式取引所（Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ Ｓｔｏｃｋ Ｅｘｃｈａｎｇｅ）やシカゴ・オプション取引所（Ｃｈｉｃａｇｏ Ｂｏａｒｄ ｏｆ Ｏｐｔｉｏｎｓ Ｅｘｃｈａｎｇｅ）を含む情報供給源からの情報を提供することができる。
【００８８】
金融データベース１２０は、金融情報プロバイダからの情報フィードで受信された情報、および、たとえば利子率やボラティリティを含む他の情報を記憶する。金融データベースは、原資産およびオプションの対象ではない資産に関する確率分布関数を含む、分析ソフトウェアによって生成された結果も記憶する。
【００８９】
確率分布情報は、ユーザに提供され表示される情報が現在のデータになるように着信オプションデータから連続的に（かつ基本的にリアルタイムで）生成される。すなわち、この情報は、古い歴史的データではなく、オプション価格に関する現在の情報に基づく情報である。
【００９０】
さらに、価格、ボラティリティ値、β、資産が属する産業の識別、利回り、価格・帳簿比、およびレヴァレッジを含む、原資産の基本的な特性を含む、他のソフト情報を蓄積し、記憶し、ユーザに提供することができる。他の情報には、収益予測日のカレンダー、収益予測、法人活動項目、産業に関係するニュース項目、企業の持ち株の取引高を含めることができる。
【００９１】
ホスト・サーバ１０２による要求に応答して情報プロバイダ１０６からメッセージを送信することも、指定された時間間隔で自動的に情報をホスト・サーバ１０２に送信することも、情報プロバイダによってその情報供給源から受信された情報を送信することもできる。金融データベース１２０は、金融データの収集および構成専用の別個のサーバ・コンピュータ（図示せず）上に維持することができる。金融データベースは、記憶されているデータ間に論理関係を確立し、必要な情報の検索を高速にかつ効果的にするように構成される。
【００９２】
ユーザ１０８は、たとえばパーソナル・コンピュータ、ＴＶセット・トップ・ボックス、パーソナル・デジタル・アシスタント（ＰＤＡ）、または携帯電話を用いてネットワーク１０４と通信することができる。これらの装置はどれもインターネット・ブラウザを実行し、ホスト・サーバ１０２によって生成されたグラフィカル・ユーザ・インターフェース（ＧＵＩ）を表示することができる。
【００９３】
ホスト・サーバ１０２は、確率分布情報をネットワーク１０４上にｗｅｂページの形で与え、個々のユーザ１０８、金融機関１１２、サード・パーティｗｅｂサーバ１１４、およびメディア・オペレータ１２４が自由に情報を見るのを可能にする。ホスト・サーバ１０２を実行するホスト会社は、たとえば、そのｗｅｂページ上の広告スペースを広告プロバイダ１１０に売ることによって収益を得ることができる。
【００９４】
ホスト・サーバ１０２は、独自の情報および優れたサービスを個々のユーザ１０８、金融機関１１２、サード・パーティｗｅｂサーバ１１４、およびメディア・オペレータ１２２に加入料で提供することもできる。
【００９５】
ホスト・サーバ１０２は、金融機関１１２のデータベースに容易に組み込むことのできるフォーマットで、調整された情報を提供するために、金融機関１１２との直接リンクを有してよい。金融機関１１２には、たとえば、投資銀行、株式仲買業者、ミューチュアル・ファンド・プロバイダ、銀行信託部門、投資顧問業者、およびベンチャー・キャピタル投資会社を含めてよい。これらの機関は、分析ソフトウェア１１８によって生成された確率分布情報を、機関自体の加入者に提供する金融サービスに組み込むことができる。ホスト・サーバ１０２によって提供される確率分布情報によって、株式仲買業者はその顧客により良い忠告を与えることができる。
【００９６】
サード・パーティｗｅｂサーバ１１４は、そのｗｅｂサイトに確率分布情報を組み込むことができる。この情報は、インターネットを通じ、あるいは専用接続またはダイヤルアップ接続を通じて、情報フィードの形でｗｅｂサーバ１１４のサード・パーティ・ホストに供給することができる。
【００９７】
図１０は、通信リンク１２８を通じてホスト・サーバ１０２からサード・パーティｗｅｂサーバ１１４に送信されるデータ・フィード１８２の例を示している。データ・フィード１８２は、送信側および受信側を識別するヘッダ情報１８６と、特定の原資産に関するレコード１８８とを含むメッセージ１８４を保持する。
【００９８】
各レコード１８８は、将来の日付を識別する項目１９０と、資産を識別する記号１９２と、リスク・ニュートラル確率密度情報１９３と、累積分布情報１９４とを含んでいる。レコードは、識別された将来の日付に関する第２の資産１９５を識別する記号なども含んでよい。リスク・ニュートラル値に関する危険プレミアム値のような他の情報を提供することもできる。
【００９９】
サード・パーティｗｅｂサーバ１１４の例としては、Ｅ＊ＴＲＡＤＥ、ＣＢＳ Ｍａｒｋｅｔ Ｗａｔｃｈ、Ｆｉｄｅｌｉｔｙ Ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔｓ、およびＴｈｅ Ｗａｌｌ Ｓｔｒｅｅｔ Ｊｏｕｒｎａｌのｗｅｂサーバが挙げられる。サード・パーティｗｅｂサーバ１１４は、それが確率分布情報を必要とする資産のリストを指定する。ホスト・サーバ１０２は、金融情報プロバイダ１０６およびそれ自体の金融データベース１２０から定期的に情報を収集し、指定された資産リストについての確率分布情報を生成し、この情報をサード・パーティｗｅｂサーバ１１４に送信し、サード・パーティｗｅｂサーバ１１４のｗｅｂページに組み込ませる。
【０１００】
メディア・オペレータ１２４の例としては、金融情報を提供するケーブルＴＶオペレータおよび新聞社が挙げられる。たとえば、株価の付け値を伝えるケーブルＴＶチャネルが、ホスト・サーバ１０２によって生成された確率分布情報を提供することもできる。ケーブルＴＶオペレータは、将来数か月にわたってＮＹＳＥ上にリストされるすべての株式の確率分布を記憶するデータベースを有してよい。ホスト・サーバ１０２は、更新された情報を定期的にケーブルＴＶオペレータのデータベースに送信することができる。ケーブルＴＶチャネルの加入者は、ＴＶで株価の付け値を見る場合に、モデムを介してケーブルＴＶオペレータのサーバ・コンピュータにコマンドを送信し、特定の株式および特定の将来の日付を指定することができる。ケーブルＴＶオペレータのサーバ・コンピュータは、これに応じて、そのデータベースから確率分布情報を検索し、たとえば、ＴＶ信号の垂直帰線消去間隔に確率分布情報を符号化することによって、この情報をケーブル・ネットワークを介して加入者に送信する。
【０１０１】
同様に、毎日の取引価格を伝える新聞社も、株価が所定の将来の日付、たとえば６か月後に現在の資産価格のある割合を超える確率を伝えることができる。新聞上の標本リストは
2004519753.tif 000034
であってよく、これは、ＡＭＤ株の最安値が８３ドルであり、最高値が８８ドルであり、終り値が以前の終り値よりも高い８５ドルであり、６か月で１０％上がる確率が４０％であることを意味する。
【０１０２】
分析ソフトウェア１１８は、Ｊａｖａ、Ｃ、Ｃ＋＋、ＦＯＲＴＲＡＮのような任意のコンピュータ言語で書くことができる。このソフトウェアは、以下のモジュール、すなわち、（１）金融データ供給源から受信されたデータを再処理する入力モジュール、（２）数学的分析を実行する計算モジュール、（３）ユーザからの入力を受信し、計算結果のチャートおよびグラフを表示するグラフィカル・インターフェースを生成するユーザ・インターフェース・モジュール、ならびに（４）ネットワークにアクセスするのに必要な通信プロトコルに対処する通信インターフェース・モジュールを含んでよい。
【０１０３】
ｗｅｂページおよびユーザ・インターフェース
様々なｗｅｂページおよびユーザ・インターフェースを用いて、上述の技術によって生成された情報を伝えることができる。
【０１０４】
たとえば、図５を参照すると、ＧＵＩ７００によって、ユーザ１０８は、ホスト・サーバ１０２から提供されるある範囲の供給サービスを得ることができる。ユーザ１０８は、記号７０４を有する販売可能な資産７０６の将来の価格のインプライド確率および現在の価格７０８を見ることができる。表示される情報は、資産価格が、指定された期間７２０内に基準価格７１０のある指定された割合７１２を超える（またはある指定された割合７１６よりも少なくなる）確率７１４（または７１８）を含んでよい。
【０１０５】
ユーザ１０８の便宜のために、ＧＵＩ７００は、資産の取引を推進する機関とのリンク７３０を含んでいる。ホスト・サーバ１０２を実行するホスト会社は、ＧＵＩ７００上の広告スペース７２８を売って収益を得る。ＧＵＩ７００は、終身財務管理、販売可能な資産の取引に関する主題のオンライン講座、販売可能な資産に関する市場条件の研究、および資産のポートフォリオの管理を含む、ホスト・サーバ１０２から提供される他のサービスとのリンク７２６も有している。
【０１０６】
図６を参照すると、ＧＵＩ７００は、ユーザ１０８が資産のポートフォリオの将来の価値についての、市場の現在の予測を見ることができるようにする対話型ｗｅｂページを表示することができる。資産ポートフォリオ７３２の歴史的市場価格７３４および現在の市場価格７３６が表示される。価格差７３８も表示される。ＧＵＩ７００は、ポートフォリオ７３２が指定された期間７４２内にある割合７４０を得る（または失う）確率７４４（または７４６）を表示する。ポートフォリオの例には、株式ポートフォリオ、引退４０１Ｋプラン、および個々の引退会計が含まれる。リンク７４８は、ユーザ１０８が各ポートフォリオ内の個々の資産の将来の価格トレンドについての、市場の現在の予測を見ることができるようにするのに設けられている。
【０１０７】
図７を参照すると、他のユーザ・インターフェースにおいて、ＧＵＩ７００は、歴史的価格の経緯の詳細な分析と、指定された期間にわたる販売可能な資産の将来の価値の確率分布についての、市場の現在の予測とを含む対話型ｗｅｂページを表示する。ＧＵＩ７００は、ある期間にわたる資産の予測される将来の価格の累積分布値を表す価格−スプレッド・ディスプレイ７５０を含んでいる。価格−スプレッド・ディスプレイ７５０ａは、３か月前に生成された価格分布データを示している。実際の資産価格の３か月間の経緯は、ユーザ１０８が価格分布情報を評価できるように比較のために線グラフとして示されている。価格−スプレッド・ディスプレイ７５０ｂは、今後１か月の期間にわたる資産価格の予測される累積分布値を表す。ディスプレイ７５０ｂの左縁はもちろん、直前の３か月の期間の終了時点での資産の実際の価格、たとえば、現在のＤＥＬＬ株価の５０ドルから始まる。確率分布情報は、たとえば、株価が３５ドルよりも下がる確率が１％であり、株価が１か月で８０ドルよりも下がる確率が９９％であることを暗示している。ＧＵＩ７００は、資産情報のハイライトを示す表７５２と、資産のセクタ・リスクを示すグラフ７５４とを含んでいる。ボックス７５５によって、ユーザは目標価格を入力することができ、表７５７は、計算上のインプライド確立分布に基づく、４つの異なる将来の時間におけるこの価格の確率を示す。
【０１０８】
図８を参照すると、他の手法では、金融情報を示すウィンドウ４０２が、確率分布情報を示す他の２つのウィンドウ４０８および４１０と共に、ユーザの画面上に表示される。個々のユーザ１０８は、すでにホスト・サーバ１０２からクライアント・プログラムをダウンロードしているものとする。ユーザが任意のドキュメント、たとえば、任意のｗｅｂページ（ホスト・サーバ１０２のｗｅｂページまたは他のホストのサーバのｗｅｂページ）を見る際、ユーザは、ポインタ４０６を用いて株式記号４０４を強調表示し、所定のキーストローク（たとえば、「ＡＬＴ−ＳＨＩＦＴ−Ｑ」）を入力してクライアント・プログラムを呼び出す。クライアント・プログラムは次いで、ユーザによって強調表示された株式記号をホスト・サーバ１０２に送信する。ホスト・サーバ１０２は確率分布情報をクライアント・プログラムに送り返し、クライアント・プログラムは別々のウィンドウ４０８および４１０にこの情報を表示する。
【０１０９】
クライアント・プログラムが呼び出されると、表示できる様々な種類の価格情報を示すウィンドウ４２２を表示することができる。図示の例では、「確率分布曲線（Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｃｕｒｖｅ）」および「上／下限推定値曲線（Ｕｐｐｅｒ／ｌｏｗｅｒ ｅｓｔｉｍａｔｅ ｃｕｒｖｅｓ）」が選択されている。ウィンドウ４０８は、７月から１２月までのストライク・プライス１４０ドルの上下のＡＭＤ株の価格範囲と、株価が上限推定値曲線と下限推定値曲線との間で下がる確率が９０％であることを示している。ウィンドウ４１０は、将来の日付２０００年８月１５日のＡＭＤ株の確率密度曲線ｆ（ｘ）を示している。ユーザは、資産名が強調表示されたときはいつでも、ユーザからの他の指示なしにデフォルトの関数曲線が表示されるように、デフォルトの関数曲線を指定することもできる。
【０１１０】
表１に示されているような図表データは、ホスト・サーバ１０２によって生成し、ネットワーク１０４上で、グラフィカル・データを表示する限られた機能を有する装置に送信することができる。一例として、個々のユーザ１０８は、携帯電話を用いて資産確率分布情報にアクセスしたくなることがある。ユーザは、電話のキーパッドを用いてコマンドを入力し、株式、価格、および将来の日付を入力する。これに応答して、ホスト・サーバ１０２は、この株式が指定された将来の日付に指定された価格に達する確率を、携帯電話の画面上に表示するのに適した図表フォーマットで返す。
【０１１１】
図９を参照すると、携帯電話５００は、表示画面５０２、数値キー５０６、およびスクロール・キー５０４を含んでいる。ユーザは、数値キー５０６を用いてコマンドを入力することができる。ホスト・サーバ１０２から受信された価格情報は表示画面５０２上に表示される。図表データは通常、数字の長いリストを含み、ユーザはスクロール・キー５０４を用いて図表データのそれぞれの異なる部分を見ることができる。
【０１１２】
表示画面５０２に示されている例では、ＡＭＤ株式の現在の価格は８２ドルである。２０００年８月１５日の様々な将来の価格についての累積分布値Ｆ（ｘ）がリストされる。この分布は、株価が８０ドルよりも下がる確率が４０％であることを示し、株価が８０ドルを超える確率が６０％であることを暗示している。同様に、この分布は、株価が少なくとも９０ドルになる確率が８０％であることを示し、株価が９０ドルを超える確率が２０％であることを暗示している。
【０１１３】
後述の視覚化技術は、ユーザが、資産に関する情報を視覚化し迅速に理解するのを可能にするうえで有用である。
【０１１４】
将来の価格のインプライド確立分布の視覚化
図１１に示されているように、視覚化装置１０は、現在の日付１２、２０００年７月１日に対するＤｅｌｌ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｃｏｒｐｏｒａｔｉｏｎ株の予測される相対的な将来の価格の累積確率分布値を表示する。２０００年７月１日の価格１４は、表示の都合上それ自体が任意の開始値０ドルに設定された２０００年２月１日の価格１６よりも４１ドル低いように示されている。この表示は、実際の価格で与えることも、価格の変動として与えることも、利益率として与えることもできる。視覚化装置１０の基礎となる確率分布データは、たとえば、親特許出願で論じられている方法によって生成することができる。
【０１１５】
今後数か月の期間にわたるＤｅｌｌ株の価格の予測される累積分布値は、点１８から始まり右側に開く包絡線１６によって示されている。
【０１１６】
包絡線１６は、各々がやはり点１８から始まり右側に開くストライプ２２、２４、２６、２８、３０に分割されている。たとえば、ストライプ２２は、将来の各日付における価格（すべて現在の価格よりも低い）の範囲を示し、価格がこのストライプ内に入る予測される見込み（１０％）を示している。同様に、ストライプ２６は、将来の様々な日付に起こる予測される見込みが４０％である価格（現在の価格より高い価格および低い価格）の範囲を示している。包絡線１６よりも上または下に来る見込みは１％未満であることが分かる。各ストライプは異なる色で表示されており、各色としては、見る人がそれぞれの異なるストライプを容易に視覚化できるような色が選択される。
【０１１７】
同様な包絡線３２は、２０００年２月１日の公称価格０ドルから始まり、現在の日付で終わっている。包絡線３２は、２００１年２月１日の時点で予測されたＤｅｌｌ株価の累積分布値を表している。２０００年２月１日から現在の日付までの間のＤｅｌｌ株の実際の価格の遷移は線３４によって示されている。線３４の実際の価格の遷移が、予測された累積分布値に一致する程度は、この予測手法の妥当性をユーザに視覚的に示す。
【０１１８】
図１１に示されている色とテキストとデータの組合せによって、投資家は、資産の実績を、自分の価格予想に対して経時的に評価することができる。
【０１１９】
図１１の視覚化装置は、ミューチュアル・ファンドを含む、株式以外の資産、および資産のポートフォリオにも有用である。
【０１２０】
図１２は、図１１と同様な情報を示しているが、価格ではなく予測利益率に関して表されている。図１２に示されている例は、現在の日付６６、２０００年１０月２４日の時点のＣｈｅｃｋ Ｐｏｉｎｔ Ｓｏｆｔｗａｒｅ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｉｅｓ Ｌｔｄ株に関する。ｘ軸は、開始日に対する利益率を表している。線６２は、点６７における２０００年１月１日の開始日の株価に対する歴史的利益を示している。現在の日付６６では、開始点６７からの株式の価格に対する累積利益は約２００％である。
【０１２１】
包絡線６８は点６６から始まり、右側に開いている。包絡線６８は、利益率が最初の開始点６６に対して今後数か月間の各日にある範囲内に収まる予測される見込みを示している。各範囲はストライプ５２、５４、５６、５８、および６０として表されている。包絡線およびストライプは、オプション市場のインプライド・ボラティリティに基づく数学的アルゴリズムによって生成された将来の価格レベルの確率を反映するわずかに正の勾配を持つトレンド線５０を中心として位置している。このアルゴリズムは、２０００年８月１８日に出願された関連する係属中の米国特許出願第０９／６４１，５８９号に記載されている。
【０１２２】
たとえば、（開始点６７に対する）利益が２０００年５月１日に５０％から１００％の間になる予測される見込みは１０％である。
【０１２３】
価格データを、ｘ軸に沿ってプロットされる価格変動データに変換するように、データが処理されることを除いて、図１１の表示を生成するのに用いられるのと同じ種類のデータを用いて図１２の装置が生成される。
【０１２４】
図１３は、（開始日８２から１年後である垂直線８０として識別される）長期資本キャピタル・ゲイン税率が移行した影響を除いて図１２と同様である。線８０で表された日付よりも後に、株式を売却すると、その日付よりも前の短期キャピタル・ゲイン税率を仮定する場合よりも、税金の影響が弱くなり、有効利益が増える。そのため、包絡線８４は、移行日の後の期間に上向きにずれ分裂している。
【０１２５】
資産形式の視覚化
図１４は、資産資金（たとえば、ミューチュアル・ファンド）の歴史的利益を１組の基本資産クラス（たとえば、現金、債権、大現在価値成長株、大現在価値株）によって得られる利益と比較することによって資産資金を評価する資産資金形式分析を反映する別の視覚化装置を示している。
【０１２６】
形式分析の第１段階では、関心対象のすべての資産タイプを表すために相互に排他的で網羅的である必要がある基本資産クラスが一度に選択される。（以下にリストする）クラスの一例には、７つが株式を表し、残りが債権を表す、１７個の市場指標がある。
【０１２７】
形式分析の第２段階では、これらの指標に対する所与のミューチュアル・ファンドのエクスポージャが求められる。これは、資金利益が基本資産クラスからの利益と残差の線形組合せとして表される、資産クラス因子モデルを解くことによって実現される。エクスポージャは、１年間の週間データを用いて残差の分散を最小限に抑えることによって求められる。１年間の週間データは資金形式をより正確に反映できると考えられる。さらに、基本資産クラスに対する資金エクスポージャは、非負になり、かつ合計が零になるように制限される。
【０１２８】
形式分析の第３段階では、結果が、意義のある投資情報を与える形式で与えられる。所与の資金についての形式分析結果は、各基本資金クラスにおける割合から成り、支配的な割合が資金の形式を決定する。所与の資金についての形式のドリフトは、過去５年間の形式の変化を求めることに基づいて判定される。
【０１２９】
図１４には、分析の結果が表示されている。それぞれのセル１０２の色は、そのセルが現れる列で表される期間中の、セルが現れる行に関連する形式への回帰が、資金の実績のどの程度を説明するかを示している。
【０１３０】
図１４に示されている例は、個々の投資家から成る大きな群の関心対象である１７個の指標（形式１００）のそれぞれを識別している。たとえば、形式ＬＧは大現在価値成長として特徴付けされた１組の株式を指す。この例の各群の全リストを以下に示す。
１．大現在価値成長（ＬＧ）
２．大現在価値（ＬＶ）
３．中現在価値（ＭＣ）
４．小現在価値（ＳＣ）
５．ヨーロッパ株（ＥＵ）
６．日本株（ＪＰ）
７．有望市場（ＥＭ）
８．現金（ＴＢ）
９．中間国債（ＧＩ）
１０．長期国債（ＧＬ）
１１．中間社債（ＣＩ）
１２．長期社債（ＣＬ）
１３．法人ジャンク・ボンド（ＨＹ）
１４．抵当証券（ＭＧ）
１５．不動産（ＲＥ）
１６．市債権（ＭＵ）
１７．世界債（ＧＧ）
【０１３１】
したがって、セル１０２の場合、回帰は、資金の実績の約４５％が２０００年のこの期間についてのＬＧ形式と相関していることを示している。
【０１３２】
回帰によって求められた値は、垂直軸が形式を示し水平軸が時間を示す格子に表示される。各セル１０２の色は、右側に示されている割合目盛りに従った割合を示している。
【０１３３】
結果として得られる視覚化装置によって、投資家は、資産の実績を、投資に関する自分の好みおよび戦略に対して経時的に評価することができる。
【０１３４】
最近の市場活動の視覚化
資産（株式やミューチュアル・ファンドなど）の市場の活動を、活動が展開するにつれて追跡する能力は、投資家にとって非常に重要である。多くの投資家は、取引高、価格の変化、資産の識別、実績などの情報を示す、毎日公表される図表データに依存している。
【０１３５】
図１５に示されている視覚化装置は、投資家が最近および現在の市場の活動を視覚的にかつ迅速に把握する能力を向上させるようにこのような情報を収集し、凝縮し、改善する。
【０１３６】
表示は、取引日全体にわたって連続的にかつ迅速に更新される。
【０１３７】
図１５に示されているように、視覚化装置１２０は、中心点１２４の周りに配置された扇形１２２として分割されたレーダ状ディスプレイを含んでいる。この装置は、点１２４を中心とし、様々なリングを視覚的に区別するようにそれぞれの異なる色で塗りつぶされたリング１２６に分割されている。
【０１３８】
各扇形１２２は、投資家の関心対象の産業またはセクタ、たとえば、技術セクタや金融セクタに関連付けされている。各扇形のサイズは、母集団全体に対して示されている資産項目の総数に対する、各扇形に対して表示された資産項目の割合に依存する。
【０１３９】
各リングは、最近の期間中（たとえば、１取引日中）の異なる価格変化率を表している。各リングは、最大の減少率がレーダの中央近くに位置し、最大の増加率が周辺の近くに位置するように配置されている。
【０１４０】
各点が、レーザの扇形によって表される産業セクタ内の選択された株式または資産を表す、小さな点１２８が、各扇形内に表示されている。各点の、中心点１２４からの距離は、取引日中の所与の時間における対応する株式の価格変動率を表す。灰色の点は小現在価値株を表し、黒い点は大現在価値株を表す。
【０１４１】
扇形内の複数の株式が（たとえば、位置１３０の）同じ変動率を有する場合、各点は、各扇形内の変動率の分布の印象を見る人に伝えるように中心点に対するそれぞれの異なる角度位置に表示される。
【０１４２】
実現態様の詳細
上述の視覚化要素は、デスクトップ・コンピュータおよびラップトップ・コンピュータ、パーソナル・デジタル・アシスタント、携帯電話、誰でも見られる大画面ディスプレイ、またはクローズド・サーキットまたはブロードキャスト／ケーブル・テレビジョン・モニタを含む、広範囲の装置上に表示することができる。
【０１４３】
視覚化要素は、単独で表示することも、あるいは他の金融情報、一般的なニュース情報、またはプログラム材料を含む、他の表示マテリアルに埋め込むこともできる。たとえば、要素は、金融情報専用のｗｅｂサイト・ページの一部として表示することも、一般的なｗｅｂポータル・ページの一部として表示することもできる。要素は、ブロードキャストＴＶプログラムまたはケーブルＴＶプログラムの一部として表示することができる。
【０１４４】
視覚化要素を作成するための生データを、動作中に電子的に得て、かつ／または必要に応じてローカルにまたは中央に格納することができる。生データを処理し、視覚化要素で表すべき導出された値を生成するソフトウェアを、ローカルに実行することも、リモートに実行する（次いでローカル・ディスプレイにダウンロードする）こともできる。導出された値を処理して視覚化要素を作成するソフトウェアを、同様に取り扱うことができる。
【０１４５】
生データ、導出された値、および視覚化要素は、多少とも頻繁に更新することができる。ただし、多くの場合、リアルタイムの更新が特に有用である。
【０１４６】
各視覚化要素は、ユーザが、要素を表示する方法をどのように変更したいか、または要素に含まれるデータの選択を示す入力、たとえばマウス・クリックを行うのを可能にすることによって、対話型の要素にすることができる。ユーザが、受信する情報の種類、情報の表示形式、ならびに情報を受信する頻度および間隔を構成するのを可能にするように構成機能を設けることができる。
【０１４７】
他の実現態様は特許請求の範囲の範囲内である。
【０１４８】
たとえば、図１５に示されている視覚化要素に関しては、要素の全体的な形状は丸以外であってよく、扇形は簡単なパイ形状以外であってよく、リングは簡単なリング以外であってよく、個々の点は、他のアイコンで置き換えることができ、点または他のアイコンは、中心から他の配置に並べることができ、色以外の可視要素を用いて表示のそれぞれの異なる部分を区別することができる。
【０１４９】
各図面に示されている視覚化要素に関しても広範囲の変形例が可能である。
【０１５０】
付録Ａ
本発明の３つの局面は以下のとおりである。
【０１５１】
１．選択された将来の時間において特定の資産（たとえば、株式）の価格を支配する確率分布を、たとえばＷｏｒｌｄ Ｗｉｄｅ Ｗｅｄサイト上で金融投資家の顧客にリアルタイムに表示することが望ましいことの認識。
【０１５２】
２．容易にリアルタイムに入手可能な、この資産または関連する資産のオプション価格からこのような確率分布を導くことができることの認識。
【０１５３】
３．いくつかの資産価格に同時に関与する確率分布が、いくつかの場合に投資家顧客に有用であり、特に仮説的なシナリオを調査する際に有用であり、上記のような単一資産分布（ただし、上記の分布に制限されない）を、管理可能に求められる多変量分布に有意義に組み込めることの認識。
【０１５４】
この付録では、まず、オプション価格から単一資産の確率分布を導く基本的な方法について説明する。次に、様々な実際的に問題に対処するための、この基本的な方法の改良について説明する。次いで、多変量事例を取り上げ、この種の単一資産確率分布または他の任意の確率分布を多変量事例に拡張するにはどうすべきかを示す。最後に、シナリオの調査に焦点を当てながら、いくつかの新規の多変量用途を検討する。
【０１５５】
１  基本的な方法
コール・オプションとは、Ｔ日後の所与の満期日に資産（たとえば、株式）をある価格ｘ（ストライク・プライスと呼ばれる）で購入するオプションである。（満期日にのみ行使可能なオプションを「ヨーロッパ・スタイル」オプションと呼ぶ。説明を簡単にするために、この議論では、この種のオプションのみを検討する。１）。同様に、プット・オプションとは、所与の満期日に資産をストライク・プライスｘで売却するオプションである。（この場合、満期日よりも前には行使できない「ヨーロッパ・スタイル」の仮定はより重要であるが、それほど深い「イン・ザ・マネー」にはないプット・オプションの場合にはやはり無視してよい。）
【０１５６】
１  満期日よりも前に行使できる場合でも、大きな配当のない流動的に取引されるコール・オプションは、満期日よりも前には行使できない場合と同様に扱うことができる。というのは、オプションの売却は通常、より優れた方法であり、したがって、このようなコール・オプションはヨーロッパ・スタイルオプションと同様に働くからである。
【０１５７】
ｃ（ｘ）がストライク・プライスｘの資産に対するコール・オプションの価格を示し、ｐ（ｘ）がプット・オプションの価格を示すものとする。このような価格は、オプション証券業者によって確立される。このような価格が、満期日におけるこの資産の価格の確率分布についての、「マーケット・ビュー」に関する情報を暗黙的に含むことが分かった。
【０１５８】
簡単であるが重要な形態では、このマーケット・ビューは以下のように説明することができる。コール価格曲線ｃ（ｘ）またはプット価格曲線ｐ（ｘ）が、すべてのｘ＞０であるストライク・プライスｘの連続関数として与えられたと仮定する。この場合、コール価格曲線またはプット価格曲線の第２の導関数は、満期日における資産価格のリスク・ニュートラル確率密度関数（ｐｄｆ）ｆ（ｘ）についての、マーケット・ビューである。言い換えれば、ｆ（ｘ）＝ｃ’’（ｘ）＝ｐ’’（ｘ）である。
【０１５９】
オプション価格がある種のインプライド確立分布を決定するという考えは、金融関係の文献でかなり良く知られている。連続的なオプション価格曲線の第２の導関数をとることによってｐｄｆを算出できるという考えは、学界の文献で知られているが、それほど良く知られてはいないらしい。たとえば、標準的な文献「オプション、先物取引、および他の導関数（Ｏｐｔｉｏｎｓ， Ｆｕｔｕｒｅｓ， ａｎｄ Ｏｔｈｅｒ Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ）」Ｊｏｈｎ Ｃ． Ｈｕｌｌ著（第４版、１９９９年、Ｐｒｅｎｔｉｃｅ−Ｈａｌｌ）には、インプライド確率が記載されているが、第２導関数方法は記載されていない。見つけ得たうちで最も優れた文献は、それ以前の文献が６つしかないＣ． ＪａｃｋｗｅｒｔｈおよびＭ． Ｒｕｂｉｎｓｔｅｉｎ著「オプション価格からの確率分布の回復（Ｒｅｃｏｖｅｒｉｎｇ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ ｏｐｔｉｏｎ ｐｒｉｃｅｓ）、Ｊ． Ｆｉｎａｎｃｅ、第５１巻、１６１１ページ〜１６３１ページ（１９９６年）である。
【０１６０】
（一定の詳細の時間Ｔにおける一定の資産についての）リスク・ニュートラル分布は、市場参加者がリスクに対して中立的である（一般にそうではない）場合に成立する価格分布として定義されている。しかし、ブラック−ショウルズ・オプション理論および上記のＨｕｌｌの文献に記載されている変形例の大部分の基礎となる理論のような、多くの資産価格決定理論では、単にリスク・ニュートラル分布ｆ（ｘ）を適切な危険プレミアムだけ調整することによってリスク・ニュートラル分布ｆ（ｘ）から危険回避資産価格分布を得ることができる。配当がない場合、真の分布はｆ（ｘｅ（μ−ｒ）Ｔ））に過ぎない。この場合、μ−ｒは、危険なき利子率ｒを超えるこの株式の予想される年間利益率である。我々は、配当が得られるようにわずかに修正された（以下参照）、この簡単なフォーマットの変形例を使用する。ただし、本発明は、より複雑な調整も取り扱うことができる。このフォーマットでは、依然としてμ−ｒの値を供給しなければならない。本発明では、ＧｒｉｎｏｌｄおよびＫａｈｎの文献「アクティブなポートフォリオ管理（Ａｃｔｉｖｅ Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ）」（１９９５年）から得た「コンセンサス推定値」をデフォルトとして使用する。これらの著者は、危険プレミアムの長期平均値を年当たり６％とし、この数に株式のβを掛けてμ−ｒを得ることを提案している。パラメータβは、Ｓ＆Ｐ５００とされることが多い市場ポートフォリオに対する関心対象の株式の回帰を与える線の勾配である。これは、予想される余分な利益についての公知のＣＡＰＭ推定値である。良くも悪くも、この推定値は、コンセンサス推定値の特徴を有するため、マーケット・ビューを与えるという本発明の目的に適合する。ただし、これはデフォルトに過ぎない。本発明は、確率のリスク・ニュートラル構成要素を与える発明であり、危険回避調整パラメータμ−ｒについての他の推定値およびリスク・ニュートラル確率密度を危険回避確率密度に調整するための任意の明示的な方式を取り扱うことができる。比較的短い期間、場合によっては１か月または２か月の場合、必要なリスク調整が、小規模であり、一般に、リスク・ニュートラル分布自体の変動によって圧倒されることを指摘しておきたい。
【０１６１】
第２導関数手順が正しいリスク・ニュートラル確率分布を与えることを簡単に照明する。Ｈｕｌｌと同様に、ヨーロッパ・コール価格またはプット価格をリスク・ニュートラル分布における期待値として算出することができる。
【０１６２】
満期日の資産の実際の値がυである場合、ストライク・プライスｘでのコール・オプションの価値はｍａｘ｛υ−ｘ， ０｝であり、プット・オプションの価値はｍａｘ｛ｘ−υ， ０｝である。実際の値がｐｄｆ（υ）を有する確率変数である場合、満期日におけるｘでのコール・オプションの予想される価値は次式：
【数１０】
2004519753.tif 000035
で表され、満期日におけるｘでのプット・オプションの予想される価値は次式：
【数１１】
2004519753.tif 000036
で表される。
【０１６３】
現在の価値ｃ（ｘ）およびｐ（ｘ）は、ｃＴ（ｘ）およびｐＴ（ｘ）をｅ−ｒＴだけ値引きすることによって得ることができる（ｒは危険なき利子率である）。しかし、本工程では、時間Ｔにおける確率分布を予測し、値引きは行わず、したがって、単にｃ（ｘ）＝ｃＴ（ｘ）、ｐ（ｘ）＝ｐＴ（ｘ）と書く。
【０１６４】
さらに、これらの式から、以下のことが分かる。
【数１２】
2004519753.tif 000037
式中、ｓ＊ ＝ Ｅυ［υ］は、リスク・ニュートラル分布の下での満期日における資産の予想される価値である。（配当がない場合、ｓ＊ ＝ ｓｅｒＴであり、配当がある場合、一般に、配当の時間Ｔにおける価値をｓｅｒＴから引く必要がある。）この公知の関係は、プット−コール・パリティと呼ばれ、いずれの価格曲線も同じ情報を保持する理由を示す。
【０１６５】
ｃ（ｘ）についての上記の式から、第１の導関数は次式のように表される。
【数１３】
2004519753.tif 000038
式中、
2004519753.tif 000039
は、確率変数υの累積分布関数（ｃｄｆ）である。このことを証明するために、
2004519753.tif 000040
であることに注目する。したがって、次式が成立する。
【数１４】
2004519753.tif 000041
式中、変数υ、ｚを相互交換して二次元領域Ｒ＝｛（υ，ｚ）：ｘ≦ｚ≦υ｝について積分する。この式は、ｃ’（ｘ）＝−（１−Ｆ（ｘ））であることを暗示している。
【０１６６】
プット−コール・パリティから、同様に、次式が成立する。
2004519753.tif 000042
【０１６７】
ｃｄｆとｐｄｆはＦ’（ｘ）＝ｆ（ｘ）によって関係付けられるので、これらの式は、ｃ（ｘ）またはｐ（ｘ）の第２の導関数がｐｄｆ ｆ（ｘ）であることを暗示する。
2004519753.tif 000043
【０１６８】
したがって、オプション価格曲線ｃ（ｘ）およびｐ（ｘ）の一般的な特徴は以下のとおりである。
【０１６９】
・υの最小値よりも小さな（すなわち、Ｆ（ｘ）＝０であるような）すべてのｘについて、ｃ（ｘ）＝Ｅυ｛υ｝−ｘ＝ｓ＊−ｘおよびｐ（ｘ）＝０である。言い換えれば、ｃ（ｘ）は、ｃ（０）＝Ｅυ｛υ｝＝ｓ＊から始まる勾配−１の直線であり、一方、ｐ（ｘ）＝０である。
・υの最大値よりも大きな（すなわち、Ｆ（ｘ）＝１であるような）すべてのｘについて、ｃ（ｘ）＝０およびｐ（ｘ）＝ｘ−ｓ＊である。言い換えれば、ｐ（ｘ）は、勾配＋１およびｘ切片ｓ＊の直線であり、一方、ｃ（ｘ）＝０である。
・この２つの線分は、勾配が、ｃ（ｘ）については−１から０まで大きくなり、ｐ（ｘ）については０から＋１まで大きくなる連続する凸状Ｕ曲線によって結ばれる。
【０１７０】
ｐｄｆ ｆ（ｘ）の平均Ｅυ｛υ｝がｓ＊であり、原価格ｓの時間Ｔにおける将来のドル単位の価値（から配当の価値を引いた値）は、オプションにおける市場の活動がない場合にも、オプション価格を、基本価格ｓの変化を反映するように絶えず調整しなければならないことを暗示する。
【０１７１】
ｓ＊＝Ｅυ｛υ｝であることは、オプション価格曲線では原価格ｓの概略的な方向を予測できないことも暗示している。しかし、オプション価格曲線は、ｐｄｆ ｆ（ｘ）の形状および特にそのボラティリティを予測する。
【０１７２】
１．１  呼び値の有限部分集合に基づく近似
実際には、オプション価格ｃ（ｘ）およびｐ（ｘ）は、等間隔に設定されたストライク・プライスｘの有限部分集合についてのみ決定され、すなわち、整数ｎおよび間隔Δについてｘ＝ｎΔである。ｃ（ｎΔ）およびｐ（ｎΔ）をそれぞれｃｎおよびｐｎによって示す。さらに、付け値は呼び値スプレッドのみを指定し、厳密な価格は指定しない。この節では、これらの問題に対処する方法を示す。（Ｊａｃｋｗｅｒｔｈ−Ｒｕｂｉｎｓｔｅｉｎの論文（ｏｐ． ｃｉｔ．）の大部分はこれらの種類の曲線あてはめ問題に関する。）
【０１７３】
ｘ＝（ｎ＋１／２）Δにおける第１の導関数ｃ’（ｘ）およびｐ’（ｘ）は第１の差によって推定することができる。
【数１５】
2004519753.tif 000044
【０１７４】
2004519753.tif 000045
の対応する推定値は次式で表される。
【数１６】
2004519753.tif 000046
【０１７５】
したがって、ヨーロッパ・スタイルのプットとコールの両方の買い呼び値および売り呼び値を用いて、ｃｄｆ
2004519753.tif 000047
の４つの異なる推定値を算出し、次いでこれらを単一の推定値として組み合わせることができる。この組合せは好ましくは、ｘ＝（ｎ＋１／２）Δが原価格ｓよりもずっと少ない（「ディープ・アウト・オブ・ザ・マネー」）か、ｓに近い（「ニア・ザ・マネー）か、ｓよりもずっと多い（「ディープ・イン・ザ・マネー」）どうかを、これらの異なる範囲において呼び値を設定するそれぞれの異なるパターンに従って考慮する。さらに、ディープ・イン・ザ・マネー・プットのようにオプションが満期日よりも前に行使される可能性が高い場合に価格に近い付け根を回避することも考慮される。
【０１７６】
同様に、ｘ＝ｎΔにおける第２の導関数ｃ’’（ｘ）およびｐ’’（ｘ）は、第１の導関数の推定値の第１の差によって推定することができる。たとえば、次式が成立する。
【数１７】
2004519753.tif 000048
ｐｄｆ ｆ（ｎΔ）の推定値
2004519753.tif 000049
として
2004519753.tif 000050
あるいは上記のようなある組合せをとることができる。
【０１７７】
ｆ（ｘ）≧０であるので、オプション価格がふくらみ条件を満たし、たとえば、すべてのコール・オプション価格についてｃｎ＋１−２ｃｎ＋ｃｎ−１≧０であることに留意されたい。実際、この条件に違反すると、（ｎ＋１）Δにおいて１つのコール・オプションを購入し、（ｎ−１）Δにおいて別のコール・オプションを購入し、ｎΔで２つのコール・オプションを売却することを含む危険なき「バタフライ・サドル」を介して、利益を上げることができる。同様な結果がプット・オプションにも成り立つ。
【０１７８】
１．２  動的推定値
前節で検討した方法では、特定の時間における静的な１組のオプション付け値に基づいて、ｘのΔ間隔の値の部分集合におけるｃｄｆおよびｐｄｆを推定することができる。
【０１７９】
しかし、前述のように、オプション価格は、原価格ｓの変化に応じて連続的に変化しなければならない。ｓ＊が満期日における対応する先物価格を示すものとする（利息を有すると評価されたｓ）。（満期日においてドル単位で測定された）この価格が少額、たとえば、その対数における増分εだけ増加（または減少）し、ボラティリティがほとんどまたはまったく変化しないと仮定する。この場合、εは、概ね、（先物）株価の移動δによって生じる移動率δ／ｓ＊とみなすことができる。この状況では、株価の「先物」確率分布が単に、対数ドメインにおいてεだけシフトすることが予想される。すなわち、分布は、平均がεだけシフトすることを除いてそこでは同一であるように見える。したがって、ｘ＝ｅｌｎｘにおける新しいｃｄｆの値はＦ（ｅ（ｌｎｘ−ε））＝Ｆ（ｘ／ａ）である。この場合、Ｆは、分布平均ｓ＊を有する最初のｃｄｆを示し、ａ＝ｅεである。微分に対して同じ効果をもたらす合理的なコール価格関数式は以下のとおりである。
ａｃ（ｓ＊， ｘ／ａ） ＝ ｃ（ａｓ＊， ｘ）
式中、ｃ（ｓ＊， ｘ）は、原資産の価格がｓである場合の、ストライク・プラスｘのコール・オプションの、満期日のドル単位の価格を示す。この数式では、ボラティリティのような他のすべての変数が同じであり、このことが、非常に小さな値のεについても近似的にのみ真であると仮定されることに留意されたい。
【０１８０】
しかし、この近似を仮定すると、ａが１に近い場合に（先物）価格がａｓ＊まで移動した場合に測定されたストライク・プライスｘのオプション価格を、その代わりにストライク・プライスｘ／ａのオプションの価格のａ倍になるが、現在の原価格ｓ＊に対応する価格とみなすことができる。オプションに頻繁に付けられるすべてのストライク・プライスを考慮し、加法的に考えると、概ね等間隔に設定されたストライク・プライスの異なる部分集合、すなわち、様々な値のδ＝εｓ＊に対する概ねｘ＝ｎΔ−δについてｃ（ｘ）（およびｐ（ｘ））を観測することができる。もちろん、オプション価格と原資産価格の同時性に留意しなければならない。このため、ｎΔの値（様々な標準ストライク・プライス値に対応する）を別個に考慮し、所与のストライク・プライスでのオプションの観測される売却時を原証券と同期させることが好ましい。εに対するインプライド・ボラティリティの変化が小さくなるようにインプライド・ボラティリティ（後述）を監視することができる。
【０１８１】
上記のパラグラフで説明したのと同様な技術を用いれば、短いストライク間隔を使用し、かつ短い時間間隔または時系列法（過去ではなく現在に重みを付ける時間平均）を使用して、所与のストライク・プライスについての意味のある平均オプション価格を算出することもできる。この節で説明した枠組みがないと、平均を求める期間内に株価が変動した場合に所与のストライク・プライスの「平均」オプション価格の計算に問題が生じることに留意されたい。
【０１８２】
要約：原価格が十分に移動すると仮定した場合、ずっと微細に量子化された部分集合について、効果的に価格を観測し、上記のように推定値を算出し、平均化法によって精度を改善するための枠組みを提供することができる。
【０１８３】
２  補外および平滑化の方法
前節の基本的な方法には２つの重要な制限がある。１つは、オプション付け値がある満期日にしか利用できないことである。もう１つは、それほど自明のことではないが、オプション付け値が主として、実質的な市場活動があるオプションの場合に信頼できる付け値になることである。これは通常、ニア・ザ・マネー（原価格）にあるストライク・プライスの短期オプションである。
【０１８４】
本発明の予測方法を満期日以外の時間およびより広い範囲のストライク・プライスに拡張する（かつ本発明の表示における「ノイズ」を少なくする）ために、補外技術および平滑化技術を使用する。ボラティリティ・ドメインで補外および平滑化を行うと有利であることが判明している。
【０１８５】
この利点には多数の理由がある。たとえば、オプション行使者は、様々な市場における歴史的ボラティリティ曲線（「ボラティリティ・スマイル」と呼ぶこともある）の形状の種類と、このような曲線が経時的にどのように変動するかを十分に認識しており、これを、可能なアーチファクトのオーバーフィットを防止する構造を平滑化曲線に課すための手引きをすることができる。オプション価格によって暗示されるボラティリティについて多数の記録が維持されており、過去において価格の挙動と共にボラティリティがどのように変化したかを調べることは容易である。たとえば、シカゴ・オプション取引所では、１９８６年までのＳ＆Ｐ １００オプションについてのこの取引所の平均ニア・ザ・マネー・ボラティリティ指数（現在ではＶＩＸと呼ばれている）を公表している。最後に、すべてがかなり類似している近対数正規分布ｐｄｆの視覚的な差よりも、理論的にはｆ（ｘ）が対数正規分布である場合に平坦であるボラティリティ曲線を視覚的に処理した方が容易である。数学的には、単に低多項近似の係数を変えることにより、対応するｃｄｆまたはｐｄｆについてのべき級数におけるより高次の項が影響を受けるにもかかわらず、ボラティリティ・ドメインでモデルを改善することができる。
【０１８６】
以下の節で、ボラティリティ・ドメインでの処理について詳しく説明する。
【０１８７】
２．１  対数正規ｐｄｆ
オプション価格決定の標準ブラック−ショウルズ理論（前述のＨｕｌｌを参照されたい）により、ｌｎυが、分散σ２Ｔを有するガウス（正規）確率変数であるような、Ｅυ［υ］＝ｓ＊である対数正規分布ｐｄｆ ｆ（υ）が得られる。この場合、パラメータσは資産のボラティリティ・レートと呼ばれ、Ｔは満期までの時間である。対数正規分布の標準的な特性により、このことは、ｌｎυの平均値がＥυ［ｌｎυ］＝ｌｎ ｓ＊−σ２Ｔ／２であることを暗示する。
【０１８８】
このｐｄｆから、以下の有名なブラック−ショウルズ・コール・オプション価格決定公式［Ｈｕｌｌ、付録１１Ａ］が得られる。
【数１８】
2004519753.tif 000051
式中、Ｎ（ｄ１（ｘ））およびＮ（ｄ２（ｘ））は、以下の点で平均零および分散１のガウス確率変数の累積分布関数の値である。
【数１９】
2004519753.tif 000052
（本発明によるコール価格が値引きされず、時間Ｔにドル単位で与えられ、ｓ＊が、時間Ｔにおけるドル単位の本日の株価からあらゆる配当の価値を引いた値であることを想起されたい。）
2004519753.tif 000053
がｌｎυの標準偏差であり、したがって、−ｄ２（ｘ）が、平均値Ｅυ［ｌｎυ］からの標準偏差で測定されたｌｎ ｘに過ぎないことに留意されたい。
【０１８９】
同様に、プット・コール・パリティにより、以下のブラック−ショウルズ・プット・オプション価格決定公式が得られる。
【数２０】
2004519753.tif 000054
【０１９０】
ｘに関する導関数をとり、ｓ＊Ｎ’（ｄ１（ｘ））＝ｘＮ’（ｄ２（ｘ））およびｄ’１（ｘ）＝ｄ’２（ｘ）（この数式は、一定のボラティリティを仮定することによって成立する。以下ではこの仮定を使用しない）を使用すると、次式が得られる。
【数２１】
2004519753.tif 000055
この場合、Ｆ（ｘ）は、ｌｎυ≦ｌｎ ｘである確率に等しいυ≦ｘである確率であり、ｌｎυ≦ｌｎυは、ｌｎυが平均値Ｅυ［ｌｎυ］および標準偏差
2004519753.tif 000056
を有するガウス分布であるため、次式によって与えられる。
【数２２】
2004519753.tif 000057
したがって、ブラック−ショウルズ価格決定公式が正しいｃｄｆ Ｆ（ｘ）を与えることが証明された。したがって、Ｆ（ｘ）の導関数によって正しい対数正規分布ｆ（ｘ）＝Ｆ’（ｘ）が得られる。
【０１９１】
２．２  一般的なｃｄｆの特徴付け
次に、Ｆ（ｘ）をＲ＋に対する任意のｃｄｆ、すなわち、ｘが０から無限に大きくなるにつれて０から１まで単調増加する関数とする。説明を簡単にするために、Ｆ（ｘ）は厳密に単調に増加し、すなわち、あるゆる個所でｆ（ｘ）＝Ｆ’（ｘ）＞０であると仮定する。その場合、あらゆる個所でＦ（ｘ）＝Ｎ（ｙ（ｘ））になるような、連続的な１対１の「ワーピング関数」ｙ： Ｒ＋→Ｒが存在し、すなわち、ｃｄｆ Ｆ（ｘ）を有する確率変数υがυ≦ｘを満たす確率は、平均零および分散１を有する標準ガウス・確率変数がｎ≦ｙ（ｘ）を満たす確率に等しい。同様に、Ｆ（ｘ（ｙ））＝Ｎ（ｙ）になるような逆ワーピング関数ｘ（ｙ）が存在する。
【０１９２】
ワーピング関数ｙ（ｘ）が与えられた場合、ｃｄｆ Ｆ（ｘ）は関係式Ｆ（ｘ）＝Ｎ（ｙ（ｘ））から取り出すことができる。したがって、ｃｄｆ Ｆ（ｘ）はワーピング関数ｙ（ｘ）を完全に特定し、逆もまた同様であり、すなわち、両方の曲線は共に同じ情報を伝える。
【０１９３】
Ｆ（ｘ）が、前節のようにｌｎ υが平均Ｅυ［ｌｎυ］＝ｌｎ ｓ＊−σ２Ｔ／２および分散σ２υ＝σ２Ｔを有するような対数正規変数υのｃｄｆである場合、ワーピング関数は次式によって与えられる。
【数２３】
2004519753.tif 000058
このため、ｄ２（ｘ）についての上記の右側の式が成立しないようにｃｄｆが対数正規分布でない場合でもｙ（ｘ）を−ｄ２（ｘ）と書くことがある。
【０１９４】
２．３  インプライド・ボラティリティ
ｆ（ｘ）が対数正規分布でない場合、ブラック−ショウルズ価格決定公式は成立しない。それにもかかわらず、オプション価格ｃ（ｘ）またはｐ（ｘ）が与えられた場合、インプライド・ボラティリティσ（ｘ）を、所与のｘ、ｓ、およびＴについてブラック−ショウルズ価格決定公式が成立するようなσの値として定義するのが一般的である。
【０１９５】
このように定義されたインプライド・ボラティリティ曲線σ（ｘ）は、ｐｄｆ ｆ（ｘ）が実際に対数正規分布である場合にのみ一定であるストライク・プライスｘの関数である。実際、インプライド・ボラティリティ曲線は通常、「ボラティリティ・スマイル」と呼ばれる凸状Ｕ曲線である。たとえば、Ｈｕｌｌの第１７章を参照されたい。
【０１９６】
第２．１節から、以下のようにインプライド・ボラティリティを算出する第２の方法があることが分かる。ｃｄｆ Ｆ（ｘ）の推定値があると仮定する。ｃｄｆが暗示されたボラティリティσ１（ｘ）を、所与のｘ、ｓ、およびＴについてブラック−ショウルズｃｄｆ公式Ｆ（ｘ）＝Ｎ（−ｄ２（ｘ， σ， Ｔ））が成立するようなσの値として定義する。
【０１９７】
第１の方法は、生価格データから直接定義され、金融界で十分に理解されるという利点を有する。しかし、第２の方法は以下の利点を有する。
【０１９８】
１．少なくともＦ（ｘ）の推定値からの計算が容易である。
２．ボラティリティとｃｄｆ Ｆ（ｘ）との関係としてより簡単で明らかにより直感的な関係が与えられる。従来のインプライド・ボラティリティσ（ｘ）を使用した場合、この関係は次式のようになる。
【数２４】
2004519753.tif 000059
３．以下に展開する多変量理論によりうまく適合する。
【０１９９】
２つの曲線σ（ｘ）とσ１（ｘ）が、少なくともその勾配の方向に関してかなり類似しているようであり、全体的に値「ニア・ザ・マネー」においてそれほど離れていないことが分かった。また、σ（ｘ）が零勾配を有する場合はいつでもσ１（ｘ）＝σ（ｘ）である。ただし、勾配σ’（ｘ）が負である（株式の場合に起こることが多い）場合にはσ１（ｘ）はσ（ｘ）よりもわずかに小さい。上記の数式を参照されたい。最後に、一方の関数は他方の関数と同程度にアドホックである。したがって、上記の理由で、ｃｄｆが暗示されたボラティリティ曲線σ１（ｘ）を用いることが一般に好ましい。
【０２００】
いずれの場合も、σ（ｘ）とσ１（ｘ）のいずれかが曲線ｃ（ｘ）、ｐ（ｘ）、Ｆ（ｘ）、またはｆ（ｘ）のいずれかと同じ情報を含むことは明らかである。σ（ｘ）またはσ１（ｘ）から、ブラック−ショウルズ・コール・オプション価格決定公式またはｃｄｆ公式を用いてｃ（ｘ）またはＦ（ｘ）を回復することができ、これから他のすべての曲線を得ることができる。
【０２０１】
２．４  ボラティリティ・ドメインにおける補外および平滑化
ボラティリティ曲線σ（ｘ）またはσ１（ｘ）を、対応する曲線ｃ（ｘ）またはｐ（ｘ）から点ごとに算出し、ストライク・プライスｘの有限部分集合における１組の値を得ることができる。これらの値のそれぞれはある信頼度を有するとみたすことができる。
【０２０２】
この場合、標準的な問題では、平滑化され補外された曲線
2004519753.tif 000060
または
2004519753.tif 000061
がこれらの点に、それらの相対的な信頼性を考慮してあてはめられる。任意の標準的な平滑化・補外方法を使用することができる。一般に、オーバーフィットまたはオーバースムージングを回避する通常の問題に対処しなければならない。
【０２０３】
インプライド・ボラティリティも経時的に変動することが公知である。一般に、ブラック−ショウルズ公式、たとえば、ｃ（ｘ）＝ｃ（ｘ，σ，Ｔ）またはＦ（ｘ）＝Ｎ（−ｄ２（ｘ，σ，Ｔ）における定数ボラティリティσの代わりとして曲線
2004519753.tif 000062
または
2004519753.tif 000063
を推定することが望ましい。
【０２０４】
特に意義のある例として、「インプライド・ボラティリティ関数：経験的試験（Ｉｎｐｌｉｅｄ ｖｏｌａｔｉｌｉｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ： Ｅｍｐｉｒｉｃａｌ ｔｅｓｔｓ）」Ｂ． Ｄｕｍａｓ、Ｊ． Ｆｌｅｍｉｎｇ、およびＲ． Ｅ． Ｗｈａｌｅｙ、Ｊ．Ｆｉｎａｎｃｅ、第５３巻、２０５９ページ〜２１０６ページ、１９９８年１２月で使用された種類の平滑化アルゴリズムによって実験を行った。これらの著者は、オプション価格決定におけるボラティリティの役割に関する理論を試験する（かつ覆す）「ストローマン」オプション価格モデルを確立するために、インプライド・ボラティリティ曲線σ（ｘ）をあてはめた。Ｄｕｍａｓらの「ストローマン」オプション価格決定モデルｃ（ｘ）は、結果として得られる平滑化された曲線をブラック−ショウルズ・コール公式に戻すことによって得られた。これは、「ストローマン」アドホック・モデルである。なぜなら、株式が「見る」ことのないストライク・プライスと共に変動する直感的な株式ボラティリティ概念は存在しないからである。それにもかかわらず、Ｄｕｍａｓらのモデルは見事に機能し、予測の点では、極めて重視されている「インプライド・ツリー」法を上回った。１つの可能な説明として、Ｄｕｍａｓらのモデルは、オプション市場の行使者によって実際に使用されるいる補間方法を平滑に模倣したモデルであるという説明がなされた。（上記で引用したＨｕｌｌの「ボラティリティ行列」についての議論を参照されたい。）このようなオプション価格決定手法は、精度が高く、かつその根本原理がマーケット・ビューを表すので本発明に理想的な手法のように思える。したがって、本発明では、Ｄｕｍａｓ−Ｆｌｅｍｉｎｇ−Ｗｈａｌｅｙモデルを、確率分布の予測という本発明自体のまったく異なる目的に使用する。必要なのは、本発明に好都合なことに、ストライク・プライスと、時間、現在の株価、関心対象の危険なき利子率などの他の標準変数との平滑関数である、Ｄｕｍａｓらのコール価格モデルを微分することだけである。ｃｄｆ Ｆ（ｘ）の公式は、前述のように、この導関数から１を引いた式か、または次式：
【数２５】
2004519753.tif 000064
である。これを非常に明示的な式にすることができる。
【数２６】
2004519753.tif 000065
式中、Ｎ’（ｚ）は標準正規密度を示し、一方、σ’（ｘ）は、Ｄｕｍａｓ−Ｆｌｅｍｉｎｇ−Ｗｈａｌｅｙがあてはめられたボラティリティ曲線を微分することによって算出することができる。このボラティリティ曲線は以下の形式を有する。
2004519753.tif 000066
【０２０５】
係数｛ａｉ｝は回帰によって求められる。この種の二次曲線あてはめは容易に実現される。Ｄｕｍａｓ−Ｆｌｅｍｉｎｇ−Ｗｈａｌｅｙは、Ｄｕｍａｓらのボラティリティが０よりも小さく（場合によっては０．０１よりも小さく）なるのを妨げるために制約を課しており、本発明ではさらに、最終的なｃｄｆが零より小さくなることも大きくなることもないように補外（補外を行うとＤｕｍａｓらの試験の範囲を超えることが多い）に対して制約を課した。たとえば、導関数を得る必要のない時間ドメインで線形補間を用いて、Ｄｕｍａｓらの基本的な手法に対して他の変形を試みた。本発明の方法はもちろん、場合によってはかなり異なる、ボラティリティ曲線あてはめに対するあらゆる手法を対象としている。ただし、一般的なＤｕｍａｓ−Ｆｌｅｍｉｎｇ−Ｗｈａｌｅｙ手法は、ボラティリティ曲線あてはめに有利な多くの特性、すなわち、精度、ブラック−ショウルズの市場での使用に対する適合性、平滑度（特に微分可能性）、ボラティリティ曲線のスマイル構造に関する歴史的経験に対する適合性（補外には特に重要）、単純さ（実現の容易さを超えた場合、オーバーフィットを回避する助けになる）などの特性を有している。これらの利点は、このようなボラティリティ曲線が導入された論文では考慮されなかった確率に関して実現される。
【０２０６】
３  多変量事例
前節の方法は、任意のオプション付き資産についての生の確率分布または平滑化され補外された確率分布の表示を生成することができる。オプション価格は、多数の証券とＳ＆Ｐ ５００のようなある指数に対して設定される。
【０２０７】
しかし、投資家は、以下のことについての詳細な確率分布を知ることを望む。
・自分のポートフォリオ全体
・ミューチュアル・ファンド
・相場オプションのない証券
・仮説的なシナリオにおける証券
【０２０８】
これらの問題のすべてにおいて、いくつかの証券が同時に検討されると共に、それらの証券が価格を同時に構成する確率が検討される。これが、上記の２つの項目を検討することであることは明らかであるが、第３の項目にも関係しており、その場合、相場オプションのない証券に関するできるだけ多くの情報を、相場オプションを有する、この証券と相関を持つ証券から抽出する必要がある。最後に、シナリオ分析では、最も影響を受ける証券のポートフォリオの変化によってモデル化することのできる市場に影響を与える因子の変化を含む、いくつかの証券価格が一度に発生する確率を検討する多くの問題がある。これらの問題のすべてを本書の残りの部分で取り上げるが、まず基本事項について説明することにする。
【０２０９】
証券のポートフォリオまたはミューチュアル・ファンドの場合、本発明では以下の形式の複合資産に注目する。
2004519753.tif 000067
式中、ｘｉは、ｃｄｆ Ｆ（ｘｉ）またはｐｄｆ ｆ（ｘｉ）を個別に知っているすべての資産である。この知識を得るのに特定の手順に使用しなくても、本発明の方法の融通性を最大にすることができる。ただし、本発明では前の２節の手法を使用する。しかし、相場オプションを有する証券または指数でも、ボラティリティ曲線に完全にあてはまるのに十分なオプション活動があるように思えない場合があり、より粗な代替手法、場合によっては、利用可能なインプライド・ボラティリティの平均に基づく平坦な直線を使用することがある。さらに、監視中のいくつかの資産がまったく相場オプションを有さない確率を許容すると好都合である。これは、たとえば、歴史的ボラティリティ値を有する平坦なボラティリティ曲線を用いて容易に対処される。試験および比較のために、場合によっては、このように与えられたすべてのボラティリティ曲線を有する資産のリストを検討することができる。いずれの場合も、本発明の方法は非常に一般的なものであり、すべてのｉについてＦ（ｘｉ）＝Ｎ（ｙｉ（ｘｉ））であるようなワーピング関数ｙｉ（ｘｉ）が分かるだけでよい。資産がアクティブなオプション市場を有する場合、まず第２．２節のようにオプション価格データ（の有限差額）から直接Ｆ（ｘｉ）を推定するか、あるいはボラティリティ・ドメインで補外および平滑化を行う、第２節の後半で論じる手法を用いることによって、ワーピング関数を求めることができる。後者の場合、
【数２７】
2004519753.tif 000068
としての、あてはめられたボラティリティ曲線
2004519753.tif 000069
で表したワーピング関数ｙｉ（ｘｉ）の明示的な形式があり、この数式は、取り引きされるオプションをほとんどまたはまったく有さない可能性のある上記の資産を有する任意のボラティリティ曲線と共に使用することもできる。以下の節では、場合によっては長い位置および短い位置を含む、対数ドメインにおけるポートフォリオについて論じる。これらの位置を標準正規位置に直接ワープし、平均値を引き、標準偏差で割ることが可能である。あるいは、本発明の表記を一様に維持するために、−ｄ２（ｘｉ）によって（観測された歴史的ボラティリティをσ１（ｘ）に使用して）このワープされた値が得られるような価格ｘｉを有する資産を考案することができる。しかし、本発明で説明する方法が、各変数ごとに異なるワーピング関数が用いられる場合でも、あらゆる単一変数ワーピング関数を取り扱うことに留意されたい。他の本質的な要素は、以下に論じる結合正規分布を使用することだけである。
【０２１０】
一般的な問題は、完全な１組の変数（ｘ１， ．．． ｘｎ）の多変量確率分布を求めるか、またはこれらの変数の対数の多変量確率分布を同様に求めることである。ブラック−ショウルズの枠組みを一般化した簡単な金融モデルでは、対数変数の多変量分布は多変量（すなわち、結合）正規分布である。ＭｕｓｉｅｌａおよびＲｕｔｋｏｗｓｋｉ著「金融市場におけるＭａｒｔｉｎｇａｌｅ法（Ｍａｒｔｉｎｇａｌｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ ｆｉｎａｎｃｉａｌ ｍａｒｋｅｔｓ）」（１９９９年）を参照されたい。このことは、これらの対数変数のすべてのポートフォリオが結合正規分布であり、これらのポートフォリオを他の対数変数およびそのポートフォリオと共に使用して結合正規分布を形成することもできることを示している。したがって、必要に応じて、ＢＡＲＲＡ（または機能的に等価の）係数を、本発明のモデルにおける単一（対数）変数として使用し、たとえば、歴史的ボラティリティに基づくこれらの変数の個々の正規分布を使用するのが合理的である。これらの係数は、会社の基礎的諸条件、場合によっては利子率などのマクロ経済変数を表すことができる。このような係数についてはこれ以上論じないが、やはりこのような係数を証券収益のポートフォリオとして密に近似するにはどうすべきかについて説明する、上記で引用したＧｒｉｎｏｌｄおよびＫａｈｎの著書を参照されたい。本発明では、ＢＡＲＲＡ係数を直接使用せず、オプション付き証券の世界にできるだけとどまり、主としてオプション付き証券から成るポートフォリオの近似に関してＢＡＲＲＡ係数を伴う問題に対処することが好ましい。（しかし、試験および比較のために、この場合も、これらの係数を直接含めると有用であり、本発明ではそれが可能である。）
【０２１１】
次に、本発明では、オプション市場に基づく本発明の単一変数分布からの非対数正規入力を直接可能にすることのない簡単な多次元ブラック−ショウルズ・モデルのみを使用することは望ましくない。同時に、個々の資産に対するオプション価格では、各資産がどのように相互作用するか、特に各資産の相関に関しては何も分からない。好都合なことに、相関は過去の（歴史的）データから推定することができ、標準化された（標準偏差１を有する）データの共分散とみなすことができる。各多変量正規分布は、その平均行列および共分散行列によって求められる。したがって、自然な手法では、個々の分布を用いて変数が標準正規分布に変換または「ワープ」され、次いで相関行列に基づく多変量正規構造が課される。この手順は、様々な個々の変数ごとに異なる個々のワーピング関数から独立した手順であり、特に、アクティブなオプション市場を有する証券を表す個々の変数についての本発明の市場ベースのオプション分布を組み込むことができる。わずかに異なる手法では、ワープされた変数同士の相関が使用される。この手順は精度が向上する可能性が高いが、計算時間が長くなる可能性がある。
【０２１２】
いくらか詳しく説明する。前述のように、υｉをｘｉの第２の表記として用いると、前者は一定の値に好ましく、後者は変数として好ましいので、表記的に好都合である。Ｃを、エントリが相互相関である対数変数の歴史的相関行列（ｌｎ υ１， ．．．， ｌｎυｎ）とする。
【数２８】
2004519753.tif 000070
その場合、すべての対角項ρｉｉが１に等しく、Ｃは、ここでは非特異（正値）であると仮定される正の準定符号共分散行列である。この代わりに、ワープされた変数の相関を使用する場合、単に次式のようになる。
ρｉｊ＝Ｅ（ｙｉｙｊ）
【０２１３】
ＦＣ（ｙ１， ．．．， ｙｎ）を、平均零および共分散行列Ｃを有する多変量ガウス・確率変数のｃｄｆとして定義する。したがって、ＦＣ（ｂ１， ．．．， ｂｎ）は、各変数ｙｉがある値ｂｉ以下である確率である。各ｙｉがａｉ≦ｙｉ≦ｂｉ確率を与えるＦＣ（ａ１， ．．．， ａｎ； ｂ１， ．．．， ｂｎ）のようなより精巧な関数がある。単一変数の場合、このような関数は、２つの項を含む単一の引き算によって簡単なｃｄｆから得られるが、対応する２変量事例は４つの項を含み、ｎ次元には２ｎ個の項がある。しかし、これらのより精巧なｃｄｆはそれぞれ、簡単なｃｄｆとまったく同じように、整数として直接算出することができる。これらのより精巧なｃｄｆは、場合によっては高次元でモンテ・カルロ計算に必要になるので、それらを直接算出されるものとみなすのが最もよい。
【０２１４】
次に、次式のように多変量分布ｃｄｆを定義する。
2004519753.tif 000071
および
2004519753.tif 000072
式中、ｙｉ（ｘｉ）は個々の変数についての既知のワーピング関数である。多少言葉の濫用になるが、上記の関数をすべて考慮するにもかかわらずＦ（ｘ１， ．．．， ｘｎ）を「ｃｄｆ」と呼び、Ｆ（ｘ１， ．．．， ｘｎ）を分布全体の代わりに使用すると好都合である。その場合、この多変量分布ｃｄｆは以下の特性を有する。
【０２１５】
・ＦＣ（ｚ１， ．．．， ｚｎ）の周辺分布は平均０および分散１を有するガウス分布であるので、Ｆ（ｘ１， ．．．， ｘｎ）の周辺分布はＮ（ｙｉ（ｘｉ））＝Ｆ（ｘｉ）に等しい。すなわち、各単一変数モデルに従って正しい。
・対数変数（ｌｎυ１， ．．．， ｌｎυｎ）が実際に結合ガウス分布である場合、多変量分布ｃｄｆ Ｆ（ｘ１， ．．．， ｘｎ）は正しい。
【０２１６】
要するに、真の結合分布は、各変数の周辺分布が、選択された単一変数モデルに従って（たとえば、オプション付き証券の本発明の単一変数モデルに従うか、歴史的ボラティリティを用いた対数正規モデルに従って）正しくなるように各変数に対するワーピング関数と組み合わされた、歴史的相関を用いた結合対数正規分布によって近似される。単一変数は実際にはポートフォリオであり、ポートフォリオ利益についてのデフォルト分布は、歴史的ボラティリティに基づく対数正規分布であってよい。この多変量分布理論は、単一変数理論と標準多変量（対数）ガウス・モデルの両方を一般化した理論である。この理論の場合も、構成要素がアクティブなオプション市場を有する範囲で、オプション価格による市場入力が可能になるが、非オプション証券が除外されず、単一変数としてのポートフォリオも許容される。このようなＢＡＲＲＡ（または機能的に等価の）係数も、長い位置および短い位置のポートフォリオとして解釈されるため許容される。
【０２１７】
４  ポートフォリオへの応用
多変量分布ｃｄｆ Ｆ（ｘ１， ．．．， ｘｎ）＝ＦＣ（ｙ１（ｘ１）， ．．．， ｙｎ（ｘｎ））が与えられた場合、多くの代表的な問題の解を得ることができる。まず概略的に説明し、次いでいくつかの応用例を詳しく取り上げる。
【０２１８】
一例として、以下のポートフォリオ変数のｃｄｆを求めるものと仮定する。
2004519753.tif 000073
式中、ｈｉは任意の係数である。おそらく最速ではない簡単なモンテ・カルロ法
では、ｃｄｆ ＦＣ（ｙ１， ．．．， ｙｎ）を有する結合ガウス分布から無作為標本が抜き取られ、逆マッピング関数ｘｉ（ｙｉ）を介して各ｙｉが変換され、次いで、結果として得られる以下の出力標本を算出する。
2004519753.tif 000074
【０２１９】
十分な標本が得られた後、ｘのｃｄｆの近似値が得られる。より厳密に言うと、ａ≦ｘ≦ｂである確率は概ね、ａ≦ｈ１ｘ１（ｙ１）＋．．．＋ｈｎｘｎ（ｙｎ）≦ｂを有する標本ｙ１， ．．．， ｙｎの平均数であり、この近似は、大きな標本サイズの限界において厳密になる。これは、実際のポートフォリオ、またはいくつかの資産および回帰によって生じる残差変数で構成されたポートフォリオに有効である。通常、回帰は、以下に論じる対数ドメインで行われる。上記のｘの式を、場合によってはかなり非線形の、ｘｉの任意の関数ｆ（ｘ１， ．．．， ｘｎ）で置き換えた場合に上述のモンテ・カルロ法が完全にうまく働くことに留意されたい。
【０２２０】
４．１  対数ドメイン・ポートフォリオ
この節では、本発明の方法が金融界で一般に使用されているパラダイムにどのように適合するかを指摘し、ある他の表記を確立する。利益ドメインで処理を行うか、それと等価的に対数を取り扱うのが一般的である。すなわち、次式が成立する。
2004519753.tif 000075
【０２２１】
前節の変数によるこれらの変数の可能な識別を無視することによって、ｘを非線形ポートフォリオｘ＝ｆ（ｘ１， ．．．， ｘｎ）＝ｅｘｐ（β１ｌｎ ｘ１＋．．．βｎｌｎ ｘｎ）とみなす場合、上記と同じ議論およびモンテ・カルロ法が当てはまる。βｉの和Ｂが１である場合、このようなｘは
【数２９】
2004519753.tif 000076
と書くことができる。Ｂが１でない場合でも、この数式からｘについて算出される増分変化（「利益」）ｄｌｎ ｘは、ｌｎ ｘについて上記の数式に整合する。金融界では
2004519753.tif 000077
を概ね定数ｈｉとみなすのが一般的であり、したがって、ｘ’ｉｓがそれほど変化しない短期間の場合、ｘについてのこの数式は前節のポートフォリオ数式に相当する。２
【０２２２】
２  したがって、
2004519753.tif 000078
であり、そのため、小さな変化ｄｘｉの場合、第１の数式からの変化ｄｘは第２の数式から得られる変化と概ね同じである。しかし、この関係では、長期にわたって良好な近似を維持するのに「再平衡」が必要である。
【０２２３】
ｘｉに関しては明示的に表されていない資産ｘの場合、線形を回帰を介して以下の同様の数式を得る。
2004519753.tif 000079
ｉ≠０のβｉは、（おそらくβｉ≧０や
2004519753.tif 000080
のような制約を受ける）歴史的データにおける残差の分散を最小限に抑える相関係数として選択されている。たとえば、ｘは相場オプションのない証券であってよく、ｉ≠０のｘｉは、ｘの必要な相関係数だけでなく確率分布も個別に分かっている資産とみなすことができる。残差項はβ０ｌｎ ｘ０と書いた（通常、β０＝１および残差は正規分布とみなす）。３  この平均は、回帰の平均を正しくする定数項である回帰「α」を与える非零であってよい。あるいは、明示的なαを許容し残差平均を零に維持するするように数式を修することができる。他のわずかな変形例には、ｘの値を増減させるように一定の利益を有するダミー変数を加えることを含めてよい。特に、この場合、残差平均を零に調整する別の方法が与えられる。この数式により、β０＝０が許容される場合、前の数式は特殊事例として与えられる。
【０２２４】
３  残差項ｉ＝０については、一定の分散を使用するか、観測される挙動に基づくある汎用非一定構造を課すことができる。
【０２２５】
４．１．１  ポートフォリオの高速あてはめ
計算が確実に比較的高速になる１つの手法は以下のとおりである。第２節においてｃｄｆが暗示されるボラティリティを求めた場合と同様に、上記の各対数変数ｌｎ ｘｉが非一定分散σ１（ｘｉ）２Ｔを有する「ガウス」変数であると仮定する。言い換えれば、ｃｄｆはＦ（ｘｉ）＝Ｎ（−ｄ２（ｘｉ， σ１（ｘｉ）， Ｔ）によって与えられる。この場合の目的は、ある種のあてはめられた曲線σ１（ｘ）を用いて、同様の数式によってＦ（ｘ）を与えることである。ある種のボラティリティ曲線を、求めなければならない少数のパラメータと共に考慮するものと仮定する。
【０２２６】
変数ｌｎ ｘ０， ．．．， ｌｎ ｘｎが真の結合ガウス変数である場合、ｌｎ ｘもガウス変数である。その分散は以下の公式によって与えられる。
【数３０】
2004519753.tif 000081
式中、ρｉｊはｌｎ ｘｉとｌｎ ｘｊの相関であり、
2004519753.tif 000082
である。したがって、以下の条件付き期待値によってσ１（ｘ）の推定値
2004519753.tif 000083
を定義する。
【数３１】
2004519753.tif 000084
【０２２７】
上記の条件付き期待値の計算は、モンテ・カルロ法を用いて行うことができる。上記の非線形ポートフォリオの用語では、関数ｆ（ｘ１， ．．．， ｘｎ）は
2004519753.tif 000085
によって定義される超平面を囲む細い多次元実線の外側の０とみなされる。実線の内側において、ｆ（ｘ１， ．．．， ｘｎ）は、Ｖａｒ（ｌｎ ｘ）についての上記の数式を実線内に入る確率で割った値とみなされる（やはりモンテ・カルロ計算）。標本に関しては、細い実線の内側で終わるすべての標本全体にわたってＶａｒ（ｌｎ ｘ）の平均をとる。しかし、
2004519753.tif 000086
のすべての値を算出する必要はなく、使用中のボラティリティ曲線にパラメータをあてはめれば十分である。
【０２２８】
ｌｎ ｘの推定平均は
2004519753.tif 000087
であり、ｓ＊は、前述のように求められるか、あるいは危険回避分布または「真正」分布が得られるようにある危険回避推定値で置き換えられる。（なお、このような因子モデルを用いて
2004519753.tif 000088
の危険回避値から
2004519753.tif 000089
の危険回避値を推定するのが一般的である。）
【０２２９】
さらに、ここではある有用な分散について述べる。残差項β０ｌｎ ｘ０をモデルの一部とみなさず、ｌｎ ｘ１， ．．．， ｌｎ ｘｎのみについて結合関数ｐｄｆを書くことが好ましい。この場合、以下の２重期待値を使用することができる。
【数３２】
2004519753.tif 000090
式中、内側期待値は変数ｘ１， ｘ２， ．．．， ｘｎに関する値であり、外側期待値は残差に関する値である。残差（β０＝１とする）の標準偏差σ（ｘ０）を、歴史的に求められた定数として得るか、あるレバレッジ・モデルに基づく推定値を求めることができる。
【０２３０】
次に、単変量事例の場合と同様に次式によってｃｄｆ Ｆ（ｘ）を推定することができる。
【数３３】
2004519753.tif 000091
要するに、多変量モデルを用いてポートフォリオの単変量モデルのパラメータを求める。この後で、多変量モデルに戻る必要なしにポートフォリオの確率を得、したがって、時間を節約することができる。これをさらに進めて、モンテ・カルロ理論とは独立にσ１（ｘ，Ｔ）の値を無作為に生成し（しかし、おそらくこの場合も過度にアウト・オブ・ザ・マネーにあるｘの値を破棄し）、次いで、得られた値を用いてＤｕｍａｓ−Ｆｌｅｍｉｎｇ−Ｗｈａｌｅｙ手法で必要とされる回帰を行うことが考えられる。
【０２３１】
５  「ｗｈａｔ−ｉｆ」問題
多変量分布は、条件付き確率に関する多数の問題の研究に有用である。たとえば、市場のあるセグメントの増減またはあるマクロ経済因子の増減の、ポートフォリオに対する影響を知りたいと仮定する。Ｒｏｓｓの初期の概念に従うＢＡＲＲＡでは、このようなマクロ経済因子を長い位置と短い位置の両方を有するポートフォリオとみなしている。同様に、ＢＡＲＲＡでは、株価収益率およびその他の基本パラメータと、産業のグループ分けとに関連する市場セグメントをポートフォリオとみなしている。（上記で引用したＧｒｉｎｏｌｄ−Ｋａｈｎの著書を参照されたい。）したがって、単にあるポートフォリオの他のポートフォリオのに対する影響について考える。
【０２３２】
説明を明確にするために、第１のポートフォリオを、上述のように次式が成立するｘと仮定する。
2004519753.tif 000092
第２のポートフォリオを、次式が成立するｙと仮定する。
2004519753.tif 000093
β０＝γ０＝１とし、ｌｎ ｘ０およびε＝ｌｎ ｙ０を平均０を有する残差とみなす。この残差は、本発明の多変量モデルにおける因子とは仮定しない。以下の代表的な「ｗｈａｔ−ｉｆ」問題、すなわち、ＡおよびＢを所与の正の定数とする問題を検討する。すなわち、時間Ｔにおいてｘ≧Ａが既知である場合、時間Ｔにｙ≧Ｂとなる確率を求める。本発明では、この問題に対して２つの手法を与える。第１の手法は、回帰を用いて少なくともいくつかのモンテ・カルロ計算を回避するため、おそらくより高速であるが、場合によってはそれほど正確ではない。
【０２３３】
５．１  「ｗｈａｔ−ｉｆ」：部分回帰、部分モンテ・カルロを伴う手法
ｌｎ ｙ≧ｌｎ Ｂ ｉｆｆ ｌｎ ｙ−ε≧ｌｎ Ｂ−εとする。ｌｎ ｘｉとｌｎ ｘｊとのすべての相関ρｉｊが既知であると仮定される。歴史的ボラティリティ値
2004519753.tif 000094
があるものと仮定してもよい。（あるいはこのような値をインプライド・ボラティリティの期待値として推定することができるが、歴史的値のインベントリを維持することは困難ではなく、そうすることは計算のこの部分の趣旨に合っている。）したがって、ｌｎ ｘとｌｎ ｙ−εとの歴史的共分散
2004519753.tif 000095
と
2004519753.tif 000096
および相関
2004519753.tif 000097
を推定することができる。
【０２３４】
これにより、平均からの標準偏差で表された変数ｌｎ ｙ−εの標準回帰が、ｌｎ ｘの同様に標準化された数式で与えられる。構造上、εの平均値が０であることに留意されたい。
2004519753.tif 000098
とする。したがって、
2004519753.tif 000099
は、歴史的ボラティリティを用いて、標準化されたｌｎ ｘを測定し、
2004519753.tif 000100
は、前節で論じたように、ｃｄｆが暗示されたボラティリティ曲線
2004519753.tif 000101
を用いて、「標準化された」（ワープされた）ｌｎ ｘを測定する。この場合、
2004519753.tif 000102
は、時間Ｔにおけるｘの値の、本発明による最適な推定値を示す。
【０２３５】
σ１（ｙ， ε）が、前節のように推定することのできる（または非制約形回帰のように残差をｌｎ ｙ−εと相関しないものとみなしたい場合には、σ１（ｙ）の推定値および残差の標準偏差から算出することのできる）ｌｎ ｙ−εに関連するボラティリティ曲線を示すものとする。−ｄ２（ｙ， ε）がｌｎ ｙ−εの「標準化された」測度になるように
2004519753.tif 000103
とする。その場合、本発明のモデルに適切な標準回帰は次式のようになる。
2004519753.tif 000104
【０２３６】
本発明で使用していない、この回帰に関連する残差がある。これはおそらく正規分布であり、その分散を算出することができる。表記上の理由で、この残差が最初のεに組み込まれていると仮定する。表示内の数式の形式か明らかなように、上記の回帰に代わる方法として、前節で提案したワープされた相関係数を用いて回帰が行われる。さらに、最初のポートフォリオを、ワープされた変数の線形組合せ（本発明の標準正規周辺分布）とみなすのが適切である場合、モンテ・カルロ計算によらずに上記の回帰を行うことができる。全体にわたって一定の歴史的ボラティリティ関数を使用する場合にも同様なことが当てはまる。ただし、おそらくこの手順では精度が失われる。
【０２３７】
いずれの場合も、本発明の「ｗｈａｔ−ｉｆ」問題については、（調整された）残差εの単変量正規分布における簡単な期待値を解として得ることができる。
2004519753.tif 000105
をｄ２（Ａ）と略書きし、
2004519753.tif 000106
をｄ２（Ｂ， ε）と略書きする。ρ（ε）＞０と仮定する（正の相関の自然な事例）。その場合、次式が成立する。
【数３４】
2004519753.tif 000107
【０２３８】
第１の数式が成立するのは、−ｄ２（ｙ， ε）がｙの関数として単調増加し、すなわち、条件ｙ≧Ｂが条件−ｄ２（ｙ， ε）≧−ｄ２（Ｂ， ε）と完全に等価であるからである。同様なことが条件ｘ≧Ａにも当てはまり、一方、数式Ｐｒ｛ｙ≧Ｂ｜ｘ≧Ａ｝は、ｘ≧Ａが既知である場合に条件ｙ≧Ｂが成り立つ確率を意味するに過ぎない。この場合、−ｄ２（ｙ， ε）についての上記の表示される数式を用いて第２の数式が導かれる。（ρ（ε）が負である場合、その逆数を伴う不等式が反転される。）この内部期待値は次いで、正規分布において算出される。−ｄ２（Ａ））の値がρ（ε）−１（−ｄ２（Ｂ， ε））と同じであるεの値については、期待値は確実性であり、値１が生成される。−ｄ２（Ａ））の値がρ（ε）−１（−ｄ２（Ｂ， ε））よりも小さい場合に、その累積正規分布値Ｎ（−ｄ２（Ａ））はＮ（ρ（ε）−１（−ｄ２（Ｂ， ε））よりも小さく、標準正規変数ｚ＝−ｄ２（ｘ）が少なくとも−ｄ２（Ａ）である確率１−Ｎ（−ｄ２（Ａ））＝Ｎ（ｄ２（Ａ））は、ｚが少なくともρ（ε）−１（−ｄ２（Ｂ， ε）である対応する確率１−Ｎ（ρ（ε）−１（−ｄ２（Ｂ， ε））＝Ｎ（ρ（ε）−１（ｄ２（Ｂ， ε））よりも小さい。したがって、所望の内部期待値である比Ｎ（ρ（ε）−１（ｄ２（Ｂ， ε））／Ｎ（ｄ２（Ａ））は１よりも小さく、条件付きであるかどうかにかかわらず確率に適切である。ρ（ε）が負である場合、同様な理論によって、所望の条件付き確率についての数式Ｅ（ｍａｘ｛０，（Ｎ（ｄ２（Ａ））−Ｎ（ρ（ε）−１（ｄ２（Ｂ， ε）））／Ｎ（ｄ２（Ａ））｝）が得られる。いずれの場合も最終的な解は（εを超える）期待値であるが、べき級数を用いて高速に算出できるのは基本的に整数である。（Ｎ（ｚ）の非常に簡単で正確なべき級数式が、上記で引用したＨｕｌｌの著書の２５２ページに記載されている）。このことを利用して、反復方法により、たとえば、比Ｎ（ρ（ε）−１（ｄ２（Ｂ， ε））／Ｎ（ｄ２（Ａ））を１に等しくするεの値を求め、次いで、−∞から、ρ（ε）＞０の場合のεの求められた値までの標準正規分布ｐｄｆに対してこの比を積分することができる。同様なことがρ（ε）＜０にも当てはまる。（ρ（ε）＝０である場合、変数ｌｎ ｘと変数ｌｎ ｙが相関せず、条件付き確率Ｐｒ｛ｙ≧Ｂ｜ｘ≧Ａ｝が無条件確率Ｐｒ｛ｙ≧Ｂ｝と同じであることに留意されたい。）
【０２３９】
すべてのこれらの計算は非常に高速に行うことができる。もちろん、すでに、ボラティリティ関数が一定であるという簡略化された条件でないかぎり、いくつかのモンテ・カルロ計算を使用している。
【０２４０】
５．２  「ｗｈａｔ−ｉｆ」：全モンテ
本発明の全結合確率分布を用いて同じ「ｗｈａｔ−ｉｆ」問題の解を算出するにはどうしたらよいかを説明するのは容易である。単に次式を利用し、
【数３５】
2004519753.tif 000108
−ｄ２（ｘ）におけるｌｎ ｘおよび−ｄ２（ｙ， ε）におけるｌｎ ｙ−εをｌｎ ｘ０， ｌｎ ｘ１， ．．．， ｌｎ ｘｎに展開して解釈する。モンテ・カルロ計算によって、たとえば内部期待値を算出するために、共分散行列Ｃを有する多変量標準正規ベクトルｚの多数の無作為標本を生成する。次いで、−ｄ２（ｙ， ε）≧−ｄ２（Ｂ， ε）の場合に１であり他の場合に０である関数の、ｚ≧−ｄ２（Ａ）を満たす標本ｚの平均を求める。発明者は、この方法が上記の回帰手順よりも優れた解を生成するかどうかを実験によって確認していない。それにもかかわらず、この方法は、回帰によって容易に処理できないより高度な「ｗｈａｔ−ｉｆ」問題にどのように対処したらよいかを示す。たとえば、因子ωが範囲Ｃ≦ω≦Ｄに維持されると考え、ｘと同じ条件に従うｙに関する同じ問題を解くと仮定する。これを回帰で公式化するのは困難であり、単一因子回帰では不可能である。しかし、この問題に対して、次式のように全分布によって解を得るのは容易である。
【数３６】
2004519753.tif 000109
【０２４１】
最後に、一定のポートフォリオｘ＝ｈ１ｘ１＋ｈ２ｘ２＋．．．＋ｈｎｘｎで計算を始めた場合に、上記で指摘したように近似を行うことを余儀なくする対数ドメインで処理を行いたくないものとする。しかし、全分布を取り扱うことによって、条件ｘ≧Ａを、ｙ’のベクトルが本発明のベクトルｚの役割を果たす第１節の表現でｈ１ｘ１（ｙ１）＋．．．＋ｈｎｘｎ（ｙｎ）≧Ａとして表すことができる。次に、対数ドメイン表面を使用し、あるいは他の条件については使用せずに、モンテ・カルロ計算を前述のように行うことができる。
【０２４２】
６  「ｙｏｕ ｇｏｔｔａ ｂｅｌｉｅｖｅ」問題
前節では、因子ｘの変化に応じて自分のポートフォリオｙの値を考慮する投資家に焦点を当てた。逆に、投資家は、時間Ｔに所与の株式または指数ｙがあるレベルＢに達した場合に投資界がどのような状況になるかを知りたくなる場合がある。すなわち、他のポートフォリオｘの時間Ｔにおける期待値Ａ、または単に１つの因子ｘｉの期待値を求める必要が生じる。本発明の主要な計画では、ｙがレベルＢになるユーザによる入力時に、ｙとの相関が最も高いいくつかの資産ｘｉまたは因子／指数ｘと、Ｂにおけるｙに対して予想されるｘｉまたはｘの値がリストされる。
【０２４３】
さらに、選択された各資産または因子ごとに信頼区間を表示し、この資産または因子の予測確率分布に関する他の情報を容易に得られるようにすることも可能である。ｙに関する仮定が行われないｘの以前の予測確率分布と比較することもできる。最後に、（ｙの回帰に現れる）わずかなｘｉを有するｙの分散の大部分を説明することが可能な場合には、これらのｘｉのポートフォリオに対するｙの期待値の依存性にのみ基づく、この値をＢにするのに必要なｘｉのポートフォリオの割合の増減をリストすることができる。（たとえば、ポートフォリオにおける係数を、すべてのｘｉに対するｙの回帰から得たり、おそらく、ユーザによって定義された制約を許容する、ある種の新しい回帰を実行することができる。）この場合および上記の場合の期待値（平均値）に代わる値が中央値または最頻値であり、いずれの場合も、ユーザは、近対数正規分布において中央値および最頻値が平均値とは体系的に異なることを知る必要がある。
【０２４４】
主要な問題は、所与の時間にｙ≧Ｂであり、ｘおよびｙが前節と同様である場合の、ｘの確率分布を理解することとみなすことができる。これは、前節の方法により、変数の役割を反転させることによって対処することができる。
【０２４５】
しかし、特に高速に処理できるより簡単な問題がある。時間Ｔにおける等式ｙ＝Ｂを条件とするｘの平均値を求める問題を考える。この考えでは、簡単な再帰方法が使用されるが、解は、本発明の可変ボラティリティで測定された解として解釈される。本発明の前述の表記において以下のように表される回帰がある。
−ｄ２（ｘ）＝ρ・（−ｄ２（ｙ， ε））＋υ
式中、ρ（前節ではρ（ε）と呼んだ変数）は、ｌｎ ｘと確率変数ｌｎ ｙ−εとの歴史的に求められた相関である。従属変数と独立変数の役割が逆転することに留意されたい。ここでは平均値０を有し、何の役割も有さない（平均される）残差υもある。したがって、ｘの所望の条件付き期待値Ａは次式から得られる。
【数３７】
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が、確率変数ｌｎ ｙ−εに関連するインプライド・ボラティリティσ１の、モンテ・カルロ法によって得られる推定値であることを想起されたい。より高速であるが精度の劣る計算の場合、ここではσ、β、およびρが歴史的に与えられた
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として歴史的に推定することができる。（表記については前節を参照されたい。）同様に、高速の計算の場合、−ｄ２（ｘ）は歴史的ボラティリティを使用することができる。ただし、これは、インプライド・ボラティリティ関数推定値
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を用いて、
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としてより正確に与えられるか、またはマーケット・ビューに従ってより正確に与えられると予想される。ｘ＝ ｘｉが本発明のモデルにおける単一の資産または指数である場合、
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はモンテ・カルロ推定値を必要としないが、おそらくすでに利用可能である。
【０２４６】
要するに、「ｙｏｕ ｇｏｔｔａ ｂｅｌｉｅｖｅ」問題の解を求めるのに必要な条件付き期待値は回帰方法によって容易に得られる。このような問題の精度は、すべての対数変数が本発明の可変ボラティリティとして解釈される「標準偏差」で測定される場合、高められるか、または少なくとも、市場入力をよりうまく反映するように整合される。
【０２４７】
７    オプション証券を含むポートフォリオ
この文書の結論として、本発明の方法が、全モンテ・カルロ計算を用いることによって、オプション証券を含むポートフォリオに容易に適用されることを簡単に指摘しておく。公知の概念では、オプションがある種の非線形ポートフォリオ、より厳密に言えば二次ポートフォリオとみなされる。したがって、原価格ｘ１を有する単一の原証券に対するオプションは、ｘ１がｓ１に近い場合に概ね
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である価格を有し、この場合、オプションは既知の値ｃとして評価される。この場合、Δおよび
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は、原証券価格ｘ１に対するｓ１のオプション価格の第１および第２の導関数を与える、オプション市場における公知のパラメータである。おそらく、オプションの最も顕著な特徴は、非零
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を有することであり、原証券価格に対するオプションの増減率は、証券価格の変化と共に変化する。他の標準パラメータに関する明示的な公式は、たとえばΔと
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の両方についてのブラック−ショウルズ理論で示されている（上記で引用したＨｕｌｌの著書を参照されたい）。このような公式は、他の理論において直接微分によって得ることも、あるいは経験的にあてはめられた曲線を使用する際に得ることもできる。いずれの場合も、ｘのこのような明示的な近似値が得られた後、その確率分布は、上記の第３．１節のモンテ・カルロ法によって容易に与えられる。同じ方法が、いくつかのオプションおよびその他の証券を含むポートフォリオにも適用される。
【図面の簡単な説明】
【図１、２、および３】グラフである。
【図４】ブロック図である。
【図５、６、および７】ｗｅｂページである。
【図８および９】ユーザ・インターフェースを例示する。
【図１０】データ構造を示す。
【図１１から１５】視覚化技術を示す。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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【国際公開パンフレット】
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