(57)【要約】少なくとも１つの処理ステップ（１０５）で加工物に行なわれる処理に特有な少なくとも１つのパラメータをサンプリングするステップ（１１０）と、適応サンプリング処理モデル（１３０）を使用して、サンプリングされた前記少なくとも１つの特有なパラメータをモデル化するステップと、サンプリングを動的な制御環境に統合された一部分として扱うステップと、状況に関する情報、上流のイベントおよびラン・ツー・ラン・コントローラの要件のうちの、少なくとも１つに基づいてサンプリングを変化させるステップとを含む方法が提供される。この方法は、適応サンプリング処理モデル（１３０）を適用して、少なくとも１つの処理ステップ（１０５）で行なわれる処理を変更するステップ（１３５、１５５、１６０）も含む。
2004509407.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
少なくとも１つの処理ステップ（１０５）で加工物に行なわれる処理に特有な少なくとも１つのパラメータをサンプリングするステップ（１１０）と、
適応サンプリング処理モデル（１３０）を使用して、サンプリングされた前記少なくとも１つの特有なパラメータをモデル化し、サンプリングを動的な制御環境に統合された一部分として扱い、状況に関する情報、上流のイベントおよびラン・ツー・ラン・コントローラの要件のうちの、少なくとも１つに基づいてサンプリングを変化させるステップと、
前記適応サンプリング処理モデル（１３０）を適用して、前記少なくとも１つの処理ステップ（１０５）で行なわれる処理を変更するステップ（１３５、１５５、１６０）とを含む、方法。
【請求項２】
前記少なくとも１つの処理ステップ（１０５）で前記加工物に行なわれる前記処理の前記少なくとも１つに特有なパラメータをサンプリングするステップ（１１０）は、高度プロセス制御（ＡＰＣ）システム（１２０）を使用して、前記少なくとも１つの特有なパラメータを監視するステップ（１１０）を含む、請求項１に記載の方法。
【請求項３】
前記高度プロセス制御（ＡＰＣ）システム（１２０）を使用して、前記少なくとも１つの特有なパラメータを監視するステップ（１１０）は、前記高度プロセス制御（ＡＰＣ）システム（１２０）を使用して、前記少なくとも１つの処理ステップ（１０５）の間に、処理ツールの少なくとも１つのツール変数を監視するステップ（１１０）を含む、請求項２に記載の方法。
【請求項４】
前記適応サンプリング処理モデル（１３０）を使用して、サンプリングされた前記少なくとも１つの特有なパラメータをモデル化するステップは、少なくとも１つのチューニングパラメータを有する、モデル予測制御（ＭＰＣ）コントローラおよび比例積分微分（ＰＩＤ）コントローラのうちの、少なくとも１つを組込む適応サンプリング処理モデル（１３０）を使用するステップを含む、請求項１に記載の方法。
【請求項５】
前記少なくとも１つのチューニングパラメータを有する、モデル予測制御（ＭＰＣ）コントローラおよび比例積分微分（ＰＩＤ）コントローラのうちの、前記少なくとも１つを組込む前記適応サンプリング処理モデル（１３０）を使用するステップは、前記少なくとも１つのチューニングパラメータを有する、閉ループモデル予測制御（ＭＰＣ）コントローラおよび閉ループ比例積分微分（ＰＩＤ）コントローラのうちの、少なくとも１つを組込む前記適応サンプリング処理モデル（１３０）を使用するステップを含む、請求項４に記載の方法。
【請求項６】
前記適応サンプリング処理モデル（１３０）を適用して、前記少なくとも１つの処理ステップ（１０５）で行なわれる前記処理を変更するステップ（１３５、１５５、１６０）は、前記少なくとも１つのチューニングパラメータをチューニングして（１４５、１５０）、前記少なくとも１つの処理ステップ（１０５）で行なわれる前記処理を改良するステップ（１５５）を含む、請求項４に記載の方法。
【請求項７】
少なくとも１つの処理ステップ（１０５）で加工物に対して行なわれる処理に特有な、少なくとも１つのパラメータをサンプリングするステップ（１１０）と、
適応サンプリング処理モデル（１３０）を使用して、サンプリングされた前記少なくとも１つの特有なパラメータをモデル化し、サンプリングを動的な制御環境に統合された一部分として扱い、最近のデータのばらつきの量および最近のデータのばらつきの変更のレートの少なくとも１つを含む状況に関する情報、プロセス上流での維持および変更の少なくとも１つを含む上流のイベント、および制御モデルパラメータを識別しようとするラン・ツー・ラン・コントローラの要件のうちの、少なくとも１つに基づいて、サンプリングを変化させるステップと、
前記適応サンプリング処理モデル（１３０）を適用して、前記少なくとも１つの処理ステップ（１０５）で行なわれる前記処理を変更するステップ（１３５、１５５、１６０）とを含む、方法。
【請求項８】
前記少なくとも１つの処理ステップ（１０５）で前記加工物に行なわれる前記処理に特有な、前記少なくとも１つのパラメータをサンプリングするステップは、高度プロセス制御（ＡＰＣ）システム（１２０）を使用して、前記少なくとも１つの特有なパラメータを監視するステップ（１１０）を含み、前記高度プロセス制御（ＡＰＣ）システム（１２０）を使用して、前記少なくとも１つの特有なパラメータを監視するステップ（１１０）は、前記高度プロセス制御（ＡＰＣ）システム（１２０）を使用して、前記少なくとも１つの処理ステップ（１０５）の間に、短時間熱処理ツールの少なくとも１つのツール変数を監視するステップ（１１０）を含む、請求項７に記載の方法。
【請求項９】
前記適応サンプリング処理モデル（１３０）を使用して、サンプリングされた前記少なくとも１つの特有なパラメータをモデル化するステップは、少なくとも１つのチューニングパラメータを有する、モデル予測制御（ＭＰＣ）コントローラおよび比例積分微分（ＰＩＤ）コントローラのうちの、少なくとも１つを組込む適応サンプリング処理モデル（１３０）を使用するステップを含み、前記少なくとも１つのチューニングパラメータを有する、モデル予測制御（ＭＰＣ）コントローラおよび比例積分微分（ＰＩＤ）コントローラのうちの、前記少なくとも１つを組込む前記適応サンプリング処理モデル（１３０）を使用するステップは、前記少なくとも１つのチューニングパラメータを有する、閉ループモデル予測制御（ＭＰＣ）コントローラおよび閉ループ比例積分微分（ＰＩＤ）コントローラのうちの、少なくとも１つを組込む前記適応サンプリング処理モデル（１３０）を使用するステップを含み、前記適応サンプリング処理モデル（１３０）を適用して、前記少なくとも１つの処理ステップ（１０５）で行なわれる前記処理を変更するステップ（１３５、１５５、１６０）は、前記少なくとも１つのチューニングパラメータをチューニング（１４５、１５０）して、前記少なくとも１つの処理ステップ（１０５）で行なわれる前記処理を改良するステップ（１５５）を含む、請求項７に記載の方法。
【請求項１０】
少なくとも１つの処理ステップ（１０５）で加工物に対して行なわれる処理の、少なくとも１つの特有なパラメータをサンプリングするためのツールと、
適応サンプリング処理モデル（１３０）を使用して、サンプリングされた前記少なくとも１つの特有なパラメータをモデル化し、サンプリングを動的な制御環境に統合された一部分として扱い、状況に関する情報、上流のイベントおよびラン・ツー・ラン・コントローラの要件のうちの、少なくとも１つに基づいてサンプリングを変化させるためのコンピュータと、
前記適応サンプリング処理モデル（１３０）を適用して、前記少なくとも１つの処理ステップ（１０５）で行なわれる前記処理を変更する（１３５、１５５、１６０）ためのコントローラとを含み、前記少なくとも１つの処理ステップ（１０５）で前記加工物に行なわれる前記処理に特有な、前記少なくとも１つのパラメータをサンプリングするための前記ツールは、高度プロセス制御（ＡＰＣ）システム（１２０）を使用して、前記少なくとも１つの特有なパラメータを監視する（１１０）ためのモニタを含み、前記高度プロセス制御（ＡＰＣ）システム（１２０）は、前記少なくとも１つの処理ステップ（１０５）の間に、少なくとも１つの処理ツールの少なくとも１つのツール変数を監視（１１０）し、サンプリングされた前記少なくとも１つの特有なパラメータをモデル化する前記コンピュータは、少なくとも１つのチューニングパラメータを有する、モデル予測制御（ＭＰＣ）コントローラおよび比例積分微分（ＰＩＤ）コントローラのうちの、少なくとも１つを組込む適応サンプリング処理モデル（１３０）を使用し、前記コンピュータは、前記少なくとも１つのチューニングパラメータを有する、閉ループモデル予測制御（ＭＰＣ）コントローラおよび閉ループ比例積分微分（ＰＩＤ）コントローラのうちの、少なくとも１つを組込む前記適応サンプリング処理モデル（１３０）を使用し、前記適応サンプリング処理モデル（１３０）を適用して、前記少なくとも１つの処理ステップ（１０５）で行なわれる前記処理を変更する（１３５、１５５、１６０）コントローラは、前記少なくとも１つのチューニングパラメータをチューニングして、前記少なくとも１つの処理ステップ（１０５）で行なわれる前記処理を改良する（１５５）、システム。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【技術分野】
この発明は、一般に、半導体製造技術に関し、特に、半導体製造を監視および最適化するための方法に関する。
【０００２】
【背景技術】
半導体業界には、マイクロプロセッサ、メモリ装置等の集積回路装置の品質、信頼性およびスループットを向上させようとする意欲が常に存在している。この意欲をかき立てるのは、より確実に動作する高品質のコンピュータおよび電子装置を求める消費者の需要である。このような需要の結果、たとえばトランジスタなどの半導体素子の製造において、さらに、そのようなトランジスタを組込んだ集積回路装置の製造において、改良が続いている。さらに、典型的なトランジスタの構成要素の製造における欠陥を低減することによって、トランジスタ当りの全体的なコスト、およびそのようなトランジスタを組込んだ集積回路装置のコストが削減されている。
【０００３】
半導体処理ツールの基礎となる技術への注目がここ数年高まっており、大きな改良につながっている。しかしながら、この分野で進歩が続いているにもかかわらず、現在利用可能な処理ツールの多くは、ある欠点を抱えている。特に、そのようなツールは高度なプロセスデータ監視能力が欠けていることが多い。このような能力には、たとえば履歴パラメータデータをユーザフレンドリなフォーマットで提供する能力、ならびにイベントを記録する能力、現在の処理のパラメータおよびラン全体の処理のパラメータをリアルタイムでグラフィック表示する能力、遠隔地、すなわちローカルサイトおよび世界規模で監視を行なう能力がある。このような欠点のために、たとえばスループット精度、安定性、再現性、処理温度、機械的ツールパラメータ等の、非常に重要な処理のパラメータが最適でない形で制御されることがある。このような変動性は、ラン内の格差、ラン・ツー・ラン（ｒｕｎ−ｔｏ−ｒｕｎ）の格差およびツール・ツー・ツール（ｔｏｏｌ−ｔｏ−ｔｏｏｌ）の格差として現われ、製品の性質および性能の偏差に広がる可能性がある。一方、そのようなツールのために改良された監視および診断システムは、このような変動性を監視する手段を提供し、重要なパラメータを最適に制御するための手段を提供する。
【０００４】
大量多製品半導体製造で行なわれるラン・ツー・ラン制御は、プロセス制御の伝統的なアプローチのフレームワークに容易に適合しない。典型的なアプローチでは、状態、入力および出力の所与のセットを用いてプロセスモデルを規定する。場合によってモデルは静的であり、場合によっては、時とともに変化する。各時間ステップで、入力および外乱が状態に影響し、出力が測定される。そしてコントローラが更新を行ない、プロセスが繰返される。このアプローチが常に適用可能とは限らない理由の１つに、多くの場合、複数の処理ツールおよび複数の製品があることが挙げられる。さらに、あるプロセスにとって重要なすべての測定値のうち、一部のみが一般に各ランで作られることが挙げられる。どのようにコントローラを更新するかをこのような環境で決定することは非常に難しい作業になり得る。
【０００５】
ラン・ツー・ラン・コントローラは、ランが変わっても一貫して正しいプロセスモデルを有することに依存する。ツールのさまざまな処理のランが大きく異なる場合、コントローラは予期せぬ動きをすることがある。これは新しいプロセスに対する変更が大きな外乱となり得るためである。さらに、コントローラが安定するには、所与の処理のいくつかの連続するランが必要となることがあるが、製造上の制約によってこれが発生するのを防ぐことができる。コントローラは、ツールで行なわれるべきすべてのプロセスについて、プロセスが現われる順序にかかわりなく、最適な設定を決定することが望ましい。
【０００６】
このような動きが見られるシステムの例としては、層間絶縁膜（ＩＬＤ）層の化学機械研磨（ＣＭＰ）がある。パターン密度および処理履歴に差があるため、各層／製品の組合せは異なるレートで処理しなければならない。これに加え、各製品は特徴付けられていくつかのツールセットで加工されるため、ツール間の差によって生じる系統的なばらつきもある。このため、制御上の多数の問題の１つには、発生する各製品／層／ツールの組合せについて最適な設定を決定することがある。さらに、コントローラに情報（たとえば製品ウェハから除去されたウェハおよび／またはテストウェハ特徴付けイベントなど）を与える測定値は、制御上の問題にかかわりなく、動作ルールに基づいて非同期間隔で提供される。
【０００７】
監視および制御することで役立つパラメータには、他に、短時間熱処理（ＲＴＰ）に関連するプロセスパラメータがある。そのようなプロセスパラメータの例には、たとえば、ドーパント注入物を活性化させるために使用される短時間熱処理（ＲＴＰ）中にシリコンウェハおよび／または加工物がさらされる温度およびランプ電力レベルがある。短時間熱処理（ＲＴＰ）の性能は、典型的には連続する処理のランとともに劣化する。これは、短時間熱処理（ＲＴＰ）ツールおよび／または短時間熱処理（ＲＴＰ）センサのドリフトが理由の１つである。このことによって、連続するランもしくはウェハのバッチまたはロッドの間でウェハの処理に差が生じることがあり、半導体製造プロセスにおいて、ウェハのスループットの満足度、信頼性、精度および正確さが低下することになる。
【０００８】
しかしながら、多くの場合、伝統的な統計的プロセス制御（ＳＰＣ）技術は、半導体および超小型電子装置の製造において短時間熱処理（ＲＴＰ）に関連するプロセスパラメータを正確に制御して、装置の性能および歩留りを最適化するには不適切である。典型的に、統計的プロセス制御（ＳＰＣ）技術は、短時間熱処理（ＲＴＰ）に関連するプロセスパラメータについて、目標の値を設定し、目標の値についての広がりを設定する。次に、統計的プロセス制御（ＳＰＣ）技術は、目標の値からの偏差を最小に抑えようとするが、それぞれの目標の値を自動的に調整および適合して、半導体装置の性能を最適化すること、ならびに／または半導体装置の歩留りおよびスループットを最適化することはしない。さらに、目標の値についての非適応処理の広がりを闇雲に最小化しても、処理歩留りおよびスループットを向上させることはできない。
【０００９】
目標値からはずれた処理を低減させること、およびソート歩留りを向上させることにおいては、伝統的な制御技術は効果的ではないことが多い。たとえば、ウェハ電気テスト（ＷＥＴ）測定は、ウェハの処理後かなり長い時間がたってから、時には処理の数週間後に行なわれる。１つ以上の処理ステップで、ウェハ電気テスト（ＷＥＴ）測定値が受容不可能と示すウェハが生産されている場合、出来上がったウェハはスクラップされることになる。このような誤った処理は、長い間、しばしば数週間も検知も修正もされないままになり、多くのウェハがスクラップされ、材料が浪費され、スループット全体が低下することにつながる。
【００１０】
計測学的な動作は、半導体製造では大量の資本を必要とし、大量のサイクルタイムを消費する。このため、計測方法を最適化することによって「製造」資本の必要性と運営コストを大きく改善することができる。しかしながら、伝統的な最適化の方法は、多くの場合、場当り的な決定に基づいて、および／または、場合によっては慎重な統計的分析に基づいて、あるプロセス／動作についての「最良の」サンプリングレートを決定し、サンプリングの増加に関連する制御における改良点と、そのようなサンプリングによるコストの増加とを均衡させている。
【００１１】
この発明は、上述の問題の１つ以上の影響を克服、または少なくとも低減することに向けられる。
【００１２】
【発明の開示】
この発明の一局面では、ある方法が提供される。この方法は、少なくとも１つの処理ステップで加工物に行なわれる処理に特有な少なくとも１つのパラメータをサンプリングするステップと、適応サンプリング処理モデルを使用して、サンプリングされた少なくとも１つの特有なパラメータをモデル化するステップと、サンプリングを動的な制御環境に統合された一部分として扱うステップと、状況に関する情報、上流のイベントおよびラン・ツー・ラン・コントローラの要件のうちの、少なくとも１つに基づいて、サンプリングを変化させるステップを含む。この方法は、適応サンプリング処理モデルを適用して、少なくとも１つの処理ステップで行なわれる処理を変更するステップも含む。
【００１３】
この発明の別の局面では、コンピュータ読取可能なプログラム記憶装置が提供される。このコンピュータ読取可能なプログラム記憶装置で命令が符号化され、この命令がコンピュータによって実行されると、ある方法が遂行される。この方法は、少なくとも１つの処理ステップで加工物に行なわれる処理に特有な、少なくとも１つのパラメータをサンプリングするステップと、適応サンプリング処理モデルを使用して、サンプリングされた少なくとも１つの特有なパラメータをモデル化するステップと、サンプリングを動的な制御環境に統合された一部分として扱うステップと、状況に関する情報、上流のイベントおよびラン・ツー・ラン・コントローラの要件のうちの、少なくとも１つに基づいてサンプリングを変化させるステップを含む。この方法は、適応サンプリング処理モデルを適用して、少なくとも１つの処理ステップで行なわれる処理を変更するステップを含む。
【００１４】
この発明の別の局面では、ある方法を実行するようにプログラムされたコンピュータが提供される。この方法は、少なくとも１つの処理ステップで加工物に行なわれる処理に特有な少なくとも１つのパラメータをサンプリングするステップと、サンプリングされた少なくとも１つの特有なパラメータを適応サンプリング処理モデルを使用してモデル化するステップと、サンプリングを動的な制御環境の一部として扱うステップと、状況に関する情報、上流のイベントおよびラン・ツー・ラン・コントローラの要件のうちの、少なくとも１つに基づいてサンプリングを変更するステップとを含む。この方法は、適応サンプリング処理モデルを適用して、少なくとも１つの処理ステップで行なわれる処理を変更するステップも含む。
【００１５】
この発明のさらに別の局面では、あるシステムが提供される。このシステムは、少なくとも１つの処理ステップで加工物に対して行なわれる処理に特有な少なくとも１つのパラメータをサンプリングするためのツールと、サンプリングされた少なくとも１つの特有なパラメータを適応サンプリング処理モデルを使用してモデル化し、サンプリングを動的な制御環境に統合された一部分として扱い、状況に関する情報、上流のイベントおよびラン・ツー・ラン・コントローラの要件のうちの少なくとも１つに基づいてサンプリングを変化させるためのコンピュータを含む。このシステムは、適応サンプリング処理モデルを適用して、少なくとも１つの処理ステップで行なわれる処理を変更するためのコントローラも含む。
【００１６】
この発明のさらに別の局面では、ある装置が提供される。この装置は、少なくとも１つの処理ステップで加工物に行なわれる処理に特有な少なくとも１つのパラメータをサンプリングするための手段と、適応サンプリング処理モデルを使用して、サンプリングされた少なくとも１つの特有なパラメータをモデル化し、サンプリングを動的な制御環境に統合された一部分として扱い、状況に関する情報、上流のイベントおよびラン・ツー・ラン・コントローラの要件のうちの、少なくとも１つに基づいてサンプリングを変化させるための手段とを含む。この装置は、適応サンプリング処理モデルを適用して、少なくとも１つの処理ステップで行なわれる処理を変更するための手段も含む。
【００１７】
この発明は、添付の図面とともに、以下の説明を参照することによって理解することができるであろう。添付の図面において、参照番号の最も左の位の数字は、それぞれの参照番号が最初に現われる図を示す。
【００１８】
図１〜３０は、この発明による製造のための方法の、さまざまな実施例を概略的に示す。
【００１９】
この発明には、さまざまな変形および代替の形があり得るが、その具体的な実施例を図面による例で示し、詳細に説明する。しかしながら、特定の実施例の説明は、この発明を開示された具体的な形状に限定する意図はなく、反対に、特許請求の範囲に規定されるこの発明の精神および範囲内にある、すべての変形、代替物および等価物を含むことを意図する。
【００２０】
【発明を実施するためのモード】
この発明の例示的な実施例を後に示す。明確にするため、この明細書では、実際の実施例の特徴のすべては説明していない。そのような実際の実施例の開発においては、実現例ごとに変化するシステム関連およびビジネス関連の制約を遵守するなどの、開発者の具体的な目標を達成するためには、多数の実現例に特有の決定を行なわなければならないことも理解されるであろう。さらに、そのような開発努力は、複雑かつ時間を要するものであるが、この開示の恩恵を受ける当業者にとっては日常的な作業であることも理解されるであろう。
【００２１】
この発明による方法の例示的な実施例を図１から３０に示す。図１に示されるように、加工物１００が処理ツール１０５に運ばれる。加工物１００は、たとえばゼロ、１つ以上のプロセス層、および／または酸化金属半導体（ＭＯＳ）トランジスタなどの半導体素子が上に配置された半導体基板またはウェハである。処理ツール１０５では、短時間熱処理、たとえば短時間アニールなどを加工物１００に行なうことができる。
【００２２】
図２は、たとえばＡＳＴ　ＳＨＳ　２８００短時間アニール（ＲＴＡ）ツールなどの短時間アニール（ＲＴＡ）ツール２００の断面図を概略的に示す。短時間アニール（ＲＴＡ）ツール２００は、この発明によるさまざまな例示的な実施例において、短時間熱処理（ＲＴＰ）ツール１０５として使用することができる。この発明のさまざまな代替の例示的な実施例は、アプライド・マテリアルズ（Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｅｒｉａｌｓ，ＡＭＡＴ）によって製造される短持間アニール（ＲＴＡ）ツール（センチュラ（Ｃｅｎｔｕｒａ）（Ｒ）など）を使用することができる。短時間アニール（ＲＴＡ）ツールは、物理的な形状、使用方法および測定されるパラメータが大きく異なるが、短時間熱処理（ＲＴＰ）ツール１０５として使用することができる。この発明のさらに他のさまざまな代替の実施例は、エッチングツールおよび／または平坦化ツールおよび／または堆積ツール等を処理ツール１０５として使用することができる。
【００２３】
図２に示されるように、例示的な短時間アニール（ＲＴＡ）ツール２００は、加工物１００の上方および下方に配置されたハロゲンランプの配列を使用することによって、ゼロ、１つ以上のプロセス層が上に形成された半導体シリコンウェハなどの加工物１００を加熱することができる。加工物１００は、ハロゲンランプ２１０の配列によって加熱された石英チューブ２２０内の石英ピンおよびウェハスタンド２１５上に配置することができる。ウェハスタンド２１５は、ＡＳＴホットライナーＴＭ（Ｈｏｔ Ｌｉｎｅｒ ＴＭ）などの他の構成要素も含んでよい。石英チューブ２２０の温度は、ウェハスタンド２１５および／または別の高温計（図示せず）のＡＳＴホットライナーＴＭの温度を測定する熱電対および／または高温計２３０によって測定することができる。石英チューブ２２０には、ウェハスタンド２１５の下方に石英ウィンドウ２２５が配置されていてもよい。ウェハスタンド２１５のＡＳＴホットライナーＴＭの温度、つまり間接的に加工物１００の温度は、石英ウィンドウ２２５の下方に配置された高温計２３０によって、石英ウィンドウを通じて測定することができる。またはこれに代えて、石英ウィンドウ２２５の下方に配置された高温計２３０が加工物１００の温度を直接的に測定することもできる。ハロゲンランプ２１０のランプ電力も監視および制御することができる。
【００２４】
図３に示されるように、処理ツール１０５は、システム通信バス１６０を通じた２方向の接続を介して監視ステップ１１０および他の処理ステップ１４０と通信することができる。図３に示されるように、システム通信バス１６０は、処理ツール１０５、監視ステップ１１０および他の処理ステップ１４０、ならびに高度プロセス制御（Ａｄｖａｎｃｅｄ Ｐｒｏｃｅｓｓ Ｃｏｎｔｒｏｌ，ＡＰＣ）システム１２０の間の通信も提供する。これについては後に詳しく説明する。
【００２５】
図４に示されるように、加工物１００は処理ツール１０５から送られ、監視ステップ１１０に運ばれる。監視ステップ１１０では、１つ以上の処理のランの間に、１つ以上の処理ツール変数および／または１つ以上の処理パラメータを監視および／または測定することができる。そのようなツール変数および／または処理パラメータは、１つ以上の高温計トレース読取値、１つ以上のランプ電力トレース読取値、１つ以上のチューブ温度トレース読取値、１つ以上の現在の読取値、１つ以上の赤外線（ＩＲ）信号読取値、１つ以上の発光スペクトル読取値、１つ以上のプロセスガス温度読取値、１つ以上のプロセスガス圧読取値、１つ以上のガス流量読取値、１つ以上のエッチングの深さ、１つ以上のプロセス層の厚み、１つ以上の抵抗性読取値等を含む。図４に示されるように、監視ステップ１１０は、システム通信バス１６０を介して処理ツール１０５と通信することができる。図４に示されるように、システム通信バス１６０は、処理ツール１０５、監視ステップ１１０および高度プロセス制御（ＡＰＣ）システム１２０の間の通信も提供する。これについては後にさらに詳しく説明する。
【００２６】
図５に示されるように、加工物１００は、監視ステップ１１０から他の処理ステップ１４０に進む。他の処理ステップ１４０では、加工物１００に他の処理を行なって完成した加工物１００を生産することができる。代替の実施例では、監視ステップ１１０から送られた加工物１００は完成した加工物１００であってもよく、この場合、他の処理ステップ１４０はなくてもよい。図５に示されるように、他の処理ステップ１４０は、システム通信バス１６０を介して監視ステップ１１０と通信することができる。図５に示されるように、システム通信バス１６０は、監視ステップ１１０、他の処理ステップ１４０および高度プロセス制御（ＡＰＣ）システム１２０の間の通信を提供する。これについては後に詳しく説明する。
【００２７】
図６に示されるように、監視されるセンサデータ１１５は、監視ステップ１１０から送られて、高度プロセス制御（ＡＰＣ）システム１２０へ運ばれる。図６に示されるように、高度プロセス制御（ＡＰＣ）システム１２０は、システム通信バス１６０を介して監視ステップ１１０と通信することができる。監視されるセンサデータ１１５を高度プロセス制御（ＡＰＣ）システム１２０に運ぶことによって、出力信号１２５が生成される。
【００２８】
図７に示されるように、出力信号１２５は高度プロセス制御（ＡＰＣ）システム１２０から送られ、モデル予測制御（ＭＰＣ）または比例積分微分（ＰＩＤ）チューニングステップ１３０を備える適応サンプリング処理モデル化に運ばれる。モデル予測制御（ＭＰＣ）または比例積分微分（ＰＩＤ）チューニングステップ１３０を備える適応サンプリング処理モデル化では、監視されるセンサデータ１１５は、処理ツール１０５で加工物１００に行なわれる処理に適切である、適応サンプリング処理モデルで使用することができる。この発明のさまざまな代替の実施例では、適応サンプリング処理モデル化ステップ１３０は、モデル予測制御（ＭＰＣ）チューニングまたは比例積分微分（ＰＩＤ）チューニングなしに設けることもできる。
【００２９】
たとえば、そのような適応サンプリング処理モデルは、サンプリングを高度プロセス制御（ＡＰＣ）システムの動的な制御環境に統合された一部分として扱うことによって、サンプリングの方法を大きく改良することができる。静的な「最適」サンプリングレートを適用するのではなく、サンプリングは、（１）最近のデータのばらつきにおける変化の量および／またはレートなどの状況に関する情報、（２）動作のプロセス上流における維持および／または変更などのイベント、および／または（３）制御モデルパラメータを識別するための方式における、閉ループ・ラン・ツー・ラン・コントローラの要件に基づいて、増加または減少される動的な変数として扱われる。監視されるセンサデータ１１５を適応サンプリング処理モデルで使用することによって、１つ以上の処理方法の調整１４５が生成される。
【００３０】
さまざまな例示的な実施例では、後にさらに詳しく説明するように、適応サンプリング処理モデルは、さまざまな例示的な技術によって構築することができる。そのような適応サンプリング処理モデルは、１つ以上の処理のランの間に、１つ以上の処理ツール変数および／もしくは１つ以上の処理パラメータを監視することによって形成することもできる。上述のように、そのような処理ツール変数および／または処理パラメータの例は、１つ以上の高温計トレース読取値、１つ以上のランプ電力トレース読取値、１つ以上のチューブ温度トレース読取値、１つ以上の現在の読取値、１つ以上の赤外線（ＩＲ）信号読取値、１つ以上の発光スペクトル読取値、１つ以上のプロセスガス温度読取値、１つ以上のプロセスガス圧読取値、１つ以上のプロセスガス流量読取値、１つ以上のエッチングの深さ、１つ以上のプロセス層の厚み、１つ以上の抵抗性読取値等を含んでもよい。これらのさまざまな例示的な実施例において、適応サンプリング処理モデルを構築するステップは、収集された処理データを、多項式曲線あてはめ、最小自乗あてはめ、多項式最小自乗あてはめ、非多項式最小自乗あてはめ、重み付け最小自乗あてはめ、重み付け多項式の最小自乗あてはめ、重み付け非多項式最小自乗あてはめ、部分最小自乗（ＰＬＳ）および主成分分析のうちの、少なくとも１つを使用してあてはめるステップを含む。これについては後に詳しく説明する。
【００３１】
さまざまな例示的な実施例において、適応サンプリング処理モデルは、少なくとも１つのチューニングパラメータを有する、少なくとも１つのモデル予測制御（ＭＰＣ）コントローラ、または少なくとも１つの比例積分微分（ＰＩＤ）コントローラを組込んでもよい。これらの例示的な実施例の多くにおいて、処理に適切な適応サンプリング処理モデルは、少なくとも１つのチューニングパラメータを有する、少なくとも１つの閉ループモデル予測制御（ＭＰＣ）コントローラ、または少なくとも１つの閉ループ比例積分微分（ＰＩＤ）コントローラを組込んでもよい。モデル予測制御（ＭＰＣ）コントローラまたは比例積分微分（ＰＩＤ）コントローラのチューニングパラメータは、処理ツール１０５で加工物１００に行なわれる処理の望ましくない条件を最小限にする目的関数に基づいて、最適化することができる。
【００３２】
最適な制御に関する問題は、システムモデルの制約および付加的なプロセスの要件を満たしつつ、目的関数を極端化する（最小化または最大化する）入力のセットを決定することである。数学的には、これは
【００３３】
【数１】
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【００３４】
の制約条件のもとで
【００３５】
【数２】
2004509407.tif 000004
【００３６】
によって表わすことができる。ここで、ｘはシステム状態変数（目標の値からの偏差、パラメータ推定値における不確実性、必要とされる材料のコストなど）を表わし、ｕは変更可能な入力を、ｔは時間を、ｉは制約を表わす。これらの数学的な関係は非常に単純に見えるが、非常に一般的なものであり、単純なシステムを説明することだけに限定されない。制約方程式は、プロセス、ならびにプロセス入力および状態に課される動作制限を支配する、微分方程式および／または差分方程式を含み得る。
【００３７】
大半の現実のプロセスでは、この問題は、結果として、混合境界条件を備える一連の非線形微分方程式につながる。いくつかの単純なプロセスモデルについては、最適な解が導かれている。そのような問題の１つの種類は、線形（モデル）、二次（目的関数）、ガウス（雑音）システム（ＬＱＧシステム）である。線形二次ガウス（ＬＱＧ）システムについては、最適なコントローラを導くことができる。一般に現実のプロセスでは、最適未満の下のコントローラで満足しなければならないことがある。なぜならシステムの「真の」モデルは未知であり、かつ／または複雑すぎて分析的な解を得られないためである。システムが線形２次ガウス（ＬＱＧ）システムであると仮定し、対応する線形コントローラを近似的な解として使用するのが１つのアプローチである。
【００３８】
たとえば、モデル予測制御（ＭＰＣ）コントローラまたは比例成分微分（ＰＩＤ）コントローラが出力を生成するように設計して、この出力によって処理ツール１０５で加工物１００に行われる処理に何らかの修正的な試みを適用して、１つ以上の測定可能な処理ツール変数および／または１つ以上の処理パラメータを、設定値として既知のそれぞれの望ましい値に向けて動かすこともできる。モデル予測制御（ＭＰＣ）コントローラまたは比例積分微分（ＰＩＤ）コントローラは、それぞれの処理ツール変数および／または処理パラメータの設定値と測定値との間の誤差を監視および／または測定および／または観察することによって、修正的な試みを引起こす出力を生成することもできる。
【００３９】
たとえば、比例積分微分（ＰＩＤ）コントローラは、誤差ｅ（ｔ）の現在の値、最近の時間間隔での誤差ｅ（ｔ）の積分、および時間に関する誤差ｅ（ｔ）の微分の現在の値を参照して、どれくらいの修正をどれくらいの期間適用するべきかを決定することができる。これらの項の各々を、それぞれのチューニング定数によって乗じ、これらの和を求めることによって、比例積分微分（ＰＩＤ）コントローラの現在の出力ＣＯ（ｔ）が求められ、これは
【００４０】
【数３】
2004509407.tif 000005
【００４１】
と表わされる。この場合、Ｐは比例チューニング定数、Ｉは積分チューニング定数、Ｄは微分チューニング定数、誤差ｅ（ｔ）は、時間ｔでの、設定値ＳＰ（ｔ）とプロセス変数ＰＶ（ｔ）との差であり、ｅ（ｔ）＝ＳＰ（ｔ）−ＰＶ（ｔ）である。現在の誤差ｅ（ｔ）が大きい場合、および／または誤差ｅ（ｔ）が長時間大きい場合、および／または現在の誤差ｅ（ｔ）が急速に変化している場合、現在のコントローラの出力ＣＯ（ｔ）も大きくなり得る。しかしながら、現在の誤差ｅ（ｔ）が小さく、誤差ｅ（ｔ）が長時間小さく、現在の誤差ｅ（ｔ）がゆっくりと変化している場合、現在のコントローラの出力ＣＯ（ｔ）も小さくなり得る。
【００４２】
さまざまな代替の実施例では、比例積分微分（ＰＩＤ）コントローラの現在の出力ＣＯ（ｔ）は、
【００４３】
【数４】
2004509407.tif 000006
【００４４】
と表わすこともできる。この場合、Ｐは全体的なチューニング定数、ＴＩは積分時間チューニング定数、ＴＤは微分時間チューニング定数、誤差ｅ（ｔ）は、時間ｔにおける、設定値ＳＰ（ｔ）とプロセス変数ＰＶ（ｔ）との間の差であり、ｅ（ｔ）＝ＳＰ（ｔ）−ＰＶ（ｔ）である。これらの代替の実施例では、設定値ＳＰ（ｔ）に変化があった場合の、比例積分微分（ＰＩＤ）コントローラの現在の出力ＣＯ（ｔ）の突然の変化が少なくなる。これは誤差ｅ（ｔ）＝ＳＰ（ｔ）−ＰＶ（ｔ）の時間微分に依存するのではなく、プロセス変数ＰＶ（ｔ）の時間微分に依存するためである。
【００４５】
比例積分微分（ＰＩＤ）コントローラの現在の出力ＣＯ（ｔ）のチューニング定数Ｐ、ＩおよびＤならびに／またはＰ、ＴＩおよびＴＤは、適切にチューニングすることができる。チューニング定数Ｐ、ＩおよびＤならびに／またはＰ、ＴＩおよびＴＤに積極的に大きな値を使用すると、誤差ｅ（ｔ）を増幅し、過剰補償して設定値を行き過ぎてしまうことがある。チューニング定数Ｐ、ＩおよびＤ、ならびに／またはＰ、ＴＩおよびＴＤに保守的に小さい値を使用すると、誤差ｅ（ｔ）の減少の速度が遅くなりすぎ、過小補償となり、設定値に届かないことがある。適切にチューニングされた比例積分微分（ＰＩＤ）コントローラの現在の出力ＣＯ（ｔ）の、チューニング定数Ｐ、ＩおよびＤならびに／またはＰ、ＴＩおよびＴＤは、これらの２つの極端な例の間にくる。比例積分微分（ＰＩＤ）コントローラの現在の出力ＣＯ（ｔ）のチューニング定数Ｐ、ＩおよびＤならびに／またはＰ、ＴＩおよびＴＤは、試行錯誤による微調整を使用して、後にさらに詳しく説明する数学的なモデル化を伴う、より厳格な分析的アプローチを使用して、および／またはツィーグラー・ニコラス（Ｚｉｅｇｌｅｒ−Ｎｉｃｈｏｌｏｓ）の「開ループ」および「閉ループ」チューニング技術などの技術を使用して、適切にチューニングすることができる。
【００４６】
監視されるセンサデータ１１５を、モデル予測制御（ＭＰＣ）または比例積分微分（ＰＩＤ）チューニングステップ１３０を備える適応サンプリング処理モデル化で適応サンプリング処理モデル化することを使用して、たとえば処理ツール１０５および／または他の処理ステップ１４０などの、さまざまな処理ステップのいずれかで行われる処理を調整する必要があることをエンジニアに警告することができる。エンジニアは、たとえば処理ツール１０５で行われる処理の設定値、および／または監視ステップ１１０で監視および／または測定された処理ツール変数および／または処理パラメータを変更および／または調整することもできる。
【００４７】
図８に示されるように、モデル予測制御（ＭＰＣ）または比例積分微分（ＰＩＤ）チューニングステップ１３０を備える適応サンプリング処理モデル化から、処理ツール１０５にフィードバック制御信号１３５を送って、処理ツール１０５で行われる処理を調整することができる。さまざまな代替の実施例において、モデル予測制御（ＭＰＣ）または比例積分微分（ＰＩＤ）チューニングステップ１３０を備える適応サンプリング処理モデル化から、他の処理ステップ１４０のいずれかにフィードバック制御信号１３５を送って、システム通信バス１６０を介して、たとえば他の処理ステップ１４０のいずれかで行われる処理を調整することができる。システム通信バス１６０は、処理ツール１０５、監視ステップ１１０、他の処理ステップ１４０および高度プロセス制御（ＡＰＣ）システム１２０の間の通信を提供する。これについては後に詳しく説明する。
【００４８】
図９に示されるように、フィードバック制御信号１３５に加え、および／またはフィードバック制御信号の代わりに、１つ以上の処理方法の調整１４５、および／またはこの分析に基づく適切な全体の方法を、モデル予測制御（ＭＰＣ）または比例積分微分（ＰＩＤ）チューニングステップを備える適応サンプリング処理モデル化から、処理プロセス変更および制御ステップ１５０に送ることができる。処理プロセス変更および制御ステップ１５０では、１つ以上の処理方法の調整１４５を高レベル監視制御ループで使用することができる。この後、図１０に示されるように、処理プロセス変更および制御ステップ１５０から処理ツール１０５にフィードバック制御信号を送って、処理ツール１０５で行われる処理を調整することができる。さまざまな代替の実施例において、処理プロセス変更および制御ステップ１５０から他の処理ステップ１４０のいずれかにフィードバック制御信号を送って、システム通信バス１６０を介して、たとえば他の処理ステップ１４０のいずれかで行われる処理を調整することができる。システム通信バス１６０は、処理ツール１０５、監視ステップ１１０、他の処理ステップ１４０および高度プロセス制御（ＡＰＣ）システム１２０との間の通信を提供する。これについては後に詳しく説明する。
【００４９】
さまざまな例示的な実施例において、エンジニアに高度なプロセスデータ監視能力を与えることができる。このような能力には、たとえばユーザフレンドリーなフォーマットで履歴パラメータデータを提供する能力、故障を記録する能力、現在の処理パラメータおよびラン全体の処理パラメータの両方をリアルタイムでグラフィック表示する能力、遠隔地すなわちローカルサイトおよび世界規模で監視を行なう能力がある。これらの能力によって、たとえばスループット精度、安定性および再現性、処理温度、機械的ツールパラメータなどの、重要な処理パラメータをより最適に制御することができる。重要な処理パラメータをこのようにより最適に制御することによって、変動性が減少する。このような変動性の減少は、ラン内の格差の減少、ラン・ツー・ランの格差の減少、およびツール・ツー・ツールの格差の減少として現われる。伝搬し得る格差の数がこのように減少すると、製品の品質および性能の偏差が少なくなる。この発明による製造方法のそのような例示的な実施例では、監視および診断システムが提供され、このような変動性を監視し、重要なパラメータの制御を最適化する。
【００５０】
図１１は、この発明に従って実現される、方法１１００の具体的な一実施例を示す。図１２は、方法１１００を実現し得る１つの具体的な装置１２００を示す。明確にして、この発明をより理解しやすくするため、方法１１００を装置１２００と関連して開示する。しかしながら、この発明は、そのように限定されておらず、後に説明するように幅広い変形が可能である。
【００５１】
図１１および１２の両方を参照すると、加工物またはウェハ１２０５のバッチもしくはロットが処理ツール１２１０を通じて処理されている。処理ツール１２１０は、必要な制御能力を持つのであれば、技術分野で公知のいかなる処理ツールであってもよい。処理ツール１２１０は、この制御の目的のために処理ツールコントローラ１２１５を含む。処理ツールコントローラ１２１５の本質および機能は、実現例に特有である。
【００５２】
たとえば、処理ツールコントローラは、処理方法制御に入力されるパラメータおよび／または設定値などの、入力パラメータを制御してもよい。図１２では４つの加工物１２０５が示されるが、加工物またはウェハのロット、すなわち「ウェハロット」は、１からどのような有限数までの、いかなる実行可能な数のウェハであってもよい。
【００５３】
方法１１００は、欄１１２０に示されるように、処理ツール１１２０で加工物１２０５に行なわれる処理に特有な、１つ以上のパラメータをサンプリングすることによって開始する。特有なパラメータの本質、識別および測定値は、実現例ごとに大きく変化するし、ツールによっても大きく変化する。たとえば、プロセスパラメータを監視する能力は、ある程度ツールによって変化する。センス能力が大きければ、識別および測定される特有なパラメータの範囲、および特有なパラメータを識別および測定する方法の範囲が広がる。反対にセンス能力が低ければ、この範囲が制限される。加工物温度、および／またはランプ電力、および／またはアニール時間、および／またはプロセスガス温度、および／またはプロセスガス圧、および／またはプロセスガス流量、および／または高周波（ＲＦ）電力、および／またはエッチング時間、および／またはバイアス電圧、および／または堆積時間等についての処理方法制御に入力されるパラメータおよび／または設定値などの、処理制御入力パラメータは、加工物１２０５からの使用可能な半導体装置の有効歩留りに直接的に影響する。
【００５４】
図１２を参照すると、この具体的な実施例では、処理のプロセスに特有なパラメータは、ツールセンサ（図示せず）によって測定および／または監視される。これらのツールセンサの出力は、線１２２０上でコンピュータシステム１２３０に伝送される。コンピュータシステム１２３０は、これらのセンサ出力を分析して、特有なパラメータを識別する。
【００５５】
図１１に戻ると、一旦、その特有なパラメータが識別および測定されると、方法１１００は、欄１１３０に示されるように、測定および識別されたその特有なパラメータを、適応サンプリング処理モデル（後に詳しく説明する）を使用してモデル化することによって先に進む。図１２のコンピュータシステム１２３０は、この具体的な実施例では、その特有なパラメータをモデル化するようにプログラムされる。このモデル化が行なわれる方法は、実現例によって変化する。
【００５６】
図１２の実施例では、どの特有なパラメータが測定されたかに依存して、データベース１２３５は、適用される可能性のある複数のモデルを記憶する。このため、この具体的な実施例は、測定される可能性のある、その特有なパラメータに関する何らかの知識を前もって必要とする。次にコンピュータシステム１２３０は、可能性のあるモデルのデータベース１２３５から適切なモデルを抽出して、測定された、その特有なパラメータに適用する。データベース１２３５に適切なモデルが含まれない場合、その特有なパラメータは無視されるか、またはコンピュータシステム１２３０は、モデルを作成するようにプログラムされている場合、モデルを作成しようとする。データベース１２３５は、どのような種類のコンピュータ読取可能プログラム記憶媒体に記憶することができる。このような媒体には、たとえば、光ディスク１２４０、フロッピー（Ｒ）ディスク１２４５、またはコンピュータシステム１２３０のハードディスクドライブ（図示せず）がある。データベース１２３５は、コンピュータシステム１２３０とインタフェースする別のコンピュータシステム（図示せず）に記憶することもできる。
【００５７】
測定されたその特有なパラメータのモデル化は、代替の実施例では、異なった形で実現することができる。たとえば、コンピュータシステム１２３０は、センサの出力およびコントローラの入力を分析して、リアルタイムの実現例でオンザフライ（ｏｎ−ｔｈｅ−ｆｌｙ）でモデルを作成するように、何らかの形の人工知能を使用してプログラムすることもできる。このアプローチを、データベース１２３５が適切なモデルを持たない特有なパラメータが測定および識別される、図１２に示され、上で説明した実施例に添加すれば有効であろう。
【００５８】
図１１の方法１１００は、欄１１４０に示されるように、モデルを適用して、少なくとも１つの処理制御入力パラメータを変更することによって先に進む。実現例に依存して、モデルを適用することによって、処理制御入力パラメータについての新しい値、または既存の処理制御入力パラメータに対する修正が得られる。さまざまな例示的な実施例では、多数の制御入力方法が記憶され、決定されたパラメータの１つ以上に基づいて、これらのうちの適切なものを選択することができる。モデルによって得られた値から、新しい処理制御入力が定式化され、線１２２０上で処理ツールコントローラ１２１５に伝送される。すると処理ツールコントローラ１２１５は、新しい処理制御入力に従って、後続の処理プロセス動作を制御する。
【００５９】
代替の実施例の中には、フィードバックの形を用いて特有なパラメータのモデル化を改良できるものもある。このようなフィードバックの実現は、ツールのセンス能力および経済性を含む、いくつかの異なる事実に依存する。これを行なうための１つの技術は、モデルの実現例の、少なくとも１つの影響を監視し、監視された影響に基づいてモデルを更新するものである。更新もモデルに依存し得る。たとえば、線形モデルは、他の因子はすべて同じでも、非線形モデルとは異なる更新を必要とすることがある。
【００６０】
上述のことから明白であるように、この発明のいくつかの特徴は、ソフトウェアで実現することができる。たとえば、図１１の欄１１２０から１１４０の行為のセットは、例示的な実施例では、全体的に、または部分的にソフトウェアで実現される。このため、この発明のいくつかの特徴は、コンピュータ読取可能なプログラム記憶媒体上で符号化された命令として実現される。プログラム記憶媒体は、その具体的な実現例に好適なものであれば、どのような種類のものであってもよい。しかしながら、プログラム記憶媒体は、典型的には、フロッピー（Ｒ）ディスク１２４５、またはコンピュータ１２３０のハードディスクドライブ（図示せず）のような磁気的なもの、または光ディスク１２４０などの光学的なものである。これらの命令がコンピュータによって実行されると、命令は開示された機能を遂行する。コンピュータは、たとえばコンピュータ１２３０のようなデスクトップコンピュータでもよい。しかしながら、これに代えて、コンピュータは、処理ツール１２１０に組込まれたプロセッサであってもよい。またコンピュータは、さまざまな他の実施例において、ラップトップ、ワークステーションまたはメインフレームであってもよい。この発明の範囲は、この発明の実施例が実現され得るプログラム記憶媒体またはコンピュータの種類または本質によって制限されない。
【００６１】
このため、ここで行なわれる詳細な説明のいくつかの部分は、アルゴリズム、関数、技術および／またはプロセスによって提示される。これらの用語は、それによって当業者が自分の仕事の内容を他の当業者に最も効果的に伝えられるものである。これらの用語は、ここで使用され、さらに一般的に使用されるとおり、望ましい結果につながる自己一貫性のステップのシーケンスとして考えられる。これらのステップは、物理的な量を物理的に操作することを必要とするものである。必須ではないが通常、これらの量は、記憶、伝送、組合せ、比較、およびその他の操作が可能である電磁気的な信号の形をとる。
【００６２】
主に慣用であるという理由から、これらの信号をビット、値、要素、記号、文字、用語、数字等として表すことが便利であることがわかっている。これらおよび類似の用語はすべて、適切な物理的な量と関連しており、これらの量および行為に適用される便宜的な標識にすぎない。別段の記載がある場合を除いて、または議論から明白であるように、「処理」、「計算」、「算出」、「判断」、「表示」等の、ここで使用される用語はすべて、コンピュータシステムのレジスタおよび／またはメモリ内で物理的（電磁気的な）量として提示されたデータを、コンピュータシステムのメモリおよび／またはレジスタおよび／または他のそのような情報記憶装置、伝送装置および／または表示装置内で物理的な量として提示された類似の他のデータに操作し変形する、コンピュータシステム、または類似の電気的および／または機械的な計算装置の行為およびプロセスを指すものである。
【００６３】
例示的な装置の構成について述べる。図１２の装置１２００の例示的な実施例１３００を図１３および１４に示す。図１３および１４では、装置１３００は高度プロセス制御（「ＡＰＣ」）システムの一部分を含む。図１３および１４は、それぞれ装置１３００の概念化された、構造および機能のブロック図である。処理ツール１３１０で加工物１３０５のロットに一連の処理ステップが行なわれる。装置１３００は高度プロセス制御（ＡＰＣ）システムの一部であるため、加工物１３０５はラン・ツー・ラン・ベースで処理される。このため、プロセス調整は、ランの継続中にランレベルの測定値または平均値に基づいて行なわれ、一定に保たれる。「ラン」は、ロット、ロットのバッチ、または個々のウェハであってもよい。
【００６４】
この具体的な実施例では、加工物１３０５は処理ツール１３１０によって処理され、プロセス内のさまざまな動作は、処理ツール１３１０とワークステーション１３３０との間の線１３２０上の複数の処理制御入力信号によって制御される。この実施例のための例示的な処理制御入力は、加工物温度、ランプ電力、アニール時間、プロセスのガス温度、プロセスのガス圧、プロセスのガス流量、高周波（ＲＦ）電力、エッチング時間、バイアス電圧、堆積時間等の設定値についての入力を含み得る。
【００６５】
処理ツール１３１０におけるプロセスステップが終了すると、処理ツール１３１０で処理されている半導体加工物１３０５は、レビューステーション１３１７で調べられる。レビューステーション１３１７は処理ツール１３１０の一部である必要はなく、たとえば別のツールおよび／またはステーションであってもよい。処理制御入力は一般に、レビューステーション１３１７で測定される半導体加工物１３０５のその特有なパラメータに影響し、よって処理ツール１３１０によって加工物１３０５に行なわれる行為の変動性および特性に影響する。一旦加工物１３０５のロットのランの後に調べから誤差が決定されると、線１３２０上の処理制御入力は、加工物１３０５のロットの後続のランのために変更される。線１３２０上の制御信号の変更は、処理ツール１３１０によって行なわれる次の処理を改良するためのものである。この変更は、図１１に示される方法１１００の１つの具体的な実施例に従って行なわれ、これについては後に詳しく説明する。一旦、処理ツール１３１０についての関連する処理制御入力信号が更新されると、新しい設定を備えた処理制御入力信号が半導体装置の後続のランについて使用される。
【００６６】
図１３および１４の両方を参照すると、処理ツール１３１０は、処理モジュールのネットワークを含む製造フレームワークと通信する。そのようなモジュールの１つは、コンピュータ１３４０上に常駐する高度プロセス制御（ＡＰＣ）システムマネージャ１４４０である。処理モジュールのこのようなネットワークは、高度プロセス制御（ＡＰＣ）システムを構成する。処理ツール１３１０は一般に、設備インタフェース１４１０およびセンサインタフェース１４１５を含む。マシンインタフェース１４３０はワークステーション１３３０上に常駐する。マシンインタフェース１４３０は、たとえば高度プロセス制御（ＡＰＣ）システムマネージャ１４４０などの高度プロセス制御（ＡＰＣ）フレームワークと、設備インタフェース１４１０との間のギャップを橋渡しする。このため、マシンインタフェース１４３０は、処理ツール１３１０を高度プロセス制御（ＡＰＣ）フレームワークにインタフェースし、マシンのセットアップ、活性化、監視およびデータ収集を支援する。センサインタフェース１４１５は、ラブビュー（ＬａｂＶｉｅｗ）（Ｒ）または他のセンサバスをベースとしたデータ獲得ソフトウェアなどの、外部センサと通信するために適切なインタフェース環境を提供する。マシンインタフェース１４３０およびセンサインタフェース１４１５は、ともに一連の機能性（たとえば通信基準など）を使用して、使用すべきデータを収集する。設備インタフェース１４１０およびセンサインタフェース１４１５は、ワークステーション１３３０に常駐するマシンインタフェースと線１３２０上で通信する。
【００６７】
より具体的には、マシンインタフェース１４３０は、設備インタフェース１４１０からコマンド、状態イベントおよび収集されたデータを受取り、必要に応じてそれらを他の高度プロセス制御（ＡＰＣ）構成要素およびイベントチャンネルに送る。そして高度プロセス制御（ＡＰＣ）構成要素からの返答がマシンインタフェース１４３０によって受取られ、さらにこれは設備インタフェース１４１０に送られる。マシンインタフェース１４３０は、必要に応じてメッセージおよびデータを再フォーマットおよび再構成する。マシンインタフェース１４３０は、高度プロセス制御（ＡＰＣ）システムマネージャ１４４０内のスタートアップ／シャットダウン手順を支援する。これは、高度プロセス制御（ＡＰＣ）のデータコレクタとしても機能し、設備インタフェース１４１０によって収集されたデータをバッファに入れ、適切なデータ収集信号を送信する。
【００６８】
示される具体的な実施例では、高度プロセス制御（ＡＰＣ）システムは工場全体にわたるソフトウェアシステムであるが、これはこの発明を実現するためには必要ではない。この発明によって教示される制御方策は、工場のフロアにある実質的にどのような半導体処理ツールにも適用可能である。この発明は、同じ工場内の、または同じ製作プロセス内の、複数の処理ツール上で同時に用いることができる。高度プロセス制御（ＡＰＣ）フレームワークによって、プロセス性能に遠隔地からアクセスすること、およびプロセス性能を遠隔地から監視することが可能になる。さらに、高度プロセス制御（ＡＰＣ）フレームワークを使用することによって、データ記憶を、ローカルドライブ上で行なうよりも、便利に、柔軟に、かつ費用がかからないようにすることができる。しかしながら、この発明は、いくつかの代替の実施例では、ローカルドライブでも用いることができる。
【００６９】
図示の実施例は、多数のソフトウェア構成要素を使用して、この発明を高度プロセス制御（ＡＰＣ）フレームワーク上に配置する。高度プロセス制御（ＡＰＣ）フレームワーク内の構成要素に加え、コンピュータシステムにかかわる半導体処理ツールの各々について、コンピュータスクリプトが記述される。コントロールシステムの半導体処理ツールが半導体製造製作で始動されると、半導体処理ツールは、一般にスクリプトを呼出して、処理ツールコントローラによって要求される行為を開始する。制御方法は一般に、これらのスクリプトを使用して、規定および遂行される。これらのスクリプトの作成は、制御システムの作成の重要な部分を含み得る。
【００７０】
この具体的な実施例では、いくつかの別々のソフトウェアスクリプトがあり、これらのスクリプトが処理動作の制御に関わる作業を遂行する。レビューステーション１３１７および処理ツールコントローラ１３１５を含む、処理ツール１３１０のためのスクリプトが１つある。レビューステーション１３１７からの実際のデータ捕捉を処理するスクリプト、および他のどのスクリプトも参照することができる共通の手順を含む、別のスクリプトもある。高度プロセス制御（ＡＰＣ）システムマネージャ１４４０のためのスクリプトもある。しかしながら、スクリプトの正確な数は、実現例ごとに変化し、代替の実施例は、他の数のスクリプトを使用することができる。
【００７１】
例示的な装置の動作について述べる。図１５は、図１１の方法１１００の具体的な一実施例１５００を示す。方法１５００は、図１３および１４に示される装置１３００を用いて実現することができるが、この発明はそのように限定されない。方法１５００は、図１５に示される機能を遂行することができる装置であれば、どれを用いても実現することができる。さらに、図１５の方法１５００に代わる実施例で、図１１の方法１１００を実現することができる。
【００７２】
図１３〜１５のすべてを参照すると、方法１５００は、欄１５１０に示されるように、処理ツール１３１０などの処理ツールを通して加工物１３０５のロットを処理することによって開始する。この具体的な実施例では、処理ツール１３１０は、マシンインターフェイス１４３０および設備インターフェイス１４１０を通して、高度プロセス制御（ＡＰＣ）システムによって、処理用に初期化済みである。この具体的な実施例では、処理ツール１３１０の作動の前に、高度プロセス制御（ＡＰＣ）システムマネージャスクリプトが呼出されて、処理ツール１３１０を初期化する。この段階で、スクリプトは、処理ツール１３１０の識別番号および加工物１３０５のロット番号を記録する。識別番号は、ロット番号に対照されてデータ記憶装置１３６０に記憶される。残りのスクリプト、たとえばＡＰＣデータのコールならびにセットアップおよびスタートマシンのコールは、マシンにデフォルトの設定を使用させるため、ブランクまたはダミーのデータで定式化される。
【００７３】
この初期化の一部として、処理制御のための初期設定値が、線１３２０上で処理ツールコントローラ１３１５に与えられる。これらの初期設定値は、技術分野で公知の好適な方法のどれによっても決定および実現することができる。この例では、１つ以上のウェハのロットが、同じまたは類似のコンテクストまたは条件で現在のウェハのロットとして処理され、レビューステーション１３１７を使用して処理誤差がないか測定されている。このような情報が存在する場合、測定された誤差および／または偏りから集められた状態推定値がデータ記憶装置１３６０から検索される。状態推定値から計算された、これらの処理制御入力信号設定は、処理ツール１３１０にダウンロードされる。
【００７４】
加工物１３０５は処理ツール１３１０を通して処理される。図示の実施例では、これは加工物１３０５に短時間アニールを行なうことを含む。処理ツール１３１０で処理された後、加工物１３０５はレビューステーション１３１７で測定される。加工物１３０５が多くの誤差、たとえばフィルムの厚み、エッチングの深さ等の目標の値からの偏差について処理された後、レビューステーション１３１７は、加工物１３０５を調べる。レビューステーション１３１７の機器によって生成されたデータは、センサインターフェイス１４１５および線１３２０を介して、マシンインターフェイス１４３０に渡される。レビューステーションスクリプトは、データ収集のために或る数の高度プロセス制御（ＡＰＣ）コマンドで開始する。次にレビューステーションスクリプトは、それ自身を定位置に固定し、データ利用可能スクリプトを活性化する。このスクリプトによって、レビューステーション１３１７から高度プロセス制御（ＡＰＣ）フレームワークへのデータの実際の転送が容易になる。一旦転送が完了すると、このスクリプトは終了して、レビューステーションスクリプトの固定を解除する。レビューステーション１３１７との相互作用は、一般的に完了する。
【００７５】
この開示の恩恵を受ける当業者によって理解されるように、レビューステーション１３１７によって生成されたデータは、前処理してから使用しなければならない。たとえばＫＬＡレビューステーションなどのレビューステーションは、制御誤差を測定するために制御アルゴリズムを提供する。この具体的な実施例では、誤差測定値の各々は、線１３２０上の処理制御入力信号の１つと直接的に対応する。一般的に、ある量の前処理が完了してはじめて、誤差を利用して処理制御入力信号を修正することが可能になる。
【００７６】
たとえば、前処理は異常値の排除を含んでもよい。異常値の排除は大まかな誤差チェックであって、プロセスの履歴性能と照らし合わせて、受取られたデータを理にかなったものにするためのものである。この手順は、処理誤差の各々を、その対応する予め定められた境界パラメータと比較することを伴う。一実施例では、予め定められた境界のうちの１つが超えられている場合でも、半導体ウェハのロット全体からの誤差データが一般に排除される。
【００７７】
異常値の排除の限界を決定するため、何千もの実際の半導体製造製作データポイントが収集される。このようにして収集されたデータの各誤差パラメータについて、標準偏差が計算される。一実施例では、異常値の排除については、標準偏差の９倍（正および負の両方）が予め定められた領域として一般に選ばれる。これは主に、プロセスの通常の動作条件から大きく外れたポイントだけが排除されるようにするためである。
【００７８】
フィルタリングとしても知られる前処理を行なうことによって、データを平滑化することができる。フィルタリングは重要である。なぜなら、誤差の測定値は、ある量の無作為性の影響を受けるため、誤差の値は基準から大きく外れるからである。レビューステーションのデータをフィルタリングすることは、結果として、処理制御入力信号設定の誤差をより正確に評価することにつながる。一実施例では、処理制御方式は、指数重み付け移動平均（ＥＷＭＡ）フィルタとして知られるフィルタリング手順を利用するが、他のフィルタリング手順もこのコンテクストで使用することができる。
【００７９】
ＥＷＭＡフィルタの一実施例は次の式（１）で表わされる。
ＡＶＧＮ＝Ｗ＊ＭＣ＋（１−Ｗ）＊ＡＶＧＰ　　　　（１）
この場合、
ＡＶＧＮ≡新しいＥＷＭＡ平均
Ｗ≡新しい平均（ＡＶＧＮ）の重み
ＭＣ≡現在の測定値
ＡＶＧＰ≡以前のＥＷＭＡ平均
である。
【００８０】
重みは、調整可能なパラメータであり、フィルタリングの量を調整するために使用することができ、一般にゼロと１との間にある。重みは、現在のデータポイントの精度の信頼性を表わす。測定値が正確であると考えられる場合、重みは１に近くなるはずである。プロセスに大きな量の変動がある場合、ゼロに近い数字が適切である。
【００８１】
一実施例では、ＥＷＭＡフィルタリングプロセスを利用するための技術には、少なくとも２つある。第１の技術は、上述のように、以前の平均、重みおよび現在の測定値を使用する。第１の実現方法を利用する長所には、使用が容易であること、およびデータ記憶が最低限で済むことがある。第１の実現方法を利用する短所には、この方法は一般的にプロセス情報を多く保持しないことがある。さらに、このように計算された以前の平均は、それを超えたすべてのデータポイントから構成されることになり、望ましくない。第２の技術は、データのうちのいくつかだけを保持し、その都度、生データから平均を計算する。
【００８２】
半導体製造製作の製造環境には、いくつかの独特な課題がある。半導体ウェハのロットが処理ツールを通って処理される順序は、半導体ウェハのロットがレビューステーションで読取られる順序に対応しないことがある。このことによって、シーケンス外でＥＷＭＡ平均にデータポイントが追加される可能性がある。半導体ウェハのロットは、２回以上分析してエラーの測定値を検証してもよい。データが保持されていない場合、両方の読取値がＥＷＭＡ平均に寄与するが、これは望ましくない特性である。さらに、制御スレッドの中にはボリュームの小さいものがあり、このため以前の平均が古くなり、処理制御入力信号設定の誤差を正確に表わすことができないことがある。
【００８３】
処理ツールコントローラ１３１５は、この具体的な実施例では、限られた量の記憶されたデータを使用して、ＥＷＭＡフィルタリングされた誤差を計算する。これがすなわち第１の技術である。ロット番号、ロットが処理された時間および複数の誤差推定値を含む、ウェハのロットのデータが制御スレッド名の下でデータ記憶装置１３６０に記憶される。データの新しいセットが収集されると、データのスタックがデータ記憶装置１３６０から検索され、分析される。処理中の現在のロットのロット番号は、スタック内の番号と比較される。そこに存在するデータのいずれかとロット番号が整合する場合、誤差測定値は置換えられる。そうでない場合、データポイントは、ロットが処理された時間に従って、時系列順に現在のスタックに追加される。一実施例では、スタック内の１２８時間より前のデータポイントは除去される。前述のステップが完了すると、新しいフィルタ平均が計算され、データ記憶装置１３６０に記憶される。
【００８４】
このようにデータは、収集され、前処理され、さらに処理されて処理制御入力信号設定の現在の誤差の推定値を生成する。まずデータは、コンパイルされたマットラブ（Ｍａｔｌａｂ）（Ｒ）プラグインに渡され、ここで上述の異常値の排除の基準が遂行される。プラグイン・インターフェイスへの入力は、複数の誤差測定値、および境界値を含む配列である。プラグインインターフェイスからの戻りは、シングルトグル変数である。ゼロでない戻りは、それが排除の基準を満たせなかったことを意味する。そうでない場合、変数はデフォルト値のゼロを戻し、スクリプトは処理を続ける。
【００８５】
異常値の排除が完了した後、データはＥＷＭＡフィルタリング手順に渡される。ロットに関連する制御スレッド名についてのコントローラデータが検索され、すべての関連する動作がロットデータのスタック上で実行される。これは冗長データの置換え、または古いデータの除去を含む。一旦データスタックが適切に準備されると、データスタックは解析されて、誤差の値に対応する昇順に時系列的に整えられた配列にされる。これらの配列は、ＥＷＭＡプラグインの実行に必要なパラメータの配列とともに、ＥＷＭＡプラグインに送られる。一実施例では、プラグインからの戻りは、フィルタリングされた６つの誤差の値を含む。
【００８６】
図１５に戻ると、欄１５２０に示されるように、データの前処理は、処理ツール１３１０変数に特有な加工物１３０５のパラメータを監視および／またはサンプリングすることを含む。既知であって潜在的である特有なパラメータは、特性データパターンによって、または処理制御に対する変更の既知の結果として、識別することができる。たとえば加工物温度および／またはランプ電力、および／またはアニール時間、および／またはプロセスガス温度、および／またはプロセスガス圧、および／またはプロセスガス流量、および／または高周波（ＲＦ）電力、および／またはエッチング時間、および／またはバイアス電圧、および／または堆積時間等についての処理方法制御に入力されるパラメータおよび／または設定値などの、処理制御入力パラメータは、加工物１２０５からの使用可能な半導体素子の有効歩留まりに直接的に影響する。
【００８７】
制御プロセスの次のステップは、処理ツール１３１０の処理ツールコントローラ１３１５についての新しい設定値を計算することである。現在のウェハのロットに対応する制御スレッドについての以前の設定がデータ記憶装置１３６０から検索される。このデータは、処理誤差の現在のセットと対にされる。新しい設定は、コンパイルされたマットラブ（Ｒ）プラグインを呼出すことによって計算される。このアプリケーションは、多数の入力をとり入れ、別の実行構成要素において計算を行ない、多数の出力をメインスクリプトに戻す。一般にマットラブ（Ｒ）プラグインの入力は、処理制御入力信号設定、レビューステーション１３１７誤差、制御アルゴリズムに必要なパラメータの配列、および現在未使用のフラグ誤差である。マットラブ（Ｒ）プラグインの出力は、新しいコントローラ設定であり、これは上述のコントローラアルゴリズムに従ってこのプラグインで計算される。
【００８８】
一般に制御動作の実際の形および程度を決定する、処理プロセスエンジニアまたは制御エンジニアが、パラメータを設定することができる。これらのパラメータには、しきい値、最大ステップ幅、コントローラの重みおよび目標の値が含まれる。一旦新しいパラメータの設定が決定されると、スクリプトはその設定をデータ記憶装置１３６０に記憶して、処理すべき次のウェハのロットについて処理ツール１３１０がそれらを検索できるようにする。この発明によって教示される原理は、他の種類の製造フレームワークでも実現可能である。
【００８９】
再び図１５に戻ると、欄１５３０に示されるように、新しい設定の計算は、適応サンプリング処理モデルを使用して、特有なパラメータをモデル化するステップを含む。このモデル化は、マットラブ（Ｒ）プラグインによって行なうことができる。この具体的な実施例では、既知であって潜在的である特有なパラメータのみがモデル化され、モデルはマシンインターフェイス１４３０によってアクセスされるデータベース１３３５に記憶される。データベース１３３５は、図示のように、ワークステーション１３３０に常駐してもよいし、または高度プロセス制御（ＡＰＣ）フレームワークのどこか他の部分に常駐してもよい。たとえば、代替の実施例では、モデルは、高度プロセス制御（ＡＰＣ）システムマネージャ１４４０によって管理されるデータ記憶装置１３６０に記憶してもよい。モデルは、一般に数学的なモデル、すなわち処理方法制御における変更が処理性能にどのように影響するか等を表わす数式である。上述のさまざまな例示的な実施例で説明され、後に詳しく説明するモデルは、そのようなモデルの例である。
【００９０】
使用される具体的なモデルは、モデル化されている具体的な処理ツール１３１０および具体的な特有なパラメータに依存して、実現例ごとに変化する。モデルにおける関係が線形であるか、または非線形であるかは、関連する具体的なパラメータに依存する。
【００９１】
新しい設定は、処理ツールコントローラ１３１５に伝送され、処理ツールコントローラ１３１５によって適用される。ここで図１５に戻ると、特有なパラメータが一旦モデル化されると、このモデルが適用されて、上で詳しく説明し、欄１５４０に示されるように、少なくとも１つのモデル予測制御（ＭＰＣ）コントローラまたは少なくとも１つの比例積分微分（ＰＩＤ）コントローラを使用して、少なくとも１つの処理方法制御に入力されるパラメータが変更される。この具体的な実施例では、マシンインターフェイス１４３０は、データベース１３３５からモデルを検索し、それぞれの値を代入し、処理方法制御に入力されるパラメータで必要な変更を決定する。この変更は、線１３２０上でマシンインターフェイス１４３０によって設備インターフェイス１４１０に通信される。次に設備インターフェイス１４１０が変化を実現する。
【００９２】
この実施例ではさらにモデルが更新される。図１５の欄１５５０から１５６０に示されるように、これは、処理方法制御に入力されるパラメータの変更の影響の少なくとも１つを監視するステップ（欄１５５０）と、監視された影響に基づいて、適用されるモデルを更新するステップ（欄１５６０）を含む。たとえば、処理ツール１３１０の動作のさまざまな局面は、処理ツール１３１０が古くなるにつれ変化する。特有なパラメータの測定の結果として実現された処理方法変更の影響を監視することによって、必要な値を更新し、最高の性能を得ることができる。
【００９３】
上述のとおり、この具体的な実施例は高度プロセス制御（ＡＰＣ）システムを実現する。このため変更はロット「間」で行なわれる。欄１５２０から１５６０に示される行為は、現在のロットが処理された後であって、かつ第２のロットが処理される前に実行される。これは図１５の欄１５７０に示される。しかしながら、この発明はそのように限定されない。さらに上述のとおり、ロットは、１から数千（または実際にはどのような有限数）までの実行可能などのような数のウェハであってもよい。何をもって「ロット」とするかは実現例ごとに異なり、よって更新が行なわれる製作プロセスのポイントは実現例ごとに異なる。
【００９４】
上述のとおり、この発明のさまざまな例示的な実施例において、適応サンプリング処理モデルを適用して、処理ステップで行なわれる処理を変更することができる。たとえば、適応サンプリング処理モデルは、１つ以上の処理のランの間に、１つ以上のツール変数および／または１つ以上の処理パラメータを監視することによって形成することができる。そのようなツール変数および／または処理パラメータの例は、１つ以上の高温計トレース読取値、１つ以上のランプ電力トレース読取値、１つ以上のチューブ温度トレース読取値、１つ以上の現在の読取値、１つ以上の赤外線（ＩＲ）信号読取値、１つ以上の発光スペクトル読取値、１つ以上のプロセスガス温度読取値、１つ以上のプロセスガス圧読取値、１つ以上のプロセスガス流量読取値、１つ以上のエッチングの深さ、１つ以上のプロセス層の厚み、１つ以上の抵抗性読取値等を含み得る。
【００９５】
数学的には、ｎ個の処理ツール変数および／または処理パラメータ上で測定および／または監視されているｍ個の処理のランのセットは、長方形ｎ×ｍ行列Ｘとして配置することができる。言い換えれば、長方形ｎ×ｍ行列Ｘは、１からｎ個の行（各行は別々の処理ツール変数または処理パラメータに対応する）を含み、１からｍ個の列（各列は別々の処理のランに対応する）を含む。長方形ｎ×ｍ行列Ｘの値は、処理ツール変数および／または処理パラメータの、実際に測定された値であってもよいし、および／または（それぞれの参照設定値に対して正規化された）実際に測定された値の比、またはそのような比の対数であってもよい。長方形ｎ×ｍ行列Ｘは、階数ｒを有してもよく、この場合、ｒ≦ｍｉｎ｛ｍ，ｎ｝が行列Ｘの独立変数の最大の数である。長方形ｎ×ｍ行列Ｘは、たとえば主成分分析（ＰＣＡ）を使用して分析することができる。たとえばＰＣＡを使用することによって、主成分Ｐ（その「ローディング」または構成要素がさまざまな処理ツール変数および／または処理パラメータの寄与レートを表わす）のセットが、方程式（（Ｘ−Ｍ）（Ｘ−Ｍ）Ｔ）Ｐ＝Λ２Ｐの固有行列（その列が固有ベクトルである行列）として生成される。
【００９６】
【数５】
2004509407.tif 000007
【００９７】
他にも方法は存在するが、主成分を計算するための４つの方法は、以下のとおりである。
【００９８】
１．固有分析（ＥＩＧ）
２．特異値分割（ＳＶＤ）
３．非線形反復部分最小自乗（ＮＩＰＡＬＳ）
４．累乗法
最初の２つの方法、すなわちＥＩＧおよびＳＶＤのそれぞれは、可能性のある主成分のすべてを同時に計算し、ＮＩＰＡＬＳ法では、１回に１つの主成分の計算をすることが可能である。しかしながら、後に詳しくする累乗法は、固有値および固有ベクトルを見つけるための反復的なアプローチであり，１回に１つの主成分を計算することができる。チャンネル（または可変の値）の数と同じ数の主成分がある。累乗法は効率よく計算時間を使用することができる。たとえば、３×２行列Ａ、その転置行列である２×３行列ＡＴ、それらの２×２行列積ＡＴＡ、および３×３行列積ＡＡＴを考えると、
【００９９】
【数６】
2004509407.tif 000008
【０１００】
となる。
ＥＩＧによって、行列積ＡＴＡの固有値λは、３と２であることがわかる。行列積ＡＴＡの固有ベクトルは、方程式（ＡＴＡ）ｔ＝λｔの解ｔであり、検査によって、ｔ１Ｔ＝（１，０）およびｔ２Ｔ＝（０，１）であり、それぞれ固有値λ１＝３およびλ２＝２に属することがわかる。
【０１０１】
たとえば累乗法を使用して、行列積ＡＡＴの固有値λおよび固有ベクトルｐを決定することができる。この場合、固有値λおよび固有ベクトルｐは、方程式（ＡＡＴ）ｐ＝λｐの解ｐである。試験的な固有ベクトルｐＴ＝（１，１，１）を使用すると次のようになる。
【０１０２】
【数７】
2004509407.tif 000009
【０１０３】
これは、試験的な固有ベクトルｐＴ＝（１，１，１）が、固有値λ１＝３に属する固有ベクトルｐ１Ｔ＝（１，１，１）に偶然対応することを示す。累乗法は、次に行列積ＡＡＴから外積行列ｐ１ｐ１Ｔを減ずることによって先に進み、残差行列Ｒ１を形成する。残差行列Ｒ１は以下のように表される。
【０１０４】
【数８】
2004509407.tif 000010
【０１０５】
別の試験的な固有ベクトルｐＴ＝（１，０，−１）を使用すると以下のようになる。
【０１０６】
【数９】
2004509407.tif 000011
【０１０７】
これは、試験的な固有ベクトルｐＴ＝（１，０，−１）が、固有値λ２＝２に属する固有ベクトルｐ２Ｔ＝（１，０，−１）に偶然対応することを示す。累乗法は、次に残差行列Ｒ１から外積行列ｐ２ｐ２Ｔを減ずることによって先に進み、第２の残差行列Ｒ２を形成する。第２の残差行列Ｒ２は以下のように表される。
【０１０８】
【数１０】
2004509407.tif 000012
【０１０９】
第２の残差行列Ｒ２がゼロになるという事実は、固有値λ３＝０であり、固有ベクトルｐ３が完全に任意であることを示す。固有ベクトルｐ３は、固有ベクトルｐ１Ｔ＝（１，１，１）およびｐ２Ｔ＝（１，０，−１）に直交するように都合よく選ぶことができる。すると固有ベクトルｐ３Ｔ＝（１，−２，１）となる。以下のことは簡単に検証することができる。
【０１１０】
【数１１】
2004509407.tif 000013
【０１１１】
同様に、ＡのＳＶＤは、Ａ＝ＰＴＴであることを示し、この場合、Ｐは主成分行列であり、Ｔはスコア行列である。これは以下のように表される。
【０１１２】
【数１２】
2004509407.tif 000014
【０１１３】
ＳＶＤによって、Ａの特異値が√３および√２であり、つまり行列積ＡＴＡの固有値λ１＝３およびλ２＝２の正の平方根であることが確認される。主成分行列Ｐの列は、行列積ＡＡＴの正規直交化された固有ベクトルであることに注目されたい。
【０１１４】
同様に、ＡＴのＳＶＤは、ＡＴ＝ＴＰＴであることを示す。これは以下のように表される。
【０１１５】
【数１３】
2004509407.tif 000015
【０１１６】
ＳＶＤによって、ＡＴの（ゼロでない）特異値は√３および√２であり、つまり、行列積ＡＡＴの固有値λ１＝３およびλ２＝２の正の平方根であることが確認される。主成分行列Ｐの列（主成分行列ＰＴの行）は、行列積ＡＡＴの正規直交化された固有ベクトルであることに注目されたい。スコア行列Ｔのゼロでない要素は、行列積ＡＴＡおよびＡＡＴの両方の（ゼロでない）固有値λ１＝３およびλ２＝２の正の平方根√３および√２であることにも注目されたい。
【０１１７】
別の例として、４×３行列Ｂ、その転置行列３×４行列ＢＴ、それらの３×３行列積ＢＴＢおよび４×４行列積ＢＢＴを考えると、以下のようになる。
【０１１８】
【数１４】
2004509407.tif 000016
【０１１９】
ＥＩＧによって、行列積ＢＴＢの固有値は、４、２および２であることがわかる。行列積ＢＴＢの固有ベクトルは、方程式（ＢＴＢ）ｔ＝λｔの解ｔであり、検査によって、ｔ１Ｔ＝（１，０，０）、ｔ２Ｔ＝（０，１，０）およびｔ３Ｔ＝（０，０，１）であり、固有値λ１＝４、λ２＝２およびλ３＝２にそれぞれ属することがわかる。
【０１２０】
たとえば累乗法を使用して、行列積ＢＢＴの固有値λおよび固有ベクトルｐを決定することができる。この場合、固有値λおよび固有ベクトルｐは、方程式（ＢＢＴ）ｐ＝λｐの解ｐである。試験的な固有ベクトルｐＴ＝（１，１，１，１）を使用すると以下のようになる。
【０１２１】
【数１５】
2004509407.tif 000017
【０１２２】
これは、試験的な固有ベクトルｐＴ＝（１，１，１，１）が、固有値λ１＝４に属する固有ベクトルｐ１Ｔ＝（１，１，１，１）に偶然対応することを示す。累乗法は、次に行列積ＢＢＴから外積行列ｐ１ｐ１Ｔを減ずることによって先に進み、残差行列Ｒ１を形成する。残差行列Ｒ１は以下のように表される。
【０１２３】
【数１６】
2004509407.tif 000018
【０１２４】
別の試験的な固有ベクトルｐＴ＝（１，０，０，−１）を使用すると以下のようになる。
【０１２５】
【数１７】
2004509407.tif 000019
【０１２６】
これは、試験的な固有ベクトルｐＴ＝（１，０，０，−１）が、固有値λ２＝２に属する固有ベクトルｐ２Ｔ＝（１，０，０，−１）に偶然対応することを示す。累乗法は、次に残差行列Ｒ１から外積行列ｐ２ｐ２Ｔを減ずることによって先に進み、第２の残差行列Ｒ２を形成する。第２の残差行列Ｒ２は以下のように表される。
【０１２７】
【数１８】
2004509407.tif 000020
【０１２８】
別の試験的な固有ベクトルｐＴ＝（０，１，−１，０）を使用すると以下のようになる。
【０１２９】
【数１９】
2004509407.tif 000021
【０１３０】
これは、試験的な固有ベクトルｐＴ＝（０，１，−１，０）が、固有値λ３＝２に属する固有ベクトルｐ３Ｔ＝（０，１，−１，０）に偶然対応することを示す。累乗法は次に、残差行列Ｒ２から外積行列ｐ３ｐ３Ｔを減ずることによって先に進み、第３の残差行列Ｒ３を形成する。第３の残差行列Ｒ３は以下のように表される。
【０１３１】
【数２０】
2004509407.tif 000022
【０１３２】
第３の残差行列Ｒ３がゼロになるという事実は、固有値λ４＝０であり、固有ベクトルｐ４が完全に任意であることを示す。固有ベクトルｐ４は、固有ベクトルｐ１Ｔ＝（１，１，１，１）、ｐ２Ｔ＝（１，０，０，−１）およびｐ３Ｔ＝（０，１，−１，０）に直交するように都合よく選ぶことができる。すると固有ベクトルｐ４Ｔ＝（１，−１，−１，１）になる。以下のことは容易に検証することができる。
【０１３３】
【数２１】
2004509407.tif 000023
【０１３４】
この場合、固有値λ２＝２およびλ３＝２は等しく、よって退化するため、退化固有値λ２＝２＝λ３に属する固有ベクトルｐ２Ｔ＝（１，０，０，−１）およびｐ３Ｔ＝（０，１，−１，０）は、正規直交するように都合よく選ぶことができる。たとえば、グラム・シュミット（Ｇｒａｍ−Ｓｃｈｍｉｄｔ）の正規直交化法を使用することができる。
【０１３５】
同様に、ＢのＳＶＤは、Ｂ＝ＰＴＴであることを示し、この場合、Ｐは主成分行列であり、Ｔはスコア行列である。これは以下のように表される。
【０１３６】
【数２２】
2004509407.tif 000024
【０１３７】
ＳＶＤによって、Ｂの特異値は、２、√２および√２であり、つまり行列積ＢＴＢの固有値λ１＝４、λ２＝２およびλ３＝２の正の平方根であることが確認される。
【０１３８】
同様にＢＴのＳＶＤは、以下のことを示す。
【０１３９】
【数２３】
2004509407.tif 000025
【０１４０】
ＳＶＤによって、ＢＴの（ゼロでない）特異値は、２と√２と√２であり、行列積ＡＡＴの固有値λ１＝４、λ２＝２およびλ３＝２の正の平方根であることが確認される。主成分行列Ｐの列（主成分行列ＰＴの行）は、行列積ＢＢＴの正規直交化された固有ベクトルであることに注目されたい。スコア行列Ｔのゼロでない要素は、行列積ＢＴＢおよびＢＢＴの両方の（ゼロでない）固有値λ１＝４、λ２＝２およびλ３＝２の正の平方根、つまり２、√２および√２であることにも注目されたい。
【０１４１】
上述の行列ＡおよびＢは、ＰＣＡおよび累乗法を単純化して表わすために使用したものであり、この発明の例示的な実施例で遭遇するデータ行列よりははるかに小さい。たとえば、さまざまな例示的な実施例において、ｎ＝１０〜６０個の処理ツール変数および／または処理パラメータ上で、ｍ＝約１００〜６００個の処理のランが測定および／または監視されることがある。ｎ＝１０〜６０の変数にわたりすべてのｍ＝１００〜６００のランを回帰する強引なモデル化は、回帰に関し不利な条件の問題を構成し得る。たとえば、ＰＣＡおよび／または部分最小自乗（ＰＬＳ、潜在構造への射影としても知られる）技術は、このような場合、減少する変動性のレベルに基づいて、データの階層的な順序付けを明らかにすることによって複雑さを減少させる。ＰＣＡでは、これは連続する主成分を見つけることを伴う。ＮＩＰＡＬＳなどのＰＬＳ技術では、これは連続的に潜在するベクトルを見つけることを伴う。
【０１４２】
図１６に示すように、データポイント１６１０の散布図１６００がｎ次元変数空間（図１６ではｎ＝３）に記入され得る。平均ベクトル１６２０はｐ次元の主成分楕円１６３０（図１６ではｐ＝２）の中心にあり得る。平均ベクトル１６２０は、全体のデータ行列Ｘの列の平均をとることで求められ得る。主成分楕円１６３０は、平均値で調整されたデータ行列Ｘ−Ｍの最大固有値に長さが等しい、第１の主成分１６４０（図１６の長軸）と、平均値で調整されたデータ行列Ｘ−Ｍの次に大きい固有値に長さが等しい、第２の主成分１６５０（図１６の短軸）とを有し得る。
【０１４３】
たとえば上記の３×４行列ＢＴを、（やはり明瞭にするために）３つの変数にわたる４つのランに対応する全体のデータ行列Ｘとみなすことができる。図１７に示すように、データポイント１７１０の散布図１７００が三次元変数空間に記入され得る。平均ベクトル１７２０μは、二次元の主成分楕円１７３０（実際は円、退化した楕円）の中心にあり得る。平均ベクトル１７２０μは、全体の３×４データ行列ＢＴの列の平均をとることで求められ得る。主成分楕円１７３０は、第１の主成分１７４０（図１７の「長」軸）と、第２の主成分１７５０（図１７の「短」軸）とを有し得る。ここで、平均値で調整されたデータ行列ＢＴ−Ｍの固有値は等しく、退化しているため、図１７の「長」軸と「短」軸との長さは等しい。図１７に示すように、平均ベクトル１７２０μは
【０１４４】
【数２４】
2004509407.tif 000026
【０１４５】
で与えられ、行列Ｍは４列すべてにつき平均ベクトル１７２０μを有する。
主成分分析（ＰＣＡ）は幾何学的に例示され得る。たとえば、（上述の３×２行列Ａに類似の）３×２行列Ｃ
【０１４６】
【数２５】
2004509407.tif 000027
【０１４７】
は、（やはり明瞭にするために）３つの変数にわたる２つのランに対応する全体のデータ行列Ｘとみなされ得る。図１８に示すように、座標（１，１，１）および（−１，０，１）をそれぞれ有するデータポイント１８１０および１８２０の散布図１８００を三次元変数空間に記入することができ、ここで変数は、３つの変数のうち各々についてそれぞれの短時間熱処理ツールおよび／またはパラメータ値である。平均ベクトル１８３０は、一次元の主成分楕円１８４０（実際は線、極めて退化した楕円）の中心にあり得る。平均ベクトル１８３０μは、全体の３×２データ行列Ｃの列の平均をとることで求められ得る。主成分楕円１８４０は第１の主成分１８５０（図１８の「長」軸、第１の主成分軸１８６０に沿った長さ√５を有する）を有し得るが、それぞれ第２または第３の主成分軸１８７０および１８８０に沿った第２または第３の主成分を有さない。ここで、平均値で調整されたデータ行列Ｃ−Ｍの固有値のうち２つはゼロと等しいため、図１８の「短」軸の長さは両方ともゼロと等しい。図１８に示すように、平均ベクトル１８３０μは
【０１４８】
【数２６】
2004509407.tif 000028
【０１４９】
で与えられ、行列Ｍは両方の列につき平均ベクトル１８３０μを有する。図１８に示すように、ＰＣＡは平均ベクトル１８３０μの端点のまわりの元の変数軸（ここでは、３つの変数の各々についてそれぞれの短時間熱処理ツールおよび／またはパラメータ値）の主軸回転以上のものではなく、ここで座標（０，１／２，１）は元の座標軸についてのものであり、座標［０，０，０］は新たな主成分軸１８６０、１８７０および１８８０についてのものである。ローディングは単に、元の変数軸に関する新たな主成分軸１８６０、１８７０および１８８０の方向余弦である。スコアは単に、新たな主成分軸１８６０、１８７０および１８８０に関するデータポイント１８１０および１８２０の座標、それぞれ［５０．５／２，０，０］および［−５０．５／２，０，０］である。
【０１５０】
【数２７】
2004509407.tif 000029
【０１５１】
【数２８】
2004509407.tif 000030
【０１５２】
たとえば累乗法を用いて、行列積（Ｃ−Ｍ）（Ｃ−Ｍ）Ｔの固有ベクトルｐおよび固有値λを求めることができ、ここで固有値λおよび固有ベクトルｐは、式（（Ｃ−Ｍ）（Ｃ−Ｍ）Ｔ）ｐ＝λｐの解ｐである。試行固有ベクトルｐＴ＝（１，１，１）を用いると、
【０１５３】
【数２９】
2004509407.tif 000031
【０１５４】
となり得る。これにより、試行固有ベクトルｐＴ＝（１，１，１）を、改良された試行固有ベクトルｑＴ＝（１，１／２，０）と取り替えることができ、これが固有値λ１＝５／２に属する固有ベクトルｐ１Ｔ＝（１，１／２，０）に偶然対応していることが示される。累乗法を続けて、行列積（Ｃ−Ｍ）（Ｃ−Ｍ）Ｔから外積行列ｐ１ｐ１Ｔを減じ、こうして残差行列Ｒ１がもたらされる。
【０１５５】
【数３０】
2004509407.tif 000032
【０１５６】
固有ベクトルｐ１Ｔ＝（１，１／２，０）と直交する別の試行固有ベクトルｐＴ＝（−１，２，０）を用いると、
【０１５７】
【数３１】
2004509407.tif 000033
【０１５８】
となり得る。これにより、固有値λ２＝０に属する固有ベクトルｐ２Ｔ＝（−１，２，０）に試行固有ベクトルｐＴ＝（−１，２，０）が偶然対応することが示される。累乗法を続けて、残差行列Ｒ１から外積行列ｐ２ｐ２Ｔを減じることで第２の残差行列Ｒ２がもたらされる。
【０１５９】
【数３２】
2004509407.tif 000034
【０１６０】
固有ベクトルｐ１Ｔ＝（１，１／２，０）およびｐ２Ｔ＝（−１，２，０）と直交する別の試行固有ベクトルｐＴ＝（０，０，１）を用いると、
【０１６１】
【数３３】
2004509407.tif 000035
【０１６２】
となり得る。これにより、固有値λ３＝０に属する固有ベクトルｐ３Ｔ＝（０，０，１）に試行固有ベクトルｐＴ＝（０，０，１）が偶然対応することが示される。実際に、以下の式を容易に検証することができるだろう。
【０１６３】
【数３４】
2004509407.tif 000036
【０１６４】
同様に、Ｃ−ＭのＳＶＤはＣ−Ｍ＝ＰＴＴを示し、ここでＰは主成分行列（その列はｐ１、ｐ２およびｐ３と比例する正規直交化された固有ベクトルであり、その要素はローディング、すなわち、元の変数軸に関する新たな主成分軸１８６０、１８７０および１８８０の方向余弦）であり、Ｔはスコア行列（その行は、新たな主成分軸１８６０、１８７０および１８８０に関するデータポイント１８１０および１８２０の座標）である。
【０１６５】
【数３５】
2004509407.tif 000037
【０１６６】
スコア行列の転置行列（ＴＴ）は、Ｃ−Ｍの固有値の行列と、行列であって、その行が、ｔ１およびｔ２に比例する正規直交化された固有ベクトルである、行列との積で与えられる。図１８に示すように、変数１値軸に関する第１の主成分軸１８６０の方向余弦（ローディング）はｃｏｓΘ１１＝２／√５で与えられ、変数２値軸に関する第１の主成分軸１８６０の方向余弦（ローディング）はｃｏｓΘ２１＝１／√５で与えられる。同様に、変数３値軸に関する第１の主成分軸１８６０の方向余弦（ローディング）はｃｏｓΘ３１＝ｃｏｓ（π／２）＝０で与えられる。同様に、変数１値軸に関する第２の主成分軸１８７０の方向余弦（ローディング）はｃｏｓΘ１２＝−１／√５で与えられ、変数２値軸に関する第２の主成分軸１８７０の方向余弦（ローディング）はｃｏｓΘ２２＝２／√５で与えられ、変数３値軸に関する第２の主成分軸１８７０の方向余弦（ローディング）はｃｏｓΘ３２＝ｃｏｓ（π／２）＝０で与えられる。最後に、変数１値軸に関する第３の主成分軸１８８０の方向余弦（ローディング）はｃｏｓΘ１３＝ｃｏｓ（π／２）＝０で与えられ、変数２値軸に関する第３の主成分軸１８８０の方向余弦（ローディング）はｃｏｓΘ２３＝ｃｏｓ（π／２）＝０で与えられ、変数３値軸に関する第３の主成分軸１８８０の方向余弦（ローディング）はｃｏｓΘ３３＝ｃｏｓ（０）＝１で与えられる。
【０１６７】
ＳＶＤは、Ｃ−Ｍの特異値が√５／√２および０であること、すなわち行列積（Ｃ−Ｍ）Ｔ（Ｃ−Ｍ）の固有値λ１＝５／２およびλ２＝０の負でない平方根であることを裏付ける。主成分行列Ｐの列は行列積（Ｃ−Ｍ）（Ｃ−Ｍ）Ｔの正規直交化された固有ベクトルであることに注目されたい。
【０１６８】
別の例として、（上述の３×４行列ＢＴと同一の）３×４行列Ｄ
【０１６９】
【数３６】
2004509407.tif 000038
【０１７０】
を、（やはり明瞭にするために）３つの変数にわたる４つのランに対応する全体のデータ行列Ｘとみなすことができる。図１９に示すように、それぞれ座標（１，１，０）、（１，０，１）、（１，０，−１）および（１，−１，０）のデータポイントの散布図１９００を三次元変数空間に記入することができ、ここで変数は、３つの変数のうち各々についてそれぞれの短時間熱処理ツールおよび／またはパラメータ値である。平均ベクトル１９２０μは、二次元の主成分楕円１９３０（実際は円、いくらか退化した楕円）の中心にあり得る。平均ベクトル１９２０μは、全体の３×４データ行列Ｄの列の平均をとることで求められ得る。主成分楕円１９３０は、第１の主成分１９４０（図１９の「長」軸、第１の主成分軸１９５０に沿った長さ２を有する）と、第２の主成分１９６０（図１９の「短」軸、第２の主成分軸１９７０に沿った長さ２をやはり有する）とを有し得るが、第３の主成分軸１９８０に沿った第３の主成分はない。ここで、平均値で調整されたデータ行列Ｄ−Ｍの固有値は等しいため、図１９の主成分楕円１９３０の「長」軸と「短」軸との長さはともに等しく、残りの固有値はゼロと等しいため、図１９の主成分楕円１９３０の別の「短」軸の長さはゼロと等しい。図１９に示すように、平均ベクトル１９２０μは
【０１７１】
【数３７】
2004509407.tif 000039
【０１７２】
で与えられ、行列Ｍは４列すべてにつき平均ベクトル１９２０μを有する。図１９に示すように、ＰＣＡは平均ベクトル１９２０μの端点のまわりの元の変数軸（ここでは、３つの変数の各々についてそれぞれの短時間熱処理ツールおよび／またはパラメータ値）の主軸回転以上のものではなく、ここで座標（１，０，０）は元の座標軸についてのものであり、座標［０，０，０］は新たな主成分軸１９５０、１９７０および１９８０についてのものである。ローディングは単に、元の変数軸に関する新たな主成分軸１９５０、１９７０および１９８０の方向余弦である。スコアは単に、新たな主成分軸１９５０、１９７０および１９８０に関するデータポイントの座標、それぞれ［１，０，０］、［０，１，０］、［０，−１，０］および［−１，０，０］である。
【０１７３】
【数３８】
2004509407.tif 000040
【０１７４】
ＥＩＧは、行列積（Ｄ−Ｍ）（Ｄ−Ｍ）Ｔの固有値が０、２および２であることを明らかにする。行列積（Ｄ−Ｍ）（Ｄ−Ｍ）Ｔの固有ベクトルは式（（Ｄ−Ｍ）（Ｄ−Ｍ）Ｔ）ｐ＝λｐの解ｐであり、検査によりそれぞれ（最大の固有値を最初に置く慣行に従い）固有値λ１＝２、λ２＝２およびλ３＝０に属するｐ１Ｔ＝（０，１，０）、ｐ２Ｔ＝（０，０，１）およびｐ３Ｔ＝（１，０，０）であるとみなされ得る。
【０１７５】
図１９で見ることができるように、変数１値軸に関する第１の主成分軸１９５０の方向余弦（ローディング）はｃｏｓΘ１１＝ｃｏｓ（π／２）＝０で与えられ、変数２値軸に関する第１の主成分軸１９７０の方向余弦（ローディング）はｃｏｓΘ２１＝ｃｏｓ（０）＝１で与えられ、変数３値軸に関する第１の主成分軸１０６０の方向余弦（ローディング）はｃｏｓΘ３１＝ｃｏｓ（π／２）＝０で与えられる。同様に、変数１値軸に関する第２の主成分軸１９７０の方向余弦（ローディング）はｃｏｓΘ１２＝ｃｏｓ（π／２）＝０で与えられ、変数２値軸に関する第２の主成分軸１９７０の方向余弦（ローディング）はｃｏｓΘ２２＝ｃｏｓ（π／２）＝０で与えられ、変数３値軸に関する第２の主成分軸１９７０の方向余弦（ローディング）はｃｏｓΘ３２＝ｃｏｓ（０）＝１で与えられる。最後に、変数１値軸に関する第３の主成分軸１９８０の方向余弦（ローディング）はｃｏｓΘ１３＝ｃｏｓ（０）＝１で与えられ、変数２値軸に関する第３の主成分軸１９８０の方向余弦（ローディング）はｃｏｓΘ２３＝ｃｏｓ（π／２）＝０で与えられ、変数３値軸に関する第３の主成分軸１９８０の方向余弦（ローディング）はｃｏｓΘ３３＝ｃｏｓ（π／２）＝０で与えられる。
【０１７６】
スコア行列の転置行列ＴＴは、単に左にある平均値で調整されたデータを、主成分行列Ｐの転置行列で乗じることで得ることができ、この行列Ｐの列はｐ１ｐ２ｐ３、すなわち行列積（Ｄ−Ｍ）（Ｄ−Ｍ）Ｔの正規直交化された固有ベクトルである。
【０１７７】
【数３９】
2004509407.tif 000041
【０１７８】
スコア行列の転置行列ＴＴの列（または等価にスコア行列Ｔの行）は実際、新たな主成分軸１９５０、１９７０および１９８０に関するデータポイントの座標、それぞれ［１，０，０］、［０，１，０］、［０，−１，０］および［−１，０，０］である。
【０１７９】
上述の行列ＣおよびＤは、ＰＣＡおよび累乗法の呈示を単純化するために用いられており、この発明を例示する実施例で遭遇するデータ行列よりもはるかに小さい。たとえばさまざまな実施例で、およそｍ＝１００〜６００の処理のランが、ｎ＝１０〜６０の処理ツール変数および／または処理パラメータにわたり測定および／または監視され得る。ｎ＝１０〜６０の変数にわたりすべてのｍ＝１００〜６００のランを回帰する力ずくのモデル化は、回帰に関し不利な条件の問題を構成し得る。ＰＣＡおよび／または部分最小自乗（ＰＬＳ、潜在構造への射影としても知られる）などの技術は、このような場合に、減少する変動性のレベルに基づきデータの階層的順序付けを明らかにすることで複雑さを減少させる。ＰＣＡでは、これは逐次主成分を見つけることに関する。ＮＩＰＡＬＳなどのＰＬＳ技術では、これは逐次潜在ベクトルを見つけることに関する。さまざまな実施例において、ｎ＝１０〜６０の処理ツール変数および／または処理パラメータにわたり測定および／または監視された、およそｍ＝１００〜６００の処理のラン中のツールおよび／またはセンサのドリフトは、ｎ次元空間（ｎ＝１０〜６０の変数を表わす）を通じて、およそｍ＝１００〜６００のポイント（ｍ＝１００〜６００の処理のランを表わす）の動的な流れの等価の問題に写像され得る。ＰＣＡを用いてたとえば、処理ツール変数および／または処理パラメータに対し行なわれるのに適当な多次元「回転」を示して、それぞれの設定値からのツールおよび／またはセンサのドリフトを補償することにより、短時間熱処理を修正することができる。
【０１８０】
さまざまな例示の代替実施例で、これに代わるやり方で適応サンプリング処理モデルを構築することができる。このような適応サンプリング処理モデルはまた、１つ以上の処理のラン中における１つ以上のツール変数および／または１つ以上の処理変数を監視することで構成され得る。このようなツール変数および／または処理パラメータの例は、１つ以上の高温計トレース読取値、１つ以上のランプ電力トレース読取値、１つ以上のチューブ温度トレース読取値、１つ以上の電力読取値、１つ以上の赤外線（ＩＲ）信号読取値、１つ以上の発光スペクトル読取値、１つ以上のプロセスのガス温度読取値、１つ以上のプロセスのガス圧読取値、１つ以上のプロセスのガス流量読取値、１つ以上のエッチング深さ、１つ以上のプロセス層厚み、および１つ以上の抵抗性読取値などを含み得る。これらさまざまな代替実施例で、適応サンプリング処理モデルの構築は、多項式曲線あてはめ、最小自乗あてはめ、多項式最小自乗あてはめ、非多項式最小自乗あてはめ、重み付け最小自乗あてはめ、重み付け多項式最小自乗あてはめ、および重み付け非多項式最小自乗あてはめのうち少なくとも１つを用いて、収集された処理データをあてはめることを含み得るが、これは上述の部分最小自乗（ＰＬＳ）および／または主成分分析（ＰＣＡ）に加えて、またはこれらの代わりに行なわれ得る。
【０１８１】
さまざまな例示の実施例で、Ｎ＋１のデータポイント（ｘｉ，ｙｉ）についてサンプルを収集でき、ここでｉ＝１，２，…，Ｎ，Ｎ＋１であり、次数Ｎの多項式
【０１８２】
【数４０】
2004509407.tif 000042
【０１８３】
はＮ＋１のデータポイント（ｘｉ，ｙｉ）に適合され得る。たとえば処理ステップ中の高温計トレース読取値ｐ、ランプ電力トレース読取値ｆおよび／またはチューブ温度トレース読取値Ｔを、処理ステップから出てくる加工物の有効歩留まりに関連付けることで、１００回のデータポイント（Ｎ＝９９）をとることができ、この結果Ｎ＋１のデータポイント（ｐｉ，ｔｉ）、（ｆｉ，ｔｉ）および／または（Ｔｉ，ｔｉ）のそれぞれの組が得られる。これら値はたとえば、処理ツール変数および／または処理パラメータの実測値、または（それぞれの基準設定値に正規化された）実測値の比、またはこのような比の対数であり得る。多項式補間は、たとえばＲ．Ｗ．ハミング（Ｒ． Ｗ． Ｈａｍｍｉｎｇ）による「科学者および技術者のための数値的方法（Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ Ｓｃｉｅｎｔｉｓｔｓ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｓ）」、ドーバ・パブリケーションズ（Ｄｏｖｅｒ Ｐｕｂｌｉｃａｔｉｏｎｓ）、ニューヨーク（Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ）、１９８６年、２３０〜２３５頁に記載されている。多項式ＰＮ（ｘ）がＮ＋１のデータポイント（ｘｉ，ｙｉ）を通過する要件は、Ｎ＋１個の条件の集まりである、ｉ＝１，２，…，Ｎ，Ｎ＋１について
【０１８４】
【数４１】
2004509407.tif 000043
【０１８５】
である。これらＮ＋１個の条件は次にｋ＝０，１，…，ＮについてＮ＋１の係数ａｋを完全に決定する。
【０１８６】
未知の係数ａｋの係数の行列式は、バンデルモンド（Ｖａｎｄｅｒｍｏｎｄｅ）の行列式
【０１８７】
【数４２】
2004509407.tif 000044
【０１８８】
であり、ここでｉ＝１，２，…，Ｎ＋１であり、ｋ＝０，１，…，Ｎである。変数ｘｉの関数ＶＮ＋１＝ＶＮ＋１（ｘ１，ｘ２，…，ｘＮ，ｘＮ＋１）として考えられるバンデルモンドの行列式ＶＮ＋１は明らかに、行列式の展開で見ることができるように変数ｘｉでの多項式であり、指数のカウントは、多項式の次数が
【０１８９】
【数４３】
2004509407.tif 000045
【０１９０】
である（たとえばバンデルモンドの行列式ＶＮ＋１の対角項は１・ｘ２・ｘ３２…ｘＮＮ−１・ｘＮ＋１Ｎである）ことを示す。
【０１９１】
ここで、ｊ＝１，２，…，Ｎの場合にｘＮ＋１＝ｘｊであれば、バンデルモンドの行列式ＶＮ＋１＝０であるが、それは、２つの同一の行を有する行列式はいずれもゼロになり、こうしてバンデルモンドの行列式ＶＮ＋１は、ｊ＝１，２，…，Ｎで因子（ｘＮ＋１−ｘｊ）を有することになり、これはＮ因子
【０１９２】
【数４４】
2004509407.tif 000046
【０１９３】
を表わすが、それは、たとえばｍ＝Ｎ＋１であればｊはＮの値のうちいずれをとってもよく、すなわちｊ＝１，２，…，Ｎであり、ｍ＝ＮであればｊはＮ−１の値のうちいずれをとってもよく、すなわちｊ＝１，２，…，Ｎ−１、などとなるからである（たとえばｍ＝３であればｊはただ２つの値をとることができ、すなわちｊ＝１，２となり、ｍ＝２であればｊはただ１つの値をとることができ、すなわちｊ＝１となる）。このことは、すべての因子が勘案されており、残るは、乗算定数であって、それによってバンデルモンドの行列式ＶＮ＋１についてのこれら２つの表現が異なり得る、乗算定数を見つけるだけであることを意味する。上述のように、バンデルモンドの行列式ＶＮ＋１の対角項は１・ｘ２・ｘ３２…ｘＮＮ−１・ｘＮ＋１Ｎであり、これは因子の積
【０１９４】
【数４５】
2004509407.tif 000047
【０１９５】
の左辺からの項ｘＮ＋１Ｎ・ｘＮＮ−１…ｘ３２・ｘ２と比較可能であり、これは同一であるため、乗算定数は１（ｕｎｉｔｙ）であり、バンデルモンドの行列式ＶＮ＋１は
【０１９６】
【数４６】
2004509407.tif 000048
【０１９７】
である。
バンデルモンドの行列式ＶＮ＋１の因数分解は、ｉ≠ｊの場合ｘｉ≠ｘｊであれば、バンデルモンドの行列式ＶＮ＋１はゼロであり得ないことを示し、このことは、未知の係数ａｋについて解くことが常に可能であることを意味するが、それはバンデルモンドの行列式ＶＮ＋１が未知の係数ａｋの係数の行列式であるからである。たとえば行列式を用い未知の係数ａｋについて解き、結果を次数Ｎの多項式
【０１９８】
【数４７】
2004509407.tif 000049
【０１９９】
に代入し、好適に再配列することにより、行列式
【０２００】
【数４８】
2004509407.tif 000050
【０２０１】
が与えられ、これは多項式の適合に対する解である。これは以下のように直接に見ることができる。この行列式を最上行の要素で展開すると、これは明らかに次数Ｎの多項式である。この行列式を最上行の要素で展開した際の第１行の要素ｙの係数は、バンデルモンドの行列式ＶＮ＋１に他ならない。換言すると、第１行の要素ｙの余因子はバンデルモンドの行列式ＶＮ＋１である。実際、ｎ＝２，…，Ｎ＋２の場合での第１行の第ｎの要素の余因子は、バンデルモンドの行列式ＶＮ＋１での
【０２０２】
【数４９】
2004509407.tif 000051
【０２０３】
である多項式の展開における係数ａｎ−２の積である。さらに、ｉ＝１，２，…，Ｎ，Ｎ＋１でｘおよびｙがサンプル値ｘｉおよびｙｉのうちいずれかをとれば、行列式の２行は同じになり、こうして行列式はゼロになることになる。よって、ｉ＝１，２，…，Ｎ，Ｎ＋１について、多項式ｙ＝ＰＮ（ｘ）がＮ＋１のデータポイント（ｘｉ，ｙｉ）を通過、すなわち
【０２０４】
【数５０】
2004509407.tif 000052
【０２０５】
となる要件が満たされる。
たとえば、サンプルデータの集合（−１，ａ）、（０，ｂ）および（１，ｃ）を通過する二次曲線を見つけることができる。３つの式はＰ２（−１）＝ａ＝ａ０−ａ１＋ａ２、ｐ２（０）＝ｂ＝ａ０、およびｐ２（１）＝ｃ＝ａ０＋ａ１＋ａ２であり、これらは、ｂ＝ａ０、ｃ−ａ＝２ａ１、およびｃ＋ａ−２ｂ＝２ａ２であることを意味し、よって
【０２０６】
【数５１】
2004509407.tif 000053
【０２０７】
を展開した結果であり、ここでｙの係数はそれぞれのバンデルモンドの行列式Ｖ３＝２である。
【０２０８】
同様に、サンプルデータの集合（−２，ａ）、（−１，ｂ）、（０，ｃ）、（１，ｂ）、および（２，ａ）を通過する四次曲線を見つけることができる。５つの式は、Ｐ４（−２）＝ａ＝ａ０−２ａ１＋４ａ２−８ａ３＋１６ａ４、ｐ４（−１）＝ｂ＝ａ０−ａ１＋ａ２−ａ３＋ａ４、Ｐ４（０）＝ｃ＝ａ０、Ｐ４（１）＝ｂ＝ａ０＋ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４、およびＰ４（２）＝ａ＝ａ０＋２ａ１＋４ａ２＋８ａ３＋１６ａ４であり、これらは、ｃ＝ａ０、０＝ａ１＝ａ３（これはまたデータセットの対称から導かれる）、（ａ−ｃ）−１６（ｂ−ｃ）＝−１２ａ２、および（ａ−ｃ）−４（ｂ−ｃ）＝１２ａ４であることを意味し、こうして以下のようになる。
【０２０９】
【数５２】
2004509407.tif 000054
【０２１０】
さまざまな代替実施例で、Ｍ個のデータポイント（ｘｉ，ｙｉ）につきサンプルを収集でき、ここでｉ＝１，２，…，Ｍであり、一次の多項式（直線）
【０２１１】
【数５３】
2004509407.tif 000055
【０２１２】
がＭ個のデータポイント（ｘｉ，ｙｉ）に（最小自乗の意味で）適合され得る。たとえば、処理ステップ中における高温計トレース読取値ｐ、ランプ電力トレース読取値ｆおよび／またはチューブ温度トレース読取値Ｔを、処理ステップから出てくる加工物の有効歩留まりｔに関連付けることで１００回のデータポイント（Ｍ＝１００）をとることができ、この結果Ｍ個のデータポイント（ｐｉ，ｔｉ）、（ｆｉ，ｔｉ）および／または（Ｔｉ，ｔｉ）が得られる。値はたとえば、処理ツール変数および／または処理パラメータの実測値、または（それぞれの基準設定値に正規化された）実測値の比、またはそのような比の対数であり得る。最小自乗あてはめは、たとえばＲ．Ｗ．ハミングの「科学者および技術者のための数値的方法」、ドーバ・パブリケーションズ、ニューヨーク、１９８６年、４２７〜４４３頁に記載されている。
【０２１３】
最小自乗基準は、パラメータよりもはるかに多くのデータが利用可能であるため（内側に丸めるための）正確な整合が不可能である状況で用いられ得る。最小自乗整合では多項式が最も一般的に用いられるが、好適な関数のどの線形族も機能し得る。ｉ＝１，２，…，ＭでＭ個の測定値ｘｉをもたらすことで或る量ｘが測定され、かつ測定値ｘｉが、ｉ＝１，２，…，Ｍで関係ｘｉ＝ｘ＋εｉにより「真の」量ｘと関連付けられ、ここで残差εｉが雑音とみなされると仮定する。最小自乗の原理は、真の値ｘの最良推定値ξが、
【０２１４】
【数５４】
2004509407.tif 000056
【０２１５】
逆に、平均値ｘａが最良の選択ｘａ＝ξとして選ばれる場合、この選択が実際に残差εｉの平方の和を最小化することを示すことができる。
【０２１６】
【数５５】
2004509407.tif 000057
【０２１７】
とする。任意の他の値ｘｂが選ばれると、他の値ｘｂをｆ（ｘ）に代入することで
【０２１８】
【数５６】
2004509407.tif 000058
【０２１９】
が与えられる。ｆ（ｘａ）をｆ（ｘｂ）から減じることで、ｆ（ｘｂ）−ｆ（ｘａ）＝Ｍ［ｘａ２−２ｘａｘｂ＋ｘｂ２］＝Ｍ（ｘａ−ｘｂ）２≧０が与えられ、こうして、ｘｂ＝ｘａの場合にのみ等式があるｆ（ｘｂ）≧ｆ（ｘａ）となる。換言すると、平均値ｘａは実際、残差εｉの平方の和を最小化する。よって、最小自乗の原理と最良推定値としての平均値の選択とが等価であることが示された。
【０２２０】
最小自乗の選択以外の選択もあり得る。再び、ｉ＝１，２，…，ＭについてＭ個の測定値ｘｉをもたらすことで或る量ｘが測定され、かつ測定値ｘｉが、ｉ＝１，２，…，Ｍで関係ｘｉ＝ｘ＋εｉにより「真の」量ｘと関連付けられ、ここで残差εｉが雑音とみなされると仮定する。最小自乗の選択に代わるものは、真の値ｘの別の推定値χが、
【０２２１】
【数５７】
2004509407.tif 000059
【０２２２】
であるその推定値からのデータの偏差の絶対値の和を最小化する数であることであり得るが、これは、ｉ＝１，２，…，ＭであればＭ個の測定値ｘｉの中位または中央値ｘｍ（Ｍが偶数であれば２つの中央値を平均する）が、真の値ｘの他の推定値χであるという仮定と等価である。ｉ＝１，２，…，Ｍで測定値ｘｉが奇数Ｍ＝２ｋ＋１個あると想定し、残差εｉの絶対値の和を最小化する真の値ｘの推定値χとして中位または中央値ｘｍを選択する。この値ｘｍにおけるどの上方向へのシフトも、各々が同じ量だけ、ｘｍを下回るｘｉを有するｋ項｜ｘｉ−ｘ｜を増加させ、ｘｍを上回るｘｉを有するｋ項｜ｘｉ−ｘ｜を減少させる。しかしながら、この値ｘｍにおける上方向へのシフトはまた項｜ｘｍ−ｘ｜を増加させ、よって残差εｉすべての絶対値の和を増加させる。さらに別の選択は、残差εｉの平方の和を最小化する代わりに、最大偏差を最小化させるように選択することであり、これは最良値の範囲中央推定値である
【０２２３】
【数５８】
2004509407.tif 000060
【０２２４】
となる。
【０２２５】
【数５９】
2004509407.tif 000061
【０２２６】
図２０に示すように、たとえば一次多項式（直線）
【０２２７】
【数６０】
2004509407.tif 000062
【０２２８】
は、Ｍ＝５個のデータポイント（１，０）、（２，２）、（３，２）、（４，５）、および（５，４）に（最小自乗の意味で）適合され得る。ｉ＝１，２，…，５での残差εｉを図２０で概略的に示す。２つのパラメータａ０およびａ１についての式はそれぞれ５ａ０＋１５ａ１＝１３および１５ａ０＋５５ａ１＝５０であり、よって、第１の式を３で乗じ、次にこれを第２の式から減じ、こうしてａ０を消去することで、パラメータａ１についての解はａ１＝１１／１０となり、これはパラメータａ０についての解はａ０＝−７／１０となることを意味する。最小自乗の意味で最良の適合をもたらす一次の多項式（直線）は、図２０に示すように
【０２２９】
【数６１】
2004509407.tif 000063
【０２３０】
となる。
【０２３１】
【数６２】
2004509407.tif 000064
【０２３２】
さまざまな他の代替実施例で、Ｍ個のデータポイント（ｘｉ，ｙｉ）につきサンプルを収集でき、ここでｉ＝１，２，…，Ｍであり、次数Ｎの多項式
【０２３３】
【数６３】
2004509407.tif 000065
【０２３４】
はＭ個のデータポイント（ｘｉ，ｙｉ）に（最小自乗の意味で）適合され得る。たとえば、処理ステップ中における高温計トレース読取値ｐ、ランプ電力トレース読取値ｆおよび／またはチューブ温度トレース読取値Ｔを、処理ステップから出てくる加工物の有効歩留まりに関連付けることで、１００回のデータポイント（Ｍ＝１００）をとることができ、この結果としてＭ個のデータポイント（ｐｉ，ｔｉ）、（ｆｉ，ｔｉ）および／または（Ｔｉ，ｔｉ）が得られる。値はたとえば、処理ツール変数および／または処理パラメータの実測値、または（それぞれの基準設定値に正規化された）実測値の比、またはそのような比の対数であり得る。一実施例で、多項式の次数Ｎは少なくともＭよりも１０倍小さい。
【０２３５】
関数Ｆ（ａ０，ａ１，…，ａＮ）は以下のように最小化され得る。関数Ｆ（ａ０，ａ１，…，ａＮ）は
【０２３６】
【数６４】
2004509407.tif 000066
【０２３７】
【数６５】
2004509407.tif 000067
【０２３８】
Ｍ個のデータポイント（ｘｉ，ｙｉ）に適合され得る次数Ｎの最小自乗多項式
【０２３９】
【数６６】
2004509407.tif 000068
【０２４０】
を見つけることは、最小自乗多項式の次数Ｎが極めて大きいと、容易でないことがある。ｋ＝０，１，…，ＮでのＮ＋１個の未知のパラメータａｋにつき、ｊ＝０，１，…，ＮでのＮ＋１個の正規方程式
【０２４１】
【数６７】
2004509407.tif 000069
【０２４２】
は、たとえば最小自乗多項式の次数Ｎが約１０よりもはるかに大きいときには容易に解くことができない。これを以下のように示すことができる。Ｍ個のデータポイント（ｘｉ，ｙｉ）が区間０≦ｘ≦１でいくらか一様に分布していると仮定すると、
【０２４３】
【数６８】
2004509407.tif 000070
【０２４４】
図２２に示すように、たとえば二次の多項式（二次式）
【０２４５】
【数６９】
2004509407.tif 000071
【０２４６】
は、Ｍ＝７個のデータポイント（−３，４）、（−２，２）、（−１，３）、（０，０）、（１，−１）、（２，−２）、および（３，−５）に（最小自乗の意味で）適合され得る。ｉ＝１，２，…，７での残差εｉを図２２で概略的に例示する。３つのパラメータａ０、ａ１およびａ２につき、３つの正規方程式は、ｊ＝０，１，２のときに
【０２４７】
【数７０】
2004509407.tif 000072
【０２４８】
となり、これらは、（第１の正規方程式を７で乗じてこれを第３の正規方程式から減ずると）−１４＝−２１ａ０であり、２８ａ１＝−３９（第２の正規方程式より）であり、かつ（第１の正規方程式を４で乗じてこれを第３の正規方程式から減じると）−１１＝８４ａ２であることを意味し、こうしてそれぞれ３ａ０＝２、２８ａ１＝−３９および８４ａ２＝−１１が与えられる。換言すると、ａ０＝２／３、ａ１＝−３９／２８およびａ２＝−１１／８４であり、こうして最小自乗の意味で最良の適合をもたらす二次の多項式（二次式）は、図２２に示すように
【０２４９】
【数７１】
2004509407.tif 000073
【０２５０】
となる。
図２３に示すように、たとえば二次多項式（二次式）
【０２５１】
【数７２】
2004509407.tif 000074
【０２５２】
は、Ｍ＝６個のデータポイント（０，４）、（１，７）、（２，１０）、（３，１３）、（４，１６）、および（５，１９）に（最小自乗の意味で）適合され得る。ｉ＝１，２，…，６での残差εｉを図２３で概略的に示す。３つのパラメータａ０、ａ１およびａ２につき、３つの正規方程式は、ｊ＝０，１，２の場合
【０２５３】
【数７３】
2004509407.tif 000075
【０２５４】
となり、これらは、（第２の正規方程式を４で乗じ、これを、１０で乗じた第１の正規方程式から減じると）−２１０＝−７０ａ１−３５０ａ２であり、かつ（第２の正規方程式を１１で乗じ、これを、３で乗じた第３の正規方程式から減じると）２１０＝７０ａ１＋６６ａ２であることを意味する。しかしこれら最後の２つの結果の合計は０＝ａ２を示す。さらに３＝ａ１である。したがって、３＝ａ１であり０＝ａ２である事実を用いて正規方程式はそれぞれ
【０２５５】
【数７４】
2004509407.tif 000076
【０２５６】
となり、これらはすべて４＝ａ０であることを意味する。換言すると、ａ０＝４、ａ１＝３およびａ２＝０であり、こうして最小自乗の意味で最適な適合をもたらす二次の多項式（二次式）はＰ２（ｘ）＝４＋３ｘ＋０ｘ２＝４＋３ｘであり、これは実際には単に図２３に示す直線である。この場合、図２３で概略的に示すように、ｉ＝１，２，…，６での残差εｉはすべて同一にゼロとなる。
【０２５７】
他のさまざまな代替実施例で、Ｍ個のデータポイント（ｘｉ，ｙｉ）につきサンプルを収集でき、ここでｉ＝１，２，…，Ｍであり、ｊ＝０，１，２，…，ＮでのＮ＋１の関数ｆｊ（ｘ）の線形独立集合
【０２５８】
【数７５】
2004509407.tif 000077
【０２５９】
は、Ｍ個のデータポイント（ｘｉ，ｙｉ）に（多項式でない最小自乗の意味で）適合され得る。たとえば、処理ステップ中における高温計トレース読取値ｐ、ランプ電力トレース読取値ｆおよび／またはチューブ温度トレース読取値Ｔを、処理ステップから出てくる加工物の有効歩留まりｔに関連付けることで１００回のデータポイント（Ｍ＝１００）をとることができ、この結果Ｍ個のデータポイント（ｐｉ，ｔｉ）、（ｆｉ，ｔｉ）および／または（Ｔｉ，ｔｉ）が得られる。値はたとえば、処理ツール変数および／または処理パラメータの実測値、または（それぞれの基準設定値に正規化された）実測値の比、またはこのような比の対数であり得る。一実施例で、基底関数ｆｊ（ｘ）の線形独立集合の数Ｎ＋１は少なくともＭよりも１０倍小さい。
【０２６０】
関数Ｆ（ａ０，ａ１，…，ａＮ）は以下のように最小化され得る。関数Ｆ（ａ０，ａ１，…，ａＮ）は
【０２６１】
【数７６】
2004509407.tif 000078
【０２６２】
が自明の解ａｋ＝０のみを有することを示すことで証明され得るが、これを以下のように示すことができる。ｊ次の同次方程式をａｊで乗じ、すべてのｊにわたり合計すると、
【０２６３】
【数７７】
2004509407.tif 000079
【０２６４】
これは、ｙ（ｘｉ）≡０であり、したがってｋ＝０，１，…，Ｎの場合ａｋ＝０、すなわち自明の解であることを意味する。したがって正規方程式の行列式はゼロでなく、正規方程式を、ｋ＝０，１，…，ＮでＮ＋１のパラメータａｋにつき解くことができ、これはＭ個のデータポイント（ｘｉ，ｙｉ）に適合され得る多項式でない最小自乗表現
【０２６５】
【数７８】
2004509407.tif 000080
【０２６６】
の係数であり、ここで多項式でない最小自乗表現
【０２６７】
【数７９】
2004509407.tif 000081
【０２６８】
のための基礎としてＮ＋１関数ｆｊ（ｘ）の線形独立集合を用いる。
データポイント（ｘｉ，ｙｉ）がすべてのＭについて均等に信頼できない場合、負でない重み付け因子ｗｉを用いてデータを重み付けることが望ましいであろう。関数Ｆ（ａ０，ａ１，…，ａＮ）は以下のように最小化され得る。関数Ｆ（ａ０，ａ１，…，ａＮ）は
【０２６９】
【数８０】
2004509407.tif 000082
【０２７０】
が、自明の解ａｋ＝０のみを有することを示して証明でき、これを以下のように示すことができる。ｊ次の同次方程式をａｊで乗じ、すべてのｊにわたり合計すると、
【０２７１】
【数８１】
2004509407.tif 000083
【０２７２】
これは、ｙ（ｘｉ）≡０であり、よってｋ＝０，１，…，Ｎでａｋ＝０、すなわち自明の解であることを意味する。したがって正規方程式の行列式は０でなく、負でない重み付け因子ｗｉを含む正規方程式は、ｋ＝０，１，…，ＮでＮ＋１のパラメータａｋについて解くことができ、これは、Ｍ個のデータポイント（ｘｉ，ｙｉ）に適合され得る多項式でない最小自乗表現
【０２７３】
【数８２】
2004509407.tif 000084
【０２７４】
の係数であり、ここで多項式でない最小自乗表現
【０２７５】
【数８３】
2004509407.tif 000085
【０２７６】
の基礎としてＮ＋１関数ｆｊ（ｘ）の線形独立集合を用い、負でない重み付け因子ｗｉを含む。
【０２７７】
適応制御の方策では、この発明のさまざまな実施例に従い、コントローラとともにオンラインシステムの識別方式が行なわれ、モデルがシステムの真の挙動を真似るようモデルを常に調整する。この状況における１つの困難な課題は、出力で観察された誤差がツールの相違、または製品の相違を原因とする誤差に起因するのかを判断することである。以下の議論は、どのモデルパラメータが誤差にあるかを判断し、モデル更新を修正するための方式を概説する。
【０２７８】
まず単一のプロセスのための単純なラン・ツー・ラン・コントローラから始め、それから製品およびツールが多数ある事例へと拡張する。線形プロセスモデルに対する標準的な可観測性試験が例示の目的に用いられる。
【０２７９】
【数８４】
2004509407.tif 000086
【０２８０】
適応制御定式化において、オンラインシステム識別を用いラン毎にレートの推定値を調整する。分析を単純かつ容易にするために、ここではモデルを線形化し、状態空間表現に変換する。モデルが名目上のレートｒ０および時間ｔ０について線形化される場合、名目上の除去ｙ０からの偏差ｙについての式は
【０２８１】
【数８５】
2004509407.tif 000087
【０２８２】
となり、ここでｔおよびｒはそれぞれ名目上の時間およびレートからの偏差を表わす。次にモデルを状態空間表現
【０２８３】
【数８６】
2004509407.tif 000088
【０２８４】
に変換し、ここでｘは状態のベクトルであり、ｙは測定された出力のベクトルであり、ｕは入力のベクトルである。ＡおよびＢの行列は、状態および入力がどのように将来の状態値に影響を及ぼすかを表わす。Ｃ行列は、実際に測定される出力へ現在の状態値を写像する。この例では、
【０２８５】
【数８７】
2004509407.tif 000089
【０２８６】
状態ベクトルｘは、時間調整により引き起こされた除去での変化であるｘａｄｊと、名目上のレートｒ０からの偏差であるｒとを含む。測定ベクトルｙは、名目上の除去からの偏差であるｙのみを含み、入力ベクトルｕは名目上の時間ｔ０からの偏差であるｔのみを含む。
【０２８７】
このモデルは単一のプロセスを制御するのに適切である。単一のレート推定値は各ランに適用されると仮定され、これは各測定後に調整される。しかし大量生産の環境では、多数のツールおよび製品があるためさらに複雑さが付け加わる。製品とツールとの各組合せをここではコンテクストと呼ぶ。制御目標は、製品とツールとのどの組合せが加工されているかを問わず、各ランが目標値にあることである。単純なアプローチでは、１組の状態がすべての処理コンテクストに当てはまると仮定する。コンテクストがいくつもある環境でこの方法が有する欠点は、各プロセスに関連のレートが互いに対し大幅に異なり得ることである。これが生じると、図２４に示すように、新たなコンテクストへ移る度にそのことがコントローラにはステップの外乱として現れ得るが、それは、なぜレートが過度に変化するのかをコントローラが理解できないからである。
【０２８８】
たとえば多くの応用例で、異なった製品は極めて異なった見掛けの反応速度を有することがすぐに観察される。しかし、ただ１つの製品を製造している場合ですらレートはバッチ毎にずれることがある。これは反応器の汚れ、消耗材料の劣化、および工程漏れなどにより引き起こされ得る。ラン毎にｒの推定値を単に追跡することは許容され得ないが、それは後に示すように異なった製品へ移る度にそれがステップの変化として現れるからである。図２４に示すように、第２の製品はバッチ６からバッチ１５まで加工され、反応器の汚れにより、シミュレーションの過程にわたりレートが連続的に衰えている。
【０２８９】
実現が容易な別の方法例は、コンテクストが類似であるランをグループ化することでこれらにパラメータ推定値を共有させることである。このような方法では、製品およびツールの偏りを互いに対し別個に識別する必要がない。各組合せは単にそれ自体のレート推定値を有し、この推定値を、このコンテクスト下のランからの測定値のみに基づき更新する。しかしこの方法は、たとえば１つのツールに対する外乱が、このツールが用いられているコンテクストすべてによって認識されなければならないという欠点を有する。これは大規模なシステムでは不都合であるが、それは、異なったコンテクストがそのパラメータ推定値を更新する間にその目標値に達しないランが多数あるからである。この情報は、外乱の影響を受けるすべてのコンテクスト間で、すぐにまたは急速に共有されなければならない。
【０２９０】
【数８８】
2004509407.tif 000090
【０２９１】
と類似であり、ここでΔｘは除去、Δｔは処理時間、Ｋｐはレート定数、ｖは表面速度、Ｆは加えられる力、Ａは接触する表面積である。
【０２９２】
名目上のｒ０、ｆ０およびｔ０について線形化されると、名目上の除去からの偏差ｙの式は
【０２９３】
【数８９】
2004509407.tif 000091
【０２９４】
となり、ここでｔ、ｒおよびｆはそれぞれ、名目上の時間からの偏差、ツールレート定数および製品スケーリング因子を表わす。以下の状態空間表現は、状態としての２つのモデルパラメータの推定値を含む。
【０２９５】
【数９０】
2004509407.tif 000092
【０２９６】
ここで生じる問題は、２つのモデルパラメータｒおよびｆが一意的に識別され得るかどうかというものである。ここのような時間不変線形システムでは、可観測性グラム行列式の非特異性試験は、
【０２９７】
【数９１】
2004509407.tif 000093
【０２９８】
の階数を計算することで行なうことができ、行列には、可能であれば最大階数の達成を試みるのに必要なだけ多くの項が含まれる。上述のシステムでは以下の式となる。
【０２９９】
【数９２】
2004509407.tif 000094
【０３００】
行列は最大階数でなく、このためここで規定するシステムは観測可能ではない。したがって、単一のコンテクストからのランデータのみを用いてモデルパラメータを一意的に識別することはできない。
【０３０１】
この結果は直感的なものであるが、それは、製品間およびツール間の従属性を識別できるためには、モデルがすべての異なった処理コンテクストを含むことが有益であるからである。異なった製品に関する情報はツール間で共有されるべきであり、逆もまた当てはまる。このため、１度に個々のコンテクストに集中するのでなく、全体としてプロセスの総体を見なければならない。
【０３０２】
ツールが２つ（１および２）および製品が３つ（Ａ、ＢおよびＣ）ある仮定的なプロセスを考察する。これらはどの製品／ツールの組合せで加工されてもよい。上述の線形化された形式を用い、さらにすべての組合せにつき単一の「名目上の」点があると想定すると、各コンテクストについて名目上の除去からの偏差は以下の式で記述され得る。
【０３０３】
【数９３】
2004509407.tif 000095
【０３０４】
このシステム全体を組合せて単一の状態空間モデルにすることができ、
【０３０５】
【数９４】
2004509407.tif 000096
【０３０６】
ここで状態は、調整（ｘａｄｊ）、ツールの偏り（ｒ１およびｒ２）、および製品の偏り（ｆＡ、ｂＢおよびｆＣ）からなる。このモデルは、製品／ツールの組合せすべてが同じ入力環境で同時に加工される、仮定的な状況のものである。この状況は実際に生じることはないが、異なった処理コンテクスト間の相互作用を理解する観点から有益である。たとえば、どの処理ツールかを問わず、製品Ａのランすべてに単一のｆＡ製品因子が用いられることが明らかである。
【０３０７】
ここで算出される可観測性試験
【０３０８】
【数９５】
2004509407.tif 000097
【０３０９】
は、階が１つ不足しているため、この形式ではシステムは観測不可能である。ここでは、式（７）の行列にある最初の２つの項のみで十分である。この理由は、すべてのランが製品の偏りおよびツールの偏りに巻き込まれることである。一方または他方の変数を修正するために追加の制約が必要である。たとえば、ツールを特徴付けてツールパラメータを実験で測定することが可能であろう。これにより追加のシステム出力ｙ１＝ｒ１およびｙ２＝ｒ２が加わる。
【０３１０】
このような実験が選択肢ではない場合、単に名目上の偏りを有する基準ツールまたは製品を選択することもまた可能である。この方法の１つの不都合は、常に変化し続ける製造環境において基準ツールまたは製品を識別することがしばしば困難であることである。
【０３１１】
上述の例示的なシステムに特徴付けの実験が加わる場合、組合されたシステムの新たな出力式は
【０３１２】
【数９６】
2004509407.tif 000098
【０３１３】
となる。この新たなシステムの可観測性行列
【０３１４】
【数９７】
2004509407.tif 000099
【０３１５】
は最大階数であるため、このシステムは観測可能である。ここでもまた、図（７）の行列における最初の２項のみで十分である。しかしこのシステムは、可能なランすべてが同時に生じ得る稀な事例である。実際には、１度に生じるランは１つである。各ラン後にモデル状態を更新する好適なやり方を決定することが可能である。
【０３１６】
このシステムは構造的に、異なった周波数で異なった測定がサンプリングされる現実のシステムと類似する。この多レートのサンプリングが有する問題は最近の文献で扱われている。このようなシステムでは、異なった測定値の組合せが利用可能であるため、可観測性は時間とともに変化する。しかしながら基本にある暗黙の要件は、可能な測定値すべてがあらゆる時間ステップで行なわれる限定的な事例でシステムが観測可能であることである。
【０３１７】
ここで、現実のシステムと類似の変動を有する仮定的なシステムのモデルが利用可能である。次のステップで、現実のプロセスをモデル空間に写像できるオブザーバおよび制御上の決まりを規定する。
【０３１８】
制御目標は、処理コンテクストを問わず各々のランを目標値に動かすことである。これはここでは、モデル状態の現在の最良の推測を用い速示の制御上の決まりを用いることで達成される。出力行列Ｃの単一の行で特定の処理コンテクストを表わす。たとえば、ツール２で加工される製品Ｂについての名目上の除去からの偏差は式（９ｅ）で与えられ、これは出力行列の第５行に対応する。表記を簡潔にするため、現在のコンテクストに対応する出力行列の行をＣｃｏｎと表記する。次に、所望の入力ｕｄｅｓは
【０３１９】
【数９８】
2004509407.tif 000100
【０３２０】
を満足し、ここでｙｃｏｎ，ｄｅｓは、この処理コンテクストについての名目上の除去からの所望の偏差である。入力ｕｄｅｓについて解くことで以下の式がもたらされる。
【０３２１】
【数９９】
2004509407.tif 000101
【０３２２】
この式は、モデルパラメータの現在の推定値におけるあらゆる処理コンテクストについての入力を与える。
【０３２３】
オブザーバは現実のプロセスの測定値をモデルに写像することにより、状態更新が生じ得るようにする必要がある。オブザーバの設計は制御上の決まりほど単純ではない。その原因は、一般に処理のランからの単一の測定値はツールの偏りおよび製品の偏りで巻き込まれているからである。予測誤差はパラメータ更新の間に分散されることになる。各測定値からの新たな情報は既存の情報に併合される必要がある。
【０３２４】
これを達成する１つの簡単なやり方は、出力ベクトルｙの異なった要素を、新たな測定により変化させられるまでその最後の値で固定される個々のセンサとして考えることである。このアプローチの利益は、全体のシステムを考慮に入れることで、従来の状態オブザーバが設計可能であることである。オブザーバ利得行列Ｌは以下の式となるよう選択され得る。
【０３２５】
【数１００】
2004509407.tif 000102
【０３２６】
オブザーバ行列は、測定出力と予測出力との差を状態推定値への変化に写像する。しかし、過去の出力をその最後の値に留めることには大きな欠点がある。入力が変化すると、これら出力はプロセスの現在の状態をもはや表わしてはいないため、実際有効ではなくなっている。測定値が現在のものであれば、これは新たな入力に応じて変わるであろう。
【０３２７】
活動的でない出力を一定に留める対極には、或る時間ステップで測定されない出力すべてを、現在の状態推定値から予測され得る値に設定することができる。この方法の結果、状態の更新が行なわれると古い測定値すべてが無視される。
【０３２８】
工場全体のモデルの概念を例示するため、一連のマットラブ（Ｍａｔｌａｂ）ＴＭシミュレーションが実行された。第１の連のシミュレーションはすべて、上述の例に明記した条件の下で実行された。この例では、処理ツールは２つ、製品は３つであった。ツールに特有のモデルパラメータを直接に測定するため、ツール特徴付けイベントが利用可能であった。状態エスティメータについての出発点は、ツールおよび製品すべてが名目上の値に整合されると想定されることであった。制御目標は、ツールと製品との異なった組合せすべてを名目上の除去ｙ０で加工されるよう保つことであった。
【０３２９】
これら試験について注目すべき重要なことは、コントローラがシステムについて何も知らず、このため製品およびツールすべてを１度に識別しなければならないという出発点から試験が始まることである。これがコントローラにとって可能であることは重要であるが、一般的な定常状態の動作ではツールおよび製品の偏りは比較的正確に知られており、外乱はプロセスの一部に影響を及ぼすのみである。このためこれら試験の殆どでは、コントローラがプロセスを安定化させた後に外乱をシステムに導入することで、コントローラが散発的な外乱に対しどのように反応するかを観察する。
【０３３０】
第１のシミュレーションは、可能な最善のシナリオを例示することで基礎を確立する。これは既に述べた仮定的な事例であり、すべての可能なランは各時間ステップで同時に生じるため、測定値のすべてを用いて状態推定値を更新することができる。シミュレーション中に白色雑音がプロセス出力に加えられ、ラン３０（時間ステップ３０としても知られる）でステップ外乱がツール２に加えられる。図２５はこの試験の結果を含む。図２５は、この仮定的な最善の事例のシナリオにおける目標値からの偏差を百分率で概略的に示す。この仮定的な事例では、コントローラはすぐにターゲットに達し外乱を拒絶することができる。
【０３３１】
この試験の最も重要な結果は、コントローラが利用可能な情報の最大量を有する場合に、システムは全体として良好に機能することである。他の試験すべては、コントローラがこの情報の一部を有するのみである、より現実的な状況を扱う。後のランは、情報のセットが減らされていてもコントローラが機能できるかどうかを判断するのに重要な要因のいくつかを例示することを試みる。
【０３３２】
次に、ランがただ１度に生じ、出力が更新されるまでその最後の値で保たれる状況を試験する。試験の目的のために、各ランにおいて、ランダムなツールでランダムな製品が加工されるか、または特徴付けイベントが記録される。８つの可能なシナリオすべて（６つの製品コンテクストおよび２つの特徴付けイベント）は各ランに生じる等しい可能性を有する。先に述べたようにこの状況は、有益な情報を提供するために、入力が変化すると出力が変化しなければならないため、問題を引き起こしていた。この試験では、入力はあらゆるランで変化するが、１度に１つの出力のみが更新される。したがって、フィードバックに用いる出力はプロセスの真の状態を表わしていない。図２６はこの実験の結果を示す。図２６は、この「固定出力」の事例における目標値からの偏差を百分率で示す。
【０３３３】
この構成はプロセスを良好に制御することはできなかった。測定についての値が入力の変化に対応して現われないため、出力ベクトルに含まれる古い情報は状態オブザーバに悪影響を与える。このため、コントローラは繰返しこれらの補償を試みることになり、こうして不安定さをもたらす。
【０３３４】
試験された次のシミュレーション事例では、欠けている測定についての値を推定するために状態の現在のモデル推定値が用いられた。結果として各状態更新は、測定されていたランからの情報を含むのみであった。試験条件は先のシミュレーションと類似し、ランをランダムに選択した。ツール２でのレートに対するステップ外乱は、ランまたは時間ステップ８０で導入された。試験の結果を図２７で見ることができる。図２７は、この「予測出力」の事例における目標値からの偏差を百分率で概略的に示す。この方式は目標値を達成し、外乱の拒絶に成功している。しかしながら、処理に関するすべての情報が測定される事例と比べると反応は極めて遅い。
【０３３５】
図２８に示す試験は先のものと同じコントローラであるが、異なる組の規則を適用して一連のランを生じさせた。図２８は、追加的な特徴付けを伴うこの「予測出力」の事例における目標値からの偏差を百分率で概略的に示す。コントローラに対する影響を判定するため、ツールは先の事例の２倍の頻度で特徴付けられた。この試験でシステムは、先の事例と比べてよりすばやく平衡し、より容易に外乱を拒絶した。
【０３３６】
システムのスケーラビリティを試験するために、最後の試験は６つのツールと７つの製品とを用いた。図２９は、この大規模システムの事例における目標値からの偏差を百分率で概略的に示す。システムは制御下で始まり、多数の外乱を扱わなければならなかった。ランまたは時間ステップ５０でステップ外乱がツール１に加えられ、製品６はランまたは時間ステップ１５０でステップ外乱を有した。図２９の結果は、コントローラが外乱を極めて少数のランにわたり拒絶するのに成功していることを示している。
【０３３７】
これはシステム全体を考慮に入れるモデルの威力を示しており、重要なことである。たとえば、製品Ａがツール１で加工される間にツール１で偏りが検出され得る。この場合、ｒ１およびｆＡの両方についての推定値は僅かに調整されることになる。次の、ツール１におけるどの製品のランも、（より低い程度ではあるが）偏りを呈することになり、ｒ１についての推定値は新たな正しい値にさらに近く調整される。次の、どのツールでの製品Ａのランも、正しい値の方向へｆＡの推定値を動かすことになる。
【０３３８】
この構成では、各状態推定値の更新は、現在のランの測定値からの情報のみを用いている。古い情報はすべて無視されるため、オブザーバがかなり減衰されることが重要である。質に関する例が有益である。ツール１での製品Ａのランに予測よりも高い除去があれば、ｒ１の推定値およびｆＡの推定値のうち１つまたはこれらの両方は過度に低い。状態を正しく更新するためには、異なるツールでの製品Ａの他のラン、またはツール１での他の製品のランの結果を見ることが必要である。しかし選択更新方策では、更新は現在のランの結果に基づくことができるに過ぎない。オブザーバが各ランから小さな変化を行なうだけで、状態は少なくとも正しい方向へ動くことになり、すべてのランは合せて状態推定値を正しい値へ動かす。明らかに、この問題に対する理想的な解決策では、状態推定を行なう際に古い測定値からの可能な限り多くの情報を、新たな値と組合せることが試みられることになる。
【０３３９】
大規模な半導体製造で一般に見られる多数処理のコンテクストは、興味深い制御上の課題を提示している。一度に個々のコンテクストのみに関心を合せる代わりに、全体としてコントローラの見る処理環境の総体を調べるための制御および推定アプローチが開発された。これらの条件下で行なわれたシミュレーションにより、この考え方は意味があると示されている。十分な情報があれば、工場全体にわたるコントローラは異なったプロセスすべてからなるシステム全体を扱うことができる。
【０３４０】
いくつかの要因がコントローラの性能に影響を与えた。コントローラは、プロセスに関し入手できる最大限の情報を有することに依存している。測定されていないシステム出力に対し各ランで何を行なうべきかについての決定は、性能に対し劇的な影響を及ぼし得る。さらに、生産ランと混合された特徴付けイベントからデータを入手できれば、制御反応は改良される。これらは重要なモデルパラメータの直接的な測定を可能にする。
【０３４１】
このシステムの興味深い一特徴点は、ツールまたは製品が加えられる、または減じられるたびにモデルを再構築しなければならないことである。これはモデルが一度にシステム全体を考慮するからである。これは欠点と見られるかもしれないが、実際にこれは直感的でないプロセスへの洞察を与えてくれる。オブザーバは、システムが変化するたびにシステム全体に基づき再構築されなければならないため、フィードバックの特性はツールおよび製品の分布に依存する。このことは、１つの処理コンテクストで検出された誤差が、システム全体における他のコンテクストに依存して異なって取扱われるべきであることを意味する。
【０３４２】
システムを全体として見ると、システムの異なった部分間で多くの情報が共有されていることが明らかである。コントローラの性能はそれが抽出できる情報の質と結び付いているため、処理順序およびサンプリング計画の影響をよく調べることが有益であろう。十分に高度なコントローラであれば、いくつかのランおよび測定値を、それらがシステムの状態についてもたらす情報に基づいて優先順位付けできるであろう。これと緊密に関連するのが、イベント駆動型の、モデルに基づく制御の概念である。プロセスを連続として見る代わりに、モデルパラメータ推定値を含むプロセス状態は、一連の別個のモデル化されたイベントにより影響を受ける。
【０３４３】
さまざまな実施例において、製品から独立したツール状態（ｘ）につきモデルが開発され得る。このツール状態はツールについての固有のレートである。このレートの変化は、ツールで加工されるすべての製品に影響を与える。
【０３４４】
ｘｋ＋１＝Ａｋｘｋ＋Ｂｋｕｋ
このプロセス状態（ｘ）は、以下の出力式を用いて製品状態（ｙ）に写像される。
【０３４５】
ｙｋ＝Ｃｋｘｋ＋Ｄｋ
次に、製品状態（ｙ）でなくツール状態（ｘ）を追跡するのにエスティメータが用いられる。カルマン最適フィルタリング式を検査することで、最適オブザーバ利得は出力写像（Ｃ）の関数であることが示される。
【０３４６】
Ｐ＝Ａｋ［Ｐ−ＰＣｋＴ（ＣｋＰＣｋＴ＋Ｒ）−１ＣｋＰ］ＡｋＴ＋ＧＱＧＴ
Ｌ＝ＰＣｋＴ（ＣｋＰＣｋＴ＋Ｒ）−１
そして、オフライン分析を用い、繰返し可能な製品従属性が定量化されてレートｒについての新たなモデルに達することができ、ここでｒ０は処理ツールの「固有レート」であり、ｋｐは製品に特有の修正因子である。
【０３４７】
ｒ＝ｒ０・ｋｐ
次にオブザーバは、観察されたレートを製品に特有の各因子でスケーリングすることで、ｒでなくｒ０を推定する。
【０３４８】
製品に特有の因子が正確に知られている状況では、上述の方式は極めて良好に機能する。処理ツールの動作での変化は、どの製品が加工されているかを問わず観察される。しかし現実の製造環境ではいくつかの問題が生じる。たとえば、処理ツールがいくつもあったり、新たな製品が現われたり、原料と処理ツールの休止時間との両方の観点から実験の費用が極めて高くつくことがあり得る。これが影響して、製品に特有の因子は常にアプリオリに既知であると限らない。
【０３４９】
上述の方法は単一のパラメータ（ｒ０）を観察するが、新たなｋｐについての推定値をすぐに入手するためのやり方を見つけることが必要である。このことは、各ランでのレートを観察し、モデルパラメータを適当に更新することによって行なわれ得る。各ランの結果は見掛けのレートｒの測定値である。ｒ０およびｋｐをデータ（ｒ）から推定するには、次のモデル式が用いられる。
【０３５０】
ｒ＝ｒ０・ｋｐ
テイラー級数近似を用いると、Δｒ＝ｒ０・Δｋｐ＋ｋｐ・Δｒ０となる。
【０３５１】
これが意味するのは、ｒの値の見掛けの変化はｒ０およびｋｐの推定値での変化として表わされ得ることである。したがって、２つのパラメータ間の誤差をどのように分布させるかを決定するためには、（分散分析の技術を用いて）変化を分類することが必要である。
【０３５２】
このエスティメータを用いた１つの方法は、各パラメータに線形フィルタを適用することである。
【０３５３】
【数１０１】
2004509407.tif 000103
【０３５４】
パラメータ推定値に対する信頼を反映させるためにラムダ値を変動させる。ｒ０が変化していると期待される状況ではλＴは高く、ｋｐが誤っていると考えられる状況では、λｋは高い。
【０３５５】
たとえば十分に確立された製品については、ｋｐが正確であるという信頼性は高い。さらに、ｒ０は時間に伴ってドリフトすることが知られている。したがって関係λｒ＞＞λｋが用いられる。逆に新たな製品については、ｋｐの値に対して信頼がそれほどない。正確でないｋｐは、ｒ０での雑音またはドリフトよりもレートに対する影響が大きいと期待されるため、λｋ＞＞λｒが設定される。
【０３５６】
マットラブＴＭシミュレーションは、この方式がプロセスを極めて良好に追跡することを示している。シミュレーションは以下のやり方で行なわれた。予め処理ツールの数（ｎ）、製品の数（ｍ）およびランの数（ｐ）が選択された。各製品にはｋｐの独自の「実」値が与えられ、各ツールにはｒ０の独自の値が与えられた。各ランにつき、ランダムなツールおよび製品が選択された。測定値は、正しいｒ０とｋｐとを乗じてランダムな雑音を加えることで算出された。次に、或る時間にわたるドリフトをシミュレートするために、選択されたツールのｒ０にはオフセットが加えられた。パラメータ測定値は上述のように各々のランの後に更新された。すべての場合に測定値はすぐにパラメータの実値に至った。
【０３５７】
製品およびツールをランダムに選択することで、いくつかのツールでの所与の製品についての長く連なったランを用いる（ツール専用）よりも速く収束が生じた。ツールが専用であれば、２つのパラメータ間でレート推定値の誤差を適当に割当てることが困難である。このことはシステム同定理論における持続性の励起要件と関連があると思われるが、伝統的にツール専用がプロセス制御を容易にすると考えられていただけに興味深い結果である。このプロセスに最良のコントローラは、同時に起こる同定および制御の二重の制御問題に対処することができる。プロセス選択を行なうことは、目標値を厳しく追跡することと、プロセスの特徴付けを助けることとの兼ね合いを含んでいるが、それはこれら２つの目標が互いに相容れないからである。
【０３５８】
たとえば研磨および／またはエッチングに関連するさまざまな実施例で、図３０を参照して例示の製造システム３０１０の単純化したブロック図が示される。ここに示す実施例では、製造システム３０１０は半導体装置を製造するように適合される。この発明は半導体製造施設で実現され得るように記載されているが、この発明はそのように限定されず、他の製造環境にも適用可能である。ネットワーク３０２０が製造システム３０１０のさまざまな構成要素を相互接続し、これらの情報のやり取りを可能にする。例示の製造システム３０１０は複数のツール３０３０〜３０８０を含む。ツール３０３０〜３０８０の各々は、ネットワーク３０２０とのインターフェイスのためにコンピュータ（図示せず）と結合され得る。
【０３５９】
プロセス制御サーバ３０９０が、プロセスフローを制御することで製造システム３０１０の高レベルの動作を制御する。プロセス制御サーバ３０９０は、ツール３０３０〜３０８０を含む製造システム３０１０内のさまざまな存在物の状態を監視する。プロセスフローでのさまざまな存在および製造品目（たとえばウェハ）の状態に関連するデータを記憶するためのデータベースサーバ３０１００が設けられる。データベースサーバ３０１００は、１つ以上のデータ記憶装置３０１１０で情報を記憶できる。データは、処理前および処理後の計測学的データ、ツール状態、プロセスフロー活動（たとえばスケジュールされた維持管理イベント、ウェハのロットのためのルートの処理）などを含み得る。一般に、異なったコンピュータ間の処理およびデータ記憶機能の分散を行なって、独立性と中央情報記憶場所とを提供する。当然のことながら、より多くまたはより少ないコンピュータを用いることもできる。
【０３６０】
製造システム３０１０で用いるのに好適な例示の情報交換およびプロセス制御フレームワークは、ＫＬＡテンカー・インコーポレイテッド（ＫＬＡ−Ｔｅｎｃｏｒ， Ｉｎｃ．）から提供されているカタリスト（Ｃａｔａｌｙｓｔ）システムを用いて実現され得るものなどの、高度プロセス制御（ＡＰＣ）フレームワークである。カタリストシステムは国際半導体設備材料協会（ＳＥＭＩ）のコンピュータ統合生産（ＣＩＭ）フレームワーク準拠のシステム技術を用い、高度プロセス制御（ＡＰＣ）フレームワークに基づく。ＣＩＭ（ＳＥＭＩ　Ｅ８１−０６９９、ＣＩＭフレームワーク・ドメイン・アーキテクチャ（Ｆｒａｍｅｗｏｒｋ Ｄｏｍａｉｎ Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ）のための暫定仕様）、およびＡＰＣ（ＳＥＭＩ　Ｅ９３−０９９９、ＣＩＭフレームワーク高度プロセス制御コンポーネントのための暫定仕様）に関する仕様書は、ＳＥＭＩから公に入手可能である。
【０３６１】
この発明のいくつかの部分および対応する詳細な説明は、ソフトウェアの観点から、またはコンピュータメモリ内のデータビットに対する動作の記号的な表現およびアルゴリズムの観点から提示されている。これら記載および表現は、当業者が他の当業者に自分の仕事の本質を効果的に伝えるのに用いるものである。アルゴリズムとは、ここで用いる用語としては、および一般に用いられているように、所望の結果へ導くステップの自己一貫したシーケンスとして考えられる。ステップは物理的な量の物理的操作を必要とするものである。一般にこれら量は、記憶、転送、組合せ、比較、および別様に操作され得る光信号、電気信号または磁気信号の形をとるが、必ずしもこれに限らない。しばしば、主に一般で用いられていることから、これら信号をビット、値、要素、記号、文字、項、または数などと呼ぶことが便利であるとわかっている。
【０３６２】
しかしながら、これらおよび類似の用語すべては適当な物理的量と関連付けられるべきであり、単にこれら量に適用される便宜的な標識にすぎないことを念頭に置くべきである。別段の記載がなければ、または議論から明らかであるように、「処理」、「計算」、「算出」、「判断」または「表示」などの用語は、コンピュータシステムまたは類似の電子計算装置であって、コンピュータシステムのレジスタおよびメモリ内の物理的、電子的な量として表わされたデータを、コンピュータシステムメモリ、レジスタ、または他のこのような情報記憶装置、伝送装置もしくは表示装置内の物理的な量として同様に表される他のデータへ、操作および変換するものの、行為およびプロセスに関する。
【０３６３】
ツール３０３０〜３０８０は、末尾の英字で表わすように組になった類似のツールへグループ化される。特定のウェハまたはウェハロットは、製造される間にツール３０３０〜３０８０を通じて進み、ここで各ツール３０３０〜３０８０はプロセスフローにおける特定の機能を実行する。具体例としての処理ツール３０３０〜３０８０は、フォトリソグラフィステッパ、エッチングツール、蒸着ツール、研磨ツール、短時間熱処理ツール、およびイオン打込ツールなどを含む。ツール３０３０〜３０８０のいくつかは、処理されているウェハの特徴（たとえば表面プロフィール）を測定するよう適合された計測学的ツールであり得る。ここに示す実施例では、ツール組３０３０Ａ〜３０３０Ｃはエッチングツールを表わし、ツール組３０７０Ａ〜３０７０Ｃは研磨ツールを表わす。典型的に特定のウェハまたはロットがプロセスフローを通過する経路は変わる。プロセス制御サーバ３０９０は、行なう必要があるステップとツール３０３０〜３０８０の利用度とに依存して、プロセスフローを通じ個々のロットをルート付ける。特定のウェハロットは、その生産中に２回以上同じツール３０３０〜３０８０を通過することもある（たとえば特定のエッチングツール３０３０は２回以上のエッチング動作に用いられ得る）。
【０３６４】
ツール３０３０〜３０８０は、単に例示の目的のために順位および列で例示される。実際の実現例では、ツールはどのグループ化の様式でも配置可能である。加えて、特定のグループでのツール間の接続は、ツール間の相互接続でなくネットワーク３０２０への接続のみを表わすことを意図している。
【０３６５】
プロセス制御サーバ３０９０は、ツール３０３０〜３０８０を通じての特定のウェハロットの経路を制御する。プロセスデータに基づきプロセス制御サーバ３０９０はツール３０３０〜３０８０の動作状態を監視する。プロセスデータは、ツール３０３０〜３０８０を通じて進むウェハの処理前および処理後測定値を含み得る。たとえば、特定の研磨ツールたとえば７０Ａが、中心部で高速に行なわれる研磨に都合がよい状態で動作していれば、プロセス制御サーバ３０９０はこの傾向に注目する。プロセス制御サーバ３０９０はさらに、エッチングツール３０３０などの他のツールの動作状態を監視して、エッチングツールの現在の状態が中心部高速型のエッチングに都合がよいか、または中心部低速型のエッチングに都合がよいかを判断することができる。
【０３６６】
プロセス制御サーバ３０９０は、処理前および／または処理後計測学的イベントを必要に応じ開始し、ツール３０３０〜３０８０の動作状態を判定する。計測学的イベントからのデータは、プロセス制御サーバ３０９０（またはネットワーク３０２０にある或る他の計算資源）へと戻されて解析され得る。これに代えてプロセス制御サーバ３０９０は、データ記憶装置３０１１０に既に収集および記憶されたプロセスデータにアクセスできる。たとえばさまざまなツールについて処理前および処理後の計測学的データが収集されて、プロセス制御および／または障害検出のための統計学的データを生成できる。
【０３６７】
プロセス制御サーバ３０９０はツール３０３０〜３０８０の現在の動作状態を評価するが、ここで製造システム３０１０のプロセスフローを通じウェハロットの特定のルート付けを判定する。たとえば特定のロットに対する研磨手順を行なうのに先立ち、プロセスコントローラ３０９０はまずロットにあるウェハの表面プロフィール（たとえば皿状または円蓋状）を判定する。プロセス制御サーバ３０９０は計測学的イベントを開始して表面プロフィールを判定するか、または情報のためにデータ記憶装置３０１１０にアクセスすることができる。入来する表面プロフィールを判定した後、プロセス制御サーバ３０９０は研磨ツール３０７０Ａ〜３０７０Ｃの現在の動作状態を評価して、入来する表面プロフィールを補完する手法で研磨を行なう傾向があるのはどのツールかを判定する。入来する表面プロフィールが皿状である場合、プロセス制御サーバ３０９０は中心部低速状態で動作する研磨ツール３０７０Ａ〜３０７０Ｃを選択する。同様に入来表面プロフィールが円蓋状であれば、プロセス制御サーバ３０９０は中心部高速状態で動作する研磨ツール３０７０Ａ〜３０７０Ｃを選択する。
【０３６８】
エッチングプロセスにも同様のアプローチを適用できる。プロセス制御サーバ３０９０は、入来する表面プロフィールを補完する動作状態を有する特定のエッチングツール３０３０Ａ〜３０３０Ｃを選択する。入来する表面プロフィールが皿状であれば、プロセス制御サーバ３０９０は中心部低速状態で動作するエッチングツール３０３０Ａ〜３０３０Ｃを選択する。同様に、入来する表面プロフィールが円蓋状であれば、プロセス制御サーバ３０９０は中心部高速状態で動作するエッチングツール３０３０Ａ〜３０３０Ｃを選択する。
【０３６９】
この発明に従う方法の上に開示した実施例のうちいずれも、測定ツールから送られたパラメータ測定値を用いて、手動および／または自動で管理上のプロセス調整を行なうことを可能にし、こうして歩留りが改良、および／またはより良好に制御される。さらにこの発明に従う製造方法の、上に開示した実施例の多くは、高度プロセス制御（ＡＰＣ）システムの動的制御環境の一体化した部分としてサンプリングを扱うことによって、サンプリング方法で著しい向上をもたらす。静的な「最適」サンプリングレートを適用する代わりに、サンプリングは動的な変数として扱われ、これは（１）状況に関する情報、たとえば最近のデータの変動における変化量および／または変化レートなど、（２）イベント、たとえば動作のプロセスの上流における維持管理および／または変化など、および／または（３）制御モデルパラメータを識別するための方式における閉ループのラン・ツー・ラン・コントローラの要件に基づき、増加または減少される。加えて、この発明に従う製造方法の上に開示した実施例のいずれも、装置の正確さおよび精密さが増大し、効率および装置歩留りが増大した半導体装置製造を可能にし、プロセスフローの簡素化および単純化を可能にし、こうして複雑さを減少させて製造プロセスの費用を下げ、スループットを増加させる。
【０３７０】
上に開示した特定の実施例は単に例示的なものであり、この発明は、ここにおける教示の利益を受ける当業者にとっては明らかである、異なった、しかし均等の手法で変形および実施が可能である。さらに、前掲の特許請求項に記載のものを除き、ここに示す構成および設計の詳細への限定は意図されてはいない。したがって、上に開示した特定の実施例は変更および変形が可能であり、このような変更すべてがこの発明の範囲および精神内であると考えられる。特定的に、ここに開示した値のあらゆる範囲（「約ａから約ｂへ」、または均等に「およそａからｂへ」、または均等に「およそａ〜ｂ」の形で表わされる）は、ゲオルク・カントル（Ｇｅｏｒｇ Ｃａｎｔｏｒ）の意味における値のそれぞれの範囲のべき集合（すべての部分集合の集合）を指すものとして理解されるべきである。したがってここで求める保護は前掲の特許請求の範囲に記載の通りである。
【図面の簡単な説明】
【図１】この発明による方法のさまざまな例示的な実施例のフローチャートを概略的に示す。
【図２】この発明のさまざまな例示的な実施例で使用されるものを代表する、ＡＳＴ　ＳＨＳ　２８００短時間熱処理（ＲＴＰ）ツールの断面を概略的に示す。
【図３】この発明による方法のさまざまな例示的な実施例のフローチャートを概略的に示す。
【図４】この発明による方法のさまざまな例示的な実施例のフローチャートを概略的に示す。
【図５】この発明による方法のさまざまな例示的な実施例のフローチャートを概略的に示す。
【図６】この発明による方法のさまざまな例示的な実施例のフローチャートを概略的に示す。
【図７】この発明による方法のさまざまな例示的な実施例のフローチャートを概略的に示す。
【図８】この発明による方法のさまざまな例示的な実施例のフローチャートを概略的に示す。
【図９】この発明による方法のさまざまな例示的な実施例のフローチャートを概略的に示す。
【図１０】この発明による方法のさまざまな例示的な実施例のフローチャートを概略的に示す。
【図１１】この発明に従って実現される半導体素子の製作の方法を概略的に示す。
【図１２】この発明に従って、複数の制御入力信号を使用する処理ツールを使用して処理される加工物を概略的に示す。
【図１３】図１２のプロセスおよびツールの１つの具体的な実施例を概略的に示す。
【図１４】図１２のプロセスおよびツールの１つの具体的な実施例を概略的に示す。
【図１５】図１３から図１４のプロセスおよびツールを用いて実行することのできる、図１１の方法の１つの具体的な実施例を概略的に示す。
【図１６】それぞれの短時間熱処理データセットについての第１および第２の主成分を概略的に示す。
【図１７】それぞれの短時間熱処理データセットについての第１および第２の主成分を概略的に示す。
【図１８】短時間熱処理データセットのそれぞれについての幾何学的な主成分分析を概略的に示す。
【図１９】短時間熱処理データセットのそれぞれについての幾何学的な主成分分析を概略的に示す。
【図２０】この発明に従った、幾何学的な多項式最小自乗当てはめを概略的に示し、仮想的な最良の事例における目標値からの百分率による偏差を示す。
【図２１】この発明に従った、幾何学的な多項式最小自乗当てはめを概略的に示し、仮想的な最良の事例における目標値からの百分率による偏差を示す。
【図２２】この発明に従った、幾何学的な多項式最小自乗当てはめを概略的に示し、仮想的な最良の事例における目標値からの百分率による偏差を示す。
【図２３】この発明に従った、幾何学的な多項式最小自乗当てはめを概略的に示し、仮想的な最良の事例における目標値からの百分率による偏差を示す。
【図２４】製品切換えのシミュレーションを概略的に示す。
【図２５】仮想的な最良の事例における目標値からの百分率による偏差を概略的に示す。
【図２６】「固定出力」事例における目標値からの百分率による偏差を概略的に示す。
【図２７】「予測出力」事例における目標値からの百分率による偏差を概略的に示す。
【図２８】特別な条件付けのある「予測出力」事例における目標値からの百分率による偏差を概略的に示す。
【図２９】大規模システムにおける目標値からの百分率による偏差を概略的に示す。
【図３０】この発明のさまざまな例示的な実施例に従った、製造システムの簡略化したブロック図を示す。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
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【図１７】
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【図１８】
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【図１９】
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【図２０】
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【図２１】
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【図２２】
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【図２３】
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【図２４】
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【図２５】
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【図２６】
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【図２７】
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【図２８】
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【図２９】
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【図３０】
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【国際公開パンフレット】
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【国際公開パンフレット（コレクトバージョン）】
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【国際調査報告】
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