(57)【要約】プラントシステムまたはプロセス22を制御する制御システムにおいて、モデルベースの問題は公式化され、パラメトリック最適化技術26を使用してパラメトリックプロファイル24が構成されるように明示制御解がオフラインで構成される。その結果、このシステムは、計算の負担が著しく軽減されて実時間で動作することができる。【選択図】図５
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
制御変数と測定または評価されることのできるパラメータとを有するシステムの動作に対する明示制御解を導出する方法において、
前記制御変数および測定可能なパラメータに基づいてシステム動作モデルをオフラインで構成し、
パラメトリック最適化を使用して前記制御変数およびパラメータに対する最適化された明示制御解をオフラインで構成するステップを含んでいる方法。
【請求項２】
明示制御解をデータ記憶装置に記憶するステップをさらに含んでいる請求項１記載の方法。
【請求項３】
システム動作モデルは、モデル予測制御（ＭＰＣ）モデルである請求項１または２記載の方法。
【請求項４】
明示制御解は、連続した時間ドメインにおいて構成される請求項３記載の方法。
【請求項５】
ＭＰＣは二次計画法（Quadratic Program）として公式化される請求項３または４記載の方法。
【請求項６】
制御解は、制御変数置換値または制御変数値をパラメータ値の関数として含む少なくとも１つの制御変数値領域の座標空間を含んでおり、座標がパラメータである請求項１乃至５のいずれか１項記載の方法。
【請求項７】
パラメータは測定可能な状態を含んでいる請求項１乃至６のいずれか１項記載の方法。
【請求項８】
パラメータはシステム擾乱を含んでいる請求項１乃至７のいずれか１項記載の方法。
【請求項９】
制御解を解析して、前記解析に基づいて改正されたシステムモデルを構成するステップをさらに含んでいる請求項１乃至８のいずれか１項記載の方法。
【請求項１０】
システム動作モデルおよび、または制御解は擾乱補償項を含んでいる請求項１乃至９のいずれか１項記載の方法。
【請求項１１】
システム動作モデルは、積分擾乱補償項を含んでいる請求項１０記載の方法。
【請求項１２】
システム動作モデルは、微分擾乱補償項を含んでいる請求項１０または１１記載の方法。
【請求項１３】
請求項６に依存したとき、制御解の座標空間はさらに擾乱を座標として含んでいる請求項１０乃至１２のいずれか１項記載の方法。
【請求項１４】
制御解は擾乱評価を含んでいる請求項１０乃至１３のいずれか１項記載の方法。
【請求項１５】
擾乱評価を補正するために、制御解はオンライン制御動作で調節される請求項１４記載の方法。
【請求項１６】
最初の時間インターバルでシステムのパラメータをオンラインで測定または評価し、
予め規定されたパラメトリック最適化された明示制御解からのパラメータに基づいて制御変数を獲得して、制御変数をシステムに入力するステップを含んでいるシステムの動作制御方法。
【請求項１７】
後続する時間インターバルにおいて、オンラインパラメータを測定または評価して制御変数を獲得するステップが繰返される請求項１６項記載の方法。
【請求項１８】
制御解は、制御変数置換値または制御変数値をパラメータ値の関数として含む少なくとも１つの制御変数値領域の座標空間を含んでおり、座標がパラメータ値である請求項１６または１７項記載の方法。
【請求項１９】
制御変数はさらに擾乱補償項に基づいて得られる請求項１６乃至１８のいずれか１項記載の方法。
【請求項２０】
請求項１８に依存したとき、制御解の座標空間はさらに擾乱を座標として含んでいる請求項１９項記載の方法。
【請求項２１】
制御解は擾乱の評価を含んでいる請求項１９または２０項記載の方法。
【請求項２２】
擾乱評価を補正するために、制御解はオンライン制御動作において調節される請求項１項記載の方法。
【請求項２３】
制御解をオンライン制御動作で調節して擾乱評価を補正するステップを含んでいる擾乱評価を有する明示制御解にしたがってシステムの動作を制御する方法。
【請求項２４】
制御変数と、測定または評価されることのできる状態とを有しているシステムの動作を制御するための制御システムにおいて、
システム状態測定または評価素子と、
予め定められたパラメトリック最適化された明示制御解を記憶するデータ記憶素子と、
前記データ記憶素子の制御解からシステム状態値に基づいて制御変数を獲得するように構成されたプロセッサと、
獲得された制御変数をシステムに入力するように構成された制御装置とを備えている制御システム。
【請求項２５】
請求項１乃至２３のいずれか１項記載の方法を実施するためのコンピュータプログラム。
【請求項２６】
請求項２５記載のコンピュータプログラムを記憶するコンピュータ読出し可能な媒体。
【請求項２７】
請求項１乃至１５のいずれか１項記載の方法によって導出される制御解を記憶するデータ記憶装置。
【請求項２８】
ここに実質的に記載され、図面を参照として例示されている方法またはシステムあるいは媒体もしくは装置。
【請求項２９】
明示制御解は、連続した時間ドメインにおいて獲得される請求項４記載の方法。
【請求項３０】
明示制御システムは、マルチパラメトリックダイナミック最適化問題の解を含んでいる請求項２９記載の方法。
【請求項３１】
制御変数は、前記パラメータおよび時間の関数として獲得される請求項２９または３０記載の方法。
【請求項３２】
システム動作モデルは、最悪のケースの擾乱補償項を含んでいる請求項１０記載の方法。
【請求項３３】
請求項６に依存したとき、制御解の座標空間は擾乱を座標として排除する請求項３２記載の方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、改善されたプロセス制御に関し、とくに、改善されたモデルベースのプロセス制御に関する。
【背景技術】
【０００２】
製造プロセスのような新型の自動化されたプロセスは、効率を最大化すると共にエラーまたは故障を回避する厳密で一般に非常に複雑な制御様式の下で実施されている。それらの最も簡単な形態において、これらの様式は典型的にフィードバックシステムに基づき、それによってプロセスのパラメータは監視され、ターゲット値との比較のために制御パラメータとして制御装置に供給され、そのターゲット値を追跡するためにプロセスの状態は制御パラメータの関数として変更される。
【０００３】
１つの既知の広く採用される制御様式は、この明細書において参考文献とされている文献（“Model Predictive Control ; past present and future”, Morari,M. and J.H.Lee (1999) Comput. Chem. Engng. 23,667-682）に記載されているモデル予測制御（ＭＰＣ）である。基本的な原理は、Prett,D.M.およびGarcia C.E.氏による文献（“ Fundamental Process Control”,Butterworth Publishers,Boston (1988)）から適応された図１に示されている。ＭＰＣを使用することにより、目的はターゲット値を追跡することのままであるが、通常ディスクリートな時間インターバルである各制御点における制御装置は、プロセス、システムまたはプラントの存在する状態を監視するだけでなく、たとえば次の時間インターバル等の将来的なある時点におけるプロセスの状態の評価も行う。以下の説明におけるプロセスの制御への参照は、プラントまたはシステムの制御に対しても同様に適切に適用されることができる。
【０００４】
図１を参照とすると、時間ｔ＝ｋにおいて、現在の状態は点ｘkで測定され、その将来的な状態ｘk+1乃至ｘk+pは対応した将来的な時間ｔ＝ｋ乃至ｔ＝ｋ＋ｐに対して評価される。認められるように、目的はターゲット値ｘtargetを追跡するための値ｘである。制御変数ｕtは同様に時間と共に変化させられ、次の時間インクリメントに対するその値は、予測された状態値が更新されると、更新される。その結果、システムはシステムは現在の制御変数が将来の状態に及ぼすであろう影響を考慮に入れて、それに従って適合する。各測定インターバルにおいてフォワードにインクリメントするようにシフトされる将来的な有限期間に対してフォワード予想が行われ、これはムービング・ホリゾン・ポリシー（moving horizon policy）と呼ばれる。
【０００５】
この動作はオンラインおよび実時間で行われ、図２に示されている。ＭＰＣは、各時間インターバルにおいてその時点におけるプロセスまたはプラント12からの測定値10に基づいて最適化問題を解くことによって動作する。最適化装置14は、そのプラントの将来の性質を評価するために使用されたプロセスまたはプラントモデルと、最適な制御ストラテジ、すなわち、制御変数または補正アクション16の変形を決定して所望のターゲットに到達するための目標関数とを含んでいる。
【０００６】
数学的には、プロセスまたはプラントモデルは次式によって状態空間において表されることができる：
｛    ｘ（ｔ＋１）＝Ａｘ（ｔ）＋Ｂｕ（ｔ）
｛    ｙ（ｔ）＝Ｃｘ（ｔ），                        （１）
ｙmin≦ｙ（ｔ）≦ｙmax                      （２）
ｕmin≦ｕ（ｔ）≦ｕmax
ｕはプロセスを制御するために制御装置によって操作される制御変数またはプロセス入力を表し、ｘはプロセス状態、すなわち、１以上のプロセス変数の現在の値を表す測定された値を表し、ｙはプロセス出力測定値を表す。マルチ変数プロセスに対して、ｘ、ｙおよびｕは、無論、ベクトルであり、ＡおよびＢはマトリックスである。出力および制御変数は、このプロセスに対する制約を形成する最小値および最大値によって境界を定められる。
【０００７】
その式は、あるプロセス中の時間ｔにおいて、ディスクリートな後続する時間インターバルｔ＋１におけるそのプロセスの将来的な状態が、時間ｔに測定された状態ｘと時間ｔにおいて適用される制御変数との関数としてどのようにして予測されるかを数学的に表しており、その後、この計算は、時間ｔ＋１に対する計算に基づく時間ｔ＋２における予測される状態のために時間ｔにおいて依然としてフォワードに繰返され、その他の時間でも同様に行われる。さらに、時間ｔおいて、このプロセスの出力は瞬間的なプロセス状態の直接関数である。このプロセスの出力は、それが出力制約を越えないことを確実にするために式（２）において計算される。
【０００８】
時間ｔ＋Ｎyまでの反復は、最適化されるべき以下の問題の形態で表されることが可能であることが立証されている（たとえば、上記に認められるMorariおよびLee氏等の文献を参照されたい）：
【数１】
2004527860.tif 000003
【０００９】
問題（３）は現在の測定ｘ（ｔ）に対する各時間ｔにおいて反復的に解かれ、時間ｔ＋１，・・・，ｔ＋ｋにおいてそれぞれ予測された状態変数のベクトル：
【数２】
2004527860.tif 000004
【００１０】
および対応した制御アクションｕt，・・・，ｕt+k-1が得られる。
【００１１】
式（３）は式（１）の反復された展開である。右側の第１の項には、ベクトル転置ｘ’および定数マトリックスＰを使用して時間ｔ＋Ｎyにおいて予測された状態変数の二次関数が含まれる。第２の項は、ベクトル転置ｘ’および定数マトリックスＱを使用して時間ｔから時間ｔ＋Ｎy−１までにおける予測された中間的な状態変数の全てと、再び定数マトリックスＲによる二次形式での、同じ範囲に対する対応した制御変数ｕとの加算である。両方の場合において、各連続的な状態値ｘt+k-1は、式１を使用して前の状態値ｘt+kから求められる。ｕt+kの各値はその時間に対して予測された状態値と利得マトリックスＫの関数として求められる。ｙおよびｕに対する制約は、時間Ｎcまで制御される。関数Ｊはこのようにして構成される。
【００１２】
式（３）の左側は、状態ｘ（ｔ）と制御／入力変数のベクトルＵの関数Ｊを全ての時間インターバルに対して最小化することによって解空間から最適な解が選択されることを必要とする。関数Ｊは制御変数空間において最小化される。すなわち、Ｊが最小となるように、“という条件において”フィールド中の種々の条件を含む式（３）を満足させるＵの最適値が見出される。したがって、ｕ（ｔ）およびｘ（ｔ）の結果的に得られた値は図１に示されているように表されることができる。当業者は、現実の制御状況をＭＰＣ問題として表すことができる方式を十分に認識するであろう。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１３】
実時間計算に必要とされる処理パワーは著しく高いため、ＭＰＣの実際の構成において重大な問題が生じる。たしかに、非常に多くの変数が必要とされ、複雑なプロセスに対して必要とされる複雑な制御関数または著しく短い時間インターバルが所望された場合、この負担は費用、エネルギまたは空間でさえ効率の悪いものになる可能性が高い。さらに、解はオンラインで生成され、瞬間的な条件に対してのみ調整されるので、このモデル自身が適切であるかどうかに関する量的データは提供されない。
【００１４】
ＭＰＣ構成を改善する種々の試みが行われている。たとえば、Wassick氏他による米国特許第6056781号明細書においては、プラントまたはプロセスモデルに加えて、擾乱モデルがプラントモデルから導出されるものを表す。このバージョンにおいて、もし何等かのものがあるならば、実時間処理負担が増大される。Iino氏他による米国特許第5347446号明細書には、入力または操作された変数に対する制約ならびに制御された変数およびその制御された変数の変化率に対する制約を考慮したシステムが記載されている。さらに、その処理負担は依然重大な問題のままである。
【００１５】
Braatz氏他による米国特許第6064809号明細書では、制約集合、すなわち、入力または操作された変数に対する限界または制約を反復的に導出された楕円面の形態でオフラインでの数学的構成としてオフラインで近似し、上記の式３に対して簡単化された置換を実効的に行うことにより処理負担の問題が処理されている。しかしながら、この簡単化された構成は、それ故、スケールされ、その後通常のＭＰＣ様式でオンラインで解かれた近似に過ぎない。したがって、Braatz氏等はモデリングプロセスを改善するか、あるいは簡単化することによってこの問題にアプローチしたが、しかし依然として著しいオンライン計算パワーを必要としている。
【課題を解決するための手段】
【００１６】
本発明によると、制御変数および測定可能なパラメータを有するシステムの動作に対する明示制御解を導出する方法が提供され、その方法は次のようなステップを含んでいる。
【００１７】
この方法は前記制御変数および測定可能なパラメータに基づいてシステム動作モデルをオフラインで構成し、パラメトリック最適化を使用して前記制御変数および測定可能なパラメータに対する最適化された明示制御解をオフラインで構成するステップを含んでいる。この解は明示的であり、オフラインで構成されているため、この解を使用することによりシステムのオンライン制御が大幅にスピードアップされることができる。さらに、この明示解はオフラインで再検討され、制御システム／制御モデル自身に対する洞察を提供することができる。
【００１８】
明示制御解は、チップのようなデータ記憶装置に記憶されることが好ましく、システム動作モデルはモデル予測制御（ＭＰＣ）モデルであることが好ましい。明示制御解は、さらに正確な制御を可能にする連続した時間ドメインにおいて構成されることが好ましい。ＭＰＣは二次計画法（Quadratic Program）として公式化されることが好ましい。
【００１９】
制御解は、制御変数置換値または制御変数値を測定可能なパラメータ値の関数として含む少なくとも１つの制御変数値領域の座標空間を含み、その座標は測定可能なパラメータ値であることが好ましい。その結果、簡単で操作可能なパラメトリックプロファイルが提供される。測定可能なパラメータは、測定可能な状態またはシステム擾乱を含んでいてもよい。この方法はさらに、制御解を解析して、前記解析に基づいて訂正されたシステムモデルを構成するステップをさらに含むことができる。
【００２０】
本発明によると、最初のインターバルでシステムのパラメータをオンラインで測定し、予め規定されたパラメトリック最適化された明示制御解からの測定されたパラメータに基づいて制御変数を獲得して、制御変数をシステムに入力するステップを含んでいるシステムの動作を制御する方法がさらに提供される。
【００２１】
オンライン状態を測定して制御変数を獲得するステップが繰返されるオンラインを測定し、獲得するステップは、後続する時間インターバルで繰返されることができる。制御解は制御変数置換値または制御変数を測定可能な状態値の関数として含む少なくとも１つの制御変数値領域の座標空間を含んでおり、その座標が測定可能な状態値であることが好ましい。
【００２２】
本発明によると、制御変数と測定可能な状態とを有しているシステムの動作を制御するための制御システムがさらに提供され、この制御システムは、システム状態測定素子と、予め定められたパラメトリック最適化された明示制御解プロファイルを記憶するデータ記憶素子と、測定されたシステム状態値に基づいて前記データ記憶素子の制御解から制御変数を獲得するように構成されたプロセッサと、獲得された制御変数をシステムに入力するように構成された制御装置とを備えている。
【００２３】
この方法は、適切なコンピュータ読出し可能な記憶媒体中に記憶されることのできるコンピュータプログラムとして構成されることが好ましい。ここに記載されている方法によって導出された制御解を記憶するデータ記憶装置が本発明にしたがって提供される。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２４】
以下、図面を参照として本発明の実施形態を例示によって説明する。
本発明は、たとえば、モデル予測制御を使用してモデルベースの制御の問題に対する別の改良された実時間の解を提供する。とくに、そのプロセスモデルに“パラメトリック最適化”として一般的に知られている技術を適用することにより、本発明は、遭遇するであろう全ての動作パラメータに対して制御変数がオフラインで導出されることを可能にする。このようにして構成された明示解析制御解は、プロセスモデルが各時間インターバルで最適化される必要がなく、したがって処理負担を著しく軽減するように動作パラメータの関数としてチップまたは別のデータ記憶装置中に埋込まれる。その代わりに、制御変数は、動作パラメータの関数としておよび、またはルックアップ表の形態ですぐに利用可能である。さらに、その解はオフラインで見ることが可能であり、解決されるべき問題に関する情報を提供する。
【００２５】
パラメトリック最適化
パラメトリックまたは最適化あるいはパラメトリックプログラミングの技術は当業者によく知られ、一般原理は、この明細書において参考文献とされているGal,T氏による文献(1995)（“Postoptimal Analyses, Parametric Programming and Related Topics”,deGruyter,New York）、ならびに Dua,V. およびE.N.Pistikopoulos氏による文献(1999)（“Algorithms for the Solution of Multiparametric Mixed-Integer Nonlinear Optimization Problems”,Ind.Eng.Chem.Res.38,3976-3987）に記載されている。本質的に、パラメトリック最適化は、問題が最初に最適化問題として公式化され、目標関数および最適化変数が最適化問題中のパラメータの関数として得られ、その関数が有効であるパラメータ空間中の領域もまた得られる数学的技術である。最も一般的な形態においパラメトリック最適化問題は以下のように公式化されることができる：
【数３】
2004527860.tif 000005
【００２６】
ここで、ｙは０−１の２進変数のベクトルであり、ｘは連続した変数のベクトルであり、ｆはｘのスカラーの連続的な微分可能な関数であり、ｇはｘの連続的な微分可能な関数のベクトルであり、ｂおよびｄは定数ベクトルであり、ＥおよびＦは定数マトリックスであり、θはパラメータのベクトルであり、θminおよびθmaxはθに関する下限および上限のベクトルであり、ならびにＸおよびΘはそれぞれディメンションｎおよびｓのコンパクトな凸多面体集合である。
【００２７】
この最も一般的な公式は、最適化または制御変数ｘ，ｙの関数であるｚを、たとえば、ベクトルθによって表された測定可能な状態またはシステム擾乱であることのできるパラメータの関数として得るために最小化することが必要である。その一般化された公式は、制御変数が連続した値のベクトルｘまたは２進値ベクトルｙである場合をカバーする。パラメータ値θは最小および最大制約によって制限される。以下に説明する例において、パラメータ値は測定可能な状態である。
【００２８】
種々の特殊な場合に対する解が知られている。たとえば、制御変数ｙがなく（すなわち、２進変数がなく）、ｆ（ｘ）はｘにおいて二次の凸であり、ここで任意のＸ∋ｘ1、ｘ2および０≦α≦１に対してｆ［（１−α）ｘ1＋αｘ2］≦（１−α）ｆ（ｘ1）＋αｆ（ｘ2）ならばｆ（ｘ）は凸であると定義されており、ｇ（ｘ）がｘにおいて線形である場合、その問題はマルチパラメトリック二次計画法（ｍｐ−ＱＰ）の１つに減少される。この場合に対する解は、この明細書において参考文献とされているDua氏他による文献（“An algorithm for the solution of multi-parametric quadratic programs”(1999)tech.Rep.D00.7,Centre for Process Systems engineering,Imperial College London）に記載されている。以下、表１に示されているｍｐ−ＱＰ問題に対する解の様式の一例を説明する。
【００２９】
表１
ｍｐ−ＱＰの例：数学的公式化
【数４】
2004527860.tif 000006
【００３０】
認められるように、関数ｆ（ｘ）は変数ｘ1、ｘ2の二次関数である。ｘ1およびｘ2のそれぞれは、状態パラメータθ1、θ2に応じてさらに制約され、次にこれらのパラメータθ1、θ2が境界で制限される。この関数は、制御変数ｘ1、ｘ2空間において最小化される。すなわち、ｆ（ｘ）が最適化されるｘ1、ｘ2の値が見出される。
【００３１】
上記に参照とされたDua氏他による文献にしたがって生成された解は、図３に示されている座標空間θにおけるプロットの形態をとる。軸はそれぞれ状態パラメータθ1、θ2であり、ｍｐ−ＱＰ問題の最適化は、実行可能領域＃１乃至＃４によってそれぞれ表されているθの制限された範囲内には４つの可能な制御変数状態しか存在していないことを証明している。したがって、表１中のモデルによって表されるプロセス中の任意の地点において、ひとたび状態パラメータが測定されると、座標（θ1，θ2）を含む領域は識別され、制御変数値ｘ1，ｘ2がその領域から検索される。制御変数は純粋な数の形態で、あるいはθ1，θ2の単なる最適化された関数として記憶されてもよい。ｔ1，ｔ2がθ1，θ2をそれぞれ表す特定の例において、θ1，θ2の関数としての領域定義ならびに各領域に対するｘ1，ｘ2に対する値または関数は以下のとおりである：
【数５】
2004527860.tif 000007
【００３２】
ｘ1，ｘ2は、領域１に対して固定値を有しており、一方領域２乃至４に対しては、座標（θ1，θ2）の関数として表されていることが認められる。したがって、ｘ1，ｘ2は所定の領域内におけるそれらの位置に応じてその領域内で変化することが認識されるであろう。
【００３３】
別の特別な場合は、ｆ（ｘ）およびｇ（ｘ）がｘにおいて線形である場合である。その後、問題はマルチパラメトリック混合整数線形計画法（ｍｐ−ＭＩＬＰ）として与えられ、このｍｐ−ＭＩＬＰに対するアルゴリズムは、この明細書において参考文献とされているAcevedo J.およびPistikopoulos E.N.氏による文献（“A Multiparametric Programming Approach for Linear Process Engineering Problems under Uncertainty”(1997)Ind.Eng.Chem.Res.36,717-728）に記載されているように展開されている。
【００３４】
ｍｐ−ＭＩＬＰ問題は表２に示されている：
表２
ｍｐ−ＭＩＬＰの例：数学的公式化
【数６】
2004527860.tif 000008
【００３５】
この場合、ｆ（ｘ）およびｇ（ｘ）は連続した変数ｘ1およびｘ2と２進変数ｙ1，ｙ2の線形関数である。上記に参照とされたAcevedoおよびPistikopoulos氏による文献にしたがって生成された解は、図４に示されているθ1，θ2のプロットの形態をとり、この場合は以下に示されている最適な解をもつ５つの実行可能領域を有している。
【数７】
2004527860.tif 000009
【数８】
2004527860.tif 000010
【００３６】
ここで、ｔ１およびｔ２はθ1およびθ2にそれぞれ対応する。
【００３７】
さらに、この簡単な明示形態の解の表示により、制御プロセスを全体的に洞察することが可能となることが認識されるであろう。それは、状態測定がプロセス制御のために必要とされる程度を示すことが最も重要である。たとえば、非常に多くの測定された状態を有する複雑なプロセスにおいて、そのプロセス制御ハードウェアが対応した状態測定装置を除去するように設計または修正されることが可能であり、ソフトウェアが関連した測定された状態データの処理を除去するように設計または修正されることができるので、全てのレベルにおける効率的で経済的な動作のためのプロセス制御方式を提供した結果として、明示解は測定された状態の１以上のものとは無関係となることが完全に可能である。
【００３８】
パラメトリック最適化解が知られている別の特殊な場合は当業者により認識されるであろうと考えられるため、それらのさらに詳細な説明はここでは必要ない。
【００３９】
パラメトリック最適化技術の適応
これらの技術使用することにより、モデルベースの問題は、本発明によると、制御変数を最適化変数として定義すると共にプラントの状態をパラメータとして定義することによって制御されるべきプラントからの測定値の関数として制御アクションを提供するパラメトリック最適化を使用して最適化されることができる。その後、実時間動作中、プラントからの測定値が得られるとすぐに、この関数は、図５において全体的に20で示されているオンライン最適化ルーチンを使用して制御アクションを獲得するために評価される。
【００４０】
このアプローチによると、最適化されるべきモデルベースの問題は、既知のやり方でプラント／シテム／プロセス22に対して公式化される。明示制御解であるパラメトリックプロファイル24は、パラメトリック最適化技術26を使用してオフラインで構成される。示されている簡単化された方式において、プロファイルは、入力としての状態変数と出力としての制御変数の２次元プロットとして表されるが、しかし、このプロファイルは多次元であり、図３および４に関して上述された状態変数規定領域に依存した関数評価を含むことができることが認識されるであろう。したがって、プラント22のオンライン動作において、状態変数は入力28としてプロファイルに入力され、制御アクション30が瞬時に導出されるか、あるいはルックアップされて、プラント22にフィードバックされる。その結果、処理負担はフロントエンドにシフトされ、オンライン処理は最小化される。
【００４１】
式（３）のＭＰＣ問題に戻る；関数Ｊ（Ｕ，ｘ（ｔ））は加算：
【数９】
2004527860.tif 000011
【００４２】
として時間ｔにおけるｘt+k+1に対して式（３）に示されている公式を展開することにより二次計画法（ＱＰ）問題として公式化されることができる。
【００４３】
この項を式（３）に代入し、簡単な代数操作によってＱＰ問題が得られる：
【数１０】
2004527860.tif 000012
【００４４】
式（６）によって表されたＱＰ問題は、再び簡単な代数操作を使用することによってｍｐ−ＱＰとして公式化されることができる。：
【数１１】
2004527860.tif 000013
【００４５】
上記の微分は、離散した将来的なインターバルｔ，ｔ＋１・・・ｔ＋ｋに対する予測に基づいて、すなわち、離散時間ドメインにおいて行われるが、しかし類似した技術を利用して、連続した時間ドメインにおいて、すなわち、離散インターバルで測定値をとり続け、中間インターバルｔ＋１・・・ｔ＋ｋ−１が無限小である時間ｔ＋ｋにおける状態変数の将来的な連続したプロファイルをこれらの測定値から予測してｍｐ−ＱＰ問題を得ることが可能であることが認識されるであろう。
【００４６】
この場合、式（６）は次のように書き直される：
【数１２】
2004527860.tif 000014
【００４７】
ここで、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｂ1，Ａ1，Ｃ1，Ｈ，Ｄ，Ｆはそれぞれディメンションｎｘｎ，ｎｘｍ，ｎｘｓ，ｑｘｍ，ｑｘｎ，ｑｘｓ，ｒｘｍ，ｒｘｎ，ｒｘｓの時間不変マトリックスであり、ｂはディメンションｎのベクトルである。Ｑ1，Ｐ1，Ｒ1，Ｐ2，Ｑ2，Ｒ2は対称行列である。
【数１３】
2004527860.tif 000015
【００４８】
は状態時間依存変数のベクトルであり、
【数１４】
2004527860.tif 000016
【００４９】
は最適化変数のベクトルであり、
【数１５】
2004527860.tif 000017
【００５０】
は測定値を含む代数変数のベクトルであり、θは不確定パラメータのベクトルである。項：
【数１６】
2004527860.tif 000018
【００５１】
は元のものからの状態および制御変数の２規準（２−ｎｏｒｍ）を表し、一方項：
【数１７】
2004527860.tif 000019
【００５２】
はセットポイントからの状態および制御微分（ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ）の１規準または無限規準を表すことに注意されたい。この問題の時間の水平軸ｔfは有限であると考えられる。この水平軸内のＮfの離散瞬間に点制約が課せられる。最適化変数ｖは“制御変数”と呼ばれる。“という条件において”フィールドに示されている入口条件には、解かれるべき制御問題が含まれている。
【００５３】
（８）では連続モデルの中に積分および微分式が含まれ、一方（３）においては目標関数および離散化モデルの中に加算が含まれていたことに注意されたい。問題（８）は、（ｉ）Anderson,B.D. およびJ.B.Moore氏等による文献（(1989)“Optimal Control:Linear Quadratic Methods”,Prentice Hall,Englewood Cliffs,New Jersey）、（ｉｉ）Bryson,A.E.およびY.Ho氏等による文献（(1975)“Applied Optimal Control”,Taylor and Francis,New York）、および（ｉｉｉ）Kwakernak,H.およびR.Sivan氏等による文献（(1972)“Linear Optimal Control Systems”,Wiley Interscience,New York）に記載されており、これらは全てこの明細書において参考文献とされている。
【００５４】
問題（８）に関するパラメトリック解析の結果は、最適目標（φ）および最適化変数（ｖ）を、パラメータバリエーションの完全なスペース（ｃｏｍｐｌｅｔｅ  ｓｐａｃｅ）に対するパラメータ（θ）の関数として表すことである。これは、問題（８）を、定常状態パラメトリックプログラミングの現在の技術により解かれることのできる形式に変換することによって達成されることができる。この場合におけるこのような形式は、ｍｐ−ＱＰ公式である。
【００５５】
最適制御問題を解くための制御ベクトルパラメータ化を適合させることによって［たとえば、ここにおいて参考文献とされているPollardおよびSargent氏等による文献（ “Off-line Computation of Optimum Controls for Plate Distillation Column”,1970,Automatica 6,59-76）］、最適化問題はｖ変数の減少された空間においてのみ考慮されることができる。これは、もちろん、ｖ，θの関数として制約および目標の中に現れるｘ変数の明示マッピングを必要とする。この式は、式（８）における線形ＯＤＥシステムを解くことによって得られる。このシステムの解は正確であり、時間不変パラメータおよび最適化変数の場合には以下の解析的な式によって与えられる：
【数１８】
2004527860.tif 000020
【００５６】
ｅAtは、固有値または別の分解解析方法により規定されるマトリックスの指数である（“Matrix Computation”,Second Edition Colub and Van Loan,1990,The John Hopkins University Press）。
【００５７】
式（９）における積分評価には、時間にわたる不確定および制御変数のプロファイルの形式が特定される必要がある。制御変数は通常、多項式中の係数の値が最適化期間中に決定される時間にわたる区分的多項式形関数として表される［この明細書において参考文献とされているVassilisdis,V.S., R.W.H.Sargent およびC.C.Pantelides氏等による文献（(1994)“Solution of a Class of Multistage Dynamic Optimization Prblems.1.Problems without Path Constraints.”Ind.Eng.Chem.Res.33,2111-2122）］。多項式の次数がゼロであると仮定されている場合、制御プロファイルは区分的定数離散化に対応することに注意されたい。不確定θの場合に対して、それは不確定な振幅または平均値の周期的な高調波振動、すなわち、時間にわたる正弦関数を使用することによって説明される［この明細書において参考文献とされているKookos,I.K. およびJ.D.Perkins氏等による文献（(2000)“An Algorithm for Simultaneous Process Design and Control”,Tech.Rep.A019,Centre for Process Systems Eng.,Imperial College,London）］。さらに複雑な周期関数の形式は、フーリエ解析を使用することにより正弦関数の線形組合せに軽減されることに注意されたい。（９）を式（８）に代入し、それによって微分式のシステムを除去することによって、問題は以下のように変換される：
【数１９】
2004527860.tif 000021
【００５８】
式（１０）においてマトリックス時間積分を評価することにより、目標関数は、パラメータθおよび制御変数ｖのみの二次時間不変関数として明示的に表される。しかしながら、制御変数、パラメータおよび時間の明示的関数であるパス制約に対しては同じことは該当しない。このような制約の時間依存性は問題（１０）を無限次元的なものにする。この困難は、無限次元のパス時間変化制約を点制約の等価な有限数に変換する以下の技法を適用することによって乗越えられる：
１．水平軸内の特定の点でのみ満足される必要のある内点制約の有限数を考慮する。
２．この特定の内点制約集合に対する最適化問題を解く。
３．同じ制約が完全時間水平軸中の全ての各時間瞬間に対して満足されるかどうかをテストする。
４．制約のあるものが特定の点ｔkで侵害された場合、これらの点をステップ１中に追加（ａｕｇｍｅｎｔ）し、制約が完全時間水平軸に対して満足されるまで続行する。
【００５９】
この技法は、完全時間水平軸にわたって満足される必要のあるパス制約を、特定の時点でのみ成立し、したがって本質的に有限である等価な一連の点制約に変換する。
【００６０】
したがって、（１０）のパス制約の中の時間は、適切な固定時間瞬間ｔkの集合によって置換され、ここでｋ＝１・・・ｋである。結果的に、制約は制御変数およびパラメータのみの線形関数になる。したがって、問題（１０）の等価な数学的記述は：
【数２０】
2004527860.tif 000022
【００６１】
ここで、Ｌ1はスカラー定数であり、Ｌ2，Ｌ3，Ｌ4，Ｌ5およびＬ6は適切な次元の定数ベクトルおよびマトリックスである。
【００６２】
問題（１１）はマルチパラメトリック二次計画法（ｍｐ−ＱＰ）であり、その解は、離散時間の場合と同様に、状態変数と不確定パラメータの関数として制御変数を提供する。
【００６３】
その結果、ｍｐ−ＱＰ問題に対する既知のパラメトリック最適化技術は、ｚに対する全部の解のセットおよび、したがってｕを以下の形式のｘのアフィン関数として得るために離散、または連続した時間ドメインにおいてＭＰＣ問題に対して適用されることができる：
ｕ＝ｐTｘ＋ｑ                      （１２）
ここで、上述のDua氏等による文献に示されているもののような適切なアルゴリズムおよび技術を使用して、および当業者によく知られているように、ｘの完全な実行可能空間（すなわち、制御変数の全利用可能範囲）に対してｐは定数ベクトルであり、ｑはスカラー定数である。これは全てオフラインで行われるので、オンラインは、制御変数に対して導出された関数を評価し、あるいは解く制御計算だけである。
【００６４】
上述されたシステムの限界とは、モデルの不正確さと、および擾乱が付加的なパラメータとしてモデル化されることのできる範囲を除いた一定の擾乱とを考慮しないことである。したがって、プロセス性質（ｂｅｈａｖｉｏｒ）の不正確な予測は、仕様からはずれた生産、過度の廃棄物処理または危険性の高いプラント動作のような実現不可能なものを生じさせる可能性が高い。以下、擾乱を補償する２つの一般的な技法を説明する。
【００６５】
実際のプロセスでは、通常、センサ誤動作による擾乱、触媒の汚れによるプロセスまたはシステムの性能低下、雑音、人為的エラーまたは間違い、費用、またはモデルの誤りが他の可能なファクタの中に存在する。これらの擾乱は常に測定可能であるとは限らず、したがって最適制御法則を導くときにこのような擾乱を考慮することが望ましい。
【００６６】
上記の式（３）に戻ると、プロセスシステムに対する明示モデルベースの制御法則を導く適切な公式化は次のとおりである：
【数２１】
2004527860.tif 000023
【００６７】
出力は、制御されることを意図された、すなわち、それらのセットポイントｙo（温度、濃度であってもよい）にされることを意図された変数であり、一方状態は、現在のプロセス条件（エンタルピー、内部エネルギ、体積であってもよい）を完全に特徴とする変数である。ｖNは後退（ｒｅｃｅｄｉｎｇ）水平軸にわたる制御ベクトルのシーケンスを示す。（１３）において、状態の代りに出力が目標関数に関与することに注意すべきである。出力は状態の線形関数であるため、加重マトリックスＱに関する適切な再構成により、この公式（１３）は上記の式（３）と等価になる。
【００６８】
現在の状態ｘtをパラメータとみなすことによって、問題（１３）は（７）において与えられた形式のマルチパラメトリック二次計画法（ｍｐ−ＱＰ）として書き直される。その問題の解は、現在の状態に関する最適制御アクションを表すシステムの明示制御の法則に対応している。このパラメトリックコントローラの数学的な形は（１２）において与えられたものに類似しており、それは以下のとおりである：
【数２２】
2004527860.tif 000024
【００６９】
ここで、Ｎcは状態空間中の領域の数である。マトリックスａc，ＣＲ1cおよびベクトルｂc，ＣＲ2cはパラメトリックプログラミング問題の解から決定され、インデックスｃは、各領域が異なった制御法則を許容することを示している。ベクトル
【数２３】
2004527860.tif 000025
【００７０】
は制御シーケンスの最初の要素であり、制御要素の残りのものに対して、類似した式が導かれる。
【００７１】
前のパラグラフで説明したモデルベースのパラメトリックコントローラは、システムを入力としてエンターするか、あるいはモデリングエラーおよび時間変化プロセス特性に由来する永続的にゆっくり変化する測定されていない擾乱および上述したタイプの不確定の影響を計算しない。これらの擾乱は結果的に、ターゲット値からの出力変数のオフセット、すなわち、永続的な偏差を生じさせ、さらに制約侵害を発生させる可能性がある。以下に説明するように、本発明によると、比例積分（Ｐ１）制御およびオリジン再調節の２つの可能な解決技術が導入される。擾乱評価にしたがった適切なモデル再調節は、現在の条件へのモデルベースコントローラの反復オンライン適合を可能にする。
【００７２】
図６は、ステップ擾乱が上述したコントローラにより制御されているプラントに入って、伝搬する状況を示している。図６に示されている概略図において、“通常のｐａｒｃｏ”とは上記の説明によるモデルベースコントローラのことであリ、一方“ＰＩ−ｐａｒｃｏ”とはパラメトリックＰＩのことである。制御された出力の図７に示されている結果的に得られたプロファイルから、それはセットポイントに近づけられるが、この場合はｙset＝０であるセットポイントｙsetと出力ｙとの間にオフセットが存在していることが認められる：
Δｙ＝ｙ−ｙset            （１５）
【００７３】
オフセットの理由は、モデルが擾乱の存在を予測していないためである。
【００７４】
オフセットを除去するために、本発明による第１のアプローチに続いて、積分状態がモデルベースの最適化フレームワークに組込まれる。これは、オフラインで得られるパラメトリック比例積分コントローラ（“パラメトリックＰＩ”）を提供する。以下においてさらに詳細に説明されるように、とくに、積分状態が動的システムに入れられ、それはまた特定の待ちペナルティを伴なって目標関数に入れられる。上述したモデルベースのパラメトリック制御の法則を得るために、更新された問題が再び解かれる。
【００７５】
Seborg氏他による文献（(1989)“Process Dynamic & Control”,Wiley & Sons）に記載されている通常のフィードバック制御方式において、擾乱の存在による出力変数のセットポイントからのそれらの任意の永続的な偏差を減じる積分動作が組込まれる。これは、いわゆる比例積分コントローラ（ＰＩ−コントローラ）を生じさせる。この明細書では、通常原点である出力の基準点からのこの出力の関連偏差に等しい積分状態を導入することにより、同じ目的のために積分動作の組込みが行われる。この状態は目標関数における付加的な２次（ｑｕａｄｒａｔｉｃ）ペナルティとして追加（augment）される［KwakernaakおよびSivan氏等による文献（(1972)“Linear Optimal Control Systems”,John Wiley & Sons Ltd）］。この技術はまた、一般モデル制御フレームワーク［LeeおよびSullivan氏等による文献（(1988)“Generic Model Control(GMC)”,Comput.Chem.Eng.12(6),573-580）］によって採用されているが、しかしその制御方式では状態制約または別のモデル特性は考慮されず、制御アクションを得るためにオンライン最適化が要求される。積分状態の組込み後の式（１３）は次のように修正される：
【数２４】
2004527860.tif 000026
【００７６】
ここで、ｘｑは積分状態であり、Ｑ1およびＰ1は、その状態に対応した二次費用である。太字で示された項は積分動作を考慮し、式（１３）と比較したとき、それらは付加的な項であることに注意すべきである。
【００７７】
式（１６）および関連した条件は、付加的な状態ｘｑを目標関数における付加的な項および前の積分状態値および各出力に依存した付加的な条件として実効的に導入する。
【００７８】
動的システムに関連した等式を除去し、現在の純粋な積分状態をパラメータとみなすことにより、式（７）に類似したマルチパラメトリック二次計画法が公式化される。このｍｐ−ＱＰは、以下の区分的アフィン制御法則に対応する：
【数２５】
2004527860.tif 000027
【００７９】
これは、式（１２）において与えられるものに類似している。
【００８０】
式（４）によって表された区分的アフィン多変数コントローラには、状態に関する比例部分ａcｘt（ｔ*）と、出力に関する積分部分ｄcｘｑtと、およびバイアスｂcとが含まれており、したがってそれはパラメトリック比例積分コントローラ（パラメトリックＰＩ）である。この制御法則は漸近的に安定しており、したがってそれは、（ｉ）制御のディメンションは出力ディメンション以上である：ｑ≧ｍ、これは制御問題における普通の場合である、（ｉｉ）方程式から定められた開ループ伝達マトリックス：Ｈ（ｓ）＝Ｂ1（ｓＩ−Ａ1）-1Ａ2＋Ｂ2はオリジンにおいてゼロを所有しない、および（ｉｉｉ）積分エラーにペナルティーを科す二次費用マトリックスＱ1は正の定符号である、の条件を付けた上でターゲットポイントからの定常状態オフセットがないことを保証する。
【００８１】
同様に、微分動作がパラメトリック制御の法則において適応されることができる。現在および前の出力変数の差に等しい代数変数が公式において導入される。この変数は以下のように目標関数においてペナルティーを科せられる：
【数２６】
2004527860.tif 000028
【００８２】
この問題の解は、明示微分動作を特徴づけるパラメトリックコントローラとなる、すなわち、パラメトリック比例積分微分（ＰＩＤ）コントローラが結果的に得られる。積分動作組込みとは異なり、ここでは、システムの状態は不変のままである。微分関数は出力軌道の変化率にペナルティーを科すため、速い整定時間および、したがって改善された擾乱除去を達成できる利点がある（Seborg氏他による文献,1989 ibid）。
【００８３】
このシステムは擾乱または不確定の推定量の存在を必要としない。それは、これが積分動作を介して暗示的に考慮されるためである。この方法は、現在の擾乱の実際にしたがって予測モデルを修正しない。結果的に得られたモデルベースコントローラが制約限界を正確におよび即座に位置付けないで、実現可能領域の境界付近で動的に動作しているとき、可能な制約侵害を生じさせることを防止するために、出力セットポイントが制約を離れるように移動されるバックオフの既知の技術が適用される（たとえば、NarrawayおよびPerkins氏等による文献,1993）。積分および微分動作は別々に計算され、それぞれ永続的なＰＩおよび永続的なＰＤコントローラを生じさせることができ、あるいはそれらは同時に使用され、結果的に永続的なＰＩＤコントローラを生じさせることができる。この永続的なＰＩＤコントローラは、予め得られた制御式の中に追加項を単に含むことにより得られるのではなく、元のモデルベース最適制御公式を系統的に修正し、結果的に得られたパラメトリック最適化問題を暗示追加項により解くことに基づいている。
【００８４】
したがって、解スペースは、明示制御の法則をそれぞれ備えているが、しかし全てのＰＩ／ＰＩＤアクションに対して最適化を行って制御アクション解を状態の関数である出力の積分ｘｑおよび微分ｙｄとして明示的に獲得することにより擾乱を考慮する１以上の領域を含んでいる。これは、特別（ａｄ−ｈｏｃ）積分／微分制御チューニングに基づく既存の解とは対照的に制御の法則の系統的な強化を可能にする。
【００８５】
第２のアプローチは、現在の条件に対するモデルベースのコントローラの反復オンライン適合を可能にするモデル再調節アプローチである。以下さらに詳細に説明するように、このシステムによると、擾乱の評価に応じて、新しい最適定常状態点が状態およびコントロールに関して識別されることができる。式（３）および（４）に示されているパラメトリック最適化によってオフラインで得られた明示制御の法則は、擾乱の存在をオンライン動作の中に組込むように修正され、実際には解空間をシフトする。
【００８６】
既知のシステムにおいて、ＭＰＣコントローラにおける擾乱レギュレータ（ｒｅｇｕｌａｔｏｒ）の組込みは、擾乱値を評価し、それに応じてモデルを更新して非ゼロ出力ターゲット追跡を保証することによって行われる［Li氏他による文献（(1989)“A state space formulation for model predictive control” AIChEJ.35(2),241-248）；MuskeおよびRawlings氏等による文献（(1993)“Model Predictive Control with Linear Models” AIChEJ.3a(2),262-287）；LoebleinおよびPerkins氏等による文献（(1999)“Structural design for on-line process optimisation“I.Dynamic Economics of MPC” AIChEJ.45(5),1018-1029）］。これらの既知の解に関する問題は、事実上、最適化問題をオンラインで反復的に解くことによってのみ解が予測されることができ、その結果として制御の法則が得られることである。その結果、モデルおよびプロセスに関する有用な情報が失われる。
【００８７】
本発明によると、モデルをオンラインで更新し、得られた制御の法則をそれにしたがって修正するメカニズムが生成される。（ｉ）現実のプロセスプラントであるものと、（ｉｉ）表３に示されているプロセスの振舞いの評価を表すモデルであるものの２つのシステムの間で区別が行われる：
表３：現実対予測モデル
【表１】
2004527860.tif 000029
【００８８】
ここで、ベクトルθはシステムに入る実際の擾乱ベクトルであり、ｗは擾乱評価である。ベクトルｗはステップ擾乱としてモデル化され、したがって後退水平軸にわたって一定であるが、しかしプロセスプラントに関する情報の一部が利用可能になるたびに異なった認識を受け入れる。現実のシステムにおいて、評価された項は
【数２７】
2004527860.tif 000030
【００８９】
であることが認められるであろう。これは、導かれたモデルベースの項が存在する、すなわち、モデルが擾乱に対して組込まれていた任意の追加の項において式（３）におけるｘに対する条件とは区別される。現実には、θは式（３）において考慮されるように測定されることはできない。
【００９０】
擾乱がシステムの中に入ると、測定された出力
【数２８】
2004527860.tif 000031
【００９１】
と予測された出力ｙとの間の予期されたずれ（ｄｉｓｃｒｅｐａｎｃｙ）ｚが時間ｋで生じる。これは、擾乱が伝播した１インターバル後に、すなわちｋ＋１において計算される：
【数２９】
2004527860.tif 000032
【００９２】
ずれを生じさせた擾乱は後続したインターバルにおいて同じ値のままであるという仮定に基づいて、その評価は、
【数３０】
2004527860.tif 000033
【００９３】
を提供するように再構成することによって決定される。ここで、（Ｂ1Ｗ＋Ｆ）PはマトリックスＢ1Ｗ＋Ｆの擬似逆数である。この代数操作は、反復的最小２乗法を介して擾乱評価を行う［Stengel氏による文献（(1994)“Optimal Control & Estimation”Dover Publications,Media,New York）］。そうでなければ、さらに現実的なカルマンフィルタ推定量が使用されることができる。擾乱のサイズが出力のサイズと同じである場合、擬似逆数がマトリックスの和の逆数に減少するので、この評価方法は正確であることに注意すべきである。しかしながら、その場合でも、使用されたモデルの中に通常隠れエラーが存在するために、実際の擾乱値は評価されたものと同じであることは稀である。
【００９４】
擾乱値に基づいて、新しい定常状態点［ｘSｖS］が計算される。出力変数ｙのディメンションが入力制御ｖのディメンションに等しく、新しい定常状態において入力および状態制約が侵害されない場合、これは以下のように行われる：
【数３１】
2004527860.tif 000034
【００９５】
そうではなく、ｑ＝ｄｉｍ（ｖ）≧ｍ＝ｄｉｍ（ｙ）であり、アクティブな状態制約が存在しない場合、新しい定常状態点の評価は、以下の最適化問題の解を必要とする（Muske and Rawlings,1993 ibid）：
【数３２】
2004527860.tif 000035
【００９６】
ここで、ｖ0は通常ｖ0＝０として採られる擾乱前の制御公称値であり、同様にｙ0は通常ｖ0＝０の出力公称セットポイントである。制御より多くの測定が行われた場合は通常結果的に実現可能な問題になる。これは、全ての出力がそれらの元のセットポイントにされることができるとは限らない場合である。したがって、可能な限り前のものに近い新しいセットポイントが計算される必要がある。これは以下の最適化問題を解くことによって行われる：
【数３３】
2004527860.tif 000036
【００９７】
新しい最適な定常状態の計算後、制御の法則は以下のようにシフトされる：
【数３４】
2004527860.tif 000037
【００９８】
ｙ＝ｘのとき、（２１）の解は、出力に対するターゲット値であるｘs＝ｙ0＝０を発生することに注意されたい。最適化（２２，２３）はオンラインで行われ、したがって結果的に最適な制御法則の決定の調節期間中の計算が正確なものになる。その代り、予測された擾乱ｗをパラメータと見なすことによって、これらの二次最適化問題は、ｍｐ−ＱＰアルゴリズムによって容易に解かれるマルチパラメトリック二次計画法として再度公式化される［Dua氏他による文献（(2000)“An Algorithm for the solution of Multi-parametric Quadratic Programs”(1999)tech.Rep.D00.7,Centre for Process Systems engineering,Imperial College London）］。これらのｍｐ−ＱＰ問題の解は、再調節された定常状態点の区分的アフィン式を擾乱の関数ｖs（ｗt），ｘs（ｗt）として提供する。したがって、更新された定常状態の評価は、問題特性にかかわらず、簡単な関数評価に軽減される。
【００９９】
修正された制御法則（２４）の微分は、（ｉ）純粋な状態または混合された入力、出力、状態制約はその実施期間中は侵害されず、（ｉｉ）入力境界は越えられない、たとえば、定常状態をオンラインでシフトした後、
【数３５】
2004527860.tif 000038
【０１００】
という仮定に基づいている。これらの条件のいずれかが発生した場合、最適制御ポリシーは擾乱ｗtをパラメトリック二次最適化問題（１３）の中に明示的に組込んで以下の式を生成することにより決定される：
【数３６】
2004527860.tif 000039
【０１０１】
問題（２５）において、現在の状態ｘtおよび擾乱ｗtの両者は、後退水平軸にわたって一定のままであるパラメータとして扱われる。この問題を解くことによって得られる制御法則は、フィードフォワード要素
【数３７】
2004527860.tif 000040
【０１０２】
を含む区分的アフィン形式を有する：
【数３８】
2004527860.tif 000041
【０１０３】
新しい出力測定が利用可能になるたびに、擾乱値ｗtがそれらの評価（式２０）にしたがって更新される。次に、それらは（２６）に示されている明示制御法則に対して現在の状態値と共に定期的に提供され、新しい制御シーケンスが計算される。その結果、擾乱に関する情報を測定によって得る必要がなく、それによってさらに現実的な擾乱推定量が導入されることが可能になる。
【０１０４】
その結果、最初に制御法則が得られ、その中にオリジン再調節が直接擾乱評価の形態で導入され、その結果擾乱は常にパラメータとして含まれる必要はない。上述したように、擾乱はオンラインで得られ、制御の法則は、追加情報が擾乱に関して得られたときに式（１９）乃至（２６）において示されている代数操作を使用して、擾乱項をさらに正確に特定することによって更新される。特定の擾乱パラメータはパラメトリックプログラミング中に組込まれる必要がないため、結果的に得られた解はオフライン処理に対して計算上さらに魅力的である。実際には、オンライン処理が非常に簡単で迅速である。
【０１０５】
図７を参照とすると、実際の擾乱（上方トレース、θ）と予測された擾乱（下方のトレース、ｗ）との間の相違が認められる。
【０１０６】
設定点追跡は、式（２１）の右側に変分（ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ）項ｙrefを含む、すなわち、
【数３９】
2004527860.tif 000042
【０１０７】
を
【数４０】
2004527860.tif 000043
【０１０８】
で置換することによって類似した方式で扱われる。したがって、状態および制御値に関する新しい定常状態が計算される。状態制約侵害の場合、基準点はパラメータとして扱われ、制御の法則に明示的に含まれる。制御法則の再調節は、パラメトリックコントローラの設計期間中に追加の計算負担なしに容易に行われる。他方において、パラメトリックＰＩＤコントローラは各出力に対して付加的状態の組込み、したがって動的システムの次数の増加およびその結果制御法則の導出中の計算の増加を必要とする。コントローラは、そのチューニングを自動的に再調節して擾乱の存在を計算することによって出力フィードバックを行う。擾乱および不確定のソースに関する情報がないとき、マトリックスＷおよびＦは知られない。その場合、項Ｆｗtは無視され、予測モデルの中の項Ｗｗtは単一の不確定ベクトル
【数４１】
2004527860.tif 000044
【０１０９】
によって置換される。その後、更新されたターゲットポイントｘs，ｖsの評価は不正確さの結果、基準点からの永続的な定常状態のずれを生じさせる。この現象はまたオンライン制御および最適化の分野における別の研究者によって観察されている［Visser氏による文献（(1999)“A Feedback based implementation Scheme for batch process optimisation”Phd Dissertation Ecole Polytechnique de Lausanne）］。このオフセットの処理は、積分動作をパラメトリック比例積分コントローラ設計中のものとして組込むことによって行われる。２つの技法、すなわち、パラメトリックＰＩＤコントローラとモデル再調節のこの組合せから、２つの異なったアプローチの利点を採用した強化されたコントローラ設計が得られる。この技術を特徴とするコントローラの訂正アクションは、擾乱評価が行われた後でのみ適用される。したがって、制約境界でプロセスが動作しているあいだに擾乱が発生したとき、技法は制約侵害を受ける。この侵害は、予測メカニズムが擾乱を認識するまで持続し、この認識は次のサンプリング時間インターバルで発生し、モデルベースのコントローラがそれを補償することを可能にする。ここで、このような状況を阻止するためにバックオフもまた使用されることができる。
【０１１０】
本発明は任意の適切な方法で行われることが可能であることが認識されるであろう。たとえば、関与するアルゴリズムは、たとえば、Ｍａｔｈ  Ｗｏｒｋｓ社によって販売されているＭＡＴＬＡＢソフトウェアパッケージを使用する等、任意の適切なソフトウェアで実施されてもよい。以下、実際の制御問題において使用される技術の特定の例を説明する。
【０１１１】
特定の例
以下、図８を参照として通常のプロセスに関連してＭＰＣに適用されるパラメトリック最適化の一例を説明する。この問題は文献（“Procedure for regulating control structure selection with application to the FCC process”Hovd,M. and Skogestad,S.(1993)AIChE J.39,1938）中で研究されたものに基づいている。全体を符号40で示されている流動化された触媒分解装置（ＦＣＣ）は、重い炭化水素を高いオクタン価のガソリンに分解するために精製プロセスにおいて使用され、濃密ベッド領域56および希釈ベッド領域58を有する熱交換器（regenerator）42と、ライザー45を有する反応器−分離器44とを含んでいる。重い炭化水素が反応器−分離器44の底部における入口46で導かれ、熱交換器42からライン48を通ってバルブ49により制御された速度Ｆsで入って来る高温の触媒と混合される。混合物が反応器−分離器44を通って上昇するにしたがって、重い炭化水素は（ｉ）軽い炭化水素生成物と、（ｉｉ）コークとに分解する。コークは触媒上に沈殿させられ、その活動を減じる。
【０１１２】
反応器−分離器44の上部において出口ライン50から生成物が収集され、使用された触媒が戻りライン52を通って熱交換器42に戻されて再生利用される。コークを燃焼して使用された触媒を再生するために、熱交換器42の底部において空気がバルブ53により制御された速度Ｆaでライン54を通って供給される。排気ガス60が熱交換器42を出て導管に入る。
【０１１３】
この問題に対して、制御変数はＦsおよびＦaであり、状態変数は、熱交換器42中のコークの大半の部分Ｃrcと、熱交換器42内の触媒ベッドにおける温度Ｔrgである。状態変数に対するターゲット値は：
【数４２】
2004527860.tif 000045
【０１１４】
であり、性能指標は、それらの公称経済最適動作点からの制御および状態積分の２次微分からなる。
【０１１５】
したがって、最適化問題は、以下のように書き直された式（８）を使用してｍｐ−ＱＰに関して上述した連続時間モデルを使用して制御変数を操作し、これらの状態値を得ることである：
【数４３】
2004527860.tif 000046
【０１１６】
したがって、式（２７）は、当業者によく知られ、この明細書では上記において参考とされているHovd & Skogestad氏等の文献に基づく方法で、最小化された公式化される関数を表している。
【０１１７】
マトリックスＡ，Ｂ，Ｄ，Ｈはモデルプロセスから得られ、Hovd & Skogestad氏等の参考文献に与えられている（本明細書の付録Ａを参照されたい）。費用関数におけるマトリックスＱ，Ｒは：
【数４４】
2004527860.tif 000047
【０１１８】
とみなされ［Pantas,A.V.氏による文献（(1999)Robustness and Economic Considerations in the Design of Multivariable Optimal Controllers,PhD Thesis,Imperial College,University of London）］、最終的な費用に関連したマトリックスＰは、閉ループシステムに対する安定性を保証するために連続したリャプノフ式ＡTＰ＋ＰＡ＋Ｑ＝０から得られる［Lewis,F.L.およびV.L.Syrmos氏等による文献（(1995)Optimal Control 2ndEd.John Wiley and Sons,New York）］。この問題に対する適切な最終制御水平軸は、Chmielewski,D.およびV.Manousiouthakis氏等による文献（(1996)On Constrained Infinite Time Linear Quadratic Optimal Control, Systems and Control Letters 29,121-129）において展開された実現可能性および安定性基準に基づいて計算され、得られた値はｔf＝６分である。制御変数は、４つの等しい大きさの要素ｖ＝［ｕ1，ｕ2，ｕ3，ｕ4］に関して区分的定数関数として離散化される。要素の数はサンプリング時間［Seborg,D.E.,T.F.EdgarおよびD.A.Mellichamp氏等による文献（(1989)Process Dynamic and Control,Wiley and Sons）において明確に設定されたガイドラインから決定された］と制御水平軸の関数である。各制御要素は、後退時間水平軸において異なった時間インターバルで適用される。すなわち：
【数４５】
2004527860.tif 000048
【０１１９】
ここで、ｔ0＝０分、ｔ1＝１．５分、ｔ2＝３分、ｔ3＝４．５分、ｔ4＝６分である。この制御記述に対して、動的システム（２７）の解析解は以下の状態時間プロファイルを提供する：
【数４６】
2004527860.tif 000049
【０１２０】
これらの状態関数（２９）を問題（２７）の目標および制約に代入すると、自由最適化変数だけが制御要素：ｕ1，ｕ2，ｕ3，ｕ4になる。結果的に得られた問題の数学的な式は：
【数４７】
2004527860.tif 000050
【０１２１】
時間変化項Ｓ2，Ｓ3，Ｓ4，Ｓf，Ｗ2，Ｗ3，Ｗ4，Ｗfは、マトリックス操作によって問題マトリックスＡ，Ｂ，Ｑ，Ｒ，Ｐから得られる。式（３０）におけるマトリックス時間積分を評価することにより、目標は現在の状態ｘ0と制御要素ｕiだけの二次時間不変関数として明示的に表される。しかしながら、制御要素と現在の状態と時間の明示関数である制約に対しては同じことは該当しない。制約の時間依存性は問題（３０）を無限次元的なものにする。この欠点は、パス時間変化制約の無限数を、この明細書のはじめで述べた点制約の等価な有限集合に変換する技法を適用することによって乗越えられる。したがって、式（３０）の指数関数の中の時間ｔは時間固定瞬間ｔkの適切な集合によって置換され、ここでｋ＝１，・・・Ｋである。その結果、制約は制御要素と現在の状態だけの線形関数になる。したがって、適切な代数操作後の問題（３０）の等価な数学的記述は以下のとおりである：
【数４８】
2004527860.tif 000051
【０１２２】
問題（３１）は、明確に設定されたｍｐ−ＱＰアルゴリズム（上述したDua氏他の参考文献に記載されている）を使用して解かれるマルチパラメトリック二次計画法であり、特定の例に対する解に対するマトリックスおよびその他の値は付録に与えられている。この問題の解は制御アクションの明示マッピングを現在の状態の関数として提供する。このマッピングはプロセスシステムに対する最適制御の法則を表す。制御の法則は図９に示されているように３９の領域に分割され、この図において各領域は異なった制御・状態フィードバック式に対応している。たとえば、図９において［１］として示されている領域は以下の不等式によって定義される：
【数４９】
2004527860.tif 000052
【０１２３】
この領域において、第１の制御要素に対するフィードバック制御の法則は以下の式によって与えられる：
【数５０】
2004527860.tif 000053
【０１２４】
図９に示されているパラメトリック解は、再び、状態パラメータＣrcおよびＴrgに対する実行可能な制御変数領域の図を含んでおり、ＣrcおよびＴrgの空間中の各領域は式（３３）に示されているタイプの領域内に入っている座標（Ｃrc，Ｔrg）に対する制御ストラテジに対応する。簡明化のために、ある領域だけが番号を付けられている。図９には、３つの異なった初期状態のそれぞれに対する実際の制御ストラテジもまた示されている：
【数５１】
2004527860.tif 000054
【０１２５】
第１の場合において、状態パラメータは（４．１６６×１０-3，９３０．８）における（Ｃrc，Ｔrg）に対する始点70から（５．２０７×１０-3，９６５．４）におけるターゲットポイント72に進む。始点70は、以下の制約によって記述される領域１５に入ることが認められるであろう：
【数５２】
2004527860.tif 000055
【０１２６】
この領域において、制御変数値を支配する制御関数は次式によって与えられる：
【数５３】
2004527860.tif 000056
【０１２７】
また、（Ｃrc，Ｔrg）の代りに始点の座標（４．１６６×１０-3，９３０．８）を使用することによって、制御アクション：
Ｆs＝４００
Ｆa＝４０．６２
が提供される。
【０１２８】
図８に戻ると、これらの変数は入力値49，53をそれぞれ制御することによって入力され、状態パラメータは再び次の測定インターバル74で測定される。これは別の領域に入り、したがって対応した制御変数を得るために対応した計算が繰返される。ターゲットポイント72に到達するまで、このステップが繰返されてパスＡを規定し、これに続いて訂正アクションが適切に実施される。パスＢおよびＣは、上記にリストにされた第２および第３の初期状態から同様に行われた制御ポリシーを表す。
【０１２９】
図１０のａおよびｂは、時間に対する状態変数Ｃrc，Ｔrgのそれぞれに対するプロセスについての対応した状態プロファイルを示しており、両変数は制御方式の下でターゲット値で急速に安定することが認められる。
【０１３０】
同様に、図１１のａおよびｂは、各測定インターバルで変化し、このプロセスがそのターゲットポイントに到達すると訂正バリエーションに安定する状態空間における各パスＡ，ＢおよびＣについての時間に対する制御変数Ｆs，Ｆaの対応した段階的変化を示している。システムの時定数が６０分であるにもかかわらず、混乱の２０％が５乃至１０分で減衰されるため、優れた性能がコントローラによって達成される。
【０１３１】
本発明の擾乱除去特徴を示すために、NewellおよびLee氏等による文献（(1989)“Applied Process Control−A case study”Prentice-Hall,Sydney）に記載されている図１２に示されている蒸発装置プロセスに対する制御ポリシーの決定に関する一例を検討する。システムは、揮発性および不揮発性材料を含む混合物から揮発性成分を除去し、その結果として不揮発性成分に富んだ生成物が得られる。これは、アルミナ製造業、砂糖工場および製紙工場のような工場で使用される工業プロセスである。図１２は、材料82が蒸発するまで加熱される熱交換器80と、フラッシュタンクと、再循環ポンプ84と、揮発性副産物を凝縮するプロセスコンデンサ86とから構成されているプロセスのフローシートを示している。タンクのレベルは、２個の操作バルブによりプロセスを出た生成物蒸気によって、すなわち、コンデンサ中の冷却水の流れＦ20088および蒸発装置に入った蒸気圧Ｐ10090によって完全に制御されていると仮定されている。このプロセスにおける制御された出力は、圧力Ｐ2および生成物蒸気の温度Ｃ2である。このシステムに対する明示制御法則を設計するために、モデルは、公称定常状態最適動作点であるｘn＝［Ｃ2Ｐ2］T＝［２５％  ５０．５７ＫＰａ］T，ｖn＝［Ｐ100Ｆ200］T＝［１９３．４４７  ２０７．３２３］Tで線型化される。パラメトリックコントローラの設計は以下の数学的公式に基づいている：
【数５４】
2004527860.tif 000057
【０１３２】
離散時間状態空間線形動的モデルを得るために、Δｔ＝０．５分のサンプリング時間が使用され、計算された制御時間水平軸は：
【数５５】
2004527860.tif 000058
【０１３３】
触媒分解装置の第１の例と同様に、パラメトリック制御の法則がここで得られ、図１３に示されているように１４の領域に分割される。たとえば、領域１３において、制御法則は以下の式によって与えられ：
【数５６】
2004527860.tif 000059
【０１３４】
領域境界は以下によって記述される：
【数５７】
2004527860.tif 000060
【０１３５】
図１３はまたＰａｒｃｏ（すなわち、パラメトリック最適化制御の基本概念）のみによる、ならびにＰａｒｃｏおよび原点適応調節による状態変数のパスを示している。
【０１３６】
次に、問題は最適制御方式中に積分動作を含むように再構成される。問題は式（１６）におけるように公式化され、ここでパラメトリック比例積分コントローラが得られる。目標関数の中の積分加重は：
【数５８】
2004527860.tif 000061
【０１３７】
制御法則は、それぞれが制御変数と純粋な積分状態との間の種々の式に対応する５４の領域に分割される。この場合、状態変数Ｃ2，Ｐ2，Ｃ2qおよびＰ2qの空間は、積分動作が組込まれなかった図１３に示されている４次元対２次元空間内にあることに注意すべきである。２０番目の領域ＣＲ２０に対する制御法則と、この領域の境界を定義する不等式を以下に示す。その代りに、擾乱除去のために擾乱評価およびオリジン再調節が上述したように行われる。図１３に対応した元の制御法則は、擾乱Ｆ1，Ｃ1が変化するたびに最適な方法でシフトされる。
【０１３８】
擾乱が存在するときのこのコントローラの能力をテストするために、図１４および１５に示されているように、一連の段階的な擾乱がＦ1およびＣ1で検討される。システムは、わずかに混乱させられた点Ｃ2＝２６％およびＰ2＝５０．５７ＫＰａから動作し始める。入力（制御）および出力の結果的に得られた最適プロファイルは、図１６および１７に示されている。実線は普通のパラメトリックコントローラからの応答特性に対応し、一方ダッシュ付きの線のプロファイルは、パラメトリックＰＩコントローラから結果的に得られたものである。同様に、点線はオリジン再調節された元のパラメトリックコントローラからのプロファイルを表している。普通のパラメトリックコントローラは、ターゲットポイントからの出力プロファイルの非ゼロオフセットを示す。これらの永続的な偏差の除去は、パラメトリックＰＩコントローラおよび原点の再調節を特徴とするパラメトリックコントローラの両者によって行われる。
【０１３９】
ＰＩパラメトリックコントローラの一例として、領域ＣＲ２０に対する制御法則は以下によって与えられる：
【数５９】
2004527860.tif 000062
【０１４０】
上記の説明は、時間が離散時間インターバルの有限集合に離散化される問題を解くことに関するものであり、各時間インターバルにおいて制御変数は多項式で表される。しかしながら、別の問題タイプもまた解かれることができ、以下、時間が離散化されず、制御変数が状態変数および時間の関数として連続した時間ドメインにおいて得られるマルチパラメトリック動的最適化（ｍｐ−ＤＯ）問題を説明する。離散時間技法から離れることにより、サンプリングインターバルが十分に小さくない場合の不正確さ、ならびに計算負荷の潜在的な増加の回避が可能となる。ｍｐ−ＯＤ問題としての制御問題の公式化において、現在時間の状態のベクトルはパラメータとみなされ、制御変数は最適化変数とみなされる。この問題の解は状態変数に関する制御変数の明示関数の集合を提供する。
【０１４１】
解かれるべき問題の再検討が開始される。制御法則は、現在の状態ｘ（ｔ*）に関する時間情報が利用可能になるたびに、以下の開ループ最適化問題を後退水平軸にわたって解くことによって得られることができる：
【数６０】
2004527860.tif 000063
【０１４２】
マトリックスＡ1,2，Ｂ1,2，Ｃ1,2は時間不変式であり、ディメンションｎｘｎ，ｎｘｑ，ｍｘｎ，ｓｘｎ，ｓｘｑを有しており、ｂはディメンションｑ×１の時間不変ベクトルである。対（Ａ１，Ａ２）は安定化可能であり、対（Ａ1，Ｂ1）は検出可能であると仮定されている。ｓは、たとえば、製品仕様等に関する制約、すなわち安全および環境制限の数であり、ｘおよびθに関する下界および上界である。マトリックス：
【数６１】
2004527860.tif 000064
【０１４３】
は二次性能インデックスを構成する。最終的な二次式費用Ｐは、定常状態のリカッチの方程式または連続したリャプノフの方程式の解から安定性基準にしたがって計算される。
【０１４４】
これらの最後の方程式は、 Chen,H. および F.Allgower 氏等による文献（(1998).A Quasi-Infinite Horizon Nonlinear Model Predictive Control Scheme with Guaranteed Stability. Automatica 34(10),1205-1217）、ならびに Scokaert,P.O.M. および J.B.Rawlings 氏等による文献（(1998).Constrained Linear Quadratic Regulation. IEEE Trans. Aut. Cont. 43(8) 1163-1169）に詳細に開示されている。
【０１４５】
上記において詳細に説明したように、パラメトリック最適化を上記の問題に適用することによってオンライン計算負担が軽減される。
【０１４６】
システムｘ*の開始点をパラメータの集合として処理することにより、問題（１ａ）−（５ａ）はマルチパラメトリック動的最適化（ｍｐ−ＤＯ）問題に変換される。ここにおいて提案されたアプローチは、無限次元ｍｐ−ＤＯ問題を、現在の方法により解くことの可能な近似的に等価な有限次元マルチパラメトリック問題に修正することである。この概念ストラテジは、問題の無限次元を生じさせる状態変数の除去を必要とする。それを行うやり方は、微分式（１ａ）−（２ａ）を解いて、明示マッピング：
【数６２】
2004527860.tif 000065
【０１４７】
を得ることである。この解は次式によって与えられる：
【数６３】
2004527860.tif 000066
【０１４８】
その後、制御は時間可変最適化変数の集合を使用してパラメータ化される。最も一般的な形態の制御パラメータ化は、有限数の時間要素にわたって各制御変数に対して区分的多項式関数をとることである。便宜上、低次のラグランジュの多項式が使用される。したがって、時間における要素ｉに対して、ｊi制御変数は次のように書かれる：
【数６４】
2004527860.tif 000067
【０１４９】
式（７ａ）は
【数６５】
2004527860.tif 000068
【０１５０】
に対して成り立つ； Ｍは多項式近似の次数であり、インデックスｉ＝１，・・・Ｎqは全ての制御要素の範囲に及ぶ； ｕljiは、最適化問題の解によって決定されるべき時間不変変数である。式（７ａ）を（６ａ）に代入すると、時間不変制御要素の集合に対する状態の一次従属が得られる。しかしながら、一般に完全な時間水平軸にわたって成り立つ最適化の制約は、無限次元的なままであり、その結果一般に半無限（ｓｅｍｉ−ｉｎｆｉｎｉｔｅ）次元的なパラメトリック最適化問題となる（HettichおよびKortanek氏等の1993年の文献）。
【０１５１】
Ｉ  時間ｔ*∈Ｔkにおいて有限数の内点制約を初期化し、ここでｋは反復数を示す。この制約はこれらの点に対してのみ課せられる。この固定された集合に対して、パラメトリック最適化問題（１ａ）−（５ａ）は有限次元マルチパラメトリック二次計画法（ｍｐ−ＱＰ）に変換される：
【数６６】
2004527860.tif 000069
【０１５２】
ここで、Ｌ()およびＣ()は元の問題マトリックスＡ，Ｂ，Ｃ，Ｑ，Ｒの関数であり、ｖNは全ての時間不変制御要素からなる制御シーケンスベクトルである。
【０１５３】
ＩＩ  内点制約のこの特定の集合に対してパラメトリック最適化問題（ｍｐ−ＱＰ）を解く。パラメトリック解は、限界状態空間領域の集合にわたって成立する状態に関する操作された入力に対する区分的アフィン式の集合を提供する。
【０１５４】
ＩＩＩ  ここで、パラメトリック解に基づいて、同じ制約が満足されるか否かをテストする：
【数６７】
2004527860.tif 000070
【０１５５】
ＩＶ  制約のいくつかが特定の点：
【数６８】
2004527860.tif 000071
【０１５６】
において侵害された場合、これらの点をステップＩ 中に追加(augment)し、すなわち、
【数６９】
2004527860.tif 000072
【０１５７】
とし、その後ｋ＝ｋ＋１を設定して、制約が満足される：
【数７０】
2004527860.tif 000073
【０１５８】
まで続行する。
【０１５９】
付録Bにおいて、分解方法（Ｉ−ＩＶ）は収束および最適性を保証することが証明されている。システム（１ａ）−（５ａ）に対する明示制御法則は、ステップＩＩにおける最後のｍｐ−ＱＰの解から得られる。この制御法則の数学的記述は：
【数７１】
2004527860.tif 000074
【０１６０】
ここで、Ｎcは状態空間における領域の数である。領域の境界は、（９ａ）における不等式により定められている。マトリックスａc，ＣＲc1およびベクトルｂc，ＣＲc2はパラメトリックプログラミング問題（８ａ）の解から決定され、インデックスｃは、各領域が操作された入力に対して異なった関数を許容することを示している。
【０１６１】
その代りに、状態制約だけが存在している（Ｃ2＝零行列）ときのマルチパラメトリック動的最適化（ｍｐ−ＤＯ）問題（１ａ）−（５ａ）の解が、センシティビティ（ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ）解析（FiaccoおよびIshizuka，1990）を、埋込まれた動的最適化問題の定常条件に適応することによって検討されることができる。固定されたパラメータｘ*および内点制約の固定された集合 Ｃ1・ｘ（ｔk）≦０に対する最適制御問題（１）−（５）に対する カラッシュ・クーン・タッカーの最適性条件は以下のとおりである（MalanowskiおよびMaurer，2001）:
【数７２】
2004527860.tif 000075
【０１６２】
ここで、λ∈Ｒnは、動的常微分システム（ＯＤＥ）に関連した共役（余状態(co-state)）時間変化変数のベクトルであり； ｖk∈ＲSは内点制約に関連したラグランジュ乗数の集合であり；ｋは制約が該当する全ての内点の範囲に及ぶインデックスであり；シンボル
【数７３】
2004527860.tif 000076
【０１６３】
は要素ごとの操作を示す。式（１０ａ）−（１３ａ）は、制約の場合に対して適用される拡大されたオイラー・ラグランジュの方程式であり、一方（１４ａ）は、制約が非アクティブであるときには、
【数７４】
2004527860.tif 000077
【０１６４】
であり、一方、アクティブな制約に対しては
【数７５】
2004527860.tif 000078
【０１６５】
であることを暗黙に定義する相補性条件を伴なう。
【０１６６】
多数点境界値の問題（１０ａ）−（１３ａ）の解は、（ｉ）開始点λ（ｔ*）＝λoの共役変数、（ｉｉ）ラグランジュ乗数ｖk、および（ｉｉｉ）終点  ｘ（ｔf）＝ｘfにおける状態変数の集合の評価から特有に決定される。したがって、状態変数の関数としての最適有限集合ζ＝｛λo，ｖk，ｘf｝に対する式の微分は明示的に状態変数に関する最適制御プロファイルｖ（ｘ*，ｔ）になる。このために、ここでは遷移マトリックス技術が使用され（BrysonおよびHo，1975）、最初に、共役および状態方程式の両方を含むジョイント（ｊｏｉｎｔ）常微分システムが構成される：
【数７６】
2004527860.tif 000079
【０１６７】
ここで、マトリックスＭａｔｋij11は、マトリックスＭａｔｋijの（１：ｎ）×（１：ｎ）の要素から構成されている。マトリックスＭａｔｋij12，マトリックスＭａｔｋij21，マトリックスＭａｔｋij22は同様に定義される。その表記法によると、集合ζ＝｛λo，ｖk，ｘf｝に関する十分な最適性条件は、表１ａに示されているように書き換えられる。表１ａのマトリックスＩはディメンションｎｘｎの恒等行列を示している。次に、定理３．１は現在の状態条件ｘ*に関する制御関数ｖ（ｘ*，ｔ）の微分を可能にする。
【数７７】
2004527860.tif 000080
【０１６８】
［定理３．１］Ｑc，Ｐを半正値なマトリックスとし、Ｒを正の定符号のマトリックスとする。また、相補性不活発（slackness）条件、すなわち、
【数７８】
2004527860.tif 000081
【０１６９】
および拘束力のある制約の一次従属条件を成立しているものとする。そうすると、ｘf，λoおよびｖはｘ*のアフィン関数となる。
【０１７０】
証明：一次のＫＫＴ最適性条件の式（１８ａ）（表１ａ）から、以下が得られる：
【数７９】
2004527860.tif 000082
【０１７１】
それ故、アクティブな制約に対して、式（１９ａ）から以下が得られる：
【数８０】
2004527860.tif 000083
【０１７２】
（２１ａ）を（２２ａ）に代入すると、以下が得られる：
【数８１】
2004527860.tif 000084
【０１７３】
サブマトリックス：
【数８２】
2004527860.tif 000085
【０１７４】
はアクティブな制約に関するものであり、また、アクティブな制約は一次従属的なものであると仮定されているため、
【数８３】
2004527860.tif 000086
【０１７５】
が存在していることに注意しなければならない。（２３ａ）から当然、アクティブな制約に対応した乗数：
【数８４】
2004527860.tif 000087
【０１７６】
は現在の状態ｘ*のアフィン関数であるということになる。したがって、条件：
【数８５】
2004527860.tif 000088
【０１７７】
と共に（２３ａ）を（２１ａ）に代入すると、ｘ*に関する［ｘfλo］Tのアフィン式が得られる。
【０１７８】
ζ（ｘ*）に対するアフィン式は、アクティブな制約の集合が不変のままである状態空間の中の特定の限界領域ＣＲに対して成り立つ。したがって、動的システム（１５ａ）の解、ジャンプ（jump）条件（１２ａ）（BrysonおよびHo，1975）および式（１１ａ）によって、（ｉ）制御法則ｖ（ｘ*，ｔ）がｘ*に関する連続した区分的線形関数であり、（ｉｉ）
【数８６】
2004527860.tif 000089
【０１７９】
が連続した凸の区分的二次関数であることが証明されることができる。
【０１８０】
アフィン制御式が成り立つ状態空間における限界領域（ＣＲ）の識別は、実行可能性および最適性条件によって行われる。実行可能性は、ζ（ｘ*）を（１９ａ）において要約（ｅｎｃａｐｓｕｌａｔｅ）された無効不等式集合に代入し、それを強制的にゼロより小さくすることによって保証され、一方最適性は、
【数８７】
2004527860.tif 000090
【０１８１】
によって表される。状態不等式のこの集合は、各限界領域の状態境界を定義する：
【数８８】
2004527860.tif 000091
【０１８２】
ここで、ＣＲIGは最初に特定された状態空間領域である。状態不等式から、冗長なものが除去され、領域ＣＲcの簡潔な表示が得られる。現在の状態の空間に対する制御変数の完全マッピングの構成を以下に要約する：
１．初期領域ＣＲIGを定義する。インデックスをｃ＝１にする。
【０１８３】
２．領域ＣＲIG内の実行可能点にｘ*cを固定し、アクティブ集合ストラテジにより動的最適化問題を解く。
【０１８４】
３．マトリックス：
【数８９】
2004527860.tif 000092
【０１８５】
を計算し、ｘ*に関するｘf，λo，ｖに対する一次式を得る。次に、ＯＤＥ（１５ａ）を象徴的にその入口条件に関して解き、λ（ｔ，ｘ*），ｘ（ｔ，ｘ*）を決定する。その後、（１１ａ）により制御法則ｖo（ｔ，ｘ*）を得る。
【０１８６】
４．領域境界を（２４ａ）から構成して冗長な不等式を除去し、結果的に点ｘ*cおよび制御法則ｖc（ｔ，ｘ*）に関連した簡潔な領域ＣＲcを生じさせる。
【０１８７】
５．領域の残りのものを
【数９０】
2004527860.tif 000093
【０１８８】
として定義する。
【０１８９】
６．探索すべき領域がない場合は次のステップに進み、そうでなければ、ＣＲIG＝ＣＲrestおよびｃ＝ｃ＋１を設定し、ステップ２へ進む。
【０１９０】
７．全ての解を収集し、同じ解を有する領域を一つにして簡潔な表示を得る。したがって、区分的アフィン時間依存制御法則は以下の形態から得られる：
【数９１】
2004527860.tif 000094
【０１９１】
ここで、ａc，ｂcは時間依存マトリックスおよびベクトルである。制御法則の導出は、内点制約が課されるという条件でのみ行われたことに注意されたい。完全な水平軸または時間ドメイン内の連続したインターバルに対して成立するパス制約のさらに一般的なケースは、そのケースにおいて許容限度ε＞０内での実行可能性を保証するセクション（３．１）での２ステージ分解アプローチによって処理される。
【０１９２】
提案された解決方法は制御の演繹的な離散化を必要とせず、したがって測定サンプリングインターバルの長さは最適制御式とは無関係である。
【０１９３】
連続したシステムに対して新しく展開されるパラメトリックコントローラの特徴を示すために簡単な数表示の例が与えられている。ここでは、スペースに限界があるため、変分法に基づいた方法だけを示す。問題マトリックス（１ａ）−（５ａ）の以下の数値に対応したＳＩＳＯプラント制御例を検討されたい：
【数９２】
2004527860.tif 000095
【０１９４】
時間水平軸は、制約によって形成された不変動作に基づいて計算され、それの値はｔf＝１．５秒である。最終費用Ｐはリカッチ方程式の解から評価される。現在の条件ｘ*をパラメータとみなしてマルチパラメトリック動的最適化プログラム（１ａ）−（５ａ）を解くことによって、システムに対する最適な区分的アフィン制御法則が得られる。予め指定された時間インターバル［０．０１，ｔf］に対する制約実行可能性は、限界時間瞬間：ｔ1k＝０．０１秒およびｔ2k＝０．０７５秒における制約を課すことにより０．８％の許容限度内である。この明示制御方式は、それぞれが特定の制御状態式を特徴付ける状態空間の多面体限界領域に分割される。状態空間全体のスナップショットは図18に示されている。たとえば、状態不等式：
【数９３】
2004527860.tif 000096
【０１９５】
により定義された領域ＣＲ01において、制御法則は以下の式によって決定される：
【数９４】
2004527860.tif 000097
【０１９６】
類似の式はｔ∈［０．０１，０．０７５］およびｔ∈［０．０７５，１．５］に対して得られる。図１８はまた、システムが最初に混乱された点ｘ0＝［１０，−８．５］から擾乱されていないオリジンにされたときにたどられる状態空間軌道を示している。上述の混乱させられた点に対する出力、制御および状態時間プロファイルは図１９に示されている。制御は制約されていないままなので、許容可能な最初の点の集合は完全な状態空間と一致する。
【０１９７】
FiaccoおよびIshizuka氏等による参考文献は、文献［Fiacco,A.V. and Y.Ishizuka(1990).Sensitivity and Stability analysis for nonlinear programming.Annals of Oper.Res.27, 215-237］であり、BrysonおよびHo氏等による参考文献は、文献［Bryson,A.E. and Y.Ho (1975).Appl. Opt. Cont.］である。HettichおよびKortanek氏等による参考文献は、文献［(1993) Semi-infinite Programming : Theory, Methods & Applications, Siam Review 35(3), 380-429］である。Malanowski Maurer氏による参考文献は、文献［(2001) Sensitivity Analysis for Optimal Control Problems subject to Higher Order State Constraints Ann. Op. Res. 101,43-73］である。
【０１９８】
結果的に、時間は離散化されず、制御変数の多項式性質に関する仮説はたてられないので、問題の正確な解が得られる。しかしながら、適用される特定の技法においては、方程式（５）におけるマトリックスＣ2はゼロ要素だけを含み、状態変数に対する制約は完全な時間インターバルに対して連続的にではなく、ある定まった離散時間に存在するとされているので、制御変数に対する制約は考慮されないことを留意すべきである。しかしながら、これらの制限は適切な数学的技術を使用することにより回避可能であることが認識されるであろう。
【０１９９】
以下、擾乱を補償する別のやり方を説明する。上記の処理から明らかであるように、モデル中に擾乱が存在しないと仮定して明示コントローラを導出し、その後擾乱を含んでいる現実のシステムでその実施を試みた場合、制約侵害および、したがって、実行不可能な動作が存在する可能性がある。概して、以下に説明するアプローチは、最悪のケースの制約侵害となる可能性の高い擾乱の値を見出し、その後この擾乱を含む問題に対する明示コントローラを導出することによりこの問題を解決する。システムは、それが最悪の場合に実行可能であるならば、擾乱の任意の値に対して実行可能になることが示されることができる。このアプローチの利点は、擾乱評価を補正するための制御解のオンライン調節が必要とされないことである。その結果、全体的として最適性に若干欠ける制御解が得られるが、しかし、これはオンライン計算負担の減少により軽減され、その擾乱はもはや解空間の座標ではないことに留意されたい。以下の説明において、全ての可能な不確定パラメータ実現に対して実行可能な動作を保証する明示実行可能性制約をパラメトリックコントローラ設計の中に含むことによって、擾乱の減衰は、擾乱をゆっくり変化させた場合および有界不確定の両方について行われる。このアプローチは、適切な数学的技法を使用することにより別のタイプの擾乱および問題タイプに拡大されることができることが認識されるであろう。
【０２００】
方程式（１７）に戻ると、コントローラは漸近的に安定しており、したがって、（ｉ）制御のディメンションは、出力ディメンション以上である ｑ≧ｍであり、 （ｉｉ）方程式 Ｈ（ｚ）＝Ｂ１（ｚＩ−Ａ１）-1Ａ２＋Ｂ２から定められた開ループ伝達マトリックスは原点にゼロを所有しておらず、 （ｉｉｉ）積分エラーにペナルティーを科す二次費用マトリックスＱ1は正の定符号であり、 （ｉｖ）最終的な費用および時間水平軸の長さは、擾乱のないときに安定性を保証するように近似的に調整される（RawlingsおよびMuske,1993）、 および（ｖ）引力の基準点は、
【数９５】
2004527860.tif 000098
【０２０１】
として規定された実行可能領域空間の内点である、という条件を付けた上で一定の擾乱が存在するときにターゲットポイントからの定常状態オフセットが生じないことを保証する：
【数９６】
2004527860.tif 000099
【０２０２】
スペースの制限により、ここでは、出力軌道：
【数９７】
2004527860.tif 000100
【０２０３】
が、制約ｇのいずれもアクティブでない限界領域に存在している場合：
【数９８】
2004527860.tif 000101
【０２０４】
に対してのみ、定理を証明する。簡明化のために、Ｂ2＝０を考えると、この証明は、マイナー（minor）修正によりＢ2≠０に対して有効である。条件（ｉｖ）によると、ターゲットポイントは制約を課せられていない領域に位置しているので、制御はプラントをこの領域内の不変集合に持ち込む。制約のない場合に対する制御法則は、形式：
ｖ＝  -Ｆ1・ ｘ -Ｆ2．ｘｑ
のものであることが証明されることができ、この法則をプラント：
【数９９】
2004527860.tif 000102
【０２０５】
に代入し、動的システムのｚ変換を行った場合、最後に以下が得られる：
【数１００】
2004527860.tif 000103
【０２０６】
条件（ｉｉ），（ｉｖ）ならびにプラント（Ａ1，Ａ2）が安定化されるために、（ｚＩ−Ａ1＋Ａ2Ｆ1）の逆数が存在することに注意すべきである。限界において、
【数１０１】
2004527860.tif 000104
【０２０７】
したがって、（５ａ）は−ＢＦ2ｙ（１）＝０  に縮小する。Ｆ2は積分費用の線形関数であり（Dua et al,. 2001）、したがってそれの行は条件（ｉｉｉ）にしたがって線形従属であることに注意されたい。これは、ｙ（１）＝０、すなわち、
【数１０２】
2004527860.tif 000105
【０２０８】
を意味する。
【０２０９】
パラメトリックＰＩコントローラ（１７）の主要な利点は、擾乱または不確定推定量が積分動作によって暗黙のうちに考慮されるため、これの存在を必要としないことである。ターゲットポイントが実行可能領域に属していない場合：
【数１０３】
2004527860.tif 000106
【０２１０】
である場合、制御により追いやられた出力に関する平衡ポイント：
【数１０４】
2004527860.tif 000107
【０２１１】
が実行可能領域の境界に存在する。したがって、積分状態の評価に対して、出力のエラーが修正された平衡ポイントにしたがってシフトされる限り、すなわち、
【数１０５】
2004527860.tif 000108
【０２１２】
である限り、定理２．１は依然として成立する。
【０２１３】
パラメトリックＰＩコントローラ（１７）は、オフセット除去を漸近的に保証するにもかかわらず、時間変化不確定が存在するとき動的プロセス動作中は実行可能性を保証しない。頑強（ロバスト）モデルベースのコントローラを設計し、それによってこの欠点を回避する伝統的な技術は、最悪のケースの費用をオンラインで最小化する（たとえば、CampoおよびMorari, 1987）こと、あるいは頑強性（ロバストネス）の制約の集合を組込む（たとえば、Badgwell, 1997）ことのいずれかに依存する。前者の方法は、検査しなければならない多数の不確定の組合せのためにその計算が法外なものになることが多く、最悪の場合には目標がペナルティーを科せられるため、控えめな制御アクションになる可能性がある。さらに、頑強性の制約の組込みは、好ましくない非凸面体（non-convexities）になる可能性がある。近年、Bemporad氏他(2001)はPistikopoulos氏他(2000)の研究に基づき、Bemporad氏他(2002)は計算をオフラインで行う技術を開発したが、彼等のアプローチは、デッド・ビート（dead-beat）または控えめな制御を生じさせる可能性のある出力／入力偏差の最悪の場合の無限大規準(norm)を単に最小化するに過ぎない。
【０２１４】
この研究において、実現可能性解析理論（Grossmann et al.,1983）は、ロバストパラメトリックコントローラを得るために、マルチピリオド(multiperiod)アプローチ（Kakalis,2001）に類似した方法で使用されている。しかしながら、ここでは、制約を満たすことに関してまさっているさらにコンパクトな最適化問題が公式化される。このシステムは、コンパクトな多面体集合に属する：
【数１０６】
2004527860.tif 000109
【０２１５】
と仮定された知られていない入力アフィン時間変化不確定のベクトルθによって混乱されると考えられる。頑強なコントローラは、全ての可能な不確定実現に対してプラントを実行可能な動作領域中に導く単一の制御シーケンスを提供するコントローラとして定義されることができる。このような制御方式の設計は、動作制約を受ける不確定集合全体にわたってシステムの出力および入力偏差の期待値または公称値を最小化することにより後退水平軸の最適制御問題を解くことによって得られる。動力学および状態変数：
【数１０７】
2004527860.tif 000110
【０２１６】
を表す等式制約はさらに簡潔な表記のために除去され、線形不等式だけの集合にされる：
【数１０８】
2004527860.tif 000111
【０２１７】
単一の公称不確定シナリオに対する最適化の結果、以下の数学的公式が得られる：
【数１０９】
2004527860.tif 000112
【０２１８】
（６）における制約は、それが、この問題から得られた単一の制御法則が全ての可能な有界不確定シナリオに対して全ての制約を満たすことを保証するため、実現可能性制約として表示される。実現可能性制約は制約の無限集合を表し、これは、不等式がθ∈Θのあらゆる可能な値に対して定義されるためである。したがって、問題（６）は一般に、以下の２レベルプログラムと等価な半無限問題である：
【数１１０】
2004527860.tif 000113
【０２１９】
問題（７ｂ），（８ｂ）は、埋込まれたｍａｘ  ｍａｘ最適化問題を制約として有している２レベルプログラムである。次のステップにより、埋込まれた最適化（８ｂ）を、
【数１１１】
2004527860.tif 000114
【０２２０】
に関してパラメトリックに解き、それを一次方程式の集合として（７ｂ）−（８ｂ）に代入することが可能になる。これは次のように行われる：
１．制御要素および現在の状態をパラメータとして書き直すことにより、問題：
【数１１２】
2004527860.tif 000115
【０２２１】
をパラメトリックプログラムとして解く。それぞれ個々の最大化問題は、いずれの不等式制約を受けず、したがってこの最大化はPistikopoulosおよびGrossmann氏等の文献（1988b）の方法：
【数１１３】
2004527860.tif 000116
【０２２２】
によって当たり前に行われることに注意されたい。
２．その後、
【数１１４】
2004527860.tif 000117
【０２２３】
の空間にわたってパラメトリックプロファイル：
【数１１５】
2004527860.tif 000118
【０２２４】
を比較し、その上限を保持する。そのために、AcevedoおよびPistikopoulos氏等の文献（1999）の形式的比較方法に等しいことが示されているマルチパラメトリック線形プログラムが公式化されて、解かれる：
【数１１６】
2004527860.tif 000119
【０２２５】
３．問題（１０ｂ）の解は、パラメータ：
【数１１７】
2004527860.tif 000120
【０２２６】
に関するΨi，ｉ＝１に対する一次式の集合、およびこれらの式が有効である領域の集合：
【数１１８】
2004527860.tif 000121
【０２２７】
から構成されている。
【数１１９】
2004527860.tif 000122
【０２２８】
である領域：
【数１２０】
2004527860.tif 000123
【０２２９】
は存在しないので、式の完全集合Ψiｉ＝１，・・・Ｎregは（８ｂ）にｍａｘ  ｍａｘ制約を正確に代入することができることに注意されたい。
【０２３０】
基礎をなす最適化問題（８ｂ）を不等式の集合として表す重要性は、問題（７ｂ）−（８ｂ）全体を単一レベルのプログラムとして書くことができることである：
【数１２１】
2004527860.tif 000124
【０２３１】
ここで、Φは（１３）におけるように二次目標である。現在の状態をパラメータとしてのみ処理すると共に制御変数を最適化変数として処理することにより、問題（１１ｂ）はパラメトリック二次計画法として書き直される。この問題の解（Dua et al.,2001）から、現在の状態に関する制御変数の完全なマッピングが得られる。したがって、積分状態が存在しているときの（２）または（４）の形式の制御法則が生成される。擾乱θが消えないか、あるいはゼロでない場合、これは、定常状態オフセットを除去して満足できる擾乱除去を保証するために積分動作が必要であることを意味していることに注意すべきである。したがって、積分動作を頑強性コントローラフレームワークに組込むことにより、頑強性パラメトリックＰＩコントローラが明示的に生成される。
【０２３２】
問題（１１ｂ）は、
【数１２２】
2004527860.tif 000125
【０２３３】
の実現可能性制約を（１３）における制約に加えたものだけによりロードされる。これは、（１３）中の制約に対して追加されている。これは、Ｊの制約が各期間中に含まれるマルチピリオドアプローチと対照的である。最大追加制約数は、有界不確定の数：ｗとは無関係であることにも注意されたい。一方、CampoおよびMorari氏等の文献（1987）のアプローチにおいては、２2w個のシナリオが検査され、組込まれる必要のある２2wＪの制約を生じさせる。
【０２３４】
この新しく開発された制御設計技法の特徴を示すために一例をあげる。問題は、KookosおよびPerkins氏等による文献（2001）において研究された蒸発装置プロセスに対する明示ロバスト制御法則を導出することに関係している。制御された出力は、システムの状態でもある生成物流の圧力Ｐ2および濃度Ｃ2である。それらの公称基準値は：
【数１２３】
2004527860.tif 000126
【０２３５】
である。操作入力は溶液流の圧力Ｐ100および冷却水流Ｆ200である。公称ポイント付近で動作しているときのアクティブな出力制約はＣ2≦２５％であり、一方材料流量Ｆ1および組成Ｃ1は擾乱とみなされる。
【０２３６】
ロバスト制御法則を得るために、最初に、Ｆ1およびＣ1を０．１ｋｇ／分および０．１％内でそれぞれ変化する決定論的有界不確定とみなして、水平軸Ｎ＝３により実行可能性問題（８ｂ）を検討する。１２の実行可能性関数：
【数１２４】
2004527860.tif 000127
【０２３７】
が得られる。その後、（１１ｂ）の形態のモデルベースの後退水平軸最適制御問題が公式化される。現在の状態をパラメータとして処理することにより、最適制御問題は、ｍｐ−ＱＰと書き直され、その解は頑強性パラメトリックコントローラ［頑強性（ロバスト）ｐａｒｃｏ］を特徴付ける。このコントローラの状態空間分割が図１に示されており、各領域は制御アクションに対する特定の式に対応している。制約境界は公称基準ターゲットと一致しているため、モデルベースのコントローラは、擾乱の影響を受容するために
【数１２５】
2004527860.tif 000128
【０２３８】
のバックオフを暗黙のうちに発生する。頑強性ＰＩパラメトリックコントローラ（頑強性ＰＩ  ｐａｒｃｏ）を設計するために、２つの追加の積分状態が導入され、同じ処理手順が続けられる。ＰＩ  ｐａｒｃｏにおいて、状態空間は、それぞれが異なった制御式に対応した３７の領域に分割される。たとえば、それらの１つにおいて、Ｆ200に対する制御法則は、
【数１２６】
2004527860.tif 000129
【０２３９】
によって与えられる。
【０２４０】
両方式に対する制御ポリシーの実行は、図２１では１つの制御および１つの出力に対して時間ドメインで示されており、図２０では状態空間で示されている。最初にシステムは、Ｃ2,T=0＝２６％，Ｐ2,T=0＝５１．５７ＫＰａ混乱しており、それがオリジンに戻されると、非ゼロ平均持続性ステップ擾乱のシーケンスが発生する。頑強性ＰＩ  ｐａｒｃｏは、ΔＣ2＞０．１％，ΔＦ1＞０．１ＫＰａの大きさの擾乱のバリエーションの周波数が十分に低いために積分動作が起動されることを可能にする限りにおいて、それらの擾乱をどうにか除去するため、それは通常の頑強性ｐａｒｃｏよりも性能が優れている。
【０２４１】
上記において引用された参考文献は以下のとおりである：
【表２】
2004527860.tif 000130
【０２４２】
パラメトリック最適化を適用することにより、コントローラは、複雑な最適化計算ではなく簡単な置換または関数評価を各段階で行うだけでよく、オフライン最適化段階は、それぞれが簡単な解を表す複数の領域の状態変数に対する簡単なプロットの構成を可能にすることが認められるであろう。
【０２４３】
したがって、ＭＰＣのようなモデルベースの制御ストラテジからオフラインで導出される所定のプラント、システムまたはプロセスに対するパラメトリックプロファイルが、チップ、ディスク、メモリデバイスのような適切なデータ記憶装置内のソフトウェアまたはハードウェアに埋込まれることができる。解は、サブスティション（ｓｕｂｓｔｉｔｉｏｎ）タイプの解（すなわち、所定の解決理由において一定である制御変数）に関連した状態変数値に対する簡単なルックアップテーブルおよび関数評価領域における簡単な関数ベースのアルゴリズムの形態で、あるいは明らかなように、この２つを組合せたものとして埋込まれることができる。
【０２４４】
現在利用可能なパラメトリック最適化技術の能力の範囲内において、モデル化されることのできる任意の形態のプロセス、プラントまたはシステムがオフラインで構成された制御ストラテジを有することができることが認識されるであろう。しかしながら、さらに、上記の式（４）で一般化された問題の解決を含む追加の技術が開発されると、当業者はこの明細書の教示に基づいてこれらの技術を同様に適応することが可能であることが認識されるであろう。
【０２４５】
本発明による技術は、任意の数の状態および制御変数を含む複雑なシステムに適用されることができ、その解空間はそれに応じてディメンション化される。測定インターバルおよび予測水平軸（すなわち、状態変数予測が公式化された時間期間）は、利用可能なオフライン処理能力だけに依存した任意の適切な持続期間であることができる。
【０２４６】
以上、とくにモデル予測制御に適応される本発明の技術に関して説明をしてきたが、それらは、混合された積分変数（すなわち、連続した変数および（０，１）２進変数の両方）計画を確実下に含むようにＭＰＣが拡張される、性能基準および最適処理計画が不確定パラメータの関数として得られるものであるハイブリッド制御と、および不確定または変化に耐える能力の尺度としての頑強さ(robustness)が不確定の関数として得られるモデルベースの制御適用における頑強さの解析とを含んでいる他の制御方式に対して同様に適応されることができる。その他のモデルベースの制御適用は、比例積分（ＰＩ）システム等のさらに便利なフィードバックベースのシステムを含む本発明を使用して最適化されることができる。
【０２４７】
付録Ａ
【数１２７】
2004527860.tif 000131
【数１２８】
2004527860.tif 000132
【数１２９】
2004527860.tif 000133
【数１３０】
2004527860.tif 000134
【数１３１】
2004527860.tif 000135
【数１３２】
2004527860.tif 000136
【数１３３】
2004527860.tif 000137
【数１３４】
2004527860.tif 000138
【数１３５】
2004527860.tif 000139
【数１３６】
2004527860.tif 000140
【数１３７】
2004527860.tif 000141
【０２４８】
付録Ｂ
一般的なパラメトリック半無限プログラムの形（HettichおよびKortanek，1983）は：
【数１３８】
2004527860.tif 000142
【０２４９】
ここで、ｚは最適化変数であり、θ∈Θはパラメータであり、Βは無限閉有界集合を示す。
【０２５０】
プログラム（Ｐ）において、（ｉ）ｆおよびｈがｚに関して凸であり、（ｉｉ）ｆ，ｈが
【数１３９】
2004527860.tif 000143
【０２５１】
にわたって有限であり、（ｉｉｉ）φ（Ｐ，θ）が有限であることを仮定する。ｎ＋１の全ての集合に対して点
【数１４０】
2004527860.tif 000144
【０２５２】
は、
【数１４１】
2004527860.tif 000145
【０２５３】
となるように存在していることも仮定する。したがって、
【数１４２】
2004527860.tif 000146
【０２５４】
および（ｉｉ）θ∈Θの全ての可能な実現に対して
【数１４３】
2004527860.tif 000147
【０２５５】
となるように乗数μi≧０，１＝１，・・・，ｎが存在するように、λn＝{ｔ1，・・・，ｔn}が存在する。
【０２５６】
問題（１ａ）−（７ａ）は（Ｐ）の一般的なカテゴリーの範囲内であることに注意すべきである。本発明の場合、ｆは凸二次関数であり、ｈは最適化変数に関する線形関数である。それ故、（５．１）∋離散時間点の有限セットによると、離散時間点に制約（５ａ）を課すことによって元のパラメトリック動的最適化問題の解は、結果的に得られたマルチパラメトリック二次問題の解に等しくなる。これは実際には、ステップＩＩＩにおける実現可能性テストがある解を常に有する場合、その分解方法（ステップＩ−ＩＶ）は収束し、問題（１ａ）−（５ａ）の最適性を保証することを意味する。
【図面の簡単な説明】
【０２５７】
【図１】モデル予測制御方式による制御ストラテジを示す概略図。
【図２】オンライン最適化ストラテジを示す概略図。
【図３】パラメトリック最適化により得られる明示制御解を示す概略図。
【図４】別のパラメトリック最適化動作に対する明示制御解を示す概略図。
【図５】本発明によるオンライン最適化ストラテジを示す概略図。
【図６】本発明による制御ストラテジを含む種々の制御ストラテジの擾乱動作を示す概略図。
【図７】本発明による制御装置における実際の擾乱と予測された擾乱との間の差を示すグラフ。
【図８】本発明にしたがってモデル化された流動化された接触分解装置を示す概略図。
【図９】図８の装置に対して得られた明示制御解の概略図。
【図１０】図９に示されている制御ストラテジおよび制御解に対して測定可能な状態の時間プロファイルをそれぞれ示すグラフ。
【図１１】図９の制御解の下における制御変数に対する状態スペースにおいてたどられる軌道を示す概略図。
【図１２】本発明にしたがってモデル化された蒸発装置の概略図。
【図１３】擾乱除去を使用しない本発明による制御解を示すグラフ。
【図１４】擾乱除去モデルによる制御ストラテジに対する測定可能な状態の時間プロファイルを示すグラフ。
【図１５】擾乱除去モデルによる制御ストラテジに対する測定可能な状態の時間プロファイルを示すグラフ。
【図１６】擾乱除去モデルによる制御変数に対する状態空間においてたどられる軌道を示すグラフ。
【図１７】擾乱除去モデルによる制御変数に対してたどられる軌道を示すグラフ。
【図１８】別の実施形態に対する棄却域の分割を示すグラフ。
【図１９】図１８の実施形態に対する出力、制御および状態プロファイルを示すグラフ。
【図２０】別の実施形態に対する限界領域の分割を示すグラフ。
【図２１】図２０の実施形態に対する出力および制御プロファイルを示すグラフ。
【図１】
2004527860.tif 000148
【図２】
2004527860.tif 000149
【図３】
2004527860.tif 000150
【図４】
2004527860.tif 000151
【図５】
2004527860.tif 000152
【図６】
2004527860.tif 000153
【図７】
2004527860.tif 000154
【図８】
2004527860.tif 000155
【図９】
2004527860.tif 000156
【図１０】
2004527860.tif 000157
【図１１】
2004527860.tif 000158
【図１２】
2004527860.tif 000159
【図１３】
2004527860.tif 000160
【図１４】
2004527860.tif 000161
【図１５】
2004527860.tif 000162
【図１６】
2004527860.tif 000163
【図１７】
2004527860.tif 000164
【図１８】
2004527860.tif 000165
【図１９】
2004527860.tif 000166
【図２０】
2004527860.tif 000167
【図２１】
2004527860.tif 000168
【国際公開パンフレット】
2004527860.tif 000169
2004527860.tif 000170
2004527860.tif 000171
2004527860.tif 000172
2004527860.tif 000173
2004527860.tif 000174
2004527860.tif 000175
2004527860.tif 000176
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【国際調査報告】
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