【手続補正書】
【提出日】平成18年1月18日(2006.1.18)
【手続補正１】
【補正対象書類名】特許請求の範囲
【補正対象項目名】全文
【補正方法】変更
【補正の内容】
【特許請求の範囲】
【請求項１】
コンピュータを用いて、式（１）に示すピアソンＩＶ型分布の正規化定数の解析解又はこの展開に基づいて正規化定数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、棄却法により乱数を発生するステップと、
によってピアソンＩＶ型分布に従う乱数を発生させる乱数発生方法。
【数１】
2005259170.tif 000001
【請求項２】
前記乱数を発生するステップは、コンピュータを用いて発生した、加算生成法、Ｍ系列、一般化フィードバック・シフトレジスタ法及びメルセンヌツイスターを含む、合同法を除く擬似乱数、準乱数、低ディスクレパンシー列、物理乱数を含む乱数に基づく請求項１に記載の乱数発生方法。
【請求項３】
コンピュータを用いて、ｎ個のデータ
【数２】
2005259170.tif 000002
からなるデータ・ベクトルＸｉ´について、経験分布のデータ｛Ｘ１´，・・・，ＸＮ´｝を取得するステップと、
コンピュータを用いて、前記データ｛Ｘ１´，・・・，ＸＮ´｝を標準化して｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝とするステップと、
コンピュータを用いて、前記標準化されたデータ｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝に基づいて、分散共分散行列Σを計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記標準化されたデータ｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝に基づいて、３次モーメントｍｉｊｋ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｎ）を計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記標準化されたデータ｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝に基づいて、４次モーメントｍｉｊｋｌ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｌ≦ｎ）を計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記分散共分散行列ΣからＴ＝Σ１／２（行列の平方根）を満たす行列Ｔを計算するステップと、
前記データ・ベクトルが従う分布が、Ｘ＝νＴξ（ここで、ξは、ｍ（ここで、ｍ＝ｎである。）個の確率変数ξ１〜ξｍからなる確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´である。独立な確率変数ξ1，・・・，ξmは、パラメータζj及びκjについて、Ｅ（ξj）＝０，Ｅ（ξj2）＝１，Ｅ（ξj3）＝ζj，Ｅ（ξj4）＝κj（１≦ｊ≦ｍ）を満たす。また、ξjに独立な確率変数νは、パラメータγ及びβについて、Ｅ（ν）＝０，Ｅ（ν2）＝１，Ｅ（ν3）＝γ，Ｅ（ν4）＝βを満たす。）を満たす非正規分布を有すると仮定して、コンピュータを用いて、３次モーメントｍｉｊｋ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｎ）及び４次モーメントｍｉｊｋｌ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｌ≦ｎ）とｆｉｊｋ（ζ，γ，κ，β），ｆｉｊｋｌ（ζ，γ，κ，β）（ここでζ＝（ζ１，・・・，ζｍ），κ＝（κ１，・・・，κｍ）である。）との差を損失とする損失関数を導入し、全体として評価するリスク関数を最小化するようにパラメータ（ζ１，・・・，ζｍ），γ，（κ１，・・・，κｍ），βを決定するステップと、
コンピュータを用いて、前記決定されたパラメータ（ζ１，・・・，ζｍ），γ，（κ１，・・・，κｍ），βに基づいて、式（３）及び表１により（β１とβ２は、それぞれ歪度の２乗と尖度である。）、前記確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´及び確率変数νがピアソン分布のどの型に属するかを決定するステップと、
【数３】
2005259170.tif 000003
【表１】
2005259170.tif 000004
コンピュータを用いて乱数を発生し、この乱数に基づいて前記確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´及び確率変数νについて乱数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、Ｘ＝νＴξに基づいて、標準化されたＸの乱数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、標準化されたＸを前記標準化の逆変換により標準化前の乱数に変換するステップと、
を有する多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
ただし、式（３）及び表１において、β１とβ２は、それぞれ歪度の２乗と尖度であり、κは、前記パラメータκ＝（κ1，・・・κｍ）とは異なる。
前記損失関数（Ｌ）及びリスク関数（Ｒ）は、式（４）及び（５）、式（６）及び（７）、又は式（８）及び（９）のいずれかの組で与えられるものとする。
【数４】
2005259170.tif 000005
【数５】
2005259170.tif 000006
【数６】
2005259170.tif 000007
【数７】
2005259170.tif 000008
【数８】
2005259170.tif 000009
【数９】
2005259170.tif 000010
ただし、ｆijk（Ｔ，ζ，γ，κ，β）及びｆijkl（Ｔ，ζ，γ，κ，β）は、３次モーメントＥ（ｘiｘjｘk）及び４次モーメントＥ（ｘiｘjｘkｘｌ）にそれぞれ対応する関係式（１０）及び（１１）による表現とする。また、ｗijk及びｗijklは、所定の重みである。
【数１０】
2005259170.tif 000011
【数１１】
2005259170.tif 000012
ただし、Ｅ（・）は、期待値であり（以下同じ）、ｖｅｃｈ（・）は、対称行列から重複しない行列要素を取り出したベクトルであり、Ｄｎは、ｎ次のデュプリケーション行列であり、Ｄｎ+は、Ｄｎのムーア・ペンローズの一般化逆行列であり、
【数１２】
2005259170.tif 000013
は、クロネッカー積であり、Ｅiiは、ｅiを第ｉ列単位としてｅiｅi'である。
【請求項４】
コンピュータを用いて、ｎ個のデータ
【数１３】
2005259170.tif 000014
からなるデータ・ベクトルＸｉ´について、経験分布のデータ｛Ｘ１´，・・・，ＸＮ´｝を取得するステップと、
コンピュータを用いて、前記データ｛Ｘ１´，・・・，ＸＮ´｝を標準化して｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝とするステップと、
コンピュータを用いて、前記標準化されたデータ｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝に基づいて、分散共分散行列Σを計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記標準化されたデータ｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝に基づいて、３次モーメントｍｉｊｋ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｎ）を計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記標準化されたデータ｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝に基づいて、４次モーメントｍｉｊｋｌ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｌ≦ｎ）を計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記分散共分散行列ΣからＴ＝Σ１／２（行列の平方根）を満たす行列Ｔを計算するステップと、
前記データ・ベクトルが従う分布が、Ｘ＝νＴξ（ここで、ξは、ｍ（ここで、ｍ＝ｎである。）個の確率変数ξ１〜ξｍからなる確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´である。独立な確率変数ξ1，・・・，ξmは、パラメータζj及びκjについて、Ｅ（ξj）＝０，Ｅ（ξj2）＝１，Ｅ（ξj3）＝ζj，Ｅ（ξj4）＝κj（１≦ｊ≦ｍ）を満たす。また、νは、パラメータγ及びβについて、ν＝１，Ｅ（ν2）＝１，Ｅ（ν3）＝γ＝１，Ｅ（ν4）＝β＝１を満たす。）を満たす非正規分布を有すると仮定して、コンピュータを用いて、３次モーメントｍｉｊｋ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｎ）及び４次モーメントｍｉｊｋｌ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｌ≦ｎ）とｆｉｊｋ（ζ，γ，κ，β），ｆｉｊｋｌ（ζ，γ，κ，β）（ここでζ＝（ζ１，・・・，ζｍ），κ＝（κ１，・・・，κｍ）である。）との差を損失とする損失関数を導入し、全体として評価するリスク関数を最小化するようにパラメータ（ζ１，・・・，ζｍ），γ，（κ１，・・・，κｍ），βを決定するステップと、
コンピュータを用いて、前記決定されたパラメータ（ζ１，・・・，ζｍ），γ，（κ１，・・・，κｍ），βに基づいて、式（１４）及び表２により（β１とβ２は、それぞれ歪度の２乗と尖度である。）、前記確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´がピアソン分布のどの型に属するかを決定するステップと、
【数１４】
2005259170.tif 000015
【表２】
2005259170.tif 000016
コンピュータを用いて乱数を発生し、この乱数に基づいて前記確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´について乱数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、Ｘ＝νＴξに基づいて、標準化されたＸの乱数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、標準化されたＸを前記標準化の逆変換により標準化前の乱数に変換するステップと、
を有する多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
ただし、式（１４）及び表２において、β１とβ２は、それぞれ歪度の２乗と尖度であり、κは、前記パラメータκ＝（κ1，・・・κｍ）とは異なる。
前記損失関数（Ｌ）及びリスク関数（Ｒ）は、式（１５）及び（１６）、式（１７）及び（１８）、又は式（１９）及び（２０）のいずれかの組で与えられるものとする。
【数１５】
2005259170.tif 000017
【数１６】
2005259170.tif 000018
【数１７】
2005259170.tif 000019
【数１８】
2005259170.tif 000020
【数１９】
2005259170.tif 000021
【数２０】
2005259170.tif 000022
ただし、ｆijk（Ｔ，ζ，γ，κ，β）及びｆijkl（Ｔ，ζ，γ，κ，β）は、３次モーメントＥ（ｘiｘjｘk）及び４次モーメントＥ（ｘiｘjｘkｘｌ）にそれぞれ対応する関係式（２１）及び（２２）による表現とする。また、ｗijk及びｗijklは、所定の重みである。
【数２１】
2005259170.tif 000023
【数２２】
2005259170.tif 000024
ただし、Ｅ（・）は、期待値であり（以下同じ）、ｖｅｃｈ（・）は、対称行列から重複しない行列要素を取り出したベクトルであり、Ｄｎは、ｎ次のデュプリケーション行列であり、Ｄｎ+は、Ｄｎのムーア・ペンローズの一般化逆行列であり、
【数２３】
2005259170.tif 000025
は、クロネッカー積であり、Ｅiiは、ｅiを第ｉ列単位としてｅiｅi'である。
【請求項５】
コンピュータを用いて、ｎ個のデータ
【数２４】
2005259170.tif 000026
からなるデータ・ベクトルＸｉ´について、経験分布のデータ｛Ｘ１´，・・・，ＸＮ´｝を取得するステップと、
コンピュータを用いて、前記データ｛Ｘ１´，・・・，ＸＮ´｝を標準化して｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝とするステップと、
コンピュータを用いて、前記標準化されたデータ｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝に基づいて、分散共分散行列Σを計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記標準化されたデータ｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝に基づいて、３次モーメントｍｉｊｋ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｎ）を計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記標準化されたデータ｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝に基づいて、４次モーメントｍｉｊｋｌ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｌ≦ｎ）を計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記分散共分散行列ΣからＴ＝Σ１／２（行列の平方根）を満たす行列Ｔを計算するステップと、
前記データ・ベクトルが従う分布が、Ｘ＝νＴξ（ここで、ξは、ｍ（ここで、ｍ＝ｎである。）個の確率変数ξ１〜ξｍからなる確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´である。独立な確率変数ξ1，・・・，ξmは、パラメータζj及びκjについて、Ｅ（ξj）＝０，Ｅ（ξj2）＝１，Ｅ（ξj3）＝ζj，Ｅ（ξj4）＝κj（１≦ｊ≦ｍ）を満たす。また、ξjに独立な確率変数νは、パラメータγ及びβについて、Ｅ（ν）＝０，Ｅ（ν2）＝１，Ｅ（ν3）＝γ，Ｅ（ν4）＝βを満たす。）を満たす非正規分布を有すると仮定して、コンピュータを用いて、３次モーメントｍｉｊｋ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｎ）及び４次モーメントｍｉｊｋｌ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｌ≦ｎ）とｆｉｊｋ（ζ，γ，κ，β），ｆｉｊｋｌ（ζ，γ，κ，β）（ここでζ＝（ζ１，・・・，ζｍ），κ＝（κ１，・・・，κｍ）である。）との差を損失とする損失関数を導入し、全体として評価するリスク関数を最小化するようにパラメータ（ζ１，・・・，ζｍ），γ，（κ１，・・・，κｍ），βを決定するステップと、
コンピュータを用いて、前記決定されたパラメータ（ζ１，・・・，ζｍ），γ，（κ１，・・・，κｍ），βに基づいて、乱数を発生し、この乱数に基づいて前記確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´及び確率変数νについて乱数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、Ｘ＝νＴξに基づいて、標準化されたＸの乱数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、標準化されたＸを前記標準化の逆変換により標準化前の乱数に変換するステップと、
を有する多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
前記損失関数（Ｌ）及びリスク関数（Ｒ）は、式（２５）及び（２６）、式（２７）及び（２８）、又は式（２９）及び（３０）のいずれかの組で与えられるものとする。
【数２５】
2005259170.tif 000027
【数２６】
2005259170.tif 000028
【数２７】
2005259170.tif 000029
【数２８】
2005259170.tif 000030
【数２９】
2005259170.tif 000031
【数３０】
2005259170.tif 000032
ただし、ｆijk（Ｔ，ζ，γ，κ，β）及びｆijkl（Ｔ，ζ，γ，κ，β）は、３次モーメントＥ（ｘiｘjｘk）及び４次モーメントＥ（ｘiｘjｘkｘｌ）にそれぞれ対応する関係式（３１）及び（３２）による表現とする。また、ｗijk及びｗijklは、所定の重みである。
【数３１】
2005259170.tif 000033
【数３２】
2005259170.tif 000034
ただし、Ｅ（・）は、期待値であり（以下同じ）、ｖｅｃｈ（・）は、対称行列から重複しない行列要素を取り出したベクトルであり、Ｄｎは、ｎ次のデュプリケーション行列であり、Ｄｎ+は、Ｄｎのムーア・ペンローズの一般化逆行列であり、
【数３３】
2005259170.tif 000035
は、クロネッカー積であり、Ｅiiは、ｅiを第ｉ列単位としてｅiｅi'である。
【請求項６】
コンピュータを用いて、ｎ個のデータ
【数３４】
2005259170.tif 000036
からなるデータ・ベクトルＸｉ´について、経験分布のデータ｛Ｘ１´，・・・，ＸＮ´｝を取得するステップと、
コンピュータを用いて、前記データ｛Ｘ１´，・・・，ＸＮ´｝を標準化して｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝とするステップと、
コンピュータを用いて、前記標準化されたデータ｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝に基づいて、分散共分散行列Σを計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記標準化されたデータ｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝に基づいて、３次モーメントｍｉｊｋ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｎ）を計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記標準化されたデータ｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝に基づいて、４次モーメントｍｉｊｋｌ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｌ≦ｎ）を計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記分散共分散行列ΣからＴ＝Σ１／２（行列の平方根）を満たす行列Ｔを計算するステップと、
前記データ・ベクトルが従う分布が、Ｘ＝νＴξ（ここで、ξは、ｍ（ここで、ｍ＝ｎである。）個の確率変数ξ１〜ξｍからなる確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´である。独立な確率変数ξ1，・・・，ξmは、パラメータζj及びκjについて、Ｅ（ξj）＝０，Ｅ（ξj2）＝１，Ｅ（ξj3）＝ζj，Ｅ（ξj4）＝κj（１≦ｊ≦ｍ）を満たす。また、νは、パラメータγ及びβについて、ν＝１，Ｅ（ν2）＝１，Ｅ（ν3）＝γ＝１，Ｅ（ν4）＝β＝１を満たす。）を満たす非正規分布を有すると仮定して、コンピュータを用いて、３次モーメントｍｉｊｋ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｎ）及び４次モーメントｍｉｊｋｌ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｌ≦ｎ）とｆｉｊｋ（ζ，γ，κ，β），ｆｉｊｋｌ（ζ，γ，κ，β）（ここでζ＝（ζ１，・・・，ζｍ），κ＝（κ１，・・・，κｍ）である。）との差を損失とする損失関数を導入し、全体として評価するリスク関数を最小化するようにパラメータ（ζ１，・・・，ζｍ），γ，（κ１，・・・，κｍ），βを決定するステップと、
コンピュータを用いて、前記決定されたパラメータ（ζ１，・・・，ζｍ），γ，（κ１，・・・，κｍ），βに基づいて、乱数を発生し、この乱数に基づいて前記確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´について乱数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、Ｘ＝νＴξに基づいて、標準化されたＸの乱数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、標準化されたＸを前記標準化の逆変換により標準化前の乱数に変換するステップと、
を有する多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
前記損失関数（Ｌ）及びリスク関数（Ｒ）は、式（３５）及び（３６）、式（３７）及び（３８）、又は式（３９）及び（４０）のいずれかの組で与えられるものとする。
【数３５】
2005259170.tif 000037
【数３６】
2005259170.tif 000038
【数３７】
2005259170.tif 000039
【数３８】
2005259170.tif 000040
【数３９】
2005259170.tif 000041
【数４０】
2005259170.tif 000042
ただし、ｆijk（Ｔ，ζ，γ，κ，β）及びｆijkl（Ｔ，ζ，γ，κ，β）は、３次モーメントＥ（ｘiｘjｘk）及び４次モーメントＥ（ｘiｘjｘkｘｌ）にそれぞれ対応する関係式（４１）及び（４２）による表現とする。また、ｗijk及びｗijklは、所定の重みである。
【数４１】
2005259170.tif 000043
【数４２】
2005259170.tif 000044
ただし、Ｅ（・）は、期待値であり（以下同じ）、ｖｅｃｈ（・）は、対称行列から重複しない行列要素を取り出したベクトルであり、Ｄｎは、ｎ次のデュプリケーション行列であり、Ｄｎ+は、Ｄｎのムーア・ペンローズの一般化逆行列であり、
【数４３】
2005259170.tif 000045
は、クロネッカー積であり、Ｅiiは、ｅiを第ｉ列単位としてｅiｅi'である。
【請求項７】
コンピュータを用いて、ｎ個のデータ
【数４４】
2005259170.tif 000046
からなるデータ・ベクトルＸｉ´について、経験分布のデータ｛Ｘ１´，・・・，ＸＮ´｝を取得するステップと、
コンピュータを用いて、前記データ｛Ｘ１´，・・・，ＸＮ´｝を標準化して｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝とするステップと、
コンピュータを用いて、任意の分散共分散行列ΣからＴ＝Σ１／２（行列の平方根）を満たす行列Ｔを計算するステップと、
前記データ・ベクトルが従う分布が、Ｘ＝νＴξ（ここで、ξは、ｍ（ここで、ｍ＝ｎである。）個の確率変数ξ１〜ξｍからなる確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´である。独立な確率変数ξ1，・・・，ξmは、パラメータζj及びκjについて、Ｅ（ξj）＝０，Ｅ（ξj2）＝１，Ｅ（ξj3）＝ζj，Ｅ（ξj4）＝κj（１≦ｊ≦ｍ）を満たす。また、ξjに独立な確率変数νは、パラメータγ及びβについて、Ｅ（ν）＝０，Ｅ（ν2）＝１，Ｅ（ν3）＝γ，Ｅ（ν4）＝βを満たす。）を満たす非正規分布を有すると仮定して、  コンピュータを用いて、任意のパラメータ（ζ１，・・・，ζｍ），γ，（κ１，・・・，κｍ），βに基づいて、式（４５）及び表３により（β１とβ２は、それぞれ歪度の２乗と尖度である。）、前記確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´及び確率変数νがピアソン分布のどの型に属するかを決定するステップと、
【数４５】
2005259170.tif 000047
【表３】
2005259170.tif 000048
コンピュータを用いて乱数を発生し、この乱数に基づいて前記確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´及び確率変数νについて乱数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、Ｘ＝νＴξに基づいて、標準化されたＸの乱数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記多変量乱数を用い、最尤法により尤度が最大になるパラメータをもつ多変量分布を推定するステップと、
コンピュータを用いて、標準化されたＸを前記標準化の逆変換により標準化前の乱数に変換するステップと、
を有する多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
ただし、式（４５）及び表３において、β１とβ２は、それぞれ歪度の２乗と尖度であり、κは、前記パラメータκ＝（κ1，・・・κｍ）とは異なる。
【請求項８】
コンピュータを用いて、ｎ個のデータ
【数４６】
2005259170.tif 000049
からなるデータ・ベクトルＸｉ´について、経験分布のデータ｛Ｘ１´，・・・，ＸＮ´｝を取得するステップと、
コンピュータを用いて、前記データ｛Ｘ１´，・・・，ＸＮ´｝を標準化して｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝とするステップと、
コンピュータを用いて、任意の分散共分散行列ΣからＴ＝Σ１／２（行列の平方根）を満たす行列Ｔを計算するステップと、
前記データ・ベクトルが従う分布が、Ｘ＝νＴξ（ここで、ξは、ｍ（ここで、ｍ＝ｎである。）個の確率変数ξ１〜ξｍからなる確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´である。独立な確率変数ξ1，・・・，ξmは、パラメータζj及びκjについて、Ｅ（ξj）＝０，Ｅ（ξj2）＝１，Ｅ（ξj3）＝ζj，Ｅ（ξj4）＝κj（１≦ｊ≦ｍ）を満たす。また、νは、パラメータγ及びβについて、ν＝１，Ｅ（ν2）＝１，Ｅ（ν3）＝γ＝１，Ｅ（ν4）＝β＝１を満たす。）を満たす非正規分布を有すると仮定して、  コンピュータを用いて、任意のパラメータ（ζ１，・・・，ζｍ），γ，（κ１，・・・，κｍ），βに基づいて、式（４７）及び表４により（β１とβ２は、それぞれ歪度の２乗と尖度である。）、前記確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´がピアソン分布のどの型に属するかを決定するステップと、
【数４７】
2005259170.tif 000050
【表４】
2005259170.tif 000051
コンピュータを用いて乱数を発生し、この乱数に基づいて前記確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´について乱数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、Ｘ＝νＴξに基づいて、標準化されたＸの乱数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記多変量乱数を用い、最尤法により尤度が最大になるパラメータをもつ多変量分布を推定するステップと、
コンピュータを用いて、標準化されたＸを前記標準化の逆変換により標準化前の乱数に変換するステップと、
を有する多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
ただし、式（４７）及び表４において、β１とβ２は、それぞれ歪度の２乗と尖度であり、κは、前記パラメータκ＝（κ1，・・・κｍ）とは異なる。
【請求項９】
コンピュータを用いて、ｎ個のデータ
【数４８】
2005259170.tif 000052
からなるデータ・ベクトルＸｉ´について、経験分布のデータ｛Ｘ１´，・・・，ＸＮ´｝を取得するステップと、
コンピュータを用いて、前記データ｛Ｘ１´，・・・，ＸＮ´｝を標準化して｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝とするステップと、
コンピュータを用いて、任意の分散共分散行列ΣからＴ＝Σ１／２（行列の平方根）を満たす行列Ｔを計算するステップと、
前記データ・ベクトルが従う分布が、Ｘ＝νＴξ（ここで、ξは、ｍ（ここで、ｍ＝ｎである。）個の確率変数ξ１〜ξｍからなる確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´である。独立な確率変数ξ1，・・・，ξmは、パラメータζj及びκjについて、Ｅ（ξj）＝０，Ｅ（ξj2）＝１，Ｅ（ξj3）＝ζj，Ｅ（ξj4）＝κj（１≦ｊ≦ｍ）を満たす。また、ξjに独立な確率変数νは、パラメータγ及びβについて、Ｅ（ν）＝０，Ｅ（ν2）＝１，Ｅ（ν3）＝γ，Ｅ（ν4）＝βを満たす。）を満たす非正規分布を有すると仮定して、  コンピュータを用いて、任意のパラメータ（ζ１，・・・，ζｍ），γ，（κ１，・・・，κｍ），βに基づいて、乱数を発生し、この乱数に基づいて前記確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´及び確率変数νについて乱数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、Ｘ＝νＴξに基づいて、標準化されたＸの乱数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記多変量乱数を用い、最尤法により尤度が最大になるパラメータをもつ多変量分布を推定するステップと、
コンピュータを用いて、標準化されたＸを前記標準化の逆変換により標準化前の乱数に変換するステップと、
を有する多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
【請求項１０】
コンピュータを用いて、ｎ個のデータ
【数４９】
2005259170.tif 000053
からなるデータ・ベクトルＸｉ´について、経験分布のデータ｛Ｘ１´，・・・，ＸＮ´｝を取得するステップと、
コンピュータを用いて、前記データ｛Ｘ１´，・・・，ＸＮ´｝を標準化して｛Ｘ１，・・・，ＸＮ｝とするステップと、
コンピュータを用いて、任意の分散共分散行列ΣからＴ＝Σ１／２（行列の平方根）を満たす行列Ｔを計算するステップと、
前記データ・ベクトルが従う分布が、Ｘ＝νＴξ（ここで、ξは、ｍ（ここで、ｍ＝ｎである。）個の確率変数ξ１〜ξｍからなる確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´である。独立な確率変数ξ1，・・・，ξmは、パラメータζj及びκjについて、Ｅ（ξj）＝０，Ｅ（ξj2）＝１，Ｅ（ξj3）＝ζj，Ｅ（ξj4）＝κj（１≦ｊ≦ｍ）を満たす。また、νは、パラメータγ及びβについて、ν＝１，Ｅ（ν2）＝１，Ｅ（ν3）＝γ＝１，Ｅ（ν4）＝β＝１を満たす。）を満たす非正規分布を有すると仮定して、  コンピュータを用いて、任意のパラメータ（ζ１，・・・，ζｍ），γ，（κ１，・・・，κｍ），βに基づいて、乱数を発生し、この乱数に基づいて前記確率ベクトル（ξ１，・・・，ξｍ）´について乱数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、Ｘ＝νＴξに基づいて、標準化されたＸの乱数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記多変量乱数を用い、最尤法により尤度が最大になるパラメータをもつ多変量分布を推定するステップと、
コンピュータを用いて、標準化されたＸを前記標準化の逆変換により標準化前の乱数に変換するステップと、
を有する多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
【請求項１１】
コンピュータを用いて、式（５０）に示すピアソンＩＶ型分布の正規化定数の解析解又はこの展開に基づいて正規化定数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、棄却法により乱数を発生するステップと、
によってピアソンＩＶ型分布に従う乱数を発生させる請求項３乃至１０のいずれか１項に記載の多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
【数５０】
2005259170.tif 000054
【請求項１２】
前記乱数を発生するステップは、加算生成法、Ｍ系列、一般化フィードバック・シフトレジスタ法及びメルセンヌツイスターを含む、合同法を除く擬似乱数、準乱数、低ディスクレパンシー列、物理乱数を含む乱数を発生する請求項３乃至１１のいずれか１項に記載の多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
【請求項１３】
コンピュータを用いて、式（５１）に示すように、所定の確率分布に従う確率変数ν、階数ｎのｎ行ｍ列（ｍ≧ｎ）の非確率行列Ｔ、所定の確率分布に従う確率ベクトルξ＝（ξ1，・・・，ξm）´の積として与えられる確率ベクトルＸ＝（ｘ1，・・・，ｘn）´で与えられる多次元非正規分布を計算するステップと、
【数５１】
2005259170.tif 000055
最尤法によりパラメータを推定するステップと、
を有する多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
【請求項１４】
前記最尤法によりパラメータを推定するステップは、
コンピュータを用いて、ｎ次元空間を分割するステップと、
コンピュータを用いて、経験分布のデータ｛Ｘ1，・・・，ＸN｝について、Ｘiが属する各分割に属する乱数の数を乱数の総数で除して、次の式（５２）で与えられる当該分割の確率を求めるステップと、
【数５２】
2005259170.tif 000056
コンピュータを用いて、前記分割の確率を当該分割のＮ次元体積で除して前記Ｘiが属する、次の式（５３）で与えられる分割の尤度ｆi（θ）を求めるステップと、
【数５３】
2005259170.tif 000057
コンピュータを用いて、尤度の積Πi=1Nｆi（θ）又は対数尤度の和Σi=1Nｌｏｇ  ｆi（θ）が最大になるようなパラメータθを推定するステップと、
を有する請求項１３に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
【請求項１５】
確率変数ξ1，・・・，ξm及びνには、ピアソン分布系に従う乱数を使う請求項１３又は１４に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
【請求項１６】
確率変数ξ1，・・・，ξm及びνには、少なくとも２以上の型のピアソン分布を用いる請求項１５に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
【請求項１７】
コンピュータを用いて、式（５４）に示すピアソンＩＶ型分布の正規化定数の解析解又はこの展開に基づいて正規化定数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、棄却法により乱数を発生するステップと、
によってピアソンＩＶ型分布に従う乱数を発生させる請求項１３乃至１６のいずれか１項に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
【数５４】
2005259170.tif 000058
【請求項１８】
コンピュータを用いて、ユアン及びベントラーの方法Ｉに基づいて、次の関係式（５５）及び（５６）を用いてｎ次元経験分布にｎ次元多変量非正規分布をあてはめるステップを有し、
このあてはめるステップで求めたパラメータの近傍について前記パラメータθを推定する請求項１３乃至１７のいずれか１項に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
【数５５】
2005259170.tif 000059
【数５６】
2005259170.tif 000060
ただし、Ｅ（・）は、期待値であり（以下同じ）、ｖｅｃｈ（・）は、対称行列から重複しない行列要素を取り出したベクトルであり、Ｄｎは、ｎ次のデュプリケーション行列であり、Ｄｎ+は、Ｄｎのムーア・ペンローズの一般化逆行列であり、
【数５７】
2005259170.tif 000061
は、クロネッカー積であり、Ｅiiは、ｅiを第ｉ列単位としてｅiｅi'である。
ここで、前記ユアン及びベントラーの方法Ｉは、次の通りである。独立な確率変数ξ1，・・・，ξmは、パラメータζj及びκjについて、Ｅ（ξj）＝０，Ｅ（ξj2）＝１，Ｅ（ξj3）＝ζj，Ｅ（ξj4）＝κj（１≦ｊ≦ｍ）を満たす。
ξjに独立な確率変数νは、パラメータγ及びβについて、Ｅ（ν）＝０，Ｅ（ν2）＝１，Ｅ（ν3）＝γ，Ｅ（ν4）＝βを満たす。
階数ｎのｎ行ｍ列（ｍ≧ｎ）の非確率行列Ｔ＝（ｔij）は、行列Σ＝（σij）について、ＴＴ´＝Σを満たす。ただし、行列Ｔ´はＴの転置行列である。
このとき、次の式（５８）で与えられる確率ベクトルＸ＝（ｘ1，・・・，ｘn）´は、Ｃｏｖ（Ｘ）＝Σを満たす。ただし、Ｃｏｖ（・）は、ベクトルの分散共分散行列であり、ξ＝（ξ1，・・・，ξm）´である。
【数５８】
2005259170.tif 000062
【請求項１９】
前記パラメータθは、パラメータＴ，ζ＝（ζ1，・・・，ζｍ），γ，κ＝（κ1，・・・，κｍ），βの少なくとも１つを表す請求項１３乃至１８のいずれか１項に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
【請求項２０】
コンピュータを用いて加算生成法、Ｍ系列、一般化フィードバック・シフトレジスタ法及びメルセンヌツイスターを含む、合同法を除く擬似乱数、準乱数、低ディスクレパンシー列、物理乱数を含む乱数を発生する請求項１３乃至１９のいずれか１項に記載のパラメータ推定方法。
【請求項２１】
請求項３及至２０のいずれか１項に記載された手順に従い、ポートフォリオを構成するn種類の資産のn次元損益分布にn次元多変量非正規分布をあてはめるステップと、
ｎ種類の資産の残高をＡ1，Ａ2，・・・，Ａnとすると、これらの重みを乗じたｎ種類の資産を併せたリターンに従う乱数を得るステップと、
ただし、次の式（５９）にｎ種類の資産の重みを示し、式（６０）にｎ種類の資産を併せたリターン分布に従う乱数Ｗを示す。
【数５９】
2005259170.tif 000063
【数６０】
2005259170.tif 000064
複数の前記乱数Ｗを発生させ、低いものから並べて下から任意のパーセント点のところのリターンを取り出し、このリターンの絶対値にｎ種類の資産の残高を乗じたものを予想損失額とするステップと、
を有する予想損失額の計算方法。
【請求項２２】
請求項３及至２０のいずれか１項に記載された手順に従い、実際の金融市場のリターンの分布を推定するステップと、
多資産の高次の相関を考慮した乱数を発生させるステップと、
その乱数により金融商品の価値を計算するステップと、
を有する金融商品のシミュレーション方法。
【請求項２３】
請求項３及至２０のいずれか１項に記載された手順に従い、実際の資産のリターンや価格の分布を推定し、ポートフォリオとしての平均、分散、歪度、尖度を導出するステップと、
前記乱数に基づいて、平均分散歪度ポートフォリオ最適化モデルを用いて最適な資産配分を計算するステップと、
を有するアセット・アロケーションの方法。
【請求項２４】
請求項１乃至２３のいずれか１項に記載された手順を実現する、コンピュータにより実行可能なコンピュータ・プログラム。
【請求項２５】
請求項２４記載のコンピュータ・プログラムを記録した記録媒体。