(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、タップ数が可変で、バンド設定は変更可能なＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法であって、
少なくともＦＩＲフィルタの設定、バンドの設定、プリフィルタの係数の設定、通過させたい任意の周波数点の入力、初期極値点の設定、阻止域の減衰量の指定を行うステップで、タップ数、フィルタの対称性の情報、バンド数、通過域の始点周波数、阻止域の終点周波数、各バンドの所望の振幅値、各バンドに対する重み付け、プリフィルタの係数、通過させたい点の周波数と振幅値、阻止域の減衰量、近似帯域で極値となる周波数を設定する初期設定ステップと、
現在の周波数の振幅特性の極値点と通過させたい周波数点から振幅特性を補間する補間多項式を生成する第１ステップと、
上記第１ステップで得られた補間多項式から求められた振幅特性から新しい極値点を決定するステップで、補間に用いた極値点から計算される重み付け近似誤差の極値を近似帯域全体にわたり探索して求め、求めた値を新しい極値点とする第２ステップと、
上記第１ステップおよび第２ステップを繰り返し、極値の位置が変化しなくなったときの最適近似が得られたとする所定条件により終了する第３ステップと、
上記第３ステップで近似された振幅特性から阻止域の減衰量を調べる第４ステップと、
調べた減衰量と指定した阻止域の減衰量を比較し、比較結果が所定の条件を満足しているか否かを判断する第５ステップと、
上記第５ステップの比較結果が所定の条件を満足していない場合にバンドの設定を変更する第６ステップと、
上記第６ステップでバンド変更後、現在のタップ数で阻止域の減衰量を満足できるか否かを判断する第７ステップと、
上記第７ステップで満足していないと判断した場合に、タップ数を変更する第８ステップと、
上記第５ステップで所定の条件を満足した上記第３ステップにより近似された振幅特性から上記フィルタ係数を求める第９ステップと、を有し、
上記第４ステップでは、阻止域における最小の減衰量を調べ、
上記第８ステップではタップ数を増やす
ＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法。
【請求項２】
上記第９ステップでは、上記タップ数が可変で、バンド設定は変更可能な場合に、阻止域の減衰量を満足する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重み付け近似を行うことにより、上記フィルタ係数を算出する
請求項１記載のＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法。
【請求項３】
上記第９ステップでは、上記タップ数が可変で、バンド設定は変更可能な場合に、阻止域の減衰量を満足する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重み付け近似を行うことにより得られたイコライザの振幅特性により上記フィルタ係数を算出する
請求項１記載のＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法。
【請求項４】
上記重み付け近似は、任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換（Remez Exchange）アルゴリズムを用いて、所望の特性に対して行う
請求項２記載のＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法。
【請求項５】
上記重み付け近似は、任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換（Remez Exchange）アルゴリズムを用いて、所望の特性に対して行う
請求項３記載のＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法。
【請求項６】
インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、タップ数が可変で、バンド設定は変更可能なＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法であって、
少なくともＦＩＲフィルタの設定、バンドの設定、プリフィルタの係数の設定、通過させたい任意の周波数点の入力、初期極値点の設定、阻止域の減衰量の指定、遷移域の指定周波数での減衰量の指定を行うステップで、タップ数、フィルタの対称性の情報、バンド数、通過域の始点周波数、阻止域の終点周波数、通過域の利得、阻止域の利得、通過域と阻止域に対する重み付け、プリフィルタの係数、通過させたい点の周波数と振幅値、阻止域の減衰量、遷移域の周波数とその減衰量、近似帯域で極値となる周波数を設定する初期設定ステップと、
現在の周波数の振幅特性の極値点と通過させたい周波数点から振幅特性を補間する補間多項式を生成する第１ステップと、
上記第１ステップで得られた補間多項式から求められた振幅特性から新しい極値点を決定するステップで、補間に用いた極値点から計算される重み付け近似誤差の極値を近似帯域全体にわたり探索して求め、求めた値を新しい極値点とする第２ステップと、
上記第１ステップおよび第２ステップを繰り返し、極値の位置が変化しなくなったときの最適近似が得られたとする所定条件により終了する第３ステップと、
上記第３ステップで近似された振幅特性から阻止域の減衰量を調べる第４ステップと、
上記第４ステップで調べた減衰量と指定した阻止域の減衰量を比較し、比較結果が所定の条件を満足しているか否かを判断する第５ステップと、
上記第５ステップの比較結果が所定の条件を満足していない場合にバンドの設定を変更する第６ステップと、
上記第６ステップでバンド変更後、現在のタップ数で阻止域の減衰量を満足できるか否かを判断する第７ステップと、
上記第７ステップで満足できないと判断した場合にタップ数を変更する第８ステップと、
上記第５ステップで所定の条件を満足した遷移域の指定周波数の減衰量を調べる第９ステップと、
上記第９ステップで調べた遷移域の指定周波数の減衰量と指定した遷移域の減衰量を比較し、比較結果が所定の条件を満足しているか否かを判断する第１０ステップと、
上記第１０ステップの比較結果が所定の条件を満足していない場合にバンドの設定を変更する第１１ステップと、
上記第１１ステップでバンド変更後、現在のタップ数で遷移域の指定周波数を通過させることができるか否かを判断する第１２ステップと、
上記第１２ステップで通過させることができないと判断した場合にタップ数を変更する第１３ステップと、
上記第１０ステップで所定の条件を満足した近似された振幅特性から上記フィルタ係数を求める第１４ステップと、を有し、
上記第４ステップでは、阻止域における最小の減衰量を調べ、
上記第８ステップおよび第１３ステップではタップ数を増やす
ＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法。
【請求項７】
上記第１４ステップでは、上記タップ数が可変で、バンド設定は変更可能な場合に、阻止域の減衰量を満足し、かつ遷移域の指定周波数の減衰量を通過する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重み付け近似を行うことにより、上記フィルタ係数を算出する
請求項６記載のＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法。
【請求項８】
上記第１４ステップでは、上記タップ数が可変で、バンド設定は変更可能な場合に、阻止域の減衰量を満足し、かつ遷移域の指定周波数の減衰量を通過する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重み付け近似を行うことにより得られたイコライザの振幅特性により上記フィルタ係数を算出する
請求項６記載のＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法。
【請求項９】
上記重み付け近似は、任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換（Remez Exchange）アルゴリズムを用いて、所望の特性に対して行う
請求項７記載のＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法。
【請求項１０】
上記重み付け近似は、任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換（Remez Exchange）アルゴリズムを用いて、所望の特性に対して行う
請求項８記載のＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、ディジタル信号処理に必要なＦＩＲフィルタおよびその係数の設定方法に関するものである。
【０００２】
【従来の技術】
画像や音声のディジタル信号処理では、フィルタ処理がよく使われる。そのフィルタ処理に使われるフィルタは、有限のタップ数で直線位相を持つという特徴から直線位相ＦＩＲ(Finite Impulse Response；有限インパルス応答）フィルタがよく利用される。
【０００３】
図１は、直線位相ＦＩＲフィルタのトランスバーサル型回路構成を示す図である。
この直線位相ＦＩＲフィルタ１は、図１に示すように、入力端子ＴINに対して縦続接続されシフトレジスタを構成する（ｎ−１）個の遅延器２−１〜２−n-1と、入力端子ＴINに入力された信号および各遅延器２−１〜２−n-1 の出力信号に対してそれぞれフィルタ係数ｈ（０）〜ｈ（ｎ−１）を乗算するｎ個の乗算器３−１〜３−ｎと、ｎ個の乗算器３−１〜３−ｎの出力信号を加算し出力端子ＴOUT に出力する加算器４により構成される。
【０００４】
このような直線位相ＦＩＲフィルタの代表的な設計法としては、たとえばParks, T.W. and McClellan, J.H. らが直線位相ＦＩＲフィルタに適用したレムズ交換(Remez Exchange)アルゴリズムが知られている（Parks, T.W. and McClellan, J.H.: "Chebyshev Approximation for Nonrecursive Digital Filters with Linear Phase", IEEE Trans. Circuit Theory, CT-19, 2,pp.189-194, 1972、およびRabiner, L.R., McClellan, J.H. and Parks, T.W.: "FIR Digital Filter Design Techniques Using Weighted Chebyshev Approximation", Proc. IEEE, Vol 63,April, pp.595-610, 1975 参照）。
【０００５】
レムズ交換アルゴリズムは、所望の振幅特性に対して重みつき近似誤差が等リプルな形になるように近似するアルゴリズムである。
【０００６】
ところで、直線位相ＦＩＲフィルタを用いたフィルタ処理の応用にサンプリングレート変換を利用した画像の解像度変換がある。
この解像度変換では、インタポレータ（補間器）とデシメータ（間引き器）と直線位相ＦＩＲフィルタを要素技術とするマルチレートフィルタを使用する（たとえば貴家仁志著, 「マルチレート信号処理」, 昭晃堂, 1997  参照）。
【０００７】
マルチレートフィルタでは、一般に直線位相ＦＩＲフィルタをインタポレータに合わせてポリフェーズ分解して使用する。インタポレータとデシメータは共に周期的時不変システムであり、時不変システムとは異なる特性を持つ。
そのインタポレータの周期的時不変性が原因で、画像の解像度変換ではチェス盤歪みと呼ばれる格子上の歪みが起きてしまう。
【０００８】
そこで、原田、貴家は、チェス盤歪みを回避する条件をフィルタの零点配置から考察した（原田康裕、貴家仁志: ”チェス盤歪みを伴わないマルチレートフィルタとその零点配置について",信学技法CAS96-78, pp1-6, 1997-01）。
【０００９】
チェス盤歪みを伴わないマルチレートフィルタの伝達関数Ｈ（ｚ）は、何らかの方法で設計された直線位相ＦＩＲフィルタ( 以後、イコライザと呼ぶ) の伝達関数Ｋ（ｚ）に、あとからチェス盤歪みを回避するため零点の伝達関数Ｚ（ｚ）を乗算することによって求められる。
【００１０】
【数１】
Ｈ（ｚ）＝Ｚ（ｚ）・Ｋ（ｚ）                            …（１）
【００１１】
【数２】
Ｚ（ｚ）＝１＋ｚ-1＋ｚ-2＋・・・＋ｚ-(U-1)              …（２）
【００１２】
ここで、チェス盤歪みを回避するための零点の伝達関数Ｚ（ｚ）のように、あらかじめ固定されている直線位相ＦＩＲフィルタをプリフィルタと呼ぶことにする。
また、直線位相ＦＩＲフィルタの設計仕様で、周波数ｗ＝０のときの直流利得を１にしなければならないときがある。
【００１３】
図２は、チェス盤歪みを回避するための零点（Ｕ＝３）をプリフィルタとして、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換(Remez Exchange)アルゴリズムで設計した直線位相ＦＩＲフィルタの周波数応答例を示す図である。
また、図３は、ｗ＝０の直流利得を１とし、チェス盤歪みを回避するための零点（ｗ＝２π／３で利得０をとる）と指定して、任意の周波数点を通過するレムズ交換(Remez Exchange)アルゴリズムで設計した直線位相ＦＩＲフィルタの周波数応答例を示す図である。
【００１４】
【発明が解決しようとする課題】
しかし、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換(Remez Exchange)アルゴリズムには、次のような不利益がある。
すなわち、図２に示すように、プリフィルタの周波数応答を考慮して、所望の振幅特性をチェビシェフ近似することはできたが、ｗ＝０で利得が１ではなく、ずれてしまっている。
したがって、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換(Remez Exchange)アルゴリズムでは、指定した任意の周波数点を通過するような振幅特性を得ることができない。
【００１５】
また、任意の周波数点を通過するレムズ交換(Remez Exchange)アルゴリズムでは、次のような不利益がある。
すなわち、図３に示すように、ここでの例では、チェス盤歪みを回避する零点を指定すればよかったので、任意の周波数点を通過するレムズ交換(Remez Exchange)アルゴリズムで実現することができたが、これはプリフィルタの周波数応答を考慮しているわけでなない。
したがって、任意の周波数点を通過するレムズ交換(Remez Exchange)アルゴリズムは、プリフィルタの周波数応答を考慮してフィルタの設計することができにない。
【００１６】
本発明は、かかる事情に鑑みてなされたものであり、その目的は、任意の周波数点を通過するような振幅特性を得ることができ、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮でき、重みつき近似誤差の等リプルが崩れてしまうことがなく、また、通過域の利得を略一定値に保持できるＦＩＲフィルタおよびその係数の設定方法を提供することにある。
【００１７】
【課題を解決するための手段】
上記目的を達成するため、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、伝達関数Ｈ（ｚ）がプリフィルタの伝達関数Ｚ（ｚ）に関連付けられているＦＩＲフィルタであって、上記フィルタ係数が、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換（Remez Exchange）アルゴリズムを用いて、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより設定されている。
【００１８】
また、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、伝達関数Ｈ（ｚ）がプリフィルタの伝達関数Ｚ（ｚ）およびイコライザの伝達関数Ｋ（ｚ）に関連付けられているＦＩＲフィルタであって、上記フィルタ係数が、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換（Remez Exchange）アルゴリズムを用いて、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより得られたイコライザの振幅特性に基づいて設定されている。
【００１９】
また、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、伝達関数Ｈ（ｚ）がプリフィルタの伝達関数Ｚ（ｚ）に関連付けられているＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法であって、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより、上記フィルタ係数を算出する。
【００２０】
また、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、伝達関数Ｈ（ｚ）がプリフィルタの伝達関数Ｚ（ｚ）およびイコライザの伝達関数Ｋ（ｚ）に関連付けられているＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法であって、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより得られたイコライザの振幅特性により上記フィルタ係数を算出する。
【００２１】
また、本発明では、上記重みつき近似は、任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換（Remez Exchange）アルゴリズムを用いて、所望の特性に対して行う。
【００２２】
また、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっているＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法であって、周波数の振幅特性の極値点と通過させたい周波数点から振幅特性を補間する補間多項式を生成する第１ステップと、上記第１ステップで得られた補間多項式から求められた振幅特性から新しい極値点を決定する第２ステップと、上記第１ステップおよび第２ステップを繰り返し、所定条件により終了する第３ステップと、上記第３ステップで近似された振幅特性から上記フィルタ係数を求める第４ステップとを有する。
【００２３】
本発明では、第３ステップの終了条件としては、たとえば極値の位置が所望の範囲内に近似された否かを判断する場合、所望の振幅値との近似誤差の最大値が指定した範囲内に収まった場合、あらかじめ設定した反復回数に達した場合を採用することができる。
【００２４】
また、本発明では、上記第１ステップを行う前に、少なくともＦＩＲフィルタの設定、バンドの設定、プリフィルタの係数の設定、通過させたい任意の周波数点の入力、初期極値点の設定を行う初期設定ステップを有する。
【００２５】
また、本発明では、上記第２ステップおよび第３ステップでは、補間に用いた極値点から計算される重みつき近似誤差の極値を近似帯域全体にわたり探し求め、求めた極値を新しい極値点とし、極値の位置が変化しなくなったときに最適近似が得られたと判断する。
【００２６】
また、本発明では、上記第４ステップでは、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより上記フィルタ係数を算出する。
【００２７】
また、本発明では、上記第４ステップでは、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより得られたイコライザの振幅特性により上記フィルタ係数を算出する。
【００２８】
また、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、任意のタップを有し、伝達関数Ｈ（ｚ）がプリフィルタの伝達関数Ｚ（ｚ）に関連付けられているＦＩＲフィルタであって、上記フィルタ係数が、上記タップ数を可変とし、バンドを固定した場合に、阻止域の減衰量を満足する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより設定されている。
【００２９】
また、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、任意のタップを有し、伝達関数Ｈ（ｚ）がプリフィルタの伝達関数Ｚ（ｚ）およびイコライザの伝達関数Ｋ（ｚ）に関連付けられているＦＩＲフィルタであって、上記フィルタ係数が、上記タップ数を可変とし、バンドを固定した場合に、阻止域の減衰量を満足する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより得られたイコライザの振幅特性に基づいて設定されている。
【００３０】
また、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、任意のタップを有し、伝達関数Ｈ（ｚ）がプリフィルタの伝達関数Ｚ（ｚ）に関連付けられているＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法であって、上記タップ数を可変とし、バンドを固定した場合に、阻止域の減衰量を満足する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより、上記フィルタ係数を算出する。
【００３１】
また、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、任意のタップを有し、伝達関数Ｈ（ｚ）がプリフィルタの伝達関数Ｚ（ｚ）およびイコライザの伝達関数Ｋ（ｚ）に関連付けられているＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法であって、上記タップ数を可変とし、バンドを固定した場合に、阻止域の減衰量を満足する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより得られたイコライザの振幅特性により上記フィルタ係数を算出する。
【００３２】
また、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、タップ数が変更可能で、バンドが固定されているＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法であって、周波数の振幅特性の極値点と通過させたい周波数点から振幅特性を補間する補間多項式を生成する第１ステップと、上記第１ステップで得られた補間多項式から求められた振幅特性から新しい極値点を決定する第２ステップと、上記第１ステップおよび第２ステップを繰り返し、所定条件により終了する第３ステップと、上記第３ステップで近似された振幅特性から阻止域の減衰量を調べる第４ステップと、調べた減衰量と指定した阻止域の減衰量を比較し、比較結果が所定の条件を満足しているか否かを判断する第５ステップと、上記第５ステップの比較結果が所定の条件を満足していない場合にタップ数を変更する第６ステップと、上記第５ステップで所定の条件を満足した上記第３ステップにより近似された振幅特性から上記フィルタ係数を求める第７ステップとを有する。
【００３３】
また、本発明では、上記第１ステップを行う前に、少なくともＦＩＲフィルタの設定、バンドの設定、プリフィルタの係数の設定、通過させたい任意の周波数点の入力、初期極値点の設定、阻止域の減衰量の指定を行う初期設定ステップを有する。
【００３４】
また、本発明では、上記第４ステップでは、阻止域における最小の減衰量を調べ、上記第６ステップではタップ数を増やす。
【００３５】
また、本発明では、上記第７ステップでは、上記タップ数を可変とし、バンドを固定した場合に、阻止域の減衰量を満足する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより、上記フィルタ係数を算出する。
【００３６】
また、本発明では、上記第７ステップでは、上記タップ数を可変とし、バンドを固定した場合に、阻止域の減衰量を満足する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより得られたイコライザの振幅特性により上記フィルタ係数を算出する。
【００３７】
また、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、任意のタップを有し、伝達関数Ｈ（ｚ）がプリフィルタの伝達関数Ｚ（ｚ）に関連付けられているＦＩＲフィルタであって、上記フィルタ係数が、上記タップ数が固定で、バンド設定は変更可能な場合に、阻止域の減衰量を満足する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより設定されている。
【００３８】
また、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、任意のタップを有し、伝達関数Ｈ（ｚ）がプリフィルタの伝達関数Ｚ（ｚ）およびイコライザの伝達関数Ｋ（ｚ）に関連付けられているＦＩＲフィルタであって、上記フィルタ係数が、上記タップ数が固定で、バンド設定は変更可能な場合に、阻止域の減衰量を満足する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより得られたイコライザの振幅特性に基づいて設定されている。
【００３９】
また、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、任意のタップを有し、伝達関数Ｈ（ｚ）がプリフィルタの伝達関数Ｚ（ｚ）に関連付けられているＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法であって、上記タップ数が固定で、バンド設定は変更可能な場合に、阻止域の減衰量を満足する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより、上記フィルタ係数を算出する。
【００４０】
また、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、任意のタップを有し、伝達関数Ｈ（ｚ）がプリフィルタの伝達関数Ｚ（ｚ）およびイコライザの伝達関数Ｋ（ｚ）に関連付けられているＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法であって、上記タップ数が固定で、バンド設定は変更可能な場合に、阻止域の減衰量を満足する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより得られたイコライザの振幅特性により上記フィルタ係数を算出する。
【００４１】
また、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、タップ数が固定で、バンド設定は変更可能なＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法であって、周波数の振幅特性の極値点と通過させたい周波数点から振幅特性を補間する補間多項式を生成する第１ステップと、上記第１ステップで得られた補間多項式から求められた振幅特性から新しい極値点を決定する第２ステップと、上記第１ステップおよび第２ステップを繰り返し、所定条件により終了する第３ステップと、上記第３ステップで近似された振幅特性から阻止域の減衰量を調べる第４ステップと、調べた減衰量と指定した阻止域の減衰量を比較し、比較結果が所定の条件を満足しているか否かを判断する第５ステップと、上記第５ステップの比較結果が所定の条件を満足していない場合にバンドの設定を変更する第６ステップと、上記第５ステップで所定の条件を満足した上記第３ステップにより近似された振幅特性から上記フィルタ係数を求める第７ステップとを有する。
【００４２】
また、本発明では、上記第１ステップを行う前に、少なくともＦＩＲフィルタの設定、バンドの設定、プリフィルタの係数の設定、通過させたい任意の周波数点の入力、初期極値点の設定、阻止域の減衰量の指定を行う初期設定ステップを有する。
【００４３】
また、本発明では、上記第４ステップでは、阻止域における最小の減衰量を調べる。
【００４４】
また、本発明では、上記第７ステップでは、上記タップ数が固定で、バンド設定は変更可能な場合に、阻止域の減衰量を満足する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより、上記フィルタ係数を算出する。
【００４５】
また、本発明では、上記第７ステップでは、上記タップ数が固定で、バンド設定は変更可能な場合に、阻止域の減衰量を満足する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより得られたイコライザの振幅特性により上記フィルタ係数を算出する。
【００４６】
また、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、任意のタップを有し、伝達関数Ｈ（ｚ）がプリフィルタの伝達関数Ｚ（ｚ）に関連付けられているＦＩＲフィルタであって、上記フィルタ係数が、上記タップ数が可変で、バンド設定は変更可能な場合に、阻止域の減衰量を満足する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより設定されている。
【００４７】
また、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、任意のタップを有し、伝達関数Ｈ（ｚ）がプリフィルタの伝達関数Ｚ（ｚ）およびイコライザの伝達関数Ｋ（ｚ）に関連付けられているＦＩＲフィルタであって、上記フィルタ係数が、上記タップ数が可変で、バンド設定は変更可能な場合に、阻止域の減衰量を満足する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより得られたイコライザの振幅特性に基づいて設定されている。
【００４８】
また、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、任意のタップを有し、伝達関数Ｈ（ｚ）がプリフィルタの伝達関数Ｚ（ｚ）に関連付けられているＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法であって、上記タップ数が可変で、バンド設定は変更可能な場合に、阻止域の減衰量を満足する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより、上記フィルタ係数を算出する。
【００４９】
また、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、任意のタップを有し、伝達関数Ｈ（ｚ）がプリフィルタの伝達関数Ｚ（ｚ）およびイコライザの伝達関数Ｋ（ｚ）に関連付けられているＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法であって、上記タップ数が可変で、バンド設定は変更可能な場合に、阻止域の減衰量を満足する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより得られたイコライザの振幅特性により上記フィルタ係数を算出する。
【００５０】
また、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、タップ数が可変で、バンド設定は変更可能なＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法であって、周波数の振幅特性の極値点と通過させたい周波数点から振幅特性を補間する補間多項式を生成する第１ステップと、上記第１ステップで得られた補間多項式から求められた振幅特性から新しい極値点を決定する第２ステップと、上記第１ステップおよび第２ステップを繰り返し、所定条件により終了する第３ステップと、上記第３ステップで近似された振幅特性から阻止域の減衰量を調べる第４ステップと、調べた減衰量と指定した阻止域の減衰量を比較し、比較結果が所定の条件を満足しているか否かを判断する第５ステップと、上記第５ステップの比較結果が所定の条件を満足していない場合にバンドの設定を変更する第６ステップと、上記第６ステップでバンド変更後、現在のタップ数で阻止域の減衰量を満足できるか否かを判断する第７ステップと、上記第７ステップで満足していないと判断した場合に、タップ数を変更する第８ステップと、上記第５ステップで所定の条件を満足した上記第３ステップにより近似された振幅特性から上記フィルタ係数を求める第９ステップとを有する。
【００５１】
また、本発明では、上記第１ステップを行う前に、少なくともＦＩＲフィルタの設定、バンドの設定、プリフィルタの係数の設定、通過させたい任意の周波数点の入力、初期極値点の設定、阻止域の減衰量の指定を行う初期設定ステップを有する。
【００５２】
また、本発明では、上記第４ステップでは、阻止域における最小の減衰量を調べ、上記第８ステップではタップ数を増やす。
【００５３】
また、本発明では、上記第９ステップでは、上記タップ数が可変で、バンド設定は変更可能な場合に、阻止域の減衰量を満足する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより、上記フィルタ係数を算出する。
【００５４】
また、本発明では、上記第９ステップでは、上記タップ数が可変で、バンド設定は変更可能な場合に、阻止域の減衰量を満足する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより得られたイコライザの振幅特性により上記フィルタ係数を算出する。
【００５５】
また、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、任意のタップを有し、伝達関数Ｈ（ｚ）がプリフィルタの伝達関数Ｚ（ｚ）に関連付けられているＦＩＲフィルタであって、上記フィルタ係数が、上記タップ数が固定で、バンド設定は変更可能な場合に、阻止域の減衰量を満足し、かつ遷移域の指定周波数の減衰量を通過する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより設定されている。
【００５６】
また、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、任意のタップを有し、伝達関数Ｈ（ｚ）がプリフィルタの伝達関数Ｚ（ｚ）およびイコライザの伝達関数Ｋ（ｚ）に関連付けられているＦＩＲフィルタであって、上記フィルタ係数が、上記タップ数が固定で、バンド設定は変更可能な場合に、阻止域の減衰量を満足し、かつ遷移域の指定周波数の減衰量を通過する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより得られたイコライザの振幅特性に基づいて設定されている。
【００５７】
また、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、任意のタップを有し、伝達関数Ｈ（ｚ）がプリフィルタの伝達関数Ｚ（ｚ）に関連付けられているＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法であって、上記タップ数が固定で、バンド設定は変更可能な場合に、阻止域の減衰量を満足し、かつ遷移域の指定周波数の減衰量を通過する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより、上記フィルタ係数を算出する。
【００５８】
また、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、任意のタップを有し、伝達関数Ｈ（ｚ）がプリフィルタの伝達関数Ｚ（ｚ）およびイコライザの伝達関数Ｋ（ｚ）に関連付けられているＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法であって、上記タップ数が固定で、バンド設定は変更可能な場合に、阻止域の減衰量を満足し、かつ遷移域の指定周波数の減衰量を通過する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより得られたイコライザの振幅特性により上記フィルタ係数を算出する。
【００５９】
また、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、タップ数が固定で、バンド設定は変更可能なＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法であって、周波数の振幅特性の極値点と通過させたい周波数点から振幅特性を補間する補間多項式を生成する第１ステップと、上記第１ステップで得られた補間多項式から求められた振幅特性から新しい極値点を決定する第２ステップと、上記第１ステップおよび第２ステップを繰り返し、所定条件により終了する第３ステップと、上記第３ステップで近似された振幅特性から阻止域の減衰量を調べる第４ステップと、上記第４ステップで調べた減衰量と指定した阻止域の減衰量を比較し、比較結果が所定の条件を満足しているか否かを判断する第５ステップと、上記第５ステップの比較結果が所定の条件を満足していない場合にバンドの設定を変更する第６ステップと、上記第５ステップで所定の条件を満足した遷移域の指定周波数の減衰量を調べる第７ステップと、上記第７ステップで調べた遷移域の指定周波数の減衰量と指定した遷移域の減衰量を比較し、比較結果が所定の条件を満足しているか否かを判断する第８ステップと、上記第７ステップの比較結果が所定の条件を満足していない場合にバンドの設定を変更する第９ステップと、上記第７ステップで所定の条件を満足した近似された振幅特性から上記フィルタ係数を求める第１０ステップとを有する。
【００６０】
また、本発明では、上記第１ステップを行う前に、少なくともＦＩＲフィルタの設定、バンドの設定、プリフィルタの係数の設定、通過させたい任意の周波数点の入力、初期極値点の設定、阻止域の減衰量の指定、遷移域の指定周波数での減衰量の指定を行う初期設定ステップを有する。
【００６１】
また、本発明では、上記第４ステップでは、阻止域における最小の減衰量を調べる。
【００６２】
また、本発明では、上記第１０ステップでは、上記タップ数が固定で、バンド設定は変更可能な場合に、阻止域の減衰量を満足し、かつ遷移域の指定周波数の減衰量を通過する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより、上記フィルタ係数を算出する。
【００６３】
また、本発明では、上記第１０ステップでは、上記タップ数が固定で、バンド設定は変更可能な場合に、阻止域の減衰量を満足し、かつ遷移域の指定周波数の減衰量を通過する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより得られたイコライザの振幅特性により上記フィルタ係数を算出する。
【００６４】
また、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、任意のタップを有し、伝達関数Ｈ（ｚ）がプリフィルタの伝達関数Ｚ（ｚ）に関連付けられているＦＩＲフィルタであって、上記フィルタ係数が、上記タップ数が可変で、バンド設定は変更可能な場合に、阻止域の減衰量を満足し、かつ遷移域の指定周波数の減衰量を通過する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより設定されている。
【００６５】
また、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、任意のタップを有し、伝達関数Ｈ（ｚ）がプリフィルタの伝達関数Ｚ（ｚ）およびイコライザの伝達関数Ｋ（ｚ）に関連付けられているＦＩＲフィルタであって、上記フィルタ係数が、上記タップ数が可変で、バンド設定は変更可能な場合に、阻止域の減衰量を満足し、かつ遷移域の指定周波数の減衰量を通過する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより得られたイコライザの振幅特性に基づいて設定されている。
【００６６】
また、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、任意のタップを有し、伝達関数Ｈ（ｚ）がプリフィルタの伝達関数Ｚ（ｚ）に関連付けられているＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法であって、上記タップ数が可変で、バンド設定は変更可能な場合に、阻止域の減衰量を満足し、かつ遷移域の指定周波数の減衰量を通過する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより、上記フィルタ係数を算出する。
【００６７】
また、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、任意のタップを有し、伝達関数Ｈ（ｚ）がプリフィルタの伝達関数Ｚ（ｚ）およびイコライザの伝達関数Ｋ（ｚ）に関連付けられているＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法であって、上記タップ数が可変で、バンド設定は変更可能な場合に、阻止域の減衰量を満足し、かつ遷移域の指定周波数の減衰量を通過する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより得られたイコライザの振幅特性により上記フィルタ係数を算出する。
【００６８】
また、本発明は、インパルス応答が有限時間長で表され、当該インパルス応答がフィルタ係数となっており、タップ数が可変で、バンド設定は変更可能なＦＩＲフィルタのフィルタ係数の設定方法であって、周波数の振幅特性の極値点と通過させたい周波数点から振幅特性を補間する補間多項式を生成する第１ステップと、上記第１ステップで得られた補間多項式から求められた振幅特性から新しい極値点を決定する第２ステップと、上記第１ステップおよび第２ステップを繰り返し、所定条件により終了する第３ステップと、上記第３ステップで近似された振幅特性から阻止域の減衰量を調べる第４ステップと、上記第４ステップで調べた減衰量と指定した阻止域の減衰量を比較し、比較結果が所定の条件を満足しているか否かを判断する第５ステップと、上記第５ステップの比較結果が所定の条件を満足していない場合にバンドの設定を変更する第６ステップと、上記第６ステップでバンド変更後、現在のタップ数で阻止域の減衰量を満足できるか否かを判断する第７ステップと、上記第７ステップで満足できないと判断した場合にタップ数を変更する第８ステップと、上記第５ステップで所定の条件を満足した遷移域の指定周波数の減衰量を調べる第９ステップと、上記第９ステップで調べた遷移域の指定周波数の減衰量と指定した遷移域の減衰量を比較し、比較結果が所定の条件を満足しているか否かを判断する第１０ステップと、上記第１０ステップの比較結果が所定の条件を満足していない場合にバンドの設定を変更する第１１ステップと、上記第１１ステップでバンド変更後、現在のタップ数で遷移域の指定周波数を通過させることができるか否かを判断する第１２ステップと、上記第１２ステップで通過させることができないと判断した場合にタップ数を変更する第１３ステップと、上記第１０ステップで所定の条件を満足した近似された振幅特性から上記フィルタ係数を求める第１４ステップとを有する。
【００６９】
また、本発明では、上記第１ステップを行う前に、少なくともＦＩＲフィルタの設定、バンドの設定、プリフィルタの係数の設定、通過させたい任意の周波数点の入力、初期極値点の設定、阻止域の減衰量の指定、遷移域の指定周波数での減衰量の指定を行う初期設定ステップを有する。
【００７０】
また、本発明では、上記第４ステップでは、阻止域における最小の減衰量を調べ、上記第８ステップおよび第１３ステップではタップ数を増やす。
【００７１】
また、本発明では、上記第１４ステップでは、上記タップ数が固定で、バンド設定は変更可能な場合に、阻止域の減衰量を満足し、かつ遷移域の指定周波数の減衰量を通過する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより、上記フィルタ係数を算出する。
【００７２】
また、本発明では、上記第１４ステップでは、上記タップ数が固定で、バンド設定は変更可能な場合に、阻止域の減衰量を満足し、かつ遷移域の指定周波数の減衰量を通過する、通過させたい周波数点および上記プリフィルタの周波数応答に関連付けて、阻止域の減衰量を満足するように、所望の特性に対して重みつき近似を行うことにより得られたイコライザの振幅特性により上記フィルタ係数を算出する。
【００７３】
本発明によれば、たとえば初期設定により、直線位相ＦＩＲフィルタの設定、バンドの設定、プリフィルタの係数の設定、通過させたい任意の周波数点の入力、初期極値点の設定が行われる。
次に、現在の極値点と通過させたい周波数点から振幅特性を補間する補間多項式が生成される。
次に、生成した補間多項式から求められた振幅特性から新しい極値点が決定される。
これらが繰り返されて、たとえば極値の位置が所望の範囲内に近似されたか否かが判断される。
そして、近似された振幅特性からフィルタ係数が求められる。
このように、係数が設定されているＦＩＲフィルタは、重みつき近似誤差が等リプルになり、また、通過域の利得が一定値に保たれる。
また、指定した周波数点を通過することができる。
【００７４】
【発明の実施の形態】
以下、本発明の実施の形態について図面に関連付けて説明する。
【００７５】
本発明に係る直線位相ＦＩＲフィルタは、等価的にはたとえば図１に示すようなトランスバーサル型回路構成をとることが可能である。
ただし、フィルタ係数ｈは、以下に詳述するように、レムズ交換(Remez Exchange)アルゴリズムを拡張し、通過させたい周波数点を指定でき、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮した上で所望の振幅特性をチェビシェフ近似し、近似された振幅特性から求められる。
【００７６】
以下、本発明に係る直線位相ＦＩＲフィルタの係数設定の具体的な方法について、図面に関連付けて順を追って説明する。
【００７７】
式（３）のように、Ｎタップの直線位相ＦＩＲフィルタの伝達関数Ｈ（ｚ）は、プリフィルタの伝達関数Ｚ（ｚ）とイコライザの伝達関数Ｋ（ｚ）の積から成り立つようなフィルタである。
【００７８】
【数３】
Ｈ（ｚ）＝Ｚ（ｚ）・Ｋ（ｚ）                            …（３）
【００７９】
ここで、プリフィルタとイコライザは、それぞれＵタップ、Ｎ−（Ｕ−１）タップの直線位相ＦＩＲフィルタであり、プリフィルタの伝達関数はあらかじめ与えられているものとする。
また、周波数領域でＮｐ個の任意の周波数点を通過させる。したがって、ここでの伝達関数Ｈ（ｚ）のフィルタ設計とは、指定した任意の周波数点を通過し、かつ、振幅特性Ｈ（ｅjw）を所望の振幅特性Ｄ（ｅjw）に近づけるように、Ｎ−（Ｕ−１）タップのイコライザの伝達関数Ｋ（ｚ）を決定することである。
【００８０】
伝達関数Ｋ（ｚ）のイコライザに割り当てられるタップ数をＬ＝Ｎ−（Ｕ−１）とおく。
直線位相ＦＩＲフィルタの伝達関数Ｋ（ｚ）は、図４に示すように、直線位相を持つために４つの場合に分類される。
具体的には、図４（Ａ）に示す奇数タップ、偶対称の場合１、図４（Ｂ）に示す偶数タップ、偶対称の場合２、図４（Ｃ）に示す奇数タップ、奇対称の場合３、および図４（Ｄ）に示す偶数タップ、奇対称の場合４の４つ場合に分類される。
【００８１】
そして、その振幅特性関数Ｋ（ｅjw）を場合１はそのままにして、場合２〜４を次のように書き直す。
【００８２】
【数４】
0004595165.tif 000002
【００８３】
すなわち、振幅特性関数Ｋ（ｅjw）は、図５に示した固定パラメータの関数Ｑ（ｅjw）と設計パラメータを含む余弦級数Ｐ（ｅjw）との積で表される。以後、各式（４−１）〜（式４−４）の和の上限をＲ−１＋２×Ｎｐと表すことにする。すなわち、Ｒは図５のように計算される。また、a(n); ￣ b(n);￣c(n); ￣ d(n) をｐ（ｎ）と総称する。
【００８４】
所望の振幅特性Ｄ（ｅjw）とし、各周波数に対する重みをＷ（ｅjw）とするとき、重みつき近似誤差は次のように定義される。
【００８５】
【数５】
0004595165.tif 000003
【００８６】
【数６】
0004595165.tif 000004
【００８７】
式（５）に式（６）を代入すると次のようになる。
【００８８】
【数７】
0004595165.tif 000005
【００８９】
ただし、＾Ｗ（ｅjw）、＾Ｄ（ｅjw）は下記のようであるとする。
【００９０】
【数８】
0004595165.tif 000006
【００９１】
【数９】
0004595165.tif 000007
【００９２】
式（７）は、場合１〜場合４の４つの場合の直線位相ＦＩＲフィルタの重みつき近似誤差を表している。
重みつきチェビシェフ近似問題は、式（５）において指定周波数帯域内での｜Ｅ（ｅjw）｜の最大値を最小にするような式（４−１）〜（４−４）のa(n); ￣ b(n);￣ c(n);￣ d(n) を決定することである。
【００９３】
以下、具体例に関連付けて説明する。
ここでは、下記および図６に示すように、振幅特性Ｄ（ｅjw）を定義する。
【００９４】
【数１０】
0004595165.tif 000008
【００９５】
ただし、Ｒが与えられると、δ1 ，δ2 の値は任意に指定できないが、その比率を指定することができる。
Ｗ（ｅjw）は通過域では一定値Ｗ1 、阻止域ではＷ2 とし、Ｗ1 δ1 ＝Ｗ2 δ2 が成立するように選ぶ。たとえば、Ｗ1 ＝１、Ｗ2 ＝δ1 ／δ2 と選ぶ。このとき、次の交番定理が成り立つ。
【００９６】
定理
（Ｒ−１）次の余弦級数Ｐ（ｅjw）がｗの区間（０，π）で目的特性に対する最良重みつきチェビシェフ近似であるための必要十分条件は、
(1) Ｅ（ｅjw）は区間（０，π）で少なくとも（Ｒ＋１）回、極値をとること。そのときの極値をとる周波数をｗ0 ＜ｗ1 ＜ｗ2 ＜・・＜ｗR-1 ＜ｗR とする。
(2) 隣り合う極値の符号は異なり、かつすべての極値の絶対値は等しいこと。
すなわち、次の条件を満足する。
【００９７】
【数１１】
0004595165.tif 000009
【００９８】
したがって、｜Ｅ（ｅjwi ）｜は区間内での｜Ｅ（ｅjw）｜の最大値に等しい。
【００９９】
最良なチェビシェフ近似を得る手法に交番定理に基づいたレムズ交換アルゴリズム(Remez Exchange Algorithm)がある（Rabiner, L.R., McClellan, J.H. and Parks, T.W.: "FIR Digital Filter Design Techniques Using Weighted Chebyshev Approximation", Proc. IEEE, Vol 63,April, pp.595-610, 1975 参照）。
レムズ交換アルゴリズムは、周波数領域で所望の振幅特性をチェビシェフ近似し、近似された振幅特性から直線位相ＦＩＲフィルタの係数を求めるものである。
【０１００】
図７は、本発明に係る任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換アルゴリズムのフローチャートである。
具体的なプリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換アルゴリズムは以下のようになる。
【０１０１】
ｓｔｅｐ０
図７に示すように、まず、初期設定を行う（Ｆ１０１）。この初期設定では、直線位相ＦＩＲフィルタの設定、バンドの設定、プリフィルタの係数の設定、通過させたい任意の周波数点の入力、初期極値点の設定を行う。
具体的に設定する項目は以下の通りである。
・タップ数、
・直線位相ＦＩＲフィルタは、偶対称あるいは奇対称、
・バンドの数、
・各バンドの両端の周波数、
・各バンドの所望の振幅値、
・各バンドに対する重みづけ、
・プリフィルタの係数、
・通過させたい点の周波数と振幅値（ｗR+i ，Ｄ（ｅjwR+1 ），ｉ＝１，・・，Ｎｐ）、
・近似帯域で極値となる周波数ｗ(0) ＝ｗk (0) （ｋ＝０，・・，Ｒ）
ただし、右肩文字(i) は繰り返しの回数を表している。
【０１０２】
ｓｔｅｐ１
次に、現在の極値点から振幅特性を補間するラグランジュ補間多項式を生成する（Ｆ１０２）。
上記式（５）で示すチェビシェフ近似の目的関数が最小になる必要十分条件は交番定理により示されている。そこで、交番定理をもとにして、各周波数点で所望の振幅特性からの重みつき近似誤差δ(i) が等しく、符号が交番するように、次式のパラメータｐ（ｎ）を求める。
【０１０３】
【数１２】
0004595165.tif 000010
【０１０４】
すなわち、周波数点ｗ(i) ＝ｗk (i) （ｋ＝０，・・，Ｒ）における式（７）の重みつき近似誤差が次式を満足する。
【０１０５】
【数１３】
0004595165.tif 000011
【０１０６】
以下、簡略化のために右肩文字(i) は省略する。式（１３）を変形すると次のようになる。
【０１０７】
【数１４】
0004595165.tif 000012
【０１０８】
そして、式（１４）に制約として周波数領域で通過させたい点の等式が加わる。
【０１０９】
【数１５】
0004595165.tif 000013
【０１１０】
式（１４）と式（１５）を行列表現すると、次のようになる。
【０１１１】
【数１６】
0004595165.tif 000014
【０１１２】
しかし、この式を解くのは非常に計算量が多いので、まずδを解析的に求める。
【０１１３】
【数１７】
0004595165.tif 000015
【０１１４】
【数１８】
0004595165.tif 000016
【０１１５】
【数１９】
0004595165.tif 000017
【０１１６】
αk は行列Ｆのｋ行（Ｒ＋１）列の要素の余因子である。ただし、＾Ｗ（ｅjw），＾Ｄ（ｅjw）は、それぞれ式（８）、式（９）を使う。
次にこのδを用いて次式のようにおく。
【０１１７】
【数２０】
0004595165.tif 000018
【０１１８】
【数２１】
0004595165.tif 000019
【０１１９】
極値点以外の周波数の振幅特性を求めるために、極値点と通過させたい周波数点を用いて補間する補間多項式として、今回はラグランジュ補間多項式を用いることにする。すなわち、Ｐ（ｅjw）は、ラグランジュ補間多項式を用いて、ｗk(ｋ＝０，・・，Ｒ＋Ｎｐ) で値Ｃk をとるような補間をすることで計算される。
【０１２０】
【数２２】
0004595165.tif 000020
【０１２１】
【数２３】
0004595165.tif 000021
【０１２２】
【数２４】
0004595165.tif 000022
【０１２３】
この結果は、式（１６）を解いたことに相当する。
【０１２４】
ｓｔｅｐ２
補間多項式から求められた振幅特性から新しい極値点を求めることと（Ｆ１０３）、最適近似が得られた否かを繰り返し判断する（Ｆ１０４）。
上記したｓｔｅｐ１の結果の各極値点ｗk は必ずしも重みつき誤差関数Ｅ（ｅjw）の極値になっておらず、｜Ｅ（ｅjw）｜＞δ(i) となる点が存在することがある。そこで新しい極値点ｗ(i+1) を全点同時入れ替え法から決定する。
全点同時入れ替え法:
次式に基づいて、補間に用いた極値点から計算される重みつき近似誤差の極値を近似帯域全体にわたり探し求め、それを新しい極値点ｗ(i+1) ＝ｗk (i+1) (k=0,1, ・・,R) とし、ｓｔｅｐ１の処理に戻る。
【０１２５】
【数２５】
0004595165.tif 000023
【０１２６】
極値の位置が変化しなくなったとき最適近似が得られたとする。これが繰り返しの終了条件であり、次のｓｔｅｐ３の処理へ進む。
【０１２７】
図８は、全点入れ替え法の概念図である。
簡単に説明すると、図８中の黒丸が補間に用いた極値点を表し、この極値点から求めた重みつき近似誤差Ｅ（ｅjw）が実線に相当する。
図８（Ａ）に示すように、黒丸の極値点での重みつき近似誤差の値は白丸となるが、実際の極値は四角で示す周波数である。そこで、四角で示す周波数を新しい極値点として、ｓｔｅｐ１の処理に戻る。
また、図８（Ｂ）に示すように、補間に用いた極値点と実際の極値の周波数がずれているので、四角で示す周波数を新しい極値点として、ｓｔｅｐ１の処理に戻る。
そして、図８（Ｃ）に示すように、補間に用いた極値点と、実際の重みつき近似誤差の極値点( 白丸) が同じになったときに、繰り返しは終了する。
【０１２８】
ｓｔｅｐ３
近似された振幅特性から直線位相ＦＩＲフィルタの係数を求める（Ｆ１０５）。
最適近似関数Ｐ（ｅjw）からＮタップのインパルス応答ｈ（ｎ）を求める際に、ｐ（ｎ）から求める代わりに、次式から求める。
【０１２９】
【数２６】
0004595165.tif 000024
【０１３０】
【数２７】
0004595165.tif 000025
【０１３１】
【数２８】
0004595165.tif 000026
【０１３２】
【数２９】
0004595165.tif 000027
【０１３３】
【数３０】
0004595165.tif 000028
【０１３４】
また、Ｌ＝Ｎ−（Ｕ−１）タップのイコライザのインパルス応答ｋ（ｎ）を求めるときは、次式から計算する。
【０１３５】
【数３１】
0004595165.tif 000029
【０１３６】
【数３２】
0004595165.tif 000030
【０１３７】
【数３３】
0004595165.tif 000031
【０１３８】
【数３４】
0004595165.tif 000032
【０１３９】
【数３５】
0004595165.tif 000033
【０１４０】
もし、プリフィルタが、次式で示すように伝達関数Ｚ（ｚ）が１のときは、任意の周波数点を通過するレムズ交換アルゴリズムと同じである。
【０１４１】
【数３６】
Ｚ（ｚ）＝１                                  …（３６）
【０１４２】
また、もし、プリフィルタが通過させたい任意の周波数点がない場合Ｎｐ＝０のときは、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換アルゴリズムと同じである。
【０１４３】
さらに、もし、プリフィルタが、次式で示すように伝達関数Ｚ（ｚ）が１であり、かつ、通過させたい任意の周波数点がない場合Ｎｐ＝０のときは、通常のレムズ交換アルゴリズムと同じである。
【０１４４】
【数３７】
Ｚ（ｚ）＝１                                  …（３７）
【０１４５】
図９は、以下の仕様に対して、任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮できるように拡張したレムズ交換アルゴリズムで設計された低域通過フィルタの周波数応答を示す図である。
なお、以降の説明では、チェス盤歪みを回避するための零点をプリフィルタとして扱うことにする。
プリフィルタの周波数応答は、次のように表される。
【０１４６】
【数３８】
0004595165.tif 000034
【０１４７】
以下に、仕様を示す。
【０１４８】
直線位相ＦＩＲフィルタ
・２４タップ
・偶対称
・Ｕ＝３（直流利得がＵとなるように調節する）
設計方法
・任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換アルゴリズムで設計した。
【０１４９】
【表１】
0004595165.tif 000035
【０１５０】
【表２】
0004595165.tif 000036
【０１５１】
図９（Ａ）デシベルで表示した周波数応答を示す図、図９（Ｂ）はそのままの値で表示シタ周波数応答を示す図、図９（Ｃ）は利得３付近を拡大した図、図９（Ｄ）は利得０付近を拡大した図である。
図９（Ａ）〜（Ｄ）中、点線はプリフィルタの周波数特性(Pre-filter)およびイコライザの周波数特性(Equalizer) を示し、実曲線は最終的に得られた周波数特性(Proposed H(z)) 、および縦実線はチェス盤歪みを回避するためにH(z) = 0とならなければならない周波数(Zero Point)、および黒丸はバンドの区切りを示している。
【０１５２】
図９（Ａ）から通過域の利得が一定値を保っており、チェス盤歪みを回避する零点を通過していることが確認できる。
また、図９（Ｃ）から指定した周波数点を通過していることが確認できる。
さらに、図９（Ｃ），（Ｄ）から、等リップルを保っていることが確認できる。
【０１５３】
すなわち、任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮できるように拡張したレムズ交換アルゴリズムで設計された低域通過フィルタは、良好な周波数応答特性を得ることができる。
【０１５４】
次に、変形例として、指定された阻止域の減衰量を満足するアルゴリズムについて説明する。
このアルゴリズムは、任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換アルゴリズムを用いて、バンド数が２である低域通過フィルタ、または、高域通過フィルタに対して、指定された阻止域の減衰量( 重みつき近似誤差) を満足するアルゴリズムである。
なお、以下の説明では、低域通過フィルタを想定して記述しているが、高域通過フィルタに適用したいときは、「通過域」と「阻止域」は逆になる。
【０１５５】
阻止域の減衰量を満足するための方法としては、以下に示す３種類のアプローチが存在する。
第１は、通過域の終点周波数ｗp を可変、阻止域の始点周波数ｗs を固定、およびタップ数を固定とするアプローチである。
第２は、通過域の終点周波数ｗp を固定、阻止域の始点周波数ｗs を可変、およびタップ数を固定とするアプローチである。
第３は、通過域の終点周波数ｗp を固定、阻止域の始点周波数ｗs を固定、タップ数を可変とするアプローチである。
【０１５６】
以下、第１、第２、および第３のアプローチについて、図面に関連つけて順を追って説明する。
【０１５７】
第１のアプローチ
まず、一つ目のアプローチでは、指定した阻止域の減衰量ｄＢs を満足する最も大きい通過域の終点周波数ｗp を求めることになる。
図１０は、阻止域の減衰量を満足するフィルタを求めるアルゴリズムのフローチャートを示す図である。
図１１は、阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数を持つフィルタを求めるアルゴリズムで、自由になるパラメータ（変数）と固定されるパラメータ（変数）を示している。
【０１５８】
ここで、このアルゴリズムで自由になるパラメータ、目的、そしてアルゴリズムの原理を列挙すると次のようになる。
＊自由パラメータ: 通過域の終点周波数ｗp である。
＊目的: 指定した阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数ｗp を持つフィルタを得る。
＊原理: 通過域の始点周波数と阻止域の両端の周波数が固定であり、通過域の終点周波数が自由パラメータである。レムズ交換アルゴリズムによるチェビシェフ近似では、
・通過域の終点周波数ｗp が阻止域の始点周波数ｗs よりも遠ざかる
→阻止域の減衰量は大きくなる。
・通過域の終点周波数ｗp が阻止域の始点周波数ｗs に近づく
→阻止域の減衰量は小さくなる。
すなわち、阻止域の始点周波数ｗs から遠い周波数（ｗ＝０付近）にｗ p(cur)と阻止域の始点周波数に近い周波数ｗ p(pre) を初期周波数として用意し、二分割法を利用して指定した減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数の位置ｗp を求める。
なお、このようなパラメータの直線探索法で最も効率の良い方法は黄金分割法であるが、ここでは、アルゴリズムの理解が容易な二分割法を採用している。
【０１５９】
図１０および以下に説明するアルゴリズムの各ステップ処理Ｆ１０２，Ｆ１０３，Ｆ１０４，Ｆ１０５の内容は、図７に関連付けて説明した、任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換アルゴリズムと同じである。したがって、これらの処理については、図７と同じ符号を用いている。
【０１６０】
ｓｔｅｐ１０
図１０に示すように、まず、初期設定を行う（Ｆ２０１）。この初期設定では、直線位相ＦＩＲフィルタの設定、バンドの設定、プリフィルタの係数の設定、通過させたい任意の周波数点の入力、初期極値点の設定、阻止域の減衰量の指定、二分割法の初期周波数の設定を行う。
具体的に設定する項目は以下の通りである。
・タップ数、
・直線位相ＦＩＲフィルタは、偶対称あるいは奇対称、
・バンドの数は２個、
・通過域の始点周波数、
・通過域の利得、
・阻止域の両端の周波数、
・阻止域の利得、
・通過域と阻止域に対する重みづけ、
・通過させたい点の周波数と振幅値、
・プリフィルタの係数、
・阻止域の減衰量ｄＢs(すなわち、阻止域のリップルの大きさδ2 を指す) 、
・近似帯域で極値となる周波数ｗ(0) ＝ｗk (0) （ｋ＝０，・・，Ｒ）
ただし、右肩文字(i) は繰り返しの回数を表している。
【０１６１】
また、図１２は、阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数を持つフィルタを求めるアルゴリズムにおける二分割法の初期周波数を示す図である。
図１２に示すように、本例では、二分割法の初期周波数として下記のような値を与えている。
【０１６２】
【数３９】
0004595165.tif 000037
【０１６３】
ｗp の後ろにある[t] の部分はサイクル数を表すものとする。
ここでは、周波数ｗ p(pre) [0] に対しては、任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換アルゴリズムを実行して阻止域における最小の減衰量ｄＢ(pre) [0] が求められているとして以下のステップについて説明する。
【０１６４】
ｓｔｅｐ１１
任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換アルゴリズムを実行する（Ｆ１０２，Ｆ１０３，Ｆ１０４）。
具体的には、処理Ｆ１０２では、ｗ p(cur) [t] のときの極値点と通過させたい周波数点から振幅特性を補間する補間多項式を生成を生成する。
次いで、処理Ｆ１０３において、補間多項式から求められた振幅特性から新しい極値点を決定する。
そして、処理Ｆ１０４において、レムズ交換アルゴリズムの繰り返し判断を行う。
【０１６５】
ｓｔｅｐ１２
次に、阻止域の減衰量を調べる（Ｆ２０６）。
処理Ｆ１０２で求めた補間多項式を用いて、阻止域における最小の減衰量（最大の重みつき近似誤差δ2 ）ｄＢ s(cur) [t] を調べる。
【０１６６】
ｓｔｅｐ１３
次に、指定した阻止域の減衰量との比較を行う（Ｆ２０７）。
具体的には、指定した阻止域の減衰量ｄＢs と比較して、下記式（４１）または式（４２）を満足している場合には、ｓｔｅｐ１５（Ｆ１０５）の処理に移行する。満足していない場合にはｓｔｅｐ１４（Ｆ２０８）の処理に移行する。
【０１６７】
【数４０】
0004595165.tif 000038
【０１６８】
【数４１】
0004595165.tif 000039
【０１６９】
ただし、ε1 とε2 は非常に小さい値をしている。
【０１７０】
ｓｔｅｐ１４
指定した阻止域の減衰量ｄＢs との比較において、上記式（４１）または式（４２）を満足していない場合には、バンドの設定を変更する（Ｆ２０８）。
具体的には、新しい通過域の終点周波数ｗ p(cur) [t + 1] を設定する。その設定法として一回目のループの場合と二回目以降のループの場合に分けて説明する。
【０１７１】
一回目: 
一回目の場合には、図１３に示す３つのケースが考えられる。
すなわち、周波数ｗ p(pre) [0] 、ｗ p(cur) [0] に対して、図１３（Ａ），（Ｂ），（Ｃ）に示すケースが考えられる。
図１３（Ａ）に示すケースは、両方とも指定した減衰量を満足しているケースである。この場合、阻止域の始点周波数ｗs に近い周波数ｗ p(pre) [0] を解としてｓｔｅｐ１５の処理に進む。
図１３（Ｂ）に示すケースは、両方とも指定した減衰量を満足しないケースである。この場合、現在のタップ数では、指定した減衰量を実現することができないので、その旨を表示して終了する。
図１３（Ｃ）に示すケースは、片方のみが指定した減衰量を満足するケースである。この場合は、下記式（４３）のようにしてｓｔｅｐ１１の処理に移行する。
なお、今回の初期周波数点の与え方では、ｗ p(pre) [0] が満足し、ｗ p(cur) [0] が満足しないケースは存在しない。
【０１７２】
【数４２】
0004595165.tif 000040
【０１７３】
二回目以降: 
二回目以降の場合には、図１４に示す２つのケースが考えられる。二回目以降における新しい周波数の決め方において、ｗ p(pre) [t +1]には必ず指定した減衰量ｄＢs を満足する周波数を保存する。周波数ｗ p(pre) [t] 、ｗ p(cur) [t] に対して、図１４（Ａ），（Ｂ）に示すケースが考えられる。
図１４（Ａ）に示すケースは、片方のみが指定した減衰量を満足するケースである。この場合は、下記式（４４）のようにして次のｓｔｅｐ１１の処理に移行する。
なお、常にｗ p(pre) [t] は指定した減衰量を満足した周波数がくるので、ｗ p(pre) [t] が満足しないケースは存在しない。
【０１７４】
【数４３】
0004595165.tif 000041
【０１７５】
図１４（Ｂ）に示すケースは、両方とも指定した減衰量を満足しているケースである。この場合は、下記式（４５）のようにして次のｓｔｅｐ１１の処理に移行する。
【０１７６】
【数４４】
0004595165.tif 000042
【０１７７】
ｓｔｅｐ１５
近似された振幅特性から直線位相ＦＩＲフィルタの係数を求める（Ｆ１０５）。
すなわち、最終的に得られた振幅特性から直線位相ＦＩＲフィルタの係数を求める。
【０１７８】
図１５は、チェス盤歪みを回避する零点のフィルタをプリフィルタとして、「阻止域の減衰量を満足する最大の通過域の終点周波数を持つフィルタ」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタの周波数応答特性を示す図である。
図１５（Ａ）はデシベルで表示した周波数応答を示す図、図１５（Ｂ）はそのままの値で表示した周波数応答を示す図、図１５（Ｃ）は利得３付近を拡大した図、および図１５（Ｄ）は利得０付近を拡大した図である。
【０１７９】
この場合の基本アルゴリズム、求めたい変数、バンド、および指定周波数点は以下の通りである。
【０１８０】
基本アルゴリズム: 
任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数特性を考慮したレムズ交換アルゴリズムである。
・２４タップ
・偶対称
・Ｕ＝３（直流利得がＵとなるようにフィルタ係数をＵ倍する)
・阻止域の減衰量は−４０ｄＢ以下
求めたい変数: 
通過域の終点周波数ｗp である。
【０１８１】
【表３】
0004595165.tif 000043
【０１８２】
【表４】
0004595165.tif 000044
【０１８３】
なお、図１５中において、実線は阻止域の減衰量を満足する最大の通過域の終点周波数をもつ低域通過フィルタの周波数応答を示している。また、縦実線はチェス盤歪みを回避するためにＨ（ｚ）＝０とならなければならない周波数を示し、点線はあらかじめ与えたバンドの区切りを示し、縦点線はバンドの区切りを示し、黒丸は指定した周波数点を示している。
【０１８４】
図１５（Ａ）から、指定した阻止域の減衰量を実現し、また、通過域の利得が一定値を保っており、チェス盤歪みを回避する零点を通過していることが確認できる。
また、図１５（Ｃ）から指定した周波数点を通過していることが確認できる。
さらに、図１５（Ｃ），（Ｄ）から、等リップルを保っていることが確認できる。
【０１８５】
すなわち、図１５からわかるように、本発明に係る「阻止域の減衰量を満足する最大の通過域の終点周波数を持つフィルタ」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタは、良好な周波数応答特性を有している。
【０１８６】
第２のアプローチ
次に、第２のアプローチでは、指定した阻止域の減衰量ｄＢs を満足する最も小さい阻止域の始点周波数ｗs を求めることになる。
そのためのフローチャートは、第１のアプローチで参照した図１０と等価なものとなる。
図１６は、阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数を持つフィルタを求めるアルゴリズムで、自由になるパラメータ（変数）と固定されるパラメータ（変数）を示している。
【０１８７】
ここで、このアルゴリズムで自由になるパラメータ、目的、そしてアルゴリズムの原理を列挙すると次のようになる。
＊自由パラメータ: 阻止域の始点周波数ｗs である。
＊目的: 指定した阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数ｗs を持つフィルタを得る。
＊原理: 通過域の両端の周波数と阻止域の終点周波数が固定であり、阻止域の始点周波数が自由パラメータである。レムズ交換アルゴリズムによるチェビシェフ近似では、
・この阻止域の始点周波数ｗs が通過域の終点周波数ｗp よりも遠ざかる
→阻止域の減衰量は大きくなる。
・この阻止域の始点周波数ｗs が通過域の終点周波数ｗp に近づく
→阻止域の減衰量は小さくなる。
すなわち、通過域の終点周波数から遠い周波数ｗ s(pre) と通過域の終点周波数に近い周波数ｗ s(cur) を初期周波数として用意し、二分割法を利用して指定した減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数の位置ｗs を求める。
なお、この場合も、このようなパラメータの直線探索法で最も効率が良い方法は黄金分割法であるが、ここでは、アルゴリズムの理解が容易な二分割法を採用している。
【０１８８】
また、図１０および以下に説明するアルゴリズムの各ステップ処理Ｆ１０２，Ｆ１０３，Ｆ１０４，Ｆ１０５の内容は、第１のアプローチの場合と同様に、図７に関連付けて説明した、任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換アルゴリズムと同じである。したがって、ここでの処理については、図７と同じ符号を用いている。
【０１８９】
ｓｔｅｐ２０
図１０に示すように、まず、初期設定を行う（Ｆ２０１）。この初期設定では、直線位相ＦＩＲフィルタの設定、バンドの設定、プリフィルタの係数の設定、通過させたい任意の周波数点の入力、初期極値点の設定、阻止域の減衰量の指定、二分割法の初期周波数の設定を行う。
具体的に設定する項目は以下の通りである。
・タップ数、
・直線位相ＦＩＲフィルタは、偶対称あるいは奇対称、
・バンドの数は２個、
・通過域の両端の周波数、
・通過域の利得、
・阻止域の終点周波数、
・阻止域の利得、
・通過域と阻止域に対する重みづけ、
・通過させたい点の周波数と振幅値、
・プリフィルタの係数、
・阻止域の減衰量ｄＢs(すなわち、阻止域のリップルの大きさδ2 を指す) 、
・近似帯域で極値となる周波数ｗ(0) ＝ｗk (0) （ｋ＝０，・・，Ｒ）
ただし、右肩文字(i) は繰り返しの回数を表している。
【０１９０】
また、図１７は、阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域を持つフィルタを求めるアルゴリズムにおける二分割法の初期周波数を示す図である。
図１７に示すように、本例では、二分割法の初期周波数として下記のような値を与えている。
【０１９１】
【数４５】
0004595165.tif 000045
【０１９２】
ｗs の後ろにある[t] の部分はサイクル数を表すものとする。
ここでは、周波数ｗ s(pre) [0] に対しては、任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換アルゴリズムを実行して阻止域における最小の減衰量ｄＢ(pre) [0] が求められているとして以下のステップについて説明する。
【０１９３】
ｓｔｅｐ２１
任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換アルゴリズムを実行する（Ｆ１０２，Ｆ１０３，Ｆ１０４）。
具体的には、処理Ｆ１０２では、ｗ s(cur) [t] のときの極値点と通過させたい周波数点から振幅特性を補間する補間多項式を生成を生成する。
次いで、処理Ｆ１０３において、補間多項式から求められた振幅特性から新しい極値点を決定する。
そして、処理Ｆ１０４において、レムズ交換アルゴリズムの繰り返し判断を行う。
【０１９４】
ｓｔｅｐ２２
次に、阻止域の減衰量を調べる（Ｆ２０６）。
処理Ｆ１０２で求めた補間多項式を用いて、阻止域における最小の減衰量( 最大の重みつき近似誤差δ2)ｄＢ s(cur) [t] を調べる。
【０１９５】
ｓｔｅｐ２３
次に、指定した阻止域の減衰量との比較を行う（Ｆ２０７）。
具体的には、指定した阻止域の減衰量ｄＢs と比較して、下記式（４８）または式（４９）を満足している場合には、ｓｔｅｐ２５（Ｆ１０５）の処理に移行する。満足していない場合にはｓｔｅｐ２４（Ｆ２０８）の処理に移行する。
【０１９６】
【数４６】
0004595165.tif 000046
【０１９７】
【数４７】
0004595165.tif 000047
【０１９８】
ただし、ε1 とε2 は非常に小さい値とする。
【０１９９】
ｓｔｅｐ２４
指定した阻止域の減衰量との比較において、上記式（４８）または式（４９）を満足していない場合には、バンドの設定を変更する（Ｆ２０８）。
具体的には、新しい阻止域の始点周波数ｗ s(cur) [t + 1] を設定する。その設定法として一回目のループの場合と二回目以降のループの場合に分けて説明する。
【０２００】
一回目: 
一回目の場合には、図１８に示す３つのケースが考えられる。
すなわち、周波数ｗ s(pre) [0] 、ｗ s(cur) [0] に対して、図１８（Ａ），（Ｂ），（Ｃ）に示すケースが考えられる。
図１８（Ａ）に示すケースは、両方とも指定した減衰量を満足しているケースである。この場合、ｗ＝０に近い周波数ｗ s(pre) [0] を解としｓｔｅｐ２５の処理に進む。
図１８（Ｂ）に示すケースは、両方とも指定した減衰量を満足しないケースである。この場合、現在のタップ数では、指定した減衰量を実現することができないので、その旨を表示して終了。
図１８（Ｃ）に示すケースは、片方のみが指定した減衰量を満足するケースである。この場合は、下記式（５０）のようにしてｓｔｅｐ２１の処理に移行する。
なお、今回の初期周波数点の与え方では、ｗ s(pre) [0] が満足し、ｗ s(cur) [0] が満足しないケースは存在しない。
【０２０１】
【数４８】
0004595165.tif 000048
【０２０２】
二回目以降: 
二回目以降の場合には、図１９に示す２つのケースが考えられる。二回目以降における新しい周波数の決め方において、ｗ s(pre) [t + 1] には必ず指定した減衰量ｄＢs を満足する周波数を保存することにする。周波数ｗ s(pre) [t] 、ｗ s(cur) [t] に対して、図１９（Ａ），（Ｂ）に示すケースが考えられる。
図１９（Ａ）に示すケースは、片方のみが指定した減衰量を満足するケースである、この場合は、下記式（５１）のようにして次のｓｔｅｐ２１の処理に移行する。
なお、常にｗ s(pre) [t] は減衰量を満足した周波数がくるので、ｗ s(pre)[t] が満足しないケースは存在しない。
【０２０３】
【数４９】
0004595165.tif 000049
【０２０４】
図１９（Ｂ）に示すケースは、両方とも指定した減衰量を満足しているケースである。この場合は、下記式（５２）のようにして次のｓｔｅｐ２１の処理に移行する。
【０２０５】
【数５０】
0004595165.tif 000050
【０２０６】
ｓｔｅｐ２５
近似された振幅特性から直線位相ＦＩＲフィルタの係数を求める（Ｆ１０５）。
すなわち、最終的に得られた振幅特性から直線位相ＦＩＲフィルタの係数を求める。
【０２０７】
図２０は、チェス盤歪みを回避する零点のフィルタをプリフィルタとして、「阻止域の減衰量を満足する最小の阻止域の始点周波数を持つフィルタ」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタの周波数応答特性を示す図である。
図２０（Ａ）はデシベルで表示した周波数応答を示す図、図２０（Ｂ）はそのままの値で表示した周波数応答を示す図、図２０（Ｃ）は利得３付近を拡大した図、および図２０（Ｄ）は利得０付近を拡大した図である。
【０２０８】
この場合の基本アルゴリズム、求めたい変数、バンド、および指定周波数点は以下の通りである。
【０２０９】
基本アルゴリズム: 
任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数特性を考慮したレムズ交換アルゴリズムである。
・２４タップ
・偶対称
・Ｕ＝３（直流利得がＵとなるようにフィルタ係数をＵ倍する)
・阻止域の減衰量は−４０ｄＢ以下
求めたい変数: 
阻止域の始点周波数ｗs である。
【０２１０】
【表５】
0004595165.tif 000051
【０２１１】
【表６】
0004595165.tif 000052
【０２１２】
なお、図２０中において、実線は阻止域の減衰量を満足する最小の阻止域の始点周波数をもつ低域通過フィルタの周波数応答を示している。また、縦実線はチェス盤歪みを回避するためにＨ（ｚ）＝０とならなければならない周波数を示し、点線はあらかじめ与えたバンドの区切りを示し、縦点線はバンドの区切りを示し、黒丸は指定した周波数点を示している。
【０２１３】
図２０（Ａ）から、指定した阻止域の減衰量を実現しており、また、通過域の利得が一定値を保っており、チェス盤歪みを回避する零点を通過していることが確認できる。
また、図２０（Ｃ）から、指定した周波数点を通過していることが確認できる。
さらに、図２０（Ｃ），（Ｄ）から、等リップルを保っていることが確認できる。
【０２１４】
すなわち、図２０からわかるように、本発明に係る「阻止域の減衰量を満足する最小の阻止域の始点周波数を持つフィルタ」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタは、良好な周波数応答特性を有している。
【０２１５】
第３のアプローチ
最後に、第３のアプローチでは、指定した阻止域の減衰量ｄＢs を満足する最小のタップ数Ｎを求めることになる。
図２１は、阻止域の減衰量を満足する最小のタップ数のフィルタを求めるアルゴリズムのフローチャートを示す図である。
【０２１６】
ここで、このアルゴリズムで、自由になるパラメータ、目的、そしてアルゴリズムの原理を列挙すると次のようになる。
＊自由パラメータ: タップ数である。
＊目的: 指定された阻止域の減衰量を満足する最小タップ数のフィルタを得る。
＊原理: バンドの変数はすべて固定であるので、指定した阻止域の減衰量を満足できない場合に、タップ数を１タップ増やす。
【０２１７】
また、図２１および以下に説明するアルゴリズムの各ステップ処理Ｆ１０２，Ｆ１０３，Ｆ１０４，Ｆ１０５、の内容は、第１のアプローチの場合と同様に、図７に関連付けて説明した、任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換アルゴリズムと同じである。また、処理Ｆ２０６の内容は第２のアプローチの場合と同様に、図１０に関連付けて説明した処理と同様である。したがって、ここでの処理については、図７および図１０と同じ符号を用いている。
【０２１８】
ｓｔｅｐ３０
図２１に示すように、まず、初期設定を行う（Ｆ４０１）。この初期設定では、直線位相ＦＩＲフィルタの設定、バンドの設定、プリフィルタの係数の設定、通過させたい任意の周波数点の入力、初期極値点の設定を行う。
具体的に設定する項目は以下の通りである。
・初期タップ数、
・直線位相ＦＩＲフィルタは、偶対称あるいは奇対称、
・バンドの数は２個、
・各バンドの始点周波数と終点周波数、
・各バンドの利得、
・各バンドの重みづけ、
・通過させたい点の周波数と振幅値、
・プリフィルタの係数、
・阻止域の減衰量ｄＢs(すなわち、阻止域のリップルの大きさδ2 を指す) 、
・近似帯域で極値となる周波数ｗ(0) ＝ｗk (0) （ｋ＝０，・・，Ｒ）
ただし、右肩文字(i) は繰り返しの回数を表している。
【０２１９】
ｓｔｅｐ３１
任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換アルゴリズムを実行する（Ｆ１０２，Ｆ１０３，Ｆ１０４）。
具体的には、処理Ｆ１０２では、ｗ p (cur) [t]のときの極値点と通過させたい周波数点から振幅特性を補間する補間多項式を生成を生成する。
次いで、処理Ｆ１０３において、補間多項式から求められた振幅特性から新しい極値点を決定する。
そして、処理Ｆ１０４において、レムズ交換アルゴリズムの繰り返し判断を行う。
【０２２０】
ｓｔｅｐ３２
次に、阻止域の減衰量を調べる（Ｆ２０６）。
処理Ｆ１０２で求めた補間多項式を用いて、阻止域における最小の減衰量( 最大の重みつき近似誤差δ2)ｄＢ s(cur) [t] を調べる。
【０２２１】
ｓｔｅｐ３３
次に、指定した阻止域の減衰量との比較を行う（Ｆ４１２）。
具体的には、指定した阻止域の減衰量ｄＢs と比較して、下記式（５３）を満足している場合には、ｓｔｅｐ３５（Ｆ１０５）の処理に移行する。満足していない場合にはｓｔｅｐ３４（Ｆ４１３）の処理に移行する。
【０２２２】
【数５１】
0004595165.tif 000053
【０２２３】
ｓｔｅｐ３４
１タップ増やす（Ｆ４１３）。
すなわち、現在のタップ数を１タップ増やし、ｓｔｅｐ３０の処理に移行する。
【０２２４】
ｓｔｅｐ３５
近似された振幅特性から直線位相ＦＩＲフィルタの係数を求める（Ｆ１０５）。
すなわち、最終的に得られた振幅特性から直線位相ＦＩＲフィルタの係数を求める。
【０２２５】
図２２は、チェス盤歪みを回避する零点のフィルタをプリフィルタとして、「阻止域の減衰量を実現する最小のタップ数」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタの周波数応答特性を示す図である。
図２２（Ａ）はデシベルで表示した周波数応答を示す図、図２２（Ｂ）はそのままの値で表示した周波数応答を示す図、図２２（Ｃ）は利得３付近を拡大した図、および図２２（Ｄ）は利得０付近を拡大した図である。
【０２２６】
この場合の基本アルゴリズム、求めたい変数、バンド、および指定周波数点は以下の通りである。
【０２２７】
基本アルゴリズム: 
任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数特性を考慮したレムズ交換アルゴリズムである。
・初期タップ数１０タップ
・偶対称
・Ｕ−３（直流利得がＵとなるようにフィルタ係数をＵ倍する)
・阻止域の減衰量は−６０ｄＢ以下
求めたい変数: 
タップ数Ｎである。
【０２２８】
【表７】
0004595165.tif 000054
【０２２９】
【表８】
0004595165.tif 000055
【０２３０】
なお、図２２中において、実線は阻止域の減衰量が−６０ｄＢ以下になる最小のタップ数（３５タップ）の低域通過フィルタの周波数応答を示している。また、縦点線はチェス盤歪みを回避するための零点となる周波数を示し、点線はあらかじめ与えたバンドの区切りを示し、縦点線はバンドの区切りを示し、黒丸は指定した周波数点を示している。
【０２３１】
図２２（Ａ）から、指定した阻止域の減衰量を実現しており、また、通過域の利得が一定値を保っており、チェス盤歪みを回避する零点を通過していることが確認できる。
また、図２２（Ｃ）から、指定した周波数点を通過していることが確認できる。
さらに、図２２（Ｃ），（Ｄ）から、等リップルを保っていることが確認できる。
【０２３２】
すなわち、図２２からわかるように、本発明に係る「阻止域の減衰量を実現する最小のタップ数」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタは、良好な周波数応答特性を有している。
【０２３３】
次に、第２の変形例として、阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタを求めるアルゴリズムについて説明する。
【０２３４】
ここで、このアルゴリズムで自由になるパラメータ、目的、そしてアルゴリズムの原理を列挙すると次のようになる。
＊自由パラメータ: 通過域の終点周波数ｗp と阻止域の始点周波数ｗs である。
＊目的: 阻止域の減衰量ｄＢs を満足し、かつ、遷移域の周波数ｗc で減衰量ｄＢc を通過するバンドを決定する。すなわち、遷移域の特定周波数ｗc で減衰量ｄＢc となるような最も大きい通過域の終点周波数ｗp と最も小さい阻止域の始点周波数ｗs を得る。
＊原理: 通過域の始点周波数と阻止域の終点周波数が固定であり、通過域の終点周波数ｗp と阻止域の始点周波数ｗs が自由パラメータである。２つの自由パラメータがあるので、同時に動かすと適切に決めることができない。そこで、片方のパラメータを固定し、阻止域の減衰量を満足するもう一方のパラメータを求める。遷移域の周波数ｗc で減衰量ｄＢc を通過しない場合は、固定していたパラメータを変更する。以上のような反復を繰り返すことで、遷移域の周波数ｗcで減衰量ｄＢc を通過するバンドを決定する。
阻止域の減衰量を満足するパラメータを求める方法は、２種類のアプローチ、すなわち、
第１に「阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数を持つフィルタ」、
第２に「阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数を持つフィルタ」があるので、それぞれをベースにしたアルゴリズムを順を追って説明する。
【０２３５】
図２３は、阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタを求めるアルゴリズムのフローチャートを示す図である。
まず、図２３〜図２８に関連付けて、「阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数を持つフィルタ」をベースにしたアルゴリズムについて説明する。
【０２３６】
すなわち、本アルゴリズムでは、「阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数を持つフィルタ」を求めるアルゴリズムを利用する。
具体的なアルゴリズムの方針は、図２４に示すように、上記アルゴリズムを内側のループとしてｗs を求め、さらに外側にｗp を求めるためのループをかぶせてバンドのパラメータを決定する。
すなわち、外側のループで通過域の終点周波数ｗp を固定し、内側のループで阻止域の減衰量ｄＢs を満足する阻止域の始点周波数ｗs を求める。
求められた振幅特性が指定した遷移域の点（ｗc ，ｄＢc ）を通過してないときは、「阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数を持つフィルタ」を探索したときと同様にｗp を二分割法を用いて探索する。
以下に具体的なアルゴリズムを示すが、内側のループである「阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数を持つフィルタ」を求めるアルゴリズムは同じなので説明は省略する。
【０２３７】
また、図２３および以下に説明するアルゴリズムの各ステップ処理Ｆ１０２，Ｆ１０３，Ｆ１０４，Ｆ１０５、の内容は、第１のアプローチの場合と同様に、図７に関連付けて説明した、任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換アルゴリズムと同じである。また、処理Ｆ２０６，Ｆ２０７，Ｆ２０８の内容は第２のアプローチの場合と同様に、図１０に関連付けて説明した処理、すなわち「阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数を持つフィルタ」のアルゴリズムと同様である。したがって、ここでの処理については、図７および図１０と同じ符号を用いている。
【０２３８】
ｓｔｅｐ４０
まず、図２３に示すように、初期設定を行う（Ｆ３０１）。この初期設定では、直線位相ＦＩＲフィルタの設定、バンドの設定、プリフィルタの係数の設定、通過させたい任意の周波数点の入力、初期極値点の設定、阻止域の減衰量の指定、二分割法の初期周波数の設定を行う。
具体的に設定する項目は以下の通りである。
・タップ数、
・直線位相ＦＩＲフィルタは、偶対称あるいは奇対称、
・バンドの数は２個、
・通過域の始点周波数ｗ＝０、
・通過域の利得、
・阻止域の終点周波数ｗ＝π、
・阻止域の利得、
・通過域と阻止域に対する重みづけ、
・通過させたい点の周波数と振幅値、
・プリフィルタの係数、
・阻止域の減衰量ｄＢs(すなわち、阻止域のリップルの大きさδ2 を指す) 、
・遷移域の周波数ｗc とその減衰量ｄＢc 、
・近似帯域で極値となる周波数ｗ(0) ＝ｗk (0) （ｋ＝０，・・，Ｒ）
ただし、右肩文字(i) は繰り返しの回数を表している。
【０２３９】
また、図２５は、阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタを求めるアルゴリズムにおける二分割法の初期周波数を示す図である。
図２５に示すように、本例では、二分割法の初期周波数とし下記のような値を与えている。
【０２４０】
【数５２】
0004595165.tif 000056
【０２４１】
ｗp の後ろにある[t] の部分はサイクル数を表すものとする。
ここでは、周波数ｗ p(pre) [0] に対しては、任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換アルゴリズムを実行して阻止域における指定した減衰量ｄＢs を満足する最小の阻止域の始点周波数ｗ s (pre) [0]が求められ、そのときのｗc における利得ｄＢ c(cur) [0] が得られているとして以下のステップについて説明する。
【０２４２】
ｓｔｅｐ４１
「阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数を持つフィルタ」を求めるアルゴリズムを実行する(F102, F103, F104, F206, F207, F208)。
具体的には、処理Ｆ１０２では、ｗ p(cur) [t] のときの極値点と通過させたい周波数点から振幅特性を補間する補間多項式を生成する。
次いで、処理Ｆ１０３において、補間多項式から求められた振幅特性から新しい極値点を決定する。
そして、処理Ｆ１０４において、レムズ交換アルゴリズムの繰り返し判断を行う。
次に、処理Ｆ２０６において、阻止域における最小の減衰量（最大の重みつき近似誤差）を求める。
次に、処理Ｆ２０７において、阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数ｗs を持つフィルタを求めるアルゴリズムの終了条件を得る。
また、処理Ｆ２０８において、新しい阻止域の始点周波数ｗ s(cur) の設定を行う。
【０２４３】
ｓｔｅｐ４２
次に、遷移域に指定した周波数の減衰量を調べる（Ｆ３０９）。
処理Ｆ１０２において、「阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数」を求めるアルゴリズムで最終的に求まったラグランジュ補間多項式を用いて、遷移域に指定した周波数ｗc に対する減衰量ｄＢ c(cur) [t] を調べる。
【０２４４】
ｓｔｅｐ４３
遷移域の指定減衰量との比較を行う（Ｆ３１０）。
遷移域の周波数ｗc に対する減衰量ｄＢc と比較して、下記式（５６）または式（５７）を満足している場合には、ｓｔｅｐ４５（Ｆ１０５）の処理に移行し、満足していない場合にはｓｔｅｐ４４（Ｆ３１１）の処理に移行する。
【０２４５】
【数５３】
0004595165.tif 000057
【０２４６】
【数５４】
0004595165.tif 000058
【０２４７】
ただし、ε1 とε2 は非常に小さい値をしている。
【０２４８】
ｓｔｅｐ４４
遷移域の周波数ｗc に対する減衰量ｄＢc との比較において、上記式（５６）または式（５７）を満足していない場合には、バンドの設定を変更する（Ｆ３１１）。
具体的には、新しい通過域の終点周波数ｗ p(cur) [t + 1] を設定する。その設定法として一回目のループの場合と二回目以降のループの場合に分けて説明する。
【０２４９】
一回目: 
一回目の場合には、図２６に示す３つのケースが考えられる。
すなわち、周波数ｗ p(pre) [0] 、ｗ p(cur) [0] に対して、図２６（Ａ），（Ｂ），（Ｃ）に示すケースが考えられる。
図２６（Ａ）に示すケースは、両方とも指定した減衰量ｄＢc を満足しているケースである。この場合、大きい周波数ｗ p(cur) [0] を解としてｓｔｅｐ４５の処理に進む。
図２６（Ｂ）に示すケースは、両方とも指定した減衰量を満足しないケースである。この場合、現在のタップ数では、指定した減衰量を実現することができないので、その旨を表示して終了する。
図２６（Ｃ）に示すケースは、片方のみが指定した減衰量を満足するケースである。この場合は、下記式（５８）のようにしてｓｔｅｐ４１の処理に移行する。
なお、今回の初期周波数の与え方では、ｗ p(cur) [0] が満足し、ｗ p(pre)[0] が満足しないケースは存在しない。
【０２５０】
【数５５】
0004595165.tif 000059
【０２５１】
二回目以降: 
二回目以降の場合には、図２７に示す２つのケースが考えられる。二回目以降における新しい周波数ｗ p(cur) [t + 1] の決め方において、ｗ p(pre) [t + 1] には必ず指定減衰量ｄＢc を満足する周波数を保存する。周波数ｗ p(pre) [t] 、ｗ p(cur) [t] に対して図２７（Ａ），（Ｂ）に示すケースが考えられる。
図２７（Ａ）に示すケースは、片方のみが指定した減衰量を満足するケースである。この場合は、下記式（５９）にようにして次のｓｔｅｐ４１の処理に移行する。
なお、常にｗ p(pre) [t] は指定した減衰量を満足した周波数がくるので、ｗ p(pre) [t] が満足しないケースは存在しない。
【０２５２】
【数５６】
0004595165.tif 000060
【０２５３】
図２７（Ｂ）に示すケースは、両方とも指定した減衰量を満足しているケース。この場合は、下記式（６０）にようにして次のｓｔｅｐ４１の処理に移行する。
【０２５４】
【数５７】
0004595165.tif 000061
【０２５５】
ｓｔｅｐ４５
近似された振幅特性から直線位相ＦＩＲフィルタの係数を求める（Ｆ１０５）。
すなわち、最終的に得られた振幅特性から直線位相ＦＩＲフィルタの係数を求める。
【０２５６】
図２８は、チェス盤歪みを回避する零点のフィルタをプリフィルタとして、「最小の阻止域の始点周波数を持つフィルタ」を求めるアルゴリズムをベースにした「阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタ」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタの周波数応答特性を示す図である。
図２８（Ａ）はデシベルで表示した周波数応答を示す図、図２８（Ｂ）はそのままの値で表示した周波数応答を示す図、図２８（Ｃ）は利得３付近を拡大した図、および図２８（Ｄ）は利得０付近を拡大した図である。
【０２５７】
この場合の基本アルゴリズム、求めたい変数、バンド、および指定周波数点は以下の通りである。
【０２５８】
基本アルゴリズム: 
阻止域の減衰量を満足する最小の阻止域の始点周波数を求める任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換アルゴリズムである。
・（０．４π，１２ｄＢ）を通過
・２４タップ
・偶対称
・Ｕ＝３（直流利得がＵとなるようにフィルタ係数をＵ倍する）
・阻止域の減衰量は−４０ｄＢ以下
求めたい変数: 
通過域の終点周波数ｗp と阻止域の始点周波数ｗs である。
【０２５９】
【表９】
0004595165.tif 000062
【０２６０】
【表１０】
0004595165.tif 000063
【０２６１】
なお、図２８において、実線は阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過する低域通過フィルタの周波数応答を示している。また、黒丸は指定した周波数点（遷移域の周波数点と任意の周波数点）を示し、縦実線はチェス盤歪みを回避するためにＨ（ｚ）＝０とならなければならない周波数を示している。
【０２６２】
図２８（Ａ）から、指定した阻止域の減衰量を実現しており、また、通過域の利得が一定値を保っており、チェス盤歪みを回避する零点を通過していることが確認できる。
また、図２８（Ｂ）から、遷移域に指定した周波数点を通過していることが確認できる。
また、図２８（Ｃ）から、指定した周波数点を通過していることが確認できる。
さらに、図２８（Ｃ），（Ｄ）から、等リップルを保っていることが確認できる。
【０２６３】
すなわち、図２８からわかるように、「最小の阻止域の始点周波数を持つフィルタ」を求めるアルゴリズムをベースにした「阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタ」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタは、良好な周波数応答特性を有している。
【０２６４】
次に、阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数を持つフィルタを求めるアルゴリズムをベースにしたアルゴリズムについて、図２３、図２９〜図３３に関連付けて説明する。
この場合のフローチャートは、阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタを求めるアルゴリズムにおいて参照した図２３と等価なものとなる。
【０２６５】
本アルゴリズムでは、「阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数を持つフィルタ」を求めるアルゴリズムを利用する。
具体的なアルゴリズムの方針は、図２９に示すように、上記アルゴリズムを内側のループとしてｗp を求め、さらに外側にｗs を求めるためのループをかぶせてバンドのパラメータを決定する。
すなわち、外側のループで阻止域の始点周波数ｗs を固定し、内側のループで阻止域の指定減衰量ｄＢs を満足する通過域の終点周波数ｗp を求める。
求められた振幅特性が指定した遷移域の点（ｗc ，ｄＢc ）を通過してないときは、「阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数を持つフィルタ」を探索したときと同様にｗs を二分割法を用いて探索する。
具体的に以下にアルゴリズムを示すが、内側のループである「阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数を持つフィルタ」を求めるアルゴリズムは同じなので説明は省略する。
【０２６６】
また、図２３および以下に説明するアルゴリズムの各ステップ処理Ｆ１０２，Ｆ１０３，Ｆ１０４，Ｆ１０５、の内容は、第１のアプローチの場合と同様に、図７に関連付けて説明した、任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換アルゴリズムと同じである。また、処理Ｆ２０６，Ｆ２０７，Ｆ２０８の内容は第２のアプローチの場合と同様に、図１０に関連付けて説明した処理、すなわち「阻止域の減衰量を満足する最も大きい阻止域の終点周波数を持つフィルタ」のアルゴリズムと同様である。したがって、ここでの処理については、図７および図１０と同じ符号を用いている。
【０２６７】
ｓｔｅｐ５０
図２３に示すように、まず、初期設定を行う（Ｆ３０１）。この初期設定では、直線位相ＦＩＲフィルタの設定、バンドの設定、プリフィルタの係数の設定、通過させたい任意の周波数点の入力、初期極値点の設定、阻止域の減衰量の指定、二分割法の初期周波数の設定を行う。
具体的に設定する項目は以下の通りである。
・タップ数、
・直線位相ＦＩＲフィルタは、偶対称あるいは奇対称、
・バンドの数は２個、
・通過域の始点周波数ｗ＝０、
・通過域の利得、
・阻止域の終点周波数ｗ＝π、
・阻止域の利得、
・通過域と阻止域に対する重みづけ、
・通過させたい点の周波数と振幅値、
・プリフィルタの係数、
・阻止域の減衰量ｄＢs(すなわち、阻止域のリップルの大きさδ2 を指す) 、
・遷移域の周波数ｗc とその減衰量ｄＢc 、
・近似帯域で極値となる周波数ｗ(0) ＝ｗk (0) （ｋ＝０，・・，Ｒ）
ただし、右肩文字(i) は繰り返しの回数を表している。
【０２６８】
また、図３０は、阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタを求めるアルゴリズムにおける二分割法の初期周波数を示す図である。
図３０に示すように、本例では、二分割法の初期周波数として下記のような値を与えている。
【０２６９】
【数５８】
0004595165.tif 000064
【０２７０】
もう一方のｗ s(pre) [0] は下記のように値として「阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数を持つフィルタ」を探索するアルゴリズムで求まったｗs をｗ s(pre) [0] としている。
【数５９】
0004595165.tif 000065
【０２７１】
なお、本来ならば、下記式（６３）として探索すべきであるが、これでは阻止域を減衰量を満足するようなｗp が見当たらない。そこで、ｗp の最小の値は０．０１程度であることから、このときの阻止域の減衰量を満足する阻止域の始点周波数ｗs を初期周波数としている。
【０２７２】
【数６０】
0004595165.tif 000066
【０２７３】
ｗs の後ろにある[t] の部分はサイクル数を表すものとする。
ここでは、周波数ｗ s(pre) [0] に対しては、任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換アルゴリズムを実行して阻止域における指定した減衰量ｄＢs を満足する最大の通過域の終点周波数ｗ p (pre) [0]が求められ、そのときのｗc における利得ｄＢ c(pre) [0] が得られているとして以下のステップについて説明する。
【０２７４】
ｓｔｅｐ５１
「阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数を持つフィルタ」を求めるアルゴリズムを実行する(F102, F103, F104, F206, F207, F208)。
具体的には、処理Ｆ１０２では、ｗ s(cur) [t] のときの極値点と通過させたい周波数点から振幅特性を補間する補間多項式を生成する。
次いで、処理Ｆ１０３において、補間多項式から求められた振幅特性から新しい極値点を決定する。
そして、処理Ｆ１０４において、レムズ交換アルゴリズムの繰り返し判断を行う。
次に、処理Ｆ２０６において、阻止域における最小の減衰量（最大の重みつき近似誤差）を求める。
次に、処理Ｆ２０７において、阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の終点周波数ｗp を持つフィルタを求めるアルゴリズムの終了条件を得る。
また、処理Ｆ２０８において、新しい阻止域の始点周波数ｗ p(cur) の設定を行う。
【０２７５】
ｓｔｅｐ５２
次に、遷移域に指定した周波数の減衰量を調べる（Ｆ３０９）。
処理Ｆ１０２において、「阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数」を求めるアルゴリズムで最終的に求まったラグランジュ補間多項式を用いて、遷移域に指定した周波数ｗc に対する減衰量ｄＢ c(cur) を調べる。
【０２７６】
ｓｔｅｐ５３
指定した遷移域の減衰量との比較を行う（Ｆ３１０）。
指定した遷移域の周波数ｗc に対する減衰量ｄＢc と比較して、下記式（６４）または式（６５）を満足している場合には、ｓｔｅｐ５５（Ｆ１０５）の処理に移行し、満足していない場合にはｓｔｅｐ５４（Ｆ３１１）の処理に移行する。
【０２７７】
【数６１】
0004595165.tif 000067
【０２７８】
【数６２】
0004595165.tif 000068
【０２７９】
ただし、ε1 ＝０．１ｄＢ、ε2 ＝１０-4とした。
る。
【０２８０】
ｓｔｅｐ５４
遷移域の周波数ｗc に対する減衰量ｄＢc との比較において、上記式（６４）または式（６５）を満足していない場合には、バンドの設定を変更する（Ｆ３１１）。
具体的には、新しい通過域の終点周波数ｗ s(cur) [t + 1] を設定する。その設定法として一回目のループの場合と二回目以降のループの場合に分けて説明する。
【０２８１】
一回目: 
一回目の場合には、図３１に示す３つのケースが考えられる。
すなわち、周波数ｗ s(pre) [0] 、ｗ s(cur) [0] に対して、図３１（Ａ），（Ｂ），（Ｃ）に示すケースが考えられる。
図３１（Ａ）に示すケースは、両方とも指定した減衰量ｄＢc を満足しているケースである。この場合、大きい周波数ｗ s(cur) [0] を解としてｓｔｅｐ５５の処理に進む。
図３１（Ｂ）に示すケースは、両方とも指定した減衰量を満足しないケースである。この場合、現在のタップ数では、指定した減衰量を実現することができないので、その旨を表示して終了する。
図３１（Ｃ）に示すケースは、片方のみが指定した減衰量を満足するケースである。この場合は、下記式（６６）のようにしてｓｔｅｐ５１の処理に移行する。
なお、今回の初期周波数の与え方では、ｗ s(cur) [0] が満足し、ｗ s(pre)[0] が満足しないケースは存在しない。
【０２８２】
【数６３】
0004595165.tif 000069
【０２８３】
二回目以降: 
二回目以降の場合には、図３２に示す２つのケースが考えられる。二回目以降における新しい周波数ｗ s(cur) [t + 1] の決め方において、ｗ s(pre) [t + 1] には必ず指定減衰量ｄＢc を満足する周波数を保存する。周波数ｗ s(pre) [t] 、ｗ s(cur) [t] に対して図３２（Ａ），（Ｂ）に示すケースが考えられる。
図３２（Ａ）に示すケースは、片方のみが指定した減衰量を満足するケースである。この場合は、下記式（６７）にようにして次のｓｔｅｐ５１の処理に移行する。
なお、常にｗ s(pre) [t] は指定した減衰量を満足した周波数がくるので、ｗ s(pre) [t] が満足しないケースは存在しない。
【０２８４】
【数６４】
0004595165.tif 000070
【０２８５】
図３２（Ｂ）に示すケースは、両方とも指定した減衰量を満足しているケース。この場合は、下記式（６８）にようにして次のｓｔｅｐ５１の処理に移行する。
【０２８６】
【数６５】
0004595165.tif 000071
【０２８７】
ｓｔｅｐ５５
近似された振幅特性から直線位相ＦＩＲフィルタの係数を求める（Ｆ１０５）。
すなわち、最終的に得られた振幅特性から直線位相ＦＩＲフィルタの係数を求める。
【０２８８】
図３３は、「最大の通過域の終点周波数をフィルタ」を求めるアルゴリズムをベースにした「阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタ」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタの周波数応答特性を示す図である。
図３３（Ａ）はデシベルで表示した周波数応答を示す図、図３３（Ｂ）はそのままの値で表示した周波数応答を示す図、図３３（Ｃ）は利得３付近を拡大した図、および図３３（Ｄ）は利得０付近を拡大した図である。
【０２８９】
この場合の基本アルゴリズム、求めたい変数、バンド、および指定周波数点は以下の通りである。
【０２９０】
基本アルゴリズム: 
阻止域の減衰量を満足する最大の通過域の終点周波数を求める任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換アルゴリズムである。
・（０．４π，１２ｄＢ）を通過
・２４タップ
・偶対称
・Ｕ＝３（直流利得がＵとなるようにフィルタ係数をＵ倍する）
・阻止域の減衰量は−４０ｄＢ以下
求めたい変数: 
通過域の終点周波数ｗp と阻止域の始点周波数ｗs である。
【０２９１】
【表１１】
0004595165.tif 000072
【０２９２】
【表１２】
0004595165.tif 000073
【０２９３】
なお、図３３において、実線は阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過する低域通過フィルタの周波数応答を示している。また、黒丸は指定した周波数点（遷移域の周波数点と任意の周波数点）を示し、縦実線はチェス盤歪みを回避するためにＨ（ｚ）＝０とならなければならない周波数を示している。
【０２９４】
図３３（Ａ）から、指定した阻止域の減衰量を実現しており、また、通過域の利得が一定値を保っており、チェス盤歪みを回避する零点を通過していることが確認できる。
また、図３３（Ｂ）から、遷移域に指定した周波数点を通過していることが確認できる。
また、図３３（Ｃ）から、指定した周波数点を通過していることが確認できる。
さらに、図３３（Ｃ），（Ｄ）から、等リップルを保っていることが確認できる。
【０２９５】
すなわち、図３３からわかるように、「最大の通過域の終点周波数をフィルタ」を求めるアルゴリズムをベースにした「阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタ」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタは、良好な周波数応答特性を有している。
【０２９６】
次に、バンドを変更可能なレムズ交換アルゴリズムに対して、阻止域の減衰量を満足する最小タップ数のフィルタ設計のアルゴリズムについて説明する。
ここでは、前記「阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数を持つフィルタ」を求めるアルゴリズムと、前記「阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数を持つフィルタ」を求めるアルゴリズムに対して、指定した阻止域の減衰量を実現する最小タップ数のフィルタを求めるアルゴリズムについて説明する。
【０２９７】
図３４は、阻止域の減衰量を実現する最小タップ数のフィルタを求めるアルゴリズムのフローチャートを示す図である。
【０２９８】
このアルゴリズムで自由になるパラメータ、目的、そしてアルゴリズムの原理を列挙すると次のようになる。
＊自由パラメータ:
・タップ数
・２種類のアプローチが存在する。
第１に、通過域の終点周波数ｗp を可変とし、阻止域の始点周波数ｗsを固定する。
第２に、通過域の終点周波数ｗp を固定し、阻止域の始点周波数ｗs を可変とする。
＊目的: バンドの変数のうち一つが可変であるアルゴリズム対して、指定された阻止域の減衰量dBs を満足する最小タップ数のフィルタを得る。
＊原理: 1 回目のループで「解なし」となるとき、タップ数が足りず指定した減衰量が実現できないので、1 タップ数を増やし再度ためしてみる。
【０２９９】
また、図３４および以下に説明するアルゴリズムの各ステップ処理Ｆ１０２，Ｆ１０３，Ｆ１０４，Ｆ１０５、の内容は、第１のアプローチの場合と同様に、図７に関連付けて説明した、任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換アルゴリズムと同じである。また、処理Ｆ２０１，Ｆ２０６，Ｆ２０７，Ｆ２０８の内容は第２のアプローチの場合と同様に、図１０に関連付けて説明した処理、すなわち「阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数を持つフィルタ」のアルゴリズム、および「阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数を持つフィルタ」のアルゴリズムと同様である。したがって、ここでの処理については、図７および図１０と同じ符号を用いている。
【０３００】
ｓｔｅｐ６０
図３４に示すように、まず、初期設定を行う（Ｆ２０１）。この初期設定では、直線位相ＦＩＲフィルタの設定、バンドの設定、プリフィルタの係数の設定、通過させたい任意の周波数点を入力、初期極値点の設定、阻止域の減衰量の指定、二分割法の初期周波数の設定を行う。
具体的に設定する項目は以下の通りである。
・タップ数、
・直線位相ＦＩＲフィルタは、偶対称あるいは奇対称、
・バンドの数は２個、
・通過域の始点周波数ｗ＝０、
・通過域の利得、
・阻止域の終点周波数ｗ＝π、
・阻止域の利得、
・通過域と阻止域に対する重みづけ、
・通過させたい点の周波数点と振幅値、
・プリフィルタの係数、
・阻止域の減衰量ｄＢs(すなわち、阻止域のリップルの大きさδ2 を指す) 、
・近似帯域で極値となる周波数ｗ(0) ＝ｗk (0) （ｋ＝０，・・，Ｒ）
ただし、右肩文字(i) は繰り返しの回数を表している。
・二分割法の初期周波数の入力
【０３０１】
ｓｔｅｐ６１
任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換アルゴリズムを実行する（Ｆ１０２，Ｆ１０３，Ｆ１０４）。
具体的には、処理Ｆ１０２では、極値点と通過させたい周波数点から振幅特性を補間する補間多項式を生成を生成する。
次いで、処理Ｆ１０３において、補間多項式から求められた振幅特性から新しい極値点を決定する。
そして、処理Ｆ１０４において、レムズ交換アルゴリズムの繰り返し判断を行う。
【０３０２】
ｓｔｅｐ６２
次に、阻止域における最小の減衰量( 最大の重みつき近似誤差) を求める（Ｆ２０６）。
【０３０３】
ｓｔｅｐ６３
指定した阻止域の減衰量を満足する周波数の探索アルゴリズムの終了条件が成り立つか否かを判別する（Ｆ２０７）。
終了条件が成り立つ場合にはｓｔｅｐ６７（Ｆ１０５）の処理に移行し、成り立たないときはｓｔｅｐ６４（Ｆ２０８）の処理に移行する。
【０３０４】
ｓｔｅｐ６４
指定した阻止域の減衰量を満足する周波数の探索アルゴリズムの終了条件が成り立たない場合に、バンドの設定を変更する（Ｆ２０８）。
【０３０５】
ｓｔｅｐ６５
指定した阻止域の減衰量との比較を行う（Ｆ４１４）。
処理Ｆ２０８のバンドの設定変更において、１回目のループで「解なし」となる場合はｓｔｅｐ６６（Ｆ４１５）の処理に移行し、それ以外の場合は、ｓｔｅｐ６１の処理に戻る。
【０３０６】
ｓｔｅｐ６６
１タップ増やす（Ｆ４１５）。
現在のタップ数を１タップ増やし、ｓｔｅｐ６０（Ｆ２０１）の初期設定処理に移行する。
【０３０７】
ｓｔｅｐ６７
近似された振幅特性から直線位相ＦＩＲフィルタの係数を求める（Ｆ１０５）。
【０３０８】
図３５は、チェス盤歪みを回避する零点のフィルタをプリフィルタとして、「阻止域の減衰量を満足する最小のタップ数」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタの周波数応答特性を示す図である。
図３５（Ａ）はデシベルで表示した周波数応答を示す図、図３５（Ｂ）はそのままの値で表示した周波数応答を示す図、図３５（Ｃ）は利得３付近を拡大した図、および図３５（Ｄ）は利得０付近を拡大した図である。
【０３０９】
この場合の基本アルゴリズム、求めたい変数、バンド、および指定周波数点は以下の通りである。
【０３１０】
基本アルゴリズム: 
阻止域の減衰量を満足する最小の阻止域の始点周波数を持つフィルタを求める任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数特性を考慮したレムズ交換アルゴリズムである。
・偶対称
・Ｕ＝３（直流利得がＵとなるようにフィルタ係数をＵ倍する)
・阻止域の減衰量は−６０ｄＢ以下
求めたい変数: 
・タップ数Ｎ
・阻止域の始点周波数ｗs
【０３１１】
【表１３】
0004595165.tif 000074
【０３１２】
【表１４】
0004595165.tif 000075
【０３１３】
なお、図３５中において、実線は阻止域の減衰量が−６０ｄＢ以下になる最小のタップ数（１７タップ）の低域通過フィルタの周波数応答を示している。また、縦実線はチェス盤歪みを回避するためにＨ（ｚ）とならなければならない周波数を示し、点線はあらかじめ与えたバンドの区切りを示し、縦点線はバンドの区切りを示し、黒丸は指定した周波数点を示している。
【０３１４】
図３５（Ａ）から、指定した阻止域の減衰量を実現しており、また、通過域の利得が一定値を保っており、チェス盤歪みを回避する零点を通過していることが確認できる。
また、図３５（Ｃ）から、指定した周波数点を通過していることが確認できる。
さらに、図３５（Ｃ），（Ｄ）から、等リップルを保っていることが確認できる。
【０３１５】
すなわち、図３５からわかるように、「阻止域の減衰量を満足する最小のタップ数」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタは、良好な周波数応答特性を有している。
【０３１６】
また、図３６は、チェス盤歪みを回避する零点のフィルタをプリフィルタとして、「指定した阻止域の減衰量を実現する最小のタップ数」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタの周波数応答を示す図である。
図３６（Ａ）はデシベルで表示した周波数応答を示す図、図３６（Ｂ）はそのままの値で表示した周波数応答を示す図、図３６（Ｃ）は利得３付近を拡大した図、および図３６（Ｄ）は利得０付近を拡大した図である。
【０３１７】
この場合の基本アルゴリズム、求めたい変数、バンド、および指定周波数点は以下の通りである。
【０３１８】
基本アルゴリズム: 
阻止域の減衰量を満足する最大の通過域の終点周波数を持つフィルタを求める任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数特性を考慮したレムズ交換アルゴリズムである。
・偶対称
・Ｕ＝３（直流利得がＵとなるようにフィルタ係数をＵ倍する)
・阻止域の減衰量は−６０ｄＢ以下
求めたい変数: 
・タップ数Ｎ
・阻止域の終点周波数ｗp
【０３１９】
【表１５】
0004595165.tif 000076
【０３２０】
【表１６】
0004595165.tif 000077
【０３２１】
なお、図３６中において、実線は阻止域の減衰量が−６０ｄＢ以下になる最小のタップ数（２１タップ）の低域通過フィルタの周波数応答を示している。また、縦実線はチェス盤歪みを回避するためにＨ（ｚ）とならなければならない周波数を示し、点線はあらかじめ与えたバンドの区切りを示し、縦点線はバンドの区切りを示し、黒丸は指定した周波数点を示している。
【０３２２】
図３６（Ａ）から、指定した阻止域の減衰量を実現しており、また、通過域の利得が一定値を保っており、チェス盤歪みを回避する零点を通過していることが確認できる。
また、図３６（Ｃ）から、指定した周波数点を通過していることが確認できる。
さらに、図３６（Ｃ），（Ｄ）から、等リップルを保っていることが確認できる。
【０３２３】
すなわち、図３６からわかるように、「指定した阻止域の減衰量を実現する最小のタップ数」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタは、良好な周波数応答特性を有している。
【０３２４】
次に、阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過する最小タップ数のフィルタを求めるアルゴリズムについて説明する。
ここでは、前記「阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタ」を求めるアルゴリズムに対して、阻止域の減衰量を満足し、かつ、遷移域の周波数点を通過する最小タップ数のフィルタを求めるアルゴリズムについて説明する。
【０３２５】
図３７は、阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過する最小タップ数のフィルタを求めるアルゴリズムのフローチャートを示す図である。
【０３２６】
このアルゴリズムで自由になるパラメータ、目的、そしてアルゴリズムの原理を列挙すると次のようになる。
＊自由パラメータ:
・タップ数
・通過域の終点周波数ｗp
・阻止域の始点周波数ｗs
＊目的: 指定された阻止域の減衰量ｄＢs を満足し、かつ、遷移域の周波数ｗc で減衰量ｄＢc を通過する最小タップ数のフィルタを得る。すなわち、遷移域の特定周波数ｗc で減衰量ｄＢc となるような最も大きい通過域の終点周波数ｗp と最も小さい阻止域の始点周波数ｗs を決め、最小のタップ数となるフィルタを得る。
＊原理: １回目のループで「解なし」となるとき、タップ数が足りず指定した減衰量が実現できないので、１タップ数を増やし再度ためしてみる。また、遷移域の周波数点を実現できない場合においても１タップ数を増やし再度ためしてみる。
【０３２７】
また、図３７および以下に説明するアルゴリズムの各ステップ処理Ｆ１０２，Ｆ１０３，Ｆ１０４，Ｆ１０５、の内容は、第１のアプローチの場合と同様に、図７に関連付けて説明した、任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換アルゴリズムと同じである。また、処理Ｆ２０６，Ｆ２０７，Ｆ２０８の内容は第２のアプローチの場合と同様に、図１０に関連付けて説明した処理、すなわち「阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数を持つフィルタ」のアルゴリズム、または「阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数を持つフィルタ」のアルゴリズムと同様である。さらに、処理Ｆ３０１，Ｆ３０９，Ｆ３１０，Ｆ３１１の内容は、図２３に関連付けて説明した処理、すなわち「阻止域の減衰量を満足し、遷移域の特定周波数での指定減衰量を通過するフィルタを求めるアルゴリズム」と同様である。したがって、ここでの処理については、図７、図１０、および図２３と同じ符号を用いている。
【０３２８】
ｓｔｅｐ７０
図３７に示すように、まず、初期設定を行う（Ｆ３０１）。具体的には、阻止域の減衰量を満足し、かつ、遷移域に指定した減衰量を通過するフィルタを求めるアルゴリズムの初期設定を行う。
具体的に設定する項目は以下の通りである。
・初期タップ数、
・直線位相ＦＩＲフィルタは、偶対称あるいは奇対称、
・バンドの数は２個、
・通過域の始点周波数ｗ＝０、
・通過域の利得、
・阻止域の終点周波数ｗ＝π、
・阻止域の利得、
・通過域と阻止域に対する重みづけ、
・通過させたい点の周波数と振幅値、
・プリフィルタの係数、
・阻止域の減衰量ｄＢs(すなわち、阻止域のリップルの大きさδ2 を指す) 、
・遷移域の周波数ｗc とその減衰量ｄＢc 、
・近似帯域で極値となる周波数ｗ(0) ＝ｗk (0) （ｋ＝０，・・，Ｒ）
ただし、右肩文字(i) は繰り返しの回数を表している。
・二分割法の初期周波数の入力
【０３２９】
ｓｔｅｐ７１
任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換アルゴリズムを実行する（Ｆ１０２，Ｆ１０３，Ｆ１０４）。
具体的には、処理Ｆ１０２では、極値点と通過させたい周波数点から振幅特性を補間する補間多項式を生成を生成する。
次いで、処理Ｆ１０３において、補間多項式から求められた振幅特性から新しい極値点を決定する。
そして、処理Ｆ１０４において、レムズ交換アルゴリズムの繰り返し判断を行う。
【０３３０】
ｓｔｅｐ７２
次に、阻止域における最小の減衰量( 最大の重みつき近似誤差) を求める（Ｆ２０６）。
【０３３１】
ｓｔｅｐ７３
指定した阻止域の減衰量を満足する周波数の探索アルゴリズムの終了条件が成り立つか否かを判別する（Ｆ２０７）。
終了条件が成り立つ場合にはｓｔｅｐ７７（Ｆ３０９）の処理に移行し、成り立たないときはｓｔｅｐ７４（Ｆ２０８）の処理に移行する。
【０３３２】
ｓｔｅｐ７４
指定した阻止域の減衰量を満足する周波数の探索アルゴリズムの終了条件が成り立たない場合に、バンドの設定を変更する（Ｆ２０８）。
【０３３３】
ｓｔｅｐ７５
指定した阻止域の減衰量との比較を行う（Ｆ４１４）。
処理Ｆ２０８のバンドの設定変更において、１回目のループで「解なし」となる場合はｓｔｅｐ７６（Ｆ４１５）の処理に移行し、それ以外の場合は、ｓｔｅｐ７１の処理に戻る。
【０３３４】
ｓｔｅｐ７６
１タップ増やす（Ｆ４１５）。
現在のタップ数を１タップ増やし、ｓｔｅｐ７０（Ｆ３０１）の初期設定処理に移行する。
【０３３５】
ｓｔｅｐ７７
指定した阻止域の減衰量を満足する周波数の探索アルゴリズムの終了条件が成り立たつ場合に、遷移域に指定した周波数の減衰量を調べる（Ｆ３０９）。
【０３３６】
ｓｔｅｐ７８
指定した阻止域の減衰量との比較を行う（Ｆ３１０）。
終了条件が成り立つ場合にはｓｔｅｐ８２（Ｆ１０５）の処理に移行し、成り立たないときはｓｔｅｐ７９（Ｆ３１１）の処理に移行する。
【０３３７】
ｓｔｅｐ７９
終了条件が成り立たない場合に、バンドの設定を変更する（Ｆ３１１）。
【０３３８】
ｓｔｅｐ８０
指定した阻止域の減衰量との比較を行う（Ｆ４１６）。
処理Ｆ３１１のバンドの設定変更において、１回目のループで「解なし」となる場合はｓｔｅｐ８１（Ｆ４１７）の処理に移行し、それ以外の場合は、ｓｔｅｐ７１の処理に戻る。
【０３３９】
ｓｔｅｐ８１
１タップ増やす（Ｆ４１７）。
現在のタップ数を１タップ増やし、ｓｔｅｐ７０（Ｆ３０１）の初期設定処理に移行する。
【０３４０】
ｓｔｅｐ８２
近似された振幅特性から直線位相ＦＩＲフィルタの係数を求める（Ｆ１０５）。
【０３４１】
図３８は、「阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過する最小のタップ数のフィルタ」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタの周波数応答特性を示す図である。
図３８（Ａ）はデシベルで表示した周波数応答を示す図、図３８（Ｂ）はそのままの値で表示した周波数応答を示す図、図３８（Ｃ）は利得３付近を拡大した図、および図３８（Ｄ）は利得０付近を拡大した図である。
【０３４２】
この場合の基本アルゴリズム、求めたい変数、バンド、および指定周波数点は以下の通りである。
【０３４３】
基本アルゴリズム: 
阻止域の減衰量を満足する最大の通過域の終点周波数を求めるアルゴリズムをベースにした、遷移域の周波数点を通過するフィルタを得る任意の周波数点を通過し、かつ、プリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換アルゴリズムである。
・（０．４π，１２ｄＢ）を通過
・偶対称
・Ｕ＝３（直流利得がＵとなるようにフィルタ係数をＵ倍する)
・阻止域の減衰量は−６０ｄＢ以下
求めたい変数: 
・タップ数Ｎ
・通過域の終点周波数ｗp
・阻止域の始点周波数ｗs
【０３４４】
【表１７】
0004595165.tif 000078
【０３４５】
【表１８】
0004595165.tif 000079
【０３４６】
なお、図３８中において、実線は阻止域の減衰量が−６０ｄＢ以下で、遷移域の周波数０．４πで減衰量−１２ｄＢ以下となる最小のタップ数（１７タップ）の低域通過フィルタの周波数応答を示している。また、点線はあらかじめ決められたバンドの区切りを示し、黒丸は指定した遷移域の周波数点を示している。
【０３４７】
図３８（Ａ）から、指定した阻止域の減衰量を実現していることが確認できる。
まが、図３８（Ｂ）から、遷移域に指定した周波数点を通過していることが確認できる。
また、図３８（Ｃ），（Ｄ）から、指定した周波数点を通過していることが確認できる。
【０３４８】
すなわち、図３８からわかるように、「阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過する最小のタップ数のフィルタ」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタは、良好な周波数応答特性を有している。
【０３４９】
【発明の効果】
以上説明したように、本発明によれば、重みつき近似誤差を等リプルが崩れてしまうことがなく、安定に保持できる利点がある。
また、通過域の利得を一定値に保持することができる利点がある。
また、指定した周波数点を通過することができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】ＦＩＲフィルタのトランスバーサル型回路構成を示す図である。
【図２】従来方法におけるプリフィルタの周波数応答を考慮して設計されたフィルタの周波数応答と利得３付近の拡大図である。
【図３】従来方法における任意の周波数点を指定して設計されたフィルタの周波数応答と利得３付近の拡大図である。
【図４】ＦＩＲフィルタが直線位相を持つ４つの場合のインパルス応答を示す図である。
【図５】直線位相ＦＩＲフィルタの４つの場合に対するＱ（ｅjw）とＲを示す図である。
【図６】重みつきチェビシェフ近似の例を示す図である。
【図７】本発明に係るプリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換アルゴリズムのフローチャートである。
【図８】重みつき近似誤差Ｅ（ｅjw）の新しい極値の決定法を説明するための図である。
【図９】本発明の任意の周波数点を指定したときの周波数応答とその拡大図を示す図である。
【図１０】阻止域の減衰量を満足するフィルタを求めるアルゴリズムのフローチャートを示す図である。
【図１１】阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数を持つフィルタを求めるアルゴリズムのパラメータを示す図である。
【図１２】阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数を持つフィルタを求めるアルゴリズムにおける二分割法の初期周波数を示す図である。
【図１３】一回目のループにおけるバンド設定の変更を示した図である。
【図１４】二回目以降のループにおけるバンド設定の変更を示す図である。
【図１５】阻止域の減衰量を満足する最大の通過域の終点周波数をもつフィルタの周波数応答とその拡大図を示す図である。
【図１６】阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数を持つフィルタを求めるアルゴリズムのパラメータを示す図である。
【図１７】阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数を持つフィルタを求めるアルゴリズムにおける二分割法の初期周波数を示す図である。
【図１８】一回目のループにおけるバンド設定の変更を示す図である。
【図１９】二回目以降のループにおけるバンド設定の変更を示す図である。
【図２０】阻止域の減衰量を満足する最小の阻止域の始点周波数をもつフィルタの周波数応答とその拡大図を示す図である。
【図２１】阻止域の減衰量を満足する最小のタップ数のフィルタを求めるアルゴリズムのフローチャートを示す図である。
【図２２】阻止域の減衰量を実現する最小のタップ数のフィルタの周波数応答とその拡大図を示す図である。
【図２３】阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタを求めるアルゴリズムのフローチャートを示す図である。
【図２４】阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタを求めるアルゴリズム（１）を示す図である。
【図２５】阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタを求めるアルゴリズムにおける二分割法の初期周波数を示す図である。
【図２６】一回目のループにおけるバンド設定の変更を示す図である。
【図２７】二回目以降のループにおけるバンド設定の変更を示す図である。
【図２８】阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタの周波数応答とその拡大図を示す図である。
【図２９】阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタを求めるアルゴリズム（２）を示す図である。
【図３０】阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタを求めるアルゴリズムにおける二分割法の初期周波数を示す図である。
【図３１】一回目のループにおけるバンド設定の変更を示す図である。
【図３２】二回目以降のループにおけるバンド設定の変更を示す図である。
【図３３】阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタの周波数応答とその拡大図を示す図である。
【図３４】阻止域の減衰量を実現する最小のタップ数のフィルタを求めるアルゴリズムのフローチャートを示す図である。
【図３５】阻止域の減衰量を満足する最小のタップ数のフィルタの周波数応答とその拡大図を示す図である。
【図３６】阻止域の減衰量を満足する最小のタップ数のフィルタの周波数応答とその拡大図を示す図である。
【図３７】阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過する最小のタップ数のフィルタを求めるアルゴリズムのフローチャートを示す図である。
【図３８】阻止域の減衰量を満足し、かつ、遷移領域の周波数点を通過する最小タップ数のフィルタの周波数応答とその拡大図を示す図である。
【符号の説明】
１…直線位相ＦＩＲフィルタ、２−１〜２−n-1 …遅延器、３−１〜３−ｎ…乗算器、４…加算器、ｈ（０）〜ｈ（ｎ−１）…フィルタ係数、ＴIN…入力端子、ＴOUT …出力端子。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
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【図１７】
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【図１８】
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【図１９】
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【図２０】
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【図２１】
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【図２２】
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【図２３】
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【図２４】
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【図２５】
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【図２６】
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【図２７】
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【図２８】
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【図２９】
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【図３０】
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【図３１】
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【図３２】
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【図３３】
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【図３４】
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【図３５】
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【図３６】
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【図３７】
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【図３８】
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