(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
元メッシュの要素の数を減らして簡単化した簡単化メッシュを生成するメッシュ簡単化装置において、前記メッシュの頂点共有化操作を行った場合の簡単化の程度である推定誤差を頂点ペアごとに求め、この推定誤差の演算は、前記頂点共有化操作で削除される面を前記頂点共有化操作で残る頂点ごとに記憶装置に記憶しておき、前記頂点共有化操作で残る頂点の座標と前記記憶がされた面との間の距離の最大値を計算し、又、前記頂点共有化操作で削除される頂点を頂点ごとに記憶装置に記憶しておき、前記頂点共有化操作で残る頂点に隣接する面と前記記憶がされた頂点の座標との間の距離の最大値を計算して、前記両最大値のうち大きい方を、前記元メッシュの面と前記簡単化メッシュの頂点との最大距離として求めることで行なう推定手段と、前記推定誤差が当該推定誤差の基準値として予め指定された値である指定誤差を上回るか否かを判定する判定手段と、この判定に基づいて前記推定誤差が前記指定誤差を上回らない前記頂点共有化操作を前記推定誤差の少ない前記頂点ペアから順に実行する頂点共有化操作手段と、を備えていることを特徴とするメッシュ簡単化装置。
【請求項２】
元メッシュの要素の数を減らして簡単化した簡単化メッシュを生成するメッシュ簡単化装置において、前記メッシュの頂点共有化操作を行った場合の簡単化の程度である推定誤差を頂点ペアごとに求め、この推定誤差の演算は、前記頂点共有化操作で削除される頂点を頂点ごとに記憶装置に記憶しておき、前記頂点共有化操作で残る頂点に隣接する面と前記記憶がされた頂点の座標との間の距離の平均値を計算することにより、前記元メッシュの面と前記簡単化メッシュの頂点との平均距離を求めることで行なう推定手段と、前記推定誤差が当該推定誤差の基準値として予め指定された値である指定誤差を上回るか否かを判定する判定手段と、この判定に基づいて前記推定誤差が前記指定誤差を上回らない前記頂点共有化操作を前記推定誤差の少ない前記頂点ペアから順に実行する頂点共有化操作手段と、を備えていることを特徴とするメッシュ簡単化装置。
【請求項３】
元メッシュの要素の数を減らして簡単化した簡単化メッシュを生成するメッシュ簡単化装置において、前記メッシュの頂点共有化操作を行った場合の簡単化の程度である推定誤差を頂点ペアごとに求め、この推定誤差の演算は、前記頂点共有化操作で削除される面を前記頂点共有化操作で残る頂点ごとに記憶装置に記憶しておき、前記頂点共有化操作で残る頂点の座標と前記記憶がされた面との間の距離の平均値を計算し、及び、前記頂点共有化操作で削除される頂点を頂点ごとに記憶装置に記憶しておき、前記頂点共有化操作で残る頂点に隣接する面と前記記憶がされた頂点の座標との間の距離の平均値を計算することにより、前記元メッシュの面と前記簡単化メッシュの頂点との平均距離を求めることで行なう推定手段と、前記推定誤差が当該推定誤差の基準値として予め指定された値である指定誤差を上回るか否かを判定する判定手段と、この判定に基づいて前記推定誤差が前記指定誤差を上回らない前記頂点共有化操作を前記推定誤差の少ない前記頂点ペアから順に実行する頂点共有化操作手段と、を備えていることを特徴とするメッシュ簡単化装置。
【請求項４】
元メッシュの要素の数を減らして簡単化した簡単化メッシュを生成するメッシュ簡単化装置において、前記メッシュの頂点共有化操作を行った場合の簡単化の程度である推定誤差を頂点ペアごとに求め、この推定誤差の演算は、前記頂点共有化操作で削除される頂点の座標の２乗和と頂点数とを前記頂点共有化操作で残る頂点の属性として記憶装置に記憶しておき、前記残る頂点に隣接する面の平面式の係数からなるベクトルと前記２乗和との積を前記面のコスト値として計算し、このコスト値を前記頂点数で除算した値の平方根を、前記元メッシュの面と前記簡単化メッシュの頂点との平均距離として求めることで行なう推定手段と、前記推定誤差が当該推定誤差の基準値として予め指定された値である指定誤差を上回るか否かを判定する判定手段と、この判定に基づいて前記推定誤差が前記指定誤差を上回らない前記頂点共有化操作を前記推定誤差の少ない前記頂点ペアから順に実行する頂点共有化操作手段と、を備えていることを特徴とするメッシュ簡単化装置。
【請求項５】
元メッシュの要素の数を減らして簡単化した簡単化メッシュを生成するメッシュ簡単化装置において、前記メッシュの頂点共有化操作を行った場合の簡単化の程度である推定誤差を頂点ペアごとに求め、この推定誤差の演算は、前記頂点共有化操作で削除される面数を前記頂点共有化操作で残る頂点ごとに記憶装置に記憶しておき、ＱＥＭ（Quadric Error Metrics）法で計算される前記頂点ペアコスト値、及び、前記頂点共有化操作で削除される頂点の座標の２乗和と頂点数とを前記頂点共有化操作で残る頂点の属性として記憶装置に記憶しておき、前記残る頂点に隣接する面の平面式の係数からなるベクトルと前記２乗和との積として計算される前記面のコスト値の総和を求め、この総和を前記削除される面数と前記頂点共有化操作で削除される頂点数との和で除算した値の平方根を、前記元メッシュの面と前記簡単化メッシュの頂点との平均距離として求めることで行なう推定手段と、前記推定誤差が当該推定誤差の基準値として予め指定された値である指定誤差を上回るか否かを判定する判定手段と、この判定に基づいて前記推定誤差が前記指定誤差を上回らない前記頂点共有化操作を前記推定誤差の少ない前記頂点ペアから順に実行する頂点共有化操作手段と、を備えていることを特徴とするメッシュ簡単化装置。
【請求項６】
元メッシュの要素の数を減らして簡単化した簡単化メッシュを生成するための処理をコンピュータに実行させるコンピュータに読取可能なプログラムにおいて、前記メッシュの頂点共有化操作を行った場合の簡単化の程度である推定誤差を頂点ペアごとに求め、この推定誤差の演算は、前記頂点共有化操作で削除される面を前記頂点共有化操作で残る頂点ごとに記憶装置に記憶しておき、前記頂点共有化操作で残る頂点の座標と前記記憶がされた面との間の距離の最大値を計算し、又、前記頂点共有化操作で削除される頂点を頂点ごとに記憶装置に記憶しておき、前記頂点共有化操作で残る頂点に隣接する面と前記記憶がされた頂点の座標との間の距離の最大値を計算して、前記両最大値のうち大きい方を、前記元メッシュの面と前記簡単化メッシュの頂点との最大距離として求めることで行なう推定処理と、前記推定誤差が当該推定誤差の基準値として予め指定された値である指定誤差を上回るか否かを判定する判定処理と、この判定に基づいて前記推定誤差が前記指定誤差を上回らない前記頂点共有化操作を前記推定誤差の少ない前記頂点ペアから順に実行する頂点共有化操作処理と、をコンピュータに実行させることを特徴とするプログラム。
【請求項７】
元メッシュの要素の数を減らして簡単化した簡単化メッシュを生成するための処理をコンピュータに実行させるコンピュータに読取可能なプログラムにおいて、前記メッシュの頂点共有化操作を行った場合の簡単化の程度である推定誤差を頂点ペアごとに求め、この推定誤差の演算は、前記頂点共有化操作で削除される頂点を頂点ごとに記憶装置に記憶しておき、前記頂点共有化操作で残る頂点に隣接する面と前記記憶がされた頂点の座標との間の距離の平均値を計算することにより、前記元メッシュの面と前記簡単化メッシュの頂点との平均距離を求めることで行なう推定処理と、前記推定誤差が当該推定誤差の基準値として予め指定された値である指定誤差を上回るか否かを判定する判定処理と、この判定に基づいて前記推定誤差が前記指定誤差を上回らない前記頂点共有化操作を前記推定誤差の少ない前記頂点ペアから順に実行する頂点共有化操作処理と、をコンピュータに実行させることを特徴とするプログラム。
【請求項８】
元メッシュの要素の数を減らして簡単化した簡単化メッシュを生成するための処理をコンピュータに実行させるコンピュータに読取可能なプログラムにおいて、前記メッシュの頂点共有化操作を行った場合の簡単化の程度である推定誤差を頂点ペアごとに求め、この推定誤差の演算は、前記頂点共有化操作で削除される面を前記頂点共有化操作で残る頂点ごとに記憶装置に記憶しておき、前記頂点共有化操作で残る頂点の座標と前記記憶がされた面との間の距離の平均値を計算し、及び、前記頂点共有化操作で削除される頂点を頂点ごとに記憶装置に記憶しておき、前記頂点共有化操作で残る頂点に隣接する面と前記記憶がされた頂点の座標との間の距離の平均値を計算することにより、前記元メッシュの面と前記簡単化メッシュの頂点との平均距離を求めることで行なう推定処理と、前記推定誤差が当該推定誤差の基準値として予め指定された値である指定誤差を上回るか否かを判定する判定処理と、この判定に基づいて前記推定誤差が前記指定誤差を上回らない前記頂点共有化操作を前記推定誤差の少ない前記頂点ペアから順に実行する頂点共有化操作処理と、をコンピュータに実行させることを特徴とするプログラム。
【請求項９】
元メッシュの要素の数を減らして簡単化した簡単化メッシュを生成するための処理をコンピュータに実行させるコンピュータに読取可能なプログラムにおいて、前記メッシュの頂点共有化操作を行った場合の簡単化の程度である推定誤差を頂点ペアごとに求め、この推定誤差の演算は、前記頂点共有化操作で削除される頂点の座標の２乗和と頂点数とを前記頂点共有化操作で残る頂点の属性として記憶装置に記憶しておき、前記残る頂点に隣接する面の平面式の係数からなるベクトルと前記２乗和との積を前記面のコスト値として計算し、このコスト値を前記頂点数で除算した値の平方根を、前記元メッシュの面と前記簡単化メッシュの頂点との平均距離として求めることで行なう推定処理と、前記推定誤差が当該推定誤差の基準値として予め指定された値である指定誤差を上回るか否かを判定する判定処理と、この判定に基づいて前記推定誤差が前記指定誤差を上回らない前記頂点共有化操作を前記推定誤差の少ない前記頂点ペアから順に実行する頂点共有化操作処理と、をコンピュータに実行させることを特徴とするプログラム。
【請求項１０】
元メッシュの要素の数を減らして簡単化した簡単化メッシュを生成するための処理をコンピュータに実行させるコンピュータに読取可能なプログラムにおいて、前記メッシュの頂点共有化操作を行った場合の簡単化の程度である推定誤差を頂点ペアごとに求め、この推定誤差の演算は、前記頂点共有化操作で削除される面数を前記頂点共有化操作で残る頂点ごとに記憶装置に記憶しておき、ＱＥＭ（Quadric Error Metrics）法で計算される前記頂点ペアコスト値、及び、前記頂点共有化操作で削除される頂点の座標の２乗和と頂点数とを前記頂点共有化操作で残る頂点の属性として記憶装置に記憶しておき、前記残る頂点に隣接する面の平面式の係数からなるベクトルと前記２乗和との積として計算される前記面のコスト値の総和を求め、この総和を前記削除される面数と前記頂点共有化操作で削除される頂点数との和で除算した値の平方根を、前記元メッシュの面と前記簡単化メッシュの頂点との平均距離として求めることで行なう推定処理と、前記推定誤差が当該推定誤差の基準値として予め指定された値である指定誤差を上回るか否かを判定する判定処理と、この判定に基づいて前記推定誤差が前記指定誤差を上回らない前記頂点共有化操作を前記推定誤差の少ない前記頂点ペアから順に実行する頂点共有化操作処理と、をコンピュータに実行させることを特徴とするプログラム。
【請求項１１】
請求項６〜１０のいずれかの一に記載のプログラムを記憶したコンピュータに読取可能な記憶媒体。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
この発明は、元メッシュの要素の数を減らして簡単化した簡単化メッシュを生成するメッシュ簡単化装置、プログラム及び記憶媒体に関する。
【０００２】
【従来の技術】
近年、インターネット上でのマルチメディア利用の広がりとともに３次元表現の利用が拡大しており、３次元形状表示の重要性が高まっている。最近は、大規模な設計データを既存のグラフィックス表示装置を用いて更に高速に表示するために、形状データである三角形メッシュ（この明細書で「メッシュ」という）をできるだけ形状に影響を与えないように要素数を減らし、簡単化する技術の研究が盛んである（この明細書で、簡単化の対象となるメッシュを「元メッシュ」、簡単化したメッシュを「簡単化メッシュ」という）。
【０００３】
特に、「Michael Garland and Paul S.Heckbert:“Surface simplification using quadric error metrics”,SIGGRAPH’97 Conference Proceedings,pp.209-216,Aug 1997」に開示の技術に代表される頂点共有化操作とＱＥＭ（Quadric Error Metrics）を用いた研究が多い。
【０００４】
【発明が解決しようとする課題】
しかしながら、前記の従来技術では、高速に品質の高い簡単化メッシュが得られるものの、簡単化の程度を予め指定することができない。すなわち、従来技術では最終的な面数のみが指定できるだけであり、実際に面数を指定して簡単化メッシュを生成して評価するといったトライアンドエラーにより、適切な簡単化の程度を持つ簡単化メッシュを得ていた。そのため、適切な簡単化の程度を持つ簡単化メッシュが得られるまでに非常に時間を要するという不具合があった。
【０００５】
これに対し、本願出願人は、ＱＥＭからのメッシュの面と簡単化メッシュとの間の平均距離と最大距離を求める技術を提案している（平成13年5月11日出願の特願2001-141070（本願の出願時において未出願公開））。
【０００６】
しかし、かかる技術により得られる結果に比べて、元メッシュと簡単化メッシュとの間の距離をさらに正確に求めたい。
【０００７】
この発明の目的は、元のメッシュと簡単化メッシュとの間の距離を正確に求めて、適切な簡単化の程度を持つ簡単化メッシュを速やかに作成できるようにすることである。
【００１０】
【課題を解決するための手段】
請求項１に記載の発明は、元メッシュの要素の数を減らして簡単化した簡単化メッシュを生成するメッシュ簡単化装置において、前記メッシュの頂点共有化操作を行った場合の簡単化の程度である推定誤差を頂点ペアごとに求め、この推定誤差の演算は、前記頂点共有化操作で削除される面を前記頂点共有化操作で残る頂点ごとに記憶装置に記憶しておき、前記頂点共有化操作で残る頂点の座標と前記記憶がされた面との間の距離の最大値を計算し、又、前記頂点共有化操作で削除される頂点を頂点ごとに記憶装置に記憶しておき、前記頂点共有化操作で残る頂点に隣接する面と前記記憶がされた頂点の座標との間の距離の最大値を計算して、前記両最大値のうち大きい方を、前記元メッシュの面と前記簡単化メッシュの頂点との最大距離として求めることで行なう推定手段と、前記推定誤差が当該推定誤差の基準値として予め指定された値である指定誤差を上回るか否かを判定する判定手段と、この判定に基づいて前記推定誤差が前記指定誤差を上回らない前記頂点共有化操作を前記推定誤差の少ない前記頂点ペアから順に実行する頂点共有化操作手段と、を備えていることを特徴とするメッシュ簡単化装置である。
【００１１】
したがって、元メッシュの面と簡単化メッシュの頂点との最大距離を求めるために、元メッシュの面と簡単化メッシュの面との間の距離の最大値を求めることで、元メッシュと簡単化メッシュとの間の距離を正確に求めることができる。
【００１２】
請求項２に記載の発明は、元メッシュの要素の数を減らして簡単化した簡単化メッシュを生成するメッシュ簡単化装置において、前記メッシュの頂点共有化操作を行った場合の簡単化の程度である推定誤差を頂点ペアごとに求め、この推定誤差の演算は、前記頂点共有化操作で削除される頂点を頂点ごとに記憶装置に記憶しておき、前記頂点共有化操作で残る頂点に隣接する面と前記記憶がされた頂点の座標との間の距離の平均値を計算することにより、前記元メッシュの面と前記簡単化メッシュの頂点との平均距離を求めることで行なう推定手段と、前記推定誤差が当該推定誤差の基準値として予め指定された値である指定誤差を上回るか否かを判定する判定手段と、この判定に基づいて前記推定誤差が前記指定誤差を上回らない前記頂点共有化操作を前記推定誤差の少ない前記頂点ペアから順に実行する頂点共有化操作手段と、を備えていることを特徴とするメッシュ簡単化装置である。
【００１３】
したがって、元メッシュの面と簡単化メッシュの頂点との平均距離を求めるために、元メッシュの面と簡単化メッシュの面との間の距離の平均値を求めることで、元メッシュと簡単化メッシュとの間の距離を正確に求めることができる。
【００１４】
請求項３に記載の発明は、元メッシュの要素の数を減らして簡単化した簡単化メッシュを生成するメッシュ簡単化装置において、前記メッシュの頂点共有化操作を行った場合の簡単化の程度である推定誤差を頂点ペアごとに求め、この推定誤差の演算は、前記頂点共有化操作で削除される面を前記頂点共有化操作で残る頂点ごとに記憶装置に記憶しておき、前記頂点共有化操作で残る頂点の座標と前記記憶がされた面との間の距離の平均値を計算し、及び、前記頂点共有化操作で削除される頂点を頂点ごとに記憶装置に記憶しておき、前記頂点共有化操作で残る頂点に隣接する面と前記記憶がされた頂点の座標との間の距離の平均値を計算することにより、前記元メッシュの面と前記簡単化メッシュの頂点との平均距離を求めることで行なう推定手段と、前記推定誤差が当該推定誤差の基準値として予め指定された値である指定誤差を上回るか否かを判定する判定手段と、この判定に基づいて前記推定誤差が前記指定誤差を上回らない前記頂点共有化操作を前記推定誤差の少ない前記頂点ペアから順に実行する頂点共有化操作手段と、を備えていることを特徴とするメッシュ簡単化装置である。
【００１５】
したがって、元メッシュの面と簡単化メッシュの頂点との平均距離を求めるために、元メッシュの面と簡単化メッシュの面との間の距離の平均値を求めることで、元メッシュと簡単化メッシュとの間の距離を正確に求めることができる。
【００１６】
請求項４に記載の発明は、元メッシュの要素の数を減らして簡単化した簡単化メッシュを生成するメッシュ簡単化装置において、前記メッシュの頂点共有化操作を行った場合の簡単化の程度である推定誤差を頂点ペアごとに求め、この推定誤差の演算は、前記頂点共有化操作で削除される頂点の座標の２乗和と頂点数とを前記頂点共有化操作で残る頂点の属性として記憶装置に記憶しておき、前記残る頂点に隣接する面の平面式の係数からなるベクトルと前記２乗和との積を前記面のコスト値として計算し、このコスト値を前記頂点数で除算した値の平方根を、前記元メッシュの面と前記簡単化メッシュの頂点との平均距離として求めることで行なう推定手段と、前記推定誤差が当該推定誤差の基準値として予め指定された値である指定誤差を上回るか否かを判定する判定手段と、この判定に基づいて前記推定誤差が前記指定誤差を上回らない前記頂点共有化操作を前記推定誤差の少ない前記頂点ペアから順に実行する頂点共有化操作手段と、を備えていることを特徴とするメッシュ簡単化装置である。
【００１７】
したがって、元メッシュの面と簡単化メッシュの頂点との平均距離を求めるために、元メッシュの面と簡単化メッシュの面との間の距離の平均値を求めることで、元メッシュと簡単化メッシュとの間の距離を正確に求めることができる。
【００１８】
請求項５に記載の発明は、元メッシュの要素の数を減らして簡単化した簡単化メッシュを生成するメッシュ簡単化装置において、前記メッシュの頂点共有化操作を行った場合の簡単化の程度である推定誤差を頂点ペアごとに求め、この推定誤差の演算は、前記頂点共有化操作で削除される面数を前記頂点共有化操作で残る頂点ごとに記憶装置に記憶しておき、ＱＥＭ（Quadric Error Metrics）法で計算される前記頂点ペアコスト値、及び、前記頂点共有化操作で削除される頂点の座標の２乗和と頂点数とを前記頂点共有化操作で残る頂点の属性として記憶装置に記憶しておき、前記残る頂点に隣接する面の平面式の係数からなるベクトルと前記２乗和との積として計算される前記面のコスト値の総和を求め、この総和を前記削除される面数と前記頂点共有化操作で削除される頂点数との和で除算した値の平方根を、前記元メッシュの面と前記簡単化メッシュの頂点との平均距離として求めることで行なう推定手段と、前記推定誤差が当該推定誤差の基準値として予め指定された値である指定誤差を上回るか否かを判定する判定手段と、この判定に基づいて前記推定誤差が前記指定誤差を上回らない前記頂点共有化操作を前記推定誤差の少ない前記頂点ペアから順に実行する頂点共有化操作手段と、を備えていることを特徴とするメッシュ簡単化装置である。
【００１９】
したがって、元メッシュの面と簡単化メッシュの頂点との平均距離を求めるために、元メッシュの面と簡単化メッシュの面との間の距離の平均値を求めることで、元メッシュと簡単化メッシュとの間の距離を正確に求めることができる。
【００２２】
請求項６に記載の発明は、元メッシュの要素の数を減らして簡単化した簡単化メッシュを生成するための処理をコンピュータに実行させるコンピュータに読取可能なプログラムにおいて、前記メッシュの頂点共有化操作を行った場合の簡単化の程度である推定誤差を頂点ペアごとに求め、この推定誤差の演算は、前記頂点共有化操作で削除される面を前記頂点共有化操作で残る頂点ごとに記憶装置に記憶しておき、前記頂点共有化操作で残る頂点の座標と前記記憶がされた面との間の距離の最大値を計算し、又、前記頂点共有化操作で削除される頂点を頂点ごとに記憶装置に記憶しておき、前記頂点共有化操作で残る頂点に隣接する面と前記記憶がされた頂点の座標との間の距離の最大値を計算して、前記両最大値のうち大きい方を、前記元メッシュの面と前記簡単化メッシュの頂点との最大距離として求めることで行なう推定処理と、前記推定誤差が当該推定誤差の基準値として予め指定された値である指定誤差を上回るか否かを判定する判定処理と、この判定に基づいて前記推定誤差が前記指定誤差を上回らない前記頂点共有化操作を前記推定誤差の少ない前記頂点ペアから順に実行する頂点共有化操作処理と、をコンピュータに実行させることを特徴とするプログラムである。
【００２３】
したがって、元メッシュの面と簡単化メッシュの頂点との最大距離を求めるために、元メッシュの頂点と簡単化メッシュの面との間の距離の最大値を求めることで、元メッシュと簡単化メッシュとの間の距離を正確に求めることができる。
【００２４】
請求項７に記載の発明は、元メッシュの要素の数を減らして簡単化した簡単化メッシュを生成するための処理をコンピュータに実行させるコンピュータに読取可能なプログラムにおいて、前記メッシュの頂点共有化操作を行った場合の簡単化の程度である推定誤差を頂点ペアごとに求め、この推定誤差の演算は、前記頂点共有化操作で削除される頂点を頂点ごとに記憶装置に記憶しておき、前記頂点共有化操作で残る頂点に隣接する面と前記記憶がされた頂点の座標との間の距離の平均値を計算することにより、前記元メッシュの面と前記簡単化メッシュの頂点との平均距離を求めることで行なう推定処理と、前記推定誤差が当該推定誤差の基準値として予め指定された値である指定誤差を上回るか否かを判定する判定処理と、この判定に基づいて前記推定誤差が前記指定誤差を上回らない前記頂点共有化操作を前記推定誤差の少ない前記頂点ペアから順に実行する頂点共有化操作処理と、をコンピュータに実行させることを特徴とするプログラムである。
【００２５】
したがって、元メッシュの面と簡単化メッシュの頂点との平均距離を求めるために、元メッシュの面と簡単化メッシュの面との間の距離の平均値を求めることで、元メッシュと簡単化メッシュとの間の距離を正確に求めることができる。
【００２６】
請求項８に記載の発明は、元メッシュの要素の数を減らして簡単化した簡単化メッシュを生成するための処理をコンピュータに実行させるコンピュータに読取可能なプログラムにおいて、前記メッシュの頂点共有化操作を行った場合の簡単化の程度である推定誤差を頂点ペアごとに求め、この推定誤差の演算は、前記頂点共有化操作で削除される面を前記頂点共有化操作で残る頂点ごとに記憶装置に記憶しておき、前記頂点共有化操作で残る頂点の座標と前記記憶がされた面との間の距離の平均値を計算し、及び、前記頂点共有化操作で削除される頂点を頂点ごとに記憶装置に記憶しておき、前記頂点共有化操作で残る頂点に隣接する面と前記記憶がされた頂点の座標との間の距離の平均値を計算することにより、前記元メッシュの面と前記簡単化メッシュの頂点との平均距離を求めることで行なう推定処理と、前記推定誤差が当該推定誤差の基準値として予め指定された値である指定誤差を上回るか否かを判定する判定処理と、この判定に基づいて前記推定誤差が前記指定誤差を上回らない前記頂点共有化操作を前記推定誤差の少ない前記頂点ペアから順に実行する頂点共有化操作処理と、をコンピュータに実行させることを特徴とするプログラムである。
【００２７】
したがって、元メッシュの面と簡単化メッシュの頂点との平均距離を求めるために、元メッシュの面と簡単化メッシュの面との間の距離の平均値を求めることで、元メッシュと簡単化メッシュとの間の距離を正確に求めることができる。
【００２８】
請求項９に記載の発明は、元メッシュの要素の数を減らして簡単化した簡単化メッシュを生成するための処理をコンピュータに実行させるコンピュータに読取可能なプログラムにおいて、前記メッシュの頂点共有化操作を行った場合の簡単化の程度である推定誤差を頂点ペアごとに求め、この推定誤差の演算は、前記頂点共有化操作で削除される頂点の座標の２乗和と頂点数とを前記頂点共有化操作で残る頂点の属性として記憶装置に記憶しておき、前記残る頂点に隣接する面の平面式の係数からなるベクトルと前記２乗和との積を前記面のコスト値として計算し、このコスト値を前記頂点数で除算した値の平方根を、前記元メッシュの面と前記簡単化メッシュの頂点との平均距離として求めることで行なう推定処理と、前記推定誤差が当該推定誤差の基準値として予め指定された値である指定誤差を上回るか否かを判定する判定処理と、この判定に基づいて前記推定誤差が前記指定誤差を上回らない前記頂点共有化操作を前記推定誤差の少ない前記頂点ペアから順に実行する頂点共有化操作処理と、をコンピュータに実行させることを特徴とするプログラムである。
【００２９】
したがって、元メッシュの面と簡単化メッシュの頂点との平均距離を求めるために、元メッシュの面と簡単化メッシュの面との間の距離の平均値を求めることで、元メッシュと簡単化メッシュとの間の距離を正確に求めることができる。
【００３０】
請求項１０に記載の発明は、元メッシュの要素の数を減らして簡単化した簡単化メッシュを生成するための処理をコンピュータに実行させるコンピュータに読取可能なプログラムにおいて、前記メッシュの頂点共有化操作を行った場合の簡単化の程度である推定誤差を頂点ペアごとに求め、この推定誤差の演算は、前記頂点共有化操作で削除される面数を前記頂点共有化操作で残る頂点ごとに記憶装置に記憶しておき、ＱＥＭ（Quadric Error Metrics）法で計算される前記頂点ペアコスト値、及び、前記頂点共有化操作で削除される頂点の座標の２乗和と頂点数とを前記頂点共有化操作で残る頂点の属性として記憶装置に記憶しておき、前記残る頂点に隣接する面の平面式の係数からなるベクトルと前記２乗和との積として計算される前記面のコスト値の総和を求め、この総和を前記削除される面数と前記頂点共有化操作で削除される頂点数との和で除算した値の平方根を、前記元メッシュの面と前記簡単化メッシュの頂点との平均距離として求めることで行なう推定処理と、前記推定誤差が当該推定誤差の基準値として予め指定された値である指定誤差を上回るか否かを判定する判定処理と、この判定に基づいて前記推定誤差が前記指定誤差を上回らない前記頂点共有化操作を前記推定誤差の少ない前記頂点ペアから順に実行する頂点共有化操作処理と、をコンピュータに実行させることを特徴とするプログラムである。
【００３１】
したがって、元メッシュの面と簡単化メッシュの頂点との平均距離を求めるために、元メッシュの面と簡単化メッシュの面との間の距離の平均値を求めることで、元メッシュと簡単化メッシュとの間の距離を正確に求めることができる。
【００３２】
請求項１１に記載の発明は、請求項６〜１０のいずれかの一に記載のプログラムを記憶したコンピュータに読取可能な記憶媒体である。
【００３３】
したがって、請求項６〜１０のいずれかの一に記載の発明と同様の作用、効果を奏する。
【００３４】
【発明の実施の形態】
この発明の一実施の形態について説明する。
【００３５】
図１は、この発明の一実施の形態であるメッシュ簡単化装置１の電気的な接続を示すブロック図である。図１に示すように、メッシュ簡単化装置１は、ＰＣなどのコンピュータであり、各種演算を行ない、メッシュ簡単化装置１の各部を集中的に制御するＣＰＵ２と、各種のＲＯＭ、ＲＡＭからなる記憶装置であるメモリ３とが、バス４で接続されている。
【００３６】
バス４には、所定のインターフェイスを介して、ハードディスクなどの磁気記憶装置５と、マウス、キーボード等により構成される入力装置６と、表示装置７と、光ディスクなどの記憶媒体８を読み取る記憶媒体読取装置９とが接続され、また、インターネットなどのネットワーク１０と通信を行なう所定の通信インターフェイス１１が接続されている。なお、記憶媒体８としては、ＣＤ，ＤＶＤなどの光ディスク、光磁気ディスク、フロッピーディスクなどの各種メディアを用いることができる。また、記憶媒体読取装置９は、具体的には記憶媒体８の種類に応じて光ディスク装置、光磁気ディスク装置、フロッピーディスク装置などが用いられる。
【００３７】
磁気記憶装置５には、メッシュ簡単化プログラムが記憶されている。このメッシュ簡単化プログラムは、記憶媒体８から記憶媒体読取装置９により読み取るか、あるいは、インターネットなどのネットワーク１０からダウンロードするなどして、磁気記憶装置５にインストールしたものである。このインストールによりメッシュ簡単化装置１は動作可能な状態となる。このメッシュ簡単化プログラムは、ＣＡＤにより設計したデータを閲覧する次元形状ビューワなど、特定のアプリケーションソフトの一部をなすものであってもよい。また、所定のＯＳ上で動作するものであってもよい。
【００３８】
以下では、メッシュ簡単化プログラムに基づいてメッシュ簡単化装置１が行なう処理の内容について説明する。
【００３９】
まず、かかる処理の内容の前提となる概念について説明する。
【００４０】
（１）メッシュ簡単化
元メッシュから面や頂点、稜線などの要素を少なくした簡単化メッシュを生成することである。以下で説明するＱＥＭにより計算される稜線ペアコストの低い順に頂点共有化操作を行っていくことにより、元メッシュから簡単化メッシュを得る。
【００４１】
（２）頂点ペアキュー
頂点ペアキューの各要素は、頂点ペアコストや最適化頂点座標、測定距離などの属性情報とともに元メッシュの稜線への参照が可能な情報（具体的には元メッシュの稜線のＩＤ、名称、ポインタなど）が収められており、各稜線の情報（稜線の両端点をなす頂点）への参照ができるものとする。
【００４２】
（３）頂点共有化操作
メッシュの要素を減らす操作である。この操作では、２個の頂点からなる頂点ペア（ｖｓ，ｖｅ）を、頂点ｖｓを残し、頂点ｖｅを削除する。ｖｓ，ｖｅには共有する稜線が存在してもよいし、存在しなくてもよい。
【００４３】
図２に頂点共有化操作の例を示す。図２（ａ）は、頂点ペアが共有する稜線が存在する場合であり、図２（ｂ）は、頂点ペアが共有する稜線が存在しない場合である。図２（ａ）においては、頂点共有化操作により1本の稜線Eが削除されるのと同時に、1個の頂点ｖｅ、頂点ペアを共有する面ｆｒ，ｆｌが削除され、1個の頂点ｖｓが残る。図２（ｂ）においては、頂点共有化操作により、削除される要素はｖｅだけである。いずれの場合も、頂点共有化操作後のまわりの面や稜線は残った頂点ｖｓを共有するようになる。
【００４４】
（４）ＱＥＭ（Quadric Error Metrics）
どの頂点ペアから先に頂点共有化操作を行っていくかの優先順位を決めるための頂点ペアコストの計算方法である。
【００４５】
その方法は、まず、メッシュを構成するすべての三角形面について、Ｑ行列を計算する。面ｆのＱ行列Ｑ（ｆ）は、面ｆが乗る平面の方程式“ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝０”（ここで、“ａ２＋ｂ２＋ｃ２＝１”とし、座標（ｘ０，ｙ０，ｚ０）と平面の間の距離は、“ａｘ０＋ｂｙ０＋ｃｚ０＋ｄ”で求められるようにしておく）の係数ａ，ｂ，ｃ，ｄを用いて（１）式のように定義される。
【００４６】
【数１】
0004480306.tif 000002
【００４７】
次に、メッシュを構成するすべての頂点についてＱ行列を計算する。頂点ｖのＱ行列Ｑ（ｖ）は、（２）式のように頂点のまわりの隣接する三角形面ｆｉ（ここで、ｉ＝０，１，…，ｎ−１とする）のＱ行列Ｑ（ｆｉ）の和になる。
【００４８】
Ｑｆ（ｖ）＝Ｑ（ｆ０）＋Ｑ（ｆ１）＋…＋Ｑ（ｆｎ−１）    ……  （２）
【００４９】
次に、頂点ペアをすべての稜線及び（３）式を満たす頂点の組（ｖ１，ｖ２）とする。
【００５０】
||ｖ１−ｖ２||＜δ                                    ……  （３）
但し、“||  ||”は絶対値を示す（以下同様）。
【００５１】
δは、頂点共有を行なう距離のしきい値で、大きければ大きいほど頂点の組が増える。そして、すべての頂点ペアについて、最適化頂点座標を計算する。最適化頂点座標ｖｏｐｔは、頂点ペアに隣接するすべての面、すなわち始点ｖｓ、終点ｖｅに隣接するすべての面と最適化頂点座標ｖｏｐｔとの距離の２乗和が最も小さくなる座標である。
【００５２】
【数２】
0004480306.tif 000003
が最も小さくなる座標である。
【００５３】
ここでは、頂点ぺアの隣接面のＱ行列の和Ｑ（ｖｐａｉｒ）を、始点頂点ｖｓと終点頂点ｖｅの隣接面のＱ行列の和Ｑ（ｖｓ），Ｑ（ｖｅ）を加えることにより（５）式のように求め、始点頂点、終点頂点に隣接するすべての面のＱ行列の和とする。
【００５４】
Ｑｆ（ｖｐａｉｒ）＝Ｑｆ（ｖｓ）＋Ｑｆ（ｖｅ）          ……  （５）
厳密には頂点ペアが稜線である場合、面を共有するため異なるが、計算を簡単にするため、そのようにする。
【００５５】
そうすると、最適化頂点ｖｏｐｔと頂点ペアに隣接するすべての面との距離の２乗和は、
ｖＴｏｐｔＱｆ（ｖｐａｉｒ）ｖｏｐｔ                    ……  （６）
となる。
【００５６】
この値が最小になるｖｏｐｔは、この式をｘ，ｙ，ｚそれぞれについて微分することにより得られる連立方程式
【００５７】
【数３】
0004480306.tif 000004
の解になる。
【００５８】
ここでＡは３行３列の行列、ｖ，ｂは次元数が３の列ベクトル、ｃはスカラとし、Ｑ（ｖｐａｉｒ）をブロック分解した結果得られるものである。解を求めて、距離の２乗和の（６）式に代入し、頂点コストとする。
【００５９】
次に、図３以下のフローチャートを参照して、メッシュ簡単化装置１が行なうメッシュ簡単化の処理について説明する。
【００６０】
まず、かかる処理の概要について、図３を参照して説明する。図３に示すように、ＣＰＵ２は、まず、対象となる元メッシュのすべての面について（１）式を用いてＱ行列を計算する（ステップＳ１）。次いで、元メッシュのすべての頂点についてＱ行列、Ｑｆ行列、面リスト、面数を計算する（詳細は後述）（ステップＳ２）。頂点についてＱ行列については（８）式を用いて計算する。
【００６１】
【数４】
0004480306.tif 000005
【００６２】
そして、元メッシュのすべての頂点ペアについてＱｆ行列、最適化頂点、頂点ペアコスト、最大又は平均の距離を、それぞれ計算し、メモリ３などに構築した頂点ペアキューに保存する（詳細は後述）（ステップＳ３）。ステップＳ３により推定手段、推定処理を実現している。
【００６３】
次いで、頂点ペアコストの低い順に頂点ペアキューをソートし（ステップＳ４）、ソート後の頂点ペアキューの先頭要素について検査・削除更新する（詳細は後述）（ステップＳ５）。ステップＳ５により判定手段、判定処理を実現している。そして、頂点ペアキューの先頭要素が存在しない場合、すなわち空の場合は（ステップＳ６のＹ）、処理を終了する。空でなければ（ステップＳ６のＮ）、ステップＳ７に進む。ステップＳ７では、頂点ペアキューの先頭の頂点ペアについて頂点共有化操作を行なう（詳細は後述）。ステップＳ７により頂点共有化手段、頂点共有化処理を実現している。そして、頂点ペアの始点頂点ｖｓに隣接する頂点ペアについて、ステップＳ３と同様に、Ｑｆ行列、最適化頂点、頂点ペアコスト、最大又は平均の距離を、それぞれ計算し、メモリ３などに構築した頂点ペアキューに保存して（ステップＳ８）、ステップＳ５に戻る。以上の処理により指定誤差の範囲内の簡単化メッシュを得ることができる。
【００６４】
次に、図４のフローチャートを参照して、前記ステップＳ２について詳細に説明する。すなわち、元メッシュのすべての頂点についてＱ行列、Ｑｆ行列、面リスト、面数を計算するには、以下の操作を元メッシュのすべての頂点について行なう。まず、（８）式を用いて頂点のＱ行列を計算する（ステップＳ１１）。次いで、（２）式を用いて頂点のＱｆ行列を計算する（ステップＳ１２）。
【００６５】
このメッシュ簡単化装置１では、元メッシュの面と簡単化メッシュの頂点の最大距離、あるいは、平均距離を求める。そして、これらの処理を行なうには、いくつかの距離算出方式が考えられる。これらの距離算出方式としては、最大距離を求めるものとして次の最大距離方式１〜２、平均距離を求めるものとして次の平均距離方式１〜４が考えられる。
【００６６】
最大距離方式1
元のメッシュの頂点と簡単化メッシュの面との間の距離の最大値を最大距離として計算する。
【００６７】
最大距離方式2
元のメッシュの頂点と簡単化メッシュの面との間の距離及び元のメッシュの面と簡単化メッシュの頂点との距離の最大値を最大距離として計算する。
【００６８】
平均距離方式１
元のメッシュの頂点と簡単化メッシュの面の間の距離の平均値を平均距離として計算する。
【００６９】
平均距離方式2
元のメッシュの頂点と簡単化メッシュの面との間の距離及び元のメッシュの面と簡単化メッシュの頂点との距離の平均値を平均距離として計算する。
【００７０】
平均距離方式３
簡単化メッシュの面コストを元メッシュの頂点数で割った値の平方根を平均距離とて計算する。
【００７１】
平均距離方式4
頂点ペアコスト及び簡単化メッシュの面コストの和を削除面数と削除頂点数の和により割った値の平方根を平均距離として計算する。
【００７２】
そして、これらのうち何れの方式を用いるかに応じて、所定の計算を行なう（ステップＳ１３）。すなわち、最大距離方式２又は平均距離方式２を用いる場合は、隣接する面の面リストの計算を行ない、平均距離方式３，４を用いる場合は、隣接する面の面数の計算を行なう。両リストの各要素は、元メッシュの面への参照が可能な情報（具体的には元メッシュの面のＩＤや名称、ポインタなど）が収められており、各面の幾何的な情報（面の頂点座標や面の法線ベクトル）への参照ができるものとする。
【００７３】
次に、図５のフローチャートを参照して、前記ステップＳ３について詳細に説明する。すなわち、（４）式を用いて、頂点ペアのＱｆ行列を計算する（ステップＳ２１）。次いで、（６）式を用いて、頂点共有を行った場合の最適化頂点位置を計算し、頂点ペアキューに保存する（ステップＳ２２）。次いで、（５）式を用いて頂点ペアコストを計算し、頂点ペアキューに保存する（ステップＳ２３）。そして、（９）式を用いて、面コストを計算する（ステップＳ２４）。
【００７４】
【数５】
0004480306.tif 000006
【００７５】
ここで、ｎは、最適化頂点位置で頂点共有化を行った場合の隣接面の平面の方程式を表わすベクトルである。Ｑｖは頂点共有化を行ない失われた頂点のＱ行列の和を示しており、初期値はＱ（ｖｓ）とＱ（ｖｅ）の和になる。すなわち、（１０）式のとおり。
【００７６】
【数６】
0004480306.tif 000007
【００７７】
次いで、前記の距離算出方式に応じた処理をおこなう（ステップＳ２５）。
【００７８】
すなわち、最大距離方式１の場合は、頂点共有化した際に失われる元メッシュの頂点の座標と、頂点共有化後の面との間の距離の中で最大のものを求め、頂点ペアキューに保存する。面と頂点座標との距離は、次の（１１）式を用いて計算する。
【００７９】
dist（ｖ，ｆ）＝||ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ||，ａ２＋ｂ２＋ｃ２＝１……（１１）
但し、（ｘ，ｙ，ｚ）は頂点の座標、ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄは面ｆを表わす平面の式とする。
【００８０】
最大距離方式２の場合は、ステップＳ１３の面コストから参照されるすべての面と最適化頂点との距離、及び、頂点共有化した際に失われる頂点と、頂点共有化した際の面との間の距離の中で最大のものを求め、頂点ペアキューに保存する。
【００８１】
平均距離方式１の場合は、頂点共有化した際に失われる元メッシュの頂点座標頂点共有化した際の面との間の距離の相加平均を求め、頂点ペアキューに保存する。
【００８２】
平均距離方式２の場合は、最適化頂点とステップＳ１３の面リストとの間の距離、及び、頂点共有化した際の面との間の距離の相加平均を求め、頂点ペアキューに保存する。
【００８３】
平均距離方式３の場合は、面コストを“削除頂点数×頂点共有後の隣接面数”で除算し、その平方根を計算することにより、平均距離を求め、頂点ペアキューに保存する。すなわち、（１２）式のとおり。
【００８４】
【数７】
0004480306.tif 000008
【００８５】
ここで、♯ｖｏｌｄは頂点共有化により失われた頂点の数であり、♯ｆ（ｖｏｐｔ）は頂点共有化後の頂点に隣接する面の数である。
【００８６】
平均距離方式４の場合は、（１３）式に示す頂点ペアコストと面コストとの和を求め、始点及び終点の面数の和、さらに、“削除頂点数×頂点共有後の隣接面数”を加えた値で除算し、その平方根を計算することにより、平均距離を求め、頂点ペアキューに保存する。
【００８７】
【数８】
0004480306.tif 000009
【００８８】
ここで、ｖｓ，ｖｅは頂点ペアｖｐａｉｒそれぞれの始点頂点、終点頂点であり、♯ｆ（ｖ）は頂点ｖに隣接する数である。
【００８９】
図６のフローチャートを参照して、前記ステップＳ５について詳細に説明する。すなわち、頂点ペアキューの先頭の要素について検査・削除を行なうには、図６に示すように、まず、頂点ペアキューにおける先頭の要素の有無を調べ（ステップＳ３１）、あれば（ステップＳ３１のＹ）、ステップＳ３２に進み、なければ（ステップＳ３１のＮ）、処理を終了することで行なう。
【００９０】
ステップＳ３２では、その要素の推定誤差が指定誤差を上回っていないか調べ、上回っていなければ（ステップＳ３２のＮ）、処理を終了する。上回っていれば（ステップＳ３２のＹ）、その要素を頂点ペアキューから削除し（ステップＳ３３）、ステップＳ３１に戻る。すなわち、推定誤差は元メッシュの簡単化を行った場合の簡単化の程度を示すものであり、指定誤差は推定誤差の基準値として予め指定された値である。
【００９１】
図７のフローチャートを参照して、前記ステップＳ７について詳細に説明する。すなわち、項点ペアキューから先頭の頂点ペアを取り出し、頂点ペアキューから削除する（ステップＳ４１）。次いで、頂点ペアキューの先頭の要素に一致する頂点ペアについて、図２を参照して説明したような頂点共有化操作を行なう（ステップＳ４２）。そして、最適化頂点座標を、残った始点側の頂点ｖｓの座標として設定する（ステップＳ４３）。
【００９２】
この操作で、頂点ペアｅ、頂点ペアeの両側の面、頂点ペアeの終点側の頂点ｖｅが削除される。次いで、ｖｓのＱ行列にｖｅのＱ行列を加える（ステップＳ４４）。次いで、前記の距離算出方式に応じた処理を行なう（ステップＳ４５）。すなわち、最大距離算出方式１及び平均距離算出方式１では、ｖｓの削除頂点リストにｖｅを加える。最大距離算出方式２及び平均距離算出方式２では、ｖｓの面リストにｖｅの面リストを加えた後、ｖｓの削除頂点リストにｖｅを加える。平均距離算出方式３では、ｖｓの削除頂点数を１増やす。平均距離算出方式４では、ｖｓの面数にｖｅの面数を加えた後、ｖｓの削除頂点数を１増やす。
【００９４】
【発明の効果】
請求項１に記載の発明は、元メッシュの面と簡単化メッシュの頂点との最大距離を求めるために、元メッシュの面と簡単化メッシュの面との間の距離の最大値を求めることで、元メッシュと簡単化メッシュとの間の距離を正確に求めることができる。
【００９５】
請求項２に記載の発明は、元メッシュの面と簡単化メッシュの頂点との平均距離を求めるために、元メッシュの面と簡単化メッシュの面との間の距離の平均値を求めることで、元メッシュと簡単化メッシュとの間の距離を正確に求めることができる。
【００９６】
請求項３に記載の発明は、元メッシュの面と簡単化メッシュの頂点との平均距離を求めるために、元メッシュの面と簡単化メッシュの面との間の距離の平均値を求めることで、元メッシュと簡単化メッシュとの間の距離を正確に求めることができる。
【００９７】
請求項４に記載の発明は、元メッシュの面と簡単化メッシュの頂点との平均距離を求めるために、元メッシュの面と簡単化メッシュの面との間の距離の平均値を求めることで、元メッシュと簡単化メッシュとの間の距離を正確に求めることができる。
【００９８】
請求項５に記載の発明は、元メッシュの面と簡単化メッシュの頂点との平均距離を求めるために、元メッシュの面と簡単化メッシュの面との間の距離の平均値を求めることで、元メッシュと簡単化メッシュとの間の距離を正確に求めることができる。
【０１００】
請求項６に記載の発明は、元メッシュの面と簡単化メッシュの頂点との最大距離を求めるために、元メッシュの頂点と簡単化メッシュの面との間の距離の最大値を求めることで、元メッシュと簡単化メッシュとの間の距離を正確に求めることができる。
【０１０１】
請求項７に記載の発明は、元メッシュの面と簡単化メッシュの頂点との平均距離を求めるために、元メッシュの面と簡単化メッシュの面との間の距離の平均値を求めることで、元メッシュと簡単化メッシュとの間の距離を正確に求めることができる。
【０１０２】
請求項８に記載の発明は、元メッシュの面と簡単化メッシュの頂点との平均距離を求めるために、元メッシュの面と簡単化メッシュの面との間の距離の平均値を求めることで、元メッシュと簡単化メッシュとの間の距離を正確に求めることができる。
【０１０３】
請求項９に記載の発明は、元メッシュの面と簡単化メッシュの頂点との平均距離を求めるために、元メッシュの面と簡単化メッシュの面との間の距離の平均値を求めることで、元メッシュと簡単化メッシュとの間の距離を正確に求めることができる。
【０１０４】
請求項１０に記載の発明は、元メッシュの面と簡単化メッシュの頂点との平均距離を求めるために、元メッシュの面と簡単化メッシュの面との間の距離の平均値を求めることで、元メッシュと簡単化メッシュとの間の距離を正確に求めることができる。
【０１０５】
請求項１１に記載の発明は、請求項６〜１０のいずれかの一に記載の発明と同様の効果を奏する。
【図面の簡単な説明】
【図１】この発明の一実施の形態であるメッシュ簡単化装置の電気的な接続を示すブロック図である。
【図２】頂点共有化操作について説明する説明図である。
【図３】前記メッシュ簡単化装置が行なう処理について説明するフローチャートである。
【図４】同フローチャートである。
【図５】同フローチャートである。
【図６】同フローチャートである。
【図７】同フローチャートである。
【符号の説明】
１      メッシュ簡単化装置
３      記憶装置
【図１】
0004480306.tif 000010
【図２】
0004480306.tif 000011
【図３】
0004480306.tif 000012
【図４】
0004480306.tif 000013
【図５】
0004480306.tif 000014
【図６】
0004480306.tif 000015
【図７】
0004480306.tif 000016