(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
デジタル画像の集合をコンピュータにクラスタリングさせる方法であって、
前記デジタル画像の各々は照明条件を有し、１つの被写体を表し、
前記方法は、
前記デジタル画像の各々を多次元像空間の１点にマッピングするステップと、
前記デジタル画像の集合におけるデジタル画像の各対についての類似度測度の集合を類似度行列で構成し、さらに、前記類似度測度の各々は負の数を含まず、且つ前記デジタル画像の集合におけるデジタル画像の対を表す前記多次元像空間の２点が、前記多次元像空間において、各々が異なる被写体を表す凸多面錐の集合の中で、同一の前記被写体を表す同じ凸多面錐に属する尤度を表すように構成するステップと、
前記同じ被写体を表す、前記デジタル画像の集合の第１の部分集合を特定するために、前記デジタル画像の各々をマッピングした点を、低次元化された前記多次元像空間において、前記類似度行列を用いてクラスタリングするクラスタリングアルゴリズムを実行するステップとを
前記コンピュータに実行させることを特徴とする方法。
【請求項２】
画像の前記第１の部分集合の特定の精度を高めるために、前記クラスタリングアルゴリズムの結果に対してｋ平均クラスタリングを用いて部分空間クラスタリングを実行するステップをさらに有する請求項１のコンピュータに実行させる方法。
【請求項３】
前記クラスタリングアルゴリズムが標準的なスペクトルクラスタリング方法であることを特徴とする請求項１のコンピュータに実行させる方法。
【請求項４】
前記多次元空間における構造が凸多面錐であることを特徴とする請求項１のコンピュータに実行させる方法。
【請求項５】
前記類似度測度が、異なる被写体を表す任意の２つのデジタル画像についてはゼロであることを特徴とする請求項１のコンピュータに実行させる方法。
【請求項６】
前記被写体が人の顔であることを特徴とする請求項１のコンピュータに実行させる方法。
【請求項７】
デジタル画像の集合をクラスタリングするためのコンピュータシステムであって、
前記デジタル画像の各々は照明条件を有し、１つの被写体を表し、
前記システムは、
デジタル画像の各々を多次元像空間において１つの点にマッピングする手段と、
前記デジタル画像の集合におけるデジタル画像の各対についての類似度測度の集合を類似度行列で構成し、さらに、前記類似度測度の各々は負の数を含まず、且つ前記デジタル画像の集合におけるデジタル画像の対を表す前記多次元像空間の２点が、前記多次元像空間において、各々が異なる被写体を表す凸多面錐の集合の中で、同一の前記被写体を表す同じ凸多面錐に属する尤度を表すように構成する手段と、
前記同じ被写体を表す、前記デジタル画像の集合の第１の部分集合を特定するために、前記デジタル画像の各々をマッピングした点を、低次元化された前記多次元像空間において、前記類似度行列を用いてクラスタリングするクラスタリングアルゴリズムを実行する手段と
を具備することを特徴とするシステム。
【請求項８】
被写体を表す画像を特定するための画像処理コンピュータシステムにおいて、
それぞれが１つの被写体を表すデジタル画像の集合を表すデータを入力するための入力モジュールと、
前記デジタル画像の集合を表す前記データを記憶するために、入力モジュールに連結されたメモリデバイスと、
前記デジタル画像の集合における対のデジタル画像を表すデータを繰り返し検索するためにメモリデバイスに連結されたプロセッサとを具備する画像処理コンピュータシステムであって、
前記プロセッサは、
１つの被写体のすべてのデジタル画像の部分集合によって１つの凸多面錐を多次元像空間に形成し、前記デジタル画像の集合におけるデジタル画像の各対について、前記デジタル画像の対が前記多次元像空間において、各々が異なる被写体を表す凸多面錐の集合の中で、同一の前記被写体を表す同じ凸多面錐に属する尤度を表し、且つ負の数を含まないような類似度測度を計算し、
前記デジタル画像の集合の実質的にすべてのデジタル画像の対についての類似度測度で類似度行列を構成し、
同じ被写体に対応するデジタル画像の部分集合を特定するために、前記デジタル画像の各々を前記マッピングした点を、低次元化された前記多次元像空間において、前記類似度行列を用いてクラスタリングするクラスタリングアルゴリズムを実行するよう構成された
ことを特徴とする画像処理コンピュータシステム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
発明の分野
本発明は、一般にコンピュータビジョンに関し、より具体的には変化する照明条件で取得する画像のクラスタリングに関する。
【背景技術】
【０００２】
発明の背景
写真愛好家タイプのデジタルカメラから、ハイエンドなコンピュータビジョンシステムまで、デジタル撮像は急成長を遂げているテクノロジーであり、日常生活に欠かせなくなってきている。最も基本的な定義では、デジタル画像とは、例えばカメラ、ビデオカメラなどのデジタル撮像装置で撮影した被写体の画像をコンピュータで読取可能な表現にしたものである。コンピュータ読取可能な表現、つまりデジタル画像は、一般に、利用できる多くのグラフィックフォーマットのうちの１つに対応する画像ファイルやドキュメントに配置される多数の画素を含む。例えば、あるグラフィックファイルフォーマットは、これだけではないが、ビットマップ、グラフィックス・インターチェンジ・フォーマット（ＧＩＦ）、ジョイント・フォトグラフィック・エクスパーツ・グループ（ＪＰＥＧ）フォーマット、などを含む。被写体は撮像、つまり写真撮影、ビデオ撮影などができれば何でもよい。一般に、被写体は、物体またはその一部、人物またはその一部、景色、動物などである。被写体の画像は、一般に、ある程度までは画像を固有のものにする視覚条件を具備する。撮像において、視覚条件とは、一般に、カメラと物体との相対的な向き（つまり、姿勢）、および画像が撮影されるときの外部照明をいう。
【０００３】
コンピュータビジョンの画像クラスタリング分野においては、視覚条件の変化が長い間課題となっている。特に、表示される被写体に応じた三次元（３Ｄ）画像をクラスタリングする際の難しい問題は、異なる視覚条件では同じ被写体の画像がかなり異なることがあることから生ずるものである。逆に、同じような外観をもつ画像が２つのまったく異なる被写体が元になっていることもある。クラスタリングのために異なる問題を生じる様々な視覚条件を切り分けることができる。そのような問題の部分集合の１つに、被写体の姿勢を固定した状態で、変化する照明条件下で撮影された画像に対するクラスタリングの問題があげられる。この問題が難しいのは、同じ被写体の画像が異なる照明の下ではまったく違って見えることがある一方で異なる被写体が異なる照明条件の下で同じに見えることがあるためである。
【０００４】
例えば、図１に示す画像を考えてみる。これらの画像のクラスタリングを考察するアプローチには、本来２つの方法がある。すなわち、これらの画像は、照明条件でクラスターすること、または、被写体のアイデンティティでクラスターすることが可能である。前記各クラスターでは、影の形成は多かれ少なかれ同じであり、これは画素間である統計を計算することにより直接利用することができる。照明方向を推定するためのアルゴリズムが多数提案されており、これらのアルゴリズムの多くは、まず間違いなく、ほとんど修正を加えずに照明に応じたクラスタリングに適用することができる。一方で、アイデンティティによるクラスタリングは、被写体クラスの外観が大幅に変わるときには相当難しくなる。例えば、顔の認識に関する過去の研究から、異なる照明条件下での同一人物の外観の変化は、同じ照明条件下での異なる人物の外観の変化よりもほぼ必ず大きくなることが観察されている。
【０００５】
そのため、様々な照明条件下で撮影した被写体のデジタル画像を被写体のアイデンティティに基づいて確実にクラスターできるシステムおよび方法を提供することが望まれている。
【発明の開示】
【０００６】
発明の要約
本発明に従い、３Ｄ被写体のデジタル画像を被写体のアイデンティティに基づいてクラスタリングするためのアルゴリズムを含むシステム、方法、および装置を提供する。一般に、前記画像は、固定姿勢で、変化する照明条件下で取得する。
【０００７】
本発明の一実施形態に従い、デジタル画像のコレクションまたは集合がある場合、クラスタリング方法は、コレクションの中の画像のすべての対の間の相似性または類似度の測度を、多次元空間での共通のアイデンティティを有する画像の間の基礎になる構造的な関係に基づいて評価することを含む。画像のすべての対の間の類似度測度は、類似度行列への入力を形成するものとすることが可能であり、同じ被写体を表す画像のクラスターを生成するためにスペクトルクラスタリングテクニックを適用することもできる。本発明の一実施形態に従い、いくつかの類似度測度が、共通のアイデンティティの画像の間の基礎になる構造的な関係を利用して、異なるアルゴリズムの基礎を形成する。
【０００８】
本発明の別の実施形態に従って、照明錐のコンセプトに基づいた方法を提供する。この実施形態によれば、クラスタリングの問題は、共通の被写体つまり同じ被写体のアイデンティティをもつ画像の集合を表す高次元像空間において凸多面錐を見つけることに等しい。画像データに隠された錐構造を効率的に判定するために、本発明の一実施形態では、システムは、錐の類似度を使うことが可能であり、それにより同じ基礎となる多面錐に属する対の画像の尤度を測定する。
【０００９】
本発明の別の実施形態に従って、デジタル画像が入力される入力デバイスと、デジタル画像の集合を記憶するための記憶装置またはメモリモジュールと、アイデンティティに基づく画像クラスタリングアルゴリズムを実行するためのプロセッサとを具備するコンピュータシステムを含むシステムを提供する。
【００１０】
本発明の一実施形態によれば、システムは、対の画像の間の類似度を実際にはコレクション全体、最隣接の部分集合などにより判断するという意味で、グローバルに類似度測度を計算する。本発明に従うシステムは処理が直接的で、ラベルのない画像の大きなコレクションをクラスタリングするときには非常に効果的である。さらに、本発明に従うシステムは、特徴の抽出または画素の統計計算の必要なく、直接画像を操作することができる。
【００１１】
本明細書に記述する特徴および利点は網羅的なものではなく、特に、図面、明細書、および請求項を鑑みれば、当業者にはさらに数多くの特徴や利点が明らかになるであろう。さらに、本明細書で使用する用語は、主に読みやすさと説明の目的で選んでおり、発明の主題を言葉で正確に記述し厳密に制限するために選んであるわけではないことに留意するべきである。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１２】
発明の詳細な説明
図面および以下の説明は、例示のみを目的とする、本発明の好適な実施形態に関するものである。以下の考察から、特許請求される本発明の原理を逸脱せずに採用できる実行可能な代替として、本明細書に開示する構造および方法の代替実施形態は容易に認められることに留意するべきである。
【００１３】
ここで図１ａおよび１ｂを参照すると、様々な方法で整理されたデジタル画像ＩNの集合が例として示されている。図１ａは、顔の影の部分と明るい部分で示される様々な照明条件で撮影した男性の顔を表す画像ＩNの集合を示す。集合画像ＩNは、別個のアイデンティティをもつ様々な被写体を表す。図１ａでは、画像ＩNは無作為に配列されている。
【００１４】
逆に、図１ｂは、同じ画像ＩNの集合を示すものであるが、その画像は、
画像Ｉijの複数の部分集合に配置またはクラスターされている。なお、ここで、ｉは被写体のアイデンティティをｊは照明条件を意味する。照明条件１００ａの矢印で示される方向に、画像ＩNが、同様な照明条件１０２（１０２ａ、１０２ｂ、１０２ｃ、１０２ｄ、１０２ｅで、一般的に１０２ｊ）の列にクラスターされている。つまり、最も左の列が前からの光源の照明条件１０２ａを有し、その右隣の列が左からの光源の照明条件１０２ｂを有し、真中の列が右からの光源の照明条件１０２ｃを有し、その右隣の列が下からの光源の照明条件１０２ｄを有し、最も右の列が上からの光源の照明条件１０２ｅを有するものである。そのため、例えば画像のすべてを前からの光源の照明条件１０２ａで撮影した部分集合Ｉia（Ｉ6、Ｉ11、Ｉ18、Ｉ25、Ｉ10）が最初の列にある。
【００１５】
同様に、画像Ｉは、さらに被写体のアイデンティティ１０１（１０１ａ、１０１ｂ、１０１ｃ、１０１ｄ、１０１ｅで、一般的に１０１ｉ）によって配置されている。被写体のアイデンティティ１００ｂに対応するもう一方の矢印で示す縦方向では、同じ被写体１０１ｉを表す画像ＩNの行に、顔がクラスターされている。例えば、様々な照明条件１０２ｊ下でのアジア人男性の被写体１０１ｃを表すすべての画像Ｉ18、Ｉ7、Ｉ8、Ｉ25およびＩ12の部分集合Ｉcjは、真中の行にある。図１ａおよび１ｂが、被写体として人の顔の画像ＩNで示していることは単なる例示に過ぎないことに留意するべきである。例えば、幾何学形状（例、立方体、球体など）、果物（例、りんご、オレンジなど）、動物（例、犬、猫など）などや、ある動物の品種や動物の個体、または被写体のデジタル画像表現で容易に判断できるアイデンティティをもつ他のあらゆる被写体など、他の被写体も同様に使用することができる。被写体のアイデンティティ１０１は、被写体を目視で区別する方法であり、あるいは、以下説明するように、高次元像空間の構造にマッピングする等にの方法で形成できる１つの被写体の多様な画像の共通特性である。もう一度図１ｂを参照すると、被写体を表す画像ＩNをクラスタリングするために可能な２つの基底が示されている。すなわち、照明条件１０２と被写体のアイデンティティ１０１である。
【００１６】
さらに、画像ＩNの集合は、照明条件１０２ｊとアイデンティティ１０１ｉを有するものとして、像行列ＩN＝｛Ｉij｝と表現できる。ここで、ｉは被写体のアイデンティティ｛１０１ａ，１０１ｂ，１０１ｃ，．．．，１０１ｍ｝であり、ｊは照明条件｛１０２ａ，１０２ｂ，１０２ｃ，．．．，１０２ｎ｝である。そのため、例えば、図１ｂに戻ると、画像Ｉ6は照明条件１０２ａ下で撮影された被写体１０１ｅの画像であるＩeaと表すことができる。
【００１７】
前述したように、従来のクラスタリングシステムでは、画像間の照明条件１０２（つまり、上からの光源、下からの光源、左からの光源、右からの光源、または前からの光源）が非常に似通っているため、照明条件１０２に基づいて、画像ＩNの集合が容易に識別され、簡単にクラスターされるであろう。照明条件１０２は低次元の像空間ではより簡単に近似化が可能である。例えば照明条件を判断するには、画素がわずか４つあれば十分であろう。つまり、上の画素、下の画素、左の画素、右の画素である。前記等価の低次元の像空間でクラスタリングすることは、同様な輝度をもつ画像を４画素それぞれにグループ分けすることになり、つまり、左からの光源１０２ｃの画像Ｉ3、Ｉ21、Ｉ8、Ｉ2、およびＩ20は、左の明るい画素、右の暗い画素、輝度のほぼ等しい上下の画素を有
するものとなるだろう。行列表現形式では、これらの画像Ｉ3、Ｉ21、Ｉ8、Ｉ2、およびＩ20はＩec、Ｉdc、Ｉcc、Ｉbc、およびＩacと表すことができる。
【００１８】
しかし、本発明に従うシステムは、この基本的な相似性測度の先を見据えるものであり、使用する照明条件１０２に関係なく、同じ被写体１０１を表す画像の共通の特徴に着目するものである。この共通の特徴とは、一般に、画像の高次元または多次元空間ＲSでの表現を多次元幾何学構造２００の形にした空間的な関係である。
【００１９】
ここで、図２を参照すると、本発明の一実施形態に従って、画像ＩNの集合は、複数のクラスターまたは部分集合の画像Ｉijを有するものとなっており、各部分集合の画像Ｉijは被写体１０１ｉの（ｉ＝ａ，ｂ，ｃ，．．．，ｍの場合）すべての画像に対応しており、被写体１０１ｉの各画像は、異なる照明条件１０２ｊ下（ｊ＝ａ，ｂ，ｃ，．．．，ｎの場合）で撮影されたものである。画像ＩNの集合は、多次元像空間ＲSの点ＰNの集合にマッピングされている。この空間ＲSで、画像Ｉijの各部分集合は、幾何学構造２００ｉを構成する点Ｐijの部分集合にマッピングされている。多次元像空間ＲSの次元Ｓは、デジタル画像のグラフィカル定義から、つまり画像ファイルにある画素数によって決定される。このように、デジタル画像ＩNの集合は、デジタル画像ファイルのフォーマットに特有の画素数に等しいS次元Ｘ1，Ｘ2，．．．，ＸSを有する多次元像空間ＲSの点ＰNの集合として表すことができる。画像ＩNの集合は、画像のｍ個の部分集合Ｉia，Ｉib，．．．，Ｉimから構成され、各部分集合Ｉijはｎ個の照明条件１０２ｊの下での同じ被写体１０１ｉのすべての画像Ｉから構成される。その多次元空間ＲSでは、様々な照明条件１０２下で撮影された同じ被写体１０１ｉを表す画像Ｉijの部分集合に対応する点Ｐijの部分集合の点Ｐは、その多次元空間ＲSで構造２００ｉを形成する。したがって、多次元空間ＲSには、それぞれが各被写体１０１ｉを表す画像の部分集合Ｉia，Ｉib，．．．，Ｉimの画像Ｉijに対応する点Ｐijから構成される、ｍ個の構造２００ａ，２００ｂ，．．．，２００ｍが存在することになる。
【００２０】
本発明の一実施形態に従う方法は、構造に基づく類似度測度ａxyの集合を構成することにより、点Ｐij間の構造的な関係を利用する。各類似度測度ａxyは、多次元空間ＲSの構造２００ｉにおける、画像ＩNの集合の対のデジタル画像Ｉx、Ｉy間の関係を表す。つまり、各対の画像Ｉx、Ｉyについて、その類似度測度つまり類似度を表す非負数ａxyを定義できる。直観的に、ａxyはＩxとＩyがどの程度のらしさで多次元空間ＲSの同じ構造２００ｉに由来するものであるかを測る。画像ＩNの集合では、この類似度は、画像ＩxおよびＩyが同じ被写体１０１ｉを表す画像Ｉijの同じ部分集合に属す尤度に対応するものである。本発明のこの実施形態に従う方法は、その基礎となる幾何学構造２００ｊを直接処理し、像空間ＲSにおける隠された幾何学構造２００ｊを利用する。そのため、画像の特徴抽出や画素の統計計算などのおそらくは複雑で不確実となるような手順を完全に排除したものとなる。
【００２１】
ここで図３を参照すると、本発明の一実施形態に従い、様々な照明条件１０２ｊ下で、かつ、同じ姿勢で撮影したランベルト被写体１０１ｃのすべての画像Ｉcjの部分集合が、多次元像空間ＲSに凸多面錐３０１ｃを形成する。この関係は、ＢｅｌｈｕｍｅｕｒとＫｒｉｅｇｍａｎの「あらゆる可能な照明条件下における物体の画像の集合となるもの（What is the set of images of an object under all possible lighting conditions）」（インターナショナル・ジャーナル・オブ・コンピュータ・ビジョン、２８巻、２４５頁、１９９８年）に詳しく説明されている。同様に、図１ｂの例を再び参照すると、男性１０１ｉを表す画像Ｉijの各部分集合について、高次元像空間ＲSに、画像ＩNのすべてを点ＰNとして表すことのできる凸多面錐３０１ｉが存在する。例えば、これは図１ｂの例に関係することから、その高次元空間ＲSには、５つの異なる錐があり、１つの錐が同じ被写体の画像の各行の高次元表現を含んでいる（１０１ａから１０１ｅ）。
【００２２】
ＲSの多面錐３０１ｉは、錐の任意の点ＰIを、非負係数を使って｛ｘ1，．．．，ｘn｝の一次結合として記述できるような、生成系（または端線）の有限集合｛ｘ1，．．．，ｘn｝により数学的に定義されることに注意するべきである。さらに、ここで図４を参照すると、この多面錐３０１ｉは、M＜Sの場合、より低次元の空間ＲMにおける、より低次元の線形部分空間４０２ｉにより、十分近似化できる。ここまで検討してきたことを念頭に置くと、ｍ個の被写体を表す画像のコレクションＩN＝｛Ｉ1，．．．，Ｉn｝をアイデンティティに基づいてクラスタリングする問題は、本発明の本実施形態に従うならば、デジタル画像データに最も一致するｍ個の多面錐３０１ｉを見つけることだと理解することができる。
【００２３】
本発明の一実施形態によって、クラスタリングアルゴリズムを含むシステムについて説明する。このシステムは、すべての対の画像間の相似性測度を構成する。これら相似性または類似度の測度は、対称Ｎ×Ｎ行列Ａ＝（ａxy）、つまり類似度行列で表される。システムはさらに、スペクトルクラスタリング方法を実行し、被写体１０１ｉのそれぞれを表す画像Ｉijのクラスターの最終的な集合を求める。
【００２４】
本発明の一実施形態に従うと、各クラスターＩijの画像は、ある低次元の線形部分空間４０２ｊで十分近似化されるはずである。得られるクラスターが確実にこの性質を持つものとなるようにするための専用アルゴリズムとして、Ｋ部分空間アルゴリズムが設計されている。｛Ｉ1，．．．，Ｉn｝をラベルのない画像ＩNのコレクションとする。この実施形態の目的上、画像はランベルト反射度でＮ個の異なる被写体から撮像されたと仮定するべきである。つまり、割当関数ρ：｛Ｉ1，．．．，Ｉn｝→｛１，．．．，Ｎ｝が存在する。また、画像の各クラスター｛Ｉx｜ρ（Ｉx）＝ｚ，１≦ｚ≦Ｎ｝について、すべての画像が同じ視覚条件または姿勢（つまり、物体とカメラの相対的な位置と方位）で撮影できると仮定するべきである。しかし、画像Ｉを撮影する外部照明条件は大幅に異なることがある。さらに、すべての画像Ｉは画素数ｓが同じであるとしてもよい。この後の考察では、ｎとＮは、一般に、それぞれサンプル画像の数とクラスターの数とを示すことにする。
【００２５】
本発明の実施形態の一側面に従い、錐の類似度を定義する。ＰN＝｛ｘ1，．．．，ｘn｝を、画像をラスター走査して得られる像空間ＲSの点とする。前述したように、クラスタリングの問題は、入力データに最もよく一致するｍ個の多面錐３０１ｉの集合を求めることに等しい。しかし、このようなｍ個の多面錐３０１ｉを直接高次元の像空間ＲSで探すのはかなり効果も効率も悪い。従って、本発明の一実施形態は、対の点ｘi、ｘjが同じ錐３０１iに由来する尤度についての、優れた測定基準を定義する工程を有するものである。つまり、高次元像空間ＲSにおいて基礎となる錐構造を検出することができる数値測度である。固定姿勢では、すべての可能な照明条件下における凸物体の画像の集合が多面錐を形成し、錐のどの画像も錐の生成系の非負一次結合として記述可能であることに留意するべきである。各点ｘiについて、ｘiに近い他のすべての入力サンプルの非負一次結合を求める。つまり、最小二乗の意味で
0004486596.tif 000002
になり、すべてのｉについてｂii＝０になるような非負係数の集合｛ｂi1，．．．，ｂi(i-1)，ｂi(I+1)，．．．，ｂin｝である。
【００２６】
｛ｙ1，．．．，ｙk｝をコレクションＰNの部分集合とする。ｘiが実際にこの部分集合で生成される錐に属する場合、これは部分集合にはないどのｘjについてもｂij＝０になることを意味する。ｘiが錐には属さないがそれに近い場合、ｘiは、２つのベクトルｘi＝ｘci＋ｒiの和に分解でき、ここでｘciは錐上にあるｘiの射影であり、ｒiは射影の剰余である。明らかに、ｘciは非負係数を使って｛ｙ1，．．．，ｙk｝の一次結合として記述可能である。ｒiについて、非負という制約条件があるため、展開式
0004486596.tif 000003
の非負係数は、ｒiの絶対値で特徴づけられる。このことは以下の単純な命題から導かれる。
【００２７】
命題２．１−Ｉと｛Ｉ1，．．．，Ｉn｝を画像のコレクションとする。Ｉが非負係数を使って｛Ｉ1，．．．，Ｉn｝の一次結合として
0004486596.tif 000004
のように記述可能である。ここで、１≦ｉ≦ｎの場合αi≧０とすると、αi≦Ｉ・Ｉxかつαi≦‖Ｉ‖ｌ‖Ｉx‖である。
【００２８】
そのため、本発明の一実施形態では、ｘiが｛ｙ1，．．．，ｙk｝により
生成される錐で十分近似化された場合、対応する係数ｂijが（相対的に）大きくなり、他のものは小さいかゼロになるということを、ｘiの展開式の係数が示すことが期待される。つまり、本発明の実施形態によれば、展開式の係数は隠れた錐構造の優れた指標として役立つはずである。
【００２９】
本発明の一実施形態による別の重要な特性は、非負結合の間には、大きさが有意な係数はほんの少数しかないということである。一般に、式３でゼロではないｂijはわずか数個しかない。これは本発明の一実施形態において実際に実験で観察されたものである。
【００３０】
本発明の一実施形態の別の側面に従って、類似度行列Ａの係数を、例えば画像のデータベースなど画像の集合ＩNを使って、非負の制約条件がある場合とない場合とで計算する。同様に、式１の展開式の係数をＢ＝（ｂij）の入力項目として代入して、この実施形態に従って２番目の行列Ｂを形成する。Ｂの各列は和が１になるように正規化してもよい。本発明の一実施形態では、この工程で、各入力画像の全体の貢献度が同じになるように保証する。構造上、一般にｂij≠ｂji、つまりＢ行列は対称ではないため、この実施形態では、類似度行列Ａ＝（Ｂ＋ＢT）／２を得るためにＢを対称化する。
【００３１】
本発明の一実施形態によって、提案されるアルゴリズムの計算上の複雑さは、コレクションにある各点の非負の最小二乗近似の計算により特徴づけられる。前記実施形態では、多数の点Ｐをもつコレクションの場合、一つ一つのすべての要素について最小二乗近似の解を求めるのは、多くの時間を要するだろう。そのため、パラメータｍを用いて、非負線形の最小二乗の推定に用いられる画像の数の最大値を求める。つまり、この実施形態は、式１を計算するとき、ｘiのｍ個の最近傍だけを考える。この実施形態では、近傍の定義に含まれる距離を、相似性測度としてとらえることができる。例えば、本発明のこの実施形態で考慮するクラスタリングのタスクには、Ｌ2距離計量値で十分である。
【００３２】
本発明の一実施形態に従い、クラスタリングシステムのために提案されるアルゴリズムは以下のように要約できる。
【００３３】
１．  非負の最小二乗近似
｛ｘ1，．．．，ｘN｝を入力サンプルのコレクションとする。各入力サンプルｘiについて、ｘiの非負線形の最小二乗近似は、ｂij≧０∀ｊ−ｉで、ｂii＝０の設定を条件として、ｘi
0004486596.tif 000005
を除くコレクションの全サンプルによって計算できる。集合｛ｂi1，．．．，ｂik｝は以下の式で正規化できる。
0004486596.tif 000006
（Ｎが大きすぎる場合、近似化にはｘiのｍ個の最近傍だけを用いること）
【００３４】
２．  類似度行列の計算
（ａ）Ｂ行列はＢ＝（ｂij）で作れる。
（ｂ）類似度行列ＡはＡ＝（Ｂ＋ＢT）／２として定義できる。
【００３５】
３．  スペクトルクラスタリング
Ａを類似度行列として使用すると、クラスタリングの標準的なスペクトル法を適用できる。
【００３６】
４．（オプション）Ｋ部分空間のクラスタリング
画像の中に隠れた線形幾何学構造をさらに利用するためにＫ部分空間のクラスタリングを使用する。
【００３７】
本発明の一実施形態では、前述のクラスタリングアルゴリズムは、例えばマサチューセッツ州ナティックのマスワークス社（Mathworks, Inc.）のＭａｔｌａｂ（Ｒ）などの数学プログラミングツールにおける２０行に満たないコード行で簡単に実装可能である。本実施形態では、以下に説明するオプションのＫ部分空間のクラスタリングを実行することができる。例えば外観多様体などの像空間ＲSにおける基礎となる幾何学構
造を利用する局部的な幾何形状に基づく従来の方法と異なり、本発明の一実施形態はグローバルな特性に基づく。
【００３８】
対照的に、被写体１０１ｉのアイデンティティによってこれらの像ＩNをクラスターするには、基礎となる線形構造２００ｉは実際にはグローバルなものである。また、図１および３の例に戻ると、この問題は各人物１０１ｉについて多面錐３０１ｉを見つけることになり、そこでその人物Ｉijの画像を基底画像（錐の生成系）の一次結合により再構築することができる。画像Ｉx、アルゴリズムが与えられたとして、本発明の一実施形態によれば、Ｉxを最適に再構築する画像Ｉxjの集合（つまり、同じ照明錐のもの）を見つけるには、他のすべての画像Ｉyを考慮する。これはグローバルな基底ではなく単に対の基底で処理するアプローチでは実現できないことに注目するべきである。
【００３９】
本発明の一実施形態に従った別の側面は、錐の類似度の測定後にスペクトルクラスタリングすることを含む。この側面は、例えばＮｇ、Ｊｏｒｄａｎ、およびＷｅｉｓｓの「Ｐｎスペクトルクラスタリング：解析とアルゴリズム（Pn spectral clustering: Analysis and an algorithm）」（アドバンス・イン・ニューラル・インフォメーション・プロセッシング・システムズ１５、８４９頁、２００２年）に説明されている従来のスペクトルクラスタリング方法で実現することができる。簡単にまとめると、周知のスペクトル方法は以下の手順からなるものとすることができる。Ａを類似度行列とし、Ｄを対角行列とする。ここでＤiiはＡのｉ番目の行の和である。まず、Ｍ′＝Ｄ-1/2ＡＤ-1/2を計算して、Ａを正規化する。次にＭ′のＮ個の最大固有ベクトルｗ1，．．．，ｗkを計算し、列固有ベクトルを積み重ねることにより、行列Ｗ＝［ｗ1，ｗ2，．．．，ｗN］∈Ｒn×N（ここでＲn×Nは実数ｎ×Ｎ行列空間である）を形成する。さらに行列Ｙを、単位長さをもつようにＷの各行を正規化しなおして、つまりＹij＝Ｗij／（ΣjＷ2ij）1/2で、Ｗから形成する。Ｙの各行は多次元空間ＲNにおける単位球面上のある点と考えることができる。この変換後、単位球面上の射影点はＮ個のタイトクラスターを形成するはずである。これら単位球面上のクラスターはさらに、通常のＫ平均クラスタリングアルゴリズムを使って容易に検出できる。行列Ｙの行ｉがクラスターｚに割り当てられる場合、かつその場合にのみ、ρ（ｘi）＝ｚ（つまり、クラスターｚ）とする。
【００４０】
ここで図４を参照すると、本発明の一実施形態による別の側面はオプションのＫ部分空間クラスタリングを含む。典型的なスペクトルクラスタリング方法は、最後の工程がたいてい閾値化、グループ分け、正規化カットに関わるデータポイントの類似度行列の固有ベクトルを解析する。本発明の実施形態によれば、クラスタリング問題に対して、前記データポイントは、より低次元の空間ＲMの低次元線形部分空間４０２ｉにより近似化できる凸錐３０１ｉのコレクションに由来する。そのため、この実施形態では、各クラスターＩijも、ある低次元部分空間４０２ｉにより十分に近似化することができる。このような問題の特殊な側面を、本発明のこの実施形態に従って開拓することができるとともに、スペクトル解析から得た結果に加えてもう１つ余分のクラスタリング工程を補足することができる。本発明のこの実施形態によるアルゴリズムは、例えば従来のＫ平均クラスタリングアルゴリズムの変型であってもよい。Ｋ平均アルゴリズムは基本的に点間の距離計量値を使ってＫ個のクラスター中心を見つけるが、本実施形態に従うアルゴリズムは、より精度を高めるために代わりに点と面の距離計量値を使ってｍ個の線形部分空間を見つけることができる。
【００４１】
本発明の一実施形態によるＫ部分空間のクラスタリングアルゴリズムは、以下のように要約できる。このようなアルゴリズムは点Ｐを最も近い部分空間に繰り返し割当て（クラスター割当）、所与のクラスター｛Ｐij｝について、そのクラスター｛Ｐij｝のすべての点Ｐijまでの距離の二乗の和を最小化する部分空間４０２ｉを計算する（クラスターの更新）。Ｋ平均アルゴリズムに似たＫ部分空間クラスタリング方法は、一般に有限回数の繰り返しの後に終了する。これは次の２つの単純な知見の帰結である。（１）入力データポイントＰNをｍ個のクラスター｛Ｐij｝に割り当てることができる方法は限られた数しかないこと、（２）（クラスター割当の）目標関数をクラスター｛Ｐij｝にあるすべての点Ｐijとクラスターの部分空間４０２ｉとの間の距離の二乗の和として定義すると、各繰り返しの間に目標関数が減少することは明らかであることである。
【００４２】
本発明の一実施形態によるＫ部分空間クラスタリングアルゴリズムの結果は、ｍ個の部分空間４０２ｉの初期のコレクションに大きく依存する。一般に、Ｋ平均クラスタリングに関しても、アルゴリズムは単にある局所極小に収束するだけで、最適とは程遠いことがある。しかし、たとえば、錐の類似度を使って、本発明の一実施形態のクラスタリングアルゴリズムを適用した後、真の割当関数ρに近いと予想される新たな割当関数ρ′が定義される。本発明のこの実施形態によるシステムは、ρ′を使って、以下の方法のクラスター割当工程で割当関数ρをρ′に置換してＫ部分空間アルゴリズムを開始する。本発明の一実施形態に従って、このＫ部分空間クラスタリング方法は以下のように要約することができる。
【００４３】
１．  初期化
次元ｄのＫ個の部分空間のコレクション｛Ｓ1，．．．，ＳK｝から始める。ここでＳi∈ＲSである。各部分空間Ｓiはその正規直交基Ｕiの１つにより表される。
【００４４】
２．  クラスター割当
演算子Ｐiを各部分空間ＳiについてＰi＝Ｉdxd−Ｕiと定義する。各サンプルｘiには、
0004486596.tif 000007
となるような新たなラベルρ（ｘi）を割り当てる。
【００４５】
３．  クラスター更新
Ｓiをｉのラベルが付いたサンプルの散乱行列とする。Ｓiの一番上のｄ個の固有値に対応する固有ベクトルを計算する。一番上のｄ個の固有値に対応する固有ベクトルはＳ′iの正規直交基底Ｕ′iである。この工程をＳ′i＝Ｓiになるまで続けるか、または工程２にループする。
【００４６】
ここで図５を参照すると、本発明の一実施形態によるシステムが示されている。本発明の一実施形態では、コンピュータシステム５００は、入力モジュール５１０と、メモリデバイス５１４と、プロセッサ５１６と、出力モジュール５１８とを具備する。代替実施形態では、画像プロセッサ５１２は、メインプロセッサ５１６の一部でもよく、またはデジタル画像を好適な画像フォーマットに予めフォーマット化する専用デバイスでもよい。同様に、メモリデバイス５１４は独立型のメモリデバイス（例、ランダムアクセスメモリーチップ、フラッシュメモリーなど）、またはプロセッサ５１６に付属のオンチップメモリ（例、キャッシュメモリ）でもよい。同様に、コンピュータシステム５００は、サーバー、パーソナルコンピュータなどの独立型システムでもよい。代わりに、コンピュータシステム５００は、例えば視覚システムを有するロボット（例、日本国東京の本田技研工業株式会社のＡＳＩＭＯ高性能ヒューマノイドロボット）、セキュリティシステム（例、空港のセキュリティシステム）などの大型のシステムの一部でもよい。
【００４７】
本実施形態によれば、コンピュータシステム５００は、デジタル画像Ｉを受信する入力モジュール５１０を具備する。デジタル画像Ｉは、例えばデジタルカメラ５０１ａ（例、ＡＳＩＭＯの目）、ビデオシステム５０１ｂ（例、閉回路テレビ）、イメージスキャナなどの撮像装置５０１から直接受信できる。代わりに、入力モジュール５１０は、例えば画像データベース、別の視覚システム、インターネットサーバーなどの別のネットワークシステムからデジタル画像を受信するネットワークインターフェースでもよい。ネットワークインターフェースは、ＵＳＢ、ＲＳ２３２シリアルポート、イーサーネットカードなどの有線インターフェースでも、例えばブルートゥース、ＷｉＦｉ、ＩＥＥＥ  ８０２．１１などの無線プロトコルを使って通信するよう構成された無線デバイスなどの無線インターフェースモジュールでもよい。
【００４８】
オプションの画像プロセッサ５１２は、プロセッサ５１６の一部またはシステム５００の専用コンポーネントでもよい。画像プロセッサ５１２を使えば、入力モジュール５１０から受信したデジタル画像Ｉを予め処理して、デジタル画像Ｉをプロセッサ５１６が処理する好適なフォーマットに変換できるであろう。例えば、入力モジュール５１０から受信したデジタル画像Ｉが、デジタルカメラ５１０ａからＪＰＥＧフォーマットで送られ、プロセッサがラスター画像データを処理するよう構成されている場合、画像プロセッサ５１２を使って、ＪＰＥＧからラスター画像データに変換できる。
【００４９】
デジタル画像Ｉは、画像プロセッサ５１２を使用している場合、いったん好適な画像フォーマットにされて、メモリデバイス５１４に記憶されて、プロセッサ５１６で処理する。プロセッサ５１６は、実行したときに、本発明に従う方法の一または複数の方法、例えば、類似度測度、Ｋ平均クラスタリングなどを行う１組の命令を適用する。命令の集合を実行しながら、プロセッサ５１６はメモリデバイス５１４にアクセスして、それに記憶された画像データに、本発明の方法に従った処理を行う。
【００５０】
プロセッサ５１６は入力画像Ｉを画像のクラスターに分類し、各クラスターは実質的に同じ被写体のものであり、それを出力モジュール５１８から外部デバイス５２５（例、データベース５２５ａ、ネットワーク素子またはサーバー５２５ｂ、ディスプレイ装置５２５ｃなど）に出力する。入力モジュール５１０と同様、出力モジュール５１８は有線でも無線でもよい。出力モジュール５１８は、ストレージドライブインターフェース（例、ハードドライブまたはオプティカル・ドライブ・ドライバー）、ネットワークインターフェースデバイス（例、イーサーネット・インターフェース・カード、ワイヤレス・ネットワーク・カードなど）、またはディスプレイ・ドライバー（例、グラフィックス・カードなど）、あるいは画像のクラスターを出力するためのその他のあらゆるデバイスでもよい。
【００５１】
本発明のさらに別の実施形態に従い、例示的な実験結果を以下に説明する。ＹａｌｅデータベースＢの正面図（上）と非正面図（下）で取得したサンプル画像を、この例示のシステムに使用した。ＹａｌｅデータベースＢ（Ｇｅｏｒｇｈｉａｄｅｓ、Ｋｒｉｅｇｍａｎ、およびＢｅｌｈｕｍｅｕｒ著「少数から多数へ：様々な姿勢と照明の下で認識するための生成モデル（From few to many: Generative models for recognition under variable pose and illumination）」、パターン解析とマシーンインテリジェンスのＩＥＥＥトランザクション、４０（６）、６４３頁、２００１年）とＣＭＵ  ＰＩＥデータベース（Ｓｉｍ、Ｂａｋｅｒ、およびＢｓａｔ著「ＣＭＵ姿勢、照明、および表現（ＰＩＥ）データベース（The CMU pose, illumination, and expression (PIE) database）」；顔およびジェスチャーの自動認識に関するＩＥＥＥ国際会議、５３頁、２００２年）。本実施形態に従い、ＹａｌｅとＣＭＵのデータベースを使った多数の実験を、本発明の実施形態に従う方法の実施と他のクラスタリングアルゴリズムを比較するために行うことができる。
【００５２】
【表１】
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【００５３】
本発明の一実施形態に従う実験のために使用するＹａｌｅデータベースＢは、正面図と姿勢図の顔の画像の２つの部分集合を具備する。各部分集合は、同じ人物の４５フレームを変化する照明条件の下で取得する４５０の顔の画像からなる。これら２つの部分集合はいくらか異なり、例えば、画像を取得した姿勢が異なる。２人の人物のサンプル画像Ｉを、Ｙａｌｅの画像の集合の部分集合から選択した。本発明の一実施形態に従うと、各画像は計算上の効率のためにトリミングしダウンサンプリングして、例えば２１×２４画素（つまり、ｓ＝５０４）にすることができる。この実施形態に従うと、ＣＭＵ  ＰＩＥデータベースは、被写体１０１の正面図画像Ｉを異なる照明条件１０２であるが、背景光はない状態で撮影した画像の部分集合からなる（例えば、ＰＩＥ  ６６を参照：各人が２１枚の可視画像をもち、その例を図１ａに示す）。これは、画像Ｉを周辺の背景光がある状態で撮影したＣＭＵ  ＰＩＥデータセットの他の部分集合よりも難しい部分集合であることに留意するべきである。本発明の実施形態に従い、Ｙａｌｅデータセットでの事前処理と同様に、各画像Ｉは例えば２１×２４画素（つまり、ｓ＝５０４）までトリミングおよびダウンサンプリングされる。これらデータセット内での同じ人物の外観の大きな違いが顔の認識問題を相当難しくしており、そのためクラスタリング問題はきわめて難しいといえる。
【００５４】
それでも、本発明に含まれる方法は非常に良好なクラスタリング結果を達成し、数多くの周知のクラスタリングアルゴリズムより優れる。セットアップとパラメータの異なる集合をもついくつかのクラスタリングアルゴリズムは、サンプル画像集合で試験できる。クラスターの数、つまりｋは、本発明のこの実施形態に従い既知であると考えられるはずである。スペクトルクラスタリングアルゴリズムは、行列の固有値を解析することにより適切なｋ値を選択することが実行可能なことを証明している。クラスタリングのための適切なｋ値の選択について以下に詳しく説明する。本発明のこの実施形態に従うと、Ｋ平均とＫ部分空間アルゴリズムについて、パラメータは経験的に微調整でき、特に高次元空間Ｒ504での初期化とパラメータ選択の影響を受けやすいため、サンプル実験を繰り返して、平均的な結果を得ることができる。
【００５５】
本発明の一実施形態に従い、上記表１は異なる方法で得られたサンプルの実験結果をまとめたものである。すなわち、錐類似度方法とＫ部分空間方法を合わせた本発明の一実施形態（錐＋非負＋スペクトル＋Ｋ部分空間）、Ｋ平均アルゴリズムをスペクトルクラスタリングの後に使用する方法の変型を採用した本発明の一実施形態（錐＋非負＋スペクトル＋Ｋ平均）、非負の制約条件のないＫ部分空間方法により錐類似度とスペクトルクラスタリングを用いた方法を採用した本発明の別の実施形態（錐＋制約条件なし＋スペクトル＋Ｋ部分空間）、勾配類似度方法（勾配類似度）を採用する本発明の一実施形態、Ｋ平均アルゴリズムを最終工程として利用するスペクトルクラスタリングの直接適用（スペクトルクラスタリング）、Ｋ部分空間クラスタリング方法の直接適用（Ｋ部分空間）、Ｋ平均アルゴリズムである。この実験的な実施形態により、誤差率はこれらデータセットの各画像についてのグランドトルースが知られている同じアイデンティティのグループにクラスターされない画像の数に基づいて計算できる。
【００５６】
これらサンプル実験の結果から、多数の結論が示唆される。例えば、結果から、構造的な類似度を用いた本発明の方法は他の方法を大きく凌駕することがはっきり分かる。行１と３の結果を比較してみると、非負の制約条件は良好なクラスタリング結果を得る上で重要な役割を果たしていることが分かる。同様に、本発明の一実施形態の錐の類似度計量値は、スペクトルクラスタリング方法を助けて、良好な結果を得る。スペクトル方法に錐の類似度を適用した後、Ｋ部分空間を使用するとさらにクラスタリング結果が改善する。最後に、Ｋ部分空間を直接適用しても、高次元の像空間では十分作用しない。
【００５７】
【表２】
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【００５８】
本発明のさらに別の実施形態に従い、これら計量値は高解像度画像に適用して、さらに錐の類似度を採用する本発明の有利な別の実施形態を解析できる。高解像度画像は、例えば１６８×１８４画素（つまり、前述の本発明の実験的な実施形態のダウンサンプリングする前の画像サイズ）でよく、これは３０，９１２次元の像空間、つまりＲ30,912となるであろう。表２に、ＹａｌｅデータベースＢの非正面画像を使った本実施形態に従うサンプル実験の結果を示す。本実施形態に従い、計算上の効率のために、ＹａｌｅデータベースＢはさらに２セットに分割できる。表２に示すサンプル結果から、錐の類似度計量値とスペクトルクラスタリングを組み合わせるとほぼ完璧な結果になることが示唆される。このことはさらに、低解像度の画像における勾配計量値の計算が信頼性の高いものになることも示唆しており、本発明の一実施形態に従うクラスタリングタスクには十分である。
【００５９】
本発明の一実施形態に従うと、錐の類似度についての計算の負荷は、本実施形態の非負の最小二乗近似にある。この実施形態に従うと、サンプル画像の数が大きくなると、完全なアルゴリズムをすべての画像に適用するのは効率的ではない。代わりに、非負の最小二乗は、各画像のｍ個の近傍についてだけ計算できる。本発明の一実施形態に従ってクラスタリング結果に対するｍ個の効果のサンプルのグラフィック表現を研究した。実験結果は、ＹａｌｅデータベースＢとＰＩＥデータベースについてＫ部分空間のクラスタリングをする方法としない方法を含めて測定した。これらサンプル結果から、この実施形態に従う方法は、パラメータの選択の幅広い範囲に対してロバストなものとなれることが示唆される（つまり、線形近似化の非負係数の数）。
【００６０】
前述のとおり、本発明は、３Ｄ被写体１０１ｉの画像を変化する照明条件１０２ｊの下でクラスタリングするための外観ベースのアルゴリズムからなるいくつかの実施形態を含む。他の画像クラスタリングの問題と違い、本発明が解決するクラスタリング問題は高度に体系化されている。本発明に従い実験的な実施形態から、このアルゴリズムは少なくとも２つの大量なデータセットで非常に効果的であると示唆される。本発明の一実施形態に従うある側面は、説明されるアルゴリズムには、画像特徴抽出や画素の統計計算など、他の周知の方法で使われる通常のコンピュータビジョンテクニックを必要としないことである。本発明の実施形態に従うクラスタリングアルゴリズムと本発明の実験的な実施形態に従うサンプル実験の結果は、顔の認識テクニックに関する以前の結果を完全なものにする。これらアルゴリズムは特に、ほんの少数の訓練画像Ｉを使って元になる線形構造２００ｉを判断することをめざすものである。計算される線形構造が実物に近くなるように、限られたトレーニング画像を効果的に使うのが望ましいことに留意するべきである。前記実施形態の一部では、線形構造２００ｉは入力画像の中に隠れており、クラスタリングするためには検出する必要がある。一般に画像のクラスタリングには、姿勢と照明の両方の変化１０２ｊを伴う画像をそのアイデンティティ１０１ｉに従いグループ分けできる効率的でロバストなアルゴリズムが必要である。
【００６１】
照明変化１０２ｊはグローバルな線形構造２００ｉを生み出すが、局所線形構造を追加すると、有意な姿勢変化クラスタリングをもたらし、そのため本発明と組み合わせることがロバストなクラスタリングシステムを作るために適していることにも注目するべきである。これらアルゴリズムに基づくクラスタリング方法は、姿勢と照明両方の変化を処理する本発明の実施形態に従うアルゴリズムと組み合わせることができる。さらに、本発明の教示は、例えばデータポイントがある多次元または高次元の構造からのものだと分かっている他の非視覚に関する問題の分野にも応用できる。これらの問題や他の問題は、本発明の教示に基づいて、組合せおよび計算幾何学の予測から処理できる。
【００６２】
本明細書では本発明の特定の実施形態や用途を図示し、説明してきたが、本発明はこれに開示される正確な構造およびコンポーネントに限定されるわけではなく、本発明の方法および装置の構成、操作および詳細には、添付の請求項に定義されるように本発明の精神および範囲を逸脱することなく、様々な修正、変更および変型を行えることは理解されるべきである。
【図面の簡単な説明】
【００６３】
【図１ａ】図１ａは、様々な被写体の画像のサンプル集合を、固定姿勢で示すものであるが、各被写体は変化する照明条件下で示される。
【図１ｂ】図１ｂは、図１の画像のサンプル集合を、本発明の一実施形態に従った照明条件（列）と被写体のアイデンティティ（行）の両方に従ってクラスターしたものを示す。
【図２】図２は、本発明の一実施形態に従って、同じ被写体の画像が多次元像空間の構造を形成することにより関係づけられる画像の集合の多次元像空間へのマッピングを表す図を示す。
【図３】図３は、本発明の一実施形態に従い、同じ被写体の画像のある部分集合を多次元像空間の多面錐にサンプルマッピングした図を示す。
【図４】図４は、本発明の一実施形態に従い、多次元像空間にある同じ被写体の画像のある部分集合による多面錐形状に近いサンプルの低次元線形部分空間の図を示す。
【図５】図５は、本発明の一実施形態に従うコンピュータベースのシステムを示す。
【図２】
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【図４】
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【図５】
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【図１ａ】
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【図１ｂ】
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【図３】
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