(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
所定形状の外板を平板に展開する方法であって、
外板上で第１仮被写線及び第２仮被写線を決定する第１処理と、
第１処理で決定された第２仮被写線を基準として外板上で第１仮被写線を決定するとともに、第１処理で決定された第１仮被写線を基準として外板上で第２仮被写線を決定する第２処理と、
第１及び第２処理で決定された第１仮被写線群及び第２仮被写線群のうち一方を第１被写線群として決定するとともに、他方を第２被写線群として決定する第３処理と、
第１被写線群を第１写線群として外板から平板に写すとともに、第２被写線群を第２写線群として外板から平板に写す第４処理とが実行され、
第１処理において、
始点において外板の曲率が最大となる方向を接線方向とするとともに、始点を除く任意点において外板の曲率が最大又は最小となる方向を接線方向とする曲線を外板上に滑らかに伸ばしてこれを第１仮被写線として決定し、
第１仮被写線と共通の始点において外板の曲率が最小となる方向を接線方向とするとともに、始点を除く任意点において外板の曲率が最小又は最大となる方向を接線方向とする曲線を外板上に滑らかに伸ばしてこれを第２仮被写線として決定し、
第２処理において、
第１処理で決定された第２仮被写線上の点を始点とするとともに、該始点において第２仮被写線と直交する第１仮被写線を決定し、第１処理で決定された第１仮被写線上の点を始点とするとともに、該始点において第１仮被写線と直交する第２仮被写線を決定し、
第３処理において、
第１及び第２処理で決定された第１仮被写線群の法曲率絶対値の平均値を計算し、第１及び第２処理で決定された第２仮被写線群の法曲率絶対値の平均値を計算し、第１仮被写線群及び第２仮被写線群のうち法曲率絶対値の平均値が大きい線群に含まれる線を第１被写線群として決定し、第１仮被写線群及び第２仮被写線群のうち法曲率絶対値の平均値が小さい線群に含まれる線を第２被写線群として決定し、
第４処理において、
第１被写線の実長座標及び該実長座標の関数としての測地的曲率と、第１写線の実長座標及び該実長座標の関数としての曲率とを一致させ、
隣り合う第１写線に挟まれた写領域に含まれる第２写線の長さが、該隣り合う第１写線に対応する隣り合う第１被写線の間の被写領域に含まれ、該第２写線に対応する第２被写線の長さ以上となり、且つ、該写領域の面積が最小となるように、該隣り合う第１写線の配置を決定するとともに、該写領域における第２写線の配置を決定することを特徴とする外板展開方法。
【請求項２】
所定形状の外板を平板に展開する方法であって、
外板上で第１仮被写線及び第２仮被写線を決定する第１処理と、
第１処理で決定された第２仮被写線を基準として外板上で第１仮被写線を決定するとともに、第１処理で決定された第１仮被写線を基準として外板上で第２仮被写線を決定する第２処理と、
第１及び第２処理で決定された第１仮被写線群及び第２仮被写線群のうち一方を第１被写線群として決定するとともに、他方を第２被写線群として決定する第３処理と、
第１被写線群を第１写線群として外板から平板に写すとともに、第２被写線群を第２写線群として外板から平板に写す第４処理とが実行され、
第１処理において、
始点において外板の曲率が最大となる方向を接線方向とするとともに、始点を除く任意点において外板の曲率が最大又は最小となる方向を接線方向とする曲線を外板上に滑らかに伸ばしてこれを第１仮被写線として決定し、
第１仮被写線と共通の始点において外板の曲率が最小となる方向を接線方向とするとともに、始点を除く任意点において外板の曲率が最小又は最大となる方向を接線方向とする曲線を外板上に滑らかに伸ばしてこれを第２仮被写線として決定し、
第２処理において、
第１処理で決定された第２仮被写線上の点を始点とするとともに、該始点において第２仮被写線と直交する第１仮被写線を決定し、第１処理で決定された第１仮被写線上の点を始点とするとともに、該始点において第１仮被写線と直交する第２仮被写線を決定し、
第３処理において、
第１及び第２処理で決定された第１仮被写線群の法曲率絶対値の平均値を計算し、第１及び第２処理で決定された第２仮被写線群の法曲率絶対値の平均値を計算し、第１仮被写線群及び第２仮被写線群のうち法曲率絶対値の平均値が大きい線群に含まれる線を第１被写線群として決定し、第１仮被写線群及び第２仮被写線群のうち法曲率絶対値の平均値が小さい線群に含まれる線を第２被写線群として決定し、
第４処理において、
第１被写線の実長座標及び該実長座標の関数としての測地的曲率と、第１写線の実長座標及び該実長座標の関数としての曲率とを一致させ、
隣り合う第１写線に挟まれた写領域に含まれる第２写線の長さが、該隣り合う第１写線に対応する隣り合う第１被写線の間の被写領域に含まれ、該第２写線に対応する第２被写線の長さ以下となり、且つ、該写領域の面積が最大となるように、該隣り合う第１写線の配置を決定するとともに、該写領域における第２写線の配置を決定することを特徴とする外板展開方法。
【請求項３】
請求項１記載の方法に従って前記所定形状の外板が展開された平板から、該所定形状の外板を製造する方法であって、
前記第１写線の法曲率が、前記第１被写線の法曲率に一致するように前記平板を曲げて中間曲板を形成し、
前記写領域ごとの第２写線の実長座標が、各写領域に対応する前記被写領域ごとの該第２写線に対応する第２被写線の実長座標と等しくなるように該中間曲板を縮め加工することを特徴とする外板製造方法。
【請求項４】
請求項２記載の方法に従って前記所定形状の外板が展開された平板から、該所定形状の外板を製造する方法であって、
前記第１写線の法曲率が、前記第１被写線の法曲率に一致するように前記平板を曲げて中間曲板を形成し、
前記写領域ごとの第２写線の実長座標が、各写領域に対応する前記被写領域ごとの該第２写線に対応する第２被写線の実長座標と等しくなるように該中間曲板を伸ばし加工することを特徴とする外板製造方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】  本発明は、所定形状の外板を平板に展開する方法、及び平板から所定形状の外板を製造する方法に関する。
【背景技術】  船舶の一部を構成する所定形状の金属外板は、金属平板に展開された上でこの平板が当該所定形状に加工・製造される。平板を所定形状の外板に正確に加工するには、この外板が平板に適切に展開される必要がある。
しかし、従来の測地線展開法等に従って展開された平板を外板に加工する場合、特に曲率が大きい船首・船尾部分の外板の加工に適しているとはいい難い。即ち、外板から平板への展開が最適とは言えず、当該展開平板から外板への加工量が不必要に大きくなり、必ずしも加工効率がよいとはいえない場合がある。これは、従来の展開法が経験に大きく依存していることによる。
そこで、本発明は、加工量を低減させて外板の製造効率の向上を図り得る外板展開方法及び外板製造方法を提供することを解決課題とする。
【発明の開示】
前記課題を解決するための本発明の第１態様の外板展開方法は、外板上で第１仮被写線及び第２仮被写線を決定する第１処理と、第１処理で決定された第２仮被写線を基準として外板上で第１仮被写線を決定するとともに、第１処理で決定された第１仮被写線を基準として外板上で第２仮被写線を決定する第２処理と、第１及び第２処理で決定された第１仮被写線群及び第２仮被写線群のうち一方を第１被写線群として決定するとともに、他方を第２被写線群として決定する第３処理と、第１被写線群を第１写線群として外板から平板に写すとともに、第２被写線群を第２写線群として外板から平板に写す第４処理とが実行され、第１処理において、始点において外板の曲率が最大となる方向を接線方向とするとともに、始点を除く任意点において外板の曲率が最大又は最小となる方向を接線方向とする曲線を外板上に滑らかに伸ばしてこれを第１仮被写線として決定し、第１仮被写線と共通の始点において外板の曲率が最小となる方向を接線方向とするとともに、始点を除く任意点において外板の曲率が最小又は最大となる方向を接線方向とする曲線を外板上に滑らかに伸ばしてこれを第２仮被写線として決定し、第２処理において、第１処理で決定された第２仮被写線上の点を始点とするとともに、該始点において第２仮被写線と直交する第１仮被写線を決定し、第１処理で決定された第１仮被写線上の点を始点とするとともに、該始点において第１仮被写線と直交する第２仮被写線を決定し、第３処理において、第１及び第２処理で決定された第１仮被写線群の法曲率絶対値の平均値を計算し、第１及び第２処理で決定された第２仮被写線群の法曲率絶対値の平均値を計算し、第１仮被写線群及び第２仮被写線群のうち法曲率絶対値の平均値が大きい線群に含まれる線を第１被写線群として決定し、第１仮被写線群及び第２仮被写線群のうち法曲率絶対値の平均値が小さい線群に含まれる線を第２被写線群として決定し、第４処理において、第１被写線の実長座標及び該実長座標の関数としての測地的曲率と、第１写線の実長座標及び該実長座標の関数としての曲率とを一致させ、隣り合う第１写線に挟まれた写領域に含まれる第２写線の長さが、該隣り合う第１写線に対応する隣り合う第１被写線の間の被写領域に含まれ、該第２写線に対応する第２被写線の長さ以上となり、且つ、該写領域の面積が最小となるように、該隣り合う第１写線の配置を決定するとともに、該写領域における第２写線の配置を決定することを特徴とする。
本発明の第１実施形態の外板展開方法によれば、外板上の第１被写線群及び第２被写線群が、第１写線群及び第２写線群として平板に写される。このとき、第１被写線の実長座標及びその関数としての測地的曲率と、第１写線の実長座標及びその関数としての曲率とが一致させられる。
これにより、第１写線の法曲率が第１被写線の法曲率に一致するように平板を曲げ加工すれば、第１写線に沿った方向に平板を伸ばし加工又は縮め加工することなく中間曲板を形成することができる。このため、外板製造時の加工量が低減される。
また、隣り合う第１写線に挟まれている写領域における第２写線の長さが、当該写領域に対応する被写領域における、当該第２写線に対応する第２被写線の長さ「以上」となるように、第１写線の相対位置が決定される。その上で、写領域における第２写線が決定される。
これにより、写領域ごとの第２写線の実長座標が、当該写領域に対応する被写領域ごとの当該第２写線に対応する第２被写線の実長座標に一致するように中間曲板を縮め加工すれば足り、縮め加工する場所と伸ばし加工する場所とが併存するという事態が回避される。従って、たとえ熟練工でなくても外板を容易に製造することができる。
さらに、隣り合う第１写線の間の面積が「最小」となるように、第１写線の相対位置が決定され、且つ、第１写線に挟まれた領域における第２写線が決定される。
これにより、外板製造時の平板の縮め加工量が最低限に抑制される。従って、第１写線の法曲率が第１被写線の法曲率に一致するように平板が曲げ加工されて中間曲板が形成され、第２写線の実長座標が第２被写線の実長座標に一致するように中間曲板が縮め加工されることで、加工量を必要最小限に抑制しながら外板が製造され得る。
前記課題を解決するための本発明の第２態様の外板展開方法は、外板上で第１仮被写線及び第２仮被写線を決定する第１処理と、第１処理で決定された第２仮被写線を基準として外板上で第１仮被写線を決定するとともに、第１処理で決定された第１仮被写線を基準として外板上で第２仮被写線を決定する第２処理と、第１及び第２処理で決定された第１仮被写線群及び第２仮被写線群のうち一方を第１被写線群として決定するとともに、他方を第２被写線群として決定する第３処理と、第１被写線群を第１写線群として外板から平板に写すとともに、第２被写線群を第２写線群として外板から平板に写す第４処理とが実行され、第１処理において、始点において外板の曲率が最大となる方向を接線方向とするとともに、始点を除く任意点において外板の曲率が最大又は最小となる方向を接線方向とする曲線を外板上に滑らかに伸ばしてこれを第１仮被写線として決定し、第１仮被写線と共通の始点において外板の曲率が最小となる方向を接線方向とするとともに、始点を除く任意点において外板の曲率が最小又は最大となる方向を接線方向とする曲線を外板上に滑らかに伸ばしてこれを第２仮被写線として決定し、第２処理において、第１処理で決定された第２仮被写線上の点を始点とするとともに、該始点において第２仮被写線と直交する第１仮被写線を決定し、第１処理で決定された第１仮被写線上の点を始点とするとともに、該始点において第１仮被写線と直交する第２仮被写線を決定し、第３処理において、第１及び第２処理で決定された第１仮被写線群の法曲率絶対値の平均値を計算し、第１及び第２処理で決定された第２仮被写線群の法曲率絶対値の平均値を計算し、第１仮被写線群及び第２仮被写線群のうち法曲率絶対値の平均値が大きい線群に含まれる線を第１被写線群として決定し、第１仮被写線群及び第２仮被写線群のうち法曲率絶対値の平均値が小さい線群に含まれる線を第２被写線群として決定し、第４処理において、第１被写線の実長座標及び該実長座標の関数としての測地的曲率と、第１写線の実長座標及び該実長座標の関数としての曲率とを一致させ、隣り合う第１写線に挟まれた写領域に含まれる第２写線の長さが、該隣り合う第１写線に対応する隣り合う第１被写線の間の被写領域に含まれ、該第２写線に対応する第２被写線の長さ以下となり、且つ、該写領域の面積が最大となるように、該隣り合う第１写線の配置を決定するとともに、該写領域における第２写線の配置を決定することを特徴とする。
本発明の第２態様の外板展開方法によれば、本発明の第１態様の外板展開方法と同様、外板上の第１被写線群及び第２被写線群が、第１写線群及び第２写線群として平板に写される。このとき、第１被写線の実長座標及びその関数としての測地的曲率と、第１写線の実長座標及びその関数としての曲率とが一致させられる。
これにより、第１写線の法曲率が第１被写線の法曲率に一致するように平板を曲げ加工すれば、第１写線に沿った方向に平板を伸ばし加工又は縮め加工することなく中間曲板を形成することができる。このため、外板製造時の加工量が低減される。
また、隣り合う第１写線に挟まれている写領域における第２写線の長さが、当該写領域に対応する被写領域における、当該第２写線に対応する第２被写線の長さ「以下」となるように、第１写線の相対位置が決定される。その上で、写領域における第２写線が決定される。
これにより、写領域ごとの第２写線の実長座標が、当該写領域に対応する被写領域ごとの当該第２写線に対応する第２被写線の実長座標に一致するように中間曲板を伸ばし加工すれば足り、縮め加工する場所と伸ばし加工する場所とが併存するという事態が回避される。従って、たとえ熟練工でなくても外板を容易に製造することができる。
さらに、隣り合う第１写線の間の面積が「最大」となるように、第１写線の相対位置が決定され、且つ、第１写線に挟まれた領域における第２写線が決定される。
これにより、外板製造時の平板の伸ばし加工量が最低限に抑制される。従って、第１写線の法曲率が第１被写線の法曲率に一致するように平板が曲げ加工されて中間曲板が形成され、第２写線の実長座標が第２被写線の実長座標に一致するように中間曲板が伸ばし加工されることで、加工量を必要最小限に抑制しながら外板が製造され得る。
前記課題を解決するための本発明の第１態様の外板製造方法は、前記第１態様の方法に従って前記所定形状の外板が展開された平板から、該所定形状の外板を製造する方法であって、前記第１写線の法曲率が、前記第１被写線の法曲率に一致するように前記平板を曲げて中間曲板を形成し、前記写領域ごとの第２写線の実長座標が、各写領域に対応する前記被写領域ごとの該第２写線に対応する第２被写線の実長座標と等しくなるように該中間曲板を縮め加工することを特徴とする。
本発明の第１態様の外板製造方法によれば、第１写線の法曲率が第１被写線の法曲率に一致するように平板が曲げ加工されて中間曲板が形成される。また、写領域ごとの第２写線の実長座標が、当該写領域に対応する被写領域ごとの当該第２写線に対応する第２被写線の実長座標に一致するように中間曲板が縮め加工されることで、加工量を必要最小限に抑制しながら外板が製造され得る。
前記課題を解決するための本発明の第２態様の外板製造方法は、前記第２態様の外板展開方法に従って前記所定形状の外板が展開された平板から、該所定形状の外板を製造する方法であって、前記第１写線の法曲率が、前記第１被写線の法曲率に一致するように前記平板を曲げて中間曲板を形成し、前記写領域ごとの第２写線の実長座標が、各写領域に対応する前記被写領域ごとの該第２写線に対応する第２被写線の実長座標と等しくなるように該中間曲板を伸ばし加工することを特徴とする。
本発明の第２態様の外板製造方法によれば、第１写線の法曲率が第１被写線の法曲率に一致するように平板が曲げ加工されて中間曲板が形成される。また写領域ごとの第２写線の実長座標が、当該写領域に対応する被写領域ごとの当該第２写線に対応する第２被写線の実長座標に一致するように中間曲板が伸ばし加工されることで、加工量を必要最小限に抑制しながら外板が製造され得る。
【図面の簡単な説明】  図１は本発明の外板展開方法のフローチャートであり、図２〜図８は本発明の外板展開方法の詳細説明図であり、図９は本発明の外板製造方法のフローチャートである。
【発明を実施するための最良の形態】  本発明の外板展開方法及び外板製造方法の実施形態について図面を用いて説明する。
本発明の外板展開方法について図１〜図８を用いて説明する。
まず、外板展開方法の適用対象となる図２に示す外板Ｑを次式（１）で表される曲面として表現することで、当該外板Ｑの形状（所定形状）を特定する（図１／Ｓ１０２）。図２（ａ）に示す外板Ｑは、例えば、船首の一部を構成する金属外板である。
ｚ＝Ｑ（ｘ，ｙ）  ‥（１）
次に、外板上で第１仮被写線及び第２仮被写線を決定する「第１処理」が実行される（図１／Ｓ１１０）。
まず、始点において外板Ｑの曲率が最大となる方向を接線方向とするとともに、始点を除く任意点において外板Ｑの曲率が最大又は最小となる方向を接線方向とする曲線を外板Ｑ上に滑らかに伸ばしてこれを「第１仮被写線」として決定する（図１／Ｓ１１２）。具体的には、図２（ａ）に示すように外板Ｑ上の任意点Ｏを始点とし、この任意点Ｏにおける外板の曲率（＝（曲率半径）−１）が、正負も含めて最大となる方向に外板Ｑに沿って伸びる１番目の第１線分δａ１を決定する。また、ｎ（ｎ＝１，２，‥）番目の第１線分δａｎの終点ａｎを始点とするｎ＋１番目の第１線分δａｎ＋１を決定する。ｎ＋１番目の第１線分δａｎ＋１は、ｎ番目の第１線分δａｎの終点ａｎにおける外板Ｑの曲率が最大となる方向に外板Ｑに沿って伸びる線分と、当該曲率が最小となる方向に外板Ｑに沿って伸びる線分とのうち、ｎ番目の第１線分δａｎに滑らかにつながるほうの線分である。詳細には、ｎ＋１番目の第１線分δａｎ＋１は、当該両線分のうち、始端部における方向ベクトルが、ｎ番目の第１線分δａｎの終端部における方向ベクトルとなす角度が小さいほうの線分である。そして、図２（ｂ）に示すように、第１線分δａｎの連結線を第１仮被写線Ａとして決定する。
また、第１仮斜線Ａと始点が同じであり、この始点において外板Ｑの曲率が最小となる方向を接線方向とするとともに、始点を除く任意点において外板Ｑの曲率が最小又は最大となる方向を接線方向とする曲線を外板Ｑ上に滑らかに伸ばしてこれを第２仮被写線として決定する（図１／Ｓ１１４）。具体的には、図２（ａ）に示すように、１番目の第１線分δａ１と始点が同じであり、１番目の第１線分δａｎの始点Ｏにおける外板Ｑの曲率が最小となる方向に外板Ｑに沿って伸びる１番目の第２線分δｂ１を決定する。さらに、ｍ（ｍ＝１，２，‥）番目の第２線分δｂｍの終点ｂｍを始点とするｍ＋１番目の第２線分δｂｍ＋１を決定する。ｍ＋１番目の第２線分δｂｍ＋１は、ｍ番目の第２線分δｂｍ終点δｂｍにおける外板Ｑの曲率が最小となる方向に外板Ｑに沿って伸びる線分と、当該曲率が最大となる方向に外板Ｑに沿って伸びる線分とのうち、ｍ番目の第２線分δｂｍに滑らかにつながるほうの線分である。詳細には、ｍ＋１番目の第２線分δｂｍ＋１は、当該両線分のうち、始端部における方向ベクトルが、ｍ番目の第２線分δｂｍの終端部における方向ベクトルとなす角度が小さいほうの線分である。そして、図２（ｂ）に示すように、第２線分δｂｍの連結線を第２仮被写線Ｂとして決定する。
なお、第１線分δａｎ及び第２線分δｂｍが決定されるときにルンゲ・クッタ法などの微分方程式の初期値問題の開放が用いられてもよい。
続いて、第１処理で決定された第２仮被写線を基準として外板上で一又は複数の第１仮被写線を決定するとともに、第１処理で決定された第１仮被写線を基準として外板上で一又は複数の第２仮被写線を決定する「第２処理」が実行される（図１／Ｓ１２０）。
まず、第１処理で決定された第２仮被写線Ｂ上の点を始点とするとともに、該始点において第２仮被写線Ｂと直交する第１仮被写線が決定される（図１／Ｓ１２２）。具体的には、図３（ａ）に示すように、第１処理で決定された第２仮被写線Ｂ上の点ｙ１〜ｙ５、ｙ７を１番目の第１線分の始点として、ｎ番目の第１線分（図中矢印参照）が逐次決定される。そして、図３（ｂ）に示すように、第１処理で決定された第２仮被写線Ｂ上の点ｙ１〜ｙ５、ｙ７を１番目の第１線分の始点とする第１仮被写線Ａ１〜Ａ５，Ａ７が決定される。また、図３（ｂ）では、第１処理で決定された図３（ａ）に示す第１仮被写線Ａが、第１仮被写線Ａ６として表現されている。なお、１番目の第１線分の始点となる第２仮被写線Ｂ上の点の間隔は、外板Ｑのスケールに応じて調節され得る。
また、第１処理で決定された第１仮被写線Ａ上の点を始点とするとともに、該始点において第１仮被写線Ａと直交する第２仮被写線が決定される（図１／Ｓ１２４）。具体的には、図４（ａ）に示すように、第１処理で決定された第１仮被写線Ａ上の点ｘ１〜ｘ４、ｘ６〜ｘ９を１番目の第２線分の始点として、ｍ番目の第２線分（図中矢印参照）が逐次決定される。そして、図４（ｂ）に示すように、第１処理で決定された第２仮被写線Ｂ上の点ｘ１〜ｘ４、ｘ６〜ｘ９を１番目の第２線分の始点とする第２仮被写線Ｂ１〜Ｂ４，Ｂ６〜Ｂ９が決定される。また、図４（ｂ）では、第１処理で決定された図４（ａ）に示す第１仮被写線Ｂが、第２仮被写線Ｂ５として表現されている。なお、１番目の第２線分の始点となる第１仮被写線Ａ上の点の間隔は、外板Ｑのスケールに応じて調節され得る。
また、第２処理において決定された第２仮被写線が、第１処理において決定された第２仮被写線とみなされた上で、これを基準として新たに第１仮被写線が決定されてもよい。同様に、第２処理において決定された第１仮被写線が、第１処理において決定された第１仮被写線とみなされた上で、これを基準として新たに第２仮被写線が決定されてもよい。
次に、第１及び第２処理で決定された第１仮被写線群及び第２仮被写線群のうち一方を第１被写線群として決定するとともに、他方を第２被写線群として決定する「第３処理」が実行される（図１／Ｓ１３０）。
具体的には、まず、第１仮被写線群Ａ１〜Ａ７と、第２仮被写線群Ｂ１〜Ｂ９のそれぞれについて、次式（２）に従って法曲率Ｋの絶対値の平均値Ｋ＊が計算される（図１／Ｓ１３２）。
Ｋ＊＝Σ∫ｄｔ・Ａｂｓ［Ｋ（ｔ）］／Σ∫ｄｔ  ‥（２）
ここで、Σ∫ｄｔ・Ａｂｓ［Ｋ（ｔ）］は、第１仮被写線Ａ１〜Ａ７（又は第２仮被写線Ｂ１〜Ｂ９）のそれぞれについて法曲率絶対値Ａｂｓ［Ｋ（ｔ）］の積分値の総和を表している。また、Σ∫ｄｔは、第１仮被写線Ａ１〜Ａ７（又は第２仮被写線Ｂ１〜Ｂ９）のそれぞれの実長の総和を表している。
さらに、ｔは、各被写線の実長座標であり、第１被写線又は第２被写線の微小部分ｄｔと、当該微小部分ｄｔのｘ−ｙ平面への投射微小部分ｄｒとの幾何学的関係に基づく次式（３）に従って算出される。
ｔ＝∫ｄｒ［１＋｛∂ｘｚ＋λ∂ｙｚ｝２／（１＋λ２）］１／２
λ≡（ｄｙ／ｄｘ）、∂ｘ≡∂／∂ｘ、∂ｙ≡∂／∂ｙ  ‥（３）
そして、第１仮被写線群Ａ１〜Ａ７及び第２仮被写線群Ｂ１〜Ｂ９のうち、法曲率絶対値の平均値Ｋ＊が大きい線群に含まれる線が「第１被写線」として決定される（図１／Ｓ１３４）。ここでは、図４（ｂ）に示す第１仮被写線Ａ１〜Ａ７がそれぞれ「第１被写線」として決定される。
また、第１仮被写線群Ａ１〜Ａ７及び第２仮被写線群Ｂ１〜Ｂ９のうち法曲率絶対値の平均値Ｋ＊が小さい線群に含まれる線が「第２被写線」として決定される（図１／Ｓ１３４）。ここでは、図４（ｂ）に示す第２仮被写線Ｂ１〜Ｂ９がそれぞれ「第２被写線」として決定される。
そして、第１被写線群を第１写線群として外板から平板に写すとともに、第２被写線群を第２写線群として外板から平板に写す「第４処理」が実行される（図１／Ｓ１４０）。
具体的には、まず、第１被写線Ａ１〜Ａ７及び第２被写線Ｂ１〜Ｂ９のそれぞれの測地的曲率Ｋｇが、実長座標ｔの関数として次式（４）に従って決定される（図１／Ｓ１４２）。
Ｋｇ（ｔ）＝±［ｇ１／２Ａ（ｔ）＋ｇ−１／２Ｂ（ｔ）］
ｇ≡１＋（∂ｘｚ）２＋（∂ｙｚ）２
Ａ≡ｘ’ｙ”−ｙ’ｘ”
Ｂ≡∂ｙｚ・∂ｘ∂ｘｚ・ｘ’３
＋｛２∂ｙｚ・∂ｘ∂ｙｚ−∂ｘｚ・∂ｘ∂ｘｚ｝・ｘ’２・ｙ’
＋｛∂ｙｚ・∂ｙ∂ｙｚ−２∂ｘｚ・∂ｘ∂ｙｚ｝・ｘ’・ｙ２
−∂ｘｚ・∂ｙ∂ｙｚ・ｔ’３
∂ｘ≡∂／∂ｘ、∂ｙ≡∂／∂ｙ、
ｘ’≡ｄｘ／ｄｔ、ｘ”≡ｄ２ｘ／ｄｔ２、
ｙ’≡ｄｙ／ｄｔ、ｙ”≡ｄ２ｙ／ｄｔ２、‥（４）
次に、第１被写線Ａ１〜Ａ７の実長座標ｔ及び測地的曲率Ｋｇ（ｔ）と、平板（ｘ−ｙ平面）における実長座標、及びその関数としての曲率が一致する線が、図５に示すような第１仮写線ｆ（Ａｎ）（ｎ＝１，２，‥，７）として決定される（図１／Ｓ１４４）。同様に、第２被写線の実長座標ｔ及び測地的曲率Ｋｇ（ｔ）と、平板における実長座標、及びその関数としての曲率が一致する線が、図６に示すような第２仮写線ｑ（Ｂｍ）（ｍ＝１，２，‥，９）として決定される（図１／Ｓ１４４）。図５及び図６において「○（丸印）」は第１被写線Ａｎ及び第２被写線Ｂｍの交点を表し、「＋（十字印）」は外板Ｑの縁を表す。
続いて、第１仮写線ｑ（Ａｎ）及び第２仮写線ｑ（Ｂｍ）に基づき、第１写線ｐ（Ａｎ）及び第２写線ｐ（Ｂｍ）が決定される（図１／Ｓ１４６）。第１写線ｐ（Ａｎ）及び第２写線ｐ（Ｂｍ）の決定方法について図７〜図８を用いて説明する。
まず、隣り合う一対の第１仮写線ｑ（Ａｎ）及びｑ（Ａｎ＋１）の相対位置が、１本の第２仮写線ｑ（Ｂｍ）を基準として、次の条件１〜３を満たすように仮決定される。
（条件１）第２仮写線ｑ（Ｂｍ）との交点における第１仮写線ｑ（Ａｎ）及びｑ（Ａｎ＋１）の実長座標が、第２被写線Ｂｍとの格子点における第１被写線Ａｎ及びＡｎ＋１の実長座標に一致する。
（条件２）第１仮写線ｑ（Ａｎ）及びｑ（Ａｎ＋１）に挟まれる領域に含まれる第２仮写線ｑ（Ｂｍ）の実長座標が、第１被写線Ａｎ及びＡｎ＋１に挟まれる被写領域に含まれる第２被写線Ｂｍの実長座標と一致する。
（条件３）第１仮写線ｑ（Ａｎ）及びｑ（Ａｎ＋１）と、第２仮写線ｑ（Ｂｍ）とが直交する。
また、相対位置が仮決定された一対の第１仮写線ｑ（Ａｎ）、ｑ（Ａｎ＋１）に挟まれた領域において、第２仮写線ｑ（Ｂｍ’）（ｍ’≠ｍ）の配置が次の条件４を満たすように仮決定される。この際、第２仮写線ｑ（Ｂｍ’）の実長座標が必要に応じて伸縮される。
（条件４）第２仮写線ｑ（Ｂｍ’）との交点における第１仮写線ｑ（Ａｎ）及びｑ（Ａｎ＋１）の実長座標が、第２被写線Ｂｍ’との交点における第１被写線Ａｎ及びＡｎ＋１の実長座標と一致する。
例えば、第２仮写線ｑ（Ｂ４）を基準とした場合、図７（ａ）に示すように第１仮写線ｑ（Ａ３）及びｑ（Ａ４）の相対位置が仮決定される。また、この場合、図７（ａ）に示すように第１仮写線ｑ（Ａ３）及びｑ（Ａ４）に挟まれた領域（斜線部分）に含まれる第２仮写線ｑ（Ｂｍ’）（ｍ’≠４）（破線）の配置が仮決定される。
一方、第２仮写線ｑ（Ｂ７）を基準とした場合、図７（ｂ）に示すように第１仮写線ｑ（Ａ３）及びｑ（Ａ４）の相対位置が仮決定される。また、この場合、図７（ｂ）に示すように第１仮写線ｑ（Ａ３）及びｑ（Ａ４）に挟まれた領域（斜線部分）に含まれる第２仮写線ｑ（Ｂｍ’）（ｍ’≠７）（破線）の配置が仮決定される。
そして、相対位置が仮決定された一対の第１仮写線ｑ（Ａｎ）及びｑ（Ａｎ＋１）により挟まれた領域に含まれる第２仮写線ｑ（Ｂｍ）の長さと、当該領域の面積とが一定条件を満足する場合、第１仮写線ｑ（Ａｎ）及び当該領域内の第２仮写線ｑ（Ｂｍ）が、第１写線ｐ（Ａｎ）及び当該領域内の第２写線ｐ（Ｂｍ）として決定される（図１／Ｓ１４６）。この条件は、次に説明するように外板製造時の加工方法の種類に応じて変動する。
すなわち「縮め加工」についての当該一定条件は次のとおりである。
（１ａ）配置が仮決定された全ての第２仮写線ｑ（Ｂｍ）のそれぞれの長さが、対応する第２被写線Ｂｍの長さ以上であり、且つ、
（１ｂ）一対の第１仮写線ｑ（Ａｎ）及びｑ（Ａｎ＋１）に挟まれた領域の面積が最小である。
一方「伸ばし加工」についての当該一定条件は次のとおりである。
（２ａ）配置態様が仮決定された全ての第２仮写線ｑ（Ｂｍ）のそれぞれの長さが、対応する第２被写線Ｂｍの長さ以下であり、且つ、
（２ｂ）一対の第１仮写線ｑ（Ａｎ）及びｑ（Ａｎ＋１）に挟まれた領域の面積が最大である。
隣り合う第１仮写線ｑ（Ａｎ）及びｑ（Ａｎ＋１）の相対位置が逐次決定されるとともに、第１仮写線ｑ（Ａｎ）及びｑ（Ａｎ＋１）により挟まれる領域の第２仮写線ｑ（Ｂｍ）の配置態様が逐次決定される。これにより、図２（ａ）に示す外板Ｑが、図８に示すような平板Ｐに展開される。すなわち、図４（ｂ）に示す第１被写線群Ａｎ及び第２被写線群Ｂｍが、図８に示す第１写線ｐ（Ａｎ）及び第２写線ｐ（Ｂｍ）として平板上に展開される。
次に、図８に示す平板Ｐを加工して図２（ａ）に示す外板Ｑを製造する方法について図９を用いて説明する。
加工前の準備として、まず、第１被写線Ａｎに沿った外板Ｑの法曲率Ｋが算出される（図９／Ｓ２０２）。また、一対の第１被写線Ａｎ及びＡｎ＋１により挟まれた被写領域における第２被写線Ｂｍの長さに対する、一対の第１写線ｐ（Ａｎ）及びｐ（Ａｎ＋１）により挟まれた写領域における第２写線ｐ（Ｂｍ）の長さの比率ｃが算出される（図９／Ｓ２０４）。例えば、第２被写線Ｂ１について、第１被写線Ａ１及びＡ２により挟まれた被写領域内では比率ｃが「１．０５」であり、第１被写線Ａ２及びＡ３により挟まれた被写領域内では比率ｃが「１．０７」であり、‥等、部分ごとに当該比率ｃが決定される。なお、比率ｃは被写領域よりも細かい領域ごとに局所的に決定されてもよい。
前記準備が済んだ後、第１写線ｐ（Ａｎ）の法曲率が第１被写線Ａｎの法曲率に一致するように、平板Ｐが曲げ加工されて中間曲板（図示略）が形成される（図９／Ｓ２０６）。
そして、第２写線ｐ（Ｂｍ）の実長座標が第２被写線Ｂｍの実長座標に一致するように、中間曲板が縮め（又は伸ばし）加工されることで、図２に示す外板Ｑが製造される（図９／Ｓ２０８）。当該加工の際、先に計算された比率ｃが用いられる。例えば、第２被写線Ｂ１について、第１被写線Ａ１及びＡ２により挟まれた被写領域内では比率ｃが「１．０５」であり、第１被写線Ａ２及びＡ３により挟まれた被写領域内では比率ｃが「１．０７」であり、‥という場合を考える。この場合、第２写線ｐ（Ｂ１）が第１写線ｐ（Ａ１）及びｐ（Ａ２）により挟まれた写領域内では「４．８％」だけ縮め加工され、第１写線ｐ（Ａ２）及びｐ（Ａ３）により挟まれた写領域内では「６．６％」だけ縮め加工され、‥というように中間曲板が加工されることで、外板Ｑが製造される。
本発明の外板展開方法によれば、図４（ｂ）に示す外板Ｑ上の第１被写線群Ａ１〜Ａ７及び第２被写線群Ｂ１〜Ｂ９が、図８に示す第１写線群ｐ（Ａ１）〜ｐ（Ａ７）及び第２写線群ｐ（Ｂ１）〜ｐ（Ｂ９）として平板Ｐに写される。このとき、第１被写線Ａｎの実長座標ｔ及びその関数としての測地的曲率Ｋｇ（前記式（４）参照）と、第１写線ｐ（Ａｎ）の実長座標及びその関数としての曲率Ｋとが一致させられる。
これにより、第１写線ｐ（Ａｎ）の法曲率が第１被写線Ａｎの法曲率に一致するように平板Ｐを曲げ加工すれば、第１写線Ａｎに沿った方向に平板Ｐを伸ばし加工又は縮め加工することなく中間曲板を形成することができる。このため、外板製造時の加工量が低減される。
また、隣り合う第１写線ｐ（Ａｎ）及びｐ（Ａｎ＋１）に挟まれている写領域（図７（ａ）、図７（ｂ）の斜線部分参照）における全ての第２写線ｐ（Ｂｍ）のそれぞれの長さが、当該写領域に対応する被写領域における第２被写線Ｂｍの長さ以上（又は以下）となるように、第１写線ｐ（Ａｎ）及びｐ（Ａｎ＋１）の相対位置が決定される（図７（ａ）、図７（ｂ）参照）。その上で、写領域における第２写線ｐ（Ｂｍ）が決定される。
これにより、写領域ごとの第２写線ｐ（Ｂｍ）の実長座標が、被写領域ごとの第２被写線Ｂｍの実長座標に一致するように中間曲板を縮め加工（又は伸ばし加工）すれば足り、縮め加工する場所と伸ばし加工する場所とが併存するという事態が回避される。従って、たとえ熟練工でなくても外板Ｐを容易に製造することができる。
さらに、隣り合う第１写線ｐ（Ａｎ）及びｐ（Ａｎ＋１）に挟まれた写領域（図７（ａ）、図７（ｂ）斜線部分参照）の面積が最小（又は最大）となるように、第１写線ｐ（Ａｎ）及びｐ（Ａｎ＋１）の相対位置が決定され、且つ、当該写領域における第２写線Ｂｍの配置が決定される。
これにより、外板Ｑの製造時の平板Ｐの縮め加工量（又は伸ばし加工量）が最低限に抑制される。従って、第１写線ｐ（Ａｎ）の法曲率が第１被写線Ａｎの法曲率に一致するように平板Ｐが曲げ加工されて中間曲板が形成され、（写領域ごとの）第２写線ｐ（Ｂｍ）の実長座標が、（被写領域ごとの）第２被写線Ｂｍの実長座標に一致するように中間曲板が縮め加工（又は伸ばし加工）されることで、加工量を必要最小限に抑制しながら外板Ｑが製造され得る。
本願発明者の得た知見によれば、本発明の外板展開方法によれば平板Ｐを全体的に約２．２％縮めることで外板Ｑを製造することができるのに対し、従来の外板展開方法によれば外板Ｑの製造に際して平板を全体的に約７．１％縮める必要がある。即ち、本発明の外板展開方法によれば、従来の測地線展開法と比較して外板Ｑの製造に必要な平板Ｐの縮め率が１／３程度に抑制される。
また、製造作業者は、図８に示すような第１写線ｐ（Ａｎ）及び第２写線ｐ（Ｂｍ）を通じて、平板Ｐをどこでどの方向に曲げ、どこをどの方向に縮めればよいか（又は伸ばせばよいか）を認識することができる。さらに、製造作業者は、第１被写線Ａｎの曲率を通じて平板Ｐをどの程度曲げればよいかを把握することができる。また、製造作業者は、前記比率ｃを通じて、中間曲板をどの程度縮めればよいか（又は伸ばせばよいか）を把握することができる。これにより、熟練を要せずに品質の高い外板製造が促進されるものと期待される。
なお、本発明の外板展開方法及び外板製造方法は、図２（ａ）に示す形状の外板Ｑのほか、あらゆる形状の外板に適用され得る。
また、外板が球体の一部を局所的に含む形状である場合、当該局所部分のすぐ手前における第１仮被写線及び第２仮被写線が滑らかに延実長座標れることで、当該局所部分における外板上の第１仮被写線及び第２仮被写線が決定されてもよい。
【図１】
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【図２（ａ）】
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【図２（ｂ）】
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【図３（ａ）】
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【図３（ｂ）】
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【図４（ａ）】
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【図４（ｂ）】
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【図５】
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【図６】
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【図７（ａ）】
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【図７（ｂ）】
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【図８】
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【図９】
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