(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
観測される静止画又は動画の１枚の画像を入力する入力手段と、
前記画像を格納する第１の格納手段と、
前記画像を前記第１の格納手段から読み出して、当該画像上の離散化された任意の２点の間の第１の距離を計算して、第２の格納手段に格納する第１の計算手段と、
前記第１の格納手段から前記画像を読み出して、当該画像上の画像輝度を、有限差分式で記述される時間発展型の偏微分方程式（Ｉｉ，ｊｎ＋１＝Ｉｉ，ｊｎ−δｔ・ｕ・∇Ｉｉ，ｊｎ（但し、Ｉｉ，ｊｎは離散時間ｎにおける画素（ｉ，ｊ）の画像輝度であり、ｕは画像上の位置（ｘ，ｙ）の速度ベクトルであり、δｔは時間間隔であり、∇≡（∂／∂ｘ，∂／∂ｙ）である））に代入し、前記離散時間ｎを１つずつ増加させて前記偏微分方程式を時間発展計算することで変位した前記２点の位置と、当該２点の間の第２の距離とを計算する第２の計算手段と、
前記第２の格納手段から前記第１の距離を読み出して、前記第２の距離が当該第１の距離と同じ距離になるように、前記変位した２点の位置を当該２点を連結する方向に修正することで、前記離散時間ｎ後の画像を修正する位置修正手段と、
を有することを特徴とする位置修正装置。
【請求項２】
前記位置修正手段は、前記変位した２点が弾性体で連結していると想定した弾性エネルギー関数を用いて、前記変位した２点の位置を修正することを特徴とする請求項１に記載の位置修正装置。
【請求項３】
コンピュータにより、
観測される静止画又は動画の１枚の画像を入力する第１のステップと、
前記画像を第１の格納手段に格納する第２のステップと、
前記画像を前記第１の格納手段から読み出して、当該画像上の離散化された任意の２点の間の第１の距離を計算して、第２の格納手段に格納する第３のステップと、
前記第１の格納手段から前記画像を読み出して、当該画像上の画像輝度を、有限差分式で記述される時間発展型の偏微分方程式（Ｉｉ，ｊｎ＋１＝Ｉｉ，ｊｎ−δｔ・ｕ・∇Ｉｉ，ｊｎ（但し、Ｉｉ，ｊｎは離散時間ｎにおける画素（ｉ，ｊ）の画像輝度であり、ｕは画像上の位置（ｘ，ｙ）の速度ベクトルであり、δｔは時間間隔であり、∇≡（∂／∂ｘ，∂／∂ｙ）である））に代入し、前記離散時間ｎを１つずつ増加させて前記偏微分方程式を時間発展計算することで変位した前記２点の位置と、当該２点の間の第２の距離とを計算する第４のステップと、
前記第２の格納手段から前記第１の距離を読み出して、前記第２の距離が当該第１の距離と同じ距離になるように、前記変位した２点の位置を当該２点を連結する方向に修正することで、前記離散時間ｎ後の画像を修正する第５のステップと、
を有することを特徴とする位置修正方法。
【請求項４】
前記第５のステップは、前記変位した２点が弾性体で連結していると想定した弾性エネルギー関数を用いて、前記変位した２点の位置を修正することを特徴とする請求項３に記載の位置修正方法。
【請求項５】
請求項３又は４に記載の位置修正方法における各ステップをコンピュータによって実行させることを特徴とする位置修正プログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、有限差分式で記述される偏微分方程式を時間発展計算する技術に関する。
【背景技術】
【０００２】
気象状況や地球温暖化等に関する将来への変化に対する予報や予測は、今何を実行すべきなのか、そして、どのように実践すべきなのかという問題を我々に提起可能としている。例えば、朝のニュースで流れている天気予報で、雲の流れる予測向から本日午後の降水確率が８０％と予報される場合には雨傘を携帯するようになり、近い将来、地表面の温度がこれまでにない程著しく上昇すると予測される場合には、排気ガスの発生を抑制する製品や省エネ製品の更なる売り上げが期待されるため、予報や予測する技術は産業の発展に貢献することに繋がっている。
【０００３】
このような予報や予測を行うには、時間や空間などの様々な変数を有する偏微分方程式を用いて、その方程式の時間発展を計算することが知られている。そして、この時間発展型の偏微分方程式の数値解法としては、２つの変数値に対してとる値の間の有限な差を変数値の差で割って得られる差分商を用いて差分近似を行う有限差分法が用いられている。特に本発明における有限差分法とは、入力された画像情報を処理する画像処理の計算に適用するものであって、画像内に配置された離散化された点(画像の画素に相当し、一般的には格子点とも称されている)において、画素の輝度を記述する移流方程式（偏微分方程式）の変数にテイラー展開を適用し、微係数を差分近似することで各画素の輝度値に関する連立一次方程式（差分方程式）を作成し、これを逐次解いていく方法に関するものである。
【０００４】
このような方程式の計算問題においては安定かつ高精度に解を求めることが重要となっているが（非特許文献１参照）、有限差分法を用いて偏微分方程式の時間発展計算を進めていくと、この偏微分方程式の有する１次空間項などの勾配項や時間項に起因する不安定性現象の発生により、時間発展計算に伴って測定精度の低下が次第に拡大することが知られている。
【０００５】
図４は、初期の画像に表されているプロファイルと時間発展計算後に表されたプロファイルとの時間的な変化を示すグラフである。前述した偏微分方程式に対して右方向に一定の速度を与えた場合、図４の左側に示す初期のプロファイル上に表されている離散化された点Ａ〜点Ｇ（同図に示す○印）は右方向に平行移動するはずである。より分かり易く言えば、点Ａ〜点Ｇをアルファベット順に繋いだ曲線は、図４の右側の破線で示すようにその形状を変化させることなく右方向に平行移動するはずである。しかしながら、前述したように、その偏微分方程式を用いて時間発展の差分近似計算を行うと、方程式の不安定性や差分化に伴った量子化誤差の混入が起因となって数値的な不安定性現象を引き起こすため、例えば図４の右側の実線で示すように点ＢがＹ軸上で負の値に変位し、その誤差を有する点Ｂを用いて計算される点Ｃ〜点Ｇは点Ｂの変位に引きつられるように位置を変化させている。
【０００６】
このような不安定性現象を引き起こす要因は、前述したように偏微分方程式の有する１次空間項などの勾配項や時間項に起因するものであるが、より具体的に言えば、時間差分と空間差分に対する差分近似のオーダー（位数）であることが知られている。これまでは、この差分近似の精度を高めること、即ち、テイラー展開における高次の項（例えば、２次や３次のオーダー）を含めた近似式を用いて有限差分法に従って勾配値への近似精度を高める方法により、前述したような推定精度の低下の拡大を防止する技術が用いられていた。
【非特許文献１】荒川忠一著、「数値流体工学」、第３刷、東京大学出版会、１９９５年１０月３０日
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００７】
しかしながら、このような高次の項を用いて近似する場合には、低次の項のみを用いて近似するよりも離れた離散化された点を用いて計算するため、計算に用いる離散化点間の相関関係が低くなることに起因する誤差が時間発展的に拡大するという問題があった。即ち、テイラー展開における高次の項を用いて近似精度を高めるには限界があるという問題があった。
【０００８】
本発明は、上記を鑑みてなされたものであり、有限差分式で記述される偏微分方程式の時間発展を計算することで生じた不自然なバラツキを持つ離散化された点の位置を修正する位置修正装置、位置修正方法、及び位置修正プログラムを提供することを課題とする。
【課題を解決するための手段】
【０００９】
第１の請求項に係る発明は、観測される静止画又は動画の１枚の画像を入力する入力手段と、前記画像を格納する第１の格納手段と、前記画像を前記第１の格納手段から読み出して、当該画像上の離散化された任意の２点の間の第１の距離を計算して、第２の格納手段に格納する第１の計算手段と、前記第１の格納手段から前記画像を読み出して、当該画像上の画像輝度を、有限差分式で記述される時間発展型の偏微分方程式（Ｉｉ，ｊｎ＋１＝Ｉｉ，ｊｎ−δｔ・ｕ・∇Ｉｉ，ｊｎ（但し、Ｉｉ，ｊｎは離散時間ｎにおける画素（ｉ，ｊ）の画像輝度であり、ｕは画像上の位置（ｘ，ｙ）の速度ベクトルであり、δｔは時間間隔であり、∇≡（∂／∂ｘ，∂／∂ｙ）である））に代入し、前記離散時間ｎを１つずつ増加させて前記偏微分方程式を時間発展計算することで変位した前記２点の位置と、当該２点の間の第２の距離とを計算する第２の計算手段と、前記第２の格納手段から前記第１の距離を読み出して、前記第２の距離が当該第１の距離と同じ距離になるように、前記変位した２点の位置を当該２点を連結する方向に修正することで、前記離散時間ｎ後の画像を修正する位置修正手段と、を有することを要旨とする。
【００１０】
本発明にあっては、観測される静止画又は動画の１枚の画像上の離散化された任意の２点の間の第１の距離を計算し、その画像上の画像輝度を、有限差分式で記述される時間発展型の偏微分方程式（Ｉｉ，ｊｎ＋１＝Ｉｉ，ｊｎ−δｔ・ｕ・∇Ｉｉ，ｊｎ（但し、Ｉｉ，ｊｎは離散時間ｎにおける画素（ｉ，ｊ）の画像輝度であり、ｕは画像上の位置（ｘ，ｙ）の速度ベクトルであり、δｔは時間間隔であり、∇≡（∂／∂ｘ，∂／∂ｙ）である））に代入し、離散時間ｎを１つずつ増加させて偏微分方程式を時間発展計算することで変位した先の２点の位置と、該２点の間の第２の距離とを計算して、第２の距離が第１の距離と同じ距離になるように、変位した２点の位置を該２点を連結する方向に修正することで、離散時間ｎ後の画像を修正するため、有限差分法を用いて偏微分方程式の時間発展を計算することで生じた不自然なバラツキを持つ離散化された点の位置を修正する位置修正装置を提供することができる。
【００１１】
第２の請求項に係る発明は、前記位置修正手段が、前記変位した２点が弾性体で連結していると想定した弾性エネルギー関数を用いて、前記変位した２点の位置を修正することを要旨とする。
【００１２】
本発明にあっては、位置修正手段が、変位した２点が弾性体で連結していると想定した弾性エネルギー関数を用いて、変位した２点の位置を修正するため、修正に必要となる計算をより確実に行うことができる。
【００１３】
第３の請求項に係る発明は、コンピュータにより、観測される静止画又は動画の１枚の画像を入力する第１のステップと、前記画像を第１の格納手段に格納する第２のステップと、前記画像を前記第１の格納手段から読み出して、当該画像上の離散化された任意の２点の間の第１の距離を計算して、第２の格納手段に格納する第３のステップと、前記第１の格納手段から前記画像を読み出して、当該画像上の画像輝度を、有限差分式で記述される時間発展型の偏微分方程式（Ｉｉ，ｊｎ＋１＝Ｉｉ，ｊｎ−δｔ・ｕ・∇Ｉｉ，ｊｎ（但し、Ｉｉ，ｊｎは離散時間ｎにおける画素（ｉ，ｊ）の画像輝度であり、ｕは画像上の位置（ｘ，ｙ）の速度ベクトルであり、δｔは時間間隔であり、∇≡（∂／∂ｘ，∂／∂ｙ）である））に代入し、前記離散時間ｎを１つずつ増加させて前記偏微分方程式を時間発展計算することで変位した前記２点の位置と、当該２点の間の第２の距離とを計算する第４のステップと、前記第２の格納手段から前記第１の距離を読み出して、前記第２の距離が当該第１の距離と同じ距離になるように、前記変位した２点の位置を当該２点を連結する方向に修正することで、前記離散時間ｎ後の画像を修正する第５のステップと、を有することを要旨とする。
【００１４】
第４の請求項に係る発明は、前記第５のステップが、前記変位した２点が弾性体で連結していると想定した弾性エネルギー関数を用いて、前記変位した２点の位置を修正することを要旨とする。
【００１５】
第５の請求項に係る発明は、請求項３又は４に記載の位置修正方法における各ステップをコンピュータによって実行させることを要旨とする。
【発明の効果】
【００１６】
本発明によれば、有限差分式で記述される偏微分方程式の時間発展を計算することで生じた不自然なバラツキを持つ離散化された点の位置を修正する位置修正装置、位置修正方法、及び位置修正プログラムを提供することができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１７】
以下、本発明の実施の形態について図面を用いて説明する。
【００１８】
図１は、本実施の形態に係る位置修正装置の機能ブロックを示すブロック図である。この位置修正装置は、後述する偏微分方程式の時間発展計算に必要な各種データや画像を入力する入力部１０と、入力された各種データや画像を格納する第１の格納部２０と、その偏微分方程式の差分近似に用いる離散化された点間の初期の距離及び方向ベクトルを計算する第１の計算部３０と、計算された初期の距離及び方向ベクトルを格納する第２の格納部４０と、入力された画像上の画像データをその偏微分方程式に代入して時間発展計算により変位した点間の距離及び方向ベクトルを計算する第２の計算部５０と、計算後の点の位置を修正する位置修正部６０とを備えた構成である。
【００１９】
次に、本実施の形態に係る位置修正装置の処理動作について説明をする。最初に、利用者は、１次元信号や２次元信号等が含まれる１枚の初期画像（以降、単に「画像」と称する）と、差分近似や時間発展計算を行う際に必要となる各種データとを入力部１０に入力する（ステップＳ１０）。そして、入力された画像や各種データは、第１の格納部２０に格納される（ステップＳ１１）。なお、本実施の形態で用いる画像は、位置に対応した画像データを有する画像であって、画素（位置）に対応する画像の輝度値（画像データ）が含まれている。
【００２０】
続いて、第１の計算部３０は、入力された画像を第１の格納部２０から読み出して、式（１）に示す有限差分式で記述される時間発展型の偏微分方程式の差分近似に用いる画像上の離散化された任意の３点の間における初期の距離及び初期の方向ベクトルを計算する（ステップＳ１２）。
【００２１】
式（１）は、時間の変化に伴って変動する画像輝度を示す移流方程式（偏微分方程式）である。（Ｉｉ，ｊ）ｎは、離散時間ｎにおける画素（ｉ，ｊ）の画像輝度である。また、ｕは、所定の時間ｔにおける画像上の位置（ｘ，ｙ）の速度ベクトルである。そして、δｔは時間間隔である。
【数１】
0004527762.tif 000002
【００２２】
但し、∇≡（∂／∂ｘ，∂／∂ｙ）である。
【００２３】
式（１）に示す右辺の離散時間ｎを０（零）として全ての画素に対する離散時間ｎ＝１の画像輝度を計算する。次に、離散時間ｎを１として、離散時間ｎを０（零）とした際に計算された画像輝度を右辺の（Ｉｉ，ｊ）１に代入して全ての画素に対する離散時間ｎ＝２の画像輝度を計算する。以降同様の計算を繰り返し行うことで、離散時間ｎ後の画像輝度を計算することができる。なお、このように離散時間ｎを１つづつ増加させて時間進化を計算することを、時間発展計算という。
【００２４】
ここで、入力された画像上に存在する離散化された任意の３つの点を点Ａ，点Ｂ，点Ｃとし、それぞれの点はｘＡ＝（ｘ，ｙ）Ａ，ｘＢ＝（ｘ，ｙ）Ｂ，ｘＣ＝（ｘ，ｙ）Ｃの２次元座標の成分を持つものとすると、点Ａ−点Ｂ間の初期の単位ベクトルｅＡＢと、点Ｂ−点Ｃ間の初期の単位ベクトルｅＢＣとは、式（２）で計算することができる。
【数２】
0004527762.tif 000003
【００２５】
また、点Ａ−点Ｂ間の初期の距離（ｌＡＢ）０と、点Ｂ−点Ｃ間の初期の距離（ｌＢＣ）０とは、式（３）で計算することができる。
【数３】
0004527762.tif 000004
【００２６】
ステップＳ１３の後、式（２）及び式（３）を用いて計算された初期の距離及び初期の方向ベクトルは、第２の格納部４０に格納される（ステップＳ１３）。
【００２７】
次に、第２の計算部５０は、画像の輝度値を第１の格納部２０から読み出して式（１）に示された偏微分方程式に代入し、この偏微分方程式を時間発展計算することで変位した上記３点の位置と、変位後の３点の間の距離及び方向ベクトルを計算する（ステップＳ１４）。
【００２８】
例えば、図２の左側に示すように略一直線上にあったステップＳ１２で用いた３つの点が、図２の右側に示すように、点Ａ−点Ｂ間の距離が広がった場合、点Ａ−点Ｂ間を矢印ｍ及び矢印ｎの方向へ収縮させる必要がある。一方、点Ｂ−点Ｃ間の距離は縮まって且つ方向が変化しているので、点Ｂ−点Ｃ間を矢印ｎ及び矢印ｏの方向へ伸長させながら矢印ｐの方向へ回転させる必要がある。
【００２９】
そこで、ステップＳ１４では、離散時間ｎにおける点Ａ−点Ｂ間の変位後の単位ベクトル（ｅＡＢ）ｎと、点Ｂ−点Ｃ間の変位後の単位ベクトル（ｅＢＣ）ｎとを、式（４）を用いて計算する。
【数４】
0004527762.tif 000005
【００３０】
ただし、（ｘＡ）ｎ，（ｘＢ）ｎ，（ｘＣ）ｎは、変位後の点Ａ，点Ｂ，点Ｃの２次元座標位置である。この変位後の位置は、１つ前の離散時間ｎ−１の時に計算された各点の２次元座標位置を用いて後述する式（７）で計算することができる。
【００３１】
また、点Ａ−点Ｂ間の変位後の距離（ｌＡＢ）ｎと、点Ｂ−点Ｃ間の変位後の距離（ｌＢＣ）ｎとを、式（５）を用いて計算する。
【数５】
0004527762.tif 000006
【００３２】
そして、位置修正部６０は、変位後の距離（ｌＡＢ）ｎが、第２の格納部４０に格納されている初期の距離（ｌＡＢ）０と同じになるように、変位した点Ａ及び点Ｂの位置をこの２点の位置を連結する方向に修正すると共に、変位後の距離（ｌＢＣ）ｎが、第２の格納部４０に格納されている初期の距離（ｌＢＣ）０と同じになるように、変位した点Ｂ及び点Ｃの２次元座標位置をこの２点の位置を連結する方向に修正する。また、点Ｂ−点Ｃ間については、初期の方向ベクトルと同じ方向になるように点Ｂ又は点Ｃの位置を修正する（ステップＳ１５）。
【００３３】
具体的には、修正すべき方向ベクトルの単位ベクトルを式（６）で表現することができるので、ある離散時間ｎにおける３点のそれぞれの修正量及び修正方向は、式（７）を用いて計算することが可能となる。
【数６】
0004527762.tif 000007
【数７】
0004527762.tif 000008
【００３４】
なお、点Ｂは、点Ａと点Ｃとの合成力としている。
【００３５】
式（７）で示す右辺の式で計算される３点の位置を、次の離散時間ｎ＋１における変位前の３点の位置として繰り返し計算することで、差分化に伴った量子化誤差を各離散時間間で逐次修正することが可能となる。
【００３６】
ここで、式（７）は、３点を相互に移動させて計算するので、計算するコンピュータの処理能力によっては、１回の計算では決定されない可能性がある。これは、３点全体を通じてのバランスが取れていないことに起因している。そこで、全体を通じて一つの基準をつくるため、点と点との間が仮想のバネで連結されたモデルを想定する。即ち、計算の仮定で変位するバネが、復元力を利用してバネの初期状態に戻る様子をモデル化する。言い換えれば、弾性エネルギーの最小化問題に帰着させて計算することが可能となる。これにより、位置の修正に必要となる計算をより確実かつ迅速に行うことができる。
【００３７】
具体的には、式（８）で示すように、点Ａ−点Ｂの間と点Ｂ−点Ｃの間との２つの距離及び方向に関する弾性エネルギー関数を定義する。
【数８】
0004527762.tif 000009
【００３８】
なお、ｋＡＢ，ｋＢＣは弾性係数である。
【００３９】
従って、離散時間ｎにおける最適解は、式（８）の最小化問題として解くことが可能となる。即ち、最小化のための必要条件は、３つの未知の位置についての極値条件となる式（９）で与えられることになる。
【数９】
0004527762.tif 000010
【００４０】
ここで、式（８）及び式（９）を一般化すると、式（１０）及び式（１１）を得ることができる。
【数１０】
0004527762.tif 000011
【数１１】
0004527762.tif 000012
【００４１】
従って、式（１１）の条件下で、式（１０）の線形連立方程式を解くことにより、ある離散時間ｎにおける３点のそれぞれの修正量及び修正方向を計算することができる。
【００４２】
図３は、移流方程式で計算された解の誤差変化を、上述した方法を用いた場合（以降、「本法」と称する）と、本法を用いない（以降、「従来法」と称する）の場合とで比較したグラフである。実線で示す従来法の計算誤差は、時間が発展するに従って増大していることが分かる。また、移流項の差分近似として１次→２次→３次オーダーと高次の項を用いて近似することで測定誤差を次第に抑制する効果があるが、その効果には限界が存在することも分かる。
【００４３】
しかしながら、図３の破線で示す本法の場合、移流項の差分近似として１次オーダーで計算した場合であっても、時間発展計算による誤差の増大はほとんど見られないことが確認できる。なお、ここでいう解の計算誤差とは、初期のプロファイルを基準としたときに、点と点との間の距離が変化することから、その距離平均を意味している。また、本法は、従来法での時間幅よりも大きい値を用いることができ、このことから安定性についても確認することができる。
【００４４】
なお、本実施の形態では、距離及び方向ベクトルを用いて変位後の位置を修正する方法について説明したが、距離のみを修正する場合であっても、その修正後の位置を用いて次の離散時間に対して偏微分方程式の計算を行うため、３点の修正により後に計算される離散点が芋づるのように連続的に修正されるので、従来法を用いるよりも誤差を低減する効果を有し、離散化された点のばらつきを修正することが可能となる。
【００４５】
また、離散化された３点間の距離及び方向ベクトルについて説明したが、少なくとも２点間の距離及び方向ベクトルを用いて位置及び方向を修正すれば、同様の効果が得られることは言うまでもない。即ち、上述したように、２点の修正により、後に計算される離散点が芋づるのように連続的に修正されるので、２点の場合であっても同様の効果を得ることができる。
【００４６】
更に、本実施の形態では、２次元座標を一例として説明したが、ｚ軸方向としての高さを考慮することで、３次元座標を有する画像についても同様に拡張することが可能である。
【００４７】
このような位置修正方法は、マルチメディア分野，符号化分野，通信分野，気象予報分野，防災分野などにおいて、観測される静止画や動画の各種データを用いて偏微分方程式を時間発展問題として扱う分野に応用することが可能である。
【００４８】
最後に、本実施の形態で説明した位置修正装置は、少なくとも演算機能及び制御機能を備えた中央演算装置（ＣＰＵ）、プログラムやデータを格納する機能を有するＲＡＭ等からなる主記憶装置（メモリ）を有する電子的な装置から構成されているものである。また、各装置は、主記憶装置の他、ハードディスクなどの補助記憶装置を具備していてもよい。
【００４９】
また、本実施の形態に係る各ステップを実行するプログラムは、前述した位置修正装置に格納されているものである。そして、このプログラムは、ハードディスク、フレキシブルディスク、ＣＤ−ＲＯＭ、ＭＯ、ＤＶＤ−ＲＯＭなどのコンピュータ読み取り可能な記録媒体に記録することも、通信ネットワークを介して配信することも可能である。
【００５０】
本実施の形態によれば、有限差分式で記述される時間発展型の偏微分方程式の差分近似に用いる画像上の離散化された任意の２点の間の第１の距離を第１の計算部３０で計算し、画像上の画像データを該偏微分方程式に代入し、該偏微分方程式を時間発展計算することで変位した先の２点の位置と、該２点の間の第２の距離とを第２の計算部５０で計算して、位置修正部６０が、第２の距離が第１の距離と同じ距離になるように、変位した２点の位置を該２点を連結する方向に修正するので、有限差分法を用いて偏微分方程式の時間発展を計算することで生じた不自然なバラツキを持つ離散化された点の位置を修正する位置修正装置を提供することができる。
【００５１】
本実施の形態によれば、位置修正部６０が、変位した２点が弾性体で連結していると想定した弾性エネルギー関数を用いて、変位した２点の位置を修正するので、修正に必要となる計算をより確実に行うことができる。
【図面の簡単な説明】
【００５２】
【図１】本実施の形態に係る位置修正装置の機能ブロックを示すブロック図である。
【図２】初期の画像に表されているプロファイルと時間発展計算後に表されたプロファイルとの時間的な変化を示すグラフである。
【図３】移流方程式の解の誤差変化を、上述した方法を用いた場合と、用いない従来から用いられている一般的な解法の場合とで比較したグラフである。
【図４】初期の画像に表されているプロファイルと時間発展計算後に表されたプロファイルとの時間的な変化を示すグラフである。
【符号の説明】
【００５３】
１０…入力部
２０…第１の格納部
３０…第１の計算部
４０…第２の格納部
５０…第２の計算部
６０…位置修正部
Ｓ１０〜Ｓ１５…ステップ
【図１】
0004527762.tif 000013
【図２】
0004527762.tif 000014
【図３】
0004527762.tif 000015
【図４】
0004527762.tif 000016