(57)【要約】バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の値を計算する数値計算装置（１０）において、大小関係判定部（１３）は、オプションリスク指標の計算に用いられるボラティリティｖの値とあらかじめオーバーフローが生じると予測されるボラティリティｖのしきい値との間の大小関係を判定し、計算実行部（１４）は、ボラティリティｖの値がそのしきい値以上であると判定された場合に、特定の近似式および計算手順を用いてオプションリスク指標の計算を実行することにより、オーバーフローの発生を容易かつ効率的に抑制して、計算の無駄を省く。
2005027005.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の値を計算する数値計算装置であって、
前記バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の計算に用いられるボラティリティの値と所定の値との間の大小関係を判定する大小関係判定手段と、
前記大小関係判定手段により前記ボラティリティの値が所定の値よりも大きいまたは同じであると判定された場合に、前記バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の値の計算を実行する計算実行手段と、
を備えたことを特徴とする数値計算装置。
【請求項２】
前記計算実行手段は、所定の式と累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算する場合に、前記累乗に係る式と前記標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算し、計算された積の値に前記所定の式の値を掛けることにより前記所定の式と累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算することを特徴とする請求の範囲第１項に記載の数値計算装置。
【請求項３】
前記計算実行手段は、前記累乗に係る式と前記標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算する場合に、該標準正規分布の累積密度関数に係る式を近似した近似式（１）に基づいて該積の値を計算することを特徴とする請求の範囲第２項に記載の数値計算装置。
2005027005.tif 000028
【請求項４】
バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の値を計算する数値計算プログラムであって、
前記バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の計算に用いられるボラティリティの値と所定の値との間の大小関係を判定する大小関係判定手順と、
前記大小関係判定手順により前記ボラティリティの値が所定の値よりも大きいまたは同じであると判定された場合に、前記バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の値の計算を実行する計算実行手順と、
をコンピュータに実行させることを特徴とする数値計算プログラム。
【請求項５】
前記計算実行手順は、所定の式と累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算する場合に、前記累乗に係る式と前記標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算し、計算された積の値に前記所定の式の値を掛けることにより前記所定の式と累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算することを特徴とする請求の範囲第４項に記載の数値計算プログラム。
【請求項６】
前記計算実行手順は、前記累乗に係る式と前記標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算する場合に、該標準正規分布の累積密度関数に係る式を近似した近似式（１）に基づいて該積の値を計算することを特徴とする請求の範囲第５項に記載の数値計算プログラム。
2005027005.tif 000029
【発明の詳細な説明】
【技術分野】  この発明は、バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の値を計算する数値計算装置および数値計算プログラムに関し、特に、オーバーフローの発生を容易かつ効率的に抑制して、計算の無駄を省くことのできる数値計算装置および数値計算プログラムに関するものである。
【背景技術】  従来、株式・債権・通貨などの特定の原資産を、特定の期日・期間にあらかじめ定められた価格で売買する権利（オプション）を売買するオプション取引が広くおこなわれている。オプションを買う権利は、コールオプションと呼ばれ、売る権利はプットオプションと呼ばれる。
また、これらのオプションをさらに発展させたバリアオプションなども売買されるようになってきている。バリアオプションとは、原資産価値が一定の価格（バリア）に到達した場合に、オプションを行使する権利が消滅したり、発生したりするものである。
このようなオプションの売買価格（オプションプレミアム）を正確に予測することは、オプション取引をおこなう投資家にとって投資効果を上げるためにきわめて重要である。
そのため、特許文献１には、ベガやバンナなどのオプションリスク指標に基づいて、バリアオプションなどの市場におけるオプションプレミアムをよく近似計算することができるプレミアム計算方法が開示されている。
【特許文献１】  特開２００２−２３０３０４号公報
しかしながら、特許文献１に代表される従来技術では、オプションプレミアムやオプションリスク指標を数値計算する場合に、数値計算の実行結果がコンピュータが扱うことのできる数の最大値を超えてオーバーフローが発生してしまう可能性があり、それまでに実行した計算が無駄になるという問題があった。
すなわち、バリアオプションにおいては、オプションプレミアムの算出式あるいはオプションリスク指標の算出式内に、指数部にボラティリティｖの２乗の逆数１／ｖ２を含む累乗の式が頻繁に現れ、ボラティリティの値が非常に小さくなると、この指数部の値が大きくなり、累乗の式の値が非常に大きくなって、オーバーフローが発生しやすくなる。
また、オプションリスク指標の算出式には、ボラティリティｖの２乗の逆数１／ｖ２を含んだ式と上述の累乗の式との積が頻繁に現れ、ボラティリティの値が非常に小さくなると、累乗の式の値が大きくなるとともに、１／ｖ２を含んだ式の値も大きくなって、オーバーフローがさらに発生しやすくなる。
このようにしてオーバーフローが発生すると、オプションプレミアムやオプションリスク指標の計算実行に費やされた時間や処理が無駄となるという問題があり、特にこのことは、さまざまなパラメータを変化させながら何度も繰り返し計算をおこなう場合に大きな問題となる。また、ＣＰＵの性能が比較的低い電卓やＰＤＡ（Ｐｅｒｓｏｎａｌ  Ｄｉｇｉｔａｌ  Ａｓｓｉｓｔａｎｃｅ）などの携帯端末などで繰り返し計算を実行する場合にはさらに顕著な問題となってくる。
この発明は、上述した従来技術による問題点を解消するためになされたものであり、オーバーフローの発生を容易かつ効率的に抑制して、計算の無駄を省くことのできる数値計算装置および数値計算プログラムを提供することを目的とする。
【発明の開示】
本発明によれば、バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の値を計算する数値計算装置であって、前記バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の計算に用いられるボラティリティの値と所定の値との間の大小関係を判定する大小関係判定手段と、前記大小関係判定手段により前記ボラティリティの値が所定の値よりも大きいまたは同じであると判定された場合に、前記バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の値の計算を実行する計算実行手段と、を備えたことを特徴とする。
この発明によれば、バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の計算に用いられるボラティリティの値と所定の値との間の大小関係を判定し、ボラティリティの値が所定の値よりも大きいまたは同じであると判定された場合に、バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の値の計算を実行することとしたので、ボラティリティの値が極端に小さいかどうかを調べることにより、オーバーフローの発生を容易かつ効率的に抑制して、計算の無駄を省くことができる。
また、本発明によれば、前記計算実行手段は、所定の式と累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算する場合に、前記累乗に係る式と前記標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算し、計算された積の値に前記所定の式の値を掛けることにより前記所定の式と累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算することを特徴とする。
この発明によれば、所定の式と累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算する場合に、累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算し、計算された積の値に所定の式の値を掛けることにより所定の式と累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算することとしたので、絶対値の大きな累乗に係る式の値と０から１の範囲となる累積密度関数の値とをはじめに掛け算することによりオーバーフローが発生するのを抑制することができる。
また、本発明によれば、前記計算実行手段は、前記累乗に係る式と前記標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算する場合に、該標準正規分布の累積密度関数に係る式を近似した近似式（１）に基づいて該積の値を計算することを特徴とする。
2005027005.tif 000003
この発明によれば、累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算する場合に、標準正規分布の累積密度関数に係る式を近似した近似式（１）に基づいて積の値を計算することとしたので、効率的に累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算することができる。
また、本発明によれば、バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の値を計算する数値計算プログラムであって、前記バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の計算に用いられるボラティリティの値と所定の値との間の大小関係を判定する大小関係判定手順と、前記大小関係判定手順により前記ボラティリティの値が所定の値よりも大きいまたは同じであると判定された場合に、前記バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の値の計算を実行する計算実行手順と、をコンピュータに実行させることを特徴とする。
この発明によれば、バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の計算に用いられるボラティリティの値と所定の値との間の大小関係を判定し、ボラティリティの値が所定の値よりも大きいまたは同じであると判定された場合に、バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の値の計算を実行することとしたので、ボラティリティの値が極端に小さいかどうかを調べることにより、オーバーフローの発生を容易かつ効率的に抑制して、計算の無駄を省くことができる。
また、本発明によれば、前記計算実行手順は、所定の式と累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算する場合に、前記累乗に係る式と前記標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算し、計算された積の値に前記所定の式の値を掛けることにより前記所定の式と累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算することを特徴とする。
この発明によれば、所定の式と累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算する場合に、累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算し、計算された積の値に所定の式の値を掛けることにより所定の式と累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算することとしたので、絶対値の大きな累乗に係る式の値と０から１の範囲となる累積密度関数の値とをはじめに掛け算することによりオーバーフローが発生するのを抑制することができる。
また、本発明によれば、前記計算実行手順は、前記累乗に係る式と前記標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算する場合に、該標準正規分布の累積密度関数に係る式を近似した近似式（１）に基づいて該積の値を計算することを特徴とする。
2005027005.tif 000004
この発明によれば、累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算する場合に、標準正規分布の累積密度関数に係る式を近似した近似式（１）に基づいて積の値を計算することとしたので、効率的に累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算することができる。
【図面の簡単な説明】  第１図は、本実施の形態に係る数値計算装置の構成を示す機能ブロック図であり、第２図は、本実施の形態に係る数値計算装置のハードウェア構成を示す図であり、第３図は、第１図に示した数値計算装置がおこなう数値計算処理の処理手順を示すフローチャートであり、第４図は、デルタの計算式に代入される各種パラメータの一例を示す図である。
【発明を実施するための最良の形態】  以下、添付図面を参照して、この発明に係る数値計算装置および数値計算プログラムの好適な実施の形態を詳細に説明する。なお、ここでは、通貨を原資産とするダウンアンドアウトコールオプションのオプションリスク指標であるデルタの計算に本発明を適用した場合について説明する。
ダウンアンドアウトコールオプションは、バリアオプションの一種であり、原資産価格が当初の原資産価格より低く設定された一定の価格（バリア）に達すると、オプションの権利が消滅（ノックアウト）するコールオプションである。
このダウンアンドアウトコールオプションのオプションプレミアムは、
2005027005.tif 000005
により計算される。
ここで、ｐはオプションプレミアム、ｓはスポットレート、ｑは権利行使価格、ｃはバリア、ｖはボラティリティ、Ｔ１は約定日から権利行使期日までの期間（単位は年）、Ｔ１ｖは約定日のスポット日から権利行使期日のスポット日までの期間（単位は年）、Ｔ２ｖは約定日のスポット日から受渡日までの期間（単位は年）、ｒｄ１はＴ１ｖの期間に対応する通貨１（たとえば日本円など）の金利、ｒｄ２はＴ２ｖの期間に対応する通貨１の金利、ｒｆ１はＴ１ｖの期間に対応する通貨２（たとえば米国ドルなど）の金利、ｒｆ２はＴ２ｖの期間に対応する通貨２の金利である。
また、デルタ（Δ）は、オプションプレミアムの式をスポットレートｓで偏微分したものであり、
2005027005.tif 000006
により計算される。
はじめに、本実施の形態に係る数値計算装置の構成について説明する。第１図は、本実施の形態に係る数値計算装置の構成を示す機能ブロック図である。この数値計算装置１０は、式（７）によりデルタの値を計算する前に、ボラティリティｖの値が所定の値以上であるかどうかを判定し、所定の値以上である場合に計算を実行する。ここでは、所定の値以上である場合に計算を実行することとしたが、所定の値よりも大きい場合に（値が同じ場合は含めない）、計算を実行するようにしてもよい。
たとえば、式（７）には、
2005027005.tif 000007
という式が現れるが、それに含まれる累乗の式
2005027005.tif 000008
の指数部がボラティリティｖの２乗の逆数１／ｖ２を含んでいるため、ボラティリティｖの値が非常に小さい場合に指数部の値が大きくなる。その結果、累乗の計算値が非常に大きくなってオーバーフローが発生しやすくなる。
さらに、その累乗の式（９）と、
2005027005.tif 000009
の式との積の値の計算が実行されるが、この式（１０）もボラティリティｖの２乗の逆数１／ｖ２を含んでいるため、ボラティリティｖの値が非常に小さい場合に値が大きくなり、オーバーフローが起きやすくなる原因となる。
そこで、この数値計算装置１０では、ボラティリティｖの値が所定の値以上であるかどうかを判定することにより、デルタの計算を行うかどうかを決定し、ボラティリティｖの値が非常に小さい場合に、オーバーフローが発生し、無駄な計算をおこなうことを事前に防ぐことができる。
また、この数値計算装置１０は、式（７）において、たとえば、
2005027005.tif 000010
のような、式（１０）と、式（９）と、標準正規分布に対する累積密度関数の式Ｎ（ｄ２）との積の値を計算する場合に、はじめに式（９）と累積密度関数の式Ｎ（ｄ２）の値との積
2005027005.tif 000011
を計算し、その計算結果に式（１０）の値を掛ける処理をおこなう。これにより累積密度関数の式の値は０から１の範囲であるので、式（９）の値がコンピュータが扱うことのできる最大数に近い場合でも、オーバーフローが発生するのを抑制することができる。ここで、式（１２）に掛け算される式は、式（１０）に限らず、他の式であってもよい。
この数値計算装置１０は、入力部１１、表示部１２、大小関係判定部１３、計算実行部１４、入力パラメータ１５、記憶部１６および制御部１７を有する。入力部１１は、キーボードやマウスなどの入力デバイスであり、オプションプレミアムおよびデルタの計算に必要なパラメータの入力手段である。表示部１２は、ディスプレイなどの表示デバイスであり、計算結果などを表示する。
大小関係判定部１３は、入力を受け付けたボラティリティの値と所定の値との間の大小関係を判定する判定部である。この所定の値は、オプションプレミアムおよびデルタの計算をおこなうかどうかを判定するしきい値となるものであり、ボラティリティが小さいことによりオーバーフローを引き起こすことを抑制できる数値に設定される。
計算実行部１４は、入力を受け付けたパラメータに基づいて、オプションプレミアムおよびデルタの計算を実行する実行部である。デルタの計算式において、所定の式と累乗の式と標準正規分布に対する累積密度関数の式との積の値を計算する場合には、はじめに累乗の式と累積密度関数の式との積の値を計算し、その計算結果に所定の式の値を掛ける処理をおこなう。
さらに、累積密度関数の式の値の算出は、
2005027005.tif 000012
の近似式を用いておこなう。ここで、ａは、この近似式を適用することができるｄの範囲を定める所定の正の数であり、任意に設定することができる。ａが大きいほど、近似の精度をよくすることができる。式（１３）および式（１４）の近似式が成り立つことは後に証明する。
式（１３）および式（１４）を用いると、累乗の式ｘｙと累積密度関数の式との積は
2005027005.tif 000013
のようにして計算することができる。
累積密度関数の近似式には、以下のＡｂｒａｍｏｗｉｔｚとＳｔｅｇｕｎによる近似式（１９７２）
2005027005.tif 000014
が知られているが、式（１３）および式（１４）は、式（１７）および式（１８）に比べて計算が容易であり、効率的に短時間で計算をおこなうことができるという利点を有する。ただし、ここでは、式（１３）および式（１４）の近似式を用いることとしたが、式（１７）および式（１８）などの別の近似式を用いて計算をおこなってもよい。
入力パラメータ１５は、オプションプレミアムおよびデルタの計算に必要なパラメータであり、入力を受け付けたオプションプレミアムｐ、スポットレートｓ、権利行使価格ｑ、バリアｃ、ボラティリティｖ、約定日から権利行使期日までの期間Ｔ１、約定日のスポット日から権利行使期日のスポット日までの期間Ｔ１ｖ、約定日のスポット日から受渡日までの期間Ｔ２ｖ、Ｔ１ｖの期間に対応する通貨１の金利ｒｄ１、Ｔ２ｖの期間に対応する通貨１の金利ｒｄ２、Ｔ１ｖの期間に対応する通貨２の金利ｒｆ１、Ｔ２ｖの期間に対応する通貨２の金利ｒｆ２の各パラメータである。
記憶部１６は、ハードディスク装置などの２次記憶デバイスであり、オプションプレミアムおよびデルタの計算をおこなうためのプログラムなどが記憶されている。制御部１７は、数値計算装置１０を全体制御する制御部であり、各機能部間の各種データの授受などを司る制御部である。
ここで、式（１３）および式（１４）が標準正規分布に対する累積密度関数の式を十分な精度で近似できることを証明する。まず、
2005027005.tif 000015
が成り立つことを証明する。式（１９）および式（２０）は、
2005027005.tif 000016
が成り立つことから、
2005027005.tif 000017
により証明することができる。
続いて、
2005027005.tif 000018
が成り立つことを証明する。式（２４）は、積分の定理
2005027005.tif 000019
に対して
2005027005.tif 000020
の変数変換をおこなうことにより直ちに得られる。
続いて、式（１３）の証明をおこなう。式（１３）と標準正規分布に対する累積密度関数の式の差の絶対値をとると、
2005027005.tif 000021
となる。ここで、この式の導出には、式（１９）を用いている。また、
2005027005.tif 000022
であるので、
2005027005.tif 000023
となる。たとえば、ａ＝１００のときは、式（２９）の右辺の値は７．６９×１０−２４となり、式（１３）が累積密度関数を計算上十分な精度で近似していることがわかる。
続いて、式（１４）の証明をおこなう。式（１４）と標準正規分布に対する累積密度関数の式の差の絶対値をとると、
2005027005.tif 000024
となる。ここで、この式の導出には、式（２０）および式（２４）を用いている。また、
2005027005.tif 000025
であるので、
2005027005.tif 000026
となる。たとえば、ａ＝１００のときは、式（３２）の右辺の値は７．６９×１０−２４となり、式（１４）が累積密度関数を計算上十分な精度で近似していることがわかる。
次に、第１図に示した数値計算装置１０のハードウェア構成について説明する。第２図は、本実施の形態に係る数値計算装置１０のハードウェア構成を示す図である。同図に示すように、この数値計算装置１０は、キーボード２１、ディスプレイ２２、ＣＰＵ２３、ＲＡＭ２４、ＨＤＤ２５およびＲＯＭ２７をバス２０で接続した構成となる。
ＨＤＤ２５が格納および読み出し制御する記憶媒体であるハードディスク（ＨＤ）には、大小関係判定プログラム２４ａと計算実行プログラム２４ｂとが記憶されている。これらのプログラムは、ＲＡＭ２４にロードされ、ＣＰＵ２３により各プログラムのプロセスが実行される。この大小関係判定プログラム２４ａのプロセスが第１図に示した大小関係判定部１３に対応し、計算実行プログラム２４ｂのプロセスが第１図に示した計算実行部１４に対応する。
また、キーボード２１からの入力を受け付けた入力パラメータ１５は、ＲＡＭ２４に記憶され、オプションプレミアムおよびデルタの計算をおこなうために必要に応じてＣＰＵ２３により参照される。
次に、第１図に示した数値計算装置１０がおこなう数値計算処理の処理手順について説明する。第３図は、第１図に示した数値計算装置１０がおこなう数値計算処理の処理手順を示すフローチャートである。
同図に示すように、まず、オプションプレミアムおよびデルタの計算に必要な各種パラメータの入力を受け付ける（ステップＳ３０１）。そして、スポットレートｓがバリアｃより大きいかどうかを調べる（ステップＳ３０２）。
スポットレートｓがバリアｃよりも大きくない場合には（ステップＳ３０２，Ｎｏ）、オプションの権利が消滅（ノックアウト）していることを意味するため、ノックアウトしていることを示すメッセージを出力して（ステップＳ３０８）、この数値計算処理を終了する。
スポットレートｓがバリアｃよりも大きい場合には（ステップＳ３０２，Ｙｅｓ）、約定日のスポット日から権利行使期日のスポット日までの期間Ｔ１ｖに対応する通貨２の金利ｒｆ１が、約定日のスポット日から権利行使期日のスポット日までの期間Ｔ１ｖに対応する通貨１の金利ｒｄ１よりも大きいかどうかを調べる（ステップＳ３０３）。通貨２の金利ｒｆ１が通貨１の金利ｒｄ１よりも大きいということは、式（７）のデルタの計算式に現れる累乗の指数部が正の値となることを意味する。
通貨２の金利ｒｆ１が通貨１の金利ｒｄ１よりも大きくない場合には（ステップＳ３０３，Ｎｏ）、ステップＳ３０５に移行する。通貨２の金利ｒｆ１が通貨１の金利ｒｄ１よりも大きい場合には（ステップＳ３０３，Ｙｅｓ）、ボラティリティｖが所定の値以上であるかどうかを調べる（ステップＳ３０４）。
ボラティリティｖが所定の値以上でない場合には（ステップＳ３０４，Ｎｏ）、オーバーフローが生じるのを抑制するため、計算中止メッセージを出力し（ステップＳ３０９）、この数値計算処理を終了する。ボラティリティｖが所定の値以上である場合には（ステップＳ３０４，Ｙｅｓ）、式（２）〜式（６）を用いてオプションプレミアムの計算をおこなう（ステップＳ３０５）。
続いて、式（７）を用いてオプションリスク指標デルタの計算をおこなう（ステップＳ３０６）。オプションプレミアムやデルタの計算をおこなう際に、たとえば式（１１）のような、所定の式（１０）と累乗の式（９）と標準正規分布に対する累積密度関数の式（１３）または（１４）の積の値を計算する場合には、まず、式（９）と式（１３）または式（１４）の積の値を計算し、その積の値に式（１０）の値を掛け算して計算をおこなう。そして、最後に計算結果の出力をおこない（ステップＳ３０７）、この数値計算処理を終了する。
次に、オーバーフローを抑制する計算処理の計算結果の一例を示す。ここでは、式（７）のデルタの計算式内に含まれる式（１１）を計算する計算処理の計算結果について説明する。第４図は、デルタの計算式に代入される各種パラメータの一例を示す図である。
同図に示すように、この例では、スポットレートｓはバリアｃよりも大きく、ノックアウトをしていない。また、約定日のスポット日から権利行使期日のスポット日までの期間Ｔ１ｖに対応する通貨２の金利ｒｆ１が、約定日のスポット日から権利行使期日のスポット日までの期間Ｔ１ｖに対応する通貨１の金利ｒｄ１よりも大きいため、式（９）の指数部が正の値となる。
ここで、ボラティリティｖが「０．００００８」などの非常に小さい値となるような場合には、式（９）の指数部および式（１０）の値が非常に大きくなって、式（１１）の計算結果がオーバーフローとなりやすくなるので、ボラティリティｖがたとえば「０．０００１」よりも小さい場合には、デルタの計算を実行しないように処理をおこなう。
式（１０）の値を第４図に示したパラメータを用いて計算すると、「２２，４９９」となる。また、式（９）の値は、「３．４６６１×１０３０６」となり、式（１３）の近似式に基づいて計算した標準正規分布の累積密度関数Ｎ（ｄ２）の値は、「０」となる。式（９）の値は、コンピュータが６４ビット浮動小数点計算で扱える最大数「１．７９７７×１０３０８」に近い値となっている。
この場合、式（１０）の値「２２，４９９」と式（９）の値「３．４６６１×１０３０６」との積を計算すると、「７．７９８４×１０３１０」となってコンピュータが扱える最大数「１．７９７７×１０３０８」を越えてしまい、オーバーフローが発生する。そのため、式（１２）に示すように、累乗の式（９）の値と累積密度関数Ｎ（ｄ２）の値との積を先に計算し、その後、式（１０）の値を掛け算することにより、オーバーフローが発生することなく、式（１１）の値が「０」と計算できる。
上述してきたように、本実施の形態では、デルタの計算に用いられるボラティリティｖの値とあらかじめオーバーフローが生じると予測されるボラティリティｖのしきい値との間の大小関係を判定し、ボラティリティｖの値がそのしきい値以上であると判定された場合に、デルタの計算を実行することとしたので、オーバーフローの発生を容易かつ効率的に抑制して、計算の無駄を省くことができる。
さて、これまで本発明の実施の形態について説明したが、本発明は上述した実施の形態以外にも、請求の範囲に記載した技術的思想の範囲内において種々の異なる実施の形態にて実施されてもよいものである。
例えば、本実施の形態では、通貨を原資産とするダウンアンドアウトコールオプションのデルタの計算に本発明を適用した場合を示したが、本発明はこれに限定されるものではなく、株式や債権などを原資産とする式に対しても適用することができる。
また、ダウンアンドアウトコールオプションだけでなく、ダウンアンドアウトプットオプション、ダウンアンドインコールオプション、ダウンアンドインプットオプション、アップアンドアウトコールオプション、アップアンドアウトプットオプション、アップアンドインコールオプション、アップアンドインプットオプションなどの各バリアオプションのデルタの計算に対しても適用することができる。
さらに、デルタの計算だけでなく、バリアオプションのオプションプレミアムの計算やガンマ、シータ、ベガ、ローなどの他のオプションリスク指標の計算にも同様に適用することができる。
なお、本実施の形態において説明した各処理のうち、自動的におこなわれるものとして説明した処理の全部または一部を手動的におこなうこともでき、あるいは、手動的におこなわれるものとして説明した処理の全部または一部を公知の方法で自動的におこなうこともできる。この他、上記文書中や図面中で示した処理手順、制御手順、具体的名称、各種のデータやパラメータを含む情報については、特記する場合を除いて任意に変更することができる。
また、図示した数値計算装置１０の各構成要素は機能概念的なものであり、必ずしも物理的に図示のように構成されていることを必要としない。すなわち、数値計算装置１０の分散・統合の具体的形態は図示のものに限られず、その全部または一部を、各種の負荷や使用状況などに応じて、任意の単位で機能的または物理的に分散・統合して構成することができる。例えば、記憶部１６は、必ずしも数値計算装置１０内に設ける必要はなく、別のコンピュータ装置上で記憶部１６を管理し、ネットワークを介して必要なデータを送受信する場合も含まれる。
さらに、各装置にて行なわれる各処理機能は、その全部または任意の一部が、ＣＰＵおよび当該ＣＰＵにて解析実行されるプログラムにて実現され、あるいは、ワイヤードロジックによるハードウェアとして実現され得る。
なお、本実施の形態で説明した数値計算方法は、あらかじめ用意されたプログラムをパーソナル・コンピュータやワークステーションなどのコンピュータで実行することによって実現することができる。このプログラムは、インターネットなどのネットワークを介して配布することができる。また、このプログラムは、ハードディスク、フレキシブルディスク（ＦＤ）、ＣＤ−ＲＯＭ、ＭＯ、ＤＶＤなどのコンピュータで読み取り可能な記録媒体に記録され、コンピュータによって記録媒体から読み出されることによって実行することもできる。
以上説明したように、本発明によれば、バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の計算に用いられるボラティリティの値と所定の値との間の大小関係を判定し、ボラティリティの値が所定の値よりも大きいまたは同じであると判定された場合に、バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の値の計算を実行することとしたので、ボラティリティの値が極端に小さいかどうかを調べることにより、オーバーフローの発生を容易かつ効率的に抑制して、計算の無駄を省くことができるという効果を奏する。
また、本発明によれば、所定の式と累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算する場合に、累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算し、計算された積の値に所定の式の値を掛けることにより所定の式と累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算することとしたので、絶対値の大きな累乗に係る式の値と０から１の範囲となる累積密度関数の値とをはじめに掛け算することによりオーバーフローが発生するのを抑制することができるという効果を奏する。
また、本発明によれば、累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算する場合に、標準正規分布の累積密度関数に係る式を近似した近似式（１）に基づいて積の値を計算することとしたので、効率的に累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算することができるという効果を奏する。
2005027005.tif 000027
【産業上の利用可能性】  以上のように、本発明に係る数値計算装置および数値計算プログラムは、バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の値を計算するコンピュータ、電卓、ＰＤＡなどの携帯端末などの機器、および、それらの機器に導入されるソフトウェアに対して適用するのに適している。
【図１】
2005027005.tif 000030
【図２】
2005027005.tif 000031
【図３】
2005027005.tif 000032
【図４】
2005027005.tif 000033
【手続補正書】
【提出日】平成18年2月15日(2006.2.15)
【手続補正１】
【補正対象書類名】特許請求の範囲
【補正対象項目名】全文
【補正方法】変更
【補正の内容】
【特許請求の範囲】
【請求項１】
バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の値を計算する数値計算装置であって、
前記バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の計算に用いられるボラティリティの値と所定の値との間の大小関係を判定する大小関係判定手段と、
前記大小関係判定手段により前記ボラティリティの値が所定の値よりも大きいまたは同じであると判定された場合に、前記バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の値の計算を実行する計算実行手段と、
を備えたことを特徴とする数値計算装置。
【請求項２】
前記計算実行手段は、所定の式と累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算する場合に、前記累乗に係る式と前記標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算し、計算された積の値に前記所定の式の値を掛けることにより前記所定の式と累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算することを特徴とする請求の範囲第１項に記載の数値計算装置。
【請求項３】
前記計算実行手段は、前記累乗に係る式と前記標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算する場合に、該標準正規分布の累積密度関数に係る式を近似した近似式（１）に基づいて該積の値を計算することを特徴とする請求の範囲第２項に記載の数値計算装置。
【数１】
2005027005.tif 000034
【請求項４】
バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の値を計算する数値計算プログラムであって、
前記バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の計算に用いられるボラティリティの値と所定の値との間の大小関係を判定する大小関係判定手順と、
前記大小関係判定手順により前記ボラティリティの値が所定の値よりも大きいまたは同じであると判定された場合に、前記バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の値の計算を実行する計算実行手順と、
をコンピュータに実行させることを特徴とする数値計算プログラム。
【請求項５】
前記計算実行手順は、所定の式と累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算する場合に、前記累乗に係る式と前記標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算し、計算された積の値に前記所定の式の値を掛けることにより前記所定の式と累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算することを特徴とする請求の範囲第４項に記載の数値計算プログラム。
【手続補正２】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】全文
【補正方法】変更
【補正の内容】
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
この発明は、バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の値を計算する数値計算装置および数値計算プログラムに関し、特に、オーバーフローの発生を容易かつ効率的に抑制して、計算の無駄を省くことのできる数値計算装置および数値計算プログラムに関するものである。
【背景技術】
【０００２】
従来、株式・債権・通貨などの特定の原資産を、特定の期日・期間にあらかじめ定められた価格で売買する権利（オプション）を売買するオプション取引が広くおこなわれている。オプションを買う権利は、コールオプションと呼ばれ、売る権利はプットオプションと呼ばれる。
【０００３】
また、これらのオプションをさらに発展させたバリアオプションなども売買されるようになってきている。バリアオプションとは、原資産価値が一定の価格（バリア）に到達した場合に、オプションを行使する権利が消滅したり、発生したりするものである。
【０００４】
このようなオプションの売買価格（オプションプレミアム）を正確に予測することは、オプション取引をおこなう投資家にとって投資効果を上げるためにきわめて重要である。
【０００５】
そのため、特許文献１には、ベガやバンナなどのオプションリスク指標に基づいて、バリアオプションなどの市場におけるオプションプレミアムをよく近似計算することができるプレミアム計算方法が開示されている。
【０００６】
【特許文献１】特開２００２−２３０３０４号公報
【０００７】
しかしながら、特許文献１に代表される従来技術では、オプションプレミアムやオプションリスク指標を数値計算する場合に、数値計算の実行結果がコンピュータが扱うことのできる数の最大値を超えてオーバーフローが発生してしまう可能性があり、それまでに実行した計算が無駄になるという問題があった。
【０００８】
すなわち、バリアオプションにおいては、オプションプレミアムの算出式あるいはオプションリスク指標の算出式内に、指数部にボラティリティｖの２乗の逆数１／ｖ2を含む累乗の式が頻繁に現れ、ボラティリティの値が非常に小さくなると、この指数部の値が大きくなり、累乗の式の値が非常に大きくなって、オーバーフローが発生しやすくなる。
【０００９】
また、オプションリスク指標の算出式には、ボラティリティｖの２乗の逆数１／ｖ2を含んだ式と上述の累乗の式との積が頻繁に現れ、ボラティリティの値が非常に小さくなると、累乗の式の値が大きくなるとともに、１／ｖ2を含んだ式の値も大きくなって、オーバーフローがさらに発生しやすくなる。
【００１０】
このようにしてオーバーフローが発生すると、オプションプレミアムやオプションリスク指標の計算実行に費やされた時間や処理が無駄となるという問題があり、特にこのことは、さまざまなパラメータを変化させながら何度も繰り返し計算をおこなう場合に大きな問題となる。また、ＣＰＵの性能が比較的低い電卓やＰＤＡ（Ｐｅｒｓｏｎａｌ  Ｄｉｇｉｔａｌ  Ａｓｓｉｓｔａｎｃｅ）などの携帯端末などで繰り返し計算を実行する場合にはさらに顕著な問題となってくる。
【００１１】
この発明は、上述した従来技術による問題点を解消するためになされたものであり、オーバーフローの発生を容易かつ効率的に抑制して、計算の無駄を省くことのできる数値計算装置および数値計算プログラムを提供することを目的とする。
【発明の開示】
【００１２】
本発明によれば、バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の値を計算する数値計算装置であって、前記バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の計算に用いられるボラティリティの値と所定の値との間の大小関係を判定する大小関係判定手段と、前記大小関係判定手段により前記ボラティリティの値が所定の値よりも大きいまたは同じであると判定された場合に、前記バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の値の計算を実行する計算実行手段と、を備えたことを特徴とする。
【００１３】
この発明によれば、バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の計算に用いられるボラティリティの値と所定の値との間の大小関係を判定し、ボラティリティの値が所定の値よりも大きいまたは同じであると判定された場合に、バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の値の計算を実行することとしたので、ボラティリティの値が極端に小さいかどうかを調べることにより、オーバーフローの発生を容易かつ効率的に抑制して、計算の無駄を省くことができる。
【００１４】
また、本発明によれば、前記計算実行手段は、所定の式と累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算する場合に、前記累乗に係る式と前記標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算し、計算された積の値に前記所定の式の値を掛けることにより前記所定の式と累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算することを特徴とする。
【００１５】
この発明によれば、所定の式と累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算する場合に、累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算し、計算された積の値に所定の式の値を掛けることにより所定の式と累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算することとしたので、絶対値の大きな累乗に係る式の値と０から１の範囲となる累積密度関数の値とをはじめに掛け算することによりオーバーフローが発生するのを抑制することができる。
【００１６】
また、本発明によれば、前記計算実行手段は、前記累乗に係る式と前記標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算する場合に、該標準正規分布の累積密度関数に係る式を近似した近似式（１）に基づいて該積の値を計算することを特徴とする。
【数１】
2005027005.tif 000035
【００１７】
この発明によれば、累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算する場合に、標準正規分布の累積密度関数に係る式を近似した近似式（１）に基づいて積の値を計算することとしたので、効率的に累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算することができる。
【００１８】
また、本発明によれば、バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の値を計算する数値計算プログラムであって、前記バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の計算に用いられるボラティリティの値と所定の値との間の大小関係を判定する大小関係判定手順と、前記大小関係判定手順により前記ボラティリティの値が所定の値よりも大きいまたは同じであると判定された場合に、前記バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の値の計算を実行する計算実行手順と、をコンピュータに実行させることを特徴とする。
【００１９】
この発明によれば、バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の計算に用いられるボラティリティの値と所定の値との間の大小関係を判定し、ボラティリティの値が所定の値よりも大きいまたは同じであると判定された場合に、バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の値の計算を実行することとしたので、ボラティリティの値が極端に小さいかどうかを調べることにより、オーバーフローの発生を容易かつ効率的に抑制して、計算の無駄を省くことができる。
【００２０】
また、本発明によれば、前記計算実行手順は、所定の式と累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算する場合に、前記累乗に係る式と前記標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算し、計算された積の値に前記所定の式の値を掛けることにより前記所定の式と累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算することを特徴とする。
【００２１】
この発明によれば、所定の式と累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算する場合に、累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算し、計算された積の値に所定の式の値を掛けることにより所定の式と累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算することとしたので、絶対値の大きな累乗に係る式の値と０から１の範囲となる累積密度関数の値とをはじめに掛け算することによりオーバーフローが発生するのを抑制することができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２２】
以下、添付図面を参照して、この発明に係る数値計算装置および数値計算プログラムの好適な実施の形態を詳細に説明する。なお、ここでは、通貨を原資産とするダウンアンドアウトコールオプションのオプションリスク指標であるデルタの計算に本発明を適用した場合について説明する。
【００２３】
ダウンアンドアウトコールオプションは、バリアオプションの一種であり、原資産価格が当初の原資産価格より低く設定された一定の価格（バリア）に達すると、オプションの権利が消滅（ノックアウト）するコールオプションである。
【００２４】
このダウンアンドアウトコールオプションのオプションプレミアムは、
【数２】
2005027005.tif 000036
【数３】
2005027005.tif 000037
により計算される。
【００２５】
ここで、ｐはオプションプレミアム、ｓはスポットレート、ｑは権利行使価格、ｃはバリア、ｖはボラティリティ、Ｔ1は約定日から権利行使期日までの期間（単位は年）、Ｔ1vは約定日のスポット日から権利行使期日のスポット日までの期間（単位は年）、Ｔ2vは約定日のスポット日から受渡日までの期間（単位は年）、ｒd1はＴ1vの期間に対応する通貨１（たとえば日本円など）の金利、ｒd2はＴ2vの期間に対応する通貨１の金利、ｒf1はＴ1vの期間に対応する通貨２（たとえば米国ドルなど）の金利、ｒf2はＴ2vの期間に対応する通貨２の金利である。
【００２６】
また、デルタ（Δ）は、オプションプレミアムの式をスポットレートｓで偏微分したものであり、
【数４】
2005027005.tif 000038
により計算される。
【００２７】
はじめに、本実施の形態に係る数値計算装置の構成について説明する。第１図は、本実施の形態に係る数値計算装置の構成を示す機能ブロック図である。この数値計算装置１０は、式（７）によりデルタの値を計算する前に、ボラティリティｖの値が所定の値以上であるかどうかを判定し、所定の値以上である場合に計算を実行する。ここでは、所定の値以上である場合に計算を実行することとしたが、所定の値よりも大きい場合に（値が同じ場合は含めない）、計算を実行するようにしてもよい。
【００２８】
たとえば、式（７）には、
【数５】
2005027005.tif 000039
という式が現れるが、それに含まれる累乗の式
【数６】
2005027005.tif 000040
の指数部がボラティリティｖの２乗の逆数１／ｖ2を含んでいるため、ボラティリティｖの値が非常に小さい場合に指数部の値が大きくなる。その結果、累乗の計算値が非常に大きくなってオーバーフローが発生しやすくなる。
【００２９】
さらに、その累乗の式（９）と、
【数７】
2005027005.tif 000041
の式との積の値の計算が実行されるが、この式（１０）もボラティリティｖの２乗の逆数１／ｖ2を含んでいるため、ボラティリティｖの値が非常に小さい場合に値が大きくなり、オーバーフローが起きやすくなる原因となる。
【００３０】
そこで、この数値計算装置１０では、ボラティリティｖの値が所定の値以上であるかどうかを判定することにより、デルタの計算を行うかどうかを決定し、ボラティリティｖの値が非常に小さい場合に、オーバーフローが発生し、無駄な計算をおこなうことを事前に防ぐことができる。
【００３１】
また、この数値計算装置１０は、式（７）において、たとえば、
【数８】
2005027005.tif 000042
のような、式（１０）と、式（９）と、標準正規分布に対する累積密度関数の式Ｎ（ｄ2）との積の値を計算する場合に、はじめに式（９）と累積密度関数の式Ｎ（ｄ2）の値との積
【数９】
2005027005.tif 000043
を計算し、その計算結果に式（１０）の値を掛ける処理をおこなう。これにより累積密度関数の式の値は０から１の範囲であるので、式（９）の値がコンピュータが扱うことのできる最大数に近い場合でも、オーバーフローが発生するのを抑制することができる。ここで、式（１２）に掛け算される式は、式（１０）に限らず、他の式であってもよい。
【００３２】
この数値計算装置１０は、入力部１１、表示部１２、大小関係判定部１３、計算実行部１４、入力パラメータ１５、記憶部１６および制御部１７を有する。入力部１１は、キーボードやマウスなどの入力デバイスであり、オプションプレミアムおよびデルタの計算に必要なパラメータの入力手段である。表示部１２は、ディスプレイなどの表示デバイスであり、計算結果などを表示する。
【００３３】
大小関係判定部１３は、入力を受け付けたボラティリティの値と所定の値との間の大小関係を判定する判定部である。この所定の値は、オプションプレミアムおよびデルタの計算をおこなうかどうかを判定するしきい値となるものであり、ボラティリティが小さいことによりオーバーフローを引き起こすことを抑制できる数値に設定される。
【００３４】
計算実行部１４は、入力を受け付けたパラメータに基づいて、オプションプレミアムおよびデルタの計算を実行する実行部である。デルタの計算式において、所定の式と累乗の式と標準正規分布に対する累積密度関数の式との積の値を計算する場合には、はじめに累乗の式と累積密度関数の式との積の値を計算し、その計算結果に所定の式の値を掛ける処理をおこなう。
【００３５】
さらに、累積密度関数の式の値の算出は、
【数１０】
2005027005.tif 000044
の近似式を用いておこなう。ここで、ａは、この近似式を適用することができるｄの範囲を定める所定の正の数であり、任意に設定することができる。ａが大きいほど、近似の精度をよくすることができる。式（１３）および式（１４）の近似式が成り立つことは後に証明する。
【００３６】
式（１３）および式（１４）を用いると、累乗の式ｘyと累積密度関数の式との積は
【数１１】
2005027005.tif 000045
のようにして計算することができる。
【００３７】
累積密度関数の近似式には、以下のＡｂｒａｍｏｗｉｔｚとＳｔｅｇｕｎによる近似式（１９７２）
【数１２】
2005027005.tif 000046
が知られているが、式（１３）および式（１４）は、式（１７）および式（１８）に比べて計算が容易であり、効率的に短時間で計算をおこなうことができるという利点を有する。ただし、ここでは、式（１３）および式（１４）の近似式を用いることとしたが、式（１７）および式（１８）などの別の近似式を用いて計算をおこなってもよい。
【００３８】
入力パラメータ１５は、オプションプレミアムおよびデルタの計算に必要なパラメータであり、入力を受け付けたオプションプレミアムｐ、スポットレートｓ、権利行使価格ｑ、バリアｃ、ボラティリティｖ、約定日から権利行使期日までの期間Ｔ1、約定日のスポット日から権利行使期日のスポット日までの期間Ｔ1v、約定日のスポット日から受渡日までの期間Ｔ2v、Ｔ1vの期間に対応する通貨１の金利ｒd1、Ｔ2vの期間に対応する通貨１の金利ｒd2、Ｔ1vの期間に対応する通貨２の金利ｒf1、Ｔ2vの期間に対応する通貨２の金利ｒf2の各パラメータである。
【００３９】
記憶部１６は、ハードディスク装置などの２次記憶デバイスであり、オプションプレミアムおよびデルタの計算をおこなうためのプログラムなどが記憶されている。制御部１７は、数値計算装置１０を全体制御する制御部であり、各機能部間の各種データの授受などを司る制御部である。
【００４０】
ここで、式（１３）および式（１４）が標準正規分布に対する累積密度関数の式を十分な精度で近似できることを証明する。まず、
【数１３】
2005027005.tif 000047
が成り立つことを証明する。式（１９）および式（２０）は、
【数１４】
2005027005.tif 000048
が成り立つことから、
【数１５】
2005027005.tif 000049
により証明することができる。
【００４１】
続いて、
【数１６】
2005027005.tif 000050
が成り立つことを証明する。式（２４）は、積分の定理
【数１７】
2005027005.tif 000051
に対して
【数１８】
2005027005.tif 000052
の変数変換をおこなうことにより直ちに得られる。
【００４２】
続いて、式（１３）の証明をおこなう。式（１３）と標準正規分布に対する累積密度関数の式の差の絶対値をとると、
【数１９】
2005027005.tif 000053
となる。ここで、この式の導出には、式（１９）を用いている。また、
【数２０】
2005027005.tif 000054
であるので、
【数２１】
2005027005.tif 000055
となる。たとえば、ａ＝１００のときは、式（２９）の右辺の値は７．６９×１０-24となり、式（１３）が累積密度関数を計算上十分な精度で近似していることがわかる。
【００４３】
続いて、式（１４）の証明をおこなう。式（１４）と標準正規分布に対する累積密度関数の式の差の絶対値をとると、
【数２２】
2005027005.tif 000056
となる。ここで、この式の導出には、式（２０）および式（２４）を用いている。また、
【数２３】
2005027005.tif 000057
であるので、
【数２４】
2005027005.tif 000058
となる。たとえば、ａ＝１００のときは、式（３２）の右辺の値は７．６９×１０-24となり、式（１４）が累積密度関数を計算上十分な精度で近似していることがわかる。
【００４４】
次に、第１図に示した数値計算装置１０のハードウェア構成について説明する。第２図は、本実施の形態に係る数値計算装置１０のハードウェア構成を示す図である。同図に示すように、この数値計算装置１０は、キーボード２１、ディスプレイ２２、ＣＰＵ２３、ＲＡＭ２４、ＨＤＤ２５およびＲＯＭ２７をバス２０で接続した構成となる。
【００４５】
ＨＤＤ２５が格納および読み出し制御する記憶媒体であるハードディスク（ＨＤ）には、大小関係判定プログラム２４ａと計算実行プログラム２４ｂとが記憶されている。これらのプログラムは、ＲＡＭ２４にロードされ、ＣＰＵ２３により各プログラムのプロセスが実行される。この大小関係判定プログラム２４ａのプロセスが第１図に示した大小関係判定部１３に対応し、計算実行プログラム２４ｂのプロセスが第１図に示した計算実行部１４に対応する。
【００４６】
また、キーボード２１からの入力を受け付けた入力パラメータ１５は、ＲＡＭ２４に記憶され、オプションプレミアムおよびデルタの計算をおこなうために必要に応じてＣＰＵ２３により参照される。
【００４７】
次に、第１図に示した数値計算装置１０がおこなう数値計算処理の処理手順について説明する。第３図は、第１図に示した数値計算装置１０がおこなう数値計算処理の処理手順を示すフローチャートである。
【００４８】
同図に示すように、まず、オプションプレミアムおよびデルタの計算に必要な各種パラメータの入力を受け付ける（ステップＳ３０１）。そして、スポットレートｓがバリアｃより大きいかどうかを調べる（ステップＳ３０２）。
【００４９】
スポットレートｓがバリアｃよりも大きくない場合には（ステップＳ３０２，Ｎｏ）、オプションの権利が消滅（ノックアウト）していることを意味するため、ノックアウトしていることを示すメッセージを出力して（ステップＳ３０８）、この数値計算処理を終了する。
【００５０】
スポットレートｓがバリアｃよりも大きい場合には（ステップＳ３０２，Ｙｅｓ）、約定日のスポット日から権利行使期日のスポット日までの期間Ｔ1vに対応する通貨２の金利ｒf1が、約定日のスポット日から権利行使期日のスポット日までの期間Ｔ1vに対応する通貨１の金利ｒd1よりも大きいかどうかを調べる（ステップＳ３０３）。通貨２の金利ｒf1が通貨１の金利ｒd1よりも大きいということは、式（７）のデルタの計算式に現れる累乗の指数部が正の値となることを意味する。
【００５１】
通貨２の金利ｒf1が通貨１の金利ｒd1よりも大きくない場合には（ステップＳ３０３，Ｎｏ）、ステップＳ３０５に移行する。通貨２の金利ｒf1が通貨１の金利ｒd1よりも大きい場合には（ステップＳ３０３，Ｙｅｓ）、ボラティリティｖが所定の値以上であるかどうかを調べる（ステップＳ３０４）。
【００５２】
ボラティリティｖが所定の値以上でない場合には（ステップＳ３０４，Ｎｏ）、オーバーフローが生じるのを抑制するため、計算中止メッセージを出力し（ステップＳ３０９）、この数値計算処理を終了する。ボラティリティｖが所定の値以上である場合には（ステップＳ３０４，Ｙｅｓ）、式（２）〜式（６）を用いてオプションプレミアムの計算をおこなう（ステップＳ３０５）。
【００５３】
続いて、式（７）を用いてオプションリスク指標デルタの計算をおこなう（ステップＳ３０６）。オプションプレミアムやデルタの計算をおこなう際に、たとえば式（１１）のような、所定の式（１０）と累乗の式（９）と標準正規分布に対する累積密度関数の式（１３）または（１４）の積の値を計算する場合には、まず、式（９）と式（１３）または式（１４）の積の値を計算し、その積の値に式（１０）の値を掛け算して計算をおこなう。そして、最後に計算結果の出力をおこない（ステップＳ３０７）、この数値計算処理を終了する。
【００５４】
次に、オーバーフローを抑制する計算処理の計算結果の一例を示す。ここでは、式（７）のデルタの計算式内に含まれる式（１１）を計算する計算処理の計算結果について説明する。第４図は、デルタの計算式に代入される各種パラメータの一例を示す図である。
【００５５】
同図に示すように、この例では、スポットレートｓはバリアｃよりも大きく、ノックアウトをしていない。また、約定日のスポット日から権利行使期日のスポット日までの期間Ｔ1vに対応する通貨２の金利ｒf1が、約定日のスポット日から権利行使期日のスポット日までの期間Ｔ1vに対応する通貨１の金利ｒd1よりも大きいため、式（９）の指数部が正の値となる。
【００５６】
ここで、ボラティリティｖが「０．００００８」などの非常に小さい値となるような場合には、式（９）の指数部および式（１０）の値が非常に大きくなって、式（１１）の計算結果がオーバーフローとなりやすくなるので、ボラティリティｖがたとえば「０．０００１」よりも小さい場合には、デルタの計算を実行しないように処理をおこなう。
【００５７】
式（１０）の値を第４図に示したパラメータを用いて計算すると、「２２，４９９」となる。また、式（９）の値は、「３．４６６１×１０306」となり、式（１３）の近似式に基づいて計算した標準正規分布の累積密度関数Ｎ（ｄ2）の値は、「０」となる。式（９）の値は、コンピュータが６４ビット浮動小数点計算で扱える最大数「１．７９７７×１０308」に近い値となっている。
【００５８】
この場合、式（１０）の値「２２，４９９」と式（９）の値「３．４６６１×１０306」との積を計算すると、「７．７９８４×１０310」となってコンピュータが扱える最大数「１．７９７７×１０308」を越えてしまい、オーバーフローが発生する。そのため、式（１２）に示すように、累乗の式（９）の値と累積密度関数Ｎ（ｄ2）の値との積を先に計算し、その後、式（１０）の値を掛け算することにより、オーバーフローが発生することなく、式（１１）の値が「０」と計算できる。
【００５９】
上述してきたように、本実施の形態では、デルタの計算に用いられるボラティリティｖの値とあらかじめオーバーフローが生じると予測されるボラティリティｖのしきい値との間の大小関係を判定し、ボラティリティｖの値がそのしきい値以上であると判定された場合に、デルタの計算を実行することとしたので、オーバーフローの発生を容易かつ効率的に抑制して、計算の無駄を省くことができる。
【００６０】
さて、これまで本発明の実施の形態について説明したが、本発明は上述した実施の形態以外にも、請求の範囲に記載した技術的思想の範囲内において種々の異なる実施の形態にて実施されてもよいものである。
【００６１】
例えば、本実施の形態では、通貨を原資産とするダウンアンドアウトコールオプションのデルタの計算に本発明を適用した場合を示したが、本発明はこれに限定されるものではなく、株式や債権などを原資産とする式に対しても適用することができる。
【００６２】
また、ダウンアンドアウトコールオプションだけでなく、ダウンアンドアウトプットオプション、ダウンアンドインコールオプション、ダウンアンドインプットオプション、アップアンドアウトコールオプション、アップアンドアウトプットオプション、アップアンドインコールオプション、アップアンドインプットオプションなどの各バリアオプションのデルタの計算に対しても適用することができる。
【００６３】
さらに、デルタの計算だけでなく、バリアオプションのオプションプレミアムの計算やガンマ、シータ、ベガ、ローなどの他のオプションリスク指標の計算にも同様に適用することができる。
【００６４】
なお、本実施の形態において説明した各処理のうち、自動的におこなわれるものとして説明した処理の全部または一部を手動的におこなうこともでき、あるいは、手動的におこなわれるものとして説明した処理の全部または一部を公知の方法で自動的におこなうこともできる。この他、上記文書中や図面中で示した処理手順、制御手順、具体的名称、各種のデータやパラメータを含む情報については、特記する場合を除いて任意に変更することができる。
【００６５】
また、図示した数値計算装置１０の各構成要素は機能概念的なものであり、必ずしも物理的に図示のように構成されていることを必要としない。すなわち、数値計算装置１０の分散・統合の具体的形態は図示のものに限られず、その全部または一部を、各種の負荷や使用状況などに応じて、任意の単位で機能的または物理的に分散・統合して構成することができる。例えば、記憶部１６は、必ずしも数値計算装置１０内に設ける必要はなく、別のコンピュータ装置上で記憶部１６を管理し、ネットワークを介して必要なデータを送受信する場合も含まれる。
【００６６】
さらに、各装置にて行なわれる各処理機能は、その全部または任意の一部が、ＣＰＵおよび当該ＣＰＵにて解析実行されるプログラムにて実現され、あるいは、ワイヤードロジックによるハードウェアとして実現され得る。
【００６７】
なお、本実施の形態で説明した数値計算方法は、あらかじめ用意されたプログラムをパーソナル・コンピュータやワークステーションなどのコンピュータで実行することによって実現することができる。このプログラムは、インターネットなどのネットワークを介して配布することができる。また、このプログラムは、ハードディスク、フレキシブルディスク（ＦＤ）、ＣＤ−ＲＯＭ、ＭＯ、ＤＶＤなどのコンピュータで読み取り可能な記録媒体に記録され、コンピュータによって記録媒体から読み出されることによって実行することもできる。
【００６８】
以上説明したように、本発明によれば、バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の計算に用いられるボラティリティの値と所定の値との間の大小関係を判定し、ボラティリティの値が所定の値よりも大きいまたは同じであると判定された場合に、バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の値の計算を実行することとしたので、ボラティリティの値が極端に小さいかどうかを調べることにより、オーバーフローの発生を容易かつ効率的に抑制して、計算の無駄を省くことができるという効果を奏する。
【００６９】
また、本発明によれば、所定の式と累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算する場合に、累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算し、計算された積の値に所定の式の値を掛けることにより所定の式と累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算することとしたので、絶対値の大きな累乗に係る式の値と０から１の範囲となる累積密度関数の値とをはじめに掛け算することによりオーバーフローが発生するのを抑制することができるという効果を奏する。
【００７０】
また、本発明によれば、累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算する場合に、標準正規分布の累積密度関数に係る式を近似した近似式（１）に基づいて積の値を計算することとしたので、効率的に累乗に係る式と標準正規分布の累積密度関数に係る式との積の値を計算することができるという効果を奏する。
【数１】
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【産業上の利用可能性】
【００７１】
以上のように、本発明に係る数値計算装置および数値計算プログラムは、バリアオプションに係るオプションプレミアムおよび／またはオプションリスク指標の値を計算するコンピュータ、電卓、ＰＤＡなどの携帯端末などの機器、および、それらの機器に導入されるソフトウェアに対して適用するのに適している。
【図面の簡単な説明】
【００７２】
【図１】第１図は、本実施の形態に係る数値計算装置の構成を示す機能ブロック図である。
【図２】第２図は、本実施の形態に係る数値計算装置のハードウェア構成を示す図である。
【図３】第３図は、第１図に示した数値計算装置がおこなう数値計算処理の処理手順を示すフローチャートである。
【図４】第４図は、デルタの計算式に代入される各種パラメータの一例を示す図である。
【国際調査報告】
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