(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
フィードバック制御系の制御ゲインを所定の評価基準に従って設定する方法であって、
制御対象の入出力応答に基づき、前記評価基準に従って制御ゲインの満たすべき制約式を導出するとともに、制御対象の入出力応答に係るデータを所定数以上、準備し、
前記制約式をこれに対し十分条件となる凸制約の式で近似し、この近似式に前記所定数以上の入出力応答のデータを代入して、パラメータ空間に制御ゲインの非反証領域を所定数以上、規定し、
それら所定数以上の非反証領域の積集合の領域において、制御ゲインの最適値を線形計画法若しくは線形行列不等式によって求める
ことを特徴とするフィードバック制御ゲインの設定方法。
【請求項２】
近似式は線形制約式とし、制御ゲインの最適値を、非反証領域の積集合の領域において線形計画法によって求めることを特徴とする請求項１に記載の制御ゲイン設定方法。
【請求項３】
定常状態にある制御対象にステップ入力又はランプ入力のいずれかを加えてその出力を計測することにより、当該制御対象の実際の入出力応答データを少なくとも１つ採取し、
前記実際の入出力応答データを、互いに異なる帯域の所定数以上のバンドパスフィルタを通過させて、入出力応答に係る所定数以上のデータを得る
ことを特徴とする請求項１又は２のいずれかに記載の制御ゲイン設定方法。
【請求項４】
制御対象が、互いに独立した複数の入出力チャンネルを有する場合に、各チャンネル毎に１つずつ入力を加え且つ全てのチャンネルの出力を計測して、全チャンネル数の入出力応答データを採取することを特徴とする請求項３に記載の制御ゲイン設定方法。
【請求項５】
フィードバック制御系の制御ゲインを所定の評価基準に従って設定するためのコンピュータプログラムであって、
制御対象の入出力応答に基づき、前記評価基準に従って制御ゲインを反証するための反証演算式が予め設定されていて、
制御対象の入出力応答に係るデータを所定数以上、前記反証演算式に代入して、パラメータ空間に制御ゲインの非反証領域を所定数以上、規定する領域演算ステップと、
前記所定数以上の非反証領域の積集合の領域において、制御ゲインの最適値を線形計画法若しくは線形行列不等式によって演算するゲイン演算ステップと、を備え、
前記反証演算式は、前記評価基準に基づいて導出される制御ゲインの制約式を、これに対し十分条件となる凸制約の式で近似したものである
ことを特徴とするフィードバック制御ゲインの設定支援プログラム。
【請求項６】
反証演算式は線形制約式であり、ゲイン演算ステップでは制御ゲインの最適値を線形計画法によって演算することを特徴とする請求項５に記載の制御ゲイン設定支援プログラム。
【請求項７】
制約式は、パラメータ空間における超楕円体の外部領域を表すものであり、
反証演算式は前記超楕円体を、その中心点とパラメータ空間の原点とを結ぶ線分が当該超楕円体と交わる点で当該超楕円体に接する超平面で近似するものである
ことを特徴とする請求項６に記載の制御ゲイン設定支援プログラム。
【請求項８】
非反証領域の積集合の領域を所定のゲイン平面に写像し、ゲイン演算ステップで演算した制御ゲインの最適値に対応する点とともに、画像表示装置に表示させる画像表示ステップをさらに備える
ことを特徴とする請求項５〜７のいずれか１つに記載の制御ゲイン設定支援プログラム。
【請求項９】
制御対象の実際の入出力応答データが入力されるのに応じて、このデータを、互いに異なる帯域の所定数以上のバンドパスフィルタを通過させることにより、入出力応答に係る所定数以上のデータを生成するデータ生成ステップをさらに備える
ことを特徴とする請求項５〜８のいずれか１つに記載の制御ゲイン設定支援プログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明はフィードバック制御に関し、特に制御ゲインの設定方法に係る。
【背景技術】
【０００２】
従来より、制御対象の不確かさや未知の外乱による影響を軽減するために、その制御対象からの出力をセンサにより検出し、これをフィードバックして操作量を決定する、所謂フィードバック制御が広く実用に供されている。このようなフィードバック制御系の解析や設計においては近年、制御対象の数式モデルを用いる方法が主流になっているが、現実のシステムへ適用した場合はモデルの同定と制御系の設計との反復に陥ることが多く、多大な労力が必要となる。
【０００３】
また、例えば化学プラントや鉄鋼の製造プロセス等の生産現場では、平常運転状態で十分な実験を行うことが難しい等の理由から、制御対象の数式モデルを得ること自体が困難な場合も多い。このような現場では従来一般的にＰＩＤ制御器が用いられており、その制御ゲインを熟練の技術者が主に経験による勘に頼って調整してきたが、後継者不足によってそのようなノウハウの伝承も困難な状況にあり、早急な対策が求められている。
【０００４】
また、ＰＩＤのような古典的制御よりも高度の制御手法として、例えば多変数の状態フィードバックやロバスト制御等、所謂現代制御理論が知られているが、これらは適確な数式モデルを構築することがさらに難しいことが多く、また、制御器の構造が複雑になることから現場での微調整が極めて困難なこともあって、実際のシステムに適用されている例は少ない。
【０００５】
これに対し、数式モデルを求めることなく、制御対象の入出力応答データから直接的に制御器を設計する方法も種々、提案されており、例えば非反証制御やＩＦＴ（Iterative feedback tuning）、ＶＲＦＴ（virtual reference feedback tuning）等の手法が知られている。非反証制御は、制御対象の入出力応答データに基づいて評価基準を満たさない制御器を排除し、排除しきれない（非反証）制御器を使用するというものであり、数式モデルを必要としないことの他に、感度関数や相補感度関数のゲイン特性を用いたロバスト制御の評価基準を利用できる、という特長がある。
【０００６】
本願の発明者らも例えば非特許文献１において、非反証制御の考え方をオフラインでの制御系設計に適用し、パラメータ平面上に所定の評価基準で反証されたゲインの領域を描くという手法を提案している。具体的には、所定の評価基準に従ってＰＩＤ制御器の満たすべきゲイン条件の制約式を導出し、これに制御対象の多数の入出力応答データを代入して、各データ毎にＰゲイン、Ｉゲイン、Ｄゲインのそれぞれが満たすべき具体的な制約式を導く。
【０００７】
こうして各データ毎に求めた多数の制約式は、それぞれ、仮想のパラメータ空間（超空間）において超楕円体の外部領域を表すものであり、この超楕円体を例えばＰゲイン及びＩゲインのパラメータ平面（ＰＩ平面）に写像すると、一例を図１６に示すように、それぞれの超楕円体は楕円や双曲線になって、そのいずれにも含まれない領域（図には斜めハッチングを入れて示す）が非反証領域として描かれる。こうして視覚化された非反証領域を見れば、ユーザは、ＰゲインやＩゲインの最適値を選択することができる。
【０００８】
また、前記の文献には、制御対象の入出力応答データとしては周波数応答データが好ましく、これを所定数以上（例えば１００〜２００くらい）用いれば十分な反証ができるものの、一般に周波数応答実験は多大な時間とコストがかかり、実際の生産現場では多数のデータを採取することは困難なため、制御対象にステップ入力等を加えて採取した単一の入出力応答データから多数のデータを生成させる、という手法も開示されている。
【非特許文献１】「バンドパスフィルタを用いた反証に基づくＰＩＤゲインの調整」，システム制御情報学会論文誌，Vol.20，No.8，pp.347-354，2007
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００９】
ところで、前記従来例（非特許文献１）のようにパラメータ平面上で非反証領域を視覚化することは大変に有用であるが、Ｐ、Ｉ、Ｄのように制御ゲインの数が三つになっただけでも、一つのパラメータ平面の様子から全体を把握することは難しくなり、最適解を求めるためにはパラメータ平面を切り替えて複数回、非反証領域を描くという煩雑な作業が必要になる。
【００１０】
ましてや制御対象が多入力多出力系になると、ＰＩ制御器であっても制御ゲインの数は最小でも４以上になってしまい、前記のように視覚化された非反証領域を見ながらユーザが制御ゲインの最適値を選ぶことは現実的とは言い難い。このことは、同様に多入力多出力系を扱う現代制御理論に基づく制御器にも当てはまり、この場合にも前記従来例の如き手法は適用できないと言える。
【００１１】
斯かる点に鑑みて本発明の目的は、上述の如く非反証制御の考え方をオフラインでの制御系設計に適用するに際して、反証条件の与え方に工夫を凝らし、制御ゲインの最適値を計算によって求め得るようにすることで、その設定が極めて容易になり、多入力多出力系にも適用可能な画期的な方法を提供することにある。
【課題を解決するための手段】
【００１２】
前記の目的を達成すべく本発明は、従来例と同様に制御対象の入出力応答データを代入して、非反証領域を規定するための制約式を適切な近似式に置き換えることによって、その非反証領域を凸性を有するものとし、制御ゲインの最適値を容易に計算できるようにしたものである。
【００１３】
すなわち請求項１の発明は、フィードバック制御系の制御ゲインを所定の評価基準に従って設定する方法であって、まず、制御対象の入出力応答に基づき、前記評価基準に従って制御ゲインの満たすべき制約式を導出するとともに、制御対象の入出力応答に係るデータを所定数以上、準備する。それから前記の制約式を、これに対し十分条件となる凸制約の式で近似した上で、この近似式に前記所定数以上の入出力応答のデータを代入して、パラメータ空間に制御ゲインの非反証領域を所定数以上、規定する。そして、それら所定数以上の非反証領域の積集合の領域において制御ゲインの最適値を、線形計画法若しくは線形行列不等式によって求める。
【００１４】
前記の方法により、まず、上述した従来例と同様に所定の評価基準に従って、フィードバック制御の満たすべき条件から制御ゲインに関する制約式を導出するとともに、この制約式を十分条件となる凸制約の式で近似する。この近似式に制御対象の入出力応答のデータを所定数以上、代入すれば、それぞれによって仮想のパラメータ空間内に制御ゲインの非反証領域が規定され、それら所定数以上の非反証領域の積集合の領域（これも非反証領域である）が特定される。
【００１５】
そうして凸制約の近似式によって各データ毎に規定される個々の非反証領域は、いずれも凸型であり、それらの積集合も凸型になるので、この積集合において任意の制御ゲインの値が最大或いは最小になる点は、線形計画法若しくは線形行列不等式によって容易に求めることができる。よって、その点に対応する制御ゲインの最適値を計算によって求めることができる。
【００１６】
好ましいのは、制御ゲインの制約式を線形制約で近似することであり、こうすれば、非反証領域の積集合において制御ゲインの最適値を線形計画法によって求めることができるから、比較的計算が簡単になり、制御ゲインの設定をさらに容易に行える（請求項２）。
【００１７】
また、上述したように生産現場等で多数の入出力応答データを採取することは困難なので、従来例と同様に、制御対象から採取した実際の入出力応答データを所定数以上のバンドパスフィルタに通して、所定数以上の入出力応答データを得るようにするのがよい。こうすれば少なくとも１つの実測データから有意性のある所定数以上のデータが得られ、これにより所要の精度で制御ゲインの反証を行うことができる（請求項３）。尚、実測する際に制御対象に加える信号はステップ入力又はランプ入力でよい。
【００１８】
さらに、制御対象が、互いに独立した複数の入出力チャンネルを有する場合には、各チャンネル毎に１つずつ入力を加え且つ全てのチャンネルの出力を計測することにより、全チャンネル数の入出力応答データを採取すればよい（請求項４）。
【００１９】
前記した方法は通常はコンピュータ装置を利用して実行されるものであり、本発明は、そのためのコンピュータプログラムを対象とする。すなわち、請求項５の発明は、フィードバック制御系の制御ゲインを所定の評価基準に従って設定するためのコンピュータプログラムであって、これには、制御対象の入出力応答に基づき、前記評価基準に従って制御ゲインを反証するための反証演算式が予め設定されている。
【００２０】
そして、前記プログラムは、制御対象の入出力応答に係るデータを所定数以上、前記反証演算式に代入して、パラメータ空間に制御ゲインの非反証領域を所定数以上、規定する領域演算ステップと、これらの非反証領域の積集合の領域において、制御ゲインの最適値を線形計画法若しくは線形行列不等式によって演算するゲイン演算ステップと、を備えるものであって、前記の評価基準に基づいて導出される制御ゲインの制約式を、これに対し十分条件となる凸制約の式で近似して、この近似式を前記反証演算式として用いることが特徴である。
【００２１】
この設定支援プログラムを用いれば、前記請求項１に係るフィードバック制御ゲインの設定方法を容易に実行することができる。前記の反証演算式としては、制御ゲインの制約式を線形制約で近似したものが好ましく、こうすれば、前記請求項２の発明と同じく制御ゲインの最適値を線形計画法によって求めることができる（請求項６）。
【００２２】
より具体的に、前記制御ゲインの制約式に入出力応答データを代入すると、仮想のパラメータ空間（超空間）における超楕円体の外部領域を表す不等式が得られるが、この領域は凹領域であり、局所的な最適解が必ずしも大域的な最適解にはならないから、計算によって制御ゲインの最適値を求めることはできない。そこで、前記超楕円体をこれに接する超平面によって近似（線形近似）することが考えられるが、その際に両者の接点をどこにするかが問題になる。
【００２３】
ここで、パラメータ空間の原点では制御ゲインの全ての値が零であるから、制御対象自体が安定であればフィードバック制御系も安定になる。このことからパラメータ空間の原点は非反証領域に含まれると見なすことができ、この原点と前記超楕円体の中心点とを結ぶ線分が当該超楕円体と交わる点を、この超楕円体と超平面との接点とすればよい（請求項７）。こうすれば比較的簡単な計算でもって、制約式を適切に線形近似する反証演算式が得られる。
【００２４】
前記の設定支援プログラムにおいて好ましいのは、非反証領域の積集合の領域を所定のゲイン平面に写像し、ゲイン演算ステップで演算した制御ゲインの最適値に対応する点とともに、画像表示装置に表示させる画像表示ステップも備えることである（請求項８）。こうすれば、画像表示を見たユーザは、計算された制御ゲインの最適値の様子、すなわち例えばＰＩ制御の場合はＩゲインを最大化したときのＰゲインの値の大きさ等、他のゲインとの関係や余裕について直感的に把握することができるので、設定結果に対して安心感が得られる。また、必要に応じてゲインの設定値を修正する上でも有利になる。
【００２５】
さらに、前記の設定支援プログラムには、制御対象の実際の入出力応答データが入力されるのに応じて、このデータを、互いに異なる帯域の所定数以上のバンドパスフィルタを通過させることにより、入出力応答に係る所定数以上のデータを生成するデータ生成ステップも備えることが好ましい（請求項９）。こうすれば、前記請求項３の発明に係る作用が得られる。
【発明の効果】
【００２６】
以上のように、本発明に係るフィードバック制御ゲインの設定方法等によると、非反証制御の考え方をオフラインでの制御系設計に適用し、制御対象の入出力応答データにより制御ゲインを反証してその最適値を求める場合に、その反証条件である制約式を凸制約の式で近似することで、これによりパラメータ空間に規定される非反証領域が凸性を有するものとなる。よって、それらの非反証領域の積集合の領域において制御ゲインの最適値を線形計画法等の計算により求めることができるようになり、多入力多出力系にも適用可能な画期的なゲイン設定方法を提供できる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２７】
以下、本発明の実施形態を図面に基づいて説明する。尚、以下の好ましい実施形態の説明は、本質的に例示に過ぎず、本発明、その適用物或いはその用途を制限することを意図するものではない。
【００２８】
図１には、本発明に係る制御ゲインの設定方法を実行するための一般的なコンピュータ装置の一例を示す。図の例ではパーソナル・コンピュータからなるコンピュータ装置１には、キーボード２やマウス３等の入力機器とディスプレー４（画像表示装置）とが備えられ、ハードディスク等の記憶装置５が内蔵されている。尚、記憶装置５はコンピュータ装置１に内蔵する必要はなく、勿論、ハードディスクにも限定されない。コンピュータ装置１は、演算処理を行うＣＰＵの他、ＲＯＭやＲＡＭ、Ｉ／Ｏ回路等の備わった一般的な構造のものである。
【００２９】
この実施形態のゲイン設定方法は、一例として図２に模式的に示す一般的なフィードバック制御系においてＰＩＤ制御器Ｋのゲインを最適化するために用いられる。同図においては信号ｒが目標値であり、これを受けた制御器Ｋからは操作量ｕが出力され、これに外乱ｗを加えたものが制御対象（プラント）Ｐへの入力ｅとなる。これを受けてプラントＰから出力される制御量ｙはセンサにより計測されて制御器Ｋに入力される。
【００３０】
尚、目標値ｒ、操作量ｕ、外乱ｗ、入力ｅ、出力ｙは、制御系が１入力１出力であればスカラーであり、多入力多出力の系であればベクトル（∈Ｒm）である。制御器Ｋは一般的なＰＩＤ制御器であり、制御系が多入力多出力の場合、それらの複数の入出力が互いに関連して１つのフィードバックループを構成する集中制御の場合と、複数個のフィードバックループを構成する分散制御の場合とがあり得る。
【００３１】
本発明の特徴は、非反証制御の考え方に基づいて、プラントＰの数式モデルを用いずに制御ゲインの最適値を設定することにあり、そのためのプログラム（設計支援プログラム）が記憶装置５に記憶されていて、ユーザが入力機器２，３を介して所定の操作を行うと、コンピュータ装置１のＣＰＵにより読み出されたプログラムがＲＡＭに常駐して実行されるようになる。
【００３２】
そのプログラムには、予め設定した評価基準に従いプラントＰの入出力応答のデータに基づいて、制御ゲインを反証するための演算式（反証演算式）が設定されており、これにより制御ゲインの仮想的な反証を所定数以上、行ってパラメータ空間に規定した非反証領域において制御ゲインを最適化（例えば積分ゲインＫIを最大化）するＰ、Ｉ、Ｄの各ゲインの値を求めることができる。
【００３３】
（基本的な考え方）
次に、前記のようにゲインの最適値を求めるときの基本的な考え方を説明する。まず、前記図２のフィードバック制御系における新しいループ整形問題を与え、次にその問題をプラントが線形時不変という仮定の下でＰＩＤゲインに関する線形計画問題に帰着する。尚、以下の説明においては信号ｗ(t)∈Ｒn,ｖ(t)∈Ｒn,ｔ∈［０,∞）に対して次の式(A)〜(D)のような表記を用いる。また、任意の行列Ａの(i,j)要素を[A]ijで表し、任意のベクトルｂのｉ要素を[b]iで表す。
【００３４】
【数１】
0005213026.tif 000002
【００３５】
−新しいループ整形問題−
前記の如く図２に示した基本的なフィードバック制御系において目標値ｒ＝０の場合を考えると、このときには操作量ｕに外乱ｗを加えたものがプラントＰへの入力ｅとなるから、次式(1)〜(3)が得られる。尚、ｙ、ｅ、ｕ、ｗ∈Ｒm であり、プラントＰは線形時不変でｍ入力ｍ出力とし、制御器Ｋは次式(4)のＰＩＤ制御器とする。
【００３６】
【数２】
0005213026.tif 000003
【００３７】
尚、ＫP、ＫI、ＫDは、それぞれ比例ゲイン（Ｐゲイン）、積分ゲイン（Ｉゲイン）、微分ゲイン（Ｄゲイン）を表す定数行列であり、個々の要素は設計パラメータとして扱うことも定数（通常はゼロ）に固定することも可能である。集中制御の場合には密行列とすることができ、分散制御の場合には対角行列とすることができる。
【００３８】
前記のような制御系において高いロバスト安定性を確保するためには制御器ＫのゲインＫP、ＫI、ＫDを大きくして系の特性変化や外乱に対する感度を低下させることが求められる。一般にフィードバック系の感度と安定余裕を評価する有用な評価基準として最大感度Ｍsが用いられ、前記の制御系については以下の式(5)(6)によって定義される。ここで、Ｓは感度関数であり、これは入力側：Ｓ＝(Ｉ+ＫＰ)-1と出力側：Ｓ＝(Ｉ+ＰＫ)-1との２種類があるが、ここでは後述の制約式の導出のために入力側に限る。
【００３９】
【数３】
0005213026.tif 000004
【００４０】
最大感度Ｍsの適正値は１．２〜２．０の範囲にあることが知られており、γ∈[1.2,2]を用いると、この評価指標は以下の式(7)のように表される。この式(7)は、Ｈ∞ノルムを用いて以下の式(8)のように表され、時間領域では以下の等価な条件で与えられる。すなわち、ｅ=Ｓｗに対して以下の式(9)が全てのｗ∈Ｌ2m で成り立つことである。
【００４１】
【数４】
0005213026.tif 000005
【００４２】
こうして、まず、フィードバック制御系の外乱に対する安定性等を考慮し、ＰＩＤ制御器Ｋの満たすべき条件として、感度関数Ｓの最大値が所定以下という制約から制御ゲインＫP、ＫI、ＫDに関する前記の制約式(7)〜(9)が導出された。
【００４３】
ここで、良く知られていることであるが、σmax{Ｓ(jω)}＜１が満たされる周波数ωにおいてフィードバック制御により外乱が抑制される。σmax{Ｓ(jω)}の値が小さいほどにωにおける抑制効果は大きい。より良い応答のためには低周波数から中間周波数にかけて、より広い範囲でσmax{Ｓ(jω)}が小さいことが望ましい。
【００４４】
また、σmin{ＫIＰ(0)}＞０とすれば、次の式(10)の近似が低周波数で満たされる。この式と前記式(7)から感度関数Ｓのゲイン特性(ω,σmax{Ｓ(jω)})は図３に示される形状になると期待されるので、近似式(10)をσmax{Ｓ(jω)}＜１に代入すると、以下の式(11)が得られる。これより、周波数区間[0,σmin{ＫIＰ(0)}]においてフィードバック制御により外乱が抑制されると期待でき、その周波数区間は積分ゲインＫIを大きくすることで拡張できることが分かった。
【００４５】
【数５】
0005213026.tif 000006
【００４６】
以上より、フィードバック制御ゲインを最適化するループ整形問題として「制約式(8)の下で積分ゲインＫIを最大にせよ」が与えられた。ＫIは行列なので、その大きさを評価する指標はいくつか考えられる。一例としてＫIが対角行列である場合は、以下の式(12)で与えられる評価値αを大きくする問題が考えられる。
【００４７】
【数６】
0005213026.tif 000007
【００４８】
ここで、制約式(8)の評価基準をＨ∞制御理論で用いられる標準的な評価基準と比較すると、この標準的な評価基準では重み関数Ｖ(s)を用いて ‖Ｖ(s)Ｓ(s)‖∞＜γ となり、この条件から Ｖ(s)=ｖ(s)Ｉ とおいて σmax{Ｓ(jω)}＜γ/|ｖ(jω)|，ω∈Ｒ となり、大雑把に言って適切な重みＶ(s)は最適なＳ(s)のゲイン特性の逆数 1/σmax{Ｓ(jω)} で決定されることが分かる。しかしながら最適なＳ(s)はＶ(s)を与えないと決まらないので、重み選択の選定のために制御系設計の反復に陥ることになる。
【００４９】
これに対しこの実施形態の方法によれば、上述した問題設定において式(7)のγを容易に選定できるので、制御器Ｋのゲインが決定すべき唯一のパラメータとなり、この特性を利用して後述のように反復を必要としない設計法を構築することができる。
【００５０】
−線形制約式の導出−
より具体的に、プラントＰの入出力応答ｅ(t)，ｙ(t)が有限時間区間ｔ∈[0,T]で与えられる場合について前記のループ整形問題を解く。但し、プラントＰはｔ＝０で定常状態であり、線形時不変とする（尚、この線形時不変という仮定は、後述するようにｅ、ｙのフィルタリングによって仮想的に入出力応答データを生成するためのものである）。
【００５１】
ループ整形問題は、前記した式(1)〜(3)で表されるフィードバック制御系を対象として、「全てのｗ∈Ｌ2 に対して次式(13)が成り立つ。」という制約条件の下で積分ゲインＫIを最大化するＰＩＤ制御器を求めることである。但し、積分ゲインＫIの大きさは、その要素に線形な式で評価されるとし、制御対象に依存して別途定義される。尚、評価基準の表現として周波数領域表現(8)の代わりに時間領域表現(13)を用いるのは、そのほうが以下の議論に適しているからである．
【００５２】
【数７】
0005213026.tif 000008
【００５３】
次に前記式(13)に従って、プラントＰの入出力応答データから制御ゲインＫP、ＫI、ＫDの満たすべき制約式を導出する。詳しい説明は省略するが、入出力安定理論より、フィードバック制御系が因果性を満たしており時刻ｔ＝０で定常状態にあるとすると、式(13)が満たされるならば任意の時刻ｔ＝Ｔ＞０について、以下の式(14)が成立する。換言すれば、式(14)が成り立たなければ式(13)も成り立たない。前者は有限区間のデータで判別できるが、後者はできず、実際には有限時間区間のデータしか得られないので、この性質は有用である。
【００５４】
【数８】
0005213026.tif 000009
【００５５】
そして、前記式(14)から式(15)が得られ、ｅ，ｙを与える外乱ｗは、式(16)で与えられる。この式(16)に式(4)を代入すると、以下の式(17)が得られる。但し、yI(t)、yD(t)は各々式(18)(19)で与えられる。尚、式(17)で与えられる外乱ｗは、モデルを用いない制御設計法では仮想的外乱と呼ばれる。これは、実際のシステムにおいて外乱ｗが(17)式に従い入力に加わっている必要はなく、応答ｅ，ｙを与える外乱ｗを、Ｋを用いて逆算しているからである。
【００５６】
【数９】
0005213026.tif 000010
【００５７】
式(17)に以下の式(20)を代入した上で、これを式(15)に代入すると、以下の式(21)が得られる。式(20)は、制御ゲインＫ = [ＫP，ＫI，ＫD]の一般化したパラメータ空間（超空間）における任意の点をベクトルｖ(t)∈Ｒn で表したものであり、式(21)は、上述のループ整形問題におけるシステムの安定性に係る評価基準である式(8)(13)に従って導出された、各制御ゲインＫP、ＫI、ＫDの満たすべき制約式である。
【００５８】
【数１０】
0005213026.tif 000011
【００５９】
ここで前記の制約式(21)にプラントＰの入出力応答データｅ(t)，ｙ(t)，ｔ∈［0,T］（以下、簡略に（ｅ，ｙ）と記す）を代入すると、即ちｅとｙとを固定すると、模式的には図４に示すように、パラメータ空間において超楕円体Ｏ（図では斜線を入れて示す超球）の外部領域を表す不等式が得られる。この領域は、プラントＰの１つの入出力応答データに基づいて制御ゲインを反証した結果、得られる１つの非反証領域である。
【００６０】
ところで、そうしてｅ、ｙを固定すると、制約式(21)は制御ゲインＫ=[ＫP，ＫI，ＫD]に関して凹制約になるが、一般に知られているように最適化問題では非凸制約を扱うことは困難である。すなわち、式(21)で表される超楕円体Ｏの外部領域は凹領域であって、局所的な最適解が必ずしも大域的な最適解にはならないから、計算によって制御ゲインの最適値を求めることができないからである。
【００６１】
そこで、以下では、式(21)からこれに対し十分条件となる線形制約を導くことにする。イメージとしては図４の超楕円体Ｏをこれに接する超平面ｐによって近似することを考える。具体的には、まず、超楕円体Ｏと超平面ｐとの接点をｖ0(t)として以下の式（22)が得られ、これを展開すると式(23)が得られる。
【００６２】
【数１１】
0005213026.tif 000012
【００６３】
一方で、前記式(21)から以下の式(24)が得られ、この式(24)と前記式(23)とから以下の式（25)が得られる。
【００６４】
【数１２】
0005213026.tif 000013
【００６５】
ベクトルｙのｉ要素を[y]iと表し，行列Ｋの(i,j)要素を[Ｋ]ijで表すと、式(25)は、次式(26)のようにＰＩＤゲインの線形制約式になっている。但し、４つの係数ａPij、ａIij、ａDij、bは、いずれもプラントＰの入出力応答データ（ｅ，ｙ）によって決まり、以下の式(27)〜(30)で与えられる。
【００６６】
【数１３】
0005213026.tif 000014
【００６７】
尚、分散制御の場合は制御ゲインＫP、ＫI、ＫDがいずれも対角行列になるので、前記式(26)〜(29)は、以下の式(31)〜(34)のようになる
【００６８】
【数１４】
0005213026.tif 000015
【００６９】
斯くしてパラメータ空間において前記式(21)に係る超楕円体Ｏを式(26)、(31)のような超平面ｐで近似し、非線形の制約式(21)を線形制約で近似できることが分かったが、こうして近似するときには超楕円体Ｏと超平面ｐとの接点ｖ0をどこにするか決めなくてはならない。
【００７０】
この点については、まず、制御系を安定化させる任意のＰＩＤ制御器を仮定し、これの制御ゲインに対応するパラメータ空間内の点、即ち式(20)におけるｖ(t)を、ｖa(t)と表記すると、このｖ(t)＝ｖa(t)は式(21)を満足すると見なすことができる。一方で式(21)を満たす点ｖ(t)の集合は、図４に示すようにパラメータ空間において中心点が−ｅ(t)で半径が、‖ｅ(t)‖2／γ の超楕円体Ｏの外部領域に対応しており、前記の仮定からｖa(t)は超楕円体Ｏの外部に存在することになる。
【００７１】
そこで、図示のように接点ｖ0を、超楕円体Ｏの中心点（−ｅ）と前記の点ｖaとを結ぶ線分が当該超楕円体Ｏと交わる点とすれば、この接点ｖ0において超楕円体Ｏに接する超平面ｐによって、超楕円体Ｏを適切に近似できると考えられる。この超平面ｐは、そのような接点ｖ0を用いた前記式(26)等で表される。
【００７２】
より具体的に、超楕円体Ｏの中心点（−ｅ）と点ｖaとを結ぶ線分は、以下の式(35)で記述されるので、これを式(21)に代入して以下の式(36)を得る。これより、係数ｑの最小値ｑ0を以下の式(37)として、接点ｖ0は次式(38)で与えられる。
【００７３】
【数１５】
0005213026.tif 000016
【００７４】
上記の説明では式(21)がｖ＝ｖaで満たされると仮定したが、これより０＜ｑ0＜１が満たされている。仮にｑ0＞１であるとすれば、これは点ｖaが超楕円体Ｏの内部にあって、線形近似が成り立たないことを意味するからである。
【００７５】
ここで、前記の点ｖ＝ｖaがパラメータ空間の原点にあると仮定すると、このときには制御ゲインＫP、ＫI、ＫDの全ての値が零であり、制御器Ｋからの出力ｕ（操作量）も零になるので、プラントＰ自体が安定であればフィードバック制御系も安定になる。よって、パラメータ空間の原点は式(21)を満たす制御ゲインの値を与えるもので、超楕円体Ｏによって規定される非反証領域に含まれると考えてよい（図６の◆印を参照）。
【００７６】
そこで、簡易にはパラメータ空間の原点と超楕円体Ｏの中心点とを結ぶ線分が当該超楕円体Ｏと交わる点を、この超楕円体Ｏと超平面ｐとの接点とすることができ、こうすれば、比較的簡単な計算でもって制約式(21)の適切な線形近似が行える。この実施形態では、そうして制約式(21)を線形近似した式(26)(31)を、プラントＰの入出力応答のデータに基づいて制御ゲインを反証するための反証演算式としてプログラムに設定している。
【００７７】
−入出力データの生成−
上述した反証演算式にプラントＰの入出力応答データ（ｅ，ｙ）を１つ、入力すれば、これによりパラメータ空間に１つの超楕円体Ｏが規定され、これを線形近似する１つの超平面ｐによって制御ゲインの非反証領域が１つ規定されることが分かった。線形計画法によってゲインの最適値を決めるには概ね１００〜２００程度の非反証領域が必要であるから、プラントＰから実際に所定数以上の入出力応答データを採取することも考えられる。
【００７８】
すなわち、図２のフィードバック制御系において目標値ｒ≠０で外乱ｗ＝０とすれば、式(2)(3)から ｅ＝Ｋ（ｒ−ｙ） となる。そこで、例えばｍ入力ｍ出力系のプラントＰが定常状態のときに、ｉ番目の目標値[r]iにステップ入力（ランプ入力でもよい）を加えて入出力データ｛ｅ(t)，ｙ(t)｝を実測し、これをｅj，ｙjで表す。この手順をｍ回繰り返してｍ組の入出力応答データｅj，ｙj，ｊ＝１，２，…ｍ が得られる。
【００７９】
しかしながら、実際の生産現場では前記のようにして多数のデータを採取することは困難な場合も多いので、従来例（非特許文献１）にも開示されているが、前記のようにして実測した少なくとも１つの入出力応答データｅ，ｙから仮想的なデータ ｅij(t)，ｙij(t)，ｉ＝１，２，…，nF，ｊ＝１，２，…,ｍ を以下の式(39)(40)に従って求めるようにする。これらの式においてＦi(s)はバンドパスフィルタに対応する安定な伝達関数である。ｅij(t)はｍ次元ベクトルなので、Ｆi(s)ｅij(t)は、ｅij(t)の各要素に独立にフィルタＦi(s)を用いることを表す。
【００８０】
【数１６】
0005213026.tif 000017
【００８１】
上述の如くプラントＰは線形時不変で、ｔ＝０では定常状態にあと仮定しているので、以下の式(41)が満たされる。これは、データｅij(t)、ｙij(t)がプラントＰの入出力応答であることを意味している。
【００８２】
【数１７】
0005213026.tif 000018
【００８３】
斯くして、従来例（非特許文献１）と同様に、プラントＰから採取した少なくとも１つの入出力応答データを、互いに異なる帯域の所定数以上のバンドパスフィルタを通過させることにより、所定数以上の仮想の入出力応答データを生成することができる。尚、バンドパスフィルタは、ＦＦＴのアルゴリズムによって実現することができる。
【００８４】
（具体的な手順）
次に、上述のように生成した入出力応答データによってフィードバック制御ゲインの最適値を求める具体的な手順を図５のフローチャートに沿って具体的に説明する。
【００８５】
まず、図示のフローのステップＳ１では、上述したように、定常状態にあるフィードバック制御系（図２参照）に目標値ｒとしてステップ入力等を加え、プラントＰへの入力ｅ(t)と出力ｙ(t)とを計測することにより、入出力応答データ（ｅ，ｙ）を少なくとも１つ採取する。尚、プラントＰが多入力多出力であれば、その各チャンネル毎に１つずつ入力を加え、且つ全てのチャンネルの出力を計測して全チャンネル数の入出力応答データを採取すればよい。
【００８６】
続いてステップＳ２において、前記の採取した入出力応答データ（ｅ，ｙ）をコンピュータ装置１へ入力するとともに、制御系の評価基準であるガンマγの値を１．２〜２．０の範囲で設定して、設定支援プログラムを実行する。尚、入出力応答データ（ｅ，ｙ）はｔ＝０での定常値が零でない場合もあるので、次のステップに進む前に ｙ(t)−ｙ(-0)，ｅ(t) −ｅ(-0)，ｔ∈[0,T]のようにバイアスを除去することが望ましい。
【００８７】
そしてステップＳ３では、前記実際の入出力応答データ（ｅ，ｙ）をバンドパスフィルタに通して所定数以上の仮想的な入出力応答データを生成する（データ生成ステップ）。バンドパスフィルタは、信号の通過帯ωi，ｉ＝１，２，…，nF がそれぞれ異なる帯域に設定されており、ｅj(t)，ｙj(t)，ｔ∈[0,T]，ｊ＝１，２，…,ｍ から前記の式(40)によって仮想的な入出力応答データ ｅij(t)，ｙij(t)，ｔ∈[0,T]，ｉ＝１，２，…，nF，ｊ＝１，２，…,ｍ が計算される。
【００８８】
続いてステップＳ４において、前記所定数以上の入出力応答データ ｅij(t)，ｙij(t) をそれぞれ反証演算式（式(26)(31)等）に代入して演算し、パラメータ空間に制御ゲインの非反証領域を所定数以上、規定する（領域演算ステップ）。そして、ステップＳ５において前記多数の非反証領域の積集合の領域における制御ゲインの最適値を線形計画法によって演算する（ゲイン演算ステップ）。
【００８９】
すなわち、前記ステップＳ４において演算された多数の非反証領域は、以下の式(42)のように表され、ゲインの最適値を求めるには、式(42)の下で以下の式(43)のα∈Ｒを最大化することになる。尚、式(43)のｇ(ＫI，α)は線形な等式制約あるいは不等式制約であり、αが大きくなるとＫIが大きくなるような式とすればよい。例えば、上述した式(12)が考えられる。
【００９０】
【数１８】
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【００９１】
最後にステップＳ６において、前記のように計算した非反証領域の積集合の領域を所定のゲイン平面（例えばＰＩ平面）に写像し、図６に示すように、制御ゲインの最適値に対応する点Ｇ（最適点）とともに、ディスプレー４に画像表示させる（画像表示ステップ）。上述したように線形制約としていることから、ＰＩ平面上で非反証領域と反証領域との境界は直線になっており、計算によって最適点Ｇの座標を求め得ることが分かる。
【００９２】
そうして非反証領域を画像表示すれば、これを見たユーザは、計算された制御ゲインの最適値の様子、すなわち、図示のＰＩ制御であればＩゲインが最大になるときのＰゲインの値やその変更余裕等について直感的に把握することができ、設定の結果に対して安心感が得られる。また、例えばＩゲインの値をあまり変えずにＰゲインを大きくしたり、反対に小さくしたりすることが可能かどうか一目で分かり、必要に応じてゲインの設定値に修正を加えることも容易になる。
【００９３】
したがって、この実施形態に係るフィードバック制御ゲインの設定方法によると、従来からの非反証制御の考え方をオフラインでの制御系設計に適用し、制御対象の数式モデルを構築することなく、その入出力応答のデータにより制御ゲインを仮想的に反証して、最適解を求めることができる。数式モデルを用いないのでモデルの同定やモデル誤差の評価を必要とせず、評価関数に設計者が試行錯誤で決定すべきパラメータが含まれていないことにより、評価関数の選定と制御系設計の反復や同定を行わなくて済む。
【００９４】
しかも、そうして制御ゲインを反証するための制約式を線形近似することによって、非反証領域が凸性を有するものとなるので、それらの積集合の領域における制御ゲインの最適値を線形計画法により計算で求めることができる。よって、制御ゲインの設定が従来までと比べて遙かに容易に行えるようになり、しかも、１入力１出力の系のみならず、多入力多出力系にも適用できるようになる。
【００９５】
また、前記のように制御ゲインを反証するための入出力応答データは、制御対象にステップ入力等を加えて採取した少なくとも１つのデータから生成するようにしており、これより、所定数以上の有意性のあるデータが得られるので、生産現場等、多数のデータの採取が困難な場合にも、所要の精度で制御ゲインの反証を行うことができる。
【００９６】
−実験結果−
次に、前記のような効果を確かめるために行った数値実験について説明する。制御系は、以下の式(44)(45)で与えられる２入力２出力のフィードバック系であり、プラントの伝達関数は以下の式(46)で与えられる。また、調整の十分でない制御器が Ｋ(s)=0.1Ｉ2 で与えられているものとする。
【００９７】
【数１９】
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【００９８】
この系に目標値ｒ1(t)＝１，ｒ2(t)＝０を初期値零で加えると、プラント入力ｅ(t)と出力ｙ(t)は、それぞれ図７のようになり、同様に、目標値ｒ1(t)＝０，ｒ2(t)＝１に対する応答は図８のようになる。これより、制御器の調整が悪いことが分かる。
【００９９】
そこで、これら２組のステップ応答データを用いて、上述した手法により最適化した対角ＰＩ制御器を求める。この際、γ＝１．５，ΔＴ＝０．０５0とし、０．１〜１０[rad/s]を対数目盛りで４０等分する周波数ωi，ｉ＝１，２，…，４０を選んで、バンドパスフィルタを次式(47)で与えた。尚、制約式の係数は、連続時間の積分や微分を離散時間近似で求めている。
【０１００】
【数２０】
0005213026.tif 000021
【０１０１】
評価式ｇとして以下の式(48)を用い、αを最大にする解を線形計画法により求めると、離散時間のＰＩ制御器は以下の式(49)で与えられる。そして、これを連続時間系で近似すると、 z-1/(1-z-1)≒1/(sΔＴ) であることから以下の式(50)が得られた。
【０１０２】
【数２１】
0005213026.tif 000022
【０１０３】
【数２２】
0005213026.tif 000023
【０１０４】
その制御器を用いて、感度関数 Ｓ(s)=(Ｉ+Ｋ(s)Ｐ(s))-1 の特異値 σi(Ｓ(jω))，ｉ＝１，２ を求めると図９のようになった。図中の横線はγ＝１．５の線である。限られた入出力データでゲインを計算しているので、この線よりも小さくなる保証はない。しかし、かなりよく満たされており、他の例でもこのような傾向がある。
【０１０５】
次に、このフィードバック系に目標値ｒ1(t)＝１，ｒ2(t)＝０を初期値零で加えると、プラント出力ｙ(t)は図１０のような応答になり、同様に、目標値ｒ1(t)＝０，ｒ2(t)＝１に対する応答は図１１のようになった。最初の制御器に比べて応答が大幅に改善されていることが分かる。また、多入出力系においては各入力チャンネルにそれぞれステップ関数を加えたときの時間応答を用いることで、適切な結果が得られることも確かめられた。
【０１０６】
さらに、詳しい説明は省略するが、出力に平均ゼロの白色雑音が加わった場合についても前記と同様の数値実験を行った。この結果、制御器の調整が悪い場合のプラント入出力は図１２、図１３のようになったが、前記のように最適化した対角ＰＩ制御器を用いれば、図１４、１５に示すような良好な出力が得られた。これより、白色雑音が加わる場合でも制御応答が大幅に改善されることが分かった。これは狭帯域のバンドパスフィルタによる雑音除去の効果によるものと考えられる。
【０１０７】
（他の実施形態）
本発明に係る制御ゲインの設定方法は、前記実施形態のようにＰＩＤ制御系へ適用する以外に、現代制御理論で与えられるような一般的な制御器の一部のゲインを調整する際にも有効である。例えばロバスト制御の設計法により以下の式(51)で表される制御器が与えられた場合に、実装して調整に用いる制御器の構造を以下の式(52)で与え、上述した制御ゲインの設定方法により行列Ａ，Ｂは設計値に固定して、Ｋ1，Ｋ2，Ｋ3の適正値を求めればよい。
【０１０８】
【数２３】
0005213026.tif 000024
【０１０９】
また、より一般的に考えると、制御系は、入力ｕに対してシステムの応答ｖ(t)が得られ、制御入力が ｕ＝Ｋｖ(t) と与えられるものであればよい。上述したＰＩＤ制御器や現代制御の複雑な制御器も、ｖ(t)を適当に選べば前記の形式で表される。すなわち、ＰＩＤ制御器については以下の式(53)のように、また現代制御の制御器については以下の式(54)のようになる。
【０１１０】
【数２４】
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【０１１１】
【数２５】
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【０１１２】
また、前記の実施形態では、制御ゲインを反証するための制約式を線形近似するために、図４のように超楕円体Ｏをこれに接する超平面ｐで近似しており、これらの接点ｖ0を特定する際に、閉ループ制御系を安定化させる制御ゲインに対応する点ｖaとして、パラメータ空間の原点を用いているが、これに限らず、ｖaは、制御系を安定化しかつ式(13)を満たす任意のゲイン値に対応する点とすればよい（安定なプラントでは、この条件は、Ｋ(s)＝０や十分に小さいＫPを用いて、Ｋ(s)=ＫPで与えられるので、ｖaは安定なプラントに対して容易に与えられる）。
【０１１３】
そのためには、従来例（非特許文献１）に開示されているように、それぞれ制御ゲインの非反証領域を表す超楕円体を例えばＰＩ平面に写像して、一例として図１６に示すようにディスプレーに画像表示し、そこ現れる楕円や双曲線のいずれにも含まれない領域（図には斜めハッチングを入れて示す）において任意の点をユーザが指定するようにしてもよい。
【０１１４】
さらに、制御系の評価関数も前記式(8)等に限定されず、別の評価基準に従って導出したものでもよいし、例えば式(8)にさらに別の制約を付加したものであってもよい。但し、別の凸制約を付加する場合には線形計画法が適用できなくなることもあり、この場合には線形行列不等式による最適化を行うことになる。
【産業上の利用可能性】
【０１１５】
以上、説明したように、本発明のフィードバック制御ゲイン設定方法は、非反証制御の仮想入力の概念をオフラインでの制御系設計に適用し、制御ゲインの最適値を計算により求めることができるので、多入力多出力系にも適用可能な画期的なものであり、産業上の利用性は非常に高い。
【図面の簡単な説明】
【０１１６】
【図１】実施形態に係る制御ゲインの設定支援装置の外観図である。
【図２】対象となるフィードバック制御系の基本的な構成を示すブロック図である。
【図３】感度関数のゲイン特性の一例を示すグラフ図である。
【図４】パラメータ空間において超楕円体を超平面で近似する概念図である。
【図５】制御ゲイン設定の具体的な手順を示すフローチャート図である。
【図６】非反証領域をＰＩ平面に写像して、ゲインの最適値に対応する点とともに示した画像表示の一例である。
【図７】プラントの入出力応答に係る数値実験結果を、制御器の調整が悪い場合について示すグラフ図である。
【図８】同数値実験結果を示すグラフ図である。
【図９】実施形態に係る制御系の特性図である。
【図１０】実施形態の制御器を用いた場合の図７相当図である。
【図１１】同図８相当図である。
【図１２】白色雑音がある場合の図７相当図である。
【図１３】同図８相当図である。
【図１４】同図１０相当図である。
【図１５】同図１１相当図である。
【図１６】従来例に係る図６相当図である。
【符号の説明】
【０１１７】
１      コンピュータ装置
４      ディスプレー（画像表示装置）
Ｆ      プログラム
Ｓ３    データ生成ステップ
Ｓ４    領域演算ステップ
Ｓ５    ゲイン演算ステップ
Ｓ６    画像表示ステップ
Ｏ      超球（超楕円体）
ｐ      超平面
【図１】
0005213026.tif 000027
【図２】
0005213026.tif 000028
【図３】
0005213026.tif 000029
【図４】
0005213026.tif 000030
【図５】
0005213026.tif 000031
【図６】
0005213026.tif 000032
【図７】
0005213026.tif 000033
【図８】
0005213026.tif 000034
【図９】
0005213026.tif 000035
【図１０】
0005213026.tif 000036
【図１１】
0005213026.tif 000037
【図１２】
0005213026.tif 000038
【図１３】
0005213026.tif 000039
【図１４】
0005213026.tif 000040
【図１５】
0005213026.tif 000041
【図１６】
0005213026.tif 000042