(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
情報処理装置上の一様独立乱数生成方法であって、生成手順として
２つの異なる奇素数ｐ１、ｐ２で整数ｑ１＝（ｐ１−１）／２及びｑ２＝（ｐ２−１）／２が互いに素であり、かつｑ１は奇数、ｑ２は偶数であるものを選ぶステップ、
整数ｄを前記奇素数ｐ１、ｐ２の積ｄ＝ｐ１ｐ２と選ぶステップ、
前記奇素数ｐ１、ｐ２をそれぞれ法とする原始根ｚ１、ｚ２を選ぶステップ、
前記ｐ１、ｐ２、ｚ１、ｚ２与える連立合同式
【数１】
0005261840.tif 000002
の解として前記ｄを法として一意に定まるｄと素な整数ｚを取るステップ、
整数ｎで前記法ｄとは素な任意のものを選ぶステップ、
前記法ｄと素な整数の作る法ｄの既約剰余群の中で前記ｚが生成し前記ｎから出発する巡回列、即ち整数列｛ｎ１、ｎ２、ｎ３、・・・｝であって線形漸化合同式
【数２】
0005261840.tif 000003
が定める列、を算出するステップ、
一様独立乱数を与える実数列｛ｕ１、ｕ２、ｕ３、・・・｝を除法等式
【数３】
0005261840.tif 000004
を実現して出力するステップ、
を有する方法、或いは前記法ｄの既約剰余群と同型な群を用いて前記の一様独立乱数列｛ｕ１、ｕ２、ｕ３、・・・｝を得る上記諸ステップと同等な方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】本発明は一様独立乱数生成方法にかかわる。さらに詳しくは自然数の法ｄ≧３、前記ｄとは素な、すなわちｄとは共通素因数を持たない自然数の乗数ｚ≧２、そして前記法ｄとは素な自然数の初期項ｎ１に基づいて自然数の列｛ｎ１、ｎ２、・・・｝を生成する乗算合同法、すなわちｎｋのｚ倍をｄで割った余りを次の整数ｎｋ＋１とし、ｋ＝１、２、・・・に対して実数列｛ｕｋ＝ｎｋ／ｄ｝を一様独立乱数列の出力とする乱数生成方法、に関する。
【背景技術】
【０００２】特許番号第４６６９９７９号において、奇素数ｐ１でｑ１＝（ｐ１−１）／２が奇数であるものを法とする原始根ｚ１、及び奇素数ｐ２でｑ２＝（ｐ２−１）／２が偶数であるものを法とする原始根ｚ２から、次の連立合同式  ［数４］ｚ≡ｚ１  ｍｏｄ（ｐ１）、ｚ≡ｚ２  ｍｏｄ（ｐ２）、に対して中国剰余定理が法ｄ＝ｐ１ｐ２の意味で一意存在を保障する解ｚを乗数とする乗算合同法、によって一様独立乱数を生成する方法が平成２３年１月２８日に認可された。この方法で得られる周期Ｔは２次元ベクトル（（ｚ１）ｊ、（ｚ２）ｊ）がｊ＝１、２、・・・と変る場合の第１成分を法ｐ１、第２成分を法ｐ２、まとめて法（ｐ１、ｐ２）で見た周期と同じで、（ｚ１）ｊの周期は２ｑ１ｍｏｄ（ｐ１）、（ｚ２）ｊの周期は２ｑ２  ｍｏｄ（ｐ２）、かつｑ１とｑ２が互いに素であるからＴ＝２ｑ１ｑ２である。［数４］の条件で定まるｚを法ｄ＝ｐ１ｐ２で以下の式から定まるｚ’：  ［数５］ｚ’≡ｚ１’ｍｏｄ（ｐ１）、ｚ’≡ｚ２  ｍｏｄ（ｐ２）、但しｚ１’はその位数が原始根の場合の２ｑ１に対して半分のｑ１である任意のもの、に置き換えると、得られる列｛ｚ’、（ｚ’）２、・・・｝の法ｄ＝ｐ１ｐ２での周期は再び２次元ベクトル（（ｚ１’）ｊ、（ｚ２）ｊ）の法（ｐ１、ｐ２）での周期である。（ｚ１’）ｊの周期は奇数のｑ１であり、（ｚ２）ｊの周期は２ｑ２であって、ｑ１と２ｑ２が素だから、全体の最小公倍数周期は同じＴ＝２ｑ１ｑ２となる。また奇数ｑ１を位数とするｚ１’の冪（ｚ１’）ｊは２ｊ＝ｑ１となる指数ｊを持たず、その様な指数に対応する−１に法ｐ１で合同となる事もない。この事実に対応してｚ’の冪も法ｄで−１に合同にはならない。今回の請求項はこれらの事実と、次の段落に証明を示す微細だが重要な以下の２点と、の認識を得て申請に至った：  （１）奇素数の法ｐ１が奇数のｑ１＝（ｐ１−１）／２を持つならば、位数ｑ１の整数ｙは法ｐ１のある原始根ｚ１の負、ｙ≡−ｚ１ｍｏｄ（ｐ１）であり、逆に法ｐ１の原始根ｚ１’は位数がｑ１のある整数ｙ’の負、ｚ１’≡−ｙ’ｍｏｄ（ｐ１）である。  （２）［数５］によって定められる法ｄ＝ｐ１ｐ２での乗数ｚ’によって生成される乗算合同法数列のスペクトル検定は、事項（１）に、よって位数ｑ１の任意のｚ１’が対応する法ｐ１での原始根ｚ１、ｚ１＝−ｚ１’、を用いて、［数４］が２つの原始根のある組に対して定める乗数ｚの生成する乗算合同法数列と同一の結果を与える。従って特許番号第４６６９９７９号の原始根のみを用いた乗数に関するスペクトル検定の評価から乗数ｚ’のスペクトル検定評価を読み取る事ができる。この発見は技術的な経済負荷を変えずにより広い応用を得る事を可能にする。本出願の請求項は、番号第４６６９９７９号の特許によるものと同性能の一様独立乱数列を計算負荷を増す事なく得る今一つの発明である。【０００３】段落［０００２］の事項（１）を示す。段落［０００２］の（１）の奇素数ｐ１、ｑ１＝（ｐ１−１）／２が奇数であるもの、に対してｑ１を位数に持ち（従って原始根ではない）整数ｙの存在を仮定する。（−ｙ）ｊ≡１  ｍｏｄ（ｐ１）となる一般の次数ｊは  ［数６］１≡（−ｙ）ｊ≡（−１）ｊｙｊ  ｍｏ��（ｐ１）を満たし次の２つの可能性を持つ：  ａ）（−１）ｊ＝−１かつｙｊ≡−１  ｍｏｄ（ｐ１）、または  ｂ）（−１）ｊ＝１かつｙｊ≡１  ｍｏｄ（ｐ１）。ｙが奇数の位数ｑ１を持つからｙｊ≡−１となる指数ｊは存在せず、ａ）はあり得ない。ｂ）はｊが偶数でありかつｙの位数ｑ１の倍数である事を求め、ｑ１は奇数だからｊがｑ１の偶数倍なら満たされる。その様なものの正の最小値として，−ｙの位数は２ｑ１、即ち−ｙ≡ｚ１は奇素数ｐ１の原始根であり、ｙはｙ≡−ｚ１ｍｏｄ（ｐ１）と表される。逆にｐ１の任意原始根ｚ１’、位数は２ｑ１、に対し（−ｚ１’）ｊ≡（−１）ｊ（ｚ１’）ｊ≡１  ｍｏｄ（ｐ１）を与える指数ｊは  ｃ）（−１）ｊ＝−１かつ（ｚ１’）ｊ≡−１  ｍｏｄ（ｐ１）、又は  ｄ）（−１）ｊ＝１かつ（ｚ１’）ｊ≡１  ｍｏｄ（ｐ１）、を満たす。ｃ）は奇数でかつｚ１’の半位数ｑ１の奇数倍となるｊ、即ち奇数ｑ１の奇数倍のｊを求め、ｄ）は偶数でかつｚ１’の位数２ｑ１の倍数、即ちｑ１の偶数倍であるｊを求める。−ｚ１’の位数はこれらの条件を満たす正で最小のもの、奇数ｑ１であって、−ｚ１’≡ｙ’は原始根ではない。即ち奇素数ｐ１が奇数のｑ１＝（ｐ１−１）／２を持つならば、法ｐ１の任意の原始根ｚ１’はある位数ｑ１の数ｙ’でｚ１’≡−ｙ’と表される。【０００４】段落［０００２］の事項（２）を証明する。素数ｐ２はｑ２＝（ｐ２−１）／２が偶数であるようなものとし、ｚ２はその任意の原始根、従って位数は２ｑ２とする。整数ｙ≡−ｚ２の位数ｊを考える。ｊが満たすべき条件は  ［数７］１≡（−ｚ２）ｊ≡（−１）ｊ（ｚ２）ｊ  ｍｏｄ（ｐ２）、即ち          （−１）ｊ≡−１  かつ（ｚ２）ｊ≡−１  ｍｏｄ（ｐ２）か、                                                                又は          （−１）ｊ≡１  かつ（ｚ２）ｊ≡１  ｍｏｄ（ｐ２）か、のいずれかである。ｚ２は原始根だから、（ｚ２）ｊが−１となるのはｊが最大位数の１／２のｑ２＝（ｐ２−１）／２又はその奇数倍の場合に限られるが、仮定によりｑ２は偶数でｊは必ず偶数となり、先立つ条件（−１）ｊ≡−１  ｍｏｄ（ｐ２）は満たされない。故にｊは第２の（ｚ２）ｊ≡１を満たす最大位数２ｑ２＝（ｐ２−１）の整数倍ですべて偶数、従って先立つ条件（−１）ｊ≡１は自動的に満たすもの、であるとわかる。そのようなｊの正で最小値のものとしてｙ≡−ｚ２の法ｐ２での位数は最大位数２ｑ２＝ｐ２−１であり、−ｚ２は素数ｐ２を法として原始根である。故に段落［０００３］で示された結果も用いて段落［０００２］の（２）に述べられた乗数ｚ’は素数の法ｐ１の原始根ｚ１、素数の法ｐ２の原始根ｚ２が作るベクトル（−ｚ１、ｚ２）≡−（ｚ１、ｚ２’）、ｚ２’も法ｐ２のある原始根、に対応する。任意の法ｄの任意乗数ｚに対するｓ次元スペクトル検定は、算術演算として特徴付ければ、正負すべての値を取る整数を成分に持つベクトル（ｊ１、ｊ２、・・・、ｊｓ）で条件  ［数８］ｊ１＋ｚｊ２＋・・・＋ｚｓ−１ｊｓ≡０  ｍｏｄ（ｄ）を満たすものの長さ（ｊ１２＋ｊ２２＋・・・＋ｊｓ２）１／２の正の最小値で定義されるものであるから、乗数ｚを−ｚで置き換えても結果は変わらない。故に請求項で一般化された乗数が与える��ペクトル検定結果は、すべて原始根を用いた番号第４６６９９７９号の特許のスペクトル検定の結果を用いる事ができて、新たな検定は必要としない。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】この発明の目標は、特許番号第４６６９９７９号と同様に、乗算合同法の法ｄを一般の合成数に拡張して、検定を伴う一様独立乱数列をコンピュータと現下の各種シミュレーションから望まれる１０２２以上の周期に対して実現可能とする事である。それは同時に、考え得る乱数生成方式の中で計算負荷が最小限の四則算法の利用によって、実装上最も計算の負荷が軽くかつ高速に演算を行う乱数生成方式をさらに広い範囲で実現する事を意味する。【０００６】段落［０００３］の示唆によって乗算合同法の法ｄをこれまでの制限、法ｄが素数であるかあるいは２の高次べきｄ＝２ｉであるか、を越えて一般化することは、ｄと素な整数全体が構成する既約剰余群やその部分群と呼ばれる構造の中で出力乱数の一様分布を実現する簡明な機構、すなわち乗数ｚが生成する巡回列＜ｚ＞≡｛１、ｚ、ｚ２、・・・、ｚｋ、・・・｝が法ｄの整数の全体（から無視できる少数を除いたもの）を１周期に１度ずつ必ず巡る、という意味の巡回性から離れなければならないことを意味する。言い換えれば解決されるべき課題は、この一様性、独立性を合成数の法ｄで得る新しい乗算合同法の数理構造の発見とその利用方法の発明である。【０００７】しかし段落［０００４］の２つの奇素数ｐ１、ｐ２の積である合成数の法ｄ＝ｐ１ｐ２の乗算合同法を考える事は、単独の奇素数ｐの法に対する原始根ｚに基づく乗算合同法の一つの欠点を回避する方法も与える。即ち在来の大きな奇素数ｐの法での原始根ｚを単一に用いる乗算合同法での出力乱数列には、ｐ−１が偶数となるから、周期の中間点ｑ＝（ｐ−１）／２で必ず−１≡ｐ−１≡ｚｑ  ｍｏｄ（ｐ）として出現し、それ以後の出力は｛ｚｑ＋１≡−ｚ、ｚｑ＋２≡−ｚ２、・・・｝とそれまでの出力乱数列の符号を変えるだけの本質的に同一のものとなって乱数としての使用ができない。問題は出力乱数を周期の半分Ｔ＝ｑ＝（ｐ−１）／２までと制限する方法で回避されるが、これは２つの奇素数ｐ１、ｐ２でｑ１＝（ｐ１−１）／２が奇数、ｑ２＝（ｐ２−１）／２が偶数であるものを用いてｚｊ≡−１ｍｏｄ（ｄ）の出現を防ぐ特許番号第４６６９９７９号及び現在の請求項の方法で得られる周期２ｑ１ｑ２の成果と同等である。さらに単一素数で現在の実用に耐える例えば１０２２程度の大きなものを実現する原始根乗数単一のスペクトル検定を行う事は可能かと思われるものの、性能のよい原始根乗数を発見するための奇素数の法ｐでのすべての原始根を掃過するスペクトル検定は計算時間の問題から現在もこれからも不可能であろうと思われる。この事は、例えば現在では実用的ではないが歴史的に大切なＦｉｓｈｍａｎとＭｏｏｒｅ（１９８６）の研究、即ちメルセンヌ素数ｐ＝２３１−１に対してそのすべての原始根を掃過するスペクトル検定、を再度行って見れば、単一原始根に対する検定の約３万倍程度以上の計算時間を要する事実からも推測される。法を前記ｐと同程度の大きさの合成数ｄ＝ｐ１ｐ２へと拡張すると、この掃過的スペクトル検定を小さい素数ｐ１及びｐ２それぞれ対する原始根乗数に対して行った上でそれらで好成績を得た少数個同士の組み合わせた乗数だけについてスペクトル検定を行う事が可能になる。これは同程度の長���期乱数生成を遥かに少ない計算労力によって実現する技術的進歩である。
ＦｉｓｈｍａｎとＭｏｏｒｅ（１９８６）／Ｇ．Ｓ．Ｆｉｓｈｍａｎ  ａｎｄ  Ｌ．Ｒ．Ｍｏｏｒｅ：  “Ａｎ  ｅｘ−ｈａｕｓｔｉｖｅ  ａｎａｌｙｓｉｓ  ｏｆ  ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅ  ｃｏｎｇｒｕｅｎｔｉａｌ  ｒａｎｄｏｍ  ｎｕｍｂｅｒ  ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ  ｗｉｔｈ  ｍｏｄｕｌｕｓ  ２３１−１．”  ＳＩＡＭ  Ｊｏｕｒｎａｌ  ｏｎ  Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ  ａｎｄ  Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ  Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ  Ｖｏｌ．７（１９８６），ｐｐ．２４−４５．
【課題を解決するための手段】
【０００８】２つの異なる奇素数ｐ１、ｐ２をあまり値が近接せず、それらが作る整数ｑ１＝（ｐ１−１）／２が奇数、ｑ２＝（ｐ２−１）／２が偶数であり、かつｑ１とｑ２が互いに素となる、すなわち共通素因数を持たない、ように選び、積ｄ＝ｐ１ｐ２を法と定める。【０００９】前述の奇素数の法ｐ１ですべての原始根を掃過するスペクトル検定を行い、最上の性能の原始根乗数ｚ１を数個選ぶ。このスペクトル検定は法ｐ１の原始根ではなく半分の位数を持つ整数の全体についても行ってもよいが、段落［０００２］で説明された様に、そのスペクトル検定は法ｐ１でのすべての原始根ｚ１について行われたスペクトル検定に含まれ、単に選ばれた原始根ｚ１の符号を変えたものを用いれば十分である。同様に前述の奇素数の法ｐ２ですべての原始根を掃過するスペクトル検定を行い、最良の性能の原始根乗数ｚ２を数個選ぶ。【００１０】ここで番号第４６６９９７９号の特許から離れて合成数の法ｄ＝ｐ１ｐ２の乗算合同法の乗数ｚとして、連立合同式  ［数６］ｚ≡−ｚ１  ｍｏｄ（ｐ１）、ｚ≡ｚ２  ｍｏｄ（ｐ２）を満たすｚを中国剰余定理で求める。−ｚ１は法ｐ１での原始根ではないが乗数ｚの与える周期Ｔは変らず。Ｔ＝２ｑ１ｑ２である。【００１１】以下は特許番号第４６６９９７９号と同様に、段落［００１０］で定められた乗数ｚに対するスペクトル検定を行い、希望される選定基準に合えば採用し、合わなければ棄却して別のｚ１’或いは／およびｚ２’の組み合わせによる乗数ｚ’の検定を行う手順を繰り返す。【００１２】段落［０００２］とその結果のスペクトル検定の手順は段落［０００２］において採られる異なる奇素数ｐ１とｐ２の１つを２ｉの形で置き換えても遂行可能である。しかし番号第４６６９９７９号特許でも指摘したとおりこの選択は残る奇素数、例えばそれをｐ１とすると、法ｐ１での原始根ｚ１のベキのすべての偶数乗の間、すべての奇数乗の間に相関を惹き起こし、ｚが生成する乗算合同法数列の独立性を大きく毀損する。特にこの悪い性質はスペクトル検定では検知できないので、この様な選択は決して行ってはならない。この様に、番号第４６６９９７９号特許のすべての技術的知見はスペクトル検定方法も含めて、現申請の乗数を用いる場合にも通用する。
【産業上の利用可能性】
【００１３】構成された乗算合同法は、すべての乱数生成方法の中で最も高速な四則演算の最小回数の利用で構成されるため、コンピュータに与える計算負荷は乱数のすべての生成方式の中で最小の部類であり、それは出力の高速性を保障する。番号第４６６９９７９号の特許でも指摘された任意の乱数列を近似する能力とこの計算上の最良性は、本発明の産業上科学技術上の大きな利用便益、必要性を意味する。【００１４】掃過的スペクトル検定を小さい素数に対するもので行う事を可能にして得られる工学技術的経済効果は前述の通り大きい。結果として得られる乱数の性能については、スペクトル検定の幾何学的特徴付けから述べる事が適当である。法ｄで考え、ｄと素な乗数ｚの巡回列と初期値ｎが作る剰余類の列のｓ連    ［数７］（ｎｚｊ、ｎｚｊ＋１、・・・ｎｚｊ＋ｓ−１）                    ≡ｎｚｊ（１、ｚ、・・・、ｚｓ−１）を考える。これらをｓ次元ユークリッド空間Ｅｓの座標と考え、座標が法ｄでこの点と合同なすべての点を「互いに合同な点」と定義する。これらの合同な点は、目覚しい事に、次の（互いに一次独立な）座標の組あるいはベクトルの整数係数一次結合で表される：    ［数８］ｅ１＝（１、ｚ、ｚ２、・・・、ｚｓ−２、ｚｓ−１）、            ｅ２＝（０、ｄ、０、・・・、０、０）、            ｅ３＝（０、０、ｄ、・・・、０、０）、                      ・・・・・・            ｅｓ＝（０、０、０、・・・、０、ｄ）。実際、上のｓ連はｎｚｊｅ１であり、ｅ２、ｅ３、・・・、ｅｓの整数倍を加えれば点の第２、第３、・・・、第ｓ座標軸方向のｄ移動がすべて表される。第１座標軸方向に関しては    ［数９］ｄｅ１−ｚｅ２−ｚ２ｅ３−・・・−ｚｓ−１ｅｓ                      ＝（ｄ、０、０、・・・、０、０）の整数倍を加える事が任意のｄ移動となる。この事実を「乗数ｚと初期値ｎの作る法ｄの剰余類の列のｓ連の作るＥｓの点およびそれに合同なすべての点は［数８］の基ベクトルのすべての整数係数一次結合が作る格子の点である」と表現する。但し整数ｎｚｊは法ｄで例えば０に合同にはなれないから、ｓ連とそれに合同な点は格子点の全体を占める事はできず、「格子内にある」と言わなければならない。空間Ｅｓで原点から発する稜の長さｄの超立方体をＣｄと記すと、Ｃｄ内にある上記格子の点の全体の数は次元ｓに関係なくｄである；実際、任意の整数ｊに対しｊｅ１の第一成分ｊの法ｄで非合同な数としては０、１、・・・、ｄ−１のｄ個があり、その１つさえ確定すればｊｅ１が空間Ｅｓで表す点のｅ２以下のある唯一の整数係数一次結合によるｄ移動によってＣｄ内のただ１つの合同な点が定まってこのｄ個がＣｄ内の格子点の個数のすべてである。スペクトル検定はこの格子点のＣｄ内での分布を評価する。その方法はすでに段落［０００４］で述べたように、［数８］の基ベクトルと双対なベクトル（物理で言う逆格子ベクトル）が取り得る正で最短の長さλｍｉｎを求め、それによるｖｓ＝ｄ／λｍｉｎを幾何学的に理想的なｓ次元の稠密ｐａｃｋｉｎｇの場合の値で割って比較するものである。幾何学として理想的な形の稠密分布を持つ格子はその座標に無理数を必要とし、整数座標の格子点だけでは決して作り得ないから、［数８］を基ベクトル���する格子に関わるスペクトル検定では必ず１より大きい比が得られる。ＦｉｓｈｍａｎとＭｏｏｒｅが実験で得たのは、この比が１．２５未満、理想的な格子と乖離が２５％未満、という基準を用いると扱いやすい少数の乗数を選択できる、という事実である。これは彼らが考えたｐ＝２３１−１以外の素数の法でも力を持つ重要な発見であった。但し上に述べた意味のスペクトル検定は乱数とすべき数が順次入る「席＝格子点」の分布に関するものであって、実際にこれらの席に入る入り方が「一様独立乱数」と見えるかどうか、は別の統計的検定を要する問題である。ＦｉｓｈｍａｎとＭｏｏｒｅはこの点についても考察を行い、スペクトル検定で優秀な評価を得た原始根乗数は統計的にも「一様独立」の仮説に反する問題点はないと結論している。【００１５】最後に、上の段落［００１４］で触れられた問題についてスペクトル検定と乗算合同法乱数の実際計算での使用との関連から触れる。一様独立乱数は［０，１）内の数であり、シミュレーションは倍精度実数で計算されるのが普通だから、計算機上の倍精度実数を単位２−５３を最小単位とする固定（非浮動）小数と単純化する。区間［０，１）はこの倍精度最小単位で２５３個の小区間に分かれる。現発明を法ｄ≒２７４で考えるとすれば、最小単位１／ｄ＝２−７４の数が約ｄ／２≒２７３個生成され、各倍精度小区間には１周期に約２２０個の乱数が生成され事になる；「約」と言うのは倍精度小区間の端で出力乱数がどちらに振り分けられるか不確定の要素があるからである。これは十分多いと言えよう。２次元ユークリッド空間Ｅ２とその［０，１）を各辺とする単位正方形を考えると、状況は大幅に変わる様に見える：上述の最小単位はこの正方形を２５３×２＝２１０６個の小正方形に分けるが、それにも関わらず格子点の総数はｄ、乱数の２連の１周期分はその約半数を占めるに過ぎず、小正方形のうち乱数の２連が入る確率は２７３−１０６＝２−３３と小さい；より一般に次元ｓのＥｓの単位超立方体では、乱数のｓ連（ｓ≧２）が特定の小超立方体に入る確率は２７３−５３ｓとさらに小さくなるからである。しかしこれは問題ではないし、まして周期を大幅に増大させて解消されるべき事柄でもない；この状況は次の様に考えて理解される。実際計算で乗算合同法乱数を倍精度乱数として用いる事は、まず精度１／ｄの出力をそれよりは大きい（粗い）倍精度２−５３のどれかの区間のものと見（ｃｏａｒｓｅ  ｇｒａｉｎ粗視化し）て例えば倍精度区間の中央にあるとし、次の出力も同様に粗視化し、・・・、乱数出力のｓ連がｓ次元空間のどれかの小細胞（の例えば中心）にある点と考える事である。倍精度への粗視化では、同一の値は１周期ｄ／２＝２７３に約２７３−５３＝２２０回出現する。出力乱数の２連を２次元空間の点として描けば、倍精度として粗く考えた横軸の一つの数値上の縦軸には、平均として２２０個の点がある、或いは確率約２−５３で次の点が現れる。一般のｓ連のｓ次元空間へのプロットでも似た事情を述べる事ができる。核心はこの議論が示す様に、倍精度単位区間に十分に多数の乗算合同法乱数が分配されるか否かであろう。それが例えばｄ＝２７４で肯定的に解決を見るとしても、しかし、問題は終わりではなくさらに続く。出現の順番と座席の占め方が（倍精度での粗視化で）一様独立乱数と見えるだろうか。既に触れた様にＦｉｓｈｍａｎとＭｏｏｒｅが素数の法、原始根乗数で行ったのと同様の統計的考察が求められよう。彼らが得た「スペクトル検定で好成績なら」問題なかろうという結論は勇気付けるが、もちろんこれは倍精度で行われる実際応用の結果や問題の理論的解析からさらに研究を進めるべき事柄である。