(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
ブルックス−ヘリングモデルにおける摂動散乱ポテンシャルＶ（ｒ）を予め定めた任意の型にするとともに、不純物原子間距離の１／２で規定される最大衝突パラメータｂmax に基づいて求められる最小散乱角αmni を用いてブルックス−ヘリングモデルの積分式の積分範囲を設定して不純物散乱緩和時間τm を求める工程を有する不純物散乱評価方法。
【請求項２】
前記最小散乱角αmni を、数値計算によって得られた前記最小散乱角αmni のエネルギー依存性に対してフィッティングによって求めた解析式から求める請求項１記載の不純物散乱評価方法。
【請求項３】
請求項１または２に記載の不純物散乱評価方法によって求めた不純物散乱緩和時間τm の平均値から、前記キャリアの移動度μを評価する工程を有する不純物散乱評価方法。
【請求項４】
請求項１または２に記載の不純物散乱評価方法によって求めた不純物散乱緩和時間τm を用いてモンテ−カルロ法により、前記キャリアの散乱の後の新たなエネルギーと方向とを計算する工程を有する不純物散乱評価方法。
【請求項５】
請求項１乃至４のいずれか１項に記載の不純物散乱評価方法による不純物散乱緩和時間τm を求める手法を組み込んだデバイスシミュレータ。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は不純物散乱評価方法及びデバイスシミュレータに関するものであり、例えば、スクリーニング効果も考慮した系において、低不純物濃度領域から高不純物濃度領域まで幅広く扱える統一モデルを構築するための構成に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
半導体中を走行するキャリアの不純物による散乱、即ち、不純物散乱はデバイス特性に大きく影響を及ぼす物理現象である。
不純物散乱を表現するモデルとして様々なものが提案されているが、ＢｒｏｏｋｓとＨｅｒｒｉｎｇによって１９５１年に発表されたＢｒｏｏｋｓ−Ｈｅｒｒｉｎｇ（ＢＨ）モデル（例えば、非特許文献１参照）が汎用的に用いられている。
【０００３】
このＢｒｏｏｋｓ−Ｈｅｒｒｉｎｇ（ＢＨ）モデルでは、それまで発表されていたモデルに加えて、新たにＳｃｒｅｅｎｉｎｇの効果を加えた。これにより、純粋なクーロンポテンシャルに加え、より急激にポテンシャル中心で散乱を受けることになり、Ｓｃｒｅｅｎｉｎｇ効果を散乱に取り入れることができるようになった。
【０００４】
Ｓｃｒｅｅｎｉｎｇが効く高不純物濃度領域においては，ＢＨモデルの有用性は高いが、Ｓｃｒｅｅｎｉｎｇ効果が弱くなる低不純物濃度領域においては、１９５０年にＣｏｒｎｗｅｌｌとＷｅｉｓｓｋｏｐｆによって提案されたＣｏｒｎｗｅｌｌ−Ｗｅｉｓｓｋｏｐｆ（ＣＷ）モデル（例えば、非特許文献２参照）が適している。
【０００５】
このＣＷモデルは、散乱中心間の距離の半分をクーロン散乱のカットオフ領域と考え、この距離からの散乱入射角を最小散乱角とすることにより、散乱中心での発散を防ぐ。これにより、Ｓｃｒｅｅｎｉｎｇ効果が弱く、散乱中心に近づくような系においても、散乱確率を求めることが出来る。
【０００６】
ここで、簡単にＢｒｏｏｋｓ−ＨｅｒｒｉｎｇモデルとＣｏｎｗｅｌｌ−Ｗｅｉｓｓｋｏｐｆモデルについて説明する。
まず、上述のようにＢｒｏｏｋｓ−Ｈｅｒｒｉｎｇは、不純物の電荷による遮蔽効果を考慮したキャリアの散乱モデルとして幅広く用いられている。不純物散乱に関連する摂動散乱ポテンシャル( 遮蔽ポテンシャル) ＵS （ｒ）は、以下のように記述される。
ＵS （ｒ）＝〔ｑ2 ／（４πεS ｒ）〕ｅｘｐ（−ｒ／ＬD ）  ・・・（１）
なお、ｒは、キャリアと不純物原子との間の距離、ｑは素電荷、εS は基板を構成するＳｉの誘電率、ＬD はデバイ長であり、このデバイ長ＬD は、
ＬD ＝〔εS ｋB Ｔ／（ｑ2 ｎ0 ）〕1/2           ・・・（２）
で表される。
但し、ｋB はボルツマン定数、Ｔは系の絶対温度、ｎ0 はＳｉ半導体におけるキャリア濃度である。
【０００７】
ここで、フェルミの黄金律より、運動量ｐからｐ′への散乱レートｓ（ｐ，ｐ′）は、下記の式（３）で表される。
【数１】
0005303989.tif 000002
但し、式におけるｈスラッシュは、プランク定数ｈを２πで割ったものである。
この場合、δ関数のδ［Ｅ（ｐ′）−Ｅ（ｐ）−ΔＥ）］は、運動量ｐからｐ′への散乱の際に、エネルギー保存則が成立することを保証するものである。
また、重なり積分ＨPP' は、下記の式（４）で表される。
【数２】
0005303989.tif 000003
但し、Ωは考慮しているセルの体積である。
【０００８】
これより、モーメント緩和時間τm は、下記の式（５）で表される。
【数３】
0005303989.tif 000004
但し、ＮI は不純物濃度であり、αはキャリアの散乱角である。
【０００９】
ここで、散乱角αに関する積分項は、
ｙ＝１−ｃｏｓα                  ・・・（６）
を用いて変数変換することによって、下記の式（７）で表される。
【数４】
0005303989.tif 000005
但し、γ2 は、下記の式（８）で表される。
【数５】
0005303989.tif 000006
【００１０】
この式（７）を上記の式（５）に代入して運動量ｐ′に関する積分を実行していくと、下記の式（９）が得られる。
【数６】
0005303989.tif 000007
これが、Ｂｒｏｏｋｓ−Ｈｅｒｒｉｎｇの理論である。
【００１１】
このＢｒｏｏｋｓ−Ｈｅｒｒｉｎｇの理論は、スクリーニング効果を考慮しており、一般に良く用いられるが、低温、低不純物濃度のスクリーニングはほぼ効かない領域においては、精度が落ちる。
【００１２】
そこで、このような領域においては、上記の式（１）で示した遮蔽ポテンシャルＵS （ｒ）ではなく、単なるクーロンポテンシャルを考慮したＣｏｎｗｅｌｌ−Ｗｅｉｓｓｋｏｐｆ理論に置き換えられる。
上記の式（４）における遮蔽ポテンシャルＵS （ｒ）をクーロンポテンシャルＵc （ｒ）に置き換えると、下記の式（１０）が得られる。
【数７】
0005303989.tif 000008
但し、クーロンポテンシャルＵc （ｒ）は、
Ｕc （ｒ）＝ｑ2 ／（４πεS ｒ）          ・・・（１１）
である。
【００１３】
ここで、キャリア低濃度の極限を考えると、キャリア濃度ｎ0 はｎ0 →０となり、したがって、上記の式（２）からデバイ長ＬD はＬD →∞となるので、上記の式（５）は、下記の式（１２）で表される。
【数８】
0005303989.tif 000009
【００１４】
この式（１２）において、分母にｓｉｎ2 （α／２）が含まれているので、散乱角αが小さい場合、つまりαが０の時には緩和時間τm は無限大に発散してしまう。
この問題は、最小散乱角度αmin の存在により回避される。
即ち、不純物濃度がＮI の場合、不純物原子間の平均距離は１／ＮI 1/3 であるので、キャリア（電子）は不純物原子から、平均距離１／ＮI 1/3 の１／２以上の距離を離れることができない。
この時の衝突パラメータｂをｂmax とすると、ｂmax は、
ｂmax ＝１／（２ＮI 1/3 ）          ・・・（１３）
で表され、キャリアと不純物原子とが相互作用する上限の距離を表す。
この距離ｂmax における散乱角αが、最小散乱角αmin である。
【００１５】
ここで、クーロンポテンシャルの場合には、衝突パラメータｂと散乱角αは、下記の式（１４）の関係がある。
【数９】
0005303989.tif 000010
したがって、上記の式（６）から、
ｙmin ＝１−ｃｏｓ（αmin ）＝２ｓｉｎ2 （αmin ／２）  ・・・（１５）
となるので、この式（１５）に式（１４）代入し、ｂmax を１／（２ＮI 1/3 ）で置き換えると、下記の式（１６）が得られる。
【数１０】
0005303989.tif 000011
【００１６】
ここで、上記の式（１２）におけるαに関する積分項は、式（１６）を用いることによって、下記の式（１７）になる。
【数１１】
0005303989.tif 000012
【００１７】
この式（１７）を上記の式（１２）に代入して運動量ｐ′に関する積分を実行していくと、下記の式（１８）が得られる。
【数１２】
0005303989.tif 000013
これをＣｏｎｗｅｌｌ−Ｗｅｉｓｓｋｏｐｆの理論と呼ぶ。
【００１８】
これまでのデバイスシミュレーターでは上述のＢｒｏｏｋｓ−Ｈｅｒｒｉｎｇモデル及びＣｏｎｗｅｌｌ−Ｗｅｉｓｓｋｏｐｆモデルを適当に選択して使うか、またはどちらかを近似的にすべての場合に対して利用していた。
【非特許文献１】Ｈ．Ｂｒｏｏｋｓ  ａｎｄ  Ｈｅｒｒｉｎｇ，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．，ｖｏｌ．８３，ｐｐ．８７９，１９５１
【非特許文献２】Ｅ．Ｍ．Ｃｏｎｗｅｌｌ  ａｎｄ  Ｖ．Ｆ．Ｗｅｉｓｓｋｏｐｆ，ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．，ｖｏｌ．７７，ｐｐ．３８８，１９５０
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１９】
しかし、モデリング上は、不純物濃度領域によるモデルの使い分けをせず、統一的なモデルで幅広い散乱ポテンシャル、濃度領域を取り扱えることが望ましい。
しかしながら、Ｂｒｏｏｋｓ−Ｈｅｒｒｉｎｇの理論は単純な極限近似であり、Ｃｏｎｗｅｌｌ−Ｗｅｉｓｓｋｏｐｆの理論を含んでいない。しかし、遮蔽クーロンポテンシャルの場合での最小散乱角の評価を行うことができれば、Ｃｏｎｗｅｌｌ−Ｗｅｉｓｓｋｏｐｆの理論を含んだ一般的な理論となる。
【００２０】
したがって、本発明は、スクリーニング効果も考慮した系において、汎用的な最小散乱角を導出することで、低不純物濃度領域から高不純物濃度領域まで幅広く扱える統一モデルを提案し、さらにそれをシミュレータに組み込みやすい形式することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００２１】
本発明の一観点からは、ブルックス−ヘリング（Ｂｒｏｏｋｓ−Ｈｅｒｒｉｎｇ）モデルにおける摂動散乱ポテンシャルＶ（ｒ）を予め定めた任意の型にするとともに、不純物原子間距離の１／２で規定される最大衝突パラメータｂmax に基づいて求められる最小散乱角αmni を用いてブルックス−ヘリングモデルの積分式の積分範囲を設定して不純物散乱緩和時間τm を求める工程を有する不純物散乱評価方法が提供される。
【００２２】
また、本発明の別の観点からは、上述の不純物散乱評価方法によって求めた不純物散乱緩和時間τm を用いてモンテ−カルロ法により、前記キャリアの散乱の後の新たなエネルギーと方向とを計算する工程を有する不純物散乱評価方法が提供される。
【００２３】
さらに、別の観点からは、上述の不純物散乱評価方法による不純物散乱緩和時間τm を求める手法を組み込んだデバイスシミュレータが提供される。
【発明の効果】
【００２４】
開示の不純物散乱評価方法によれば、ブルックス−ヘリングモデルに最小散乱角αmin を導入することによって、低不純物濃度領域から高不純物濃度領域まで幅広く扱える統一モデルを構築することができる。
【００２５】
また、最小散乱角αmin の定義には数値積分が用いられるが、その数値積分の部分を解析モデルとしてのフィッティングを行うことで、計算効率としての効率性も兼ね備えたモデルとすることができ、それによって、計算時間を大幅に短縮することができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２６】
ここで、図１及び図２を参照して、本発明の実施の形態を説明する。
図１は不純物散乱を評価するための計算モデルであり、有効質量ｍ、初期速度ｖi でエネルギーＥを有するキャリアが不純物原子に入射角Θで入射して、散乱角度θで散乱された場合を想定している。
この時、衝突パラメータｂと散乱角度θとの関係を求めると、角運動量Ｌの保存則から、下記の式（１９）が得られる
【数１３】
0005303989.tif 000014
但し、Θドットは入射角Θの時間微分、即ち、角速度である。
これから角速度は、下記の式（２０）で記述される。
【数１４】
0005303989.tif 000015
【００２７】
また、全エネルギーＥは、下記の式（２１）で表される。
【数１５】
0005303989.tif 000016
但し、ここでは、ポテンシャルエネルギーを型を特定しないＶ（ｒ）で表す。
なお、キャリアと不純物原子とが十分離れている場合には、全エネルギーＥはキャリアの運動エネルギーのみであるので、
Ｅ＝（１／２）ｍｖi 2             ・・・（２２）
となる。
【００２８】
ここで、この系は弾性散乱を想定している。式（２１）と式（２２）から、ｄｒ／ｄｔは、下記の式（２３）となる。
【数１６】
0005303989.tif 000017
但し、符号は遠方から近づいてくる場合が負、最近点から遠ざかる場合が正である。
【００２９】
上記の式（２０）及び式（２３）より、Θのｒに関する微分ｄΘ／ｄｒは、下記の式（２４）で表される。
【数１７】
0005303989.tif 000018
式（２４）の両辺にｄｒを掛けて積分すると、下記の式（２５）が得られる。
【数１８】
0005303989.tif 000019
【００３０】
ここでｒmin は、ｄｒ／ｄΘ＝０の時のｒの値であるので、上記の式（２４）にｄｒ／ｄΘ＝０を代入して得られた下記の式（２６）から求めることができる。
【数１９】
0005303989.tif 000020
【００３１】
キャリアと不純物原子とが十分離れている場合には、
θ＋Θ＝π                            ・・・（２７）
であるので、最小散乱αmin は、式（２５）から、下記の式（２８）として求まる。
【数２０】
0005303989.tif 000021
【００３２】
この式（２８）から、最小散乱αmin を数値解析的に求めることにより、不純物散乱を評価する。
図２は、この最小散乱角αmin を後述する規格化衝突パラメータηを用いて上記の式（２８）から数値計算により求めたものを、Ｎｕｍｅｒｉｃａｌとして示している。
【００３３】
このように、本発明の実施の形態においては、ポテンシャルの型を特定しないＢｒｏｏｋｓ−Ｈｅｒｒｉｎｇモデルに対して、Ｃｏｎｗｅｌｌ−Ｗｅｉｓｓｋｏｐｆ理論と同様に最小散乱角αmin を導入しているので、低不純物濃度領域から高不純物濃度領域まで幅広く扱える統一モデルとなる。
【実施例１】
【００３４】
以上を前提として、次に、本発明の実施例１の不純物散乱評価方法を説明する。
上記の式（２８）は、数値解析的に求めることは容易であるが、デバイス・シミュレーションに数値解析を導入すると、計算コストの増大を招く。
即ち、式（２８）は積分形であるため、正確な解を求めるためには、数値積分する必要がある。数値積分を行うということは、それだけ計算コストが増大してしまい、たとえばデバイス・シミュレーションを実行する場合など、実用上大きな問題となる。
【００３５】
したがって、使用上は、簡単な解析モデルで式（２８）を表現できれば非常に有用である。その準備として、以下のように、規格化距離ρ、規格化衝突パラメータη、及び、規格化エネルギーεを導入して無次元にする。
ρ＝ｒ／ＬD                         ・・・（２９）
η＝ｂmax ／ＬD                     ・・・（３０）
ε＝Ｅ／〔ｑ2 ／（４πεS ＬD ）〕  ・・・（３１）
【００３６】
これらの規格化された変数ρ、η、εを用いると、上記の式（２８）は下記の式（３２）に書き改められる。
【数２１】
0005303989.tif 000022
但し、ρmin は、上記の式（２６）に規格化された変数ρ、η、εを代入した下記の式（３３）からから求まる。
【数２２】
0005303989.tif 000023
【００３７】
この最小散乱角αmin を上記の式（２８）から数値計算により求めたＮｕｍｅｒｉｃａｌで示したものに対して、フィッティングを行うことによって求めた下記の式（３４）として示す解析式を図２においてＦｉｔとして示している。
【数２３】
0005303989.tif 000024
但し、式（３４）におけるａ（η）は、下記の式（３５）で表される。
【数２４】
0005303989.tif 000025
図から明らかなように、この解析式により遷移領域以外ではよく記述される。
【００３８】
但し、実際は、αmin ≪πとなるので、上記式（３４）は、
αmin ＝ａ（η）ε-0.98           ・・・（３６）
で近似すれば充分である。
【００３９】
また、η＞１０、即ち、十分低不純物濃度であり、したがって、不純物原子間が十分離れている場合には、積分の区切りはあまり問題ないであろうから、Ｂｒｏｏｋｓ−Ｈｅｒｒｉｎｇ理論で十分記述できると考えられる。
【００４０】
ここまでの計算でαmin は求まった。この求めたαmin を用いれば、上述の式（１５）より、ｙmin も求まる。これより、モーメント緩和時間τm は、上記のＢｒｏｏｋｓ−Ｈｅｒｒｉｎｇモデルにおける式（５）において、最小積分区間をｙmin とすれば良く、下記の式（３７）が得られる。
【数２５】
0005303989.tif 000026
なお、式（３７）におけるポテンシャルＶ（ｒ）としては、上記の式（１）と同じＢｒｏｏｋｓ−Ｈｅｒｒｉｎｇモデルのクーロン遮蔽ポテンシャルＵS （ｒ）を用いている。
なお、遮蔽ポテンシャルは種々のものが提案されている。その一般的な形式は、
ＵS （ｒ）＝〔ｑ2 ／（４πεS ｒ）〕×ｆ（ρ）      ・・・（３８）
と表現できる。
すると、最小散乱角αmin は、下記の式（３９）で表される。
【数２６】
0005303989.tif 000027
このポテンシャルに対応するモデル式も、上記の手法と同様に導き出される。
【００４１】
例えば、遮蔽関数ｆ（ρ）を、下記の式（４０）の形式とし、
【数２７】
0005303989.tif 000028
この式（４０）を境界条件、
ｆ（０）＝１，ｆ（∞）＝０，ｆ′（∞）＝０
のもとで数値的に解かれたものがＴｈｏｍａｓ−Ｆｅｒｍｉポテンシャルと呼ばれる。
【００４２】
その近似解とし、下記の式（４１）で表されるＭｏｌｉｅｒｅの近似解がある。
【数２８】
0005303989.tif 000029
また、下記の式（４２）で表されるＬｉｎｄｈａｒｄの近似解も知られている（必要ならば、Ｊ．Ｆ．Ｚｉｅｇｌｅｒ，Ｊ．Ｐ．Ｂｉｅｒｓａｃｋ  ａｎｄ  Ｕ．Ｌｉｔｔｍａｒｋ，Ｔｈｅ  ｓｔｏｐｐｉｎｇ  ａｎｄ  ｒａｎｇｅ  ｏｆ  ｉｏｎｓ  ｉｎ  ｓｏｌｉｄ，Ｐｅｒｇａｍｎ，１９８５参照）。
【数２９】
0005303989.tif 000030
【００４３】
ここで、本発明者は、上記の解を一般化して、下記の式（４３）で表される一般解を提案する。
【数３０】
0005303989.tif 000031
但し、ａi 及びｂi は任意の係数であり、ａi については、下記の式（４４）で表される条件が付される。
【数３１】
0005303989.tif 000032
【００４４】
次に、上記の式（２８）を数値計算で解いた場合の、このモデルの妥当性および、上記の式（３４）で表される解析モデルの精度に関する検証を行う。
図３は、不純物濃度が１×１０20ｃｍ-3の場合の散乱レートのエネルギー依存性を表したものであり、式（２８）を数値計算で解いた結果をＮｕｍｅｒｉｃａｌとし、式（３４）で表される解析モデルの結果をＡｎａｌｙｔｉｃとし、Ｂｒｏｏｋｓ−Ｈｅｒｒｉｎｇモデルの結果をＢＨとして、また、Ｃｏｎｗｅｌｌ−Ｗｅｉｓｓｋｏｐｆモデルの結果をＣＷとして表している。
図から明らかなように、式（２８）及び式（３４）による結果は、高不純物濃度領域における精度が良好なＢｒｏｏｋｓ−Ｈｅｒｒｉｎｇモデルと完全に一致している。
【００４５】
図４は、不純物濃度が１×１０18ｃｍ-3の場合の散乱レートのエネルギー依存性を表したものであり、ここでも、式（２８）を数値計算で解いた結果をＮｕｍｅｒｉｃａｌとし、式（３４）で表される解析モデルの結果をＡｎａｌｙｔｉｃとし、Ｂｒｏｏｋｓ−Ｈｅｒｒｉｎｇモデルの結果をＢＨとして、また、Ｃｏｎｗｅｌｌ−Ｗｅｉｓｓｋｏｐｆモデルの結果をＣＷとして表している。
図から明らかなように、１×１０18ｃｍ-3の不純物濃度においては、式（２８）及び式（３４）による結果は、Ｃｏｎｗｅｌｌ−Ｗｅｉｓｓｋｏｐｆモデルとの一致性が良好となり、Ｂｒｏｏｋｓ−Ｈｅｒｒｉｎｇモデルからの乖離が見られる。
【００４６】
図５は、不純物濃度が１×１０16ｃｍ-3の場合の散乱レートのエネルギー依存性を表したものであり、ここでも、式（２８）を数値計算で解いた結果をＮｕｍｅｒｉｃａｌとし、式（３４）で表される解析モデルの結果をＡｎａｌｙｔｉｃとし、Ｂｒｏｏｋｓ−Ｈｅｒｒｉｎｇモデルの結果をＢＨとして、また、Ｃｏｎｗｅｌｌ−Ｗｅｉｓｓｋｏｐｆモデルの結果をＣＷとして表している。
図から明らかなように、１×１０16ｃｍ-3の低不純物濃度においては、式（２８）及び式（３４）による結果は、Ｃｏｎｗｅｌｌ−Ｗｅｉｓｓｋｏｐｆモデルとの一致性が良好となっている。
【００４７】
この場合、スクリーニング効果を考慮していないＣｏｎｗｅｌｌ−Ｗｅｉｓｓｋｏｐｆモデルは、本来、散乱レートが相対的に高くなるはずであるのに、スクリーニング効果を考慮したＢｒｏｏｋｓ−Ｈｅｒｒｉｎｇモデルの方が散乱レートが大きくなっている事実は、Ｂｒｏｏｋｓ−Ｈｅｒｒｉｎｇモデルの適用限界を示していることになる。
【００４８】
図６は、不純物濃度が１×１０14ｃｍ-3の場合の散乱レートのエネルギー依存性を表したものであり、ここでも、式（２８）を数値計算で解いた結果をＮｕｍｅｒｉｃａｌとし、式（３４）で表される解析モデルの結果をＡｎａｌｙｔｉｃとし、Ｂｒｏｏｋｓ−Ｈｅｒｒｉｎｇモデルの結果をＢＨとして、また、Ｃｏｎｗｅｌｌ−Ｗｅｉｓｓｋｏｐｆモデルの結果をＣＷとして表している。
図から明らかなように、１×１０14ｃｍ-3の低不純物濃度においても、式（２８）及び式（３４）による結果は、Ｃｏｎｗｅｌｌ−Ｗｅｉｓｓｋｏｐｆモデルとの一致性が良好となっている。
【００４９】
次に、上記の結果を、キャリアのエネルギーが０．０１ｅＶ、０．１ｅＶ、１．０ｅＶの場合について比較する。
図７は、各モデルの比較図であり、本発明のモデルによる式（２８）の計算結果は、１×１０14ｃｍ-3の低不純物濃度領域においては、Ｃｏｎｗｅｌｌ−Ｗｅｉｓｓｋｏｐｆモデルによる計算結果と完全に一致する。
また、１×１０16ｃｍ-3、１×１０18ｃｍ-3、１×１０20ｃｍ-3と高濃度になるに従い、本発明のモデルはＣｏｎｗｅｌｌ−Ｗｅｉｓｓｋｏｐｆモデルを離れ、Ｂｒｏｏｋｓ−Ｈｅｒｒｉｎｇモデルに近づく。1 ×１０20ｃｍ-3では、Ｂｒｏｏｋｓ−Ｈｅｒｒｉｎｇモデルに完全に一致することが分かる。
この結果から、本発明のモデルは、低濃度領域から高濃度領域まで滑らかに結合する統一モデルであることが証明された。
【００５０】
次に、式（２８）による数値計算と式（３４）で表される解析モデルの精度を比較する。
図８は、数値計算と解析モデルの精度の比較図であり、不純物濃度としては、１×１０14ｃｍ-3から１×１０20ｃｍ-3の範囲で、キャリアのエネルギーとしては、０．００１ｅＶ、０．０１ｅＶ、０．１ｅＶ、１．０ｅＶについて示している。
図から明らかなように、数ｍｅＶ程度の非常に小さなエネルギー領域では差は低濃度領域において少し見えるが、どの濃度領域においても、実用的なエネルギー領域では、数値解析による解と今回提案した解析モデルでは、非常によく計算結果が一致することがわかる。
【００５１】
これにより、本発明の解析モデルは実用的な解析上、非常に有益であることが実証された。
この解析モデルをデバイスシミュレータに搭載することにより、数値計算と同様な精度を保った状態で、計算時間を大幅に短縮することができる。
【実施例２】
【００５２】
次に、本発明の実施例２の移動度の評価方法を説明する。
上記の実施例１のように、モーメント緩和時間τm が式（２８）或いは式（３４）としてエネルギーＥ或いは規格化エネルギーεの関数として求まると、キャリアの移動度μは、ｑを素電荷、ｍをキャリアの有効質量とすると、
μ＝ｑ〈τm 〉／ｍ        ・・・（４５）
として求まる。
ここで、キャリアの平均モーメント緩和時間〈τm 〉は、ｆ0 をキャリアの分布関数とすると、下記の式（４６）で表される。
【数３２】
0005303989.tif 000033
なお、キャリアの分布関数ｆ0 は、厳密にはＦｅｒｍｉ−Ｄｉｒａｃ関数であるが、通常は、Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ分布を用いて簡便に評価する。
【００５３】
このように、本発明のモデルを用いてキャリアの移動度μを求める場合には、キャリアの平均モーメント緩和時間〈τm 〉を用いることによって、半導体中を走行するキャリア全体としての特性を評価することができる。
【実施例３】
【００５４】
次に、上述のモデルをＭｏｎｔｅ  Ｃａｒｌｏ法に利用した本発明の実施例３の不純物散乱評価方法を説明する。
まず、キャリアがあるエネルギーＥと運動量ｐを持っているとすると、走行中のキャリアの散乱は、不純物散乱やその他の散乱メカニズムで起こるので、次に起こりうる散乱メカニズムを乱数から選択する。
なお、この場合、各散乱メカニズムに対応する散乱レート比に応じて散乱メカニズムを選択するように設定する。
【００５５】
次に、選択した散乱メカニズムから緩和時間だけキャリアを走行させる。この場合のキャリアは電界からエネルギーを得る。そのエネルギーにおける選択した散乱メカニズムによる散乱から、新たなエネルギーと方向を計算する。
選択された散乱メカニズムが不純物散乱である場合、本発明のモデルによる散乱レート（１／τm ）を用いて計算する。
この手順を順次繰り返すことによって、上述のモデルを利用したＭｏｎｔｅ  Ｃａｒｌｏ法による計算が可能になる。
【００５６】
ここで、実施例１乃至実施例３を含む本発明の実施の形態に関して、以下の付記を開示する。
（付記１）  ブルックス−ヘリングモデルにおける摂動散乱ポテンシャルＶ（ｒ）を予め定めた任意の型にするとともに、不純物原子間距離の１／２で規定される最大衝突パラメータｂmax に基づいて求められる最小散乱角αmni を用いてブルックス−ヘリングモデルの積分式の積分範囲を設定して不純物散乱緩和時間τm を求める工程を有する不純物散乱評価方法。
（付記２）  前記摂動散乱ポテンシャルＶ（ｒ）として、εS を半導体の誘電率、ｑを素電荷、ｒを半導体中におけるキャリアと不純物原子との距離、ＬD をデバイ長とした場合に、クーロンポテンシャルｑ2 ／（４πεS ｒ）とｅｘｐ（−ｒ／ＬD ）との積からなるポテンシャルを用いた付記１記載の不純物散乱評価方法。
（付記３）  前記最小散乱角αmni を、数値計算によって得られた前記最小散乱角αmni のエネルギー依存性に対してフィッティングによって求めた解析式で近似した付記１または２に記載の不純物散乱評価方法。
（付記４）  前記最小散乱角αmni に関する解析式を、ηを最大衝突パラメータｂmax をデバイ長ＬD で割った規格化最大衝突パラメータとし、ｃを前記フィッティングで求めた定数とした場合、ηの関数ａ（η）とエネルギーεのｃ乗であるεc との積のみで近似した付記３記載の不純物散乱評価方法。
（付記５）  付記１乃至４のいずれか１に記載の不純物散乱評価方法によって求めた不純物散乱緩和時間τm の平均値から、前記キャリアの移動度μを評価する工程を有する不純物散乱評価方法。
（付記６）  付記１乃至４のいずれか１に記載の不純物散乱評価方法によって求めた不純物散乱緩和時間τm を用いてモンテ−カルロ法により、前記キャリアの散乱の後の新たなエネルギーと方向とを計算する工程を有する不純物散乱評価方法。
（付記７）  付記１乃至６のいずれか１に記載の不純物散乱評価方法による不純物散乱緩和時間τm を求める手法を組み込んだデバイスシミュレータ。
【図面の簡単な説明】
【００５７】
【図１】不純物散乱を評価するための計算モデルである。
【図２】最小散乱角αmni のエネルギー依存性の説明図である。
【図３】不純物濃度が１×１０20ｃｍ-3の場合の散乱レートのエネルギー依存性の説明図である。
【図４】不純物濃度が１×１０18ｃｍ-3の場合の散乱レートのエネルギー依存性の説明図である。
【図５】不純物濃度が１×１０16ｃｍ-3の場合の散乱レートのエネルギー依存性の説明図である。
【図６】不純物濃度が１×１０14ｃｍ-3の場合の散乱レートのエネルギー依存性の説明図である。
【図７】各モデルの比較図である。
【図８】本発明における数値計算と解析モデルの精度の比較図である。
【図１】
0005303989.tif 000034
【図２】
0005303989.tif 000035
【図３】
0005303989.tif 000036
【図４】
0005303989.tif 000037
【図５】
0005303989.tif 000038
【図６】
0005303989.tif 000039
【図７】
0005303989.tif 000040
【図８】
0005303989.tif 000041