(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって前記物理的システムで生ずる波動伝播を評価する方法であって、当該方法は、領域回路と、第１及び第２更新回路と、結合回路と、を有する装置により実行され、
前記領域回路が、複数の第１グリッドセル及び第１グリッド時間ステップを有する第１グリッドと、該第１グリッドのリファインメントであって、複数の第２グリッドセル及び第２グリッド時間ステップを有する第２グリッドと、前記第１グリッドセルに等しいサイズの複数の中間グリッドセルを有し且つ前記第２グリッド時間ステップを有する中間グリッドとを有する計算領域を定義するステップであって、各セルはシミュレーションされる前記物理的システムの物理量を表す値が得られる１又はそれ以上の解点を有するステップと、
前記第１更新回路が、前記第１グリッド時間ステップの後に、前記物理量を表す値であって、少なくとも１つの第１グリッドセルの少なくとも１つの解点に関して得られる値を得るよう第１の更新プロシージャを実行するステップと、
前記結合回路が、前記第２グリッドの境界線での値を得るよう前記第１グリッドからの値を用いて結合プロシージャを実行するステップと、
前記第２更新回路が、前記第２グリッド時間ステップの後に、前記物理量を表す値であって、少なくとも１つの第２グリッドセルの少なくとも１つの解点に関して得られる値を得るよう、前記第２グリッドの前記境界線での前記値を用いて、第２の更新プロシージャを実行するステップと
を有し、
前記結合プロシージャは、前記結合回路が、
前記中間グリッドの境界線での値を得るよう前記第１グリッドからの値を用いることによって時間結合を実行するステップと、
前記第２の更新プロシージャの前記第２グリッド時間ステップの後に、前記物理量を表す値であって、少なくとも１つの中間グリッドセルの少なくとも１つの解点に関して得られる値を得るよう中間更新プロシージャを実行するステップと、
前記第２の更新プロシージャで用いられる前記第２グリッドの前記境界線での前記値を得るよう、前記中間グリッドからの値を用いることによって空間結合を実行するステップと
を有し、
前記計算領域を定義するステップは、前記領域回路が、前記中間グリッドの境界線を、前記第２グリッドの少なくとも１つの側の前記第２グリッドの境界線よりも、当該次元において前記第１グリッドセルの１つの少なくとも２倍のサイズに等しい距離で幅広いよう定義するステップを有する、方法。
【請求項２】
前記時間結合は、前記中間グリッドの境界線での値の位置に対応する前記第１グリッドにおける位置にある値を用いて時間補間によって前記中間グリッドの境界線での値を得るステップを有し、
補間値は、前記第２の更新プロシージャの前記第２グリッド時間ステップの後の前記物理的システムの物理量を表す、請求項１記載の方法。
【請求項３】
前記空間結合は、前記中間グリッドからの値を用いて空間補間によって前記第２グリッドの境界線での値を得るステップを有する、請求項１又は２記載の方法。
【請求項４】
前記装置はフィードバック回路を更に有し、
前記フィードバック回路が、前記第１グリッドで値を更新して、前記第１グリッドの精度を改善するために前記第２グリッドからの値を用いるステップを更に有する、請求項１乃至３のうちいずれか一項記載の方法。
【請求項５】
前記物理的システムが互いから導出可能な２つの物理量を有する場合に、
前記２つの物理量の一方を用いて前記時間結合を実行するステップと、
前記２つの物理量の他方を用いて前記空間結合を実行するステップと
を有する、請求項１乃至４のうちいずれか一項記載の方法。
【請求項６】
シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって前記物理的システムで生ずる波動伝播を評価する装置であって、
複数の第１グリッドセル及び第１グリッド時間ステップを有する第１グリッドと、該第１グリッドのリファインメントであって、複数の第２グリッドセル及び第２グリッド時間ステップを有する第２グリッドと、前記第１グリッドセルに等しいサイズの複数の中間グリッドセルを有し且つ前記第２グリッド時間ステップを有する中間グリッドとを有する計算領域を定義するよう構成される領域回路であって、各セルはシミュレーションされる前記物理的システムの物理量を表す値が得られる１又はそれ以上の解点を有する領域回路と、
前記第１グリッド時間ステップの後に、前記物理量を表す値であって、少なくとも１つの第１グリッドセルの少なくとも１つの解点に関して得られる値を得るよう第１の更新プロシージャを実行するよう構成される第１の更新回路と、
前記第２グリッドの境界線での値を得るよう前記第１グリッドからの値を用いて結合プロシージャを実行するよう構成される結合回路と、
前記第２グリッド時間ステップの後に、前記物理量を表す値であって、少なくとも１つの第２グリッドセルの少なくとも１つの解点に関して得られる値を得るよう、前記第２グリッドの前記境界線での前記値を用いて、第２の更新プロシージャを実行するよう構成される第２の更新回路と
を有し、
前記結合回路は、
前記中間グリッドの境界線での値を得るよう前記第１グリッドからの値を用いることによって時間結合を実行するよう構成される時間結合回路と、
前記第２の更新プロシージャの前記第２グリッド時間ステップの後に、前記物理量を表す値であって、少なくとも１つの中間グリッドセルの少なくとも１つの解点に関して得られる値を得るよう中間更新プロシージャを実行するよう構成される中間更新回路と、
前記第２の更新プロシージャで用いられる前記第２グリッドの前記境界線での前記値を得るよう、前記中間グリッドからの値を用いることによって空間結合を実行するよう構成される空間結合回路と
を有し、
前記領域回路は、前記中間グリッドの境界線を、前記第２グリッドの少なくとも１つの側の前記第２グリッドの境界線よりも、当該次元において前記第１グリッドセルの１つの少なくとも２倍のサイズに等しい距離で幅広いよう定義するよう構成される、装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、シミュレーションされるシステムの数値近似のためのコンピュータで実施される技術に関し、具体的に、このような技術を用いた電磁界の解析に関する。本発明は、マクスウェルの公式を解いて、所与の環境及び条件に関し電磁波伝播のダイナミクスをシミュレーションし予測するために有限差分時間領域（ＦＤＴＤ；Finite-Difference  Time-Domain）技術を用いる電磁界解析への特定の、しかし限定されない応用を見出す。
【背景技術】
【０００２】
様々な環境で生ずる、例えば電磁波伝播のような、多種多様な波動現象の効果をシミュレーションし考慮する必要性が、これまで増している。例えば、流体伝播のダイナミクスをシミュレーションすることができるならば、熱伝達又は電磁放射は多数の産業で大いに有利である。特に、電磁界シミュレーションは、電子製品の設計及び開発において重要な役割を担っている。この急速に変化する技術において、製品を市場に持ち込むのに要する時間は、商業上の利点を保つ際に決定的に重要な意味を有しうる。この点に関し、電磁シミュレーションは、装置の開発を進める際に設計エンジニアにとって極めて有利なツールを提供することができる。例えば、それは、複雑な電子体で生ずる表面電流及び内部磁界を近似するために用いられ得る。電磁シミュレーションは、また、電子装置、特にモバイル通信装置に関する健康上及び安全上の問題を評価するために、かかる装置によって発せられる電磁放射を解析するためにも用いられる。更に、電磁散乱の調査は、構造物表面の設計及び形状を最適化するために、例えば航空機のような、多数の複雑な構造物の設計において中心的な役割を果たす。対流熱伝達のシミュレーションは、例えば電子装置で用いられるもののように、換気（冷却及び／又は加熱）システムの解析及び開発において有用な助けである。それは、また、エレクトロニクス産業及び他の産業で生ずる潜在的な火災原因を検討しようとする火災シミュレーション方法での使用に適したツールを提供する。
【０００３】
一般的に言えば、如何なるモデル化プロセスにも含まれる主なステップは：
１）有限のグリッド及び材料特性に境界条件を設ける必要性を考慮しながら、構造化されたグリッドで考慮されるシステム（すなわち、構造又は環境。）のジオメトリを定義すること（例えば、電磁モデリングに関し、磁気誘電率ε、透磁率μ、及び導電率σが定義されるべきである。）；
２）所与の時点でグリッド内の各ノードで考慮される物理的現象に関し数値解を計算すること；及び
３）先の計算の各時間ステップで得られる解を視覚化して潜在的に操作する手段を提供すること
である。
【０００４】
このようなモデリング方法での使用を見出す１つのスキームはＦＤＴＤ法である。それは、１９６６年にＹｅｅによって最初に提案され、１、２又は３次元領域内の電磁伝播の挙動を解析するための多数の計算シミュレーションツールで使用されている。大まかに言えば、かかるスキームは、マクスウェルの公式の微分形式をディスクリタイズ（discretise）するために有限差分及び有限時間領域アプローチを用いる。この方法によって、マクスウェルの公式で必要とされる電界変数及び磁界変数の微分は、空間的な有限差分によって近似され、次いで、計算は一連の時間ステップで続く。
【０００５】
ＦＤＴＤ法に従って、シミュレーションが実行されうる計算領域又は“空間”は、１、２又は３次元における複数のセルを有して、時間及び空間の両方で離散したデカルトグリッドによって表される。図３は、セルの各点が整数の組（ｉ，ｊ，ｋ）によって表される３次元セルを示す。ここで、ｉ、ｊ及びｋは、夫々、ｘ軸、ｙ軸及びｚ軸の方向でのグリッド座標数である。セルの夫々は、所与の時点で電界及び磁界に関し多数の解点（solution  point）又はノードを有する。この図で、電界成分はセルの面上に定義され、電界成分はセルの端に定義される。ＦＤＴＤ原理に従って、電界は、磁界から空間的及び時間的にねじれている。
【０００６】
計算領域にグリッド構造を用いる如何なる明示的な数値モデリング技法とも同様に、安定性を確かにするためにセルサイズに対する時間ステップΔｔの制限が存在する。ＦＤＴＤ法の中で、これは：
【数１】
0005359226.tif 000002
によって与えられる。ここで、νは自由空間での光の速度である。
【０００７】
このような安全性の条件は、クーラン・フリードリッヒ・レービー（ＣＦＬ；Courant-Friedrichs-Lewy）条件として知られており、グリッドのセルディメンジョン（dimensions）に対する時間ステップΔｔのサイズに制限を課す。
【０００８】
多数の例で、モデル化されるべき対象又は環境は、例えば複雑な若しくは小規模なジオメトリ、又は曲面境界のような、所謂不均一性（inhomogeneities）を示す。かかる不均一性の影響を正確にシミュレーションし考慮するために、計算領域は、望ましくは、数値解法プロシージャがシステム全体にわたって様々なディテール（detail）レベルを捕らえることを可能にすべきである。入り組んだ又は小規模の構造を適切に解くことができないグリッドを用いて電磁界を解析することは、多数の用途で重大な結果を有しうる不正確なシミュレーションをもたらす。不十分な正確性のモデルを得ることは、例えば、モバイル通信装置からの電磁放射による人体への影響を解析する、ヒトの安全性を調査中である用途では、特に受け入れられない。更に、複雑な多次元の状況では、例えば、ラップトップコンピュータのような複雑な対象に関し電磁ダイナミクスをシミュレーションし予測しようとする場合に、構成要素レベルでラップトップ内で生ずる電磁相互作用を解明して正確に表すことができる必要がある。
【０００９】
従って、シミュレーションのためにグリッドに基づく如何なる領域でも用いられるグリッドディメンジョン（Δｘ、Δｙ、Δｚ）が、かかるモデルにおいて最小特徴を正確に表すのに十分に小さくなければならないことは明らかである。当然、精細な幾何学的特徴は、緻密な表現のために精細なグリッドセルを必要とし、従って、グリッドが、３つの次元に関しΔｘ＝Δｙ＝Δｚである領域全体にわたって用いられる場合に、小さなディテールを解くために必要とされる如何なる空間リファインメント（refinement）も、計算グリッドディメンジョンの全体的なリファインメントをもたらす。同様に、高周波で変化する如何なる波動現象のシミュレーションも、時間とともに波の伝播を正確に表すよう精細なグリッドセルを必要とする。考慮中の対象、又はその部分が、例えばワイヤのような、小規模の又は複雑な幾何学的構造である場合に、精細なグリッドが、電流がワイヤを通って流れる場合に、そのワイヤの近くに生ずる場を正確にモデル化するために必要とされる。同様に、曲面をモデル化する場合にそれらがデカルトグリッドに適合するよう階段状にされるところの方法により生ずる誤差は、グリッドのより高いレベルのリファインメントを用いることによって軽減され得る。
【００１０】
従って、正確性を得るためには、精細なグリッドセルが絶対不可欠である。均一な計算グリッドで精細なグリッドセルを用いる必要性により、結果として、かかるモデルにおいて、セル数、ひいては解点の数が増大することは明らかである。言い換えると、これは、メモリ及び計算時間に対してより高い計算コストをもたらす。ＦＤＴＤスキームの例で、問題は、グリッドサイズに関して時間ステップΔｔを抑制するＣＦＬ安定性条件によって更に悪化する。すなわち、グリッドセルが細かくなればなるほど、また、時間ステップΔｔが小さくなればなるほど、計算作業負荷は更に増大する。従って、３次元の極めて入り組んだ高周波モデルを解析するために開発されたソフトウェアツールは、実行にかなりの時間を要するシミュレーションを行うために、大規模メモリ及び高処理能力の中央演算処理装置の形で十分な計算リソースを必要とする。
【００１１】
グリッドが解を得るよう集合的な計算に利用可能な処理要素の間で分割されるところの並列処理は、数値近似の計算時間を削減可能な１つの手段を提案する。しかし、このアプローチは、計算時間の削減で得られる如何なる利点も余分の処理要素の付加に伴う相当のコストによって相殺され得るために、特に複雑な状況において、しばしば費用効果的でない。
【００１２】
計算領域全体を精細なセルのグリッドに分割することよりむしろ、かかる領域にわたって全体的に粗いグリッドを用いて、１又はそれ以上の精細なグリッドを適用することが知られる。各精細なグリッドは、それらが必要とされる領域で複数の精細グリッドセルを有する。粗いグリッドを有し且つ精細なグリッドを埋め込まれた領域は、図１Ａ及び図１Ｂに示される。従って、サブグリッド化（subgridding）として知られるこのような技術は、小規模構造体を解くために又は曲面境界のモデル化を改善するために粗グリッドモデル内で精細グリッドが必要とされる領域で局所的に精細グリッドを理知的に埋め込むことによって、計算リソースの必要条件を減らすことができる。当該技法は実質上解の正確性を精細グリッドモデルによって得られるそれに維持するが、メモリ及び計算時間の両方の節約は十分でありうる。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１３】
計算領域全体にわたって極めて小さい時間ステップを用いる必要性を回避するという、このような技法によって達成され得る重要な計算上の利点にも関わらず、サブグリッド化方法は、主として、レイトタイム不安定（late-time  instability）の形で粗グリッドと精細グリッドとの間のインターフェースで生ずる数値的不安定により、少なくともＦＴＤＴにおいて、一般に適用されない。このような不安定は、依然として未だ十分に理解されておらず、従って、前もって予測することができない。これは、サブグリッド化方法の重大な欠点である。数値的不安定は、粗グリッドと精細グリッドとの間のインターフェースでの解点の数の不連続性の結果として起こる。具体的に、誤差は、２つのグリッド間のインターフェースで情報を伝えるのに必要とされる時間的及び空間的補間によって導入される。
【００１４】
本発明は、サブグリッド化方法の安定性を改善することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００１５】
第１の態様に従って、シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって前記物理的システムで生ずる波動伝播を評価する方法であって、
複数の第１グリッドセル及び第１グリッド時間ステップを有する第１グリッドと、該第１グリッドのリファインメントであって、複数の第２グリッドセル及び第２グリッド時間ステップを有する第２グリッドと、前記第１グリッドセルに等しいサイズの複数の中間グリッドセルを有し且つ前記第２グリッド時間ステップを有する中間グリッドとを有する計算領域を定義するステップであって、各セルはシミュレーションされる前記物理的システムの物理量を表す値が得られる１又はそれ以上の解点を有するステップと、
前記第１グリッド時間ステップの後に、前記物理量を表す値であって、少なくとも１つの第１グリッドセルの少なくとも１つの解点に関して得られる値を得るよう第１の更新プロシージャを実行するステップと、
前記第２グリッドの境界線での値を得るよう前記第１グリッドからの値を用いて結合プロシージャを実行するステップと、
前記第２グリッド時間ステップの後に、前記物理量を表す値であって、少なくとも１つの第２グリッドセルの少なくとも１つの解点に関して得られる値を得るよう、前記第２グリッドの前記境界線での前記値を用いて、第２の更新プロシージャを実行するステップと
を有し、
前記結合プロシージャは、
前記中間グリッドの境界線での値を得るよう前記第１グリッドからの値を用いることによって時間結合を実行するステップと、
前記第２の更新プロシージャの前記第２グリッド時間ステップの後に、前記物理量を表す値であって、少なくとも１つの中間グリッドセルの少なくとも１つの解点に関して得られる値を得るよう中間更新プロシージャを実行するステップと、
前記第２の更新プロシージャで用いられる前記第２グリッドの前記境界線での前記値を得るよう、前記中間グリッドからの値を用いることによって空間結合を実行するステップと
を有し、
前記計算領域を定義するステップは、前記中間グリッドの境界線を、前記第２グリッドの少なくとも１つの側の前記第２グリッドの境界線よりも、当該次元において前記第１グリッドセルの１つの少なくとも２倍のサイズに等しい距離で幅広いよう定義するステップを有する方法が提供される。
【００１６】
このようにして、マルチグリッド法の安定性は改善され得る。この改善を説明するために、後に数値実験の結果を提示することとする。
【００１７】
前記時間結合は、前記中間グリッドの境界線での値の位置に対応する前記第１グリッドにおける位置にある値を用いて時間補間によって前記中間グリッドの境界線での値を得るステップを有することができ、
補間値は、前記第２の更新プロシージャの前記第２グリッド時間ステップの後の前記物理的システムの物理量を表す。
【００１８】
前記空間結合は、前記中間グリッドからの値を用いて空間補間によって前記第２グリッドの境界線での値を得るステップを有することができる。
【００１９】
前記計算領域を定義するステップは、
前記第１グリッド、前記第２グリッド及び前記中間グリッドの夫々を１次元であるよう定義するステップと、
当該一次元において前記第１グリッドセルの１つの少なくとも３倍のサイズに等しい距離で前記第２グリッドの少なくとも１つの側にある前記第２グリッドの境界線よりも幅広いよう前記中間グリッドの境界線を定義するステップと
を有することができる。
【００２０】
前記計算領域を定義するステップは、
前記第１グリッド、前記第２グリッド及び前記中間グリッドの夫々を２次元であるよう定義するステップと、
当該次元において前記第１グリッドセルの１つの少なくとも２倍のサイズに等しい距離で前記第２グリッドの少なくとも１つの側にある前記第２グリッドの境界線よりも幅広いよう前記中間グリッドの境界線を定義するステップと
を有することができる。
【００２１】
当該方法は、前記第１グリッドで値を更新して、前記第１グリッドの精度を改善するために前記第２グリッドからの値を用いるステップを更に有することができる。
【００２２】
前記物理的システムは、互いから導出可能な２つの物理量を有することができる。このとき、当該方法は、前記２つの物理量の一方を用いて前記時間結合を実行するステップと、前記２つの物理量の他方を用いて前記空間結合を実行するステップとを有することができる。
【００２３】
前記２つの物理量の一方は、電界の強さ及び磁界の強さのうちの一方であり、前記２つの物理量の他方は、前記電界の強さ及び磁界の強さのうちの他方でありうる。
【００２４】
当該方法は、前記第２グリッドの境界線が前記計算領域の境界の特定の距離範囲内にある場合を除いて、前記第２グリッドの全ての側で前記特定の距離で前記第２グリッドの境界線より幅広いよう前記中間グリッドの境界線を定義するステップを更に有することができる。
【００２５】
第２の態様に従って、シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって前記物理的システムで生ずる波動伝播を評価する装置であって、
複数の第１グリッドセル及び第１グリッド時間ステップを有する第１グリッドと、該第１グリッドのリファインメントであって、複数の第２グリッドセル及び第２グリッド時間ステップを有する第２グリッドと、前記第１グリッドセルに等しいサイズの複数の中間グリッドセルを有し且つ前記第２グリッド時間ステップを有する中間グリッドとを有する計算領域を定義するよう構成される領域回路であって、各セルはシミュレーションされる前記物理的システムの物理量を表す値が得られる１又はそれ以上の解点を有する領域回路と、
前記第１グリッド時間ステップの後に、前記物理量を表す値であって、少なくとも１つの第１グリッドセルの少なくとも１つの解点に関して得られる値を得るよう第１の更新プロシージャを実行するよう構成される第１の更新回路と、
前記第２グリッドの境界線での値を得るよう前記第１グリッドからの値を用いて結合プロシージャを実行するよう構成される結合回路と、
前記第２グリッド時間ステップの後に、前記物理量を表す値であって、少なくとも１つの第２グリッドセルの少なくとも１つの解点に関して得られる値を得るよう、前記第２グリッドの前記境界線での前記値を用いて、第２の更新プロシージャを実行するよう構成される第２の更新回路と
を有し、
前記結合回路は、
前記中間グリッドの境界線での値を得るよう前記第１グリッドからの値を用いることによって時間結合を実行するよう構成される時間結合回路と、
前記第２の更新プロシージャの前記第２グリッド時間ステップの後に、前記物理量を表す値であって、少なくとも１つの中間グリッドセルの少なくとも１つの解点に関して得られる値を得るよう中間更新プロシージャを実行するよう構成される中間更新回路と、
前記第２の更新プロシージャで用いられる前記第２グリッドの前記境界線での前記値を得るよう、前記中間グリッドからの値を用いることによって空間結合を実行するよう構成される空間結合回路と
を有し、
前記領域回路は、前記中間グリッドの境界線を、前記第２グリッドの少なくとも１つの側の前記第２グリッドの境界線よりも、当該次元において前記第１グリッドセルの１つの少なくとも２倍のサイズに等しい距離で幅広いよう定義するよう構成される装置が提供される。
【００２６】
前記時間結合回路は、前記中間グリッドの境界線での値の位置に対応する前記第１グリッドにおける位置にある値を用いて時間補間によって前記中間グリッドの境界線での値を得るように前記時間結合を実行するよう構成され得、
補間値は、前記第２の更新プロシージャの前記第２グリッド時間ステップの後の前記物理的システムの物理量を表す。
【００２７】
前記空間結合回路は、前記中間グリッドからの値を用いて空間補間によって前記第２グリッドの境界線での値を得るように前記空間結合を実行するよう構成され得る。
【００２８】
前記領域回路は、前記第１グリッド、前記第２グリッド及び前記中間グリッドの夫々を１次元であるよう定義し且つ当該一次元において前記第１グリッドセルの１つの少なくとも３倍のサイズに等しい距離で前記第２グリッドの少なくとも１つの側にある前記第２グリッドの境界線よりも幅広いよう前記中間グリッドの境界線を定義するよう構成され得る。
【００２９】
前記領域回路は、前記第１グリッド、前記第２グリッド及び前記中間グリッドの夫々を２次元であるよう定義し且つ当該次元において前記第１グリッドセルの１つの少なくとも２倍のサイズに等しい距離で前記第２グリッドの少なくとも１つの側にある前記第２グリッドの境界線よりも幅広いよう前記中間グリッドの境界線を定義するよう構成され得る。
【００３０】
当該装置は、前記第１グリッドで値を更新して、前記第１グリッドの精度を改善するために前記第２グリッドからの値を用いるよう構成されるフィードバック回路を更に有することができる。
【００３１】
前記物理的システムは、互いから導出可能な２つの物理量を有することができる。このとき、前記時間結合回路は、前記２つの物理量の一方を用いて前記時間結合を実行するよう構成され得、前記空間結合回路は、前記２つの物理量の他方を用いて前記空間結合を実行するよう構成され得る。
【００３２】
前記領域回路は、前記第２グリッドの境界線が前記計算領域の境界の特定の距離範囲内にある場合を除いて、前記第２グリッドの全ての側で前記特定の距離で前記第２グリッドの境界線より幅広いよう前記中間グリッドの境界線を定義するよう構成され得る。
【００３３】
第３の態様に従って、コンピュータで実行される場合に、該コンピュータに、前出の第１の態様の方法を実行させるコンピュータプログラムが提供される。
【００３４】
第４の態様に従って、コンピュータに読み込まれる場合に、該コンピュータを、前出の第２の態様の装置として動作させるコンピュータプログラムが提供される。
【００３５】
第５の態様に従って、キャリア媒体によって伝えられる、前出の第３又は第４の態様のコンピュータプログラムが提供される。
【００３６】
第６の態様に従って、前記キャリア媒体は記録媒体であるところの、前出の第５の態様のコンピュータプログラムが提供される。
【００３７】
第７の態様に従って、前記キャリア媒体は伝送媒体であるところの、前出の第５の態様のコンピュータプログラムが提供される。
【００３８】
第８の態様に従って、シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって前記物理的システムで生ずる波動伝播を評価するコンピュータプログラムであって、
複数の第１グリッドセル及び第１グリッド時間ステップを有する第１グリッドと、該第１グリッドのリファインメントであって、複数の第２グリッドセル及び第２グリッド時間ステップを有する第２グリッドと、前記第１グリッドセルに等しいサイズの複数の中間グリッドセルを有し且つ前記第２グリッド時間ステップを有する中間グリッドとを有する計算領域を定義するステップであって、各セルはシミュレーションされる前記物理的システムの物理量を表す値が得られる１又はそれ以上の解点を有するステップと、
前記第１グリッド時間ステップの後に、前記物理量を表す値であって、少なくとも１つの第１グリッドセルの少なくとも１つの解点に関して得られる値を得るよう第１の更新プロシージャを実行するステップと、
前記第２グリッドの境界線での値を得るよう前記第１グリッドからの値を用いて結合プロシージャを実行するステップと、
前記第２グリッド時間ステップの後に、前記物理量を表す値であって、少なくとも１つの第２グリッドセルの少なくとも１つの解点に関して得られる値を得るよう、前記第２グリッドの前記境界線での前記値を用いて、第２の更新プロシージャを実行するステップと
を有し、
前記結合プロシージャは、
前記中間グリッドの境界線での値を得るよう前記第１グリッドからの値を用いることによって時間結合を実行するステップと、
前記第２の更新プロシージャの前記第２グリッド時間ステップの後に、前記物理量を表す値であって、少なくとも１つの中間グリッドセルの少なくとも１つの解点に関して得られる値を得るよう中間更新プロシージャを実行するステップと、
前記第２の更新プロシージャで用いられる前記第２グリッドの前記境界線での前記値を得るよう、前記中間グリッドからの値を用いることによって空間結合を実行するステップと
を有し、
前記計算領域を定義するステップは、前記中間グリッドの境界線を、前記第２グリッドの少なくとも１つの側の前記第２グリッドの境界線よりも、当該次元において前記第１グリッドセルの１つの少なくとも２倍のサイズに等しい距離で幅広いよう定義するステップを有するコンピュータプログラムが提供される。
【００３９】
“当該次元”は、第２グリッド及び中間グリッドの境界線が分離される計算領域の如何なる次元（dimension）をも意味する。
【００４０】
いずれの態様においても、前記中間グリッドの境界線は、前記第１グリッドセルの１つの少なくとも２倍のサイズに等しい距離で前記第２グリッドの少なくとも１つの側にある前記第２グリッドの境界線よりも幅広い。“サイズ”は、必要に応じて幅、長さ又は高さを意味する。
【００４１】
いずれの態様においても、前記中間グリッドの境界線は、如何なる所与の次元においても前記第１グリッドセルの１つの少なくとも２倍のサイズに等しい距離で、その次元での前記第２グリッドの境界線よりも幅広い。
【００４２】
当然、幾つかのリファインメントレベルを有する領域が考えられ得る。このような領域では、より高いリファインメントレベルを有する精細グリッドは、より低いリファインメントレベルを有する精細グリッド内に埋め込まれ得る。例えば、一次レベル精細グリッドは、一次レベル精細グリッドセルの１又はそれ以上の中に埋め込まれた少なくとも１つの二次レベル精細グリッドを有することができる。従って、粗グリッドの十分なリファインメントが特定の特徴又は不均一性の原因を解くために必要とされる状況で、必要とされるレベルのリファインメントは、一連のリファインメント段階で達成され得る。このようにして、粗グリッドと必要とされるリファインメントレベルの最終的なグリッドとの間の不連続性は、より高いレベルの安定性を計算プロシージャにもたらしながら、より次第に導入される。
【００４３】
前記計算領域は、コンピュータで実行されるコンピュータプログラムによって生成され得る。システムのジオメトリ及び材料特性を表す入力データは、ユーザによって入力され得る。更に、前記更新プロシージャは、コンピュータにインストールされて実行されるコンピュータプログラムによって実行され得る。
【００４４】
上記の態様は、ＦＤＴＤ（有限差分時間領域）法に基づく電磁界の数値近似に用いられ得る。この方法で、各セルは、電界
（外１）
0005359226.tif 000003
の解点が磁界
（外２）
0005359226.tif 000004
の解点に対して直角にねじれているところの電磁界に関し解点の配置を保つ。更新プロシージャは、ＦＤＴＤ更新式を用いて電界及び磁界に関し解を得るよう実行され得る。かかる式は、所与の時点及び空間内の点で第１場成分（第１場成分はＥ又はＨの一方である。）の新しい値を、第１場成分の空間内の所与の点での第２場成分（第２場成分はＥ又はＨの他方である。）の勾配項に関して定義する。勾配項は、第１場成分の空間における所与の点の１つの側にある第２場成分の値と、第１場成分の空間における前記所与の点の反対の側にある第２場成分の値との間の差によって近似され得る。
【００４５】
所与の時点での場（フィールド）に関し解を更新するために実行される更新プロシージャの間、最も粗いグリッドの全体は、１又はそれ以上のより細かいグリッドが存在する領域においてさえ更新され得る。これは、ＦＤＴＤ法の明示的な性質による。かかる性質は、当該グリッドの更新を完了して、領域全体にわたって電磁伝播を近似するために、特定のリファインメントレベルの長方形グリッドにおける全ての点で得られる値に依存する。例えば、最も粗いグリッドに関する解が、精細グリッドが存在する領域で中断する場合には、この最も粗いグリッドには“ホール（hole）”が有効に存在しうる。その場合、その近くの最も粗いグリッドの必要とされる値は欠落しているので、より細かいグリッドの近くの解点で最も粗いグリッドを更新することは不可能である。
【００４６】
前記計算領域は、デカルト（Cartesian）タイプのグリッドを有することができる。
【００４７】
更新プロシージャの間、解は、空間的及び時間的補間によって、グリッドの境界線において決定され得る。
【００４８】
前記第２グリッドは、シミュレーションされる前記物理的システムで生ずる不均一性をマッピングするように前記計算領域内に位置付けられ得る。
【００４９】
前記第１グリッド、前記第２グリッド及び前記中間グリッドのいずれか１つ又はそれ以上は、形状において不規則（non-regular）でありうる。
【００５０】
前記計算領域は、コンピュータで実行されるコンピュータプログラムによって生成され得る。
【００５１】
前記更新プロシージャは、コンピュータで実行されるコンピュータプログラムによって実行され得る。
【００５２】
第９の態様に従って、シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって前記物理的システムで生ずる波動伝播を評価する方法であって、
複数の第１グリッドセルを有する第１グリッドと、該第１グリッドのリファインメントであって、複数の第２グリッドセルを有する第２グリッドとを有する計算領域を定義するステップであって、各セルはシミュレーションされる前記物理的システムの物理量を表す値が得られる１又はそれ以上の解点を有するステップと、
前記第２グリッドの境界線での値を得るよう前記第１グリッドからの値を用いて結合プロシージャを実行するステップと
を有し、
前記結合プロシージャは、時間結合及び空間結合を実行するステップを有し、
前記時間結合が実行される位置は、当該次元において前記第１グリッドセルの１つの少なくとも２倍のサイズに等しい距離で前記第２グリッドの少なくとも１つの側において、前記空間結合が実行される位置から離される方法が提供される。
【００５３】
当該方法は、第１グリッド時間ステップの後に、前記物理量を表す値であって、少なくとも１つの第１グリッドセルの少なくとも１つの解点に関して得られる値を得るよう第１の更新プロシージャを実行するステップを、任意に前記結合プロシージャの前に有することができる。
【００５４】
当該方法は、第２グリッド時間ステップの後に、前記物理量を表す値であって、少なくとも１つの第２グリッドセルの少なくとも１つの解点に関して得られる値を得るよう、前記第２グリッドの境界上での値を用いて、第２の更新プロシージャを実行するステップを、任意に前記結合プロシージャの後に有することができる。
【００５５】
第１０の態様に従って、シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって前記物理的システムで生ずる波動伝播を評価する装置であって、
複数の第１グリッドセルを有する第１グリッドと、該第１グリッドのリファインメントであって、複数の第２グリッドセルを有する第２グリッドとを有する計算領域を定義するよう構成される領域回路であって、各セルはシミュレーションされる前記物理的システムの物理量を表す値が得られる１又はそれ以上の解点を有する領域回路と、
前記第２グリッドの境界線での値を得るよう前記第１グリッドからの値を用いて結合プロシージャを実行するよう構成される結合回路と
を有し、
前記結合回路は、時間結合を実行するよう構成される時間結合回路と、空間結合を実行するよう構成される空間結合回路とを有し、
前記時間結合回路及び前記空間結合回路は、当該次元において前記第１グリッドセルの１つの少なくとも２倍のサイズに等しい距離で前記第２グリッドの少なくとも１つの側において離された位置で前記時間結合及び前記空間結合を実行するよう構成される装置が提供される。
【００５６】
当該装置は、第１グリッド時間ステップの後に、前記物理量を表す値であって、少なくとも１つの第１グリッドセルの少なくとも１つの解点に関して得られる値を得るよう第１の更新プロシージャを実行するよう構成される第１の更新回路を有することができる。
【００５７】
当該装置は、第２グリッド時間ステップの後に、前記物理量を表す値であって、少なくとも１つの第２グリッドセルの少なくとも１つの解点に関して得られる値を得るよう、前記第２グリッドの境界上での値を用いて、第２の更新プロシージャを実行するよう構成される第２の更新回路を有することができる。
【００５８】
これらの第９の態様の方法又は第１０の態様の装置は、前出の態様のいずれか１つ又はそれ以上の特徴を有しうる。
【００５９】
本発明の実施例は、構造化されたデカルトグリッドを有する領域を用いる数値近似法で特定の使用を見出すことができる。
【００６０】
本発明は、その組み合わせにおいて又は単独で具体的に挙げられている（請求されている）かどうかに関わらず、単独で又は様々な組み合わせで１又はそれ以上の態様、実施例又は特徴を有する。
【００６１】
「課題を解決するための手段」は単なる例示を目的として記載されており、本発明を限定するものではない。
【発明の効果】
【００６２】
開示のシステムによれば、サブグリッド化方法の安定性を改善することが可能となる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００６３】
本発明のより良い理解のために、及びどのように本発明の効果が得られるのかを示すために、以下、一例として、添付の図面を参照する。
【００６４】
電磁放射をシミュレーションするためのＦＤＴＤスキームに関連する以下の背景理論は、本発明の理解を助けるのに有用であると考えられる。
【００６５】
図１は、２次元で、粗グリッド２０及びそれに埋め込まれている精細グリッド２１を有する計算領域の一部を示す。９つの粗グリッドセルの領域内に埋め込まれている精細グリッドの２１の境界線Ｐは、粗グリッドと精細グリッドとの間のインターフェースを形成する。図１Ｂは、３次元で、粗グリッド２２とそれに埋め込まれている精細グリッド２３を有する計算領域の一部を示す。
【００６６】
図２Ａは、リファインメント整数ｋ＝４の精細グリッド範囲２を有する粗グリッド１を有する２次元領域を示す。精細グリッド範囲２は、６つの隣り合う精細グリッドセルＳ１乃至Ｓ６から成る。各精細グリッドは、単一の粗グリッドセル内に埋め込まれている。Ｐは、精細グリッド範囲２の境界線を定義し、粗グリッド範囲と精細グリッド範囲との間の外部インターフェースから成る。共通インターフェースｉは、一次レベル領域のセルの端又は面が粗グリッド範囲のセルの面の端と一致する精細グリッド範囲２内の各点に存在する。各グリッド点は、一対の整数（ｉ，ｊ）によって表され得る。ここで、ｉ及びｊは、夫々、ｘ及びｙ方向でのグリッド座標数である。セルの夫々は、所与の時点で解かれる数値近似に関して多数の解点を有する。従って、グリッド上の数学解からシミュレーションされる画像は、所与の時点ｎでシミュレーションされる物理的システムの代表的なものである。この図で、解点は、精細グリッドＳ４に関して表されるように、セルの端及びセルの面の夫々で提供される。
【００６７】
解点の夫々で値を更新するために、明示的な時間進行更新プロシージャが実行され、解は前の時点の値を参照して所与の時点で得られる。解は、最初に、このようにして、粗グリッドに関して得られる。
【００６８】
これまで考えられてきた方法では、精細グリッドの夫々の解点を更新するために、精細グリッド範囲２内の各共通インターフェースでの精細グリッド値は、空間的及び時間的補間によって当該共通インターフェースでの粗グリッド解から得られた。従って、値ａ５、ａ６、ａ９及びａ１０を得るために、補間はＡ３及びＡ５を用いて行われ得る。標準的な線形補間関数が、時間的及び空間的補間のために使用されても良い。具体的に、時間補間関数は、T（An,An+1,j）＝An＋j（An+1−An）によって与えられうる。ここで、ｊは、欠落している精細グリッド時間値である。例えば、図２Ａで、場所Ａ３で欠落している時間値ｎ＋１／４は、an+1/4＝T（A3n,A3n+1,1/4）によって与えられる。更に、空間補間関数は、S（Ai,Aj,d）＝Ai＋d（Aj−Ai）によって与えられ得る。ここで、ｉ及びｊは、値Ａの粗グリッド位置に関する座標であり、ｄは、ｉ−ｊ経路に沿ってｉからの正規化された距離である。例えば、図２Ａで、ａ５に関する欠落した空間値はa5＝S（A5,A5,d5）である。
【００６９】
図２Ｂは、精細グリッド範囲の最初の境界で値を得るために必要とされる従来考えられてきた補間プロシージャを説明するために、図２Ａに示される粗グリッドセルＣ（ｉ，ｊ＋１）及びＳ４を拡大表示したものである。解は、シミュレーションのための適切な数値更新ステンシル（stencils）を用いて粗グリッド解点Ａ１及びＡ２に関し得られる。精細グリッド解点の更新を開始するために、空間値は、解点ａ１乃至ａ４で必要とされる。これらの解点は、同じ場所に置かれた粗グリッド点Ａ２と少なくとも１つの他の粗グリッド値との間の空間的及び時間的補間から得られるべきである。上述されるような標準的な線形補間関数は、解点ａ１乃至ａ４で精細グリッド解を得る際の使用には十分である。従って、場所Ａ２での欠落している時間値ｎ＋１／４は、an+1/4＝T（A2n,A2n+1,1/4）によって与えられる。更に、空間補間関数は、S（Ai,Aj,d）＝Ai＋d（Aj−Ai）によって与えられ得る。ここで、ｉ及びｊは、値Ａの粗グリッド位置に関する座標であり、ｄは、ｉ−ｊ経路に沿ってｉからの正規化された距離である。
【００７０】
以下、構造化されたグリッドを利用するＦＤＴＤスキームの具体例について、図３を参照して説明する。図３は、セルの各点が整数（ｉ，ｊ，ｋ）によって表される３次元セルを示す。ここで、ｉ、ｊ及びｋは、夫々、ｘ、ｙ及びｚ方向でのグリッド座標数である。セルの夫々は、所与の時点での電界及び磁界に関し多数の解点又はノードを有する。この図で、電界成分はセルの面上に定義され、電界成分はセルの端に定義される。ＦＤＴＤ原理に従って、電界の解点は、磁界の解点から空間的及び時間的にねじれている。このことは、解が同じ時点で又は空間内の同じ位置では電界及び磁界の両方に関し得られないことを意味する。むしろ、電界は、所与の時点で、すなわち、ｎ＝０，１，２．．．で解かれ、磁界は、次の時点で、すなわち、ｎ＝０．５，１．５，２．５．．．で解かれる。これは、図４で図式的に表されている。図４は、最初のフィールド条件が空間内の全ての点で零である場合に中心源点から伝播する単純な電磁波を示す。
【００７１】
電磁放射をシミュレーションするＦＤＴＤスキームに関する以下の背景理論は、本発明の理解を助けるのに有用であると考えられる。
【００７２】
如何なる電磁界も、マクスウェルの公式：
【数２】
0005359226.tif 000005
によって完全に記述される。ここで、Ｅ＝（Ｅｘ，Ｅｙ，Ｅｚ）は電界（Ｖ／ｍ）であり、Ｈ＝（Ｈｘ，Ｈｙ，Ｈｚ）は磁界（Ａ／ｍ）であり、εは時間誘電率（Ｆ／ｍ）であり、μは透磁率（Ｈ／ｍ）であり、σは導電率（Ｓ／ｍ）である。
【００７３】
成分形式で式（３）及び（４）を記載すると：
【数３】
0005359226.tif 000006
が得られる。
【００７４】
式（３）から明らかなように、Ｈ場の時間微分はＥ場のカール（Curl）（すなわち、空間にわたるＥ場の変化。）に依存する。同様に、式（４）から、Ｅ場の時間微分は空間にわたるＨ場の変化に依存する。これは、空間内の所与の点でのＥ場の新しい値ＥＮ＋１が、ｉ）空間内の同じ点でのＥ場の古い値ＥＮと、ｉｉ）空間内のＥ場の点の一方の側でのＨ場の古い値ＨＮ＋１／２と空間内のＥ場の点の他方の側での値ＨＮ＋１／２との間の差とに依存する基本的なＦＤＴＤの式を我々に与える。同様に、Ｈ場の新しい値は、Ｈ場の古い値と、Ｈ場の点のいずれか一方の側でのＥ場の古い値の間の差とに依存する。従って、式（５）乃至（１０）の空間微分を近似することは、電磁界のための以下のＦＤＴＤ中心差分更新ステンシル：
【数４】
0005359226.tif 000007
を与える。ここで：
【数５】
0005359226.tif 000008
である。
【００７５】
計算シミュレーションの間に、式（１１）乃至（１６）は、時間ステップΔｔによって時間において前方にＥ場及びＨ場を増加的に進めるようリープフロッグ（leap-frog）法で解かれる。
【００７６】
以下、シミュレーションの実行に含まれるプロシージャの例について、ＦＤＴＤスキームを用いて電磁界をシミュレーションする具体的な例を参照して論じる。
【００７７】
シミュレーションが実行されるべき領域は、通常、コンピュータで実施されるコンピュータプログラムによって生成される。シミュレーションされるシステムのジオメトリは、（零でありうる）初期フィールド条件、少なくとも１つの電磁放射源を表す関数及び材料特性の詳細とともに、ユーザによって前処理で特定されるべきである（例えば、磁界誘電率ε、透磁率μ及び導電率σが定義され得る。）。更に、マクスウェルの公式について正確な解を生成するために、結果は、無限の空間にわたって解を表すべきである。しかし、コンピュータの能力及びメモリの実際上の限界は、計算グリッドの終点を必要とする。如何なるこのような終点（termination）法も、有限な計算グリッド内で計算に影響を及ぼしてはならない。従って、このような効果に対する境界条件は、シミュレーションが実行される前に、計算領域の境界に定められる。ＦＤＴＤ法の明示性により、ディリクレ（Dirichlet）（固定値）インターフェース境界条件は、埋め込まれている精細グリッド境界に最も適する。
【００７８】
可能ならば変化するリファインメントレベルの精細グリッド範囲が、例えば、小規模構造体又は曲面境界の幾何学的外形をマッピングするように領域内に位置付けられる場合に、ユーザは、各精細グリッド範囲の位置、リファインメントレベル及び境界周囲を、領域内の他の精細グリッドへのその接続性とともに特定することができる。
【００７９】
図５Ａ乃至Ｃは、均一グリッド３０を有する均一ＦＤＴＤスキームと、不均一グリッド４０を有する不均一ＦＤＴＤスキームと、粗グリッド５０及び埋め込みグリッド５２を有するマルチグリッドＦＤＴＤスキームとを示す。
【００８０】
本発明は、マルチグリッドＦＤＴＤスキームにおいてレイトタイム不安定を解消するために、及び／又はマルチグリッドＦＤＴＤスキームの安定性を高めるために、使用され得る。
【００８１】
図６は、シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって、その物理的システムで生ずる波動伝播を評価する方法の１次元の実施に関連する。この方法は、複数の第１グリッドセル６２を有する第１の１次元グリッド６０と、第１グリッド６０のリファインメントであって、複数の第２グリッドセル８２を有する第２の１次元グリッド８０と、複数の中間グリッドセル７２を有する中間の１次元グリッド７０とを有する計算領域を伴う。中間グリッド７０は、空間内で第１グリッド６０のリファインメントレベルを有するが、第２グリッド８０の時間ステップを伴う。第２グリッド８０の境界線Ｐ１は、中間グリッド７０の境界線Ｐ２の範囲内にあり、２つの境界線Ｐ１、Ｐ２は、後に説明されるように、第１グリッド６０／中間グリッド７０の２つのセル６２、７２のサイズに等しい距離で離されている。各セル６２、７２、８２は、シミュレーションされる物理的システムの物理量を表す値が得られるところの解点を有する。図示されるように、セルは、セルの端に電界値（Ｅ）を有し、セルの中央に磁界値（Ｈ）を有する。このようにして、Ｅ及びＨの値は交互交代にされる。図６は、電界（Ｅ）及び磁界（Ｈ）としての物理量を示すが、当然、本発明はこれらの量に限定されない。図６中の矢印は、グリッド間の情報フローの方向を示す。第１グリッド６０から、中間グリッド７０の境界線に隣接するＨｚの値は、例えば式（９）を用いることによって、その境界線でのＥｙの値を得るために用いられる。Ｅｎ＋１で、中間グリッド７０の内在的なＥｙの値が得られ、第１グリッド６０上にマッピングされて、２つのグリッド６０、７０の間の完全な結合を達成する。同様に、第２グリッド８０での境界線の値Ｅｙは、例えば式（９）を用いることによって、中間グリッド７０からの磁界の値Ｈｚを用いて計算される。図６を参照して記載される１次元の方法では、線形又は空間補間はグリッドを結合するために必要とされない。
【００８２】
図７は、波動伝播を評価するための代替の１次元の方法に関連する。この方法は、中間グリッド７０の境界線にある値Ｅｙを計算するために第１グリッド６０からのＨｚの値を用いる代わりに、時間補間が、第１グリッド６０の対応する位置にあるＥｙの値から中間グリッド７０の境界線にあるＥｙの値を得るために使用される点を除いて、図６を参照して記載される方法と同じである。上述されたように、中間グリッド７０の空間は第１グリッド６０の空間と同じであるが、中間グリッド７０は第２グリッド８０の時間増分を有する。中間グリッド７０の境界線でのＥｙの如何なる欠落した時間値も、線形補間：
Ｅｎ＋α＝Ｅｎ＋α（Ｅｎ＋１−Ｅｎ）
によって計算される。ここで、０≦α≦１である。空間補間は、欠落したＨｚの値はないので、１次元では必要とされない。
【００８３】
図８は、波動伝播を評価するための２次元の方法に関連する。白丸は既知のＨｚの値を示し、黒丸は、Ｅｘ及びＥｙの計算に必要とされる欠落したＨｚの値を示す。図８は空間補間を表す。ここで、第１グリッド６０と中間グリッド７０との間の時間補間は予め行われているとする。暗色の矢印によって示されるように、線形空間補間は、最も近い既知のＨｚの値から欠落したＨｚの値を得るよう実行される。明色の矢印は、Ｅｘ及びＥｙの間の計算を示す。
【００８４】
Ｅｘ及びＥｙを計算するために使用される２次元のＥ場の式は：
【数６】
0005359226.tif 000009
でありうる。グリッドインターフェースでのＥｘの計算では、ｙ方向でのＨｚの勾配が必要とされる。同様に、Ｅｙに関し、ｘ方向でのＨｚの勾配が必要とされる。
【００８５】
図９は、波動伝播を評価するための３次元の方法に関連する。黒丸は、２次元の場合を参照して上述されたように、補間によって見つけられるＨｚの値を示す。白丸は、欠落したＨｚの値を示す。線の入った白丸は、既知のＨｚの値を示す。欠落したＨｚの値は、加重分割（weighted  splitting）によって、最も近い既知のＨｚの値から計算される。欠落したＨｚの値は、例えば式（８）及び（９）を用いて、第２グリッド８０の境界線でのＥｘ、Ｅｙを計算するために使用される。Ｅｚの値は、例えば、式（１０）を用いて計算され得る。
【００８６】
如何なる数の次元を有するＦＤＴＤに関しても、第２グリッド８０の境界線Ｐ１は中間グリッド７０の境界線Ｐ２の範囲内にあり、中間グリッド７０の境界線Ｐ２は、その次元で第１グリッドセル６２の１つの少なくとも２倍のサイズに等しい距離で、如何なる所与の次元でも第２グリッド８０の境界線Ｐ１よりも幅広い。この距離は、粗セルの数、すなわちＮＣＣ（the  Number  of  Coarse  Cells）と呼ばれることがある。
【００８７】
以下の表１、表２及び表３は、夫々、１、２及び３次元のマルチグリッドＦＤＴＤスキームに関して行われる数値実験の結果を含む。これらの表は、リファインメントレベルに対する粗セルの数（ＮＣＣ）を比較する。ＮＣＣは、粗セル（第１グリッド６０のセル６２）の数に関して、空間結合又は補間の位置（第２グリッド８０の境界線Ｐ１）と時間結合又は補間の位置（中間グリッド７０の境界線Ｐ１）との間の距離と考えることができる。図６の場合で、例えば、ＮＣＣの値は２である。
【００８８】
１０００万時間ステップが数値実験に適用された。最大絶対磁場値は、１０万時間ステップ、１００万時間ステップ及び１０００万時間ステップの後に出力された。最大絶対磁場の解値は、全ての波が領域を出た後は零である。これは、１０００時間ステップの後に当てはまるべきである。何らのレイトタイム不安定が存在する場合は、磁場値は零から離れる。図１０及び図１１は、夫々、不安定な場合と安定な場合との間の相違を明らかにする。
【００８９】
表１、２及び３にある結果は、１のＮＣＣ値及び１次元の場合には２のＮＣＣ値に関してレイトタイム不安定を明示する。３又はそれ以上のＮＣＣ値は、如何なる数の次元でも極めて安定したマルチグリッドＦＤＴＤ法を提供する。２又はそれ以上の次元では、２又はそれ以上のＮＣＣ値は安定した解を与える。
【００９０】
【表１】
0005359226.tif 000010
【００９１】
【表２】
0005359226.tif 000011
【００９２】
【表３】
0005359226.tif 000012
【００９３】
全ての時間に全ての次元で必要とされるＮＣＣの値を有することは不可能である。例えば、図１２Ｂは、第２グリッド８０の境界線Ｐ１が領域境界に境を接する２次元スキームにおける状況を表す。この場合に、領域境界に隣接する第２グリッド８０の側でのＮＣＣの値は零である。しかし、物理量の値が、（境界から離れた値の場合と同様に）計算されるよりむしろ、境界で知られる場合は、かかるスキームの安定性は、ＮＣＣの値が境界に隣接するグリッドの側において所定の最大値（すなわち、２。）を下回るという事実によって影響を及ぼされない。実際には、第２グリッド８０の３つの側部が境界にある状況も存在しうる。すなわち、ＮＣＣの値は、第２グリッド８０の１つの側において第２グリッド８０と中間グリッド７０との間にしか存在しない。これは、上述されたような安定性の改善という利点を得るのに十分である。図１２Ａは、第２グリッド８０が領域境界から離れている状況を表す。如何なるこのような状況でも、ＮＣＣの値は第２グリッド８０の全ての側で上述された規準を満たすことが望ましい。
【００９４】
図１３は、シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって、その物理的システムで生ずる波動伝播を評価する方法を表す。この方法は、複数の第１グリッドセル６２及び第１グリッド時間ステップを有する第１グリッド６０と、第１グリッド６０のリファインメントであって、複数の第２グリッドセル８２及び第２グリッド時間ステップを有する第２グリッド８０と、第１グリッドセル６２に等しいサイズの複数の中間グリッドセル７２を有し且つ第２グリッド時間ステップを有する中間グリッド７０とを有する計算領域を定義するステップ（Ｓ１）を有する。各セル６２、７２、８２は、シミュレーションされる物理的システムの物理量を表す値が得られる１又はそれ以上の解点を有する。
【００９５】
この方法は、更に、前記第１グリッド時間ステップの後に、物理量を表す値であって、少なくとも１つの第１グリッドセル６２の少なくとも１つの解点に関して得られる値を得るよう第１の更新プロシージャを実行するステップ（Ｓ２）と、第２グリッド８０の境界線Ｐ１での値を得るよう第１グリッド６０からの値を用いて結合プロシージャを実行するステップ（Ｓ３）と、前記第２グリッド時間ステップの後に、物理量を表す値であって、少なくとも１つの第２グリッドセル８２の少なくとも１つの解点に関して得られる値を得るよう、第２グリッド８０の境界線Ｐ１での値を用いて、第２の更新プロシージャを実行するステップ（Ｓ４）とを有する。
【００９６】
結合プロシージャ（Ｓ３）は、中間グリッド７０の境界線Ｐ２での値を得るよう第１グリッド６０からの値を用いることによって時間結合を実行するステップ（Ｓ３Ａ）と、第２の更新プロシージャの第２グリッド時間ステップの後に、物理量を表す値であって、少なくとも１つの中間グリッドセル７２の少なくとも１つの解点に関して得られる値を得るよう中間更新プロシージャを実行するステップ（Ｓ３Ｂ）と、第２の更新プロシージャで用いられる第２グリッド８０の境界線Ｐ１での値を得るよう、中間グリッド７０からの値を用いることによって空間結合を実行するステップ（Ｓ３Ｃ）とを有する。
【００９７】
本発明に従って、計算領域を定義するステップ（Ｓ１）は、中間グリッド７０の境界線Ｐ２を、第２グリッド８０の少なくとも１つの側の第２グリッド８０の境界線Ｐ１よりも、その次元において第１グリッドセル６２の１つの少なくとも２倍のサイズに等しい距離で幅広いよう定義するステップを有する。
【００９８】
この方法は、更に、シミュレーションが完了するまで、ステップＳ２乃至Ｓ４を繰り返すステップ（Ｓ６）を有する。１つの変形において、第２の更新プロシージャは、図１３中に破線矢印で示されるように、第１の更新プロシージャが繰り返される前に繰り返される場合がある。
【００９９】
一実施例で、時間結合（Ｓ３Ａ）は、中間グリッド７０の境界線Ｐ２での値の位置に対応する第１グリッド６０における位置にある値を用いて時間補間によって中間グリッド７０の境界線Ｐ２での値を得るステップを有する。補間値は、第２の更新プロシージャの第２グリッド時間ステップの後の物理的システムの物理量を表す。
【０１００】
一実施例で、空間結合（Ｓ３Ｃ）は、中間グリッド７０からの値を用いて空間補間によって第２グリッド８０の境界線Ｐ１での値を得るステップを有する。
【０１０１】
一実施例で、この方法は、第１グリッド６０で値を更新して（Ｓ５）、第１グリッド６０の精度を改善するために第２グリッド８０からの値を用いるステップを有する。
【０１０２】
物理的システムは互いから導出可能な２つの物理量を有する。一実施例で、この方法は、２つの物理量の一方を用いて時間結合（Ｓ３Ａ）を実行するステップと、２つの物理量の他方を用いて空間結合（Ｓ３Ｃ）を実行するステップとを有する。一実施例で、２つの物理量の一方は、電界の強さ及び磁界の強さのうちの一方であり、２つの物理量の他方は、電界の強さ及び磁界の強さのうちの他方である。しかし、当然、本発明はこれらの物理量に限定されるものではない。
【０１０３】
図１４は、シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって、その物理的システムで生ずる波動伝播を評価する装置１００を示す。装置１００は、第１グリッド６０、第２グリッド８０及び中間グリッド７０を有する計算領域を定義するよう構成される領域回路１０２と、第１の更新プロシージャを実行するよう構成される第１の更新回路１０４と、第２の更新プロシージャを実行するよう構成される第２の更新回路１０６と、結合プロシージャを実行するよう構成される結合回路１０８とを有する。結合回路１０８は、時間結合を実行するよう構成される時間結合回路１１０と、中間更新プロシージャを実行するよう構成される中間更新回路１１２と、空間結合を実行するよう構成される空間結合回路１１４とを有する。本発明に従って、領域回路１０２は、中間グリッド７０の境界線Ｐ２を、その次元で第１グリッドセル６２の１つの少なくとも２倍のサイズに等しい距離で第２グリッド８０の少なくとも１つの側での第２グリッド８０の境界線Ｐ１よりも幅広いよう定義するよう構成される。一実施例で、装置１００は、第１グリッド６０で値を更新して、第１グリッド６０の精度を改善するために第２グリッド８０からの値を用いるよう構成されるフィードバック回路１１６を有する。装置１００は、コンピュータプログラムを読む込む場合に装置１００として動作するコンピュータであっても良い。
【０１０４】
図１５は、シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって、その物理的システムで生ずる波動伝播を評価するコンピュータプログラム２００を示す。プログラム２００は、第１グリッド６０、第２グリッド８０及び中間グリッド７０を有する計算領域を定義するよう構成される領域コンポーネント２０２と、第１の更新プロシージャを実行するよう構成される第１の更新コンポーネント２０４と、第２の更新プロシージャを実行するよう構成される第２の更新コンポーネント２０６と、結合プロシージャを実行するよう構成される結合コンポーネント２０８とを有する。結合コンポーネント２０８は、時間結合を実行するよう構成される時間結合コンポーネント２１０と、中間更新プロシージャを実行するよう構成される中間更新コンポーネント２１２と、空間結合を実行するよう構成される空間結合コンポーネント２１４とを有する。本発明に従って、領域コンポーネント２０２は、中間グリッド７０の境界線Ｐ２を、その次元で第１グリッドセル６２の１つの少なくとも２倍のサイズに等しい距離で第２グリッド８０の少なくとも１つの側での第２グリッド８０の境界線Ｐ１よりも幅広いよう定義するよう構成される。一実施例で、プログラム２００は、第１グリッド６０で値を更新して、第１グリッド６０の精度を改善するために第２グリッド８０からの値を用いるよう構成されるフィードバックコンポーネント２１６を有する。
【０１０５】
当然、本発明の様々な態様は、単独で又は単一の実施例で組み合わされて使用され得る。
【０１０６】
以上の実施形態に関し、更に以下の付記を開示する。
（付記１）
シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって前記物理的システムで生ずる波動伝播を評価する方法であって、
複数の第１グリッドセル及び第１グリッド時間ステップを有する第１グリッドと、該第１グリッドのリファインメントであって、複数の第２グリッドセル及び第２グリッド時間ステップを有する第２グリッドと、前記第１グリッドセルに等しいサイズの複数の中間グリッドセルを有し且つ前記第２グリッド時間ステップを有する中間グリッドとを有する計算領域を定義するステップであって、各セルはシミュレーションされる前記物理的システムの物理量を表す値が得られる１又はそれ以上の解点を有するステップと、
前記第１グリッド時間ステップの後に、前記物理量を表す値であって、少なくとも１つの第１グリッドセルの少なくとも１つの解点に関して得られる値を得るよう第１の更新プロシージャを実行するステップと、
前記第２グリッドの境界線での値を得るよう前記第１グリッドからの値を用いて結合プロシージャを実行するステップと、
前記第２グリッド時間ステップの後に、前記物理量を表す値であって、少なくとも１つの第２グリッドセルの少なくとも１つの解点に関して得られる値を得るよう、前記第２グリッドの前記境界線での前記値を用いて、第２の更新プロシージャを実行するステップと
を有し、
前記結合プロシージャは、
前記中間グリッドの境界線での値を得るよう前記第１グリッドからの値を用いることによって時間結合を実行するステップと、
前記第２の更新プロシージャの前記第２グリッド時間ステップの後に、前記物理量を表す値であって、少なくとも１つの中間グリッドセルの少なくとも１つの解点に関して得られる値を得るよう中間更新プロシージャを実行するステップと、
前記第２の更新プロシージャで用いられる前記第２グリッドの前記境界線での前記値を得るよう、前記中間グリッドからの値を用いることによって空間結合を実行するステップと
を有し、
前記計算領域を定義するステップは、前記中間グリッドの境界線を、前記第２グリッドの少なくとも１つの側の前記第２グリッドの境界線よりも、当該次元において前記第１グリッドセルの１つの少なくとも２倍のサイズに等しい距離で幅広いよう定義するステップを有する、方法。
（付記２）
前記時間結合は、前記中間グリッドの境界線での値の位置に対応する前記第１グリッドにおける位置にある値を用いて時間補間によって前記中間グリッドの境界線での値を得るステップを有し、
補間値は、前記第２の更新プロシージャの前記第２グリッド時間ステップの後の前記物理的システムの物理量を表す、付記１記載の方法。
（付記３）
前記空間結合は、前記中間グリッドからの値を用いて空間補間によって前記第２グリッドの境界線での値を得るステップを有する、付記１又は２記載の方法。
（付記４）
前記計算領域を定義するステップは、
前記第１グリッド、前記第２グリッド及び前記中間グリッドの夫々を１次元であるよう定義するステップと、
当該一次元において前記第１グリッドセルの１つの少なくとも３倍のサイズに等しい距離で前記第２グリッドの少なくとも１つの側にある前記第２グリッドの境界線よりも幅広いよう前記中間グリッドの境界線を定義するステップと
を有する、付記１乃至３のうちいずれか一項記載の方法。
（付記５）
前記計算領域を定義するステップは、
前記第１グリッド、前記第２グリッド及び前記中間グリッドの夫々を２次元であるよう定義するステップと、
当該次元において前記第１グリッドセルの１つの少なくとも２倍のサイズに等しい距離で前記第２グリッドの少なくとも１つの側にある前記第２グリッドの境界線よりも幅広いよう前記中間グリッドの境界線を定義するステップと
を有する、付記１乃至３のうちいずれか一項記載の方法。
（付記６）
前記第１グリッドで値を更新して、前記第１グリッドの精度を改善するために前記第２グリッドからの値を用いるステップを更に有する、付記１乃至５のうちいずれか一項記載の方法。
（付記７）
前記物理的システムが互いから導出可能な２つの物理量を有する場合に、
前記２つの物理量の一方を用いて前記時間結合を実行するステップと、
前記２つの物理量の他方を用いて前記空間結合を実行するステップと
を有する、付記１乃至６のうちいずれか一項記載の方法。
（付記８）
前記２つの物理量の一方は、電界の強さ及び磁界の強さのうちの一方であり、
前記２つの物理量の他方は、前記電界の強さ及び磁界の強さのうちの他方である、
付記７記載の方法。
（付記９）
前記第２グリッドの境界線が前記計算領域の境界の特定の距離範囲内にある場合を除いて、前記第２グリッドの全ての側で前記特定の距離で前記第２グリッドの境界線より幅広いよう前記中間グリッドの境界線を定義するステップを更に有する、付記１乃至８のうちいずれか一項記載の方法。
（付記１０）
シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって前記物理的システムで生ずる波動伝播を評価する装置であって、
複数の第１グリッドセル及び第１グリッド時間ステップを有する第１グリッドと、該第１グリッドのリファインメントであって、複数の第２グリッドセル及び第２グリッド時間ステップを有する第２グリッドと、前記第１グリッドセルに等しいサイズの複数の中間グリッドセルを有し且つ前記第２グリッド時間ステップを有する中間グリッドとを有する計算領域を定義するよう構成される領域回路であって、各セルはシミュレーションされる前記物理的システムの物理量を表す値が得られる１又はそれ以上の解点を有する領域回路と、
前記第１グリッド時間ステップの後に、前記物理量を表す値であって、少なくとも１つの第１グリッドセルの少なくとも１つの解点に関して得られる値を得るよう第１の更新プロシージャを実行するよう構成される第１の更新回路と、
前記第２グリッドの境界線での値を得るよう前記第１グリッドからの値を用いて結合プロシージャを実行するよう構成される結合回路と、
前記第２グリッド時間ステップの後に、前記物理量を表す値であって、少なくとも１つの第２グリッドセルの少なくとも１つの解点に関して得られる値を得るよう、前記第２グリッドの前記境界線での前記値を用いて、第２の更新プロシージャを実行するよう構成される第２の更新回路と
を有し、
前記結合回路は、
前記中間グリッドの境界線での値を得るよう前記第１グリッドからの値を用いることによって時間結合を実行するよう構成される時間結合回路と、
前記第２の更新プロシージャの前記第２グリッド時間ステップの後に、前記物理量を表す値であって、少なくとも１つの中間グリッドセルの少なくとも１つの解点に関して得られる値を得るよう中間更新プロシージャを実行するよう構成される中間更新回路と、
前記第２の更新プロシージャで用いられる前記第２グリッドの前記境界線での前記値を得るよう、前記中間グリッドからの値を用いることによって空間結合を実行するよう構成される空間結合回路と
を有し、
前記領域回路は、前記中間グリッドの境界線を、前記第２グリッドの少なくとも１つの側の前記第２グリッドの境界線よりも、当該次元において前記第１グリッドセルの１つの少なくとも２倍のサイズに等しい距離で幅広いよう定義するよう構成される、装置。
（付記１１）
前記時間結合回路は、前記中間グリッドの境界線での値の位置に対応する前記第１グリッドにおける位置にある値を用いて時間補間によって前記中間グリッドの境界線での値を得るように前記時間結合を実行するよう構成され、
補間値は、前記第２の更新プロシージャの前記第２グリッド時間ステップの後の前記物理的システムの物理量を表す、付記１０記載の装置。
（付記１２）
前記空間結合回路は、前記中間グリッドからの値を用いて空間補間によって前記第２グリッドの境界線での値を得るように前記空間結合を実行するよう構成される、付記１０又は１１記載の装置。
（付記１３）
前記領域回路は、前記第１グリッド、前記第２グリッド及び前記中間グリッドの夫々を１次元であるよう定義し且つ当該一次元において前記第１グリッドセルの１つの少なくとも３倍のサイズに等しい距離で前記第２グリッドの少なくとも１つの側にある前記第２グリッドの境界線よりも幅広いよう前記中間グリッドの境界線を定義するよう構成される、付記１０乃至１２のうちいずれか一項記載の装置。
（付記１４）
前記領域回路は、前記第１グリッド、前記第２グリッド及び前記中間グリッドの夫々を２次元であるよう定義し且つ当該次元において前記第１グリッドセルの１つの少なくとも２倍のサイズに等しい距離で前記第２グリッドの少なくとも１つの側にある前記第２グリッドの境界線よりも幅広いよう前記中間グリッドの境界線を定義するよう構成される、付記１０乃至１２のうちいずれか一項記載の装置。
（付記１５）
前記第１グリッドで値を更新して、前記第１グリッドの精度を改善するために前記第２グリッドからの値を用いるよう構成されるフィードバック回路を更に有する、付記１０乃至１４のうちいずれか一項記載の装置。
（付記１６）
前記物理的システムは、互いから導出可能な２つの物理量を有し、
前記時間結合回路は、前記２つの物理量の一方を用いて前記時間結合を実行するよう構成され、
前記空間結合回路は、前記２つの物理量の他方を用いて前記空間結合を実行するよう構成される、付記１０乃至１５のうちいずれか一項記載の装置。
（付記１７）
前記２つの物理量の一方は、電界の強さ及び磁界の強さのうちの一方であり、
前記２つの物理量の他方は、前記電界の強さ及び磁界の強さのうちの他方である、
付記１６記載の装置。
（付記１８）
前記領域回路は、前記第２グリッドの境界線が前記計算領域の境界の特定の距離範囲内にある場合を除いて、前記第２グリッドの全ての側で前記特定の距離で前記第２グリッドの境界線より幅広いよう前記中間グリッドの境界線を定義するよう構成される、付記１０乃至１７のうちいずれか一項記載の装置。
（付記１９）
コンピュータで実行される場合に、該コンピュータに
付記１乃至９のうちいずれか一項記載の方法を実行させるコンピュータプログラム。
（付記２０）
コンピュータに読み込まれる場合に、該コンピュータを
付記１０乃至１８のうちいずれか一項記載の装置として動作させるコンピュータプログラム。
（付記２１）
キャリア媒体によって伝えられる、付記１９又は２０記載のコンピュータプログラム。
（付記２２）
前記キャリア媒体は記録媒体である、付記２１記載のコンピュータプログラム。
（付記２３）
前記キャリア媒体は伝送媒体である、付記２１記載のコンピュータプログラム。
【図面の簡単な説明】
【０１０７】
【図１Ａ】２次元で表される計算領域への埋め込み精細グリッドの適用を示す。
【図１Ｂ】３次元で表される計算領域への埋め込み精細グリッドの適用を示す。
【図２Ａ】２次元デカルトグリッド領域を示す。
【図２Ｂ】より大きいスケールで、図２Ａの領域の一部を示す
【図３】ＦＤＴＤ（有限差分時間領域）スキームで用いられる３次元セルを示す。
【図４】中心源点から伝播するシミュレーションされた電磁波を表す。
【図５Ａ】均一ＦＤＴＤスキームを示す。
【図５Ｂ】不均一ＦＤＴＤスキームを示す。
【図５Ｃ】マルチグリッドＦＤＴＤスキームを示す。
【図６】１次元での結合プロシージャを表す。
【図７】１次元での代替の結合プロシージャを表す。
【図８】２次元での結合プロシージャを表す。
【図９】３次元での結合プロシージャを表す。
【図１０】レイトタイム不安定により発散する解を表す。
【図１１】安定した解を表す。
【図１２Ａ】計算領域から離された精細グリッドの位置付けを表す。
【図１２Ｂ】計算領域の境界にある精細グリッドの位置付けを表す。
【図１３】シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって、物理的システムで生ずる波動伝播を評価する方法を表すフローチャートである。
【図１４】シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって、物理的システムで生ずる波動伝播を評価する装置の概略図である。
【図１５】シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって、物理的システムで生ずる波動伝播を評価するコンピュータプログラムの概略図である。
【符号の説明】
【０１０８】
１００  装置
１０２  領域回路
１０４  第１の更新回路
１０６  第２の更新回路
１０８  結合回路
１１０  時間結合回路
１１２  中間更新回路
１１４  空間結合回路
１１６  フィードバック回路
２００  コンピュータプログラム
２０２  領域コンポーネント
２０４  第１の更新コンポーネント
２０６  第２の更新コンポーネント
２０８  結合コンポーネント
２１０  時間結合コンポーネント
２１２  中間更新コンポーネント
２１４  空間結合コンポーネント
２１６  フィードバックコンポーネント
６０    第１グリッド
６２    第１グリッドセル
７０    中間グリッド
７２    中間グリッドセル
８０    第２グリッド
８２    第２グリッドセル
Ｐ１、Ｐ２  境界線
【図１Ａ】
0005359226.tif 000013
【図１Ｂ】
0005359226.tif 000014
【図２Ａ】
0005359226.tif 000015
【図２Ｂ】
0005359226.tif 000016
【図３】
0005359226.tif 000017
【図４】
0005359226.tif 000018
【図５Ａ】
0005359226.tif 000019
【図５Ｂ】
0005359226.tif 000020
【図５Ｃ】
0005359226.tif 000021
【図６】
0005359226.tif 000022
【図７】
0005359226.tif 000023
【図８】
0005359226.tif 000024
【図９】
0005359226.tif 000025
【図１０】
0005359226.tif 000026
【図１１】
0005359226.tif 000027
【図１２Ａ】
0005359226.tif 000028
【図１２Ｂ】
0005359226.tif 000029
【図１３】
0005359226.tif 000030
【図１４】
0005359226.tif 000031
【図１５】
0005359226.tif 000032