(57)【要約】【課題】粒子シミュレーションにおける、古典的な系と量子的な系をカップルさせて解く方法において、古典的な系と量子的な系の接続部で、平均値だけでなく、分散も保存するような形で接続することにより、例えばエネルギー分布のような分散が効いて来るホットキャリアのような現象の解析を高精度化する。【解決手段】境界条件処理部２２において、量子化した粒子を古典的粒子に置き換える場合、位置設定部４３が、界面に垂直な方向の座標は、量子化した粒子の所属する準位の波動関数の分布を元に、運動量が実数になる座標のみを乱数で選ぶ。また、運動量設定部４４が、量子化した粒子の所属する準位のエネルギーが古典的粒子の運動エネルギーの深さ方向成分と位置エネルギーとの和に一致させ、また、界面に平行な成分の運動量も一致させる。【選択図】        図５
2005236068.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
量子化粒子と古典的粒子とを扱う粒子シミュレーションシステムにおいて、
粒子を量子化粒子から古典的粒子に遷移させる場合に、各量子化粒子のエネルギーが保存するように量子化粒子から古典的粒子に遷移させる境界条件処理部を備えたことを特徴とする粒子シミュレーションシステム。
【請求項２】
上記境界条件処理部は、粒子を量子化粒子から古典的粒子に遷移させる場合に、
粒子の量子化方向の運動量が実数になる領域から、量子化粒子の波動関数の分布に基づいて、古典的粒子の位置を設定することを特徴とする請求項１記載の粒子シミュレーションシステム。
【請求項３】
上記境界条件処理部は、粒子を量子化粒子から古典的粒子に遷移させる場合に、
量子化粒子の準位エネルギーが、古典的粒子の位置エネルギーと運動エネルギーとの和になるように、古典的粒子の運動エネルギーを設定することを特徴とする請求項１又は２記載の粒子シミュレーションシステム。
【請求項４】
解析領域の中に、量子効果を考慮する領域と古典的に扱う領域があるヘテロジニアスな系の粒子シミュレーション方法において、
量子効果を考慮する領域での量子化粒子を古典的粒子に置き換える場合、各粒子毎に、量子的な広がりを乱数を用いて古典的な点に置き換えるとともに、エネルギーを保存するような形で置き換えることを特徴とするシミュレーション方法。
【請求項５】
古典的粒子の座標は、量子化粒子の所属する準位の波動関数の分布を元に、運動量が実数になる座標のみを乱数で選ぶことを特徴とする請求項４記載のシミュレーション方法。
【発明の詳細な説明】
【背景技術】
【０００１】
この発明は、例えば、半導体トランジスタのキャリア輸送の計算において、キャリアを粒子として扱う部分で量子効果を考慮した領域としない領域を含むシステムでのシミュレーションに係わる。
【技術分野】
【０００２】
従来の技術の例として半導体デバイスであるＭＯＳ（メタル−酸化膜−シリコン）型トランジスタでの粒子シミュレーションでの適用例で説明する。ＭＯＳ型トランジスタは酸化膜−シリコン界面に垂直な方向に非常に大きな電界がかかっており、キャリアが界面付近の狭い領域に閉じ込められている。そのため界面に垂直な方向の量子準位間隔が粒子の運動エネルギーと同程度になっており、量子的効果が現われてくることが知られている。
【０００３】
また、キャリア動作に影響を与えるイオン化不純物及び他キャリアとのクーロン相互作用を評価するのに、キャリアの分布は界面に垂直な方向に急峻な分布を取り入れる必要があるためキャリアを界面に垂直な方向に量子化した粒子として扱う方法がしばしば取られていた。
【０００４】
一方、デバイス動作においては、ドレイン電界のため電子が高いエネルギーを得て高いサブバンド準位に励起している。高いサブバンド準位においては準位間のエネルギー準位が密になっているため、全てのサブバンドについて考えることは計算負荷が大きくなるという問題がある。そこで、キャリアのうち一部を量子した粒子として扱い、残りを古典的粒子とする方法が提唱された。従来の方法１としてはフィジカルレビューＢ（Ｊｏｕｒｎａｌ  ｏｆ  Ｐｈｙｓｉｃａｌ  Ｒｅｖｉｅｗ）、ＶＯＬＵＭＥ４８（１５  ＪＵＬＹ  １９９３−II）第２２６２頁から２２６４頁に記載されているように、電子の運動エネルギーにしきい値を定め、しきい値以下の場合に電子を量子化した２次元ガス（量子化粒子）として扱い、しきい値以上の場合にバルク粒子（古典的粒子）として扱う。この方法により電子が高エネルギーになった場合も扱う事が出来た。
【０００５】
しかしながらこの方法では、運動エネルギーが大きいが界面に垂直な方向の運動エネルギー成分が小さい電子をバルク粒子として扱うため、界面に垂直な方向のエネルギー成分が小さい粒子が界面付近に局在してしまうという物理的に不自然なことが起こるため、大きな誤差要因となる。
【０００６】
そのために、従来の方法２として、特開平７−２８２１２０号公報では、量子化した粒子と古典的粒子の境界を、界面に垂直な方向のエネルギー成分の大きさによって設定することを提案している。運動量空間をメッシュ分割して、サブバンドのエネルギーを運動量の量子化方向成分として換算することにより、界面に平行な運動による量子状態の変化を取り入れられるようにした。また、量子化した粒子と古典的粒子の境界の判定基準を設定可能にし、不必要な量子化計算の抑制を行った。
【非特許文献１】フィジカルレビューＢ（Ｊｏｕｒｎａｌ  ｏｆ  Ｐｈｙｓｉｃａｌ  Ｒｅｖｉｅｗ）、ＶＯＬＵＭＥ４８（１５  ＪＵＬＹ  １９９３−II）Ｍｏｎｔｅ  Ｃａｒｌｏ  ｓｔｕｄｙ  ｏｆ  ｅｌｅｃｔｒｏｎ  ｔｒａｎｓｐｏｒｔ  ｉｎ  ｓｉｌｉｃｏｎ  ｉｎｖｅｒｓｉｏｎ  ｌａｙｅｒｓ  Ｍ．Ｖ．Ｆｉｓｃｈｅｔｔｉ  ａｎｄ  Ｓ．Ｅ．Ｌａｕｘ  第２２４４頁から２２７４頁
【特許文献１】特開平７−２８２１２０号公報
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００７】
しかしながら、量子化した系と古典的な系では深さ方向の分布が異なり、従来の技術では、その接続があいまいであった。例えば従来方法１の２２６３頁の第７９式に記載されているように、量子化した粒子から古典的な粒子に移る場合には、深さ方向の波動関数の分布に基づいて乱数で粒子を配分し、そのときの深さ方向の運動量は、「準位のエネルギー」と、「位置エネルギーの深さ方向成分の平均値」と、の和から定義している。しかしながら、この方法では、どの位置に粒子が配分されるかわからないために位置エネルギーと運動量エネルギーの和が保存しないという問題点があった。
【０００８】
従来は、波動関数の分布に基づいて乱数で配分されるので、平均すれば、位置エネルギーと運動量エネルギーの和が保存することから問題視されていなかった。もし、個々の粒子に保存則を成立させようとすると、量子力学的性質から、準位のエネルギーよりも高いところに波動関数が染み出しており、古典的粒子に直そうとすると、運動量が虚数になるためであった。
この部分に関しては、従来方法２では、従来方法１と同様であった。
【０００９】
この発明は、粒子シミュレーションにおける、古典的な系と量子的な系をカップルさせて解く方法において、古典的な系と量子的な系の接続部で、平均値だけでなく、分散も保存するような形で接続することにより、例えば、エネルギー分布のような分散が効いて来るホットキャリアのような現象の解析を高精度化することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００１０】
この発明に係る粒子シミュレーションシステムは、量子化粒子と古典的粒子とを扱う粒子シミュレーションシステムにおいて、
粒子を量子化粒子から古典的粒子に遷移させる場合に、各量子化粒子のエネルギーが保存するように量子化粒子から古典的粒子に遷移させる境界条件処理部を備えたことを特徴とする。
【００１１】
上記境界条件処理部は、粒子を量子化粒子から古典的粒子に遷移させる場合に、
粒子の量子化方向の運動量が実数になる領域から、量子化粒子の波動関数の分布に基づいて、古典的粒子の位置を設定することを特徴とする。
【００１２】
上記境界条件処理部は、粒子を量子化粒子から古典的粒子に遷移させる場合に、
量子化粒子の準位エネルギーが、古典的粒子の位置エネルギーと運動エネルギーとの和になるように、古典的粒子の運動エネルギーを設定することを特徴とする。
【００１３】
この発明に係るシミュレーション方法は、解析領域の中に、量子効果を考慮する領域と古典的に扱う領域があるヘテロジニアスな系の粒子シミュレーション方法において、
量子効果を考慮する領域での量子化粒子を古典的粒子に置き換える場合、各粒子毎に、量子的な広がりを乱数を用いて古典的な点に置き換えるとともに、エネルギーを保存するような形で置き換えることを特徴とする。
【００１４】
また、古典的粒子の座標は、量子化粒子の所属する準位の波動関数の分布を元に、運動量が実数になる座標のみを乱数で選ぶことを特徴とする。
【発明の効果】
【００１５】
この発明によれば、量子化した粒子から古典的粒子への置き換え、及び古典的粒子から量子化した粒子への置き換え時に、全体として深さ方向の運動量の分布が保存され、エネルギー分布が保存されるために、ホットキャリア発生に関わるエネルギー分布での高エネルギー領域での分布形状において、粒子の置き換えによるエネルギー分布の形状の変動を抑制でき、ホットキャリアによって生じるゲート電流及び基板電流の計算の高精度化が可能である。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１６】
実施の形態１．
図１は、実施の形態１におけるシュミュレーションシステムの外観を示す図である。
図１において、シュミュレーションシステム１００は、システムユニット２００、ＣＲＴ（Ｃａｔｈｏｄｅ  Ｒａｙ  Ｔｕｂｅ）表示装置１４１、キーボード（Ｋ／Ｂ）１４２、マウス１４３、コンパクトディスク装置（ＣＤＤ）１８６、プリンタ装置１８７、スキャナ装置１８８を備え、これらはケーブルで接続されている。さらに、シュミュレーションシステム１００は、ＦＡＸ機３１０、電話器３２０とケーブルで接続され、また、ローカルエリアネットワーク（ＬＡＮ）１０５、ウェブサーバ５００を介してインターネット５０１に接続されている。
【００１７】
図２は、実施の形態１におけるシュミュレーションシステムのハードウェア構成図である。
図２において、シュミュレーションシステム１００は、プログラムを実行するＣＰＵ（Ｃｅｎｔｒａｌ  Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ  Ｕｎｉｔ）１３７を備えている。ＣＰＵ１３７は、バス１３８を介してＲＯＭ１３９（記憶装置の一例である）、ＲＡＭ１４０（記憶装置の一例である）、通信ボード１４４、ＣＲＴ表示装置１４１、Ｋ／Ｂ１４２、マウス１４３、ＦＤＤ（Ｆｌｅｘｉｂｌｅ  Ｄｉｓｋ  Ｄｒｉｖｅ）１４５、磁気ディスク装置１４６（記憶装置の一例である）、ＣＤＤ１８６、プリンタ装置１８７、スキャナ装置１８８と接続されている。通信ボード１４４は、ＦＡＸ機３１０、電話器３２０、ＬＡＮ１０５等に接続されている。
例えば、通信ボード１４４、Ｋ／Ｂ１４２、ＦＤＤ１４５は、入力部の一例となる。或いは、入力部が行う処理をプログラムで構成する場合、プログラムは、例えば、通信ボード１４４、Ｋ／Ｂ１４２、ＦＤＤ１４５という入力装置を用いて処理をおこなってもよい。或いは、ＣＰＵ１３７を用いてＣＰＵ１３７の内部処理としておこなってもよい。
また、例えば、通信ボード１４４は、出力部の一例となる。出力部がおこなう処理をプログラムで構成する場合、プログラムは、例えば、通信ボード１４４という出力装置を用いて処理をおこなってもよい。或いは、ＣＰＵ１３７を用いてＣＰＵ１３７の内部処理としておこなってもよい。
また、例えば、ＲＯＭ１３９、ＲＡＭ１４０、磁気ディスク装置１４６は、記憶部の一例となる。記憶部がおこなう処理をプログラムで構成する場合、プログラムは、例えば、ＲＯＭ１３９、ＲＡＭ１４０、磁気ディスク装置１４６という記憶装置を用いて処理をおこなってもよい。
上記以外の各部がハードウェアで構成される場合、例えば、ＣＰＵ１３７は、上記以外の各部の一例となる。上記以外の各部がおこなう処理をプログラムで構成する場合、プログラムは、ＣＰＵ１３７に処理をさせる。
【００１８】
ここで、通信ボードは、ＬＡＮ１０５に限らず、直接、インターネット、或いはＩＳＤＮ等のＷＡＮ（ワイドエリアネットワーク）に接続されていても構わない。直接、インターネット、或いはＩＳＤＮ等のＷＡＮに接続されている場合、シュミュレーションシステム１００は、インターネット、或いはＩＳＤＮ等のＷＡＮに接続され、ウェブサーバ５００は不用となる。
磁気ディスク装置１４６には、オペレーティングシステム（ＯＳ）１４７、ウィンドウシステム１４８、プログラム群１４９、ファイル群１５０が記憶されている。プログラム群は、ＣＰＵ１３７、ＯＳ１４７、ウィンドウシステム１４８により実行される。
【００１９】
上記プログラム群１４９には、以下に述べる実施の形態の説明において「〜部」として説明するものにより実行されるプログラムが記憶されている。
ファイル群１５０には、以下に述べる実施の形態の説明において「〜の判定結果」、「〜の計算結果」、「〜の処理結果」として説明するものが、「〜ファイル」として記憶されている。
また、以下に述べる実施の形態の説明において説明するフローチャートの矢印の部分は主としてデータの入出力を示し、そのデータの入出力のためにデータは、磁気ディスク装置、ＦＤ（Ｆｌｅｘｉｂｌｅ  Ｄｉｓｋ）、光ディスク、ＣＤ（コンパクトディスク）、ＭＤ（ミニディスク）、ＤＶＤ（Ｄｉｇｉｔａｌ  Ｖｅｒｓａｔｉｌｅ  Ｄｉｓｋ）等のその他の記録媒体に記録される。或いは、信号線やその他の伝送媒体により伝送される。
【００２０】
また、以下に述べる実施の形態の説明において「〜部」として説明するものは、ＲＯＭ１３９に記憶されたファームウェアで実現されていても構わない。或いは、ソフトウェアのみ、或いは、ハードウェアのみ、或いは、ソフトウェアとハードウェアとの組み合わせ、さらには、ファームウェアとの組み合わせで実施されても構わない。
【００２１】
また、以下に述べる実施の形態を実施させるプログラムは、また、磁気ディスク装置、ＦＤ（Ｆｌｅｘｉｂｌｅ  Ｄｉｓｋ）、光ディスク、ＣＤ（コンパクトディスク）、ＭＤ（ミニディスク）、ＤＶＤ（Ｄｉｇｉｔａｌ  Ｖｅｒｓａｔｉｌｅ  Ｄｉｓｋ）等のその他の記録媒体による記録装置を用いて記憶されても構わない。
【００２２】
以下、この実施の形態の用語のついて説明する。
古典力学とは、物理学の一分野である力学のうち古典物理学に属する力学理論の総称である。アイザック・ニュートンが創始したものである。
量子力学とは、電子、原子核などの間の微視的現象をも説明する物理学の理論である。プランク定数を０にする極限では古典力学に等価になる。
量子化とは、古典力学における物理量を量子論的な量に置き換える手続きのことをいう。波動力学では、粒子の運動量を波動関数に作用する演算子に置き換えることで量子化が行われ、物質波に対する波動方程式が得られる。また、行列力学では位置座標と運動量との間に交換関係を与えることによって量子化が行われる。
波動関数とは、振動を示す波動方程式中の点像関数をいう。
波動関数は、例えば、ギリシャ文字のψ（プサイ）で表記され、電子を物質波として特徴づける。波動関数ψの自乗は、ある空間領域に電子を見出す確率を示し、これをある領域における電子密度（ｅｌｅｃｔｒｏｎ  ｄｅｎｓｉｔｙ）を表すものとしている。ここでは、電子密度を波動関数の密度ともいうことにする。
運動エネルギーとは、運動している物体が持つエネルギーのことである。運動エネルギーとは、例えば、直交座標（Ｘ，Ｙ，Ｚ）におけるＸ，Ｙ，Ｚ方向成分に分解することができる。
位置エネルギーとは、物体が「ある位置」にあることで物体に蓄えられるエネルギーのことである。
ポテンシャルエネルギーとは、物体の位置エネルギーのことである。化学的には、帯電した物体が別の帯電した物体の近くにいる時に、電場が物体がもつ電荷に作用するエネルギーのことをいう。
クーロン相互作用とは、クーロン（Ｃｏｕｌｏｍｂ）が発見した荷電粒子間に働く二体相互作用であり、その力の大きさは二つの粒子の電荷（ｑ１とｑ２）の積に比例し、粒子間の距離ｒの自乗の反比例する。
原子とは、その中心に原子核が存在し、その周りを複数の電子がある距離を保って回っているものをいう。
エネルギー準位とは、それぞれの電子が持っている原子核からの距離に比例したエネルギーをいう。電子が取り得るエネルギー準位は帯構造であり、電子の存在が許される許容帯と電子の存在が許されない禁制帯からなる。
エネルギー準位図は、量子化系粒子のエネルギー準位を水平線で表し、粒子のエネルギーはその垂直方向の高さで表す。
キャリアとは、電子又はホールをいう。
ホットキャリアとは、ＭＯＳトランジスタ中を電子が移動する際に、高いエネルギーを持っている加速された電子（或いは、ホール）をいう。この電子（或いは、ホール）はゲート絶縁膜（酸化膜）を通り抜けてゲート電極まで到達する。この電子はゲート絶縁膜（酸化膜）を破壊するので、一般のＭＯＳ回路では劣化の原因となる。
【００２３】
図３に、ＭＯＳトランジスタの模型図を表す。
図３に示すように、半導体基板１の表面付近にソース２及びドレイン３が形成され、これらの間の半導体基板１表面上にゲート絶縁膜４が、更に、その上にゲート電極５が形成されている。ゲート電極５に電圧をかけると、ソース２とドレイン３の間のチャネル６に反転層が生じて電流が流れる。微細構造を有するＭＯＳトランジスタでは、この際、ソース２とドレイン３間の電圧は失せずにチャネル６を走行し、キャリア同士の散乱により高いエネルギーを有するキャリアが生成するために、キャリアにエネルギー分布が生じるはずである。従って、微細構造を有するトランジスタにおいては、キャリアエネルギー分布が生じることによる高エネルギーキャリアの存在を考慮する必要がある。
【００２４】
図３において、Ｚは深さ方向であり、量子化方向を意味する。Ｘは界面７と平行な方向である。
以下、このチャネルをキャリアが輸送されるのをシミュレーションをする場合を例にして説明する。
ソース２とドレイン３の間にチャネル６が形成され、ゲート電極５とチャネル６の間には、ゲート絶縁膜４が設けられており、ゲート電極５に電圧を印加することにより、ゲート絶縁膜４とチャネル６の界面７には界面垂直方向（Ｚ方向）に大きな電界がかかる。従って、界面垂直方向（Ｚ方向）に量子化効果が現れてくる。従って、以下の説明では、量子化方向（界面垂直方向、即ち、Ｚ方向）の運動エネルギーについて考慮するものとする。
なお、全エネルギーとは、位置エネルギーと運動エネルギーの和をいうものとする。また、全エネルギーの深さ方向成分とは、位置エネルギーと運動エネルギーの深さ方向成分（Ｚ方向成分）との和をいうものとする。
【００２５】
図４は、本実施の形態の実施例を含む粒子シミュレーション全体の構成図兼フローチャートを示す。
まず、初期値設定部１１において解析に必要な構造や粒子の分布の初期値及び界面に垂直方向に量子化したサブバンドの情報を読み込み設定する。次に、初期判定部１２にて各粒子を量子化した２次元ガスとして扱うか古典的粒子として扱うかをある基準に従って設定する。次に、時刻設定部１３が時刻を設定し、座標運動量更新部２１が、モンテカルロ計算を行う。モンテカルロ計算においては、粒子の運動方程式を解いて座標と運動量を更新する。境界条件処理部２２において粒子の量子化方向のエネルギー成分を定義に従って計算して調べ、しきい値以下の場合に、量子化粒子として扱い、しきい値以上の場合に、古典的粒子として扱う。その場合の粒子の性質（量子化粒子と古典的粒子）の遷移が本実施の形態に係わる部分である。
座標運動量更新部３１においては、古典力学の運動方程式を解いて座標と運動量を更新する。境界条件部３２においては、しきい値を用いて粒子を量子化粒子として扱うか、古典的粒子として扱うかを決定する。
散乱処理部２３，３３による散乱モデルによる処理終了後、割付部１４が各粒子の電荷のメッシュ点への割り付けを行う。ポテンシャル計算部１５では、ポテンシャルを計算し、変化判定部１６によりある判定条件のもとで、ポテンシャルの変化が大きいと判定された場合、サブバンド更新部１７で波動関数を計算しなおし、量子化粒子のサブバンドに関するデータを更新する。解析時刻などの終了条件に達したとき終了するというものである。
【００２６】
図５に、本実施の形態の境界条件処理部２２のブロック図兼フローチャートを示す。
本実施の形態では、閉じ込められた領域（チャネル６）のキャリア（電子又は正孔）のうち、特に界面付近は、量子化した粒子が支配的であり、量子化した粒子の分布によりポテンシャル形状が決定すると考える。
量子化した粒子を古典的粒子に置き換える場合、境界処理条件部２２が、量子化した粒子の所属する準位のエネルギーが古典的粒子の運動エネルギーの深さ方向成分と位置エネルギーとの和に一致し、また、界面に平行な成分の運動量も一致させることを特徴としている。
【００２７】
遷移条件判定部４１の動作
量子化した粒子を古典的粒子に置き換える場合とは、量子化した粒子が量子化した粒子を扱う空間領域の中から外に出た場合、又は、量子化した粒子が予め設定された準位よりも高いエネルギーに遷移する場合である。
【００２８】
乱数取得部４２の動作
乱数取得部４２は、量子化した粒子の所属する準位の波動関数の分布を元にして発生させた乱数を取得する。
【００２９】
位置設定部４３の動作
位置設定部４３は、深さ方向の運動量が実数になる領域から、量子化粒子の波動関数の存在確率に基づいて、古典粒子の位置を設定する。
置き換えた古典的粒子の実空間での位置に関しては、界面に平行な方向の座標は、量子化した粒子の座標と同じものを用いた。界面に垂直な方向の座標は、量子化した粒子の所属する準位の波動関数の分布を元に乱数で座標を選んだ。このとき、波動関数の分布は、準位のエネルギーよりも高い位置エネルギーに量子力学的に染み出している領域がある。この領域では界面に垂直な深さ方向の運動量が虚数と考えることが出来るが、古典的粒子に不適切である。そこで、位置設定部４３において、運動量が実数になる座標のみを乱数で選ぶ。
【００３０】
運動量設定部４４の動作
量子化粒子の準位のエネルギーから位置エネルギーを引いたものを、運動エネルギーの深さ方向成分となるように運動量を設定する。界面に平行な方向の座標及び運動量は、量子化した粒子のものと同じ値を設定する。
【００３１】
図６は、深さ方向一次元波動関数の空間分布の例である。簡単のために低いほうから３番目までの波動関数を示している。
節（横軸との接点）を持つ波状の３曲線は、下から３番目までの波動関数の存在確率（密度）を示している。曲線が位置エネルギーであり、横線は各波動関数の準位（Ｅ０，Ｅ１，Ｅ２）に対応する位置エネルギーの位置を示す。
特徴としては、準位のエネルギーがポテンシャルエネルギー（位置エネルギー）に一致する点（点Ａ）より、表面側に関数の分布の最大の点Ｍが生じ、一方、点Ａより深いところ（Ｅ０に対してはＳ０部分、Ｅ１に対してはＳ１部分、Ｅ２に対してはＳ２部分）に、波動関数が染み出していることである。このＳ０，Ｓ１，Ｓ２の部分は、運動量が虚数になる部分であり、この実施の形態では、運動量が実数になるＫ０，Ｋ１，Ｋ２の部分の波動関数の分布に基づいて乱数により座標を決定する点が特徴である。
【００３２】
図７は、古典粒子の空間分布の例を示す図である。
太線は時刻とともに古典的粒子が動く軌跡、細線はその分布確率を示す。粒子は界面（Ｚ方向の深さ０）で反射し、粒子が到達しうる深さの最大位置（Ｚ方向の深さ１）で速度を失って、界面に戻る。その分布確率は、深さ１で最大となる。置き換えられた古典的粒子の深さ方向の運動時の分布の確率は散乱を考えなければ、図７に示したように、運動エネルギーが０になる点をピークとして界面に向かって単調に減少する。例えば、簡単のために界面付近の電界が一定の場合を説明する。電界Ｅｅｆｆが一定ならば、粒子の軌跡は図７のように放物線になる。この曲線は、座標ｚと時刻ｔの組、
【００３３】
【数１】
2005236068.tif 000003
【００３４】
のように記述される。但し、ｚ０；粒子の到達できる最も深い座標、ｑ；素電荷、ｍ＊；粒子の有効質量、ｎは整数（１，２，３，・・・）であり、ｔ０は周期であり、
【００３５】
【数２】
2005236068.tif 000004
【００３６】
の形で表される。そのため、時刻ｔに座標ｚにいる存在確率Ｐ（ｚ）は、
【００３７】
【数３】
2005236068.tif 000005
【００３８】
のような形になる。
【００３９】
図８は、波動関数の空間分布と古典的粒子の空間分布を重ねた例を示す図である。即ち、図８は、運動エネルギーの深さ方向成分と位置エネルギーの和が量子化粒子の準位エネルギーと等しい古典的粒子の深さ方向分布を並べた図である。
図８において、Ｋ０，Ｋ１，Ｋ２は、運動量が実数になる範囲であり、Ｓ０，Ｓ１，Ｓ２は、運動量が虚数になる範囲である。
波動関数が、節（横軸との接点）を持つ波状であるのに対し、古典的粒子は、最大深さで分布が最大になるので、形が違うが、波動関数の準位が高くなる（節の数が増える）とその分布は古典的粒子の分布に漸近する。
【００４０】
古典的粒子の到達できる最も深い点は、準位のエネルギーが位置エネルギーに等しい点（Ａ点）であり、その点が古典的粒子の分布最大点になる。このように、量子化粒子の分布と古典粒子の分布は大きく異なる。但し、エネルギーが高い準位になると、分布形状は古典的分布に近づく傾向にある。
図８において、量子化した粒子を古典的粒子に置き換える場合、量子化した粒子の所属する準位のエネルギーが古典的粒子の運動エネルギーの深さ方向成分と位置エネルギーとの和にするが、この「和にする」とは、図８において、例えば、量子化粒子の準位エネルギーをＬとし、実数の範囲Ｋ０内において乱数を用いて決定した点Ｐの古典的粒子の位置エネルギーをＮとすると、古典的粒子の運動エネルギーの深さ方向成分をＪ（Ｌ−Ｎ＝Ｊ）とすることを意味している。但し、Ｎは、エネルギーの原点を図８の原点とした場合の古典的粒子の位置エネルギーである。
【００４１】
図９に、本実施の形態と従来方法（例えば、従来方法２の量子化モデル）での、運動エネルギーの深さ方向成分と位置エネルギーの和である全エネルギーの深さ方向成分の比較を示す。
本実施の形態では、全エネルギーの深さ方向の成分は、波動関数の準位ごとに一定である。従来方法では運動エネルギーが一定であるが、位置エネルギーが深さ方向で変わるため、深さ方向に全エネルギーの深さ方向成分が変わることになる。従来方法での全エネルギーは、準位間（Ｅ０，Ｅ１，Ｅ２間）で違いが小さいので図で重なって見える。
【００４２】
なお、図４の古典的粒子のための境界条件処理部３２による古典粒子から量子化粒子への置き換えの場合には、古典的粒子の運動エネルギーの深さ方向成分と位置エネルギーとの和に最も近い準位のエネルギーに置き換える。この部分に関しては公知の方法であるが、以下に改めて説明しておく。
古典的粒子を量子化した粒子に置き換える場合とは、古典的粒子が、量子化した粒子を扱う空間領域の外から中にはいる場合と、散乱により深さ方向のエネルギー成分と位置エネルギーの和が設定された最高準位よりも低いエネルギーに遷移した場合である。この場合、準位のエネルギーが離散的であるために、誤差が生じる。深さ方向のエネルギー成分と位置エネルギーの和が設定された最高準位よりも低いエネルギーにし遷移した場合、確率的に考えて、散乱後の位置エネルギーが変わらないように設定が可能である。一方、量子化した粒子を扱う空間領域境界においては、量子化した粒子は必ず基底準位より高いエネルギーを持つため、エネルギーの増加が見られる。この対処方法として、従来方法１にも記述されているように、準位のエネルギー間隔が十分小さくなる拡散層領域で設定することにした。
【００４３】
以上のように、この実施の形態は、解析領域の中に、量子効果を考慮する領域と計算を簡単にするため古典的に扱う領域があるというヘテロジニアスな系の粒子シミュレーション方法において、量子効果を考慮する領域での量子化粒子を古典的粒子に置き換える場合において、各粒子において量子的な広がりを乱数を用いて古典的な点に置き換えるときに、その全エネルギーを保存するような形で置き換えることにより、粒子の状態の平均値だけでなくて分布も保存することを特徴とする。
また、量子効果を考慮する領域での粒子を古典的粒子に置き換える場合において、界面に垂直な方向の座標は、量子化した粒子の所属する準位の波動関数の分布を元に、運動量が実数になる座標のみを乱数で選ぶことを特徴とする。
また、前記シミュレーション方法を実行するシミュレーションシステムを説明した。
【００４４】
効果の説明
本実施の形態によれば、量子化した粒子から古典的粒子への置き換え、及び、古典的粒子から量子化した粒子への置き換え時に、全体として深さ方向の運動量の分布が保存され、エネルギー分布が保存されるために、ホットキャリア発生に関わるエネルギー分布での高エネルギー領域での分布形状において、粒子の置き換えによるエネルギー分布の形状の変動を抑制でき、ホットキャリアによって生じるゲート電流及び基板電流の計算の高精度化が可能である。
ここで、分布が保存されるということは、各量子化粒子毎にエネルギーが保存され、結果として、全体の平均値だけでなく分布も保存されることを意味している。
【００４５】
図１０は、チャネル６に沿ったエネルギーの平均値の分布の例を示す図である。
図１０は、ゲート長４５ｎｍ、酸化膜厚１．２ｎｍのＭＯＳデバイスでゲートとドレインに０．９Ｖ印加した例を示している。図１０において、左がソース、右がドレインである。太線が本実施の形態の結果Ｒ１、破線は従来の量子化モデル（従来方法２）の結果Ｒ２、細線は古典モデルの結果Ｒ３である。
従来の量子化モデルの結果Ｒ２は、古典モデルの結果Ｒ３と比べて量子化粒子のソースからドレインにかけてエネルギーが高いままであったのが、本実施の形態の結果Ｒ１は、図１０のように、主にソース端でのみ古典モデルの結果Ｒ３との差Ｒ４が出る形となった。
本実施の形態の顕現性に関しては、以上の効果からシミュレーション結果の高エネルギーでのキャリア分布により本実施の形態を用いたかどうかの確認が可能である。
【００４６】
図１１は、チャネルに沿ったエネルギーの分布の例である。
図１０と同じデバイス構造及び電圧で、黒丸がソース側接合付近の分布、黒四角がゲート中央での分布である。太線が本実施の形態の結果Ｖ１，Ｗ１、破線は従来の量子化モデルの結果Ｖ２，Ｗ２、細線は古典モデルの結果Ｖ３，Ｗ３である。太線で示す本実施の形態の結果Ｖ１，Ｗ１と破線で示す古典モデルの結果Ｖ３，Ｗ３は、低エネルギー部分で良く一致しており、本実施の形態は、高エネルギー部分の分布を抑える役割を果たしていることがわかる。
図１１を見るように、本実施の形態の結果Ｖ１，Ｗ１は、特に高エネルギーのテイルの分布が、急峻になっており、その傾きは古典モデルの値と近い。量子化粒子では量子化により平均エネルギーがシフト（図１１において、右側へシフト）しても、テイルの分布が変化するとは考えにくく、本実施の形態により妥当な特性が得られていると考えられる。
【００４７】
また、本実施の形態の効果は全エネルギーのばらつきという形でも表現出来る。
量子化した粒子においては、準位のエネルギーＥｉ、界面に平行な方向のエネルギーＴｘｙとすると、全エネルギーは、Ｅｉ＋Ｔｘｙであり、そのばらつきは、〈（Ｅｉ＋Ｔｘｙ）２−（Ｅｉ＋Ｔｘｙ）〉２と書ける。この場合、〈〉は期待値であり、深さ方向の積分であるから、Ｅｉ，Ｔｘｙともに深さの関数でないことからばらつきは０になる。
本実施の形態では、量子化した粒子から古典的粒子に置き換える場合、全エネルギーは変わらないため、置き換えによる全エネルギーのばらつきの増加は０である。
ところが従来方法（例えば、従来方法２）では、置き換え後の運動エネルギーの深さ方向成分が、〈Ｅｉ−Ｖ（ｚ）〉と設定されることから、全エネルギーは、Ｖ（ｚ）＋〈Ｅｉ−Ｖ（ｚ）〉＋Ｔｘｙとなる。この場合、全エネルギーの平均値は、Ｅｉ＋Ｔｘｙと、量子化した粒子の値と変わらないが、ばらつきは、〈Ｖ（ｚ）２〉−〈Ｖ（ｚ）〉２となる。これは、個別粒子についてエネルギーが保存されない結果であり、電子温度はばらつきに依存するため、電子温度の上昇、エネルギー分布のテイルの分布の広がりという形で反映する。
以上の本実施の形態と従来方法（例えば、従来方法２）との違いを図１２にまとめた。
【図面の簡単な説明】
【００４８】
【図１】シミュレーションシステムの構成図。
【図２】シミュレーションシステムのハードウェア図。
【図３】ＭＯＳトランジスタの概略図。
【図４】本実施の形態の実施例を含む粒子シミュレーション全体の構成図兼フローチャート。
【図５】本実施の形態の境界条件処理部２２のブロック図兼フローチャート。
【図６】深さ方向一次元波動関数の空間分布の例を示す図。
【図７】古典粒子の空間分布の例を示す図。
【図８】運動エネルギーの深さ方向成分と位置エネルギーの和が量子化粒子の準位エネルギーと等しい古典的粒子の深さ方向分布を並べた図。
【図９】本実施の形態と従来方法での、運動エネルギーの深さ方向成分と位置エネルギーの和である全エネルギーの深さ方向成分の比較。
【図１０】チャネルに沿ったエネルギーの平均値の分布の例を示す図。
【図１１】チャネルに沿ったエネルギーの分布の例を示す図。
【図１２】本実施の形態と従来方法との違いをまとめた図。
【符号の説明】
【００４９】
１  半導体基板（シリコン）、２  ソース、３  ドレイン、４  ゲート絶縁膜〈酸化膜）、５  ゲート電極、６  チャネル、１０５  ＬＡＮ、１３７  ＣＰＵ、１３８  バス、１３９  ＲＯＭ、１４０  ＲＡＭ、１４１  ＣＲＴ表示装置、１４２  Ｋ／Ｂ、１４３  マウス、１４４  通信ボード、１４５  ＦＤＤ、１４６  磁気ディスク装置、１４７  ＯＳ、１４８  ウィンドウシステム、１４９  プログラム群、１５０  ファイル群、１８６  ＣＤＤ、１８７  プリンタ装置、１８８  スキャナ装置、１００  シュミュレーションシステム、２００  システムユニット、３１０  ＦＡＸ機、３２０  電話器、５００  ウェブサーバ、５０１  インターネット。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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