(57)【要約】【課題】Ｃ1-連続なHelmholtz要素を用いるボクセル解法において、有限パッチ要素で補綴して任意境界に高精度に近似適合させる。【解決手段】３重３次の基底関数を用いるボクセルで格子を構成する。ベクトル場をHelmholtz分解して、スカラーポテンシャルφとベクトルポテンシャルΨで表す。８個のボクセルからなるパッチ系を構成し、実境界の点（実境界面と基本要素の稜との交点、実境界面と基本要素の表面との相貫線上の１点または複数点、基本要素内の実境界面上の１点または複数点）にパッチ系の中心を重ねて、その点の関数の１階微分値がすべて０になるように補綴する。ボクセル基本系の外周境界からのエネルギー流出がなく、高次ボクセル要素をオイラー型解法に適用できる。【選択図】図１
2005202634.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
ボクセル解法により数値解析を行う有限要素数値解析方法において、３重（２ｎ＋１）次の基底関数（ｎは非負整数）を用いてＣn-連続な要素からなる基本系を構成し、３重（２ｎ＋１）次の基底関数を用いて８個のボクセルからなるパッチ系８要素を構成し、実境界面上の１点を境界適合目標点とし、境界適合目標点の関数値と微分値が境界条件を満足するように、パッチ系８要素の中心点の関数値と微分値を定めて、境界適合目標点にパッチ系８要素の中心点を重ね、基本系の要素の関数値にパッチ系８要素の関数値を加算することにより、基本系の要素をパッチ系８要素で補綴することを特徴とする有限要素数値解析方法。
【請求項２】
境界適合目標点は、実境界面と基本系の要素の稜との交点であることを特徴とする請求項１記載の有限要素数値解析方法。
【請求項３】
境界適合目標点は、実境界面と基本系の要素の表面との相貫線上の１点であることを特徴とする請求項１記載の有限要素数値解析方法。
【請求項４】
境界適合目標点は、基本系の要素内の実境界面上の１点であることを特徴とする請求項１記載の有限要素数値解析方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、Ｃn-連続な要素を用いてボクセル解法により数値解析を行う場合に、六面体有限要素を六面体パッチ要素で補綴して任意境界に高精度に近似適合させる有限要素数値解析方法に関し、特に、Helmholtz分解した関数を基底関数とするＣ1-連続な六面体有限要素数値解析方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
（有限要素法）
有限要素法においては、空間を有限の大きさの要素からなる格子で分割して、数値計算を行う。要素としては、２次元空間では矩形や三角形などが用いられ、３次元空間では立方体や四面体が用いられる。２次元空間では、３角形要素を用いることで、任意の境界形状に計算用の格子を適合させることができる。３次元空間では、四面体要素を用いることで、任意の境界形状に計算用の格子を適合させることができる。しかし、境界近傍で歪んだ要素を用いると解精度が悪くなるので、境界近傍では歪みの少ない要素からなる滑らかな格子が必要となる。四面体を使うと容易に境界に適合できるが、格子生成の前処理負担が大きく、大規模解析では格子の形成に月単位の作業が必要となる。
【０００３】
別のアプローチとして、単純な格子からなる基本の有限要素系を、数値解析途中の状況に応じて事後的に修正するアダプティブ手法がある。基本系で見込んだ未知数自由度数や配分方法を、計算状況に応じて事後的に変更する方法であり、ｈ法、ｐ法、ｒ法がある。有限要素法においては、適用する対象に応じて、２Ｄ（２次元）要素または３Ｄ（３次元）要素を適用する。３Ｄ要素を用いる数値計算方法は、１次元と２次元の問題を解くために必要かつ十分である。数値計算方法においては、２Ｄの問題が解けることが、３Ｄの問題が解けるための必要条件である。
【０００４】
（基底関数の微分の連続性）
有限要素法では、微分方程式で規定される関数を、要素内で定義される基底関数で展開して近似的に表現する。基底関数に要求される微分の連続性は、問題の微分方程式の階数に応じて決まる。変位ベクトル場を表わす関数の微分方程式を解く問題では、変位ベクトルの各成分を基底関数とする独立した要素の結合で表わす。変位ベクトルは連続でなければ、微分方程式の積分常数の連続性を満足しないので、それぞれの要素内と要素間には、変位の連続性が要求される。たわみの４階微分で表わされた板曲げの微分方程式を解く問題では、たわみを基底関数で展開して表わす。たわみとその勾配は連続でなければ、微分方程式の積分常数の連続性を満足しないので、たわみとその勾配の連続性が要求される。また、ポテンシャルの４階微分で表わされた微分方程式を解く問題の場合には、ポテンシャル値とその勾配の連続性が要求される。流体や電磁場の問題でも同様である。
【０００５】
有限要素法は、無限級数で無限回連続微分可能な関数を仮定する連続体理論を、有限な級数で近似して解く方法である。関数値とその傾きが連続する要素（Ｃ1-連続な要素）は、関数値のみの連続性（Ｃ0-連続性）が要求される問題にも適用可能である。その逆は不可である。勾配を連続させる方法を一般化すれば、曲率も連続（Ｃ2-連続）させることができ、任意の階数の微分を連続させる方法に一般化することができる。
【０００６】
また、連続的微分可能な要素（Ｃn-連続な要素またはＣn-要素）を用いる方法と、複数の非連続的微分可能な要素（ハイブリッド要素）を用いるハイブリッド法がある。Ｃn-要素とは、要素中における基底関数がｎ回連続的微分可能な要素である。ｎ回連続的微分可能とは、要素中における基底関数のゼロ階微分、１階微分、・・・、ｎ階微分までが、隣の要素との境界で同じ値となることである。Ｃ0-要素では基底関数は最少で線形であるが、Ｃ1-要素では基底関数は高次となり、３次元空間では、最小次数の整関数を基底関数とする要素は、３重３次関数を基底関数とする六面体である。ハイブリッド法は、ポテンシャルとその微分レベルの変数に分けて、それぞれ微分方程式を表現し、それぞれ独立なＣ0-要素にモデル化するもので、Ψ-ω法や基礎変数（primitive variable）法などがある。これらの方法での各要素は、本来独立ではないので、元の微分ベクトル成分としての性質保持が制約条件として発生する。３ＤΨ-ω法ではソレノイダル条件であり、基礎変数法では連続の式である。
【０００７】
有限要素法は、２次元の三角形と矩形を基本とし、その組合せで任意の形状を表す方法として発達してきた。次元は、すでに定式化されていた１次元を含み、３次元にも適用できる方法として定式化されている。微分の連続性は、基礎変数としての変位（ｕ,ｖ）の連続性を条件とするＣ0-要素、および板曲げのたわみ（ｗ）と勾配（∂ｗ／∂ｘ,∂ｗ／∂ｙ）の連続性を条件とするＣ1-要素から発達し、Ｃn-連続な要素が定式化されている。したがって、（要素形状）×（次元）×（連続性）の組合せがある。矩形（３次元で六面体（ボクセル））は、三角形（３次元で四面体）で表せるので、すべて三角形で表す方法がある。しかし、実数では菱形の対辺が平行であるかどうか厳密に表せないことから分かるように、要素自体が変形するような複雑な問題に一般化して適用する場合、図形処理上の技法が問題となる。矩形は、例外的に、座標軸に平行な線のみで表され、且つ要素は変形させないので、境界適合問題はあるが、図形処理上の問題はない。
【０００８】
有限要素の基底関数には通常べき乗式が適用され、低次の項から順次組み込まれる。１次元の１次要素はｆ(1,x)、２次要素はｆ(1,x,x2)、３次要素はｆ(1,x,x2,x3)、・・・となる。有限要素法では要素間連続性は、ノード未知数概念を導入してチェックする。基底関数の０階微分が連続する（Ｃ0-連続）とはｆが連続することである。ｆが連続するとは、隣り合う要素の関数が、共有する線上（辺上）で、関数形が同じで、且つ自由度の数（パラメータの数）と同じ点数で値が同じになることである。このチェックポイントをノードと言う。１次要素は線上で２自由度なので、辺の両端にノード設定する。２次要素は３自由度なので中点にもノード設定する。３次要素は４自由度なので、等間隔に４点にノード設定するか、両端にノード設定して、ノード上のｆと∂f／∂xの値でチェックする。これらの値をノードベクトルと呼ぶ。
【０００９】
基底関数の１階微分が連続する（Ｃ1-連続）とは、隣り合う要素のｆの勾配が、共有する辺上で、関数形が同じで、且つ自由度の数と同じ点数で値が同じになることである。このチェックポイントもノードと言う。連続的微分可能なＣ1-要素はＣ0-連続であるから、辺に並行方向の勾配の連続性は自動的に満足されている。辺に垂直方向勾配θの関数形が同じで、且つノード上でθの値が同じならＣ1-連続な要素である。２次元矩形要素ではｆとθのノードを同じ点にとるため、およびｙ方向の辺でも同時に条件を満足させるために、通常双３次要素を用いる。３次元六面体要素（ボクセル）では３重３次要素を用いる。Ｃ1-連続な２次元双３次要素のノードベクトルは４成分となる。Ｃ1-連続な３次元３重３次要素のノードベクトルは８成分となる。
【００１０】
隣り合う要素のノードベクトルを同じにするために、ノードベクトルを未知数とし、且つ隅点が接する、２次元で４要素、３次元で８要素、でノード未知数ベクトルを共有させる。この方法を変位法と呼び、最も多く使われている。
【００１１】
図13（ａ）にＣ0-連続な１次元の基底関数をモード分解した例を示す。図13（ｂ）はモードの重ね合わせ要領を示す。図13（ｃ）は、２次元のモードの１つを示す。図14にはＣ1-連続な基底関数をモード分解して示す。
【００１２】
同様にして、Ｃ2-連続な要素は、２次元では双５次要素でノード未知数ベクトルは９成分となり、３次元では３重５次要素でノード未知数ベクトルは27成分となる。これらはＣn-連続な要素に一般化できることが知られており、２次元では双(２ｎ＋１)次要素でノード未知数ベクトルは(ｎ＋１)×(ｎ＋１)個の成分となり、３次元では３重(２ｎ＋１)次要素でノード未知数ベクトルは(ｎ＋１)×(ｎ＋１)×(ｎ＋１)個の成分となる。
【００１３】
（ボクセル解法）
単純な立方体であるボクセル（voxel: volume elementあるいはvolume cell）の細かい格子を用いる解析方法をボクセル解法という。ボクセル解法では、境界に近いボクセル表面を境界とみなして解き、境界がずれる場合の手当てはしていない。解精度は境界近傍の格子精度で決まるので、精度が必要な場合は境界適合処理を行う。その際、ボクセルの単純さを損なわないで境界適合させる必要があるので、境界形状への適合方法が大きな課題となる。境界適合させるために、四面体要素に分割する方法や、ステップ関数を加える方法がある。四面体要素に分割する方法は、ボクセル解法の利点である単純さを著しく損なう。
【００１４】
ボクセル解法にアダプティブｈ法およびｐ法を応用して、境界形状に適合させる方法もある。このうち、ｐ法を適用する方法は、境界を貫通するボクセル稜線上の貫通点にノード設定し、稜線方向を高次化する方法である。これを、ボクセル内で滑らかに補間して基底関数とする。境界要素では、ボクセルの基底関数の簡潔さが失われる。ボクセル解法について詳しくは、非特許文献１〜３を参照されたい。ボクセル解法において、解精度を向上させる方法に有限パッチ要素法がある。有限パッチ要素法とは、有限要素格子の基本系に、他の格子をパッチのように当てて系を再構成する方法である。本発明者は、非特許文献４で、パッチ要素で補綴するボクセル解法を提案した。さらにこの方法を応用して、非特許文献５で、Ｃ1-連続なHelmholtz要素を用いるボクセル解法と有限パッチ要素で補綴する境界適合技法を提案した。この方法について説明する前に、Helmholtz要素について簡単に説明する。
【００１５】
（Helmholtz分解）
ベクトル場をHelmholtz分解して、４つの基底関数で場の関数を展開すると、３成分が４成分に分解されるので、解析上さまざまなメリットがある。Helmholtzの定理は、「任意のベクトル場Ｕは一般に、スカラーポテンシャルφとベクトルポテンシャルΨによって、
Ｕ＝gradφ＋curlΨ (divΨ＝0)
と表わされる」というものである。ベクトル場をHelmholtz分解して数値計算を行う場合には、要素間でのＵの連続性と、系外とのエネルギー授受に関する境界条件とを保証するために、最低でも３重３次の基底関数を用いたＣ1-要素を必要とする。ベクトル場をHelmholtz分解し、各ポテンシャルが適合する基底関数で構成した有限要素をHelmholtz要素という。Helmholtz分解するハイブリッド法による数値解析法として、２Ｄ差分法のψ-ω法が知られているが、境界条件を正しく設定することが困難であるので、一般化して適用されることがない。
【００１６】
（有限パッチ要素法）
ボクセル解法において有限パッチ要素を適用する方法について簡単に説明する。詳しくは、非特許文献４、５などを参照されたい。有限パッチ要素法では、基本系（base system）の基底関数ｆaを、パッチ要素系（patch system）の関数ｆbで、
ｆ＝ｆa＋ｆb
または
ｆ＝ｆa×ｆb
の形に補綴する。ｆは補綴された基底関数である。和形式は重合メッシュ法の考えと同じで、関数ｆbの外周ノード値はゼロとする。積形式では、関数ｆbの外周ノード値を1.0とする。Ｃ1-要素では、関数ｆbの外周勾配もゼロとする。これらが制約条件となる。これらの制約条件は、系内部の条件である。
【００１７】
パッチ系には、１つのノードのみ自由で、他の外周ノード値はゼロに固定した系を選ぶ。Ｃ0-要素またはＣ1-要素を使う。Ｃn-要素への拡張が可能である。（２ｎ＋１）次式を使うので、係数の自由度は（２ｎ＋２）である。１次元のＣn-要素では、ノードあたりの未知数は（ｎ＋１）である。２次元のＣn-要素では、ノードあたりの未知数は(ｎ＋１)×(ｎ＋１)である。３次元のＣn-要素では、ノードあたりの未知数は(ｎ＋１)×(ｎ＋１)×(ｎ＋１)である。３次元での関数は、３重（２ｎ＋１）次式である。
【００１８】
有限要素法では、基本境界条件(Dirichlet条件)は、一般には境界値＝０とすることである。境界値≠０の場合には、Dirichlet条件の系に、系のノード未知数に無関係な分布外力を加える形になる。要素が境界に接する系を考えた場合、境界値は境界上のノード値で与えられ、変数としての系内ノード値はゼロで与えられる。Ｃ0-要素を考えた場合でも、要素が境界に接しない系ではノードが境界上にないので、ノード値＝０の場合であっても、この方法は適用できない。そこで、境界要素にパッチ要素を当てて、境界上ノードの働きを近似的に代行させる方法を考える。これが板曲げ問題やポテンシャルで表わされた問題などへも一般化して適用できるためには、Ｃ1-要素で適用できる必要がある。その概要を説明する前に、用語の定義を説明する。境界ボクセルを含み、境界に接するか境界を含む要素一般を、境界要素と呼ぶ。実際の境界を実境界（real boundary）と呼ぶ。ボクセルやピクセルの外側境界を仮想境界（virtual boundary）と呼ぶ。実境界内の要素領域を実領域（real domain）と呼ぶ。実境界外の領域を仮想領域（virtual domain）と呼ぶ。
【００１９】
基本境界に接するＣ1-連続なHelmholtz境界要素は境界条件を満足する。要素が境界に接しない系では、基本系の境界要素群と同じ形状のＣ1-連続なパッチ要素系で補綴して、境界条件を近似的に満足させる。補綴の方法は和形式の場合で説明する。基本系はDirichlet条件下の一般的な解法に従うとし、パッチ要素系の内部側ノード（実領域内のノード）はパッチ系の制約条件に従いゼロベクトルとし、仮想境界上のノード未知数ベクトルを、実境界上で境界条件を近似的に満足するよう段階解法で決定する。先ず、計算ステップＡとして基本系を解く。次いで、計算ステップＢとして、その解の実境界上の誤差を取り除いて境界条件を満足するよう、パッチ系のノード値を決定する。この操作を誤差変動が収束するまで反復する。
【００２０】
基本境界条件（essential boundary conditionまたはDirichlet condition）と自然境界条件（natural boundary conditionまたはNeumann condition）のうち、自然境界条件は有限要素法の定式に従い、共役なノード値を未知数として解く。Ｃ1-連続な要素が必要な問題の境界条件はベクトル値で与えられるので、境界値はベクトル成分値の組み合わせとなるが、それぞれ、基本境界条件で与えられるものは基本境界値で与え、自然境界条件で与えられるものは共役な未知数のままで与える。板曲げのローラー端のたわみ成分は共役な未知数のまま与え、且つ境界に沿って等値条件を制約条件とし、勾配成分はゼロ値で与える。また、Helmholtz要素を適用した２Ｄ円柱周りの流れ解析では、流れ関数値（ポテンシャル値）は共役な未知数のまま与え、且つ等値条件を制約条件とし、勾配成分（流速成分）はゼロ値で与える。
【００２１】
実境界上で境界条件を代表的に満足させる点を、選点群（selected points）と呼ぶ。パッチ系の仮想境界上ノード値の求め方は、境界形状に対応して、３つの方法がある。１つ目は、ボクセル稜線の境界面貫通点を選点として、境界外ノード未知数を決定する方法で、選点と対応する未知数の数が一致する必要がある。未知数の個数の方が多い場合には、マトリックスの階数低下に対応する処置が必要となる。逆に、選点の数の方が多い場合には、その数を調整して近似する必要がある。あるいは、最小２乗法で未知数を決定する。２つ目は、選点での最小２乗法を一般化し、境界に沿って適用する方法である。３つ目は、境界外の仮想領域を剛体近似して、最小２乗法を適用する方法である。マトリックスの階数低下は自動的に解消されるが、未知数と選点数が等しく取れる場合でも、余分な制約条件に未知数自由度を割くことになる。選点が未知数より少ない境界では選点法を優先し、残った未知数を境界条件の最小２乗法に適用する。
【非特許文献１】鈴木・大坪・閔・上杉「境界適合ボクセル要素の開発とその汎用有限要素コードへの組込み」、計算工学会講演会論文集、第３巻第２号 p.373, (1998).
【非特許文献２】今村・棚橋「ボクセル解析における境界適合技法」計算工学講演会論文集、Vol.7, pp.571-574, (2002).
【非特許文献３】長嶋・山田「修正変分原理に基づくボクセル有限要素解析」第52回理論応用力学講演会講演論文集、NCTAM2003, pp.295-296, (2003).
【非特許文献４】今村「Ｎ回連続的微分可能な有限パッチ要素のアダプティブ適用法」、計算工学講演論会文集、Vol.3, No.2 (1998), pp501-504.
【非特許文献５】今村・棚橋「Ｃ1-連続なHelmholtz要素を用いるボクセル解法と有限パッチ要素で補綴する境界適合技法」、日本計算工学会論文集、Paper No．20030020 (2003年8月30日発行).
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００２２】
しかし、従来の有限パッチ要素による数値解析方法では、仮想境界上の値が一定しないので、境界からのエネルギー流出を完全に防ぐことはできないという問題があった。なぜなら、系からエネルギーが流出しない条件は、基本境界線上あるいは少なくともそれに代わる線上で、境界条件を完全に満足することであるが、従来方法では、それが満足されなかったからである。
【００２３】
本発明は、上記従来の問題を解決して、Ｃ1-連続な要素を用いるボクセル解法において、有限パッチ要素で補綴して任意境界に高精度に近似適合させて、ボクセル基本系の外周境界からのエネルギー流出をなくして、高次ボクセル要素をオイラー型解法に適用可能とすることを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００２４】
上記の課題を解決するために、本発明では、ボクセル解法により数値解析を行う有限要素数値解析方法において、３重（２ｎ＋１）次の基底関数（ｎは非負整数）を用いてＣn-連続な要素からなる基本系を構成し、３重（２ｎ＋１）次の基底関数を用いて８個のボクセルからなるパッチ系８要素を構成し、実境界面上の１点を境界適合目標点とし、境界適合目標点の関数値と微分値が境界条件を満足するように、パッチ系８要素の中心点の関数値と微分値を定めて、境界適合目標点にパッチ系８要素の中心点を重ね、基本系の要素の関数値にパッチ系８要素の関数値を加算することにより、基本系の要素をパッチ系８要素で補綴する方法とした。
【発明の効果】
【００２５】
本発明では、上記のような方法としたことにより、任意の形状の境界を近似することができ、ボクセル解法の利点であるデータ入力の容易さを損なわずに、精度の高い解析ができる。境界が移動する問題でも、オイラー型の解析ができる。Helmholtz分解のメリットが、流体問題でも固体問題でも生かされる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２６】
以下、本発明を実施するための最良の形態について、図１〜図12を参照しながら詳細に説明する。
【実施例】
【００２７】
本発明の実施例は、３重３次の基底関数を用いて基本系要素を構成し、３重３次の基底関数を用いて８個のボクセルからなるパッチ系８要素を構成し、実境界面上の１点を境界適合目標点とし、境界適合目標点にパッチ系８要素の中心点を重ね、境界適合目標点の関数値が境界条件を満足するようにパッチ系８要素の中心点の微分値を定めてパッチ系８要素を加算することにより、基本系要素をパッチ系８要素で補綴して、Ｃ1-連続なHelmholtz要素を用いてボクセル解法により数値解析を行う有限要素数値解析方法である。
【００２８】
図１は、本発明の実施例における有限要素数値解析方法の概念図である。図２は、Ｃ1-連続なパッチ要素の基底関数の説明図である。図３は、１次元空間と２次元空間におけるパッチ方法の説明図である。図４は、２次元空間におけるタイプIとタイプIIIのパッチ方法の説明図である。図５は、１次元空間と２次元空間における拡張パッチ方法の説明図である。図６は、円柱周りのピクセル格子を補綴する方法を説明する図である。図７は、３次元空間におけるタイプＩのパッチ方法の説明図である。図８は、３次元空間におけるタイプIIとタイプIIIのパッチ方法の説明図である。図９は、周辺固定円板の解析例を示す図である。図10は、内部に円形ローラー端のある平板の解析例を説明する図である。図11と図12は、三角形キャビティフローの解析例を説明する図である。
【００２９】
本発明の実施例における有限要素数値解析方法の処理手順を説明する。最初に、図１を参照しながら、Ｃ1-連続なHelmholtz要素を用いてボクセル解法により数値解析を行う手順の概略を説明する。詳細は後述するが、基本的な部分は従来方法と同じである。図１（１）に示すように、格子をボクセルで構成する。図１（２）に示すように、流れ場などの解析対象のベクトル場ＵをHelmholtz分解して、スカラーポテンシャルφとベクトルポテンシャルψで表す。図１（３）に示すように、基底関数を３重３次の関数とする。具体的には、図14でモード分解して説明したようになる。この基底関数を使って、スカラーポテンシャルφとベクトルポテンシャルψの４つの関数を展開して近似的に表現する。図１（４）に示すように、８個のボクセルからなるパッチ系を構成する。パッチ系の周辺部の関数値と１階微分はすべて０とする。中心における関数値と、その１階微分は、境界適合目標点の関数値と１階微分に応じて決める。スカラーポテンシャルφとベクトルポテンシャルψの４つの関数に対応させて、４つのパッチ系８要素を構成する。
【００３０】
図１（５）に示すように、実境界上の１点を境界適合目標点とし、境界適合目標点にパッチ系の中心を重ねる。境界適合目標点の関数値が境界条件を満足するように、パッチ系８要素の関数のノード未知数ベクトル値を定めて加算する。ノード未知数は(ｎ＋１)×(ｎ＋１)×(ｎ＋１)個あるから、ｎ＝１では８成分のベクトルとなる。境界値が境界に沿って、φ＝０、（ψx,ψy,ψz）＝（0,0,0）で、１階微分も、（∂φ／∂ｘ）＝０、（∂φ／∂ｙ）＝０、（∂φ／∂ｚ）＝０、（∂ψx／∂ｘ）＝０、（∂ψy／∂ｘ）＝０、（∂ψz／∂ｘ）＝０、（∂ψx／∂ｙ）＝０、（∂ψy／∂ｙ）＝０、（∂ψz／∂ｙ）＝０、（∂ψx／∂ｚ）＝０、（∂ψy／∂ｚ）＝０、（∂ψz／∂ｚ）＝０なら、境界適合目標点の関数値と１階微分がそのようになるように、パッチ系８要素のノードベクトル値を定めて相殺する。必要に応じた複数の境界適合目標点を設定して、パッチを当てる。このようにして、境界条件を近似して境界適合させてベクトル場Ｕを求める。
【００３１】
ボクセル解法では、実境界上で基底関数が連続であるので、面上で境界条件を完全に満足させることは不可能である。そこで面に代えて、簡易且つ安定な方法で、実境界上の複数点で境界条件を満足する関数となるよう近似する。図１（５）に示すように、パッチを当てる方法には３通りある。タイプＩのパッチ形式では、基本系六面体の稜線が境界面を貫通する点を境界適合目標点とする。中心点を共有する８個の要素で１組のパッチ系８要素を構成する。境界適合目標点にパッチ系８要素の中心点を重ねる。図１（５）に示す場合では、基本系の１つの要素について境界面貫通点が３点あるので、パッチ系は３組必要となる。タイプIIのパッチ形式では、基本系の要素表面と境界面の相貫線上の１点を境界適合目標点として１組のパッチ系を当てる。タイプIIIのパッチ形式では、基本系要素内の境界面上の１点を境界適合目標点として１組のパッチ系を当てる。タイプIIとタイプIIIでは、それぞれ複数点に複数組のパッチ系を当てることができる。
【００３２】
図２を参照しながら、Ｃ1-連続なパッチ要素の基底関数について説明する。基底関数は、要素の両端で関数値と１階微分が連続する必要がある。この条件を満たす最低次の整関数は３次関数である。図２（ａ）に示すように、左端と右端で関数値と１階微分値が０で、中央で関数値が１で１階微分値が０である関数ｇ1と、左端と右端で関数値と１階微分値が０で、中央で関数値が０で１階微分値が１である関数ｇ2の合計（ｎ＋１）個を、それぞれスカラー倍して組み合わせる。この関数の３重積は、単位立方体８個の中心で(ｎ＋１)×(ｎ＋１)×(ｎ＋１)個のノード未知数ベクトルとなるので、８個の関数値と１階微分値があり、他の頂点で関数値と１階微分値がすべて０となる。これら８個の要素を使って、図２（ｂ）に示すように、パッチ系を構成することができる。
【００３３】
図３（ａ）と図５（ａ）を参照しながら、１次元空間におけるパッチ方法を説明する。Ｃ0-連続な系に和形式で適用する場合である。基本系の要素１に実境界がある。要素１は、境界要素である。要素１の端に仮想境界がある。基本系の関数値は、要素１と要素２において、図３（ａ）左に示すようになっている。この関数値を、実境界で０にし、実境界から仮想境界までの仮想領域でも０にしようとする。パッチ系の格子を図３（ａ）中央に示すように構成する。パッチ系の要素１を、基本系の要素１の仮想領域に対応させる。パッチ系の要素２を、基本系の実領域に対応させる。パッチ系の要素１の関数値を、基本系の要素１の仮想領域の関数値の符号を反転したものとする。パッチ系の要素２の関数値を、実境界で連続して右端で０になるようにする。このパッチ系を、実境界を一致させて基本系に足し合わせる。その結果、図３（ａ）右に示すように、基本系の仮想領域と実境界で関数値が０になり、要素１の右端で要素２と連続するようになる。要素２はパッチ系の影響を受けない。このようにして、境界適合した系を実現できる。１次元の場合は例外的に、境界条件を完全に満足させることができる。図５（ａ）に示すように、上記の方法を変形して適用することもできる。
【００３４】
図３（ｂ）と図４と図５（ｂ）と図６を参照しながら、２次元空間におけるパッチ方法を説明する。２次元空間におけるパッチ方法も、同様にして実現できる。Ｃ0-連続な系に和形式で適用する場合である。図３（ｂ）および図４に示すように、基本系の要素の辺が実境界と交差する点（目標点）における関数値を０にしようとする。パッチ系の要素を４つ１組にして、田の字形のパッチ系を構成する。パッチ系の中心にある交点の関数値を、基本系の目標点の関数値の符号を反転した値とする。パッチ系の４要素の周囲の辺と頂点における関数値を０とする。これらの条件を満足するように、パッチ系の関数に基本系と同じ双１次関数を用いる。図４右に示すように、基本系の要素内における実境界上の点を目標点として、パッチを当てることもできる。例えば、図６に示すように、円柱周りをピクセル格子で構成した基本系(ａ)を、（ｂ）のように和形式で補綴する。図３（ｂ）に加える形で図５（ｂ）に示すように、上記の方法を変形して和形式で適用することもできる。
【００３５】
次に、図７を参照しながら、タイプＩのパッチ方法を説明する。境界面とボクセル要素が交わるところでは、要素の稜線が境界面を貫く点がある。この点を境界適合目標点とする。境界適合目標点を共有するように、８個のボクセルからなるパッチ系を重ねる。基本系の関数値と微分値が境界適合目標点ですべて０になるように、パッチ系の関数値と微分値を決める。パッチ系の外側の頂点では、関数値と微分値はすべて０になるようにする。図７の例では、目標点は３点であるが、境界面の交差の態様によってはもっと多くなる。
【００３６】
図８を参照しながら、タイプIIとタイプIIIのパッチ方法を説明する。タイプIIパッチ形式では、基本系の要素表面と境界面の相貫線上に境界適合目標点を設定して、境界適目標点を共有するように、８個のボクセルからなるパッチ系を重ねる。タイプIIIのパッチ形式では、基本系要素内の境界面上に境界適合目標点を設定してパッチを当てる。
【００３７】
パッチ系には、基本系の要素間境界に要求される連続性以上のものは用いていないから、基本系要素の関数値と１階微分で、パッチ系の境界適合目標点の関数値と１階微分を消去できる。タイプIIおよびタイプIIIで、複数のパッチ系を重なるように適用する場合には、それらを連立させて消去する必要がある。それでも、当該要素内の局所的な処理で済むメリットは失われない。これらによっても、境界形状に完全に適合するものではない。また、物体を回転させた場合でも、それに応じてパッチも容易に変更できる。例えば、着目する境界を要素に接するように回転・移動させて、部分的に境界条件を面上で完全に満足させて解析することもできる。そのとき、パッチもそれに合わせて容易に変更できるので、パッチを適用することでボクセル解法の利点が損なわれることはない。
【００３８】
実境界に沿って境界条件の連続性をさらに精度高く与えるには、Ｃ0-要素では完全１階のノード未知数ベクトルを設定して、境界に沿って高階微分ゼロの条件を与えればよい。Ｃ1-要素では完全２階のノード未知数ベクトルを設定して、境界に沿って高階微分ゼロの条件を与えればよい。これには基本系およびパッチ系共に、基底関数を、Ｃ0-要素で不完全双２次、Ｃ1-要素で不完全双５次とする必要がある。且つ、基本系は内部要素との接続面で余分のノード未知数成分を消去する必要がある。３Ｄの場合も同様である。この方法では基底関数の項数が境界要素のみ増えること、境界面の方向などの情報を管理して与えなければならないことなど、ボクセルの簡易さが損なわれてくるデメリットも併せ持つ。
【００３９】
これらのパッチ形式は、Ｃn-連続な系に一般化して適用できる形になっている。隅ノードでｎ階微分まで各方向同じ値になることが、Ｃn-連続であるための必要条件であるから、これを満足させる形で一般化できる。Ｃ0-要素では、１×１×１のノード未知数ベクトルを共有させればよい。Ｃ2-要素では、３×３×３のノード未知数ベクトルを共有させればよい。以下同様である。言い換えれば、これ以上のノード未知数成分を有する要素では、残余の高階微分成分は隣接要素と共有されればよく、必ずしも８要素すべてで共有される必要はない。
【００４０】
更に次に、２次元空間での境界形状への適合方法について、２Ｄピクセルで数値的な検証を行った例を説明する。パッチ要素の（●）ノードは、双１階の４自由度とする。周辺固定円板の解析例を図９に示す。直径1.0の周辺固定円板を解析したものである。荷重は等分布である。タイプＩ（要素間）の図６の方法で基本系を補綴するケースを、等間隔で格子数をパラメトリックに変化させて数値解析した。円板が系の境界に接するよう格子配置し、等分割（4×4，6×6，10×10、30×30）の４ケースとした。中央たわみの正解は、半径a、剛度Ｄ、分布荷重ｑとして
w＝q/D×a4/64＝0.977×10-3q/D
である。パッチなしの通常のピクセルモデルの解は、格子順に、（0.126，0.127，0.105，0.104）×10-2である。パッチ補綴モデルは、同様に、（0.989，0.985，0.988，0.970）×10-3である。正解に近づくことが分かる。パッチ補綴のたわみコンターを３ケース示してある。
【００４１】
図10を参照しながら、内部に円形ローラー端のある正方形板の解析例を説明する。Helmholtz要素において２以上の連続境界を有し、且つψ0の値がゼロとならないケースを具体的な形で模擬するために、内部に円形軸があり、軸周りローラー端の周辺固定正方形板を解析する。形状は１×１で、軸直径は0.3とする。荷重は等分布である。要素数は20×20とした。穴周りのノード位置は、図６に一致する。ケース1は、パッチ補綴なしの通常のピクセルモデルである。ケース２は、タイプＩ（要素間）の補綴モデルである。オーダー比較のため、ケース３は、穴なしの正方形板として数値計算した。計算結果のたわみコンターと、板の幾何学的中心線上のたわみプロファイルを示す。たわみ量は、単位を[q/D×l4]として、ケース1のローラー端で0.558×10-3である。ケース２では、0.684×10-3である。ケース３の中央たわみは、厳密解が0.1265×10-2で、計算値は0.127×10-2で、よく一致している。その中心より0.15のローラー端の位置では、0.107×10-2であった。ケース１のピクセルモデルとしてのローラー端設定方法は、円弧内部の直近ノードを境界とする。たわみコンターからは、ローラー端近傍で、パッチモデルの滑らかさが読み取れる。
【００４２】
図11と図12を参照しながら、三角形キャビティフローの解析例を説明する。ケース１はタイプＩ（要素間）のみの補綴とし、ケース２はさらに要素内の実境界中点にタイプIII（要素内）の補綴を施したものである。プロポーションは、幅×高さが１×１である。移動壁右隅近傍の詳細比較を、図12に示す。点線は要素で、○はパッチ要素の中心のノード位置を示す。実境界上で、これら以外に基本系のノードが境界を規定する。タイプＩ（要素間の補綴）では、仮想領域にも等高線が表われるが、タイプIII（要素内の補綴）を併用した計算では、実領域にのみ表われている。
【００４３】
上記のように、本発明の実施例では、有限要素数値解析方法を、３重３次の基底関数を用いて基本系要素を構成し、３重３次の基底関数を用いて８個のボクセルからなるパッチ系８要素を構成し、実境界面上の１点を境界適合目標点とし、境界適合目標点にパッチ系８要素の中心点を重ね、境界適合目標点の関数の微分ベクトル値が境界条件を満足するようにパッチ系８要素の関数の微分ベクトル値を定めることにより、基本系要素をパッチ系８要素で補綴して、Ｃ1-連続なHelmholtz要素を用いてボクセル解法により数値解析を行う方法としたので、任意の形状の境界を近似することができ、ボクセル解法の利点であるデータ入力の容易さを損なわずに、精度の高い解析ができる。
【産業上の利用可能性】
【００４４】
本発明の有限要素数値解析方法は、多くの種類の連続体の力学的数値解析に効果的に適用できる。流体問題にも固体問題にも適用でき、特に、Helmholtz分解のメリットを生かすことができる。
【図面の簡単な説明】
【００４５】
【図１】本発明の実施例における数値解析方法の概念図、
【図２】Ｃ1-連続なパッチ要素の基底関数の説明図、
【図３】１次元空間と２次元空間におけるパッチ方法の説明図、
【図４】２次元空間におけるタイプIとタイプIIIのパッチ方法の説明図、
【図５】１次元空間と２次元空間における拡張パッチ方法の説明図、
【図６】円柱周りのピクセル格子を補綴する方法を説明する図である。
【図７】３次元空間におけるタイプＩのパッチ方法の説明図、
【図８】３次元空間におけるタイプIIとタイプIIIのパッチ方法の説明図、
【図９】周辺固定円板の解析例を示す図、
【図１０】内部に円形ローラー端のある平板の解析例を説明する図、
【図１１】三角形キャビティフローの解析例を説明する図、
【図１２】三角形キャビティフローの解析例を説明する図、
【図１３】Ｃ0-連続な基底関数の説明図、
【図１４】Ｃ1-連続な基底関数の説明図、
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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