(57)【要約】【課題】実現象と対比可能、かつ計算速度の面も含んで実用的な、大域的プロセスシミュレータ及び設計図から補正した図形を計算するプログラムを作る。【解決手段】平面上でエッチングされる物質の量が曲面上でも同量エッチングされなければならないとする原則より導かれる丸めの効果を含み、反応粒子の有効領域Ｓｆに応じてエッチングされる物質の量が場所ごとに変化し、断面の形状情報を２または３点の位置情報に集約することにより３次元計算をすべきところを実質的に２次元計算とし、さらに図形を分割することにより計算時間を短縮させた。以上より所定の目的を達成した。【選択図】図３３
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
大域的プロセスシミュレータ及び補正計算プログラムにおいて、２次元平面上の計算対象図形群を、少なくとも作用距離分のオーバーラップをもたせつつ、いくつかの小さく切出した図形群に分割し、それぞれの図形群について計算をおこなうことで、すべての計算対象図形の計算を行う方法
【請求項２】
大域的プロセスシミュレータ及び補正計算プログラムにおいて、２次元平面上のパターンをポリゴンとして扱い、ポリゴンが包含関係にあるときはそれらのポリゴンを最外郭のものから順に、実ポリゴン、穴ポリゴン、実ポリゴン、穴ポリゴン、（以下同様）と２種類に分類し、そのポリゴンの座標点の順序が実ポリゴンパターンでは反時計回りに穴パターンでは時計回りとする計算方法、
または、
そのポリゴンの座標点の順序が実パターンでは時計回りに穴パターンでは反時計回りとする計算方法。
【請求項３】
大域的プロセスシミュレータ及び補正計算プログラムにおいて、２次元平面上のパターンをポリゴンとして扱い、あるポリゴンを構成する線分が、そのポリゴンの他の線分と交差しない場合において、そのポリゴンで囲われる面積を計算し、面積値が正ならばポリゴンは反時計回りであり、負ならばポリゴンは時計回りだと判断する計算方法
【請求項４】
大域的プロセスシミュレータ及び補正計算プログラムにおいて、２次元平面上のパターンをポリゴンとして扱い、ポリゴンを構成する線分は、他のいずれの線分とも交差しない場合において、
すべての計算対象ポリゴンの座標点の順序が反時計回りとして、あるパターン（Ａとする）の端の点から直線を伸ばし、その直線と、別のパターン（Ｂとする）の最初の交わった線分が直線の伸びる方向に向かって、右から左へ向かう場合はパターンＡはパターンＢに含まれると判断し、左から右に向かう場合はパターンＡとパターンＢは包含関係にはないと判断する計算方法、
または
上記場合において
すべての計算対象ポリゴンの座標点の順序が時計回りとして、あるパターン（Ａとする）の端の点から直線を伸ばし、その直線と、別のパターン（Ｂとする）の最初の交わった線分が直線の伸びる方向に向かって、左から右へ向かう場合はパターンＡはパターンＢの内部に位置すると判断し、右から左に向かう場合はパターンＡとパターンＢは包含関係にないと判断する計算方法。
【請求項５】
２次元平面上でエッチングされる物質の量が曲面上でも同量エッチングされなければならないとする原則より導かれる丸めの効果を含む、大域的エッチングシミュレータ。
【請求項６】
反応粒子の作用領域Ｓｆに応じてエッチングされる物質の量が場所ごとに変化する、大域的エッチングシミュレータ及び補正計算プログラム。
【請求項６】
平面上でエッチングされる物質の量が曲面上でも同量エッチングされなければならないとする原則より導かれる丸めの効果を含み、断面の形状情報を２または３点の位置情報に集約することにより３次元計算をすべきところを実質的に２次元計算とした、大域的エッチングシミュレータ。
【請求項７】
反応粒子の有効領域Ｓｆに応じてエッチングされる物質の量が場所ごとに変化し、断面の形状情報を２または３点の位置情報に集約することにより３次元計算をすべきところを実質的に２次元計算とした、大域的エッチングシミュレータ。
【請求項８】
２次元平面上でエッチングされる物質の量が曲面上でも同量エッチングされなければならないとする原則より導かれる丸めの効果を含み、反応粒子の有効領域Ｓｆに応じてエッチングされる物質の量が場所ごとに変化し、断面の形状情報を２または３点の位置情報に集約することにより３次元計算をすべきところを実質的に２次元計算とした、大域的エッチングシミュレータ。
【請求項９】
平面上でエッチングされる物質の量が曲面上でも同量エッチングされなければならないとする原則より導かれる丸めの効果を含む、断面エッチングシミュレータ。
【請求項１０】
エッチング係数αと反応粒子の有効領域Ｓｆとエッチング時間ｔによってエッチングされる物質の量が決定する場合において、αとＳｆを実験データに最適なように決定することを目的として、最小二乗法を用いて得られる関数Ｌを用いて、関数Ｌのαについての偏微分を０とするαｔをまず求め、その値を関数Ｌに代入して、Ｓｆを構成するパラメータを関数Ｌを最小にするように、必要なパラメータの最適値を求める方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】  本発明はＣＡＤ（Ｃｏｍｐｕｔｅｒ  Ａｉｄｅｄ  Ｄｅｓｉｇｎ）の分野に係り、特に半導体素子または配線素子の製造工程（製造プロセスともいう）をシミュレーションする装置（以下シミュレータと呼ぶ）または設計した配線などの形状（パターンともいう）に対して補正処理を行う装置（補正プログラムともいう）に関するものである。
なお設計した配線などの形状に対する補正は、製造プロセスのシミュレーションにおいて時間進行を逆にしたものとして考えられる。
【背景技術】
【０００２】  半導体素子及び配線素子の製造におけるエッチング工程を配線の形成を例に説明する。ただし、本シミュレータの適用範囲は配線に限られない。図１に典型的な配線工程を断面図により示す。
（１）絶縁体の上に導電物（銅、アルミニウムなど）の層を形成する。
（２）その上にレジストを塗布する。
（３）リソグラフ工程によりレジストにパターンを焼き付ける。
（４）エッチングによりレジストのない部分の導電物の層を取り除くと配線が形成される。
（５）レジストを除く。
おなじ工程を水平平面上で見たのが図２である。【０００３】  ＣＡＤの分野において半導体素子または配線素子の製造工程をシミュレーションする装置（シミュレータ）は局所的（ｌｏｃａｌ）なものがほとんどであり、大域的（ｇｌｏｂａｌ）なもので現実と比較し得る程度のものは、一部例外を除いて存在しなかった。特にエッチングにおいてはシミュレーションにより評価するという発想すらなかったといえよう。【０００４】  ここで局所的（ｌｏｃａｌ）とは、非常に狭い領域の単純な構造をシミュレーションの対象とするものである。例えば、集積回路の中の一本の配線の形状をシミュレーションするようなものをいう。
一方大域的（ｇｌｏｂａｌ）とは、全体あるいは少なくとも複数の構造を含むくらい大きな部分であって、それら周辺の構造が製造プロセスの進行に影響を及ぼすものをいうとする。つまりまわりの複雑な構造を計算対象とするものである。考察の対象は主に平面図におけるパターンの２次元的形状である。例えば、集積回路において、マスクのパターンがどのようにウェハ上に実現されるかという考察は大域的考察である。【０００５】  大域的である例は、パッケージ配線における金属配線形成工程である。現在この金属配線形成工程はほとんどウェットエッチング工程を使用している。ウェットエッチング工程とは酸やアルカリ水溶液を吹き付けるなどしてエッチングを行うものである。この場合には、ある点のエッチングのされ方はその周辺の構造に大きく依存する。すなわち、大域的である。具体的には配線が密な部分はエッチングが遅く、線の突端などレジストのない領域が大半の場合はエッチングが早い。
大域的である場合に、ある点について、その周辺構造であって影響を及ぼす範囲を作用範囲と呼ぶこととする。作用範囲の大きさを作用距離で概念的に表す。製造プロセスによる、形状を変化させる能力を作用能という。上記ウェットエッチングにおいてはエッチング量が対応する。【０００６】  上記においていう「一部例外」にはリソグラフィーシミュレータ及びＣＭＰ（Ｃｈｅｍｉｃａｌ  Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ  Ｐｏｌｉｓｈｉｎｇ）シミュレータがある。リソグラフィーシミュレータはマスクのパターンがどのようにウェハ上に実現されるかを、光学に則ってシミュレーションする。波長の１／３程度の細線までパターンする必要性があり、光の干渉を考慮する必要性から必然的に大域的である。ＣＭＰシミュレータは下部層の大域的構造がＣＭＰ工程による平坦化の実現度にどう影響するか評価する。
エッチング及びデポジションの分野においては未だ現実と比較しうる程度の大域的シミュレータは存在しない。【０００７】  半導体素子
または配線素子プロセスのシミュレーションおよび形状（パターン）の補正を行う上で、そのパターンをポリゴンで記述する。ポリゴンとは、有限個の線分で囲われた図形をいうものとする。円弧のパターンも細かくみれば有限個の線分からなっているとする。プログラム上、円、円弧もポリゴンで記述するよう変換する。プログラムの上では例えばＮ個の頂点を持つポリゴンは順序立てられた頂点の座標
（ｘ［０］，ｙ［０］），（ｘ［１］，ｙ［１］），．．．  ，（ｘ［Ｎ−１］，ｙ［Ｎ−１］），（ｘ［Ｎ］，ｙ［Ｎ］）＝（ｘ［０］，ｙ［０］）      （１）
で表現される（図３）。ｘ［Ｎ］，ｙ［Ｎ］は定義しなくともよい。
上記パターンはプロセス上の物理パターンであるから、ポリゴンは当然に閉じているし、またその線分は他の線分と交わらない。さらに二つ以上のポリゴンが重なることはない。しかし図４のようにパターンが何重もの入れ子になっている場合はありうる。この場合は図４の斜線をひいた部分が真のパターンとなる。説明の便宜上、真のパターンの外側のポリゴンを実ポリゴンとよび、内側を穴ポリゴンと呼ぶ。
プロセスの進捗により、ひとつのポリゴンが二つ以上に分裂することがある。例えば中がくびれたポリゴンはエッチングの進行とともに二つに分裂する（図５）。逆に二つ以上が統合する場合もある。例えばエッチング工程において二つの穴ポリゴンが一つになる（図６）。またエッチングにおいて、実ポリゴンと穴ポリゴンで構成されるドーナツ形状が、ドーナツ一部がちぎれて単純構造に変わることもある（図７）。
【特許文献１】特公平７−１９２６５
【特許文献２】特許公報３２７３７１９
【特許文献３】特許公報２７８７３１５
【非特許文献１】山本拓也ほか「サブトラクト法における配線ピッチと銅層許容厚さの実験的考察」エレクトロニクス実装学会誌  ２２８−２３３，第３巻（２０００）。
【非特許文献２】“ＣＭＰ−Ｄｅｓｉｇｎｅｒ”製品カタログ、セイコーインスツルメンツ株式会社
【非特許文献３】“ＴＩＧＥＲ−３Ｄ”製品カタログ、ＮＴＴファネットシステムズ株式会社・株式会社数理システム
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００８】  平面図において、最初、角のあるパターンは、エッチングされることによりその角が丸くなるであろう。大域的シミュレータにおいてはそうした丸めの効果を導入する必要がある。しかもそれが現実と比較できるものであるためには、物理原則に矛盾するものであってはならず、できれば物理原則から導出できるものであることが要請される。【０００９】  エッチング工程において、パターンの疎なところはエッチング速度が大きく、密なところはエッチング速度が小さいのは、日頃観察される。パターンの疎密によるエッチング量の差を説明できるモデルが必要である。【００１０】  大域的エッチングシミュレータは、本来、平面上にあるｘ軸ｙ軸の他、深さ方向ｚ軸を加えた３次元のシミュレーションをすべきである。深さ方向と水平方向のエッチングが同時に進行するので、それぞれを独立別個に決めることができないからである。しかし３次元の計算は情報量が膨大となり、計算時間が長大となって、未だ現実的でない。したがって平面上の形状を計算する上で、深さ方向の情報を縮減する必要がある。【００１１】  大域的プロセスシミュレータおよび補正プログラムにおいて、ポリゴンによって表現されるパターン形状はプロセス進行に応じて変化していく。時に二つ以上に分裂し、または二つ以上のパターンが統合する。こうした２次元平面上の変化をプログラムでどのように取り扱うか問題となる。
また、初期のパターンを表現するデータが図４のような包含関係にある場合にはそれぞれのポリゴンの間の包含関係を計算により求める必要がある。
これらの課題は２次元空間を容易に認識できる人間には難しくないが、基本的に１次元の大小関係しか認識できないコンピュータのためのアルゴリズムはそれ程容易なものではない。【００１２】  大域的プロセスシミュレータおよび補正プログラムにおいては、すべての点についてそれぞれ作用範囲に含まれる点および線分を見つけ出すことが必要である。このために、大規模な設計では膨大な計算時間を要する。使用可能な程度にまで計算時間を削減することが必要である。
【課題を解決するための手段】
【００１３】  以下において水平面をｘ軸ｙ軸によって張られる面とし、深さ方向をｚ軸とする（図８）。配線の３次元的形状を図９に示した。【００１４】  平面上でエッチングされる物質の量が曲面上でも同量だけエッチングされなければならないとする原則から丸めの効果が導出できる。以下の議論は簡単のため水平２次元平面（ｘ−ｙ）のみを表示する。３次元空間でも以下と同様な議論ができるが、対応する数式は複雑になる。【００１５】  図１０においてひとつの微小な面において、微小時間ΔｔあたりΔＥだけエッチングがすすむとする。このとき頂点Ｐは微小時間Δｔの後にどの位置となるか。二つの微小な面の交線を表示する頂点Ｑとなると考えることもできる。しかしこのように考えると頂点Ｐのまわりの微小曲面でのエッチングされる物質の量は三角形Ａ＋Ｂだけ微小平面における量より少なくなる。微小平面でも微小曲面でも同量だけエッチングされなければならないという原則を満たすにはＰは微小時間ΔｔでＲに移動するとしなければならない。ただしここで直角三角形Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄは互いに合同である。頂点Ｐのなす角をθとするとＰからＲへの変化量は
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で与えられる。次に頂点Ｐが凹の場合を図１１に示す。この場合はＲは直角三角形Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄが合同となる位置である。Ｐのなす角θを図１１に示すようにとると図１０の場合と同じく式（２）を満たす。以上より着目する頂点が凸の場合はエッチングによる頂点の移動距離は大きく、凹の場合は小さい。したがっていずれの場合も角は丸められていくこととなる。【００１６】  互いにエンチング量が異なる２面の交点の場合の頂点Ｐ（図１２）の移動方向及び距離については物理モデルに依存して異なる与え方ができる。頂点Ｐは大きいエッチング量をもつ面の一部と同様と考えることもできる。それが数学的に容易な方法である。頂点Ｐを交点となす２面のエッチング量を図１３において４角形Ｅと３角形Ｆの面積が等しいようにとることができる。しかしこの両者による差異は、頂点の間隔を小さくすればいくらでも小さくできるので、事実上無視できる。【００１７】  大域的プロセスシミュレータにおいては、ある点または線分において作用能を計算する時に、他の点および線分がその作用範囲内に含まれるかどうかを判断する必要がある。例えば、図１４におけるような、点Ｐから半径Ｒの範囲内が作用範囲となり、その面積の値が作用能を与える場合には、他の点および線分が半径Ｒの範囲内であるかどうかをプログラムに判断させる。この場合に、すべての点および線分について厳密に半径Ｒの中か外かを判断させる必要はなく、たとえば大雑把に当該円を含む正方形を設定してこの正方形の範囲内かどうかで第１次の判断をさせる。こうすることで余計な計算を省くことができる。【００１８】  パターンの疎密によりエッチング量に差異が生ずる。この現象はパターンが疎な場所ではエッチング反応を起こす粒子の分布領域がそれだけ大きく、エッチング量が増えると考える。逆にパターンが密であれば分布領域が小さくなることに起因する。エッチングの場合に、反応粒子の分布領域とはレジストが存在せずその部分のエッチング液（または、気体、プラズマなど）がエッチング液に寄与する領域をいうものとする。一般的に微小時間Δｔでのエッチング量ΔＥは、着目する微小領域においてエッチング反応を起こす粒子の分布する領域を表現する関数Ｓｆを使って、
ΔＥ  ＝  α・Ｓｆ・Δｔ                                                （３）
と表されるとする。ここでαはエッチング定数と呼ぶこととする。Ｓｆを反応粒子の有効領域とよぶ。Ｓｆがどのような関数になるかによっていくつかのモデルが考えられる。標準モデルは、着目する微小領域から半径Ｒｅの円を描き、その中の反応粒子の分布する領域の面積をもって反応粒子の有効領域Ｓｆとするモデルである。以下、このモデルを説明した後に、他のモデルに言及する。【００１９】  標準モデルでは図１４のような半無限の空地がある場合には
Ｓｆ＝  π／２  Ｒｅ２                                                  （４）
である。次に幅ｄのすき間の場合（図１５）は図中斜線部分が反応粒子の有効領域となる。
この面積は
Ｓｆ（ｄ，Ｒｅ）  ＝  ｄ・ＳＱＲＴ（Ｒｅ２−ｄ２）  ＋  Ｒｅ２・ａｒｃｓｉｎ（ｄ／Ｒｅ）      （５）
で与えられる。Ｓｆはｄ及びＲｅの関数と考える。ここでＳＱＲＴ（Ｒｅ２−ｄ２）とは（Ｒｅ２−ｄ２）の二乗根を意味する。式（５）を式（３）に代入して、Ｓｆを左辺にもっていき、エッチングの始めから終わりまで積分することができる。すき間ｄとエッチング量Ｅの関係を求める（図１６）。距離がＲｅ以上ではエッチング量は一定である。Ｒｅに比べて十分狭いすき間ではｄとＥは比例関係である。こうした関係は特にウェットエッチングの特性を再現できる。図１７のような不定形の場合には斜線部分が反応粒子の有効領域と考える。この面積は数値計算で求める。以上が標準モデルである。【００２０】  標準モデルがあまりに単純過ぎて現象を再現できない場合にはより複雑なモデルを使用できる。以下三種類のモデルが考えられる。【００２１】（１）方向依存性のあるモデル
標準モデルは等方性を仮定している。それに対してエッチング面の法線方向成分の寄与が大きいとするモデルを設定できる。例えばエッチング面から法線をひき、その角度をθとして（図１８）、角度θからの寄与にｃｏｓ（θ）の重みをつけることもできる。反応粒子の有効領域はθについて角度積分するときにｃｏｓ（θ）の重みをつける。このようなモデルにおいては例えば図１９のような角があったとき、そこでのエッチング量が増すという現象を矛盾なく説明できる。等方モデルと方向依存モデルを組合せることもできる。【００２２】（２）距離依存性のあるモデル
標準モデルおいて半径Ｒｅ内の反応粒子のみが寄与すると考えた（図２０）。しかも半径Ｒｅ内部では距離にかかわらず寄与率は一定である。これは横軸に距離、縦軸に寄与率をとると矩形になることを意味するので矩形モデルといえる（図２０）。これをｅ−ρｒで表現される指数関数にとるモデルも考えられる（図２１）。この場合には標準モデルのＲｅに対応するものはなく、エッチング量はすき間の広がりに応じて漸増する。【００２３】（３）間接領域を含むモデル
標準モデルは図１７において斜線部分のみを計算に入れた。この斜線部分を直接領域という。一方図１７同じパターンにおいて図２２に斜線で示す頂点Ｐから見えない領域をも計算に入れることもできる。このような領域を間接領域という。直接領域のみで計算すべきか、間接領域まで入れるべきか、あるいは両者の組合せにすべきかの判断はどれが現実に近いかで判断すべきである。例えば反応粒子がエッチング面でほとんど反射してしまうような場合は間接領域を含めるべきであろうし、逆に反応粒子がエッチング面でみな吸収されてしまう場合は直接領域のみの方が実情を反映していると考えられる。【００２４】  以上３種類のモデルはそれぞれ別個独立であるからその３個の組合せも考えられる。こうして、エッチング反応のような物理的素過程が複雑なものに対して、そうした素過程に立入ることをせず、多様なモデルを用意して現象論的に対応することとする。【００２５】    実際のシミュレーションでは、実験データよりαとＳｆを決める必要がある。実験データとしては図１５のような線間すきまｄｉで十分長い（Ｒｅに比べて十分長い）平面構造において、時間ｔにおけるエッチング量Ｅｉを実験データから求めておく。こうした実験データ（ｄｉ，Ｅｉ）がｎ個あるとして、
Ｌ（α  ｔ，Ｓｆ）＝Σ（Ｅｉ−α  ｔ  Ｓｆ）２                          （６）
を最小にするようにαｔとＳｆを決定する（最小２乗法）。式（６）で合計Σはｉについて１からｎまで合計したものである。Ｌをαについて偏微分したものを０とおくことによりαｔが簡単にＳｆなどにより表現できる。その求めたαｔを式（６）に代入する。そうしてＬが最小となるようにする。実際にはＳｆはいくっかのパラメータで表現される。例えば標準モデルではパラメータはＲｅである。したがってＬを最小にするようにパラメータの値を決めることとする。【００２６】  なお標準モデルを含む本モデルはデポジション工程に対してシミュレーションを行うときにも有効である。【００２７】  ３次元でやるべきエッチングシミュレーションを、深さ（ｚ軸）方向には２、３点に集約する方法について考える。エッチングは例えばデポジションに比べて断面形状がそれ程多様ではない。まだエッチング層が底まで取除かれていない状態では図２３に記すＸｔ及びｚの２点を代表点とする。ｚはレジスト端におけるエッチング面の高さである。Ｘｔは水平２次元平面では（ｘｔ，ｙｔ）で表現される。
エッチングが進むと図２４のように底面までエッチング層が取除かれる。このときはＸｔと底面でのエッチング層の位置Ｘｂを代表点とする。ＸｂもＸｔと同様に水平２次元平面では（ｘｂ，ｙｂ）で表現される。【００２８】  水平方向のエッチング量と深さ方向のエッチング量の比をκとする。このκの値により断面での傾きがおおよそ決まる。ウェットエッチングでの実測ではκは１より小さく０．５近辺とされる。異方性ドライエッチングではκは０に近いとされる。
以上より、大域的エッチングシミュレータにおいては断面形状の情報に関しては
（ｘｔ，ｙｔ）  （ｘｂ，ｙｂ）    ｚ                                    （７）
に集約することとする。３次元でやるべきところ、必要な情報を失うことなく実質的に２次元の計算に置換えることができる。【００２９】  図形の初期化として、ポリゴンについて、反時計回りおよび時計回りを定義する。反時計回りのポリゴンとは、そのポリゴンを表示する頂点の順序が反時計回りであることとする（図２５）。同様に時計回りのポリゴンとは頂点の順序が時計回りであることとする（図２６）。ポリゴンを構成する線分が交わることはないので反時計回りと時計回りがひとつのポリゴンにおいて混在することはない。
プログラム上で反時計回り、時計回りを区別するために、そのパターンで囲われた面積を求める。図２７に特に示した台形の面積は
１／２（ｙ［ｉ＋１］＋ｙ［ｉ］）＊（ｘ［ｉ＋１］−ｘ［ｉ］）            （８）
となる。従ってポリゴンで囲われた面積はすべてのｉについて合計することでえられる。
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で与えられる（図２７参照）。図２７で下の線分に沿った面積は負であってちょうどパターンの下部分の余計な面積を打ち消すことに注意する。
Ｓが正であればポリゴンは時計回りであり、負であれば反時計まわりである。ポリゴンのデータ順を逆にすれば、反時計回りから時計回りへ、または時計回りから反時計回りへ変更できる。【００３０】  図形の初期化として、図４の入れ子構造の計算において実ポリゴンと穴ポリゴンとに分類する必要がある。以下そのアルゴリズムである。
まずすべてのポリゴンを反時計回りとする。着目するポリゴンＡの右端から東方向（ｘ軸正の方向）へ直線を伸ばす。端の点を選んだのは自分自身と直線が交わらないためと、ポリゴンＡに含まれるポリゴンを考える必要のないようにするためである。その直線とポリゴンＢが交わるとき、ポリゴンＢの最初に交わる線分（線分Ｃとする）が上向きのときはポリゴンＢはポリゴンＡを含む。なぜならもしも含まないとしたらポリゴンＢは必ず線分Ｃより手前で直線と交点をもつはずであり（図２８参照）、そうしたら線分Ｃはもはや最初の線分ではなくなり矛盾が起こる。つまりポリゴンＢはポリゴンＡを含むことが証明できた。
ポリゴンＢの線分のうち直線を最初に交わる線分が下向きのときはポリゴンＡとポリゴンＢは包含関係にない。証明は上記と同様である。
このようにして直線を伸ばしてゆけば、ポリゴンＡを含むすべての図形を見つけ出せる。上記の計算をすべてのポリゴンについておこなえば、すべての包含関係を見つけ出せる。
以上、説明を簡単にするため直線は東方向に取った。これをいずれの方向にとってもいい事は明らかである。さらに曲線であっても折れ線であっても無限遠まで伸びる線であれば差し支えない。いずれの場合であっても、線の伸びる方向に向いて、線分が右から左に横切るならば含まれるのであり、左から右であれば包含関係にない。
すべてのポリゴンを反時計回りにした場合で説明した。当然ながら、すべてのポリゴンを時計回りにした場合も同様な議論ができる。この場合には最初に交わる線分の方向がすべて逆となる。
以上のアルゴリズムは包含関係のプログラム上の判断を容易とする。また、ポリゴン同士の包含関係で議論したが、例えばある点Ｘを含むポリゴンを探し出す時に同じアルゴリズムを使用できる。【００３１】  包含関係がすべて得られたなら、最外殼ポリゴンから順に実ポリゴン、穴ポリゴン、実ポリゴン、、、、の順にポリゴンを分類できる。
実ポリゴンは反時計回りに順序を選ぶ。それに対して穴ポリゴンは時計回りとする。このようにおくとポリゴンの分裂、統合などの場合のアルゴリズムが容易となる。【００３２】  プログラム上で、ある点Ｐに作用する範囲内にある点および線分を選ぶ場合において、Ｐから十分遠い点および線分であっても判断する必要がある。それは高々プログラム中の一行に対応するものである（図２９参照）。しかしデータの総点数がＭである場合、ある点において判断する回数はおおよそＭのオーダーの数である。これを全体でＭ個の点について行うからＭ２回の判断を行うこととなる。つまり総点数が多い場合には計算時間はＭ２で増す。
そこで、図形の分割および切出しをおこなう。あらかじめ元の大きな図形を、適当な大きさの図形に切出しておく。その切出した図形のそれぞれについて計算する（図３０参照）。必要ならば、計算結果を統合する。
切出した図形の数をｍとする。一個の図形の切出しに要する時間はおおよそＭに比例するから、ｍ個を切出すにはｍＭの時間を要する。切出した図形にはおおよそＭ／ｍ個の頂点があるから、一個の切出した図形の計算時間は（Ｍ／ｍ）２であり、それらがｍ個あるからＭ２／ｍとなる。計算時間はおおよそ両者の和で
ｍＭ＋Ｍ２／ｍ                                                        （１０）
となる。ここでｍとして上式の最小値にとるとｍ＝ＳＱＲＴ（Ｍ）となる。そうすると上式はＭ３／２に比例する。つまり計算時間をＭ２からＭ３／２とすることができる。【００３３】  大域的プロセスシミュレータまたは補正プログラムである以上、図形の分割のとき、少なくとも作用距離分の重複が必要である（図３０参照）。即ち糊代が必要である。【００３４】  補正は製造プロセスを終えた後の図形が設計図に等しいか或いは最適であるように図形を変更することである。それは、製造プロセスシミュレータの時間方向を逆にしたものに相当する。そこで時間方向を逆にすることにより補正プログラムができる。
【発明の効果】
【００３５】  大域的エッチングシミュレータを完成させ、広い範囲の複雑なパターンがエッチングにより変化するさまを計算し、実現象と対比可能とした。
また時間進行を逆転することにより、設計値からの補正を計算できるようになった。
図形の切出しをおこない、そのそれぞれについて計算を行うことにより、計算時間を短縮できた。
【実施例１】
【００３６】  実際のシミュレーションの前に、実験データよりαとＳｆを決める必要がある。以下では標準モデルを例に説明する。実験データとしては図１５のような線間すきまがｄｉであり、十分長い（Ｒｅに比べて十分長い）平面構造において、時間ｔにおけるエッチング量Ｅｉを実験データから求めておく。こうした実験データ（ｄｉ，Ｅｉ）がｎ個あるとして、
Ｌ（α  ｔ，Ｒｅ）＝Σ（Ｅｉ−α  ｔ  Ｓｆ（ｄｉ，Ｒｅ））２          （１１）
を最小にするようにαｔとＲｅを決定する（最小２乗法）。式（１１）で合計Σはｉについて１からｎまで合計したものである。Ｌをαについて偏微分したものを０とおくことによりαｔが簡単にＳｆなどにより表現できる。その求めたαｔを式（１１）に代入する。そうしてＬが最小となるときのＲｅの値を求める。Ｌの最小値の求め方は、（１）Ｒｅについてスキャンする、（２）ＬをＲｅについて偏微分したものを０とする方程式に上記αｔをＥｉとＳｆにより表現したものを代入して方程式を数値計算により解く、などの方法が考えられる。標準モデルではＳｆはパラメータとしてＲｅのみが含まれていた。他のモデルにおいても同様な手法を用いることができる。
【実施例２】
【００３７】  図３１に断面エッチング形状シミュレータの計算結果を示す。本図においては線間すきまからのエッチング液により配線層がエッチングされていく様子を示している。断面エッチングシミュレータは、ｙ方向に十分長い場合に有効である。十分に長いとは例えば標準モデルでは２・Ｒｅより長いときをいう。【００３８】  ストリングモデルを使用している。断面形状は
（ｘ０，ｚ０），（ｘ１，ｚ１），．．．．．．．．，（ｘｎ，ｚｎ）      （１２）
により表現される。
エッチング量一定の原則により丸めの効果がはいる。ただしｘ方向のエッチング量はｚ方向のエッチング量に比べてκ倍だけ小さいので頂点の移動量をベクトル（ΔＥｘ，ΔＥｚ）としたときにΔＥｚにはκが係数としてかけられている。極端な場合としてκが０のときはｘ方向のエッチングが一切すすまないという理想的な異方性エッチングに対応する。断面エッチングシミュレータにおいてモデルの選択はそれ程重要ではない。断面の形状に関してはモデルの選択にかかわらずほぼ同様な結果を与える。
【実施例３】
【００３９】  大域的χ−ｙ平面シミュレータの計算例を図３２に示す。本図では二つの正方形パターンと穴がふたつあるカギ型のパターンのエッチングによる形状の時間変化を追った。等高線のように記された線は各時刻におけるパターンの形状である。最後時には左側の正方形パターンのみが残っている。他のパターンは消滅している。右側カギ型のパターンにある二つの穴は最初あまりエッチングが進まない。しかし外とつながった時から急にエッチング量が増すことが見て取れる。【００４０】  大域的ｘ−ｙ平面シミュレータは（１）Ｓｆ計算、（２）エッチング量計算、（３）パターン整形  の順で３ステップを終えると次の時刻（ｔ＋Δｔ）での形状を計算する（図３３）。この手順を多数回繰返す。以下各ステップを詳述する。【００４１】（１）Ｓｆ計算
標準モデルの場合半径Ｒｅの円内にある反応粒子の分布領域を角度方向に積分する。他のモデルでも同様の計算を行う。Ｓｆの積分計算はポリゴン上の各点について行うため時間を要する。したがって毎回Ｓｆを計算するオプションのほか数回に一度しか行わないオプションもいれておく。
エッチング工程が標準モデルでは説明し切れないほど複雑な特性をもつ場合は用意してある３種類のモデルの適当な組合せを用いる。【００４２】（２）エッチング量計算
Ｓｆを計算したら式（１）を用いてエッチング量を計算できる。エッチングの方向はポリゴンのなす線分の方向に対して左向き（図３４）となる。そうすると実ポリゴンに対してはエッチングが常にそのポリゴンを縮小する方向に働き、穴ポリゴンに対しては拡大する方向となる。
設計値を補正するプログラムの場合には逆向きにとる。
各点の移動距離は式（３）より求められる。このようにして  ｔ＋Δｔでの（ｘｔ，ｙｔ）を求めることができる。ただしここでの移動は水平方向であってκがかけられていることに注意を要する。
また底までエッチング層が取除かれていない場合には  ｔ＋Δｔでのｚを計算する。底まで取除かれている場合には（ｘｂ，ｙｂ）を計算する。（ｘｂ，ｙｂ）の計算の仕方にはいくつかの方法が考えられる。
ひとつは、断面シミュレータの結果を用いる方法である。この方法ではあらかじめ断面シミュレータにより（ｘｔ，ｙｔ）と（ｘｂ，ｙｂ）の関係をもとめておき、関係を使って（ｘｔ，ｙｔ）から（ｘｂ，ｙｂ）を求める。この方法は２次元ベクトル（ｘｔ−ｘｂ，ｙｔ−ｙｂ）がパターンの形状などにあまり依存しない場合に有効である。
一方、（ｘｂ，ｙｂ）を（ｘｔ，ｙｔ）とは別個に計算する方法もある。【００４３】（３）ポリゴン整形
大域的平面シミュレータはポリゴンの変化を計算する。これはストリングモデルであり、このモデルに特有な問題はすべて解決しなければならない。それらはすでに述べたもののほか、ねじれ、パターンの消滅などがある。それらのいずれの場合も実ポリゴンには反時計回り、穴ポリゴンには時計回りとしたことによりアルゴリズムを簡単化できる。【００４４】  計算においては、図形の切出しと切出した図形ごとに計算を行う。こうすることで計算速度を１０倍速めることができる。
【産業上の利用可能性】
【００４５】  配線基盤のエッチング工程などにおいて、エッチングにより所定の配線構造がえられなくて再度リソグラフィーマスクから作り直すことは頻発する。本シミュレータはリソグラフィーマスクからあらかじめできあがった配線構造を予測することに使用できる。半導体製造におけるエッチング工程の評価にも適用できる。
また、設計値からの補正を自動的に計算できる。従来、人力でやっていた部分を計算機に行わせることができる。
【図面の簡単な説明】
【００４６】
【図１】断面での配線工程。（１）配線層を形成する。（２）レジストを塗布する。（３）レジストをリソグラフィー工程によりパターン形成する。（４）エッチング工程により配線を形成する。（５）残ったレジストを除く。
【図２】平面での配線工程。
【図３】ポリゴンのデータの定義。
【図４】シミュレーションにおける微細な部分の形状を鳥瞰図によって示した。
【図５】パターンのくびれの例。
【図６】穴パターンと穴パターンの一体化例。
【図７】実パターンと穴パターンの一体化例。
【図８】３次元の座標系。
【図９】シミュレーションにおける微細な部分の形状の鳥瞰図。
【図１０】角度が１８０度より小さい場合。平面上でエッチングされる物質の量が曲面上でも同量エッチングされなければならないとする原則より導かれる丸めの効果を説明した。
【図１１】角度が１８０度より大きい場合。平面上でエッチングされる物質の量が曲面上でも同量エッチングされなければならないとする原則より導かれる丸めの効果を説明した。
【図１２】二面でのエッチング量が異なる場合。
【図１３】二面でのエッチング量が異なる場合の点Ｐの移動距離の求め方。
【図１４】標準モデルにおける、半無限すき間の場合のＳｆの求め方。
【図１５】標準モデルにおける、距離ｄのすき間の場合のＳｆの求め方。
【図１６】標準モデルにおける、線間すき間とエッチング量の関係。
【図１７】標準モデルにおいて、レジストが不定形状の場合の有効領域（直接領域）。
【図１８】異方性のある場合における、法線方向の定義。
【図１９】異方性のある場合における、垂直部分の異常えぐれ。
【図２０】標準モデルにおけるＳｆへの寄与率。
【図２１】指数関数モデルにおけるＳｆへの寄与率。
【図２２】不定形状レジストの場合の間接領域。
【図２３】底までエッチングされていない場合の（ｘｔ，ｙｔ）とｚのとり方。
【図２４】底までエッチングされた場合の（ｘｔ，ｙｔ）と（ｘｂ，ｙｂ）のとり方。
【図２５】実ポリゴンの方向（反時計回り）。
【図２６】穴ポリゴンの方向（時計回り）。
【図２７】ポリゴンの面積計算方法。
【図２８】ポリゴンの包含関係を求める方法。
【図２９】数値計算において計算時間が総点数の二乗に比例する部分。
【図３０】図形分割して計算する方法。
【図３１】断面シミュレーション結果。
【図３２】大域的平面シミュレータ結果。
【図３３】シミュレーションのフロー。
【符号の説明】
【００４７】１      レジスト
２      配線層
３      絶縁層または基盤に絶縁層を形成したもの
４      形成された配線
１０    実ポリゴン
１１    穴ポリゴン
２１    プローブとなる直線
３０    作用範囲
３１    間接領域
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
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【図１７】
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【図１８】
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【図１９】
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【図２０】
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【図２１】
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【図２２】
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【図２３】
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【図２４】
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【図２５】
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【図２６】
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【図２７】
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【図２８】
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【図２９】
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【図３０】
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【図３１】
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【図３２】
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【図３３】
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