(57)【要約】【課題】低域通過、高域通過、帯域阻止、帯域通過、全通過、その変換バージョン、及び、他のタイプのシステムを含む、さまざまなタイプのシステムの解析に利用することが可能な方法を提供する。【解決手段】電気回路網（１０）の群遅延と位相応答の少なくとも一方を計算するため、測定データ（１０３）と、電気回路網の（ａ）少なくとも１つの極と（ｂ）少なくとも１つのゼロの少なくとも一方の位置（例えば、近似位置）に関する情報を含むモデル（１０９）を利用する。実施態様によれば、解析を受ける電気回路網に関する振幅測定データが既知の第１の周波数領域と振幅測定データが未知の第２の周波数領域との間における遷移について、遷移区間が求められる。遷移領域は、第２の周波数領域における電気回路網の群遅延に対する影響を正確に計算するために利用される。【選択図】図１
2005322241.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
電気回路網に関する（ａ）少なくとも１つの極及び（ｂ）少なくとも１つのゼロのうちの少なくとも一方の位置に関する情報を含むモデル及び測定データを利用して、前記電気回路網の群遅延及び位相応答の少なくとも一方を計算するステップを有する、方法。
【請求項２】
位置に関する前記情報が、前記電気回路網の公称設計に関する（ａ）少なくとも１つの極及び（ｂ）少なくとも１つのゼロのうちの前記少なくとも一方の位置に関する情報である、請求項１に記載の方法。
【請求項３】
群遅延及び位相応答の少なくとも一方を計算するステップに、
前記電気回路網について、前記測定データが既知である、第１の周波数範囲に関する群遅延への第１の影響を計算するステップと、
前記第１の周波数範囲と前記モデルが利用される周波数範囲の間における周波数遷移領域を決定するステップと、
前記電気回路網について、前記遷移領域に関する群遅延への第２の影響を計算するステップが含まれる、請求項１に記載の方法。
【請求項４】
群遅延及び位相応答の少なくとも一方を計算するステップに、
前記電気回路網について、前記測定データが既知である、第１の周波数範囲に関する群遅延への第１の影響を計算するステップが含まれる、請求項１に記載の方法。
【請求項５】
前記モデルを利用するステップに、
前記モデルを利用して、前記測定データが未知である周波数範囲に関する群遅延への第２の影響を計算するステップが含まれる、請求項４に記載の方法。
【請求項６】
解析を受ける電気回路網に関する振幅測定データが既知の第１の周波数領域と、振幅測定データが未知の第２の周波数領域との間における遷移について、遷移区間を決定するステップと、
前記決定された遷移区間を用いて、前記第２の周波数領域における前記電気回路網の群遅延に対する第１の影響を計算するステップが含まれている、方法。
【請求項７】
第２の領域に関する群遅延への前記第１の影響を計算するステップに、前記第２の領域について３次元スプライン当てはめを利用するステップが含まれる、請求項６に記載の方法。
【請求項８】
少なくとも第１の周波数範囲について電気回路網に関する振幅測定データを受信するためのコードと、
少なくとも第１の周波数範囲について群遅延に対する第１の影響を計算するためのコードと、
前記電気回路網に関して既知の（ａ）少なくとも１つのゼロと（ｂ）少なくとも１つの極のうちの少なくとも一方の位置に関する情報を受信するコードと、
前記受信位置情報を利用して、前記少なくとも第１の周波数範囲外にある少なくとも第２の周波数範囲について、群遅延に対する第２の影響を計算するためのコードと、を具備する、コンピュータ可読媒体に記憶されたコンピュータ実行可能ソフトウェア・コード。
【請求項９】
非最小位相電気回路網について、群遅延と位相応答の少なくとも一方を求める働きが可能な論理回路を具備する、システム。
【請求項１０】
前記非最小位相電気回路網について、少なくとも第１の周波数範囲に関する振幅測定データを受信する働きが可能な論理回路と、
前記少なくとも第１の周波数範囲に関する初期群遅延への第１の影響を計算する働きが可能な論理回路と、
振幅測定データを受信しない少なくとも第２の周波数範囲をモデル化するためのシステム・モデルを受信する働きをすることが可能な論理回路と、
前記少なくとも第２の周波数範囲に関する初期群遅延への第２の影響を計算する働きが可能な論理回路と、
前記計算された第１の影響と前記第２の影響の和を求めて、初期群遅延を計算する働きが可能な論理回路と、
前記初期群遅延から初期位相応答を計算する働きが可能な論理回路と、
前記初期位相応答に対する調整を計算して、前記非最小位相系に関する位相応答を求める働きが可能な論理回路と、をさらに具備する、請求項９に記載のシステム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、一般に、電気回路網の解析に関するものであり、とりわけ、振幅（すなわち「大きさ」）応答データから電気回路網に関する群遅延及び／または位相応答を計算するためのシステム及び方法に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
複数の相互接続電気コンポーネントのような、さまざまなタイプの電気回路網が知られている。典型的なコンポーネントには、制限するわけではないが、抵抗器、コンデンサ、インダクタ、半導体、集積回路、及び、伝送線路が含まれている。これらの回路網の多くは、線形システム理論を利用してうまく設計し、解析することが可能である。情報を伝達するための電気回路網が急増するにつれて、例えば、こうした電気回路網の性能を向上させる方法を突き止めるため、入力信号に対する電気回路網の応答を解析することが望ましい場合が多くなる。例えば、電気回路網の群遅延及び／または位相応答を計算するのが望ましい場合が多い。当該技術において周知のように、「群遅延」は、周波数に対する位相の導関数である。電気回路網のこうした応答が算定されると、電気回路網の望ましくない応答を補償（または軽減）するための措置を講じることが可能になる。例えば、結果として、特定の入力信号に関して所望の応答を出力する電気回路網が得られるようなやり方で、こうした入力信号を操作することが可能である（電気回路網に対してこうした入力信号を供給する前に）。
【０００３】
一例を挙げると、周波数が線形ではない電気回路網における位相応答部分の確認が望ましい可能性がある。一般に、周波数に対する線形位相は、時間遅延に相当するが、これは、電気回路網に関して補正が必要なものを識別することに関して重要ではない場合が多い。しかし、電気回路網において、周波数と線形ではない移相が生じると、それによって、回路網を通過する信号に悪影響を及ぼす可能性がある（例えば、望ましくない応答を生じる）。今後は、周波数と線形ではない移相は、「非線形移相」と呼ぶことにする。この文脈において用いられる「非線形」という用語は、電気回路網が非線形システムでなければならないということを表わすつもりのものではない。従って、こうした非線形移相が判明すると、あらかじめ補正することが可能である。例えば、電気回路網の非線形移相が判明すると、利用可能なディジタル・フィルタを用いて、電気回路網によって信号が送られる前に、容易に移相を除去または補償することが可能である。
【０００４】
一般に、電気回路網の解析に関するさまざまなタイプの操作を実施するための回路網解析器が知られている。回路網解析器は、高価な装置であり、とりわけ、高い正確度をもたらす装置である。電気回路網の振幅データ測定には、比較的安価な装置を用いることができるので、測定された振幅（すなわち「大きさ」）データから回路網を解析する（例えば、群遅延及び／または位相応答を計算する）のが望ましい場合が多い。例えば、レベル検出器またはスペクトル・アナライザ（または他の装置）を利用して、電気回路網の周波数応答の振幅を測定することが可能である。
【０００５】
先行技術文献において、振幅データから群遅延を計算するための技法が提案されている（例えば、非特許文献１参照）。そのタイトルのように、非特許文献１において提案されている技法では、ヒルベルト変換が利用される。一般に、ヒルベルト変換は、線形システムの周波数応答に関する実数部と虚数部との数学的関係である。ヒルベルト変換によれば、ある程度は、線形システムの振幅応答と位相応答との数学的関係も得られる。理論的には、振幅応答だけが与えられれば、ヒルベルト変換を利用して、線形システムの位相応答を計算することが可能である。従来、この計算を実施する試みは、決して成功と言えたものではなかった。ヒルベルト変換の計算には、積分方程式（定積分）の計算が必要とされる。この計算には、現実世界では決して得られない、全周波数（０〜無限）の振幅応答データが必要になる。さらに、被積分関数の性質によって、標準数値積分技法は、結果として、許容できない誤差を生じることになる。
【０００６】
上述の非特許文献１では、群遅延の計算技法が提案されている。非特許文献１では、そうするのに、測定振幅データが得られる周波数範囲に対するヒルベルト変換の定積分を計算するための正確な技法が提案されている。これには、測定データに対する３次スプラインの当てはめを行い、データを数値的に直接積分しようとするのではなく、スプライン方程式に対してヒルベルト積分の計算を行うことが必要になる。非特許文献１には、測定データが得られない周波数では、極めて大まかな数学的近似に置き換えることも提案されている。測定データが得られない全周波数において、概算モデル(rough model)に対して解析積分が利用される。
【０００７】
非特許文献１に提案されている上述の技法によれば、測定データの範囲外の周波数における振幅データを生成するために用いられる概算モデルが得られる。この概算モデルは、多くの場合、うまく適合しない。例えば、この概算モデルは、１度及びそれを上回る正確度が所望される場合には不十分である。さらに、非特許文献１において提案されているアルゴリズムでは、電気回路網が、当該技術における一般的な技法によって設計された帯域通過フィルタであるものと想定されており、従って、低域通過システムが混合によって周波数変換を受けた場合に、結果として生じる帯域通過回路網（今後は「変換帯域通過」(translated bandpass)システムと呼ばれる）に対応することはできない。結局、従来のアルゴリズムでは、非特許文献１が関係するタイプの帯域通過フィルタに最適なモデルは得られない。
【非特許文献１】Ｌｉｏｕ及びＫｕｒｔｈ著、「Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ  ｏｆ  Ｇｒｏｕｐ  Ｄｅｌａｙ  ｆｒｏｍ  Ａｔｔｅｎｕａｔｉｏｎ  Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ  ｖｉａ  Ｈｉｌｂｅｒｔ  Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ  ａｎｄ  Ｓｐｌｉｎｅ  Ｆｕｎｃｔｉｏｎ  ａｎｄ  Ｉｔｓ  Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ  ｔｏ  Ｆｉｌｔｅｒ  Ｄｅｓｉｇｎ」、ＩＥＥＥ  Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ  ｏｎ  Ｃｉｒｃｕｉｔｓ  ａｎｄ  Ｓｙｓｔｅｍｓ、１９７５年９月、ＣＡＳ−２２巻、第９号
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００８】
このように、さまざまなタイプの電気回路網のシステムの解析に利用することが可能な技法に対するニーズがある。
【課題を解決するための手段】
【０００９】
本明細書に解説の実施態様によれば、電気回路網を解析するための新規の技法が得られる。本明細書では、既知の振幅測定値から、電気回路網の群遅延、所望の場合には、位相応答をより正確に計算できるようにするいくつかの実施態様が提示される。例えば、本明細書に提示されるいくつかの実施態様の技法は、１度及びそれを上回る正確度の結果が得られるように示されている。さらに、限定されることはないが、低域通過、高域通過、帯域阻止、帯域通過、全通過、その変換バージョン、及び、他のタイプのシステムを含む、さまざまなタイプのシステムの解析に利用することが可能な技法が提示される。
【００１０】
電気回路網の群遅延と位相応答の少なくとも一方を計算するため、測定データと、電気回路網の（ａ）少なくとも１つの極と（ｂ）少なくとも１つのゼロの少なくとも一方の位置（例えば、近似位置）に関する情報を含むモデルを利用する、少なくとも１つの実施態様が提示される。極及び／またはゼロの位置に関するこの情報を含むこうしたモデルを利用することによって、計算される群遅延及び／または位相応答の正確度が高まることになる。
【００１１】
いくつかの実施態様によれば、解析を受ける電気回路網に関する振幅測定データが既知の第１の周波数領域と振幅測定データが未知の第２の周波数領域との間における遷移について、遷移区間が求められる。遷移領域は、第２の周波数領域における電気回路網の群遅延に対する影響を正確に計算するために利用される。
【００１２】
本明細書で提示されるさまざまな実施態様は、ハードウェアとして、コンピュータ可読媒体に記憶されたコンピュータ実行可能ソフトウェア・コードとして、及び／または、それらの組合せとして実施することが可能である。例えば、少なくとも第１の周波数範囲について電気回路網に関する振幅測定データを受信するためのコード、及び、少なくとも第１の周波数範囲について群遅延に対する第１の影響を計算するためのコードを含む、コンピュータ実行可能ソフトウェア・コードを実施することが可能である。ソフトウェアには、さらに、電気回路網について既知のゼロと極の位置に関する情報を受信するためのコード、及び、ゼロと極の位置を利用して、少なくとも第１の周波数範囲外にある少なくとも第２の周波数範囲について、群遅延に対する第２の影響を計算するためのコードを含むことが可能である。
【００１３】
実施態様の少なくとも１つによれば、解析される電気回路網について、振幅測定データが既知の第１の周波数範囲に関して、群遅延に対する第１の影響が計算される。さらに、電気回路網について、振幅測定データが既知ではないの第２の周波数範囲に関して、群遅延に対する第２の影響が計算されるが、ここで、計算される第２の影響の第１の部分は、第１の周波数範囲から第２の周波数範囲への遷移領域に対応する。
【００１４】
さらに、非最小位相電気回路網に関する群遅延及び／または位相応答を求めるためのいくつかの実施態様も提示される。非特許文献１の技法のような、ヒルベルト変換に基づく群遅延を計算する従来の技法は、最小位相系への適用だけに限定されるが、本明細書では、非最小位相電気回路網に関する群遅延及び／または位相応答を計算するための技法が提示される。
【００１５】
上記は、後続する本発明の詳細な説明をよりしっかりと理解できるようにするため、本発明の特徴及び技術的利点に関するかなり大まかな概要を説明したものである。本発明の請求項の内容をなす本発明のその他の特徴及び利点については、後述することにする。当然明らかなように、開示の概念及び特定の実施態様は、本発明の同じ目的を実施するための他の構造の修正または設計の基礎として容易に利用することが可能である。やはり当然明らかなように、こうした均等の構成は、付属の請求項に記載の本発明から逸脱するものではない。さらなる目的及び利点と共に、その構成及び動作方法の両方に関して、本発明の特徴を示すものと確信する新規の特徴については、添付の図と関連づけて検討すれば、以下の説明からより明確に理解されるであろう。しかし、図のそれぞれが、例証及び説明だけを目的として提示されたものであり、本発明の限界の規定を意図したものではないという点は明確に理解しておくべきである。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１６】
本発明をより完全に理解するため、添付の図面に関連してなされる以下の説明を参照されたい。
【００１７】
本発明の実施態様によれば、電気回路網の解析システム及び方法が得られる。例えば、電気回路網の群遅延、所望の場合には、位相応答を計算するためのさまざまな技法が得られる。すなわち、こうした技法によって、電気回路網の振幅測定結果から電気回路網の群遅延、所望の場合には、位相応答を正確に計算することが可能になる。これは、比較的安価な装置を用いて、振幅測定値を得ることが可能であり、本明細書においてさらに解説されることになる各種技法に従って、振幅測定結果から群遅延及び位相情報を引き出すことができるので、有利である。
【００１８】
非特許文献１において提案されているように、ヒルベルト変換を利用して、振幅測定結果から群遅延を計算することが可能である。上述のように、ヒルベルト変換の計算には、積分方程式（定積分）の計算を伴うが、これには、全周波数（０〜無限）における振幅応答データが必要になる。現実世界では、この全周波数範囲（０〜無限）にわたる振幅応答測定データが得られないのは明らかである。従って、測定データが未知の周波数範囲について計算するためのシステム・モデルを利用することが可能である。
【００１９】
さらに後述するように、ヒルベルト変換を利用して、群遅延を計算するいくつかの実施態様が提示されるが、この場合、システムのモデル化部分に関する計算の正確度が改善される（例えば、非特許文献１において用いられている概算モデルに対して）。すなわち、振幅測定データが未知の周波数範囲（電気回路網のモデル化部分）に関する計算の正確度を高め、それによって、さらに、全群遅延に関する正確度を高めるための技法が得られる。さらにまた、この結果として、群遅延を利用して、さらに位相応答も計算する場合には、こうした位相応答に関する正確度が向上することになる。一般に、測定データが得られる周波数においてのみ群遅延または位相応答を計算するのが望ましいが、この技法を用いて、他の周波数における群遅延または位相応答を推定する妨げになるものは何もない（他の周波数に対するこうした適用において、誤差が増加する可能性はあるが）。
【００２０】
いくつかの実施態様では、評価を受ける電気回路網の設計のゼロ及び極の位置（例えば、近似位置）に関する知識が既知のものであれば、この情報は、振幅測定データが未知の周波数範囲（システムのモデル化部分）について、群遅延に対する影響を計算するのに有効に利用される。このように、ゼロ及び極の位置に関するこうした情報は、振幅測定データが未知のモデル化周波数領域について、群遅延への対応する影響を正確に計算するため、システム・モデルに取り入れることが可能である。従って、ゼロ及び極の位置に関するこうした情報を利用して、非特許文献１の概算システム・モデルのような先行システム・モデルよりも正確な、群遅延、及び、所望の場合には、位相応答の計算に用いられるシステム・モデルが作成される。
【００２１】
従って、実施態様の１つによれば、電気回路網の公称設計に関する既知の情報を利用して、測定振幅データから電気回路網に関する群遅延を正確に計算するための第１の技法が得られる。すなわち、極とゼロの位置（例えば、それらの近似位置）に関する情報が、電気回路網の公称設計について既知のものである場合、この情報は、計算群遅延の正確度を向上させ、それによって、さらに、位相応答が所望される場合には位相応答の正確度を向上させるために利用される。当該技術において周知のように、「ゼロ」（または「ゼロ周波数」）は、回路網を励起すると、ゼロ出力となる周波数を表わし、逆に、「極」（または「極周波数」）は、回路網を励起すると、無限出力を生じることになる周波数を表わしている。従って、こうしたゼロ及び極の「位置」は、電気回路網に関してこうしたゼロ及び極が存在する特定周波数点を表わしている。
【００２２】
さらに、いくつかの実施態様では、ゼロ及び極の位置に関する知識が、評価を受ける電気回路網設計について既知のものであるか否かにかかわらず、振幅測定データが既知の周波数から振幅測定データが未知の周波数に遷移する周波数領域に関して、計算の正確度を向上させることが可能なように、遷移区間が設定される。従って、こうした遷移区間を利用すると、非特許文献１の技法のような、振幅測定結果から群遅延を計算するための先行技法以上に、全計算群遅延の正確度の向上が得られる。
【００２３】
従って、もう１つの実施態様では、計算群遅延の正確度を向上させるための第２の技法が得られる。こうした第２の技法は、極及びゼロの位置が解析を受ける電気回路網の公称設計に関して未知の場合に利用することもできるし、あるいは、いくつかの実施例では、公称設計の極及びゼロの位置に関する情報を含むシステム・モデルと並行して、利用することも可能である。この第２の技法では、測定振幅データが既知の周波数領域から測定振幅データが未知の周波数領域への平滑な遷移を可能にするために、遷移区間が利用される。換言すれば、この遷移区間は、対応する振幅測定データを用いて群遅延に対する影響を計算することが可能な第１の周波数領域と、システム・モデル（例えば、上述の第１の技法におけるように、極とゼロの位置に関する情報を含むシステム・モデル、または、非特許文献１で提案されている概算システム・モデル等）に基づいて群遅延に対する影響を計算することが可能な第２の周波数領域との間の周波数領域について、群遅延に対する影響を計算するために利用される。遷移区間をこのように利用することによって、非特許文献１の技法のような先行技法に対して、計算群遅延の正確度が向上することになる。
【００２４】
実施態様の１つでは、解析される電気回路網の公称設計に関して、極及びゼロの位置が既知であるか否かを判定し、上述の第１及び第２の技法のうち、適用するのに適したほうを判定する技法が得られる。例えば、公称設計に関して、極及びゼロの位置に関する情報が既知のものであれば、こうした情報を含むシステム・モデルを特定し、こうしたシステム・モデルを利用して、解析を受ける電気回路網について、振幅測定データが未知の周波数領域に関する群遅延への影響を計算することが可能である。いくつかの実施態様では、極及びゼロの位置が既知の場合、遷移区間技法の利用を省くことが可能である。すなわち、遷移区間技法は、電気回路網について、極及びゼロの位置に関する知識が未知の場合の状況における利用に割り当てるか（例えば、振幅測定データが未知の周波数領域について、群遅延への影響を計算するために用いられる概算システム・モデルの正確度を向上させるため）、または、公称位置と実際位置との差が大きい場合の利用に割り当てることが可能である。しかし、他のいくつかの実施態様では、極及びゼロの位置に関する情報を備えた、より正確なシステム・モデルが開発される状況においても、遷移区間技法を利用することが可能である。
【００２５】
さらに、本明細書では、低域通過、高域通過、全通過、帯域阻止、帯域通過（変換帯域通過を含む）、及び、他のタイプのシステムを含む、さまざまな異なるタイプの電気回路網の任意の１つについて、群遅延、及び、所望の場合には、位相応答を計算できるようにするための上述の技法の実施例が提示される。フィルタ設計の分野では、「ゼロ」及び「無限」における「透過ゼロ」の概念を利用する場合が多い。これらの概念は、それぞれがゼロ周波数に位置する、ゼロと極にそれぞれ対応する。非特許文献１において用いられる概算システム・モデルは、全て、ゼロ周波数に位置する、「β」極及び「α」ゼロを備えたシステムに相当する。非特許文献１では、暗示された極／ゼロ・モデルに気づかなかったか、あるいは、おそらく、その特徴を重要と考えなかったように思われる。この事実を認識し、アルゴリズムを一般化して、任意の位置におけるゼロと極の両方を考慮することにより、この技法を拡張して、さらに後述するように、他の多くのタイプのシステム（変換帯域通過システムのような）を解析することが可能になる。この技法によって、「全通過」システムを解析することさえ可能になる。例えば、「β」極が＋ｊωｃに位置し、別の「β」極が−ｊωｃに位置するか、または、位置しない、モデルを生成することによって、変換帯域通過システムに近似させることが可能である。ここで、ωｃは帯域通過システムの中心周波数である。同様に、「α」が、全て、システムの中心周波数に位置する、帯域阻止システムをモデル化することが可能である。他のタイプのシステムに適応する方法の詳細については、さらに後述する。
【００２６】
非特許文献１において提案された測定データへの拡張が、全て、ゼロ周波数に位置する、いくつかの極及びゼロを含むシステム・モデルに相当することを明らかにすることが可能である。用いられるゼロ及び極の数は、それぞれ、非特許文献１に定義されたパラメータα及びβに対応する。これによって、数タイプの帯域通過システムに関する概算モデルが得られるが、変換帯域通過、帯域阻止、または、全通過といった他のシステムにはうまく働かない。実際、非特許文献１の技法は、とりわけ関心の深いタイプの帯域通過システムにも適合しない。例えば、非特許文献１において設計されているタイプの通過帯域フィルタには、ゼロ周波数にゼロが含まれているが、フィルタ通過帯域の中心付近に全ての極が集合しており、ゼロ周波数における極を備えたモデルは次善の評価になる。非特許文献１の技法を拡張する観点からすると、変換通過帯域システムを解析するモデルの改良方法が明らかではない。本明細書に提示のシステム・モデルの観点に立つと、ゼロ周波数における極群を＋ｊω軸に沿って帯域通過システムの中心周波数までシフトさせることを提案するのは論理的である。この方法を用いて得られる結果は、本明細書に含まれている（図６Ａ参照）。こうして作成されたシステム・モデルは、物理的に実現可能なシステムを表わすものではない。というのも、それには、共役対には生じない複素極が含まれているためである。この問題は、測定データを拡張する非特許文献１の観点を利用すると、明白にはならないが、本明細書において提案されるシステム・モデルの観点からは容易に明らかになる。後者の観点に基づくと、変換帯域通過システムに関するより正確な概算モデルは、全て、ｊω軸上における帯域通過システムの中心周波数に位置する、いくつかの複素共役極対を備えると結論づけることが可能である。さらに、このモデルには、いくつかのゼロも含まれており、その位置は、後述する技法を用いて計算される。本明細書の他のどこかに記載されているように、周波数変換量が低域通過システムの帯域幅と比べて大きい場合、共役極及び関連するゼロを加える必要はない。同様の推論、及び、一般に、低域通過システムに用いられる数学的変換に関する知識（例えば、これらの変換例について解説した、Ａｎｄｒｅａｓ  Ａｎｔｏｎｉｏｕ著、「Ｄｉｇｉｔａｌ  Ｆｉｌｔｅｒｓ：Ａｎａｌｙｓｉｓ  ａｎｄ  Ｄｅｓｉｇｎ」、ＩＳＢＮ  ０−０７−００２１１７−１、ＭｃＧｒａｗ  Ｈｉｌｌ社、１９７６年版権登録、第５章、第７節参照）を利用して、他の概算モデルを設計することが可能である。帯域阻止システムは、阻止帯域の中心に位置する１つ以上のゼロまたはゼロの共役対(conjugate pairs of zeros)によってモデル化される。
【００２７】
いくつかの実施態様によれば、電気回路網について得られた測定振幅データの領域に関して、群遅延に対する第１の影響（τ１）が求められる。測定振幅データの範囲外の領域に関して、群遅延に対する第２の影響（τ２）が求められる。次に、第１と第２の影響の和を求めることによって、全群遅延（τ）を算定することが可能である。第２の影響（τ２）は測定振幅データの範囲外の領域に関するものであるため、そのシステムのモデルを利用して、こうした第２の影響（τ２）が求められる。電気回路網の公称設計について極及びゼロの位置に関する情報が既知の場合には、さらに後述するように、この情報を利用して、計算される第２の影響（τ２）の正確度を向上させるために用いられるシステム・モデルを改良することが可能である。
【００２８】
いくつかの実施態様では、計算される第２の影響（τ２）の正確度の向上に用いられる遷移区間が提案される。やはり、こうした遷移区間によれば、振幅測定データが既知の第１の周波数領域から振幅測定データが未知の第２の領域に遷移する区間が平滑になる。すなわち、測定データの範囲外の領域についての、遷移区間に関する群遅延への影響の一部（τ２Ｂ）を計算すると、正確度が向上する。さらに、遷移区間外の測定データの範囲外における領域の一部について、群遅延に対する第２の影響の別の部分（τ２Ａ）が計算される。遷移区間の影響（τ２Ｂ）と、測定データの範囲外の領域の残りの部分の影響（τ２Ａ）の和を求めて、測定データの範囲外の全領域に関する第２の影響（τ２）を計算することができる。
【００２９】
さらに、非最小位相系に関する群遅延及び／または位相応答を求めるためのいくつかの実施態様が提示される。ヒルベルト変換を利用して、振幅測定データに基づいて群遅延及び／または位相応答を求める先行技法は、最小位相系だけにしか役立たなかった。本明細書では、非最小位相系である電気回路網に関する位相応答に対する適正な調整を計算するための技法が提示される。さらに、こうした非最小位相系に関して、群遅延を正確に求めることも可能である（例えば、位相から）。
【００３０】
Ａ．ヒルベルト変換の概要
ヒルベルト変換は周知のところであるが（例えば、Ｍａｔｈｉａｓ  Ｊｏｈａｎｎｓｏｎ、「Ｔｈｅ  Ｈｉｌｖｅｒｔ  Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ」、Ｖａｘｊｏ  Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ、数学／応用数学修士論文参照）、次に、便宜上、ヒルベルト変換の簡単な概要について述べることにする。偶関数及び奇関数のフーリエ変換に関するいくつかの単純な事実を想起すれば、ヒルベルト変換を理解するのは困難ではない（もちろん、下記の概要は、フーリエ変換及びラプラス変換にも等しく当てはまる）。
【００３１】
まず、偶対称関数の定義は、次の通りである。
【００３２】
χ０（ｔ）＝χｅ（−ｔ）
ここで、χｅは偶対称時間関数であり、ｔは時間である。奇対称関数は、次の性質を有している。
【００３３】
χ０（ｔ）＝−χｏ（−ｔ）
ここで、χｏは奇対称時間関数である。
【００３４】
任意の任意関数χ（ｔ）を下記のように偶対称部と奇対称部に分解することが可能である。
【数１】
2005322241.tif 000003
【００３５】
やはり、定義により、次のようになる。
χ（ｔ）＝χｅ（ｔ）＋χｏ（ｔ）
【００３６】
さらに、（ｔ）が因果関係を示すものであると限定される場合（すなわち、ｔ＜０に対して（ｔ）≡０）、下記のように、偶数部だけから時間関数全体を回復することが可能である。
【数２】
2005322241.tif 000004
【００３７】
因果時間関数の偶対称部には因果性がない（因果時間関数全体がゼロである退化の場合を除いて）。ここで、偶時間関数のフーリエ変換が完全に実数であり、奇時間関数のフーリエ変換が純粋に虚数である点を想起されたい。これによって、任意時間関数の偶数部と奇数部をそのフーリエ変換の実数部と虚数部に関連づけることが可能になる。
【数３】
2005322241.tif 000005
【００３８】
ここで、ｊは−１の平方根であり、ωは周波数であり、双方向矢印記号はフーリエ変換対を表わしている。
【００３９】
次に、Ｘ（ｊω）の実数部が得られ、Ｘ（ｔ）が因果関数であることが分っているものと仮定する。
【数４】
2005322241.tif 000006
の逆変換は、偶時間関数χｅ（ｔ）であるので、従って、そのフーリエ変換の実数部からΧ（ｔ）を回復することが可能である。Χ（ｔ）が回復すると、Χ（ｔ）のフーリエ変換を行うことによって、虚数部を含む完全なフーリエ変換が得られる。従って、このプロセスによれば、下記のように、実数部が与えられるだけで、変換の虚数部を回復することが可能になる（やはり、基礎を成す時間関数が因果関係を示すものであると仮定する）。
【数５】
2005322241.tif 000007
【００４０】
上記において判明したように、因果時間関数の場合、フーリエ変換の虚数部は、実数部から回復することが可能である。これでは、まだ、いかにして、大きさから位相が回復されるかについての説明にはならない。これを成し遂げるためには、複素数の対数が必要になる。複素数の自然対数は、その実数部について、複素数の絶対値の対数を有している。対数の虚数部は、複素数の角度に等しい。
【数６】
2005322241.tif 000008
【００４１】
従って、変換Χ（ｊω）の対数をとると、次のようになる。
【数７】
2005322241.tif 000009
【００４２】
ここで、Ｇ（ｊω）は、それ自体の右側が、時間関数ｇ（ｔ）に関連したフーリエ変換とみなすことが可能である。この論考を進める上において、ｇ（ｔ）には、Ｇ（ｊω）の逆変換であるという事実を除いては、実際の物理的意味はない。それは、さらなる目的を達成するための手段にすぎない。この時間関数は、必ずしも因果性があるというわけではないが、当面は、因果性を有するものと仮定しておく（より正確には、因果性を有することを必要とする）。この仮定の下に、次のように、Ｇ（ｊω）の実数部から虚数部を回復することが可能である。
【数８】
2005322241.tif 000010
【００４３】
これは、下記と同じである。
【数９】
2005322241.tif 000011
【００４４】
このプロセスによって、その大きさの対数からＸ（ｊω）の位相が完全に回復されたのは明らかである。しかし、このプロセスでは、Ｇ（ｊω）が因果時間関数の変換であると仮定された。この概要の説明範囲外であるが、この仮定が、Ｘ（ｊω）が最小位相関数であるとする仮定に相当することが明らかになる。
【００４５】
連続時間関数の場合、順変換が後続する逆フーリエ変換を計算して、大きさから位相を回復することが必要になると思われる。ヒルベルト変換は、通常、全く異なるやり方で導き出されるが、結果として単一積分方程式になる。上述の導出によって、ヒルベルト変換の直観的理解が可能になるが、計算目的にとって不都合である。ヒルベルト変換積分の一般的な導出については、Ｍａｔｈｉａｓ  Ｊｏｈａｎｎｓｏｎ、「Ｔｈｅ  Ｈｉｌｖｅｒｔ  Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ」、Ｖａｘｊｏ  Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ、数学／応用数学修士論文を参照されたい。
【数１０】
2005322241.tif 000012
【００４６】
ここで、Ｈは解析されるシステム応答であり、ηは積分の変数である。
【００４７】
これから明らかなように、位相の計算には、全周波数における大きさ情報を得ることが必要になると思われる。被積分関数をさらに詳細に検討すると、積分変数が問題となる周波数とどれほど近いかに関連した、分母における因数（ω−η）によってログ振幅の「重み付け」がなされているという点が注目される。従って、問題となる周波数から遠い周波数における大きさ応答に関する情報は、近くのものよりも重要ではないと思われる。実際、問題となる周波数範囲に近い測定振幅データを利用し、遠く離れた周波数における振幅に関する推定値の代わりにすることが可能である。さらに、測定振幅データが既知の周波数から振幅データが未知の周波数領域への遷移領域は、こうした遷移領域からより遠くなる、振幅データが未知の周波数の場合に比べて、この計算の正確度に及ぼす影響が大きくなる。
【００４８】
Ｂ．ヒルベルト変換の計算の実際の態様
連続時間系に関するヒルベルト変換は、積分によって下記のように定義される。
【数１１】
2005322241.tif 000013
ここで、
【数１２】
2005322241.tif 000014
および
【数１３】
2005322241.tif 000015
は、複素数の実数部と虚数部を求める操作に相当する。Ｇの実数部が、実際には、解析されるシステムのログ振幅 ln｜Ｈ｜であるという点を想起すべきである。通常、実世界で得られるデータは、ある制限された周波数範囲にわたるＨの大きさ（すなわち「振幅」）のサンプルである。サンプル値データに対して数値積分を利用するのは魅力的であるが、これには、２つの重大な欠点がある。
【００４９】
１．数値積分は、被積分関数の分母（ω−η）が極めて小さい周波数範囲では不正確になる。
２．積分範囲が無限であり、測定データの範囲外におけるシステム応答の影響に関する余裕(allowance)がない。
【００５０】
これらの問題は、非特許文献１に記載の下記技法を用いることによって軽減される。
【００５１】
１．測定データに数学モデルを当てはめて（例えば、３次スプラインによって）、解析積分を実施できるようにすることが可能である。結果生じる定積分の計算によって、被積分関数の分母が小さいか、ゼロになる問題領域に関する有意値が得られる。
２．測定データの範囲外におけるシステムの挙動を推定する数学モデルを作成することが可能である。やはり、このモデルの解析積分によって、測定データの範囲外の周波数におけるシステム応答の影響について理に適った値が得られる。
【００５２】
非特許文献１では、アルゴリズム全体にさらなる工夫が加えられる。測定データ範囲外で積分される数学モデルは、上限∞まで積分するのが困難（または不可能）であることが判明する。ｊωに関してＧの導関数をとると、下記のように、実数部がＨの群遅延で、虚数部がログ振幅の導関数である、新しい変換関数が生成される。
【数１４】
2005322241.tif 000016
ここで、τ（ω）は、周波数の関数としての群遅延であり、
【数１５】
2005322241.tif 000017
【００５３】
この変化により、ヒルベルト変換を用いて、ログ振幅の導関数から群遅延を計算することが可能になる。好都合なことには、この変化から生じる定積分は結果的に計算が容易になる。さらに、群遅延が、定積分の解析的評価によって計算されるという事実は、その結果が平滑であり、コンピュータの浮動小数点ライブラリによって許容されるだけの分解能を有することを表わしている。これにより、結果得られる群遅延に対する正確な数値積分を実施して、位相に関する値を回復することが可能になる。
【００５４】
Ｃ．実施態様例
図１には、実施態様の１つによるシステム例が示されている。図１のシステム例には、解析される電気回路網１０が含まれている。こうした電気回路網１０には、例えば、各種のフィルタ、増幅器、ミクサ、伝送線路、及び／または、他の相互接続電気コンポーネント（例えば、コンデンサ、抵抗器、インダクタ、集積回路等）が含まれている。こうした電気回路網の伝達関数は、一般に、Ｈ（ｊω）として表わされるが、ここで、ｊは√−１であり、ωは周波数である。典型的な電気回路網において、Ｈ（ｊω）は、公式
【数１６】
2005322241.tif 000018
によって表わすことが可能であるが、ここで、Ｚ１及びＺ２は回路網のゼロであり、Ｐ１及びＰ２は回路網の極である。これは、もちろん、単なる一例であって、異なる数の極及びゼロとすることが可能であり、従って、極及びゼロの数は、ゼロとある大きい値との間で自由に変化させることが可能である。従って、ｊωが極の１つに等しい場合には、必ず、上記公式の分母はゼロ（０）になり、従って、この分数の結果は、無限になる、また、ｊωがゼロの１つに等しい場合には、必ず、上記公式の分子はゼロになり、従って、この分数の結果はゼロ（０）になる。実際には、極及びゼロをｊω軸上に直接配置することはできないので、実際の応答が、全く同じように、ゼロまたは無限になることはない。
【００５５】
電気回路網１０の解析において、スカラ回路網解析器１１の一部とすることが可能な信号発生器１０１は、電気回路網１０に入力されるさまざまな周波数の入力信号Ｘ（ｊω）を発生する。すなわち、信号発生器１０１は、既知振幅のさまざまな周波数の信号Ｘ（ｊω）を発生する。こうした入力信号に応答して、電気回路網１０は、出力信号Ｙ（ｊω）を出力する。スカラ振幅測定装置１０２が、出力信号Ｙ（ｊω）の振幅（すなわち「大きさ」）を測定する。スカラ振幅測定装置１０２は、例えば、電力計、レベル検出器、または、スペクトル・アナライザとすることが可能である。好都合なことに、比較的安価な装置で、電気回路網１０の応答Ｙ（ｊω）のスカラ振幅を正確に測定することが可能である。
【００５６】
いくつかの実施例では、用いられるシステムが帯域通過システムである。例えば、信号発生器１０１及び電気回路網１０は、場合によっては、単一装置の一部とすることが可能であり、ベースバンド信号発生器（任意波形発生器と呼ばれることもある）、局部発振器、Ｉ／Ｑ変調器、及び、追加ミクサ、フィルタ、増幅器等を含むことが可能なＲＦまたはマイクロ波出力連鎖を含むことが可能である。正確な広帯域被変調信号を発生するため、システムから位相の非線形変動（または、同等に、群遅延の変動）を取り除くべきである。位相変動が既知の場合、ベースバンド信号に予歪を加えて、これらの変動を補正することが可能である。信号発生器のベースバンドまたはＲＦ／マイクロ波セクションにおいて、非線形位相変動を発生させることが可能である。多くの場合、大部分の変動は、ベースバンド・セクションにおいて実施されたアンチエイリアス・フィルタリングに起因するものである。ＲＦ／マイクロ波セクションにおけるフィルタ、増幅器、減衰器、及び、他のコンポーネントも、非線形位相変動の一因となるが、その程度は低い場合が多い。
【００５７】
図１のシステムには、装置１０２のスカラ振幅測定データ１０３を利用し、本明細書に解説の技法を用いて、電気回路網１０の群遅延、及び、所望であれば、位相応答を正確に計算する働きが可能な、計算論理回路１２も含まれている。従って、計算論理回路１２は、スカラ振幅測定装置１０２によって計算されるスカラ振幅測定値１０３を受信して、さらに後述するように、群遅延、及び、所望であれば、位相応答の計算を行う。後述する実施態様の１つによる計算論理回路１２の実施例が、図３に示されている（計算論理回路３０として）。
【００５８】
一般に、スカラ振幅測定値１０３は、Ｈ（ｊω）の大きさである、すなわち、
｜Ｈ（ｊω）｜＝Ｙ（ｊω）のスカラ振幅測定値／｜Ｘ（ｊω）｜
である。もちろん、この測定は、多くの周波数で実施可能であり、結果として、ωのさまざまな値において、｜Ｈ（ｊω）｜の多くのさまざまな値が得られることになる。図１に示すように、この振幅測定情報１０３の配列と、測定周波数１０４の識別子（対応する測定応答を発生した入力信号の周波数）が、計算論理回路１２に入力される。
【００５９】
さらに、群遅延及び／または位相応答の計算が要望される周波数のリスト１１５が、いくつかの実施態様における計算論理回路１２に入力される。さらに、図１の例に示されるように、いくつかの実施態様によれば、極及びゼロの既知の位置に関するリストを計算論理回路１２に供給することが可能になる、回路網１０に関する公称設計情報１１６を得ることが可能である。さらに後述するように、計算論理回路１２は、電気回路網１０について収集された測定データの領域に関して、群遅延に対する第１の影響（τ１）を計算する（図１のブロック１０８）。すなわち、第１の影響（τ１）は、スカラ振幅測定装置１０２によって測定された周波数１０４の範囲について計算される。計算論理回路１２は、さらに、測定データ範囲外の領域について、群遅延に対する第２の影響（τ２）を計算する（図１のブロック１１０）。すなわち、第２の影響（τ２）は、モデル１０９を利用して、回路網のモデル化領域について計算される。次に、第１と第２の影響の和を求めて（図１のブロック１１１）、全群遅延（τ）が算定される。
【００６０】
第２の影響（τ２）（図１のブロック１１０で計算される）は、測定データ範囲外の領域に関するものであるため、電気回路網１０のモデル１０９は、こうした第２の影響（τ２）を求めるために利用される。極及びゼロの位置が電気回路網１０の公称設計に関して既知の場合（図１の既知設計情報１１６におけるように）、さらに後述するように、この情報を利用して、ブロック１１０において計算される第２の影響（τ２）の正確度を高めるために用いられるシステム・モデル１０９を改良することが可能である。場合によっては（例えば、回路網１０に関して情報１１６が得られない）、電気回路網の他の近似情報を利用することが可能である（図２Ｂのオペレーション２１０及び２１１に関連して後述するように）。さらに、後述するいくつかの実施例では、先行技法（非特許文献１の技法のような）に対して計算される第２の影響（τ２）の正確度を高めるため、モデル１０９に用いられる遷移区間が提案される。
【００６１】
図１の実施例の場合、論理回路１０８は、非特許文献１に解説のやり方でヒルベルト変換を利用することにより、測定データ領域に関して、群遅延への第１の影響τ１を計算することが可能である。すなわち、図２Ａのプロセス例のオペレーション２０３〜２０６に関連してさらに後述するように、測定振幅データ１０３の自然対数が計算される。この計算された自然対数を利用して、３次元スプライン当てはめが計算され、論理回路１０８において群遅延に対する第１の影響τ１を計算するために用いられる係数が生じる。従って、群遅延に対する第１の影響τ１は、測定データ１０３を利用して得られる。
【００６２】
システム・モデル１０９は、群遅延が所望される周波数のリスト１１５と共に、ブロック１１０に入力され、群遅延に対する第２の影響τ２の計算に利用される。従って、この第２の影響τ２は、測定データ１０３が得られた周波数領域外の周波数領域に関するものである。ブロック１１１では、ブロック１０８の第１の影響τ１及びブロック１１０の第２の影響τ２の和を求めて、電気回路網１０に関する全群遅延τが計算される。こうした群遅延τは、数値積分器１１２によって、リストアップされた（リスト１１５に）所望の周波数における、電気回路網１０に関する位相応答１１３の計算に利用される。すなわち、群遅延τに対する数値積分を実施して、位相応答１１３が計算される。
【００６３】
いくつかの実施例では、非最小位相系に関して、こうした位相応答１１３に対する適正な調整を計算するために、論理回路１１４も組み込まれる。すなわち、上述のように、ヒルベルト変換では、最小位相系についてしか、正確な結果が得られない。非最小位相系に関する位相応答の正確な計算のため、ヒルベルト変換の結果を適正に調整できるようにする、ブロック１１４で用いることが可能な技法については、さらに後述することにする。位相応答ではなく、群遅延が所望される非最小位相系の場合、従って、補正された位相応答を数値的に微分することによって、正確な群遅延に到達する。
【００６４】
図２Ａ〜図２Ｃを参照すると、ある実施態様に関するオペレーションの流れが示されている。すなわち、図２Ａ〜図２Ｃのオペレーションの流れには、いくつかの実施態様による図１の計算論理回路１２のオペレーションの一例が提示されている。オペレーション・ブロック２０１（図２Ａ）では、計算（例えば、群遅延及び／または位相応答の）が所望される周波数のリスト（例えば、図１のリスト１１５）を受信する。こうした周波数リストは、
【数１７】
2005322241.tif 000019
として表わすことが可能であるが、これは、計算（ＦＣ）のためのｋの周波数からなるリストである。こうした周波数リストは、ユーザ入力、ファイル、または、他の任意の望ましい技法を介して受信することが可能である。オペレーション・ブロック２０２では、サンプリング周波数（例えば、図１の周波数１０４）のスカラ振幅データ（例えば、図１のデータ１０３）を受信する。こうしたスカラ振幅データが収集されるサンプリング周波数は、
【数１８】
2005322241.tif 000020
として表わすことが可能であり、これは、ｎのサンプリング周波数（ＦＳ）のリストである。この実施態様例では、サンプリング周波数
【数１９】
2005322241.tif 000021
のどれにも、計算が所望される周波数
【数２０】
2005322241.tif 000022
のどれかに等しいものはない。これを実現する技法の一例では、サンプリング周波数の第１のグリッドを生成し、次に、計算が所望される周波数の第２の（より密度の高い）グリッドを生成するが、この場合、第２のグリッドは、互いに一列になる周波数がないように、第１のグリッドからオフセットしている。この実施態様例では、サンプリング周波数と計算が所望される周波数が一致すると、ヒルベルト積分の計算において問題が生じる可能性がある（結果として、積分の限界の一方において被積分関数の分母がゼロを持つことになるので。この制限は、非特許文献１に提案されているアルゴリズムに存在し、本発明の実施態様に固有の制限ではない）。
【００６５】
オペレーション・ブロック２０３において、受信した振幅測定データからシンク成分が除去される。場合によっては、測定振幅応答に、シンク・ロールオフ成分が含まれる可能性もある。例えば、信号発生器における位相応答の特性解明において、振幅応答に、固有の「シンク」形状を備えた、ディジタル・アナログ変換プロセスに起因する成分が含まれる可能性がある。ベースバンド発生器の中には、ベースバンド信号が４倍の率でオーバサンプリングされ、シンク成分がわずかなものもあるが、他の事例には、オーバサンプリングが行われず、シンク成分が測定振幅応答のかなりの部分を占めるものもある。この成分は、非線形位相応答に拍車をかけるものではない。すなわち、このシンク成分は、線形位相を有することが分っており、位相応答を求める上において重要ではない場合が多い。従って、このシンク成分は除去するのが有益であると思われる。下記は、このシンク成分を処理するための２つの方法である（オペレーション・ブロック２０３における）。
【００６６】
１．測定データ範囲を超えてデータを拡張するために用いられるモデルに既知のシンク応答挙動を追加する。
２．処理前に、測定データから既知のシンク応答を除去する。
【００６７】
同様に、振幅応答の一部であることが分っているが、非線形位相応答にあまり影響しない他の任意の振幅成分は、完全にモデル化することもできるし（例えば、図１のモデル１０９のような、本明細書に記載の柔軟性のあるモデルによって）、あるいは、さらなる処理を加える前に除去することも可能である。
【００６８】
オペレーション・ブロック２０４では、スカラ振幅測定値（それからシンク成分が除去された）の自然対数が計算される。上述のように、位相応答（または群遅延）を計算すべき場合には、スカラ振幅成分の自然対数が必要になる。
【００６９】
オペレーション・ブロック２０５では、スカラ振幅測定データに３次元スプライン当てはめが施される。例えば、非特許文献１には、測定データに３次元スプライン当てはめを行う技法が提示されており、データの数値積分を直接実施しようとする代わりに、スプライン方程式についてヒルベルト積分の計算が行われるが、これによって、測定データ領域における結果の正確度が向上することになる。従って、非特許文献１において提案されているのと同じやり方で、スプライン区分に測定振幅データを当てはめることが可能である。
【００７０】
オペレーション・ブロック２０６では、あるアルゴリズムを用いて、群遅延に対する第１の影響（τ１）（すなわち、サンプリング周波数領域からの影響）が計算される。すなわち、このオペレーション・ブロック２０６では、測定応答データ・セットに適用される、非特許文献１において提案されたアルゴリズムの一部を利用することが可能である。
【００７１】
オペレーション・ブロック２０７（図２）では、最初に、このシステム・モデルを用いて、その測定データの拡張が行われる周波数範囲が決定される。初期リストには、測定データ範囲の一部ではない、０〜∞の全周波数が含まれている。例えば、測定データが０〜ｆ１の間で得られる場合、初期設定には、測定データ範囲の一部ではない、ｆ１〜∞からの単一範囲が含まれることになる。測定データがｆ１〜ｆ２から得られる場合、初期設定には、０〜ｆ１とｆ２〜∞の２つの範囲が含まれることになる。最後の例として、測定データがｆ１〜ｆ２及びｆ３〜ｆ４から得られる場合（周波数は昇順であると仮定する）、初期設定には、０〜ｆ１、ｆ２〜ｆ３、及び、ｆ４〜∞の３つの範囲が含まれることになる。さらに後述するように、あるシステム・モデルを利用して、測定振幅データが得られない周波数範囲からの群遅延への影響が計算されたり、また、いくつかの実施例では、測定振幅データの各領域と測定振幅データが未知の隣接領域との間の遷移に、遷移区間を用いることが可能なものもある。例えば、上記最後の例の場合、ある遷移区間は、システム・モデルから測定データの第１の領域の始端（ｆ１）への遷移に利用することが可能であり、ある遷移区間は、測定データの第１の領域の終端（ｆ２）からシステム・モデルへの遷移に利用することが可能であり、ある遷移区間は、システム・モデルから測定データの第２の領域の始端（ｆ３）への遷移に利用することが可能であり、ある遷移区間は、測定データの第２の領域の終端（ｆ４）からシステム・モデルへの遷移に利用することが可能である。
【００７２】
オペレーション・ブロック２０８では、極及びゼロの位置が、解析される電気回路網の公称設計について既知のものであるか否かの判定が行われる。例えば、図１の情報１１６が電気回路網１０について既知のものであるか否かが判定される。この情報が既知のものであれば、オペレーションはブロック２０９に進み、計算論理回路が、振幅測定データが未知の周波数領域からの群遅延に対する第２の影響（τ２）を計算するため、システムのモデル化（図１のモデル１０９）に用いられる公称システムの既知の（近似）ゼロ位置及び極位置を受信する。
【００７３】
ブロック２０８において、極及びゼロの位置に関する情報が、解析される電気回路網の公称設計について未知のものであると判定されると、オペレーションはブロック２１０に進み、システム・タイプ（低域通過、帯域通過、高域通過、帯域阻止等）及び過剰な極及び／またはゼロの数を受信して、こうした過剰な極を、全て、下記において決定される単一周波数に設定する。例えば、システムが２つのゼロと５つの極を有する場合、３つの極が過剰になり、この数の過剰極が単一周波数に設定される。それぞれ、同じ周波数に設定されるこの数の過剰極またはゼロは、ブロック２０９において、システム・モデルの計算に用いられる極及びゼロの実際の位置に関するより詳細なリストの代わりに、ブロック２１１において、この例において用いられるシステム・モデル（図１のモデル１０９）の生成に利用される。
【００７４】
システムのタイプによって、極とゼロを用いるべきかが決まる。低域通過及び帯域通過システムは、過剰極を備えるようにモデル化される。帯域阻止および高域通過システムは、過剰なゼロを備えるようにモデル化される。概算システム・モデルの作成時に極またはゼロが配置される周波数は、測定されるシステムのタイプによって決まる。低域通過及び高域通過システムの場合、全ての極またはゼロがゼロ周波数に配置される。帯域通過及び帯域阻止システムの場合、全ての極またはゼロが、ｊω軸上におけるシステムの中心周波数に配置される。
【００７５】
ブロック２０９またはブロック２１１から、オペレーションはブロック２１２に進み、遷移領域（または「区間」）の利用を望むか否かが判定される。従って、オペレーション・ブロック２１２では、測定データとシステム・モデルとの間に遷移領域を生成すべきか否かの判定が行われる。遷移領域は、システム・モデルが、ブロック２０８において判定される、極及びゼロの知識を用いて作成されるか否かに関係なく利用することが可能である。遷移領域は、概算システム・モデル（ブロック２１１で作成されるような）に用いられる場合により役立つ可能性があるが、このため、より正確なモデル（ブロック２０９で作成されるような）への利用が排除されるわけではない。遷移領域の利用を望まない場合、オペレーションは、ブロック２１３に進み、この実施例の場合、影響τ２Ｂが０に設定される。すなわち、オペレーション・ブロック２１２における遷移領域の生成を見合わせる判定がなされる場合、流れはブロック２１３に移行し、遷移領域を利用しないので、τ２Ｂがゼロに設定される。
【００７６】
一方、遷移領域の利用を望む場合には、オペレーションはブロック２１４に進み、システム・モデルに利用するため、平滑な遷移領域が求められる。追加遷移領域の値を理解するため、このアルゴリズムにおいて用いられるヒルベルト変換積分は、解析されるシステムをモデル化するための公式の作成を必要とするという点を想起されたい。この公式は、測定データ範囲外の周波数のシステムを表わすために利用される。すなわち、この公式は、システムの大きさ（すなわち、「振幅」）応答の対数の導関数をモデル化しなければならない。換言すれば、このモデルは、システムのログ振幅の導関数を正確に反映することが重要である。このモデルは、単なるログ振幅の導関数（今後はＤＬＭと呼ぶ）にすぎない、システムの大きさ応答に一致する必要はない。
【００７７】
非特許文献１に提案された概算モデルは、結果として、測定データの端点と概算モデルの端点間にＤＬＭのかなりの不連続を生じることになる。このため、群遅延及び位相応答の計算にかなりの誤差を生じることになる。測定データの端点と概算モデルのさらに外側の点との間に１つ以上の３次元スプライン区分を当てはめることによって、測定データと概算モデルとの間で平滑な遷移を行うことが可能になる。数値シミュレーションによれば、これによって、さらに後述するように、計算群遅延と位相応答の間における誤差が大幅に減少することが立証された。この技法は、解析されるシステムに関してほとんど分らない場合に最も役に立つ。
【００７８】
ヒルベルト変換に関係する被積分関数には、ログ振幅周波数応答の導関数が含まれる。要するに、システム挙動の補外に用いられるモデルは、解析される現実世界のシステムとほぼ一致するログ振幅導関数を備えるべきであるということになる。このため、測定データ外の周波数に関する導関数推定値がオーバレイされたこの導関数のプロットが解析された。測定データに、フィルタ端があまり含まれていない場合、通常、測定データの端点とその点における補外値との間にかなりの不連続が生じる。測定データの端点とフィルタ端推定値との間に平滑な遷移を生じさせることができれば、アルゴリズムの正確度を高めることが可能になる。
【００７９】
３次元スプラインの当てはめが１つの技法例であるが、結果生じるヒルベルト積分方程式の計算が可能である限りにおいて、測定データの端点とシステム・モデルとの間に平滑な遷移曲線を生じさせる任意の技法を利用することが可能である。他の遷移関数の例には、指数関数の次数及び区分が可変の多項式がある。遷移領域の幅は、試行錯誤で、または、平滑な遷移を得るのに役立つ他の技法によって選択される。この実施態様例では、３次元スプライン・セクションを利用して、遷移が行われる（ブロック２１４）。これによって、データの端勾配並びに端点それ自体の制御が可能になる。従って、残された唯一のタスクは、遷移領域の幅の選択ということになる。
【００８０】
この技法例では、直接ログ振幅関数ではなく、導関数に基づいてスプラインが作成される。端点及び端勾配が、一方の端点で測定データとアライメントがとれ、もう一方の端でシステム・モデルとアライメントがとれるように、２つのスプライン要素が作成される。スプラインの当てはめに入力される関数値は、ユーザ・データ（すなわち、より正確には、測定データに対して当てはめられたスプラインからの端点値）及びシステム・モデルにおける２つの等間隔の点から得られる最後のＤＬＭ値である。２つの点の正確な間隔は、試行錯誤で、または、平滑な遷移を得るのに役立つ他の技法によって決定される。スプラインの当てはめに関する係数は、非特許文献１で用いられた形式で導き出される場合が多い。この実施態様例では、異なる形式が用いられる。次に、特定の形の３次元スプライン係数を利用して、３次元スプライン遷移領域に関するヒルベルト積分方程式が作成される。非特許文献１では、異なる形式のスプライン係数が用いられているが、その形式のスプラインについても、もう１組のヒルベルト積分方程式を容易に導き出すことが可能である。この実施態様例の場合、スプライン関数の各区分は、下記のように定義される。
【数２１】
2005322241.tif 000023
【００８１】
ここで、ｃｋは、スプライン当てはめアルゴリズムによって求められる係数であり、ａは、当てはめが有効な区間の左側の縦座標である。スプライン区間におけるスプライン関数のヒルベルト積分の形式は、次の通りである。
【数２２】
2005322241.tif 000024
【００８２】
下記の導出では、ａ〜ｂを利用して、方程式におけるスプライン区分の端点が表わされる。積分を展開し、代入χ＝η−ａ及びφ＝ω−ａを行うと、次のようになる。
【数２３】
2005322241.tif 000025
【００８３】
ここで、ｃｋは３次元スプライン係数に相当する。最後に、これを積分すると、次のようになる。
【数２４】
2005322241.tif 000026
【００８４】
これによって、単一スプライン区分による群遅延への影響が得られる。各遷移領域は、２つのスプライン区分から構成され、従って、この公式は、各スプライン区分毎に計算され、結果の和を求めることによって、全遷移領域に関する群遅延への全影響が得られることになる。複数遷移領域からの影響の和を求めることによって、全遷移領域について群遅延への影響τ２Ｂが得られることになる。
【００８５】
任意の一定の現実世界のシステムに関して、異なる補外関数及び遷移挙動を設計することが可能である。この例に対する唯一の制限は、ユーザが、これらの関数を利用してヒルベルト変換積分を計算できなければならないという点である。
【００８６】
オペレーション・ブロック２１５では、システム・モデルを利用することになる周波数範囲が、遷移領域が設計された全周波数範囲を排除するように変更される。従って、オペレーション・ブロック２１６では、上述のように、遷移領域における群遅延への影響τ２Ｂの計算に、平滑化遷移領域が用いられることになる。従って、影響τ２Ｂは、システムのモデル化領域に関する第２の影響τ２の第２の部分であり、ここで、こうした影響τ２Ｂは、測定振幅データが既知の領域からこうした測定振幅データが未知の領域への上述の遷移領域に対応する。
【００８７】
オペレーション・ブロック２１３またはオペレーション２１６から、オペレーションは、ブロック２１７に進み、あるアルゴリズムを用いて、システムのモデル化領域について、第２の影響τ２の第１の部分（τ２Ａ）が計算されるが、ここで、こうした第１の部分τ２Ａは、上述の遷移領域外にある、こうした測定振幅データが未知の領域における残りの周波数に対応する。ブロック２１７では、ブロック２０９または２１１において前述のシステム・モデル（図１の１０９としても示されている）を用いて、群遅延に対する第２の影響の第１の部分（τ２Ａ）が計算される。ブロック２１７において実施される計算は、ブロック２０７において決定済みであって、オプションにより、ブロック２１５で修正される周波数範囲に制限される。この決定済みのシステム・モデルは、測定される回路網についてほとんど分っていない場合の概算モデルと云えるものである。従って、測定されるシステム公称設計パラメータが既知の場合、非特許文献１において提案された概算モデルまたは本明細書において提案された概算汎用モデルの代わりに、より柔軟性のある／正確なモデルを用いることが可能である。これは、例えば、信号発生器（例えば、アジレント社製Ｅ８２６７Ｃ信号発生器）のＲＦ位相応答を測定することになる場合である。この場合、このベースバンド発生器及びＲＦ連鎖の公称設計は、周知のところである（この発生器の設計者には）。公称位相応答並びに装置間変動及び温度変動を補正することが望ましい場合もあり得る。
【００８８】
この実施態様例では、非特許文献１において提案された概算モデルが、ゼロと極の任意の組合せを有するシステムのモデル化が可能な柔軟性のある汎用モデルに置き換えられる。一般に、これらの極及びゼロは、電気回路網の公称設計または他の何らかの推定に一致するように選択されることになる。ある実施態様によれば、各極及びゼロを個別に処理できるようにする汎用アルゴリズムが作成される。その結果、各極及びゼロから群遅延及び位相応答への影響を個別に計算して、その和を求め、測定データ範囲外の全周波数に関する総合的な影響を得ること可能になる。
【００８９】
改良モデルは、位相非線形性の一因となる既知の電気コンポーネントの公称設計と一致するように構成することが可能である。例えば、内部ディジタル・アナログ変換器によって変調される信号発生器の場合、そのモデルは、ベースバンド・アンチエイリアス・フィルタリング・コンポーネントに関する公称設計に一致するように選択することが可能である。これは、さらに、信号発生器のＲＦ／マイクロ波連鎖に他の既知フィルタ及びデバイスを含むように拡張される。
【００９０】
すなわち、この実施態様例の場合、ブロック２１７においてτ２Ａの計算のために用いられるアルゴリズムの正確度を高めるため、測定データ範囲外におけるシステム応答の推定が、次のように、極及びゼロによって指定された公称設計応答に置き換えられる。
【数２５】
2005322241.tif 000027
【００９１】
ここで、ｍは整数であり、Ｍはゼロの数であり、ｎは整数であり、Ｎは極の数である。
【００９２】
上記システム・モデルの論考において、以下では、変数のいくつかの変更が行われるので、いくつかの関数は、現在表現されている変数を示す添え字をつけて示されることになる。アルゴリズムにおいて用いる場合、この関数のログ振幅の導関数が必要になる。まず、ログ振幅関数が、下記のように導き出される。
【数２６】
2005322241.tif 000028
【００９３】
ログ振幅関数の導関数Ａ′（ω）はまだ求められていないが、各極及びゼロの影響を個別に計算して、和を求めることにより、全群遅延が得られることになるので、これがヒルベルト積分に用いるのに便利な形式であることは明らかである。従って、単一のゼロを備えたシステムを検討し、後で、その結果が任意の数の極及びゼロを備えた汎用システムに拡張されることになる。下記の公式において、ｚＲ及びｚ１は、ゼロの位置の実数部及び虚数部を表している。
【数２７】
2005322241.tif 000029
【００９４】
これは、χ＝ω−ｚ１とすることによって、下記のように単純化することが可能である。
【数２８】
2005322241.tif 000030
【００９５】
この時点において、このモデルをヒルベルト積分で解析的に計算することが可能になる。まず、不定積分が計算される。この場合、ヒルベルト積分は次のようになる。
【数２９】
2005322241.tif 000031
【００９６】
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ（商標）ソフトウェア・パッケージによって計算されるこの不定積分は、次の通りである。
【数３０】
2005322241.tif 000032
【００９７】
この積分は、上限を無限にして計算されるので、下記に着目するのが役立つであろう。
【数３１】
2005322241.tif 000033
【００９８】
さらに、楕円フィルタは（理想的には）虚軸上にゼロを備えるので、下記に着目されたい。
【数３２】
2005322241.tif 000034
【００９９】
上記公式（１）における不定積分に関する公式は、積分の２つの限界について計算され、その結果の引き算を行って、πで割ることにより、任意の指定周波数範囲における群遅延に対する影響が得られる。
【数３３】
2005322241.tif 000035
【０１００】
一例を挙げると、測定範囲外の周波数に関する単一の極またはゼロに起因する群遅延への影響は、下記の定積分の総和を求めることによって計算することが可能である。この例では、測定データが範囲［ω０．．ωＮ］において得られ、χ＝ω−ｚ１、χ０＝ω０−ｚ１、χＮ＝ｚ１であると仮定する。ここで、ωは群遅延または位相応答が計算される周波数である。前述のように、測定データは、２つ以上の周波数範囲にわたって得ることが可能であり、この場合、下記のように、この方程式に追加項が追加される。
【数３４】
2005322241.tif 000036
【０１０１】
この導出を任意の数の極及びゼロを備えた近似に拡張すると、測定データ範囲外の周波数に関する群遅延への全影響によって、項τ２Ａに関する下記の方程式が得られる。
【数３５】
2005322241.tif 000037
【０１０２】
いくつかの実施態様で利用される、この技法におけるさらなる改良の１つは、実際の測定データに一致するように汎用システム・モデルを最適化することである。状況によっては、モデルの公称中心周波数及び帯域幅を変更して、端点における測定データに一致させるといった単純な調整で十分な場合もあり得る。
【０１０３】
他に、汎用最適化及びニューラル・ネットワークのような技法を利用することが可能な場合もある。この場合、モデルを公称設計値に初期設定し、次に、必要に応じて、モデルが測定データによりぴったりと一致するように、極及びゼロ位置の一部または全てが変更される。これによって、モデルと測定データの範囲外の周波数における実際のシステム応答をよりぴったりと一致させる効果を生じさせることが可能である。
【０１０４】
以上を考慮して、ブロック２１７では、ヒルベルト変換の上記適用例を利用して、群遅延に対する影響τ２Ａが計算される。オペレーションは、ブロック２１７からブロック２１８に進み、第１の影響τ１と第２の影響部分τ２Ａ及びτ２Ｂの和を求めることにより、結果として全群遅延τが得られる。すなわち、振幅測定データが既知の周波数領域からの群遅延に対する影響（τ１）と振幅測定データが未知の残りの周波数領域からの群遅延に対する影響（τ２）の和を求めることによって、群遅延τが計算される。
【０１０５】
流れは、オペレーション・ブロック２１８からオペレーション・ブロック２１９（図２Ｃ）に移行し、測定されるシステムの性質に関する情報、とりわけ、システムが最小位相であるか否かの情報を受信する。上述のように、ヒルベルト変換は、非最小位相系であることを必要とする。しかし、本明細書では、非最小位相系に関する位相応答の正確な計算に備えて、ヒルベルト変換の結果を適宜調整できるようにするために用いることが可能な技法が提案されている。システムが最小位相であれば、流れはブロック２２０に移行する。システムが非最小位相であれば、流れはブロック２２２に移行し、群遅延データを数値積分して、位相応答が計算される。ブロック２２２の後、流れはブロック２２３に移行し、本明細書においてさらに後述するやり方で、非最小位相系を適正に反映するように位相データの調整が行われる。この時点で、最終の補正された位相データ・セットが得られる。流れは、ブロック２２４に移行し、群遅延情報を求めるか否かの判定が行われる。求めない場合には、流れはブロック２２６に移行し、アルゴリズムは終了する。求める場合、流れはブロック２２５に移行し、位相情報の数値微分を実施して、群遅延が計算される。流れは、ブロック２２５からブロック２２６に移行し、アルゴリズムが終了する。
【０１０６】
場合によっては、下記の方法をブロック２２３で用いて、ヒルベルト変換の最小位相基準を満たすことができないシステムに関する位相応答を計算することも可能である。この方法は、右半平面（ＲＰＨ）のゼロの近似位置が既知で、システム・モデルの一部とすることが可能な状況において有効に働く。この実施態様例の場合、右半平面に極を含む非最小位相系は考慮されない。ＲＨＰ極を備えるシステムは不安定のため、測定が困難か、または、不可能である。しかし、その測定障害を克服することができれば、これらの技法を測定データに適用することが可能になる。従って、以下の論考は、ＲＨＰ極及びゼロに等しく当てはまる。
【０１０７】
ｊω軸を横切るそのＲＨＰゼロを反映することによって、任意の非最小位相系Ｈを最小位相系Ｈｍに変換することが可能である。例えば、（＋ａ±ｊｂ）における複素ゼロ対は、（−ａ±ｊｂ）における複素ゼロ対に置き換えられる。結果生じる伝達関数は、振幅応答がもとのシステムと同じになるが、位相応答は異なる。この振幅応答にヒルベルト変換を用いると、そのシステムの最小位相バージョンに関する位相応答が生じることになる。
【０１０８】
システム・モデルに、全ての有意のＲＨＰゼロが含まれる場合、やはり、ヒルベルト変換を利用し、下記のステップを用いて、非最小位相系の位相応答を計算することが可能である。
【０１０９】
１．振幅応答データにヒルベルト変換を用いて、対応する最小位相系（Ｈｍ）の位相応答を計算する。システム・モデル拡張に関するヒルベルト積分方程式（τ２Ａ）は、ただ単に、それぞれ、ゼロである、実数部の絶対値を表わすものでしかなく、従って、モデルのＲＨＰゼロがＬＨＰゼロに変換されていれば、τ２Ａの計算において数値的な違いが生じないのは明らかである。
【０１１０】
２．実際のシステム・モデルＺからＲＨＰゼロだけから構成される新しいモデルを生成する。第１の新しいモデルを最小位相系Ｚｍに変換することによって、第２の新しいモデルを生成する。
【０１１１】
３．２つの新しいモデルの位相応答を計算する。これら２つのモデル間の位相差（Ｚ−Ｚｍ）をステップ（１）における結果に加算すると、非最小位相系の位相応答が得られることになる。
【０１１２】
実際には、いくつかの単純化によって、両方のモデルの位相応答を計算する必要はなくなる。位相調整は、ｊω軸上のそれぞれ異なる点におけるゼロだけのモデルの値を求めることによって計算される。モデルの任意のゼロに関して、周波数ωにおいて引かれる位相角は、それぞれ下記によって得られる、
ベクトル（ｊω−ｚ）＝（−ｚＲ＋ｊ（ω−ｚ１））、および、（＋ｚＲ＋ｊ（ω−ｚ１））の角度である。
【０１１３】
ｔａｎ（θ）＝（ω−ｚ１）／（−ｚＲ）
および
ｔａｎ（θｍ）＝（ω−ｚ１）／（＋ｚＲ）＝−ｔａｎ（θ）
【０１１４】
上記方程式において、θｍは、最小位相（ＬＨＰ）ゼロによって生じる位相角を表わし、θは、ＲＨＰゼロによる位相角を表わしている。ｚＲは正であると仮定される。アークタンジェントが周期πを備える奇関数であると仮定すると、次の公式が成り立つ：ｔａｎ（χ）＝−ｔａｎ（π−χ）。この恒等式と前述の公式を比較すると、次のようになる。
【０１１５】
θｍ＝π−θ    および  θ−θｍ＝２θ−π
【０１１６】
上述のように、この技法では、測定されるシステムにおける全ての有意ＲＨＰゼロの知識が必要になる。これに関して、「有意」は、非線形位相または振幅応答に対して測定可能な影響を及ぼすゼロを表わしている。
【０１１７】
いくつかの事例では、群遅延ではなく、あるいは、群遅延に加えて、位相応答が求められる可能性がある。従って、ブロック２２０では、解析を受ける電気回路網の位相応答の計算が求められているか否かを判定する。求められていなければ、オペレーションはブロック２２６で終了する。一方、求められている場合には、オペレーションはブロック２２１に進み、群遅延に対する数値積分を実施して、位相応答が計算される。図２Ａ〜図２Ｃのオペレーショナル・フロー例において、オペレーションはブロック２２６で終了する。
【０１１８】
多くのシステムでは、局部発振器でベースバンド時間信号を逓倍することによって、ベースバンド・システムの周波数がシフトされる。
【数３６】
2005322241.tif 000038
【０１１９】
周波数領域において、これは、逆方向にシフトされるもとの応答の２つのコピーということになり、和を求めると、次のようになる。
【数３７】
2005322241.tif 000039
【０１２０】
Ｂが低域通過システムで、ωｃがベースバンド・システムの帯域幅に比べて十分に大きい場合、２つのシフトしたベースバンド成分間の相互作用を無視することによって、Ｂ、Ｒを正確に解析することが可能である。すなわち、もとの極とゼロの集合は、ωｃに等しい量だけ正方向にシフトされる（もとの極とゼロの集合は廃棄される）。他の事例では、例えば、超広帯域信号で働き、周波数シフトがシステムにおける極及びゼロの大きさに比べて小さい場合、この単純化によって、位相応答計算にかなりの誤差が導入される可能性もある。これについてさらに解析するため、ベースバンド・システムであると仮定すると、Ｂはｊωにおける２つの多項式Ｎ及びＤの比である。局部発振器による逓倍後のシステム応答は、下記通りである。
【数３８】
2005322241.tif 000040
【０１２１】
これから明らかなように、変換システムの極は、ただ単に複製されて、逆方向にシフトされるだけであり、さもなければ、変更されない。しかし、ゼロについてはそれほど単純ではない。次に、下記方程式によってゼロを定義する。
【数３９】
2005322241.tif 000041
【０１２２】
乗法項を拡張して、２つの多項式を追加できるようにしてから、その結果を因数分解して、ゼロ位置を求めることが必要になる。この変換によって、全て極のベースバンド・システムに実際にゼロが加えられることになる。あいにく、これらのゼロの一部は、右半平面のゼロである可能性があり、これは、ヒルベルト変換が必要とする最小位相基準に反することになる。この問題に対処する方法については、上述のところである。
【０１２３】
図３を参照すると、実施態様の１つに従って、群遅延及び／または位相応答の計算に用いることが可能な計算論理回路例３０が示されている。計算論理回路例３０は、ソフトウェア、ハードウェア、または、それらの組み合わせによって実施可能である。例えば、後述する計算論理回路３０のそれぞれのブロックは、ソフトウェア、ハードウェア、または、それらの組み合わせによって実施可能である。計算論理回路３０は、入力として、測定振幅データ３５（例えば、図１のスカラ振幅データ１０３）、測定振幅データ３５のサンプリングが行われた周波数（例えば、図１の周波数１０４）の対応するリスト３６、及び、計算（例えば、群遅延及び／または位相応答）が求められる周波数のリスト３７（例えば、図１のリスト１１５）を受信する。計算論理回路３０が、解析される電気回路網の公称設計に関するゼロと極の位置を識別する情報３８を受信することが可能な場合もある。他に、計算論理回路３０が、その性質（高域通過、帯域通過、逓域通過等のような）、及び、いくつかの過剰極またはゼロを示す、システムに関する一般的な記述３９を受信することが可能な場合もある。計算論理回路３０は、測定される回路網をシミュレートするため内部で用いられるシステム・モデルの構成に必要な、他のこうした入力を受信することも可能である。計算論理回路３０は、解析を受ける電気回路網について計算された群遅延３５０、３５３及び／またはこうした電気回路網について計算された位相応答３５１、３５２を出力することが可能である。
【０１２４】
計算論理回路３０には、群遅延に対する第１の影響τ１を計算する第１の論理回路３１が含まれており、こうした影響は、図２Ａのオペレーション・ブロック２０６に関して上述のような測定振幅データによって得られる。計算論理回路３０には、群遅延に対する第２の影響τ２を計算する第２の論理回路３２が含まれており、こうした第２の影響は、システムのモデル化部分（すなわち、測定振幅データを受信しない部分）によって得られる。第２の論理回路３２には、システム・モデルの利用範囲を測定振幅データに存在しない全ての周波数範囲を含むように設定する（図２Ｂのオペレーション・ブロック２０７におけるように）論理回路３２０が含まれている。第２の論理回路３２には、さらに、極及びゼロの位置が既知であるか否かを判定する（図２Ｂのオペレーション・ブロック２０８におけるように）論理回路３２１も含まれている。すなわち、論理回路３２１は、情報３８が得られるか否かを判定する。こうした情報が計算論理回路３０に利用可能であれば、第２の論理回路３２のオペレーションは、ブロック３２２に進み、図２Ｂのオペレーション・ブロック２０９に関連して上述のような、影響τ２を計算するためのシステム・モデルにおける極及びゼロの既知の位置を受信する。
【０１２５】
論理回路３２１において、計算論理回路３０には情報３８が得られないと判定されると、第２の論理回路３２のオペレーションはブロック３２３に進む。ブロック３２３では、一般システム情報３９を受信する（図２Ｂのオペレーション・ブロック２１０において上述のように）。流れは、次に、ブロック３２４に移行し、一般システム情報を利用して、図２Ｂのブロック２１１においてなされるように、概算システム・モデルが作成される。流れは、次に、ブロック３２２及び３２４を出て、ブロック３２５に入る。ブロック３２５では、遷移領域が求められているか否かの判定が行われる（図２Ｂのブロック２１２におけるように）。この判定は、遷移領域が求められる用途に関する外部から受信する情報によって行うこともできるし、あるいは、測定データ及びシステム・モデルの解析を利用して行うことも可能である。遷移領域が求められない場合には、流れはブロック３２６に移行し、遷移領域からの影響（τ２Ｂ）はゼロに設定される（図２Ｂのブロック２１３におけるように）。
【０１２６】
遷移領域が求められる場合、流れはブロック３２７に移行する。ブロック３２７では、図２Ｂのブロック２１４に関して上述のような、測定振幅データを受信しない領域のシステム・モデルにおいて利用される、平滑な遷移区間が計算される。ブロック３２８では、こうした平滑な遷移区間を利用して、第２の影響τ２の第２の部分τ２Ｂが計算されるが、こうした第２の部分は、図２Ｂのブロック２１６に関して上述のように、遷移区間のモデルから結果として得られるものである。流れはブロック３２８からブロック３２９に移行し、システム・モデルによってモデル化される周波数範囲が、図２Ｂのブロック２１５におけるように、平滑化遷移区間を含む周波数範囲を排除するように変更される。流れは、次に、ブロック３２６及び３２９からブロック３３０に移行する。ブロック３３０では、第２の影響τ２の第１の部分τ２Ａが計算されるが、こうした第１の部分は、図２Ｂのブロック２１７に関して上述のように、振幅測定データを受信しない残りの周波数のモデルから結果として得られるものである。オペレーション３３１では、２つの部分τ２Ａとτ２Ｂの和が求められ、その結果、群遅延に対する第２の影響τ２が得られることになる。
【０１２７】
論理回路３１から第１の計算影響τ１を受信し、論理回路３２から第２の計算影響τ２を受信する論理回路３３が含まれており、論理回路３３では、図２Ｂのオペレーション・ブロック２１８の場合のように、受信した影響τ１及びτ２の和が求められて、結果として群遅延τが得られることになる。
【０１２８】
図２Ｃのオペレーション・ブロック２１９におけるように、非最小位相系が測定されているか否かを判定するためのオペレーション・ブロック３４１を含む、位相計算論理回路３４も含まれている。システムが最小位相系であれば、所望の場合、群遅延を３５０として出力することが可能であり、流れはブロック３４２に移行して、図２Ｃのブロック２２０におけるように、位相応答の計算が求められるか否かを判定する。位相応答が求められなければ、オペレーションはブロック３４８で終了する。位相応答の計算が求められる場合には、オペレーションはブロック３４３に進み、図２Ｃのブロック２２１に関して上述のように、計算群遅延τに対する数値積分を実施して、位相応答が計算される。所望の場合には、計算位相応答を出力３５１として出力することが可能である。
【０１２９】
非最小位相系の場合、流れは、ブロック３４２からブロック３４３に移行し、図２Ｃのブロック２２２におけるように、群遅延が対応する最小位相系の位相応答に変換される。次に、流れは、ブロック３４５に移行し、図２Ｃのブロック２２３に関して上述のように、システムの非最小位相性を補正するように、位相に対する調整が施される。この時点において、所望の場合には、位相を出力３５２として出力することが可能である。流れは、ブロック３４５からブロック３４６に移行し、図２Ｃのブロック２２４におけるように、群遅延が求められるか否かの判定が行われる。群遅延が求められていなければ、ブロック３４８において、計算は終了し、求められている場合には、流れはブロック３４７に移行し、位相データを数値微分して、群遅延が求められるが（図２Ｃのブロック２２５におけるように）、この群遅延は出力３５３として出力することが可能である。
【０１３０】
図４を参照すると、これには、遷移領域の追加によって計算がいかに改良されるかを立証するグラフが示されている。このグラフでは、Ｘ軸に周波数が描かれ、Ｙ軸にＤＬＭ（ログ振幅の導関数）が描かれている。このプロットには４つの別個の曲線が存在する。第１の中央曲線は、測定振幅データを表示している。「拡張」と表示された曲線は、概算拡張システム・モデルのＤＬＭである。どうして測定データの端点が拡張曲線と一列にならないのかに着目されたい。最後の２つの曲線は、測定データと拡張との間に平滑遷移を生じさせる、追加された遷移曲線を示している。
【０１３１】
図５Ａ及び図５Ｂには、公称振幅応答対実際のシミュレーション応答のシミュレーションを例示したグラフが示されている。この例のテストでは、３００ＭＨｚの近似帯域幅を４５００ＭＨｚの中心周波数までアップコンバートした低域通過システムがモデル化される。公称ベースバンド・システムには、１極低域通過フィルタ（この場合、極は３２５ＭＨｚに位置する）に縦続接続された７次チェビシェフ低域通過フィルタが含まれている。チェビシェフ・フィルタは、０．２ｄＢのリップルと３００ＭＨｚのカットオフ周波数を利用して設計された（すなわち、３００ＭＨｚで０．２ｄＢ低くなる）。
【０１３２】
ヒルベルト変換は、＋ｊω軸の４５００ＭＨｚに８つの極を有する概算モデルを用いて計算された。さらに、上述の改良型システム・モデルは、公称設計における正確な極位置になるように構成された。
【０１３３】
次に、コンポーネントの変動をシミュレートするため、もとの値の２．５％までのランダム量だけ大きさと位相の両方における極位置を移動させて、公称システムが変更された。従って、１つのプロット（「公称」プロット）には、理想の公称システムの振幅応答が示され、もう１つのプロット（「実際の」プロット）には、典型的なコンポーネント変動を表わすように「微調整」された、システムの応答が示されている。実際の（「微調整」された）システムは、温度及びコンポーネント変動が生じた場合に、現実世界において遭遇する可能性のあるものを表わしている。
【０１３４】
フィルタ端において約２０ｄＢ下がる、７００ＭＨｚの範囲にわたるデータのシミュレーションが行われた。実際の応答データが、下記の５つの異なる技法を用いて、ヒルベルト変換アルゴリズムに送り込まれた。
【０１３５】
１．α及びβが８に設定された、非特許文献１において提案されたもとの方法。
【０１３６】
２．ゼロ周波数の８つの極を帯域通過システムの中心周波数にシフトし、全てのゼロを廃棄することによって変換帯域通過システムに用いるように変更された、非特許文献１において提案されたもとの方法。
【０１３７】
３．ｊω軸上に整合する共役極を追加した上述の変更方法。
【０１３８】
４．測定データと単純なシステム・モデルとの間の遷移領域を利用する（すなわち、図３のオペレーション・ブロック３２０〜３３１に関して上述のように、τ２を計算する）上述の変更方法。
【０１３９】
５．図２Ｂのブロック２０９に関して上述のように、公称システム設計の極及びゼロの位置に関する知識（例えば、図３の情報３８）を含むシステム・モデルを利用する技法。
【０１４０】
次に、これら３つの技法のそれぞれによって計算される位相応答と変更システムの実際の位相応答を比較して、エラー・データが生成される。図６Ａ〜図６Ｂには、図５Ａ〜図５Ｂの振幅測定データに関するさまざまな技法による位相応答と実際のシステムの位相応答との位相誤差が示されている。この場合、多くの事例において一般的であるが、位相応答は、測定データが得られるのと同じ周波数範囲について計算された。前述のように、本明細書に解説の技法を利用して、測定データが得られる周波数範囲外の周波数における位相応答を計算することも可能であるが、多くの場合、周波数が測定データを得た周波数から離れるにつれて、エラー・レベルが増すことになる。
【０１４１】
図６Ａ及び図６Ｂには、位相エラー対周波数の５つのプロットが示されている。図６ＢのＹ軸は、図６ＡのＹ軸より１０倍拡大されている。５つの曲線は、上述の５つの技法のそれぞれに関する計算位相誤差に対応する。図示のように、ピーク誤差値は、システム・モデルが＋ｊω軸上における帯域通過システムの中心周波数に極だけしか含んでいない、非特許文献１の技法に比べて、約４：１だけ減少する。改良モデルに遷移区間を追加すると、エラーがさらに４：１だけ減少する。公称システム・モデルを利用すると、この誤差は、さらに約３：１だけ減少する。もとの非特許文献１の技法における誤差と公称システム・モデルを利用した場合に生じる誤差を比較すると、ほぼ５０：１の減少が実現する。＋ｊω軸上の極（第２の例）から共役極対（第３の例）への変更によって、エラー・レベルがわずかに増す点に留意されたい。これは、周波数変換プロセス（本明細書の他のどこかで得られる）によって生じるゼロを含むことの重要性を立証するものである。図示されていないが、シミュレーションに欠けているゼロを追加して、ＲＨＰ（非最小位相）ゼロを補正すると、誤差が第２の例のレベルに戻った。それは、相対量の多い周波数変換（４５００ＭＨｚと低域通過システムの３００ＭＨｚを比較すると）による第２の例を超える改良にはならなかった。相対シフトがはるかに小さい（例えば、６００ＭＨｚ）シミュレーションが行われたが、この場合、余分なゼロを含むこと、並びに、システムの非最小位相部分に関する補正を実施して、等価のエラー・レベルを実現することが必須であった。１度は、０．０１７５ラジアンに相当し、図６Ａ〜図６Ｂに示すように、「フルモデル」技法を利用すると、ほんの何分の１度にすぎない誤差しか生じないことになる。α及びβの値を変更して、非特許文献１の技法を改良しようと試みても、位相誤差はほとんど改善されなかった。
【０１４２】
図７Ａ及び図７Ｂには、本明細書に解説の技法の値のさらなる立証を行うグラフが描かれている。この立証のため、ディジタル変調、すなわち、ＱＰＳＫ（４相位相変調）が、ＲＦ搬送波信号に加えられた。ディジタル変調オプションを備えたアジレント社製信号発生器Ｅ８２６７Ｃを利用して、５００ＭＨｚ搬送周波数の信号を発生させた。毎秒１００Ｍサンプルのサンプリング・レートで動作する内部波形発生器のＤＡＣによって、毎秒５０Ｍ記号の速度でランダムＱＰＳＫ記号を発生させた。ディジタル波形は、占有帯域幅が約８０ＭＨｚになるように、累乗根コサイン・フィルタで濾波された。
【０１４３】
信号発生器のベースバンド再構成フィルタ及び少数の他の重要なコンポーネントを含むシステム・モデルを用いて、測定振幅応答が位相応答に変換された。結果得られる位相データの算術的逆数を利用して、ＦＩＲディジタル・フィルタが造られた。その後、このフィルタを用いて、ＱＰＳＫ波形に予歪が施された。
【０１４４】
結果生じるＲＦ信号は、別個の技法によってあらかじめ較正されたアジレント社製Ｉｎｆｉｎｉｉｕｍオシロスコープで受信された。このオシロスコープの位相応答は、５００ＭＨｚ付近を中心とする８０ＭＨｚの帯域幅において１度以内あるいはそれを上回る平坦性を示した。最後にアジレント社製「Ｇｌａｃｉｅｒ」ソフトウェア（型式番号８９６００）を利用して、ＱＰＳＫ信号を復調し、解析が行われた。「Ｇｌａｃｉｅｒ」ソフトウェアは、ＱＰＳＫ信号の誤りベクトル度、すなわち、ＥＶＭを測定することが可能である。これは、変調記号がいかに正確に生成されるかを表わすものである。低ＥＶＭを実現するには、この場合システムが、８０ＭＨｚである、信号の全占有帯域幅にわたって位相及び大きさが正確であることを必要とする。ＥＶＭは、一般に、誤りベクトルの長さ対理想記号の長さのパーセンテージ比として測定される。誤りベクトルは、理想記号から実際の受信記号までのベクトルである。
【０１４５】
図７Ａに示すように、測定は、非補正ＱＰＳＫ信号で行われた。グラフには、２５０のランダムＱＰＳＫ記号の測定位置が描かれているが、ここで、各記号は、矩形として示されている。この理想的事例では、ゼロＥＶＭの場合、各矩形は、４つの望ましい位置の１つだけに生じる。ある特定位置における全ての矩形が、正確に次々と上に重ねられるので、プロットは、各位置毎に１つの矩形だけしか含んでいないように見える。図７Ａにおいて明らかなように、矩形は、理想位置からかなり広がっており、各位置において多くの異なる矩形が見える。この場合、描かれた記号の平均ＥＶＭは、３．４％であった。この測定については、信号に対して振幅の平坦性補正が施されたので、残りのＥＶＭは、どれも、信号発生器またはオシロスコープにおける非線形位相誤差、または、システムのさまざまな部分におけるノイズ及び歪みの生成に起因するものということになる。
【０１４６】
図７Ｂには、計算位相の算術的逆数でディジタル波形に予歪を施すことによって、信号の位相を補正した後のＥＶＭ測定値が描かれている。この事例において測定される０．７％のＥＶＭによって確認されるように、この場合、矩形の全てが、ほぼ正確に次々と上に重ねられるのは明白である。
【０１４７】
本発明及びその利点について詳述してきたが、もちろん、付属の請求項によって定義される本発明から逸脱することなく、本明細書においてさまざまな変更、置換、及び、改変を施すことが可能である。さらに、本願の範囲は、明細書に記載のプロセス、機械、メーカ、合成物、手段、方法、及び、ステップの特定の実施態様に制限されることを意図したものではない。この開示から容易に明らかになるように、現存するか、または、今後開発されることになる、本明細書に記載の対応する実施態様とほぼ同じ機能を実施するか、または、ほぼ同じ結果を達成するプロセス、機械、メーカ、合成物、手段、方法、または、ステップを利用することも可能である。従って、付属の請求項は、こうしたプロセス、機械、メーカ、合成物、手段、方法、または、ステップをその範囲内に含むように意図したものである。
【図面の簡単な説明】
【０１４８】
【図１】実施態様の１つによるシステム例を示す図である。
【図２Ａ】実施態様の１つに関するオペレーショナル・フロー図である。
【図２Ｂ】実施態様の１つに関するオペレーショナル・フロー図である。
【図２Ｃ】実施態様の１つに関するオペレーショナル・フロー図である。
【図３Ａ】実施態様の１つに従って、群遅延及び／または位相応答を計算するために用いることが可能な計算論理回路例を示す図である。
【図３Ｂ】実施態様の１つに従って、群遅延及び／または位相応答を計算するために用いることが可能な計算論理回路例を示す図である。
【図４】測定データからシステム・モデルへの平滑な遷移を生じさせる遷移領域の一例を示す図である。
【図５Ａ】テスト例の１つに従って、公称振幅応答対実際のシミュレーション応答に関するテスト入力を例示したグラフである。
【図５Ｂ】テスト例の１つに従って、公称振幅応答対実際のシミュレーション応答に関するテスト入力を例示したグラフである。
【図６Ａ】図５Ａの例に関して位相応答及び実際のシステム位相応答を計算するために用いることが可能な、多種多様な技法についての位相誤差量を例示したグラフである。
【図６Ｂ】図５Ｂの例に関して位相応答及び実際のシステム位相応答を計算するために用いることが可能な、多種多様な技法についての位相誤差量を例示したグラフである。
【図７Ａ】本発明の実施態様の１つを適用することによって生じる、４相位相変調（ＱＰＳＫ）で変調した信号の誤りベクトル度（ＥＶＭ）の改善を示す図である。
【図７Ｂ】本発明の実施態様の１つを適用することによって生じる、４相位相変調（ＱＰＳＫ）で変調した信号の誤りベクトル度（ＥＶＭ）の改善を示す図である。
【符号の説明】
【０１４９】
１０  電気回路網
１２  計算論理回路
１０３  測定データ
１０９  モデル
【図１】
2005322241.tif 000042
【図２Ａ】
2005322241.tif 000043
【図２Ｂ】
2005322241.tif 000044
【図２Ｃ】
2005322241.tif 000045
【図３Ａ】
2005322241.tif 000046
【図３Ｂ】
2005322241.tif 000047
【図４】
2005322241.tif 000048
【図５Ａ】
2005322241.tif 000049
【図５Ｂ】
2005322241.tif 000050
【図６Ａ】
2005322241.tif 000051
【図６Ｂ】
2005322241.tif 000052
【図７Ａ】
2005322241.tif 000053
【図７Ｂ】
2005322241.tif 000054