(57)【要約】【課題】空間光変調器の空間像を計算する方法およびシステムを提供して、従来技術における１つまたは複数の問題または欠点を実質的に回避すること。【解決手段】空間光変調器アレイの空間像を計算する方法において、この空間光変調器アレイのピクセル間で、２ピクセル１組みの干渉を表すピクセル干渉マトリクスを計算し、これらのピクセルの変調状態に相応する有効グレイトーンを計算し、上記のピクセル干渉マトリクスおよび有効グレイトーンに基づいて空間像を計算する。【選択図】図１０
2005322924.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
空間光変調器アレイの空間像を計算する方法において、
該空間光変調器アレイのピクセル間で、２ピクセル１組みの干渉を表すピクセル干渉マトリクスを計算するステップと、
該ピクセルの変調状態に相応する有効グレイトーンを計算するステップと、
前記のピクセル干渉マトリクスおよび有効グレイトーンに基づいて空間像を計算するステップとを有することを特徴とする、
空間光変調器アレイの空間像を計算する方法。
【請求項２】
前記の有効グレイトーンは、前記のピクセルの変調状態だけに依存する、
請求項１に記載の方法。
【請求項３】
前記ピクセル干渉マトリクスは位置変数だけに依存する、
請求項１に記載の方法。
【請求項４】
前記位置変数は、画像面における位置および電磁放射源の面における位置である、
請求項３に記載の方法。
【請求項５】
前記ピクセル干渉マトリクスは、関数のマトリクスである、
請求項１に記載の方法。
【請求項６】
前記ピクセル干渉マトリクスは４次元マトリクスである、
請求項１に記載の方法。
【請求項７】
ｓｉｎｃ関数を使用して前記有効グレイトーンを近似する、
請求項１に記載の方法。
【請求項８】
多項式関数を使用して前記有効グレイトーンを近似する、
請求項１に記載の方法。
【請求項９】
前記空間像Ｉ(ｘ，α)を、
【数１】
2005322924.tif 000016
にしたがって計算し、ここで、
【数２】
2005322924.tif 000017
は、与えられた照明モードに対するピクセル干渉マトリクスＣであり、
【数３】
2005322924.tif 000018
であり、またＦは線形作用素、ｎは基底関数の個数、Ｎはピクセルの個数、α＝[α１，…，αＮ]はピクセルの変調状態、またＰｋ(ｆｐ，ｆｓ)は、ひとみおよび光源座標の関数としてフィールドＵ（ｋ）の変化を表す基底関数である、
請求項１に記載の方法。
【請求項１０】
さらに
【数４】
2005322924.tif 000019
による感度を使用して、前記空間像Ｉ(ｘ，α)を繰り返して計算する、
請求項９に記載の方法。
【請求項１１】
空間光変調器アレイの空間像を計算する装置において、
該空間光変調器アレイのピクセル間で、２ピクセル１組みの干渉を表すピクセル干渉マトリクスを計算する手段と、
該ピクセルの変調状態に相応する有効グレイトーンを計算する手段と、
前記のピクセル干渉マトリクスおよび有効グレイトーンに基づいて空間像を計算する手段とを有することを特徴とする、
空間光変調器アレイの空間像を計算する装置。
【請求項１２】
前記の有効グレイトーンは、前記のピクセルの変調状態だけに依存する、
請求項１１に記載の装置。
【請求項１３】
前記ピクセル干渉マトリクスは位置変数だけに依存する、
請求項１１に記載の装置。
【請求項１４】
前記位置変数は、画像面における位置および電磁放射源の面における位置である、
請求項１３に記載の装置。
【請求項１５】
前記ピクセル干渉マトリクスは、関数のマトリクスである、
請求項１１に記載の装置。
【請求項１６】
前記ピクセル干渉マトリクスは４次元マトリクスである、
請求項１１に記載の装置。
【請求項１７】
前記有効グレイトーンは、ｓｉｎｃ関数を使用して近似される、
請求項１１に記載の装置。
【請求項１８】
前記有効グレイトーンは、多項式関数を使用して近似される、
請求項１１に記載の装置。
【請求項１９】
前記空間像Ｉ(ｘ，α)は、
【数５】
2005322924.tif 000020
にしたがって計算され、
ここで、
【数６】
2005322924.tif 000021
は、与えられた照明モードに対するピクセル干渉マトリクスＣであり、
【数７】
2005322924.tif 000022
であり、またＦは線形作用素、ｎは基底関数の個数、Ｎはピクセルの個数、α＝[α１，…，αＮ]はピクセルの変調状態、またＰｋ(ｆｐ，ｆｓ)は、ひとみおよびソース座標の関数としてフィールドＵ（ｋ）の変化を表す基底関数である、
請求項１１に記載の装置。
【請求項２０】
さらに
【数８】
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による感度を使用して、前記空間像Ｉ(ｘ，α)を繰り返して計算する手段を有する、
請求項１１に記載の装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、一般的にはリソグラフィに関し、また殊に空間光変調器（ＳＬＭ spatial light modulator）アレイの空間像をリアルタイムに計算する方法およびシステムに関する。
【背景技術】
【０００２】
リソグラフィは、基板の表面にフィーチャ（feature）を形成するために使用される処理である。このような基板には、フラットパネルディスプレイ（例えば液晶ディスプレイ）、回路基板、種々異なる集積回路などの作製に使用される基板を含めることができる。このような応用に対してよく使用される基板は、半導体ウェーハまたはガラス基板である。ここでは説明のために半導体ウェーハについて述べるが、当業者は、ここで述べることが当業者に知られている他のタイプの基板にも当てはまることが理解されよう。
【０００３】
リソグラフィ中、ウェーハステージに取り付けられたウェーハは、リソグラフィ装置内に配置された露光光学系によってウェーハの表面に投影された画像で露光される。露光光学系はフォトリソグラフィの場合に使用されるが、特定の応用に依存して別のタイプの露光装置を使用することができる。当業者に公知のように、例えば、ｘ線、イオン、電子またはフォトンリソグラフィではそれぞれ別の露光装置が要求されることがある。ここでは説明だけを目的としてフォトリソグラフィという特定の例を説明する。
【０００４】
投影画像は、層の特性、例えばウェーハの表面にデポジットされたフォトレジストの特性を変化させる。これらの変化は、露光中にウェーハに投影されるフィーチャに相応する。露光に続いて、これらの層をエッチングして、パターニングされた層を形成することができる。このパターンは、露光中にウェーハに投影されるフィーチャに相応する。つぎにこのパターニングされた層が使用されて、導体層、半導体層、絶縁層などのこのウェーハ内の下部構造の露光部分が処理または除去される。その後、この処理は、ウェーハの表面または種々の層に所望のフィーチャが形成されるまで、別のステップと共に繰り返されるのである。
【０００５】
慣用のリソグラフィシステムおよび方法では、半導体ウェーハに画像が形成される。このシステムには通常、リソグラフィチャンバがあり、これは、半導体ウェーハに画像を形成する処理を行う装置を含むように設計される。このチャンバは、使用される光の波長に依存して種々異なるガス混合気および真空度を有するように設計することができる。レチクルはこのチャンバ内に配置される。光ビームは、（システムの外部にある）照明源から発して光学系と、レチクルの画像のアウトラインと、第２の光学系とを通った後、半導体ウェーハと相互作用を及ぼす。
【０００６】
基板にデバイスを作製するためには複数のレチクルが必要である。これらのレチクルは、フィーチャサイズと、小さなフィーチャサイズに必要な正確な許容差とに起因して、ますます作製にコストがかかり時間を消費するようになって来ている。またレチクルは、摩耗する前の所定の時間の間しか使用できない。レチクルが所定の許容差内にないか、またはレチクルが損傷した場合には、日常的にさらなるコストを被ることになる。このため、レチクルを使用したウェーハの作製が増大するのに伴って、法外な費用が発生し得るのである。
【０００７】
このような欠点を克複数るため、マスクレス（例えば、直接書き込み、ディジタルなど）のリソグラフィシステムが開発されている。このマスクレスシステムでは、レチクルが、空間光変調器（ＳＬＭ spatial light modulator）と称されるコントラスト可変の装置によって置き換えられる。公知のＳＬＭには、ディジタルミラー装置（ＤＭＤ digital mirror device）、液晶ディスプレイ（ＬＣＤ）、グレーティングライトバルブ装置（ＧＬＶ grating light value device）などがある。このＳＬＭには、アクティブエリアのアレイ（例えば、ミラーの傾斜および／またはピストン移動またはＬＣＤアレイセルのグレイトーン表示）が含まれており、これらは制御によって光学的性質が変わり、所望のパターンが形成されるのである。
【０００８】
また同時にこの業界では空間像（すなわち、投影光学系の焦点面における画像）をリアルタイムに計算することと、（この処理とは逆に）このような画像を形成するために必要なピクセルの状態を計算することとが求められている。通例、後者の計算は繰り返して行われる。画像面において要求される輝度分布がわかる場合、ＳＬＭコントローラ、またはこのＳＬＭコントローラに接続されているコンピュータシステムは、ピクセル変調入力値の最適な集合を計算して、この画像面において所望の輝度分布が得られるようにする必要がある。しかしながらこのような計算のための慣用の「力尽く」のアプローチは極めて計算能力を多用するため、リアルタイムに空間像を連続して再計算することはふつう不可能である。
【０００９】
したがって空間像を高速に計算する方法およびシステムが必要なのである。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１０】
本発明の課題は、空間光変調器の空間像を計算する方法およびシステムを提供して、従来技術における１つまたは複数の問題または欠点を実質的に回避することである。
【課題を解決するための手段】
【００１１】
上記の方法についての課題は本発明の請求項１によって、またシステムについての課題は本発明の請求項１１によって解決される。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１２】
本発明の空間光変調器アレイの空間像を計算する方法は、空間光変調器アレイのピクセル間で２ピクセル１組みの干渉を表すピクセル干渉マトリクスを計算するステップと、ピクセルの変調状態に相応する有効グレイトーンを計算するステップと、上記のピクセル干渉マトリクスおよび有効グレイトーンに基づいて空間画像を計算するステップとを有する。上記のグレイトーンは、ピクセルの変調状態だけに依存し得る。上記のピクセル干渉マトリクスは通例、位置変数、ＳＬＭピクセルの変調原理および照明モードだけに依存する。この位置変数は、画像面における位置および電磁放射源の面における位置である。上記のピクセル干渉マトリクスは、関数のマトリクスまたは４次元のマトリクスである。例えば、上記の有効グレイトーンは、ｓｉｎｃ関数を使用することによって、または多項式関数を使用することによって近似される。
【００１３】
本発明の空間光変調器アレイの空間像を計算する装置は、空間光変調器アレイのピクセル間で２ピクセル１組みの干渉を表すピクセル干渉マトリクスを計算する手段と、ピクセルの変調状態に相応する有効グレイトーンを計算する手段と、上記のピクセル干渉マトリクスおよび有効グレイトーンに基づいて空間画像を計算する手段とを有する。上記のグレイトーンは、ピクセルの変調状態だけに依存し得る。上記のピクセル干渉マトリクスは通例、位置変数、ＳＬＭピクセルの変調原理および照明モードだけに依存する。この位置変数は、画像面における位置および電磁放射源の面における位置である。上記のピクセル干渉マトリクスは、関数のマトリクスまたは４次元のマトリクスである。例えば、上記の有効グレイトーンは、ｓｉｎｃ関数を使用することによって、または多項式関数を使用することによって近似される。
【００１４】
本発明の付加的な特徴および利点は、以下の説明に示されており、また部分的には上記の説明から明らかであり、または本発明の実施によってわかる。本発明の利点は、言葉による説明、それについての請求項ならびに添付の図面において特に指摘した特徴および構造によって実現されまた達成される。
【００１５】
上記の一般的な説明および以下の詳しい説明は、両方とも例示的および説明的なものであり、また請求項に記載した本発明をさらに詳しく説明しようとするものである。
【実施例】
【００１６】
ここに組み込まれ本発明の一部をなす添付の図面は、本発明の実施形態を示しており、また説明と共に本発明の原理を詳述するものである。
【００１７】
特定の構成および装置について述べるが、これは説明のためだけであると理解されたい。当業者には、本発明の精神および範囲を逸脱することなく、他の構成および装置を使用できることが理解できるはずである。また当業者には、本発明が多種多様な別の応用に適用できることも明らかであろう。
【００１８】
図１は、本発明の１実施形態によるマスクレスリソグラフィシステム１００を示している。システム１００は照明システム１０２を含んでおり、これはビームスプリッタ１０６およびＳＬＭ光学系１０８を介して、反射形空間光変調器（ＳＬＭ）１０４（例えば、ディジタルマイクロミラーデバイス（ＤＭＤ digital mirror device）、反射形液晶ディスプレイ（ＬＣＤ）など）に光を伝送する。ＳＬＭ１０４は、伝統的なリソグラフィシステムにおいて使用されるレチクルに代わって光をパターニングするために使用される。ＳＬＭ１０４から反射されパターニングされた光は再度ビームスプリッタ１０６を通り、つぎに投影光学系（ＰＯ projection optics）１１０を通って、対象体１１２（例えば、フラットパネルディスプレイのガラス基板、半導体ウェーハ、基板など）に回路パターンの画像を形成する。
【００１９】
照明光学系は、当該技術分野において公知のように照明システム１０２内に収容可能である。ＳＬＭ光学系１０８および投影光学系１１０は、当該の技術分野において公知のように、ＳＬＭ１０４および／または対象体１１２の所望のエリアに光ビームを配向するために必要な任意の光学素子の組合せを含むことができる。
【００２０】
択一的な実施形態では、照明システム１０２およびＳＬＭ１０４の一方または両方はそれぞれ、コントローラ１１４および１１６に結合できるか、または内蔵形コントローラ１１４および１１６を有することできる。コントローラ１１４は、システム１００からのフィードバックに基づいて照明光源１０２を調整するため、または較正を行うために使用可能である。コントローラ１１６を使用して調整および／または較正を行うことも可能である。択一的にはコントローラ１１６を使用してＳＬＭ１０４のアクティブデバイス３０２を制御する（例えば、ピクセル、ミラー、位置その他）ことが可能であり、これによってパターンが生成される。またこのパターンが使用されて対象体１１２が露光される。コントローラ１１６は、内蔵形記憶装置を有するか、または（図示しない）記憶素子に結合され、この記憶素子は、あらかじめ決められた情報および／または１つまたは複数のパターンを生成するために使用されるアルゴリズムを有する。
【００２１】
図２は本発明の別の実施形態によるマスクレスリソグラフィシステム２００を示している。システム２００は、照明源２０２を含んでおり、これはＳＬＭ２０４（例えば、透過形ＬＣＤなど）を通して光を伝達して光をパターニングする。パターニングされた光は投影光学系２１０を通して伝達され、対象体２１２の表面にパターンが書き込まれる。この実施形態では、ＳＬＭ２０４は液晶ディスプレイなどの透過形ＳＬＭである。上記と同様に照明源２０２およびＳＬＭ２０４の一方または両方はそれぞれコントローラ２１４および２１６に結合可能であるか、またはこれらのコントローラと一体になっている。コントローラ２１４および２１６は、当業者に公知のように上記のコントローラ１１４および１１６と同じ機能を実行することができる。
【００２２】
システム１００または２００に使用可能なＳＬＭの例は、ドイツのFrauhofer Institute for Circuit and Systemsによって製造されている。例えば米国カリフォルニア州SunnyvaleのSilicon Light Machinesによって製造されているグレーティングライトバルブ（ＧＬＶ  grating light valve）ＳＬＭは、本発明が適用可能なＳＬＭの別の例である。
【００２３】
以下では単に便宜上システム１００だけについて述べる。しかしながら以下で説明するすべてのコンセプトは、当業者に公知のようにシステム２００に適用可能である。本発明はこのようなシステムにも適用可能である。
【００２４】
図３はＳＬＭ１０４のアクティブエリア３００の詳細を示している。アクティブエリア３００は、アクティブデバイス３０２のアレイ（図では点のパターンで示されている）を含んでいる。アクティブデバイス３０２は、ＤＭＤのミラーまたはＬＣＤの１位置とすることができる。アクティブデバイス３０２は、当業者には公知のようにピクセルと称することもできる。アクティブデバイス３０２の物理的な特性を調整することによって、これらアクティブデバイスは、（バイナリのＳＬＭに対して）オンまたはオフのいずれかとみることができ、または別のＳＬＭに対してはオンとオフとの間の中間の状態とみることできる。所望のパターンに基づくディジタルまたはアナログ入力信号が使用されて、種々異なるアクティブデバイス３０２が制御される。対象物１１２に書き込まれる実際のパターンを検出することができ、かつこのパターンが、許容される公差を外れているか否かを決定できる実施形態もある。公差を外れている場合、コントローラ１１６を使用して、リアルタイムにアナログまたはディジタルコントロール信号を生成して、ＳＬＭ１０４によって生成されるパターンを微調整（例えば、較正、調整その他）することができる。
【００２５】
図４にはＳＬＭ１０４がさらに詳細に示されている。ＳＬＭ１０４は、アクティブエリア３００を包囲するイナクティブなパッケージング４００を含むことができる。また択一的な実施形態では、メインコントローラ４０２を各ＳＬＭコントローラ１１６に結合して、以下に説明するようにＳＬＭのアレイを監視および制御することができる。また以下に説明するように隣り合うＳＬＭは、別の実施形態において、互いに対してオフセットを有するようにまたは互い違いに配置することができる。
【００２６】
図５は、ＳＬＭ１０４のアレイを収容するサポートデバイス５０２を含むアセンブリ５００を示している。実施形態によっては、以下に一層詳しく説明するようにＳＬＭ１０４のアレイは、パルス当たりの所望の露光数またユーザの別の判断基準に基づいて、種々異なる列数、行数、列当たりのＳＬＭ数、行当たりのＳＬＭ数などを有することができる。ＳＬＭ１０４は、サポートデバイス５０２に結合することができる。サポートデバイス５０２は、当業者には公知のように、（例えば、水または空気チャネルなどの）温度制御エリア５０４と、制御ロジックおよび関連する回路に対するエリアと、ＳＬＭ１０４を収容する（破線の形の中に形成される）ウィンドウ５０６とを有する。ここで上記の制御ロジックおよび関連する回路に対するエリアについては、例えば、ＡＳＩＣ、Ａ／Ｄコンバータ、Ｄ／Ａコンバータ、ストリーミングデータに対するファイバー光学系などであり得る素子４０２および１１６を示す図４を参照されたい。サポートデバイス５０２、ＳＬＭ１０４および周辺のすべての冷却または制御デバイスをアセンブリと称する。アセンブリ５００により、所望のステップサイズが可能になり、これによって（例えば、対象体１１２におけるフィーチャの隣り合う素子を接続する）所望の編み目と、前縁および後縁のＳＬＭ１０４に対してオーバラップとを形成することができる。例として、サポートデバイス５０２は、２５０ｍｍ×２５０ｍｍ（１０ｉｎ×１０ｉｎ）または３００ｍｍ×３００ｍｍ（１２ｉｎ×１２ｉｎ）のサイズを有することができる。サポートデバイス５０２は、温度的に安定な材料から作製することにより、温度管理に使用することができる。
【００２７】
サポートデバイス５０２は、ＳＬＭ１０４の間隔制御を保証するため、また回路および温度制御エリア５０４を埋め込むための機械的な土台として利用可能である。サポートデバイス５０２の表側または裏側のいずれか、またはこの両方に任意の電子回路を取り付けることができる。例えば、アナログベースのＳＬＭまたは電子回路を使用する場合、制御または結合システム５０４からアクティブエリア３００にワイヤを結合することができる。サポートデバイス５０２に取り付けられていることに起因してこれらのワイヤを比較的短くすることができ、これにより、回路がサポートデバイス５０２から離れている場合と比較してアナログ信号の減衰が低減される。また、回路とアクティブエリア３００との間のリンクが短いことによって、通信速度を増大させることができ、ひいてはリアルタイムでのパターン再調整速度を増大させることができるのである。
【００２８】
択一的には、ＳＬＭ１０４または回路の電子デバイスが消耗した場合、アセンブリ５００を簡単に交換することができる。アセンブリ５００を交換することは、アセンブリ５００の１チップだけを交換するのと比べてコストがかかるように思われるが、実際にはアセンブリ５００全体を交換する方が簡単かつ迅速であり、これによって製造コストを低減することができるのである。またエンドユーザがアセンブリ５００を更新したい場合にはこれが可能であり、この際に交換部品を少なくすることができる。アセンブリ５００を一旦交換してしまえば、作製を再開する前に全体的な位置合わせだけを行えばよい。運動学的装着テクニック（kinematic mouting technique）を使用して、実地での交換中に反復的にアセンブリ５００を機械的に位置合わせすることができる例もある。これによってアセンブリ５００の光学的調整がまったく不要であるようにすることができる。
【００２９】
現在のＳＬＭシステムは通例、１６μｍ×１６μｍピクセル３０２（図６を参照されたい）を利用しており、次世代のＳＬＭシステムは８μｍ×８μｍピクセル３０２に移行する。通例、ＳＬＭ１０４は１００万以上のピクセル３０２を含んでおり、各ピクセル３０２の特性は、各ピクセル３０２に個別に供給される電圧によって個々に制御される。ＳＬＭ１０４は、反射形でも透過形でもどちらでもよい（例えばミラー式の反射形ＳＬＭおよびＬＣＤ式の透過形ＳＬＭ）。反射形ＳＬＭ１０４は、今日の当該業界において、より一般的に使用されている。図６はこのような反射形または傾斜形のＳＬＭ１０４の図であり、ここには１２個のピクセルが示されている（これらの一部に３０２ａ〜３０２ｄがラベル付けされている）。１実施例では、（図示しない）容量結合が（図示しない）トランジスタによって制御される。ふつうピクセル３０２は、キャパシタにおいて平行板が制御されるのと同じように制御される。言い換えると、容量結合を使用し、静電気力を利用することによってピクセル３０２のミラーの傾斜が制御されるのである。図６ではミラーの下のキャパシタが充電される場合に、ミラーのうちの１つ（ピクセル３０２ｄのミラー）が傾斜する様子が示されている。
【００３０】
ピクセル３０２が正方形の場合、その回折パターンは、
【００３１】
【数１】
2005322924.tif 000003
で定義されるｓｉｎｃ関数であり、これは大きな０次のローブと、比較的小さいサイドローブとを有する。ピクセル３０２が傾斜すると、ピクセル３０２から得られる回折パターンは、角度間隔（angular space）を側方にシフトさせる。
【００３２】
投影光学系１１０が０次のローブの一部だけを捉える、例えば、０次のロープにおける全エネルギー量の１／２または１／３だけを捉える場合（すなわち、個々のＳＬＭピクセルを分解しないＰＯ１１０を使用する場合）、ピクセル３０２ｄを傾斜させることによって、投影光学系１１０を通過する光の量が変調される。したがってこの変調メカニズムにとって重要であるのは、変調作用を有するためにピクセル３０２ｄが分解されていないことである。しかしながらピクセル３０２ｄは分解されていないため、（正方形のピクセルないしはミラーに対して）「鮮明な正方形」が見える代わりに、光の「しみ」（以下に説明する図８を参照されたい）が結像され、「鮮明な正方形」の通常のサイズを数倍上回る。これによって、隣り合うピクセル３０２から得られる画像はオーバラップすることになる。したがってこれらの隣り合うピクセル３０２は相互に強く作用し合うのである。つまり、画像面の各点において光は、複数のピクセル３０２から受光されるのである。
【００３３】
例えば図７〜８に示されているのは、λ（光源の波長）＝ 193.375ｎｍ，Ｌ（ピクセルサイズ）＝１６μｍ，ＰＯのＮＡ（開口数）＝0.00265，ピクセル３０２の傾斜はα＝０と、α＝α０＝λ／(２＊Ｌ)との間である。図７は、単一のピクセルに対し相異なる１０個の傾斜角について、投影光学系１１０のひとみにおけるフィールドを示している（図７および８では分かりやすくするため、ただ１つのピクセルの角度変調（angular modulation）だけが示されていることに注意されたい）。0.00265の開口数では、画像面においてＳＬＭピクセルは極めて不満足にしか分解されない（すなわち未分解（sub-resolved）である）（図８を参照されたい）。殊に図８に示したように、異なる傾斜角αに対して良好な変調が得られているが、ピクセル３０２の画像は大きく「広がっている」。
【００３４】
上記のようにＳＬＭを利用した光の変調に使用可能な物理学的な原理は数多く存在する。これらの原理のうちの１つがグレイトーンないしは透過形ＳＬＭの使用であり、ここでは各ピクセルを透過する光の輝度が変調される。別の原理は、ミラーの傾斜ないしはＳＬＭの傾斜であり、ここではふつうディジタルに各ピクセルミラーの角度が制御される。ＳＬＭ出力を変調するための３番目のタイプの原理は、ミラーの移動またはピストン運動を使用することであり、これらによって、反射した波面に位相の変化が発生する。
【００３５】
ＳＬＭのコンテキストでは、ラスタ化（rasterization）とは、所望の出力と、ＳＬＭおよび消去ソース（elimination source）の特性とが与えられた場合に、ＳＬＭピクセルの最適な変調パラメタを計算するプロセスのことである。空間像の計算は、ほとんど任意のラスタ化アルゴリズムにおいて重要なステップである。ラスタ化のためには空間像を繰り返して何度も計算しなければならない。
【００３６】
したがって関心対象の問題をつぎのように定義することができる。すなわち、画像面において所定の輝度分布Ｉ(ｘ，α)を達成することが望ましいのである。これは「空間像（aerial image）」としても知られている。目標は、所望の空間像を形成するピクセル変更（変調）パラメタの集合を決定することである。一般的には、ｘを画像面における位置ベクトルとする時、ピクセル変調パラメタα ＝ [α１，…，αＮ]の一般的なパターンに対してＩ(ｘ，α)を計算するためには空間像のシミュレーションが必要であるが、これは計算能力を多用する作業である。
【００３７】
与えられた変調条件α ＝ [α１，…，αＮ]の集合に応じて各ピクセルから得られる空間像は、比較的安直な計算によって、または計測によってわかる。対象体面における（すなわちＳＬＭにおける）位相分布および振幅が分かれば、フーリエ変換を１回使用して、投影光学系１１０のひとみにおける照明フィールドの位相分布Ｕ（ｐ）および振幅を計算することができる。またつぎに第２のフーリエ変換を使用することによって（またはさらに複雑な画像モデル）を使用することによって、画像面における位相分布Ｕ（ｉ）および振幅を計算することができる。またつぎにここから画像面における輝度分布を計算することができるのである。
【００３８】
より一般的には、最善に合焦した画像面におけるフィールドＵ（ｉ）と、ひとみ面におけるフィールドＵ（ｐ）とは、線形作用素Ｆによって関係している。すなわち、つぎの「イメージングモデル」が使用される。すなわち、
Ｕ（ｉ）(ｘ，α，ｆｓ) ＝ Ｆ(Ｕ（ｐ）(ｆｐ，α，ｆｓ))                  （式１）
であり、ここでｘは、画像面における２次元の位置ベクトル、すなわち（ｘ，ｙ）である。ベクトルα ＝ [α１，…，αＮ]は、上記のように、ＳＬＭアレイの全ピクセルのパラメタのすべての変調の集合である。「小開口数、スカラモデル」ではＦは、ｆｐ（すなわち、ひとみ面における位置）に依存しない変数からｘ（画像面における位置）へのフーリエ変換である。ここでｆｐ ＝ [ｆｐ（ｘ），ｆｐ（ｙ）]はひとみ位置座標であり、
【００３９】
【数２】
2005322924.tif 000004
である。ここでｘ／Ｒおよびｙ／Ｒは、このひとみにおける角度座標に相応する方向余弦であり、またｆｐ ＝ [ｆｐ（ｘ），ｆｐ（ｙ）]は、平面波が発する光源位置座標である。下線付きの文字はベクトル量を表す。
【００４０】
拡張された光源Ｓにおけるポイントｆｓにて発生する平面波によって照明される一般的な単一のピクセルｊによって（例えばミラーピクセルを傾ける）生成される画像面におけるフィールドＵ（ｉ）は、式
Ｕｊ （ｉ） ＝ Ｕｊ （ｉ） (ｘ−ｘｊ，αｊ，ｆｓ)                                （式２）
によって得られる。
【００４１】
ＳＬＭアレイにおける複数のこのようなピクセルから得られる空間像Ｉ(ｘ，α)は、
【００４２】
【数３】
2005322924.tif 000005
によって得られ、ここでＮはピクセルの総数である。Ｕ（ｉ）の場合、画像面の任意の位置（すなわちｘｊ）におけるフィールドＵ（ｉ）は、傾斜角αｊと、光源において平面波が発生する点光源の位置ないしはｆｓとに依存する。上記の式は、光源がバイナリである（すなわち光源におけるすべての放射点の輝度が同じである）という過程に基づいているが、この式また以下の式は、光源にわたって輝度が一般的に変化する光源に対しても簡単に再定式化することができる。
【００４３】
しかしながら数学的に安直なこのようなプロシージャは極めて計算能力を多用する。それはふつうＳＬＭは数１００万ものピクセルを有することがあり、これらのそれぞれが、極めて多数の変調状態を有し得るからである（例えばピクセル毎に６４個の状態）。さらに重大であるのは、式３にしたがって安直に計算を行うと、ＳＬＭピクセルの与えられた変調状態α ＝ [α１，…，αＮ]から得られる空間像を計算するために、光源にわたって積分を行う必要があることである。この計算タスクを完了するのにようする時間は、関与する処理ハードウェアに依存するが、プロセッサ速度、Ｉ／Ｏインタフェースの制限、ピクセルの数などに依存して概して数分から数時間である。
【００４４】
つぎにミラー傾斜形ＳＬＭに対して空間像を計算する処理を一般的に説明する。通例のミラー傾斜形ＳＬＭは、数１００万のミラーを有しており、これらのミラーはそれぞれ一辺の長さＬを有するほぼ正方形で、またそれぞれ傾斜角α（変調パラメタ）を有する。このＳＬＭは対象体面に配置されている。したがって平面状に到来する波によって各ミラーは反射波を生成し、これによって各ミラーにわたって位相が線形に変化する（ミラーが傾斜しているからである）。言い換えると、ミラーの傾斜は、各ミラーにわたる線形な位相の変化を、反射されたフィールドに発生させるのである。したがって対象体面に配置されるＳＬＭ全体は複数の反射器から構成され、これらの複数の反射器は、振幅は一定であるが位相が変化する反射を生成するのである。
【００４５】
上記のミラーが理想的なものであれば、位相の変化は、各ミラーにわたって完全に線形になる。しかしながら実践的にはミラーは完全ではなく、反射された波面に収差を生じさせる。ミラーの傾斜角は異なるため、ミラー毎に線形の変化の係数は異なる。また、そうではあっても位相がこのピクセルにわたって線形に変化し、また反射された波面における位相が、隣り合うピクセル間で「ジャンプ」する。ピクセルの中央では位相は通常ゼロである。したがって上記の分析により、択一的にこのＳＬＭをつぎのような平面反射ミラーとみなすことができる。すなわち、反射された波面にわたって位相が変化し、一定の振幅を反射する波面を生成する平面反射ミラーとみなすことできるのである。
【００４６】
対象体にわたる（すなわちＳＬＭにわたる）位相および振幅の分布は、ＳＬＭを覆う仮想的なグリッドを使用して種々異なる点で（通例、ミラー当たり数グリッド点で）数学的に「サンプリング」される。このグリッドは、各ピクセルがそこに数「ノード」を有するように、例えばピクセル当たり１０ノードを有するようにされ、反射されたフィールドがここで「サンプリング」される。したがって反射された波面を仮想的なグリッドの点においてのみ「サンプリング」すれば、振幅はどこでも一定であり、これに対して位相が変化することになる。しかも各ミラーにおいて線形に変化することになる。サンプリングされた波面はマトリックスまたはアレイで表すことでき、ここで各（要素の）点は、１の振幅と、このミラーの傾斜角αの関数である位相とを有する複素数である。このアレイは、リソグラフィパターンに相応し、また等価的にはパターンの表現に相応する。この場合にこのパターンは、空間像を計算するアルゴリズムによって使用可能である。
【００４７】
上で述べたように慣用のアルゴリズムでは、空間像は２つのフーリエ変換（対象体面からひとみ面およびひとみ面から画像面）を使用して計算される。ＮＡが大きい場合には第２のフーリエ変換の代わりにより複雑な計算が必要になることもある。この慣用の計算は、高速フーリエ変換（ＦＦＴ Fast Fourier Transform）アルゴリズムを使用したとしても比較的時間を消費する。２回のフーリエ変換を計算した後、画像面における輝度は、画像面におけるフィールドを２乗することによって計算可能である。さらに上記の計算は、対象体に所定の角度で入射する平面波を生成させる、拡張された光源における点毎に繰り返さなければならない。この拡張された光源における各点から得られる「部分的な」空間像は、与えられた照明モードから得られる画像に到達するため、足し合わさなければならない（光源にわたって積分しなければならない）。「マスク」（パターン）は、一般的な対象体として扱われるため、力尽くで行った場合、上記の計算は極めて計算能力を多用する。
【００４８】
ここのアプローチは、対象体またはパターンが任意の（一般的な）パターンではなく、それ自体繰り返しの形状からなり、オブジェクトのエリア間の関係が明確に定められているとう見通しに基づいている。この場合、この繰り返しの形状は、この対象体の表面にわたって多くの回数繰り返される正方形のピクセルである。また上記の拡張された光源にわたる積分は、あらかじめ計算することができる。このような見通しは、慣用的に行われている力尽くの計算が過剰であることを示す。傾斜形ミラーではなくグレイトーンピクセルからなるＳＬＭの簡単な例を使用する場合に有利である。
【００４９】
グレイトーンの例において、ピクセルはすべて、伝達されるフィールドと同じ位相を有するが輝度透過率（intensity transmittance）または反射率が変化する。単一のグレイトーンピクセルをとると、このピクセルから得られる画像フィールドは、その振幅透過率（amplitude transmittance）の変調に線形に依存する。したがって５０％の透過率のグレイトーンピクセルの画像フィールドＵ（ｉ）は、振幅が、他の点ではこの５０％の透過率の場合と同じである１００％の透過率のグレイトーンピクセルの画像フィールドのちょうど半分である。グレイトーンピクセルおよび投影光学系１１０は、入射光に効果的に（数学的な意味で）線形に作用する。ＳＬＭの結像は通常、未分解モード（subresolution mode）で行われるため、ピクセルの画像は、図８に示して上で述べたように実際には「しみ」である。この「しみ」はほぼ円形である。このピクセルの透過率が変調される場合、この「しみ」の輝度は、ピクセル変調と共に線形に変調される。しかながら光が「しみ」で分布することは同じままである。
【００５０】
振幅透過率／反射率が変わるピクセルを有するＳＬＭに対しては正確である上記の特性は、「グレイトーン近似」によれば、さらに複雑な変調原理を有するピクセルに対して一般化することができる。未分解のピクセル（subresolution pixel）に対して良好な近似であるグレイトーン近似は、
Ｕｊ （ｉ） (ｘ−ｘｊ，αｊ，ｆｓ) ＝ ｇ(αｊ)Ｕ（ｉ）(ｘ−ｘｊ，ｆｓ)              （式４）
で与えられ、ここでｇ(αｊ)（｜ｇ(αｊ)｜ ＜＝ １）は、ピクセルの有効な振幅グレイトーンであり、αｊは、変調パラメタである（グレイトーン形ＳＬＭの場合、透過値）。変調パラメタαに対する振幅グレイトーンの依存関係を導き出すためにいくつかアプローチが可能である。例えば、傾斜形ミラーピクセルに対して、比較的正確なモデルはｇ(α) ＝ sinc(α／α０)，α０ ＝ λ／(２＊Ｌｐｉｘｅｌ)である。ピクセルツーピクセルの変化は、式４において無視されることにも注意されたい（すなわちＵ（ｉ）ｊの代わりにＵ（ｉ））。
【００５１】
式４からわかるように、位置ｘと、傾斜角αと、光源位置ベクトルｆｓの関数である単一ピクセルに対するグレイトーン近似は、２つの異なる関数の積として表すことができる。第１の関数は、傾斜形ミラーピクセルの有効なグレイトーンであり、これはｓｉｎｃ関数によって表すことができる。第２の部分は、画像面における位置および光源の特性だけの関数である。このｓｉｎｃ関数近似を使用することにより、画像面に光の「シミ」が得られ、これはｇの値に伴って線形に変倍する。したがってこのパラメタｇは、傾斜角αに依存する「有効な」グレイトーンである。これにより、式４は、実質的に画像面フィールドＵ（ｉ）が、傾斜角αに伴ってではなく傾斜角αの関数に伴って線形に変倍することを意味するのである。
【００５２】
式４を式３に代入することによって、画像面における輝度に対する結果は、
【００５３】
【数４】
2005322924.tif 000006
のようになり、ここでｇ ＝ [ｇ１，…，ｇＮ]はピクセルのグレイトーンであり（すなわちベクトルｇは、傾斜角αｊ毎に、この傾斜角αｊに対して関連するグレイトーンを表す）、ｇｉは傾斜角αｊに相応する有効グレイトーンであり、Ｎはピクセルの数であり、Ｃｊ１，ｊ２(ｘ)はつぎのように定義されるピクセル干渉マトリクス（ＰＭ pixel interference matrix）、
【００５４】
【数５】
2005322924.tif 000007
である。
【００５５】
このピクセル干渉マトリクスＣは、与えられた照明モードに対して、ピクセル間の２ピクセル１組みの干渉を特徴付け、その要素は、わずかな回数の空間像シミュレーションから、または解析的にあらかじめ計算することができる。互いに接近したピクセル（すなわち近傍のピクセル）に相応する、ピクセル干渉マトリクスの要素だけを保持するのでも十分である。このピクセル干渉マトリクスＣの要素は、２つのピクセルの互いに他のピクセルに対する相対的な位置（回転に至るまで）だけに依存する。言い換えると、グレイトーンの場合、最も近い近傍のピクセルを考慮するため、ピクセル干渉マトリクスＣには実質的な２つの要素しか必要ないのである。すなわち、目下のピクセルと「北」および「北東」の近傍のピクセルとの間の干渉を表す要素しか必要ないのである（他の要素は単にすべてこれらの２つの要素のうちの１つの回転であり、北および北東は例として使用した）。
【００５６】
これらの数式が示すのは、画像面における輝度が位置（ｘ）およびｇベクトルの関数であることであり、ここでｇベクトルは、傾斜角情報（傾斜角それ自体と混同しないように注意されたい）である。またこれと相応して輝度Ｉ(ｘ，α)は、グレイトーンベクトルｇの２次関数である。
【００５７】
式６においてマトリクスＣは、ピクセルの変調状態には依存しないことにも注意されたい。それはピクセル変調状態が分離されて式５のｇｊ１，ｇｊ２部に出されているからである。言い換えると、マトリクスＣは、画像面および光源面における位置変数（変数ｘおよびｆｓ）だけに依存するのである。すなわちＣマトリクスは、ピクセルの位置と、照明源の「形状」とに依存するのである。このことが意味するのは、Ｃマトリクスがあらかじめ計算できるということである。この場合にＣがわかり、ピクセルの状態がわかれば、式５の２次の表現は、比較的安直に計算することができる。式５は、フーリエ変換を使用する複雑でリアルタイムの再計算を必要としないことに注意されたい。Ｃが計算される場合、この部分はアプリオリに行うことができ、また１度だけ行えばよい。別の表現を使えば、空間像の計算は１度だけ行われ、１度行えばリアルタイムに再利用できるのである。
【００５８】
ラスタ化処理において付加的には、空間像Ｉ(ｘ，α)だけでなく、ピクセル変調αの変化に対するこの空間像Ｉ(ｘ，α)の感度（sensitivity）を計算するのが望ましいことが多い。言い換えると、１ピクセルの変調状態αｊがわずかに変化すると、空間像の状態はどうなるかということである。これは一般にラスタ化処理中の「感度解析（sensitivity analysis）」として知られている。感度はふつう、空間像の導関数（derivative）を使用することによって計算される。リアルタイムに繰り返してラスタ化計算を行うためには、特定のピクセルの少なくとも近くにおいて空間像を極めて高速に計算しなければならない。リアルタイムのＳＬＭラスタ化に適用される慣用のアプローチは、実用的ではない。ここで説明するアプローチではこの処理をいくつかのステップにわける。これらのステップのうちのいくつかのステップには、いくつかのパラメタをあらかじめ計算することが含まれるため、リアルタイムには比較的小さな計算量しか要求されない。
【００５９】
グレイトーン近似のフレームワークでは、グレイトーンに対する空間像感度は、既知のピクセル干渉マトリクスＣから
【００６０】
【数６】
2005322924.tif 000008
に基づいてリアルタイムに計算することができる。
【００６１】
上記の式７は、ピクセル変調パラメタに対する画像の感度を示しており、これは関数ｇについての輝度の導関数で表される。式７は、単一のピクセルの状態がわずかに変化した場合に空間像になにが起きるかを示す。式７はラスタ化処理によって使用されて、繰り返しにより、最適な解に収束する。式７によって得られる感度は、Ｃマトリクスおよびベクトルｇについて線形でもあり、またフーリエ変換を連続して再計算する必要ないことにも注意されたい。
【００６２】
したがって傾斜形ミラーピクセルは、グレイトーンモデルを使用して近似できるという仮定によれば、あらかじめ計算したピクセル干渉マトリクスＣと、ピクセル毎にピクセル傾斜角から導出される関数ｇとを使用して、空間像Ｉ(ｘ，α)の計算を極めて高速に行うことができるのである。Ｃは関数のマトリクスであり、（退化した場合には数のマトリクスに簡約されることがあるが）単なる数のマトリクスではないことにも注意されたい。上記のマトリクスＣｊ１，ｊ２(ｘ)は、ピクセルｊ１とｊ２との間の干渉を特徴付ける。マトリクスＣの対角線上の要素は、ピクセルのそれ自体の干渉か、またはピクセルそれ自体の空間像を表している。マトリクスＣの対角線から外れた要素は、相異なる２つのピクセル間の干渉（すなわち、２ピクセル１組の干渉）を表す。この２ピクセル１組みの干渉は、ピクセルの変調の状態には依存しない。
【００６３】
上の議論を踏まえると、ＳＬＭアレイ全体から空間像Ｉ(ｘ，α)を計算するため、グレイトーンＳＬＭの場合、計算能力を多用する２つのフーリエ変換の処理が不要であることが明らかである。行わなければならないのは、透過率１００％の単一のグレイトーンピクセルから得られる画像を決定して、つぎに相応するピクセル毎に、適当なスケールファクタで線形にスケーリングして画像面において個々のピクセルの画像をｘおよびｙ方向にずらすことだけである。言い換えると、２つのフーリエ変換と、輝度計算（画像フィールド分布Ｕ（ｉ）の２乗）とを加えた計算能力を多用するという問題をスケーリングおよび加算の比較的安直な計算に還元することができるのである。
【００６４】
さらに比較的互いに離れたピクセルは画像面において、互いに作用するとしても、極めて微弱にしか作用しない。画像面の特定の点におけるフィールドＵ（ｉ）を計算するためには、１ピクセルおよびその近傍のうちの数ピクセルからの輝度分布だけがわかればよい。言い換えると、グレイトーンＳＬＭの場合、今や明らかであるのは、計算の数を劇的に低減できることである。このアプローチでは、空間像の計算は、単一のピクセルだけに対して行えばよく、ＳＬＭアレイ全体に行う必要はないのであり、つぎにこのピクセルを画像面にわたって「複写」し、組み合わせて全体の空間像を形成することができるのである。
【００６５】
グレイトーン近似の上記の例は、２つの単純化ないしは近似に依拠している。第１の単純化は、まさにグレイトーンアレイの使用である。（すべてではないが）ほとんどの商用の応用は傾斜形ミラーを使用している。傾斜形ミラーのピクセル輝度分布は、グレイトーンピクセル輝度分布とは異なり、画像面におけるαに線形にスケーリングされない。
【００６６】
第２の単純化は、対象体がコヒーレントな光源によって照明されることである。言い換えると、上記の照明光源は、単一の点光源（パルスまたは連続波）から構成されるのである。実際にはこれはまれなケースである。マイクロリソグラフィ装置に使用される実践的な照明源は、はるかに複雑な輝度分布を有しており、例えば、ダイポール、クワドラポールの光源を有している。これらの光源は、実質的に互いにコヒーレントでない複数の「点」光源から構成され得る。上に述べたことが扱っているのは、部分的にコヒーレントな光源を使用する際の問題だけである。
【００６７】
種々異なる照明条件に対して、空間像およびその感度の高速な計算を可能にする、さらに正確なグレイトーン近似が必要である。傾斜形ミラーの場合、画像面における輝度分布の形状は、傾斜角αに依存して変化する。上記のように主要な難点は、グレイトーンピクセルの場合に輝度分布が透過率の関数として変化するのとは異なり、輝度分布が傾斜角αに伴って線形に変化しないことである。したがって単純な線形のスケーリングに依拠するアプローチがうまくいくことはめったにない。ここではＵ（ｉ）振幅および位相は共に傾斜角αに非線形に依存する。
【００６８】
しかしながら未分解（subresolution）の投影システムの場合、傾斜形ミラーピクセルは、グレイトーンアプローチを使用して近似することができる。以下に説明するこの近似により、またインコヒーレントに拡張した光源の問題も扱うことにより、傾斜形ミラーＳＬＭから得られる空間像の計算を簡単にする方法が本発明によって提供される。
【００６９】
傾斜形ミラーの問題にアプローチする別の方法は、傾斜形ミラーピクセルをグレイトーンピクセルとして扱うことであり、ここではグレイトーンピクセルの特性と、傾斜形ミラーの特性との間の違いを近似におけるつぎの段階の補正として扱う。
【００７０】
上で述べたグレイトーン近似は、変調された傾斜形ミラーピクセルから得られるＰＯ１１０のひとみにおけるフィールドＵ（ｐ）の変化を（ほぼ）定数で置き換えることよる近似とみなすことができる。つぎのステップは、ひとみにおけるフィールドＵ（ｐ）の線形（１次）の変化を考慮することである。これによって、傾斜されたミラーピクセルから得られ、画像面フィールドＵ（ｐ）にわたる位相の変化を考慮するさらに正確なＰＩＭおよび空間像が得られる。
【００７１】
さらに別のステップは、ひとみにおけるフィールドＵ（ｐ）を、複数の基底関数（例えば定数、１次関数、２次関数その他）の和として表すことである。これによってさらに一般的でさらに正確な近似が得られ、またこれは高速に計算可能である。
【００７２】
図９は、単一の傾斜形ミラーピクセルから得られるひとみにおけるフィールドＵ（ｐ）を示している。図９に示した曲線は、実質的にｓｉｎｃ関数の０次オーダのローブである。この曲線の実線部は、投影光学系１１０のひとみの開口数によって「サンプリング」される部分である。言い換えると、未分解（subresolution）のシステムでは、ｓｉｎｃ関数の０次オーダのローブはひとみの入口開口数よりもはるかに広く、実際にはこのローブの小さな部分だけが投影光学系１１０の入口ひとみによって捕捉されるのである。
【００７３】
この場合、図９における曲線のグラフの実線部分は、（ｓｉｎｃ関数に比べて）比較的簡単な関数によって適切に良好に近似することができる。例えば、これは直線によって、または２次方程式によって近似することができる。図９の曲線全体は、ミラーの傾斜角αに依存して左および右にシフトする。ミラーが傾斜していない場合、この曲線の最大値はひとみの中央と正確に一致する。図９に示した輝度曲線を有するピクセルがグレイトーンで変化する場合、図９の曲線は上下に移動する（または輝度がスケーリングする）。（図９において曲線の実線部分として示されている）ｓｉｎｃ関数のこの部分の０次近似は水平線である。１次近似は方程式ａ０＋ａ１ｘによる傾斜を有する直線である。２次近似は、ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２の形態の方程式である。
【００７４】
したがって問題になるのは、未分解のシステムに対してグレイトーンモデルが、傾斜形ミラーの「実体」をどの程度良好に近似するかである。言い換えると、ピクセルから到来する光の小さな部分だけが、投影光学系１１０のひとみによって実際に捕捉される場合、上記の近似は適切で良好な近似である。１次近似（言い換えると、傾きを有する直線を使用したピクセルｊ毎のフィールドひとみＵｊ （ｐ）の近似）は適切で良好な近似であると考えられている。本発明では多項式近似を使用することはできるが、本発明は基底関数として多項式関数を使用することに制限されるのではなく、任意の数の関数を使用することができることに注意されたい。しかしながらｓｉｎｃ関数のような計算能力を多用する関数を計算しなければならないことを回避するため、直線近似または２次近似の使用は有利であると考えられる。
【００７５】
ここで係数ａ０，ａ１，…は傾斜角αに依存する。このため、ピクセルの変調は係数[ａ０，ａ１，…]として表される。ｆｐはひとみにわたる距離を表す変数であり、２次元の変数である。したがって以下の式８および９からわかるように空間像と、変調パラメタとの依存関係は、ここでも分離されて外に出されて式に入れられ、またこれらの式それ自体も高速の計算のために単純化することができるのである。これらの式において、２つの位置変数があるため（言い換えると、ひとみ面における距離ｆｐは２次元のベクトルであり、各ピクセルの向きは２次元で制御できるため）、このケースに対するＣマトリクスは、実際には「４次元」マトリクスになり、このマトリクスＣの各要素は４つのインデックスｊ１，ｊ２，ｋ１およびｋ２によって決定されるのである。
【００７６】
これらの係数[ａ０，ａ１，…]はあらかじめ計算される。またはそうでなければ露光処理の前に決定される。係数ａｋの依存関係は、解析的に決定できることに注意されたい。このような情報がすべてそろえば、マトリクスＣを計算することができる。
【００７７】
また上記と同様に互い離れたピクセルの相互作用はかなり小さく、各ピクセルに対して隣にある数ピクセルを除いて残りのピクセルとの相互作用は事実上存在しないことにも注意されたい。このため、マトリクスＣのほとんどの要素は、実質的に要素ゼロによって近似することができる。これにより、空間像を計算する速度をさらに向上することができる。
【００７８】
したがって上記の考察により、ひとみ面におけるフィールドＵ（ｐ）を計算することができ、その過程で、変調パラメタαに対する輝度Ｉの依存関係を、ひとみ座標ｆｐおよび光源座標ｆｓへの依存関係から分離することができる。これはマトリクスＣの成分を計算するのに有利である。４次元マトリクスの場合、各成分は以下に示すように計算される。ここでつぎの一般的なグレイスケール近似を考察する。すなわち、
【００７９】
【数７】
2005322924.tif 000009
であり、ここで
Ｕ（ｋ）(ｘ，ｆｓ) ＝ Ｆ(Ｐｋ(ｆｐ,ｆｓ))                                  （式９）
であり、ｎは基底関数の数である。結果的に得られる空間像は、
【００８０】
【数８】
2005322924.tif 000010
と書くことができ、ここで
【００８１】
【数９】
2005322924.tif 000011
は、与えられた照明モードに対する（すなわち、与えられた「光源」に対する）４次元ピクセル干渉マトリクスＣである。空間像に対する上記の表現により、この空間像と、あらかじめ計算されたＰＩＭ係数Ｃｊ１ｊ２ｋ１ｋ２(ｘ)から得られるその導関数とを高速に計算することができる。
【００８２】
式４にしたがう以下のグレイトーン近似を厳密に考察する。すなわち、
Ｕｊ （ｉ） (ｘ−ｘｊ，αｊ，ｆｓ) ＝ ｇ(αｊ)Ｕ（ｉ）(ｘ−ｘｊ，ｆｓ)              （式４）
であり、ここでＵｊ （ｉ） (ｘ−ｘｊ，ｆｓ)は、ピクセルの画像フィールドであり、ｇ(αｊ)はグレイトーンである。傾斜形ミラーピクセルに対して、この近似によって、変調されたピクセル画像の振幅の変化が捕捉されるが、変調されたピクセル画像の位相の変化は捕捉されない。Ｐｋ(ｆｐ, ｆｓ)が、ひとみフィールドＵ（ｐ）の変化を表す既知の基底関数であるとする。上記の近似は、ｎ＝１に相応し、また（緩慢に変化する偶関数上で）ｆｐに関してＰ１(ｆｐ, ｆｓ)が一定であることに相応する。
【００８３】
つぎにひとみにわたるフィールドの線形な変化を考慮する改良形グレイトーン近似を考察する。傾斜形ミラーピクセルに対して、
ｎ ＝ ２  Ｐ１(ｆｐ, ｆｓ) ＝ Ｐ１(ｆｓ)−ひとみ変化における定数項
Ｐ２(ｆｐ, ｆｓ) ＝ ｆｐ （ｘ）・Ｐ１(ｆｓ)−ひとみ変化における１次の項
である。
【００８４】
Ｐ１におけるひとみにわたるコントラスト（偶数）変化により、画像面における振幅変調が説明される。Ｐ２における線形（奇数）の変化により、画像面における位相変化が説明される。
【００８５】
しかしながら、最終的に関心があるのは、ひとみ面におけるフィールドＵ（ｐ）ではなく、むしろ画像面におけるフィールドＵ（ｉ）であり、また殊に画像面における輝度分布Ｉ(ｘ，α)である。輝度分布を計算するため、上記のように式１０を使用する。したがって式１０は、画像面輝度Ｉ(ｘ，α)へのひとみ面フィールドＵ（ｐ）の変換とみなすことができる。つぎの式１２に注意されたい。
【００８６】
【数１０】
2005322924.tif 000012
【００８７】
Ｆは線形作用素であり、これは、例えば、フーリエ変換とすることが可能である。上記のようにマトリクスＣは、変調パラメタαには依存せず、位置変数だけに依存する。変調パラメタの依存関係は分離されて、関数αｋ１，αｋ２になる。Ｃは、例えば、空間像シミュレーションを使用してあらかじめ計算することができる。これは「拡張形グレイトーン近似」とみなすことができる。当該の技術分野では、ほとんどの要素がゼロであるマトリクスの計算処理を最適化する多くのテクニックが公知である。
【００８８】
上記の式を使用するアプローチの利点は、計算上の努力のほとんどがマトリクスＣの計算においてなされることであり、またこのマトリクスＣがあらかじめ計算されて、リアルタイム処理のために比較的わずかな計算量しか残らないことである。
【００８９】
ＰＯ１１０ひとみにおいて、ピクセル化されたＳＬＭによって生成されるひとみフィールドＵ（ｐ）は
【００９０】
【数１１】
2005322924.tif 000013
で与えられる。
【００９１】
この場合にＰｋ(ｆｐ, ｆｓ)について表した近似は、
【００９２】
【数１２】
2005322924.tif 000014
になり、ａｋ(αｊ)は変調プロセスを特徴付ける。重要で特有なケースはｎ＝１，Ｐ＝sinc Ｌ・ｆｓｘ（すなわちピクセルのグレイスケール近似）であり、フィールドは、ひとみ内で一定であり、拡張された光源の１点から別の点に移動する結果として変化するだけである。
【００９３】
この結果は、最も一般的な形態でつぎように表すこともできる。
【００９４】
【数１３】
2005322924.tif 000015
【００９５】
図１０には空間像を計算する処理がフローチャートで示されている。図１０に示したように、位置、変調状態および近似関数に基づいてピクセル干渉マトリクスを計算する（ステップ１００２）。つぎに有効なグレイトーンを計算する（ステップ１００４）。その後、空間像を計算する（ステップ１００６）。つぎに感度を計算する（ステップ１００８）。この感度および空間像が所望の通りである場合（ステップ１０１０）、この処理を終了し、そうでなければこの計算はステップ１００６に戻る。
【００９６】
したがって本発明により、各ピクセルからの空間像と、他のピクセルの空間像との相互作用についての重要な情報をあらかじめ計算する方法およびシステムが提案されるのである。この情報は、ピクセルαの状態に依存しない。これは、空間像シミュレーションによってあらかじめ計算して記憶することができる。この情報によって、空間像Ｉ(ｘ，α)およびその１次導関数およびより高次導関数を極めて高速に計算可能である。
【００９７】
上に述べたことはもっぱら傾斜形マイクロミラー式ＳＬＭについてであるが、本発明は別のタイプのＳＬＭ、例えば、ピストン移動を利用するＳＬＭかまたはその他のやり方で変形可能なマイクロミラー、ＧＬＶ、または他の変調原理に基づく透過形（反射形）ピクセルを利用するＳＬＭにも適用可能である。
【００９８】
本発明の応用には、例えば、所定のＳＬＭパターンが与えられた場合に空間像のシミュレーションすることが含まれ、ここでこれは所望の空間像が達成可能であるか否かを調べるために行われる。別の応用にはＳＬＭのリアルタイムプログラミングが含まれる。さらに別の応用には、ラスタ化を使用するテレビションのような投影装置が含まれる。本発明は、ＳＬＭを使用して画像を投影する任意のシステム、例えばプロジェクションテレビジョン、動画プロジェクタなどに適用可能である。
【００９９】
結論
上では本発明のさまざまな実施形態を説明したが、これらは制限のためではなく、例として示しただけであることを理解されたい。本発明の精神および範囲から逸脱することなく、形態および詳細に種々の変更を行えることは当業者には明らかであろう。したがって本発明の範囲は、上記の例示的な実施形態のいずれによっても制限されるべきでなく、特許請求の範囲またとこれと同等のものにしたがってのみ定められるべきである。
【図面の簡単な説明】
【０１００】
【図１】反射形空間光変調器を有するマスクレスリソグラフィシステムを示す図である。
【図２】透過形空間光変調器を有するマスクレスリソグラフィシステムを示す図である。
【図３】本発明の１実施形態による空間光変調器の別の図である。
【図４】図３の空間光変調器をさらに詳細に示す図である。
【図５】本発明の１実施形態による空間光変調器の２次元アレイを示す図である。
【図６】本発明の１実施形態による反射形ＳＬＭの１部分を示す図である。
【図７】開口数の小さい投影光学系に対し、１０個の相異なる傾斜値について、投影光学系のひとみにおけるフィールドを示す図である。
【図８】図７に相応する、投影光学系画像面におけるフィールドを示す図である。
【図９】本発明の１実施形態による傾斜形ミラーピクセルフィールドの近似を示す図である。
【図１０】本発明の１実施形態による空間像計算処理をフローチャートで示す図である。
【符号の説明】
【０１０１】
１００  マスクレスリソグラフィシステム、
１０２  照明システム、
１０４  空間光変調器、
１０６  ビームスプリッタ、
１０８  ＳＬＭ光学系、
１１０  投影光学系、
１１２  対象体、
１１４，１１６  コントローラ、
２００  マスクレスリソグラフィシステム、
２０２  照明源、
２０４  ＳＬＭ、
２１０  投影光学系、
２１２  対象体、
２１４，  ２１６  コントローラ、
３００  アクティブエリア、
３０２  アクティブデバイス（ピクセル）、
４００  イナクティブなパッケージング、
４０２  メインコントローラ、
５００  アセンブリ、
５０２  サポートデバイス、
５０４  温度制御エリア
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図７】
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【図９】
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【図１０】
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【図６】
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【図８】
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