(57)【要約】【課題】  励起子の量子準位の演算を高い精度でコンピュータに実行させることが可能なプログラム、及びプログラムを記録したコンピュータ読取可能な記録媒体を提供する。【解決手段】  量子井戸などの半導体微細構造内に閉じ込められた電子及び正孔からなる励起子の量子準位の演算において、荷電粒子間の多体相互作用効果が考慮された電子及び正孔のそれぞれの波動関数ψｅ、ψｈ、及びそのエネルギーＥｅ、Ｅｈを演算する（ステップＳ１０１）。そして、求められた電子及び正孔の波動関数ψｅ、ψｈ、及び電子及び正孔の相対運動を表すエンベロープ関数φｅ−ｈを用いて、励起子の波動関数Ψを変分法により演算し、励起子のエネルギーを求める（Ｓ１０２）。【選択図】  図２
2005268726.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
微細構造内に閉じ込められた電子及び正孔からなる励起子の量子準位の演算をコンピュータに実行させるためのプログラムであって、
複数の荷電粒子間の多体相互作用効果が考慮された前記微細構造内での電子及び正孔のそれぞれの波動関数を演算する第１演算処理と、
前記第１演算処理において求められた電子及び正孔の波動関数を用いて、励起子の波動関数を変分法により演算し、励起子のエネルギーを求める第２演算処理と
をコンピュータに実行させるためのプログラム。
【請求項２】
前記第２演算処理において、前記励起子の波動関数を、前記第１演算処理において求められた電子及び正孔の波動関数と、電子及び正孔の相対運動を表すとともに変分パラメータを含む関数に設定されたエンベロープ関数とを用いて演算することを特徴とする請求項１記載のプログラム。
【請求項３】
前記第２演算処理における前記励起子の波動関数の変分法による演算を、前記励起子のエネルギー及びその導関数を利用して、前記励起子のエネルギーが最小となる条件によって行うことを特徴とする請求項１または２記載のプログラム。
【請求項４】
粒子である電子及び正孔のそれぞれの波動関数を演算する前記第１演算処理は、
前記多体相互作用効果を含まないハミルトニアンを用いて粒子の初期波動関数を演算するとともに、前記初期波動関数をＮ（Ｎは自然数）個の成分からなる数値列に離散化する処理と、
前記Ｎ個の成分による波動関数と、前記多体相互作用効果を考慮した非線形項を含むハミルトニアンとを用い、全系のエネルギーが最小となるように粒子の波動関数を変分法により演算し、粒子のエネルギーを求める処理と
を含むことを特徴とする請求項１〜３のいずれか一項記載のプログラム。
【請求項５】
粒子である電子及び正孔のそれぞれの波動関数を演算する前記第１演算処理は、
前記多体相互作用効果を含まないハミルトニアンを用いて粒子の初期波動関数を演算する処理と、
前記初期波動関数から求められた粒子分布を用いてポアソン方程式を解いてポテンシャルを計算し、得られたポテンシャルを相互作用項に付加したハミルトニアンを用いて粒子の新たな波動関数を演算する処理と
を含むことを特徴とする請求項１〜３のいずれか一項記載のプログラム。
【請求項６】
請求項１〜５のいずれか一項記載のプログラムを記録したコンピュータ読取可能な記録媒体。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、微細構造内に閉じ込められた電子及び正孔からなる励起子の量子準位の演算をコンピュータに実行させるためのプログラム、及びプログラムを記録したコンピュータ読取可能な記録媒体に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
量子井戸、量子細線、量子ドットなどの半導体微細構造内において励起された電子及び正孔は、電子−正孔間に働くクーロン相互作用によって励起子と呼ばれる束縛状態を形成する。このような励起子の振舞いは、半導体素子での発光・吸収現象を担う基本的な過程として重要である。
【０００３】
励起子の量子準位（励起子準位）の導出は、例えば、発光素子における発光スペクトル解析や、発光・受光素子の動作のシミュレーションによる素子の最適設計など、光素子についての設計、解析を行う上で重要となる。また、励起子準位の導出は、新しい機能や新しい構造を有する光素子を提案していく上でも有用である。このような励起子準位の導出方法としては、例えば以下の非特許文献１に記載された方法がある。
【非特許文献１】D. A. Kleinman, "Binding energy of biexcitons and bound excitons in quantum wells", Phys. Rev. B28, p.871 (1983).
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００４】
上記した文献１に記載された方法では、量子井戸内の電子及び正孔の波動関数として、複数の荷電粒子間の多体相互作用効果を含まないものを採用し、それらを用いて電子−正孔間の相互作用を含む励起子の波動関数を変分法によって演算している。
【０００５】
この導出方法は、電子及び正孔が１つずつペアとなって、クーロン力で結合して電気的に中性な励起子を形成するという描像に基づいている。このため、電子・正孔が量子井戸内に複数個存在している場合でも得られる励起子準位は変化しない。したがって、このような方法では、励起子の励起密度によるエネルギー変化のうちで多体相互作用に依存する部分を再現することができないという問題がある。
【０００６】
本発明は、以上の問題点を解決するためになされたものであり、励起子の量子準位の演算を高い精度でコンピュータに実行させることが可能なプログラム、及びプログラムを記録したコンピュータ読取可能な記録媒体を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
このような目的を達成するために、本発明によるプログラムは、微細構造内に閉じ込められた電子及び正孔からなる励起子の量子準位の演算をコンピュータに実行させるためのプログラムであって、（１）複数の荷電粒子間の多体相互作用効果が考慮された微細構造内での電子及び正孔のそれぞれの波動関数を演算する第１演算処理と、（２）第１演算処理において求められた電子及び正孔の波動関数を用いて、励起子の波動関数を変分法により演算し、励起子のエネルギーを求める第２演算処理とをコンピュータに実行させることを特徴とする。
【０００８】
また、本発明による記録媒体は、上記したプログラムを記録したコンピュータ読取可能な記録媒体である。
【０００９】
本発明によるプログラム及び記録媒体においては、量子井戸、量子細線、量子ドットなどの微細構造内において励起された電子及び正孔の量子準位を、それぞれ多体相互作用効果が考慮された演算方法を用いて演算する。そして、得られた電子及び正孔の多体相互作用効果を含む波動関数を用いて、励起子の量子準位についての演算を行っている。これにより、電子・正孔が微細構造内に複数個存在している場合であっても、励起子準位を高い精度で求めることが可能となる。
【００１０】
ここで、第２演算処理における励起子の量子準位の演算については、励起子の波動関数を、第１演算処理において求められた電子及び正孔の波動関数と、電子及び正孔の相対運動を表すとともに変分パラメータを含む関数に設定されたエンベロープ関数とを用いて演算することが好ましい。これにより、変分法による励起子準位の演算を好適に実行することができる。
【００１１】
また、第２演算処理における励起子の波動関数の変分法による演算を、励起子のエネルギー及びその導関数を利用して、励起子のエネルギーが最小となる条件によって行うことが好ましい。これにより、励起子準位の導出を効率的に実行することができる。
【００１２】
電子及び正孔の量子準位の具体的な導出方法については、粒子である電子及び正孔のそれぞれの波動関数を演算する第１演算処理が、多体相互作用効果を含まないハミルトニアンを用いて粒子の初期波動関数を演算するとともに、初期波動関数をＮ（Ｎは自然数）個の成分からなる数値列に離散化する処理と、Ｎ個の成分による波動関数と、多体相互作用効果を考慮した非線形項を含むハミルトニアンとを用い、全系のエネルギーが最小となるように粒子の波動関数を変分法により演算し、粒子のエネルギーを求める処理とを含む方法を用いることができる。
【００１３】
あるいは、粒子である電子及び正孔のそれぞれの波動関数を演算する第１演算処理が、多体相互作用効果を含まないハミルトニアンを用いて粒子の初期波動関数を演算する処理と、初期波動関数から求められた粒子分布を用いてポアソン方程式を解いてポテンシャルを計算し、得られたポテンシャルを相互作用項に付加したハミルトニアンを用いて粒子の新たな波動関数を演算する処理とを含む方法を用いることができる。
【発明の効果】
【００１４】
本発明によるプログラム及び記録媒体によれば、多体相互作用効果を考慮して微細構造内での電子及び正孔のそれぞれの量子準位を演算するとともに、得られた電子及び正孔の波動関数を用いて励起子の量子準位についての演算を行うことにより、励起子の量子準位の演算を高い精度でコンピュータに実行させることが可能なプログラム、及びプログラムを記録したコンピュータ読取可能な記録媒体が実現される。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１５】
以下、図面とともに本発明によるプログラム及び記録媒体の好適な実施形態について詳細に説明する。なお、図面の説明においては同一要素には同一符号を付し、重複する説明を省略する。
【００１６】
図１は、微細構造内における励起子の生成について模式的に示す図である。量子井戸、量子細線、量子ドットなどの半導体微細構造内において、光吸収によって電子（ｅ：electron）及び正孔（ｈ：hole）が励起されると（図１（ａ））、それらの電子及び正孔は、電子−正孔間に働くクーロン相互作用によって束縛状態を形成した後（図１（ｂ））、再び光を放出（発光）する（図１（ｃ））。この電子及び正孔から生成される複合粒子を励起子（exciton）という。本発明によるプログラム及び記録媒体は、このような励起子の量子準位を演算するためのものである。
【００１７】
図２は、本発明による励起子の量子準位の演算をコンピュータに実行させるためのプログラムにおける演算処理について示すフローチャートである。この演算処理では、まず、微細構造について与えられた条件などの計算条件を参照し、微細構造内に閉じ込められた電子及び正孔のそれぞれの量子準位を示す波動関数を演算する。特に、本実施形態では、この電子及び正孔の波動関数の演算を、複数の荷電粒子間の多体相互作用効果を考慮して行う（ステップＳ１０１、第１演算処理）。この演算により、多体相互作用効果が考慮された電子の波動関数ψｅ、正孔の波動関数ψｈ、及び電子のエネルギーＥｅ、正孔のエネルギーＥｈが得られる。なお、多体相互作用効果を考慮した電子及び正孔の波動関数の演算方法については、具体的には後述する。
【００１８】
次に、ステップＳ１０１において求められた電子及び正孔の波動関数ψｅ、ψｈを用いて、励起子の量子準位を演算する（Ｓ１０２、第２演算処理）。ここでは、励起子の波動関数を試行関数により表現し、変分法を適用して波動関数を演算し、励起子のエネルギーを求める。
【００１９】
電子及び正孔の波動関数ψｅ、ψｈが与えられたとき、励起子の全系の波動関数Ψは以下の式（１）で表すことができる（Ｓ１０３）。
【数１】
2005268726.tif 000003
ここで、ｚは量子井戸等の微細構造の成長方向（半導体微細構造における半導体層の積層方向）の座標、ｘ、ｙはｚ軸に垂直な面内での座標である。また、ｚｅ、ｚｈは、それぞれ電子、正孔のｚ方向における位置を表す。
【００２０】
この式（１）の近似において、φｅ−ｈは励起子となる束縛状態を形成した電子及び正孔の相対運動を表す波動関数であり、エンベロープと呼ばれる。また、ここでは、このエンベロープ関数を変分パラメータを含む関数に設定して、変分法による励起子の波動関数Ψの演算を行う。
【００２１】
具体的には、励起子の基底状態である１ｓ状態について計算を行う場合、式（２）によって表現されるエンベロープ関数φｅ−ｈを用いることができる。
【数２】
2005268726.tif 000004
ここで、ｒ２＝ｘ２＋ｙ２である。また、λ、ζは変分パラメータである。
【００２２】
さらに、この式（２）を用いて、励起子のエネルギーＥＥＸＣを与える関数であるハミルトニアンは、変分パラメータλ、ζの関数ＥＥＸＣ（λ，ζ）として、以下の式（３）で表される（Ｓ１０４）。
【数３】
2005268726.tif 000005
この式（３）において、μはｘｙ面内での電子＋正孔系の換算質量であり、電子及び正孔の有効質量ｍｅ⊥、ｍｈ⊥に対し、
【数４】
2005268726.tif 000006
によって定義される。また、ｅは電気素量、εは媒質の誘電率、Ｎは規格化因子である。
【００２３】
式（３）の右辺には、エネルギーＥＥＸＣの変分パラメータλ、ζへの依存性は明示されていないが、実際には、Ｇ（ａ）、Ｊ（ａ）、Ｋ（ａ）はエンベロープ関数φｅ−ｈを通じてパラメータλ、ζの関数となっている。
【００２４】
以下に、これらの各式の定義、及び式変形により実際の演算で評価される表式をまとめておく。
【数５】
2005268726.tif 000007
【数６】
2005268726.tif 000008
【数７】
2005268726.tif 000009
【数８】
2005268726.tif 000010
規格化因子Ｎも、同様に以下の式
【数９】
2005268726.tif 000011
によって定義される。また、Ｆ（ａ）は
【数１０】
2005268726.tif 000012
で与えられる。以上の式（５）〜式（１０）をＥＥＸＣの式（３）に代入することにより、励起子のエネルギーが変分パラメータλ、ζの関数として与えられることとなる。
【００２５】
励起子の量子準位を演算するステップＳ１０２では、励起子のエネルギーの最小値を求めるため、さらに、励起子のエネルギーＥＥＸＣのパラメータλ、ζについての導関数も必要となる。導関数∇ＥＥＸＣは、上記した各式をλ、ζについて微分することにより、以下の式（１１）のように得られる。
【数１１】
2005268726.tif 000013
ここで、∇はλ、ζに関する偏微分をまとめて表したもので、実際には∂／∂λ、または∂／∂ζを意味している。この式（１１）において必要となる各式を以下に示す。
【数１２】
2005268726.tif 000014
【数１３】
2005268726.tif 000015
【数１４】
2005268726.tif 000016
【数１５】
2005268726.tif 000017
以上により、励起子のエネルギーＥＥＸＣ、及びその偏導関数∇ＥＥＸＣが得られる。
【００２６】
さらに、これらの励起子のエネルギーＥＥＸＣ、及び偏導関数∇ＥＥＸＣを用いて、励起子のエネルギーＥＥＸＣを最小にするパラメータλ０、ζ０を求める（Ｓ１０５）。このパラメータ値λ０、ζ０は、例えば共役勾配法などの多変数非線形最適化手法によって算出することができる。そして、得られたパラメータ値λ０、ζ０を式（３）に代入することにより、最終的な励起子のエネルギーが求められる（Ｓ１０６）。
【００２７】
図３は、図２のフローチャートに示した演算処理を含む励起子の量子準位の演算のためのプログラムの実行に用いられる演算システム（コンピュータ）のハードウェア構成の一例を示すブロック図である。励起子の量子準位を求めるために必要なプログラムの各演算処理は、本演算システム１のＣＰＵ１０によって行われる。
【００２８】
このＣＰＵ１０には、本演算システム１において実行される励起子の量子準位の演算のためのプログラムなどが記憶されているＲＯＭ１１と、プログラム実行中に一時的にデータが記憶されるＲＡＭ１２とが接続されている。また、ハードディスクなどの外部記憶装置１３が接続されており、各パラメータや演算結果などの必要なデータの保持に用いられる。
【００２９】
そして、これらのＣＰＵ１０等に対して、必要なパラメータの入力などに用いられる入力装置１４と、演算結果の表示などに用いられる表示装置１５とが接続されて、本演算システム１が構成されている。入力装置１４としては、例えば、マウスなどのポインティングデバイスやキーボードなどが用いられる。また、表示装置１５としては、例えば、ＣＲＴディスプレイや液晶ディスプレイなどが用いられる。
【００３０】
また、ＣＰＵ１０によって行われる各演算処理を実現する励起子の量子準位の演算のためのプログラムは、コンピュータ読取可能な記録媒体に記録して頒布することが可能である。このような記録媒体には、例えば、ハードディスク及びフレキシブルディスクなどの磁気媒体、ＣＤ−ＲＯＭ及びＤＶＤ−ＲＯＭなどの光学媒体、フロプティカルディスクなどの磁気光学媒体、あるいは、プログラム命令を実行または格納するように特別に配置された、例えばＲＡＭ、ＲＯＭ、及び半導体不揮発性メモリなどのハードウェアデバイスなどが含まれる。また、このような記録媒体からのプログラムの読取または実行に対し、図３に示すように、必要に応じて、記録媒体からプログラム等を読み取る記録媒体読取用のドライブ１６（例えばフレキシブルディスクドライブなど）をＣＰＵ１０に対して接続しておいても良い。
【００３１】
上記実施形態によるプログラム及び記録媒体の効果について説明する。
【００３２】
図２に示した演算処理を実行するプログラム、及びプログラムを記録した記録媒体においては、ステップＳ１０１において、量子井戸、量子細線、量子ドットなどの微細構造内において励起された電子及び正孔の量子準位を、それぞれ多体相互作用効果が考慮された演算方法を用いて演算する。そして、ステップＳ１０２において、Ｓ１０１で得られた電子及び正孔の多体相互作用効果を含む波動関数ψｅ、ψｈを用いて、励起子の量子準位、具体的には励起子の波動関数Ψ及びエネルギーＥＥＸＣについての演算を行っている。
【００３３】
このような演算方法によれば、電子・正孔が微細構造内に複数個存在している場合であっても、それらの間での相互作用の影響を考慮して、励起子準位を高い精度で求めることが可能となる。特に、この多体相互作用効果は、電子と正孔とが空間的に異なる位置を占めるタイプIIの量子井戸・超格子構造において大きく影響する。したがって、上記した演算を行うプログラム及び記録媒体は、発光素子や受光素子のデバイス特性を解析する上で非常に重要である。タイプIIの材料としては、具体的には例えば、InAs-GaSb系、ある条件下でのGaAs-AlAs系、ドーピング超格子（井戸）などがある。
【００３４】
ここで、上記した演算方法では、電子及び正孔の波動関数ψｅ、ψｈと、電子及び正孔の相対運動を表すとともに変分パラメータλ、ζを含む関数に設定されたエンベロープ関数φｅ−ｈとを用いて、式（１）によって励起子の波動関数Ψを表し、この波動関数Ψを用いて励起子についての演算を行っている。これにより、変分法による励起子準位の演算を好適に実行することができる。
【００３５】
また、このような演算方法においては、エンベロープ関数φｅ−ｈとしては、式（２）に示した関数に限らず、他の関数を用いても良い。例えば、励起子の基底状態の計算においては、式（２）に代えて、以下の式（１６）
【数１６】
2005268726.tif 000018
で示す関数をエンベロープ関数としても良い。
【００３６】
また、励起子の基底状態以外の状態について計算を行う場合には、その状態に応じたエンベロープ関数を用いることが好ましい。例えば、励起子の第１励起状態（２ｓ状態）について計算を行う場合、式（１７）によって表現されるエンベロープ関数φｅ−ｈを用いることができる。
【数１７】
2005268726.tif 000019
ここでは、α、λ、ζが変分パラメータである。なお、これらの式（１６）、（１７）のようにエンベロープ関数を変更する場合には、エンベロープ関数を用いて表される他の式についても同様に変更する必要がある。
【００３７】
また、上記した演算方法では、励起子の波動関数Ψの変分法による演算を、励起子のエネルギーＥＥＸＣ及びその導関数∇ＥＥＸＣを利用し、多変数非線形最適化手法を用いて励起子のエネルギーが最小となる条件によって行っている。これにより、励起子準位の導出を効率的に実行することができる。多変数非線形最適化手法としては、上記した共役勾配法の他にも、Ｎｅｗｔｏｎ法、最急降下法、焼きなまし法等、様々な方法を用いることが可能である。
【００３８】
図２のステップＳ１０１における複数の荷電粒子間の多体相互作用効果を考慮した電子及び正孔の量子準位の演算方法について、その具体的な例とともに説明する。
【００３９】
図４は、励起子の量子準位の演算に用いられる電子及び正孔の量子準位の演算方法の一例を示すフローチャートである。また、図５は、粒子である電子及び正孔が閉じ込められる微細構造の量子井戸、及び量子井戸内での粒子（電子、正孔）の波動関数の例を示すグラフである。このグラフにおいて、横軸は位置を示し、縦軸はエネルギーを示している。また、この量子井戸５０は、量子井戸層５１と、井戸層５１の両側に位置する量子障壁層５２、５３とによって構成されている。このような量子井戸５０において、井戸層５１に閉じ込められた粒子は、エネルギー準位５５を形成する。
【００４０】
図４に示した演算方法では、上記した複数の荷電粒子間の多体相互作用効果を含まないハミルトニアンを用いてシュレディンガー方程式を解き、量子井戸５０における粒子の波動関数ψを求める。この波動関数が、量子準位の演算における初期波動関数となる（ステップＳ２０１）。そして、この初期波動関数ψから出発して、変分法の原理に基づき、全系のエネルギーが最小となる波動関数を求める。この場合、全系のエネルギーは、与えられた波動関数に対して、多体相互作用効果を考慮した非線形項を含むハミルトニアンの期待値を計算したものとして定義される。
【００４１】
具体的には、図５に示すように、量子井戸５０の一方の障壁層５２の端から他方の障壁層５３の端までを複数のポイントｘ１〜ｘＮ（Ｎは自然数）に分割し、その分割した各ポイントｘｉ（ｉ＝１、…、Ｎ）に対応して、波動関数ψをＮ個の波動関数成分ψ１、…、ψｉ、…、ψＮに離散化する。なお、ポイントｘ１〜ｘＮは、好ましくは、隣接するポイント間の距離Δｘがすべて等しいように設定される。
【００４２】
この演算方法では、上記の波動関数成分ψ１〜ψＮからなる数値列に離散化された波動関数と、多体相互作用効果を考慮した非線形項を含むハミルトニアンとを用い、全系のエネルギーが最小となるように成分ψ１〜ψＮのそれぞれを演算する。このような方法によれば、多体相互作用効果が考慮された量子井戸５０内での粒子（電子、正孔）の波動関数を好適に演算することができる。以下、この演算方法について具体的に説明する。なお、ここでは、ハミルトニアンに取り入れられる非線形項として、粒子のクーロン相互作用を考慮した場合について説明する。
【００４３】
まず、上記したように、多体相互作用効果を含まないハミルトニアン、すなわち、運動エネルギーの項と外部電界によるポテンシャル項とからなるハミルトニアンを用いて、粒子（例えば電子）の初期波動関数ψが計算される（Ｓ２０１）。この初期波動関数の演算は、例えば、転送行列法、Ｓ行列法、狙い撃ち法などの方法を用いて実行される。最小化すべき全系のエネルギーは、以下の式（１８）により与えられる。
【数１８】
2005268726.tif 000020
この式（１８）において、右辺の第２項は多体相互作用を含んだクーロン相互作用項である。また、ε（ｘ）は位置ｘ（図５参照）における誘電定数であり、−ｅ及びｍはそれぞれ電子の電荷及び質量である。また、ｄ（ｙ）は位置ｙにおける固定ドナーの体積密度であり、固体ドナーは＋ｅの電荷を有するものと仮定している。
【００４４】
上記した式（１８）は、量子井戸５０での系全体のエネルギーを表すものであるが、この式を用いて演算を行うことは困難であるので、空間を離散化するとともに、全系に存在する粒子数で規格化する。すなわち、求められた波動関数ψを上記したＮ個の波動関数成分ψ１〜ψＮに空間的に離散化するとともに、全系の電子数で規格化することにより、式（１８）から１電子あたりのエネルギーを表す以下の式（１９）が得られる。
【数１９】
2005268726.tif 000021
この式（１９）においてＮｅは電子数であり、Ｖｉ’はクーロンポテンシャルである。また、Ｎｔは規格化因子であり、
【数２０】
2005268726.tif 000022
で与えられる。
【００４５】
この式（１９）は、系に存在する１つの電子当たりのエネルギーを表すものであり、以下では、最適化問題の用語に合わせて「コスト関数」と呼ぶ。そして、離散化したＮ個の波動関数成分ψ１〜ψＮのそれぞれによって式（１９）を偏微分して、Ｎ個の導関数を演算する。これにより、式（２１）が得られる。
【数２１】
2005268726.tif 000023
ただし、
【数２２】
2005268726.tif 000024
【数２３】
2005268726.tif 000025
である。
【００４６】
式（２１）において、Ｅｉｎｔは１粒子当たりの非線形の相互エネルギーを意味する。そして、式（１８）から式（１９）及び（２１）を求めることは、コスト関数及びコスト関数の導関数を計算することに相当する（Ｓ２０２）。
【００４７】
ここで式（２１）は、式（１９）の両辺を波動関数成分ψ１〜ψＮのそれぞれによって偏微分したものではなく、式（１９）のクーロン相互作用を考慮したハミルトニアンＨ’を偏微分したものになっている。これは、クーロン相互作用を考慮して全系のエネルギーが最小となるように波動関数を計算するため、ハミルトニアンＨ’を偏微分することによりクーロン相互作用の影響を最大限に反映して演算を行うようにしたものである。
【００４８】
以上より、ステップＳ２０２においては、コスト関数に離散化した波動関数ψ１〜ψＮを代入して全系のエネルギーＳ［｛ψｉ｝］が演算される（式（１９））。また、コスト関数の導関数が、多体相互作用効果を考慮したハミルトニアンＨ’を波動関数成分ψ１〜ψＮのそれぞれによって偏微分することにより演算される（式（２１））。
【００４９】
続いて、演算されたＮ個の導関数、及び次式（２４）を用いて粒子の新たな波動関数を計算する（Ｓ２０３）。
【数２４】
2005268726.tif 000026
この式（２４）において、ηは最小エネルギーの演算が収束するようにするためのスケーリングファクターである。また、式（２４）の右辺第２項は、クーロン相互作用を考慮したハミルトニアンＨ’を波動関数ψの各成分によって偏微分して式（２１）を演算し、その演算した式（２１）に波動関数ψｏｌｄを代入して演算される。
【００５０】
式（２４）による新たな波動関数ψｉｎｅｗは、既に演算された波動関数ψｏｌｄにクーロン相互作用による変化分（式（２４）の右辺第２項）を加算したものである。したがって、この方法では、新たな波動関数ψｉｎｅｗは、クーロン相互作用の変化分を反映して演算される。そして、この新たな波動関数ψｉｎｅｗは、離散化したＮ個の波動関数ψ１〜ψＮのそれぞれに対して演算される。
【００５１】
式（２４）により新たな波動関数ψｉｎｅｗが演算されると、それを式（１９）の波動関数ψｉに代入して、新たな波動関数によるコスト関数、及びその導関数が演算される（Ｓ２０４）。そして、コスト関数が増加するか否かにより、またはステップＳ２０４において演算したＮ個の導関数のすべてが零であるか否かを判定することにより、全系のエネルギーが収束するか否かが判定される（Ｓ２０５）。
【００５２】
ステップＳ２０５において、コスト関数が増加しないとき、またはＮ個の導関数のすべてが零でないとき、全系のエネルギーは収束していないと判定され、ステップＳ２０３〜Ｓ２０５が繰り返して実行される。これは、コスト関数が増加しないとき、コスト関数の増加分が零か、コスト関数が減少していることを示し、全系のエネルギーがさらに減少する可能性があるからである。また、コスト関数の導関数が零でないとき、コスト関数が変化していることを示し、この場合も全系のエネルギーがさらに減少する可能性があるからである。
【００５３】
一方、ステップＳ２０５において、コスト関数が増加したとき、またはＮ個の導関数のすべてが零であるとき、全系のエネルギーが収束したと判定される。そして、１ステップ前の波動関数を出力する（Ｓ２０６）。これは、１ステップ前に演算した波動関数を用いて、コスト関数が最小になっているためである。
【００５４】
ステップＳ２０６において、全系のエネルギーを最小にするＮ個の波動関数成分が決定されると、その決定されたＮ個の成分からなる波動関数（最終的な波動関数）と、クーロン相互作用を考慮したハミルトニアンである式（２５）
【数２５】
2005268726.tif 000027
とを用いて全系のエネルギーを導出し（Ｓ２０７）、全体の演算処理が終了する。
【００５５】
上記した演算処理のうち、ステップＳ２０２〜Ｓ２０６は１つの粒子に対する処理を表している。したがって、この演算方法では、全系のエネルギーを最小とするようにＮ個の成分を決定するとき、１つの粒子に着目し、その１つの粒子に対する波動関数においてクーロン相互作用による影響が最も小さくなるようにＮ個の成分を決定する。そして、１つの粒子に対する波動関数が決定されると、その決定された波動関数を全系の粒子に適用して全系のエネルギーを演算する。その結果、量子井戸５０の障壁層５２、５３、または井戸層５１へのドーピング量の増加に起因して井戸層５１に閉じ込められる電子数が増加し、電子の相互作用による影響が大きくなっても、全系のエネルギーが収束するように演算することができる。
【００５６】
上記した励起子の量子準位の演算処理の具体的な実施例について説明する。
【００５７】
（実施例１）
図６は、実施例１において励起子の量子準位の演算を行った量子井戸の構造を示すグラフである。このグラフにおいて、横軸は量子井戸の成長方向の位置を原子層（ＭＬ）数で示し、縦軸はエネルギー（ｍｅＶ）を示している。また、図６において、上方のグラフは伝導帯（conduction-band）を示し、下方のグラフは価電子帯（valence-band）を示している。
【００５８】
この実施例では、図６に示すように、ＧａＡｓ・８ＭＬ（ＭＬ：原子層）、ＡｌＡｓ・３０ＭＬの組合せを４０ＭＬの厚さを持つＡｌ０．４４Ｇａ０．５６Ａｓ障壁層で挟んだ下記構成のタイプIIの量子井戸
Al0.44Ga0.56As(40ML)-GaAs(8ML)-AlAs(30ML)-Al0.44Ga0.56As(40ML)
について演算を行った。演算に用いたパラメータを表１に示す。
【表１】
2005268726.tif 000028
ここで、１ＭＬは２．８３Å、演算時の空間分割数は２０点／ＭＬ（Δｚ＝０．１４１５Å）である。また、ｍ０は真空中での電子の質量ｍ０＝９．１０９３９×１０−３１ｋｇ、ε０は真空中の誘電率ε０＝８．８５４１９×１０−１２Ｆ／ｍである。また、外部電界は０ｋＶ／ｃｍ、温度は室温とした。
【００５９】
このような構成では、正孔はＧａＡｓ層に閉じ込められた重い正孔であるのに対し、電子はＡｌＡｓ層に閉じ込められたＸ電子となっている。また、伝導帯−価電子帯間のギャップ、すなわち、Ｘ電子準位−重い正孔準位間のエネルギー差は、１．６４２ｅＶとなっている。
【００６０】
以上の計算パラメータの元で、電子−正孔密度を変化させながら電子及び正孔の量子準位を演算し（図２におけるＳ１０１）、さらに、励起子の量子準位についての演算を行う（Ｓ１０２）。図７は、電子及び正孔の量子準位の演算結果の一例を示すグラフである。ここでは、電子−正孔密度を１．１３２×１０１１／ｃｍ２としたときの電子、正孔の波動関数ψｅ、ψｈを示している。また、このときの電子、正孔のエネルギーはＥｅ＝１１．０６１ｍｅＶ、Ｅｈ＝７７．３７１ｍｅＶである。
【００６１】
このように求められた電子及び正孔の量子準位を用いて励起子について演算を行うと、励起子のエネルギーとしてＥＥＸＣ＝７８．６４６ｍｅＶが得られる。さらに、この励起子のエネルギーの演算を、電子−正孔密度が５．０×１０８〜１．０×１０１２／ｃｍ２の範囲で行った結果を図８に示す。図８のグラフにおいて、横軸は励起子密度（／ｃｍ２）を示し、縦軸は求められた励起子エネルギー（ｍｅＶ）を示している。
【００６２】
図８において、グラフＡ１は、本実施例により得られた最小となる励起子エネルギーを示し、グラフＡ２は、従来の演算方法により得られた励起子エネルギーを示している。グラフＡ２では、多体相互作用効果が考慮されていないため、励起子エネルギーが励起子密度に依存せずに一定値となっている。
【００６３】
これに対して、グラフＡ１では、励起子密度の増加に伴ってエネルギーが増加していることがわかる。これは、量子準位の演算において、多体相互作用効果を考慮にいれたことによるものである。なお、この図８では、励起子エネルギーは量子井戸の底を基準とした値で示されている。このため、励起子から放出される発光の波長に換算する場合には、Ｘ伝導帯−価電子帯間のエネルギーである１．６４２ｅＶを加える必要がある。
【００６４】
（実施例２）
図９は、実施例２において励起子の量子準位の演算を行った量子井戸の構造を示すグラフである。この実施例では、図９に示すように、ＧａＡｓ・２０ＭＬ、Ａｌ０．３Ｇａ０．７Ａｓ・１４ＭＬ、ＧａＡｓ・２０ＭＬの組合せを１５ＭＬの厚さを持つＡｌＡｓ障壁層で挟んだ下記構成の量子井戸
AlAs(15ML)-GaAs(20ML)-Al0.3Ga0.7As(14ML)-GaAs(20ML)-AlAs(15ML)
について演算を行った。演算に用いたパラメータを表２に示す。
【表２】
2005268726.tif 000029
ここで、外部電界は５５ｋＶ／ｃｍ、温度は２Ｋとした。また、伝導帯−価電子帯間のギャップ、すなわちΓ電子準位−重い正孔準位間のエネルギー差は、１．５１９ｅＶとなっている。また、計算パラメータについては、文献 "Landolt-Bornstein Numerical Data and Functional Relationships in Science and Technology", edited by O. Madelung (Springer, Berlin, 1982) 等を参照している。
【００６５】
以上の計算パラメータの元で、電子−正孔密度を変化させながら電子及び正孔の量子準位を演算し、さらに、励起子の量子準位についての演算を行う。図１０は、電子及び正孔の量子準位の演算結果の一例を示すグラフである。この波動関数ψｅ、ψｈでの電子、正孔のエネルギーはＥｅ＝１１６．４５８ｍｅＶ、Ｅｈ＝−６３．５４８ｍｅＶである。さらに、励起子のエネルギーの演算を、電子−正孔密度を変化させて行った結果を図１１に示す。図１１のグラフにおいて、横軸は励起子密度（／ｃｍ２）を示し、縦軸は励起子エネルギーから求められた発光エネルギー（ｅＶ）を示している。
【００６６】
図１１において、グラフＢ１は、本実施例により得られた最小となる励起子エネルギーを用いた発光エネルギーを示し、グラフＢ２は、従来の演算方法により得られた発光エネルギーを示している。また、この図１１には、文献 V. Negoita, D. W. Snoke, and K. Eberl, Phys. Rev. B61, p.2779 (2000) における実験結果を、パラメータを多少調整した上でデータ点Ｂ３として示している。
【００６７】
このグラフに示すように、１０１１／ｃｍ２以下の励起子密度では、本実施例で計算により求められたグラフＢ１のエネルギー値と、実験結果のエネルギー値とが良く一致していることがわかる。ただし、それよりも高い密度では、計算値と実験値とがずれている。これは、高密度状態において、さらに別の効果が作用しているものと考えられる。
【００６８】
本発明による励起子の量子準位の演算をコンピュータに実行させるためのプログラム、及びプログラムを記録した記録媒体は、上記した実施形態及び実施例に限られるものではなく、様々な変形が可能である。例えば、励起子を構成する電子及び正孔が閉じ込められる微細構造としては、量子井戸はその一例であり、その他にも上記した量子細線、量子ドットなど、様々な微細構造に対して上記した演算方法を適用することが可能である。
【００６９】
また、図２に示したフローチャートのステップＳ１０１において、多体相互作用効果が考慮された電子及び正孔のそれぞれの量子準位を演算する演算方法としては、具体的には図４に示した方法以外にも、様々な方法を用いて良い。
【００７０】
図１２は、励起子の量子準位の演算に用いられる電子及び正孔の量子準位の演算方法の他の例を示すフローチャートである。ここでは、粒子である電子及び正孔の量子準位を演算する方法として、シュレディンガー方程式とポアソン方程式とを交互に解くシュレディンガー−ポアソン法（Ｓ−Ｐ法）を用いている。
【００７１】
この演算方法では、まず、多体相互作用効果を含まないハミルトニアンを用いてシュレディンガー方程式を解き、粒子の初期波動関数を計算する（ステップＳ３０１）。このシュレディンガー方程式の解法においては、例えば狙い撃ち法などの数値解析法を用いることができる。波動関数が計算されたら、波動関数から求められた粒子分布（例えば電子分布）を用いてポアソン方程式を解いて電場・ポテンシャルを計算する（Ｓ３０２）。この場合、粒子分布は、波動関数の絶対値の２乗に比例することを利用して求める。
【００７２】
次に、ステップＳ３０２で得られたポテンシャルを相互作用項に付加したハミルトニアンを用いてシュレディンガー方程式を解き、新たな波動関数を計算する（Ｓ３０３）。そして、得られた波動関数を用いて求められる粒子のエネルギーの値が一定値に近づくか否かにより、または波動関数の形状変化が小さくなるか否かにより、収束するか否かを判定する（Ｓ３０４）。ここで、収束しないと判定された場合には、新たな波動関数を用いてステップＳ３０２、Ｓ３０３が繰り返して実行される。一方、収束すると判定された場合には、最終的なエネルギーを導出して（Ｓ３０５）、Ｓ−Ｐ法による演算を終了する。このような演算方法によっても、多体相互作用効果が考慮された電子及び正孔の量子準位を好適に演算することができる。
【産業上の利用可能性】
【００７３】
本発明は、励起子の量子準位の演算を高い精度でコンピュータに実行させることが可能なプログラム、及びプログラムを記録したコンピュータ読取可能な記録媒体として利用可能である。
【図面の簡単な説明】
【００７４】
【図１】微細構造内における励起子の生成について模式的に示す図である。
【図２】プログラムにおいて実行される励起子の量子準位の演算処理を示すフローチャートである。
【図３】プログラムの実行に用いられる演算システムのハードウェア構成の一例を示すブロック図である。
【図４】粒子の量子準位の演算方法の一例を示すフローチャートである。
【図５】量子井戸、及び量子井戸内での粒子の波動関数の例を示すグラフである。
【図６】実施例１において励起子の量子準位の演算を行った量子井戸の構造を示すグラフである。
【図７】電子及び正孔の量子準位の演算結果の一例を示すグラフである。
【図８】励起子エネルギーの励起子密度に対する依存性を示すグラフである。
【図９】実施例２において励起子の量子準位の演算を行った量子井戸の構造を示すグラフである。
【図１０】電子及び正孔の量子準位の演算結果の一例を示すグラフである。
【図１１】発光エネルギーの励起子密度に対する依存性を示すグラフである。
【図１２】粒子の量子準位の演算方法の他の例を示すフローチャートである。
【符号の説明】
【００７５】
１…演算システム、１０…ＣＰＵ、１１…ＲＯＭ、１２…ＲＡＭ、１３…記憶装置、１４…入力装置、１５…表示装置、１６…ドライブ、
５０…量子井戸、５１…井戸層、５２、５３…障壁層、５５…エネルギー準位。
【図１】
2005268726.tif 000030
【図２】
2005268726.tif 000031
【図３】
2005268726.tif 000032
【図４】
2005268726.tif 000033
【図５】
2005268726.tif 000034
【図６】
2005268726.tif 000035
【図７】
2005268726.tif 000036
【図８】
2005268726.tif 000037
【図９】
2005268726.tif 000038
【図１０】
2005268726.tif 000039
【図１１】
2005268726.tif 000040
【図１２】
2005268726.tif 000041