(57)【要約】【課題】優れた画質及び高速計算を可能にするディジタル・トモシンセシス・システムを提供する。【解決手段】ディジタル・トモシンセシス・システムが、対象（１１４）の複数の投影放射線画像を取得して、取得された投影放射線画像に基づいて対象の構造を再構成する。このディジタル・トモシンセシス・システムはＸ線源（１１０）及び検出器（１１６）を含んでいる。Ｘ線源はＸ線ビームを放出し、検出器に対して相対的に直線形軌跡を移動する。【選択図】        図３
2005013736.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
対象の複数の投影放射線画像を取得するように構成されているディジタル・トモシンセシス・システムであって、
Ｘ線ビームを放出するように構成されているＸ線源（１１０）と、
前記対象に対して相対的に前記Ｘ線源と一定の空間関係で配設されているディジタル検出器（１１６）と、
前記Ｘ線源及び前記検出器に結合されており、投影放射線画像が前記Ｘ線源の直線形軌跡に沿って前記対象に対して相対的に前記Ｘ線源の焦点スポットの異なる位置において取得されるように、前記Ｘ線源を制御すると共に前記検出器から受け取ったデータを処理するように構成されているプロセッサ（１１８）とを備えたディジタル・トモシンセシス・システム。
【請求項２】
前記Ｘ線源（１１０）は、前記検出器から一定の距離に位置する軌跡を移動する、請求項１に記載のディジタル・トモシンセシス・システム。
【請求項３】
前記検出器（１１６）は、横列及び縦列を成して構成されているピクセルを含んでおり、前記Ｘ線源の焦点スポットは、前記ピクセルの横列又は前記ピクセルの縦列のいずれか一方に平行な直線形軌跡において前記検出器に対して相対的に移動する、請求項１に記載のディジタル・トモシンセシス・システム。
【請求項４】
前記プロセッサはさらに、前記取得された投影放射線画像に与えられている情報から対象の複数の論理的平面における構造についての情報の二次元再構成を算出することにより、前記対象の前記各平面に与えられている三次元構造を別個に再構成する、請求項１に記載のディジタル・トモシンセシス・システム。
【請求項５】
前記二次元再構成は、前記対象の三次元空間再構成を形成するように組み立てられる、請求項７に記載のディジタル・トモシンセシス・システム
【請求項６】
Ｘ線源及びディジタル検出器を有するシステムを用いたディジタル・トモシンセシスの方法であって、
前記Ｘ線源により放出されるＸ線ビームに基づいて対象の投影放射線画像を取得するように前記検出器（１１６）を用いる工程と、
投影放射線画像が前記Ｘ線源の直線形軌跡に沿って前記検出器に対して相対的に前記Ｘ線源の焦点スポットの異なる位置において取得されるように、前記Ｘ線源（１１０）を制御すると共に前記検出器から受け取ったデータを処理する工程とを備えた方法。
【請求項７】
前記Ｘ線源は、前記検出器から一定の距離に位置する直線形軌跡を移動する、請求項６に記載の方法。
【請求項８】
前記Ｘ線源は、前記検出器から一定の距離に位置する円形軌跡を移動する、請求項６に記載の方法。
【請求項９】
前記Ｘ線源の前記焦点スポットを、前記検出器に平行な平面に位置する複数の位置に設ける工程をさらに含んでいる請求項６に記載の方法。
【請求項１０】
前記取得された投影放射線画像に与えられている情報から対象の複数の平面における構造についての情報の二次元再構成を算出することにより、前記対象の前記各平面に与えられている三次元構造を別個に再構成する工程をさらに含んでいる請求項６に記載の方法。
【発明の詳細な説明】
【背景技術】
【０００１】
トモシンセシスは、一組の投影放射線写真から撮像対象の内部に存在する構造を再構成するものである。これらの構造には、例えば医療応用では器官、血管及び骨のような解剖学的構造がある。計算機式断層写真法（トモグラフィ）では、Ｘ線源（管とも呼ぶ）及び検出器が両方とも共通の軸を中心とした円形軌跡を移動して、極めて多数の投影放射線写真（又は画像）を取得する。すなわち、計算機式断層写真法では、Ｘ線源及び検出器は典型的には、対象を中心とした全円を描くか又はＸ線源及び検出器の各々で半円を描く。従来型の移動式断層写真法では、対象を通る１枚の水平スライスに焦点を合わせた状態にして、Ｘ線源が対象の本質的に一方の側で円弧を描き、検出器（又はフィルム）が対象の反対側で対応する円弧を描く（反対方向に）。対照的に、トモシンセシスでは、Ｘ線源位置を変化させながら比較的少数の放射線画像が取得される。つまりトモシンセシスは、Ｘ線源が対象の本質的に一方の側の位置を取り、検出器（又はフィルム）が対象の反対側の位置を取った状態で複数の投影放射線画像を取得するシステム及び方法である。
【０００２】
ディジタル・トモシンセシス・システムは、適当な機械的構造によって互いに接続されているＸ線源とディジタル検出器とを備えている。一般的には、撮像対象に対してＸ線源を異なる位置として、静止した撮像対象の一定数の二次元投影放射線画像を取得し、二次元投影放射線画像に対応するデータ・セットから撮像対象の三次元構造を再構成する。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００３】
従来型のトモシンセシス・システムは、検出器の「本来の（natural）」ピクセル格子に最もよく適合している訳ではなく、このことは、採用されている再構成手法が実際の再構成を行なう前にデータ補間工程を必要とするのが通例であることから明らかである。この補間工程は分解能の不可逆的損失を伴い、すなわち三次元再構成が始まらないうちから微細部分（微小構造）が失われている。
【課題を解決するための手段】
【０００４】
本発明の一実施形態では、ディジタル・トモシンセシス・システム及び方法が、対象の複数の投影放射線画像を取得するように構成されている。本システムは、Ｘ線ビームを放出するように構成されているＸ線源と、対象に対して相対的にＸ線源と一定の空間関係で配設されているディジタル検出器とを含んでいる。投影放射線画像が検出器に対して相対的に直線形軌跡に沿ってＸ線源の焦点スポットの異なる位置において取得されるように、プロセッサがＸ線源を制御すると共に検出器からのデータを処理するように構成されている。
【発明を実施するための最良の形態】
【０００５】
本書で用いられる「構成されている」等の用語は、当業者には理解されるように所望の作用を提供するように配設されている構成要素を指す。例えば、信号及びデータ等の処理の場合には、「構成されている」との用語は、所望のアルゴリズムに従って入力信号を処理して所望の出力信号を供給するように準備することのできる予めプログラムされているディジタル・コンピュータ、特定応用向け集積回路（ＡＳＩＣ）、又は他の電子計算装置、アナログ計算装置若しくは光計算装置等のような構成要素を指す。機械的装置又は電気機械的装置の場合には「構成されている」との用語は、所定の装置に所望の作用、構造又は構成を提供するような動作関係で組立、接続又は配置されている構成要素を指す。
【０００６】
本発明の記載の全体を通じて、Ｘ線源を「検出器の上方に位置する」又は「検出器から一定の高さに位置する」ものとして参照する。この参照は説明を分かり易くするためのもので、Ｘ線源が撮像対象に対して相対的に検出器に対向して配置されていることを意味し、Ｘ線源と検出器（又は検出器面）との相対位置を説明するに過ぎない。Ｘ線源が「検出器の上方に位置する」と言っても、Ｘ線源が必ず「検出器よりも高く」に位置することを意味する訳ではない。というのは、例えばディジタル・トモシンセシス・システムが上下反転したならばディジタル・トモシンセシス・システムの相対的な幾何学的構成が不変である限り本発明を成功裡に具現化することができるからである。
【０００７】
図１はトモシンセシス・システム１００を示す。図１に示すように、トモシンセシス・システム１００はＸ線源（又は管）１１０を含んでおり、Ｘ線源１１０は軌跡１１２に沿って移動してＸ線１１３を放出する。Ｘ線１１３は対象（又は患者）１１４に入射して、検出器１１６によって検出される。対象（又は患者）１１４は典型的には、様々なＸ線減弱特性を有する三次元構造を含んでいる。検出器１１６は、コンピュータ／データ処理ユニット１１８によって制御されて、ユニット１１８に入力を供給する。
【０００８】
また、図１に示すように、コンピュータ／データ処理ユニット１１８は、Ｘ線源１１０の移動及び検出器１１６の読み出しを制御する処理、検出器１１６からのデータを補間して、検出器１１６によって検出されたデータ（投影放射線画像）から対象１１４の三次元画像を再構成する処理、並びに他の補助処理及び制御機能１２４を含めた処理を実行する。
【０００９】
このようにして、静止した対象（又は患者）１１４について、ディジタル・トモシンセシス・システム１００は、検出器１１６及び対象１１４に対してＸ線源１１０の相対位置を変化させて何枚かの投影放射線画像を取得する。このことは典型的には、取得間でＸ線源１１０及び／又は検出器１１６を互いに対して相対的に且つ対象１１４に対して相対的に移動させることにより達成される。取得された投影放射線画像から、コンピュータ／データ処理ユニット１１８は撮像対象１１４についての三次元情報を再構成して、得られた再構成画像を表示する。典型的には、制御及び三次元再構成はコンピュータ／データ処理ユニット１１８内で実行され、再構成画像は、表示画面１２６を備えた独立した専用のコンピュータ１２５に表示される。
【００１０】
検出器１１６によって検出されたデータから撮像物体の三次元構造を再構成した後に、コンピュータ／データ処理ユニット１１８はこの再構成データを画像表示器１２６へ供給し、表示器１２６は操作者に対して再構成された三次元画像を表示する。
【００１１】
従来型の移動式断層写真法の一例では、Ｘ線源は、対象の特定の平面（所謂「軸平面（pivot plane）」）の投影が曝射時にフィルムに対して静止しているようにフィルムと同期して移動する。結果として、軸平面は焦点がはっきりして見えるが、撮像対象のその他全ての構造は「ボケる（blurred）」。従来型の移動式断層写真法のこの実例の基礎原理は、撮像平面（すなわちフィルム）及び軸平面が平行であること、並びにＸ線源の運動もまた、これら二平面に平行な平面内で行なわれることである。この構成は、軸平面に位置する構造が一定の拡大率でフィルムに写像されることを確実にする。従って、軸平面（に位置する構造）の画像に焦点を合わせた状態に保持するために必要なことは、軸平面内の構造の投影の相対位置がＸ線源の移動中に不変となるようにフィルムを移動させることだけである。
【００１２】
従来型の移動式断層写真法では、軸平面の構造がフィルムに現われる際の「品質」に対してＸ線源の特定の軌跡が重大な影響を及ぼすことはない（軌跡が上述の平面に位置している限りでは）。しかしながら、この特定の軌跡は、平面外構造が画像に現われているときには直接的且つ重大な影響を及ぼす。一般的には、Ｘ線源の移動範囲が広いほど、平面外構造のボケも顕著になる。さらに、線源軌跡の「形状」はボケの「形状」にそのまま移行する。直線形軌跡の場合には平面外構造は単一の方向のみに沿ってボケを生じ、円形軌跡の場合には平面外構造は「円形ボケ」としてボケを生ずる。
【００１３】
従来型の移動式断層写真法の一般的な二つの例として、Ｘ線源は直線形で運動するか又は円形で運動する。前者の例は、Ｘ線源支持部とフィルム支持部とを連結する機械的構造の構築が比較的簡単になり、これにより曝射の全体にわたって軸平面に確実に焦点が合うという利点がある。円形軌跡の選択肢は機械的な具現化形態の観点からは魅力に欠けるが、直線形軌跡の選択肢に勝ると認められる画質を与える。この理由は、「直線形ボケ」は軸平面内の重要な構造であると誤読され易い縞目アーティファクトを形成するためである。この問題点は、ボケが円形で現われる円形軌跡の例では比較的重大でないと考えられる。
【００１４】
幾つかの従来型の移動式断層写真法システムは、Ｘ線源がフィルム／検出器から一定の距離に位置するという制約を含んでおり、すなわちＸ線源はデータ取得工程全体にわたって検出器平面に平行な平面に位置することを意味する。この制約が当てはまらない従来型の断層写真法システムもあるし、またディジタル・トモシンセシス・システムには当てはまらない。しかしながら、従来型の断層写真法システムではＸ線源及び検出器／フィルムの運動は慎重に同期させられており、ディジタル・トモシンセシスではこの同期は不要である。
【００１５】
フィルムの代わりにディジタル検出器を採用する場合にも上述と同じアプローチを用いることができるが、典型的には、画像は多数の離散的なＸ線源（又は管）位置において離散的な時間的瞬間に撮影され、各回の曝射中にはＸ線源及び検出器は両方とも静止している。しかしながら、ディジタル・システムは多機能化しているため、投影画像の同じ集合を用いて、軸平面に位置する構造を再構成するばかりでなく任意の高さにおける撮像対象の「スライス」を再構成することができる。本書で用いられる「スライス」との用語は、撮像対象を通過する平面状の断面すなわち再構成される空間を通過する平面状の断面を指し、この断面は検出器面に平行な平面に沿って截断されている。さらに、ディジタル・トモシンセシス・システムによって柔軟性が加わるため、Ｘ線源が検出器の上方で円弧に沿った離散的な位置を取る場合のような他のシステム概念の発展も可能になる。円形トモシンセシスの場合とは異なり、かかるシステムでは、円弧は検出器面に垂直な平面に位置する。
【００１６】
ディジタル・トモシンセシス・システムによって撮影された画像からスライスを再構成する一手法に「シフト後加算（shift and add）」法と呼ばれるものがある。「シフト後加算」法は、従来型の移動式断層写真法における画像形成工程と実質的に等価である。ディジタル・トモシンセシスに関わる離散的な回数の画像曝射について、単純な「シフト後加算」演算は、シフト（及び必要があればスケーリング）を行ない、次いで、ディジタル・トモシンセシス・システムによって撮影された異なる投影放射線画像を加算する。各々の投影画像について適当な移動量（シフト）を選択することにより、ディジタル・トモシンセシス・システムは、対象内部の任意の高さに存在する論理的な平面（すなわちスライス）に焦点を合わせることができる。すなわち、画像再構成の「シフト後加算」法から、平面外構造が「ボケ」て現われている（すなわち平面外構造が互いに対してシフトした何個かの低コントラスト複写像の形態で現われている）画像が得られ、平面外構造のボケの程度は、軸平面からのすなわち再構成されたスライスからの当該構造の距離に依存している。
【００１７】
図２は、上述の「シフト後加算」再構成アプローチの原理を示すフロー１３０を示している。図２に示すように、対象１１４は、対象１１４の平面１２８に位置する構造（正方形で表わす）と、対象１１４において平面１２８とは異なる平面に位置するもう一つの構造（三角形で表わす）とを含んでいる。図示の目的のために、対象１１４の内部に位置する二つの構造と共に、Ｘ線源（又は管）の軌跡を含んだ平面に位置するものとして縦断面１３２を想定している。この縦断面１３２は、検出器１１６によって検出されるＸ線１１３の異なる角度（すなわちＸ線源の異なる位置）での投影１３４を与える。次いで、これらの投影１３４をコンピュータ／データ処理ユニット１１８へ送信すると、ユニット１１８はデータ補間／再構成処理１２２によって投影１３４に対して様々な処理を実行する。これらの処理は、検出された投影のシフト及びスケーリング１３６と、結果の加算（又は平均）１３８とを含んでおり、これにより、単一の平面１２８の再構成１４０（正方形で示す構造を含んでいる）が得られる。あらゆる平面外構造（三角形で表わす構造等）はこの再構成では「ボケた」構造として現われる。すなわち、Ｘ線源１１０の離散的な位置について、平面外構造（すなわち三角形）の何個かの低コントラスト複写像が再構成画像（又はスライス）１４０に存在している。異なる高さにある複数のスライスの再構成が望まれる場合には、シフト及びスケーリングのパラメータを変えてこの工程（すなわち検出された投影のシフト及びスケーリング１３６、並びに結果の加算又は平均１３８）を繰り返し実行する。
【００１８】
ディジタル・トモシンセシスの出現から次の二つの効果が齎された。第一の効果は、Ｘ線源と検出器とを連結する機械的構造の重要性が減じたことである。ディジタル式で利用できる投影画像をシフト（及び必要があればスケーリング）することは容易であり、このため、再構成したい平面の複数の画像が、異なるＸ線源位置について検出器に対して相対的に同じ位置を有している必要はない。実際に、撮像された三次元空間の全体を単一集合の投影画像から再構成することができ、すなわち新たな平面／スライスを再構成するために新たな投影画像集合を取得する必要がない。このことは、各々の単一画像がディジタル式で入手可能になった結果であり、従って、検出器とＸ線源との間の任意の平面が焦点が合って見えるように各々の画像の「移動量（シフト）」を調節することができる。結果として、検出器は全く移動する必要がない（但し検出器の移動は対象の投影画像を完全に撮影するために望まれる場合がある）。検出器及びＸ線源を別個に移動させることを可能にする同じ基礎原理から、Ｘ線源位置が全て検出器から同じ高さ（すなわち１枚の平行な平面）に位置していたり、又は検出器の位置に合わせて厳密に配置された高さに位置していたりする必要は必ずしもないとの事実が導き出される。実際に、高さのあらゆる任意の組み合わせを用いることができ、結果として、システムの幾何学的構成を目下の特定的な応用（乳房撮像、胸部撮像等）に合わせて構成することができる。
【００１９】
第二の効果は、従来型の移動式断層写真法との大きな相違であるが、再構成方法が単純な「シフト後加算」再構成アプローチ（従来型の移動式断層写真法における画像形成工程と等価のもの）を最早超えていることである。「シフト後加算」では従来型の移動式断層写真法と同じ形式のアーティファクト及び平面外構造のボケが見受けられるが、さらに先進的な再構成アルゴリズムでは平面外アーティファクトの影響を大幅に減少させることができる。すなわち、前述のアーティファクトを除去するために用いることのできる多くの手法が開発されている。典型的には、これらの手法は、ボケを齎す点拡散関数の特性を決定し、次いで、上述のシフト後加算方法を用いて得られる完全三次元再構成を空間領域又はフーリエ領域のいずれかでデコンボリューションすることを含んでいる。点拡散関数は典型的には、空間位置に独立であるものと想定されており、すなわち平行投影又は類似の近似が暗黙に想定されていることを意味する。
【００２０】
対象の三次元構造を再構成するもう一つの形式のアプローチは、所謂フィルタ補正逆投影に基づくものであり、投影画像を逆投影（及び加算／平均）する前に各々の投影画像をフィルタ補正する。このアプローチは、Ｘ線源及び検出器が共通の軸を中心として回転するとの仮定に基づくものであり、この枠組みをそのまま用いることを可能にするためには、トモシンセシス・システムで取得された投影画像を先ずこの想定された幾何学的構成に写像せねばならず、これにより画質が僅かながら劣化する。さらに、フィルタ補正逆投影アプローチは、Ｘ線源の異なる角度からの多数の投影を有する「完全な」データからのみ正確な再構成を与える。
【００２１】
加えて、代数再構成手法（ＡＲＴ）と呼ばれる手法が存在している。代数再構成手法では、対象は三次元基底関数の線形結合として表わされるものと仮定する。このアプローチでは、繰り返し式で解くことが可能な一次方程式の大規模な（疎であるが）系を解くことになる。
【００２２】
これらの代数再構成方法は、測定雑音に敏感であり、特定の基底関数の選択が、得られる一次方程式の系に矛盾を齎す場合もある。
【００２３】
本発明のディジタル・トモシンセシス・システムは、対象の複数の投影放射線画像を取得して、これら取得された投影放射線画像に基づいて対象の構造を再構成する。これらの構造には、例えば器官、血管及び骨のような解剖学的構造がある。ディジタル・トモシンセシス・システムはＸ線源及び検出器を含んでいる。Ｘ線源はＸ線ビームを放出する。検出器は、対象に対して相対的にＸ線源に対向して設けられており、横列（row）及び縦列（column）を成して構成されているピクセルを有している。投影放射線画像は、Ｘ線源の直線形軌跡に沿って対象及び／又は検出器に対して相対的にＸ線源の焦点スポットの異なる位置で取得される。
【００２４】
さらに具体的には、本発明は、Ｘ線源及びディジタル検出器を有するディジタル・トモシンセシス・システムを含んでいる。本発明では、ディジタル検出器は、矩形又は六角形等の規則的な構成のピクセル格子を含んでいる。矩形のピクセル格子では横列及び縦列は９０°の角度を成し、六角形のピクセル格子では横列及び縦列は６０°の角度を成す。本発明の一実施形態では、Ｘ線源は直線形軌跡に沿って例えば軌道を移動する。本発明の一実施形態では、直線形軌跡は検出器面に平行な平面に位置しており、加えて、直線形軌跡は検出器のピクセルの横列（又は縦列）に平行である。この特定的な構成はディジタル検出器に最もよく適しており、被撮像空間の適当な変則型離散化と組み合わせると、極めて効率的な再構成手法の利用を可能にする。
【００２５】
図３は、本発明のディジタル・トモシンセシス・システム２００の概略を示す。本発明のディジタル・トモシンセシス・システム２００では、Ｘ線源（又は管）１１０がＸ線１１３を放出し、Ｘ線１１３は対象（又は患者）１１４に入射する。また、本発明のディジタル・トモシンセシス・システム２００では、Ｘ線源１１０は検出器２１６から本質的に一定の高さで直線形軌跡２１２に沿って移動する。
【００２６】
本発明に整合させて軌跡２１２に対して選択随意でさらに制約を設けてもよい。さらなる制約の一つは、軌跡２１２（図８に示す）を直線形とし、且つ検出器１１６から一定の高さにするものであり、もう一つの制約は、直線形軌跡２１２を検出器１１６の横列又は縦列に平行とし、すなわち検出器２１６の表面から延びており検出器素子の横列又は縦列と整列する平面であって、且つ直線形軌跡２１２（図５に示す）を含む平面が存在するようにするものである。
【００２７】
以下の議論では、Ｘ線源（又は管）１１０の焦点スポットの位置する位置を一般的には参照する。Ｘ線源（又は管）１１０の配向は、焦点スポット位置を変化させずに回転によって変更することができ、Ｘ線源１１０の配向は典型的には、放出されたビーム１１３の中心が検出器２１６の中心の近傍又は中心に位置するように調節される。
【００２８】
焦点スポットは、Ｘ線源１１０を点として近似したときの位置である。焦点スポットはＸ線源１１０の各要素に関して固定された位置にある。再構成（以下で議論する）の目的のために、焦点スポットがＸ線源１１０の位置を代表する。
【００２９】
このように、ディジタル・トモシンセシス・システム２００の一実施形態では、Ｘ線源１１０は、焦点スポット位置を検出器２１６から一定の高さにしてＸ線１１３を放出するようにコンピュータ／データ処理ユニット（プロセッサ）２１８によって配置される。
【００３０】
検出器２１６は対象１１４を透過したＸ線１１３を検出し、検出器２１６に入射したＸ線に対応する信号がコンピュータ／データ処理ユニット２１８へ送信される。コンピュータ／データ処理ユニット２１８はまた、Ｘ線源１１０の移動を制御する。さらに、コンピュータ／データ処理ユニット２１８は、Ｘ線源１１０の移動を制御すると共に検出器２１６の曝射タイミング及び読み出しを制御すること２２０、撮像対象１１４の内部構造の三次元画像を再構成すること２２２、並びに補助処理及び制御を実行すること２２４を含めた様々な処理を実行するように構成されている。
【００３１】
さらに、一実施形態では、再構成された三次元画像は、表示画面２２６を備えた独立した専用コンピュータ２２５へ送信されて、利用者に対して表示される。但し、表示器はコンピュータ２１８の一部であってもよく、また独立したワークステーションでなくてもよいことを理解されたい。
【００３２】
図４は、横列２２８及び縦列２３０を成して構成されているピクセルを有する検出器２１６を示す。さらに、図４は検出器２１６が幾何学的には検出器面２３２として存在していることを示している。図４に示す検出器２１６の実施形態では、横列２２８及び縦列２３０は互いに対して直角（すなわち９０°）を成している。しかしながら、本発明の検出器２１６のもう一つの実施形態では、横列及び縦列は互いに対して６０°の角度を成してこれにより六角形構成として設けられていてもよい。
【００３３】
図５は、本発明のディジタル・トモシンセシス・システム２００の一実施形態でのＸ線源１１０と、Ｘ線源１１０の軌跡２１２と、検出器面２３２との間の幾何学的関係を示している。本発明のこの実施形態では、ピクセルの横列２２８（又は縦列２３０）の一列毎に一意に定義される平面２３４（三次元）が存在しており、軌跡２１２上での任意のＸ線源１１０位置について、平面２３４内に位置する全構造（対象１１４の）が対応するピクセル横列２２８（又は縦列２３０）に投影されるようになっている。
【００３４】
Ｘ線源１１０は直線形軌跡２１２に沿って移動するので、取得画像から撮像対象の構造を再構成する二次元再構成手法をコンピュータ／データ処理ユニット２１８によって具現化することができる。具体的には、直線形軌跡２１２を含む任意の平面２３４を考えると、この平面２３４は線（図５に示す実施形態ではピクセル縦列２３０又はピクセル横列２２８）として検出器面２３２に交差する。この平面２３４の全ての点が、検出器面２３２の当該線に位置する点に投影される。このことは、直線形軌跡２１２上のＸ線源１１０の任意の位置について当てはまる。
【００３５】
一方、三次元空間のその他の点は、検出器面２３２の上述の線（図５の実施形態ではピクセル横列２２８又はピクセル縦列２３０に対応する線）には投影されない。従って、異なる複数の投影画像を通じてのこの線に沿った「プロファイル」（すなわち断面）は、平面２３４に位置する撮像対象１１４の構造の情報の全てを含んでいる。従って、これらのプロファイルは、撮像対象１１４を通る対応する平面状の断面の最適再構成を可能にする。
【００３６】
このように、この枠組みでの対象１１４の完全三次元再構成は、Ｘ線源軌跡２１２を含む各平面２３４に対応する平面断面の対応する二次元再構成を実行することにより達成される。対象１１４の三次元構造は、再構成された二次元構造情報のそのままの（natural）「パッチワーク」となる。
【００３７】
さらに、図５又は図８の実施形態では、Ｘ線源１１０の軌跡２１２は検出器面２３２に平行な平面内に位置しているので、検出器面２３２への投影に構造が現われる場合には対象１１４の構造の「フーリエ領域での結合分離（decoupling）」を追加で行なう。対象１１４を通る所与のスライス（検出器２１６に平行であるものとする）内の全構造は、投影画像に現われる際に一定の拡大率で拡大されている。この一定の拡大率は、軌跡２１２に沿ったＸ線源１１０の特定の位置に独立であり、Ｘ線源１１０が検出器２１６に平行な平面内の軌跡２１２を移動するという事実のみからの帰結である。
【００３８】
結果として、対象１１４を通るスライスに、検出器２１６によって検出された投影画像の各々におけるシヌソイド関数としてシヌソイド型「減弱構造」が観察される。この投影されたシヌソイド関数の周波数は、元の構造の周波数に一定の拡大率を加味したものの関数であり、位相シフトはＸ線源１１０の特定の位置に依存する。
【００３９】
一定の拡大率は、特定のＸ線源１１０位置に独立であるが、対象１１４を通る考察対象のスライスの高さには依存しており、スライスの検出器２１６からの距離と、関連する一定の拡大率との間には一対一の関係が存在している。
【００４０】
従って、シヌソイド関数によって投影画像を表わす（例えば標準的なフーリエ変換を用いて）場合に、これらのシヌソイド項の各々が、対象１１４を通る各々のスライスについて特定の一意に定義された周波数でシヌソイド関数に関連付けされる。これら特定の周波数での対象１１４のスライスのシヌソイド成分のみが、検出器２１６によって検出される投影画像での考察対象の周波数成分の形成に役割を果たす。このフーリエ領域での一意の関係を用いて、撮像対象１１４の三次元構造を再構成するときに役立てることができる。このことについては後にあらためて説明する。
【００４１】
図６は、本発明のディジタル・トモシンセシス・システムについて一定の拡大率  ｈ／（ｈ−ｚ０）  を与える幾何学的関係の一例を示している。
【００４２】
ここで図６を参照して述べると、Ｘ線源１１０（図６には示されていない）は、検出器面２３２として存在する検出器２１６（図６には示されていない）に対して相対的に軌跡２１２に沿って移動する。軌跡２１２は、例えば「焦点スポット位置１」及び「焦点スポット位置２」を含んでいる。所与の高さｚ０において対象１１４に含まれる構造に対する拡大率は、軌跡２１２が検出器面２３２に平行な平面に含まれている場合には、軌跡２１２に沿って存在する全ての焦点スポット位置で一定である。すなわち、Ｘ線源１１０によって焦点スポット位置１又は焦点スポット位置２（検出器面２３２から高さｈに位置する）から放出される各々のＸ線ビーム１１３は、検出器面２３２から高さｚ０に位置する構造を上述の一定の拡大率で拡大する。
【００４３】
さらに、図５に示すディジタル・トモシンセシス・システムの実施形態では、Ｘ線源１１０の直線形軌跡２１２は検出器のピクセルの縦列２３０又は横列２２８に平行であることから、Ｘ線源軌跡２１２を含む平面に位置する構造の写像先の線は、検出器２１６のピクセル縦列２３０又は横列２２８に（それぞれ）平行になる。この特性を用い、また適当な変則型（すなわち非矩形）「ボクセル構造」（すなわち再構成される対象１１４を包含する三次元空間を離散化したもの。図７を参照）を用いると、二次元画像でなく一次元関数のみの補間が再構成工程２２２によって実行されるので、本発明のディジタル・トモシンセシス・システム２００では所要の補間の計算の複雑さ及び関連する分解能損失が減少する。さらに、上述のボクセル構造を用いるときに、関数の補間が実行される点の相対位置が検出器のピクセル格子に関して固定される（且つ全ての点で同じになる）ので、工程２２２による補間を効率的に計算することができ、すなわち所与のプロセッサが補間を処理するのに掛かる時間が短縮する。
【００４４】
さらに、上述の特性を用い、また上述の適当な変則型「ボクセル構造」（すなわち再構成される対象１１４の三次元空間を離散化したもの）を用いると、投影された画像データを再構成に用いる前に行なわれる投影された画像データの補間（すなわち図１に示す工程１２２に含まれるデータ補間工程）のかなりの部分が回避される。
【００４５】
この特性は有利である。というのは、通例は工程１２２の一部である補間工程が分解能損失を本質的に齎しており、従って関連技術のディジタル・トモシンセシス・システム１００では画質の損失が生じているからである。さらに、関連技術のディジタル・トモシンセシス・システム１００による工程１２２に含まれる補間工程を実行するためには一般的には追加計算が必要である。
【００４６】
再構成される空間の変則型ボクセル格子上のデータは、再構成された空間を規則的な（矩形等）格子上で表示することが望ましい場合には再構成工程を実行した後に補間することができる。
【００４７】
しかしながら、変則型ボクセル格子（本発明のディジタル・トモシンセシス・システム２００の幾何学的構成及び検出器２１６の「本来の」ピクセル格子に合わせて最適に適応構成されている。図７を参照）上で対象１１４の画像を先ず再構成することにより、図１の工程１２２での実際の再構成を行なう前であっても関連技術のディジタル・トモシンセシス・システムでは一般的であったような分解能の損失を導入することなく、対象１１４の三次元構造の再構成が与えられる。
【００４８】
このように、上述の各特性の帰結として、本発明のディジタル・トモシンセシス・システム２００の幾何学的構成は、撮像対象１１４の再構成について、可能性として優れた画質及び高速な計算を齎す利点を提供する。
【００４９】
図７は、本発明のディジタル・トモシンセシス・システム２００に関連する最適「ボクセル構造」（又はボクセル格子）を示す。図７では、平面Ｍ及びＮは、撮像対象１１４内に位置する平面である。ボクセルの各平面スライスＭ及びＮを、平面スライスが位置している平面Ｍ及びＮに対応するそれぞれの一定の拡大率で、検出器面２３２に位置している検出器２１６（図示されていない）上のピクセル格子に写像する。例として述べると、各平面の第ｊ横列を用いると、第ｊ横列自体及びＸ線源軌跡（図５の実施形態での）は、単一の「再構成平面」内に位置している（従ってこの「再構成平面」は被撮像空間を通る対応する断面も含んでいる）。このように、任意の水平面Ｍ及びＮの第ｊ横列に位置する点での三次元構造の再構成は、対応する「再構成平面」内での二次元再構成を用いて達成される。この二次元再構成に用いられる入力データは、検出器２３２（すなわち平面０）の第ｊ横列に位置する検出器ピクセルに対応した投影画像の部分によって与えられる。
【００５０】
一組の二次元再構成を空間的三次元再構成として結合することは簡単である。特定の必要条件に応じて、再構成は図７に示すような簡便な形態で既に与えられていてもよいし、又は三次元空間の任意の所与の点について、三次元空間の考察対象の点に最も近い点での二次元再構成から補間値を計算することにより再構成の関連値を算出する。
【００５１】
図７の変則型ボクセル格子はまた、焦点スポット位置が検出器から一定の高さになる（図８に示す実施形態に対応する）ような位置をＸ線管が取っている一般的なトモシンセシス・システム２００について本発明の方法に有用であり、この理由は、対応する拡大率（当該高さでの）を乗算したボクセル同士の間の水平間隔が検出器のピクセル間隔となるからである。このため、一定数の補間工程を回避することができる。この場合には、水平スライス内に位置するボクセルの横列（又は縦列）が直線形Ｘ線源軌跡に平行となるようにボクセル格子を回転させると有利である。
【００５２】
図８は、本発明のディジタル・トモシンセシス・システム２００のもう一つの実施形態を示しており、Ｘ線源１１０の軌跡２１２は検出器面２３２から一定の高さに位置しているが、検出器２１６の横列２２８にも縦列２３０にも平行でない。
【００５３】
図９は、本発明のディジタル・トモシンセシス・システム２００のさらにもう一つの実施形態を示しており、Ｘ線源１１０の軌跡２１２が検出器面２３２から一定の高さに位置していない。Ｘ線源１１０の軌跡２１２は検出器面２３２から一定の高さに位置していないので、軌跡２１２は検出器２１６の横列２２８にも縦列２３０にも平行でない。図９に示す実施形態では、Ｘ線源１１０の軌跡２１２を含む線が検出器面２３２と交差する。
【００５４】
本発明のディジタル・トモシンセシス・システムは胸部撮像及び乳房撮像等に応用することができ、また他の医療関係でない応用分野（例えば非破壊評価）にも応用することができる。
【００５５】
ここで、図３に示す三次元構造の再構成２２２の一方法について説明する。以下の方法では、対象１１４は限定された数のディジタル放射線投影画像から再構成される。また、以下の方法では、ディジタル・トモシンセシス・システム２００のＸ線源１１０は、検出器２１６（図３に示す）から全て同じ高さに位置する一定数の異なる位置を取り、すなわち一実施形態では、図８又は図５に示すようなディジタル・トモシンセシス・システムの実施形態とする。もう一つの実施形態では、ディジタル・トモシンセシス・システム２００のＸ線源１１０は、検出器２１６から全て同じ高さに位置する一定数の異なる位置を取るが、１本の線上には位置しない。以下の方法を「ディジタル・トモシンセシスにおけるフーリエ式最適再構成方法」と呼ぶものとし、この方法は、画像取得工程が、検出器２１６から選択された高さに位置する撮像対象１１４を通る平面のシヌソイド減弱プロファイルを、検出器２１６によって検出された投影画像に観測されるシヌソイド関数に写像するという事実を利用している。シヌソイド関数は高さ依存型の位相シフト及び周波数を含んでいる。さらに、位相シフトはまた、Ｘ線源１１０の位置（水平座標系での）にも依存する。以上の情報を用いて、それぞれの投影画像のフーリエ変換から、対象１１４を通る水平スライスのフーリエ係数を再構成する。
【００５６】
さらにもう一つの実施形態では、ディジタル・トモシンセシスにおけるフーリエ式最適再構成方法において、対象１１４は有界の空間内に位置するという制約又は他の適当な制約を用いて、フーリエ領域での関係のみでは決定することができない対象構造の成分を再構成する。以上の制約から、撮像対象１１４の三次元構造の最適推定値の再構成を与える繰り返し手順が導き出される。
【００５７】
ディジタル・トモシンセシスにおけるフーリエ式最適再構成方法は、ディジタル・トモシンセシス・システム２００の撮像幾何学的構成（図５又は図８の実施形態での）及びトモシンセシス取得工程に合わせて最適化して構成されているため高画質を与える。さらに、ディジタル・トモシンセシスにおけるフーリエ式最適再構成方法は、アーティファクトを混入させたり不適当な近似（平行投影等）によって再構成の画質を劣化させたりせずに対象１１４の画像を再構成する。
【００５８】
ディジタル・トモシンセシスにおけるフーリエ式最適再構成方法は、トモシンセシス放射線投影画像からの最適画像再構成のための方法を提供し、異なるＸ線源１１０の位置が検出器２１６に平行な平面に位置しているようなディジタル・トモシンセシス・システム幾何学的構成に最もよく適している。さらに、ディジタル・トモシンセシスにおけるフーリエ式最適再構成方法は、上述の「シフト後加算」、フィルタ補正逆投影及びＡＲＴ手法の欠点を呈することがない。
【００５９】
ディジタル・トモシンセシスにおけるフーリエ式最適再構成方法では、Ｘ線源１１０のそれぞれの焦点位置が検出器２１６に平行な固定された平面に位置すると仮定する。従って、一実施形態では、Ｘ線源１１０は検出器２１６から固定された高さにある直線を移動する。この仮定は、検出器２１６に平行な固定された平面に位置するその他の軌跡にも一般化することができる。
【００６０】
また、ディジタル・トモシンセシスにおけるフーリエ式最適再構成方法では、Ｎを投影画像の数とするとＮ個の未知数でＮ個の一次方程式の一定数の系を解くので、一定数の投影画像がディジタル・トモシンセシス・システム２００によって取得されると仮定する。
【００６１】
検出器から一定の高さにある直線形軌跡を辿るＸ線源１１０を有するディジタル・トモシンセシス・システム２００の場合には、図５及び図８に示すように、この直線形軌跡を含む一平面に位置する全ての点が、検出器面２３２の１本の線に投影される。さらに、検出器面２３２として記述されるように形成された異なる投影線は互いに対して（及び直線形軌跡２１２に対して）平行である。すなわち、Ｘ線源軌跡を含む平面に位置する構造の投影は本質的に二次元であって互いに干渉しないと考えることができる。このため、対象１１４の所定の空間についての三次元画像の再構成は、ディジタル・トモシンセシスにおけるフーリエ式最適再構成方法を用いて、一組の投影から一平面での構造を再構成するという二次元問題を解き、二次元解の適当な集合を結合することにより得られる。
【００６２】
撮像される対象１１４は、複数の（薄い）スライスによって適当に表わされると想定され、ここで各々のスライスは当該スライスの範囲内では高さの関数として変化することのない構造を示す。結果として、各々のスライスは本質的に二次元構造（すなわち１枚の画像）であって、かかるスライスを通る各々の断面／プロファイルは本質的に一次元関数であると考えることができる。従って、各々のスライスを標準的な画像処理ツールで処理することができる。具体的には、画像をシヌソイド成分の和に分解する二次元フーリエ変換を算出することができる。同様に、スライス又は投影画像を通る断面毎に、標準的な一次元フーリエ変換を算出することができる。
【００６３】
図１０及び図１１は、このディジタル・トモシンセシスにおけるフーリエ式最適再構成方法の基礎となる原理を示している。図１０は、対象から得られる異なるスライスでの構造の周波数同士の間の関係２３８を示すと共に、Ｘ線源１１０による投影から最適推定値を如何にして復元するかを示している。すなわち、図１０は、検出器面２３２から異なる高さでの対応する周波数の図であって、対応するフーリエ係数が如何にして一次方程式の系に結び付けられるかを示している。具体的には、図１０は対象を通る異なる４枚のスライスに位置する構造のみを示している。実際には、画像空間は一般的には、完全な被撮像空間を表わすためにスライスの「スタック（積層体）」（スライスの間には有意の間隔は存在しない）として構成されたさらに多数のスライスによって表わされる。
【００６４】
図１０に示すように、Ｘ線源１１０は検出器面２３２に平行な軌跡２１２に沿って焦点スポット１、２、３等からＸ線を放出する。放出されたＸ線は、検出器面２３２に平行な平面２４０、２４２、２４４及び２４６に位置する構造を有する対象１１４を透過する。平面２４０、２４２、２４４及び２４６の各々は検出器面２３２から異なる高さｈに位置している。すなわち、図１０に示すように、対象の内部には、検出器面２３２から異なる高さにあるが検出器面２３２に平行な異なる平面２４０、２４２、２４４及び２４６に位置する構造が存在する。これらの構造、従って平面２４０、２４２、２４４及び２４６は、Ｘ線源１１０から異なる距離に位置するので、図１０に示すように、Ｘ線が平面２４０、２４２、２４４及び２４６の各々を通過して検出器面２３２に入射する際に、以下で説明するように、Ｘ線源１１０によって放出されたＸ線ビームは一定の拡大率で構造の各々を拡大する。
【００６５】
図１０の関係２３８は、４種類の異なる高さのみで構造を含む対象１１４を示している（すなわちこれらのスライスの間の空間は放射線透明であると想定されている）。各々のスライス内で対象１１４の構造のフーリエ変換を求めることにより、各々のスライスがそれぞれのシヌソイド成分に分解される。図１０は、４枚の考察対象のスライスの各々について単一の周波数成分のみを示しており、説明の目的で、各々の高さに特定の位相が想定されており、さらに、これらのシヌソイド成分は等振幅を有するものと仮定されている。実際には、所与の高さにあるシヌソイド成分の位相及び振幅は、当該高さにあるスライス内の構造のフーリエ変換によって決まる。
【００６６】
焦点スポット位置１のみを考えると、異なる高さ２４０、２４２、２４４及び２４６での周波数は各々の高さに関連するそれぞれの拡大率によって互いに結び付けられる。具体的には、図１０の影付き領域２３９で示すように、各々の高さ２４０、２４２、２４４及び２４６に示す完全な一周期分のシヌソイド構造が、検出器面２３２における完全な一周期分に投影される。すなわち、所与の周波数（検出器面２３２での）について、各々の高さ２４０、２４２、２４４及び２４６毎に、投影によって当該周波数に写像される正確に一つの周波数が存在する。この単純な関係は、各々の高さ２４０、２４２、２４４及び２４６に関連した拡大率によって支配される。具体的には、異なる高さでの周波数同士の間のこの同じ関係が、軌跡２１２上に位置する任意の焦点スポット位置で成り立つ。さらに、他の高さに位置するスライス内に位置する構造でも等価な関係が成り立つ。
【００６７】
さらに、関係２３８において、検出器での投影画像は、各々の高さ２４０、２４２、２４４及び２４６での投影されたそれぞれのシヌソイド（対応する拡大後周波数にある）の和として図示されている。焦点スポット位置１について、シヌソイドの投影は全て事実上同一であり、すなわちこれらの投影は同じ周波数、位相及び振幅を有しており、従ってこの周波数は検出器２１６によって検出される得られた投影画像では増幅されている。
【００６８】
図１０に戻って、焦点スポット位置２では、拡大率が同じであるという事実から、シヌソイド成分は、焦点スポット位置１についての対応する投影と同じ周波数を有する投影画像のシヌソイド成分に投影される。しかしながら、高い側の２枚のスライス２４０及び２４２のシヌソイドは投影画像では互いに打ち消し合って、結果として、検出器２１６によって検出される投影画像は、焦点スポット位置１に関連した投影画像と同じ周波数であるが焦点スポット１について得られたものとは異なる位相及びより小さい振幅を有するシヌソイドを含む。
【００６９】
焦点スポット位置３については、さらに小さい振幅が検出器２１６によって検出される。数学的に、検出器２１６において観測されるシヌソイドの複素振幅（すなわち振幅及び位相）は、対象１１４内の構造の異なる高さ２４０、２４２、２４４及び２４６での対応する周波数成分の複素振幅の線形結合（絶対値が１の複素加重による）である。図１０に示す実例では、ここから４個（ここでのスライスの数に等しい）の未知数での３個（焦点スポット位置の数に等しい）の一次方程式の系が得られる。この一次方程式の系は、式の数よりも変数の数が多いので劣決定系であるが、解の最適推定値は決定可能である。Ｘ線源のあらゆる焦点スポット位置について、またあらゆる周波数について、考察対象のスライス集合に関連する一組の加重（複素数であり絶対値は１である）が存在する。各々の考察対象の焦点スポット位置について、これらの加重を収集してベクトルとすることができる（このベクトルを、ベクトルの各要素が異なる高さに対応しているので、「特性縦プロファイル」と呼ぶものとする）。すると、最適解（「最適プロファイル」と呼ぶ）は、特性縦プロファイルによってスパンされるベクトル空間に位置しており投影方程式を満たす一組の係数として決定される。このようにして、最適プロファイルの係数を決定する特性縦プロファイルの線形結合がこの手順によって決定される。最適縦プロファイルの係数の和は、特性縦プロファイルの対応する値で各々加重されて、対応する焦点スポットについて、対応する周波数での対応する投影の正しいフーリエ係数を与える。特性プロファイルと同様に、最適プロファイルは係数を含むベクトルであり、各々の係数が異なる高さに対応しており、対応する周波数における対応する高さでのスライス内の構造のフーリエ変換の係数の最適推定値を示す。
【００７０】
図１０の実例では、対象１１４を通る縦フーリエ係数プロファイルの最適推定値は４要素のベクトルとして与えられ、このベクトルは、焦点スポットの各々に関連する特性縦プロファイルによってスパンされる空間ベクトルに位置しており投影方程式を満たし、すなわち最適プロファイルと特性プロファイルとのスカラー積は、それぞれの投影のフーリエ係数の対応する複素振幅の値を有する。これらの関係は、本書で後に開示する式（３）〜式（５）で最も一般的な形態で表わされる。尚、かかる関係はあらゆる考察対象の周波数で成り立ち、特性縦プロファイルは考察対象の周波数の関数として変化することを銘記されたい。
【００７１】
図１１は、位相シフトが高さ及びシヌソイド成分の周波数の関数となっていることを示す関係２４１を示す。さらに具体的には、図１１は、２枚の異なる平面２５０及び２５２（検出器面２３２から異なる高さに位置する）におけるそれぞれ対応する周波数を有する対象１１４の二組の構造を示している。
【００７２】
さらに具体的には、図１１は、投影写像に関連した平行移動（及び拡大）がシヌソイド成分の位相シフトに如何に対応するか、またこの（相対）位相シフトが平面２５０及び２５２の高さ、対象１１４（図１１には示されていない）内の構造の周波数２５４及び２５６、並びに焦点スポット１と焦点スポット２との間の距離に如何に依存するかを示す関係２４１を図示している。
【００７３】
図１１は、２種類の異なる高さ２５０及び２５２に位置する平面での対応するそれぞれの周波数２５４及び２５６を有する二組のシヌソイド構造を示している。周波数１（２５４）に対応する構造を実線で示し、周波数２（２５６）に対応する構造を点線で示す。分かり易くするために、異なる周波数２５４及び２５６で得られた投影を別個に示す。周波数２５４及び２５６の両方について、太い実線は焦点スポット１から得られた投影を示す（この投影は、高さ２５０及び２５２の両方に位置するそれぞれの構造について一致している）。破線は、焦点スポット２に関して上方の平面２５０の構造の投影を示し、一点鎖線は焦点スポット２に関して下方の平面２５２の構造の投影を示す。（相対）位相シフト（平行移動量を周期長で除算したものに比例する）は、
焦点スポット同士の間の距離が増すにつれて、
シヌソイド構造の位置の（検出器２１６からの）高さが増すにつれて、
周波数が増すにつれて、
増大する。
【００７４】
これらの関係は、下記の式（２）の成立を助ける基礎原理を説明している。すなわち、所与の焦点スポット位置について、また所与の周波数について、位相シフトは考察対象の構造が位置している検出器２１６からの高さにのみ依存する。異なる焦点スポット位置についてはこの関係は変化し、この事実を用いて、所与の高さに位置しており所与の周波数を有する構造の位相及び振幅についての情報を復元する。
【００７５】
図１２は、ディジタル・トモシンセシス・システム２００によって実行される上述の「ディジタル・トモシンセシスにおけるフーリエ式最適再構成方法」に対応する流れ図２６０である。図１２に示すフーリエ式再構成の流れ図２６０は、各々の投影画像毎の独立した処理２６１、各々の周波数成分毎の独立した処理２６５（システム幾何学的構成／焦点スポット位置についての情報２６７を利用する）、対象１１４を通る各々の水平スライス毎の独立した処理２７１、及び対象１１４の台（support、すなわち空間範囲）に関する情報又は他の制約を盛り込むことにより再構成を改善する選択随意の繰り返し手順２７７を含んでいる。
【００７６】
図１２に示すように、上述の工程２６１、２６５、２７１及び２７７は次のようにして実行される。以下の記載は再構成される空間を通る投影画像及びスライスの二次元処理に関するものであるが、一実施形態では、前述のような「ディジタル・トモシンセシスにおけるフーリエ式最適再構成方法」の二次元形態を用いる。この実施形態は特に、再構成される空間を通る投影画像及びスライスを通る対応する断面の一次元フーリエ変換を用いることを暗に意味している。
【００７７】
各々の投影画像毎の独立した処理２６１は工程２６２及び工程２６４によって実行され、これについて説明する。ディジタル・トモシンセシス・システム２００によって異なる焦点スポット位置毎に投影画像を取得する（工程２６２）。次に、ディジタル・トモシンセシス・システム２００によって各々の画像の上述のような二次元フーリエ変換を算出する（工程２６４）。
【００７８】
各々の周波数成分毎の独立した処理２６５は、工程２６６、２６７、２６８及び２７０によって実行され、これについて説明する。各々の周波数毎に、対応する周波数成分のフーリエ係数を全ての投影画像について収集する（工程２６６）。システムの幾何学的構成／焦点スポット位置についての情報２６７を工程２６８及び２７０によって用い、これについて説明する。各々の周波数毎に、投影画像のフーリエ係数を対応する周波数にあるフーリエ係数の何らかの特性縦プロファイルに結び付ける一次方程式の系を解く（工程２６８）。これらの方程式は、Ｘ線源１１０の焦点スポット位置２６７及び考察対象の周波数によって決まる。対象１１４の各々の高さｈでの対応する周波数を、対応する高さに関連した拡大率によって投影画像の考察対象の周波数に結び付ける。Ｘ線源１１０の所与の焦点スポット位置について、検出器２１６で捕獲された画像のフーリエ係数は、撮像対象１１４を通る水平スライスにおける関連する周波数でのフーリエ係数の線形結合である。この線形結合での複素加重は全て絶対値が１であるが、位相が異なる。これらの加重は、考察対象の周波数、焦点スポット位置、及び対象１１４を通る関連するスライスの高さによって完全に決まり、焦点スポット位置が前以て固定されている場合には予め算出される。各々の周波数毎に、また各々の考察対象の焦点スポット位置毎に、これらの加重を（全ての高さについて）ベクトルとして収集した集合が、関連する特性縦プロファイルに相当する。
【００７９】
最適縦プロファイルは、工程２６８によって得られた係数で加重された焦点スポット位置に関連する（対応する周波数についての）特性縦プロファイルの線形結合を算出することにより、各々の周波数毎に決定される（工程２７０）。
【００８０】
対象１１４を通る各々のスライス毎の独立した処理２７１は、工程２７２、２７４及び２７６によって実行され、これについて説明する。対象１１４を通るスライスがディジタル・トモシンセシス・システム２００によって再構成されようとしている考察対象の全ての高さ毎に、全周波数のフーリエ係数（考察対象の高さでの）を、考察対象の高さにおいて全周波数について対応する最適縦プロファイルの値を決定することにより収集する（工程２７２）。
【００８１】
考察対象の全ての高さ毎に、逆フーリエ変換を算出する（工程２７４）。結果は、投影によって与えられる情報にのみ基づいた考察対象の高さの各々におけるディジタル・トモシンセシス・システム２００による対象１１４の最適再構成２７６となる。
【００８２】
対象１１４の台（すなわち空間範囲）についての利用可能な追加情報を用いて、台（又は包囲容積（bounding volume））の外部に位置する再構成の全要素をゼロに設定することにより再構成を台に限定する（工程２７８）。台とは、関数がゼロでない領域／空間である。一実施形態では、台は、対象１１４が存在していない領域と対立するものとしての対象１１４が存在する空間である。対象１１４の台が予め既知でなければ、所謂包囲容積を用いることができる。包囲容積とは、撮像対象についての事前知識によって画定され、対象１１４を含む（が対象１１４の台よりも大きくてもよい）空間である。一般的には、包囲容積が小さいほど、対象１１４の再構成の品質は良好になる。もう一つの実施形態では、追加の制約として、再構成される空間における値を、撮像対象についての物理的原理及び事前知識に基づいて物理学的に意味のある範囲に限定することを含んでいてもよい。
【００８３】
選択随意要素の繰り返し手順２７７は、工程２７８、２８０、及び２８２によって実行され、これについて説明する。以下の再構成２６０の繰り返し式更新２７７では、対象１１４を通る十分な数のスライスを再構成する。各々の焦点スポット位置毎に、再構成される対象１１４の対応する投影を算出する（工程２８０）。この工程２８０は、再構成される対象１１４を通る線に沿った明らかな（obvious）線積分を算出するか、又はフーリエ領域において、対象１１４を通る各々の再構成されるスライスのフーリエ変換を先ず算出し（対象１１４を台に限定する、且つ／又は他の制約を適用した後に）、次いで、異なる高さｈでの対応する周波数成分の縦プロファイルと、焦点スポット位置及び考察対象の周波数によって与えられる特性縦プロファイルとのスカラー積を算出するかのいずれかにより達成される。
【００８４】
そして、元の投影画像に対する新たな投影の差を算出する（工程２８２）。この差を再構成アルゴリズムへの入力（すなわち工程２６４への入力）として用いて、再構成される対象１１４の現在の推定値を繰り返し更新する。
【００８５】
ディジタル・トモシンセシスにおけるフーリエ式最適再構成方法は、二次元例（直線形軌跡を辿るＸ線源１１０によって投影画像を取得する特殊例に対応する）にも、Ｘ線源１１０が検出器から一定の高さにあるさらに一般的な軌跡（すなわち直線形軌跡でない）を辿るというさらに一般的な例で特に関心を持たれる三次元例にも適用することができる。二次元例では、図１２の流れ図２６０の全工程を図示の正確な順序で利用するが、投影画像を処理するのではなくこの場合には「投影プロファイル」を用いる。これらの投影プロファイルは前述のように画像の値を何本かの線に沿って抽出することにより投影画像から得られる。以下では、二次元例を詳細に説明し、次いで三次元例を説明する。二次元例は三次元例を凌ぐ計算効率を与え、優れた画質を与えることができる。
【００８６】
以下、ディジタル・トモシンセシスにおけるフーリエ式最適再構成方法の二次元例を参照して、対象１１４を通る水平スライスを所与の高さｚ＝ｚ０に位置するものとして考察する（図６、さらに具体的に図１３に示す）。この高さｚ０での対象１１４の減弱（局所変化型）をプロファイルOｚ（ｘ）によって表わし、ここで、ｘは横軸に沿った位置を表わす。このプロファイルはまた、フーリエ積分
【００８７】
【数１】
2005013736.tif 000003
【００８８】
としても表わすことができ、式中、Ｐｚ（ｗ）はプロファイルOｚ（ｘ）のフーリエ変換を表わす。仮定の単純化として、ｘ軸は無限でありすなわちｘ∈Ｒとし、プロファイルOｚ（ｘ）は対象１１４が存在していない位置では全てのｘについてゼロであるものとする。ｚ成分も同様に取り扱い、これにより形式的な表現での表記を単純化する。
【００８９】
〔単一のファン・ビーム投影〕
図１３は、単一のファン・ビーム投影を用いて上述の拡大率を説明するグラフ３００を示す。以下、図１３を参照して述べると、考察対象の焦点スポット位置１１３は、ｘ成分ｓと、検出器面２３２からの高さｈとを有する。このように、焦点スポット位置１１３は座標（ｓ，ｈ）Ｔを有する。この焦点スポット位置１１３に関するＸ線ビーム１１２のファン・ビーム投影は、高さｚにおいて対象１１４を通るスライスを拡大率κ＝ｈ／（ｈ−ｚ）で拡大し、点（ｓ，ｚ）を点（ｓ，０）に写像する。
【００９０】
従って、上述の例では、水平プロファイルOｚ（ｘ）は、次の平行移動及びスケーリングを施した自身の変形（検出器２１６において観測される）に写像される。
【００９１】
【数２】
2005013736.tif 000004
【００９２】
この式のさらに詳細な導き方を以下に述べる。第二の表現（すなわち等号の右辺の表現）は、図１３に示す高さｚでの水平プロファイルOｚ（ｘ）のファン・ビーム投影のフーリエ変換表現を表わす。従って、投影画像（全ての高さｚでの対象１１４のスライスの投影の重ね合わせで構成されている）は、
【００９３】
【数３】
2005013736.tif 000005
【００９４】
の形態のフーリエ係数を含む。
【００９５】
式（２）は、対象１１４のスライス当たり単一のフーリエ係数（すなわちＰｚ）を投影の単一のフーリエ係数（すなわちｑｓ（ｗ）ここで、下付き文字ｓは投影に対応するＸ線源１１０の特定の位置を示す）に結び付ける。
【００９６】
〔ｐｚのｑｓからの再構成〕
式（２）は関数  Ｐｚ（ｈｗ／（ｈ−ｚ））  と関数
【００９７】
【数４】
2005013736.tif 000006
【００９８】
とのスカラー積である（自乗可積分の複素関数のヒルベルト空間に関して）。このように、これらの係数ｑｓ（ｗ）（異なる焦点スポット位置（１１３）ｓすなわちＳｎについて。ｎ＝１…Ｎ）から、関数  Ｐｚ（ｈｗ／（ｈ−ｚ））
（高さｚの関数として見た場合）の成分であって、関数
【００９９】
【数５】
2005013736.tif 000007
【０１００】
（ｎ＝１…Ｎ）によってスパンされる空間に位置する成分を決定することができる。これらの係数には他の情報は含まれておらず、付加的な仮定が全くない場合には投影画像からは付加的な情報は得られない。
【０１０１】
具体的には、関数  ｅｎ（ｚ）によってスパンされる空間に関して、
Ｐｚ（ｈｗ／（ｈ−ｚ））
（ｚの関数としての）の最小自乗近似は、
【０１０２】
【数６】
2005013736.tif 000008
【０１０３】
によって与えられ、ここで、係数  ｃｎ  は次の一次方程式の系（係数は複素数）
【０１０４】
【数７】
2005013736.tif 000009
【０１０５】
によって決定され、行列要素Ｅｍｎは、
【０１０６】
【数８】
2005013736.tif 000010
【０１０７】
によって与えられる。この式は、予め画定されている焦点スポット位置  Ｓｎ，Ｓｍ  について容易に値を求めることができる。
【０１０８】
この結果（３）は、利用可能な情報の全てを利用しており且つ付加的な情報を一切生成しないという意味で最適である。さらに、式（４）の行列は（正則であり従って）、関数  ｅｎ（ｚ）  が線形独立である場合にのみ可逆である。このことが成り立たない場合には、  Ｐｚ（ｈｗ／（ｈ−ｚ））  の最適近似を決定するためにはさらに慎重な（依然としてかなり基本的であるが）解析が必要とされる。
【０１０９】
式（４）のような形式の式を各々の考察対象の周波数ｗについて解くと、周波数ｗの範囲にわたって対象１１４の構造の最適再構成が得られる。
【０１１０】
〔追加制約の導入〕
以上に述べた方法は、考察対象のフーリエ領域表現に関して対象１１４の最適再構成を決定する。対象１１４の範囲が限定されているので、上方境界及び下方境界（ｘ方向及びｙ方向の両方での）を、対象１１４の全体がこれらの境界によって画定される空間に含まれるように先験的に仮定することができる。包囲容積の特定的な形状は立方体であると制約されている訳ではなく、規則的な形状であるとさえ制約されていない。しかしながら、最良の結果を得るためには、包囲容積は可能な限り小さくなければならない。また、追加の制約として、再構成される空間における値を、撮像対象についての物理的原理及び事前知識に基づいて物理学的に意味のある範囲に限定することを含んでいてもよい。
【０１１１】
具体的には、再構成される対象１１４（（ｘ，ｙ，ｚ）の関数として見た場合）は、次の二つの関数空間の要素である。すなわち、
包囲容積の外部ではゼロである関数（及び／又は他の制約を満たす関数）の空間Ｓの要素、並びに
所与の投影画像の集合を正確に生成する関数すなわち式（２）を満たす関数の空間Ｑ′の要素。ここで、関数
【０１１２】
【数９】
2005013736.tif 000011
【０１１３】
は投影画像によって完全に決定される。正確を期すために、Ｑ′を所謂アフィン空間とし、ヒルベルト空間とはしない。
【０１１４】
〔交互型投影で最適再構成を決定する〕
上で導き出したフーリエ領域再構成は、空間Ｑ′の要素である関数を生ずるが、一般的にはこの関数は同時にＳの要素とはならない。交互型投影アプローチは、上述の二つの制約の片方が交互に満たされるように解を更新することを含んでいる。加えて、交互型投影アプローチは、両方の条件に合致する解に収束する。
【０１１５】
図１４は、交互型投影アプローチを説明するグラフ３１０を示す。図１４に示すように、解の初期推定値が決定される。次いで、この初期推定値を、図１４のグラフ３１０に示すように更新する。初回の更新では、対象１１４の包囲容積の外部に位置するノン・ゼロ成分を補償する関数を初期推定値に加算する。結果は、関数空間Ｓに位置する推定値となる。しかしながら、これにより、取得された投影画像に一致しない投影が導かれる。次いで、この導出を補償する成分を決定すると、新たに更新された解の推定値は今度は再びＱ′の要素となる。このアプローチは速やかに収束し、図１４に示されている。
【０１１６】
図１４では、Ｐは「ゼロ」投影を導く関数の空間、すなわち投影によって見えるようにならない関数の空間を示し、Ｑは投影によって完全に決定される関数の空間を表わす。同様に、Ｓは所定の包囲容積の外部でゼロとなる関数の空間を示し、Ｔは空間の内部でゼロとなる関数の空間である。求める解はＳに存在しており、本来の再構成は空間Ｑの再構成を生成するに留まる。繰り返し式手順によって、空間Ｐに存在する解の成分すなわち投影によって観測され得ない解の成分を推定する。
【０１１７】
図１４に示す手順によって得られた解は依然として正しい解ではない場合があり、すなわち再構成された撮像対象の三次元構造は実際の対象と同一でない可能性があるが、図１４はそうでないことを示唆している。このことは、ＳとＱ′との交点が一般的には、単一よりも多い「点」（すなわち関数）を含んでいるという事実の帰結である。
【０１１８】
さらに、Ｑ′及びＳの両方の要素である解の決定は、以上に記載した交互型投影方法に限らず、他のアプローチを用いて求めることもできる。
【０１１９】
〔手順の離散化〕
手順の離散化は比較的簡単である。ｘ及びｙの自然な離散化格子は典型的には、ディジタル検出器２１６（図１、図３及び図４）のピクセル格子によって決まる。離散的フーリエ変換（ｘ／ｙでの）を用いると周期関数が導かれる（関数が考察対象の区間の外部でも定義されると解釈されるならば）。このため、対象１１４を包囲する何らかの所定の空間の外部で対象がゼロとなるという制約を完全に活用するためには、関数を定義する区間を選択するときに注意を払わなければならない。一方、ｚ成分における離散化格子は、検出器２１６格子の間隔に依存しない。適当なｚ間隔は、最大投影角度の関数として選択してよい（投影角度が大きくなるほど細かいｚ離散化が必要とされ得る）。拡大率は画像対象を通る異なる水平面に関連して固有となるため、図７に示す空間の離散化を用いると有利であり、ここで、各々の水平スライス内での格子のｘ／ｙ間隔（すなわち水平間隔）は対応する拡大率に従って調節される。
【０１２０】
〔「ディジタル・トモシンセシスにおけるフーリエ式最適再構成方法」の導出〕
以下は、以上に述べた「ディジタル・トモシンセシスにおけるフーリエ式最適再構成方法」の導出に関する議論である。
【０１２１】
〔基本原理〕
ディジタル・トモシンセシスにおけるフーリエ式最適再構成方法を導き出すために、先ず、平行投影シナリオを想定し（これは実用時に見受けられるファン・ビーム投影シナリオとは対照的である）、またＸ線源１１０は検出器面２３２に平行な軌跡２１２に沿って移動すると仮定する。さらに、二次元例を示し、二次元例を三次元例に一般化する。
【０１２２】
図１５は、二次元対象撮像の構成及び座標系を示す図２９０である。さらに具体的には、図１５は、フーリエ式再構成手法の導出に有用な平行ビーム投影例を示す図である。この仮定を用いると、幾つかの複雑さを回避することができる。すなわち、図１５では、拡大率は高さによらず１となり、周波数の高さの関数としてのスケーリングを排除する。このように、図１５は、Ｘ線源の焦点スポット位置の距離が対象の高さに比較して大きい場合には実世界の例の近似を示す。
【０１２３】
検出器２１６（図１５では検出器面２３２として示す）は（一般性を損なわずに）、高さがｚ＝０で水平であるものとし、撮像対象１１４は検出器面２３２の上方に位置している。具体的には、Ｘ線源１１０（図１５には示していない）は角度θ（縦軸ｚから測定した）で平行なＸ線２９２のビームを放出するものとする。平行なＸ線のビームは、Ｘ線源１１０が検出器面２３２から無限の距離に位置しており、上述の拡大率が１に等しい（考察対象の高さによらず）理想例である。
【０１２４】
ここで、所与の高さｚ＝ｚ０で対象を通る水平断面を考える。この高さでの対象の減弱（局所変化型）をプロファイル  Ｏｚ（ｘ）  によって表わすことができ、ここで、ｘは横軸に沿った位置を表わす。さらに、このプロファイルは、フーリエ積分
【０１２５】
【数１０】
2005013736.tif 000012
【０１２６】
としても表わすことができる。具体的には、無限のｘ軸すなわちｘ∈Ｒを想定し、プロファイル  Ｏｚ（ｘ）  は対象１１４が存在していない位置では全てのｘについてゼロであるものとする。ｚ成分も全く同様に取り扱い、これにより形式的な表現を大幅に単純化する。
【０１２７】
平行投影（図１５に示すような）は、対象１１４の考察対象のプロファイルを平行移動した（シフトした）自身の複写像に写像し、ここでシフト量は考察対象のプロファイルの高さｚ及び投影の角度θに依存する。具体的には、投影角度θ（縦軸ｚから測定する）及び対象を通る考察対象の断面の高さｚについて、シフト長はｚｔａｎθである。すなわち、高さｚの減弱プロファイル  Ｏｚ（ｘ）  が「投影プロファイル」  Ｏｚ（ｘ−ｚｔａｎθ）  に写像される。
【０１２８】
角度θでの単一の投影について、考察対象の対象を通る全ての水平スライスの投影の重ね合わせが生じ（すなわち全ての高さｚでのプロファイルを適当にシフトしたものの重ね合わせが生ずる）、結果として、検出器２１６で観測されるプロファイルは、
【０１２９】
【数１１】
2005013736.tif 000013
【０１３０】
の形態を有する。
【０１３１】
この表現にフーリエ表現（６）を代入すると、
【０１３２】
【数１２】
2005013736.tif 000014
【０１３３】
が得られる。
【０１３４】
以上の表現を標準的なフーリエ積分形態として書き直すと、
【０１３５】
【数１３】
2005013736.tif 000015
【０１３６】
が得られ、ここで、フーリエ係数
【０１３７】
【数１４】
2005013736.tif 000016
【０１３８】
は、
【０１３９】
【数１５】
2005013736.tif 000017
【０１４０】
の形態を有する。従って、投影画像
【０１４１】
【数１６】
2005013736.tif 000018
【０１４２】
のフーリエ係数
【０１４３】
【数１７】
2005013736.tif 000019
【０１４４】
は、式（７）によって撮像対象１１４を通る全ての水平スライスのフーリエ係数  Ｐｚ（ｗ）  に結び付けられる。具体的には、周波数ｗでのフーリエ係数
【０１４５】
【数１８】
2005013736.tif 000020
【０１４６】
は、正確に同じ周波数にある水平な対象１１４のスライスのフーリエ係数のみの関数となる。
【０１４７】
〔対象の「スライス」のフーリエ係数の最適再構成（特定の周波数での）〕
幾つかの角度θｎにおいて投影が存在し、ｎ＝１…Ｎであるとする。すると、異なる投影画像のフーリエ係数は、
【０１４８】
【数１９】
2005013736.tif 000021
【０１４９】
の形態の表現を有効とし、この表現は本質的に、自乗可積分の複素関数のヒルベルト空間に関するスカラー積を表わす。具体的には、これらの係数から、関数
【０１５０】
【数２０】
2005013736.tif 000022
【０１５１】
（ｎ＝１…Ｎ）によってスパンされる空間に位置する関数  Ｐｚ（ｗ）  の成分が決定される。これらの係数には他の情報は含まれておらず、付加的な仮定が全くない場合には投影画像からは付加的な情報は得られない。
【０１５２】
ここで、形態（８）のスカラー積から  Ｐｚ（ｗ）  の最適推定値を決定する原理を説明する。
【０１５３】
基本的な線形代数学から、実数値の（列）ベクトルｐの最小自乗近似が一組のスカラー積
【０１５４】
【数２１】
2005013736.tif 000023
【０１５５】
から復元され、ここで、ベクトル  ｅｎ  及び値  ｑｎ  は既知である。具体的には、
【０１５６】
【数２２】
2005013736.tif 000024
【０１５７】
となる。
【０１５８】
ｅｎ  は列ベクトルであり、  ｃｎ  及び  ｑｎ  はスカラーであり、上付きのＴの冪数は転置ベクトルを示す。
【０１５９】
この一次方程式の系を解くと、
【０１６０】
【数２３】
2005013736.tif 000025
【０１６１】
がベクトル  ｅｎ  によってスパンされる空間に関するｐの最小自乗近似となるような解ベクトルｃが得られる。この結果は、利用可能な情報の全てを利用しており且つ付加的な情報を生成しないという意味で最適である。式（９）の行列は（正則であり従って）、ベクトル  ｅｎ  が線形独立である場合にのみ可逆である。このことが成り立たない場合には、ｐの最適近似を決定するためにはさらに慎重な解析が必要とされる。
【０１６２】
ディジタル・トモシンセシスにおけるフーリエ式最適再構成方法では、類似の状況が存在しているが、ディジタル・トモシンセシスにおけるフーリエ式最適再構成方法は、実数値のベクトルではなく複素数値の関数を扱い、また有限次元のベクトル空間ではなく自乗可積分の複素関数のヒルベルト空間を考える。明確に述べると、値  ｑｎ  をここでは
【０１６３】
【数２４】
2005013736.tif 000026
【０１６４】
に置き換えて、ベクトル  ｅｎ  を関数
【０１６５】
【数２５】
2005013736.tif 000027
【０１６６】
に置き換える。上で概略説明したのと全く同じようにして行列が得られ、この行列の要素はここでは、関数
【０１６７】
【数２６】
2005013736.tif 000028
【０１６８】
の対形成したスカラー積によって与えられ、すなわちこの行列の要素（ｍ，ｎ）は
【０１６９】
【数２７】
2005013736.tif 000029
【０１７０】
の形態を有し、この式は所定の投影角度θｎについて容易に評価される。結果として得られる一次方程式の系（係数は複素数）を解くと、一組の係数  ｃ１，…，ｃＮ  が得られ、また
【０１７１】
【数２８】
2005013736.tif 000030
【０１７２】
は、全ての高さｚについての（固定された）周波数ｗでのフーリエ係数  ＰＺ（ｗ）  の最適再構成を表わす（すなわち、ｗを固定した  ＰＺ（ｗ）  がここではｚの関数として解釈される）。考察対象の全周波数ｗについて同様の一次方程式の系を解く。
【０１７３】
〔フーリエ・スライス定理との連結〕
式（７）の一つの解釈は、周波数ｗｔａｎθに関連する関数のフーリエ変換係数  ＰＺ（ｗ）  （固定された周波数ｗについて高さｚの関数と考えられる）を算出することである。このことはまた、
【０１７４】
【数２９】
2005013736.tif 000031
【０１７５】
が二次元対象  ＯＺ（ｗ）  ＝  ＯＺ（ｚ，ｗ）  の二次元フーリエ変換の周波数（ｗ，ｗｔａｎθ）に関連するフーリエ係数であることを暗に意味している。この関係は本質的に、（平行）投影の一次元フーリエ変換が対象の二次元フーリエ変換の角度θでの中央スライスに等しいことを記述するフーリエ・スライス定理の言い換えである。
【０１７６】
〔三次元例への一般化〕
以上で展開した二次元での平行投影からのディジタル・トモシンセシスにおけるフーリエ式最適再構成方法の三次元例への一般化について以下に述べる。
【０１７７】
撮像対象１１４を通る水平スライス及び検出器２１６へのその投影は二次元であるので、標準的な二次元フーリエ変換を用いる。フーリエ基底関数はこの場合には、一次元フーリエ基底関数のデカルト積によって与えられ、すなわちフーリエ係数はここではｘ方向の周波数及びｙ方向の周波数の両方によって番号付けされる。二次元例と同様に、対象１１４を通るスライスは、平行移動後の自身の変形に写像される。
【０１７８】
この平行移動をｘ成分とｙ成分とに分割して、続けて二次元例のさらなる一般化を行なう。ここでも、投影のフーリエ係数を形式（７）の式によって対象１１４を通る全水平スライスのフーリエ係数に結び付けて、一次方程式の系を解いて、対象「スライス」の最適フーリエ係数を投影のフーリエ係数から決定する。
【０１７９】
前述のように、Ｘ線源１１０の軌跡が検出器面から一定の高さにある直線形軌跡である場合にはこの三次元工程は必要ではないが、本状況では選択随意で採用してもよい。しかしながら、前述のように、二次元再構成は、三次元再構成に比較して計算面の利点を与える。
【０１８０】
〔ファン・ビーム投影への一般化〕
考察対象の焦点スポット位置はｘ成分ｓを有し、検出器２１６から高さｈを有するとする（すなわち座標（ｓ，ｈ）Ｔを有する）。この焦点スポット位置に関するファン・ビーム投影は、高さｚにおいて対象１１４を通るスライスを拡大率κ＝ｈ／（ｈ−ｚ）で拡大し、点（ｓ，ｚ）を点（ｓ，０）に写像する。従って、この場合には水平プロファイル  ＯＺ（ｘ）  は、次の平行移動及びスケーリングを施した自身の変形に写像される。
【０１８１】
【数３０】
2005013736.tif 000032
【０１８２】
上述の表現は、  ＯＺ（ｘ）  をそのフーリエ変換によって書き直すことにより得られたものである（式（６）と同様）。変数の変更を行なうと、
【０１８３】
【数３１】
2005013736.tif 000033
【０１８４】
が得られる。
【０１８５】
上述の表現は、高さｚでの水平プロファイル  ＯＺ（ｘ）  のファン・ビーム投影のフーリエ変換表現を表わしている。ここから直ちに、投影画像（全ての高さｚにおけるスライスの投影の重ね合わせで構成されている）は次の形態のフーリエ係数
【０１８６】
【数３２】
2005013736.tif 000034
【０１８７】
を有していることが導かれる。
【０１８８】
この表現は平行投影例での式（７）に対応している。ここでは、平行投影例と同様に、上の式は、スライス当たり単一のフーリエ係数を投影の単一のフーリエ係数に結び付ける。しかしながら、ファン・ビーム投影には拡大特性があるため、これらのフーリエ係数が全て同じ周波数ｗに関連付けされる訳ではない。さらに、この式はフーリエ変換として解釈することができないが、ｚがｈよりも遥かに小さい（すなわち対象の最大高さがＸ線源１１０の焦点スポットの最小高さに対して小さい）場合には確実に近似であるものと考えることができる。尚、上で導いた式（１０）は、詳細な導き方を示さずに前に与えられていた式（２）に正確に対応していることを銘記されたい。
【０１８９】
〔追加制約の導入〕
対象１１４の最適再構成は、本書で上述したように、単一の周波数（及び全ての高さｚについて。式（８）を参照）でのフーリエ係数の再構成について得られ、これを全周波数について実行する。
【０１９０】
しかしながら、一般的には、対象１１４の範囲は限定されており、先験的な下方境界及び上方境界（ｘ方向及びｙ方向の両方で）を、対象１１４の全体がこれらの境界によって画定される空間に含まれるように仮定する。このことはすなわち、  ＯＺ（ｘ）  が所与の区間の外部ではゼロとなることを意味する。
【０１９１】
ＯＺ（ｘ）  は本質的に  ＰＺ（ｗ）  のフーリエ変換であるという事実から、  ＰＺ（ｗ）  は帯域制限されていることが導かれる。このことは特に、周波数ｗの関数として見た  ＰＺ（ｗ）  が平滑であることを暗に意味する。値  ＰＺ（ｗ）  及び  ＰＺ（ｗ＋σｗ）  は最早無関係ではない（このことは、式（８）を導いたときの上述の例と同様の例と言える）。具体的には、スペクトル  ＰＺ（ｗ）  は、等間隔サンプル  ＰＺ（ｗｋ）  によって既に完全に決定されている。これらのサンプルから、ｓｉｎｃ（すなわちｓｉｎｘ／ｘ）関数の適当な変形で補間することにより、全てのｗについて関数  ＰＺ（ｗ）  が復元される。この制約は一般的には、あらゆる周波数ｗについて本質的に別個の独立した関係が用いられていた前述で再構成した関数  ＰＺ（ｗ）  では満たされない。このことは、対象１１４についての部分的な情報すなわちその投影のフーリエ表現しか用いられていなかったという事実の帰結である。
【０１９２】
この新たな空間的制約（及び／又は上で説明したような他の制約）は次のようにして用いられる。上述の交互型投影を用いたアプローチは、両形式の制約（フーリエ制約及び空間的制約）が満たされるようにして対象１１４を繰り返し式で再構成するのに役立つことが分かる。
【０１９３】
具体的には、再構成される対象１１４は次の二つの関数空間の要素である。すなわち、
包囲容積の外部ではゼロである関数（及び／又は他の制約を満たす関数）の空間Ｓ、及び
投影集合を正確に「生成する」関数すなわち式（２）を満たす関数の空間Ｑ′。ここで、関数  ｑｓ（ｗ）  は投影画像によって完全に決定される。（正確を期すために、Ｑ′を所謂アフィン空間とし、ヒルベルト空間とはしない）。
【０１９４】
上で導き出した再構成は、空間Ｑの要素である関数を生ずるが、一般的にはこの関数は同時にＳの要素とはならない。
【０１９５】
上述の交互型投影アプローチは、上述の二つの制約の片方が交互に満たされるように解を更新するものである。交互型投影アプローチは、両方の条件に合致する解に収束する。
【０１９６】
〔他の一般化〕
各々の周波数及び各々の焦点スポット位置に関連する特性縦プロファイルと、異なる高さで対象を通るスライスのフーリエ変換から得ることのできるフーリエ係数の対応する縦プロファイルとの間の関係は、単一の焦点スポット位置しかなかったとしても依然として満たされる。対象の初期再構成が存在する場合に（初期再構成が利用可能でないときにはあらゆる位置でゼロの再構成であってもよい）、この再構成される対象の対応する縦プロファイル（全周波数についての）を得、次いで、縦プロファイルが最適となる（当該焦点スポット及び全周波数に関して）ように、再構成される対象を更新する。この工程は、投影画像からのフーリエ空間情報のみが含まれているような前述の例に対応しており、唯一の相違は単一の焦点スポットのみが存在していることである。次いで、この工程を、１よりも多い焦点スポットが存在する場合も焦点スポットの各々について繰り返す。「最適」再構成を得るためには、異なる焦点スポットを通じて順次段階進行しながらこの工程を何度も繰り返す。最終的に、このアプローチは収束する。このように、本発明の再構成方法は、焦点スポットが必ずしも同じ高さに位置していないような（例えば図９に示す本発明の実施形態）他のシナリオであっても一般化することができ、再構成の既存の推定値を改善するのに特に有用である。このように、上述のフーリエ式再構成方法は、対応する周波数でのフーリエ係数の縦プロファイルを利用しまた推定するという一般的な発想に基づいており、これらの関係を効率的に活用しているが、この同じ原理をさらに一般的なシナリオ、特に全ての焦点スポット位置が検出器から同じ高さに位置しているとは限らないようなシステム幾何学的構成にも用いることができる。さらに、図９に示す本発明の実施形態の枠組みにおいて、フーリエ領域情報を用いた繰り返し工程を、撮像対象の台すなわち包囲容積についての情報を用いた上述の繰り返し工程と交互に用いることにより、交互型投影アプローチの一般化を得ることができる。
【０１９７】
もう一つの実施形態では、ディジタル・トモシンセシスにおけるフーリエ式最適再構成方法を用いて、撮像される空間において幾つかの周波数成分のみを再構成してもよい。例えば、撮像される空間の辺縁のみに関心がある場合には、辺縁はその高周波数内容によって殆ど特性決定されるので、高周波数に対応する成分のみを再構成したい場合がある。さらに、ディジタル・トモシンセシスにおけるフーリエ式最適再構成方法は、撮像される空間において異なる周波数を実効的に結合分離して、特定の周波数における成分を個々に再構成することを可能にするので、本発明の方法を用いて特定の周波数での成分を再構成し、その他全ての成分は異なる再構成方法で再構成することができる。
【０１９８】
本発明の以上の説明は、図示及び説明の目的のために掲げられたものである。さらに、この記載は本発明を本書に開示した形態に限定するものではない。結果的に、以上の教示並びに関連分野の技術及び知識に相当する変形及び改変は本発明の範囲内に含まれる。さらに、本書に記載した実施形態は、本発明を実施することについて現状で知られている最良の態様を説明して当業者が本発明をそのまま、又は他の実施形態で本発明の特定の応用又は用途に必要とされる様々な改変を施して利用できるようにすることを目的としている。特許請求の範囲は従来技術によって許容される範囲までの代替的な実施形態を包含するものとする。
【図面の簡単な説明】
【０１９９】
【図１】基本的なトモシンセシス・システムを示す図である。
【図２】「シフト後加算」再構成アプローチの原理を示すフロー図である。
【図３】本発明のディジタル・トモシンセシス・システムの概略を示す図である。
【図４】本発明のディジタル・トモシンセシス・システムにおいて矩形ピクセル格子すなわち横列及び縦列を成して構成されているピクセルを有する検出器を示す図である。
【図５】本発明のディジタル・トモシンセシス・システムでのＸ線源とＸ線源の軌跡と検出器面との間の幾何学的関係を示す図である。
【図６】一定の拡大率を与える本発明のディジタル・トモシンセシス・システムの幾何学的関係を示す図である。
【図７】本発明のディジタル・トモシンセシス・システムに用いられる再構成アルゴリズムに関連した最適ボクセル構造（非矩形座標系）を示す図である。
【図８】本発明のディジタル・トモシンセシス・システムのもう一つの実施形態を示す図である。
【図９】本発明のディジタル・トモシンセシス・システムのさらにもう一つの実施形態を示す図である。
【図１０】本発明のディジタル・トモシンセシス・システムの一実施形態において、対象から取得される異なる水平スライス（すなわち検出器面に平行な平面）での周波数同士の間の関係を示すと共に、Ｘ線源及び検出器によって形成される投影放射線画像から撮像対象の内部の構造の最適推定値を如何にして復元するかを示す図である。
【図１１】本発明のディジタル・トモシンセシス・システムの一実施形態において、対象を通る水平スライスの高さの関数としての投影放射線画像での位相シフトの依存性を示すと共に、対象を通る当該スライス内でのシヌソイド成分の周波数を示す図である。
【図１２】本発明のディジタル・トモシンセシス・システムの一実施形態によって実行される「ディジタル・トモシンセシスにおけるフーリエ式最適再構成方法」に対応する流れ図である。
【図１３】本発明のディジタル・トモシンセシス・システムにおけるファン・ビーム投影に関連した拡大率を表わすグラフである。
【図１４】本発明のディジタル・トモシンセシス・システムの一実施形態において、交互型投影再構成アプローチを表わすグラフである。
【図１５】本発明の一実施形態で用いられるフーリエ式再構成手法を説明するのに有用な平行ビーム投影例を示す図である。
【符号の説明】
【０２００】
１００  トモシンセシス・システム
１１０  Ｘ線源
１１２  軌跡
１１２（図１３）  Ｘ線ビーム
１１３  Ｘ線
１１３（図１３）  焦点スポット位置
１１４  対象
１１６、２１６  検出器
１２５、２２５  コンピュータ
１２６、２２６  表示画面
１２８  対象の平面
２００  本発明のディジタル・トモシンセシス・システム
２１２  直線形軌跡
２２８  ピクセル横列
２３０  ピクセル縦列
２３２  検出器面
２３４  ピクセル列に対応する平面
２３８  異なるスライスでの構造の周波数同士の間の関係
２３９  一周期分のシヌソイド構造
２４０、２４２、２４４、２４６  検出器面に平行な対象内の平面
２４１  位相シフトと高さ及びシヌソイド成分の周波数との関係
２５０、２５２  対象内の平面
２５４、２５６  対象内の構造の周波数
２６０  ディジタル・トモシンセシスにおけるフーリエ式最適再構成方法
２６１  投影画像毎の独立した処理
２６２  投影画像を取得する
２６４  二次元フーリエ変換を算出する
２６５  周波数成分毎の独立した処理
２６６  対応する周波数成分のフーリエ係数を収集する
２６７  システム幾何学的構成／焦点スポット位置についての情報
２６８  投影画像のフーリエ係数を特性縦プロファイルに結び付ける一次方程式の系を解く
２７０  最適縦プロファイルを決定する
２７１  水平スライス毎の独立した処理
２７２  全周波数のフーリエ係数を収集する
２７４  逆フーリエ変換を算出する
２７６  最適再構成
２７７  再構成改善のための選択随意の繰り返し手順
２７８  再構成を台に限定する
２８０  投影を算出する
２８２  元の投影画像に対する新たな投影の差を算出する
２９０  二次元対象撮像の構成及び座標系
２９２  平行なＸ線
３００  単一ファン・ビーム投影での拡大率
３１０  交互型投影アプローチ
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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