(57)【要約】【課題】マスク・ポリゴンからの遠距離の画像の寄与を計算する方法を提供すること。【解決手段】光学リソグラフィにおいて光学的近接効果補正に適用されるアルゴリズムを導入する。無限積分の代わりに、ポリゴンの各セクタごとに有限積分を行う。全セクタに対して積分を行うのではなく、２つの三角形にわたって積分を行うことによって有限積分を実現する。セクタの数値積分を解析的な式による計算に変形するために、べき法則カーネルについての解析的な手法を提示する。カーネル関数を切り取る代わりにマスクを切り取ることによって、このマスク・ポリゴンを複数の領域に分割して、中距離および遠距離の影響など相互作用の影響を計算する。【選択図】図２
2005128557.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
モデルに基づく光学的近接効果補正を実施する方法であって、
規定のコーナを有するマスク・ポリゴンの各セクタごとに有限積分を計算して、前記マスク・ポリゴンの頂点からのセクタ寄与を求めるステップと、
前記セクタ内の有限形状に対して積分を行うステップと、
前記マスク・ポリゴンの前記セクタ寄与を合計するステップと、
前記有限積分計算からの相互作用の影響を計算するステップとを含む、方法。
【請求項２】
前記有限形状が少なくとも２つの三角形を含む、請求項１に記載の方法。
【請求項３】
前記ポリゴンの前記各コーナにおいて積分を行うステップを含む、請求項１に記載の方法。
【請求項４】
非有界セクタに三角形コンボリューションを用いるステップを含む、請求項２に記載の方法。
【請求項５】
べき法則によるインコヒーレント・カーネルに三角形コンボリューションを用いるステップを含む、請求項２に記載の方法。
【請求項６】
前記三角形コンボリューションを、不完全ベータ関数を含む解析的な式に変形して、数値積分を容易にするステップを含む、請求項５に記載の方法。
【請求項７】
前記コンボリューションが関心領域（ＲＯＩ）内部からのいかなる寄与も二重に計算しないように、最小半径Ｒｍｉｎを決めるステップをさらに含む、請求項６に記載の方法。
【請求項８】
前記寄与の正負の符号のルールを設けるステップを含み、このステップが、
セクタ内の第１辺側の２つの区画および前記区画の反対側の区画について、第１三角形の前記符号を＋１に割り当て、それ以外では第１三角形の前記符号を−１に割り当てるステップと、
前記第１三角形と第２三角形が重なり合わない場合には、第２三角形の前記符号を前記第１三角形の前記符号に割り当て、そうでない場合には、前記第２三角形の前記符号を前記第１三角形の前記符号の反対の符号に割り当てるステップとを含む、請求項７に記載の方法。
【請求項９】
前記半径Ｒｍｉｎを有するフレア・カーネル内で解析的にホールを定義するステップと、前記フレアからの寄与のうちＲｍｉｎ内にあるものはどれも部分コヒーレント双１次コンボリューションで処理するステップとを含む、請求項７に記載の方法。
【請求項１０】
前記半径Ｒｍｉｎをほぼλ／ＮＡに等しくするステップをさらに含む、請求項９に記載の方法。
【請求項１１】
前記相互作用の影響を計算する前記ステップが、複数のマスク・ポリゴンからなる粗いグリッドにわたって積分するステップを含む、請求項１に記載の方法。
【請求項１２】
中距離および遠距離スケールが含まれるようにリソグラフィ・シミュレーションの積分を拡張する方法であって、
少なくとも２つのマスク・ポリゴンを、コーナおよび辺を有する三角形からなるセクタに分割し分解するステップと、
複数の前記少なくとも２つのマスク・ポリゴンのコーナからの距離スケールの計算を実施するステップと、
ポリゴン・ピンニング・アルゴリズムを実施するステップと、
前記複数のマスク・ポリゴンの三角形コンボリューションを実施するステップと、
前記セクタの寄与を合成して、前記複数の前記マスク・ポリゴンのコンボリューションを得るステップと、
前記複数の前記マスク・ポリゴンを合成するステップと、
前記合成されたセクタ寄与から、光学的近接効果補正用の空間像を計算するステップとを含む、方法。
【請求項１３】
距離スケール計算を実施する前記ステップが、前記マスク・ポリゴンの半無限コーナからの有限積分を実施するステップを含む、請求項１２に記載の方法。
【請求項１４】
画像サンプリング・ポイントにおいて前記ポリゴンのうち前記それぞれのものからの寄与を計算するステップと、
第１および第２位置ベクトルを用いて、面積コンボリューションを、周辺構造体の周りで位置ベクトルに依存する積分に変換するステップと、
前記辺に対して得られた不定積分を割り当てて、前記第１位置ベクトルの頂点と第２位置ベクトルの頂点の間で、ある辺からの寄与が各位置ベクトルにおいて求められた不定積分の差になるようにするステップと、
前記得られた不定積分を、前記辺の向き、前記位置ベクトルから前記辺までの垂直距離、および前記第１位置ベクトルから第２位置ベクトルまで定義された極座標角度の関数としてパラメータ化するステップとをさらに含む、請求項１２に記載の方法。
【請求項１５】
前記寄与の正負の符号のルールを設けるステップを含む、請求項１４に記載の方法。
【請求項１６】
前記ルールが、４５°および９０°のセクタを含む６つの基本セクタを含めて前記セクタに適合される、請求項１５に記載の方法。
【請求項１７】
前記コンボリューションの値を、前記位置ベクトルの様々な値について第１ルックアップ・テーブルに記憶するステップを含む、請求項１５に記載の方法。
【請求項１８】
前記ルールが、
セクタ内の第１辺側の２つの区画および前記区画の反対側の区画について、第１三角形の前記符号を＋１に割り当て、それ以外前記第１三角形の前記符号を−１に割り当てるステップと、
前記第１三角形と第２三角形が重なり合わない場合には、第２三角形の前記符号を前記第１三角形の前記符号に割り当て、そうでない場合には前記第２三角形の前記符号を前記第１三角形の前記符号の反対の符号に割り当てるステップとを含む、請求項１５に記載の方法。
【請求項１９】
第２ルックアップ・テーブルに前記三角形コンボリューションの前記符号を記憶するステップを含み、前記第２テーブルが、行インデックスおよび列インデックスを有し、前記行インデックスが前記セクタの前記第１辺に割り当てられ、前記列インデックスが第２辺の方向に割り当てられて、前記セクタ・タイプが一義的に指定され、前記行および列のインデックスが、前記第１および第２の辺の方向に基づいて、考慮中の任意のセクタに対して決定される、請求項１８に記載の方法。
【請求項２０】
前記第２ルックアップ・テーブルに関して、第１符号マトリックスＭａｔ１（ｅｄｇｅ１，ｅｄｇｅ２）および第２符号マトリックスＭａｔ２（ｅｄｇｅ１，ｅｄｇｅ２）を有するステップを含み、前記マトリックスが、前記第１および第２の辺の関数として表現され、それによって、前記第１符号マトリックスＭａｔ１（ｅｄｇｅ１，ｅｄｇｅ２）により、前記方向ベクトルが存在し得る前記区画のどれが、前記第１三角形に正の符号を与えるかが決まり、前記第２マトリックスＭａｔ２（ｅｄｇｅ１，ｅｄｇｅ２）により、前記方向ベクトルが存在し得る前記区画のどれが、前記第１三角形と比較して前記第２三角形に同じ符号を与えるかが決まる、請求項１９に記載の方法。
【請求項２１】
各マトリックスの前記行および列のインデックスが、上、下、右、左、右上、左上、右下、および左下を含む８つの基本区画によって与えられる、請求項２０に記載の方法。
【請求項２２】
前記符号に、前記セクタが凸である場合には−１を掛け、前記セクタが凹の場合には＋１を掛けるステップをさらに含む、請求項２１に記載の方法。
【請求項２３】
前記第１マトリックスが、前記区画のサブセットのうち、どのサブセットが正の符号を有し、どのサブセットが負の符号を有するかを示し、それによって、前記区画がマトリックス入力と一致する場合、前記第１三角形コンボリューションの前記符号に正の値が割り当てられる、請求項２０に記載の方法。
【請求項２４】
前記第２三角形コンボリューションの前記符号を、前記方向ベクトルが存在した前記第１三角形の区画の前記符号に等しく設定し、そうでない場合には、前記符号を、前記第１三角形コンボリューションの符号の反対の符号に設定するステップを含む、請求項２３に記載の方法。
【請求項２５】
各辺ごとに積分定数を不定積分に加えるステップをさらに含み、前記積分定数が前記極座標角度に無関係であり、前記積分定数により、分離した頂点からの無限大の寄与を排除することができる、請求項２４に記載の方法。
【請求項２６】
前記積分定数を、前記不定積分中にしか存在させないようにするステップをさらに含み、前記積分定数が、前記辺の２つの端点における前記不定積分の差を取るときにゼロになる、請求項２５に記載の方法。
【請求項２７】
複数の辺を有する個々のマスク・ポリゴンからの寄与が、前記辺の各コーナごとに、前記積分定数が前記不定積分から減算されるように、前記マスク・ポリゴンの各辺にわたって加算されることによって表される、請求項２５に記載の方法。
【請求項２８】
個々の非有界コーナから生じる特異点を、各コーナの寄与が、前記三角形コンボリューションの１対の前記三角形からのフレアの和になるように、コーナの寄与を有限のままにする積分定数項を加えることによって解くステップをさらに含む、請求項２５に記載の方法。
【請求項２９】
前記コーナの寄与が、１つの頂点当たり前記三角形のうちの２つの三角形からの寄与の計算を含み、その結果、前記三角形コンボリューションからの前記寄与をすべての頂点にわたって合計した後で、前記マスク・ポリゴンの正味の寄与が得られる、請求項２８に記載の方法。
【請求項３０】
モデルに基づく光学的近接効果補正を実施する方法ステップを実施するための、マシンが実行可能な命令からなるプログラムを確実に実施する機械可読プログラム記憶装置であって、前記方法ステップが、
規定のコーナを有するマスク・ポリゴンの各セクタごとに有限積分を計算して、前記マスク・ポリゴンの頂点からのセクタ寄与を求めるステップと、
前記セクタ内の有限形状に対して積分を行うステップと、
前記マスク・ポリゴンの前記セクタ寄与を合計するステップと、
前記有限積分計算からの相互作用の影響を計算するステップとを含む、プログラム記憶装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、一般に光学マイクロリソグラフィの分野に関し、詳細には、セクタに基づく光学的近接効果補正（ＯＰＣ；optical proximity correction）エンジンに三角形コンボリューション（convolution；重畳積分）を用いることに関する。本発明は、より詳細には、中距離（intermediate-range）、遠距離、または無限に延びるカーネルのコンボリューションを本質的に、そのカーネルを空間的に切り取ることなく、また過大な関心領域（ＲＯＩ；Region of Interest）サイズを必要とせずに正規化する非有界（unbounded）セクタに三角形コンボリューションを用いることに関する。
【背景技術】
【０００２】
半導体製造における光学マイクロリソグラフィ・プロセスは、フォトリソグラフィ・プロセスとしても知られており、半導体ウエハ上に所望の回路パターンをできるだけ良好に転写する（duplicate）ことからなる。一般に、この所望の回路パターンは、通常フォトマスクと呼ぶテンプレート上の不透明および透明な領域として表される。光学マイクロリソグラフィでは、露光システムにより光学的結像（opticalimaging）の手段によって、フォトレジストを被覆したウエハ上にフォトマスク・テンプレート上のパターンを投影する。
【０００３】
空間像（aerial image）シミュレータは、投影光学系によって生成される画像を計算するものであり、集積回路製造に用いる光学リソグラフィの最新技術を解析し改善する有用なツールであることが実証されている。こうしたシミュレーションは、ＰＳＭ（phaseshifting mask;位相シフト・マスク）設計、ＯＰＣ（光学的近接効果補正）など最新のマスク設計、ならびに投影光学系の設計に応用されている。空間像のモデリングは、半導体製造を構成する不可欠な要素である。現在のリソグラフィ・ツールは部分コヒーレント照明を用いるので、このようなモデリングでは、基本的なパターンを除くあらゆるパターンに対して大量の計算が行われる。マスクによって生成される空間像、すなわち投影光学系の結像面における光強度は、マスク設計が、現像されるフォトレジスト構造にどれだけ良好に転写されるかを左右するので、マイクロリソグラフィにおいて極めて重要な量である。
【０００４】
マスク・ポリゴンが従来方式で分解される非有界セクタにわたって画像カーネルを解析的に表現しようと試みると、部分的には発散問題（divergence issue）に帰すことができる光学的近接効果補正の計算において数学的な問題が生じる。インコヒーレントなフレア（flare）を補償する（accountfor）試みも、こうした解析的な制限を受ける。
【０００５】
光学モデルまたはレジスト・モデルの較正計算を行うときは精度が極めて重要である。補正方法をよりよく理解し評価するには、ウエハ形状のシミュレーション精度が必要である。解析的なプロセスによって、「意図した」形状に対するウエハ形状の忠実度（fidelity）を高くすると、最終的にマスク形状をより良好に補正することができる。このような精度が実現されると、その直接の結果としてチップ製造時の歩留まりが改善する。
【０００６】
本発明では、セクタに基づく光学的近接効果補正エンジン（engine）に三角形コンボリューションを使用する。数学モデルに三角形を用いて非有界コーナの難点を取り除くと、中距離および遠距離の影響にも適応する積分が可能になる。
【０００７】
従来技術では、一般に、光学的近接効果補正エンジンにおいて下記の数学的な処理が用いられる。これらの手法はすべてどのような形にせよ、双１次変換（bilinear transform）を効率よく計算するアルゴリズムであるＳＯＣＳ（Sum of Coherent Source;コヒーレント源の和）法に関係する。
【０００８】
ＳＯＣＳ（コヒーレント源の和）法
画像強度は、以下に示すホプキンス（Hopkin's）の部分コヒーレントの式（双１次変換）によって与えられる。
【０００９】
【数１】
2005128557.tif 000003
ただし、
ｈはレンズのＰＳＦ（点像分布関数）、
ｊはコヒーレンス、ｍはマスク、
Ｉ０は空間像である。
【００１０】
ＳＯＳＣ技法を用いることによって、ホプキンスの部分コヒーレントの式の最適なｎ次のコヒーレント近似を次のように表すことができる。
【００１１】
【数２】
2005128557.tif 000004
ただし、
【００１２】
【数３】
2005128557.tif 000005
は、以下のマーサー（Mercer）の展開式から導出される固有値（eigenvalue）および固有ベクトル（eigenvector）を表す。
【００１３】
【数４】
2005128557.tif 000006
この式は、線形コンボリューションなどコヒーレント結像の有限和によって部分コヒーレント結像問題を最適に近似できることを示唆している。
【００１４】
瞳位相誤差（pupil phase error）を伴うＳＯＣＳ
上記計算では理想的な結像システムを想定している。しかし、瞳位相誤差およびアポディゼーション（apodization）などのレンズの収差が存在するときには、以下に示す瞳関数（pupil function）を含めなければならない。
【００１５】
【数５】
2005128557.tif 000007
ただし、
【００１６】
【数６】
2005128557.tif 000008
は瞳透過関数であり、
【００１７】
【数７】
2005128557.tif 000009
は、収差情報およびフレア情報をともに含む瞳位相関数である。
【００１８】
波面関数において生じ得る比較的高い空間周波数のために、
【００１９】
【数８】
2005128557.tif 000010
は、比較的大きい空間的な広がりをもつことになる。この場合、必要とされる固有値および固有ベクトルの数は理想的な系よりも多くなる。したがって、カーネルがサポートする区域は、λ／ＮＡよりも離れたところからの寄与を考慮に入れるように拡張される。ただし、基本的な数学的構造およびアルゴリズムは同じままである。
【００２０】
フレアの物理モデル
一般に、フレアは、波面の高周波位相「リップル」によって生成される画像成分として記述される。すなわち、フレアは、光がレンズの位相不規則性のためにかなりの角度で前方散乱するときに生じる。このような不規則性は、以下の３つの理由からしばしば無視される。第１に、時には波面データが低分解能干渉計で取得され、さらに、それよりも低分解能のアルゴリズムを用いて再構成されることがある。第２に、波面のパワー・スペクトル（power spectrum）が既知であるか、あるいは推定されるときでさえ、短いＲＯＩ距離のところで打ち切られる画像積分に対する高周波波面成分の影響を含めることは不可能であり、そのため散乱光の大部分が無視される。最後に、これらの項を理論（calculated）画像に含めることは簡単なものではない。本発明は、これらの問題に対処するものである。
【特許文献１】米国特許出願第１０／６９４４６５号
【特許文献２】米国特許出願第１０／６９４４７３号
【特許文献３】米国特許出願第１０／６９４３３９号
【特許文献４】米国特許出願第１０／６９４２９９号
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００２１】
従来技術の問題および欠陥を念頭におくと、本発明の目的は、マスク・ポリゴンからの中距離および遠距離の画像の寄与を計算する方法を提供することである。
【００２２】
本発明の別の目的は、セクタに基づくＯＰＣエンジンに三角形コンボリューション技法を適用することである。
【００２３】
本発明の別の目的は、インコヒーレントなフレアを計算する方法を提供することである。
【００２４】
本発明の別の目的は、中距離計算の数値積分に必要とされる時間を短縮することである。
【００２５】
本発明の別の目的は、べき法則（power law）によるインコヒーレント・カーネルに対して三角形コンボリューションを行う解析的な解法を提供することである。
【００２６】
本発明の別の目的は、カーネルではなくマスクを切り取ることによって遠距離および中距離の計算を分離するプログラム可能な方法を提示することである。
【００２７】
本発明の別の目的は、波面の高周波位相「リップル」によって生成される画像成分を補償する方法を提供することである。
【００２８】
本発明の別の目的は、レンズの位相不規則性の影響を計算する方法を提供することである。
【００２９】
本発明の別の目的は、短いＲＯＩ距離のところで打ち切られる画像積分に対する高周波波面成分の影響を含める方法を提供することである。
【００３０】
本発明の他の目的および利点は、部分的には明白であり、部分的には本明細書から明らかになろう。
【課題を解決するための手段】
【００３１】
当業者には明らかな上記その他の目的は、モデルに基づく光学的近接効果補正を実施する方法を対象とする本発明の第１の態様において達成される。この方法は、規定のコーナを有するマスク・ポリゴンの各セクタごとに有限積分を計算して、前記マスク・ポリゴンの頂点からのセクタ寄与を求めるステップと、前記セクタ内の有限形状に対して積分を行うステップと、前記マスク・ポリゴンの前記セクタ寄与を合計するステップと、前記有限積分計算からの相互作用の影響を計算するステップとを含む。この有限形状は、少なくとも２つの三角形を含み得る。前記ポリゴンの前記各コーナが積分される。この方法は、非有界セクタ（unbound sector）に三角形コンボリューションを用いるか、あるいはべき法則によるインコヒーレント・カーネル（incoherentkernel）に三角形コンボリューションを用いるステップを含む。この三角形コンボリューションは、数値積分を容易にするために不完全ベータ関数を含む解析的な式に変形（reduce）される。最小半径Ｒｍｉｎは、前記コンボリューションがＲＯＩ内部からのいかなる寄与も二重に計算しないように決定される。
【００３２】
この方法は、前記寄与の正負の符号のルールを設けるステップをさらに含む。このステップは、セクタ内の第１辺（edge）側の２つの区画（partition）および前記区画の反対側の区画については第１三角形の前記符号を＋１に割り当て、それ以外では前記第１三角形の前記符号を−１に割り当てるステップと、前記第１三角形と第２三角形が重なり合わない場合には、第２三角形の前記符号を前記第１三角形の前記符号に割り当て、そうでない場合には、前記第２三角形の前記符号を前記第１三角形の前記符号の反対の符号に割り当てるステップとを含む。前記半径Ｒｍｉｎを有するフレア・カーネル内で解析的にホール（hole）を画定し、前記フレアからの寄与のうちＲｍｉｎ内にあるものはどれも部分コヒーレント双１次コンボリューションで処理する。半径Ｒｍｉｎはほぼλ／ＮＡに等しい。前記相互作用の影響を計算するステップは、複数のマスク・ポリゴンからなる粗いグリッドにわたって積分するステップを含む。
【００３３】
第２の態様では、本発明は、中距離および遠距離スケールが含まれるようにリソグラフィ・シミュレーションの積分を拡張する方法を対象とする。前記方法は、少なくとも２つのマスク・ポリゴンを、コーナおよび辺を有する三角形からなるセクタに分割し分解する（decompose）ステップと、複数の前記少なくとも２つのマスク・ポリゴンのコーナからの距離スケール計算を実施するステップと、ポリゴン・ピンニング（pinning）・アルゴリズムを実施するステップと、前記複数のマスク・ポリゴンの三角形コンボリューションを実施するステップと、前記セクタの寄与を合成して、前記複数の前記マスク・ポリゴンのコンボリューションを得るステップと、前記複数の前記マスク・ポリゴンを合成するステップと、前記合成されたセクタ寄与から、光学的近接効果補正用の空間像を計算するステップとを含む。距離スケール計算を実施するステップは、前記マスク・ポリゴンの半無限（semi-infinite）コーナからの有限積分を実施するステップを含む。この方法は、画像サンプリング・ポイントにおいて前記ポリゴンのうち前記それぞれのものからの寄与を計算するステップと、第１および第２位置ベクトルを用いて、面積（area）コンボリューションを、周辺構造体（featureperimeter）の周りで位置ベクトルに依存する積分に変換するステップと、前記辺に対して得られた不定積分を割り当てて、前記第１位置ベクトルの頂点と第２位置ベクトルの頂点の間で、ある辺からの寄与が各位置ベクトルにおいて求められた不定積分の差になるようにするステップと、前記得られた不定積分を、前記辺の向き、前記位置ベクトルから前記辺までの垂直距離、および前記第１位置ベクトルから前記第２位置ベクトルにより画定された極座標角度の関数としてパラメータ化するステップとをさらに含む。前記寄与の正負の符号のルールも設けられる。このルールは、４５°および９０°のセクタを含む６つの基本セクタを含めて前記セクタに適合される。前記コンボリューションの値は、前記位置ベクトルの様々な値について第１ルックアップ・テーブルに記憶する。このルールは、セクタ内の第１辺側の２つの区画および前記区画の反対側の区画については第１三角形の前記符号を＋１に割り当て、それ以外では前記第１三角形の前記符号を−１に割り当てるステップと、前記第１三角形と第２三角形が重なり合わない場合には、第２三角形の前記符号を前記第１三角形の前記符号に割り当て、そうでない場合には前記第２三角形の前記符号を前記第１三角形の前記符号の反対の符号に割り当てるステップとを含む。この方法は、第２ルックアップ・テーブルに前記三角形コンボリューションの前記符号を記憶するステップをさらに含む。前記第２テーブルは、行（row）インデックスおよび列（column）インデックスを有し、前記行インデックスは前記セクタの前記第１辺に割り当てられ、前記列インデックスは第２辺の方向に割り当てられて、前記セクタ・タイプが一義的に指定される。前記行および列のインデックスは、前記第１および第２の辺の方向（direction）に基づいて、考慮中の任意のセクタに対して決定される。前記第２ルックアップ・テーブルに関して、第１の符号マトリックスＭａｔ１（ｅｄｇｅ１，ｅｄｇｅ２）および第２の符号マト���ックスＭａｔ２（ｅｄｇｅ１，ｅｄｇｅ２）が提供される。前記マトリックスは、前記第１および第２の辺の関数として表現され、それによって、前記第１符号マトリックスＭａｔ１（ｅｄｇｅ１，ｅｄｇｅ２）により、前記方向ベクトル（directionvector）が存在し得る前記区画のどれが、前記第１三角形に正の符号を与えるかが決まり、前記第２マトリックスＭａｔ２（ｅｄｇｅ１，ｅｄｇｅ２）により、前記方向ベクトルが存在し得る前記区画のどれが、前記第１三角形と比較して前記第２三角形に同じ符号を与えるかが決まる。各マトリックスの行および列のインデックスは、上、下、右、左、右上、左上、右下、および左下を含む８つの基本区画によって与えられる。この方法は、前記符号に、前記セクタが凸である場合には−１を掛け、前記セクタが凹である場合には＋１を掛けるステップをさらに含む。この第１マトリックスは、前記区画からなるサブセットのうち、どのサブセットが正の符号を有し、どのサブセットが負の符号を有するかを示し、それによって、前記区画がマトリックス入力と一致する場合、前記第１三角形コンボリューションの前記符号に正の値が割り当てられる。第２三角形コンボリューションの符号は、前記方向ベクトルが存在した前記第１三角形の区画の前記符号に等しく設定され、そうでない場合には、前記符号は、前記第１三角形コンボリューション符号の反対の符号に設定される。各辺ごとに積分定数が不定積分に加えられ、前記積分定数は前記極座標角度に無関係である。前記積分定数により、分離した頂点からの無限大の寄与を排除することができる。この積分定数は、前記不定積分中にしか存在せず、前記辺の２つの端点（endpoint）における前記不定積分の差を取るときにはゼロになる。複数の辺を有する個々のマスク・ポリゴンからの寄与は、前記辺の各コーナごとに、前記積分定数が前記不定積分から減算されるように、前記マスク・ポリゴンの各辺にわたって加算されることによって表される。個々の非有界コーナから生じる特異点は、各コーナの寄与が、前記三角形コンボリューションの１対の前記三角形からのフレアの和になるように、コーナの寄与を有限のままにする積分定数項を加えることによって解ける。このコーナの寄与は、１つの頂点当たり前記三角形のうちの２つの三角形からの寄与の計算を含む。その結果、前記三角形コンボリューションからの前記寄与をすべての頂点にわたって合計した後で、前記マスク・ポリゴンの正味の寄与が得られる。
【００３４】
第３の態様では、本発明は、モデルに基づく光学的近接効果補正を実施する方法ステップを実施するための、マシンが実行可能な命令からなるプログラムを確実に実施する機械可読プログラム記憶装置を対象とする。前記方法ステップは、規定のコーナを有するマスク・ポリゴンの各セクタごとに有限積分を計算して、前記マスク・ポリゴンの頂点からのセクタ寄与を求めるステップと、前記セクタ内の有限形状に対して積分を行うステップと、前記マスク・ポリゴンの前記セクタ寄与を合計するステップと、前記有限積分計算からの相互作用の影響を計算するステップとを含む。
【００３５】
新規と考えられる本発明の特徴および本発明を特徴づける構成要素は、特許請求の範囲に詳細に述べられている。図は、単に説明を行うためのものであり、原寸に比例していない。ただし、本発明自体は、その編成および動作方法に関して、以下の詳細な説明を添付の図面と併せ読めば最もよく理解されよう。
【発明を実施するための最良の形態】
【００３６】
本発明の好ましい１つ（または複数）の実施形態を説明する際に、本明細書では図１〜図１７の図面を参照することになる。これらの図面では、同じ数字は本発明の同じ要素（feature）を指す。
【００３７】
この開示では、マスク・ポリゴンからの遠距離画像の寄与を計算する新しい方法を説明する。この方法は、これらのマスク・ポリゴンが従来方式で分解される非有界セクタの全体にわたって発散する画像カーネルと一緒に用いても機能する。したがって、この方法を用いて、べき法則によってモデル化されるようなインコヒーレントなフレア、すなわちフラクタル（fractal）・パワー・スペクトルのエンベロープを計算することができる。あるいは、積分量は、測定された波面から計算される決定性ＰＳＦ（pointspread function;点像分布関数）とすることができる。
【００３８】
ただし、この方法は、光学的フレア強度の積分に限定されるものではない。例えば、画像の振幅寄与は、部分コヒーレント結像を左右するホプキンス積分などの双１次積分からの固有カーネルでマスク・ポリゴンをコンボリューションすることによって計算することができる。このカーネルは元来が非光学的なものとすることもでき、本質的に実験的なものである。このカーネルは、レジスト中の様々な転写された構造体間の化学的相互作用を現象的に線形化することを表すことができる。同じ数学的形式で、光学的および非光学的な影響を扱うことができ、そのため、いずれの場合にも本発明を効果的に適用できることを以下に示す。
【００３９】
線形コンボリューションを合計するだけでよいように、あるいは代わりにインコヒーレント・カーネルを組み込むように、レジスト・カーネルを組み込むための改変をＳＯＣＳ（コヒーレント源の和）法に加えることが提案されている。
【００４０】
レジスト・カーネルを用いるＳＯＣＳ
レジスト画像は、レジスト・カーネルＫで
【００４１】
【数９】
2005128557.tif 000011
をコンボリューションすることによって以下のように定義することができる。
【００４２】
【数１０】
2005128557.tif 000012
【００４３】
上記の式を、ＳＯＣＳ分解として表し得ることを以下に示す。
【００４４】
【数１１】
2005128557.tif 000013
ただし、
【００４５】
【数１２】
2005128557.tif 000014
であり、ｇｉおよび
【００４６】
【数１３】
2005128557.tif 000015
は次式から得られる固有値および固有ベクトルである。
【００４７】
【数１４】
2005128557.tif 000016
ただし、
【００４８】
【数１５】
2005128557.tif 000017
である。
【００４９】
すなわち、このレジスト・カーネルによって、線形コンボリューションを合計するだけでよいＳＯＣＳ法と同様に最終的な画像強度を処理することができる。
【００５０】
ＳＯＣＳへのインコヒーレント・カーネルの組込み
【００５１】
【数１６】
2005128557.tif 000018
を定義し、
【００５２】
【数１７】
2005128557.tif 000019
の近似を用いることによって、ホプキンスの積分は以下のようになる。
【００５３】
【数１８】
2005128557.tif 000020
ただし、
【００５４】
【数１９】
2005128557.tif 000021
は、成分コヒーレント・カーネルである。
【００５５】
この近似の解釈は簡単である。ＲＯＩ内のマスク・ポリゴンからの画像寄与は、（ＳＯＣＳ展開における）部分コヒーレント結像の通常の式を用いて説明され、ＲＯＩの外側のポリゴンからの寄与は、より近似的に説明される。このように、すべてのマスク・ポイントからの寄与は、二重に計算されることなく、近似の程度が異なった状態で説明される。この積分方法は、ＲＯＩの境界において突然異なるものになるが、これにより、ＲＯＩの外側からの寄与がゼロに落ちる現在行われている方法に比べて改善される。
【００５６】
第２積分は正しくはインコヒーレント積分ではない。というのは、角括弧（squarebracket）内のマスク様の項がコヒーレンス
【００５７】
【数２０】
2005128557.tif 000022
によって決まるからである。インコヒーレントの場合はデルタ関数のコヒーレンスに相当し、これは、マスクが低誘電率（low-k）の配線からなるときには最終的に良好な近似にならない。リソグラフィでは通常、光源のエネルギーの合計を１に正規化する。すなわち、限定されたコヒーレンスおよびクロム・マスクでは、角括弧内の量は常に、純粋なインコヒーレントの場合よりも小さくなる。このインコヒーレントの仮定が十分に正確であれば、第２積分は線形コンボリューションになり、本発明の方法によく適している。
【００５８】
本発明を３つの別個の部分に分けて説明する。第１に、光学リソグラフィにおいて光学的近接効果補正に適用されるアルゴリズムを導入する。普通なら特定のユーザ定義ＯＰＣカーネルに対して発散する従来技術で用いられる無限積分の代わりに、ポリゴンの各セクタごとに有限積分を用いる。全セクタに対して積分を行うのではなく、２つの三角形にわたって積分すると、有限積分が実現される。カーネルの範囲が極めて大きい場合でさえ、この積分は依然として発散しない。というのは、有限な面積が積分されるからである。第２に、べき法則カーネルについての解析的な手法を提示する。この手法により、セクタの数値積分が解析的な式の計算に変形され、そのため、計算スピードがかなり速くなる。第３に、従来技術で示唆されるようにカーネル関数を切り取る代わりにマスクを切り取ることによって、マスクを複数の領域に分割して、中距離および遠距離の影響など相互作用の影響を計算するためにある方法を導入する。このように分割すると、遠距離および中距離の近接効果の影響の計算が効率よく簡単になり、ＯＰＣ環境の応用例に良好に適合される。
【００５９】
波面空間周波数の様々なスケール
図１に、高周波波面収差による光の散乱の概略図を示す。高周波波面収差１０は、波長λのｍサイクルで示されている。そのため、散乱１２は、波長、サイクル数、周波数、および開口数の関数になる。瞳（pupil）における位相変調の高調波成分（harmonic component）は、開口数（瞳半径）にわたってｍサイクルの周期性を有し、像面において散乱距離ｍλ／ＮＡだけ光を逸脱させることになる。そのため、光学的カーネルの半径を０．５μｍに設定すると、無視される強度には、中距離空間周波数ならびに遠距離のフレアが含まれることになる。実際、最初の３７個のゼルニケ（Zernike）項以外にさらに、すべての位相周波数からの寄与が無視されることになる。
【００６０】
これらの無視された周波数は、一般に分離間隔が約１μｍ以上の、近くにある微細配線の幅に対する大型パッドの影響に関する診断測定値に関係している。さらに、積分範囲を適度に拡張することによって、１次部分コヒーレント画像計算の精度を改善することが望ましいであろう。これよりもわずかに大きいスケールを考慮する場合、一般に、約２μｍよりも離れたテスト構造の周りにフィル・パターンを配置する際に観察されるような描画の差異をモデル化すると有利である。それとは正反対に、無視し得ないフレアの寄与が、数ミリメートルという範囲にわたって生じることが知られている。
【００６１】
一般に、小さな絶対値のべき法則指数によって長いスケールにわたるデータが特徴づけられ、比較的大きなべき指数を伴う項が、より短い範囲にわたって寄与する。リソグラフィ・レンズでは、極めて低い周波数（収差）に関しては大きなストレール比（Strehl ratio）が得られる。このことは、問題の画像ポイントの約λ／ＮＡ以内の構造体によっては少量の光しか逸脱し得ないことを暗に示唆している。このため、（３に近づく）べき法則指数によって左右される大きなフレア・レベルが生じるとは誰も予想しないであろう。というのは、かなりのフレア強度は、λ／ＮＡに比べて大きな距離にわたってしか蓄積され得ないからである。一般に、２．５程度のべき法則指数が、インコヒーレントなフレアを左右する。標準の３７個のゼルニケ項以外に、近距離波面リップルが依然として重要になり得る。というのは、このリップルが、近くの構造体間でコヒーレントまたは部分コヒーレントな相互作用に影響を及ぼすからである。光源が、低シグマ（σ）で強制的な環状（annular）４重極（quadrupole）など狭い構成のコヒーレンスを提供するときは特にそうである。他の中距離相互作用の影響を考慮に入れた実験的なカーネルを採用すると有益である。このカーネルは、レジストのローディングの影響など、本質的に非光学的なものとし得る。
【００６２】
一般に、典型的なマスク・ポリゴンよりもはるかに粗いグリッドを用いて極めて長い範囲にわたって寄与を積分するとより効率的である。こうすると、効率的に改善を行うことができる。というのは、一度に多数の画像ポイントについて周期的グリッド（密度マップ）上で局所的に平均されたパターンによってコンボリューションを実行することが可能だからである。ＦＦＴ（高速フーリエ変換）は、高速なビットマップ・コンボリューションを行う従来の方法である。マスク・ポリゴンによる直接積分は、中距離において適切に実行される。
【００６３】
フレア以外の影響
レジスト処理により、フレア以外の重大な影響が生じる。このレジストの影響の発生箇所は、光酸／塩基の拡散、現像液のローディングの影響、または空気中の汚染物によるものであり得る。レジストの影響は通常、全レジスト化学モデルまたは集中（lumped）パラメータ・モデルによってモデル化される。近似として、このレジストの影響は、実験的に較正されたレジスト・カーネルによる画像強度のインコヒーレント・コンボリューションによって記述することもできる。理論（calculated）画像強度に対してレジスト・カーネルの線形コンボリューションを実施するか、あるいは、双１次変換にレジスト・カーネルを取り込み、ＳＯＣＳ（コヒーレンス源の和）分解を行い、上記で説明したように、マスク関数とコヒーレントな固有カーネルの間でコンボリューションを実施することができる。
【００６４】
図２に、中距離および遠距離スケールを含めるようにリソグラフィ・シミュレーションの積分範囲を拡張する、本発明で提案されるアルゴリズム２０の流れ図を示す。マスクを、遠距離計算２２および中距離計算２４用に分割する。ポリゴンのピンニング（pinning）２６を中距離計算のもとで実施し、ポリゴン・セクタを分解し（２８）、三角形コンボリューションを実施する（３０）。ポリゴン・ピンニング・アルゴリズムの説明は、上記で特定した関連の相互参照出願で定義され教示される。次いで、セクタ寄与を合成し（３２）、光学的近接効果補正用の空間像を計算する（３４）。
【００６５】
半無限コーナからの有限積分
本発明の主要な要素は、半無限コーナからの有限積分を求めることである。マスク・ポリゴンの頂点からのセクタ寄与は、セクタに対して発散するカーネル、例えば、べき法則カーネルｒ−γ（γ≦２）でポリゴンをコンボリューションする状態で正規化される。リソグラフィ技術分野では、マスク・ポリゴンは、本質的に半無限であるコーナを有するオープン・セクタの重ね合わせとして表すことができることが知られているが、これらのセクタはある方向には有界でなく、潜在的に無限大の寄与が生じる可能性がある。
【００６６】
もちろん、個々のセクタは、有限のポリゴンに対するコンボリューションを得るという目的のための単なる手段である。このため、１つの解決策は、離れた周辺のところで、例えば現行技術のウエハでは３０１ｍｍのところで、すべてのセクタを制限することである。ただし、この技法は精度に影響を及ぼす。
【００６７】
好ましい解法は、以下の考察に基づいている。ポリゴンからの寄与を計算する観察ポイント
【００６８】
【数２１】
2005128557.tif 000023
を仮定すると、ストークス（Stokes）またはグリーン（Green）の定理を用いて面積コンボリューションが周辺構造体の周りで
【００６９】
【数２２】
2005128557.tif 000024
に依存する積分に変換され、次いでこれが、各辺に沿った積分の和になる。
【００７０】
ある辺について得られる不定積分をＱとすると、頂点
【００７１】
【数２３】
2005128557.tif 000025
と、頂点
【００７２】
【数２４】
2005128557.tif 000026
の間の特定の辺からの寄与はＱｎ＋１−Ｑｎになる。項Ｑｎ＋１は、３つの量に関してパラメータ化し得る。この３つの量とは、辺の向きである
【００７３】
【数２５】
2005128557.tif 000027
と、
【００７４】
【数２６】
2005128557.tif 000028
からこの辺までの垂直距離である
【００７５】
【数２７】
2005128557.tif 000029
と、この垂線をθ＝０の原点と定義して、
【００７６】
【数２８】
2005128557.tif 000030
から
【００７７】
【数２９】
2005128557.tif 000031
までの極座標角度である
【００７８】
【数３０】
2005128557.tif 000032
である。これらの量を図３に示す。Ｑの変数はθだけであり、これは、この辺に沿った個々の端点の特定の位置によって決まることに留意されたい。
【００７９】
各辺ごとにその不定積分に積分定数
【００８０】
【数３１】
2005128557.tif 000033
を含めることもできる。ここで、
【００８１】
【数３２】
2005128557.tif 000034
はθに無関係であると仮定する。この積分定数は、不定積分中にしか存在せず、この辺の２つの端点における不定積分の値の差を取るときにはゼロになる。たとえそうであっても、この積分定数により、分離した頂点からの無限大の寄与を排除することができる。
【００８２】
各辺からの寄与に積分定数を加えると、ポリゴンに対する積分は、次のように複数の辺にわたる合計として表される。
【００８３】
【数３３】
2005128557.tif 000035
【００８４】
ここで、Ｆは、ｎ個の辺を有する個々のマスク・ポリゴンからの、例えばフレアからの寄与を示す。式（９）の括弧で括られた項はそれぞれ、この辺の１つの端点からの寄与を表す。これらの項を編成し直すことによって、Ｆを再構成して複数の頂点にわたる合計にすることができる。こうすると、複数の非有界セクタにわたる合計が次のように得られる。
【００８５】
【数３４】
2005128557.tif 000036
【００８６】
この新たな和形式（複数のコーナにわたる合計）中の各項内で積分定数が消去されなくても、やはり積分定数は全体としてこのポリゴンに対して消去されることに留意されたい。実際、上記の関数依存性に従う限り、任意の積分定数を用いることができる。このことは、個々の非有界コーナから生じる特異点を解くのに重要である。Ｑｎ，ｎ−１−Ｑｎ＋１，ｎが無限大になり得るとしても、合計を変えずに各コーナの寄与を有限のまま残す項
【００８７】
【数３５】
2005128557.tif 000037
を加えることによって、この合計を変換することができる。
【００８８】
これを実現する最も簡単な方法は、各コーナの寄与を、１対の三角形から合計したフレアにすることである。この方法の基礎になっているのは、端点に常に無関係なθの１つの値があることであり、これはすなわちθ＝０である。というのは、θ＝０は、この辺から問題の点までの垂線によって明白に定義されるからである。次いで、
【００８９】
【数３６】
2005128557.tif 000038
と決めることができる。このように決めると、角括弧の項はもはや非有界ではなくなる。図３に、１対の三角形３２、３４から合計されたフレア値に対する各コーナの寄与を計算するための幾何形状を示す。
【００９０】
以下に、三角形コンボリューションの導出を明確に示す。図４を参照し、かつカーネルを、
ｒ≧Ｒｍｉｎの場合はＧ（ｒ，θ）、
ｒ＜Ｒｍｉｎの場合は０（１１）
と仮定し、Ｌを、図に示すｈおよびθを伴うクロス・ハッチングした区域４２で示す三角形ＡＣＤＡの積分と定義する。ｈ≧Ｒｍｉｎの場合（場合１）は、
【００９１】
【数３７】
2005128557.tif 000039
であり、ただし、
【００９２】
【数３８】
2005128557.tif 000040
である。
【００９３】
図５に示すようにｈ＜Ｒｍｉｎの場合（場合２）には、この三角形の積分は、以下に示すようにＬ’（ｈ，θ）＝三角形ＡＣＤＡ−三角形ＣＤＥＣで与えられる。
【００９４】
【数３９】
2005128557.tif 000041
ただし、
【００９５】
【数４０】
2005128557.tif 000042
である。
【００９６】
図６に示すように
【００９７】
【数４１】
2005128557.tif 000043
の場合（場合３）には、この三角形の積分は、Ｌ”（ｈ，θ）＝０で与えられる。というのは、三角形全体がカーネルのホールの内部にあるからである。
【００９８】
セクタ・コンボリューションのルール
このポリゴン・コンボリューション法は、前に述べ、かつ図３に示すように、１つの頂点当たり２つの三角形からの寄与を計算するというものである。これらの三角形の寄与をすべての頂点にわたって合計した後で、このポリゴンの正味の寄与が得られる。このポリゴンは任意の形状のものとすることができ、かつ観察ポイントｘ０はポリゴンの内側にも外側にもし得るので、各三角形の寄与の符号に関するルールが必要である。ほとんどの場合、リソグラフィ用マスク・パターンは、水平、垂直、および４５°の線分だけで形成されたポリゴンを含む。したがって、アルゴリズムは、９０°のセクタに加えて４５°のセクタを取り扱わなければならない。このため、任意のポリゴン内に存在し得る可能なセクタのタイプは９６個になる。時計周りの頂点横断方向と反時計周りの頂点横断方向の間の対称性と、凸状セクタと凹状セクタの間の非対称性を考慮に入れることによって、一意的に決まるセクタ数は２４に減る。頂点の内角が１８０°以下のときセクタは凸になり、そうでない場合にはセクタは凹になる。さらに、別の研究から、セクタ・コンボリューションは、他の４つの特定のセクタ間で大きさが同じであることが示される。図７に示すように、６つの基本グループＡ〜Ｆに２４個の異なるセクタを示す。
【００９９】
負になることはないコンボリューションの数値は、生成される三角形が同じなので各グループのセクタについて同じであり、そのため、一意的に決まるセクタ数は６つの基本セクタに減る。これらの６つの基本セクタについてセクタ・コンボリューションが求められると、それを様々なｘ０についてルックアップ・テーブルに記憶することができる。各グループ内のセクタのいずれか１つが、符号規則に関して対応するルールが設けられる限り、基本セクタになり得ることに留意されたい。これらの三角形コンボリューションの符号Ψもルックアップ・テーブル内に記述することができる。４５°セクタの場合、この１対の三角形の符号規則がさらに複雑になる。図８〜図９に、符号の割当てに関する２つの異なる方法（senario）を示す。これら２つの三角形の符号は、図８に示すようにこれら２つの三角形が重なり合うか、あるいは、図９に示すように、隣接したままであるが重なり合わないかどうかに応じて、同じまたは反対のものとし得る。これは、ｘ０がこのセクタに対してどこに配置されるかによって決まる。このさらなる条件を一般化することによって、１組の符号の割当てテーブルを構築して、これら２つの三角形の符号を決めることができる。
【０１００】
符号決定の一般ルール
図１０および図１１を参照すると、９０°および４５°のセクタについての符号の決定に関する一般ルールは次のように確定される。第１三角形の符号をΨ１とし、第２三角形の符号をΨ２とする。Ψ１についてのルールは、このセクタ内の辺＃１側の２つの区画およびそれらの反対側の区画についてはΨ１＝＋１になることを単に示している。それ以外では、Ψ１には−１が割り当てられる。セクタが凹である場合、Ψ１には−１が掛けられ、そうでない場合には＋１が掛けられ変化しない。セクタは、その内角が１８０°よりも大きい場合に凹になり、そうでない場合には凸になる。Ψ２についてのルールでは単に、２つの三角形が重なり合わない場合にはΨ２＝Ψ１になり、そうでない場合にはΨ２＝−Ψ１になる。
【０１０１】
この符号決定プロセスは、以下のやり方で決定される。まず、テーブル索引用の２つの符号マトリックスが生成される。各マトリックスの行および列のインデックスは、上、下、右、左、右上、左上、右下、および左下の８つの基本方向によって与えられる。行インデックスにはこのセクタの第１辺の方向が割り当てられ、列インデックスには第２辺の方向が割り当てられる。これらの行および列のインデックスにより、セクタ・タイプが一意的に指定される。三角形コンボリューションの符号は、ｘ０が実空間における８つの区画のそれぞれの中にあるときにマトリックスに記憶される。一般にＭａｔ１（ｅｄｇｅ１，ｅｄｇｅ２）と称する第１符号マトリックス要素により、ｘ０が存在し得る８つの区画のどれが、第１三角形に正の符号を与えることになるかが決まる。一般にＭａｔ２（ｅｄｇｅ１，ｅｄｇｅ２）と称する第２マトリックスにより、ｘ０が存在し得る８つの区画のどれが、第１三角形と比較して第２三角形に同じ符号を与えるかが決まる。
【０１０２】
次に、このセクタの第１および第２の辺の方向に基づいて、考慮中の任意のセクタについて、行および列のインデックスを求める。第１マトリックスは、８つの区画からなるサブセットのうち、どのサブセットが正の符号を有し、どのサブセットが負の符号を有するかを示す。特定のｘ０について、ｘ０が存在する区画を求める。この区画の番号がマトリックス入力と一致する場合、第１三角形コンボリューションの符号は正になる。
【０１０３】
セクタが凸（または凹）の場合、得られる符号には、用いられる規則に応じて−１（または＋１）が掛けられる。
【０１０４】
次いで、第２符号マトリックスＭａｔ２で、同じ行および列のインデックスを用いる。ｘ０が存在した区画が、第２マトリックス入力と一致する場合、第２三角形コンボリューションの符号は第１三角形と同じになり、そうでない場合にはこの符号は反対の符号になる。
【０１０５】
図１２〜図１３に、個々の三角形コンボリューションの符号を見つける手順を図式的に示す。図１２に、９０°および４５°の向きの構造体の辺についてのマスク・スペースの８つの区画１〜８を示す。図１３に、例として、２つの辺によって画定されるセクタを示す。行インデックスは右上方向１０２であり、列インデックスは右方向１０４である。この例では、上記手順ステップから、領域２、３、６、および７が正の符号を有し、残りの領域が負の符号を有する必要がある。この例では、ｘ０が領域１内にあるので、領域１には負の符号が割り当てられる。ただし、このセクタが凹であると、この符号は反対になる。このセクタが凸の場合、符号はそのままである。第２符号テーブルによれば、領域１は正の符号に相当し、そのため、第２三角形の符号は第１三角形と同じになる。
【０１０６】
べき法則カーネルを用いたポリゴン・コンボリューション
上述したように、フレアの影響は、点像分布関数のコヒーレンス距離Ｒｍｉｎの外側の寄与を検討している限り、インコヒーレント・カーネルとして扱うことができる。一般に、フレア計算に関するインコヒーレント・カーネルは、以下の式Ｇ（ｒ）のべき法則に従う。
【０１０７】
【数４２】
2005128557.tif 000044
ただし、
【０１０８】
【数４３】
2005128557.tif 000045
である。
【０１０９】
一般のカーネルについて、観察ポイント
【０１１０】
【数４４】
2005128557.tif 000046
におけるコンボリューションの値を求めるには通常、数値積分が必要とされる。しかし、べき法則カーネルでは、三角形コンボリューションＱ（Ψｎ，ｎ−１，ｈｎ，ｎ−１，θｎ，ｎ−１）は、ある種の代数的な操作をすると、Ｉｘ（ａ，ｂ）で示す不完全ベータ関数を含む解析的な式に変形することができる。Ｂｅｔａ（ベータ）は、ベータ関数から求められる定数である。上記の前セクションで述べた場合１、２、および３について、三角形コンボリューションを以下に示す。
Ｑ（Ψ，ｈ，θ）＝ΨＬｉ（ｈ，θ）、（ｉ＝１，２，３）  （１８）
【０１１１】
場合１では、
【０１１２】
【数４５】
2005128557.tif 000047
になる。ただし、
【０１１３】
【数４６】
2005128557.tif 000048
である。そのため、
【０１１４】
【数４７】
2005128557.tif 000049
になる。
【０１１５】
場合２では、
【０１１６】
【数４８】
2005128557.tif 000050
になる。
【０１１７】
場合３では、
Ｌ３（Ψ，ｈ，θ）＝０  （２３）
になる。
【０１１８】
上記の式は、γ≠２の場合のみ有効である。γ＝２の場合、関数Ｌ１は、以下のように変形される。
Ｌ１（ｈ，θ）＝Ψ［θ  ｌｎ（２ｈ／Ｒｍｉｎ）−１／２ｆ（π−２θ）］  （２４）
ただし、ｆ（ｘ）はクラウゼン（Clausen）積分である。
【０１１９】
不完全ベータ関数およびクラウゼン積分は、特定のγ値についてあらかじめ求め、後続の任意のＱの計算中のテーブル索引用に記憶することができる。Ｑについての解析的な式により、ルックアップ・テーブルによるコンボリューションの計算がかなり速くなり、そのため時間のかかる数値積分が回避される。不完全ベータ関数は、以下の式から導出される。
【０１２０】
【数４９】
2005128557.tif 000051
【０１２１】
【数５０】
2005128557.tif 000052
ただし、Ｂｅｔａは、以下に示すベータ関数であり、
【０１２２】
【数５１】
2005128557.tif 000053
Ｉｘは、ｘを変数とした以下に示す不完全ベータ関数である。
【０１２３】
【数５２】
2005128557.tif 000054
【０１２４】
恒等式
Ｉｘ（ａ，ｂ）＝１−Ｉ１−ｘ（ｂ，ａ）
Ｉ１（ａ，ｂ）＝１  （２９）
および式（２６）を用いて、以下の式が得られる。
【０１２５】
【数５３】
2005128557.tif 000055
【０１２６】
Ｒｍｉｎの影響
Ｒｍｉｎは、ポリゴン・コンボリューションがＲＯＩの内側からの寄与を二重に計算しないように決める。このＲＯＩは本質的に、回折限界ＰＳＦおよび最初の３７個のゼルニケ項の収差に相当するものである。この理由から、半径Ｒｍｉｎを有するフレア・カーネル内に「ホール」を配置する。Ｒｍｉｎは、ほぼλ／ＮＡで与えられるものである。Ｒｍｉｎ内からのすべてのフレア（Flare）の寄与は、ＲＯＩ内で計算される部分コヒーレント双１次コンボリューションによって取り扱われる。
【０１２７】
インコヒーレントなフレアの計算の遠距離および中距離への分割
べき法則カーネルの広さが無限（γ≦２）である場合など、遠距離の影響では、セクタ・コンボリューションは、フル・チップに対して適用しなければならない。しかし、マスク上のすべてのポリゴンに対してセクタ・コンボリューションを行うことは実際的ではなく、その必要もない。効率の理由から、フル・マスク・パターンＭを２つの領域に分割する。点像分布関数を収差の影響とフレアにさらに分割するのとは異なり、このフレア・カーネルは遠距離および中距離に分割せず、その代わりにマスクを分割することに留意されたい。第１に、図１４に示すように、Ｍ１に対する遠距離コンボリューションを、粗いグリッド１１０に対する高速フーリエ変換によって行う。各グリッド・ポイント１１２は、この特定のグリッド・ポイント内部のパターンの平均パターン密度を表す。このステップは、１枚のマスク当たり１回行わなければならない。というのは、各グリッド・ポイント内のパターン密度は、光学的近接効果補正の後でも大きく変わらないことを想定しているからである。第２に、近距離コンボリューションを、図１５に示すように、領域Ｍ２内でポリゴン・コンボリューションによって行う。もちろん、Ｍ２と同じサイズのものである領域Ｍ３を、寄与を二重に計算しないように減ずる必要がある。直線性および加算性は、以下に示すようにコンボリューション演算子において利用される。ここで、マスク強度関数およびカーネル（Kernel）は、次のように定義される。
【０１２８】
【数５４】
2005128557.tif 000056
および
【０１２９】
【数５５】
2005128557.tif 000057
ただし、
【０１３０】
【数５６】
2005128557.tif 000058
はコンボリューション演算を表す。
【０１３１】
Ｍ２は、ｘおよびｙ方向の所定の距離＋／−Ｒｍｉｄによって画定された領域である。Ｍ１により、マスクの残りの部分が画定される。Ｍ１およびＭ２においてポリゴンの寄与を二重に計算しないように、両方の領域内に存在するポリゴンは領域の境界に留める（clip）必要がある。Ｍ３は、Ｍ２によってトリミングされたホールを表し、容易に計算することができる。次いで、ポリゴン・ピンニング・アルゴリズムを適用する。
【０１３２】
図１４〜図１５では、全マスクＭをＭ１およびＭ２に分割する。Ｍ２は、Ｒｍｉｄによって画定されたサイズの矩形として示されている。マスクＭ１は、マスクの残りの部分を示す。Ｍ１上の各グリッド・ポイントｘｋは、平均密度ρｋを有する。マスクＭ２に、＋／−Ｒｍｉｄによって画定された範囲内のポリゴン１１４を示す。Ｍ１およびＭ２の両方に重なり合うポリゴンは、右上コーナの矩形１１６のように境界上に留め固定する（pin）必要がある。Ｍ３は、二重計算しないように後で減算する必要があるマスク部分である。図１６〜図１７は、近距離および中距離の計算の空間的な広がりを示す概略図である。図１６に、通常は、近距離計算の評価領域の外側にガード・バンドが必要とされ、それによってこの計算における周期性パラメータを求めて疑似周期的要件を満足させることを示す。図１７に、カーネルの広さがはるかに大きいので、同じ評価ボックスに関して、中距離計算にはより大きな面積を含める必要があることを示す。
【０１３３】
特定の好ましい実施形態に即して本発明を詳細に説明してきたが、上記説明に照らして当業者には、多くの代替、改変、および変形が容易に想起されることが明らかである。したがって、特許請求の範囲は、任意のこのような代替、改変、および変形を、本発明の真の範囲および趣旨に含まれるものとして包含することが企図されている。
【図面の簡単な説明】
【０１３４】
【図１】高周波波面収差による光の散乱を示す概略図である。
【図２】中距離および遠距離スケールを含めるようにリソグラフィ・シミュレーションの積分範囲を拡張する、本発明で提案されるアルゴリズムを示す流れ図である。
【図３】１対の三角形から合計されたフレア値に対する各コーナの寄与を計算するための幾何形状を示す図である。
【図４】ｈ≧Ｒｍｉｎの条件で三角形コンボリューションを導出するための幾何形状を示す図である。
【図５】ｈ＜Ｒｍｉｎの条件で三角形コンボリューションを導出するための幾何形状を示す図である。
【図６】ｈ／ｃｏｓθ＜Ｒｍｉｎの条件で三角形コンボリューションを導出するための幾何形状を示す図である。
【図７】セクタ・コンボリューションに用いるための、６つの基本グループに分けて示した２４個の異なるセクタを示す概略図である。
【図８】セクタ・コンボリューションで用いる符号が互いに反対である２つの重なり合う三角形を示す図である。
【図９】セクタ・コンボリューションに用いる符号が互いに同じである２つの重なり合わない三角形を示す図である。
【図１０】直交する（９０°）頂点についての符号生成例を示す図である。
【図１１】４５°の頂点についての符号生成例を示す図である。
【図１２】９０°および４５°の向きの構造体の辺についてのマスク・スペースの８つの区画を図式的に示す図である。
【図１３】本発明の辺の規則に従って２辺によって画定されたセクタを図式的に示す図である。
【図１４】粗いグリッドに対して実施される遠距離コンボリューションを示す図であり、各グリッド・ポイントは、この特定のグリッド・ポイント内部のパターンの平均パターン密度を表す。
【図１５】ある領域内でポリゴン・コンボリューションによって実施される近距離コンボリューションを示す図である。
【図１６】近距離計算の空間的な広がりを示す概略図である。
【図１７】中距離計算の空間的な広がりを示す概略図である。
【符号の説明】
【０１３５】
１、２、３、４、５、６、７、８  区画
１０  高周波波面収差
１２  散乱
１０２  右上方向
１０４  右方向
１１０  グリッド
１１２  グリッド・ポイント
１１４  ポリゴン
１１６  矩形
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
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【図１７】
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