(57)【要約】【課題】  素子が配置される位置による特性の相関をモデルパラメータに反映させたモデルパラメータ抽出手法および回路シミュレーションシステムを提供する。【解決手段】  本発明のモデルパラメータ抽出方法は、対象としている複数個の装置からなる系内の各装置の相対的位置関係に依存した特性の相関関係を素子モデルの中に正確に組み込むことによって、より現実に近い特性の分布を計算する。これによって、回路シミュレータでは、回路特性の工程変動による分布等を予測する際に、予測精度を向上させ、試作回数の削減等により開発にかかる費用と時間を削減することができるようになり、すぐれた効果が得られる。【選択図】  図２
2005191301.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
複数の素子を対として測定された測定データからモデル式のパラメータを抽出するモデルパラメータ抽出方法であって、
前記複数の素子を対として所定の特性データを測定するステップと、
前記複数の素子の特性データからそれぞれのモデルパラメータを抽出するステップと、
前記それぞれのモデルパラメータの標本値を用いて、それぞれのモデルパラメータにおける母集団の平均値および標準偏差を推定するステップと、
前記それぞれのモデルパラメータの標本値を用いて、それぞれのモデルパラメータの母集団間に対する相関係数を推定するステップと、
前記相関係数を主成分分析して主成分を求めるステップと、
前記平均値、標準偏差、相関係数、および主成分を用いて、前記モデルパラメータの母集団の統計的分布を示すパラメータと、異なる素子の母集団間の相対的位置関係に依存する相関とを示すパラメータとで表した統計モデルを与える数式を得るステップとを含むことを特徴とする、モデルパラメータ抽出方法。
【請求項２】
前記数式を得るステップは、さらに、前記平均値、標準偏差、相関係数、および主成分を用いて、前記モデルパラメータの母集団の統計的分布を示すパラメータと、前記相対的位置関係に依存する相関と同時に同一素子の母集団間の相関を示すパラメータとで表した統計モデルを与える数式を得ることを特徴とする、請求項１に記載のモデルパラメータ抽出方法。
【請求項３】
前記複数の素子の対は、所定の境界内に配置され、
前記測定するステップは、前記境界内における複数の位置でそれぞれ前記複数の素子の対における特性データを測定し、
前記数式を得るステップは、さらに、前記平均値、標準偏差、相関係数、および主成分を用いて、前記モデルパラメータの母集団の統計的分布を示し、かつ前記境界内における対の位置に依存するパラメータと、前記相対的位置関係に依存する相関と同時に同一素子の母集団間の前記境界内における対の位置に依存する相関を示すパラメータとで表した統計モデルを与える数式を得ることを特徴とする、請求項１に記載のモデルパラメータ抽出方法。
【請求項４】
前記複数の素子の対は、所定の境界内に配置され、
前記測定するステップは、前記境界内における位置および前記対となる複数の素子間の相対的な位置関係をそれぞれ変化させて特性データを測定し、
前記数式を得るステップは、さらに、前記平均値、標準偏差、相関係数、および主成分を用いて、前記モデルパラメータの母集団の統計的分布を示し、かつ前記境界内における対の位置に依存するパラメータと、前記相対的位置関係に依存する相関と同時に同一素子の母集団間の前記境界内における対の位置に依存する相関を示すパラメータとで表した統計モデルを与える数式を得ることを特徴とする、請求項１に記載のモデルパラメータ抽出方法。
【請求項５】
前記対を形成する複数の素子は、所定の配置ルールに基づいて互いに最も近接して配置されていることを特徴とする、請求項１に記載のモデルパラメータ抽出方法。
【請求項６】
複数の素子を対として測定された測定データからモデル式のパラメータを抽出して回路シミュレーションする回路シミュレーションシステムであって、
前記複数の素子を対として所定の特性データを測定する測定部と、
前記測定部が測定した特性データからそれぞれのモデルパラメータを抽出する抽出部と、
前記抽出部が抽出したモデルパラメータを用いて統計モデルを与える数式を演算するデータ処理部と、
前記データ処理部が演算した数式を用いて前記統計モデルを組み込んだ回路シミュレーションを行う回路シミュレータとを備え、
前記データ処理部は、
前記抽出部が抽出したそれぞれのモデルパラメータの標本値を用いて、それぞれのモデルパラメータにおける母集団の平均値および標準偏差を推定する統計的分布推定手段と、
前記抽出部が抽出したそれぞれのモデルパラメータの標本値を用いて、それぞれのモデルパラメータの母集団間に対する相関係数を推定する相関係数推定手段と、
前記相関係数推定手段が推定した相関係数を主成分分析して主成分を求める主成分分析手段と、
前記統計的分布推定手段、前記相関係数推定手段、および前記主成分分析手段によって得られる前記平均値、標準偏差、相関係数、および主成分を用いて、前記モデルパラメータの母集団の統計的分布を示すパラメータと、異なる素子の母集団間の相対的位置関係に依存する相関とを示すパラメータとで表した統計モデルを与える数式を演算する数式演算手段とを含むことを特徴とする、回路シミュレーションシステム。
【請求項７】
前記数式演算手段は、さらに、前記平均値、標準偏差、相関係数、および主成分を用いて、前記モデルパラメータの母集団の統計的分布を示すパラメータと、前記相対的位置関係に依存する相関と同時に同一素子の母集団間の相関を示すパラメータとで表した統計モデルを与える数式を演算することを特徴とする、請求項６に記載の回路シミュレーションシステム。
【請求項８】
前記複数の素子の対は、所定の境界内に配置され、
前記測定部は、前記境界内における複数の位置でそれぞれ前記複数の素子の対における特性データを測定し、
前記数式演算手段は、さらに、前記平均値、標準偏差、相関係数、および主成分を用いて、前記モデルパラメータの母集団の統計的分布を示し、かつ前記境界内における対の位置に依存するパラメータと、前記相対的位置関係に依存する相関と同時に同一素子の母集団間の前記境界内における対の位置に依存する相関を示すパラメータとで表した統計モデルを与える数式を演算することを特徴とする、請求項６に記載の回路シミュレーションシステム。
【請求項９】
前記複数の素子の対は、所定の境界内に配置され、
前記測定部は、前記境界内における位置および前記対となる複数の素子間の相対的な位置関係をそれぞれ変化させて特性データを測定し、
前記数式演算手段は、さらに、前記平均値、標準偏差、相関係数、および主成分を用いて、前記モデルパラメータの母集団の統計的分布を示し、かつ前記境界内における対の位置に依存するパラメータと、前記相対的位置関係に依存する相関と同時に同一素子の母集団間の前記境界内における対の位置に依存する相関を示すパラメータとで表した統計モデルを与える数式を演算することを特徴とする、請求項６に記載の回路シミュレーションシステム。
【請求項１０】
前記対を形成する複数の素子は、所定の配置ルールに基づいて互いに最も近接して配置されていることを特徴とする、請求項６に記載の回路シミュレーションシステム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、モデルパラメータ抽出方法および回路シミュレーションシステムに関し、より特定的には、半導体チップ等の統計的なモデルパラメータを抽出する技術およびそのモデルパラメータを用いた回路シミュレーションシステムに関する。
【背景技術】
【０００２】
従来、一般的に半導体分野において、半導体チップ内に作り込む集積回路を設計する際には、その集積回路の電気的特性をコンピュータ上で模擬的に再現する回路シミュレータが用いられる。上記集積回路の設計者は、回路シミュレータを用いて種々の回路をコンピュータ上で設計し、電気特性を予測し所望の特性が得られることの目処を立ててから実際の回路を製造する。近年、半導体の製造プロセスが複雑化して製造工程が長くなり、製造コストが増大しており、集積回路の試作を繰り返して所望の特性を得るというやり方は、製品開発にかかる時間と費用を増大させる要因となっている。したがって、回路シミュレータを用いることは、試作の回数を減らし製品開発にかかる時間と費用とを削減できるため、重要性が増大してきた。
【０００３】
回路シミュレータにおいては、ＣＲＴ等に表示される図面上に素子を配置し、それら素子を電気的に結線することによる回路図によって設計が行われるが、その際に使われる素子は、現実の電気特性を模擬的に表わすようにモデル化されている。例えば、モデル化された素子は、抵抗、容量、インダクタ、およびダイオード等の非線形素子や特性を記述した数式等を組合せることにより生成される。例えば、バイポーラトランジスタのような素子に対しては、Ｇｕｍｍｅｌ−Ｐｏｏｎ、ＶＢＩＣといったような素子モデルが提唱され、上記回路シミュレータの中で使用される。
【０００４】
一方、現実に製造される素子は、電気特性等の規格を設け、その規格を満たすように素子断面や素子平面の製造プロセス的な構造設計がなされたのち製造される。したがって、電気特性等に定められる規格が異なれば素子の特性も異なり、上記回路シミュレータ上の素子モデルに予め設定されたデフォルト値等をそのまま使ったのでは素子特性が現実と合わない。そのため、素子モデルは、いくつかの内蔵されているモデルパラメータを用いて、素子モデルの回路シミュレータ上での特性が現実の素子特性に合うようにフィッティングして、この素子モデルを使って回路設計を行う。このことは、モデルパラメータの抽出と呼ばれる。
【０００５】
上記モデルパラメータの抽出を行う測定用の素子パターンの一例は、モデルパラメータをフィッティングするための一連の電気的特性が測定できるように、素子の各端子から配線が引き出される。そして、各端子から延びる配線は、測定器側の電気的プローブを当てることができるようなアルミ製のパッドで終端される。このようなモデルパラメータ抽出用の素子パターンは、ＴＥＧ（Ｔｅｓｔ  Ｅｌｅｍｅｎｔ  Ｇｒｏｕｐ）等の中の１パターンとして、半導体チップ上のある位置に配置される。それによって抽出されたモデルパラメータの一式は、以降、回路シミュレータ上の回路のモデルパラメータを抽出した素子モデルに用いられる。
【０００６】
最も簡単なモデルパラメータの抽出手法の例としては、電気特性を最も代表していると考えられるような素子を、製造終了後のウェハ等から１個選び出して抽出することである。しかしながら、製造工程には常に変動が伴い、現実に製造された半導体チップ上における集積回路中の素子の拡散層深さやコンタクト窓の開口の大きさといった工程パラメータは、半導体チップを搭載したウェハを製造する時期、ウェハのロットの違い、ウェハ内での半導体チップの占める位置等によって変動する。その結果、素子特性とそれを使った集積回路の特性も変動することになる。したがって、製造工程の変動が大きいと、回路の電気特性が製品規格から外れることがある。つまり、規格から外れた半導体チップは製品にできないので廃棄されることになり、製造工程の変動が大きいほど廃棄される半導体チップも増え、ロスが大きくなる。このようなロスを低減するために、現実の製品を作る前に回路シミュレータ上で回路の構成や回路定数を予め検討しておくことにより、回路シミュレータ上で製造工程の変動による回路特性の変動量を予測することできる。回路シミュレータでは、回路特性の変動の幅や変動の中心値を制御することが可能で、それ以後の試作で回路特性が製品規格から外れたときに、思考錯誤的に試作を繰り返すことを防いだり、規格から電気特性が外れたときに回路定数等の調整方法の指針を与えてくれたりする。
【０００７】
しかしながら、上述のように１つの素子を選んでモデルパラメータを抽出していたのでは、製造工程の変動をモデルパラメータに反映させることができない。したがって、製造工程の全体変動を反映できるように、いろいろな抽出手法が考えられている。その抽出手法として、ワーストケースモデルやコーナーモデルがある。これらは、ＰＣＭ（Ｐｒｏｃｅｓｓ  Ｃｏｎｔｒｏｌ  Ｍｏｄｕｌｅ）等によって管理された製造工程の規格内の変動範囲で製造された素子に対して、変動の最大値および最小値に対応するような素子を選び出して抽出したモデルパラメータを用いたり、製造工程変動から変動幅を予測して計算で求めたモデルパラメータの最大値および最小値を用いたりして、回路シミュレーションを行う。しかし、一般的に半導体製造プロセスの製造工程は長く複雑で、管理する工程パラメータも多く、そのような複雑な工程が、製造の完了した素子のどの特性にどのように影響しているのかというような因果関係に関してはわからないことが多い。したがって、どのような工程の変動に着目してモデルパラメータを用意すれば、工程変動を十分に反映した素子モデルをつくることができるのか不明なことが多い。また、ワーストケースモデルやコーナーモデルを用いて回路シミュレーションを行う際には、各種のモデルパラメータは独立に自由に変動できると仮定して、最大値および最小値の組み合わせを任意に選んで行われる。しかしながら、現実のモデルパラメータに関しては、素子数を増やして抽出したデータの解析結果から、一般的には互いに相関を持って変動している。したがって、ワーストケースモデルやコーナーモデルのように最大値と最小値の組み合わせを任意に用いると、現実のモデルパラメータの相関を持った変動では起こり得ないような値の組み合わせも必然的に用いることになる。つまり、そのようなモデルパラメータを用いて回路特性の変動範囲を予測することは過大評価することになり、回路特性の変動範囲を現実よりかなり広く見積もりかねないことになり、現実には規格範囲内の特性を満たすような回路でも規格範囲外の特性を持つというような誤った判断がなされてしまう可能性があった。
【０００８】
このような、ワーストケースモデルやコーナーモデルのこのような欠点を解決するために、統計モデルという素子モデルを用いる方法もある（例えば、非特許文献１参照）。以下、図面を参照して、非特許文献１に記載されたモデルパラメータの抽出手法について説明する。なお、図１０は従来の統計モデルの抽出手法を適用するための測定パターンの例であり、図１１は従来の統計モデルの抽出手法を適用するための回路シミュレーションシステムのブロック図であり、図１２は従来の統計モデルのモデルパラメータを抽出する方法の手順を示している。
【０００９】
図１０において、半導体チップＳ１の境界内に、トランジスタＡ〜Ｃが配置されている。トランジスタＡは、モデルパラメータを抽出しようとしているトランジスタである。トランジスタＢは、上記半導体チップ内の配置ルールに基づいてトランジスタＡから最近接距離程度に配置されており、トランジスタＡと同一の製造プロセス的な断面構造および製造プロセス的な平面構造を持つトランジスタである。トランジスタＣは、トランジスタＡからの距離がトランジスタＢより離れた場所に配置され、トランジスタＡと同一の製造プロセス的な断面構造および製造プロセス的な平面構造を持つトランジスタである。そして、素子モデルのモデルパラメータをフィッティングするための一連の電気的特性が測定できるように、トランジスタＡ〜Ｃの各端子からそれぞれ配線（図示せず）が引き出され、各端子から延びる配線は、測定器の電気的なプローブを当てることができるようなアルミ製のパッド等で終端されている。
【００１０】
図１１において、統計モデルの抽出手法を適用するための回路シミュレーションシステムは、被測定系１１１、測定系１１２、抽出系１１３、データ処理系１１４、および回路シミュレータ１１５を備えている。被測定系１１１は、素子モデルのモデルパラメータを抽出したい素子そのもの、そのような素子が搭載されている半導体チップ、またはそのような半導体チップが搭載されている半導体ウェハ等を示す。測定系１１２は、モデルパラメータを抽出するために必要な一連の電気的測定等を被測定系１１１に対して行う。抽出系１１３は、測定系１１２から得られるモデルパラメータを抽出するために一連の電気的測定等の結果を用いて、それらから得られる特性曲線とシミュレータの回路図上で現実の測定と同一の測定条件に設定した上でモデルパラメータを様々に変えて実施した素子特性のシミュレーション結果から得られる特性曲線とを比較する。そして、抽出系１１３は、最小２乗法を用いたフィッティング手法等を用いて、それらがある設定した誤差の範囲に収まるようにモデルパラメータを決定、すなわち抽出する。データ処理系１１４は、抽出系１１３により抽出されたモデルパラメータを統計的に処理し、統計モデルを表わすモデルパラメータを数式による表現に変更する。回路シミュレータ１１５は、データ処理系１１４から与えられる統計モデルを表わすモデルパラメータの数式による表現を、素子モデルのモデルパラメータに組み込む。そして、回路シミュレータは、これらのモデルパラメータを使ってモンテカルロ・シミュレーション等を行って、製造工程の変動を素子と回路の電気特性の変動に反映させる。また、回路シミュレータ１１５は、抽出系１１３が上記それぞれの特性曲線をモデルパラメータでフィッティングする際の、素子特性のシミュレーションも行う。
【００１１】
図１２において、測定系１１２は、半導体チップＳ１上に形成されたトランジスタＡ（図１０参照）の電気特性を測定する（ステップＳ１２１）。このとき、この半導体チップＳ１を搭載したウェハを製造した時期、ウェハの製造ロットの違い、製造ウェハ内での半導体チップＳ１の占める位置等による統計的な変動を十分反映するように標本を選んでそれぞれ測定する。上記ステップＳ１２１では、被測定系１１１をトランジスタＡ、トランジスタＡを搭載した半導体チップＳ１、またはその半導体チップＳ１を搭載したウェハに選び、測定系１１２によってトランジスタＡを多数測定している。
【００１２】
次に、抽出系１１３は、上記ステップＳ１２１で得られたトランジスタＡの測定結果からモデルパラメータを抽出する（ステップＳ１２２）。このステップＳ１２２は、抽出系１１３において、測定系１１２より得られるトランジスタＡの電気的な特性曲線が回路シミュレータ１１５の回路図上で現実の測定条件と等しくなるように設定し、回路シミュレータ１１５で用いられる素子モデルにおいてモデルパラメータの値を様々に変えて行った回路シミュレーション結果より得られる特性曲線と比較され、両者が指定した誤差の範囲内で一致するようにモデルパラメータが定められることに相当する。また、測定系１１２で測定された多数のトランジスタＡは、それらトランジスタＡが搭載されたウェハを製造する時期、製造ウェハのロットの違い、製造ウェハ内での半導体チップの位置等による統計的な変動を十分反映するように選んであるから、製造工程の変動を反映する形で測定毎に異なる電気的な特性を示す。したがって、上記ステップＳ１２２で抽出された素子モデルのモデルパラメータは、製造工程の変動を反映した分布を持つことになる。
【００１３】
次にデータ処理系１１４は、上記ステップＳ１２２で抽出されたトランジスタＡのモデルパラメータの標本値を統計的に処理する（ステップＳ１２３）。
【００１４】
例えば、モデルパラメータの標本値の分布から、各モデルパラメータの製造工程全体での母集団の分布が正規分布に従うものと統計学的に推定される場合、標本値の分布から正規分布に従う母集団の平均値、標準偏差が統計学的に推定され、これらを用いて統計学的に推定されるモデルパラメータの母集団の分布は、式（１）のように表現できる。
Ｐ＝Ｐ＿ｍ＋Ｐ＿σ・Ｎ（１、０）  …（１）
ここで、Ｐ：モデルパラメータ、Ｐ＿ｍ：モデルパラメータＰの分布の平均値、Ｐ＿σ：モデルパラメータＰの分布の標準偏差、Ｎ（１、０）：平均値０、標準偏差１の正規分布する量的変数を示している。
【００１５】
一方、モデルパラメータの標本値の分布から、そのモデルパラメータの中に、製造工程全体での母集団の分布が正規分布に従わないものと統計学的に推定されるモデルパラメータＰ０がある場合でも、そのモデルパラメータＰ０の標本値を適当な関数ｆにより変換した値ｆ（Ｐ０）の分布から統計学的に推定される母集団の分布が正規分布に従うのであれば、ｆ（Ｐ０）の分布が式（２）のように表現できる。
ｆ（Ｐ０）＝ｆ＿ｍ（Ｐ０）＋ｆ＿σ（Ｐ０）・Ｎ（１、０）  …（２）
ここで、ｆ（Ｐ０）：モデルパラメータＰ０の関数、ｆ＿ｍ（Ｐ０）：ｆ（Ｐ０）の分布の平均値、ｆ＿σ（Ｐ０）：ｆ（Ｐ０）の分布の標準偏差を示している。また、上記式（２）に関しては、関数ｆをモデルパラメータＰ０に関して解くことにより、式（３）のようにモデルパラメータＰ０に工程変動による分布を反映させることができる。
Ｐ０＝ｆ-1｛ｆ＿ｍ（Ｐ０）＋ｆ＿σ（Ｐ０）・Ｎ（１、０）｝  …（３）
ここで、ｆ-1：関数ｆの逆関数である。
【００１６】
以下の説明においても、モデルパラメータの統計学的に推定される母集団の分布が正規分布に従わない場合には、上記式（２）のような関数ｆによりモデルパラメータを変換することにより変換後の値分布の母集団が正規分布に従うようにし、上記式（３）のような形式でモデルパラメータを表現してあるものとして、詳細な説明を省略する。上記式（１）や式（３）のモデルパラメータを素子モデルのモデルパラメータに組み込み、平均値０、標準偏差１の正規分布に従う乱数を回路シミュレータ１１５の中で発生させてＮ（１、０）のところに代入する。これによって、式（１）や式（３）で計算されるモデルパラメータの値の分布が、上記ステップＳ１２２で抽出されたモデルパラメータの平均値と標準偏差を持った正規分布を再現することになる。
【００１７】
データ処理系１１４は、上記ステップＳ１２２で抽出されたモデルパラメータの標本値に対する分布のデータを用いて、モデルパラメータの製造工程全体にわたる母集団に対する分布の間の相関係数を統計学的に推定する（ステップＳ１２４）。例えば、素子モデルとしてＮＰＮ型のバイポーラトランジスタのＧｕｍｍｅｌ−Ｐｏｏｎモデルにおいて、ベース抵抗と関わりの深いモデルパラメータＲＢ、ＩＲＢ、およびＲＢＭと、トランジスタの静的な電流増幅率ｈＦＥと関わりの深いモデルパラメータＢＦとの相関を考える。なお、モデルパラメータＲＢはゼロバイアス時のベース抵抗であり、モデルパラメータＩＲＢはベース抵抗半減時のベース電流であり、モデルパラメータＲＢＭは高注入時のベース抵抗の最小値を示している。製造プロセスから考えて、ベースの拡散深さがあまり変わらないような場合、ベース抵抗が大きくなると一般的にベースのアクセプターのドープ濃度は減少する。もし、エミッタの拡散深さ方向の濃度プロファイルがあまり変わらないようなときには電流増幅率ｈＦＥが増加するから、モデルパラメータＲＢ、ＩＲＢ、ＲＢＭの分布とモデルパラメータＢＦの分布とは、互いに相関を持つことが予想される。また、現実のデータからも、一般的にモデルパラメータＲＢ、ＩＲＢ、ＲＢＭの分布とモデルパラメータＢＦの分布とは、相関を持っている。現実の製造プロセスは複雑で、上述でもベースの拡散深さが変わる場合があり、両者が完全な負の相関係数「−１」を持つようなことは起こりにくいが、実測のデータから得られた各モデルパラメータの間には、製造工程に依存した何らかの相関関係が存在する。
【００１８】
図１３は、上記ステップＳ１２４の処理により得られた、統計学的に製造工程全体に渡って推定されるモデルパラメータの母集団が正規分布として統計学的に推定される相関係数の例である。図１３において、トランジスタＡに対応する素子モデルのモデルパラメータ一式をＰ１＿Ａ〜Ｐｎ＿Ａで示している。なお、モデルパラメータは、トランジスタＡに必要な全てである必要はなく、一部分であってもかまわない。また、モデルパラメータＰ１＿Ａ〜Ｐｎ＿Ａが形成する行列の交点にある値は、縦のモデルパラメータと横のモデルパラメータとの組み合わせの相関係数を示している。モデルパラメータの組み合わせの相関係数は、「−１」から「１」の範囲の実数値をとり、これらをα１１〜αｎｎで表現する。これら相関係数αは、正の相関が大きいほど「１」に近く、負の相関が大きいほど「−１」に近く、互いに相関がない場合には「０」になる。例えば、同一のモデルパラメータの組み合わせに対する相関係数は、相関係数「１」になるため、図１３では相関係数α１１、α２２、およびαｎｎを「１」で示している。また、これら相関係数αが形成する行列は、相関の基本的な性質から常に対称行列になる。
【００１９】
次に、データ処理系１１４は、上記ステップＳ１２４で得られた相関係数に対して主成分分析を行い、主成分を求める（ステップＳ１２５）。ここで、図１３で示した相関係数αが求められても、通常の回路シミュレータでは互いに相関を持つような正規分布に従う乱数を発生させるようなことができない。一方、互いに独立な正規分布に従う乱数を発生させることは、通常の回路シミュレータでは容易に行えるので、このような乱数を利用して、相関係数αを持つような正規分布に従う乱数を回路シミュレータの中で発生させる。そのために、統計学の主成分分析が利用される。通常、統計学で使われる主成分分析とは、互いに相関を持つ量的変数から、互いに独立な量的変数である主成分を導き、もとの量的変数の統計的な変動への寄与の小さい主成分は無視することにより少ない変数ないし次元でデータを分類、特徴付ける多変量解析の一手法とされる。しかし、統計モデルにおいては、このようにデータを分類、特徴付けることに目的があるのではなく、独立な量的変数である主成分を導いて、もとの量的変数をそのような主成分によって求めることにある。また、主成分を量的変数の標準偏差に対する寄与度の大きい方から順番に並べることができる。したがって、量的変数の標準偏差の示す変動範囲のうち、指定した割合以上の範囲まで分布を再現できればよい場合、量的変数と同じ個数の主成分を使う必要はなく、寄与度の大きい方から指定した割合を満たすまでの主成分を採用すればよいので、変動を表わすのに十分な量的変数の数を減らし、回路シミュレータへの負荷を減少させながらも、回路の電気特性の変動を精度よく回路シミュレーションできるという利点も持っている。
【００２０】
主成分の求め方を説明するために、正規分布に従うｎ個の量的変数ｘｊ（ｊ＝１、２、・・・、ｎ）を考える。数式的な扱い易さから量的変数ｘｊは、式（４）のように量的変数ｘｊの平均値ｍｊ（ｊ＝１、２、・・・、ｎ）を引いてから量的変数ｘｊの標準偏差σｊ（ｊ＝１、２、・・・、ｎ）で割ることにより、量的変数ｕｊ（ｊ＝１、２、・・・、ｎ）に変換される。このような変換を通常、標準化と呼んでいる。
ｕｊ＝（ｘｊ−ｍｊ）／σｊ  …（４）
ここで、量的変数ｘｊが平均値ｍｊおよび標準偏差σｊを持つ正規分布に従うから、量的変数ｕｊは、平均値０、標準偏差１を持つ正規分布に従う。
【００２１】
主成分分析によれば、これらの量的変数ｕｊの一次結合をつくることにより、ｎ個の独立な正規分布に従う量的変数ｚｉ（ｊ＝１、２、・・・、ｎ）に変換できることが知られている。それを実行するには、まず量的変数ｕｊ（ｊ＝１、２、・・・、ｎ）の間の相関係数行列を統計学的に求める。ただし、相関係数行列は、量的変数の標準化前後で変わらないことが統計学的に導かれる。例えば、図１３の例の場合、数字の配列は、量的変数であるモデルパラメータＰ１＿Ａ〜Ｐｎ＿Ａの間での相関係数行列の成分になっているが、これらはモデルパラメータＰ１＿Ａ〜Ｐｎ＿Ａを標準化した後の相関係数行列の成分に等しい。上述の量的変数ｕｊの一次結合を式（５）のように表現する。
ｚｊ＝ａｊ１・ｕ１＋ａｊ２・ｕ２＋・・・＋ａｊｎ・ｕｎ  …（５）
ここで、ｊ＝１、２、・・・、ｎの値であり、係数ａｊ１、ａｊ２、・・・、ａｊｎは、まだ値を決めていない係数である。したがって、量的変数ｕｊの一次結合ｚｊもまだ値が決まらない量的変数である。
【００２２】
上記式（５）で表わされるｎ個の式の係数は、ｚ１、ｚ２、・・・、ｚｎの分散がこの順番に大きく、かつ式（５）の係数がつくるｎ個のベクトル（ａ１１、ａ１２、・・・、ａ１ｎ）、（ａ２１、ａ２２、・・・、ａ２ｎ）、・・・、（ａｎ１、ａｎ２、・・・、ａｎｎ）のそれぞれの大きさが１で、互いに直交するように決められることが数学的にわかっている。それを行うためには、まずｎ個の量的変数ｕｊから求められた相関係数行列について数学的な固有値問題を解く。相関係数行列がｎ行ｎ列の行列の場合、固有値はｎ個存在し、永年方程式｜Ａ−λＩ｜＝０を解くことにより得られる。ただし、Ａは、量的変数ｕｊから得られるｎ行ｎ列の相関係数行列、Ｉはｎ次の単位行列である。このようにして得られた固有値を大きい順にλ１、λ２、・・・、λｊ、・・・、λｎとし、固有値λｊに属する固有ベクトルを（ａｊ１、ａｊ２、・・・、ａｊｎ）とする。このようにして固有値問題を解くことにより得られた固有ベクトル（ａｊ１、ａｊ２、・・・、ａｊｎ）は、式（５）の係数がつくるｎ個のベクトル（ａ１１、ａ１２、・・・、ａ１ｎ）、（ａ２１、ａ２２、・・・、ａ２ｎ）、・・・、（ａｎ１、ａｎ２、・・・、ａｎｎ）と一致し、式（５）の一次結合ｚｊは、式（６）で与えられることが統計学的に求められている。
ｚｊ＝｛λｊ＾（１／２）｝・Ｎｊ（１、０）  …（６）
ここで、ｊ＝１、２、・・・、ｎの整数値であり、Ｎｊ（１、０）は、平均値０、標準偏差１で、互いに独立な正規分布に従うｎ個の量的変数を表わす。このようにして求められた式（６）のｚｊが主成分である。なお、上述の説明にあるように、固有値λ１、λ２、・・・、λｊ、・・・、λｎは、この順番に大きいとしたから、式（６）で与えられる主成分ｚ１、ｚ２、・・・、ｚｊ、・・・、ｚｎの分散もこの順番に大きい。通常、統計学においては、このような主成分ｚｊを求め、もとの量的変数の代わりにこれらの主成分ｚｊで統計的な変数を分類、特徴付けようとするのが目的である。これから後に説明する内容は、回路シミュレータ用の統計モデルをつくるために必要な手法に固有のものであって、主成分分析そのものではない。
【００２３】
次に、データ処理系１１４は、上記ステップＳ１２５で求めた主成分と、ステップＳ１２３で得られた平均値および標準偏差と、ステップＳ１２４で得られた相関係数とを用いて、従来の統計モデルを与える数式を得る（ステップＳ１２６）。以下、従来の統計モデルを表わす数式の具体的な求め方を説明する。
【００２４】
まず、上記式（５）を式（６）に代入すると、式（７）が得られる。
｛λｊ＾（１／２）｝・Ｎｊ（１、０）
＝ａｊ１・ｕ１＋ａｊ２・ｕ２＋・・・＋ａｊｎ・ｕｎ  …（７）
ここで、ｊ＝１、２、・・・、ｎの整数値である。また、右辺の係数がつくるベクトル（ａ１１、ａ１２、・・・、ａ１ｎ）、（ａ２１、ａ２２、・・・、ａ２ｎ）、・・・、（ａｎ１、ａｎ２、・・・、ａｎｎ）のそれぞれの大きさは１で、互いに直交する。したがって、上記係数のつくる行列は直交行列となり、その転置行列はもとの行列の逆行列に等しい。つまり、式（７）の両辺に係数がつくる行列の転置行列を掛けることにより、ｕ１、ｕ２、・・・、ｕｎについて解くことができる。その結果は式（８）のようになる。
ｕｊ＝ａ１ｊ・｛λ１＾（１／２）｝・Ｎ１（１、０）
＋ａ２ｊ・｛λ２＾（１／２）｝・Ｎ２（１、０）
＋・・・
＋ａｎｊ・｛λｎ＾（１／２）｝・Ｎｎ（１、０）  …（８）
【００２５】
上記式（８）より、互いに相関のある量的変数ｕｊ（ｊ＝１、２、・・・、ｎ）が、互いに独立なｎ個の、平均値０、標準偏差１の正規分布に従う変数Ｎｊ（１、０）の一次結合で表わされることがわかる。なお、式（８）において、量的変数ｕｊの変動量のうち、所定の目標値（例えば９割以上）の変動量を回路シミュレーションにおいて再現すればよい場合、固有値λｊの整数の添え字ｊの値の小さい方が固有値の値が大きかったから、式（６）にみられるようにｚｊの標準偏差、すなわち量的変数ｕｊの標準偏差への寄与度も大きくなり、このような順番に目標の範囲に入るところまでを採用し残りの主成分を無視することにすれば、回路シミュレーションにおいて発生させる乱数の個数を削減して、コンピュータへの負荷を減らすことができる。また、式（８）のｕｊ（ｊ＝１、２、・・・、ｎ）は式（４）のように標準化しているため、量的変数ｘｊ（ｊ＝１、２、・・・、ｎ）で式（８）を表わすと式（９）のようになる。
ｘｊ＝ｍｊ＋σｊ・［ａ１ｊ・｛λ１＾（１／２）｝・Ｎ１（１、０）
＋ａ２ｊ・｛λ２＾（１／２）｝・Ｎ２（１、０）
＋・・・
＋ａｎｊ・｛λｎ＾（１／２）｝・Ｎｎ（１、０）］  …（９）
ここで、量的変数ｕｊの平均値が０で、標準偏差が１であったことから、量的変数ｘｊの平均値はｍｊで、標準偏差はσｊである。また、量的変数ｘｊの間の相関係数は、統計学の基本より量的変数ｕｊの間の相関係数と同じである。式（９）の係数ａｉｊ・｛λｉ＾（１／２）｝（ｉ、ｊ＝１、２、・・・、ｎ）を簡単にするために、それぞれ、ｂｉｊ（ｉ、ｊ＝１、２、・・・、ｎ）とおくと、式（９）は式（１０）のように書ける。
ｘｊ＝ｍｊ＋σｊ・｛ｂ１ｊ・Ｎ１（１、０）
＋ｂ２ｊ・Ｎ２（２、０）
＋・・・
＋ｂｎｊ・Ｎｎ（ｎ、０）｝  …（１０）
【００２６】
式（１０）の量的変数ｘｊに、トランジスタＡの製造工程における変動を取り入れたいｎ個のモデルパラメータＰｊ＿Ａ（ｊ＝１、２、・・・、ｎ）を当てはめれば、式（１１）のようになる。
Ｐｊ＿Ａ＝Ｐｊ＿Ａｍ＋Ｐｊ＿Ａσ・｛ｂ１ｊ・Ｎ１（１、０）
＋ｂ２ｊ・Ｎ２（２、０）
＋・・・
＋ｂｎｊ・Ｎｎ（ｎ、０）｝  …（１１）
ここで、Ｐｊ＿Ａ（ｊ＝１、２、・・・、ｎ）：モデルパラメータ、Ｐｊ＿Ａｍ（ｊ＝１、２、・・・、ｎ）：Ｐｊ＿Ａの平均値、Ｐｊ＿Ａσ（ｊ＝１、２、・・・、ｎ）：Ｐｊ＿Ａの標準偏差、Ｎｊ（１、０）（ｊ＝１、２、・・・、ｎ）：平均値０、標準偏差１の互いに独立な正規分布に従う量的変数である。
【００２７】
上記式（１１）は、従来の統計モデルによって、トランジスタＡの製造工程の変動を取り入れたいｎ個のモデルパラメータＰｊ＿Ａを与える数式である。このｎ個のモデルパラメータＰｊ＿Ａは、トランジスタＡに使用する素子モデルに必要な全てのモデルパラメータであっても、その一部分であってもよい。このようにして得られた式（１１）を、回路シミュレータ１１５のトランジスタＡに対応する回路図上の素子モデルのモデルパラメータを記述するところに直接テキストデータとして書き込む等することにより、回路シミュレータ１１５に従来の統計モデルのモデルパラメータを組み込むことができる。
【００２８】
なお、回路シミュレーションを実際に行う場合、回路シミュレータ１１５は、式（１１）のＮｊ（１、０）のところに、独立に平均値０、標準偏差１の正規分布に従う乱数を発生させて、発生させるたびにその乱数の値を代入することにより、通常のモンテカルロ・シミュレーション等により回路シミュレーションを行うことができる。乱数を多数発生させて得られるモデルパラメータＰｊ＿Ａの分布は、平均値はＰｊ＿Ａｍで、標準偏差はＰｊ＿Ａσで、Ｐｊ＿Ａの分布間の相関係数は、実測のモデルパラメータ抽出値より得られた相関係数α（図１３参照）に等しくなる。
【非特許文献１】Ｊ．Ａ．Ｐｏｗｅｒ、Ｄ．Ｂａｒｒｙ、Ａ．Ｍａｔｈｅｗｓｏｎ、ａｎｄ  Ｗ．Ａ．Ｌａｎｅ、「ＡＣＣＵＲＡＴＥ  ＡＮＤ  ＥＦＦＩＣＩＥＮＴ  ＰＲＥＤＩＣＴＩＯＮＳ  ＯＦ  ＳＴＡＴＩＳＴＩＣＡＬＣＩＲＣＵＩＴ  ＰＥＲＦＯＲＭＡＮＣＥ  ＳＰＲＥＡＤＳ」、ＩＥＥＥ  １９９２  ＣＵＳＴＯＭ  ＩＮＴＥＧＲＡＴＥＤ  ＣＩＲＣＵＩＴ  ＣＯＮＦＥＲＥＮＣＥ、Ｍａｙ  １９９２、ｐ．３．３．１−３．３．４
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００２９】
上述した従来の統計モデルのモデルパラメータの抽出手法で抽出されたモデルパラメータは、設計する回路全体に渡って同一に与えられる。例えば、半導体チップＳ１（図１０参照）上のマスクレイアウトを実現した場合、素子モデルに対応する半導体チップＳ１上の全てのトランジスタに対して、上記式（１１）のＮ１（１、０）からＮｎ（１、０）のｎ個の変数に対して平均値０および標準偏差１の正規分布に従う乱数を独立に発生させて計算させたモデルパラメータを適用することになる。この場合、ｎ個の独立な乱数を発生させる毎にモデルパラメータ一式はその値が変わり、乱数を多数回発生させた後には、モデルパラメータの分布は工程変動を反映したものにはなる。
【００３０】
しかしながら、素子モデルに対応する、半導体チップＳ１上に配置された全てのトランジスタにおけるモデルパラメータ間の相対的な変動まではモデル化されていないので、相対的な変動は全く発生しない。現実には半導体チップＳ１内で半導体工程の各段階において、必ず加工ばらつきが存在し、例えばバイポーラトランジスタのエミッタ開口窓の大きさをどんなに均一に加工しようとしても、チップ内でも必ず加工ばらつきが発生する。例えば、図１０で示したトランジスタＡから上記最近接距離程度に配置されたトランジスタＢと、当該最近接距離程度より離れた距離に配置されたトランジスタＣとについて考える。半導体チップＳ１内のトランジスタＡおよびＢとＡおよびＣとの組み合わせの間には、それぞれ半導体工程の各段階において必ず加工ばらつきが存在し、完全に同一のトランジスタが存在しないことを意味する。
【００３１】
ここで、半導体チップＳ１内のトランジスタＡおよびＢとＡおよびＣとの間の加工ばらつきの程度を比較した場合、トランジスタＡおよびＢの間の方が、互いの距離が密接しているため加工ばらつきが小さくなることが一般的に知られている。半導体チップＳ１上に配置された素子の電気特性に対する絶対精度は、単一の部品としてつくるより一般的には悪いと言われているが、逆に相対精度は単一の部品としてつくるより良くなる。さらに、同一チップ内の互いの距離がトランジスタＡおよびＢの組み合わせのように近接している方が加工ばらつきは小さくなり、素子特性の相対的な変動も小さくなる。半導体分野では、上述のような単一の部品より電気特性の絶対精度の悪い点をカバーするため、半導体チップ内の素子特性の相対的な変動が小さいことを利用した差動型の回路構成が必須のものとして用いられており、このことによりチップ毎の特性変動の小さい安定的な回路を製造することに成功している。
【００３２】
上記差動型の回路の動作原理は、同一タイプのトランジスタの特性が理想的に完全に一致していることを前提としており、差動を利用したトランジスタの組み合わせの間に特性の差があった場合、その差動の回路または回路の一部に加えられた差動入力の差が原因であるかのように回路の出力に鋭敏に影響してしまう。このため、現実に製造された差動部分のトランジスタ特性の差が大きいほど、本来あるべき理想的な回路特性からのずれが大きくなってしまう。したがって、差動型の回路の場合、差動に用いたトランジスタの特性がいかに近いかということも、目的の回路特性を達成するかどうかの重要な要素となるが、従来の抽出手法で抽出された主成分を用いた統計モデルパラメータには、このようなトランジスタの相対的な特性の変動が考慮されていなかった。
【００３３】
例えば、図１０で示した配置例の場合、差動回路の中での差動の要となるトランジスタ対等は、半導体チップＳ１内のトランジスタＡおよびＢのように、配置ルールの許す限り近接した位置に素子を配置した方が、理想の回路特性に近づくことになる。しかし、差動の要となるトランジスタ対のトランジスタの数は２つとは限らず、多数の組み合わせが必要であったり、回路中に数多くの考慮すべき対の箇所があったりするのが通常である。また、設計された回路を半導体チップＳ１上にマスクレイアウトとして配置していく場合、レイアウト的な制約から差動の要となる対をトランジスタＡおよびＢの関係のように最近接距離程度に配置することが常に可能なわけではない。また、差動回路に関する回路理論や経験等から、回路設計に入る前の段階から回路中のどの部分の対における特性の相対的な変動が回路特性の変動に大きな影響を与えるのかについての知見がある程度得られていた場合、定量的に正確な結果を得たり、予め知見の得られていない回路を考えたり、差動の対ではない部分が相対的に特性の変動に影響するかということを考える必要がある。
【００３４】
これらの答えを得るためには、回路の規模が大きくなり複雑になればなる程、理論による手計算や経験による勘だけでは困難になり、回路シミュレータがないと実現できないことになる。しかしながら、上述したように従来の抽出手法によって抽出されたモデルパラメータを用いた統計モデルには、チップ内の相対的な特性の変動に対する情報が全く含まれていないから、これらの答えが得られない。そして、このような答えが不明である場合、素子特性の相対的な変動が原因で現実の分布とは合わず、回路特性の規格外れ品が大量に発生することが起こり得る。さらに、回路特性の変動の原因が素子特性の相対的な変動にある場合、回路特性を規格内に入れるために、どの素子の組み合わせが定量的にどの程度影響しているのか、どの素子同士の相対的な位置関係を適正化すればよいのかといったことが明確でないため、発生対策が考案できない。また、回路の構成や回路のマスクレイアウトの修正を思考錯誤的に行って試作することを繰り返し、開発にかかる費用と時間を莫大なものにしてしまうことがあった。
【００３５】
それ故に、本発明の目的は、素子が配置される位置による特性の相関をモデルパラメータに反映させたモデルパラメータ抽出手法および回路シミュレーションシステムを提供することである。
【課題を解決するための手段】
【００３６】
上記の目的を達成するために、本発明は以下の構成を採用した。なお、括弧内の参照符号やステップ番号等は、本発明の理解を助けるために後述する実施形態との対応関係を示したものであって、本発明の範囲を何ら限定するものではない。
【００３７】
本発明のモデルパラメータ抽出方法は、複数の素子（Ａ１、Ｂ１）を対として測定された測定データからモデル式のパラメータを抽出する。モデルパラメータ抽出方法は、複数の素子を対として所定の特性データを測定するステップ（Ｓ１）と、複数の素子の特性データからそれぞれのモデルパラメータを抽出するステップ（Ｓ２）と、それぞれのモデルパラメータの標本値を用いて、それぞれのモデルパラメータにおける母集団の平均値および標準偏差を推定するステップ（Ｓ３）と、それぞれのモデルパラメータの標本値を用いて、それぞれのモデルパラメータの母集団間に対する相関係数を推定するステップ（Ｓ４）と、相関係数を主成分分析して主成分を求めるステップ（Ｓ６）と、平均値、標準偏差、相関係数、および主成分を用いて、モデルパラメータの母集団の統計的分布を示すパラメータと、異なる素子の母集団間の相対的位置関係に依存する相関とを示すパラメータとで表した統計モデルを与える数式を得るステップ（Ｓ６）とを含む。
【００３８】
上記数式を得るステップは、さらに、平均値、標準偏差、相関係数、および主成分を用いて、モデルパラメータの母集団の統計的分布を示すパラメータと、相対的位置関係に依存する相関と同時に同一素子の母集団間の相関を示すパラメータとで表した統計モデルを与える数式を得てもかまわない（Ｓ１４）。
【００３９】
例えば、複数の素子の対は、所定の境界（Ｓ１）内に配置される。この場合、一例として、測定するステップは、境界内における複数の位置（Ａ２、Ｂ２）でそれぞれ複数の素子の対における特性データを測定する。そして、数式を得るステップは、さらに、平均値、標準偏差、相関係数、および主成分を用いて、モデルパラメータの母集団の統計的分布を示し、かつ境界内における対の位置に依存するパラメータと、相対的位置関係に依存する相関と同時に同一素子の母集団間の境界内における対の位置に依存する相関を示すパラメータとで表した統計モデルを与える数式を得る。
【００４０】
他の例として、測定するステップは、境界内における位置および対となる複数の素子間の相対的な位置関係をそれぞれ変化させて（Ｂ３、Ｂ４）特性データを測定する。そして、数式を得るステップは、さらに、平均値、標準偏差、相関係数、および主成分を用いて、モデルパラメータの母集団の統計的分布を示し、かつ境界内における対の位置に依存するパラメータと、相対的位置関係に依存する相関と同時に同一素子の母集団間の境界内における対の位置に依存する相関を示すパラメータとで表した統計モデルを与える数式を得る。
【００４１】
具体的には、対を形成する複数の素子は、所定の配置ルールに基づいて互いに最も近接して配置されている。
【００４２】
本発明の回路シミュレーションシステムは、複数の素子を対として測定された測定データからモデル式のパラメータを抽出して回路シミュレーションする。回路シミュレーションシステムは、複数の素子を対（１１１）として所定の特性データを測定する測定部（１１２）と、測定部が測定した特性データからそれぞれのモデルパラメータを抽出する抽出部（１１３）と、抽出部が抽出したモデルパラメータを用いて統計モデルを与える数式を演算するデータ処理部（１１４）と、データ処理部が演算した数式を用いて統計モデルを組み込んだ回路シミュレーションを行う回路シミュレータ（１１５）とを備える。データ処理部は、抽出部が抽出したそれぞれのモデルパラメータの標本値を用いて、それぞれのモデルパラメータにおける母集団の平均値および標準偏差を推定する統計的分布推定手段（Ｓ３）と、抽出部が抽出したそれぞれのモデルパラメータの標本値を用いて、それぞれのモデルパラメータの母集団間に対する相関係数を推定する相関係数推定手段（Ｓ４）と、相関係数推定手段が推定した相関係数を主成分分析して主成分を求める主成分分析手段（Ｓ５）と、統計的分布推定手段、相関係数推定手段、および主成分分析手段によって得られる平均値、標準偏差、相関係数、および主成分を用いて、モデルパラメータの母集団の統計的分布を示すパラメータと、異なる素子の母集団間の相対的位置関係に依存する相関とを示すパラメータとで表した統計モデルを与える数式を演算する数式演算手段（Ｓ６）とを含む。
【００４３】
上記数式演算手段は、さらに、平均値、標準偏差、相関係数、および主成分を用いて、モデルパラメータの母集団の統計的分布を示すパラメータと、相対的位置関係に依存する相関と同時に同一素子の母集団間の相関を示すパラメータとで表した統計モデルを与える数式を演算してもかまわない。
【００４４】
例えば、複数の素子の対は、所定の境界内に配置される。この場合、一例として、測定部は、境界内における複数の位置でそれぞれ複数の素子の対における特性データを測定する。そして、数式演算手段は、さらに、平均値、標準偏差、相関係数、および主成分を用いて、モデルパラメータの母集団の統計的分布を示し、かつ境界内における対の位置に依存するパラメータと、相対的位置関係に依存する相関と同時に同一素子の母集団間の境界内における対の位置に依存する相関を示すパラメータとで表した統計モデルを与える数式を演算する。
【００４５】
他の例として、測定部は、境界内における位置および対となる複数の素子間の相対的な位置関係をそれぞれ変化させて特性データを測定する。そして、数式演算手段は、さらに、平均値、標準偏差、相関係数、および主成分を用いて、モデルパラメータの母集団の統計的分布を示し、かつ境界内における対の位置に依存するパラメータと、相対的位置関係に依存する相関と同時に同一素子の母集団間の境界内における対の位置に依存する相関を示すパラメータとで表した統計モデルを与える数式を演算する。
【００４６】
具体的には、対を形成する複数の素子は、所定の配置ルールに基づいて互いに最も近接して配置されている。
【発明の効果】
【００４７】
本発明のモデルパラメータ抽出方法によれば、対象としている複数個の装置からなる系内の各装置の相対的位置関係に依存した特性の相関関係を素子モデルの中に正確に組み込むことができ、より現実に近い特性の分布を計算することが可能となる。これによって、回路特性の工程変動による分布を予測する際に、予測精度を向上させ、試作回数の削減等により開発にかかる費用と時間を削減することができるようになり、すぐれた効果を発揮することになる。
【００４８】
また、相対的位置関係に依存する相関と同時に同一素子の母集団間の相関を示すパラメータを含んだ統計モデルを与える数式を得る場合、複数の素子におけるそれぞれのモデルパラメータ間の相関にそれら同一の素子におけるモデルパラメータ同士の相関も同時に取り込んだ特性の分布をさらに予測することができる。
【００４９】
また、境界内における対の位置に依存するパラメータを含んだ統計モデルを与える数式を得る場合、当該境界内に生じる応力により変動する素子の特性等、境界内位置依存性を持った特性の分布をさらに予測することができる。
【００５０】
また、複数の素子間の相対的な位置関係をそれぞれ変化させ、その相対的位置関係に依存するパラメータを含んだ統計モデルを与える数式を得る場合、様々な制約によって複数の素子間の距離が固定できない回路等で相対的位置関係が変化してもその特性の分布をさらに予測することができる。
【００５１】
また、所定の配置ルールに基づいて互いに最も近接して配置された対で形成される差動型の回路であっても、それらの特性の変動が考慮された分布を予測することができる。
【００５２】
本発明の回路シミュレーションシステムによれば、上述したモデルパラメータ抽出方法と同様の効果を得ることができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００５３】
（第１の実施形態）
以下、図面を参照して、本発明の第１の実施形態に係るモデルパラメータ抽出方法および当該方法を用いた回路シミュレーションシステムについて説明する。なお、図１は当該モデルパラメータ抽出方法が用いる系の概念を表す図であり、図２は当該モデルパラメータ抽出方法を示すフローチャートである。なお、当該回路シミュレーションシステムのブロック図は、背景技術で説明した図１１と同様であるため詳細な説明を省略する。ただし、後述するように、当該モデルパラメータ抽出方法を用いる場合、被測定系１１１における標本の選び方と、データ処理系１１４におけるデータ処理の方法とが異なる。
【００５４】
図１において、複数個の装置で構成される系の境界Ｓ１内に装置Ａ１およびＢ１がある相対的位置関係に基づいて配置されている。例えば、半導体集積回路分野の場合、境界Ｓ１は、半導体チップの境界や回路ブロックの境界等である。また、装置Ａ１およびＢ１は、例えばそれぞれトランジスタ等の素子である。装置Ａ１およびＢ１は、素子の配置ルールで許容される最近接距離程度に互いに配置され、境界Ｓ１内において中央付近に配置されている。装置Ａ１およびＢ１は、差動型の回路等において互いの素子特性の相対的な変動が小さいことを利用している回路の要の部分であることを想定しており、ＴＥＧ（Ｔｅｓｔ  Ｅｌｅｍｅｎｔ  Ｇｒｏｕｐ）等の測定用パターン上に配置される。そして、装置Ａ１およびＢ１は、モデルパラメータを抽出するために一連の測定が行える電気配線が施されている。
【００５５】
以下、説明を具体的にするために、境界Ｓ１を半導体チップの境界（以下、半導体チップＳ１と記載する）とし、装置Ａ１およびＢ１を共にバイポーラトランジスタ（以下、トランジスタＡ１およびＢ１と記載する）とし、素子モデルをＧｕｍｍｅｌ−Ｐｏｏｎとする。また、半導体チップＳ１を搭載したウェハを製造する時期、製造ウェハのロットの違い、あるいは製造ウェハ内での半導体チップＳ１の占める位置等の違いによるトランジスタＡ１およびＢ１の特性の変動と、トランジスタＡ１およびＢ１の電流増幅率ｈＦＥの相対的な変動（つまり電流増幅率ｈＦＥと関わりの深いモデルパラメータＢＦの相対的な変動）との影響を、差動回路の電気特性が特に強く受けるような場合を考える。
【００５６】
図２では、トランジスタＡ１およびＢ１の特性における相対的な変動を組み込むことのできる統計モデルのモデルパラメータ抽出手法のフローチャートを示している。図２において、測定系１１２は、半導体チップＳ１上に形成されたトランジスタＡ１およびＢ１の電気特性を測定する（ステップＳ１）。このとき、上述したようにトランジスタ対Ａ１およびＢ１は、半導体チップＳ１上に形成された差動回路上における相対的な特性の変動が、回路の電気特性の変動に影響を与える要である。また、測定系１１２は、半導体チップＳ１を搭載したウェハを製造する時期、製造ウェハのロットの違い、製造ウェハ内での半導体チップＳ１の占める位置等の違いによる統計的な変動を十分反映するように標本を選んで、多数測定する。そして、測定系１１２は、対となるトランジスタＡ１およびＢ１のデータを必ず同一チップから採取し、同一チップから採取したデータの対応関係を明確にして記録していく。ここで、上記ステップＳ１では、被測定系１１１をトランジスタＡ１およびＢ１、トランジスタＡ１およびＢ１を搭載した半導体チップＳ１、あるいは半導体チップＳ１を搭載したウェハに選び、測定系１１２によってトランジスタＡ１およびＢ１を多数測定している。
【００５７】
次に、抽出系１１３は、上記ステップＳ１で得られたトランジスタＡ１およびＢ１の測定結果からそれぞれモデルパラメータを抽出する（ステップＳ２）。このステップＳ２では、抽出系１１３において、測定系１１２より得られる特性曲線の測定条件と等しくなるように回路シミュレータ１１５の回路図上でのシミュレーション条件が設定される。そして、抽出系１１３は、回路シミュレータ１１５で用いられる素子モデルにおいてモデルパラメータの値を様々に変えて実施されたシミュレーション結果より得られる特性曲線と、測定系１１２より得られる特性曲線とを比較し、両者が指定した誤差の範囲内で一致するようにモデルパラメータが定められる。また、測定系１１２で測定された多数のトランジスタＡ１およびＢ１は、それらが搭載されたウェハを製造する時期、製造ウェハのロットの違い、製造ウェハ内での半導体チップＳ１の位置等による統計的な変動を十分反映するように選んでいるため、製造工程の変動を反映する形で測定毎に異なる電気的な特性を示す。したがって、上記ステップＳ２で抽出された素子モデルのモデルパラメータは、製造工程の変動を反映した分布を持ち、かつトランジスタＡ１およびＢ１から得られたモデルパラメータＢＦ間における相関関係の情報も、製造工程の変動を反映する形で抽出値の中に含まれる。
【００５８】
次にデータ処理系１１４は、上記ステップＳ２で抽出されたトランジスタＡ１およびＢ１のモデルパラメータの標本値を統計的に処理する（ステップＳ３）。
【００５９】
例えば、実測のモデルパラメータの標本値分布から、各モデルパラメータの製造工程全体での母集団の分布が正規分布に従うものと統計学的に推定される場合、標本値の分布から正規分布に従う母集団の平均値および標準偏差が統計学的に推定される。これらの平均値および標準偏差を得るための標本値は、半導体チップＳ１を搭載したウェハを製造する時期、製造ウェハのロットの違い、製造ウェハ内での半導体チップＳ１の占める位置等の違いによる統計的な工程変動を十分反映するように選んだので、トランジスタＡ１およびＢ１のチップ内のわずかな位置関係のずれは平均値および標準偏差には影響しない。したがって、トランジスタＡ１およびＢ１の一方で代表してもかまわない。これらを用いたモデルパラメータの分布が、背景技術と同様の上記式（１）で表現できる。
【００６０】
ここで、上記式（１）のモデルパラメータＰを素子モデルのモデルパラメータに組み込み、回路シミュレータ１１５の中で平均値０および標準偏差１で正規分布する乱数を多数回発生させてそれぞれＮ（１、０）に代入すれば、モデルパラメータＰの値の分布が、ステップＳ２で抽出されたモデルパラメータの母集団の分布を再現することになる。しかし、この段階は、あくまで製造工程全体に渡る変動の影響で素子の特性がチップ内の回路の全体で共に変動することによって回路特性に影響を与えることをモデル化するものであって、同一回路内の素子特性の相対的な変動は素子モデルに取り入れられていない。上述した差動型の回路の場合、この相対的な変動の推定が重要になってくる。
【００６１】
次に、データ処理系１１４は、上記ステップＳ２で抽出されたモデルパラメータの標本値に対する分布のデータを用いて、トランジスタＡ１およびＢ１に関するモデルパラメータの母集団に対する分布の間の相関係数を統計学的に推定する（ステップＳ４）。
【００６２】
図３は、上記ステップＳ４の処理により得られた、トランジスタＡ１のモデルパラメータＢＦとトランジスタＢ１のモデルパラメータＢＦとの相関係数の例である。図３において、トランジスタＡ１およびＢ１のモデルパラメータＢＦを、それぞれＢＦ＿Ａ１およびＢＦ＿Ｂ１で示している。また、モデルパラメータＢＦ＿Ａ１およびＢＦ＿Ｂ１が形成する行列の交点にある値は、縦のモデルパラメータと横のモデルパラメーとタの組み合わせの相関係数を示している。モデルパラメータＢＦの組み合わせの相関係数は、「−１」から「１」の範囲の実数値をとり、これらをαａａ、αａｂ、αｂａ、およびαｂｂで表現する。これら相関係数αは、正の相関が大きいほど「１」に近く、負の相関が大きいほど「−１」に近く、互いに相関がない場合には「０」になる。例えば、同一のモデルパラメータの組み合わせに対する相関係数は、相関係数「１」になるため、図３では相関係数αａａおよびαｂｂを「１」で示している。そして、異なるモデルパラメータＢＦの組み合わせであっても、上述したようにトランジスタＡ１およびＢ１がバイポーラトランジスタであって、それぞれのモデルパラメータＢＦ間は相関を持った変動をする。そして、トランジスタＡ１およびＢ１は、互いに最小近接距離程度の同一タイプの素子であるため、通常それぞれのトランジスタの特性が近くなり、それらの間の相関係数（つまりαａｂおよびαｂａ）が「１」に近い値を持つ。また、これら相関係数αが形成する行列は、相関の基本的な性質から常に対称行列になる。図３の非対角要素（つまりαａｂおよびαｂａ）は等しくなる。
【００６３】
次に、データ処理系１１４は、上記ステップＳ４で得られた相関係数が形成する相関係数行列に対して主成分分析を行い、主成分を求める（ステップＳ５）。ここで、図３で示したトランジスタＡ１およびＢ１のモデルパラメータＢＦ間の相関係数αが求められても、通常の回路シミュレータでは互いに相関を持つような正規分布に従う乱数を発生させるようなことができない。一方、互いに独立な正規分布に従う乱数を発生させることは、通常の回路シミュレータでは容易に行えるので、このような乱数を利用して、相関係数αを持つような正規分布に従う乱数を回路シミュレータの中で発生させる。そのために、統計学の主成分分析が利用される。
【００６４】
ステップＳ５で行う主成分分析にあたって、数式的な扱い易さから背景技術で説明した上記式（４）を用いて標準化を行う。そして、上記式（４）で導かれる量的変数の一次結合を上記式（５）で演算する。これらの方法については、背景技術と同様であるため、詳細な説明を省略する。図３で示した相関係数行列が２行２列の場合、主成分は、上記式（５）でｎ＝２とした式（１２）で与えられる。
ｚｊ＝ａｊ１・ｕ１＋ａｊ２・ｕ２  …（１２）
ここで、ｊ＝１、２の値であり、ｕ１およびｕ２は、それぞれモデルパラメータＢＦ＿Ａ１およびＢＦ＿Ｂ１を標準化した量的変数である。
【００６５】
上記式（１２）で示されるｚ１およびｚ２の分散は、この順番に大きく、かつ式（１２）の係数がつくる２個のベクトル（ａ１１、ａ１２）および（ａ２１、ａ２２）は、上記２行２列の相関係数行列について数学的な固有値問題を解いて得られる固有ベクトルで、それぞれの大きさは１で、互いに直交する。また、この固有値問題を解いて得られた固有値を大きい順にλ１およびλ２とすると、固有値λ１およびλ２にそれぞれ属する固有ベクトルが（ａ１１、ａ１２）および（ａ２１、ａ２２）になる。さらに、背景技術で説明したように、上記式（１２）における主成分ｚ１およびｚ２は、固有値λ１およびλ２との間で式（１３）のような関係がある。
ｚｊ＝｛λｊ＾（１／２）｝・Ｎｊ（１、０）  …（１３）
ここで、ｊ＝１、２の整数値であり、Ｎｊ（１、０）は平均値０および標準偏差１で、互いに独立な正規分布に従う２個の量的変数を表わす。通常、統計学においては、このような主成分ｚ１およびｚ２を求めるところまでで終わり、後述の内容は、統計モデルをつくるための固有のものである。
【００６６】
次に、データ処理系１１４は、上記ステップＳ５で求めた主成分と、ステップＳ３で得られた平均値および標準偏差と、ステップＳ４で得られた相関係数とを用いて、統計モデルを与える数式を得る（ステップＳ６）。ここで、背景技術で説明した統計モデルで用いた相関係数は、トランジスタＡ（図１０参照）の特性を与える同一素子モデル内のモデルパラメータ同士のものである。これに対して、本発明の統計モデルの場合、トランジスタＡ１およびＢ１のそれぞれに対応した、素子モデルパラメータの半導体チップＳ１内での互いの相対的位置関係に依存した相関係数を考えているので、同じ相関という表現を用いているが、全く異なるものである。以下、本発明の統計モデルを表わす数式の具体的な求め方を説明する。
【００６７】
まず、上記式（１２）を式（１３）に代入すると、式（１４）が得られる。
｛λｊ＾（１／２）｝・Ｎｊ（１、０）＝ａｊ１・ｕ１＋ａｊ２・ｕ２  …（１４）
ここで、右辺の係数のつくるベクトル（ａ１１、ａ１２）および（ａ２１、ａ２２）のそれぞれの大きさは１で、互いに直交する。したがって、上記係数のつくる行列は直交行列となり、その転置行列はもとの行列の逆行列に等しい。つまり、式（１４）の両辺に係数がつくる行列の転置行列を掛けることにより、ｕ１およびｕ２について解くことができる。その結果は式（１５）のようになる。
ｕｊ＝ａ１ｊ・｛λ１＾（１／２）｝・Ｎ１（１、０）
＋ａ２ｊ・｛λ２＾（１／２）｝・Ｎ２（１、０）  …（１５）
【００６８】
上記式（１５）より、互いに相関のある量的変数ｕｊ（ｊ＝１、２）が、互いに独立な２個の平均値０および標準偏差１の正規分布に従う変数Ｎ１（１、０）およびＮ２（１、０）の一次結合で表わされることがわかる。なお、式（１４）において、量的変数ｕｊ（ｊ＝１、２）は標準化しているため、もとの量的変数ＢＦ＿Ａ１およびＢＦ＿Ｂ１で式（１５）を表わすとそれぞれ式（１６）および式（１７）のようになる。
ＢＦ＿Ａ１＝ＢＦ＿Ａ１ｍ
＋ＢＦ＿Ａ１σ×［ａ１１・｛λ１＾（１／２）｝・Ｎ１（１、０）
＋ａ２１・｛λ２＾（１／２）｝・Ｎ２（１、０）］
…（１６）
ＢＦ＿Ｂ１＝ＢＦ＿Ｂ１ｍ
＋ＢＦ＿Ｂ１σ×［ａ１２・｛λ１＾（１／２）｝・Ｎ１（１、０）
＋ａ２２・｛λ２＾（１／２）｝・Ｎ２（１、０）］
…（１７）
ここで、ＢＦ＿Ａ１ｍおよびＢＦ＿Ｂ１ｍは、それぞれモデルパラメータＢＦ＿Ａ１およびＢＦ＿Ｂ１の分布の平均値である。ＢＦ＿Ａ１σおよびＢＦ＿Ｂ１σは、それぞれモデルパラメータＢＦ＿Ａ１およびＢＦ＿Ｂ１の分布の標準偏差である。Ｎ１（１、０）およびＮ２（１、０）は、それぞれ平均値０および標準偏差１の互いに独立な正規分布に従う量的変数である。
【００６９】
さらに、上記式（１６）および式（１７）において、それぞれ係数ａｉｊ・｛λｉ＾（１／２）｝（ｉ、ｊ＝１、２）を式（１８）のようにｂｉｊ（ｉ、ｊ＝１、２）と置き換える。
ｂｉｊ＝ａｉｊ・｛λｉ＾（１／２）｝  …（１８）
そして、上記式（１８）より上記式（１６）および式（１７）は、それぞれ式（１９）および式（２０）のようになる。
ＢＦ＿Ａ１＝ＢＦ＿Ａ１ｍ
＋ＢＦ＿Ａ１σ×｛ｂ１１・Ｎ１（１、０）＋ｂ２１・Ｎ２（１、０）｝
…（１９）
ＢＦ＿Ｂ１＝ＢＦ＿Ｂ１ｍ
＋ＢＦ＿Ｂ１σ×｛ｂ１２・Ｎ１（１、０）＋ｂ２２・Ｎ２（１、０）｝
…（２０）
ここで、上記式（１９）および式（２０）におけるＮ１（１、０）およびＮ２（１、０）は、それぞれ互いに独立な量的変数であるため、量的変数ＢＦ＿Ａ１およびＢＦ＿Ｂ１の間の相関係数をα＿Ａ１Ｂ１とし、これを上記式（１９）および式（２０）を用いて計算すると、式（２１）のようになる。
α＿Ａ１Ｂ１＝ｂ１１・ｂ１２＋ｂ２１・ｂ２２  …（２１）
【００７０】
そして、量的変数ＢＦ＿Ａ１およびＢＦ＿Ｂ１間の相関係数α＿Ａ１Ｂ１は、上述のようにトランジスタＡ１およびＢ１の半導体チップＳ１内における相対的な位置関係に依存している。したがって、上記式（２１）の右辺を構成するｂ１１、ｂ１２、ｂ２１、およびｂ２２も同様に、トランジスタＡ１およびＢ１の相対的位置関係に依存する。この依存性を式（２２）を用いて明示的に表す。
ｂｉｊ＝ｂｉｊ（ＰＯＳ＿Ｂ１−ＰＯＳ＿Ａ１）  …（２２）
ここで、ＰＯＳ＿Ａ１およびＰＯＳ＿Ｂ１は、それぞれトランジスタＡ１およびＢ１の半導体チップＳ１内の位置を表す。これらの位置は、それぞれのトランジスタＡ１およびＢ１内で定義される特定点（例えば、トランジスタの製造プロセス的な平面構造の中心点）の位置で示される。そして、（ＰＯＳ＿Ｂ１−ＰＯＳ＿Ａ１）は、位置ＰＯＳ＿Ａ１を基点とし、位置ＰＯＳ＿Ｂ１に向かう矢線ベクトルを表す。また、上述したようにトランジスタＡ１およびＢ１は同じタイプであり、トランジスタＡ１およびＢ１の位置を入れ替えても結果は代わらないため、式（２３）が成り立つ。
ｂｉｊ＝ｂｉｊ（ＰＯＳ＿Ａ１−ＰＯＳ＿Ｂ１）  …（２３）
【００７１】
上記式（１９）および式（２０）は、トランジスタＡ１およびＢ１の間における半導体チップＳ１内の相対的な位置関係に依存した相関係数を反映した統計モデルのモデルパラメータを与える式である。ただし、上記式（１９）および式（２０）におけるｂｉｊ（ｉ、ｊ＝１、２）は、上記式（１８）のようにａｉｊおよびλｉ（ｉ，ｊ＝１、２）で表される。また、ｂｉｊは、上記式（２２）または式（２３）のように、トランジスタＡ１およびＢ１の半導体チップＳ１内における相対的な位置関係に依存する。
【００７２】
なお、トランジスタＡ１およびＢ１に対する素子モデルのモデルパラメータのうち、図３で示した相関係数に含めない残りのモデルパラメータについては、背景技術で説明した式（１）〜式（３）で導かれるモデル式が適用される。
【００７３】
そして、トランジスタＡ１およびＢ１に対応する回路シミュレータ１１５の回路図上に対する素子モデルのモデルパラメータの記述に、上記式（１９）および式（２０）で得られたモデル式の記述を直接テキストデータとして書き込む等によって、回路シミュレータ１１５は、統計モデルを組み込んだ回路シミュレーションを行う（ステップＳ７）。回路シミュレータ１１５は、回路シミュレーションを実際に行う場合、上記式（１９）および式（２０）のＮｊ（１、０）に、それぞれ独立して平均値０および標準偏差１の正規分布に従う乱数を多数回発生させて値を代入する。これによって、回路シミュレータ１１５は、モンテカルロ法等により回路シミュレーションを行うことができる。そして、上記式（１９）および式（２０）に関して乱数を多数回発生させて得られるモデルパラメータの分布には、それぞれ平均値がＢＦ＿Ａ１ｍおよびＢＦ＿Ｂ１ｍ、標準偏差がＢＦ＿Ａ１σおよびＢＦ＿Ｂ１σ、ＢＦ＿Ａ１およびＢＦ＿Ｂ１の分布間の相関係数が実測のモデルパラメータ抽出値より得られた相関係数（図３参照）を与えることができる。
【００７４】
（第２の実施形態）
以下、図面を参照して、本発明の第２の実施形態に係るモデルパラメータ抽出方法および当該方法を用いた回路シミュレーションシステムについて説明する。上述した第１の実施形態においては、複数の装置におけるそれぞれのモデルパラメータ間の相関を取り入れたが、現実には１つの装置内におけるモデルパラメータ同士の相関も同時に考慮する必要がある。第２の実施形態では、複数の装置におけるそれぞれのモデルパラメータ間の相関にそれら装置内におけるモデルパラメータ同士の相関も同時に取り込んで回路シミュレーションを行う。図４は、当該モデルパラメータ抽出方法を示すフローチャートである。なお、当該回路シミュレーションシステムのブロック図は、背景技術で説明した図１１と同様であるため詳細な説明を省略する。また、図１は当該モデルパラメータ抽出方法が用いる系の概念も、第１の実施形態で用いた図１と同じとする。
【００７５】
図４において、ステップＳ１１〜Ｓ１３における処理は、それぞれ第１の実施形態で図２を用いて説明したステップＳ１〜Ｓ３と同様であるため、詳細な説明を省略する。
【００７６】
次に、データ処理系１１４は、上記ステップＳ１２で抽出されたモデルパラメータの標本値に対する分布のデータを用いて、トランジスタＡ１におけるモデルパラメータの母集団同士の相関係数と、トランジスタＢ１におけるモデルパラメータの母集団同士の相関係数と、トランジスタＡ１およびＢ１におけるモデルパラメータの母集団間の相関係数とをそれぞれ統計学的に推定する（ステップＳ１４）。具体的には、第１の実施形態で考慮したのは、トランジスタＡ１のモデルパラメータＢＦと、トランジスタＢ１とのモデルパラメータＢＦとの間であるのに対し、当該実施形態ではトランジスタＡ１のモデルパラメータ一式から考慮すべき任意の個数ｎ個のモデルパラメータと、トランジスタＢ１のモデルパラメータ一式から考慮すべき任意の個数ｎ個のモデルパラメータとを選出し、それぞれのモデルパラメータから統計学的に推定される母集団の分布間の相関係数を求める。
【００７７】
図５は、上記ステップＳ１４の処理により得られた相関係数の例である。図５において、トランジスタＡ１に対応する素子モデルのモデルパラメータ一式をＰ１＿Ａ１〜Ｐｎ＿Ａｎで示している。また、トランジスタＢ１に対応する素子モデルのモデルパラメータ一式をＰ１＿Ｂ１〜Ｐｎ＿Ｂｎで示している。なお、これらのモデルパラメータは、トランジスタＡ１またはＢ１に必要な全てである必要はなく、一部分であってもかまわない。また、モデルパラメータＰ１＿Ａ〜Ｐｎ＿ＡおよびモデルパラメータＰ１＿Ｂ１〜Ｐｎ＿Ｂｎが形成する２ｎ行２ｎ列の行列の交点にある値は、縦のモデルパラメータと横のモデルパラメータとの組み合わせの相関係数を示している。モデルパラメータの組み合わせの相関係数は、「−１」から「１」の範囲の実数値をとる。これら相関係数は、正の相関が大きいほど「１」に近く、負の相関が大きいほど「−１」に近く、互いに相関がない場合には「０」になる。例えば、同一のモデルパラメータの組み合わせに対する相関係数は、相関係数「１」になる。
【００７８】
図５で示す行列は、トランジスタＡ１のモデルパラメータ同士の交点、トランジスタＢ１のモデルパラメータ同士の交点、縦の並びがトランジスタＡ１で横の並びがトランジスタＢ１のモデルパラメータの交点、および縦の並びがトランジスタＢ１で横の並びがトランジスタＡ１のモデルパラメータの交点となる４つの領域に分けられる。以下、これらの領域を、それぞれ領域Ｅ１１、Ｅ２２、Ｅ１２、およびＥ２１と記載する。そして、領域Ｅ１１に相関係数αが属し、領域Ｅ２２に相関係数βが属し、領域Ｅ１２に相関係数γが属し、領域Ｅ２１に相関係数δが属する。
【００７９】
トランジスタＡ１およびＢ１は、配置ルールが許す最小近接距離程度の同一タイプの素子を考えている。したがって、相関を考慮すべきトランジスタＡ１のモデルパラメータＰ１＿Ａ１〜Ｐｎ＿Ａ１と、相関を考慮すべきトランジスタＢ１のモデルパラメータＰ１＿Ｂ１〜Ｐｎ＿Ｂ１とは、同じものである。そして、それらの並びの順番を一致させた場合、領域Ｅ１２およびＥ２１に属する行列の対角要素（相関係数）γ１１、γ２２、・・・、γｎｎおよびδ１１、δ２２、・・・、δｎｎは、上記最小近接距離程度にあり、トランジスタの特性が近いことから「１」に近い値を持つ。また、領域Ｅ１２およびＥ２１に属する行列の非対角要素は、異なるモデルパラメータの組み合わせであるから必ずしも「１」に近くはない。そして、領域Ｅ１２およびＥ２１に属する行列は、第１の実施形態と同様にトランジスタＡ１およびＢ１における半導体チップＳ１内での互いの相対的な位置関係に依存する。
【００８０】
一方、領域Ｅ１１はトランジスタＡ１のモデルパラメータ同士、領域Ｅ２２はトランジスタＢ１のモデルパラメータ同士の相関係数である。したがって、領域Ｅ１１およびＥ２２は、トランジスタＡ１およびＢ１における半導体チップＳ１内での互いの相対的な位置関係には依存しない背景技術で説明した統計モデルに対応する領域である。例えば、同一のモデルパラメータの組み合わせに対する相関係数は、相関係数「１」になるため、図５では相関係数α１１、α２２、およびαｎｎと、相関係数β１１、β２２、およびβｎｎを「１」で示している。また、図５の相関係数のつくる行列全体は、基本的な統計学上の性質から対称行列になるので、相関係数行列全体の非対角要素は、行と列を入れ替えた要素の組み合わせが全て等しい値となる。
【００８１】
次に、データ処理系１１４は、上記ステップＳ１４で得られた相関係数が形成する相関係数行列に対して主成分分析を行い、主成分を求める（ステップＳ１５）。図５で示したトランジスタＡ１およびＢ１におけるモデルパラメータ間の相関係数を持つ正規分布に従う乱数を回路シミュレータ１１５の中で発生させるために、上述した統計学の主成分分析が利用される。
【００８２】
まず、ステップＳ１５で行う主成分分析にあたって、数式的な扱い易さから第１の実施形態や背景技術で説明した上記式（４）を用いて標準化を行う。図５に示すように、相関係数行列が２ｎ行２ｎ列の場合、主成分は、上記式（５）でｎ＝２ｎに置き換えた式（２４）で与えられる。
ｚｊ＝ａｊ１・ｕ１＋ａｊ２・ｕ２＋…＋ａｊ［２ｎ］・ｕ［２ｎ］  …（２４）
ここで、ｊ＝１、２、・・・、２ｎの値である。また、上記式（２４）における係数および変数の添え字を他と区別するために括弧［］で囲んで明確にした。以下、同様の記法で区別する。また、ｕ１、ｕ２、・・・、ｕ［２ｎ］は、それぞれ上記モデルパラメータＰ１＿Ａ１〜Ｐｎ＿Ａ１およびＰ１＿Ｂ１〜Ｐｎ＿Ｂ１を標準化した量的変数である。
【００８３】
上記式（２４）で示されるｚ１、ｚ２、・・・、ｚ２ｎの分散は、この順番に大きく、かつ式（２４）の係数がつくる２ｎ個のベクトル（ａ１１、ａ１２、・・・、ａ１［２ｎ］）、（ａ２１、ａ２２、・・・、ａ２［２ｎ］）、・・・、（ａ［２ｎ］１、ａ［２ｎ］２、・・・、ａ［２ｎ］［２ｎ］）は、２ｎ行２ｎ列の相関係数行列について数学的な固有値問題を解いて得られる固有ベクトルで、それぞれの大きさは１で、互いに直交する。また、この固有値問題を解いて得られた固有値を大きい順にλ１、λ２、・・・、λ［２ｎ］とすると、固有値λ１、λ２、・・・、λ［２ｎ］にそれぞれ属する固有ベクトルが（ａ１１、ａ１２、・・・、ａ１［２ｎ］）、（ａ２１、ａ２２、・・・、ａ２［２ｎ］）、・・・、（ａ［２ｎ］１、ａ［２ｎ］２、・・・、ａ［２ｎ］［２ｎ］）になる。さらに、背景技術で説明したように、上記式（２４）における主成分ｚ１、ｚ２、・・・、ｚ［２ｎ］は、固有値λ１、λ２、・・・、λ［２ｎ］との間で式（２５）のような関係がある。
ｚｊ＝｛λｊ＾（１／２）｝・Ｎｊ（１、０）  …（２５）
ここで、ｊ＝１、２、・・・、２ｎの整数値であり、Ｎｊ（１、０）は平均値０および標準偏差１で、互いに独立な正規分布に従う２ｎ個の量的変数を表わす。
【００８４】
次に、データ処理系１１４は、上記ステップＳ１５で求めた主成分と、ステップＳ１３で得られた平均値および標準偏差と、ステップＳ１４で得られた相関係数とを用いて、統計モデルを与える数式を得る（ステップＳ１６）。まず、データ処理系１１４は、上記式（２５）を上記式（２４）に代入する。そして、データ処理系１１４は、上述した第１の実施形態と同様にｕｊ（ｊ＝１、２、・・・、［２ｎ］）について解き、標準化する前の変数に戻すことにより、式（２６）および式（２７）を得る。
Ｐｉ＿Ａ１＝Ｐｉ＿Ａ１ｍ
＋Ｐｉ＿Ａ１σ×｛ｂ１ｉ・Ｎ１（１、０）
＋ｂ２ｉ・Ｎ２（１、０）
＋・・・
＋ｂ［２ｎ］ｉ・Ｎ［２ｎ］（１、０）｝  …（２６）
Ｐｉ＿Ｂ１＝Ｐｉ＿Ｂ１ｍ
＋Ｐｉ＿Ｂ１σ×｛ｂ１ｉ＋ｎ・Ｎ１（１、０）
＋ｂ１ｉ＋ｎ・Ｎ２（１、０）
＋・・・
＋ｂ［２ｎ］ｉ＋ｎ・Ｎ［２ｎ］（１、０）｝
…（２７）
ここで、上記式（２６）および式（２７）において、ｉ＝１、２、・・・、ｎである。また、ｂｉｊは、図５で示した相関係数行列の固有値問題を解いて得られる固有値λｉ（ｉ＝１、２、・・・、［２ｎ］）および固有ベクトルの成分の作る係数ａｉｊ（ｉ、ｊ＝１、２、・・・、［２ｎ］）により、式（２８）のように定義する。
ｂｉｊ＝ａｉｊ・｛λｉ＾（１／２）｝  …（２８）
ここで、式（２８）において、ｉ＝１、２、・・・、２ｎである。
【００８５】
上記式（２６）および式（２７）における２ｎ個のＮ１（１、０）、Ｎ２（１、０）、・・・、Ｎ２ｎ（１、０）の量的変数は、互いに独立で互いの相関係数は「０」であるが、係数ｂｉｊを通じて各モデルパラメータＰｉ＿Ａ１、Ｐｉ＿Ｂ１（ｉ＝１、２、・・・、ｎ）は相関を持つことができ、図５で示した相関係数を持つことになる。さらに、係数ｂｉｊ（ｉ＝１、２、・・・、［２ｎ］）は、トランジスタＡ１およびＢ１の半導体チップＳ１内での相対的な位置関係に対する依存性を含むが、その依存性は式（２９）で表現できる。
ｂｉｊ＝ｂｉｊ（ＰＯＳ＿Ｂ１−ＰＯＳ＿Ａ１）  …（２９）
ここで、式（２９）において、ｉ、ｊ＝１、２、・・・、２ｎである。
【００８６】
そして、トランジスタＡ１およびＢ１に対応する回路シミュレータ１１５の回路図上に対する素子モデルのモデルパラメータの記述に、上記式（２６）および式（２７）で得られたモデル式の記述を直接テキストデータとして書き込む等によって、回路シミュレータ１１５は、統計モデルを組み込んだ回路シミュレーションを行う（ステップＳ１７）。通常、回路シミュレータ１１５は、互いに独立な正規分布に従う乱数を簡単に発生させることができるので、２ｎ個の独立な乱数を上記式（２６）および式（２７）に代入することにより、モデルパラメータＰｉ＿Ａ１、Ｐｉ＿Ｂ１（ｉ＝１、２、・・・、ｎ）は、図５で示した相関係数を満たすことができる。
【００８７】
なお、上述した説明では、２つのトランジスタＡ１およびＢ１を上記最近接距離程度に離して配置したが、このような配置でなくてもかまわない。例えば、図６に示すように、上記最近接距離程度に離れた同じタイプの４つのトランジスタＡ１、Ｂ１、Ｃ１、およびＤ１でも同様に実施することができる。この場合、上述した第１および第２の実施形態と同様の統計モデルにおいて、トランジスタＡ１、Ｂ１、Ｃ１、およびＤ１の間の位置関係に依存した相関を取り入れたモデルパラメータをつくることができる。また、上記最近接距離程度に離れた３つのトランジスタ、または５つ以上のトランジスタでも同様に本発明を実施できることは言うまでもない。
【００８８】
また、トランジスタＡ１およびＢ１は、素子の製造プロセスの平面および断面構造が同一として説明したが、回路特性に素子特性の相対的な分布や相関が影響する組み合わせはトランジスタ同士ばかりではなく、抵抗等の他のデバイス同士における組み合わせに対しても適用可能なのは言うまでもない。さらに、トランジスタＡ１およびＢ１は、それぞれ同タイプのバイポーラトランジスタの場合、バイポーラトランジスタに用いられる素子モデルであるＧｕｍｍｅｌ−ＰｏｏｎをＡ１に、ＶＢＩＣをＢ１に適用して互いに異なった素子モデルでもかまわない。例えば、ベース抵抗等は、どちらの素子モデルにも使われていて、それらのモデルパラメータの間では通常相関を持つので、上記第１および第２の実施形態１のモデルパラメータ抽出方法を適用できる。
【００８９】
また、図７に示すように、素子Ａ１に対し、当該素子Ａ１とは異なる製造プロセス的な平面構造や断面構造を持った任意の素子Ｙ１が配置されている半導体チップＳ１を考える。このような素子Ｙ１でも、目的とする回路によっては回路特性に素子特性の相対的な分布あるいは相関が効いてくる可能性があり、この場合、上記第１および第２の実施形態１のモデルパラメータ抽出方法を適用できる。
【００９０】
（第３の実施形態）
以下、図面を参照して、本発明の第３の実施形態に係るモデルパラメータ抽出方法および当該方法を用いた回路シミュレーションシステムについて説明する。なお、図８は、当該モデルパラメータ抽出方法が用いる系の概念を表す図である。
【００９１】
図８において、複数個の装置で構成される系の境界Ｓ１内に装置Ａ１およびＢ１とＡ２およびＢ２とが、ある相対的位置関係に基づいた対を形成して配置されている。例えば、半導体集積回路分野の場合、境界Ｓ１は、半導体チップの境界や回路ブロックの境界等である。また、装置Ａ１、Ｂ１、Ａ２、およびＢ２は、例えばそれぞれトランジスタ等の素子である。装置Ａ１およびＢ１は、素子の配置ルールで許容される最近接距離程度に互いに配置された対であり、境界Ｓ１内において中央付近に配置されている。装置Ａ２およびＢ２は、素子の配置ルールで許容される最近接距離程度に互いに配置された対であり、装置Ａ１およびＢ１が配置された位置から上記最近接距離程度より離れた位置に配置されている。そして、装置Ａ１およびＢ１とＡ２およびＢ２とは、それぞれ差動型の回路等において互いの素子特性の相対的な変動が小さいことを利用している回路の要の部分であることを想定しており、ＴＥＧ等の測定用パターン上に配置される。そして、装置Ａ１およびＢ１とＡ２およびＢ２とは、モデルパラメータを抽出するために一連の測定が行える電気配線が施されている。以下、説明を具体的にするために、境界Ｓ１を半導体チップの境界（以下、半導体チップＳ１と記載する）とし、装置Ａ１、Ｂ１、Ａ２、およびＢ２を共にバイポーラトランジスタ（以下、トランジスタＡ１、Ｂ１、Ａ２、およびＢ２と記載する）とする。また、トランジスタＡ１およびＢ１は、製造プロセス的に同じ平面構造と断面構造を有するトランジスタ対である。また、トランジスタＡ２およびＢ２も、製造プロセス的に同じ平面構造と断面構造を有するトランジスタ対である。
【００９２】
半導体チップＳ１は、製造処理の過程でウェハの状態からダイシングによりチップの状態に切り離され、プラスチック等によりパッケージ化される。半導体チップＳ１をパッケージ化すると、チップ内で発生する内部応力がチップ面内の位置に依存して大きく変わる。一方、半導体チップＳ１に配置される素子の特性は、上記応力により変動するので、パッケージ化後の素子の特性変動は、チップ面内位置依存性を持つことになる。したがって、このようなパッケージ化による回路特性の変動を想定して回路シミュレーションを行う場合、半導体チップＳ１面内のトランジスタ配置位置によって当該トランジスタのモデルパラメータ間の相関が変化する。
【００９３】
このような変化は、第１の実施形態における式（１９）および式（２０）の係数ｂｉｊが式（２２）のように、または第２の実施形態における式（２６）および式（２７）の係数ｂｉｊが式（２９）のように、トランジスタＡ１およびＢ１のチップ内の相対的な位置関係に依存するとしただけでは表せない。例えば、上記式（２２）および式（２９）では、係数ｂｉｊのトランジスタＡ１およびＢ１の位置依存性をｂｉｊ＝ｂｉｊ（ＰＯＳ＿Ｂ１−ＰＯＳ＿Ａ１）という式で表した。当該実施形態では、さらにトランジスタＡ１およびＢ１の半導体チップＳ１内での平均的な位置（ＰＯＳ＿Ａ１＋ＰＯＳ＿Ｂ１）／２による依存性、トランジスタＡ１の半導体チップＳ１内での位置ＰＯＳ＿Ａ１による依存性、およびトランジスタＢ１の半導体チップＳ１内での位置ＰＯＳ＿Ｂ１による依存性を加える必要がある。ここで、トランジスタＡ１およびＢ１の上記平均的な位置による依存性を加えるのは、トランジスタＡ１のモデルパラメータとトランジスタＢ１のモデルパラメータとの間の相関における位置依存性を表わすために、トランジスタＡ１およびＢ１全体の位置を表わす平均的な位置指標が必要だからである。
【００９４】
ところで、トランジスタＡ１およびＢ１のそれぞれの位置ＰＯＳ＿Ａ１およびＰＯＳ＿Ｂ１の組み合わせを指定することと、トランジスタＡ１およびＢ１の位置の差ベクトルＰＯＳ＿Ｂ１―ＰＯＳ＿Ａ１および平均の位置ベクトル（ＰＯＳ＿Ａ１＋ＰＯＳ＿Ｂ１）／２の組み合わせを指定することとは数学的には等価で、一方が判れば他方を導ける。しかし、さらに係数ｂｉｊのトランジスタＡ１の位置ＰＯＳ＿Ａ１による依存性およびトランジスタＢ１の位置ＰＯＳ＿Ｂ１による依存性を加えるのは、トランジスタＡ１のモデルパラメータ同士の相関およびトランジスタＢ１のモデルパラメータ同士の相関が、互いの相対的な位置関係には依存せず、それぞれ半導体チップＳ１内の絶対的な位置に依存することを明示的に表わすためである。
【００９５】
したがって、当該実施形態における係数ｂｉｊのトランジスタＡ１およびＢ１における位置への依存性は、式（３０）のようになる。
ｂｉｊ＝ｂｉｊ（（ＰＯＳ＿Ａ１＋ＰＯＳ＿Ｂ１）／２、
ＰＯＳ＿Ｂ１−ＰＯＳ＿Ａ１、ＰＯＳ＿Ａ１、ＰＯＳ＿Ｂ１）
…（３０）
ここで、ｉ、ｊ＝１、２、・・・、２ｎであり、ｎは、トランジスタＡ１およびＢ１のモデルパラメータの数である。
【００９６】
上記式（２２）および式（２９）を用いる代わりに上記式（３０）を用いてモデルパラメータの相関関係を表す係数ｂｉｊに関して、図８に示したトランジスタ対の位置を半導体チップＳ１内で系統的に変えて、式（３０）のトタンジスタ対における半導体チップＳ１内の絶対的な位置依存性を求める。これによって、半導体チップＳ１内のトランジスタ対の配置位置に応じて、トランジスタＡ１のモデルパラメータ同士の相関係数、トランジスタＢ１のモデルパラメータ同士の相関係数、トランジスタＡ１およびＢ１のモデルパラメータ間の相関係数が、上記式（１９）、式（２０）、式（２６）、および式（２７）を用いて計算できる。
【００９７】
ここで、トランジスタ対の位置を半導体チップＳ１内で系統的に変える際、現実的な制約から限定された位置にのみ現実の測定パターン等を配置できないときは、半導体チップＳ１の対称性を利用したチップ内一方領域（例えば１／４領域）を調べたり、補間法等を利用したりして、実際には測定ができない領域を補うこともできる。また、上述したパッケージ応力のチップ面内分布の影響等を考慮する必要がなく、トランジスタ対の間における特性の相対的な分布あるいは相関のチップ面内依存性を無視できるような場合、関数の中の（ＰＯＳ＿Ａ１＋ＰＯＳ＿Ｂ１）／２依存性、ＰＯＳ＿Ａ１依存性、ＰＯＳ＿Ｂ１依存性が不要となり、式（３１）になる。この場合、係数ｂｉｊは、トランジスタＡ１およびＢ１の半導体チップＳ１内の相対的な位置関係のみに依存することになり、再び上記式（２２）および式（２９）の結果に帰着することになる。
ｂｉｊ＝ｂｉｊ（ＰＯＳ＿Ａ１−ＰＯＳ＿Ｂ１）  …（３１）
【００９８】
一方、上述したパッケージ応力があるような場合、図８に示したトランジスタ対Ａ１およびＢ１と、Ａ２およびＢ２とのように、トランジスタ対の位置が互いに半導体チップ内で大きく離れているときには、それぞれのトランジスタにおけるモデルパラメータの母集団分布の平均値および標準偏差も変わる可能性がある。このような場合、トランジスタＡ１を例にとると、モデルパラメータを与える式中のモデルパラメータの平均値Ｐ＿Ａ１ｍ、標準偏差Ｐ＿Ａ１σが、トランジスタＡ１の位置ＰＯＳ＿Ａ１依存性を持つことになり、この影響を統計モデルに取り入れると式（３２）および式（３３）のようになる。
Ｐ＿Ａ１ｍ＝Ｐ＿Ａ１ｍ（ＰＯＳ＿Ａ１）  …（３２）
Ｐ＿Ａ１σ＝Ｐ＿Ａ１σ（ＰＯＳ＿Ａ１）  …（３３）
【００９９】
（第４の実施形態）
以下、図面を参照して、本発明の第３の実施形態に係るモデルパラメータ抽出方法および当該方法を用いた回路シミュレーションシステムについて説明する。なお、図９は、当該モデルパラメータ抽出方法が用いる系の概念を表す図である。
【０１００】
図９において、複数個の装置で構成される系の境界Ｓ１内に装置Ａ１およびＢ１が、ある相対的位置関係に基づいた対を形成して配置されている。例えば、半導体集積回路分野の場合、境界Ｓ１は、半導体チップの境界や回路ブロックの境界等である。また、装置Ａ１およびＢ１は、例えばそれぞれトランジスタ等の素子である。装置Ａ１およびＢ１は、素子の配置ルールで許容される最近接距離程度に互いに配置された対であり、境界Ｓ１内において中央付近に配置されている。以下、説明を具体的にするために、境界Ｓ１を半導体チップの境界（以下、半導体チップＳ１と記載する）とし、装置Ａ１およびＢ１を共にバイポーラトランジスタ（以下、トランジスタＡ１およびＢ１と記載する）とする。また、トランジスタＡ１およびＢ１は、製造プロセス的に同じ平面構造と断面構造を有するトランジスタ対である。
【０１０１】
第４の実施形態では、さらにトランジスタＢ３およびＢ４が半導体チップＳ１内に配置されている。トランジスタＢ３は、トランジスタＡ１からＢ１までの距離より離れ、かつ配置ルールの許す最近接距離程度に配置されている。そして、トランジスタＢ３は、トランジスタＡ１と製造プロセス的に同じ平面構造と断面構造でつくられている。トランジスタＢ４は、トランジスタＡ１から上記最近接距離程度よりも離れた位置に配置されている。そして、トランジスタＢ４も、トランジスタＡ１と製造プロセス的に同じ平面構造と断面構造でつくられている。
【０１０２】
上記第１〜第３の実施形態でそれぞれ説明した式（２２）、式（２９）、および式（３０）において、モデルパラメータの相関を表す係数ｂｉｊにおけるトランジスタＡ１およびＢ１の相対的な位置関係を表わすＰＯＳ＿Ｂ１−ＰＯＳ＿Ａ１に関する依存性に関して、その絶対値あるいは大きさが上記最近接距離程度の範囲に固定されているものとしていた。しかし、現実の回路に素子をマスクレイアウトするとき、回路特性を支配するようなトランジスタ対でも、上記最近接距離程度に配置できないことがある。例えば、様々な制約があったり、そのトランジスタ対が回路特性を支配することを設計者が予想せずにマスクレイアウト設計された回路の特性を回路シミュレーションする必要が生じたりする場合である。この場合、図９に示すトランジスタＡ１の対となるトランジスタをＢ１ではなく、トランジスタＢ３やＢ４の位置に配置しなければならないようなこともある。
【０１０３】
このような場合は、上記式（２２）、式（２９）、および式（３０）において、ＰＯＳ＿Ｂ１−ＰＯＳ＿Ａ１は、その絶対値までもが変化するものと考える必要がある。ところで、現在の半導体チップのチップサイズが１ｍｍ角等の小さいものでない限り、ＰＯＳ＿Ｂ１−ＰＯＳ＿Ａ１の絶対値が大きくなるほど、トランジスタＡ１のモデルパラメータとその対になるトランジスタのモデルパラメータとの間の相関が弱くなり、その相関係数が「０」に近づく。また、半導体製造プロセスの工程変動の制御が現在より進み、半導体チップ内の加工ばらつきが低減されれば、チップ中央とチップ端とに配置されてもトランジスタＡ１のモデルパラメータとその対になるトランジスタのモデルパラメータとの間に十分な相関が残る可能性もある。なお、このような遠距離の相関が成り立つ場合には、矢線ベクトルＰＯＳ＿Ａ１−ＰＯＳ＿Ｂ１の方向が変わると、チップ内での位置が極端に変わるため、上記式（３０）においてＰＯＳ＿Ｂ１−ＰＯＳ＿Ａ１の方向依存性も顕著に現れることになる。
【０１０４】
また、図９に示したトランジスタＢ１、Ｂ３、およびＢ４のように、トランジスタＡ１との互いの距離が離れるにしたがって、それぞれのトランジスタのモデルパラメータにおける母集団分布の平均値および標準偏差も変わる可能性がある。これは、第３の実施形態で説明したように半導体チップＳ１をダイシングによりウェハから切り離しパッケージ化した後で顕著に起こり得る。このような場合、トランジスタＡ１を例にとると、モデルパラメータを与える式中のモデルパラメータの平均値Ｐ＿Ａ１ｍおよび標準偏差Ｐ＿Ａ１σに、式（３４）および式（３５）のようにトランジスタＡ１の位置ＰＯＳ＿Ａ１依存性を持たせることにより、この影響を統計モデルに取り入れる必要がある。
Ｐ＿Ａ１ｍ＝Ｐ＿Ａ１ｍ（ＰＯＳ＿Ａ１）  …（３４）
Ｐ＿Ａ１σ＝Ｐ＿Ａ１σ（ＰＯＳ＿Ａ１）  …（３５）
【０１０５】
このように、本発明のモデルパラメータ抽出方法および回路シミュレーションシステムによれば、対象としている複数個の装置からなる系内の各装置の相対的位置関係に依存した特性の相関関係を素子モデルの中に正確に組み込むことができ、より現実に近い特性の分布を計算することが可能となる。これによって、回路特性の工程変動による分布を予測する際に、予測精度を向上させ、試作回数の削減等により開発にかかる費用と時間を削減することができるようになり、すぐれた効果を発揮することになる。
【産業上の利用可能性】
【０１０６】
本発明に係るモデルパラメータ抽出手法および回路シミュレーションシステムは、各装置の相対的位置関係に依存した特性の相関関係を素子モデルの中に正確に組み込むことができ、半導体チップ内に作り込む集積回路等を設計する際の特性を模擬的に再現する等の用途に適用することができる。
【図面の簡単な説明】
【０１０７】
【図１】本発明の第１および第２の実施形態に係るモデルパラメータ抽出方法が用いる系の概念を表す図
【図２】本発明の第１の実施形態に係るモデルパラメータ抽出方法を示すフローチャート
【図３】図２のステップＳ４の処理により得られる相関係数の例
【図４】本発明の第２の実施形態に係るモデルパラメータ抽出方法を示すフローチャート
【図５】上記ステップＳ１４の処理により得られる相関係数の例
【図６】図１のモデルパラメータ抽出方法が用いる系の概念における他の例を表す図
【図７】図１および図６のモデルパラメータ抽出方法が用いる系の概念における他の例を表す図
【図８】本発明の第３の実施形態に係るモデルパラメータ抽出方法が用いる系の概念を表す図
【図９】本発明の第４の実施形態に係るモデルパラメータ抽出方法が用いる系の概念を表す図
【図１０】従来の統計モデルの抽出手法を適用するための測定パターンの例
【図１１】モデルパラメータ抽出手法を適用するための回路シミュレーションシステムのブロック図
【図１２】従来の統計モデルのモデルパラメータを抽出する方法の手順を示すフローチャート
【図１３】図１２のステップＳ１２４の処理により得られる相関係数の例
【符号の説明】
【０１０８】
１１１…被測定系
１１２…測定系
１１３…抽出系
１１４…データ処理系
１１５…回路シミュレータ
【図１】
2005191301.tif 000003
【図２】
2005191301.tif 000004
【図３】
2005191301.tif 000005
【図４】
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【図５】
2005191301.tif 000007
【図６】
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【図７】
2005191301.tif 000009
【図８】
2005191301.tif 000010
【図９】
2005191301.tif 000011
【図１０】
2005191301.tif 000012
【図１１】
2005191301.tif 000013
【図１２】
2005191301.tif 000014
【図１３】
2005191301.tif 000015
【手続補正書】
【提出日】平成16年10月20日(2004.10.20)
【手続補正１】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００６２
【補正方法】変更
【補正の内容】
【００６２】
図３は、上記ステップＳ４の処理により得られた、トランジスタＡ１のモデルパラメータＢＦとトランジスタＢ１のモデルパラメータＢＦとの相関係数の例である。図３において、トランジスタＡ１およびＢ１のモデルパラメータＢＦを、それぞれＢＦ＿Ａ１およびＢＦ＿Ｂ１で示している。また、モデルパラメータＢＦ＿Ａ１およびＢＦ＿Ｂ１が形成する行列の交点にある値は、縦のモデルパラメータと横のモデルパラメータとの組み合わせの相関係数を示している。モデルパラメータＢＦの組み合わせの相関係数は、「−１」から「１」の範囲の実数値をとり、これらをαａａ、αａｂ、αｂａ、およびαｂｂで表現する。これら相関係数αは、正の相関が大きいほど「１」に近く、負の相関が大きいほど「−１」に近く、互いに相関がない場合には「０」になる。例えば、同一のモデルパラメータの組み合わせに対する相関係数は、相関係数「１」になるため、図３では相関係数αａａおよびαｂｂを「１」で示している。そして、異なるモデルパラメータＢＦの組み合わせであっても、上述したようにトランジスタＡ１およびＢ１がバイポーラトランジスタであって、それぞれのモデルパラメータＢＦ間は相関を持った変動をする。そして、トランジスタＡ１およびＢ１は、互いに最小近接距離程度の同一タイプの素子であるため、通常それぞれのトランジスタの特性が近くなり、それらの間の相関係数（つまりαａｂおよびαｂａ）が「１」に近い値を持つ。また、これら相関係数αが形成する行列は、相関の基本的な性質から常に対称行列になる。図３の非対角要素（つまりαａｂおよびαｂａ）は等しくなる。
【手続補正２】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００８８
【補正方法】変更
【補正の内容】
【００８８】
また、トランジスタＡ１およびＢ１は、素子の製造プロセスの平面および断面構造が同一として説明したが、回路特性に素子特性の相対的な分布や相関が影響する組み合わせはトランジスタ同士ばかりではなく、抵抗等の他のデバイス同士における組み合わせに対しても適用可能なのは言うまでもない。さらに、トランジスタＡ１およびＢ１は、それぞれ同タイプのバイポーラトランジスタの場合、バイポーラトランジスタに用いられる素子モデルであるＧｕｍｍｅｌ−ＰｏｏｎをＡ１に、ＶＢＩＣをＢ１に適用して互いに異なった素子モデルでもかまわない。例えば、ベース抵抗等は、どちらの素子モデルにも使われていて、それらのモデルパラメータの間では通常相関を持つので、上記第１および第２の実施形態のモデルパラメータ抽出方法を適用できる。
【手続補正３】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００８９
【補正方法】変更
【補正の内容】
【００８９】
また、図７に示すように、素子Ａ１に対し、当該素子Ａ１とは異なる製造プロセス的な平面構造や断面構造を持った任意の素子Ｙ１が配置されている半導体チップＳ１を考える。このような素子Ｙ１でも、目的とする回路によっては回路特性に素子特性の相対的な分布あるいは相関が効いてくる可能性があり、この場合、上記第１および第２の実施形態のモデルパラメータ抽出方法を適用できる。