(57)【要約】  【課題】不均質材料のシミュレーションモデルを作成する際、自動メッシュ分割を有効に利用して、効率よく周期境界条件を付与する。  【解決手段】不均質材料における代表領域を定め、この代表領域の有限要素モデルを作成し、有限要素モデルの一方の境界面を投影面として、他方の境界面に位置する節点を投影したとき、前記投影面上に投影される他方の境界面に位置する節点を境界節点として検出する。この検出された境界節点の挙動を、この節点が投影された有限要素の前記投影面を形成する節点の挙動によって拘束することで、有限要素モデルに付与する周期境界条件を設定し、記憶保持する。この記憶保持された周期境界条件を有限要素モデルに付与してシミュレーションモデルを作成する。有限要素モデルに替えて一部分をメッシュフリー法により作成されるモデルを用いてもよい。【選択図】図２
2005352819.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
材料特性の異なる複数の材料相が分散配置された不均質材料のシミュレーションモデルを、コンピュータを用いて作成する不均質材料のシミュレーションモデル作成方法であって、
不均質材料における代表領域を少なくとも２方向に連続的に隣接配置することによって不均質材料の塊を構成する際の前記代表領域を定め、この代表領域について、複数の離散点によって形状が特徴付けられた複数の単位セルを用いて１つの代表領域を再現した離散化モデルを作成するステップと、
前記代表領域の隣接配置方向における前記離散化モデルの一方の境界線又は境界面を投影線又は投影面として、他方の境界線又は境界面に位置する離散点を投影したとき、前記投影線又は投影面上に投影される前記他方の境界線又は境界面に位置する離散点を境界離散点として検出するステップと、
この検出された境界離散点の挙動を、この離散点が投影された単位セルの前記投影線又は投影面を形成する離散点の挙動によって拘束することで、前記離散化モデルの境界線又は境界面に付与する周期境界条件を設定し、コンピュータの記憶手段に記憶保持するステップと、
この周期境界条件を前記離散化モデルに付与してシミュレーションモデルを作成するステップと、を有することを特徴とする不均質材料のシミュレーションモデル作成方法。
【請求項２】
前記周期境界条件を設定する際、前記境界離散点が投影される単位セルの前記投影面の形状を、所定のパラメトリック空間上の単位セル形状から形状関数を用いて形状変換したものとして定めることにより、前記境界離散点の前記単位セル形状内における対応点の位置情報を求め、この位置情報および前記形状関数を用いて前記周期境界条件を定める請求項１に記載の不均質材料のシミュレーションモデル作成方法。
【請求項３】
前記周期境界条件は、前記単位セルの前記投影面の形状を規定する離散点の挙動に重み付け係数を乗算して前記境界離散点の挙動を規制した多項式で表されたものである請求項２に記載の不均質材料のシミュレーションモデル作成方法。
【請求項４】
前記境界離散点の投影先が、前記投影面を形成する複数の単位セルの境界上に位置する場合、前記複数の単位セルのうちいずれか１つの単位セルの離散点を用いて前記境界離散点の挙動を規制する請求項３に記載の不均質材料のシミュレーションモデル作成方法。
【請求項５】
前記離散化モデルは、前記単位セルを有限要素とした有限要素モデルである請求項１〜４のいずれか１項に記載の不均質材料のシミュレーションモデル作成方法。
【請求項６】
前記離散化モデルは、メッシュフリー法により離散化された部分モデルを有する請求項１〜５のいずれか１項に記載の不均質材料のシミュレーションモデル作成方法。
【請求項７】
前記部分モデルは、前記複数の材料相のうち剛性が最も低い材料相の配置部分のモデルを少なくとも含む請求項６に記載の不均質材料のシミュレーションモデル作成方法。
【請求項８】
前記代表領域は、複数の境界線又は境界面が角度を成して接続された角部を有する多角形または多面体形状を有し、
前記離散化モデルは、前記角部に対応する位置に前記単位セルの離散点を有し、この離散点の挙動は固定される請求項１〜７のいずれか１項に記載の不均質材料のシミュレーションモデル作成方法。
【請求項９】
前記シミュレーションモデルは、前記不均質材料の歪み・応力解析のシミュレーションに用いられる請求項１〜８のいずれか１項に記載の不均質材料のシミュレーションモデル作成方法。
【請求項１０】
前記離散化モデルの対象となる不均質材料の前記複数の材料相における弾性率のうち、最大の弾性率は、最小の弾性率の１００倍以上である請求項９に記載の不均質材料のシミュレーションモデル作成方法。
【請求項１１】
前記不均質材料には、粒状の補強材が材料相として分散配置されている請求項１〜１０のいずれか１項に記載の不均質材料のシミュレーションモデル作成方法。
【請求項１２】
前記不均質材料には、材料特性の異なる複数のエラストマーが材料相として分散配置されている請求項１〜１１のいずれか１項に記載の不均質材料のシミュレーションモデル作成方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、材料特性の異なる複数の材料相が分散配置された不均質材料のシミュレーションモデル作成方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
タイヤのトレッドゴム部材やビードフィラーゴム部材等に用いられるフィラー配合ゴムや補強部材のバルク特性はタイヤ性能に影響を与える。このため、タイヤ性能のシミュレーション演算及びゴム材料特性のシミュレーション演算は、タイヤ開発の上で重要な要素となっている。バルク特性とは、材料特性の異なる材料相が分散配置された不均質材料の塊（バルク）の状態におけるマクロ特性であり、不均質材料を均質な材料と見なした場合の等価な材料特性である。
【０００３】
上記フィラー配合ゴムのような、材料特性の異なる複数の材料相が分散配置された不均質材料におけるバルク特性をシミュレーション演算により評価するには、例えば不均質材料の代表領域を直方体形状に切り出して有限要素モデルを作成する（特許文献１、２、３）。
そして、この有限要素モデルがあたかも上下、左右、奥行き方向に連続して無限に連なってバルクを成すように、有限要素モデルの対向する面に周期境界条件を付与してシミュレーションモデルを作成してシミュレーション演算を行う。
【０００４】
一方、上記シミュレーションモデルを有限要素モデルで作成する場合、シミュレーションモデル化しようとする対象の不均質材料の輪郭形状を設定すると、自動的に輪郭形状に合わせてメッシュ分割して、複数の有限要素に分割する自動メッシュ分割が有効に用いられている。この自動メッシュ分割して生成された境界面上の節点の位置に上記周期境界条件を付与する場合、お互いの対向する境界面上に位置する対応する節点の位置を互いに一致させる必要がある。
しかし、自動メッシュ分割では各有限要素の形状が同一でないため、代表領域の対向する２つの境界面上に位置する各有限要素の面の形状も異なり、したがって境界面上に位置する有限要素の節点の位置が互いに異なる。このため、自動メッシュ分割されて生成された代表領域の境界面上の節点の位置は、マニュアル修正されなければならない。
しかし、このマニュアル修正では、例えば縦、横、奥行き方向にそれぞれ２５６個有限要素を配列して有限要素モデルを構成した場合、修正すべき節点の数は極めて多数になる。このため、マニュアル修正に要する時間は極めて長くなり、また、その修正処理も煩雑である。
【０００５】
このように自動メッシュ分割後、境界面上に位置する節点を修正する処理は煩雑であり時間かかるため、材料相の分散配置を種々変更し、或いは材料相の占有比率を種々変更して繰り返しシミュレーション計算を行う場合、極めて長時間を要し、不均質材料の早期開発にとって実用上好ましくない。
【０００６】
【特許文献１】特開平９−１８０００２号公報
【特許文献２】特開平９−２８８６８９号公報
【特許文献３】特開平１０−１１６１３号公報
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００７】
そこで、本発明は、シミュレーションモデルを作成する際、自動メッシュ分割を有効に利用して、効率よく周期境界条件を付与することのできる不均質材料のシミュレーションモデル作成方法を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
上記目的を達成するために、本発明は、材料特性の異なる複数の材料相が分散配置された不均質材料のシミュレーションモデルを、コンピュータを用いて作成する不均質材料のシミュレーションモデル作成方法であって、不均質材料における代表領域を少なくとも２方向に連続的に隣接配置することによって不均質材料の塊を構成する際の前記代表領域を定め、この代表領域について、複数の離散点によって形状が特徴付けられた複数の単位セルを用いて１つの代表領域を再現した離散化モデルを作成するステップと、前記代表領域の隣接配置方向における前記離散化モデルの一方の境界線又は境界面を投影線又は投影面として、他方の境界線又は境界面に位置する離散点を投影したとき、前記投影線又は投影面上に投影される前記他方の境界線又は境界面に位置する離散点を境界離散点として検出するステップと、この検出された境界離散点の挙動を、この離散点が投影された単位セルの前記投影線又は投影面を形成する離散点の挙動によって拘束することで、前記離散化モデルの境界線又は境界面に付与する周期境界条件を設定し、コンピュータの記憶手段に記憶保持するステップと、この周期境界条件を前記離散化モデルに付与してシミュレーションモデルを作成するステップと、を有することを特徴とする不均質材料のシミュレーションモデル作成方法を提供する。
【０００９】
前記周期境界条件を設定する際、前記境界離散点が投影される単位セルの前記投影面の形状を、所定のパラメトリック空間上の単位セル形状から形状関数を用いて形状変換したものとして定めることにより、前記境界離散点の前記単位セル形状内における対応点の位置情報を求め、この位置情報および前記形状関数を用いて前記周期境界条件を定めるのが好ましい。その際、前記周期境界条件は、たとえば、前記単位セルの前記投影面の形状を規定する離散点の挙動に重み付け係数を乗算して前記境界離散点の挙動を規制した多項式で表されたものである。
また、前記境界離散点の投影先が、前記投影面を形成する複数の単位セルの境界上に位置する場合、前記複数の単位セルのうちいずれか１つの単位セルの離散点を用いて前記境界離散点の挙動を規制するのが好ましい。
【００１０】
前記離散化モデルは、例えば前記単位セルを有限要素とした有限要素モデルである。その際、前記離散化モデルは、メッシュフリー法により離散化された部分モデルを有してもよい。前記部分モデルは、前記複数の材料相のうち剛性が最も低い材料相の配置部分のモデルを少なくとも含むのが好ましい。
【００１１】
また、離散化モデルの対象となる前記代表領域は、複数の境界線又は境界面が角度を成して接続された角部を有する多角形または多面体形状を有し、前記離散化モデルは、前記角部に対応する位置に前記単位セルの離散点を有し、この離散点の挙動は固定されるのが好ましい。
【００１２】
前記シミュレーションモデルは、例えば前記不均質材料の歪み・応力解析のシミュレーションに用いられる。その際、前記離散化モデルの対象となる不均質材料の前記複数の材料相における弾性率のうち、最大の弾性率は、最小の弾性率の１００倍以上である。
【００１３】
また、前記不均質材料には、例えばカーボンブラックやシリカ等の粒状の補強材が材料相として分散配置されている。さらに、前記不均質材料には、例えば材料特性の異なる複数のエラストマーが材料相として分散配置されている。さらに、不均質材料の空隙部に気体や液体が充たされた部分があり、この部分を前記材料相としてもよい。
【発明の効果】
【００１４】
本発明では、不均質材料の代表領域の隣接配置方向における離散化モデルの一方の境界線又は境界面を投影線又は投影面として、他方の境界線又は境界面に位置する離散点を投影したとき、各単位セルの投影線又は投影面上に投影される他方の境界線又は境界面に位置する離散点を境界離散点として検出し、さらに検出された境界離散点の挙動を、この離散点が投影された単位セルの投影線又は投影面を形成する離散点の挙動によって拘束することで、離散化モデルに付与する周期境界条件を設定する。このため自動メッシュ分割を有効に利用して、効率よく離散化モデルに周期境界条件を付与してシミュレーションモデルを作成することができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１５】
以下、本発明の不均質材料のシミュレーションモデル作成方法について、添付の図面に示される好適実施例を基に詳細に説明する。
【００１６】
図１は本発明の不均質材料のシミュレーションモデル作成方法を実施する処理装置１０の構成を機能的に示したブロック図である。
処理装置１０は、入力操作系１２、コンピュータ１４及びディスプレイ１６を有する。
入力操作系１２は、マウスやキーボードであり、各種情報をオペレータの指示により入力するデバイスである。
【００１７】
コンピュータ１４は、ＣＰＵ１８、メモリ２０を有し、この他に図示されないＲＯＭ等を有する。コンピュータ１４は、ＲＯＭ等に記憶されたコンピュータソフトウェアを実行することにより、有限要素モデル作成部２２、境界条件設定部２４及びシミュレーション演算部２６の各部分を機能的に形成し、本発明の不均質材料のシミュレーションモデル作成方法を実施する部分である。
ディスプレイ１６は、入力操作系１２を用いてオペレータが指示できるように入力画面を表示し、又後述する有限要素モデル及びシミュレーション演算結果を表示する部分である。
【００１８】
有限要素モデル作成部２２は、不均質材料の代表領域が図示されないデータ供給デバイスから入力されると、代表領域の各材料相の形状に沿って自動メッシュ分割を行って、各有限要素に材料定数が割り当てられた有限要素モデルを作成する部分である。代表領域は、互いに直交する３方向に連続的に隣接配置することによって不均質材料の塊を構成するように設定された領域であり、例えば直方体形状である。作成される有限要素モデルは、６面体形状及び４面体形状の有限要素モデルによって構成される。有限要素モデルを作成することにより有限要素モデルを表す全体行列が自動的に生成される。
本実施形態で作成される有限要素モデルは３次元モデルであるが、２次元モデルであってもよい。
【００１９】
境界条件設定部２４は、直方体形状の有限要素モデルの対向する面（境界面）が周期的境界条件で接続されて、上下、左右及び奥行きの方向に代表領域が連続して連なっているように、すなわち有限要素モデルにおける対向する一方の境界面を他方の境界面に拘束する周期境界条件を設定して、この有限要素モデルに周期境界条件を付与する部分である。
具体的には、後述するように拘束される境界面上に位置する節点の自由度を、他方の境界面上に位置する拘束する節点の自由度によって規制する。このときの拘束される節点の自由度は、拘束する各節点の自由度に所定の重み係数を乗算して加算した関係式によって表される。この関係式は、有限要素モデル作成部２２にて作成された全体行列に適用されて、全体行列から拘束される節点の自由度が消去されて周期境界条件が付与されたシミュレーション可能な縮小化行列が作成される。
上記関係式及び縮小化行列の作成については後述する。
【００２０】
シミュレーション演算部２６は、作成された縮小化行列を用いてシミュレーション演算を行う。例えば、縮小化行列は剛性行列であり、所定の節点に外力や強制変位を付与して応力・歪み解析を行って変形状態を再現し、又最大歪み分布を算出する。あるいは、縮小化行列は熱伝導行列であり、所定の節点に温度を付与して熱伝導を解析して温度分布や線膨脹係数を算出する。あるいは、外力として所定の物理量(変位、温度、濃度など)の勾配に相当する物体力分布を与え、さらに所定の応力分布を考慮した自己釣合い式を演算することで、弾性特性、熱伝導特性、熱弾性特性、粘弾性特性等を算出してもよい。
【００２１】
このような処理装置１０で実施される不均質材料のシミュレーションモデルの作成方法を具体的に説明する。
図２は不均質材料のシミュレーションモデルの作成方法の一例の流れを示すフローチャートである。図３は不均質材料の代表領域の一例の断面図である。この不均質材料は、第１のポリマー相Ａ（図３中白色領域）と、第２のポリマー相Ｂ（図３中黒領域）と、粒系フィラー相Ｃ（図３中の円形状の灰色領域）と、粒系フィラー相の周りを取り巻くフィラー・ポリマー境界相Ｄ（図３中の灰色領域）とが不均質に分散配置されている。すなわち、材料特性の異なる複数のエラストマーが材料相として分散配置され、さらに、粒状の補強材が材料相として分散配置されている。この不均質材料は、複数の材料相における弾性率のうち、最大の弾性率は最小の弾性率の１００倍以上である。不均質材料を構成する材料相は、エラストマーやフィラー等の固体相であるばかりでなく、気体や液体が満たされた空隙相であってもよい。
このような不均質材料について以下説明するようにシミュレーションモデルが作成される。
【００２２】
まず、有限要素モデルが、設定された不均質材料の代表領域に基づいて作成される（ステップＳ１０）。
代表領域は直方体形状であり、互いに対向する３対の境界面を有する。各対の境界面を、同一の代表領域の対応する境界面と隣接して無限に配置すると、代表領域が周期的に接続されたバルク状の不均質材料が構成されるように代表領域は設定されている。
このような代表領域には異なる材料相が分散配置されて構成され、材料相の形状に従って、公知の自動メッシュ分割アルゴリズムによりメッシュ分割されて有限要素モデルが作成される。有限要素モデルは、設定された代表領域について複数の節点によって形状が特徴付けられた複数の有限要素を配置して１つの代表領域を再現した離散化モデルである。
【００２３】
図４は、メッシュ分割された代表領域の一例の断面図である。図４には材料相３０、３２、３４の形状に沿って有限要素が形成されている。したがって、有限要素の形状は同一形状ではなく、異なる形状の有限要素が生成されている。一方、図４中の有限要素モデルには代表領域と同様にお互いに対向する境界面ＦA,ＦBと、境界面ＦC,ＦDとが示されている。このような境界面ＦA,ＦBと境界面ＦC,FDとに後述する周期境界条件を与えることによりあたかも、図５に示すように無限に代表領域が連なって不均材料が形成されているようにする。
【００２４】
次に、作成された有限要素モデルの境界面（図４では境界面ＦA,ＦBと境界面ＦC,ＦD）に付与する周期境界条件を設定するために、拘束される境界節点が検出される（ステップＳ２０）。
境界節点は、例えば図４では代表領域の隣接配置方向における境界面ＦAを投影面として、境界面ＦB上に位置する節点を投影したとき、境界面ＦA上の投影面(境界面ＦA)上に投影されて、境界面ＦB上に位置する拘束すべき節点をいう。
このような拘束すべき節点が検出される。
図６は、境界節点についてわかり易く説明した図である。
図６では、投影面となる境界面ＦAが境界線として表され、境界面ＦBが境界線として表され、拘束されるべき節点５０の境界面ＦAへの投影が示されている。その際、節点５０の投影面上の投影先が、境界面ＦA上のどの有限要素の境界面上に位置するか、検出し、そのときの境界面を形成する節点の位置情報が同時に求められる。
【００２５】
次に、検出された境界節点を用いて周期境界条件が設定される（ステップＳ３０）。
ここで、境界面ＦB上に位置する節点５０を境界面ＦAに投影したとき、図７に示すように節点５０が節点５１，５２，５４，５５によって形成される有限要素の境界面上に投影されたとする。この場合、ステップＳ２０において、節点５１，５２，５４，５５の位置情報が求められる。そして、この節点５１，５２，５４，５５の位置情報と、節点５０の投影先の位置情報とを用いて、以下に示す方法により重み係数が求められる。
節点５１，５２，５４，５５で形成される有限要素の面上の物理空間上の形状を、所定のパラメトリック空間上の単位セル形状、例えば矩形形状から形状関数を用いて形状変換を施したものとして定めることにより、境界節点の単位セル形状内における対応点の位置情報を求め、この位置情報および形状関数を用いて周期境界条件に用いる重み係数を求める。
【００２６】
図７は、本発明における周期境界条件の設定方法を説明する図であり、具体的には重み係数Ｗを算出する際に用いる変換Ｔを説明する。この変換Ｔは、上記節点５１，５２，５４，５５とこれらの節点間を結ぶ線分によって形成される物理空間上の四角形は、パラメトリック空間上の基準形状（単位セル形状）、例えば一辺の長さが２の正方形に変換されるものであり、節点５１，５２，５４，５５は正方形の各頂点（頂点６１，６２，６４，６５）に、四角形の各辺は正方形の各辺に、四角形の内部領域は正方形の内部領域に写像される。また、この逆変換Ｔ−１により上記正方形を節点５１，５２，５４，５５によって形成される四角形に変換し、正方形の内部領域は四角形の内部領域に、正方形の各頂点は四角形の各節点に、四角形の各辺は正方形の各辺に写像される。すなわち、変換Ｔは、物理空間における有限要素の面の４角形形をパラメトリック空間における正方形に一対一に写像する。
したがって、有限要素モデルの境界面に位置する有限要素毎にこの有限要素の面に投影される、あるいは有限要素の辺上に投影される節点に対して、変換Ｔによりパラメトリック空間の正方形上における対応点６０を求めることができる。
【００２７】
より具体的には、後述する形状関数Ｎ１（ｒ，ｓ），Ｎ２（ｒ，ｓ），Ｎ３（ｒ，ｓ），Ｎ４（ｒ，ｓ）を用いて、物理空間（Ｘ−Ｙ座標空間）における位置座標（ｘ，ｙ）を下記式（１）を用いて位置座標（ｒ、ｓ）と対応づけることができる。ここで、ｘ１，ｙ１，ｘ２，ｙ２，ｘ５，ｙ５，ｘ４，ｙ４は、それぞれ、節点５１，５２，５５，５４の位置座標である。
なお、上記パラメトリック空間上の基準形状として正方形を用いているが、３角形の形状であってもよく、本発明において基準形状は正方形に限定されない。また、本発明では、３次元形状で表されるモデルの境界面の形状を変換Ｔにて変換するものであるが、２次元形状で表されるモデルの場合前記境界面は境界線となり、この場合パラメトリック空間上の基準形状は線分となる。したがって、この場合、変換Ｔによりモデルの境界線はパラメトリック空間上の基準形状である線分へ変換される。
【００２８】
【数１】
2005352819.tif 000003
【００２９】
ここで、形状関数Ｎ１（ｒ，ｓ），Ｎ２（ｒ，ｓ），Ｎ３（ｒ，ｓ），Ｎ４（ｒ，ｓ）は、図８（ａ）〜（ｄ）に定義される関数である。ここで、式（１）中のマトリクスをＭとすると、このマトリクスＭの成分が上述した各節点における重み係数Ｗとなる。具体的には、節点５０の、節点５１に対する重み係数Ｗは、節点５０のパラメトリック空間座標における対応点６０の位置座標を（ｒ０，ｓ０）としてＮ１（ｒ０，ｓ０）となる。
このようにして、重み係数Ｗが算出される。
【００３０】
算出された重み係数Ｗは拘束される節点毎に定められてリスト化される。リスト化の際、拘束する境界面ＦAに位置する有限要素毎に上記重み係数Ｗを定めるため、境界面ＦAの有限要素の辺上に投影される境界節点については、異なる有限要素で重み係数Ｗが二重にリスト化される。このため、二重のリスト化を防止する点から境界節点が重複してリスト化される場合、境界節点の一方は削除される。
【００３１】
次に、拘束される節点に作用する物理量を、この節点が投影される境界面ＦAに位置する有限要素の節点の物理量と重み係数Ｗとを用いて表す拘束式が周期境界条件として設定される。この拘束式の例が下記式（２）に示されている。
節点５１，５２，５５，５４の所定の物理量、例えばＸ方向の変位をｕ（５１），ｕ（５２），ｕ（５５），ｕ（５４）とすると、節点５０におけるＸ方向の変位ｕ（５０）は下記式（２）のように定める。
【００３２】
【数２】
2005352819.tif 000004
【００３３】
上記実施形態では、境界面ＦB上に位置する節点５０を境界面ＦA上に投影し、この境界面ＦA上に位置する節点を用いて周期境界条件となる関係式を求めるが、境界面ＦB上に位置する拘束される境界節点について、さらには、境界面ＦC上に位置し、境界面ＦD上に位置する節点で拘束される節点についての関係式が求められる。定められた関係式はメモリに記憶保持される。
【００３４】
このように拘束される節点に作用する物理量を、この節点を拘束する節点の物理量で表すことで有限要素モデルに付与する周期境界条件が設定され、拘束される節点の挙動を規制することができる。なお、有限要素モデルの２方向の境界面の角部に位置する節点は異なる対向面の節点とともに物理量０に拘束される。このような角部に位置する節点の挙動が周期境界条件の下に滑らかに繋がるためには、この節点の物理量が０に拘束される必要があるからである。
こうして定められた関係式が周期境界条件として有限要素モデルへ付与される。(ステップＳ４０）。
例えば、ステップＳ１０において作成された有限要素モデルの全体行列から、上記関係式を用いて拘束される境界節点の自由度を消去した縮小化行列を作成する。この縮小化行列の作成は不均質材料の挙動を静的に再現するシミュレーション演算に好適であり、境界節点の自由度を消去して行列の自由度を少なくするので解析に要する演算時間を短縮することができる。例えば、下記式（３）のような有限要素の行列において、ｕ３＝ｕ２の関係式が定められた場合、下記式（４）のように、ｕ３のマトリクス成分を削除して、ｕ１，ｕ２，ｕ４のマトリクス成分で表す。
【００３５】
【数３】
2005352819.tif 000005
【００３６】
【数４】
2005352819.tif 000006
【００３７】
さらに、別の方法として、上記関係式から境界節点の自由度を消去する方法に替えて、有限要素モデルの全体行列中、拘束される境界節点と拘束する節点との対角成分に同じ値のぺナルティ数を加算し、交差成分に同じ値のペナルティ数を減算することで、修正した行列を作成する。
【００３８】
下記式（５）に示すように、マトリクス中のｕ２とｕ３に対応する対角成分ｋ２２，ｋ３３にペナルティ係数Ｋを加算し、マトリクス中のｕ２とｕ３の交差成分ｋ２３，ｋ３２から同じ値のペナルティ係数Ｋを減算する。ここで、ペナルティ係数Ｋは例えば、マトリクス中のｕ２とｕ３の対角成分ｋ２２，ｋ３３の大きい方に１０１０倍した、極めて大きな値である。
【００３９】
【数５】
2005352819.tif 000007
【００４０】
こうして、上記関係式が有限要素モデルの全体行列に付与されて、シミュレーション可能な縮小化行列が作成される。
次に、この縮小化行列を用いてシミュレーション演算が成される（ステップＳ５０）。
図９（ａ），（ｂ）は、縮小化剛性行列を作成してシミュレーション演算を行った結果を示す図である。図９（ａ）は、所定の外力が付与されたときの有限要素モデルの変形状態を示した変形図であり、図９（ｂ）はその時の最大主歪み分布である。
図９（ａ）中の白色、灰色、黒色の領域は、それぞれ図３における第２のポリマー相Ｂ、第１のポリマー相Ａ及びフイラー・ポリマー境界相Ｄ、粒系フィラー相Ｃを示している。有限要素モデルの境界面は外力により変形している。
【００４１】
なお、上記境界条件を有限要素モデルへ付与する方法は、有限要素モデルを再現する全体モデルに対して関係式を与えて全体行列から拘束される節点の自由度を消去し、又はペナルティ数を与えて行列の演算処理を行うものであり、これらの周期境界条件の付与方法は静的解析に好適である。
【００４２】
一方、シミュレーション演算は、時間の経過に無関係に挙動を解析する静的解析の他、時間の経過により挙動が変化する動的解析を行ってもよい。動的解析を行なう場合、以下に示すような周期境界条件の付与方法を用いることもできる。すなわち、所定の時間ステップ毎に以下の計算を行なう陽解法を用いて周期境界条件を付与することもできる。
例えば、力学挙動を再現するシミュレーション演算において、有限要素モデルの境界面上に位置する節点のうち、拘束される境界節点に作用する力とこの境界節点の質量を、拘束する節点に、重み係数Ｗに応じた分配を行なって、拘束する節点の質量および作用する力を修正する。この場合、拘束される境界節点すべてに対して上記分配を行なった後、拘束される境界節点を除いた有限要素モデルの節点の加速度を計算する。この後、拘束する節点の加速度は、重み係数Ｗを用いて拘束される境界節点に振り分けられる。こうして、拘束される境界節点の加速度を求めることができる。求められた境界節点における加速度とこの境界節点における質量とを用いてこの境界節点に加わる力を求める。こうして、次の時間ステップにおいて作用する力を求める。勿論外力として次の時間ステップにおいて境界節点に力が付加された場合、この力も加算される。このような陽解法は、不均質材料の動解析のシミュレーション演算に好適である。
以上が、不均質材料のシミュレーションモデルの作成方法の説明である。
【００４３】
なお、上記実施形態では不均質材料の代表領域を３次元領域として、直方体形状（立方体形状を含む）の有限要素を用いて単位セルを構成した３次元有限要素モデルを作成するが、この単位セルは直方体形状に限定されず、４面体形状、６面体形状等、複数の同一形状の単位セルを、単位セルの境界部分を互いに接合させて少なくとも二方向に沿って連続的に複数個配置することによって不均質材料の代表領域の空間を隙間無く占める形状であればどのようなものであってもよい。また、不均質材料の代表領域を２次元平面領域として有限要素を矩形形状とするものであってもよく、正３角形、正６角形等の２次元形状で構成された２次元の有限要素モデルを作成してもよい。この場合、ジグソーパズルの１ピースの形状のように、単位セルを互いに接合させて少なくとも二方向に沿って連続的に複数個配置することによって不均質材料の代表領域の領域を隙間無く占める形状であればよい。
【００４４】
さらに、本発明における単位セルは有限要素に限らない。例えばメッシュフリー法で規定されるサポートの範囲を単位セルとして、離散化モデルをメッシュフリー法により作成されるモデルとしてもよい。
メッシュフリー法とは、図１０に示すように、複数の要素点（離散点）が連続して配置される状態において、注目する要素点５０ａ（図１０中、黒丸）を中心として距離ρ0 内の範囲をサポートとし、この範囲において図１０に示すようなスプライン関数、例えば４次のスプライン関数で重み関数ｗ（ｘ，ｙ）が設定されている。すなわち、各要素点において距離ρ0内の範囲をサポートとして単位セルが設定されている。
【００４５】
この重み関数ｗ（ｘ，ｙ）を用いて、注目する要素点を中心としたサポート内の各要素点の位置座標（ｘi ，ｙi ）（ｉは１〜ｎの整数；ｎはサポート内の要素点の総数）から重み係数を求め、各要素点の位置座標と重み係数とから、物理量を表す内挿関数Ｎ（ｘ，ｙ）を下記式（６）によって設定する。さらに、下記式（７）に従ってサポート内の要素点における物理量の値φi（ｉ＝１〜ｎの整数）から物理量の近似関数φh （ｘ，ｙ）を定める。この設定方法は、サポート内において、物理量の値φiに対する誤差が最小化するように近似関数φh （ｘ，ｙ）を定めるものであり、つまり、移動最小二乗法による近似手法によって求められるものである。詳細は、「計算力学ハンドブック  第１巻  有限要素法（構造編集）」（日本機械学会、１９９８年、第３７７〜３７９頁）に記載されている。
【００４６】
【数６】
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【００４７】
【数７】
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【００４８】
この内挿関数を用いて変形する不均質材料の１つの材料相の応力場における物理量の近似関数を表し、この物理量の近似関数を、ガラーキン法により定式化されている、有限要素法で用いられる応力場の支配方程式に代入することで、有限要素法における各有限要素における行列（例えば剛性行列）に対応した行列を作成することができる。このように、上記式（５）で作成される内挿関数は、サポート内の要素点の位置情報と重み関数ｗ（ｘ，ｙ）で定まる重み係数によって定まるので、変形を受けて変位した要素点に応じて内挿関数が変化することを特徴とする。この点、モデルを設定した時点で、物理量を表す内挿関数が有限要素の形状に応じて一意的に定まり固定される有限要素モデルとは異なる。
【００４９】
このように、メッシュフリー法により作成されるモデルでは、内挿関数はサポート内の要素点の位置情報と重み関数ｗ（ｘ，ｙ）で定まる重み係数によって定まるので、変形を受けて変位した要素点に応じて内挿関数が変化するため、大変形の計算において発散しにくいといった特徴を有する。このことから、メッシュフリー法により離散化される部分は、複数の材料相のうち剛性が最も低い材料相の配置部分を少なくとも含むようにし、残りの部分は、有限要素で構成するモデルであってもよい。これにより、剛性が１００倍以上異なるエラストマーとカーボンブラック等の粒状の補強材からなる不均質材料であっても、剛性の弱い材料相の局部的な大変形に対して計算が発散することなくシミュレーション演算を行うことができる。
【００５０】
以上、本発明の不均質材料のシミュレーションモデル作成方法について詳細に説明したが、本発明は上記実施形態に限定されず、本発明の主旨を逸脱しない範囲において、種々の改良や変更をしてもよいのはもちろんである。
【図面の簡単な説明】
【００５１】
【図１】本発明の不均質材料のシミュレーションモデル作成方法を実施する処理装置１０の構成を機能的に示したブロック図である。
【図２】本発明の不均質材料のシミュレーションモデル作成方法の一例の流れを示すフローチャートである。
【図３】不均質材料の代表領域の一例の断面図である。
【図４】本発明の不均質材料のシミュレーションモデル作成方法において生成される有限要素モデルの一例を示す図である。
【図５】有限要素モデルに周期境界条件を説明する図である。
【図６】本発明における周期境界条件の設定方法を説明する図である。
【図７】本発明における周期境界条件の設定方法を説明する図である。
【図８】（ａ）〜（ｄ）は、本発明において用いられる形状関数の例を説明する図である。
【図９】（ａ），（ｂ）は、シミュレーション演算を行った結果の例を示す図である。
【図１０】本発明の不均質材料のシミュレーションモデル作成方法において用いられるメッシュフリー法を説明する図である。
【符号の説明】
【００５２】
１０  処理装置
１２  入力操作系
１４  コンピュータ
１６  ディスプレイ
１８  ＣＰＵ
２０  メモリ
２２  有限要素モデル作成部
２４  境界条件設定部
２６  シミュレーション演算部
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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