(57)【要約】【課題】秘密の量子情報を共有することを可能とするとともに、その量子情報の配信の間に量子回線で受けたエラーを検出訂正することを可能とする。【解決手段】量子二状態系であるqubitを使った任意の量子情報を、情報源において、量子エラー訂正コードでブロック符号化し、１ブロックを構成する複数のブロックqubitを量子通信回線で複数人に配り、情報源において、エラー訂正の際に使用するもつれ合った複数の補助qubit系を構成し、これらを各人に前記量子通信回線で配り、量子エラー訂正コードのエラー検出演算子として各qubitに作用する２×２Pauli行列のテンソル積を用いて、前記情報源から各人にqubitを配送する間の量子通信回線でのデコヒーレンスによる前記ブロックqubit及び補助qubitのエラーを検出、訂正する。【選択図】  図１
2005269105.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
量子二状態系であるqubitを使った任意の量子情報を、情報源において、量子エラー訂正コードでブロック符号化し、１ブロックを構成する複数のブロックqubitを量子通信回線で複数人に配り、
前記情報源において、エラー訂正の際に使用するもつれ合った複数の補助qubit系を構成し、これらを各人に前記量子通信回線で配り、
前記量子エラー訂正コードのエラー検出演算子として各qubitに作用する２×２Pauli行列のテンソル積を用いて、前記情報源から各人にqubitを配送する間の量子通信回線でのデコヒーレンスによる前記ブロックqubit及び補助qubitのエラーを検出、訂正することを特徴とする量子エラー訂正方法。
【請求項２】
前記複数の補助qubitは、前記情報源においてbit列のHamming重みが偶である全ての基底を等しい係数で重ね合わせた状態を構成して得られたqubitであり、
前記複数人の間で古典通信回線を使って連絡し合いながら、各人が手元に持つブロックqubitに任意のユニタリー変換を作用させることで、エラー検出、訂正をフォールト・トレラントに行うことを特徴とする請求項１に記載の量子エラー訂正方法。
【請求項３】
前記量子エラー訂正コードを用いたブロック符号化は、
2005269105.tif 000114
で表される1-qubitから4-qubitへのブロック符号化であり、
該量子エラー訂正コードを用いて任意の量子情報をブロック符号化し、各qubitを４人に配布することを特徴とする請求項２に記載の量子エラー訂正方法。
【請求項４】
ブロックqubit及び補助qubitのエラーの前記検出、訂正は、量子通信回線でブロック中の一個のqubitが位相エラーを受けた際にはこれを訂正し、また、補助qubit中の一個のqubitが位相エラーを受けた際にはこれを検出することを特徴とする請求項３に記載の量子エラー訂正方法。
【請求項５】
前記量子エラー訂正コードを用いたブロック符号化は、1-qubitから6-qubitへのブロック符号化である、
2005269105.tif 000115
の二種類のコードを、等しい古典統計的な確率で発生させた混合状態で用いたブロック符号化であり、
該量子エラー訂正コードを用いて任意の量子情報を符号化し、各qubitを６人に配布することを特徴とする請求項２に記載の量子エラー訂正方法。
【請求項６】
任意の量子情報を前記量子エラー訂正コードでブロック符号化し、量子通信回線でブロックqubit、および、補助qubit中の一個のqubitがエラーを受けた際、これを検出することを特徴とする請求項５に記載の量子エラー訂正方法。
【請求項７】
使用する量子二状態系(qubit)として、電子、核子等のスピン、特に、固体中の電子、核子のスピン、高分子化合物中の核子のスピン、また、イオンの基底状態と励起状態を利用することを特徴とする請求項２乃至６のいずれかに記載の量子エラー訂正方法。
【請求項８】
量子二状態系であるqubitを使った任意の量子情報を、情報源において、量子エラー訂正コードでブロック符号化し、１ブロックを構成する複数のブロックqubitを量子通信回線で複数人に配る第１配信手段と、
前記情報源において、エラー訂正の際に使用するもつれ合った複数の補助qubit系を構成し、これらを前記複数人の各人に前記量子通信回線で配る第２配信手段と、
前記量子エラー訂正コードのエラー検出演算子として各qubitに作用する２×２Pauli行列のテンソル積を用いて、前記情報源から各人にqubitを配送する間の量子通信回線でのデコヒーレンスによる前記ブロックqubit及び補助qubitのエラーを検出、訂正する検出／訂正手段とを備えることを特徴とする量子エラー訂正装置。
【請求項９】
前記複数の補助qubitは、前記情報源においてbit列のHamming重みが偶である全ての基底を等しい係数で重ね合わせた状態を構成して得られたqubitであり、
前記検出／訂正手段は、前記複数人の間で古典通信回線を使って連絡し合いながら、各人が手元に持つブロックqubitに任意のユニタリー変換を作用させることで、エラー検出、訂正をフォールト・トレラントに行うことを特徴とする請求項８に記載の量子エラー訂正装置。
【請求項１０】
前記第１配信手段における前記量子エラー訂正コードを用いたブロック符号化は、
2005269105.tif 000116
で表される1-qubitから4-qubitへのブロック符号化であり、
該量子エラー訂正コードを用いて任意の量子情報をブロック符号化し、各qubitを４人に配布することを特徴とする請求項９に記載の量子エラー訂正装置。
【請求項１１】
前記検出／訂正手段は、量子通信回線でブロックqubit中の一個のqubitが位相エラーを受けた際、これを訂正し、また、補助qubit中の一個のqubitが位相エラーを受けた際、これを検出することを特徴とする請求項１０に記載の量子エラー訂正装置。
【請求項１２】
前記第１杯新手段における前記量子エラー訂正コードを用いたブロック符号化は、1-qubitから6-qubitへのブロック符号化である、
2005269105.tif 000117
の二種類のコードを、等しい古典統計的な確率で発生させた混合状態で用いたブロック符号化であり、
該量子エラー訂正コードを用いて任意の量子情報を符号化し、各qubitを６人に配布することを特徴とする請求項９に記載の量子エラー訂正装置。
【請求項１３】
前記検出／訂正手段は、量子通信回線でブロックqubit、および、補助qubit中の一個のqubitがエラーを受けた際、これを検出することを特徴とする請求項１２に記載の量子エラー訂正装置。
【請求項１４】
使用する量子二状態系(qubit)として、電子、核子等のスピン、特に、固体中の電子、核子のスピン、高分子化合物中の核子のスピン、また、イオンの基底状態と励起状態を利用することを特徴とする請求項９乃至１３のいずれかに記載の量子エラー訂正装置。
【請求項１５】
量子二状態系であるqubitを使った任意の量子情報を、情報源において、量子エラー訂正コードでブロック符号化し、１ブロックを構成する複数のブロックqubitを量子通信回線で複数人に配り、
前記情報源において、エラー訂正の際に使用するもつれ合った複数の補助qubit系を構成し、これらを各人に前記量子通信回線で配ることによって任意の量子情報を複数人で共有し、
前記ブロックqubit及び補助qubitは、前記量子エラー訂正コードのエラー検出演算子として各qubitに作用する２×２Pauli行列のテンソル積を用いることにより、前記情報源から各人にqubitを配送する間の量子通信回線でのデコヒーレンスによるエラーを検出、訂正可能であることを特徴とする量子情報共有方法。
【請求項１６】
量子二状態系であるqubitを使った任意の量子情報を、情報源において、量子エラー訂正コードでブロック符号化し、１ブロックを構成する複数のブロックqubitを量子通信回線で複数人に配る第１配信手段と、
前記情報源において、エラー訂正の際に使用するもつれ合った複数の補助qubit系を構成し、これらを前記複数人の各人に前記量子通信回線で配る第２配信手段とを備え、
前記ブロックqubit及び補助qubitは、前記量子エラー訂正コードのエラー検出演算子として各qubitに作用する２×２Pauli行列のテンソル積を用いることにより、前記情報源から各人にqubitを配送する間の量子通信回線でのデコヒーレンスによるエラーを検出、訂正可能であることを特徴とする量子情報共有装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、量子エラー訂正方法と訂正装置、および、量子情報を複数人の間で秘密に共有するための情報処理方法と装置に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
量子エラー訂正に関する技術、および、量子情報を秘密に共有する技術が研究されている。そこで、まずこれらの分野での従来の技術を説明する。また、量子二状態系(qubit)が位相緩和を受けるモデルを説明する。
【０００３】
［量子エラー訂正法］
量子計算機の実現に向けて克服すべき問題の一つに、量子データに発生するエラーをどう処理するかがある。量子力学的な情報(状態)は、通常、古典的な情報よりも、はるかに壊れやすいと考えられている。また、任意の量子状態の完全な複製を作ることは、原理的に不可能であることが示されており、ある量子情報の複製をいくつも作っておいて、エラーによる損傷に備えることは出来ない(非特許文献１)。
【０００４】
そこで、量子計算機のエラーを除去する方法として、量子エラー訂正コード(非特許文献２)とフォールト・トレラント計算法(非特許文献３)の二つが提案されている。ここでは、まず量子エラー、および、上の二つのエラー除去法の特徴について述べ、次に量子エラー訂正符号の具体例として、Shorの9-qubitコード、DiVincenzo,Shorの5-qubitコード(非特許文献４)を紹介する。また、フォールト・トレラントなエラー訂正操作を5-qubitコードを使って説明する。
【０００５】
［量子データのエラー］
量子計算機内部のデータのエラーの原因として、次の二つが考えられている(非特許文献３)。
・デコヒーレンス
量子計算は、外部環境との相互作用によって影響を受けやすく、わずかな計算機内部の予想しない状態の乱れも、計算結果を大きく左右してしまうと考えられる。このような現象はデコヒーレンスと呼ばれる。デコヒーレンスを防ぐには、計算機内部の系を外部の環境から隔離することが最も効果的であるが、これには技術的な限界がある。
・量子ゲートの実行精度
量子計算を実行する際の量子ゲートは、物理的な素子である以上、実行精度に限界がある。この誤差が積もり積もって計算結果を大きく左右してしまう。
【０００６】
ここで、量子状態にエラーが作用する様子を具体的に見ることにする。一個のqubit|ψ〉Qに外部環境系|ｅ〉Eが相互作用して、任意のユニタリー発展ＵQEが生じたとする。
2005269105.tif 000003
このような変換は、一般性を失うことなく次のように書き直せる(非特許文献２)。
2005269105.tif 000004
ただし、環境系Ｅの状態を表す|ａ0〉E、|ａ1〉E、|ａ2〉E、|ａ3〉Eは、一般に規格化されておらず、互いに直交し合うとも限らない。|0〉Q、|1〉Qはqubit系Ｑの正規直交基底で、qubitの任意の状態は|ψ〉Q＝ｃ0|0〉Q＋ｃ1|1〉Qで表される。今後、混乱が生じない場合、添え字Ｅ，Ｑを省略することがある。結合系ＱＥの相互作用は、初期状態が系Ｑと系Ｅの状態の直積(productstate)であっても、ユニタリー発展後は一般に、系Ｑ，Ｅの直積では書き表せない、もつれ合った状態(entangled state)にしてしまう。
【０００７】
qubitと環境系Ｅのユニタリー発展は、次のように書き下せる。
2005269105.tif 000005
ただし、｛σx, σy,σz｝は、qubit系Ｑに作用するPauli行列で、
2005269105.tif 000006
という基底に対して、
2005269105.tif 000007
と表現されるとする。これを見ると、1-qubitの任意のデコヒーレンスは、｛Ｉ,σx, σy, σz｝の項に分解できることが分かる。三つのPauli行列は、それぞれ、σxがビット反転エラー(|0〉←→|1〉)、σzが位相反転エラー(|0〉→−|0〉，|1〉→−|1〉)、σy＝iσxσzがビット、位相エラーの混合を表している。実はこのように任意のデコヒーレンスがPauli行列に分解できる性質は、1-qubitだけでなく複数のqubitについても成立する(非特許文献５)。このことを以下で見てみる。
【０００８】
複数のqubitが環境系と相互作用して、qubit間に相関のあるエラーを受ける状況を考える。|ψ〉Qをｎ-qubit系Ｑの任意の状態、|ｅ〉Eを環境系Ｅの初期状態、ＵQEを結合系ＱＥに作用する任意のユニタリー変換とする。ＵQEの作用する様子は、
2005269105.tif 000008
ただし、
2005269105.tif 000009
と表される。｛|μ〉E｝は系Ｅの正規完全直交基底で、Σ|μ〉EE〈μ|＝ＩEとする。このとき、
2005269105.tif 000010
が成立する。例えば、(2)の場合、
2005269105.tif 000011
となる。(2)，(3)は、しばしばKraus表現と呼ばれる(非特許文献６)。
【０００９】
ＡμQは(3)をみたす任意の２n×２n複素行列で、系Ｑに作用する。一般に、任意の２n×２n複素行列は、ｎ個のqubitに作用するPauli行列のテンソル積、
2005269105.tif 000012
の複素数を係数とする和で書き表される。よって、
2005269105.tif 000013
として、
2005269105.tif 000014
ただし、
2005269105.tif 000015
と表される。従って、n-qubitが環境系から任意の相互作用を受ける場合、エラーは各qubitにσx(ビット反転エラー)、σz(位相反転エラー)、σy＝iσxσz(ビット、位相エラーの混合)の三種類のどれかの演算子が作用されたものと考えてよい。
【００１０】
［量子エラーの除去］
量子エラーを適切な符号化によって訂正する量子エラー訂正コードが、これまでに数多く提案されている(非特許文献２)。また、量子エラー訂正コードにさらに工夫を加えたフォールト・トレラント計算法も提案されている(非特許文献３)。そこで、この二つの方法の特徴について説明する。
【００１１】
量子エラー訂正コードは、量子データの保存、伝送等の静的な場面でのエラーを軽減、除去することを目的としている。k個のqubitの情報をn(＞k)個のqubitでブロック符号化し、１ブロック中のt個までのqubitで生じたエラーを修正できるようにする。Shorが最初に9-qubitコード(n=9,k=1,t=1)を発表し、量子エラー訂正の原理的な部分を提案して以来、様々なコードが発表されている。
【００１２】
これまでに、提案されてきた多くの量子エラー訂正コードは、基本的に次の方法に依っている。符号化されたn個のqubitは環境系と結合して任意のユニタリー変換を受け、もつれ合った状態となる。そこで、n個のqubitに対して適当な部分的な観測を行って、状態の収縮を起こさせる。この部分的な観測は、例えば、n-qubitのパリティ情報をブロックの9-qubitとは別に用意した補助qubitに書き込み観測することに対応する。観測結果は収縮した後の状態の受けたエラーを表しており、これに応じてエラー訂正に相当するユニタリー変換をn個のqubitに施すのである。このように、Shorの提案した量子エラー訂正コードでは、量子計算機内部の状態に対して、
一部のqubitの観測  →  残りのqubitの状態の収縮
という強い観測の過程が、デコヒーレンス時間内に何度でも行えるものと仮定している。
【００１３】
すでに説明したように、複数のqubitが環境と結合してユニタリー発展した場合、各qubitは、Pauli行列で表されるエラーを受ける。量子エラー訂正コードは、n-qubitの張るベクトル空間を、符号語の状態とPauli行列によって作られるエラーを受けた符号語の状態が互いに直交し合うように、部分空間に分割する問題として定式化される。
【００１４】
このような数学の問題として定式化されて以降、多くの量子エラー訂正コードが考案された。特に、Calderbank，Shor，Steaneの7-qubitコード(n=7，k=1，t=1)は、古典的なエラー訂正コードから量子エラー訂正コードを構成する、より一般的な方法に拡張が可能で、必要に応じて様々な量子コードが設計できる(非特許文献７)。また、DiVincenzo，Shorの5-qubitコード(n=5，k=1，t=1)は、1-qubitの情報を符号化し1-qubitのエラーを除去できるコードとしては、１ブロックを構成するqubitの個数が最小のコードとなっている(非特許文献４)。
【００１５】
フォールト・トレラント計算法は、量子データをゲートによって演算操作するような、動的な場面でのエラーを除去、軽減することを目的としている。もっと正確に述べると、量子エラー訂正コードについて、
１．エラー訂正操作中に発生したエラーをどう処理するか、
２．符号化されたn-qubitのブロックを、いちいち復号することなしにゲート操作するにはどうするか、
という二つの問題を解決することを目的としている。
【００１６】
まず一番目の問題について説明する。量子エラー訂正コードでは、通常、エラー除去のため補助qubitにパリティ情報を書き込み、これを観測する。補助qubitにエラーか発生すると、パリティの検出結果が誤りになるだけでなく、n-qubitの符号語ブロック本体にもエラーが反作用として伝わってしまう。フォールト・トレラント計算では、このエラーによる反作用の拡大を極力抑え、ブロック本体でのエラーが、除去可能なエラー数を超えないように工夫する。
【００１７】
二番目の問題は、次のような意味である。本来、量子計算アルゴリズムは、エラー訂正コードに符号化する前のqubitに対するゲート演算操作の組み合わせで表現されている。従って、qubitをブロックに符号化した場合、ブロックにゲート演算を行わなくてはならない。この際、ブロック内の複数のqubitにまたがるゲート操作を行うと、エラーが拡大してしまう可能性がある。ブロック内のエラーが除去可能な範囲内に抑えられるように、ゲート操作をデザインしなくてはならない。
【００１８】
一番目の問題については、後で5-qubitコードを例に説明する。二番目の問題の解決方法については、非常に煩雑なため省略する。Shorは、Calderbank，Shor，Steaneの7-qubitコードを使って上手くフォールト・トレラント計算を行った場合、１量子ゲートあたりのエラー率をΟ(１／log4s)に抑えられれば、ｓステップの量子ゲート操作を正しく実行できることを示した。
【００１９】
［Shorの9-qubitエラー訂正コード］
最初に発表された量子エラー訂正コードで、1-qubitの任意の状態を9-qubitのブロックに符号化し、1-qubitのエラー(デコヒーレンス)を訂正することが可能である(非特許文献２)。
【００２０】
まず、次の仮定を置く。９個の各qubitは、それぞれ独立に異なる環境系と相互作用するとする。これは、物理でしばしば行う独立粒子近似である。また、前にも説明したように、９個のqubitの情報を補助qubitに書き込み、この補助qubitを観測して9-qubitの状態を収縮させるという強い観測の過程が、デコヒーレンス時間内に何度でも繰り返せるものとする。
【００２１】
符号化は、次のように行う。1-qubitの任意の状態|ψ〉＝ｃ0|0〉＋ｃ1|1〉を、
2005269105.tif 000016
とブロック化する。
【００２２】
ここで、図１０に示されるように、一番目のqubit|ψ〉Qにエラーが発生したとする。他のqubitにエラーが発生した場合についても、以下と同様な議論が出来る。図１０は、例えば、リニア・トラップされた９個のイオンの一番目|ψ〉Qに外部から光子|ｅ〉Eが相互作用して、任意のユニタリー発展が生じた状況を示している。このときの1-qubitのデコヒーレンスの様子は(1)で表される。
【００２３】
9-qubit全体でのデコヒーレンスの様子を見ることにする。式変形の見通しを良くするために、次の８個の状態を定義する。
2005269105.tif 000017
ただし、次の関係が成立することに注意する。
2005269105.tif 000018
そこで、9-qubit全体でのデコヒーレンスは、
2005269105.tif 000019
のように与えられる。
【００２４】
このことから、環境系Ｅを(|ａ0〉±|ａ3〉)、(|ａ1〉±|ａ2〉)のどれかに上手く収縮させられれば、σx，σz，σzσxを１番目のqubitに作用させることで、状態を｛|φ0〉，|φ1〉｝に修復可能であることが分かる。しかし、ブロックを構成する9-qubitを直接観測するとブロックの状態が壊れてしまう。そこで、符号化に使った９個のqubitとは別に補助qubitを用意して、これにエラーに関する情報を書き込んで観測することにより、状態を収縮させることにする。補助qubitに書きこまれる情報は、エラーの発生の仕方に関するものであって、符号化された情報とは一切無関係でなくてはならない。これにより、補助qubitの観測で符号化された情報が破壊されることはない。
【００２５】
エラーを検出するために図１１に示される８個のオペレーターを用意する(非特許文献８)。空白は恒等演算子を表しており、例えば、
2005269105.tif 000020
で与えられる。オペレーターの働きを見るために、3-qubitを一組として次の計算をしてみる。
2005269105.tif 000021
これは、
2005269105.tif 000022
が|Φ±〉に対して、固有値が１であることを示している。図１２に、これらの結果をまとめておく。これより、Ｍ1，…，Ｍ6が、各3-qubitの組が|Φ±〉、|Ψ(1,±)〉、|Ψ(2,±)〉、|Ψ(3,±)〉のどれであるかを識別し、Ｍ7，Ｍ8が、±の逆転している3-qubitの組を識別することが分かる。
【００２６】
(6)のデコヒーレンスした9-qubitにＭ1，…，Ｍ8を作用させることを考える。例えば、第二項にＭ7を作用させると、
2005269105.tif 000023
で、固有値Ｍ7＝−１が飛び出す。9-qubitの状態にＭ1，…，Ｍ8を作用させたときの固有値を、次の様に補助qubitに書き込む。
2005269105.tif 000024
ただし、ここでは、演算子Ｍiの固有値もＭiと書いている。次に、(Ｍ1，…，Ｍ8)の固有値を観測する。もし(Ｍ1，…，Ｍ8)＝(0，0，0，0，0，0，1，1)が観測されたなら、(6)の状態は第二項に収縮する。観測結果により、ブロック中の１番目のqubitにσzエラーが作用していることが分かる。そこで、１番目のqubitにσzを作用させてエラー訂正する。
【００２７】
Ｍ1，…，Ｍ8はエルミート演算子であり、異なる固有値の組を持つ固有ベクトルは互いに直交し合う。そのため、固有値の組でエラーの作用した符号化規定を完全に識別できる。ところで、(5)をよく見ると、
2005269105.tif 000025
より、ブロック中の１番目のqubitにσzエラーが生じた状態と、２番目のqubitにσzエラーが生じた状態は、同じで見分けが付かないことに気づく。しかし、エラー訂正は可能である。つまり、このコードはσzのエラー状態が縮退しているのである。このようなコードを特に、縮退コードと呼ぶことがある。
【００２８】
エラー訂正のための具体的なゲート・ネットワークを考える。例えば、9-qubitのブロックにＭ1を作用させたときの固有値は、
2005269105.tif 000026
より、１番目、２番目のqubitのビット値をmod 2で足し合わせたもの(パリティ)と考えて良い。そこで、図１４のようにゲート・ネットワークを組めば、補助qubitにＭ1の固有値を書き込むことが出来る。ただし、図１４で使われているゲートは、controlled-NOT(C-NOT)と呼ばれるもので(図１３)、制御qubitが|1〉のときに限り標的qubitを|0〉←→|1〉反転させる。C-NOTゲートは2-qubit間にもつれ合いを生じさせる基本的なゲートの一つである。
【００２９】
Ｍ7の固有値は次のようにすると良い。1-qubitに対するHadamard変換、
2005269105.tif 000027
を定義すると、
2005269105.tif 000028
という関係が得られる。9-qubitの任意の状態を|ψ〉として、
2005269105.tif 000029
となるので、ブロック中の先頭の６個のqubitについて、それぞれHadamard変換してからパリティ検査すると良い。ゲート・ネットワークは図１５で与えられる。
【００３０】
9-qubit符号化の物理的意味をもう一度考えてみる。最初に述べたように、簡単化のため、各qubitは独立に異なる環境系と相互作用していると考える。一個のqubitと、それに対応する環境とのユニタリー発展を、(1)を参考にして、
2005269105.tif 000030
と書き下す。|Ψgood〉はエラーの生じていない項、|Ψbad〉はエラーの生じた項を表す。ここで、物理的な根拠はないが、|Ｒ0〉Eが、|Ｒ1〉E，|Ｒ2〉E，|Ｒ3〉Eと直交すると仮定する。これにより、1-qubitのデコヒーレンスの確率が評価しやすくなる。まず、〈Ψgood|Ψbad〉＝０が成立する。さらに、〈Ｒ0|Ｒ0〉＝1-pとして、〈Ψgood|Ψgood〉＝1-p、〈Ψbad|Ψbad〉＝pが得られる。これは、各qubitのデコヒーレンスする確率を、古典的な意味で0≦p≦1と考えて良いということである。
【００３１】
次に、ブロック全体でのデコヒーレンスの様子を考える(図１６)。α番目のqubitの状態を|ψα〉、それに対応する環境系の初期状態を|ｅα〉とすると、
2005269105.tif 000031
と書ける。ただし、wt(i)は、i=(i1,…,i9)で“0”でない成分の個数(x，y，zのどれかを値として持つ成分の数)としている。また、(7)の三行目の最初の和を取っている部分を|correctable〉、二つ目の和を取っている部分を|uncorrectable〉としている。|uncorrectable〉がエラー訂正不可能な部分であり、この確率振幅が十分に小さいとき、エラー訂正は有効に働くと言える。前の1-qubitあたりのデコヒーレンス確率pを使うと、エラー訂正不可能な確率は、36p2＋Ο(p3)となる。符号化したほうが、しない場合よりも有利になるためには、36p2＜pが成立しなくてはならない。従って、p＜(1/36)のとき、この9-qubit符号化は意味を持つ。
【００３２】
［DiVincenzo-Shorの5-qubitコード］
このコードは、1-qubitの情報を符号化し、1-qubitの任意のエラーを除去してくれるエラー訂正コードの中で、ブロックを構成するqubit数が最小(5-qubit)と考えられている(非特許文献４)。
【００３３】
1-qubitの任意の状態|ξ〉＝α|0〉＋β|1〉を、次の様に5-qubitで符号化する。
2005269105.tif 000032
ただし、
2005269105.tif 000033
このような符号化をＳ表現と呼ぶことにする。上の式では規格化定数が省かれており、〈ｃi|ｃj〉＝δijが成立するとする。|ｃ1〉は、|ｃ0〉の各qubitにσxを作用させて、bit値を反転させたものであることに注意する。
【００３４】
この符号化が、1-qubitの任意のエラーを除去してくれることを確かめたい。i番目のqubit(i=0,1,2,3,4)に対するエラーを、Ｘi＝σx，Ｙi＝σy，Ｚi＝σzと書くことにする。考慮するエラーは次の１６通りとなる。
2005269105.tif 000034
このコードでは、符号語|ｃ0〉±|ｃ1〉と、符号語に上のエラーが作用した状態の合わせて３２個の状態が全て互いに直交し合っており、４個のパリティ検査演算子でエラーが完全に識別できる。このことを以下に順を追って説明する。
【００３５】
まず、Ｓ表現の符号語(|ｃ0〉±|ｃ1〉)は、5-qubitの円循環の置換に対して不変である。次に、Ｓ表現の０，１番目のqubitにHadamard変換Ｈを作用させる。
2005269105.tif 000035
上の、|ｃ'0〉、|ｃ'1〉を見ると、どちらも０，１，２，４番目のqubitのパリティが偶であることに気づく。そこで、
2005269105.tif 000036
という符号化を、Ｌ3表現と呼ぶことにする。０，１，２，４番目のqubitのパリティを検出する演算子として、
2005269105.tif 000037
を考えると、|ｃ'0〉、|ｃ'1〉はＭ3を作用させても不変である。
【００３６】
以下、同様にして、Ｌ4表現を、
2005269105.tif 000038
Ｌ0表現を
2005269105.tif 000039
Ｌ1表現を
2005269105.tif 000040
と定める。
【００３７】
Ｍ3，Ｍ4，Ｍ0，Ｍ1は、Ｓ表現の基底で考えると、
2005269105.tif 000041
となる。｛Ｋ3，Ｋ4，Ｋ0，Ｋ1｝は円循環の関係になっており、Ｓ表現の基底の線形結合|ψ〉＝α(|ｃ0〉＋|ｃ1〉)＋β(|ｃ0〉−|ｃ1〉)を不変に保つ(固有値が１という意味である)。実は、これらの四つの演算子で１６種類のエラーが識別可能である。
【００３８】
このことは、次の例で理解できる。Ｓ表現の符号化情報|ψ〉にσz(4)エラーが生じたとする。
2005269105.tif 000042
より、
2005269105.tif 000043
で、Ｋ1，Ｋ3の固有値は−１，１である。１６種類のエラーに対する固有値の組は図１７のとおりで、全て異なっているのが分かる。
【００３９】
パリティ検査演算子、Ｋ3，Ｋ4，Ｋ0，Ｋ1は全てエルミートであり、異なる固有値の組の状態は互いに直交する。従って、5-qubitの張る25=32次元のヒルベルト空間は、二つの符号語とそれに発生する１６種類の1-qubitエラーの、計３２個の互いに直交し合う一次元部分空間に分割される。このコードは、符合語に異なるエラーが生じた状態の間で縮退が起こらない。このようなコードを、非縮退コードと呼ぶことがある。
【００４０】
［エラー検出のフォールト・トレラント化］
ここでは、前に説明したフォールト・トレラント計算法の二つの目的のうちの、エラー訂正操作中にエラーが発生したらどうするかについて議論する(非特許文献３)。これより先、5-qubitコードを例に取って説明するが、他のエラー訂正コードにも適用可能である。
【００４１】
ここで取り扱うエラーは、qubitと環境との相互作用によるデコヒーレンス、量子ゲートの動作誤差の両方によるものだが、これらは、全て、量子ゲート実行時にσx，σy，σzのエラーが作用したものと考えても一般性は失われない。これらのエラーは、もつれ合いを生じさせるゲート操作によって他のqubitへ飛び火する。このことを見るために、C-NOTを作用させる直前の標的qubitにσzエラーが作用した場合を考える(図１８)。この場合、C-NOTを作用させた後の、制御qubit、標的qubitの両方に、σzエラーが作用しているのと等価となる。これは、1-qubitに発生したエラーが、C-NOTゲートによって、二つのqubitに伝わり拡大したものと解釈できる。
【００４２】
最初に、何の工夫もなく5-qubitに対してパリティ検出を行うと、どのような不都合が起こるかについて考える。図１９のように、補助qubitを一つだけ使ってＭ3の固有値を求めるとする。二つ目のC-NOTゲートにエラーが発生した場合、エラーは補助qubitだけでなく、ブロック内の三つのqubitにまで伝わる。このコードは、本来1-qubitのエラーしか訂正できないので、エラーの取りきれる範囲を超えてしまう。従って、このような方法は良いとは言えない。
【００４３】
図１９のかわりに、次の方法を考える。補助qubitとして4-qubitの状態、
2005269105.tif 000044
を用意する。ただし、wt(b)は二進数列ｂの全bit値の和で、これをｂのweightと呼ぶ。|Φ〉はweightが偶の基底の重ね合わせである。図２０のように、ブロック|ψ〉と補助qubit|Φ〉の各qubitに対して、C-NOTを作用させる。|Φ〉の中の1-qubitでエラーが発生しても、ブロックに伝わるエラーの数は１個で抑えられる。これは除去可能な範囲である。
【００４４】
図２０によってパリティ検出が出来る仕組を説明する。パリティ検出操作中にエラーが発生しなければ、符号語|ψ〉のパリティは偶か奇の二種類のみ、また補助qubit|Φ〉のパリティは必ず偶である。図２０のようにC-NOTでパリティ検出操作を行っても、|ψ〉と|Φ〉の間にもつれ合いは生じない。従って|Φ〉を観測しても|ψ〉に状態の収縮は起こらない。このことは、次のように考えると理解しやすい。
【００４５】
まず、|ψ〉も|Φ〉もパリティが偶の場合、四つのC-NOT操作で|Φ〉の偶数個のqubitが|0〉←→|1〉反転するが、もともと、|Ψ〉はweightが偶な全ての項を等しい重みで重ね合わせたものなので、全体として状態は不変である。よって、
2005269105.tif 000045
でもつれ合いは生じない。|Φ〉の各qubitを｛|0〉,|1〉｝の基底で観測して、|ｂ0〉(wt(b0)＝even)を得たとする。これは、|Φ〉が|ｂ0〉に収縮したことを意味するが、このとき|ψ〉に状態の収縮は起こらない。
【００４６】
一方、|ψ〉のパリティが奇の場合、補助qubit|Φ〉はC-NOT操作で奇数個のqubitが|0〉←→|1〉反転し、weightが奇なあらゆる基底の重ね合わせ|Φ'〉に変化するが、もつれ合いは生じず、
2005269105.tif 000046
となる。補助qubitの観測で|Φ'〉はweightが奇な基底の一つに収縮するが、|ψ〉に収縮は起こらず、何の影響も与えない。
【００４７】
補助qubitに|Φ〉を使う方法でも、やはり、パリティ検出を誤る場合はあるので、何回か測定を繰り返して多数決を行わなくてはならない。一回のパリティ検査中に補助qubit系にエラーが発生する古典的確率０＜ε＜１が与えられたとする。Ｍ回の検出で多数決を行い、誤ったパリティを得る確率は
2005269105.tif 000047
程度である。パリティ検出を誤る確率を０＜t＜１で抑えたいとすると、
2005269105.tif 000048
より、繰り返し回数は、
2005269105.tif 000049
と評価できる。logｔというオーダーで考えると非常に効率的といえる。
【００４８】
パリティ検出過程で、ブロック中のどれか一つのqubitにエラーが発生した場合、パリティを誤って検出する可能性が出てくるが、少なくとも、ブロック内のエラー数は一個で抑えられており、依然、エラー除去可能である。パリティ検出を数回繰り返し、検出結果を多数決で決めれば問題ない。
【００４９】
なお、ここでは、5-qubitのブロックと補助qubitの全体で、たかだか一個のエラーしか発生しないとしている。これは、全qubitで一個のエラーが生じる時間をτとして、時間τ内に符号語による保存、エラー訂正を行ってしまわなくてはならないということである。もし、長時間にわたって量子情報を保存したい場合は、周期τでこれらの操作を繰り返す。
【００５０】
では、|Φ〉を用意するにはどうするかを考える。|Φ〉を初期状態|0000〉から基本ゲート操作によって素朴に作り出すとすれば、以下の手順になる(図２１)。
2005269105.tif 000050
(9)の一行目から二行目への変換で、状態にもつれ合いが生じたことが見て取れる。この際、図２１からも明らかなように、一番目のqubitにエラーが発生すると、残りのqubitにもエラーが伝わってしまう。このように、直積状態(product state)から、もつれ合った状態(entangled state)への変換をフォールト・トレラント化するのは難しい。
【００５１】
しかし、この問題は次のような方法で回避できる。まず、(9)の二行目の猫状態を作り終えた段階で、任意の二つのqubitを選び出してビットの値についてパリティ検査を行い、もしパリティが奇ならその4-qubitは捨て去り作り直す。パリティ検査を数回繰り返せば、手元にあるのは、
2005269105.tif 000051
と思って良い。上の式には任意の相対位相エラーｅiδが残っており、各qubitにHadamard変換を施すと、
2005269105.tif 000052
となるが、再度、ランダムなパリティ検査を行えば、高い確率で|Φ〉を得ることが可能となる。
【００５２】
最後に、図２２に、5-qubitコードのフォールト・トレラントなエラー訂正のゲート・ネットワークを示す。Ｍ3，Ｍ4，Ｍ0，Ｍ1の固有値を測定する際の補助qubitは図中では一本の線で表されているが、4-qubitの|Φ〉を使って、これまでに説明してきた方法で観測するとする。操作中、符号後の表現がＬ3，Ｌ4，Ｌ0，Ｌ1と変化していることにも注意する。四つの固有値を得たら、古典コンピュータ等によりエラーの位置と種類を判定し、エラー訂正を行う。
【００５３】
［量子情報を秘密に共有する方法］
量子エラー訂正コードを使って、量子情報を秘密のうちに複数人の間で共有する方法が提案されている(非特許文献９)。ここでは、Shor-DiVincenzoの5-qubitコードを使ってこの方法を具体的に説明する。
【００５４】
1-qubitの任意の状態α|0〉＋β|1〉(|α|2＋|β|2＝１)を使って符号化し、|ψ〉＝α|ｃ0〉＋β|ｃ1〉を得たとする。次に、１ブロックを構成する５個のqubitを５人に分け与えたとする。この場合、０番目と１番目のqubitを持つ二人が共同で自分たちの手元にあるqubitを観測しても、
2005269105.tif 000053
で、α，βに関する情報は何も得られない。ただし、Ｉ4は４×４単位行列とする。
【００５５】
実は、この場合、
2005269105.tif 000054
が成立し、五人の内の任意の二人が共同で観測しても、|ψ〉に関する情報は一切得られない。また、上の結果より、明らかにｉ番目のqubitの密度演算子は、
2005269105.tif 000055
ただしＩ2は２×２単位行列となり、一人が手元のqubitを観測しても何も情報は得られない。
【００５６】
しかし、逆に考えると、五人の内の任意の三人以上が共同で操作を行えば、元々の量子情報を完全に復元できることになる。この方法の特徴は、情報を取り出すために協力し合う人数によって、元々の情報が全く得られないか、完全に得られるかのどちらかに決まってしまう点にある。このような5-qubitコードによる量子情報の秘密の共有は、((3，5))threshold schemeと呼ばれている。
【００５７】
((3，5))threshold schemeは、任意の1-qubitを捨て去っても、残りの4-qubitで元の符号化情報を復元できるということである。そして、このような状態は((3，4))threshold schemeを与える。前の((3，5))threshold schemeは1-qubitの純粋状態で与えられる量子情報を5-qubitの純粋状態に符号化したのに対し、((3，4))threshold schemeでは4-qubitの混合状態に符号化することになる。
【００５８】
((3，4))threshold schemeを詳しく見てみることにする。(8)の０番目のqubitを観測して確率1/2で|0〉が得られた場合、符号語は、
2005269105.tif 000056
に収縮する。確率1/2で|0〉が得られた場合、
2005269105.tif 000057
に収縮する。従って、1-qubitの量子情報α|0〉＋β|1〉は、
2005269105.tif 000058
に符号化される。
【００５９】
例えば、上のρに対して、先頭の2-qubit密度演算子は、
2005269105.tif 000059
で与えられる。しかし、｛|φ0〉，|φ1〉｝を使った符号、|ψ'〉＝α|φ0〉＋β|φ1〉では、
2005269105.tif 000060
となり、((3，4))threshold schemeを実現しない。
2005269105.tif 000061
をエラー訂正コードとして見ると、次のようになる。符号語の部分空間を不変にする演算子は、
2005269105.tif 000062
の三つで、エラーの作用した符合語に対する固有値は図２３で与えられる。これにより、((3，4))threshold schemeは1-qubitのエラー検出が可能と分かる。
【００６０】
［位相緩和モデル］
本明細書では、量子通信回線などにおいて、qubit系と環境系が相互作用して、qubitに位相緩和(位相エラー)が生じる場合について考察している。そこで、このようなエラーが起こるモデルを示しておく。
【００６１】
qubit系Ｑと環境系(熱浴)Ｒのハミルトニアンとして、次のものを考える(非特許文献１０)。
2005269105.tif 000063
ただし、
2005269105.tif 000064
は輻射場の生成、消滅演算子とする。上の式より、［σz，Ｈ］＝０は明らかで、qubit系において位相のデコヒーレンスのみ起こると分かる。これは次のように考えれば良い。1-qubitの密度行列は、一般に、
2005269105.tif 000065
ただしａi(i=x,y,z)は実数、と書ける。Ｉ，σzの項はＨで引き起こされるユニタリー変換、
2005269105.tif 000066
で不変であり、このモデルではσx，σyの項のみ変化が引き起こされる。これにより、位相緩和(デコヒーレンス)のみ生じ、密度行列の対角成分の変化である散逸は起こらない。時刻t=0でのqubit系Ｑと環境系Ｒの密度行列を、
2005269105.tif 000067
ただし、
2005269105.tif 000068
とする。これは、環境系Ｒとして、熱平衡状態にある輻射場を考えていることに相当する。
【００６２】
このような系は、相互作用表示を取ると扱いやすい。
2005269105.tif 000069
ただし、Ｐは時間順序演算子で、
2005269105.tif 000070
とする。計算により、
2005269105.tif 000071
ただし、
2005269105.tif 000072
が得られる。
【００６３】
時刻tでのqubitの密度行列は、
2005269105.tif 000073
で与えられる。(10)の結果を代入すると、
2005269105.tif 000074
ただし、
2005269105.tif 000075
となる。これは、次のように書き換え可能である、
2005269105.tif 000076
ただし、
2005269105.tif 000077
としている。これより、qubit系がσzエラーのみ受けていることが分かる。
【非特許文献１】W.K.Wootters, W.H.Zurek, 'A single quantum cannot be cloned', Nature, 299, p.802-803(1982)
【非特許文献２】P.W.Shor, 'Scheme for reducing decoherence in quantum computer memory', Phys. Rev. A 52, 2493(1995)
【非特許文献３】P.W.Shor,'Fault-tolerant quantum computation',Proc.37th Annual Symposium on Foundations of Computer Science,IEEE Computer Soc.Press,1996,pp.56-65
【非特許文献４】D.P.DiVincenzo and P.W.Shor, 'Fault-Tolerant Error Correction with Efficient Quantum Codes',  Phys. Rev.Lett.  77, 3260(1996),  C.H.Bennett, D.P.DiVincenzo, J.A.Smolin and W.K.Wootters, 'Mixed-state entanglement and quantum error correction', Phys. Rev.A 54,3824(1996)
【非特許文献５】A.Ekertand C.Macchiavello, 'Error Correction for Quantum Communication', Phys.Rev.Lett.77,2585(1996),J.Preskill and A.Kitaev, lecture notes §7, CaliforniaInstitute ofTechnology,(1997-1999),http://www.theory.caltech.edu/people/preskill/ph229/
【非特許文献６】B.Schumacher, 'Sebding entanglement through noisyquantum channel', Phys. Rev.A 54, 2614(1996)
【非特許文献７】A.R.Calderbank and P.W.Shor, 'Good quantum error-correcting codes exist', Phys. Rev.A 54,1098(1996), A.Steane,'Multiple particle interference and quantum error correction', Proc.R.Soc.Lond.A 452,2551(1996), A.Steane, 'Simple quantum error-correcting codes', Phys. Rev.A 54,4741(1996)
【非特許文献８】D.Gottesman，Ph.D.thesis，California Institute of Technology，LANL quantum Physics archive quant-ph/9705052
【非特許文献９】R.Cleve, D.Gottesman and H-K.Lo, 'How to Share a Quantum Secret', Phys. Rev. Lett. 83,648(1999), J.Preskill and A.Kitaev,lecture notes §7, California Institute of Technology,(1997-1999), http://www.theory.caltech.edu/people/preskill/ph229/
【非特許文献１０】G.M.Palma, K-A.Suominen and A.K.Ekert, Quantum Computers and Dissipation', LANL quantum physics archive quant-ph/9702001
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００６４】
量子エラー訂正コードを使って、量子情報を複数人で秘密に共有する場合、何人で秘密の共有を行うのか、また、情報を完全に復元するのに最低で何人の協力が必要かにより、選択すべき符号化方法が異なってくる。
【００６５】
また、情報を共有するまでの手続きを考えた場合、秘密の情報を発する情報源でブロック符号化を行い、ブロックを構成する各qubitを量子通信回線を通じて各人に配ることが想定される。現実の量子回線では、環境との相互作用によりデコヒーレンスが発生し、配送されるqubitはエラーを受ける。そのため、qubitが配送され終わった時点で、エラー検出、訂正を行うのが望ましい。
本発明は、いくつかの特別な場合についての、秘密の量子情報を共有するための符号化方法、および、量子回線で受けたエラーの検出、訂正方法を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００６６】
上記の目的を達成するための本発明による量子エラー訂正方法は、
量子二状態系であるqubitを使った任意の量子情報を、情報源において、量子エラー訂正コードでブロック符号化し、１ブロックを構成する複数のブロックqubitを量子通信回線で複数人に配り、
前記情報源において、エラー訂正の際に使用するもつれ合った複数の補助qubit系を構成し、これらを各人に前記量子通信回線で配り、
前記量子エラー訂正コードのエラー検出演算子として各qubitに作用する２×２Pauli行列のテンソル積を用いて、前記情報源から各人にqubitを配送する間の量子通信回線でのデコヒーレンスによる前記ブロックqubit及び補助qubitのエラーを検出、訂正する。
【００６７】
また、上記の目的を達成する本発明の量子エラー訂正装置は、
量子二状態系であるqubitを使った任意の量子情報を、情報源において、量子エラー訂正コードでブロック符号化し、１ブロックを構成する複数のブロックqubitを量子通信回線で複数人に配る第１配信手段と、
前記情報源において、エラー訂正の際に使用するもつれ合った複数の補助qubit系を構成し、これらを前記複数人の各人に前記量子通信回線で配る第２配信手段と、
前記量子エラー訂正コードのエラー検出演算子として各qubitに作用する２×２Pauli行列のテンソル積を用いて、前記情報源から各人にqubitを配送する間の量子通信回線でのデコヒーレンスによる前記ブロックqubit及び補助qubitのエラーを検出、訂正する検出／訂正手段とを備える。
【００６８】
また、上記の目的を達成するための本発明による量子情報共有方法は、
量子二状態系であるqubitを使った任意の量子情報を、情報源において、量子エラー訂正コードでブロック符号化し、１ブロックを構成する複数のブロックqubitを量子通信回線で複数人に配り、
前記情報源において、エラー訂正の際に使用するもつれ合った複数の補助qubit系を構成し、これらを各人に前記量子通信回線で配ることによって任意の量子情報を複数人で共有し、
前記ブロックqubit及び補助qubitは、前記量子エラー訂正コードのエラー検出演算子として各qubitに作用する２×２Pauli行列のテンソル積を用いることにより、前記情報源から各人にqubitを配送する間の量子通信回線でのデコヒーレンスによるエラーを検出、訂正可能であることを特徴とする。
【００６９】
更に、上記の目的を達成するための本発明による量子情報共有装置は、
量子二状態系であるqubitを使った任意の量子情報を、情報源において、量子エラー訂正コードでブロック符号化し、１ブロックを構成する複数のブロックqubitを量子通信回線で複数人に配る第１配信手段と、
前記情報源において、エラー訂正の際に使用するもつれ合った複数の補助qubit系を構成し、これらを前記複数人の各人に前記量子通信回線で配る第２配信手段とを備え、
前記ブロックqubit及び補助qubitは、前記量子エラー訂正コードのエラー検出演算子として各qubitに作用する２×２Pauli行列のテンソル積を用いることにより、前記情報源から各人にqubitを配送する間の量子通信回線でのデコヒーレンスによるエラーを検出、訂正可能である。
【発明の効果】
【００７０】
本発明によれば、秘密の量子情報を共有することが可能となるとともに、その量子情報の配信の間に量子回線で受けたエラーを検出し、訂正することが可能となる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００７１】
以下、添付の図面を参照して本発明の好適な実施形態を説明する。
【００７２】
以下の第１の実施形態においては、４人で秘密の共有を行い、１人では量子情報について何も得られず、２人では部分的な情報しか得られず、３人以上だと情報を完全に復元することが出来る符号化方法を説明する。また、第２の実施形態においては、６人で秘密の共有を行い、２人以下では量子情報について何も得られず、３人では協力する人の組み合わせによって元々の情報が完全に得られるか、全く得られないかのどちらかに分かれ、４人以上だと情報を完全に復元することが出来る符号化方法を説明する。また、各実施形態において、これらの符号での、エラーを検出するための演算子、および、エラーを受けた符合語にこれらの演算子を作用させたときの固有値を調べ、エラー検出、訂正をフォールト・トレラントに行うためのゲート・ネットワークを構成する。ゲート・ネットワークにおいて補助qubitとして使用する複数のqubitのもつれ合った状態は、情報源で構成し、各qubitを量子通信回線で各人に配送する。そのため、ブロックqubit、補助qubit共に回線の途中でエラーを受けるが、これら全体でのエラーの検出、訂正を行う。
【００７３】
以上により、量子通信回線を通じて各人にqubitが配送され終わった時点で、エラー検出、訂正を行う際、例えば、ある二人が、互いのqubitを持ち寄って、2-qubitにまたがるユニタリー変換を作用させて、2-qubit間にもつれ合いを生じさせるようなことはできない。qubitを持っている複数人は、古典通信回線を通じて連絡し合うこと、および、各人の持つqubitに対して任意のユニタリー変換を行うことの、二種類の操作しか許されていない。上述した、フォールト・トレラントなエラー訂正を行えば、このような状況でのエラー検出、訂正が可能となる。
【００７４】
(第１の実施形態)
第１の実施形態は、４人で量子情報の共有を行なうための量子エラー訂正方法と訂正装置、および、量子情報を複数人の間で秘密に共有する方法と装置について説明したものである。
【００７５】
すなわち、量子二状態系(qubit)を使った、任意の量子情報の入力手段、記憶手段、演算手段、出力手段を用意し、任意の量子情報を、量子エラー訂正コードでブロック符号化し、１ブロックを構成する複数の量子二状態系(qubit)を複数人に配ることで、元の量子情報を秘密にしたまま共有、保存する際、情報源から各人にqubitを配送する間の量子通信回線でのデコヒーレンスによるエラーを検出、訂正し、情報源から各人にqubitを配送する間の量子通信回線でのデコヒーレンスによるエラーを除去する際、複数人の間で古典通信回線を使って連絡し合いながら、各人が手元に持つqubitに任意のユニタリー変換を作用させることで、エラー検出、訂正できる、フォールト・トレラントな性質を持ち、量子通信回線でブロック中の一個のqubitが位相エラーを受けた際にはこれを訂正し、また、補助qubit中の一個のqubitが位相エラーを受けた際にはこれを検出することを特徴とする量子エラー訂正方法と訂正装置が開示される。
【００７６】
また、さらに、上記構成において、任意の量子情報をブロック符号化する量子エラー訂正コードとして、1-qubitを4-qubitで符号化し、各qubitを４人に配布することで秘密の共有を行い、１人では量子情報について何も得られず、２人では部分的な情報しか得られず、３人以上だと情報を完全に復元することが出来ることを特徴とする、量子情報を複数人の間で秘密に共有する方法と装置について説明する。
【００７７】
次の4-qubitコードを考える。
2005269105.tif 000078
ただし、規格化定数は省略しており、〈ｃi|ｃj〉＝δijとする。この4-qubitコードは、エラーがσzタイプに限られるなら、1-qubitエラーが訂正可能である。しかし、任意のエラーが発生する状況では、1-qubitのσxエラーが検出可能であるのみで、1-qubitのσyエラーとσzエラーを区別できない。従って、このコードは位相エラーのみ発生する系では有効と考えられる。さらに、このコードには、以下で議論するように、いくつかの特徴が見られる。
【００７８】
まず、どのようなエラーが訂正可能か、詳しく調べることにする。次の関係に着目する。
2005269105.tif 000079
ただし、
2005269105.tif 000080
これより、｛|ｃ0〉，|ｃ1〉｝を不変にする演算子が三つ見付かったことになる。Ｋiとエラーを表すPauli行列との交換、反交換関係を調べることにする。
2005269105.tif 000081
これより、例えば、符号化された任意の状態|ψ〉＝α|ｃ0〉＋β|ｃ1〉の０番目のqubitに位相エラーσz(0)が作用した場合、Ｋ0|ψ〉＝|ψ〉に注意すると、
2005269105.tif 000082
で、固有値−１が得られる。図２にエラーとＫ0，Ｋ1，Ｋ2の固有値の関係をまとめておく。これを見ると、1-qubitのσxタイプのエラーが検出可能なこと、また、σzとσyのエラーの区別が付かないことが分かる。これは、
2005269105.tif 000083
という事情による。
【００７９】
この4-qubitコードはエラー訂正という面では不完全だが、秘密の共有という観点では良い性質を持っている。4-qubitコードの中の任意の1-qubitを観測することを考える。4-qubitの密度演算子をρ＝|ψ〉〈ψ|、ただし、|ψ〉＝α|ｃ0〉＋β|ｃ1〉、|α|2＋|β|2＝１とすると、その中の1-qubitの密度演算子は、
2005269105.tif 000084
で与えられる。これは、4-qubit中の１個のqubitだけを観測しても、量子情報(α，βについての情報)を全く得ることが出来ないことを意味する。
【００８０】
しかし、２個のqubitを観測した場合、事情は異なってくる。０番目と１番目のqubitを観測する場合、
2005269105.tif 000085
また、
2005269105.tif 000086
で、二人の観測者は|α|2，|β|2を統計的な情報として得ることが出来る。０番目と２番目のqubitを観測する場合、
2005269105.tif 000087
また、
2005269105.tif 000088
で、二人の観測者はIm(αβ*)を統計的な情報として得ることが出来る。特に、もともとの情報がα＝０またはβ＝０の古典情報だった場合、ρ(0,1)，ρ(0,3)，ρ(2,3)，ρ(1,2)は観測によって完全に知ることが出来る。
【００８１】
そこで、任意の量子情報をこの4-qubitコードで符号化し、４人が各自1-qubitずつ持つことにすれば、秘密を共有し合うことが出来る。たとえ一人が、残りの三人に無断で量子状態を観測しても、秘密情報を得ることは一切できない。これは、三人の同意があれば情報を取り出すことが可能ということでもある。また、二人が合意すれば情報を部分的に破壊することも出来る。図３に、０，１，２番目のqubitを持つ三人による復号化の手順を示す。ネットワークの途中で、controoled-controlled σz(CC-σz)ゲートと呼ばれる、二つの制御qubitが共に|1〉のときのみ標的qubitにσzを作用させるゲートを使用している。これにより、
2005269105.tif 000089
と変換され、０番目のqubitに元々の量子情報が復元される。
【００８２】
このような、秘密の共有に使用できるという性質は、4-qubitでは、このコード特有の性質になっている。同じ4-qubitコードでも、
2005269105.tif 000090
では、|ψ〉＝α|φ0〉＋β|φ1〉、|α|2＋|β|2＝１、ρ＝|ψ〉〈ψ|とすると、1-qubitの密度演算子は、
2005269105.tif 000091
で与えられる。これは、一人が手元のqubitを観測しても、何らかの情報が得られることを示している。ただし、元の情報が古典的であるならば、秘密は守られる。
【００８３】
ここで、秘密の共有の手順をより具体的に考えてみることにする(図５)。ある情報源で、秘密にしたい高価な情報が発せられたとする。情報が量子情報であれば、完全な複製を作ることは不可能で、そのまま直ちに4-qubitに符号化されたとする。符号化は、例えば図４のゲート・ネットワークを組めば良い。これにより、1-qubitの任意の状態α|0〉＋β|1〉は、
2005269105.tif 000092
と符号化される。
【００８４】
次に、四つのqubitは量子通信回線を通って四人に配られる。ここで、回線において位相エラー(σzエラー)が発生するが、情報源と符号化装置、および、四人のqubitを操作する装置では、エラーが発生しない(または、無視できるほどエラー発生確率が小さい)状況を考える。
【００８５】
qubitの配送が行われた直後、四人は共同でエラー訂正を行わなくてはならない。このとき、四人は、各自の持つqubitをユニタリー変換すること、互いに古典情報を送り合うことは出来るが、異なる者の持つ二つのqubitにもつれ合いを生じさせるような操作、例えば二人の持つqubit間でC-NOTを行うなどはできないとする。これは、フォールト・トレラントにエラー訂正することと同じである。
【００８６】
図１に、このコードをフォールト・トレラントにエラー訂正するネットワークを示す。ただし、
2005269105.tif 000093
とする。ここで、
2005269105.tif 000094
という関係を利用している。
【００８７】
０，１，２，３番目のqubitは、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの四人が持っていると考える。Ｍiの固有値を書き込む補助qubitも、複数のqubitからなるweightが偶な基底の重ね合わせ|Φ〉を使い、各qubitをＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄが分け合って持つことにする。|Φ〉も情報源で作り、図５のように回線を使って各人に配るとすれば、補助qubitに生じるエラーもσzタイプと考えて良い。
【００８８】
ここで、σzエラーは4-qubitおよび補助qubitを合わせた全体のうちの1-qubitにのみ発生するとする。エラー訂正の手順を検討してみる。Ｍ0，Ｍ1のパリティ検査のとき、補助qubitにσzエラーが生じていると、4-qubitコードにはσxエラーが一個伝わる。これは、もう一度パリティ検査を繰り返せば検出可能である。
【００８９】
また、Ｍ2，のパリティ検査で補助qubitのσzエラーがブロック内の4-qubitに伝わる場合については、次のように考えると良い。１番目、２番目のqubitにエラーが伝わる場合、必ずσzエラーとなる。一方、０番目、３番目のqubitにエラーが伝わる場合、
2005269105.tif 000095
でσyエラーとなる。ブロック内にσyエラーが生じると、σzエラーとの区別が出来ず取り扱いが難しそうに思えるが、パリティ検査を二回繰り返し、一回目と二回目の検査結果を比較すると問題は回避できる。
【００９０】
例えば、一回目の検査で(Ｍ0，Ｍ1，Ｍ2＝(1，1，1)が得られ、このときのＭ2測定でσy(3)がエラーとして発生したとする。二回目の検査では(Ｍ0，Ｍ1，Ｍ2＝(1，-1，1)が得られる。よって、4-qubitのブロック内にはσz(1)かσy(3)のどちらかのエラーが生じていると分かるが、どちらかに特定することは出来ない。しかし、一回目と二回目のパリティ検査の結果の比較により、少なくとも一回目のＭ2測定で補助qubitからエラーが伝わってきたことは分かる。
【００９１】
以上の考察から、補助qubitから4-qubitブロックに伝わったエラーは、訂正は出来ないが、必ず検出可能である。このようなパリティ検査を繰り返し、結果を古典通信回線で四者間で知らせ合い、エラーを同定する。エラー検出はされたが訂正不可能な場合は、各自qubitを捨てて、再度、情報源から符号化されたqubitを受け取るようにすれば良い。
【００９２】
(第２の実施形態)
本実施形態は、６人で量子情報を秘密に共有することを可能とする方法と装置について説明したものである。
【００９３】
すなわち、量子二状態系(qubit)を使った、任意の量子情報の入力手段、記憶手段、演算手段、出力手段を用意し、任意の量子情報を、量子エラー訂正コードでブロック符号化し、１ブロックを構成する複数の量子二状態系(qubit)を複数人に配ることで、元の量子情報を秘密にしたまま共有、保存する際、情報源から各人にqubitを配送する間の量子通信回線でのデコヒーレンスによるエラーを検出、訂正し、情報源から各人にqubitを配送する間の量子通信回線でのデコヒーレンスによるエラーを除去する際、複数人の間で古典通信回線を使って連絡し合いながら、各人が手元に持つqubitに任意のユニタリー変換を作用させることで、エラー検出、訂正できる、フォールト・トレラントな性質を持ち、量子通信回線でブロック、および、補助qubit中の一個のqubitがエラーを受けた際、これを検出することを特徴とする量子エラー訂正方法と訂正装置を説明する。
【００９４】
また、さらに、任意の量子情報をブロック符号化する量子エラー訂正コードとして、1-qubitを6-qubitで符号化し、各qubitを６人に配布することで秘密の共有を行い、２人以下では量子情報について何も得られず、３人では協力する人の組み合わせによって元々の情報が完全に得られるか、全く得られないかのどちらかに分かれ、４人以上だと情報を完全に復元することが出来ることを特徴とする、量子情報を複数人の間で秘密に共有する方法と装置について説明する。
【００９５】
次の二種類の6-qubitコードを考える。
2005269105.tif 000096
ただし、規格化定数は省略している。これら四つの状態は互いに直交し合う。これらの6-qubitコードは1-qubitのエラーが検出可能である。さらに、これらのコードを上手く利用すれば、６人が秘密の共有を行い、任意の二人が共同で秘密情報を取り出すのを無効にすることができる。
【００９６】
まず、エラー訂正の性質について詳しく調べることにする。次の五つの演算子を用意する。
2005269105.tif 000097
次の関係が成立する。
2005269105.tif 000098
これより、
2005269105.tif 000099
を不変にする演算子が５個見付かったことになる。図６にエラーとＫi(i=0,…,4)の固有値の関係をまとめておく。
【００９７】
次のような符号化による秘密の共有を考える。1-qubitの量子情報|ψ〉＝α|0〉＋β|1〉を、混合状態、
2005269105.tif 000100
で符号化する。6-qubit中の任意の2-qubitの密度演算子は、
2005269105.tif 000101
となる。これは、6-qubit中の２個のqubitだけを観測しても、量子情報(α，βについての情報)を全く得ることが出来ないことを意味する。また、上の結果より、6-qubit中の任意の1-qubitの密度演算子は、
2005269105.tif 000102
となる。6-qubit中の3-qubitの密度演算子については、
2005269105.tif 000103
および
2005269105.tif 000104
が成立する。(15)の場合、α，βの情報を完全に取り出すことが出来る。
【００９８】
そこで、任意の量子情報をこの6-qubitの混合状態のコードで符号化し、６人が各自1-qubitずつ持つことにすれば、秘密を共有し合うことが出来る。たとえ二人までが残りの人に無断で量子状態を観測しても、秘密情報を得ることは一切できない。これは、少なくとも四人の同意があれば情報を取り出すことが可能ということでもある。例えば、０，１，２，３番目のqubitを持つ四人が共同で秘密情報を取り出すには、図７のゲート・ネットワークで示される操作をすれば良い。三人が共同で観測する場合は、秘密情報を完全に取り出すことが出来る組み合わせと、一切取り出せない組み合わせが存在する。
【００９９】
最後に、この6-qubitコードでの符号化方法を説明する。このコードは、
2005269105.tif 000105
の二種類のコードが1/2ずつの確率で混じっている。一つ目の符号は例えば図８(i)のゲート・ネットワークを組めば良い。これにより、1-qubitの任意の状態は、
2005269105.tif 000106
と符号化される。二つ目の符号は図８(ii)のゲート・ネットワークを組めば良い。図８(i)，図８(ii)の二つのネットワークのどちらかで確率1/2で符号化すれば(13)が得られる。
【０１００】
(第３の実施形態)
本実施形態は、第１の実施形態の量子二状態系(qubit)を使った、任意の量子情報の入力手段、記憶手段、演算手段、出力手段について説明したものである。なお、上記の第２の実施形態での量子二状態系(qubit)を使った情報処理の過程でも、これらの情報の入力手段、記憶手段、演算手段、出力手段は共通して使用される。
【０１０１】
また、使用する量子二状態系(qubit)として、電子、核子等のスピン、特に、固体中の電子、核子のスピン、高分子化合物中の核子のスピン、また、イオンの基底状態と励起状態を利用することを特徴とする、量子エラー訂正方法と訂正装置、並びに、量子情報を複数人の間で秘密に共有する方法と装置について説明する。
【０１０２】
前の第１，２の実施形態で使用したqubitは、互いに直交し合う二状態を基底とするヒルベルト空間を実現する量子系であれば、どのよう物理系であっても本質的な違いはない。qubitの候補としては、例えば、電子、核子等のスピン、特に、固体中の電子、核子のスピン、高分子化合物中の核子のスピン、また、イオンの基底状態と励起状態が挙げられる。
【０１０３】
例えば、核子のスピンについて考えてみる。一様な静磁場Ｂ（ベクトル）の中での、二個の核スピンのハミルトニアンは、次の様に与えられる。
2005269105.tif 000107
(16)の第二項はZeeman項、第三項はスピン−スピン相互作用項を表している。ここで、磁場がｚ軸を向いていて(Ｂ＝(0,0,B0))、また、スピン−スピン相互作用がZeeman効果によるエネルギー準位のずれより十分に小さいとする。すなわち、
2005269105.tif 000108
とする。ｚ方向の強い磁場のために、二つのスピンはｚ方向にそろった方がエネルギーが低く抑えられ、第三項はｚ成分のスカラー相互作用に近似できる。ハミルトニアンは、
2005269105.tif 000109
ただし、
2005269105.tif 000110
となる。ここで、ωA−ωBはわずかに異なるとし、そのずれを、Δε＝|ωA−ωB|とする。エネルギー準位のずれをまとめると、図９のようになる。
【０１０４】
スピンをｚ方向に対角化したときの下向きを|1〉、上向きを|0〉とすると、核スピン系をqubit系と見なすことができる。核スピンを複数個用意すれば、複数個のqubit系を用意したことになる。このqubit系に初期状態として|0…0〉を入力したいのであれば、ｚ軸方向の十分強い一様な静磁場Ｂ＝(0,0,B)を核スピン系全体にかければ良い。これにより、全ての核スピンが磁場の方向に整列する。従って、外部磁場と核スピンの相互作用(Zeeman効果)による制御が、この場合の情報の入力手段となる。
【０１０５】
一度、核スピンの量子状態が確定すれば、少なくともデコヒーレンス時間以内であれば、状態は保持される。そこで、これを情報の記憶手段と考えて良い。
【０１０６】
演算手段は以下のようになる。qubit系に施される演算は全て、qubit系の張るヒルベルト空間上のユニタリー変換である。複数のqubitに対する任意のユニタリー変換は、1-qubitの任意のユニタリー変換と、2-qubit間のC-NOTゲートを組み合わせることで実現可能である。これらのユニタリー変換は、図９に示される状態間のエネルギー準位差からわずかにずれたエネルギーに相当する周波数の電磁波(レーザーパルス)を核スピンに照射することで実行できる。電磁波を照射された核スピンでは、周波数に相当するエネルギー差のある準位間でBloch振動を起こす。レーザーパルスの強度と照射時間を調節すれば目的の状態に自由に遷移させることが出来る。
【０１０７】
例えば、
2005269105.tif 000111
の周波数の電磁波を照射すれば、|↓↓〉，|↓↑〉との間でユニタリー回転が実行できる。共鳴パルスを上手く組み合わせれば、C-NOTも実行できる。従って、外部磁場と核スピンの相互作用(Zeeman効果)、および、スピン−スピン相互作用によるエネルギー準位のずれを利用したBloch振動が、この場合の情報の演算手段となる。
【０１０８】
qubitから出力を得るとは、核スピンのｚ軸方向を観測することである。これを行う方法についても、様々なものが考案されている。最も理解しやすい方法は、量子力学の導入でしばしば例に出されるシュテルン−ゲルラッハ装置と呼ばれるもので、測定したい核スピンをビームとして、一様でない磁場中を通過させる(「ファインマン物理学Ｖ量子力学」、砂川重信訳、岩波書店(1979))。磁場とその勾配はｚ方向を向いているとし、核子のビームは磁場と垂直に入射するとする。核子のビームはスピンのｚ方向成分によって分裂し、これを検出すれば核スピンのｚ軸方向を観測したことになる。また、核スピンの情報を電子スピンに置き換え、これを観測する方法が、文献(B.E.Kane, 'A silicon-based nuclear spin quantum computer', Nature, 393, p.133-137(1998))で提案されている。よって、これらを情報の出力手段と見なすこととする。
【０１０９】
以上は核スピンを例にとって説明したが、他の物理系をqubitとして使用した場合も、情報の入力手段、記憶手段、演算手段、出力手段を用意することが可能であり、そこで使われる物理的な考え方も、上の説明と共通する部分が多い。
【０１１０】
文献(J.I.Cirac and P.Zoller, 'Quantum Computations with Cold Trapped Ions', Phys. Rev. Lett.74,4091(1995))には、Cold Trapped Ionsと呼ばれる方法で、C-NOTゲートを実行する方法が議論されている。この場合、ｎ個のイオンを直線状に捕獲し、各イオンの基底状態と第一励起状態をqubitの｛|0〉，|1〉｝と見なす。量子ゲートの操作は、外部から各イオンへレーザー照射することによって実現される。
【０１１１】
直線状に捕獲されたイオンは、クーロン相互作用し、各イオンは平衡点を中心に振動する。この振動モードが量子化されると、phononとなって、補助qubitとして利用できる。先の文献では、このphononモードを巧みに利用して、C-NOTゲートを実行する方法が提案されている。
【０１１２】
以上説明したように、第１の実施形態（及び第３の実施形態）によれば、量子二状態系(qubit)を使った、任意の量子情報の入力手段、記憶手段、演算手段、出力手段を用意し、任意の量子情報を、量子エラー訂正コードでブロック符号化し、１ブロックを構成する複数のqubitを複数人に配ることで、元の量子情報を秘密にしたまま共有、保存する際、情報源から各人にqubitを配送する間の量子通信回線でのデコヒーレンスによるエラーを検出、訂正するために、ブロック符号化する量子エラー訂正コードのエラー検出演算子として、各qubitに作用する２×２Pauli行列のテンソル積を用意し、さらに、情報源において、エラー訂正の際に使用するもつれ合った複数の補助qubit系を構成し、これらを各人に量子通信回線で配り、ブロックqubit、補助qubitの両方のエラーを検出、訂正することを特徴とする、量子エラー訂正方法、装置並びに量子情報を複数人の間で秘密に共有する方法及び装置が実現できる。
【０１１３】
また、上記第１の実施形態によれば、情報源から各人にqubitを配送する間の量子通信回線でのデコヒーレンスによるエラーを除去する際、補助qubitとして、情報源においてbit列のHamming重みが偶である全ての基底を等しい係数で重ね合わせた状態を構成し、これらのqubitを各人に量子通信回線で配送し、複数人の間で古典通信回線を使って連絡し合いながら、各人が手元に持つqubitに任意のユニタリー変換を作用させることで、エラー検出、訂正をフォールト・トレラントに行うことを特徴とする、量子エラー訂正方法、装置並びに量子情報を複数人の間で秘密に共有する方法及び装置が実現できる。
【０１１４】
また、上記第１の実施形態によれば、任意の量子情報をブロック符号化する量子エラー訂正コードとして、1-qubitを4-qubit、
2005269105.tif 000112
で符号化し、各qubitを４人に配布することで秘密の共有を行い、１人では量子情報について何も得られず、２人では部分的な情報しか得られず、３人以上だと情報を完全に復元することが出来ることを特徴とする、量子エラー訂正方法、装置並びに量子情報を複数人の間で秘密に共有する方法及び装置が実現できる。
【０１１５】
また、第１の実施形態によれば、任意の量子情報をブロック符号化する量子エラー訂正コードとして、1-qubitを4-qubitで符号化し、量子通信回線でブロック中の一個のqubitが位相エラーを受けた際、これを訂正し、また、補助qubit中の一個のqubitが位相エラーを受けた際、これを検出することを特徴とする、請求項９に記載の、量子エラー訂正方法、装置並びに量子情報を複数人の間で秘密に共有する方法及び装置が実現できる。
【０１１６】
また、第２の実施形態によれば、任意の量子情報をブロック符号化する量子エラー訂正コードとして、1-qubitを6-qubit、
2005269105.tif 000113
の二種類のコードを等しい古典統計的な確率で発生させた混合状態で符号化し、各qubitを６人に配布することで秘密の共有を行い、２人以下では量子情報について何も得られず、３人では協力する人の組み合わせによって元々の情報が完全に得られるか、全く得られないかのどちらかに分かれ、４人以上だと情報を完全に復元することが出来ることを特徴とする、量子エラー訂正方法、装置並びに量子情報を複数人の間で秘密に共有する方法及び装置が実現できる。
【０１１７】
また、第２の実施形態によれば、任意の量子情報をブロック符号化する量子エラー訂正コードとして、1-qubitを6-qubitの二種類のコードを等しい古典統計的な確率で発生させた混合状態で符号化し、量子通信回線でブロック、および、補助qubit中の一個のqubitがエラーを受けた際、これを検出することを特徴とする、量子エラー訂正方法、装置並びに量子情報を複数人の間で秘密に共有する方法及び装置が実現できる。
【０１１８】
また、第３の実施形態によれば、使用する量子二状態系(qubit)として、電子、核子等のスピン、特に、固体中の電子、核子のスピン、高分子化合物中の核子のスピン、また、イオンの基底状態と励起状態を利用することを特徴とする、量子エラー訂正方法、装置並びに量子情報を複数人の間で秘密に共有する方法及び装置が実現できる。
【図面の簡単な説明】
【０１１９】
【図１】本発明の第１の実施形態で使われる、4-qubitコードのフォールト・トレラントなエラー訂正ネットワークを表した図である。
【図２】本発明の第１の実施形態で使われる、４qubitコードでのエラーとＫ0，Ｋ1，Ｋ2の固有値を表した図である。
【図３】本発明の第１の実施形態で使われる、4-qubitコードでの０，１，２番目のqubitによる復号ネットワークを表した図である。
【図４】本発明の第１の実施形態で使われる、4-qubitコードでの符号化ネットワークを表した図である。
【図５】本発明の第１の実施形態で使われる、4-qubitコードでの秘密の共有の手順を表した図である。
【図６】本発明の第２の実施形態で使われる、6-qubitコードでのエラーとＫi(ｉ＝０，…，４)の固有値を表した図である。
【図７】本発明の第２の実施形態で使われる、6-qubitコードでの０，１，２，３番目のqubitによる復号ネットワークを表した図である。
【図８】本発明の第２の実施形態で使われる、6-qubitコードでの符号化ネットワークを表した図である。
【図９】本発明の実施形態で使われる、二個の核スピン系におけるZeeman項、スカラー結合項によるエネルギーシフトを表した図である。
【図１０】一般的な、9-qubitコードでの光子とqubitの相互作用を表した図である。
【図１１】一般的な、9-qubitコードでのエラーを検出するオペレーターを表した図である。
【図１２】一般的な、9-qubitコードでのオペレーターの固有ケットと固有値を表した図である。
【図１３】一般的な、controlled-NOTゲートを表すネットワークを表した図である。
【図１４】一般的な、9-qubitコードでのＭ1の固有値を検出するネットワークを表した図である。
【図１５】一般的な、9-qubitコードでのＭ７の固有値を検出するネットワークを表した図である。
【図１６】一般的な、9-qubitコードの独立粒子近似での各qubitと環境との相互作用を表した図である。
【図１７】一般的な、5-qubitコードでの１６種類のエラーと｛Ｋ3，Ｋ4，Ｋ0，Ｋ1｝の固有値を表した図である。
【図１８】一般的な、補助qubitからのエラーの反作用を表した図である。
【図１９】一般的な、5-qubitコードでの補助qubitを一つだけ使ったパリティ検出を表した図である。
【図２０】一般的な、5-qubitコードでのフォールト・トレラントなパリティ検出を表した図である。
【図２１】一般的な、補助qubit|Φ〉を作るネットワークを表した図である。
【図２２】一般的な、5-qubitコードのフォールト・トレラント化されたエラー訂正の全ネットワークを表した図である。
【図２３】一般的な、((3,4))threshold schemeのエラー固有値を表した図である。
【図１】
2005269105.tif 000118
【図２】
2005269105.tif 000119
【図３】
2005269105.tif 000120
【図４】
2005269105.tif 000121
【図５】
2005269105.tif 000122
【図６】
2005269105.tif 000123
【図７】
2005269105.tif 000124
【図８】
2005269105.tif 000125
【図９】
2005269105.tif 000126
【図１０】
2005269105.tif 000127
【図１１】
2005269105.tif 000128
【図１２】
2005269105.tif 000129
【図１３】
2005269105.tif 000130
【図１４】
2005269105.tif 000131
【図１５】
2005269105.tif 000132
【図１６】
2005269105.tif 000133
【図１７】
2005269105.tif 000134
【図１８】
2005269105.tif 000135
【図１９】
2005269105.tif 000136
【図２０】
2005269105.tif 000137
【図２１】
2005269105.tif 000138
【図２２】
2005269105.tif 000139
【図２３】
2005269105.tif 000140