(57)【要約】      （修正有）【課題】  煩雑なメッシュ作成工程や大規模な３次元構造解析数値シミュレーションを行うことなしに、任意の層数で薄膜を積層した素子の変位を計算する方法、および変位計算プログラムを提供する。【解決手段】  矩形の薄膜層の互いに隣り合う２辺の長さをＬおよびＷ、各層の番号をｎｉ、薄膜積層素子の積層方向（Ｚ方向）の各層の下端の位置をｚｉ−１、各層の上端の位置をｚｉ、各層のヤング率をＹｉ、各層のポアソン比をσｉとし、薄膜積層素子の矩形領域に単位面積あたりｐの均等荷重が加えられているときのＺ方向の最大変位ｆｍａｘを下式により求めることとした。2005182549.tif 000118【選択図】  図１
2005182549.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
矩形の薄膜層が複数枚（Ｎ枚）積層された矩形素子構造を有し、該矩形素子の４辺が単純支持された薄膜積層素子の変位計算方法であって、
前記矩形の薄膜層の互いに隣り合う２辺の長さをＬおよびＷ、各層の番号を１、２、…、およびＮ、前記薄膜積層素子の積層方向（Ｚ方向）の各層の下端の位置をＺ１、Ｚ２、…、およびＺＮ-1、各層の上端の位置をＺ１、Ｚ２、…、およびＺＮ、各層のヤング率をＹ１、Ｙ２、…、およびＹＮ、各層のポアソン比をσ１、σ２、…、およびσＮとし、前記薄膜積層素子の矩形領域に単位面積あたりｐの均等荷重が加えられているときに、Ｚ方向の最大変位ｆｍａｘを下式により求めることを特徴とする薄膜積層素子の変位計算方法。
【数１】
2005182549.tif 000102
但し、
【数２】
2005182549.tif 000103
【数３】
2005182549.tif 000104
【請求項２】
矩形の薄膜層が複数枚（Ｎ枚）積層された矩形素子構造を有し、該矩形素子の４辺が単純支持された薄膜積層素子の変位計算方法であって、
前記矩形の薄膜層の互いに隣り合う２辺の長さをＬおよびＷ、各層の番号を１、２、…、およびＮ、前記薄膜積層素子の積層方向（Ｚ方向）の各層の下端の位置をＺ１、Ｚ２、…、およびＺＮ-1、各層の上端の位置をＺ１、Ｚ２、…、およびＺＮ、各層のヤング率をＹ１、Ｙ２、…、およびＹＮ、各層のポアソン比をσ１、σ２、…、およびσＮとし、前記薄膜積層素子の矩形領域に単位面積あたりｐの均等荷重が加えられているときに、素子の体積変位Ｖｏｌを、下式により求めることを特徴とする薄膜積層素子の変位計算方法。
【数４】
2005182549.tif 000105
但し、
【数５】
2005182549.tif 000106
【数６】
2005182549.tif 000107
【請求項３】
矩形の薄膜層が複数枚（Ｎ枚）積層された矩形素子構造を有し、該矩形素子の４辺が単純支持された薄膜積層素子の変位計算方法であって、
前記矩形の薄膜層の互いに隣り合う２辺の長さをＬおよびＷ、各層の番号を１、２、…、およびＮ、前記薄膜積層素子の積層方向（Ｚ方向）の各層の下端の位置をＺ１、Ｚ２、…、およびＺＮ-1、各層の上端の位置をＺ１、Ｚ２、…、およびＺＮ、各層のヤング率をＹ１、Ｙ２、…、およびＹＮ、各層のポアソン比をσ１、σ２、…、およびσＮとし、前記薄膜積層素子の矩形領域に単位面積あたりｐの均等荷重が加えられているときに、Ｚ方向の最大変位ｆｍａｘを下式により求めることを特徴とする薄膜積層素子の変位計算方法。
【数７】
2005182549.tif 000108
但し、
【数８】
2005182549.tif 000109
【数９】
2005182549.tif 000110
【数１０】
2005182549.tif 000111
【数１１】
2005182549.tif 000112
【数１２】
2005182549.tif 000113
【請求項４】
矩形の薄膜層が複数枚（Ｎ枚）積層された矩形素子構造を有し、該矩形素子の４辺が単純支持された薄膜積層素子の変位計算方法であって、
前記矩形の薄膜層の互いに隣り合う２辺の長さをＬおよびＷ、各層の番号を１、２、…、およびＮ、前記薄膜積層素子の積層方向（Ｚ方向）の各層の下端の位置をＺ１、Ｚ２、…、およびＺＮ-1、各層の上端の位置をＺ１、Ｚ２、…、およびＺＮ、各層のヤング率をＹ１、Ｙ２、…、およびＹＮ、各層のポアソン比をσ１、σ２、…、およびσＮとし、前記薄膜積層素子の矩形領域に単位面積あたりｐの均等荷重が加えられているときに、素子の体積変位Ｖｏｌを、下式により求めることを特徴とする薄膜積層素子の変位計算方法。
【数１３】
2005182549.tif 000114
但し、
【数１４】
2005182549.tif 000115
【数１５】
2005182549.tif 000116
【数１６】
2005182549.tif 000117
【請求項５】
請求項１又は３に記載の薄膜積層素子の変位計算方法を用いて最大変位の解析を行う、コンピュータ読み取り可能な薄膜積層素子の変位計算プログラム。
【請求項６】
請求項２又は４に記載の薄膜積層素子の変位計算方法を用いて体積変位の解析を行う、コンピュータ読み取り可能な薄膜積層素子の変位計算プログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、薄膜積層素子の変位計算方法および薄膜積層素子の変位計算プログラムに関し、より詳細には、スピーカや圧力センサ、微小流路を有するマイクロポンプ、インクジェットなど、薄膜を積層した素子の変位計算方法および薄膜積層素子の変位計算プログラムに関する。
【背景技術】
【０００２】
圧電体薄膜、薄膜電極、基体となる薄膜等を複数積層した薄膜積層型の素子は、平板スピーカーや圧力センサ、圧電素子を用いたインクジェットヘッド等、多岐にわたる分野で利用されている。一般に、これらの素子に所望の特性に持たせるように設計する場合、各層の剛性テンソル等の物性値と、素子の形態（形状および境界部の支持方法）が既知であるとして、構造物を多数のメッシュに分割して有限要素法等の数値計算アルゴリズムを用いてシミュレーションを行う（例えば、特許文献１を参照）。
【０００３】
設計に用いるシミュレータとしては、３次元構造解析ができて、例えば、Ａｎｓｙｓ．Ｉｎｃ．のＡＮＳＹＳ（製品名）等が知られている。このようなシミュレータを用いれば、多数の層を有する薄膜積層素子の変位解析等を行うことができる。
【０００４】
【特許文献１】特開平１０―５５３５１号公報
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
しかしながら、例えば有限要素法を用いた計算では、はじめに構造物をメッシュに分割する過程が必要であり、さらに、大規模行列計算等が必要になるため、計算時間が長くなるという問題があった。
【０００６】
また、一般に、薄膜は単結晶ではなく、例えば１つの軸方向のみに配向しているような場合もあり、単結晶体で測定されている多成分を有するテンソルを用いて計算しても必ずしも精度が高くなるというわけでもないという問題もあった。
【０００７】
本発明は、このような問題に鑑みてなされたもので、その目的とするところは、煩雑なメッシュ作成工程や大規模な３次元構造解析数値シミュレーションを行うことなしに、任意の層数で薄膜を積層した素子の変位を計算する方法、および変位計算プログラムを提供することにある。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
本発明は、このような目的を達成するために、請求項１に記載の発明は、矩形の薄膜層が複数枚（Ｎ枚）積層された矩形素子構造を有し、該矩形素子の４辺が単純支持された薄膜積層素子の変位計算方法であって、前記矩形の薄膜層の互いに隣り合う２辺の長さをＬおよびＷ、各層の番号を１、２、…、およびＮ、前記薄膜積層素子の積層方向（Ｚ方向）の各層の下端の位置をＺ１、Ｚ２、…、およびＺＮ-1、各層の上端の位置をＺ１、Ｚ２、…、およびＺＮ、各層のヤング率をＹ１、Ｙ２、…、およびＹＮ、各層のポアソン比をσ１、σ２、…、およびσＮとし、前記薄膜積層素子の矩形領域に単位面積あたりｐの均等荷重が加えられているときに、Ｚ方向の最大変位ｆｍａｘを下式により求めることを特徴とする。
【０００９】
【数１】
2005182549.tif 000003
【００１０】
但し、
【００１１】
【数２】
2005182549.tif 000004
【００１２】
【数３】
2005182549.tif 000005
【００１３】
また、請求項２に記載の発明は、矩形の薄膜層が複数枚（Ｎ枚）積層された矩形素子構造を有し、該矩形素子の４辺が単純支持された薄膜積層素子の変位計算方法であって、前記矩形の薄膜層の互いに隣り合う２辺の長さをＬおよびＷ、各層の番号を１、２、…、およびＮ、前記薄膜積層素子の積層方向（Ｚ方向）の各層の下端の位置をＺ１、Ｚ２、…、およびＺＮ-1、各層の上端の位置をＺ１、Ｚ２、…、およびＺＮ、各層のヤング率をＹ１、Ｙ２、…、およびＹＮ、各層のポアソン比をσ１、σ２、…、およびσＮとし、前記薄膜積層素子の矩形領域に単位面積あたりｐの均等荷重が加えられているときに、素子の体積変位Ｖｏｌを、下式により求めることを特徴とする。
【００１４】
【数４】
2005182549.tif 000006
【００１５】
但し、
【００１６】
【数５】
2005182549.tif 000007
【００１７】
【数６】
2005182549.tif 000008
【００１８】
また、請求項３に記載の発明は、矩形の薄膜層が複数枚（Ｎ枚）積層された矩形素子構造を有し、該矩形素子の４辺が単純支持された薄膜積層素子の変位計算方法であって、前記矩形の薄膜層の互いに隣り合う２辺の長さをＬおよびＷ、各層の番号を１、２、…、およびＮ、前記薄膜積層素子の積層方向（Ｚ方向）の各層の下端の位置をＺ１、Ｚ２、…、およびＺＮ-1、各層の上端の位置をＺ１、Ｚ２、…、およびＺＮ、各層のヤング率をＹ１、Ｙ２、…、およびＹＮ、各層のポアソン比をσ１、σ２、…、およびσＮとし、前記薄膜積層素子の矩形領域に単位面積あたりｐの均等荷重が加えられているときに、Ｚ方向の最大変位ｆｍａｘを下式により求めることを特徴とする。
【００１９】
【数７】
2005182549.tif 000009
【００２０】
但し、
【００２１】
【数８】
2005182549.tif 000010
【００２２】
【数９】
2005182549.tif 000011
【００２３】
【数１０】
2005182549.tif 000012
【００２４】
【数１１】
2005182549.tif 000013
【００２５】
【数１２】
2005182549.tif 000014
【００２６】
また、請求項４に記載の発明は、矩形の薄膜層が複数枚（Ｎ枚）積層された矩形素子構造を有し、該矩形素子の４辺が単純支持された薄膜積層素子の変位計算方法であって、前記矩形の薄膜層の互いに隣り合う２辺の長さをＬおよびＷ、各層の番号を１、２、…、およびＮ、前記薄膜積層素子の積層方向（Ｚ方向）の各層の下端の位置をＺ１、Ｚ２、…、およびＺＮ-1、各層の上端の位置をＺ１、Ｚ２、…、およびＺＮ、各層のヤング率をＹ１、Ｙ２、…、およびＹＮ、各層のポアソン比をσ１、σ２、…、およびσＮとし、前記薄膜積層素子の矩形領域に単位面積あたりｐの均等荷重が加えられているときに、素子の体積変位Ｖｏｌを、下式により求めることを特徴とする薄膜積層素子の変位計算方法。
【００２７】
【数１３】
2005182549.tif 000015
【００２８】
但し、
【００２９】
【数１４】
2005182549.tif 000016
【００３０】
【数１５】
2005182549.tif 000017
【００３１】
【数１６】
2005182549.tif 000018
【００３２】
また、請求項５に記載の発明は、コンピュータ読み取り可能な薄膜積層素子の変位計算プログラムであって、請求項１又は３に記載の薄膜積層素子の変位計算方法を用いて最大変位の解析を行うことを特徴とする。
【００３３】
更に、請求項６に記載の発明は、コンピュータ読み取り可能な薄膜積層素子の変位計算プログラムであって、請求項２又は４に記載の薄膜積層素子の変位計算方法を用いて体積変位の解析を行うことを特徴とする。
【発明の効果】
【００３４】
本発明の薄膜積層素子の変位計算方法を用いれば、極めて簡便に任意の積層型素子の性能を見積もることができ、スピーカー、センサ、その他の積層型の素子の設計を容易に行うことが可能となる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００３５】
以下に、図面を参照して本発明の実施の形態について説明する。
【００３６】
図１は、矩形の積層圧電素子の構造を説明するための図で、図１（ａ）は平面図、図１（ｂ）は断面図である。図中、１、２、…、Ｎは層の番号、Ｚ０、Ｚ１、Ｚ２、…、ＺＮ-1は各層の下端のＺ座標、Ｚ１、Ｚ２、Ｚ３…、ＺＮは各層の上端のＺ座標である。また、Ｙ１、Ｙ２、…、ＹＮは各層のヤング率、σ１、σ２、…、σＮは各層のポアソン比、ｄ３１１、ｄ３１２、…、ｄ３１Ｎは各層の圧電定数、そして、Ｖ１、Ｖ２、…、ＶＮは各層に印加される電圧である。
【００３７】
図１中、面内の座標軸はｘ、ｙ方向であり、点（ｘ、ｙ）におけるＺ方向の変位をｆ（ｘ、ｙ）とする。また、素子には単位面積あたりｐの均等荷重が加わっているものとし、素子は各座標軸に対称であり、素子の長さ（ｘ方向）をＬ、幅（ｙ方向）をＷとする。なお、境界はすべて固定されているものとする。
【００３８】
更に、以下の説明では、（ａ）素子の変形は微小でありｆ（ｘ、ｙ）で記述でき、（ｂ）弾性体は等方線形弾性体でありその変形はフックの法則を満たし、（ｃ）各層のポアソン比σｉはほぼ等しく、（ｄ）圧電体はＺ方向のみが特徴的な方向であり圧電定数はｄ３１＝ｄ３２の関係を満足し、（ｅ）各層に印加する電圧Ｖｉは小さく電圧歪ｄ３１ｉ・Ｖｉ／（Ｚｉ−Ｚｉ−１）は１に比較して極めて小さい値である（ｄ３１ｉ・Ｖｉ／（Ｚｉ−Ｚｉ−１）≪１）、の５項目を仮定する。
【００３９】
以下、どのようにして本実施形態の薄膜積層素子の変位計算方法が導出されるかを説明する。
〔圧電歪が無視できる場合〕
先ず、各層に印加される電圧Ｖｉが極めて小さく、薄膜積層素子の変位に及ぼす電圧歪の影響が無視できる場合について説明する。この場合には、仮定した５項目のうち、（ａ）〜（ｃ）の３項目のみを仮定して変位計算方法を導出すれば足りることとなる。
弾性体の変形の基本式（フックの法則）は、
【００４０】
【数１７】
2005182549.tif 000019
【００４１】
である。ここで、τｉｊは応力テンソル、ｃｉｊｋｌは剛性テンソル、Ｓｋｌはひずみテンソルである。また、それぞれの添字は１から３までの値をとる。ここで、テンソルの添字が２度出てきたものに関しては、その添字に関して和をとることとする。
すると、系の自由エネルギー密度Ｇは、
【００４２】
【数１８】
2005182549.tif 000020
【００４３】
と書くことができる。ここで、弾性体としては等方的と考えているので、ラメの定数、λ、η、およびクロネッカーのδｉｊを用いて、剛性テンソルは、
【００４４】
【数１９】
2005182549.tif 000021
【００４５】
となるので、自由エネルギー密度Ｇは、
【００４６】
【数２０】
2005182549.tif 000022
【００４７】
となる。次に、素子が薄板と考えてよい場合、板全体にわたって、τ１３、τ２３、τ３３は、他の応力成分に比べて微小であるとしてよいので、
【００４８】
【数２１】
2005182549.tif 000023
【００４９】
となり、式（１）、（３）より、
【００５０】
【数２２】
2005182549.tif 000024
【００５１】
であり、さらに、ラメの定数λ、ηから、ヤング率Ｙ、ポアソン比σを用いて記述することにすると、
【００５２】
【数２３】
2005182549.tif 000025
【００５３】
であるので、結局、
【００５４】
【数２４】
2005182549.tif 000026
【００５５】
となる。
続いて、ｆ（ｘ、ｙ）とひずみＳ１１、Ｓ２２、Ｓ１２の関係を考える。今、変形を微小なので、ＺＮを中立面のＺ座標として、
【００５６】
【数２５】
2005182549.tif 000027
【００５７】
となるから、式（８）は、ｆ（ｘ，ｙ）を用いて、
【００５８】
【数２６】
2005182549.tif 000028
【００５９】
となる。
以上で、自由エネルギー密度Ｇを、関数ｆ（ｘ、ｙ）で記述することができた。続いて、Ｇを系の全領域で積分すれば、系の全自由エネルギーを求めることができる。先ずはじめに、Ｚ方向に積分すると、
【００６０】
【数２７】
2005182549.tif 000029
【００６１】
となる。ここで、ｍ＝１、２、３として、
【００６２】
【数２８】
2005182549.tif 000030
【００６３】
および、
【００６４】
【数２９】
2005182549.tif 000031
【００６５】
である。静的安定状態の式、
【００６６】
【数３０】
2005182549.tif 000032
【００６７】
と、仮定より、各層のポアソン比σｉはほぼ等しいとすると、
【００６８】
【数３１】
2005182549.tif 000033
【００６９】
とすることができる。式（１１）、（１５）より、
【００７０】
【数３２】
2005182549.tif 000034
【００７１】
となる。ここで、＜ＹＩ＞は、
【００７２】
【数３３】
2005182549.tif 000035
【００７３】
で、
【００７４】
【数３４】
2005182549.tif 000036
【００７５】
は、
【００７６】
【数３５】
2005182549.tif 000037
【００７７】
である。式（１６）をｘおよびｙで積分することにより全系の自由エネルギが得られ、その全系の自由エネルギをｆ（ｘ、ｙ）で変分をとることによって、次式のように静的安定状態を記述する基本式が得られる。
【００７８】
【数３６】
2005182549.tif 000038
【００７９】
において、第１項は、
【００８０】
【数３７】
2005182549.tif 000039
【００８１】
であり、ｄｌは境界に沿った単位線要素を意味し、
【００８２】
【数３８】
2005182549.tif 000040
【００８３】
は境界積分を表す。また、
【００８４】
【数３９】
2005182549.tif 000041
【００８５】
は、単位線要素ｄｌに垂直、外向き方向の微分である。なお、第２項は、本実施形態における形状では０となる。
【００８６】
また、外部の負荷ｐによってなされる仕事は、
【００８７】
【数４０】
2005182549.tif 000042
【００８８】
であり、これが変形した系に貯えられたエネルギーに等しい。
【００８９】
領域内ではδｆは任意であることから、結局、ｆ（ｘ、ｙ）を決定する方程式は、
【００９０】
【数４１】
2005182549.tif 000043
【００９１】
となり、境界上ではｆ＝０、および
【００９２】
【数４２】
2005182549.tif 000044
【００９３】
が任意であることから、境界条件は、
【００９４】
【数４３】
2005182549.tif 000045
【００９５】
となる。方程式（２２）を、境界条件（２３）のもとで解くと、
【００９６】
【数４４】
2005182549.tif 000046
【００９７】
となる。ここで、ｋｎは、
【００９８】
【数４５】
2005182549.tif 000047
【００９９】
である。
最大変位ｆｍａｘは、ｘ＝０、ｙ＝０でおこり、
【０１００】
【数４６】
2005182549.tif 000048
【０１０１】
である。また、全体積変位Ｖｏｌは、ｆ（ｘ、ｙ）をｘおよびｙで積分して、
【０１０２】
【数４７】
2005182549.tif 000049
【０１０３】
となる。
【０１０４】
〔圧電歪が無視できない場合〕
次に、圧電歪が無視できない場合、すなわち、圧電定数および圧電歪を考慮した場合の本実施形態の薄膜積層素子の変位計算方法の導出について説明する。この場合には、先に仮定した５項目のうち、（ａ）〜（ｅ）の５項目すべてを仮定して変位計算方法を導出することとなる。
【０１０５】
圧電基本式は、
【０１０６】
【数４８】
2005182549.tif 000050
【０１０７】
【数４９】
2005182549.tif 000051
【０１０８】
である。ここで、τｉｊは応力テンソル、Ｄｉは電束密度、Ｓｉｊはひずみテンソル、Ｅｉは電界である。また、ｃＥｉｊｋｌは電界一定のもとでの剛性テンソル、ｅｉｊｋはｅ圧電定数テンソル、εＳｉｊは歪一定での誘電率テンソルである。また、それぞれの添字は１から３までの値をとる。ここで、各項でテンソルの添字が２度出てきたものに関しては、その添字に関して和をとることとする。すなわち、
【０１０９】
【数５０】
2005182549.tif 000052
【０１１０】
などという意味である。
すると、系の自由エネルギー密度Ｇは、
【０１１１】
【数５１】
2005182549.tif 000053
【０１１２】
と書くことができる。ここで、弾性体としては等方的と考えているので、ラメの定数、λ、η、およびクロネッカーのδｉｊを用いて、剛性テンソルは、
【０１１３】
【数５２】
2005182549.tif 000054
【０１１４】
となる。また、定義より、ｅ圧電定数とｄ圧電定数の間には、
【０１１５】
【数５３】
2005182549.tif 000055
【０１１６】
なる関係がある。従って、
【０１１７】
【数５４】
2005182549.tif 000056
【０１１８】
となる。
以上より、自由エネルギー密度Ｇは、以下の議論で関係のない電気的なエネルギの部分を除いて、
【０１１９】
【数５５】
2005182549.tif 000057
【０１２０】
となる。更に、仮定より、電界が積層方向、すなわち、３方向成分のみであるから、
【０１２１】
【数５６】
2005182549.tif 000058
【０１２２】
である。
また、ｄｋ１１をｄｋ１、ｄｋ２２をｄｋ２、ｄｋ３３をｄｋ３、ｄｋ２３をｄｋ４、ｄｋ１３をｄｋ５、ｄｋ１２をｄｋ６、のように表記すれば、
【０１２３】
【数５７】
2005182549.tif 000059
【０１２４】
となる。ここで、仮定より、
ｄ３１＝ｄ３２、ｄ３４＝ｄ３５＝ｄ３６                  （３８）
であり、歪テンソルが対称であることから、結局、
【０１２５】
【数５８】
2005182549.tif 000060
【０１２６】
となる。
次に、素子が薄板と考えてよい場合、板全体にわたって、τ１３、τ２３、τ３３は、他の応力成分に比べて微小であるとしてよいので、
【０１２７】
【数５９】
2005182549.tif 000061
【０１２８】
となり、式（３２）、（３４）、（３６）、（３８）より、
【０１２９】
【数６０】
2005182549.tif 000062
【０１３０】
であるから、
【０１３１】
【数６１】
2005182549.tif 000063
【０１３２】
となる。
また、ここまでは、ラメの定数λ、ηを用いて記述してきたが、ここで、ヤング率Ｙ、ポアソン比σを用いて記述することにすると、
【０１３３】
【数６２】
2005182549.tif 000064
【０１３４】
【数６３】
2005182549.tif 000065
【０１３５】
であるので、結局、式（１９）は、
【０１３６】
【数６４】
2005182549.tif 000066
【０１３７】
となる。
続いて、ｆ（ｘ、ｙ）とひずみＳ１１、Ｓ２２、Ｓ１２の関係を考える。今、変形は微小なので、ＺＮを中立面のＺ座標として、
【０１３８】
【数６５】
2005182549.tif 000067
【０１３９】
【数６６】
2005182549.tif 000068
【０１４０】
【数６７】
2005182549.tif 000069
【０１４１】
となるから、式（４５）は、ｆ（ｘ、ｙ）を用いて、
【０１４２】
【数６８】
2005182549.tif 000070
【０１４３】
と書くことができる。
以上で、自由エネルギー密度Ｇを、関数ｆ（ｘ、ｙ）で記述することができた。続いて、Ｇを系の全領域で積分すれば、系の全自由エネルギーを求めることができる。先ずはじめに、Ｚ方向に積分すると、
【０１４４】
【数６９】
2005182549.tif 000071
【０１４５】
となる。ここで、ｍ＝１、２、３として、
【０１４６】
【数７０】
2005182549.tif 000072
【０１４７】
【数７１】
2005182549.tif 000073
【０１４８】
および、
【０１４９】
【数７２】
2005182549.tif 000074
【０１５０】
である。
静的安定状態では、
【０１５１】
【数７３】
2005182549.tif 000075
【０１５２】
であるから、式（５０）をＺｎで微分して、
【０１５３】
【数７４】
2005182549.tif 000076
【０１５４】
となる。
仮定より、各層のポアソン比σ１はほぼ等しく、各層に印加する電圧Ｖｉは小さく、電圧歪はｄ３１ｉＶｉ／（Ｚｉ−Ｚｉ−１）≪１であるとすると、
【０１５５】
【数７５】
2005182549.tif 000077
【０１５６】
とすることができる。
この関係を用いて、式（５０）を書き直すと、
【０１５７】
【数７６】
2005182549.tif 000078
【０１５８】
となる。ここで、
【０１５９】
【数７７】
2005182549.tif 000079
【０１６０】
【数７８】
2005182549.tif 000080
【０１６１】
【数７９】
2005182549.tif 000081
【０１６２】
である。
式（５７）を、ｘおよびｙで系の全領域で積分することにより、全系の自由エネルギが得られ、その全系の自由エネルギをｆ（ｘ、ｙ）で変分をとることによって静的安定状態を記述する基本式が次式のように得られる。
【０１６３】
【数８０】
2005182549.tif 000082
【０１６４】
において、第１項は、
【０１６５】
【数８１】
2005182549.tif 000083
【０１６６】
となる。第２項は、
【０１６７】
【数８２】
2005182549.tif 000084
【０１６８】
となり、更に、第３項は、本実施形態における形状では０となる。
以上を纏めると、
【０１６９】
【数８３】
2005182549.tif 000085
【０１７０】
が得られる。
また、外部の負荷ｐ（ｘ、ｙ）によってなされる仕事は、
【０１７１】
【数８４】
2005182549.tif 000086
【０１７２】
であり、これが変形した系に貯えられたエネルギーに等しい。領域内ではδｆは任意であることから、結局、ｆ（ｘ、ｙ）を決定する方程式は、
【０１７３】
【数８５】
2005182549.tif 000087
【０１７４】
となり、境界上では、
【０１７５】
【数８６】
2005182549.tif 000088
【０１７６】
が任意であることから、境界条件は、
【０１７７】
【数８７】
2005182549.tif 000089
【０１７８】
【数８８】
2005182549.tif 000090
【０１７９】
【数８９】
2005182549.tif 000091
【０１８０】
となる。
方程式（６６）を、境界条件（６７）、（６８）、（６９）のもとで解くと、結局、
【０１８１】
【数９０】
2005182549.tif 000092
【０１８２】
となる。ここで、ｋｎは、
【０１８３】
【数９１】
2005182549.tif 000093
【０１８４】
である。一様荷重（ｐ（ｘ、ｙ）＝ｐ）の場合の最大変位ｆｍａｘは、ｘ＝０、ｙ＝０でおこり、
【０１８５】
【数９２】
2005182549.tif 000094
【０１８６】
である。また、全体積変位Ｖｏｌは、ｆ（ｘ、ｙ）をｘおよびｙで積分して、
【０１８７】
【数９３】
2005182549.tif 000095
【０１８８】
となる。
【０１８９】
〔本実施形態の薄膜積層素子の変位計算方法の基本フロー〕
次に、本実施形態の薄膜積層素子の変位計算プログラムを用いての、薄膜積層素子の変位計算方法の基本フローについて説明する。
【０１９０】
図２は、本実施形態の薄膜積層素子の変位計算方法に用いる装置の構成例を説明するための図で、この装置は、条件等を入力する入力部２１、計算を行う計算部２２、解析結果を出力する出力部２３で構成される。
【０１９１】
入力部２１は、キーボードやマウス等を備えており、計算部２２は、ＣＰＵ２４及びメモリ２５で構成され、記録媒体２９に記録された記録内容を読み込むことができる。
【０１９２】
出力部２３は、解析結果を表示するＣＲＴ２６及び印刷による出力が可能な印刷部２７で構成され、解析結果は解析結果保存部２８に保存しておくことも可能である。
【０１９３】
記録媒体２９には、上述した解析を実行する解析プログラムが記録されており、計算部２２は読み込んだプログラムに従って計算を実行する。なお、入力部２１と計算部２２と出力部２３とはワークステーションあるいはパーソナルコンピュータの形態であってもよい。
【０１９４】
図３は、図２で示した計算部２２で実行される、記録媒体２９に記録された薄膜積層素子の変位計算プログラムのフローチャートである。このフローチャートで用いる記号は、図１で示されているものと同様である。
【０１９５】
本実施形態の薄膜積層素子の変位計算プログラムは、データの入力を行うサブルーチン（Ｓ１０１）、入力データをもとに最大変位を式（２６）で計算するサブルーチン（Ｓ１０２）と、体積変位を式（２７）で計算するサブルーチン（Ｓ１０３）と、計算結果を出力するサブルーチン（Ｓ１０４）とを有する。
【０１９６】
まず、積層する層数、各層の物性値、および矩形の寸法、荷重を入力する（Ｓ１０１）。続いて、最大変位と体積変位を計算する（Ｓ１０２、Ｓ１０３）。次に、計算結果を出力する（Ｓ１０４）。その後、別の入力データを用いて新たに計算を行う場合はＳ１０１にもどり、これ以上計算を続けない場合は、終了する（Ｓ１０５）。
【０１９７】
以下に、本実施形態の薄膜積層素子の変位計算方法を用いた解析実施例について説明する。
先ず、圧電歪が無視できる場合について実施例１〜３で説明する。
【実施例１】
【０１９８】
本実施例は、４層構成のもので、荷重に変化させた場合の最大変位、体積変位の変化を求めたケースである。入力パラメータを下表に示す。
【０１９９】
【表１】
2005182549.tif 000096
【０２００】
ここで、ｐは、０ｋＰａから１０００ｋＰａまで変化させた。
【０２０１】
図４は、このような入力パラメータに基づいて実行された計算の結果を説明するための図である。
【実施例２】
【０２０２】
本実施例は、３層構成のもので、そのうちの２層の厚みを固定し、ひとつの層の厚みを変化させた場合の、最大変位、体積変位の変化を求めたケースである。入力パラメータを下表に示す。
【０２０３】
【表２】
2005182549.tif 000097
【０２０４】
ここで、Ｄは、０．０１から０．１まで変化させた。
【０２０５】
図５は、このような入力パラメータに基づいて実行された計算の結果を説明するための図である。
【実施例３】
【０２０６】
本実施例は、実施例２と同様な構造の素子において、ひとつの層のヤング率を変化させた場合の最大変位および体積変位の変化を求めたケースである。入力パラメータを下表に示す。
【０２０７】
【表３】
2005182549.tif 000098
【０２０８】
ここで、Ｙは、１×１０１０から１×１０１１まで変化させた。
【０２０９】
図６は、このような入力パラメータに基づいて実行された計算の結果を説明するための図である。
【０２１０】
次に、圧電歪が無視できない場合について実施例４〜６で説明する。
【実施例４】
【０２１１】
本実施例は、基体の上に電極、圧電体、電極と積層した４層構成のもので、電極の厚みを固定し、圧電体と基体の厚みの和を一定にしたまま、圧電体の厚みを変化させた場合の、最大変位および体積変位の変化を求めたケースである。図７は、本実施例の矩形の積層圧電素子の構造を説明するための図で、図７（ａ）は平面図、図７（ｂ）は断面図である。入力パラメータを下表に示す。
【０２１２】
【表４】
2005182549.tif 000099
【０２１３】
ここで、Ｄは、５．０から１５．０まで変化させた。
【０２１４】
図８は、このような入力パラメータに基づいて実行された計算の結果を説明するための図で、この図から、変位は、圧電体の厚みが厚くなると減少することがわかる。
【実施例５】
【０２１５】
本実施例は、実施例４と同様の構造の素子において、電極の厚みを固定し、圧電体と基体の厚みの和を一定にしたまま、圧電体の厚みを変化させた場合の、最大変位および体積変位の変化を求めたケースである。なお、本実施例においては、圧電体に印加する電圧は、圧電体の厚みに比例（すなわち印加電界は一定）するものとした。入力パラメータを下表に示す。
【０２１６】
【表５】
2005182549.tif 000100
【０２１７】
ここで、Ｄは、５．０から１５．０まで変化させた。
【０２１８】
図９は、このような入力パラメータに基づいて実行された計算の結果を説明するための図で、この図から、変位が最大となるのは、基体の厚みが１０．０×１０−６ｍ近傍にある場合であり、変位を最大にする最適設計が極めて簡単に行なえることがわかる。
【実施例６】
【０２１９】
図１０は、本実施例の薄膜積層型の圧電素子の構造を説明するための図で、図１０（ａ）は平面図、図１０（ｂ）は断面図である。用いる符号等は図１と同様である。この圧電素子は、基体の上に電極、圧電体、電極と積層した４層構成のもので、均等荷荷重を変化させた場合の、最大変位および体積変位の変化を求めたケースである。入力パラメータを下表に示す。
【０２２０】
【表６】
2005182549.tif 000101
【０２２１】
ここで、Ｐは、−１０．０から１０．０まで変化させた。
【０２２２】
図１１は、このような入力パラメータに基づいて実行された計算の結果を説明するための図で、この図から、荷重を変えてゆくと、変位は、７．０×１０４Ｐａ付近でゼロとなり、それ以上の荷重を加えると、圧電体の変位しようとする方向の逆に変位が生じてしまうことがわかる。
【産業上の利用可能性】
【０２２３】
極めて簡便に任意の積層型素子の性能を見積もることができ、スピーカー、センサ、その他の積層型の素子の設計を容易に実行可能とする薄膜積層素子の変位計算方法が提供可能となる。
【図面の簡単な説明】
【０２２４】
【図１】実施形態の薄膜積層素子の変位計算方法の導出に用いる矩形の薄膜積層素子の構造を示す図で、（ａ）は平面図、（ｂ）は断面図である。
【図２】実施形態の薄膜積層素子の変位計算方法に用いる装置構成の例を示す図である。
【図３】実施形態の薄膜積層素子の変位計算プログラムのフローチャートである。
【図４】実施形態の薄膜積層素子の変位計算方法による第１実施例の計算結果を示す図である。
【図５】実施形態の薄膜積層素子の変位計算方法による第２実施例の計算結果を示す図である。
【図６】実施形態の薄膜積層素子の変位計算方法による第３実施例の計算結果を示す図である。
【図７】実施形態の薄膜積層素子の変位計算方法に用いる矩形の薄膜積層素子の構造を示す図で、（ａ）は平面図、（ｂ）は断面図である。
【図８】実施形態の薄膜積層素子の変位計算方法による第４実施例の計算結果を示す図である。
【図９】実施形態の薄膜積層素子の変位計算方法による第５実施例の計算結果を示す図である。
【図１０】実施形態の薄膜積層素子の変位計算方法に用いる矩形の薄膜積層素子の構造を示す図で、（ａ）は平面図、（ｂ）は断面図である。
【図１１】実施形態の薄膜積層素子の変位計算方法による第６実施例の計算結果を示す図である。
【符号の説明】
【０２２５】
２１  入力部
２２  計算部
２３  出力部
２４  ＣＲＴ
２５  印刷部
２６  解析結果保存部
２７  ＣＰＵ
２８  メモリ
２９  記録媒体
【図１】
2005182549.tif 000119
【図２】
2005182549.tif 000120
【図３】
2005182549.tif 000121
【図４】
2005182549.tif 000122
【図５】
2005182549.tif 000123
【図６】
2005182549.tif 000124
【図７】
2005182549.tif 000125
【図８】
2005182549.tif 000126
【図９】
2005182549.tif 000127
【図１０】
2005182549.tif 000128
【図１１】
2005182549.tif 000129