(57)【要約】【課題】  ＣＧモデルあるいはＣＡＤモデルの利用価値を大幅に高めることができるとともに、設計・生産プロセスを効率化することができるＣＡＤシステム、曲面解析装置、曲面再生装置、その方法及びそのプログラムを提供する。【解決手段】  コンピュータが、実空間上の曲面をパラメータ空間に写像し、一次基本量と二次基本量とを算出する。次に、曲面の曲率線及び曲率線が通過する実空間座標を算出し、パラメータ空間上の逆写像目標点を通過する線とパラメータ空間上に写像された曲率線とのパラメータ空間上での交点の実空間座標を算出する。そして、算出した交点の実空間座標を通過する実空間上の曲線を算出し、これに基づいて曲線上の逆写像目標点の実空間座標値を算出して、実空間上で曲面データを再生する。【選択図】  図１
2005149245.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
実空間上の曲面を、接平面を形成する接線ベクトルによって定義されるパラメータ空間上に写像する曲面解析装置と、該曲面解析装置によって写像されたパラメータ空間座標から前記実空間上の曲面を再生する曲面再生装置とから構成されるＣＡＤシステムであって、
前記曲面解析装置が、
所定の図形表現により生成される実空間上の曲面を、該曲面の接平面を形成する接線ベクトル及び前記接平面に対する法線ベクトルによって定義される平面、円筒面又は球面のパラメータ空間に写像する曲面写像手段と、
前記接線ベクトルによって定義される一次基本量と、前記接線ベクトルと前記曲面の法線ベクトルとによって定義される二次基本量とを算出する規格量算出手段と
を具備し、
前記曲面再生装置が、
前記実空間上の曲面の一次基本量及び二次基本量に基づいて、前記曲面の曲率線及び該曲率線が通過する実空間座標を算出する曲率線算出手段と、
前記パラメータ空間上の逆写像目標点を通過する線と前記パラメータ空間上に写像された曲率線との前記パラメータ空間上での交点の実空間座標を、前記実空間上の曲率線が通過する実空間座標と、前記パラメータ空間上での曲率線の始点から交点までの距離と曲率線全長との比とに基づいて算出する第１の実空間座標値算出手段と、
該算出した交点の実空間座標に基づいて、所定の図形表現により、該算出した交点の実空間座標を通過する前記実空間上の曲線を算出し、パラメータ空間上における逆写像目標点を通過する線の始点から目標点までの距離に基づいて、前記算出した曲線上の逆写像目標点の実空間座標値を算出する第２の実空間座標値算出手段と、
該算出した実空間座標値に基づいて、前記実空間上で曲面データを再生する曲面再生手段と
を具備する
ことを特徴とするＣＡＤシステム。
【請求項２】
所定の図形表現により生成される実空間上の曲面より、該曲面の接平面を形成する接線ベクトルによって定義される一次基本量と、前記接線ベクトルと前記曲面の法線ベクトルとによって定義される二次基本量とを算出する曲面解析装置と、
前記一次基本量及び二次基本量に基づいて、前記実空間上の曲面を表す微分方程式のパラメータを設定し、該微分方程式の数値計算処理により実空間座標値を算出し、曲面データを再生する曲面再生装置と
を具備することを特徴とするＣＡＤシステム。
【請求項３】
所定の図形表現により生成される実空間上の曲面を、該曲面の接平面を形成する接線ベクトル及び前記接平面に対する法線ベクトルによって定義される平面、円筒面又は球面のパラメータ空間に写像する曲面写像手段と、
前記接線ベクトルによって定義される一次基本量と、前記接線ベクトルと前記曲面の法線ベクトルとによって定義される二次基本量とを算出する規格量算出手段と
を具備することを特徴とする曲面解析装置。
【請求項４】
実空間上の曲面が、該曲面の接平面を形成する接線ベクトルによって定義されるパラメータ空間上に写像されたパラメータ空間座標から前記実空間上の曲面を再生する曲面再生装置であって、
前記実空間上の曲面の一次基本量及び二次基本量に基づいて、前記曲面の曲率線及び該曲率線が通過する実空間座標を算出する曲率線算出手段と、
前記パラメータ空間上の逆写像目標点を通過する線と、前記パラメータ空間上に写像された曲率線との前記パラメータ空間上での交点の実空間座標を、前記実空間上の曲率線が通過する実空間座標と、前記パラメータ空間上での曲率線の始点から交点までの距離と曲率線全長との比とに基づいて算出する第１の実空間座標値算出手段と、
該算出した交点の実空間座標に基づいて、所定の図形表現により、該算出した交点の実空間座標を通過する前記実空間上の曲線を算出し、パラメータ空間上における逆写像目標点を通過する線の始点から目標点までの距離に基づいて、前記算出した曲線上の逆写像目標点の実空間座標値を算出する第２の実空間座標値算出手段と、
該算出した実空間座標値に基づいて、前記実空間上で曲面データを再生する曲面再生手段と
を具備することを特徴とする曲面再生装置。
【請求項５】
コンピュータが、
所定の図形表現により生成される実空間上の曲面を、該曲面の接平面を形成する接線ベクトル及び前記接平面に対する法線ベクトルによって定義される平面、円筒面又は球面のパラメータ空間に写像し、
前記接線ベクトルによって定義される一次基本量と、前記接線ベクトルと前記曲面の法線ベクトルとによって定義される二次基本量とを算出する
ことを特徴とする曲面解析方法。
【請求項６】
コンピュータが、実空間上の曲面が、該曲面の接平面を形成する接線ベクトルによって定義されるパラメータ空間上に写像されたパラメータ空間座標から前記実空間上の曲面を再生する曲面再生方法であって、
前記実空間上の曲面の一次基本量及び二次基本量に基づいて、前記曲面の曲率線及び該曲率線が通過する実空間座標を算出し、
前記パラメータ空間上の逆写像目標点を通過する線と前記パラメータ空間上に写像された曲率線との前記パラメータ空間上での交点の実空間座標を、前記実空間上の曲率線が通過する実空間座標と、前記パラメータ空間上での曲率線の始点から交点までの距離と曲率線全長との比とに基づいて算出し、
該算出した交点の実空間座標に基づいて、所定の図形表現により、該算出した交点の実空間座標を通過する前記実空間上の曲線を算出し、パラメータ空間上における逆写像目標点を通過する線の始点から目標点までの距離に基づいて、前記算出した曲線上の逆写像目標点の実空間座標値を算出し、
該算出した実空間座標値に基づいて、前記実空間上で曲面データを再生する
ことを特徴とする曲面再生方法。
【請求項７】
所定の図形表現により生成される実空間上の曲面を、該曲面の接平面を形成する接線ベクトル及び前記接平面に対する法線ベクトルによって定義される平面、円筒面又は球面のパラメータ空間に写像する処理と、
前記接線ベクトルによって定義される一次基本量と、前記接線ベクトルと前記曲面の法線ベクトルとによって定義される二次基本量とを算出する処理と、
前記実空間上の曲面の一次基本量及び二次基本量に基づいて、前記曲面の曲率線及び該曲率線が通過する実空間座標を算出する処理と、
前記パラメータ空間上の逆写像目標点を通過する線と、前記パラメータ空間上に写像された曲率線との前記パラメータ空間上での交点の実空間座標を、前記実空間上の曲率線が通過する実空間座標と、前記パラメータ空間上での曲率線の始点から交点までの距離と曲率線全長との比とに基づいて算出する処理と、
該算出した交点の実空間座標に基づいて、所定の図形表現により、該算出した交点の実空間座標を通過する前記実空間上の曲線を算出し、パラメータ空間上における逆写像目標点を通過する線の始点から目標点までの距離に基づいて、前記算出した曲線上の逆写像目標点の実空間座標値を算出する処理と、
該算出した実空間座標値に基づいて、前記実空間上で曲面データを再生する処理と
をコンピュータに実行させるためのＣＡＤプログラム。
【請求項８】
所定の図形表現により生成される実空間上の曲面を、該曲面の接平面を形成する接線ベクトル及び前記接平面に対する法線ベクトルによって定義される平面、円筒面又は球面のパラメータ空間に写像する処理と、
前記接線ベクトルによって定義される一次基本量と、前記接線ベクトルと前記曲面の法線ベクトルとによって定義される二次基本量とを算出する処理と
をコンピュータに実行させるための曲面解析プログラム。
【請求項９】
実空間上の曲面が、該曲面の接平面を形成する接線ベクトルによって定義されるパラメータ空間上に写像されたパラメータ空間座標から前記実空間上の曲面を再生する処理をコンピュータに実行させるためのプログラムであって、
前記実空間上の曲面の一次基本量及び二次基本量に基づいて、前記曲面の曲率線及び該曲率線が通過する実空間座標を算出する処理と、
前記パラメータ空間上の逆写像目標点を通過する線と、前記パラメータ空間上に写像された曲率線との前記パラメータ空間上での交点の実空間座標を、前記実空間上の曲率線が通過する実空間座標と、前記パラメータ空間上での曲率線の始点から交点までの距離と曲率線全長との比とに基づいて算出する処理と、
該算出した交点の実空間座標に基づいて、所定の図形表現により、該算出した交点の実空間座標を通過する前記実空間上の曲線を算出し、パラメータ空間上における逆写像目標点を通過する線の始点から目標点までの距離に基づいて、前記算出した曲線上の逆写像目標点の実空間座標値を算出する処理と、
該算出した実空間座標値に基づいて、前記実空間上で曲面データを再生する処理と
をコンピュータに実行させるための曲面再生プログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、実空間上の曲面を、接平面を形成する接線ベクトルによって定義されるパラメータ空間上で扱うＣＡＤシステム、曲面解析装置、曲面再生装置、その方法及びそのプログラムに関する。
【背景技術】
【０００２】
今日、消費者の要求に応えるべく、企画から設計・生産のプロセスの短縮化が望まれている。設計・生産プロセスを効率化するために、ＣＧ（Ｃｏｍｐｕｔｅｒ  Ｇｒａｐｈｉｃｓ）やＣＡＤ（Ｃｏｍｐｕｔｅｒ  Ａｉｄｅｄ  Ｄｅｓｉｇｎ）システムの利用が盛んに行われている。コンピュータ上で自動車や家庭電器製品等の複雑な曲線や曲面形状を持った形状を表現するために、従来、以下の処理方法が存在する。
【０００３】
一つ目はソリッドモデルであって、プリミティブと呼ばれる簡単な形状をコンピュータ内で保持し、その形状同士を組み合わせる操作を繰り返して、複雑な形状を表現する。プリミティブとは、例えば円柱、立方体、直方体、トーラス、球等であって、ソリッドモデルにおいてはこれらのプリミティブの集合演算によって形状表現を行う。したがって、複雑な形状を作成するためには多くのステップを必要とするとともに、厳密な計算が必要となる。
【０００４】
二つ目はサーフェスモデルであって、ｂｅｚｉｅｒ、ｂ−ｓｐｌｉｎｅ、有理ｂｅｚｉｅｒ、ＮＵＲＢＳ（Ｎｏｎ−Ｕｎｉｆｏｒｍ  Ｒａｔｉｏｎａｌ  ｂ−ｓｐｌｉｎｅ）などのアルゴリズムを利用することにより、線や面を切る、つなげるといった操作を行い、この繰り返しにより複雑な自由曲線・曲面を表現する。
【０００５】
しかし、上述のソリッドモデルやサーフェスモデルでは表現上では問題がないモデルであっても、ＣＡＭやＣＡＥ等の下流アプリケーションで使用する場合に問題が発生することがある。この原因は、作成したＣＧがサポートするサポート要素と他のＣＧ、ＣＡＤ及び下流アプリケーションがサポートするサポート要素の違いや形状定義の違い等であり、これらの違いを修正するトランスレータ等のアプリケーションを介してモデルの補正を行う（特許文献３等を参照）。
【特許文献１】特開２００１−２５０１３０号公報
【特許文献２】特開平１１−６５６２８号公報
【特許文献３】特開平１０−６９５０６号公報
【特許文献４】特開平４−１３４５７１号公報
【特許文献５】特開平４−１１７５７２号公報
【特許文献６】特開平１−６５６２８号公報
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
しかし、上述の補正作業は設計・生産プロセスの短縮化を図る上では、極めて非効率的である。補正が必要となる理由は、個々のケースによって様々であるが、特に生産過程において問題となる点は、従来のＣＧやＣＡＤシステムにおいては、ユークリッド幾何によってすべての曲線・曲面表現を近似していることである。
例えば、鞍型のタブシル面をスイ−プ操作によって生成する場合、鞍の裾部分の長い線と鞍の中心部分の短い線とが存在する。したがってこのスイ−プ操作は生成される曲面の連続性を保つように図形の伸縮を伴う変形となる。
しかし、従来のＣＧやＣＡＤシステムにおいてはこの伸縮を考慮しておらず、内部表現としては円筒型として近似表現している。
このため、実際にこういったユークリッド幾何で近似的に表現されるＣＧモデル、あるいはＣＡＤモデルをＣＡＥに渡すと、ここで生じる誤差が生産上問題となる。
【０００７】
以下、この問題について詳述する。図１４は、ＮＵＲＢＳで表現されたＣＡＤ情報をＣＡＭ情報に変換する前後の再生曲面の様子を示す説明図である。
今、ＮＵＲＢＳで表現されたＣＡＤ情報をそのまま再生した曲面（左図を参照）において、曲面再生上、問題となるような曲面部分は存在しないが、これをＣＡＭ情報に変換した後で再生する場合、再生した曲面（右図を参照）において、曲面中央部の非ユークリッド曲面部分にしわが発生している（図１４及び図１５を参照）。
これは、ＮＵＲＢＳ補間において、非ユークリッド幾何で表現されている曲面をユークリッド幾何によって近似することによって発生する誤差の影響の現れである。
すなわち、本来収縮のある曲面に対して、適切な補間処理がなされずに曲面変換、データ変換が行われてしまっているために、いわゆる使えないＣＡＤデータ、ＣＧデータを生み出す結果となっている。
【０００８】
本発明は、このような事情を考慮してなされたものであり、第1の目的は、ＣＧモデルあるいはＣＡＤモデルの利用価値を大幅に高めることができるとともに、設計・生産プロセスを効率化することができるＣＡＤシステム、曲面より点列情報、一次基本量、二次基本量を抽出する曲面解析装置、点列情報、一次基本量、二次基本量を用いて曲面を再生する曲面再生装置、その方法及びそのプログラムを提供することにある。
【課題を解決するための手段】
【０００９】
この発明は上記の課題を解決すべくなされたもので、本発明は、実空間上の曲面を、接平面を形成する接線ベクトルによって定義されるパラメータ空間上に写像する曲面解析装置と、該曲面解析装置によって写像されたパラメータ空間座標から前記実空間上の曲面を再生する曲面再生装置とから構成されるＣＡＤシステムであって、前記曲面解析装置が、所定の図形表現により生成される実空間上の曲面を、該曲面の接平面を形成する接線ベクトル及び前記接平面に対する法線ベクトルによって定義される平面、円筒面又は球面のパラメータ空間に写像する曲面写像手段と、前記接線ベクトルによって定義される一次基本量と、前記接線ベクトルと前記曲面の法線ベクトルとによって定義される二次基本量とを算出する規格量算出手段とを具備し、前記曲面再生装置が、前記実空間上の曲面の一次基本量及び二次基本量に基づいて、前記曲面の曲率線及び該曲率線が通過する実空間座標を算出する曲率線算出手段と、前記パラメータ空間上の逆写像目標点を通過する線と前記パラメータ空間上に写像された曲率線との前記パラメータ空間上での交点の実空間座標を、前記実空間上の曲率線が通過する実空間座標と、前記パラメータ空間上での曲率線の始点から交点までの距離と曲率線全長との比とに基づいて算出する第１の実空間座標値算出手段と、該算出した交点の実空間座標に基づいて、所定の図形表現により、該算出した交点の実空間座標を通過する前記実空間上の曲線を算出し、パラメータ空間上における逆写像目標点を通過する線の始点から目標点までの距離に基づいて、前記算出した曲線上の逆写像目標点の実空間座標値を算出する第２の実空間座標値算出手段と、該算出した実空間座標値に基づいて、前記実空間上で曲面データを再生する曲面再生手段とを具備することを特徴とする。
【００１０】
また、本発明は、所定の図形表現により生成される実空間上の曲面より、該曲面の接平面を形成する接線ベクトルによって定義される一次基本量と、前記接線ベクトルと前記曲面の法線ベクトルとによって定義される二次基本量とを算出する曲面解析装置と、前記一次基本量及び二次基本量に基づいて、前記実空間上の曲面を表す微分方程式のパラメータを設定し、該微分方程式の数値計算処理により実空間座標値を算出し、曲面データを再生する曲面再生装置とを具備することを特徴とする。
【００１１】
また、本発明は、所定の図形表現により生成される実空間上の曲面を、該曲面の接平面を形成する接線ベクトル及び前記接平面に対する法線ベクトルによって定義される平面、円筒面又は球面のパラメータ空間に写像する曲面写像手段と、前記接線ベクトルによって定義される一次基本量と、前記接線ベクトルと前記曲面の法線ベクトルとによって定義される二次基本量とを算出する規格量算出手段とを具備することを特徴とする。
【００１２】
また、本発明は、実空間上の曲面が、該曲面の接平面を形成する接線ベクトルによって定義されるパラメータ空間上に写像されたパラメータ空間座標から前記実空間上の曲面を再生する曲面再生装置であって、前記実空間上の曲面の一次基本量及び二次基本量に基づいて、前記曲面の曲率線及び該曲率線が通過する実空間座標を算出する曲率線算出手段と、前記パラメータ空間上の逆写像目標点を通過する線と、前記パラメータ空間上に写像された曲率線との前記パラメータ空間上での交点の実空間座標を、前記実空間上の曲率線が通過する実空間座標と、前記パラメータ空間上での曲率線の始点から交点までの距離と曲率線全長との比とに基づいて算出する第１の実空間座標値算出手段と、該算出した交点の実空間座標に基づいて、所定の図形表現により、該算出した交点の実空間座標を通過する前記実空間上の曲線を算出し、パラメータ空間上における逆写像目標点を通過する線の始点から目標点までの距離に基づいて、前記算出した曲線上の逆写像目標点の実空間座標値を算出する第２の実空間座標値算出手段と、該算出した実空間座標値に基づいて、前記実空間上で曲面データを再生する曲面再生手段とを具備することを特徴とする。
【００１３】
また、本発明は、コンピュータが、所定の図形表現により生成される実空間上の曲面を、該曲面の接平面を形成する接線ベクトル及び前記接平面に対する法線ベクトルによって定義される平面、円筒面又は球面のパラメータ空間に写像し、前記接線ベクトルによって定義される一次基本量と、前記接線ベクトルと前記曲面の法線ベクトルとによって定義される二次基本量とを算出することを特徴とする。
【００１４】
また、本発明は、コンピュータが、実空間上の曲面が、該曲面の接平面を形成する接線ベクトルによって定義されるパラメータ空間上に写像されたパラメータ空間座標から前記実空間上の曲面を再生する曲面再生方法であって、前記実空間上の曲面の一次基本量及び二次基本量に基づいて、前記曲面の曲率線及び該曲率線が通過する実空間座標を算出し、前記パラメータ空間上の逆写像目標点を通過する線と前記パラメータ空間上に写像された曲率線との前記パラメータ空間上での交点の実空間座標を、前記実空間上の曲率線が通過する実空間座標と、前記パラメータ空間上での曲率線の始点から交点までの距離と曲率線全長との比とに基づいて算出し、該算出した交点の実空間座標に基づいて、所定の図形表現により、該算出した交点の実空間座標を通過する前記実空間上の曲線を算出し、パラメータ空間上における逆写像目標点を通過する線の始点から目標点までの距離に基づいて、前記算出した曲線上の逆写像目標点の実空間座標値を算出し、該算出した実空間座標値に基づいて、前記実空間上で曲面データを再生することを特徴とする。
【００１５】
また、本発明は、所定の図形表現により生成される実空間上の曲面を、該曲面の接平面を形成する接線ベクトル及び前記接平面に対する法線ベクトルによって定義される平面、円筒面又は球面のパラメータ空間に写像する処理と、前記接線ベクトルによって定義される一次基本量と、前記接線ベクトルと前記曲面の法線ベクトルとによって定義される二次基本量とを算出する処理と、前記実空間上の曲面の一次基本量及び二次基本量に基づいて、前記曲面の曲率線及び該曲率線が通過する実空間座標を算出する処理と、前記パラメータ空間上の逆写像目標点を通過する線と、前記パラメータ空間上に写像された曲率線との前記パラメータ空間上での交点の実空間座標を、前記実空間上の曲率線が通過する実空間座標と、前記パラメータ空間上での曲率線の始点から交点までの距離と曲率線全長との比とに基づいて算出する処理と、該算出した交点の実空間座標に基づいて、所定の図形表現により、該算出した交点の実空間座標を通過する前記実空間上の曲線を算出し、パラメータ空間上における逆写像目標点を通過する線の始点から目標点までの距離に基づいて、前記算出した曲線上の逆写像目標点の実空間座標値を算出する処理と、該算出した実空間座標値に基づいて、前記実空間上で曲面データを再生する処理とをコンピュータに実行させるためのＣＡＤプログラムである。
【００１６】
また、本発明は、所定の図形表現により生成される実空間上の曲面を、該曲面の接平面を形成する接線ベクトル及び前記接平面に対する法線ベクトルによって定義される平面、円筒面又は球面のパラメータ空間に写像する処理と、前記接線ベクトルによって定義される一次基本量と、前記接線ベクトルと前記曲面の法線ベクトルとによって定義される二次基本量とを算出する処理とをコンピュータに実行させるための曲面解析プログラムである。
【００１７】
また、本発明は、実空間上の曲面が、該曲面の接平面を形成する接線ベクトルによって定義されるパラメータ空間上に写像されたパラメータ空間座標から前記実空間上の曲面を再生する処理をコンピュータに実行させるためのプログラムであって、前記実空間上の曲面の一次基本量及び二次基本量に基づいて、前記曲面の曲率線及び該曲率線が通過する実空間座標を算出する処理と、前記パラメータ空間上の逆写像目標点を通過する線と、前記パラメータ空間上に写像された曲率線との前記パラメータ空間上での交点の実空間座標を、前記実空間上の曲率線が通過する実空間座標と、前記パラメータ空間上での曲率線の始点から交点までの距離と曲率線全長との比とに基づいて算出する処理と、該算出した交点の実空間座標に基づいて、所定の図形表現により、該算出した交点の実空間座標を通過する前記実空間上の曲線を算出し、パラメータ空間上における逆写像目標点を通過する線の始点から目標点までの距離に基づいて、前記算出した曲線上の逆写像目標点の実空間座標値を算出する処理と、該算出した実空間座標値に基づいて、前記実空間上で曲面データを再生する処理とをコンピュータに実行させるための曲面再生プログラムである。
【発明の効果】
【００１８】
以上説明したように、本発明は、コンピュータが、所定の図形表現により生成される実空間上の曲面を、曲面の接平面を形成する接線ベクトルによって定義されるパラメータ空間に写像し、接線ベクトルによって定義される一次基本量と、接線ベクトルと曲面の法線ベクトルとによって定義される二次基本量とを算出し、実空間上の曲面の一次基本量及び二次基本量に基づいて、曲面の曲率線及び曲率線が通過する実空間座標を算出し、パラメータ空間上の逆写像目標点を通過する線とパラメータ空間上に写像された曲率線とのパラメータ空間上での交点の実空間座標を、実空間上の曲率線が通過する実空間座標と、パラメータ空間上での曲率線の始点から交点までの距離と曲率線全長との比とに基づいて算出し、算出した交点の実空間座標に基づいて、所定の図形表現により、算出した交点の実空間座標を通過する実空間上の曲線を算出し、パラメータ空間上における逆写像目標点を通過する線の始点から目標点までの距離に基づいて、算出した曲線上の逆写像目標点の実空間座標値を算出し、算出した実空間座標値に基づいて、実空間上で曲面データを再生するので、ＣＧモデルあるいはＣＡＤモデルの利用価値を大幅に高めることができるとともに、設計・生産プロセスを効率化することができる効果を得ることができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１９】
以下、本発明を実施するための最良の形態について説明する。
【実施例１】
【００２０】
まず本発明の基本的な考え方について説明する。図１は、本発明のＣＡＤシステムにおけるＣＡＤデータの流れを示すフローチャートである。
それぞれ異なる曲面記述アルゴリズムによって記述された複数のＣＡＤデータであるＣＡＤ−Ａ，Ｂ，Ｃは、ＣＡＤ−Ａ〜Ｃそれぞれに対応するＣＡＤ−Ａ曲面解析プログラム〜ＣＡＤ−Ｃ曲面解析プログラムに入力されて解析され、当該ＣＡＤシステムが実現するデータプラットホームにおいて、所定の点列データと曲面の特徴線というデータ形式で保持される。
そして、この点列データと曲面の特徴線が、ＣＡＤ−Ａ〜Ｃそれぞれに対応するＣＡＤ−Ａ曲面生成プログラム〜ＣＡＤ−Ｃ曲面生成プログラムに入力されて、ＣＡＤ−Ａ〜Ｃに基づく曲面が生成される。
【００２１】
以下、図面を参照して、本発明のＣＡＤシステムの一実施形態について説明する。図２は、本実施形態のＣＡＤシステムの構成を示す構成図である。本実施形態のＣＡＤシステムは、曲面解析装置と、曲面再生装置とから構成される。
曲面解析装置、曲面再生装置は、実装に応じて、同一システム内に構築される場合、それぞれスタンドアローンコンピュータとして構築されえる場合が考えられるが、本実施形態においては、これを同一システム内に構築する場合の例について説明する。したがって、後述するように曲面解析装置と曲面再生装置との間で共有可能なハードウェアについては、重複する部分を省略して説明する。
【００２２】
曲面解析装置は、実空間上の曲面を、接平面を形成する接線ベクトル（後述する）によって定義されるパラメータ空間上に写像する曲面解析処理を行うコンピュータであって、具体的には、ＣＰＵ等の中央演算処理装置（図示せず）、ＲＯＭやＲＡＭ等の記憶メモリ（図示せず）から構成され、バスを介して接続されるとともに、曲面再生装置と共有されるデータベース１０、画像表示処理部１１、表示部１２、出力部１３、通信部（図示せず）を備えている。
ＣＰＵは、ＲＯＭに記憶された曲面解析プログラム１を読み出して、自由曲面解析に関する一連の処理を実行する。ＲＡＭは、ＣＰＵが一次的にデータを記憶させるための半導体メモリである。
【００２３】
解析プログラム１は、ＣＡＴなどによる３次元形状物の実測値データ２０や他のＣＡＤフォーマットデータ２１（例えば、ソリッドモデル、ｂｅｚｉｅｒ、ｂ−ｓｐｌｉｎｅ、有理ｂｅｚｉｅｒ、ＮＵＲＢＳ等のサーフェスモデルで表現された図形データ）を読み込んで、点列情報テーブル３０、一次基本量テーブル３１、二次基本量テーブル３２を作成し、データベース１０に記憶させる処理をＣＰＵに実行させるプログラムである。
すなわち、ＣＰＵが解析プログラム１を読み込んで曲面解析処理部が実現される。曲面解析処理部は、曲面写像処理部と、規格量算出処理部とから構成される。
曲面写像処理部は、他のＣＡＤデータなどが採用する所定の図形表現アルゴリズムを用いて生成される実空間上の曲面を、曲面の接平面を形成する接線ベクトルによって定義されるパラメータ空間に写像する処理を行う。
規格量算出処理部は、この接線ベクトルによって定義される一次基本量と、接線ベクトルと曲面の法線ベクトルによって定義される二次基本量を算出する処理を行う。
【００２４】
点列情報テーブル３０は、具体的には、所定の図形表現により生成される実空間上の曲面を、曲面の接平面を形成する接線ベクトル及びこの接平面に対する法線ベクトルによって定義される平面、円筒面又は球面のパラメータ空間に写像して得られる点列情報からなるテーブルであって、本実施形態においては、図３に示すように、
【数１】
2005149245.tif 000003
のパラメータ形式で表示される曲面上の点列情報（ｕ、ｖ）からなる。
例えば、ｕ＝０、１／ｍ、２／ｍ、・・・ｍ−１／ｍ（ｍは自然数）であり、ｖ＝０、１／ｎ、２／ｎ、・・・ｎ−１／ｎ（ｎは自然数）とすると、図２に示す曲面はｍ×ｎのメッシュに分割される。この場合、点列情報（ｕ、ｖ）は、メッシュＩＤ１〜ＩＤｍｎまでのｍｎ個のデータ列となる。
【００２５】
一次基本量テーブル３１は、以下の式により導出される一次基本量Ｅ，Ｆ，Ｇからなる。上述のｕとｖに関数関係がある場合、ｓ（ｕ、ｖ）は曲面上の曲線を表し、偏導関数∂ｓ／∂ｕ＝Ｓｕは、ｕ＝一定の曲線の接線ベクトルを表し、偏導関数∂ｓ／∂ｖ＝Ｓｖは、ｖ＝一定の曲線の接線ベクトルを表す。
このとき、基本ベクトルＳｕ、Ｓｖは、曲面の接平面を形成する。また、曲面上の２点ｓ（ｕ、ｖ）からｓ（ｕ＋ｄｕ、ｖ＋ｄｖ）を結ぶベクトルｄｓは
【数２】
2005149245.tif 000004
で表される。ここでｄｓの絶対値の二乗は
【数３】
2005149245.tif 000005
で表され，曲面の基本ベクトルより、上述の一次基本量が次式で定義される。
【数４】
2005149245.tif 000006
上述の一次基本量Ｅ，Ｆ，Ｇは、このように各メッシュに一意に定まり、一次基本量テーブル３１は、メッシュＩＤ１〜ＩＤｍｎそれぞれに対する値を格納する。
また上記式３及び式４をまとめると、
【数５】
2005149245.tif 000007
となる。
【００２６】
二次基本量テーブル３２は、以下の式により導出される二次基本量Ｌ，Ｍ，Ｎからなる。基本ベクトルＳｕ、Ｓｕがなす角をωとすると、これらの内積Ｆと、基本ベクトルのベクトル積の絶対値Ｈは、一次基本量を用いて以下のように表される。
【数６】
2005149245.tif 000008
【数７】
2005149245.tif 000009
この算出値Ｈを用いて、曲面上の単位法線ベクトルｎは以下の式で表される。
【数８】
2005149245.tif 000010
また、図４に示すように、曲面上の点Ｐにおける接線ベクトルの線束はこの接平面内に存在し、単位接線ベクトルｔの１つは、以下の式で表される。
【数９】
2005149245.tif 000011
図４に示すように、このｔとｎで定まる平面を法平面という。
この法断面上の点Ｐにおける曲率κを法曲率といい、ｔを法断面の弧長ｓで微分すると、
【数１０】
2005149245.tif 000012
となる。両辺に法線ベクトルを掛けて、以下に示す二次基本量
【数１１】
2005149245.tif 000013
を導入すると、
【数１２】
2005149245.tif 000014
となる。
上述の二次基本量Ｌ，Ｍ，Ｎは、このように各メッシュに一意に定まり、二次基本量テーブル３２は、メッシュＩＤ１〜ＩＤｍｎそれぞれに対する値を格納する。
なお、式５を式１２に代入すると、以下の式が得られる。
【数１３】
2005149245.tif 000015
以上によって一次基本量及び二次基本量から法曲率が算出される。
【００２７】
曲面再生装置は、曲面解析装置によって写像されたパラメータ空間での座標値から実空間上の座標値へ逆写像処理を行うことで曲面を再生するコンピュータであって、具体的には、曲面解析装置と同様に、ＣＰＵ等の中央演算処理装置（図示せず）、ＲＯＭやＲＡＭ等の記憶メモリ（図示せず）から構成され、バスを介して接続されるとともに、曲面解析装置と共有されるデータベース１０、画像表示処理部１１、表示部１２、出力部１３、通信部（図示せず）を備えている。
ＣＰＵは、ＲＯＭに記憶された曲面変換プログラム２、曲面再生プログラム３を読み出して、曲面変換、曲面再生に関する一連の処理を実行する。ＲＡＭは、ＣＰＵが一次的にデータを記憶させるための半導体メモリである。
【００２８】
曲面変換プログラム２は、点列情報テーブル３０、一次基本量テーブル３１、二次基本量テーブル３２より自由曲面に必要な情報を読み出して、自由曲面データを生成し、他のＣＡＤアプリケーションが解釈できる形に変形する処理をコンピュータに実行させるプログラムである．
曲面再生プログラム３は、曲面変換プログラム２と同様に、点列情報テーブル３０、一次基本量テーブル３１、二次基本量テーブル３２より自由曲面再生に必要な情報を読み出して自由曲面データを生成し、画像表示処理部１１に出力する処理をコンピュータに実行させるプログラムである。
【００２９】
すなわち、ＣＰＵが曲面変換プログラム２、曲面再生プログラム３を読み込んで曲面変換処理部、曲面再生処理部が構成される。
曲面変換処理部及び曲面再生処理部は、曲率線算出処理部、実空間座標値算出処理部と、曲面再生処理部とから構成される。
曲率線算出処理部は、実空間上の曲面の一次基本量及び二次基本量に基づいて、曲面の曲率線及び曲率線が通過する実空間座標を算出する。
実空間座標値算出処理部は、パラメータ空間上の逆写像目標点（後述する）を通過する線（直線、曲線いずれであってもよいが、既知の関数パラメータで表現される線である）と、パラメータ空間上に写像された曲率線とのパラメータ空間上での交点の実空間座標を、実空間上の曲率線が通過する実空間座標と、パラメータ空間上での曲率線の始点から交点までの距離と曲率線全長との比とに基づいて算出する。
また、実空間座標値算出処理部は、この算出した交点の実空間座標に基づいて、所定の図形表現により、算出した交点の実空間座標を通過する実空間上の曲線を算出し、パラメータ空間上における逆写像目標点を通過する線（上述したように、直線、曲線いずれであってもよいが、既知の関数パラメータで表現される線である）の始点から目標点までの距離に基づいて、算出した曲線上の逆写像目標点の実空間座標値を算出する。
曲面再生処理部は、算出した実空間座標値に基づいて、実空間上で曲面データを再生する。
【００３０】
データベース１０は、上述の点列情報テーブル３０、一次基本量テーブル３１、二次基本量テーブル３２を記憶しており、解析プログラム１の出力結果が後述するメッシュＩＤと関連付けて書き込まれる。
画像表示処理部１１は、曲面再生プログラム３及び他のＣＡＤアプリケーションからの出力結果の画像表示処理を行う。
表示部１２は、画像表示処理部１１の出力結果を表示する。
出力部１３は、画像表示処理部１１の出力結果を通信部や他の記録媒体等に出力する。
通信部は、ＬＡＮやインターネット等のネットワークを介して他のサーバやクライアントにデータベース１に記憶された点列情報、一次基本量、二次基本量等のデータの送受信を行う。
【００３１】
次に本実施形態のＣＡＤシステムの動作について説明する。
図５は、本実施形態のＣＡＤシステムによる曲面解析処理、曲面再生処理の過程を示すフローチャートである。
ユーザの操作により、実測値データ２０や他のＣＡＤフォーマットデータ２１の解析命令を受けて、ＣＰＵはＲＯＭより解析プログラム１を読み出して、自由曲面解析処理を実行する。
まずＣＰＵは、実測値データ２０や他のＣＡＤフォーマットデータ２１が保持する、２次元ＮＵＲＢＳ面や双三次曲面などの曲面上の複数の点列を抽出する処理を行う（図５のステップＳ１）。
そして、この点列から他のＣＡＤシステムを用いて曲面を生成し、図３に示すように曲面を所定数ｍｎのメッシュに分割した後、各メッシュ部分を基本ベクトルＳｕ、Ｓｖで規格化する。なお、本明細書中では、基本ベクトルＳｕ、Ｓｖで規格化する前の３次元空間座標系を実空間座標、このとき規格化された２次元空間座標系をパラメータ空間座標と定義し、ＣＰＵはそれぞれを対応付けて記憶しておく。
すなわち、規格化時に生成されるパラメータ空間上の点列情報（ｕ、ｖ）は、データベース１０の保持する点列情報テーブル３０にメッシュＩＤ及び実空間上の点列情報とともに関連付けられて書き込まれる。
なお、上述したように、本実施形態においては、２次元空間座標系としてパラメータ空間座標を表現するが、パラメータ空間は、平面若しくは円筒面などの可展面又は球面で形成されることが可能であり、本発明は必ずしも平面上に展開されるパラメータ空間座標を用いる場合に限られるものではない。すなわち、実空間座標からパラメータ空間座標への写像（ガウス写像）は、接平面のみからの写像ではなく、接線ベクトル、法線ベクトル（互いに直交する）を全て同じ方向に写像（若しくは変換）するものであり、球面（若しくは球面の一部）への写像も可能なものである。
【００３２】
次にＣＰＵは、微分幾何解析処理を実行する。すなわち、メッシュの接平面を形成する基本ベクトルＳｕ、Ｓｖによって定義される一次基本量Ｅ，Ｆ，Ｇを算出する処理を行う。算出される一次基本量Ｅ，Ｆ，Ｇは、点列情報と同様に、データベース１０の保持する一次基本量テーブル３１にメッシュＩＤとともに関連付けられて書き込まれる。
またＣＰＵは、基本ベクトルＳｕ、Ｓｖとメッシュの単位法線ベクトルｎによって定義される二次基本量Ｌ，Ｍ，Ｎを算出する処理を行う。算出される二次基本量Ｌ，Ｍ，Ｎは、一次基本量Ｅ，Ｆ，Ｇと同様に、データベース１０の保持する二次基本量テーブル３２にメッシュＩＤとともに関連付けられて書き込まれる。
この第一基本量は、パラメータ空間（ｕｖ平面）をどのように伸ばしたり縮めたりして曲面を作るかを規定し、曲面を構成するu,v曲線群の長さと曲線同士の角度を定め、第二基本量は、接平面を基準として、曲面の高さを近似している２次式であり、曲面の種々の曲率、即ち、曲面の曲がり具合を定める。
【００３３】
またＣＰＵは、上述のメッシュを表す微分方程式がそれぞれのメッシュの境界において連続であるための条件、言い換えればこの微分方程式が一意な解を持つための条件である積分可能条件を算出する処理を行う。
今、上述の曲面座標（ｕ、ｖ）を（ｕ１、ｕ２）と置き換え、この点をｐ（ｕ１、ｕ２）とする。ｕ２を固定し、ｕ１を動かしてできる曲線をｕ１曲線と呼び、ｕ１を固定し、ｕ２を動かしてできる曲線をｕ２曲線と呼ぶ時、曲面上のｐ（ｕ１、ｕ２）点を始点とし、ｕ１曲線、ｕ２曲線に沿う接線ベクトルは以下のように計算できる。
【数１４】
2005149245.tif 000016
そして、ｅ１、ｅ２より単位法線ベクトルｎが次のように計算できる。
【数１５】
2005149245.tif 000017
このようにして、3本のベクトル｛ｅ１、ｅ２、ｎ｝が曲面上の各点において定義される。
【００３４】
各点において、一次基本量Ｅ、Ｆ、Ｇを以下のように定義する。
【数１６】
2005149245.tif 000018
そして、第１基本テンソル（ｇｉｊ、ｉ,ｊ＝１，２）を以下のように定義する。
【数１７】
2005149245.tif 000019
また、４個の数の組ｇｉｊ、ｉ,ｊ＝１，２を次のように定義する。
【数１８】
2005149245.tif 000020
さらに、各点において二次基本量Ｌ、Ｍ、Ｎを以下のように定義する。
【数１９】
2005149245.tif 000021
そして、さらに第２基本テンソル（ｈｉｊ、ｉ,ｊ＝１，２）を以下のように定義する。
【数２０】
2005149245.tif 000022
【００３５】
今、動標構｛ｅ１、ｅ２、ｎ｝を曲面座標（ｕ１、ｕ２）で微分すると、次の２式（式２１のガウスの式及び式２２のワインガルテンの式）で示される曲面の構造方程式を得る。
【数２１】
2005149245.tif 000023
【数２２】
2005149245.tif 000024
【数２３】
2005149245.tif 000025
ただし、式２３はクリストッフェルの記号を示す。
この構造方程式２１、２２の積分可能条件は次の２式（式２４のガウスの方程式及び式２５のマイナル・コダッツィの方程式）で示される。
【数２４】
2005149245.tif 000026
【数２５】
2005149245.tif 000027
【数２６】
2005149245.tif 000028
ただし、式２６はリーマン・クリストッフェルの曲率テンソルを示す。
【００３６】
第１基本テンソル（ｇｉｊ、ｉ,ｊ＝１，２）と第２基本テンソル（ｈｉｊ、ｉ,ｊ＝１，２）が曲面座標（ｕ１、ｕ２）の関数として与えられ、これらが上述のガウスの方程式及びマイナル・コダッツィの方程式を満たす場合、そのようなｇｉｊ、ｈｉｊを持つ曲面の形は一意に決まる（ボネの基本定理を参照）ので、それぞれのメッシュはＣ２連続となる。
ＣＰＵはこれらの演算処理を行い、上述の積分可能条件を算出する。
【００３７】
次にＣＰＵは、曲率線解析処理と、特徴線解析処理及び曲率・ガース長さ変換処理を実行する。まず曲率線解析処理により、一次基本量Ｅ，Ｆ，Ｇ及び二次基本量Ｌ，Ｍ，Ｎに基づいて、メッシュにおける主曲率κ１、κ２を算出する。
すなわち、まず上述の曲率κの極値を算出する。図３に示す法平面と曲面との交線である法断面の形状は、その接線方向とともに変化し、それに伴って法曲率も変化する。この形状は法平面を半回転させたところでもとの状態に戻る。
今、γを
【数２７】
2005149245.tif 000029
とおき、さらにκをγの関数κ（γ）と書き直すと、
【数２８】
2005149245.tif 000030
となる。このγの２次式よりｄκ（γ）／ｄγ＝０において、κ（γ）は極値を取る。そして、この極値条件のもとで、式１５を微分し、κとγを（κ〜）と（γ〜）と書き換えると、
【数２９】
2005149245.tif 000031
を得る。そして、数１６に代入すると、
【数３０】
2005149245.tif 000032
を得る。これらの式より以下の関係式が得られる。
【数３１】
2005149245.tif 000033
【数３２】
2005149245.tif 000034
式１８を変形すると、
【数３３】
2005149245.tif 000035
が得られる。κ〜２の係数は、式７より正であり、この根をκ１、κ２とすると、図６に示すように、この値が主曲率となる。
【００３８】
次に主曲率に基づいてガウス曲率または平均曲率を算出する。すなわち、２次方程式の根と係数の関係より、
【数３４】
2005149245.tif 000036
【数３５】
2005149245.tif 000037
が表現される。ここで、Ｋｍ、Ｋｇはそれぞれ平均曲率及びガウス曲率である。Ｋｇ＝０となるのは、曲面が可展面となる場合であり、曲面上の曲率線は直線になる。本実施形態においては、このガウス曲率が０となる点を後述する変形の基準点とする。
この点以外に変形の基準点として適当な点として、例えば、曲率線、境界線（稜線）、等傾斜直交線、主曲率極値線，傾斜極値線、臍点を選択してもよい。
これらは、曲面の特徴を示す特徴量である主曲率，主方向，ガウス曲率，平均曲率，曲率線のうち、１または2以上の特徴量の変化パターンによって規定される変形の基準点または基準線となる点または線であり、一次基本量及び二次基本量に基づいて算出可能である。
【００３９】
また、主曲率に基づいて、メッシュの主方向を示す曲率線を算出する。すなわち、式１９よりκ〜を消去すると、
【数３６】
2005149245.tif 000038
または、
【数３７】
2005149245.tif 000039
を得る。これら２式はともに、曲率線の式であり、２次方程式であるので、γ１、γ２は以下の関係がある。
【数３８】
2005149245.tif 000040
曲面上の点において、γ１、γ２で決まる方向において、曲率は極値を取る。曲面上の接線ベクトルは、（Ｓｕｄｕ＋Ｓｖｄｖ）であり、γ１、γ２に対応する２つの接線ベクトルの内積は、
【数３９】
2005149245.tif 000041
となり、この{  }内を変換すると、
【数４０】
2005149245.tif 000042
はゼロとなる。すなわち、主曲率の法断面の２つの接線方向は、直交している事が分かる。この方向は主方向と呼ばれ、この主方向と曲面上の接線が一致する場合、これが曲率線となる。
以上により、メッシュの主方向を示す曲率線の算出処理が行われる。
【００４０】
次に曲率・ガース長さ変換処理を実行する。すなわち、ＣＰＵは、一次基本量Ｅ，Ｆ，Ｇ及び二次基本量Ｌ，Ｍ，Ｎに基づいてより算出される曲率に基づいてガース長さを算出する。上述の曲率線の算出処理によって算出された曲率線に沿って、曲率（１／ｒ）から曲率半径ｒを算出し、曲率線のガース長さを算出区間毎に伸縮させる。
以上により、解析処理が行われる（ステップＳ２）。
【００４１】
したがって、本実施形態の曲面解析装置によれば、図７に示すように、任意の曲面表現アルゴリズムを用いて表現された曲面より点列情報及び一次基本量、二次基本量のみを抽出するので、曲面最盛時の誤差をなくすことができるとともに、転送するデータ効率を大幅に向上させることができる効果が得られる。
【００４２】
次に、ＣＰＵは、作成、抽出された点列情報及び一次基本量、二次基本量が収集されたことを受けて、曲面データ転送処理を行う（ステップＳ３）。
一方、これらの情報が揃わない場合、データベース評価処理を行う。
すなわち、上記算出された主方向、基準位置（点や線等）、変形量に基づいて再生される形状と、点列情報及び一次基本量、二次基本量に基づいて再生される形状を比較し、これらが一致する場合は、曲面データ転送処理を行う。
また、これらが一致しない場合は、近似補完精度向上処理を行う。
すなわち、２階微分可能となるように元の曲面を近似補完し、再度ステップＳ１から上述の処理を繰り返す。そして、比較評価が一致した段階で、曲面データ転送処理に移行する。
【００４３】
点列情報（実空間座標、パラメータ空間座標）、曲面の特徴情報（一次基本量及び二次基本量）からなる曲面データは、曲面解析装置から曲面再生装置に対して転送される。
曲面再生装置において、曲面データは、図２に示す曲面変換プログラム２、または曲面再生プログラム３に対して入力される（ステップＳ４）。
【００４４】
ＣＰＵは変換命令、再生命令を受けると、曲面変換プログラム２、または曲面再生プログラム３を実行し、一次基本量及び二次基本量から曲率線及び曲率線が通過する実空間座標を算出する曲率線算出処理を行う。
図８は、一次基本量、二次基本量から実空間上における曲率線の算出から、パラメータ空間上への写像、空間座標変換までの処理の過程を示すフローチャートである。
ＣＰＵは、上述した曲率線解析処理と同様に、一次基本量及び二次基本量から主曲率を算出し、これに基づいて、曲率線を算出する。
すなわち、ＣＰＵは、まず特徴点または特徴線としてえらんだガウス曲率０となる点を変形の基準として、曲率線方向にガース長さ分だけ曲率線を伸縮変形させ、実空間上において、曲率線及び曲率線が通過する実空間座標を得る（ステップＳ５）。
【００４５】
次にＣＰＵは、得られた曲率線及び曲率線が通過する実空間座標を、上述した接平面を形成する基本ベクトルＳｕ、Ｓｖにより、パラメータ空間上に写像する（ステップＳ６）。図８に示す２次元パラメータ空間座標系は、得られた曲率線及び曲率線が通過する実空間座標を写像した結果を示す。
そして、ＣＰＵは、図９に示す当該パラメータ空間上の任意の逆写像目標点について、図１０にしめすように実空間上に逆写像する。なお、逆写像目標点については任意に設定が可能であるが、本実施形態においては、逆写像目標点をある程度均一化するために、図１１に示すフローチャートのように、当該パラメータ空間を所定のパラメータ空間座標分割数でｕ方向、ｖ方向に分割し、この分割交点を逆写像目標点として設定する（図１１のステップＳ１０）。
具体的には、ｕ方向、ｖ方向のパラメータ空間座標分割数をそれぞれｍ、ｎ（ｍ、ｎは実数）とした場合、ｍ×ｎ個の逆写像目標点が設定される。
【００４６】
次にＣＰＵは、設定したパラメータ空間上の逆写像目標点を通過する線を設定する。この逆写像目標点を通過する線は、上述したように、直線、曲線いずれであってもよいが、既知の関数パラメータで表現される線である。本実施形態においては、簡単のためにｕ＝一定（図９のｃｏｎｓｔ_ｕ）の直線である場合について説明する。
次にＣＰＵは、この逆写像目標点を通過する、ｕ＝一定の直線と、パラメータ空間上に写像された曲率線とのパラメータ空間上での交点（図９に示す白丸の点）の実空間座標（図１０に示す白丸の点）を算出する。
具体的には、ＣＰＵは、入力された実空間上の曲率線が通過する実空間座標と、パラメータ空間上での曲率線の始点（ｖ＝０と曲率線の交点）から交点（図９に示す白丸の点）までの曲率線に沿った実長距離と曲率線全長との比、つまり、
（始点から交点までの距離）／（曲率線全長）
で示されるパラメータとに基づいて、所定の図形表現アルゴリズム（例えばＮＵＲＢＳ等）を用いて交点（図１０に示す白丸の点）の実空間座標を算出する（ステップＳ１１）。
【００４７】
次にＣＰＵは、この算出した交点の実空間座標に基づいて、所定の図形表現アルゴリズムを用いて、算出した交点の実空間座標を通過する実空間上の曲線を算出する。そして、ＣＰＵは、パラメータ空間上における逆写像目標点を通過するｕ＝一定の直線の始点（ｕ＝一定、ｖ＝０）から目標点までの距離に基づいて、算出した曲線上の逆写像目標点の実空間座標値を算出する（図５のステップＳ７，８  図１１のステップＳ１２）。
以上処理により、ＣＰＵは、パラメータ空間上の逆写像目標点を通過する線とパラメータ空間上に写像された曲率線とのパラメータ空間上での交点の実空間座標を算出する。
そして、ＣＰＵは、算出した実空間座標値に基づいて、実空間上で曲面データ（メッシュ）を再生する。
【００４８】
そして、曲面変換プログラム実行時においては、再生したメッシュまたは曲面から曲面上の複数の点列を抽出し、点列を他のＣＡＤシステムにおける図形表現アルゴリズムにしたがって変換する。
変換された図形データは、他のＣＡＤアプリケーション２２によって、再生された後、画像表示処理部１１に出力される。画像表示処理部１１は、ＣＡＤアプリケーション２２が出力するデータの表示処理を行い、これを表示部１２に出力する。表示部１２は、表示データの入力を受けて、これを表示する。
【００４９】
また、曲面変換プログラム実行時においては、再生された曲面データは、画像表示処理部１１に出力される。画像表示処理部１１は、ＣＡＤアプリケーション２２が出力するデータの表示処理を行い、これを表示部１２に出力する。表示部１２は、表示データの入力を受けて、これを表示する。
すなわち、ガウス曲率０となる点を変形の基準として、曲率線方向にガース長さ分だけ曲率線を伸縮変形させ、メッシュまたは曲面を再生する。そして、再生した図形データを画像表示処理部１１に出力し、表示処理後、表示部１２において表示される。
【００５０】
以上説明したように、本実施形態のＣＡＤシステムによれば、Ｃ２連続の連続性を保持して、自由曲面の解析、変換、再生を行うことができる効果が得られる。したがってＣＡＤモデルの利用価値を大幅に高めることができるとともに、設計・生産プロセスを効率化することができる効果が得られる。
【００５１】
なお、出願人らは、上記曲面解析、再生アルゴリズムの有効性の検証として、図１２に示すような検証試験を行った。本検証試験においては、トーラス面の半径Ｒ、輪環面の半径ｒで定義されるトーラスについて、
トーラス面方向  ：０°≦ｖ０≦４５°
ただし、０°は所定の輪環面とする。
輪環面方向      ：１３５°≦ｕ０≦１８０°
ただし、トーラス面の外径を０°とする。
で定義される曲面部分のみトリムしたトリム面の解析、再生誤差の評価を行った。具体的には、上述したＣＡＤシステムによる曲面解析で得られた曲率線の情報から曲面上の点列座標を再生し、この再生結果が示す座標値と、数式から算出される座標値を比較して、誤差を算出した。
図１３は、上記ｖ０、ｕ０を上述したＣＡＤシステムにおけるｕ、ｖと対応する形で正規化して、曲面解析、再生アルゴリズムを適用した結果（再生した座標値）と、数式から算出される元の座標値と、その偏差を示す図である。
なお、偏差は、
（再生座標−元の座標）／（元の座標最大値−元の座標最小値）
で定義している。
この結果、本発明の曲面解析、再生アルゴリズムを適用した場合、最大偏差は１０のマイナス５乗以下となり、ＰＤＱ（Ｐｒｏｄｕｃｔ  Ｄａｔａ  Ｑｕａｌｉｔｙ）レベルを満たすことができた。
【００５２】
さらに、従来技術の問題点として指摘したＮＵＲＢＳ補間の誤差による影響を本発明のパラメータ空間における補間の誤差の影響と比較した様子を図１６、図１７に示す。図１４のレンダリングモデル、図１５のメッシュモデルにおいては、データ変換による影響として不測のシワが発生してしまうが、図１６、図１７においては、データ変換誤差がコンピュータの丸め誤差による影響のみに抑えられるため、同様のシワは発生していない。
【００５３】
したがって、本実施形態のＣＡＤシステムによれば、ＣＡＤモデルの利用価値を大幅に高めることができるとともに、設計・生産プロセスを効率化することができる効果が得られることが検証された。
【００５４】
なお、本実施形態のＣＡＤシステムにおいては、ＣＡＤモデルにおける自由曲面解析、変換、再生に関する一連の処理について説明したが、本発明のＣＡＤシステムはこれに限られるものではなく、上述したＣＧシステムやコンピュータを用いて画像表現を行うシステム及びプログラムにおいて適用可能である。
また、本実施形態のＣＡＤシステムにおいては、好適な例として図２に示すように曲面をメッシュに分割した後、基本ベクトルＳｕ、Ｓｖで規格化し、点列情報（ｕ、ｖ）を用いたｕ、ｖパラメータ表現による自由曲面解析、変換、再生を行ったが、本発明のＣＡＤシステムはこれに限られるものではなく、（ｘ、ｙ、ｚ）座標パラメータによる座標値を用いてもよい。
【実施例２】
【００５５】
次に、本発明のＣＡＤシステムの第2の実施形態について説明する。
本実施形態のＣＡＤシステムが第1の実施形態と異なる点は、曲面再生装置における曲面再生アルゴリズムである。すなわち、上記実施形態においては、曲面再生装置は、局面解析装置より入力する一次基本量、二次基本量より曲率線を算出し、点列情報を（ｕ，ｖ）のパラメータ空間に写像した捻れが発生しない状態で点列間の補間処理を実行し、逆写像して曲面を生成した。これはベクトル（テンソル）による幾何学的処理を採用した曲面再生アルゴリズムである。一方、本実施形態では、点列情報、一次基本量、二次基本量を用いて、偏微分方程式（連立方程式、行列式）による一般曲面の直接解を求めることで、曲面を再生する。
一般論として、曲面座標系での偏微分方程式を解く場合、微分係数変数が多く、収束計算が複雑化するため、計算負荷が大きいという問題点がある。したがって、微分係数変数が少なくなるように、適当な座標系を選択する必要がある。本実施形態の再生装置においては、主曲率λ、μ（＝κ１、κ２）の主曲率線座標（ｕ，ｖ）を座標系として選択する。
主曲率線において、２つの主方向（最大曲率と最小曲率）は直交することから、式（４）において、一次基本量Ｆ＝０となる。また、式（１３）において、ｄｕ＝ｃｏｓθ、ｄｖ＝ｓｉｎθとおいて、θ＝０、π／２を代入すると、
【数４１】
2005149245.tif 000043
が主曲率となり、ガウス曲率Ｋの定義から
【数４２】
2005149245.tif 000044
となる。
【００５６】
Ｍが０でなければならないから、一次基本量Ｆ＝二次基本量Ｍ＝０が成り立つ。即ち、曲面p（u；ｖ）の第一基本形式は
【数４３】
2005149245.tif 000045
また、第二基本形式は、
【数４４】
2005149245.tif 000046
と表される。ここで、式（４４）にL=λE、N＝μGを代入すると、
【数４５】
2005149245.tif 000047
と表すことができる。
【００５７】
以下，この座標のもとで曲面p を決定するための微分方程式を書き表す。一般に、ガウスの方程式（ガウス曲率を一次基本量で表す方程式）を示すために、まず、測地線の微分方程式を一次基本量Ｅ，Ｆ，Ｇを用いると、次のクリストッフェルの記号で定義すると、
【数４６】
2005149245.tif 000048
これにより、ガウスの公式（ｐの２階微分）が
【数４７】
2005149245.tif 000049
（但し、νは曲面の単位法線ベクトル）と表される。また、単位法線ベクトルの微分（ワインガルテンの公式）は、
【数４８】
2005149245.tif 000050
である。
【００５８】
ここで、F ＝０、L＝λＥ、M＝０、N=μGを代入することにより，
【数４９】
2005149245.tif 000051
となり、また、単位法線ベクトルの微分（ワインガルテンの公式）は、
【数５０】
2005149245.tif 000052
となるから、それぞれを式（４７）に代入すると、
【数５１】
2005149245.tif 000053
を得る。これを（曲率座標系での）ガウス・ワインガルテンの公式またはフルネ方程式3とよぶ．
【００５９】
ｐｕ，ｐｖ,νを３次の列ベクトルと見なし、３次正方行列は、
【数５２】
2005149245.tif 000054
となるが、これをフレームの方程式で表すと、
【数５３】
2005149245.tif 000055
となる。特にＦは、正則（非特異）行列、つまり、Ｆの各項は、全て０になることはない。するとフルネ方程式は、フレームの方程式
【数５４】
2005149245.tif 000056
を満たす。とくに、式（４５）の第1式をｕで微分したものと、第2式をｖで微分したものは、等しくなる。これを整理すると次式のようになる。
【数５５】
2005149245.tif 000057
【００６０】
以上説明したように、曲率線座標上では、Ｆ＝０、Ｍ＝０、及びＬ＝λＥ、Ｎ＝μＧとなるために、上記の曲面の構造方程式フルネ方程式（ガウス・ワインガルテンの公式）と曲面の構造方程式の積分可能条件であるガウス方程式とコダッチ方程式を一次基本量Ｅ、Ｇと一次基本量Ｅ、Ｇの１、２階微分及び主曲率λ、μで表すことができる。
すなわち、逆に一次基本量Ｅ、Ｇと主曲率λ、μとが曲面再生装置に入力されると、上述したようなパラメータ表現でフルネ方程式を設定し、点列情報のうち、任意の点（ｕ０、ｖ０）を固定することで、任意の行列を初期値に持つ解がただひとつ存在することが知られていることから、これを利用した数値解法で実空間上座標値を算出する。
したがって、本実施形態のＣＡＤシステムによれば、上記実施形態と同様に、Ｃ２連続の連続性を保持して、自由曲面の解析、変換、再生を行うことができる効果が得られる。したがってＣＡＤモデルの利用価値を大幅に高めることができるとともに、設計・生産プロセスを効率化することができる効果が得られる。
【００６１】
上述のＣＡＤシステム、曲面解析装置、曲面再生装置は、内部に、コンピュータシステムを有している。
そして、上述した曲面解析処理、曲面再生処理に関する一連の処理の過程は、プログラムの形式でコンピュータ読み取り可能な記録媒体に記憶されており、このプログラムをコンピュータが読み出して実行することによって、上記処理が行われる。
すなわち、上述のＣＡＤシステム、曲面解析装置、曲面再生装置における、各処理手段、処理部は、ＣＰＵ等の中央演算処理装置がＲＯＭやＲＡＭ等の主記憶装置に上記プログラムを読み出して、情報の加工・演算処理を実行することにより、実現されるものである。
ここでコンピュータ読み取り可能な記録媒体とは、磁気ディスク、光磁気ディスク、ＣＤ−ＲＯＭ、ＤＶＤ−ＲＯＭ、半導体メモリ等をいう。また、このコンピュータプログラムを通信回線によってコンピュータに配信し、この配信を受けたコンピュータが当該プログラムを実行するようにしても良い。
【図面の簡単な説明】
【００６２】
【図１】本発明のＣＡＤシステムにおけるＣＡＤデータの流れを示すフローチャートである。
【図２】本実施形態のＣＡＤシステムの構成を示す構成図である。
【図３】曲面をｍ×ｎのメッシュに分割し、基本ベクトルＳｕ、Ｓｖを定義する様子を示す説明図である。
【図４】単位接線ベクトルｔと単位法線ベクトルｎの張る面を示す説明図である。
【図５】本実施形態のＣＡＤシステムによる曲面解析処理、曲面再生処理の過程を示すフローチャートである。
【図６】曲率変化の様子を示す説明図である。
【図７】曲面解析処理の概略を示す説明図である。
【図８】曲面再生処理の概略を示す説明図である。
【図９】パラメータ空間における曲率線、逆写像目標点、逆写像目標点と曲率線の交点の関係を示す説明図である。
【図１０】実空間における曲率線、逆写像目標点、逆写像目標点と曲率線の交点の関係を示す説明図である。
【図１１】逆写像目標点を実空間上に逆写像する処理の流れを示すフローチャートである。
【図１２】本検証試験の概略を示す説明図である。
【図１３】本検証試験の試験結果を示す説明図である。
【図１４】ＮＵＲＢＳで表現されたＣＡＤ情報をＣＡＭ情報に変換する前後の再生曲面のレンダリングモデルを示す説明図である。
【図１５】ＮＵＲＢＳで表現されたＣＡＤ情報をＣＡＭ情報に変換する前後の再生曲面のメッシュモデルを示す説明図である。
【図１６】本実施形態のＣＡＤシステムによって、ＮＵＲＢＳで表現されたＣＡＤ情報をＣＡＭ情報に変換する前後の再生曲面のレンダリングモデルを示す説明図である。
【図１７】本実施形態のＣＡＤシステムによって、ＮＵＲＢＳで表現されたＣＡＤ情報をＣＡＭ情報に変換する前後の再生曲面のメッシュモデルを示す説明図である。
【符号の説明】
【００６３】
１…解析プログラム
２…変換プログラム
３…再生プログラム
１０…データベース
１１…画像表示処理部
１２…表示部
１３…出力部
【図１】
2005149245.tif 000058
【図２】
2005149245.tif 000059
【図３】
2005149245.tif 000060
【図４】
2005149245.tif 000061
【図５】
2005149245.tif 000062
【図６】
2005149245.tif 000063
【図７】
2005149245.tif 000064
【図８】
2005149245.tif 000065
【図９】
2005149245.tif 000066
【図１０】
2005149245.tif 000067
【図１１】
2005149245.tif 000068
【図１２】
2005149245.tif 000069
【図１３】
2005149245.tif 000070
【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
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【図１７】
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