(57)【要約】  【課題】  誘導磁場下でローレンツ力およびジュール熱を受ける連続体の物理量を数値解析するには、多大な計算時間を要する。  【解決手段】  誘導磁場下で運動する連続体に生じるローレンツ力およびジュール熱が連続体の速度により移流する移流方程式を設定し、連続体の運動量保存式は毎時間段階で解き、マクスウェル方程式はとびとびの時間段階において解き、このとびとびの時間段階の間の時間段階において移流方程式を解くことにより、連続体内のローレンツ力およびジュール熱を時間的に更新する連続体の数値解析方法である。とびとびの時間段階の間の省略した時間段階におけるローレンツ力およびジュール熱の解析精度低下を最小限に食い止めながら、連続体の物理量についての計算時間を大幅に短縮することが可能となる。【選択図】  図１
2005182150.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
誘導磁場下にてローレンツ力およびジュール熱を受ける連続体の物理量をオイラー形式により数値解析する連続体の数値解析方法において、前記連続体の運動量保存式と、前記連続体内のローレンツ力およびジュール熱を記述するマクスウェル方程式とを連成させて解析するにあたって、前記連続体に生じる前記ローレンツ力および前記ジュール熱が前記連続体の速度により移流する移流方程式を設定し、前記運動量保存式は毎時間段階において解き、前記マクスウェル方程式はとびとびの時間段階において解き、このとびとびの時間段階の間の時間段階において前記移流方程式を解くことにより、前記連続体内の前記ローレンツ力および前記ジュール熱を時間的に更新することを特徴とする連続体の数値解析方法。
【請求項２】
前記移流方程式を解く計算手法としてＣＩＰ（Cubic Interpolated Pseudo-particle）法を用いることを特徴とする請求項１記載の連続体の数値解析方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、複数の物理現象を伴う連続体の物理量を効率的に解析する数値解析方法に関するもので、例えば、誘導磁場によりローレンツ力およびジュール熱を内部に受ける連続体の物理量を効率的に解析する連続体の数値解析方法に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
従来から、連続体の運動における物理量を解析する場合に、ＶＯＦ（Volume of Fluid）法に代表されるようなオイラー形式による数値解析方法がよく使用されている。このＶＯＦ法では、解析領域を微小なメッシュで区切り、連続体が持つ物理量、例えば、速度，圧力，温度をそれぞれのメッシュ内で定義し、支配方程式をそれぞれのメッシュ内で解くことで、解析領域全体における物理量を求める。この際、それぞれのメッシュに連続体の充填率を設定し、各時刻における充填率を計算することで、各時刻における連続体の有無および連続体の形状が評価される。このオイラー形式による連続体の物理量の数値解析方法は、連続体が別の連続体に衝突して、大きく変形したり、分裂したりする現象を簡便に取り扱えるため、現在の連続体の物理量の数値解析方法の主流となっている。
【０００３】
一方、近年の数値解析の分野では、複数の物理現象を同時に取り扱う、連成解析技術が盛んに利用されている。
【０００４】
例えば、導電性を有する連続体は、交流磁場下での運動において、ローレンツ力の影響で運動量が変化したり、ジュール熱により発熱したりする。このような連成現象は、例えば、ＣＺ法（Czochralski法；チョクラルスキー法）やＦＺ法（Floating Zone法；フローティングゾーン法）に代表されるような、単結晶の育成工程において重要となっている。このような同時に起こる複数の物理現象を数値解析するためには、連続体の運動を記述する運動方程式、例えば、連続体が流体である場合にはナビエストークス方程式を解くと同時に、電磁場を記述するマクスウェル方程式も解く必要がある。
【０００５】
従来、ＶＯＦ法を用いて、ローレンツ力およびジュール熱を受ける連続体の運動および温度を数値解析する場合は、まず、初期の時間段階において、連続体の充填率および連続体が有する物理量、例えば、速度，温度，圧力を前記メッシュ内に設定する。その後、連続体の充填率に関する移流方程式，連続体の運動量保存式およびエネルギー保存式を解き、ある時間刻み幅分だけ時間進行させる。その後、マクスウェル方程式を解くことで、連続体に生じるローレンツ力およびジュール熱を解析し、１つの時間ステップの進行を終了する。この時間ステップで得られたローレンツ力を運動量保存式に、ジュール熱をエネルギー保存式にそれぞれ反映させ、かつ連続体の充填率に関する移流方程式を併せて解くことで、時間段階をさらに先に進めることができる。このような手続きを反復することで、任意の時刻における連続体の運動状態および物理量としての温度分布を得ることができる。
【特許文献１】特開平11−338898号
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
しかしながら、ローレンツ力およびジュール熱を与えるマクスウェル方程式を解くには、多大な計算時間を必要とする。また、運動量保存式およびマクスウェル方程式を解く時間刻み幅は、その時間刻み幅の間に連続体が移動する距離がメッシュのサイズを超えないように制約されるため、設定される時間刻み幅は非常に小さなものとなり、マクスウェル方程式を解く頻度が必要以上に多くなる。そのため、連続体の運動を把握するのに必要な時間スケールで数値解析するには、前述の従来の技術のように運動量保存式とマクスウェル方程式とを交互に解く方法だと、計算時間が非常に長くかかることとなり、計算にかかるコストの点でもコスト高になるという問題点があった。
【０００７】
これに対して、マクスウェル方程式をとびとびの時間段階で解き、運動量保存式のみを毎時間段階で解くことで、マクスウェル方程式を解く頻度を下げる方法が考えられる。しかしながら、この方法では、連続体が運動しており、その連続体の位置および形状が毎時間段階で変化するため、とびとびの時間段階の間の、マクスウェル方程式を解くのを省略した時間段階における適切なローレンツ力およびジュール熱が設定できないため、マクスウェル方程式を毎時間段階で解く方法に比較して、解析精度が著しく低下するという問題点があった。
【０００８】
本発明は上記のような従来の技術における問題点を解決するために案出されたものであり、その目的は、ローレンツ力およびジュール熱を受ける運動を行なっている連続体の物理量を、短い計算時間で数値解析することができ、それにより低コストで数値解析することができる連続体の数値解析方法を提供することにある。
【課題を解決するための手段】
【０００９】
本発明の連続体の数値解析方法は、誘導磁場下にてローレンツ力およびジュール熱を受ける連続体の物理量をオイラー形式により数値解析する連続体の数値解析方法において、前記連続体の運動量保存式と、前記連続体内のローレンツ力およびジュール熱を記述するマクスウェル方程式とを連成させて解析するにあたって、前記連続体に生じる前記ローレンツ力および前記ジュール熱が前記連続体の速度により移流する移流方程式を設定し、前記運動量保存式は毎時間段階において解き、前記マクスウェル方程式はとびとびの時間段階において解き、このとびとびの時間段階の間の時間段階において前記移流方程式を解くことにより、前記連続体内の前記ローレンツ力および前記ジュール熱を時間的に更新することを特徴とするものである。
【００１０】
また、本発明の連続体の数値解析方法は、上記構成において、前記移流方程式を解く計算手法としてＣＩＰ（Cubic Interpolated Pseudo-particle）法を用いることを特徴とするものである。
【発明の効果】
【００１１】
本発明の連続体の数値解析方法によれば、連続体の運動量保存式と、連続体内のローレンツ力およびジュール熱を記述するマクスウェル方程式とを連成させて解析するにあたって、連続体に生じるローレンツ力およびジュール熱が連続体の速度により移流する移流方程式を設定し、運動量保存式は毎時間段階にといて解き、マクスウェル方程式はとびとびの時間段階において解き、このとびとびの時間段階の間の時間段階において移流方程式を解くことにより、連続体内のローレンツ力およびジュール熱を時間的に更新することから、連続体の位置が時々刻々と変化しても、ローレンツ力およびジュール熱は、連続体の運動に追従して移流した値となるので、とびとびの時間段階の間の省略した時間段階におけるローレンツ力およびジュール熱の解析精度低下を最小限に食い止めながら、誘導磁場下でローレンツ力およびジュール熱を受ける連続体の物理量についての計算時間を大幅に短縮することが可能となり、それにより低コストで数値解析することが可能となる。
【００１２】
また、本発明の連続体の数値解析方法によれば、上記構成において、移流方程式を解く計算手法として、ＣＩＰ法を用いるときには、移流方程式を数値的に解く場合に問題となる数値拡散を最小限に抑えた上で、移流方程式を解くことができるので、とびとびの時間段階の間の省略した時間段階におけるローレンツ力およびジュール熱を高精度に数値解析することが可能となる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１３】
以下、本発明の連続体の数値解析方法について、図面を参照しつつ詳細に説明する。
【００１４】
図１は本発明の連続体の数値解析方法の実施の形態の一例における処理手順を示したフローチャートである。各記号中には処理内容や判断基準等を記入しており、同図中の１はローレンツ力およびジュール熱解析部を、２は運動量保存式およびエネルギー保存式解析部を示している。
【００１５】
まず、初期条件として、時刻，終了時刻，省略時間，省略限界，Δtを設定する。また、図には示さないが、その他、解析に用いるメッシュ，連続体の充填率，連続体の速度，圧力，温度等の物理量の初期値もここで与える。
【００１６】
ここで、時刻とは、解析する現象の開始時刻を表わすもので、初期にはゼロを与える。また終了時刻とは、解析する現象の終了時刻を示すもので、計算者が自ら任意に決めるものである。また、省略時間とは、ローレンツ力およびジュール熱を得るときに、マクスウェル方程式を解かずに、移流方程式を用いている間にカウントされる時間である。省略限界とは、省略時間に設けられた上限値であり、計算者が任意に設定できる値である。Δtは時間刻み幅であり、解析対象は、この時間刻み幅Δｔ毎に更新される。
【００１７】
次に、連続体内のローレンツ力およびジュール熱を求めるのにあたり、省略時間が省略限界よりも大きい場合に、マクスウェル方程式を用いる。そして、マクスウェル方程式を解いて、ローレンツ力およびジュール熱を求めて更新した後、省略時間をゼロに設定しておく。こうしておくことで、次の時間段階になったときに、ローレンツ力およびジュール熱を求める場合に、移流方程式を用いることとなる。
【００１８】
一方、省略時間が省略限界以下の場合には、移流方程式を用いる。そして、移流方程式を解いて、ローレンツ力およびジュール熱を求めて更新した後、その省略時間にΔｔを足しこむ。こうしておくことで、時間段階を進めると、省略時間がΔｔずつ増大し、初期に設定した省略限界を超えるときがくる。そうすると、その次の時間段階では、再びマクスウェル方程式を用いてローレンツ力およびジュール熱を求めて更新することができる。
【００１９】
ここで用いる、ローレンツ力およびジュール熱を求めるための移流方程式は、次式で示されるものである。
【００２０】
∂Ｆ／∂ｔ＋（Ｕ・∇）Ｆ＝０
∂Ｑ／∂ｔ＋（Ｕ・∇）Ｑ＝０
ここで、Ｆはローレンツ力ベクトル，Ｑはジュール熱，ｔは時間，Ｕは物体の速度ベクトル，∇はナブラ演算子である。
【００２１】
ここでは、マクスウェル方程式を解いて得られたローレンツ力およびジュール熱を初期値とし、マクスウェル方程式を解かない間、すなわち省略時間が省略限界よりも小さい間において、Δｔ毎に、この移流方程式を解いて、ローレンツ力およびジュール熱を求めて更新する。
【００２２】
一般に、移流方程式を数値的に解く場合は、数値拡散が問題となりやすいことが良く知られている。この問題を解消する方法として、計算手法としてＣＩＰ法を用いるとよいことが知られている。この方法においては、メッシュ内の物理量を、３次の多項式を用いて、物理量のみならずその物理量の空間微係数を用いて前記３次の多項式の係数を決めるため、数値拡散を最小限に抑えた上で、移流方程式を解くことができる。
【００２３】
ここで、ＣＩＰ法を用いてジュール熱の移流方程式を解く手順について、簡単のため、１次元の座標系を用いて説明する。１次元の座標系においては、ジュール熱を求めるために用いる方程式は、ジュール熱の移流方程式およびこの移流方程式を空間微分した方程式であり、次式のようになる。
【００２４】
∂Ｑ／∂ｔ＋ｕ・∂Ｑ／∂ｘ＝０
∂（∂Ｑ／∂ｘ）／∂ｔ＋ｕ・∂（∂Ｑ／∂ｘ）／∂ｘ＝−∂ｕ／∂ｘ・(∂Ｑ／∂ｘ)
ここで、ｕは１次元の座標系における速度、すなわちｘ方向の速さを表している。そして、メッシュ内のジュール熱を次の上段の３次式によって近似すると、メッシュ内におけるジュール熱およびジュール熱の空間微係数は次の下段のようになる。
【００２５】
Ｑ＝ｃ０＋ｃ１・ｘ＋ｃ２・ｘ２＋ｃ３・ｘ３
∂Ｑ／∂ｘ＝ｃ１＋２・ｃ２・ｘ＋３・ｃ３・ｘ２
この結果、初期段階でジュール熱およびジュール熱の空間微係数が与えられていれば、それらとメッシュを構成する２節点上のジュール熱およびその空間微係数との４つの情報により、ｃ０，ｃ１，ｃ２，ｃ３の４つの係数が得られる。これにより、メッシュ内でジュール熱は３次式によって、ジュール熱の空間微係数は２次式によってそれぞれ表現されるので、Δｔ後のメッシュを構成する２節点上のジュール熱およびその空間微係数は、ｕ×Δｔだけ上流側の値を補間により求めることができる。この際、ジュール熱の空間微係数を求める方程式においては、右辺が非ゼロであるが、右辺については通常の離散化方法、例えば、有限差分法における中心差分を用いてもよいし、有限要素法におけるガラーキン法を用いてもよい。このようにしてジュール熱およびその空間微係数を求めて更新すれば、メッシュ内のジュール熱を表わす３次式も同じように更新され、次のΔｔ後のジュール熱およびその空間微係数を求められるので、任意の時間段階におけるジュール熱およびその空間微係数を求めることができる。
【００２６】
次に、このようにしてＣＩＰ法を用いて得られたローレンツ力を運動量保存式に、ジュール熱をエネルギー保存式にそれぞれ代入して、それぞれの方程式を解く。そのとき、時刻が終了時刻を超えてない場合は、時刻にΔｔを足しこんで、再びローレンツ力およびジュール熱の計算に戻る。以上のようにして、初期時刻から終了時刻までのΔｔ毎の各時刻における各メッシュ毎のローレンツ力およびジュール熱を求めることができ、それらを運動量保存式およびエネルギー保存式に代入することによって、速度，温度等の連続体の物理量を求めることができる。
【００２７】
以上のような本発明の連続体の数値解析方法によれば、多大な計算時間を必要とするマクスウェル方程式をとびとびの時間段階で解けばよく、毎時間段階において解くのを省略することができるので、毎時間段階でマクスウェル方程式を解く従来の連続体の数値解析方法に比較して、連続体の物理量を求める数値解析の効率を著しく向上させることができる。そして、誘導磁場下でローレンツ力およびジュール熱を受ける連続体の物理量についての計算時間を大幅に短縮することが可能となり、それにより低コストで数値解析することが可能となる。
【００２８】
また、マクスウェル方程式を解くのを省略している時間、すなわちとびとびの時間段階の間に使用する、ローレンツ力およびジュール熱の移流方程式を解く計算手法にＣＩＰ法を用いたときには、移流方程式を数値的に解く場合に問題となる数値拡散を最小限に抑えた上で、移流方程式を解くことができるので、ローレンツ力およびジュール熱を高精度に解析しつつ、解析効率を向上させることが可能となる。
【００２９】
なお、本発明は以上の実施の形態の例に限定されるものではなく、本発明の要旨を逸脱しない範囲であれば種々の変更を加えることは何ら差し支えない。
【００３０】
例えば、計算の際に、省略限界を終始一定とせず、省略時間の増大中に連続体が移動する量に限界値を設け、連続体の移動量が前記限界値を超えた場合に、ローレンツ力およびジュール熱の更新にマクスウェル方程式を用いる方法をとってもよい。こうすることで、計算中に連続体の速度変化が激しい場合においても、省略時間を過度に長くすることを防止して、適切なタイミングでマクスウェル方程式を用いてローレンツ力およびジュール熱の更新ができるので、移流方程式を使用することにより生じる誤差をさらに抑制することができる。
【図面の簡単な説明】
【００３１】
【図１】本発明の連続体の数値解析方法の実施の形態の一例における処理手順を示すフローチャートである。
【符号の説明】
【００３２】
１・・・ローレンツ力およびジュール熱解析部
２・・・運動量保存式およびエネルギー保存式解析部
【図１】
2005182150.tif 000003