(57)【要約】【課題】プログラム番号qubit部と計算レジスター用qubit部を持つ量子計算機について、具体的な物理系の相互作用により計算ゲートを実現し、その計算時間を評価する。【解決手段】２つの(1/2)-スピン内積の相互作用により否定ゲートを、二順位系の生成、消滅演算子と三順位系の状態遷移演算子の結合による相互作用により、繰り上げを考慮した1-bit加算ゲートを実現する。プログラム番号qubit部の系状態の観測確立を、量子雑音通信路の類推より評価し、計算時間を最適化する。【選択図】  図１
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
各々個別に識別することが可能な二準位系または三以上の準位を持つ量子系であるqubitを複数個用意し、これらのqubitによってプログラム実行番号を表すための複数のqubitからなる第１qubit部と、計算レジスター用に使用される複数のqubitからなる第２qubit部とを構成し、これら２つのqubit部に属するqubit間の相互作用によって引き起こされるユニタリー時間発展によって、演算操作を行う量子力学的な状態を利用した演算手段と、
プログラム実行番号を表す前記第１qubit部を、適当な基底で観測する観測手段と
を備えることを特徴とする量子計算装置。
【請求項２】
プログラム実行番号を表す前記第１qubit部を適当な基底で観測する前記観測手段の観測結果に基づいて、前記演算操作が終了したかどうかを識別する識別手段を更に備えることを特徴とする請求項１に記載の量子計算装置。
【請求項３】
前記演算操作が正常に終了したことを示す状態が前記第１qubit部で観測されるまで、計算機内部の状態を初期化し、ある一定の時間、計算機内部の状態をユニタリー発展させ、該第１qubit部を観測するという、一連の操作を繰り返すことを特徴とする請求項２に記載の量子計算装置。
【請求項４】
前記qubitとして(1/2)-spinを用意し、前記第１qubit部と前記第２qubit部の間の相互作用として、２つのスピンの内積による相互作用を利用することを特徴とする請求項１乃至３のいずれかに記載の量子計算装置。
【請求項５】
前記第１qubit部には二準位系を、前記第２qubit部には三準位系を使用し、該第１qubit部と第２qubit部の間の相互作用として、前記の二準位系の生成、消滅演算子と、三準位系の状態遷移演算子の結合した相互作用を利用することを特徴とする請求項１乃至３のいずれかに記載の量子計算装置。
【請求項６】
前記演算手段が、否定ゲートを実行することを特徴とする請求項４に記載の量子計算装置。
【請求項７】
1-bitの繰り上げを考慮した加算を実現することを特徴とする請求項５に記載の量子計算装置。
【請求項８】
(1/2)-spinとして、電子、核子等のフェルミオンのスピン、特に、固体中の電子、核子のスピン、高分子化合物中の核子のスピンを利用することを特徴とする請求項４又は６に記載の量子計算装置。
【請求項９】
二準位系として電子等のフェルミオン、三準位系として、原子の基底状態、第一、第二励起状態、特に、電子を吸収、放出することによって、準位を変えるイオンを利用することを特徴とする、請求項５又は７に記載の量子計算装置。
【請求項１０】
プログラム実行番号を表すための複数のqubitからなる第１qubit部と、計算レジスター用に使用される複数のqubitからなる第２qubitの、これら２つのqubit部に属するqubit間の相互作用によって引き起こされるユニタリー時間発展によって、量子力学的な状態を利用した演算操作を行う演算工程と、
前記第１qubit部を適当な基底で観測し、前記演算操作が終了したかどうかを識別する識別工程とを備えることを特徴とする量子計算方法。
【請求項１１】
前記演算操作が正常に終了したことを示す状態が前記第１qubit部で観測されるまで、前記２つのqubit部の状態を初期化し、ある一定の時間、該２つのqubit部の状態をユニタリー発展させ、該第１qubit部を観測するという、一連の操作を繰り返すことを特徴とする請求項１０に記載の量子計算方法。
【請求項１２】
qubitとして(1/2)-spinを用意し、プログラム実行番号qubit部と計算レジスタ用qubit部の間の相互作用として、二つのスピンの内積による相互作用を利用することを特徴とする請求項１０又は１１に記載の量子計算方法。
【請求項１３】
前記第１qubit部には二準位系を、前記第２qubit部には三準位系を使用し、該第１qubit部と第２qubit部の間の相互作用として、前記の二準位系の生成、消滅演算子と、三準位系の状態遷移演算子の結合した相互作用を利用することを特徴とする請求項１０又は１１に記載の量子計算方法。
【請求項１４】
前記演算工程において、否定ゲートを実行することを特徴とする請求項１２に記載の量子計算方法。
【請求項１５】
1-bitの繰り上げを考慮した加算を実現することを特徴とする請求項１３に記載の量子計算方法。
【請求項１６】
請求項１１の量子計算方法における計算時間評価方法であって、
前記識別工程における、観測による計算終了の識別行為を、前記第１qubit部の初期状態を入力とし、この入力が、時間発展の間、別の系、すなわち、計算レジスター用qubit部との相互作用によってデコヒーレンスを受け、出力部であらかじめ定められた、正常に終了したことを示す状態を受信する量子雑音通信路と解釈して、前記のあらかじめ定められた正常に終了したことを示す状態を受信する確率を計算する確率計算工程と、
前気化区立計算工程により前記演算操作の終了のための全時間の期待値を求め、この期待値を最小にする、量子計算機の一回当たりの動作時間を評価する評価工程とを備えることを特徴とする計算時間評価方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、量子的な状態を使って演算を行う量子計算装置及び方法並びに計算時間評価方法に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
量子力学の性質を効果的に利用して情報処理を行う量子計算理論、量子情報理論が、近年、急激な進展を見せている。
【０００３】
量子計算の研究は、１９６０年代にＩＢＭワトソン研究所のR.LandauerとC.H.Bennettの行った、計算の可逆性と熱力学に関する研究が最初と言われている(非特許文献１、非特許文献２、非特許文献３)。彼らは、通常考えられている計算という作業が、系全体のエントロピーが増大しない、可逆な物理過程で行えること、従って、エネルギーの消費は原理的にゼロに抑えられることを示した。
【０００４】
１９８０年代に、R.P.Feynmanは、量子力学的な原理を利用して計算を行えば、従来の古典的な計算機では難しいとされて来たある種の間顔、例えば量子系のシミュレーションなどが高速に解けるのではと予測した。また、同じ頃、P.Benioffはチューリング機械として動作する量子系について考察した(非特許文献４)。R.P.FeynmanもP.Benioffも、可逆化された計算を実行する量子系を、ハミルトニアンを使って書き下すことを念頭において研究を行っていた。
【０００５】
これらの先駆的な仕事の結果を踏まえて、D.Deutschは、量子計算を量子チューリング機械として定式化した(非特許文献５)。現在行われている量子計算に関する研究のほとんどは、このDeutschの量子チューリング機械を基礎に置いている。Deutschの量子チューリング機械は、古典的な確率的計算アルゴリズムにおける計算機内部の状態と、その状態が実現される確率を、量子状態と振幅に置き換えたもので、非常に見通しが良くなっている。
【０００６】
具体的な量子計算アルゴリズムを考える場合は、Deutschの量子チューリング機械ではなく、量子ゲート・ネットワーク(quantum circuit)と呼ばれるモデルを基にする場合が多い(非特許文献６及び非特許文献７)。これは、あらかじめ初期状態として用意された複数のqubitに逐次的にユニタリー変換(量子ゲート)を作用させて計算操作を進めていくもので、量子ゲートで構成される回路を想像すればよい。量子ゲート・ネットワークモデルは、量子系のハミルトニアンの詳細については一切触れず、量子状態とユニタリー変換のみを考えており、その意味で非常に簡素化されている。
【０００７】
D.Deutschが量子チューリング機械を定率化して以降、量子計算アルゴリズムの研究は急速に発展し、いくつかの重要な発見がなされた。
【０００８】
現在、最も良く知られている量子計算アルゴリズムは、１９９４年にP.W.ShorとD.R.Simonによって発表された因数分解アルゴリズム(Shorのアルゴリズム)である(非特許文献８、非特許文献９及び非特許文献１０)。一般に、与えられた巨大な整数を因数分解せよという問題は、極めて難問であることが知られている。通常の古典計算機によるどのアルゴリズムも、整数の桁数をＬとすると、計算時間はＬの指数関数としてふるまう。従って、桁数Ｌが増大すると計算時間は爆発的に増大し、例えば、３００桁程度で現在の最高速のコンピューターでも解くことは事実上不可能となってしまうと言われている。そのため、巨大な整数の因数分解はインターネット等の情報通信の世界で暗号の鍵として利用されている。
【０００９】
しかし、Shorのアルゴリズムを使えば、桁数Ｌの二乗程度の時間で解けてしまうことが示される。また、Shorのアルゴリズムは、因数分解だけでなく、離散対数計算問題も効率良く解いてしまう。離散対数計算問題も現代の暗号技術に深く係わっている。
【００１０】
この他に良く知られている量子計算アルゴリズムとして、ここでは次の二つを挙げておく。
【００１１】
一つ目は、DeutschとJpzsaのアルゴリズムと呼ばれるもので、量子計算アルゴリズムとしては最初のものと考えられている(非特許文献１１)。これは、ある与えられた未知の関数(オラクル)の性質が、量子計算を使えば、古典的な方法より少ないステップ数で調べられることを示したものである。
【００１２】
二つ目として、Groverのアルゴリズムが挙げられる(非特許文献１２、非特許文献１３及び非特許文献１４)。これは、命題充足可能性問題(SAT problem、ＮＰ完全問題の一つ)と呼ばれる問題に対するアルゴリズムとして提出された。Groverのアルゴリズムは、任意の(log2Ｎ)-bit列の中で、与えられた条件式をみたすbit列を、Ο(√Ｎ)ステップ程度の計算量で見付け出してくれる。古典計算機の場合、条件式(命題)の数学的な構造は考えず、しらみつぶし的に全ての入力である(log2Ｎ)-bit列について調べていくと、計算量はΟ(Ｎ)回程度となる。量子計算機では、このような、しらみつぶし的調査がΟ(√Ｎ)ステップ程度で済むということになる。
【００１３】
Groverのアルゴリズムは、その働きが一種の検索を連想させるので、量子高速検索アルゴリズムといった呼ばれ方をする場合があるが、本来の検索という意味は持っておらず、目的とする状態の振幅を増大させるプロセスという理解の仕方が正確と考えられる(非特許文献１５)。
【００１４】
これらの研究の進展に伴い、多くの研究者がこの分野に参入し、新しい量子計算アルゴリズムの開発、現実の物理系による実現方法の提案などが、活発に行われるようになっている。
【００１５】
また、量子的な状態によって情報を取り扱う、量子情報理論の分野でも、新しい提案がなされ、近年、盛んに研究されるようになった。この中には、量子力学の不確定性や、もつれ合った状態の性質を利用した量子暗号の研究や、外部の環境の系との相互作用のために量子通信路を通る量子力学的な状態が乱される(デコヒーレンスを受ける)、noisy quantum channel(量子雑音通信路)の研究が含まれている。
【００１６】
ここでは、本発明と関連のある、R.P.Feynmanの考えた量子計算と、Krausの表現と呼ばれるnoisy quantum channel(量子雑音通信路)の定式化を、従来の技術として紹介する。
【００１７】
１)［R.P.Feynmanの考えた量子計算］
(非特許文献１６)
すでに説明したように、R.P.Feynmanの考えた量子計算は、現在主流となっているD.Deutschの定式化した量子チューリング機械モデルより以前に考えられていたモデルである。Feynmanの量子計算は、計算という行為を可逆な過程として表現し、これを量子力学のユニタリー変換として実現するハミルトニアンを構成することに力が注がれでいる。これは、当時の研究が、計算操作をエントロピーの増大しない物理系で実現し、熱の発生を抑えることを目的としていたからと考えられる。そのため、計算効率については、それほど重要視されていない(D.Deutschの量子チューリング機械モデルでは、計算効率が重視されている)。この点を踏まえて、以下に、Feynmanの量子計算について、概略を述べる。
【００１８】
量子計算機では、通常、qubitと呼ばれる二準位系をいくつか用意し、これに適当なユニタリー変換を作用させて計算を進行させる(正確には、qubitとは、二次元のHilbert空間上で定義される量子系で、二つの規格化された互いに直行するケットベクトル｛|0〉，|1〉｝の重ね合わせで記述される。しかし、簡単に二準位系と考えても差し支えない。本明細書では、このような二準位系だけでなく、三準位系も使った量子計算機を考えている。)。
【００１９】
qubitの任意の状態は
2005267104.tif 000003
で表わされる。レジスターとして、ｎ個のqubitを用意すると、その状態は次のように書き表される。
2005267104.tif 000004
|ｘi〉(ｘi∈{0,1}, i=1,…,n)は、(1)で表わされるｉ番目のqubitの基底を表わしているとする。
【００２０】
なお、これらｎ個のqubitは全て互いに区別可能で、個別に測定等ができるとする(ｎ−qubit全体を同種粒子とは考えない)。従って、|φR〉は2n次元Hilbert空間上で定義される任意の状態である。
【００２１】
この２n次元Hilbert空間の単位ケットベクトル|φR〉に、
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という、一連のユニタリー変換を作用させるとする。例えば、Ｖ1(1,2)は|ｘ1〉と|ｘ2〉の二つのqubitに作用する2-bit reversible exclusive-or gate、
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であるとしてもよい(非特許文献７)。
【００２２】
次に、(3)で示される順番にｍ個のユニタリー演算子を作用させるハミルトニアンを横成することを考える。そのため、(2)で設定したｎ個のqubitのレジスターとは別に、(ｍ＋１)個のプログラム実行番号を表わすためのqubitを用意する。このような、プログラム実行番号を表わすためのqubitをprogram counter sitesと呼ぶことがある。
【００２３】
従って、全体で、
2005267104.tif 000007
ただし、
2005267104.tif 000008
というqubitの配列が用意されたことになる。本明細書では、|ΨC〉をプログラム実行番号用qubit部、|φR〉を計算レジスター用qubit部と呼ぶことにする。
【００２４】
また、本明細書では、プログラム実行番号用qubit部の系で定義されていることを強調するために、Ｃという添字を状態ベクトルや演算子に付けることがある。同様に、計算レジスター用qubit部の系で定義されていることを強調する際に添字Ｒを、プログラム実行番号用qubit部と計算レジスター用qubit部の結合系で定義されていることを強調する際に添字ＣＲを、状態ベクトルや演算子に付けることがある。
【００２５】
ハミルトニアンは次のように構成するとよい。
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ただし、｛ｃi,ｃi†｝＝１、ｃiｃi＝ｃi†ｃi†＝０ for i=0,…,mとする。Ｈ†＝Ｈが成立していることに注意する。ｃi†ｃiは、プログラム実行番号用qubit部(系Ｃ)|ｙi〉に作用する生成、消滅演算子で、
2005267104.tif 000010
をみたす。しかし、すでに説明したように、各qubitは個別に区別可能な粒子なので(同種粒子とは見なさない)、異なるqubitに作用する演算子は全て互いに可換とする。よって、
2005267104.tif 000011
となる。Ｖi、Ｖi†は、すでに説明したように計算レジスター用qubit部(系Ｒ)に作用するユニタリー演算子である。
【００２６】
(5)で与えられるハミルトニアンによって
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が時間発展する場合、プログラム実行番号用qubit部のケットベクトル|ｙ0,…ym〉の、状態|1〉にあるqubitの総数は保存する。これは、Ｈの各項に、必ずqubitの生成、消滅演算子が一つずつ対になって含まれているからである。Ｈのこの性質は、ＶmＶm-1…Ｖ1を順に作用させる際に、大切な役割を果たす。
【００２７】
計算操作は次のように進行する。初期状態として、
2005267104.tif 000013
を用意する。qubit全体を無限小時間Δｔだけ発展させると、Ｈに含まれる項のうち実質的に作用できるのはｃ1†ｃ0Ｖ1の項だけなので、
2005267104.tif 000014
となる。このような無限小時間発展を続けて行うと、
2005267104.tif 000015
となる。ただし、ここで示した近似計算では、Δｔの１次のオーダーまでしか取り込んでいない。
【００２８】
次の点に注意する。(7)で作られた、
2005267104.tif 000016
という状態は、もう一度、無限小時間発展
2005267104.tif 000017
を作用させることによって、
2005267104.tif 000018
に分かれる。このように、無限小時間発展
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を繰り返し作用させることは、計算操作の前進と後退の両方を引き起こす。
【００２９】
次の極限操作を考える。
2005267104.tif 000020
この状態は、
2005267104.tif 000021
の重ね合せと考えられる。ただし、Ｖ0＝Ｉとしている。|ｉC〉はプログラム実行番号用qubit部で、
2005267104.tif 000022
をみたすとする。|ｉC〉は、次のように、プログラム実行番号用qubit部で、ただ一つｉ番目のqubitが|1〉、他のqubitは全て|0〉という状態である。
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Ｈの各項が作用して、プログラム実行番号用qubit部の|1〉の状態が左端から右端に動くにつれて、順次、Ｖiが計算レジスター用qubit部に作用されていく。このように、(5)で与えられるハミルトニアンで記述される量子計算機では、実行プログラムの各ステップでの状感が重ね合わされているという特徴を持っている。
【００３０】
２)［noisy quantum channel(量子雑音通信路)とKrausの表現］
(非特許文献１７)
送信者Ａから受信者Ｂに、適当な通信路を使って、量子力学的な状態を信号として送り、情報のやり取りを行う場合を考える(図４の(i))。通信路において、外部の環境との相互作用によって、送信者Ａからの量子力学的な状態が変化し、状態のコヒーレントな性質が損なわれた場合、送信者Ａからの量子的な信号は雑音を受けたことになる。このように、外部の環境との相互作用によって信号となる量子力学的な状態が損なわれる通信系を、noisy quantum channel(量子雑音通信路)と呼ぶ。
【００３１】
noisy quantum channel(量子雑音通信路)は、図４の(ii)のように考えると定式化しやすい。通信系Ｑ(system)が、環境Ｅ(environment)と相互作用しながらユニタリー発展する。例えば、初期で系Ｑ，Ｅがそれぞれ純粋状態にあって、その後、系Ｑ，Ｅが相互作用しながらユニタリー発展して結合系ＱＥが純粋状態にあっても、系Ｑだけについて見ると、混合状態になっている場合がある。このようなとき、系Ｑで通信を行っている送信者Ａ、受信者Ｂは、信号となる状態のコヒーレントな性質が損なわれた、すなわち、デコヒーレンスが生じたと感じるのである。
【００３２】
そこで、noisy quantum channel(量子雑音通信路)の系の発展は、次のように書ける。系Ｑ，Ｅの定義されるHilbert空間を
2005267104.tif 000024
とする。系Ｑの初期状態をρQ、系Ｅの初期状態をある純粋状態|0E〉〈0E|とする。結合系ＱＥのユニタリー発展を表す演算子をＵQE（ＵQE†ＵQE＝Ｉ(ヘ゛クトル)）。このとき、系Ｑの状態は次のように変化する。
2005267104.tif 000025
TrEは、Ｈ(Hilbert)Ｅで部分的にトレースを取るという意味である。
【００３３】
Ｈ(Hilbert)Ｅの正規直交基底を｛|μE〉｝とする。また、議論を簡単にするために、系Ｑが初期で純粋状態ρQ＝|φQ〉〈φQ|にあったとする。すると、
2005267104.tif 000026
と書ける。
【００３４】
ここで、
2005267104.tif 000027
としてＡμQを定義する。ＡμQは|φQ〉に対して線形な演算子で、(11)は
2005267104.tif 000028
と書き直せる。(13)は、ρQが純粋状態として導いたが、ρQが一般の混合状態の場合であっても同様に成立する。
【００３５】
また、任意の|φQ〉∈Ｈ(Hilbert)Ｑに対して、
2005267104.tif 000029
より、
2005267104.tif 000030
が成立する。
【００３６】
ここで、次のことに注意する。Ｈ(Hilbert)Ｅの正規直交基底｛|μE〉｝のラベルと、(12)のＡμQの添え字は一致している。このように、(13)での和の添え字は、Ｈ(Hilbert)Ｅの次元数に一致する。
【００３７】
一般に、noisy quantum channel(量子雑音通信路)の系Ｑの力学的発展を表す写像を、ρQ→＄Q(ρQ)とすると、物理的な考察から＄Qは次の条件をみたす。まず、＄Qは、系Ｑの任意の密度演算子ρQに対して線形である。また、確率保存の要請より、＄Qはtrace-preservingである。さらに、系Ｑの密度演算子の固有値は、確率として意味を持つために常に正または０でなくてはならず、よって、＄Qはpositive semi-definiteである。最後に、系Ｑに、もう一つの系Ｑ′を付け加えて、複合系ＱＱ′の発展を
2005267104.tif 000031
に拡張した際、上記式もpositive semi-definiteであるという、complete positiveの性質を＄Qは持つ。
【００３８】
これらの条件をみたす写像＄Qは、trace-preserving，completely positive linear mapと呼ばれている。すでに、＄Qの表現として、(10)と、(13)および(15)を示した。＄Qの(10)による表現の仕方は、unitary representationと呼ばれることがある。＄Qの(13)、(15)による表現の仕方は、operator Sum representation、または、Krausの表現と呼ばれることがある。
【００３９】
さらに、次のことが知られている。
１．全ての、trace-preserving，completely positive linear map ＄Qは、unitary representationを持つ。
【００４０】
２．全ての、trace-preserving，completely positive linear map ＄Qは、operator sum representationを持つ。
【００４１】
noisy quantum channel(量子雑音通信路)の代表的なモデルの例として、Pauli channelが知られている(非特許文献１８)。本明細書では、特に、one-Pauli channel、および、two-Pauli channelが実施形態の中で取り上げられている。
【非特許文献１】C.H.Bennett, 'Logical Reversibility of Computation', IBM Journal of Research and Develeopment,17,525-532,(1973)
【非特許文献２】'The Themodynamics of Computation- a Review',Int.J.Thor.Phys.,21,pp.905-940,(1982)
【非特許文献３】R.P.Feynman,'Feynman Lectures on Computation',Addison-Wesley Publishing Company,INC.(1996)
【非特許文献４】P.Benioff,'Quantum Mechanical Models of Turing Machines That Dissipate No Energy',Phys.Rev.Lett.48,1581(1982)
【非特許文献５】D.Deutsch, 'Quantum thory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer', Proc.R.Soc.Lound. A 400, 97-117(1985)
【非特許文献６】D.Deutsch,'Quantum computational networks',Proc.R.Soc.Lond.A 425,73-90(1989)
【非特許文献７】A.Barenco, C.H.Bennett, R.Cleve, D.P.DiVincenzo, N.Margolus, P.Shor, T.Sleator, J.Smolin and H.Weinfurter, 'Elementary gates for quantum Computation', Phys. Rev. A 52,3457(1995)
【非特許文献８】D.R.Simon, 'On the Power of Quantum Computation', in Proceedings of the 35th Annual Symposium on Foundations of Computer Science(ed.S.Goldwasser), IEEE Computer Society Press, Los Alamitos, CA, pp.116-123(1994)
【非特許文献９】P.W.Shor,'Algorithms for quantum computation: Discrete logarithms and factoring',in Proceedings of the 35th Annual Symposium on Foundations of Computer Science(ed.S.Goldwasser), IEEE Computer Society, Los Alamitos, CA, pp.124-134(1994)
【非特許文献１０】P.W.Shor, 'Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer', LANL quantum physics archive quant-ph/9508027,  SIAM J.Computing 26(1997)1484
【非特許文献１１】D.Deutsch and R.Jpzsa,'Rapid solution of problems by quantum computation', Proc.R.Soc.Lond.A(1992)439,553-558
【非特許文献１２】L.K.Grover,'A fast quantum mechanical algorithm for database search', LANL quantum physics archive quant-ph/9605043
【非特許文献１３】L.K.Grover, 'Quantum Mechanics Helps in Searching for a Needle in a Haystack', Phys.Rev.Lett.79,325(1997)
【非特許文献１４】M.Boyer, G.Brassard, P.Hφyer and A.Tapp, 'Tight bounds on quantum searching', LANL quantum physics archive quant-ph/9605034, Fortschr.Phys.46,493-506(1998)
【非特許文献１５】細谷暁夫、「グローバーのアルゴリズム」、数理科学「特集、量子コンピュータ」、No.424,pp.29-35,1998年10月号、サイエンス社
【非特許文献１６】R.P.Feynman,'Feynman Lectures on Computation', Section Six, 'Quantum Mechanical Computers', Addison-Wesley Publishing Company, INC.(1996)
【非特許文献１７】B.Schumacher,'Sending entanglement through noisy quantum channels,'Phys. Rev.A 54,2614(1996),LANL quantum physics archive quant-ph/9604023
【非特許文献１８】C.H.Bennett, C.A.Fuchs and J.A.Smolin, 'Entanglement-Enhanced Classical Communication on a Noisy Quantum Channel', Quantum Communication, Computing,and Measurement, edited by Hirota et al., Plenum Press, New York, p.79(1997), LANL quantum physics archive quant-ph/9611006
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００４２】
上記従来技術で説明した、Feynmanの考えた量子計算は、理論的には重要な提案だったが、具体的に、どのような物理系の相互作用を使えば、意味のある演算操作を行えるのか、また、演算操作がどの程度の時間で行えるのか、等の現実的な問題については、あまり、議論されていなかった。
【００４３】
本発明は、Feynmanの考えた量子計算について、特定の演算を実行するのに適した、具体的な物理系の相互作用を選び出して、実現可能な計算機を提供すること、また、その計算機による効果的な計算方法、さらに、その計算方法によって行われる演算操作の時間の評価方法を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００４４】
上記の目的を達成するための本発明による量子計算装置は以下の構成を備える。すなわち、
各々個別に識別することが可能な二準位系または三以上の準位を持つ量子系であるqubitを複数個用意し、これらのqubitによってプログラム実行番号を表すための複数のqubitからなる第１qubit部と、計算レジスター用に使用される複数のqubitからなる第２qubit部とを構成し、これら２つのqubit部に属するqubit間の相互作用によって引き起こされるユニタリー時間発展によって、演算操作を行う量子力学的な状態を利用した演算手段と、
プログラム実行番号を表す前記第１qubit部を、適当な基底で観測する観測手段とを備える。
【００４５】
また、上記の目的を達成する本発明の量子計算方法は、
プログラム実行番号を表すための複数のqubitからなる第１qubit部と、計算レジスター用に使用される複数のqubitからなる第２qubitの、これら２つのqubit部に属するqubit間の相互作用によって引き起こされるユニタリー時間発展によって、量子力学的な状態を利用した演算操作を行う演算工程と、
前記第１qubit部を適当な基底で観測し、前記演算操作が終了したかどうかを識別する識別工程とを備える。
【００４６】
また、本発明によれば、上記量子計算方法における計算時間評価方法であって、
前記識別工程における、観測による計算終了の識別行為を、前記第１qubit部の初期状態を入力とし、この入力が、時間発展の間、別の系、すなわち、計算レジスター用qubit部との相互作用によってデコヒーレンスを受け、出力部であらかじめ定められた、正常に終了したことを示す状態を受信する量子雑音通信路と解釈して、前記のあらかじめ定められた正常に終了したことを示す状態を受信する確率を計算する確率計算工程と、
前気化区立計算工程により前記演算操作の終了のための全時間の期待値を求め、この期待値を最小にする、量子計算機の一回当たりの動作時間を評価する評価工程とを備える計算時間評価方法が提供される。
【発明の効果】
【００４７】
本発明によれば、Feynmanの考えた量子計算について、特定の演算を実行するのに適した、具体的な物理系の相互作用を選び出して、実現可能な計算機が実現される。また、その計算機による効果的な計算方法、さらに、その計算方法によって行われる演算操作の時間の評価方法が提供される。
【発明を実施するための最良の形態】
【００４８】
以下、添付の図面を参照して本発明の好適な実施形態について説明する。
【００４９】
＜実施形態の概要＞
まず、実施形態の概要を述べる。本実施形態は、Feynmanの考えた量子計算機として、プログラム実行番号を表すqubit部分と、計算レジスター用に使用されるqubit部分を用意し、これらのqubit間の相互作用から生じるユニタリー時間発展により演算操作を行う際、プログラム実行番号を表すqubit部を、適当な基底で観測することで、計算操作が終了したかどうかを識別する。
【００５０】
また、計算操作が正常に終了したことを示す状態がプログラム実行番号qubit部で観測されるまで、計算機内部の状態を初期化し、ある一定の時間、計算機内部の状態をユニタリー発展させ、プログラム実行番号qubit部を観測するという、一連の操作を繰り返す。
【００５１】
さらに、特定の演算を実行するのに適した、具体的な物理系(qubit)、および、(qubit間の)相互作用の選択として、(1/2)-spinを用意し、二つのスピンの内積による相互作用を利用する方法、および、プログラム実行番号qubit部には二準位系を、計算レジスター用qubit部には三準位系を用意し、二準位系の生成、消滅演算子と、三準位系の状態遷移演算子の結合した相互作用を利用する方法を採用する。
【００５２】
最後に、上記の方法によって行われる演算操作時間の評価方法として、観測による計算終了の識別行為を、相互作用によってデコヒーレンスを受ける量子雑音通信路での状態の伝送の問題と解釈して、正常終了確率を計算し、これによって計算操作終了の時間の期待値を求める。
【００５３】
以上により、二つのスピンの内積による相互作用を利用することによって否定ゲートが、二準位系の生成、消滅演算子と、三準位系の状態遷移演算子の結合した相互作用を利用することによって、1-bitの繰り上げを考慮した加算が実現される。
【００５４】
また、計算機の正常終了確率を計算することにより、最初に、計算機内部の状態を初期化し、次に、ある一定の時間、計算機内部の状態をユニタリー発展させ、最後に、プログラム実行番号qubit部を観測するという操作を、計算操作が正常に終了したことを示す状態がプログラム実行番号qubit部で観測されるまで、繰り返すとして、計算操作終了の時間の期待値を求め、一回当たりの計算機の動作時間を最適化することができる。
【００５５】
＜各実施形態に共通する基本的な考え方＞
ここで説明される内容は、複数のqubitによって、プログラム実行番号を表すためのqubit部と、計算レジスター用に使用されるqubit部を構成し、これらのqubit間の相互作用によって引き起こされるユニタリー時間発展によって、演算操作を行う量子計算機において、プログラム実行番号を表すqubit部を、適当な基底で観測することで、計算操作が終了したかどうかを識別し、計算操作が正常に終了したことを示す状態が観測されるまで、計算機内部の状態を初期化し、ある一定の時間、計算機内部の状態をユニタリー発展させ、プログラム実行番号qubit部を観測するという、一連の操作を繰り返す量子計算機、および、計算方法、についてである。
【００５６】
また、さらに、上記の量子計算機の量子計算方法における計算時間評価方法として、観測による計算終了の識別を、プログラム実行番号qubit部の初期状態を入力とし、この入力が、時間発展の間、計算レジスター用qubit部との相互作用によってデコヒーレンスを受け、出力部で正常に終了したことを示す状態を受信する量子雑音通信路と解釈して、正常に終了したことを示す状態を受信する確率を計算し、これによって、計算操作の終了のための全時間の期待値を最小にする、量子計算機の一回当たりの動作時間を評価することを特徴とする、量子計算機の計算時間評価方法、について説明する。
【００５７】
Feynmanの考えた量子計算機で、(9)から必要な計算結果であるＶmＶm-1…Ｖ1|φR〉を得るには、次のようにするとよい。プログラム実行番号用qubit部に対して、｛|ｉC)｝を固有ケットとするような測定を行う。|ｍC)を観測すると、von Neumannの収縮仮説(Ｍ．Ｂ．メンスキー、「量子連続測定と経路積分」、吉岡書店、(1995))により、計算レジスター用qubit部の状態は、ＶmＶm-1…Ｖ1|φR〉に収縮する。
【００５８】
プログラム実行番号用qubit部を観測して、|ｍC)以外の状態が観測された場合、計算レジスター用qubit部は、計算の途中段階にある状態に収縮してしまい、再度、初期状態にもどして計算をやり直すことになる。
【００５９】
時間ｔだけ発展させたプログラム実行番号用qubit部と計算レジスター用qubit部の結合系の状態を、
2005267104.tif 000032
と書くことにする。|0C)＝|1,0,…,0C〉はプログラム実行番号用qubit部の初期状態を、|φR〉は計算レジスター用qubit部の初期状態を表している。例えば、|ｍC)を観測する確率Ｐφは、時刻ｔでのプログラム実行番号用qubit部の密度演算子を、
2005267104.tif 000033
として、
2005267104.tif 000034
で表される。
【００６０】
(17)は、次のように見方を変えることができる。
2005267104.tif 000035
ただし、｛|μR〉｝は、計算レジスター用qubit部の状態の張る2n次元Hilbert空間の正規直交基底となっている。
【００６１】
ここで、
2005267104.tif 000036
とする。Ａμ,φCは、|ψC〉について線形な演算子で、添え字φは計算レジスター用qubit部の初期状態|φR〉に依存することを示している。このＡμ,φCを使えば、
2005267104.tif 000037
ただし、
2005267104.tif 000038
となり、ρCはKrausの表現で与えられることが分かる。
【００６２】
このことから、Feynmanの考えたHamiltonianを使った量子計算での計算終了の判断は、Krausの表現で与えられるnoisy quantum channel(量子雑音通信路)でpure state|0C)を送って|ｍC)を受信することに置き換えられることが分かる。
【００６３】
Feynmanの量子計算機で、ある一定時間ｔだけユニタリー発展させてから観測を行い、もし、まだ計算が終了していなかったら、計算機を初期化して再び時間ｔだけ発展させて観測という操作を繰り返す場合について考える。時刻ｔでの計算が終了している確率は、０≦Ｐφ(t)≦１で与えられる。よって、最終的な計算終了時刻の期待値は、
2005267104.tif 000039
で与えられる。ただし、ここで、
2005267104.tif 000040
を使った。Ｐφ(t)がｔをパラメーターとする関数であることに注意する。τ-φを最小にするｔを求めることができれば、計算時間を節約することができる。
【００６４】
これまでに求めてきたＰφ(t)、τ-φは、(18)，(20)，(21)からも明らかなように、計算レジスター用qubit部の初期状態|φR〉に依存している。一般の量子計算では、計算レジスター用qubit部の初期状態|φR〉は、必ずしも一意に決まっているとは限らず、さまざまな状態を取り得る場合もある。従って、τ-φが、対応する量子計算機の平均的な計算効率(計算時間)を、そのまま表しているとは限らないことに注意する。
【００６５】
＜第１の実施形態＞
ここで説明される内容は、qubitとして(1/2)-spinを用意し、プログラム実行番号qubit部と計算レジスター用qubit部の間の相互作用として、二つのスピンの内積による相互作用を利用することを特徴とする量子計算機、および、前記の量子計算機の構成方法において、否定ゲートを実行することを特徴とする量子計算機、および、計算方法に関するものである。
【００６６】
Feynmanの量子計算機の簡単な例として、Not-gateを実行するハミルトニアンについて考える。系Ｃをプログラム実行番号用qubit部、系Ｒを計算レジスター用qubit部とし、系Ｃ，Ｒ共に、1-qubitのHilbert空間(二次元)を考える。さらに、Ｈ(Hilbert)Ｃの基底を｛|0C〉，|1C〉｝、Ｈ(Hilbert)Ｒの基底を｛|0R〉，|1R〉｝とする。Not-gateは、次の操作を行う演算子の項を含むハミルトニアンを考えることに相当する。
2005267104.tif 000041
そこで、系ＣＲの相互作用ハミルトニアンは次のように与えられる。
2005267104.tif 000042
ただし、ｃc†、ｃcは系Ｃのqubitの生成、消滅演算子、ｂR†、ｂRは系Ｒのqubitの生成、消滅演算子で、Ｈ(Hilbert)Ｃ、Ｈ(Hilbert)Ｒの基底を、
2005267104.tif 000043
と表示することにすると、
2005267104.tif 000044
と表される。なお、αは実数としている。
【００６７】
今後、ｃ、ｃ†は系Ｃの、ｂ、ｂ†は系Ｒの生成、消滅演算子と考え、添字Ｃ，Ｒは省略することにする。次の交換関係、
2005267104.tif 000045
が成立している。
【００６８】
(ｂ†＋ｂ)がユニタリー行列であることは明らかである。よって、(24)のΔＨは、(5)のハミルトニアンのプログラム実行番号用qubit部が1-qubitしかない特別な場合と理解できる。
【００６９】
この相互作用ハミルトニアンは、さらに、次のように書き換えられる。
2005267104.tif 000046
ただし、
2005267104.tif 000047
とし、σxはPauli行列のｘ成分とする。Pauli行列は、
2005267104.tif 000048
のように表される。
【００７０】
このような相互作用を実現する系としては、具体的には、次のようなものを考えると良い。二つの(1/2)-スピンＣ，Ｒを用意し、互いに接近させ、ｘ方向の磁場Ｂ(ヘ゛クトル)＝(B,0,0)をかける(図１)。ハミルトニアンは次のように与えられる。
2005267104.tif 000049
ただし、ωC＝μC／２，ωR＝μR／２としていてる。
【００７１】
スピン−スピン相互作用の結合定数αが、Ｂによって生じるZeemanエネルギー、
2005267104.tif 000050
より十分弱い場合、スピン−スピン相互作用の項はｘ成分の積で近似できる(N.A.Gershenfeld and I.L.Chuang,'Bulk Spin Resonance Quantum Computation', Science,vol.275,p.350,January,1997,および、D.G.Cory, M.D.Price and T.F.Havel,'Nuclear magnetic resonance spectroscopy:an experimentally accessible paradigm for quantum computation',LANL quantum physics archive quantum -ph/9709001,および、北川勝浩、「ＮＭＲ量子コンピュータ」、数理科学「特集、量子コンピュータ」、No.424,pp.43-50,1998年10月号、サイエンス社)。よって、ハミルトニアンは次の形で書き表せられる。
2005267104.tif 000051
ただし、
2005267104.tif 000052
となる。
【００７２】
Ｈ0C、Ｈ0R、ΔＨは、明らかに、
2005267104.tif 000053
をみたすので、ユニタリー発展演算子は、
2005267104.tif 000054
ただし、
2005267104.tif 000055
と分離することができる。このような場合、系Ｃの発展では、相互作用項ΔＨが重要で、一体のハミルトニアンＨ0C、Ｈ0Rの効果は気にかけなくてよい。そのことを以下に説明する。
2005267104.tif 000056
での密度演算子ρCRは、次のように発展する。
2005267104.tif 000057
よって、系Ｃの発展を見ると、
2005267104.tif 000058
と書き表せられる。この、(30)で定義される＄C(ρC)は、ハミルトニアンとして相互作用項ΔＨだけでなく、系Ｑの一体ハミルトニアンＨ0Cも考慮されていることに注意する。また、これとは別に、相互作用項のみ考慮した、
2005267104.tif 000059
を定義しておく。
【００７３】
系Ｃに対して、Ｈ(Hilbert)Ｃ上のエルミート演算子ＴCで表される物理量の観測をすることを考える(ＴC†＝ＴC)。ＴCの固定値、固有ケットを、
2005267104.tif 000060
とすると、｛|i〉｝はＨ(Hilbert)Ｃ上の正規直交基底を成す。＄C(ρC)に対して、固有値λiが観測される確率は、
2005267104.tif 000061
ただし、|i'C〉＝Ｕ0Q†|iC〉となる。
【００７４】
これは、＄C(ρC)に対してＴCを観測することと、＄〜C(ρC)に対してＵ0C†ＴCＵ0Cを観測することが、同じ意味を持っていることを表している。そこで、本質的には、相互作用ハミルトニアンを表すΔＨ＝κＳxCＳxRの部分のみ考えれば良いと分かる。
【００７５】
これより、相互作用項ΔＨのユニタリー発展演算子を具体的に求めることにする。ＵΔCRは、次のように書き下された。
2005267104.tif 000062
ただし、
2005267104.tif 000063
とする。σxCσxRの行列表現は、
2005267104.tif 000064
と書くことができる。
【００７６】
σxCσxRは、次のようにユニタリー変換で対角化可能である。すなわち、
2005267104.tif 000065
とする。そこで、
2005267104.tif 000066
が得られる。よって、
2005267104.tif 000067
となる。
【００７７】
今、考えている系は量子通信のnoisy quantum channel(量子雑音通信路)において、環境Ｒ(Ｅ)が通信系Ｃ(Ｑ)に対して盗聴を仕掛けている状況に相当する。系Ｃに対して、盗聴者は系Ｒの(1/2)-spinを近付け、時間ｔだけ相互作用を起こさせ、その後、系Ｒのspinを観測するのである。そこで、このnoisy quantum channel(量子雑音通信路)のKrausの表現を求めてみる。
【００７８】
系Ｒの初期状態を|0R〉とおく。(12)の定義より、
2005267104.tif 000068
が得られる(Ａμ,0Cの添え字0は、系Ｒの初期状撃が|0R〉であることを示している)。cosτ＝√ｘとすると、
2005267104.tif 000069
ただし、
2005267104.tif 000070
というKrausの表現が得られる。これは、One-Pauli noisy channelと呼ばれる量子通信の分野では良く研究されているモデルである。
【００７９】
次に、計算時間の評価を行う。系Ｒの初期状態が|0R〉のとき、プログラム実行番号用qubit部Ｃは、初期状態|0C〉から次のように発展する。
2005267104.tif 000071
計算終了を示す状態|1C〉を得る確率Ｐ0は、
2005267104.tif 000072
で与えられる。計算終了時間の期待値は、
2005267104.tif 000073
のように表される。
【００８０】
(τ／sin2τ)のグラフを図２に示す。なお、図２のグラフでは、縦軸を底が１０の対数スケールで、横軸を線形のスケールで表示している。τ≒1.16のとき、(τ/sin2τ)は最小値として約1.38をとる。よって、
2005267104.tif 000074
とすると、最も効率的にNot-gateが実行できて、実行時間の期待値は、
2005267104.tif 000075
となる。
【００８１】
確率１で確実にNot-gateを動作させるには(Ｐ0＝１)、
2005267104.tif 000076
の時間が必要である。
【００８２】
系Ｒの初期状態が|1R〉のとき、Krausの表現は、
2005267104.tif 000077
で与えられる。計算時間の評価に関しては、系Ｒの初期状態が|0R〉の場合と同様で、
2005267104.tif 000078
となる。
【００８３】
実は、本実施形態の場合は、系Ｒの初期状態|φR〉がどのような状態であっても、Ｐφ＝１−ｘが成立し、計算終了時間の期待値は
2005267104.tif 000079
となる。このことを、以下に説明する。|φR〉を任意の状態、
2005267104.tif 000080
とおくと、Krausの表現での演算子Ａμ,φCは、
2005267104.tif 000081
のように表される。従って、
2005267104.tif 000082
が得られる。
【００８４】
このとき、プログラム実行番号用qubit部Ｃは、初期状態|０C)から次のように発展する。
2005267104.tif 000083
よって、
2005267104.tif 000084
となり、系Ｒの初期状態によらず計算終了時間は一定であることが示せた。
【００８５】
実際に、gateを操作するときは、次の順番で外部磁場をかける。まず、系Ｃの(1/2)-spinにのみｚ方向の外部磁場Ｂｚ(ヘ゛クトル)＝(0,0,B)をかけて|0C〉に初期化する。次に、外部磁場Ｂｚ＝(0,0,B)を切って、系Ｃのspinと任意の状態にある系Ｒのspinを近付けると同時に、ｘ方向の外部磁場Ｂｘ(ヘ゛クトル)＝(B,0,0)を系ＣＲにかけて、ＳxCＳxR相互作用を起こさせる。所定の相互作用時間ｔが経過したら、外部磁場Ｂｘ＝(B,0,0)を切って、さらに、系Ｃと系Ｒのスピンを離してスピン−スピン相互作用を切る。最後に系Ｃのスピンを読み出す。
【００８６】
＜第２の実施形態＞
ここで説明される内容は、プログラム実行番号qubit部には二準位系を、計算レジスター用qubit部には三準位系を使用し、qubit間の相互作用として、前記の二準位系の生成、消滅演算子と、三準位系の状態遷移演算子の結合した相互作用を利用し、1-bitの繰り上げを考慮した加算を実現する量子計算機、および、計算方法、に関するものである。
【００８７】
三準位系Ｒと二準位系Ｃが、次のハミルトニアンで相互作用して時間発展する物理系を考える。
2005267104.tif 000085
ただし、
2005267104.tif 000086
とする。
【００８８】
ｃ†、ｃは二準位系Ｃの生成、消滅演算子で、｛c,c†｝＝１、cc＝c†c†＝０が成立するとする。系ＣのHilbert空間の正規直交基底として｛|1C〉，|0C〉｝、ただし、
2005267104.tif 000087
を取る。次の関係、
2005267104.tif 000088
が成立する。
【００８９】
また、Ｓμυ(μυ∈{+,0,-})は三準位系Ｒの状態遷移演算子で、系ＲのHilbert空間の正規直交基底を｛|+R〉，|0R〉，|-R〉｝として、
2005267104.tif 000089
のように定義される。このとき、
2005267104.tif 000090
より、Ｓ†μν＝Ｓνμが成立する。
【００９０】
(42)，(43)は、二準位系Ｃのエネルギー
2005267104.tif 000091
の粒子が存在する状態を|1C〉、存在しない状態を|0C〉として、系Ｃの粒子の吸収、放出によって、三準位系Ｒの準位が上がったり、下がったりする系を表していると理解すればよい(図３)。なお、(42)，(43)で、二準位系Ｃの換わりに、輻射場(光子の場)と相互作用させたものは、Jaynes-Cummingsモデルと呼ばれ、1960年代から詳しく研究されている。Jaynes-Cummingsモデルについての包括的な解説として、B.W.Shore and P.L.Knight,1993,'Topical review:The Jaynes-Cummings model',J.mod.Optics,40,1195,がある。
【００９１】
ΔＨは系Ｃの初期状態を|1C〉とした場合、次の演算操作を引き起こすと考えられる。
2005267104.tif 000092
(ここで、今の場合は、これまでの議論とは異なり、系Ｃの初期状態を|0C〉でなく、|1C〉と設定していることに注意する。)よって、|-R〉を'0'、|0R〉を'1'、|+R〉を'10'と解釈すると、ΔＨは２進数の任意の1-bitに１を加える計算を行い、かつ、桁のくり上がりを表示するgateを実行すると考えられる。
【００９２】
ΔＨは次のように書き変え可能である。
2005267104.tif 000093
とする。また、
2005267104.tif 000094
より、Ｊ+、Ｊ-はユニタリーでないことが分かる。
【００９３】
このように、(42)，(43)のΔＨは、(5)で示されるFeynmanの量子計算機とはやや異なった形をしている。しかし、系Ｃをプログラム実行番号用qubit部と考えると、計算レジスター用qubit部系Ｒに操作Ｊ+を行っているという点で、Feynmanの量子計算機と似た動作をしている。また、ΔＨはエルミート（ΔＨ†＝ΔＨ）であり、物理系として成立している。そこで、本実施形態も、Feynmanの量子計算機の特殊な例と考え、話を進めることにする。
【００９４】
ＳμνＳηζ＝δνηＳμζに注意すると、
2005267104.tif 000095
を得る。特に、
2005267104.tif 000096
とすると、［Ｈ0，ΔＨ］＝0が成立し、相互作用項ΔＨが重要で、Ｈ0の項は本質的でないことが示される。そこで、これより、議論を簡単にするため、(48)が成立する場合についてのみ考えることにする。
【００９５】
このとき、ユニタリー発展演算子は、
2005267104.tif 000097
と分離することができる。さらに、
2005267104.tif 000098
ただし、
2005267104.tif 000099
とすれば、明らかに、［Ｈ0C，Ｈ0R］＝０が成立するので、
2005267104.tif 000100
と分離できる。よって、最終的に、
2005267104.tif 000101
と分離される。Ｕ0CとＵ0Rは可換だが、ＵΔと、Ｕ0C及びＵ0Rは可換でないことに注意する。
2005267104.tif 000102
での密度演算子ρCRは、
2005267104.tif 000103
のように発展する。よって、系Ｃの発展について見ると、
2005267104.tif 000104
と書ける。よって、第一の実施形態での考察と同様にして、エルミート演算子ＴCで表される物理量を観測する場合、＄C(ρC)に対してＵ0C†ＴCＵ0Cを観測していると解釈すれば良いことが分かる。そこで、相互作用ハミルトニアンを表すΔＨ＝κＳxCＳxRの部分が本質的と考えることにする。
【００９６】
相互作用項ΔＨによるユニタリー発展演算子
2005267104.tif 000105
を具体的に求めることにする。Ｈ(Hilbert)Ｃの基底を
2005267104.tif 000106
と表示することにする。また、Ｈ(Hilbert)Ｒの基底を
2005267104.tif 000107
ただし、
2005267104.tif 000108
と表示することにする。ここで、|+R〉と|1R〉、|-R〉と|-1R〉が異なる基底であることに注意する。これにより、
2005267104.tif 000109
と表される。
【００９７】
これより、ΔＨの行列表示は次のように得られる。
2005267104.tif 000110
ただし、
2005267104.tif 000111
とする。
【００９８】
ΔＨを次のようにユニタリー変換によって対角化する。
2005267104.tif 000112
ただし、
2005267104.tif 000113
とする。これにより、
2005267104.tif 000114
ただし、
2005267104.tif 000115
となる。よって
2005267104.tif 000116
ただし
2005267104.tif 000117
また、√ｘ＝cosτとなる。
【００９９】
今、考えている系は量子通信のnoisy quantum channel(量子雑音通信路)において、環境Ｒ(Ｅ)が通信系Ｃ(Ｑ)に対して盗聴を仕掛けている状況に相当する。系Ｃに対して、盗聴者は系Ｒの三準位系を近付け、時間ｔだけ相互作用を起こさせ、その後、系Ｒを観測するのである。そこで、このnoisy quantum channel(量子雑音通信路)のKrausの表現を求めてみる。
【０１００】
系点の初期状態を|0R〉とおく。(12)の定義より、
2005267104.tif 000118
となり、
2005267104.tif 000119
ただし、
2005267104.tif 000120
というKrausの表現が得られる。これは、、Two-Pauli noisy channelと呼ばれる量子通信の分野では良く研究されているモデルである。
【０１０１】
次に、計算時間の評価を行う。系Ｒの初期状態が|0R〉のとき、プログラム実行番号用qubit部Ｃは、初期状態|1C〉から次のように発展する。
2005267104.tif 000121
計算終了を示す状態|0C〉を得る確率Ｐ0は、
2005267104.tif 000122
で与えられる。計算終了時間の期待値は、
2005267104.tif 000123
のように表される。よって、系Ｒの初期状態が|0R〉のとき、計算終了時間の期待値は(第一の実施形態)と同じで、図２のグラフに示したとおりとなる。
【０１０２】
系Ｒの初期状態が|−R〉＝(１／√２)(|１R〉−|−１R〉)のとき、Krausの表現は、
2005267104.tif 000124
となり、
2005267104.tif 000125
より、
2005267104.tif 000126
が得られる。
【０１０３】
系Ｒの初期状態が|−R〉のとき、プログラム実行番号用qubit部Ｃは、初期状態|１C〉から、
2005267104.tif 000127
のように発展する。計算終了を示す状態|0C〉を得る確率Ｐ−は、
2005267104.tif 000128
で与えられる。よって、計算終了時間の期待値は、
2005267104.tif 000129
となり、τ-0の場合と同様、図２のグラフのとおりとなる。
【０１０４】
系Ｒの初期状態が|＋R〉＝(１／√２)(|１R〉＋|−１R〉)のとき、Krausの表現は、
2005267104.tif 000130
となり、
2005267104.tif 000131
が得られる。
【０１０５】
系Ｒの初期状態が|＋R〉のとき、プログラや実行番号用qubit部Ｃは、初期状態|１C〉から、
2005267104.tif 000132
のように発展する。計算終了を示す状態|0C〉を得る確率Ｐ＋は、
2005267104.tif 000133
で与えられる。よって、計算終了時間の期待値は無限大となってしまう。
【０１０６】
本実施形態の場合、これまで見てきたように、系Ｒの初期状態によって、計算終了時間の期待値は大きく異なる。このことを、もっと良く調べるために、次の計算を行ってみる。任意の初期状態|φR〉を
2005267104.tif 000134
のように表す。
【０１０７】
Krausの表現での演算子Ａμ,φCは次のように表される。
2005267104.tif 000135
従って、
2005267104.tif 000136
が得られる。
【０１０８】
このとき、プログラム実行番号用qubit部Ｃは、初期状態|１C〉から次のように発展する。
2005267104.tif 000137
よって
2005267104.tif 000138
となる。
【０１０９】
本実施形態の系ＣＲを、(４４)の演算操作を引き起こすゲートとして使用する場合、系点の入力は、|−R〉，|0R〉の線形符合に限られる。従って、ゲートとしての計算終了時間の期待値は
2005267104.tif 000139
として構わない。
【０１１０】
＜第３の実施形態＞
ここで説明される内容は、二つのスピンの内積による相互作用を利用する量子計算機において、(1/2)-spinとして、電子、核子等のフェルミオンのスピン、特に、固体中の電子、核子のスピン、高分子化合物中の核子のスピンを利用することを特徴とする量子計算機に関するものである。
【０１１１】
前の第１の実施形態で示した、二つの(1/2)-spinスピンの内積による相互作用ハミルトニアンを利用する量子計算機では、(24)，(25)を実現する物理系であれば、原理的にどのようなものでも、否定ゲートとして利用できる。
【０１１２】
このような相互作用を持つ物理系の例として、電子、核子等のフェルミオンのスピン、特に、固体中の電子、核子のスピン、高分子化合物中の核子のスピンが挙げられる。
【０１１３】
＜第４の実施形態＞
ここで説明される内容は、二準位系の生成、消滅演算子と、三準位系の状態遷移演算子の結合した相互作用を利用する量子計算機において、二準位系として、電子等のフェルミオン、三準位系として、原子の基底状態、第一、第二励起状態、特に、電子を吸収、放出することによって、準位を変えるイオンを利用することを特徴とする量子計算機に関するものである。
【０１１４】
前の第２の実施形態で示した、二準位系の生成、消滅演算子と、三準位系の状態遷移演算子の結合した相互作用ハミルトニアンを利用する量子計算機では、(４２)，(４３)を実現する物理系であれば、原理的にどのようなものでも、1-bitの繰り上げを考慮した加算ゲートとして利用できる。
【０１１５】
このような相互作用を持つ物理系の例として、電子等のフェルミオン、三準位系として、原子の基底状態、第一、第二励起状態、特に、電子を吸収、放出することによって、準位を変えるイオンが挙げられる。
【０１１６】
以上説明したように、上記実施形態によれば、qubitと呼ばれる、各々個別に識別することが可能な二準位系、または、三以上の準位を持つ量子系(これも、便宜上、qubitと呼ぶことにする)を、複数個用意し、これらのqubitによって、プログラム実行番号を表すための複数のqubitからなる部分と、計算レジスター用に使用される複数のqubitからなる部分を構成し、これら二つのqubit部に属するqubit間の相互作用によって引き起こされるユニタリー時間発展によって、演算操作を行う量子力学的な状態を利用した計算機(以下、これを量子計算機と表現する)において、プログラム実行番号を表すqubit部を、適当な基底で観測する手段を有する特徴とする量子計算機及び量子計算方法が実現される。
【０１１７】
また、上記実施形態によればプログラム実行番号を表すqubit部を適当な基底で観測する手段は、計算操作が終了したかどうかを識別する量子計算機及び量子計算方法が実現される。
【０１１８】
また、上記実施形態によれば、計算操作が正常に終了したことを示す状態がプログラム実行番号qubit部で観測されるまで、計算機内部の状態を初期化し、ある一定の時間、計算機内部の状態をユニタリー発展させ、プログラム実行番号qubit部を観測するという、一連の操作が繰り返される量子計算機及び量子計算方法が実現される。
【０１１９】
また、上記実施形態によれば、qubitとして(1/2)-spinを用意し、プログラム実行番号qubit部と計算レジスター用qubit部の間の相互作用として、二つのスピンの内積による相互作用を利用する量子計算機及び量子計算方法が実現される。
【０１２０】
また、上記実施形態によれば、プログラム実行番号qubit部には二準位系を、計算レジスター用qubit部には三準位系を使用し、プログラム実行番号qubit部と計算レジスター用qubit部の間の相互件用として、前記の二準位系の生成、消滅演算子と、三準位系の状態遷移演算子の結合した相互作用を利用する量子計算機及び量子計算方法が実現される。
【０１２１】
また、上記実施形態によれば、否定ゲートを実行する量子計算機及び量子計算方法が実現される。また、上記実施形態によれば、1-bitの繰り上げを考慮した加算を実現する量子計算機及び量子計算方法が実現される。
【０１２２】
更に、上記実施形態によれば、(1/2)-spinとして、電子、核子等のフェルミオンのスピン、特に、固体中の電子、核子のスピン、高分子化合物中の核子のスピンを利用する量子計算機が実現される。また、上記実施形態によれば、二準位系として、電子等のフェルミオン、三準位系として、原子の基底状態、第一、第二励起状態、特に、電子を吸収、放出することによって、準位を変えるイオンを利用する量子計算機が実現される。
【０１２３】
また、上記実施形態によれば、量子計算樺の量子計算方法における計算時間評価方法においで、観測による計算終了の識別行為を、プログラム実行番号を表すqubit部の初期状態を入力とし、この入力が、時間発展の間、別の系、すなわち、計算レジスター用qubit部との相互作用によってデコヒーレンスを受け、出力部であらかじめ定められた、正常に終了したことを示す状態を受信する量子雑音通信路と解釈して、前記のあらかじめ定められた正常に終了したことを示す状態を受信する確率を計算し、これによって計算操作の終了のための全時間の期待値を求め、この期待値を最小にする、量子計算機の一回当たりの動作時間を評価する計算時間評価方法が実現される。
【図面の簡単な説明】
【０１２４】
【図１】本発明の第一の実施形態で使われる、二つの(1/2)-spinの相互作用を表した図である。
【図２】本発明の第一の実施形態、第二の実施形態で計算終了時間の評価の際に使われる、τ／sin2τのグラフである。
【図３】本発明の第一の実施形態で使われる、三準位系Ｒと二準位系Ｃの相互作用を表した図である。
【図４】従来の技術の項目で説明される、noisy quantum channel(量子雑音通信路)を表す図である。
【図１】
2005267104.tif 000140
【図２】
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【図３】
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【図４】
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