(57)【要約】【課題】  キャリアの運動方程式の計算時間を増加させることなく、キャリアの散乱先の計算精度を向上させることができる半導体デバイスシミュレーション方法を得る。【解決手段】  波数空間を分割する運動方程式評価用メッシュを作成するステップと、運動方程式評価用メッシュごとにキャリアのエネルギーをテーブル化して第１のテーブルを作成するステップと、運動方程式評価用メッシュを更に分割した散乱確率評価用メッシュを作成するステップと、所定のエネルギーの等エネルギー面の近傍にある散乱確率評価用メッシュごとにキャリアのエネルギーをテーブル化して第２のバンド構造テーブルを作成するステップと、第２のバンド構造テーブルを用いてキャリアの散乱確率を計算して散乱確率テーブルを作成するステップと、第１のテーブルを用いてキャリアの運動方程式を計算するステップと、散乱確率テーブルに基づいてキャリアの散乱先を計算するステップを有する。【選択図】      図１
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
数値解析を用いて情報処理装置で行う半導体デバイスシミュレーション方法において、
波数空間を分割する運動方程式評価用メッシュを作成するステップと、
前記運動方程式評価用メッシュごとにキャリアのエネルギーをテーブル化して第１のテーブルを作成するステップと、
前記運動方程式評価用メッシュを更に分割した散乱確率評価用メッシュを作成するステップと、
所定のエネルギーの等エネルギー面の近傍にある前記散乱確率評価用メッシュごとにキャリアのエネルギーをテーブル化して第２のバンド構造テーブルを作成するステップと、
前記第２のバンド構造テーブルを用いてキャリアの散乱確率を計算して散乱確率テーブルを作成するステップと、
前記第１のテーブルを用いてキャリアの運動方程式を計算するステップと、
前記散乱確率テーブルに基づいてキャリアの散乱先を計算するステップとを有することを特徴とする半導体デバイスシミュレーション方法。
【請求項２】
前記キャリアの散乱先を計算するステップは、
前記散乱確率テーブルに基づいて前記キャリアが散乱するか否かを乱数を用いて選択するステップと、
前記キャリアが散乱すると選択した場合、散乱条件を満たす運動方程式評価用メッシュで囲まれたセルの１つを前記第１のテーブルを用いて乱数により選択し、この選択したセルに含まれる散乱確率評価用メッシュで囲まれた補助セルの１つを前記第２のバンド構造テーブルを用いて乱数により選択して前記キャリアの散乱先とするステップとを有することを特徴とする請求項２記載の半導体デバイスシミュレーション方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、半導体デバイスの電気的特性の計算を数値解析を用いて情報処理装置で行う半導体デバイスシミュレーション方法に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
半導体デバイスの電気的特性の計算を数値解析を用いて情報処理装置で行う半導体デバイスシミュレーション方法において、電子やホールといったキャリアの輸送について計算が行われる。
【０００３】
まず、このような半導体デバイスシミュレーション方法の第１の背景技術について説明する（例えば、非特許文献１参照）。結晶中のキャリアの運動は、結晶の周期性から第一ブリルアンゾーンを用いて記述できる。そして、シリコンの場合、対称性から第一ブリルアンゾーンを４８分の１に分割する。さらに、結晶周期の逆数の２０分の１の立方体に分割して９１６個のメッシュ点を設定する。
【０００４】
次に、各メッシュ点についてエネルギー及びその１次並びに２次の波数による微分を求めてテーブル化する。そして、この情報を第一ブリルアンゾーン全体の約４万１千点に展開する。メッシュ点以外のエネルギーは、その座標の属する立方体の頂点である８つのメッシュ点でのエネルギー及びその１次及び２次微分値から内挿する。
【０００５】
次に、結晶周期の逆数の５分の１の粗いメッシュと結晶周期の逆数の４０分の１の細かいメッシュの２種類を設け、各メッシュ点についてエネルギーの最大値・最小値をテーブル化する。
【０００６】
そして、散乱の終状態のエネルギー値が立方体セルの端点のエネルギーの最大値と最小値の間に入るような粗いメッシュの立方体セルを検索し、その選ばれた立方体セルの中で細かいメッシュの立方体セルを検索して散乱先のリストを作成し、散乱条件を満たす等エネルギー面の面積を計算して散乱確率を求める。
【０００７】
次に、第２の背景技術について説明する（例えば、非特許文献２参照）。まず、上記第１の背景技術と同様に、第一ブリルアンゾーン全体から結晶周期の逆数の２０分の１で分割した３３８６１個の立方体セルを作る。次に、５ｍｅＶごとに伝導電子の状態密度、即ち等エネルギー面の面積の計算を行う。
【０００８】
そして、散乱の終状態のエネルギー値が、立方体セルの端点のエネルギーの最大値と最小値に入るような立方体セルを選択する。これは上記の粗いメッシュの立方体セルに相当する。次に、選ばれた立方体セルの中で散乱条件を満たすものを選び状態密度の値を合計して散乱確率を求める。
【０００９】
また、乱数により散乱先の候補になる立方体セルを選択する。次に、立方体セルを６つの四面体に分割し、乱数により散乱先の四面体を選択する。そして、選ばれた四面体の中で乱数により散乱先の位置を決める。
【００１０】
次に、第３の背景技術について説明する（例えば、非特許文献３参照）。まず、第一ブリルアンゾーンを対称性から４８分割して四面体を作り、更に、エネルギー値の線形内挿値が精度２％以下又は５０μｅＶ以下になるように再分割を繰り返す。ただし、分割時には、四面体が扁平になり過ぎないようにする。
【００１１】
このように四面体を不均一にすることで、全体のメッシュ数を大きくせずに局所的に細分出来る。従って、２次内挿を行う第１の背景技術に比べて、状態密度の計算が容易である。また、キャリアの運動方程式では空間座標の変化がエネルギーを波数で微分した値で表されるが、上記のようにエネルギーが線形で変化する程度に各立方体が細かければ微分値は一定であるため、キャリアの運動方程式の計算も容易である。
【００１２】
【非特許文献１】M. V. Fischetti and S. E. Laux, "Monte Carlo Analysis of electron transport in small semiconductor devices including band-structure and space-charge effects", Physical Review B, VOl.38, pp.9721-9745
【非特許文献２】T. Kunikiyo et. al, "Monte Carlo simulation of anisotropic electron transport in silicon including full band structure and anisotropic impact-ionization model", Journal of Applied Physics, 75, pp. 297-312, Fig.７
【非特許文献３】Jungemann et. al, "Efficient Full-Band Monte Carlo simulation of Silicon Devices", IEICE Trans. Electron., vol. E-82-C, pp. 870-879
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１３】
キャリアの輸送特性を表すパラメータである移動度μは次の式で表される。
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ここで、εはエネルギー、τ（ε）は散乱確率の逆数、ｖは速度、ｑは素電荷、ブラケット＜＞は波数空間における平均である。
【００１４】
このように移動度は散乱確率の関数である。そして、散乱確率は散乱先の状態密度の関数である。従って、キャリアの輸送の計算をする際に、状態密度の分布を正確に求める必要がある。
【００１５】
しかし、従来は、状態密度の計算精度には注目していなかった。状態密度の分布は、特にバンドの底では球形に近く、これを線形内挿により多面体で近似すると状態密度の精度が落ちる。特に、電界が低いとバンドの底付近のキャリア数が多いために、状態密度の計算精度が必要になる。従って、キャリアの散乱確率を計算する場合にはメッシュを細かくする必要がある。
【００１６】
一方、キャリアの運動方程式の計算は、位置及び運動量が大きく変化しない時間刻みで行われるため、メッシュを細かくし過ぎると、多数のメッシュにわたって積分を行うことになり、計算精度があまり向上しない割に計算時間が増大してしまう。
【００１７】
本発明は、上述のような課題を解決するためになされたもので、その目的は、キャリアの運動方程式の計算時間を増加させることなく、キャリアの散乱先の計算精度を向上させることができる半導体デバイスシミュレーション方法を得るものである。
【課題を解決するための手段】
【００１８】
本発明に係る半導体デバイスシミュレーション方法は、数値解析を用いて情報処理装置で行う半導体デバイスシミュレーション方法において、波数空間を分割する運動方程式評価用メッシュを作成するステップと、運動方程式評価用メッシュごとにキャリアのエネルギーをテーブル化して第１のテーブルを作成するステップと、運動方程式評価用メッシュを更に分割した散乱確率評価用メッシュを作成するステップと、所定のエネルギーの等エネルギー面の近傍にある散乱確率評価用メッシュごとにキャリアのエネルギーをテーブル化して第２のバンド構造テーブルを作成するステップと、第２のバンド構造テーブルを用いてキャリアの散乱確率を計算して散乱確率テーブルを作成するステップと、第１のテーブルを用いてキャリアの運動方程式を計算するステップと、散乱確率テーブルに基づいてキャリアの散乱先を計算するステップとを有する。本発明のその他の特徴は以下に明らかにする。
【発明の効果】
【００１９】
本発明により、キャリアの運動方程式の計算時間を増加させることなく、キャリアの散乱先の計算精度を向上させることができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２０】
以下、本発明の実施の形態に係る半導体デバイスシミュレーション方法について、図１のフローチャートを参照しながら説明する。
【００２１】
まず、波数空間における第一ブリルアンゾーンを二次元平面のメッシュにより、複数の領域に分割する。次に、各メッシュにおけるキャリアのエネルギー値●をバンド計算により計算する。そして、隣接するメッシュ間のエネルギー差が所定値以下になるまで、メッシュを細かくしていく。ここで作成するメッシュは、後述するように、運動方程式の計算に用いるため、以下では運動方程式評価用メッシュと呼ぶ。このようにして、運動評価用メッシュを作成する（ステップＳ１）。
【００２２】
次に、運動方程式評価用メッシュごとにキャリアのエネルギーをテーブル化して第１のテーブルを作成する（ステップＳ２）。具体的には、図２（ａ）に示すように、各運動評価用メッシュの番号と、その運動評価用メッシュの位置と、その運動評価用メッシュにおけるキャリアのエネルギー値●をそれぞれ対応させたテーブルを作成する。
【００２３】
次に、所定のエネルギーの等エネルギー面を計算する。例えば、５ｍｅＶごとに等エネルギー面を求める。この際、計算するエネルギーを予めデータとして入力しておき、この入力データに基づいて計算を行う。
【００２４】
次に、運動方程式評価用メッシュを更に分割したメッシュを作成する（ステップＳ３）。ここで作成するメッシュは、後述するように、散乱確率の計算に用いるため、以下では散乱確率評価用メッシュと呼ぶ。具体的には、以下のようにして散乱確率評価用メッシュを作成する。
【００２５】
まず、運動方程式評価用メッシュで囲まれた多面体（四面体、三角柱、立方体など）をセルとして、等エネルギー面が通るセルを見つける。図３は、等エネルギー面が通るセルを２次元的に表示した図である。図３（ａ）に示すように、セル１１には、等エネルギー面１２が通っている。また、セル１１は、セルの境界１３〜１６で囲まれている。そして、セルの境界１３〜１６の端点がメッシュ点１７〜２０である。
【００２６】
上記のように運動方程式評価用メッシュは隣接メッシュ間のエネルギー差が所定の範囲になるように分割されているために、同じエネルギー範囲の運動評価用メッシュが群として連なっている。そこで、指定した値よりエネルギーが所定の範囲上回る運動方程式評価用メッシュ群と、指定した値よりエネルギーが所定の範囲下回る運動方程式評価用メッシュ群を検索し、両方を稜点に持つセルを見つける。このように、指定したエネルギー値と運動方程式評価用メッシュのエネルギー値の差を見るだけで、等エネルギー面が通るセルを見つけることができる。
【００２７】
次に、この等エネルギー面が通るセルについて、運動評価用メッシュよりも細かく分割した散乱確率評価用メッシュを作成する。そして、この散乱確率評価用メッシュで囲まれた多面体を補助セルとして、等エネルギー面が通る補助セルを見つける。さらに、この等エネルギー面が通る補助セルについて、更に細かく分割した散乱確率評価用メッシュを作成する。そして、所定の条件を満たすまで、同様の工程を繰り返して、散乱確率評価用メッシュを細かく分割していく。具体的には以下のようにする。
【００２８】
まず、図３（ｂ）に示すように、メッシュ点１７〜２０の中間点及びセル１１の中央に、メッシュ点２１〜２５を新たに設ける。そして、メッシュ点１７〜２５を端点とする散乱確率評価用メッシュを作成する。さらに、それぞれの散乱確率評価用メッシュにおけるキャリアのエネルギー値●をバンド計算により計算する。そして、メッシュ点１７，２１，２５，２４に係る補助セル２６と、メッシュ点２１，１８，２２，２５に係る補助セル２７と、メッシュ点２５，２２，１９，２３に係る補助セル２８と、メッシュ点２４，２５，２３，２０に係る補助セル２９が形成される。
【００２９】
次に、図３（ｂ）で点線で示すように補助セル２６〜２９内で等エネルギー面が平面であると仮定して等エネルギー面１２の面積を計算する。そして、この計算した面積と、図３（ａ）で点線で示すようにセル１１内で等エネルギー面が平面であると仮定して計算した等エネルギー面１２の面積との差が所定の相対値以下又は所定の絶対値以下でない場合は、等エネルギー面１２が通る補助セル２６，２８，２９について更に散乱確率評価用メッシュを分割する。
【００３０】
同様にして、分割した散乱確率評価用メッシュに囲まれる補助セル内で等エネルギー面１２の面積を計算し、一段階粗い補助セルで計算した等エネルギー面１２の面積との差が所定の相対値以下又は所定の絶対値以下になるまで散乱確率評価用メッシュの分割を繰り返す。分割の終了条件として、例えば、相対値１％以下と設定できるが、セル又は補助セルにかかる等エネルギー面が小さい場合のために、所定の相対値以下又は所定の絶対値以下とするのが望ましい。
【００３１】
次に、等エネルギー面１２が通る補助メッシュを構成する散乱確率評価用メッシュごと、即ち、等エネルギー面１２の近傍にある散乱確率評価用メッシュごとにキャリアのエネルギーをテーブル化して第２のバンド構造テーブルを作成する（ステップＳ４）。具体的には、図２（ｂ）に示すように、各散乱確率評価用メッシュの番号と、その散乱確率評価用メッシュの位置と、その散乱確率評価用メッシュにおけるキャリアのエネルギー値●をそれぞれ対応させたテーブルを作成する。
【００３２】
そして、第２のバンド構造テーブルの作成に用いなかった散乱確率評価用メッシュのデータを削除する。ただし、補助セルの検索時に予備となる情報は残す。図３（ｃ）を用いて説明すると、黒丸で示すメッシュ点を端点とする散乱確率評価用メッシュのデータを残し、白丸で示すメッシュ点を端点とする散乱確率評価用メッシュのデータを削除する。これによりメモリの増加を抑制することができる。
【００３３】
次に、散乱確率評価用メッシュごとにキャリアのエネルギーをテーブル化した第２のバンド構造テーブルを用いて状態密度を計算する。そして、計算により求めた状態密度を用いて、更にキャリアの散乱確率を計算して散乱確率テーブルを作成する（ステップＳ５）。具体的には、図２（ｃ）に示すように、キャリアの散乱先と、その散乱先へキャリアが散乱される確率をそれぞれ対応させたテーブルを作成する。
【００３４】
上記の第１のテーブル、第２のバンド構造テーブル及び散乱確率テーブルの作成は、テーブル作成プログラムがフルバンド計算プログラムを制御しながら行う。即ち、テーブル作成プログラムが波数座標をフルバンド計算プログラムに与えると、フルバンド計算プログラムはバンド構造を計算してその波数座標におけるエネルギー及びその傾きをテーブル作成プログラムに返す。ただし、散乱メカニズムによって求められる状態密度の精度が変わるため、状態密度及び散乱確率の計算が行われる度に、バンド構造テーブルの作成が繰り返し行われる。この計算はキャリアの輸送計算の前処理であり、キャリアの輸送計算ごとに繰り返されるものではない。従って、この計算に多少計算時間を要しても、全体の計算時間にはあまり影響しない。
【００３５】
次に、キャリアの輸送計算を行う。まず、キャリアがボルツマンの運動方程式に従って動くものとし、時間を離散化してキャリアの位置及び運動量を更新する。この離散化した時間では、位置及び運動量が大きく変化しないため、詳細なバンド構造テーブルを用いる必要がない。そこで、第２のバンド構造テーブルよりも粗い第１のテーブルを用いてキャリアの運動方程式を計算する（ステップＳ６）。これにより、キャリアの運動方程式の計算時間を増加させずにすむ。
【００３６】
次に、散乱確率テーブルに基づいてキャリアの散乱先を計算する（ステップＳ７）。このように、第１のテーブルよりも詳細な第２のバンド構造テーブルを用いて計算した散乱確率テーブルに基づいて計算することで、キャリアの散乱先の計算精度を向上させることができ、キャリアの速度分布及び電界応答に対する信頼度が大きく向上する。
【００３７】
このキャリアの散乱先の計算は以下のようにして行う。まず、散乱し得る時間を散乱時間として離散化し、各散乱時間において、散乱確率テーブルに基づいてキャリアが散乱するか否かを乱数を用いて選択する。具体的には、各散乱時間において、時間の逆数が単位となる散乱確率に散乱時間の間隔を掛けた値と、０から１までの乱数を比べて、キャリアが散乱するか否かを選択する。ただし、散乱時間は、音響フォノン散乱、光学フォノン散乱等の複数の散乱メカニズムの散乱確率の総和の逆数以下になるように設定する。
【００３８】
次に、キャリアが散乱すると選択した場合、散乱条件を満たす運動方程式評価用メッシュで囲まれたセルの１つを第１のテーブルを用いて乱数により選択し、この選択したセルに含まれる散乱確率評価用メッシュで囲まれた補助セルの１つを第２のバンド構造テーブルを用いて乱数により選択してキャリアの散乱先とする。このように大きなセルから小さなセルへと階層的に選択することで、選択に要する時間を短縮することができる。
【００３９】
また、キャリアの散乱先の計算を以下のように行ってもよい。まず、散乱確率テーブルを用いて、キャリアが散乱しない場合及び各散乱先にキャリアが散乱する場合をそれぞれの確率に応じて０から１までの領域に当てはめる。次に、これと０から１までの乱数を比べてキャリアの散乱先を計算する。
【図面の簡単な説明】
【００４０】
【図１】本発明の実施の形態に係る半導体デバイスシミュレーション方法を示すフローチャートである。
【図２】第１のテーブル、第２のテーブル及び散乱確率テーブルを示す図である。
【図３】等エネルギー面が通るセルを２次元的に表示した図である。
【符号の説明】
【００４１】
１１  セル
１２  等エネルギー面
１３〜１６  セルの境界
１７〜２５  メッシュ点
２６〜２９  補助セル
Ｓ１〜Ｓ７  本発明の実施の形態に係る半導体デバイスシミュレーション方法のステップ
【図１】
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【図２】
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【図３】
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