(57)【要約】【課題】マーケットデータが非正規分布の場合でもモンテカルロ法を高速に適用できるようにした派生商品の価格評価技術を提供する。【解決手段】マーケットデータを入力するマーケットデータ入力手段と、時間分解能と価格分解能を入力する分解能入力手段と、時間分解能と価格分解能の入力をもとに、ボルツマン方程式を離散化するボルツマン方程式離散化手段と、マーケットデータに対して、三進木の手法により、離散化されたボルツマン方程式を解析して価格密度を得るボルツマン方程式解析手段と、価格密度から派生商品の価格を求める派生商品の価格評価手段とを備えた派生商品の価格評価システム。【選択図】      図１５
2005044034.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
マーケットデータを入力するマーケットデータ入力手段と、
時間分解能と価格分解能を入力する分解能入力手段と、
前記時間分解能と価格分解能の入力をもとに、ボルツマン方程式を離散化するボルツマン方程式離散化手段と、
前記マーケットデータに対して、三進木の手法により、前記離散化されたボルツマン方程式を解析し、価格密度を得るボルツマン方程式解析手段と、
前記価格密度から派生商品の価格を求める派生商品の価格評価手段とを備えたことを特徴とする派生商品の価格評価システム。
【請求項２】
マーケットデータを入力するマーケットデータ入力手段と、前記マーケットデータを用いて巨視的グリーン関数を決定する巨視的グリーン関数評価手段と、
サンプル数を入力するサンプル数入力手段と、
時間の最大値を入力する時間最大値入力手段と、
前記巨視的グリーン関数と初期速度分布・方向分布の重畳積分方程式を熱平衡現象をモデル化した固有値問題を解くことで初期速度分布・方向分布を求める初期速度分布・方向分布入力手段と、
前記初期速度分布・方向分布入力手段が求めた初期速度分布に従う乱数を発生する乱数発生手段と、
前記乱数発生手段が発生する乱数から初期速度を求める初期速度算定手段と、前記初期速度算定手段が求めた初期速度を前記巨視的グリーン関数に入力し、次タイムステップの軌跡の変移を求める軌跡変移演算手段と、
前記初期速度分布・方向分布入力手段と軌跡変移演算手段の演算を前記時間の最大値まで繰り返えさせ、かつ当該時間の最大値まで繰り返す演算を前記サンプル数分だけ繰り返えさせ、各タイムステップでの価格分布を評価するシミュレーションを行うシミュレーション手段と、
前記価格分布から派生商品の価格を求める派生商品の価格評価手段とを備えたことを特徴とする派生商品の価格評価システム。
【請求項３】
前記巨視的グリーン関数評価手段は、前記マーケットデータ中の一連の終値データを２日毎の終値データに編集する手段と、前日と当日の終値群に纏め上げる纏め手段と、前日の終値の分布、当日の終値の分布に換算する換算手段と、前日の終値の分布と当日の終値の分布との相関から前記巨視的グリーン関数を決定する巨視的グリーン関数決定手段とを有することを特徴とする請求項２に記載の派生商品の価格評価システム。
【請求項４】
前記巨視的グリーン関数評価手段は、前記マーケットデータ中の終値をもとに巨視的グリーン関数を決定する際に、Γ関数でモデル化することを特徴とする請求項３に記載の派生商品の価格評価システム。
【請求項５】
前記巨視的グリーン関数評価手段は、解の発散を防止するために前記Γ関数のパラメータの上限を設定する手段を備えたことを特徴とする請求項４に記載の派生商品の価格評価システム。
【請求項６】
価格変化前の速度を固定した巨視的グリーン関数で平均化した速度の指数を、前記軌跡変移演算手段から得た次タイムステップの軌跡の変移を求める軌跡の変移との差をとる手段を備えたことを特徴とする請求項２に記載の派生商品の価格評価システム。
【請求項７】
領域のインポータンスを設定するインポータンス設定手段と、前記マーケットデータがいずれの領域のインポータンスに属するかを判定するインポータンス判定手段とを備え、
前記軌跡変移演算手段が次タイムステップの軌跡の変移を求めて次タイムステップに進める際に、前記インポータンス判定手段が領域のインポータンスを判定し、判定したインポータンスと移動前のインポータンスとの比だけ軌跡を分岐させる機能を有することを特徴とする請求項２に記載の派生商品の価格評価システム。
【請求項８】
前記マーケットデータから標準偏差の厳密値又は近似値を求める統計処理手段を備え、
前記インポータンス設定手段は、軌跡の位置と価格の期待値との差の絶対値と、前記マーケットデータから事前に求めた標準偏差の厳密値又は近似値との比を切り上げた整数値の２の累乗を領域のインポータンスとすることを特徴とする請求項７に記載の派生商品の価格評価システム。
【請求項９】
更新された経路を記憶装置に記憶し、重みを記憶装置に加算する経路処理手段と、
前記軌跡変移演算手段が、前記インポータンス判定手段が判定したインポータンスと移動前のインポータンスとの比だけ軌跡を分岐させる際に、前記時間の最大値まで経路を進める最中に前記経路処理手段が時間の進展順に記憶及び加算する処理を前記時間の最大値まで進めた後、時間の進展の逆向きに経路をたどり、（１）重みが変わった時間を見出せなければ１回の試行の終了と判定し、（２）重みが変わった時間を見出せればその見出した時間に戻り、前記軌跡の記憶と重みの加算を行いつつ前記時間の最大値まで経路を進める処理を、終了条件を満たすまで繰り返すことにより１回のサンプリングを終了させることを特徴とする請求項７に記載の派生商品の価格評価システム。
【請求項１０】
多資産問題に適用するに当たり、前記軌跡変移演算手段が次タイムステップの軌跡の変移を求めて次タイムステップに進める際に、インポータンス判定手段が前記マーケットデータ中の全資産の平均値が存在する領域にインポータンス判定を適用して領域のインポータンスを判定し、前記経路処理手段が、前記インポータンス手段が判定したインポータンスと移動前のインポータンスとの比だけ軌跡を分岐させる際に、当該全資産の更新された経路を前記記憶装置に記憶し重みを記憶装置に加算し、前記時間の最大値まで経路を進める最中に前記経路処理手段が加算された重みを時間の進展順に記憶及び加算する処理を前記時間の最大値まで経路を進めた後、時間の進展の逆向きにたどり、（１）重みが変わった時間を見出せなければ１回の試行の終了と判定し、（２）重みが変わった時間を見出せれば見出した時間に戻り、前記軌跡の記憶と重みの加算を行いつつ前記時間の最大値まで経路を進める処理を、終了条件を満たすまで繰り返すことにより１回のサンプリングを終了させることを特徴とする請求項７に記載の派生商品の価格評価システム。
【請求項１１】
マーケットデータの入力を受け付け、
時間分解能と価格分解能の設定入力を受け付け、
前記時間分解能と価格分解能の入力をもとに、ボルツマン方程式を離散化し、前記マーケットデータに対して、三進木の手法により、前記離散化されたボルツマン方程式を解析して価格密度を得、
前記価格密度から派生商品の価格を求めることを特徴とする派生商品の価格評価方法。
【請求項１２】
マーケットデータの入力を受け付け、
サンプル数と時間の最大値の設定入力を受け付け、
前記マーケットデータを用いて巨視的グリーン関数を決定し、
前記巨視的グリーン関数と初期速度分布・方向分布の重畳積分方程式を、熱平衡現象をモデル化した固有値問題を解くことで初期速度分布・方向分布を求め、
前記初期速度分布に従う乱数を発生し、
前記乱数から初期速度を求め、
前記初期速度を前記巨視的グリーン関数に入力し、次タイムステップの軌跡の変移を求め、
前記初期速度分布・方向分布の算出処理と次タイムステップの軌跡の変移算出とを前記時間の最大値まで繰り返し、かつ当該時間の最大値まで繰り返す演算を前記サンプル数分だけ繰り返し、各タイムステップでの価格分布を評価し、
前記価格分布から派生商品の価格を求めることを特徴とする派生商品の価格評価方法。
【請求項１３】
前記マーケットデータ中の一連の終値データを２日毎の終値データに編集し、前日と当日の終値群に纏め上げ、前日の終値の分布、当日の終値の分布に換算し、前日の終値の分布と当日の終値の分布との相関から前記巨視的グリーン関数を決定することを特徴とする請求項１２に記載の派生商品の価格評価方法。
【請求項１４】
前記マーケットデータ中の終値をもとに巨視的グリーン関数を決定する際に、Γ関数でモデル化することを特徴とする請求項１３に記載の派生商品の価格評価方法。
【請求項１５】
解の発散を防止するために前記Γ関数のパラメータの上限を設定することを特徴とする請求項１４に記載の派生商品の価格評価方法。
【請求項１６】
価格変化前の速度を固定した巨視的グリーン関数で平均化した速度の指数を、前記次タイムステップの軌跡の変移との差をとることを特徴とする請求項１２に記載の派生商品の価格評価方法。
【請求項１７】
領域のインポータンスを設定し、前記マーケットデータがいずれの領域のインポータンスに属するかを判定し、前記次タイムステップの軌跡の変移を求めて次タイムステップに進める際に、前記領域のインポータンスを判定し、判定したインポータンスと移動前のインポータンスとの比だけ軌跡を分岐させることを特徴とする請求項１２に記載の派生商品の価格評価方法。
【請求項１８】
前記マーケットデータから事前に標準偏差の厳密値又は近似値を求め、軌跡の位置と価格の期待値との差の絶対値と、前記マーケットデータから求めた標準偏差の厳密値又は近似値との比を切り上げた整数値の２の累乗を前記領域のインポータンスと決定することを特徴とする請求項１７に記載の派生商品の価格評価方法。
【請求項１９】
更新された経路を記憶装置に記憶し、重みを記憶装置に加算し、前記判定されたインポータンスと移動前のインポータンスとの比だけ軌跡を分岐させる際に、前記時間の最大値まで経路を進める最中に時間の進展順に記憶及び加算する処理を前記時間の最大値まで進めた後、時間の進展の逆向きに経路をたどり、（１）重みが変わった時間を見出せなければ１回の試行の終了と判定し、（２）重みが変わった時間を見出せればその見出した時間に戻り、前記軌跡の記憶と重みの加算を行いつつ前記時間の最大値まで経路を進める処理を、終了条件を満たすまで繰り返すことにより１回のサンプリングを終了させることを特徴とする請求項１７に記載の派生商品の価格評価方法。
【請求項２０】
多資産問題に適用するに当たり、前記次タイムステップの軌跡の変移を求めて次タイムステップに進める際に、前記マーケットデータ中の全資産の平均値が存在する領域にインポータンス判定を適用して領域のインポータンスを判定し、判定されたインポータンスと移動前のインポータンスとの比だけ軌跡を分岐させる際に、当該全資産の更新された経路を前記記憶装置に記憶し重みを記憶装置に加算し、前記時間の最大値まで経路を進める最中に加算された重みを時間の進展順に記憶及び加算する処理を前記時間の最大値まで経路を進めた後、時間の進展の逆向きにたどり、（１）重みが変わった時間を見出せなければ１回の試行の終了と判定し、（２）重みが変わった時間を見出せれば見出した時間に戻り、前記軌跡の記憶と重みの加算を行いつつ前記時間の最大値まで経路を進める処理を、終了条件を満たすまで繰り返すことにより１回のサンプリングを終了させることを特徴とする請求項１７に記載の派生商品の価格評価方法。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、派生商品の価格評価システム及び派生商品の価格評価方法に関する。
【０００２】
【従来の技術】
派生商品の価格評価システム１００は、図４３に示すように、マーケットデータベース１０１、市場実勢系演算部１０２、理論計算部１０３、ＧＵＩ１０５から構成されている。これらの中で、派生商品価格評価は理論計算部１０３が担当する。
【０００３】
この理論計算部１０３で実施する従来の派生商品価格評価方法では、原資産価格の変動を理想的な幾何ブラウン運動で表す。理想的な幾何ブラウン運動は、ブラウン運動のふらつきを対数正規分布で表す。対数正規分布は基本的には正規分布と同じであるので、正規分布の特性をそのまま用いることができ、計算上の利便性は大きい。正規分布の特徴として、形状の相似性がある。
【０００４】
理想的なブラウン運動を表す正規分布Ｐ（ｘ，ｔ）は、
【数１】
2005044034.tif 000003
で記述される。正規分布の特徴は、
【数２】
2005044034.tif 000004
の２つのパラメータのみで表され、
【数３】
2005044034.tif 000005
での変換で、
【数４】
2005044034.tif 000006
と、無次元化できるところにある。
【０００５】
（３）式から、標準偏差が時間の平方根に比例するために時間とともに平坦化されていくが、形そのものは全く変わっていないことがわかる。これが、相似性である。
【０００６】
派生商品の価格評価の現状について述べる。派生商品の価格評価にはモンテカルロ法が多用されている。モンテカルロ法を用いる理由としては多資産ポートフォリオ問題のような多次元空間の積分ではモンテカルロ法が計算効率が良いこと、原資産の経路を明示的に表すことができるので複雑な仕組みを伴う派生商品の価格評価のアルゴリズムを実装しやすいことなどが挙げられる。このため、モンテカルロ法は万能の手法という認識すらある。
【０００７】
しかしながら、モンテカルロ法にも欠点がある。それは計算効率の悪さである。先に、多次元空間の積分ではモンテカルロ法の効率が良いと述べたが、これは程度の問題であって、他の方法の効率が悪すぎるのである。基本的にモンテカルロ法は計算効率が悪い重い手法であることに変わりはない。
【０００８】
モンテカルロ法の計算効率が悪いにもかかわらず、派生商品の価格評価にモンテカルロ法が多用される要因としては、正規分布の相似性を活かした計算効率向上が上げられる。しかし、現状では、正規分布のみが用いられているために、正規分布の相似性を活かした手法が暗黙のうちにモンテカルロ法固有のものと見なされているきらいもある。そのために、正規分布以外の分布で原資産の挙動をモデル化した場合のモンテカルロ法の適用はほとんど試みられていないといってよい。
【０００９】
正規分布の特徴として、そのシンプルさも挙げられる。正規分布はシンプルであるが故に解析解が与えられることも多く、必ずしもモンテカルロ法に頼る必要もない。しかし、正規分布以外の分布になるとほとんどが解析解で表現することはできず、差分法等の決定論的数値計算も非常に難しくなる。このような技術的な課題にこそモンテカルロ法が有効となる。しかしながら、正規分布以外の分布では相似性が厳密には保証されていないものが多く、従来手法の枠組みにピッタリと当て嵌まらない。そのために、正規分布以外の分布による派生商品の価格評価そのものがあまり試みられていないのが現状である。
【００１０】
しかし、原資産価格の非正規性は大きな問題となっている。例えば、オプション市場に見られるボラティリティスマイルや期間構造は非正規分布のもたらす効果であるが、現状ではオプション市場の取引実績から逆算しているために、取引実績が少ない市場では正確な理論価格が提示できず、取引が進まない、取引が進まないために正確な理論価格を提示できないという悪循環に陥っている。また、正規分布は急激な価格変動を事実上表すことができないので、急激な価格変動も取引が活発になったために生じた良性のものか、アクシデントによる急騰・急落のような悪性のものか判断することもできない。正規分布以外の分布を使えないことは、以上述べたように、原理的にも実用的にも多くの不便を与えている。
【００１１】
【特許文献１】
特開２００１−６７４０９号公報
【００１２】
【発明が解決しようとする課題】
モンテカルロ法の適用分野は金融以外にも多方面にわたる。特に、原子力における原子炉理論では原子炉中の中性子分布を正確に評価するために、モンテカルロ法が多用されているが、中性子の分布を正規分布で表しているわけではない。
したがって、正規分布の相似性を利用した手法で計算効率の向上をはかっているわけではないが、類似した多くの手法が用いられている。
【００１３】
原子炉理論に基づいた金融ボルツマンモデルは非正規分布を基に、従来の金融工学の枠組みを保った金融工学モデルであり、従来モデルで述べた課題の多くを根本的に解決するモデルである。しかし、その解法はモンテカルロ法が主となり、基本的には計算時間を要するモデルとなる。
【００１４】
本発明は、従来手法で暗黙のうちに用いられている正規分布の相似性を利用した計算効率向上策と類似した手法を金融ボルツマンに適用して、非正規分布を用いているにもかかわらず、従来手法でとられているモンテカルロ高速化の手法と、原子炉理論の手法で用いられていても金融工学の手法では用いられていない高速化の手法とを適用して、非正規分布の場合でもモンテカルロ法を高速に適用できるようにした派生商品の価格評価技術を提供することを目的とする。
【００１５】
【課題を解決するための手段】
請求項１の発明の派生商品の価格評価システムは、マーケットデータを入力するマーケットデータ入力手段と、時間分解能と価格分解能を入力する分解能入力手段と、前記時間分解能と価格分解能の入力をもとに、ボルツマン方程式を離散化するボルツマン方程式離散化手段と、前記マーケットデータに対して、三進木の手法により、前記離散化されたボルツマン方程式を解析し、価格密度を得るボルツマン方程式解析手段と、前記価格密度から派生商品の価格を求める派生商品の価格評価手段とを備えたものである。
【００１６】
請求項２の発明の派生商品の価格評価システムは、マーケットデータを入力するマーケットデータ入力手段と、前記マーケットデータを用いて巨視的グリーン関数を決定する巨視的グリーン関数評価手段と、サンプル数を入力するサンプル数入力手段と、時間の最大値を入力する時間最大値入力手段と、前記巨視的グリーン関数と初期速度分布・方向分布の重畳積分方程式を熱平衡現象をモデル化した固有値問題を解くことで初期速度分布・方向分布を求める初期速度分布・方向分布入力手段と、前記初期速度分布・方向分布入力手段が求めた初期速度分布に従う乱数を発生する乱数発生手段と、前記乱数発生手段が発生する乱数から初期速度を求める初期速度算定手段と、前記初期速度算定手段が求めた初期速度を前記巨視的グリーン関数に入力し、次タイムステップの軌跡の変移を求める軌跡変移演算手段と、前記初期速度分布・方向分布入力手段と軌跡変移演算手段の演算を前記時間の最大値まで繰り返えさせ、かつ当該時間の最大値まで繰り返す演算を前記サンプル数分だけ繰り返えさせ、各タイムステップでの価格分布を評価するシミュレーションを行うシミュレーション手段と、前記価格分布から派生商品の価格を求める派生商品の価格評価手段とを備えたものである。
【００１７】
請求項３の発明は、請求項２の派生商品の価格評価システムにおいて、前記巨視的グリーン関数評価手段は、前記マーケットデータ中の一連の終値データを２日毎の終値データに編集する手段と、前日と当日の終値群に纏め上げる纏め手段と、前日の終値の分布、当日の終値の分布に換算する換算手段と、前日の終値の分布と当日の終値の分布との相関から前記巨視的グリーン関数を決定する巨視的グリーン関数決定手段とを有することを特徴とするものである。
【００１８】
請求項４の発明は、請求項３の派生商品の価格評価システムにおいて、前記巨視的グリーン関数評価手段は、前記マーケットデータ中の終値をもとに巨視的グリーン関数を決定する際に、Γ関数でモデル化することを特徴とするものである。
【００１９】
請求項５の発明は、請求項４の派生商品の価格評価システムにおいて、前記巨視的グリーン関数評価手段は、解の発散を防止するために前記Γ関数のパラメータの上限を設定する手段を備えたことを特徴とするものである。
【００２０】
請求項６の発明は、請求項２の派生商品の価格評価システムにおいて、価格変化前の速度を固定した巨視的グリーン関数で平均化した速度の指数を、前記軌跡変移演算手段から得た次タイムステップの軌跡の変移を求める軌跡の変移との差をとる手段を備えたことを特徴とするものである。
【００２１】
請求項７の発明は、請求項２の派生商品の価格評価システムにおいて、領域のインポータンスを設定するインポータンス設定手段と、前記マーケットデータがいずれの領域のインポータンスに属するかを判定するインポータンス判定手段とを備え、前記軌跡変移演算手段が次タイムステップの軌跡の変移を求めて次タイムステップに進める際に、前記インポータンス判定手段が領域のインポータンスを判定し、判定したインポータンスと移動前のインポータンスとの比だけ軌跡を分岐させる機能を有することを特徴とするものである。
【００２２】
請求項８の発明は、請求項７の派生商品の価格評価システムにおいて、前記マーケットデータから標準偏差の厳密値又は近似値を求める統計処理手段を備え、前記インポータンス設定手段は、軌跡の位置と価格の期待値との差の絶対値と、前記マーケットデータから事前に求めた標準偏差の厳密値又は近似値との比を切り上げた整数値の２の累乗を領域のインポータンスとすることを特徴とするものである。
【００２３】
請求項９の発明は、請求項７の派生商品の価格評価システムにおいて、更新された経路を記憶装置に記憶し、重みを記憶装置に加算する経路処理手段と、前記軌跡変移演算手段が、前記インポータンス判定手段が判定したインポータンスと移動前のインポータンスとの比だけ軌跡を分岐させる際に、前記時間の最大値まで経路を進める最中に前記経路処理手段が時間の進展順に記憶及び加算する処理を前記時間の最大値まで進めた後、時間の進展の逆向きに経路をたどり、（１）重みが変わった時間を見出せなければ１回の試行の終了と判定し、（２）重みが変わった時間を見出せればその見出した時間に戻り、前記軌跡の記憶と重みの加算を行いつつ前記時間の最大値まで経路を進める処理を、終了条件を満たすまで繰り返すことにより１回のサンプリングを終了させることを特徴とするものである。
【００２４】
請求項１０の発明は、請求項７の派生商品の価格評価システムにおいて、多資産問題に適用するに当たり、前記軌跡変移演算手段が次タイムステップの軌跡の変移を求めて次タイムステップに進める際に、インポータンス判定手段が前記マーケットデータ中の全資産の平均値が存在する領域にインポータンス判定を適用して領域のインポータンスを判定し、前記経路処理手段が、前記インポータンス手段が判定したインポータンスと移動前のインポータンスとの比だけ軌跡を分岐させる際に、当該全資産の更新された経路を前記記憶装置に記憶し重みを記憶装置に加算し、前記時間の最大値まで経路を進める最中に前記経路処理手段が加算された重みを時間の進展順に記憶及び加算する処理を前記時間の最大値まで経路を進めた後、時間の進展の逆向きにたどり、（１）重みが変わった時間を見出せなければ１回の試行の終了と判定し、（２）重みが変わった時間を見出せれば見出した時間に戻り、前記軌跡の記憶と重みの加算を行いつつ前記時間の最大値まで経路を進める処理を、終了条件を満たすまで繰り返すことにより１回のサンプリングを終了させることを特徴とするものである。
【００２５】
請求項１１の発明の派生商品の価格評価方法は、マーケットデータの入力を受け付け、時間分解能と価格分解能の設定入力を受け付け、前記時間分解能と価格分解能の入力をもとに、ボルツマン方程式を離散化し、前記マーケットデータに対して、三進木の手法により、前記離散化されたボルツマン方程式を解析して価格密度を得、前記価格密度から派生商品の価格を求めることを特徴とするものである。
【００２６】
請求項１２の発明は、マーケットデータの入力を受け付け、サンプル数と時間の最大値の設定入力を受け付け、前記マーケットデータを用いて巨視的グリーン関数を決定し、前記巨視的グリーン関数と初期速度分布・方向分布の重畳積分方程式を、熱平衡現象をモデル化した固有値問題を解くことで初期速度分布・方向分布を求め、前記初期速度分布に従う乱数を発生し、前記乱数から初期速度を求め、前記初期速度を前記巨視的グリーン関数に入力し、次タイムステップの軌跡の変移を求め、前記初期速度分布・方向分布の算出処理と次タイムステップの軌跡の変移算出とを前記時間の最大値まで繰り返し、かつ当該時間の最大値まで繰り返す演算を前記サンプル数分だけ繰り返し、各タイムステップでの価格分布を評価し、前記価格分布から派生商品の価格を求めることを特徴とするものである。
【００２７】
請求項１３の発明は、請求項１２の派生商品の価格評価方法において、前記マーケットデータ中の一連の終値データを２日毎の終値データに編集し、前日と当日の終値群に纏め上げ、前日の終値の分布、当日の終値の分布に換算し、前日の終値の分布と当日の終値の分布との相関から前記巨視的グリーン関数を決定することを特徴とするものである。
【００２８】
請求項１４の発明は、請求項１３の派生商品の価格評価方法において、前記マーケットデータ中の終値をもとに巨視的グリーン関数を決定する際に、Γ関数でモデル化することを特徴とするものである。
【００２９】
請求項１５の発明は、請求項１４の派生商品の価格評価方法において、解の発散を防止するために前記Γ関数のパラメータの上限を設定することを特徴とするものである。
【００３０】
請求項１６の発明は、請求項１２の派生商品の価格評価方法において、価格変化前の速度を固定した巨視的グリーン関数で平均化した速度の指数を、前記次タイムステップの軌跡の変移との差をとることを特徴とするものである。
【００３１】
請求項１７の発明は、請求項１２の派生商品の価格評価方法において、領域のインポータンスを設定し、前記マーケットデータがいずれの領域のインポータンスに属するかを判定し、前記次タイムステップの軌跡の変移を求めて次タイムステップに進める際に、前記領域のインポータンスを判定し、判定したインポータンスと移動前のインポータンスとの比だけ軌跡を分岐させることを特徴とするものである。
【００３２】
請求項１８の発明は、請求項１７の派生商品の価格評価方法において、前記マーケットデータから事前に標準偏差の厳密値又は近似値を求め、軌跡の位置と価格の期待値との差の絶対値と、前記マーケットデータから求めた標準偏差の厳密値又は近似値との比を切り上げた整数値の２の累乗を前記領域のインポータンスと決定することを特徴とするものである。
【００３３】
請求項１９の発明は、請求項１７の派生商品の価格評価方法において、更新された経路を記憶装置に記憶し、重みを記憶装置に加算し、前記判定されたインポータンスと移動前のインポータンスとの比だけ軌跡を分岐させる際に、前記時間の最大値まで経路を進める最中に時間の進展順に記憶及び加算する処理を前記時間の最大値まで進めた後、時間の進展の逆向きに経路をたどり、（１）重みが変わった時間を見出せなければ１回の試行の終了と判定し、（２）重みが変わった時間を見出せればその見出した時間に戻り、前記軌跡の記憶と重みの加算を行いつつ前記時間の最大値まで経路を進める処理を、終了条件を満たすまで繰り返すことにより１回のサンプリングを終了させることを特徴とするものである。
【００３４】
請求項２０の発明は、請求項１７の派生商品の価格評価方法において、多資産問題に適用するに当たり、前記次タイムステップの軌跡の変移を求めて次タイムステップに進める際に、前記マーケットデータ中の全資産の平均値が存在する領域にインポータンス判定を適用して領域のインポータンスを判定し、判定されたインポータンスと移動前のインポータンスとの比だけ軌跡を分岐させる際に、当該全資産の更新された経路を前記記憶装置に記憶し重みを記憶装置に加算し、前記時間の最大値まで経路を進める最中に加算された重みを時間の進展順に記憶及び加算する処理を前記時間の最大値まで経路を進めた後、時間の進展の逆向きにたどり、（１）重みが変わった時間を見出せなければ１回の試行の終了と判定し、（２）重みが変わった時間を見出せれば見出した時間に戻り、前記軌跡の記憶と重みの加算を行いつつ前記時間の最大値まで経路を進める処理を、終了条件を満たすまで繰り返すことにより１回のサンプリングを終了させることを特徴とするものである。
【００３５】
【発明の実施の形態】
以下、本発明の実施の形態を図に基づいて詳説する。
【００３６】
［実施例１］本発明の第１の実施の形態について説明する。
【００３７】
まず、金融ボルツマン方程式の詳細を説明する。金融ボルツマン方程式の記述を参考論文「Ｙ．Ｕｅｎｏｈａｒａ  ｅｔ  ａｌ，  “Ｆｉｎａｎｃｉａｌ  Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ  Ｍｏｄｅｌ，”  Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇ  ｓｕｂｍｉｔｔｅｄ  ｔｏ  ＪＡＦＥＥ  １７ｔｈ  Ｓｕｍｍｅｒ  Ｍｅｅｔｉｎｇ，  Ｊｕｎｅ  １４−１５  ２００２」から抜粋して説明する。
【００３８】
金融ボルツマン方程式は、（４）式である。
【００３９】
【数５】
2005044034.tif 000007
ここで、変数ｔは時間で、Ｓは原資産のスポット価格である。ψは期待収益で、これらは従来モデルでも出てくる量である。また、速さｖは対数収益であり、μは価格変動方向である。ΛＴ  は衝突頻度で、これは単位時間当たりの価格変動確率を表す。散乱核ΛＳ  はメモリ効果とも言われ、過去の情報を考慮する要素である。
【００４０】
これらが、ボルツマンモデルの新しい概念である。このボルツマン方程式は線形なので一意解の存在を保証する。ボルツマン方程式は、位相空間（Ｓ，ｖ，μ，ｔ）内での株価の価格分布ｐ（Ｓ，ｖ，μ，ｔ）を記述するものである。
【００４１】
上の参考文献では、ボルツマン方程式の一般的記述に留めているが、ここではより詳細かつ定性的に説明する。（４）式のボルツマン方程式の右辺第１項と第２項は連続の式と呼ばれ、第３項は吸収項、第４項は散乱項、右辺はソース項と呼ばれる。連続の式と吸収項は消滅を意味し、散乱項とソース項は発生を意味する。ボルツマン方程式は、消滅と発生のバランスがとれている状態を記述した微分方程式となる。
【００４２】
ボルツマン方程式を定性的に説明するために、いったん空間と時間を離散化して説明する。まず、図１に示すような連続の式のモデルを想定する。一次元空間ｘと時間ｔで構成される空間（ｘ，ｔ）について、ΔｘとΔｔで囲まれた微小空間を考える。この微小空間中の物質が、Δｔの間に移動する。このとき、出発点と移動経路はいくつも考えられるであろうが、Δｔの経過後、移動した距離はいずれもｖΔｔとする。移動経路としては、通常は図１（ａ）の（ｉ）のように複雑な曲線を描くであろう。（ｉｉ）に示すような直線となるかもしれない。とりあえずは、議論を単純にするために、出発点を全て、微小空間の中心で代表させ、移動経路は考えないことにする。そうすると、図１（ａ）に示す移動は、座標（ｘｊ，ｔｉ）から、
【数６】
2005044034.tif 000008
の自由飛行とみなすことができる。さらに、速度については、速さ（速度の絶対値）ｖと、運動方向μに分離する。μは＋１か−１の値のいずれかをとる。この図ではμ＝＋１となる。
【００４３】
出発点を中心（ｘｊ，ｔｉ）に代表させると、移動先は必ず（ｘｊ＋１，ｔｉ＋１）の領域になってしまうが、実際は、出発点によって、（ｘｊ＋１，ｔｉ＋１）の領域になったり、（ｘｊ，ｔｉ＋１）の領域になったりして、必ずしも全てが（ｘｊ＋１，ｔｉ＋１）の領域に移動するわけではない。微小空間内で物質が一様に分布していたと仮定すると、ｖΔｔ＜Δｘならば、図１（ｂ）に示すように（ｘｊ，ｔｉ）にあった物質は、Δｔ後には全体の中のｖΔｔ／Δｘは（ｘｊ＋１，ｔｉ＋１）に、１−ｖΔｔ／Δｘは（ｘｊ，ｔｉ＋１）に移動するはずである。
【００４４】
ｖΔｔ＞Δｘ・ｖならば、図１（ｂ）の×をつけた移動になるが、このような移動は起こらないようにΔｘとΔｔを選ぶ。これを「連続の式を満足する」という。×を付けた移動を許す場合には、不連続モデルとなる。ここでは、連続の式を満たす場合のみを考える。
【００４５】
上では移動経路はとりあえず考えないとしたが、次には、図２を用いて移動経路の影響について述べる。移動経路は、始点を指定して、時間をΔｔ毎に区切って移動経路で見てみる。本来、図２に実線で示すような連続的な曲線になると考えた方が妥当であろう。しかし、図２に一点鎖線で示すような直線的な自由運動することもあるかもしれない。さらには、図２に破線で示すような途中で停止したり、媒質に吸収されて消滅してしまうものもあるかもしれない。以下では、議論を単純化するために、停止したり消滅することはないものとして議論を進める。
【００４６】
ここでは、ｖに着目して整理する。移動してきた物質が、自由飛行することを除けば、次のステップではいったん全て失われてしまうと見なす。この確率をΔｔΛＴ（ｖ）と書く。ΛＴ（ｖ）を衝突頻度と呼ぶ。この衝突頻度ΛＴ（ｖ）は、ｘやｔで変わるΛＴ（ｘ，ｖ，ｔ）のような書き方もできるが、議論が複雑になるばかりで、ｘやｔを含まないときと本質的には変わらないので、以下では、衝突頻度はｘとｔに関して一定の場合について議論する。
【００４７】
上では吸収項について述べた。図３を用いて、吸収されたもの（自由飛行せずに、次のステップでｖが変わるもの）についてその経過をたどってみる。速さがｖで方向がμであったものは、吸収され速さがｖ’に方向がμ’に変わる。ｖ’とμ’に変わったものの一部は、次のステップで再び速さｖ、方向μに戻るであろう。その戻る割合をΔｔΛＳ（ｖ’，μ’→ｖ，μ）とし、ΛＳ（ｖ’，μ’→ｖ，μ）を散乱核と呼ぶ。
【００４８】
途中で停止したり消滅することがなければ、散乱核をｖとμで積分したものは衝突頻度になる。
【００４９】
【数７】
2005044034.tif 000009
衝突頻度が方向μに依存するモデルも考えられなくはない。μは＋１と−１を取るが、これについて絶対的な基準があるわけではない。ｘの＋方向をμ＝＋１とし、ｘの−方向をμ＝−１としているだけで、ｘの方向を逆転させるとμも変わる。ｘの方向について意味付けができなければ、例えば重力のようなものがない限り、衝突頻度の変数にμを含めることに意味はない。したがって、通常は衝突頻度がμを含むことはない。
【００５０】
図４（Ａ）のように連続的な曲線を描いて移動していくであろう現象を、図４（Ｂ）のようにΔｘとΔｔの大きさを持つ微小領域の中心から中心へ速度ｖμをもつ粒子の直線運動と、中心で媒質と衝突し瞬時にｖμが変化するようなモデルに置きかえることができる。また、実際には直線運動ではなく曲線を描くので、直線運動と曲線運動の違いを散乱核で表すことができる。したがって、ボルツマンモデルは必ずしも安直に直線運動を仮定しているわけではないことがわかる。
【００５１】
これまでの前提を整理すると、次の通りである。
【００５２】
【数８】
2005044034.tif 000010
次に、図５を用いて、吸収項と散乱項の作用を簡単な例で説明する。速さｖが、ｖ１，ｖ２，ｖ３の３通りについて説明する。衝突前にこれら３通りの速さで運動方向が上向き（＋１）と下向き（−１）を持つ物質の量をそれぞれ、
【数９】
2005044034.tif 000011
とおく。衝突によって、単位時間あたり、ある速度μ’ｖ’から別な速度μｖに変わる確率（散乱核）をΛＳ（μ’ｖ’→μｖ）とおく。単位時間あたり衝突を起こす確率（衝突頻度）をΛＴ（ｖ）とおくと、衝突後の各速度を持つ物質の量ｐ’（ｘｊ，ｖ１，＋１，ｔｉ）は、例えば＋ｖ１の場合には、図６に示す（６）式のようになる。
【００５３】
図６の（６）式の右辺の第１項は衝突しなかった成分で、破線サークルで囲ったように衝突しなかった確率Δｔ（１−ΛＴ（ｖ））が掛けられているが、衝突したものは吸収されたと考え、第２項の散乱項で吸収されたものが別な速度に移動したと見なす。
【００５４】
（４）式の連続の式と（６）式の衝突との関係を用いて、図７に示すように位置ｘｊ、時間ｔｉ＋１における上方向に運動する物質の量ｐ（ｘｊ，ｖ，＋１，ｔｉ＋１）と下方向に運動する物質の量ｐ（ｘｊ，ｖ，−１，ｔｉ＋１）について漸化式を図８の（７），（８）式のように書くことができる。
【００５５】
（７）式の上方向に運動する物質の量ｐ（ｘｊ，ｖ，＋１，ｔｉ＋１）について説明する。右辺の第１項と第２項（式中の（ｉ））は、衝突を起こさずに自由飛行する分である。第１項は、（ｘｊ，ｔｉ）から（ｘｊ，ｔｉ＋１）に自由飛行してきたもので、第２項は（ｘｊ−１，ｔｉ）から（ｘｊ，ｔｉ＋１）に自由飛行してきた分である。ここでは、運動方向が上向（＋１）なので、（ｘｊ＋１，ｔｉ）から自由飛行してきた分は方向が−１なのでカウントしない。
【００５６】
右辺の第３項（式中の（ｉｉ））は（ｘｊ，ｔｉ）で衝突を起こし、速さと方向が着目している速さｖと着目している方向＋１に変わった後、（ｘｊ，ｔｉ＋１）に自由飛行してきたものである。積分の中には、衝突で＋１から＋１になったもの（第１項）と−１から＋１になったもの（第２項）の両者をカウントしなければならない。
【００５７】
右辺の第４項（式中の（ｉｉｉ））は、（ｘｊ−１，ｔｉ）で衝突を起こし、速さと方向が着目している速さｖと着目している方向＋１に変わった後、（ｘｊ，ｔｉ＋１）に自由飛行してきたものである。積分の中には、衝突で＋１から＋１になったもの（第１項）と−１から＋１になったもの（第２項）の両者をカウントしなければならない。
【００５８】
右辺の第５項（式中の（ｉｖ））は、（ｘｊ，ｔｉ＋１）で物質が湧き出してくる場合を考慮している。湧き出す源がｓ（ｘｊ，ｖ，μ，ｔｉ＋１）である。通常、源は初期条件を除くと０である。
【００５９】
下方向に運動する物質の量ｐ（ｘｊ，ｖ，−１，ｔｉ＋１）に関しては、違いは方向が−１と下向きなので、他領域からの移動が、（ｘｊ＋１，ｔｉ）から（ｘｊ，ｔｉ＋１）への移動に変わるだけである。
【００６０】
図８の（７），（８）式を見やすくしたのが、図９の（９）式である。この（９）式と図１を見ると、連続の式を満足する限りは、金融工学における三進木モデル（トリノミアルツリー）と似ていることがわかる。金融工学で紹介されているトリノミアルツリーはｖやμを含まない点が異なる。散乱核ΛＳ（ｖ’，μ’→ｖ，μ）がｖΔｔ＜Δｘとなるように選ばれていれば、連続の式を満足するのでトリノミアルツリーの手法でボルツマン方程式を解くことができる。
【００６１】
（９）式のΔｔの二次の項を無視し、ｔｉとｔｉ＋１の差分型にしたものが、図１０に示す（１０）式である。Δｘの差分を前進差分の形にするために、方向が＋成分の（１０）式の１段目と、方向が−１の（１０）式の２段目とについては、右辺第１項の符号がそれぞれ−と＋で逆になっているのが特徴である。
【００６２】
（１０）式を、Δｔ→０、Δｘ→０の極限をとって連続化すると、（１１）式となる。
【００６３】
【数１０】
2005044034.tif 000012
さらに、これを整理した図１１に示す（１２），（１３）式が金融ボルツマン方程式の基本型である。
【００６４】
（１３）式において、ドリフトは第２項の空間微分の係数ψに含まれ、衝突の有無に関わらず方向は一定である。
【００６５】
対数空間を指数空間に変換する際に、変換による見かけの加速度が発生する。
マルチンゲールを満足させるためには、対数空間ではなく指数変換後に加速度がなくなるようにしなければならない。そのためには、対数空間で逆向きの加速度を仮想的に設定すればよい。
【００６６】
この加速度は、コリオリの力のような座標変換で発生する見かけのもので、現実に意味のあるものではない。
【００６７】
幾何ブラウン運動を想定していて、対数空間ｘで考察しているのは、対数空間にすると物理現象における拡散のモデルをそもまま援用できるからである。しかし、現実に意味があるのは、その指数変換したものＳである。Ｓがマルティンゲールであるためには、空間Ｓ中を物質が拡散していくときに、重力や電磁力のような外力が働いてはならない。したがって、Ｓの時間の二次微分が０でなければならない。つまり、図１２中の（ｉ）式と（ｉｉ）式が０である。しかし、Ｓを対数に変換したｘの場合には、図１３中の（ｉｉｉ）式のように加速度が生じる。これは、座標変換で生じる見かけの加速度である。これより、図１３の（ｉｉｉ）式のように速度ｖと位置ｘとの関係が導かれ、図１４の式（ｖ）のように位置ｘが新たに算出できる。その結果、図１４の（ｖｉ）式のように仮想的な加速度を考慮した速度ｖ０を定義できる。ただし、これが成立するためには、図１４の式（ｖｉｉ）の条件が必要である。
【００６８】
最終的に、Δｔの０の極限をとると、（１２）式のような幾何ブラウン運動の方程式と類似したものとなる。
【００６９】
【数１１】
2005044034.tif 000013
以上の原理的な考察のもとに、本発明の第１の実施の形態の派生商品の価格評価システム２０は、図１５に示すように、マーケットデータを入力するマーケットデータ入力手段２１と、時間分解能と価格分解能を入力する分解能入力手段２２と、時間分解能と価格分解能の入力をもとに、ボルツマン方程式を離散化するボルツマン方程式離散化手段２３と、マーケットデータに対して、三進木の手法により離散化されたボルツマン方程式を解析し、価格密度を得るボルツマン方程式解析手段２４と、価格密度から派生商品の価格を求める派生商品の価格評価手段２５とを備えた構成でる。
【００７０】
本実施の形態の派生商品の価格評価システム２０では、派生商品価格をボルツマン方程式を解いて求める場合、時間分解能と価格分解能を入力し、時間分解能と価格分解能をもとに、ボルツマン方程式を離散化し、離散化したボルツマン方程式を三進木の手法により解析して価格密度を求め、この価格密度から派生証券の価格を求めることにより、簡易かつ高速に派生商品価格を求めることができる。
【００７１】
［第２の実施の形態］
図４４に金融ボルツマンモデルの基本的な流れを示す。図４４は、図４３の派生商品の価格評価システム１００にボルツマンモデルを用いた場合の理論計算部１０３の詳細な機能構成を示したものである。図４４中のボルツマンモデル解析手段の計算負荷がいちばん大きく、ここを改良することで計算時間と計算精度を大きく改善することができる。
【００７２】
この理論計算部１０３は、サンプル数、時間最大値入力手段１２１、巨視的グリーン関数評価手段１２２、領域のインポータンス設定手段１２３、ボルツマンモデル解析手段１２４、価格密度評価手段１２５、派生商品価格評価手段１２６から成る。
【００７３】
そしてボルツマンモデル解析手段１２４は、自動的に初期速度・方向分布を求める初期速度・方向分布入力手段１３１、巨視的グリーン関数に入力し、次タイムステップの軌跡の変移を求める軌跡変移演算手段１３２、インポータンス判定手段１３３、軌跡を分岐させる軌跡分岐手段１３４を備えている。
【００７４】
まずグリーン関数から始めて、本発明が利用する巨視的グリーン関数について説明する。ボルツマン方程式をモンテカルロ法で解く場合には、グリーン関数（Ｇｒｅｅｎ関数）の概念が重要である。非斉次線形微分方程式（線形の場合は、記述がシンプルなので線形に限定する。）を図１６の式（１３）のように演算子表現する。非斉次なので、右辺は０にならない。空間座標を、ここでは抽象的にωと書く。この微分方程式の右辺をδ関数としたときの解がＧｒｅｅｎ関数である。図１６の式（１４）のδ関数の意味するところは、一点から１単位の入力があったときの出力で、いわゆる応答関数である。Ｇｒｅｅｎ関数が応答関数であることから、微分方程式（１３）の解
【数１２】
2005044034.tif 000014
は、右辺の
【数１３】
2005044034.tif 000015
とＧｒｅｅｎ関数の重畳積分（１５）式であることがわかる。
【００７５】
次に、フォッカ−プランク（Ｆｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ）方程式のグリーン関数について説明する。Ｇｒｅｅｎ関数の簡単な例を示す。拡散現象を表す代表的な微分方程式Ｆｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式では、位相空間
【数１４】
2005044034.tif 000016
は、ｘとｔを座標としてもつ図１７の（１３’）式である。演算子は（１４’）となる。（ｘ０，ｔ０）に単位入力があった場合の解がＧｒｅｅｎ関数（１５’）式であり、Ｇｒｅｅｎ関数は正規分布（１６）式となる。Ｆｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式の場合、（１７）式の示すように、Ｇｒｅｅｎ関数は単位入力が与えられた座標との差、すなわち、ｘ−ｘ０とｔ−ｔ０のみで決まりｘとｘ０、ｔとｔ０の値にはよらないことがわかる。
【００７６】
次に、金融ボルツマン方程式のグリーン関数について説明する。ボルツマン方程式のＧｒｅｅｎ関数もＦｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式と同様に、位相空間
【数１５】
2005044034.tif 000017
について、
【数１６】
2005044034.tif 000018
に単位入力が与えられたときの応答である。ただし、位相空間には、ｘとｔ以外にｖとμが追加される（図１８の（１３”）式）。演算子は、ここでは、式（１４”）となる。
【００７７】
これまでに、３種類の金融ボルツマン方程式を示したが、議論をシンプルにするために、対数変換による見かけの加速度を考慮していない図１８の式（１５”）で統一する。
【００７８】
Ｆｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式のときと異なり、Ｇｒｅｅｎ関数の解析解を一般的に与えることはできない。しかし、衝突頻度と散乱核がｘとｔに依存しないので、ｘとｔに関しては、Ｆｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式と同様に、それらの偏差のみに依存することがわかる（図１８の（１６’）式）。
【００７９】
続いて、マーケットデータの終値データによるグリーン関数の決定とモンテカルロシミュレーションについて説明する。金融ボルツマン方程式を決めるには、衝突頻度ΛＴ（ｖ）と散乱核ΛＳ（ｖ’μ’→ｖμ）が必要となる。しかし、株価挙動の素過程がわからないので、決めようがないのが現状である。
【００８０】
終値単位で見ると株価のランダム性をきれいに観察できるので、終値単位での金融ボルツマン方程式の適用を検討する。
【００８１】
株式市場は、前場と後場の２つに分けられて株価は推移する。図１９に３日間にわたる株価推移の例を示す。通常、証券取引所では、午前９時から午前１１時３０分まで取引があり、これを前場という。１１時３０分から１３時まで休憩で、１３時から１５時まで取引がある。これを後場という。実時間で見ると、１日の中で午前９時から２時間３０分、１３時から２時間、株価が連続的に推移し、それ以外の時間では株価は変化していないと見なすことができる。
【００８２】
前場の最初の価格（午前９時の価格）を始値という。前場の最終（午前１１時３０分）の株価を前場の終値という。後場の始まり（１３時）の価格を後場の始値といい、後場の最終（１５時）の株価を終値という。
【００８３】
前日の終値と当日の始値は必ずしも等しくない。同様に、前場の終値と後場の始値とは必ずしも等しくはない。しかし、これらの差は１日の株価の変動に比べると、非常に小さい。また、終値（１５時）の株価は証券ディーラーの１日の収支を決めるので真剣な取引の結果決まることが多く、他の値よりも重要な意味を持つ。したがって、始値を前日の終値で置き換え、後場の始値を前場の終値に置き換えても大きな問題はない。次に、前日の１５時から当日の９時までの間と、当日の１１時３０分から１３時までの間は時間が停止しているものとみなすと、株価推移は図２０に示すような１本の連続的な線で表すことができる。そのとき、１日の時間は４．５時間となる。
【００８４】
次に、幾何ブラウン運動モデルに置き換えるために、図２１に示すように１日目の始値（０日目の終値）を基準にした自然対数に変換して引き直す。１日目の始値を基準にしているので、図２１の横軸０での縦軸は０となる。
【００８５】
１日目の始値（０日目の終値）を基準にすることは、株価の絶対値に特別な意味を持たせないことを意味する。したがって、２日目と３日目についても、それぞれの初値を基準とすれば、１日の株価推移を３本の線で表すことができる。ここでは、もう少し踏み込んで、１日目と２日目、２日目と３日目を組み合わせた、図２２に示すような２本の株価推移を考える。
【００８６】
すなわち、図２３に示すように、１日目の始値を基準とした１日目と２日目の株価推移、２日目を基準にした２日目と３日目の株価推移を１つの図に重ねて描く。ここでは、１日目と２日目を区別するために、１日目を破線で、２日目を実線で描く。
【００８７】
次に、図２４に示すように、１日目の終値を基準にして図を描き直す。この図２４のような変換が意味することは、株価の推移はランダムで、時間と株価の絶対値に無関係ということである。この意味合いが正しいと仮定すると、一連の株価推移を１日目と２日目にまとめることができる。例えば、図２５に示すような５日間の株価推移が得られると、図２６に示すように１日目と２日目の２日間に渡たった４本の線を描くことができる。
【００８８】
同様に、Ｎ日分の終値があれば（Ｎ−１）本の線を描くことができる。例えば、１００日分程度の終値があれば、図２７の横軸が０（１日目の始め）と横軸が９．０（２日目の終わり）にそれぞれ約１００個の点を描くことができ、図２７に示すように、１日目の始まりと２日目の終わりに分布を描くことができる。これらの分布は、ボルツマン方程式のグリーン関数で表すことができる。
【００８９】
衝突頻度と散乱核が時間に依存しないと仮定しているので、もしも、金融ボルツマンモデルが市場を正確に表しているものとすると、２日目の終わりの価格分布Ｐ１（ｘ１）は、
【数１７】
2005044034.tif 000019
のように、１日目の終わりのｖとμの分布ｆ０（ｖ０，μ０）とグリーン関数の重畳積分となる。ここで、１日目の終わりのｖとμの分布ｆ０（ｖ０，μ０）は、（１９）式のように、
【数１８】
2005044034.tif 000020
１日目の始まりの価格分布Ｐ−１（ｘ−１）とグリーン関数Ｇ（−ｘ−１，ｖ０，μ０，ΔＴ｜０，ｖ−１，μ−１，０）で表わされるはずである。（１８）式と（１９）式から、１日目の始まりの価格分布Ｐ−１（ｘ−１）と翌日の終値の分布Ｐ１（ｘ１）の間には、
【数１９】
2005044034.tif 000021
の関係が成立する。ここで、
【数２０】
2005044034.tif 000022
とすると、１日目の始まりの価格分布Ｐ−１（ｘ−１）と翌日の終値の分布Ｐ１（ｘ１）の間には式（２２）の関係が成立する。
【００９０】
【数２１】
2005044034.tif 000023
この式において、
【数２２】
2005044034.tif 000024
を便宜的に「巨視的グリーン関数」と呼ぶ。
【００９１】
ここで、１日目の始まりの価格分布Ｐ−１（ｘ−１）は、ｘ−１の符号を反転させると１日目の終値の分布になる。衝突頻度と散乱核が時間に依存しないという仮定から、１日目の終値の分布と翌日の終値の分布は同じ関数にならなければならない。
すなわち、Ｐ−１（−ｘ）＝Ｐ１（ｘ）でなければならないので、（２１）式は（２２）式となる。
【００９２】
【数２３】
2005044034.tif 000025
ここで、ｘ−１とｘ１は時間が０からΔＴだけ推移した後の価格の自然対数の偏差となり、ｘ−１とｘ１のそれぞれをΔＴで除算したものは「速度」に相当する。また、ΔＴ＝１とおけばｘ−１とｘ１は速度そのものである。速度の概念を明確にするために、これらを
【数２４】
2005044034.tif 000026
と書きかえる。
【００９３】
上に示した巨視的グリーン関数
【数２５】
2005044034.tif 000027
は、ｘ−１，ｘ１の替わりに
【数２６】
2005044034.tif 000028
を用いて、
【数２７】
2005044034.tif 000029
と書ける。また、ΔＴは固定されているのでこのΔＴを省略できて、最終的に、
【数２８】
2005044034.tif 000030
と略記しても不都合はない。この式表現をみれば、巨視的グリーン関数はボルツマン方程式の散乱核と似ていることがわかる。さらに、
【数２９】
2005044034.tif 000031
を、これらの絶対値Ｖ−１，Ｖ１と、これらの符号μ−１，μ１に分離すると、（２４）式に示すように、巨視的グリーン関数は、散乱核と全く同じ形となる。
【００９４】
【数３０】
2005044034.tif 000032
したがって、今後、巨視的グリーン関数を単に、
【数３１】
2005044034.tif 000033
と書き、ΔＴも省略する。
【００９５】
（２３）式のＰ１（ｘ１）とＰ−１（ｘ−１）もボルツマン方程式の表記と合わせるために、
【数３２】
2005044034.tif 000034
と書き換える。なお、ここではまだ、
【数３３】
2005044034.tif 000035
である。Ｐ１（ｘ１）とＰ−１（ｘ−１）は同じ関数でなければならない。また、Ｖ１，μ１，Ｖ−１，μ−１もボルツマン方程式の記法に合わせて、Ｖ，μ，Ｖ’，μ’にする。
【００９６】
巨視的グリーン関数が判っていれば、ｐ（ｘ，Ｖ，μ，ΔＴ）は、
【数３４】
2005044034.tif 000036
の固有値問題を解くと求めることができる。ここで、ｘ＝Ｖμ＋０，ｘ’＝Ｖμ’＋０である。
【００９７】
固有値問題を解くには多くの手法があるが、最もシンプルな方法として、反復法がある。初期値として、ｐ（ｘ，Ｖ，μ，ΔＴ）に適当な関数ｐ０（ｘ，Ｖ，μ，ΔＴ）を仮定する。通常は、Ｖとμに関する一様分布で十分である。
【００９８】
最初に、
【数３５】
2005044034.tif 000037
の積分を実施し、ｐ（ｘ，Ｖ，μ，ΔＴ）の近似解としてｐ１（ｘ，Ｖ，μ，ΔＴ）を採用する。
このｐ１（ｘ，Ｖ，μ，ΔＴ）とｐ０（ｘ，Ｖ，μ，ΔＴ）は異なるはずなので、次にｐ０（ｘ，Ｖ，μ，ΔＴ）をｐ１（ｘ，Ｖ，μ，ΔＴ）に置換えて、
【数３６】
2005044034.tif 000038
の積分を実施し、新たな近似解ｐ２（ｘ，Ｖ，μ，ΔＴ）を求める。これを多数回、Ｎ回繰り返す。
【００９９】
【数３７】
2005044034.tif 000039
この演算処理をｐＮ（ｘ，Ｖ，μ，ΔＴ）とｐＮ−１（ｘ，Ｖ，μ，ΔＴ）との有意差がなくなるまで繰り返すことにより、ｐ（ｘ，Ｖ，μ，ΔＴ）を求めることができる。この繰り返し計算の収束性は、熱平衡現象をモデル化したもので、多くの場合で収束性の成立を直感的に理解できる。
【０１００】
この演算処理は、図２８の機能ブロック図、図２９のボルツマン方程式解析手段の演算処理機能、図３０に示す演算原理によって達成される。
【０１０１】
図２８は、図４４に示した本実施の形態の派生商品の価格評価システムの構成をより詳しく示したものである。図２８に示す本実施の形態の派生商品の価格評価システム１は、ポートフォーリオ入力手段２と、価格・変動率・変動方向の初期値入力手段３と、評価条件入力手段４と、ボルツマンモデル解析手段５と、出力手段６と、全断面積・確率過程入力手段７と、速度分布・方向分布入力手段８と、乱数発生手段９と、ＶａＲ評価装置１０と、企業データベース１１とを有している。
【０１０２】
ボルツマンモデル解析手段５はさらに、初期化手段１２と、初期値設定手段１３と、サンプリング手段１４と、ボルツマンモデルによる価格変動シミュレーション手段１５と、確率密度算出手段１６と、一試行終了判定手段１７と、全試行終了判定手段１８と、確率密度編集手段１９とを有している。
【０１０３】
なお、一点鎖線で囲まれた範囲は、物理的な意味で一つのコンピュータに含まれることを意味するものではない。例えば、本発明のシステムをクライアントサーバシステムのようにして分散処理をする場合には、上記各手段を適宜分散処理システムの処理要素に分散化することができる。
【０１０４】
ポートフォーリオ入力手段２は、ポートフォーリオを入力し、評価対象となる金融商品あるいは派生商品を出力する手段である。通常の資産運用は、運用すべき資産を複数の金融商品あるいはその派生商品に配分し、リスクを低減するとともに、全体としてもっとも有利な資産運用ができるようにしている。この複数の金融商品あるいはその派生商品の組み合わせをポートフォーリオという。ポートフォーリオ入力手段２は、所定のポートフォーリオを入力することにより、該当するポートフォーリオから、評価対象の金融商品あるいは派生商品を切り出して出力する手段である。好ましくは、ポートフォーリオ入力手段２は、内部にポートフォーリオのテーブルあるいはデータベースを有し、ユーザーが所定のポートフォーリオの識別コードを入力することにより、そのポートフォーリオの構成を示し、評価しようとする金融商品や派生商品を選択することができるようにする。
【０１０５】
初期値入力手段３は、評価対象の金融商品あるいは派生商品の価格または価格変動率または価格変動方向のうちの少なくとも一つ初期値をボルツマンモデル解析手段５に入力する手段である。評価対象の金融商品や派生商品の価格・変動率・変動方向の初期値は、その金融商品や派生商品の実績データから得られる。好ましくは初期値入力手段３は、ポートフォーリオ入力手段２から評価対象の金融商品あるいは派生商品を入力し、当該金融商品あるいは派生商品に関する情報を企業データベース１１から検索し、検索したその金融商品や派生商品の実績データから、当該金融商品あるいは派生商品の価格、価格変動率、価格変動方向の初期値を取得してボルツマンモデル解析手段５に出力するように構成される。
【０１０６】
評価条件入力手段４は、ボルツマンモデル解析手段５の評価条件を入力する手段である。ボルツマンモデル解析手段５の評価条件とは、ボルツマンモデル解析手段５による試行回数、評価する時間帯、評価する価格帯などの解析のための条件である。評価条件入力手段４により、有意な解析を行うことができる評価条件をボルツマンモデル解析手段５に設定することができる。
【０１０７】
ボルツマンモデル解析手段５は、金融商品等の価格リスク評価システム１の中心的な構成要素である。ボルツマンモデル解析手段５は、初期値入力手段３から評価対象の金融商品あるいはその派生商品の価格、価格変動率、価格変動方向の初期値を入力し、評価条件入力手段４から評価条件を入力し、評価対象の金融商品あるいはその派生商品についてモンテカルロ法により、ボルツマンモデルによる価格変動シミュレーションを評価条件の範囲内で繰り返し、その金融商品あるいはその派生商品の価格分布あるいはリスク分布を求める手段である。
【０１０８】
ボルツマンモデル解析手段５の初期化手段１２は、評価を開始するにあたり、評価対象の金融商品や派生商品の価格、価格変動率、価格変動方向を初期化する手段である。
【０１０９】
ボルツマンモデル解析手段５の初期値設定手段１３は、上記初期値入力手段３の出力に基づいて評価対象の金融商品や派生商品の価格、価格変動率、価格変動方向の初期値を設定する手段である。
【０１１０】
ボルツマンモデル解析手段５のサンプリング手段１４は、価格変動シミュレーションのサンプリング幅を決定する手段である。本発明では、サンプリング手段１４は、全断面積・確率過程入力手段７の入力によって、価格変動の単位時間の変動確率を設定できる。
【０１１１】
ボルツマンモデル解析手段５の価格変動シミュレーション手段１５は、モンテカルロ法によって直前の価格から、速度分布と方向分布の確率分布に基づいて次の価格をシミュレーションする手段である。価格変動シミュレーション手段１５は、ボルマンモデルによって価格変動をシミュレーションするために、速度分布・方向分布入力手段８からボルツマン方程式における変数の速度分布あるいは方向分布に相当する金融商品等の価格変動率、価格変動方向を入力する。
【０１１２】
価格変動シミュレーション手段１５は、モンテカルロ法によってボルツマン方程式の解を求めるために、乱数発生手段９が発生した乱数を入力する。
【０１１３】
ボルツマンモデル解析手段５の確率密度算出手段１６は、上記価格変動シミュレーション手段１５によってシミュレーションされた価格分布を積分して確率密度を算出する手段である。
【０１１４】
ボルツマンモデル解析手段５の一試行終了判定手段１７は、一試行が終了したか否かを判断する手段である。ここで、「一試行」とは、評価開始時間から評価終了時間までの一回の価格変動シミュレーションである。一試行終了判定手段１７は、現在計算されている時点と評価時間帯とを比較することにより、一試行が終了したか否かを判定することができる。一試行の終了の条件は、評価条件入力手段４から入力される。
【０１１５】
一試行が終了していない場合は、一試行終了判定手段１７から処理を再びサンプリング手段１４に戻し、直前の価格と速度分布・方向分布とから次の価格および確率密度を計算する。
【０１１６】
ボルツマンモデル解析手段５の全試行終了判定手段１８は、評価条件入力手段４によって設定された全試行回数に到達したか否かを判断する手段である。全試行回数は初期値入力手段３によって全試行終了判定手段１８に入力される。
【０１１７】
ボルツマンモデル解析手段５の確率密度編集手段１９は、全試行の確率密度を集約し、評価対象の金融商品あるいは派生商品の価格変動の確率密度を編集し、あるいは、後述するようにボルツマンモデルによる価格変動シミュレーションを行う手段を複数有する場合には、各価格変動シミュレーション手段が試行した価格変動の確率密度を編集する手段である。以上がボルツマンモデル解析手段５の内部の構成要素である。
【０１１８】
本実施の形態のシステム１において、出力手段６は本システムの処理結果を出力する手段である。すなわち、出力手段６は本システムによって求められた所定の金融商品等の価格分布、リスク値分布、リスクの指標として統合されたリスク値を出力する。なお、出力手段６は、処理結果を何らかの形で出力する限り、任意の公知の出力手段の形をとり得る。例えば、紙に出力するプリンタ、画像として出力するモニタ、外部のデータファイルに出力する通信手段等は、すべて出力手段６に含まれる。また、出力手段６は、ボルツマンモデル解析手段５の処理の途中結果、例えば、ある試行による価格変動シミュレーション、その確率密度の分布等を出力することができる。また、物理的には複数の出力手段を有する場合を含む。
【０１１９】
全断面積・確率過程入力手段７は、上記ボルツマンモデル解析手段５のサンプリング手段１４に関連して説明したように、サンプリング手段１４に単位時間における変動確率（変動頻度）を与えることにより、サンプリングのための時間幅を設定する手段である。この全断面積・確率過程入力手段７は、企業データベース１１から、評価対象の金融商品あるいはその派生商品の価格変動頻度と価格変動率を取得し、価格変動頻度を価格変動率で除算したものをボルツマン方程式における全断面積として入力する。
【０１２０】
速度分布・方向分布入力手段８は、前記価格変動シミュレーション手段１５に関連して説明したように、価格変動率あるいは価格変動方向の分布を価格変動シミュレーション手段１５に入力する手段である。速度分布・方向分布入力手段８は、企業データベース１１から評価対象の金融商品等の実績データを入力し、その実績データから価格変動率あるいは価格変動方向を価格変動シミュレーション手段１５に入力する。また、速度分布・方向分布入力手段８は、それ自体に数値解析機能を有し、金融商品等の実績データから価格変動率の分布を巨視的グリーン関数を用いて推定し、あるいは、価格変動前の価格変動率をパラメータとして価格変動後の価格変動率分布の巨視的グリーン関数を決定し、あるいは、価格が増加する確率と減少する確率の相関を加味して価格変動方向の分布を推定し、あるいは、価格変動率と価格変動方向の相関を加味して価格変動率あるいは価格変動方向の分布を推定し、あるいは、価格変動率あるいは価格変動方向の分布が価格に依存する場合には、価格に対応した確率分布を生成する。
【０１２１】
乱数発生手段９は、前記ボルツマンモデル解析手段５がモンテカルロ法によって価格変動をシミュレーションするための乱数を発生する手段である。乱数発生手段９が発生した乱数は前述した通り、価格変動シミュレーション手段１５に入力される。
【０１２２】
ＶａＲ評価装置１０は、所定の金融商品あるいは派生商品の価格分布からリスク値あるいはリスク値分布を算出する装置である。従来から、金融商品あるいは派生商品の価格分布からその金融商品あるいは派生商品のリスク値あるいはリスク値分布を算出する装置は存在している。ＶａＲ評価装置１０は、既存のＶａＲ評価装置をそのまま適用することができる。つまり、本願発明のボルツマンモデルによって計算された確率密度を既存の価格評価システムのＶａＲ評価装置１０にそのまま出力し、その既存のＶａＲ評価装置１０から価格分布、リスク値分布、指標として統合されたリスク値を出力することができるのである。
【０１２３】
企業データベース１１は、金融商品あるいは派生商品に関する情報を格納したマーケットデータベースである。
【０１２４】
以上が第２の実施の形態の派生商品の価格評価システム１の構成である。なお、上記構成のうちデータ処理を行う手段は、好ましくはコンピュータのＣＰＵが所定のプログラムを起動しその制御によってそれぞれの処理を行うものである。
したがって、異なる処理手段が物理的には同一のハードウェアであることがある。また、上記構成手段のうち入力手段は、通常のキーボードやポインティングデバイスである場合がある他、データ通信によって他のデータファイルから入力する場合にはそのデータ通信手段を指すものとする。
【０１２５】
本実施の形態の派生商品の価格評価システム１におけるボルツマンモデル解析手段５における処理を、図２９、図３０を用いて説明する。ボルツマンモデル解析手段５では、処理Ａ〜Ｉの処理を行う。
【０１２６】
処理Ａは、ボルツマン方程式を初期化する処理である。この処理Ａは、初期化手段１２により行われる。
【０１２７】
処理Ｂは、ボルツマン方程式の初期値を与える処理である。ボルツマン方程式を解くことは、ソース項を有するボルツマン方程式のグリーン関数を求めることである。グリーン関数はいわば位相空間の一点にある仮想的な粒子（ソース）が体系中に広がっていく分布を表すものである。処理Ｂで価格ｘ、価格変動率ｖ、価格変動方向μの初期値ｘ０，ｖ０，μ０を定めることにより、ボルツマン方程式のソース項が与えられる。この処理Ｂは初期値設定手段１３によって行われる。
【０１２８】
処理Ｃは、サンプリング方法を設定する処理である。ここでは、１日に１回の価格変動があると仮定した場合を示している。この処理Ｃは、サンプリング手段１４によって行われる。
【０１２９】
処理Ｄは、モンテカルロ法によって価格変動を模擬する部分である。上述した巨視的グリーン関数を利用してこの処理を実施する。これは価格変動シミュレーション手段１５によって実施される。
【０１３０】
処理Ｅは、グリーン関数の積分を行っている。これにより、確率密度が計算される。この処理Ｅは、確率密度算出手段１６によって行われる。
【０１３１】
処理Ｆは、一試行が終了したか否かを判定している。一試行が終了していない場合には、処理をＣに戻す。
【０１３２】
処理Ｇ，Ｈは、全試行が終了しているか否かを判定し、全試行が終了していない場合には、処理をＢに戻す。処理Ｇ，Ｈは全試行終了判定手段１８によって行われる。
【０１３３】
処理Ｉは、求められた確率密度を編集する処理であり、確率密度編集手段１９により行われる。
【０１３４】
ただし、
【数３８】
2005044034.tif 000040
図３０は、図２９に対応する所定の観測領域内におけるシミュレーションを模式的に表したものである。
【０１３５】
証券市場では株価推移中に吸収されて消滅したり停止したりすることはないと仮定しているので、この固有値問題の固有値は１にならなければならない。実際には、株価の終値はインターネット等から容易かつ安価に入手できるが、１日の株価の推移はザラ場の歩みデータを入手する必要があり、歩みデータの入手は容易ではないし、データ量も多いので編集にも手間がかかる。したがって、通常は、１日の中での株価推移は判らないものとし、終値のみが判っているという前提に立つ方が、多数の一般人を対象にする場合には現実的である。終値のみ判っていれば、衝突頻度と散乱核が判らなくても、巨視的グリーン関数がわかればボルツマン方程式を段階的に解いていくことができる。
【０１３６】
Ｔ＝ＮΔＴ後の価格分布Ｐ（ｘ，ＮΔＴ）は、次のようにして求めることができる。
【０１３７】
【数３９】
2005044034.tif 000041
となる。したがって、
【数４０】
2005044034.tif 000042
のように段階的に任意の時刻ｔ＝ＮΔＴでの価格分布を求めることができる。
【０１３８】
次に、実際の証券市場に対する巨視的グリーン関数の決定手法について説明する。巨視的グリーン関数を求めるには、終値データから具体的に求めることができる。参考論文「Ｙ．  Ｕｅｎｏｈａｒａ  ｅｔ  ａｌ，  “Ｆｉｎａｎｃｉａｌ  Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ  Ｍｏｄｅｌ，”  Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇ  ｓｕｂｍｉｔｔｅｄ  ｔｏ  ＪＡＦＥＥ  １７ｔｈ  Ｓｕｍｍｅｒ  Ｍｅｅｔｉｎｇ，  Ｊｕｎｅ  １４−１５  ２００２」を要約して説明する。
【０１３９】
例えば、図３１に示すように、当日を１９９６年７月１７日としよう。前日を１９９６年７月１６日としよう。翌日を１９９６年７月１８日としよう。これらの終値を９８４円、９８１円、９９３円とする。１９９６年７月１日から始まるものとし、休日は数えないものとすると、当日は１２となり、時間ｔは１ずつ飛び飛びになるので、時間分解能Δｔは１になる。
【０１４０】
価格は対数空間を拡散していくので、ｘは終値の自然対数となる。速さｖは終値の自然対数の差の絶対値、すなわち日次収益の絶対値で、μは価格変動方向となる。
【０１４１】
数百銘柄の３年分の終値を編集する。前日の収益の絶対値と当日の収益との対を作成する。前日の収益率の絶対値を０．５％毎にグループ化し、それぞれのグループで当日の収益の絶対値を０．５％毎に分けて数え上げる。そうすると、図３２の左表が出来あがる。この図３２の左表の各列を行方向に足し合わせ各列の和が１になるように規格化する。規格化した結果が図３２のの右表である。
【０１４２】
図３２の右表を３次元プロットしたものが図３３である。この図３３を見ると、前日の収益の絶対値が大きくなるにしたがって、傾きが緩やかになっていくことがわかる。これは、価格のメモリ効果として知られている。
【０１４３】
図３３は、原子核反応で放出される二次中性子のエネルギー分布を表す「蒸発スペクトル」でよく当て嵌めることができる。蒸発スペクトルは古典的マックスエル分布の変形で２次のΓ関数である。
【０１４４】
【数４１】
2005044034.tif 000043
（２６）式のパラメータＴ（Ｖ’）は温度を意味するが、前日の収益の絶対値について二次関数になることがわかる。
【０１４５】
【数４２】
2005044034.tif 000044
（２６）式は巨視的グリーン関数そのものである。この場合、（ア）価格変動方向と収益の絶対値が独立、（イ）前日の価格変動方向が当日の価格変動方向に影響しない、（ウ）価格変動方向が正負それぞれ同じ確率で生じる、という３つを仮定すると、
【数４３】
2005044034.tif 000045
となる。ここで、解決すべき問題が２つ残されている。１つは、
【数４４】
2005044034.tif 000046
である。１の問題については、Ｔ（Ｖ’）に上限を設けることで解決できる。すなわち、（２７）式を、
【数４５】
2005044034.tif 000047
のように修正することで発散を防ぐことができる。
【０１４６】
また、上の２の問題の解決について、つまり、指数変換時に現れる見かけの加速度の除去については、以下に詳細に説明する。ボルツマン方程式で述べた方式は、ここでは適用できない。ボルツマン方程式では、見かけの加速度を（２８）式で除去できるとした。
【０１４７】
【数４６】
2005044034.tif 000048
ΔＴが０でない場合で（２８）式を適用することは、ΔＴの間に直線移動することを意味する。しかし、ΔＴが０でない以上、実際は直線飛行ではなく、多数の衝突を経て曲線を描くと考える方が自然である。また、（２８）式では、Ｖ０ΔＴの絶対値が１未満でなければならないが、見かけ上はＶ０ΔＴの絶対値が１以上でも、１未満の変化を多数回積みかさねた結果、１以上の変化となったと考えるべきである。
【０１４８】
衝突核（巨視的グリーン関数）は、ΔＴ後の分布を表すものである。Ｖ’とμ’を固定したときのＶμの期待値、すなわち条件付期待値を、
【数４７】
2005044034.tif 000049
とおく。注意すべきことは、ｅｘｐ［Ｖμ］の期待値の対数とＶμの期待値はΔＴ→０でない限り等しくならないことである。
【０１４９】
【数４８】
2005044034.tif 000050
しかし、ここではΔＴ＝１で有限の値を持つ。したがって、ΔＴ→０の前提をとることができない。
【０１５０】
（２９）式に示すｅｘｐ［Ｖμ］の期待値の対数が、対数変換で生じる見かけの加速度を代表したものと考えることができる。この見かけの加速度を考慮した、修正された（３０）式の速度を定義する。
【０１５１】
【数４９】
2005044034.tif 000051
図３５に示すようにｅｘｐ［Ｖμ］の条件付期待値の対数とＶμの条件付期待値との差を偏差として付与した修正された速度
【数５０】
2005044034.tif 000052
は、その指数の条件付期待値がＶμの条件付期待値の指数と等しくなることがわかる。
【０１５２】
【数５１】
2005044034.tif 000053
この場合、｜ＶΔＴ｜が１より大きいことは問題にならない。
【０１５３】
Ｖμの条件付期待値が０（対数空間でのマルチンゲール）の場合、
【数５２】
2005044034.tif 000054
新たな速度は、
【数５３】
2005044034.tif 000055
となり、（３１）式のように
【数５４】
2005044034.tif 000056
の指数の条件付期待値は１になり、
【数５５】
2005044034.tif 000057
指数変換された後のマルチンゲールを確保できる。その結果、指数変換した後も、ドリフトは生じない。
【０１５４】
具体例として、巨視的グリーン関数に（２６）式を用いた場合について説明する。巨視的グリーン関数が、
【数５６】
2005044034.tif 000058
となるので、計算すると（３３）式となる。
【０１５５】
【数５７】
2005044034.tif 000059
ここで、Ｖμの条件付期待値が０なので、修正された速度は（３４）式となる。
【０１５６】
【数５８】
2005044034.tif 000060
図３６のフローチャートにモンテカルロシミュレーションの処理を示している。
【０１５７】
ステップＳ１では、巨視的グリーン関数
【数５９】
2005044034.tif 000061
を決め、サンプル数Ｓを決め、時間の最大値ｔｍａｘを決める。
【０１５８】
ステップＳ２では、
【数６０】
2005044034.tif 000062
の固有値問題から、ｐ（０，Ｖ，μ，０）を求める。通常、ｐ（０，Ｖ，μ，０）を解析的にかつ厳密に求めることはできないが、近似的な解法はいくつかある。
【０１５９】
ステップＳ３では、ｔ＝０、Ｓ＝１に設定する。
【０１６０】
ステップＳ４では、ｐ（０，Ｖ，μ，ΔＴ）に従う乱数から、Ｖとμをサンプリングする。これを、Ｖ’とμ’とおく。
【０１６１】
ステップＳ５では、
【数６１】
2005044034.tif 000063
に従う乱数から、Ｖとμをサンプリングする。
【０１６２】
ステップＳ６では、
【数６２】
2005044034.tif 000064
とおく
ステップＳ７では、ｔをｔ＋ΔＴに置換え、Ｓを
【数６３】
2005044034.tif 000065
に置換え、Ｖ’をＶに、μ’をμに置換える。
【０１６３】
ステップＳ８では、ｔ＜ｔｍａｘの間、ステップＳ５からＳ７を繰り返す。
【０１６４】
ステップＳ９では、サンプル数だけステップＳ４からＳ８を繰り返す。
【０１６５】
これらの手順で、サンプルパスを発生しモンテカルロシミュレーションを実施するのである。
【０１６６】
次に、本発明の第３の実施の形態の派生商品の価格評価システムについて説明する。第３の実施の形態を説明するために、まずモンテカルロ法の分散低減手法であるスプリッティングについて述べ、単一資産について計算精度を高める方法を説明する。
【０１６７】
ランダムウォークを伴う現象をモンテカルロシミュレーションする場合の固有の問題に、初期値から離れた場所のサンプリングが少なくなり、統計精度が低下することが挙げられる。初期値から離れた場所でのサンプリング数を上げればこの問題は解決する。このような手法としてインポータンスサンプリングがある。
インポータンスサンプリングは、評価者が重視している領域でのサンプリング数を増やして、計算効率を上げる手法である。
【０１６８】
しかし、ランダムウォーク問題では事前に軌跡が何処を通過するか予測できないので、一般的なモンテカルロ法の教科書等に紹介されている手法を適用することは難しい。したがって、金融モンテカルロのランダムウォークが伴う問題でインポータンスサンプリングが実施されている例はほとんどない。
【０１６９】
中性子輸送モンテカルロ法では、このような問題を解決するためにスプリッティングの手法がよく用いられる。スプリッティングとは、あらかじめ重要な領域を指定し、その領域にサンプルパスが入ると、サンプルを分岐させ実効的なサンプル数を増やす手法である。スプリィッティングの手法は多くのバリエーションがある。現状における金融モンテカルロは、中性子輸送モンテカルロに比べて問題が単純なので、中性子輸送モンテカルロほどのバリエーションは必要ではない。ここでは、金融モンテカルロにとって重要なスプリィッティングの手法について説明する。
【０１７０】
金融モンテカルロのランダムウォークの問題は、標準偏差が時間の平方根に比例して広がっていく問題である。したがって、時間の平方根に比例した領域にインポータンスを設定することで分岐させていけばよい。図３７にスプリッティングの例を示す。図３７では、４本の曲線が描かれている。これらは、ｘ＝０を境界にして対称となっている。
【０１７１】
実線で描いた曲線は、
【数６４】
2005044034.tif 000066
であり、破線で描いた曲線は
【数６５】
2005044034.tif 000067
である。それぞれ標準偏差、標準偏差の２倍に相当する。ここでは、標準偏差内の領域に１のインポータンスを割り当て、標準偏差と２倍の標準偏差の間の領域には、２のインポータンスを割り当てる。標準偏差の２倍以上の領域には４のインポータンスを割り当てる。
【０１７２】
ランダムウォークのサンプルパスはｔｉｍｅ＝０，ｘ＝０から出発し、ｔｉｍｅ＝１で
【数６６】
2005044034.tif 000068
の領域に入る。インポータンスが１から２に変化するので、２倍の２つに分岐させる。分岐したサンプルの経路を記号◇と記号◆で示す。２つに分岐したので、経路の重みをそれぞれ１／２にする。最初の重みを１とすると、ここではそれぞれ重みが１／２となる。
【０１７３】
分岐したサンプル経路の中の記号◆は、ｔｉｍｅ＝９で
【数６７】
2005044034.tif 000069
の領域に入るので、さらに分岐して、記号□と記号■の経路となる。このとき、重みは１／２から１／４にする。記号■と記号□の経路は、その後、インポータンス＝１の領域に戻り、再びインポータンス＝２の領域に入る。このとき、さらに分岐させてもよいが、経路が増えることは計算時間も増えることを意味する。
このとき、重みが１／８になり計算時間を増加させたにもかかわらず、計算結果への寄与は大きくない。したがって、無制限に分岐させるのではなく、重みがある程度小さくなれば分岐させないようにすることが必要である。
【０１７４】
図３７に示すスプリティングを実現するアルゴリズムについて述べる。図３７の経路を単純化して図３８に示す。図３８のような経路の分岐を自動的に実現するためには再帰型のプログラムを実現する手法であるバックトラックが有効である。
【０１７５】
この場合、ｔｉｍｅ＝２で分岐が生じる。分岐した後はここでは、記号◆の経路を選択し時間を勧める。次に、ｔｉｍｅ＝８で分岐が生じる。ここでは、記号■の経路を選択し、最後まで時間を進める。すなわち、図３８中の（ｉ），（ｉｉ），（ｉｉｉ）の順番でシミュレーションを続けていくことになる。このシミュレーションの最中に、各時間で、経路の位置（ｘ）と重みを記憶しておく。そのためには時間ステップ数（ここでは３０）の２倍のメモリが必要となる。
【０１７６】
Ｔｉｍｅ＝３からｔｉｍｅ＝８の間では重みが１／２となり、ｔｅｉｍｅ＝９からｔｉｍｅ＝３０の間では重みが１／４となる。（ｉｉｉ）のシミュレーションが終了した後、重みを記憶したメモリを逆向きに探索すると、重みが２倍の１／２になっている時間まで戻れば、分岐した時間（バックトラック−１）に戻ることができる。これが（ｉｉｉ’）に示すバックトラックである。
【０１７７】
バックトラック−１（ここではｔｉｍｅ＝８）に戻った後、ｔｉｍｅ＝８の時のｘは記憶されているので、ｔｉｍｅ＝８の時のｘを始点として、（ｉｖ）の経路をシミュレーションしていく。このとき重みは１／４とし、ｔｉｍｅ＝９からｔｉｍｅ＝３０の間で記憶されている重みの１／４に足し合わせていくと、ここではｔｉｍｅ＝３０まで分岐しないので記憶されている重みは１／２となる。Ｔｉｍｅ＝９からｔｉｍｅ＝３０の間の（ｉｉｉ）のシミュレーション中のｘは不要なので、（ｉｖ）のシミュレーションのｘと置き換える。
【０１７８】
（ｉｖ）のシミュレーションが終了したときに、重みが１／２の２倍の１になっている時間までバックトラックすると、ｔｉｍｅ＝２（バックトラック−２）まで戻ることができる。ｔｉｍｅ＝２の時のｘも記憶されているので、ｔｉｍｅ＝２の時のｘを始点として、（ｖ）の経路をシミュレーションしていく。このとき重みは１／２とし、ｔｉｍｅ＝３からｔｉｍｅ＝３０の間で記憶されている重みの１／２に足し合わせていくと、ここではｔｉｍｅ＝３０まで分岐しないので記憶されている重みは１となる。
【０１７９】
Ｔｉｍｅ＝３からｔｉｍｅ＝３０の間の（ｉｖ）のシミュレーション中のｘは不要なので、（ｖ）のシミュレーションのｘと置き換える。
【０１８０】
（ｖ）のシミュレーションが終了したとき、重みが１の２倍の２になっている時間までバックトラックすると、最初の重みが１なので、一致するところはない。探索は失敗となるが、探索の失敗が終了条件となる。
【０１８１】
この手法では、各時間におけるｘと重みを記憶させるだけでよく、終了した経路のｘと重みは不要なので、途中の分岐がいくら多くなっても必要なメモリは、時間ステップ数の２倍となる。
【０１８２】
スプリッティングによるモンテカルロシミュレーションの手順は、図３９のフローチャートに示したステップＳ１１〜Ｓ１７に示す処理である。ただし、ここでは対数正規分布に従ってサンプル経路を発生するとし、また、図３７と同じ条件でインポータンスを設定したものとする。
【０１８３】
ステップＳ１１では、ボラティリティσ、シミュレーションする時間の最大値ｔｍａｘ、試行回数Ｎｍａｘ、分岐をやめる重みの下限Ｗｍｉｎを決める。試行数を１とおく。
【０１８４】
ステップＳ１２では、初期設定として時間ｔを０とおき、経路Ｓの初期値を１とおく。重みＷを１とおき、インポータンスＩ０＝１とおく。そして重みと経路を記憶するメモリを０セットする。
【０１８５】
ステップＳ１３では、標準正規乱数ξを発生し、
【数６８】
2005044034.tif 000070
とする。
【０１８６】
ステップＳ１４では、時間ｔを１進め、経路ＳをＳｅｘｐ［ｄＳ］に更新する。更新された経路Ｓの領域インポータンス＝Ｉを見出し、分岐数＝Ｉ／Ｉ０とする。ただし、重みＷがＷｍｉｎよりも小さいときはその限りではない。更新された経路Ｓをメモリに記憶し、重みＷをメモリに加算する。そして、重みＷを分岐数で除算する。
【０１８７】
ステップＳ１５では、ｔ＜ｔｍａｘの間、ステップＳ１３とＳ１４を繰り返す。ｔ＝ｔｍａｘであれば、経路Ｓと重みＷを用いて統計処理する。
【０１８８】
ステップＳ１６では、重みを記憶したメモリを逆向きにたどり、重みが変わった時間を見出す。時間０まで戻っても見出せなければステップＳ１７の処理を行う。見出せれば、重みはそのままにしてステップＳ１５の処理を行う。
【０１８９】
ステップＳ１７では、試行数を１増やし、試行数がＮｍａｘより小さければ、ステップＳ１２〜Ｓ１６の手順を実施する。Ｎｍａｘ以上であれば最終結果を統計処理して終了する。
【０１９０】
以上、ステップＳ１１〜Ｓ１７の手順で、領域のインポータンスをすべて１とおくと、通常のスプリッティングを伴わないアナログモンテカルロとなる。
【０１９１】
スプリッティングを伴うモンテカルロシミュレーションと伴わないアナログモンテカルロとを比較する。図４０は、ｔｍａｘ＝５２，Ｎｍａｘ＝１００，０００で、対数正規分布に従い経路が時間とともに拡散していく問題である。図４０は、ｔ＝ｔｍａｘでの分布の確率密度関数を評価したもので、期待値が１で標準偏差が０．１の対数正規分布と一致する。記号▲はスプリッティングを伴った結果で、記号＊と○はスプリッティングを伴なわないアナログモンテカルロの結果である。記号○は、試行回数を２０倍の２，０００，０００にしたものである。
【０１９２】
スプリッティングを伴ったモンテカルロ法では、１．０＊１０−５程度の確率密度まで評価でき、アナログモンテカルロに比べて同じ試行回数で小さな確率密度まで評価できていることがわかる。試行回数を２０倍のアナログモンテカルロと同等な精度があることがわかる。
【０１９３】
スプリッティングの場合には、アナログモンテカルロと比べて、試行回数が同じでも経路数が増えるので、計算時間が長くなる。この例で計算時間を比較する。Ｎｍａｘ＝１００，０００のアナログモンテカルロの計算時間を１とすると、
【数６９】
2005044034.tif 000071
以上から、試行回数２０倍のアナログモンテカルロとスプリッティングしたモンテカルロの計算精度はほぼ等しいので、スプリィットすることで１０倍程度の高速化を達成できることがわかる。
【０１９４】
［第４の実施の形態］
次に、第４の実施の形態を説明するために、第３の実施の形態のシステムを多資産に拡張する方法について説明する。
【０１９５】
第３の実施の形態では、単一資産についてのスプリッティングについて説明し、スプリッティングが計算速度向上に効果的であることを示した。金融工学では、多資産のポートフォリオ問題がよく扱われ、多資産問題でもスプリッティングの手法が利用できれば、より効果的である。
【０１９６】
多資産問題への適用を説明する前に、ポートフォリオ問題に関するランダムウォークのモンテカルロシミュレーションについて説明する。
【０１９７】
まず、従来のポートフォリオ理論における原資産経路の生成法について説明する。Ｎ個の原資産がそれぞれ相関をもってランダムウォークすることを想定し、次のように表す。
【０１９８】
【数７０】
2005044034.tif 000072
ここで、ξｉ（Ｖ）は、期待値が０で、共分散行列Ｖに基づく多次元正規乱数である。これの乱数は相関を考慮しているので、たとえば、全て正の相関があれば、１つの乱数が正となれば全て正の乱数が出やすくなる。また、１つの乱数が大きければ、全ての乱数も相関係数の大きさに応じて大きな乱数が出やすくなっている。
【０１９９】
【数７１】
2005044034.tif 000073
ここで、Ｖは共分散行列、分母のｄｅｔ（Ｖ）は共分散行列Ｖの行列式である。共分散行列Ｖの成分は、
【数７２】
2005044034.tif 000074
となり、その性格は固有値が全て正の対称実行列でなければならない。また、統計的平均の性格から、
【数７３】
2005044034.tif 000075
となる。共分散行列Ｖは固有値が全て正の実対称行列であることから、その平方根行列Ｖ１／２が存在する。平方根行列は、
【数７４】
2005044034.tif 000076
を満足する行列である。共分散行列Ｖの逆行列は、
【数７５】
2005044034.tif 000077
である。したがって、
【数７６】
2005044034.tif 000078
となるので、
【数７７】
2005044034.tif 000079
とおくと、
【数７８】
2005044034.tif 000080
となり、Ｙは期待値が０で標準偏差が１のＮ個の正規乱数となる。従って、共分散行列Ｖに従う正規乱数Ｘは、標準正規乱数Ｙから、
【数７９】
2005044034.tif 000081
のようにＶの平方根行列の転置を標準正規乱数に作用させて求めることができる。
【０２００】
上の（３５）式は正規分布のみならず任意の分布に適用できる。
【０２０１】
相関のある多次元正規分布は、ランダム性を制限しているように見えるが、これは見かけの問題で実質的には無相関の問題と変わりはない。これを２変数の場合について説明する。二次元正規分布は、
【数８０】
2005044034.tif 000082
となる。ここで、μ１，μ２は、ｘ１，ｘ２の期待値、σ１，σ２は標準偏差、ρは相関係数である。この式を以下のように変数変換して変形していく。
【０２０２】
【数８１】
2005044034.tif 000083
【数８２】
2005044034.tif 000084
これは、ｘ１，ｘ２をμ１，μ２だけ平行移動し、それぞれの縮尺を
【数８３】
2005044034.tif 000085
に変えたことに相当する。
【０２０３】
次に、
【数８４】
2005044034.tif 000086
の変換を施すと、
【数８５】
2005044034.tif 000087
となり、単なる標準正規分布の積となる。これは、座標系を回転したことに相当する。すなわち、相関がある多次元分布の場合でも、確率変数を適当に変換すると相関のない確率変数に置き換えることができる。座標変換の様相は行列とベクトルを使って示すとわかりやすい。
【０２０４】
Ｎ次元の正規分布を行列とベクトルで表してみる。
【０２０５】
【数８６】
2005044034.tif 000088
ここで、μは期待値で、Ｖは共分散行列、分母のｄｅｔ（Ｖ）は共分散行列Ｖの行列式である。これを整理して、期待値との偏差のみを確率変数とする。すなわち、
【数８７】
2005044034.tif 000089
とおく。（４０）式は、
【数８８】
2005044034.tif 000090
となる。
【０２０６】
共分散行列Ｖは固有値が正で対称な実行列であるから、
【数８９】
2005044034.tif 000091
の関係がある。Ｑは直交行列で、
【数９０】
2005044034.tif 000092
となる。Λは固有値が対角成分に並び、非対角成分が全て０となる対角行列である。固有値が全て正であることから、Λは、
【数９１】
2005044034.tif 000093
と表すことができる。このことから、共分散行列Ｖは、その平方根行列Ｖ１／２を
【数９２】
2005044034.tif 000094
で定義できることがわかる。
【０２０７】
共分散行列Ｖの逆行列は、
【数９３】
2005044034.tif 000095
となり、Ｖの逆行列の平方根行列も
【数９４】
2005044034.tif 000096
となる。
【０２０８】
したがって、（４１）式は次の（４２）式
【数９５】
2005044034.tif 000097
となる。ここで、
【数９６】
2005044034.tif 000098
とおくと、
【数９７】
2005044034.tif 000099
となり、単なる標準正規分布の積となる。したがって、Ｎ個の標準正規乱数からなるベクトルＹを作成すれば、共分散行列Ｖで相関が定義された多次元正規乱数Ｘは、次の（４３）式で作成できる。
【０２０９】
【数９８】
2005044034.tif 000100
これが、相関のある乱数の生成法である。この（４３）式の関係は、正規分布のみに当てはまるわけではない。二次のモーメントが存在し、変動量が極端に大きくなければ、任意の確率密度にもあてはまる。したがって、指定した確率密度に従う乱数をＮ個作成すると共分散行列Ｖが与えられていれば、（４３）式に従って相関のある乱数を作成できる。
【０２１０】
Ｎが大きくなると、直交行列Ｑの作成が難しくなるが、（４３）式の演算法は幾つかある。現在、金融工学で一般的に用いられている方法は、Ｃｈｏｌｅｓｋｙ法による三角行列分解である。固有値が全て正で対称な正方実行列Ｖは、
【数９９】
2005044034.tif 000101
として、下三角行列Ｌとその転置ＬＴとの積で表すことができる。これは、
【数１００】
2005044034.tif 000102
となる。したがって、Ｎ個の独立な乱数から構成されるベクトルＹについて、
【数１０１】
2005044034.tif 000103
で生成されたベクトルＸの成分は、共分散行列Ｖによる相関の付いた乱数となっている。下三角行列Ｌを最も効率良く作成する方法がＣｈｏｌｅｓｋｅｙ法である。Ｃｈｏｌｅｓｋｙ法は、次のように表せる。
【０２１１】
【数１０２】
2005044034.tif 000104
以上の手順で、下三角行列Ｌを決定する。
【０２１２】
以上、述べたように、多資産問題は資産間の相関係数行列を対角化することで、無相関の問題に帰着させ、Ｎ資産をそれぞれ独立にシミュレーションするアルゴリズムと等価にしていることがわかる。
【０２１３】
多資産問題でスプリッティングさせる場合の問題点は、Ｎ個のランダムウォークの経路をどのように分岐させていくかにある。しかし、Ｎ個のランダムウォークも一まとめにして１個のランダムウォークに帰着させることができる。Ｎ資産を扱う場合には、Ｎ個の資産の価値の平均（例えば算術平均）に着目することが多い。何故ならば、多数の資産を組み合わせ、それらの価値の総和（又は平均）で資産価値を評価すると、リスクが減ることが知られているからである。
【０２１４】
【数１０３】
2005044034.tif 000105
で資産価値を評価することを想定する。この場合、第３の実施の形態の処理手順を、図４１及び図４２のフローチャートのように修正することで実現できる。
【０２１５】
以上、述べたように、Ｎ個の経路を一度に扱うことと、領域判定の基準にＮ個の資産価値の平均値に置き換えることで、単一資産のスプリッティングの手法をそのまま用いることができる。大きな違いとしては、単一資産では、必要なメモリが２ｔｍａｘであったが、多資産問題では、Ｎ個の経路があるので、（Ｎ＋１）ｔｍａｘのメモリが必要となる点である。
【０２１６】
【発明の効果】
以上のように請求項１及び１１の発明によれば、簡易かつ高速に派生商品価格を求めることができる。
【０２１７】
請求項２及び１２の発明によれば、各時間ステップでの価格分布を評価し、時間の最大値×サンプル数回のシミュレーション回数で確実に派生商品価格を評価できる。
【０２１８】
請求項３及び１３の発明によれば、一連の終値データを２日毎の終値データに編集し、前日と当日の終値に纏め上げ、前日の終値の分布、当日の終値の分布に換算し、前日の終値の分布と当日の終値の分布との相関から巨視的グリーン関数を評価することができる。
【０２１９】
請求項４及び１４の発明によれば、実際のマーケットの終値をもとにグリーン関数を評価する際に、Γ関数でモデル化することにより、巨視的グリーン関数記述に必要な記憶容量の低減を図れる。
【０２２０】
請求項５及び１５の発明によれば、Γ関数のパラメータの上限を設定することによって解の発散を防止し、システム運用の安定性を確保することができる。
【０２２１】
請求項６及び１６の発明によれば、衝突前の速度を固定した巨視的グリーン関数で平均化した速度の指数を次タイムステップの軌跡の変移を求める手段から得た軌跡の変移との差をとることにより、指数変換によって生じるドリフトを打ち消して価格分布のマルチンゲール性を確保し派生証券価格の無裁定性を確実に保障できる。
【０２２２】
請求項７及び１７の発明によれば、次タイムステップの軌跡の変移を求め次タイムステップに進める際に、インポータンス判定手段から領域のインポータンスを判定し、判定したインポータンスと移動前のインポータンスとの比だけ軌跡を分岐させ、通常はサンプリングされる確率が少ない領域でのサンプリングを選択的に増やすことで派生商品価格評価の計算効率を改善できる。
【０２２３】
請求項８及び１８の発明によれば、領域のインポータンス設定手段が軌跡の位置と価格の期待値との差の絶対値と事前に評価できる標準偏差の厳密値または近似値との比を切り上げた整数値の２の累乗を領域のインポータンスと決定する。
【０２２４】
請求項９及び１９の発明によれば、更新された経路を記憶装置に記憶し、重みを記憶装置に加算し、判定したインポータンスと移動前のインポータンスとの比だけ軌跡を分岐させる際に、時間の最大値まで経路を進める最中に、加算された重みを時間の進展順に記憶及び加算した記憶装置を時間の最大値まで経路を進めた後、時間の進展の逆向きにたどり、重みが変わった時間を見出せなければ、１回の試行の終了と判定し、見出せればその見出した時間に戻り、軌跡の記憶と重みを加算しつつ時間の最大値まで経路を進める処理を終了条件を満たすまで繰りして１回のサンプリングを終了させることにより、軌跡の分岐を実現することができる。
【０２２５】
請求項１０及び２０の発明によれば、多資産の軌跡の分岐を実現できる。
【図面の簡単な説明】
【図１】連続の式の説明図。
【図２】吸収項・衝突頻度の説明図。
【図３】散乱項・散乱核の説明図。
【図４】粒子散乱のモデル化の説明図。
【図５】吸収項と散乱項の作用説明図。
【図６】（６）式の説明図。
【図７】位置ｘｊ、時間ｔｉ＋１における上方向に運動する物質、下方向に運動する物質の量を説明する図。
【図８】（７），（８）式の説明図。
【図９】（９）式の説明図。
【図１０】（１０）式の説明図。
【図１１】（１２），（１３）式の説明図。
【図１２】対数空間と指数空間との間の変換の説明図その１。
【図１３】対数空間と指数空間との間の変換の説明図その２。
【図１４】対数空間と指数空間との間の変換の説明図その３。
【図１５】本発明の第１の実施の形態の機能ブロック図。
【図１６】グリーン関数を定義する（１３）〜（１５）式の説明図。
【図１７】フォッカー・プランク方程式のグリーン関数を定義する（１３’）〜（１５’）式、（１６），（１７）式の説明図。
【図１８】金融ボルツマン方程式のグリーン関数を定義する（１３”）〜（１５”）式、（１６’）式の説明図。
【図１９】ある株の３日間の値動きを示すグラフ。
【図２０】取引所開催時間帯だけである株の３日間の値動きを示すグラフ。
【図２１】取引所開催時間帯だけである株の３日間の値動きを、１日目の始値を基準にした相対的な値動きとして示すグラフ。
【図２２】図２１のグラフにおいて、１日目と２日目の組、２日目と３日目の組それぞれ２日間の組を示すグラフ。
【図２３】図２２のグラフにおいて、１日目と２日目の組、２日目と３日目の組それぞれ２日間の組を同じ時間軸上に描いたグラフ。
【図２４】図２３のグラフにおいて、各組の相対株価変動を各１日目の終値を基準にして描き直したグラフ。
【図２５】取引所開催時間帯だけである株の５日間の値動きを、１日目の始値を基準にした相対的な値動きとして示し、かつ２日目〜５日目それぞれについて前日と当日との２日間の組を示すグラフ。
【図２６】図２５のグラフにおいて、各２日間の組を同じ時間軸上に重ね、かつ各組の相対株価変動を各１日目の終値を基準にして描き直したグラフ。
【図２７】図２６のグラフに対して、１日目の始まりと２日目の終わりに各日の度数分布を描いたグラフ。
【図２８】本発明の第２の実施の形態の派生商品の価格評価システムの機能ブロック図。
【図２９】上記第２の実施の形態のシステムにおいて、ボルツマンモデルによる価格変動シミュレーション手段の実行するシミュレーション処理のフローチャート。
【図３０】図２９のシミュレーション処理において、確率密度の数値の決定方法を示す説明図。
【図３１】巨視的グリーン関数の各パラメータの設定方法を示す説明図。
【図３２】任意の多数の銘柄の３年分の終値を前日の収益の絶対値と当日の収益との対を作成し、前日の収益率の絶対値を０．５％毎にグループ化し、それぞれのグループで当日の収益の絶対値を０．５％毎に分けて数え上げた結果と、その結果を規格化した結果の表。
【図３３】図３２の右表を３次元プロットしたグラフ。
【図３４】（２６）式におけるパラメータＴ（Ｖ’）のとるグラフ。
【図３５】速度Ｖ’μ’，Ｖμと修正された速度Ｖμ（バー）の関係を示すグラフ。
【図３６】本発明の第２の実施の形態によるモンテカルロシミュレーションのフローチャート。
【図３７】本発明の第３の実施の形態によるスプリッティングの説明図。
【図３８】上記第３の実施の形態によるシミュレーションの経路の説明図。
【図３９】上記第３の実施の形態によるスプリッティングによるモンテカルロシミュレーションのフローチャート。
【図４０】上記第３の実施の形態によるスプリッティングによるモンテカルロシミュレーションの効果を示すグラフ。
【図４１】本発明の第４の実施の形態の多資産を対象とするスプリッティングによるモンテカルロシミュレーションのフローチャートその１。
【図４２】本発明の第４の実施の形態の多資産を対象とするスプリッティングによるモンテカルロシミュレーションのフローチャートその２。
【図４３】一般的なディーリングシステムのブロック図。
【図４４】図４３のディーリングシステムにおける理論計算部の機能構成を示すブロック図。
【符号の説明】
２０  派生商品の価格評価システム
２１  マーケットデータ入力手段
２２  分解能入力手段
２３  ボルツマン方程式離散化手段
２４  ボルツマン方程式解析手段
２５  派生商品価格評価手段
１００  ディーリングシステム
１０１  マーケットデータベース
１０２  市場実勢系演算部
１０３  理論計算部
１０５  ＧＵＩ
１２１  サンプル数・時間最大値入力手段
１２２  巨視的グリーン関数評価手段
１２３  領域のインポータンス設定手段
１２４  ボルツマンモデル解析手段
１２５  価格密度評価手段
１２６  派生商品価格評価手段
１３１  初期速度分布・方向分布入力手段
１３２  軌跡変移演算手段
１３３  インポータンス判定手段
１３４  軌跡分岐手段
【図１】
2005044034.tif 000106
【図２】
2005044034.tif 000107
【図３】
2005044034.tif 000108
【図４】
2005044034.tif 000109
【図５】
2005044034.tif 000110
【図６】
2005044034.tif 000111
【図７】
2005044034.tif 000112
【図８】
2005044034.tif 000113
【図９】
2005044034.tif 000114
【図１０】
2005044034.tif 000115
【図１１】
2005044034.tif 000116
【図１２】
2005044034.tif 000117
【図１３】
2005044034.tif 000118
【図１４】
2005044034.tif 000119
【図１５】
2005044034.tif 000120
【図１６】
2005044034.tif 000121
【図１７】
2005044034.tif 000122
【図１８】
2005044034.tif 000123
【図１９】
2005044034.tif 000124
【図２０】
2005044034.tif 000125
【図２１】
2005044034.tif 000126
【図２２】
2005044034.tif 000127
【図２３】
2005044034.tif 000128
【図２４】
2005044034.tif 000129
【図２５】
2005044034.tif 000130
【図２６】
2005044034.tif 000131
【図２７】
2005044034.tif 000132
【図２８】
2005044034.tif 000133
【図２９】
2005044034.tif 000134
【図３０】
2005044034.tif 000135
【図３１】
2005044034.tif 000136
【図３２】
2005044034.tif 000137
【図３３】
2005044034.tif 000138
【図３４】
2005044034.tif 000139
【図３５】
2005044034.tif 000140
【図３６】
2005044034.tif 000141
【図３７】
2005044034.tif 000142
【図３８】
2005044034.tif 000143
【図３９】
2005044034.tif 000144
【図４０】
2005044034.tif 000145
【図４１】
2005044034.tif 000146
【図４２】
2005044034.tif 000147
【図４３】
2005044034.tif 000148
【図４４】
2005044034.tif 000149