(57)【要約】【課題】本発明は、予め決められた構造モデルを基礎とし、その固有振動数が目標値に近づく方向にその構造モデルを要素単位で生長させる構造最適化方法において、モード追跡をしないにも拘わらず最適な構造を確実に導出することを目的とする。【解決手段】要素の増減に伴う前記固有振動数の変化の程度を示す第１評価値を前記構造モデルから抽出し（Ｓ１１）、その第１評価値に基づき前記構造モデルの補強すべき位置に要素を追加する追加手順（Ｓ１２，Ｓ２２）と、外力に応じて各要素に蓄積され得る歪みエネルギーの程度を示す第２評価値を前記構造モデルから抽出し（Ｓ１３）、その第２評価値に基づき前記構造モデルの軽量化可能な位置から要素を削除する削除手順（Ｓ１４，２４）とを反復実行する。【選択図】      図１
2005025554.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
予め決められた構造モデルを基礎とし、その固有振動数が目標値に近づく方向にその構造モデルを要素単位で生長させる構造最適化方法であって、
要素増減に伴う固有振動数の変化の程度を示す第１評価値を前記構造モデルから抽出し、その第１評価値に基づき前記構造モデルの補強すべき位置に要素を追加する追加手順と、
外力に応じて各要素に蓄積され得る歪みエネルギーの程度を示す第２評価値を前記構造モデルから抽出し、その第２評価値に基づき前記構造モデルの軽量化可能な位置から要素を削除する削除手順と
を反復実行することを特徴とする構造最適化方法。
【請求項２】
請求項１に記載の構造最適化方法において、
前記第２評価値は、
前記構造モデルの各固有振動モードの前記歪みエネルギーに対する寄与度の相違まで考慮した抽出手順を経て抽出される
ことを特徴とする構造最適化方法。
【請求項３】
請求項２に記載の構造最適化方法において、
前記抽出手順は、
前記構造モデルの各固有振動モードを規定する各固有ベクトルを、その構造モデルの剛性行列に関しそれぞれ正規化する手順と、
前記正規化された各正規化固有ベクトルと同等な各応答変位を前記構造モデルに生起させるために必要な静的な各外力をそれぞれ算出する手順と、
前記算出した各外力の大きさを均一化する手順と、
前記均一化された各外力に応じて前記構造モデルに生起する各応答変位をそれぞれ算出し、それら各応答変位の下でその構造モデルの各要素に蓄積され得る最大の歪みエネルギーをそれぞれ算出する手順と
を含むことを特徴とする構造最適化方法。
【請求項４】
予め決められた構造モデルを基礎とし、その固有振動数が目標値に近づく方向にその構造モデルを要素単位で生長させる構造最適化の処理をコンピュータに実行させる構造最適化プログラムであって、
要素増減に伴う固有振動数の変化の程度を示す第１評価値を前記構造モデルから抽出し、その第１評価値に基づき前記構造モデルの補強すべき位置に要素を追加する追加手順と、
外力に応じて各要素に蓄積され得る歪みエネルギーの程度を示す第２評価値を前記構造モデルから抽出し、その第２評価値に基づき前記構造モデルの軽量化可能な位置から要素を削除する削除手順と
を反復実行させることを特徴とする構造最適化プログラム。
【請求項５】
請求項４に記載の構造最適化プログラムにおいて、
前記第２評価値は、
前記構造モデルの各固有振動モードの前記歪みエネルギーに対する寄与度の相違まで考慮した抽出手順を経て抽出される
ことを特徴とする構造最適化プログラム。
【請求項６】
請求項５に記載の構造最適化プログラムにおいて、
前記抽出手順は、
前記構造モデルの各固有振動モードを規定する各固有ベクトルを、その構造モデルの剛性行列に関しそれぞれ正規化する手順と、
前記正規化された各正規化固有ベクトルと同等な各応答変位を前記構造モデルに生起させるために必要な静的な各外力をそれぞれ算出する手順と、
前記算出した各外力の大きさを均一化する手順と、
前記均一化された各外力に応じて前記構造モデルに生起する各応答変位をそれぞれ算出し、それら各応答変位の下でその構造モデルの各要素に蓄積され得る最大の歪みエネルギーをそれぞれ算出する手順と
を含むことを特徴とする構造最適化プログラム。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、予め決められた構造モデルを基礎とし、その固有振動数が目標値に近づく方向にその構造モデルを要素単位で生長させる構造最適化方法、及び構造最適化プログラムに関する。
【０００２】
【従来の技術】
動力学における構造最適化設計では、共振を防ぎ安全な構造の機械を設計するため、その機械の稼働時に予測される入力の振動数よりもその機械の固有振動数を十分に高めることが求められる。
一般に、構造最適化としては、様々な手法が提案されており、既に静力学においてはほぼ実用化できるレベルまで到達している（非特許文献１など）。
【０００３】
その静力学における最適化と並行して、動力学における最適化についても、均質化法、ＥＳＯ法、ＢＥＳＯ法などの研究が様々な角度から行われている（特許文献１，２，非特許文献２〜４など）。
因みにそれらの研究内容は、構造モデルの特定の固有振動数の変化に関する解析を主としたものである。
【０００４】
【特許文献１】
特開２００２−１８９７６０号公報
【特許文献２】
特開２００２−１４９７１７号公報
【非特許文献１】
金  祐永，  中原健志，  大熊政明，  「三次元構造物の自動最適化のための生長変形法の開発（第１報  基本アルゴリズムの開発と静力学最適化の基礎検討）」，日本計算工学論文集，２００２年，Ｐａｐｅｒ  Ｎｏ．２００２００１９
【非特許文献２】
ゼン−ドン他（Ｚｈｅｎｇ−Ｄｏｎｇ，  Ｎｏｂｏｒｕ  Ｋｉｋｕｔｉ，  Ｈｓｅｉｎ−Ｃｈｉｅ  Ｃｈａｎｇ），  「振動構造の位相設計（Ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ  ｄｅｓｉｇｎ  ｆｏｒ  ｖｉｂｒａｔｉｎｇ  ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ）」，  コンピュータ・メソド・イン・アプライド・メカニクス・アンド・エンジニアリング（Ｃｏｍｐｕｔｅｒ  Ｍｅｔｈｏｄｓ  ｉｎ  Ａｐｐｌｉｅｄ  Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ  ＆  Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ），  オランダ，１９９５年，Ｖｏｌ．１２１，  Ｎｏ．１−４，  ｐｐ．２５９−２８０
【非特許文献３】
ワイ・エム・シェイ他（Ｙ．Ｍ．  Ｘｉｅ，  Ｇ．Ｐ．  Ｓｔｅｖｅｎ），  「構造周波数最適化へのシンプルアプローチ（Ａ  Ｓｉｍｐｌｅ  Ａｐｐｒｏａｃｈ  ｔｏ  Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ  Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ  Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ）」，  コンピュータ・アンド・ストラクチャーズ（Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ  ＆  Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ），  オランダ，１９９４年，Ｖｏｌ．５３，  Ｎｏ．６，  ｐｐ．１４８７−１４９１
【非特許文献４】
エクス・ワイ・ヤン他（Ｘ．Ｙ．  Ｙａｎｇ，  Ｙ．Ｍ．  Ｘｉｅ，  Ｇ．Ｐ．  Ｓｔｅｖｅｎ，  Ｏ．Ｍ．  Ｑｕｅｒｉｎ），「進化法を用いた周波数のための位相最適化（  Ｔｏｐｏｌｏｇｙ  Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ  ｆｏｒ  Ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ  Ｕｓｉｎｇ  ａｎ  Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ  Ｍｅｔｈｏｄ）」，  ジャーナル・オブ・ストラクチュラル・エンジニアリング（Ｊｏｕｒｎａｌ  ｏｆ  Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ  Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ），  米国，１９９９年，Ｖｏｌ．１２５，  Ｎｏ．１２，  ｐｐ．１４３２−１４３８
【０００５】
【発明が解決しようとする課題】
しかしながら、そのような研究内容を適用すると、最適化の反復演算過程で固有振動モードの次数の入れ替わり（Ｍｏｄｅ  Ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ）が生じることが明らかになった。
【０００６】
このとき、構造モデルから要素を追加／削除（特に削除）する際の固有振動数の変動が激しくなる。
このため、構造モデルの生長の方向（形状変化の方向）が不安定になり、形状の収束に時間がかかったり、形状の収束判断が困難になったりする（収束問題）。
また、演算途中で構造モデルの剛性が悪くなり、全体のバランスが大きく崩れる可能性もある（脆弱問題）。
【０００７】
したがって、従来の最適化では、設計者によるモード追跡（ｍｏｄｅ−ｔｒａｃｋｉｎｇ）が必要であり、しかもモード追跡をしても最適な構造が求まるとは限らなかった。
そこで本発明は、モード追跡をしないにも拘わらず最適な構造を確実に導出することの可能な動力学における構造最適化方法及び構造最適化プログラムを提供することを目的とする。
【０００８】
【課題を解決するための手段】
請求項１に記載の構造最適化方法は、予め決められた構造モデルを基礎とし、その固有振動数が目標値に近づく方向にその構造モデルを要素単位で生長させる構造最適化方法であって、要素増減に伴う固有振動数の変化の程度を示す第１評価値を前記構造モデルから抽出し、その第１評価値に基づき前記構造モデルの補強すべき位置に要素を追加する追加手順と、外力に応じて各要素に蓄積され得る歪みエネルギーの程度を示す第２評価値を前記構造モデルから抽出し、その第２評価値に基づき前記構造モデルの軽量化可能な位置から要素を削除する削除手順とを反復実行することを特徴とする。
【０００９】
請求項２に記載の構造最適化方法は、請求項１に記載の構造最適化方法において、前記第２評価値は、前記構造モデルの各固有振動モードの前記歪みエネルギーに対する寄与度の相違まで考慮した抽出手順を経て抽出されることを特徴とする。
請求項３に記載の構造最適化方法は、請求項２に記載の構造最適化方法において、前記抽出手順は、前記構造モデルの各固有振動モードを規定する各固有ベクトルを、その構造モデルの剛性行列に関しそれぞれ正規化する手順と、前記正規化された各正規化固有ベクトルと同等な各応答変位を前記構造モデルに生起させるために必要な静的な各外力をそれぞれ算出する手順と、前記算出した各外力の大きさを均一化する手順と、前記均一化された各外力に応じて前記構造モデルに生起する各応答変位をそれぞれ算出し、それら各応答変位の下でその構造モデルの各要素に蓄積され得る最大の歪みエネルギーをそれぞれ算出する手順とを含むことを特徴とする。
【００１０】
請求項４に記載の構造最適化プログラムは、予め決められた構造モデルを基礎とし、その固有振動数が目標値に近づく方向にその構造モデルを要素単位で生長させる構造最適化の処理をコンピュータに実行させる構造最適化プログラムであって、要素増減に伴う固有振動数の変化の程度を示す第１評価値を前記構造モデルから抽出し、その第１評価値に基づき前記構造モデルの補強すべき位置に要素を追加する追加手順と、外力に応じて各要素に蓄積され得る歪みエネルギーの程度を示す第２評価値を前記構造モデルから抽出し、その第２評価値に基づき前記構造モデルの軽量化可能な位置から要素を削除する削除手順とを反復実行させることを特徴とする。
【００１１】
請求項５に記載の構造最適化プログラムは、請求項４に記載の構造最適化プログラムにおいて、前記第２評価値は、前記構造モデルの各固有振動モードの前記歪みエネルギーに対する寄与度の相違まで考慮した抽出手順を経て抽出されることを特徴とする。
請求項６に記載の構造最適化プログラムは、請求項５に記載の構造最適化プログラムにおいて、前記抽出手順は、前記構造モデルの各固有振動モードを規定する各固有ベクトルを、その構造モデルの剛性行列に関しそれぞれ正規化する手順と、前記正規化された各正規化固有ベクトルと同等な各応答変位を前記構造モデルに生起させるために必要な静的な各外力をそれぞれ算出する手順と、前記算出した各外力の大きさを均一化する手順と、前記均一化された各外力に応じて前記構造モデルに生起する各応答変位をそれぞれ算出し、それら各応答変位の下でその構造モデルの各要素に蓄積され得る最大の歪みエネルギーをそれぞれ算出する手順とを含むことを特徴とする。
【００１２】
【発明の実施の形態】
以下、本発明の実施形態について説明する。
本実施形態は、構造最適化方法の実施形態である。
図１は、本実施形態の最適化アルゴリズムのフローチャートである。
図１に示すように、本実施形態の構造最適化では、多数の微小要素の結合で小規模な基礎的構造モデルを作成し（ステップＳ０）、その構造モデルに対し要素を追加／削除する反復演算を施し（ステップＳ１，Ｓ２）、その固有振動数が目標振動数（加振力の周波数から十分に離れた高い値）となるような最適なトポロジー（位相）及び寸法にその構造モデルを生長させる。
【００１３】
先ず、この最適化において要素を追加／削除するときの指針となる評価値、及びその評価値の抽出方法（ステップＳ１１，Ｓ１３）について説明し、その後に、それら評価値に基づく最適化アルゴリズムの全体について説明する。
なお、本実施形態の最適化方法は、予めコンピュータプログラムに書き込まれ、コンピュータによって実行されるものである。
【００１４】
［評価値］
要素を追加／削除するに当たっては、構造モデルの固有振動数をなるべく少ない反復回数で目標振動数以上に上昇させるために、構造改善効果が高くなるような最適な追加位置／削除位置を構造モデルから探すことが重要である。
本実施形態では、要素追加時の指標である第１評価値と、要素削除時の指標である第２評価値とに、互いに異なる評価値を用いる。
【００１５】
＜第１評価値＞
第１評価値には、要素増減に伴う固有振動数の変化（感度）を採用する。ここでは、レーリー商を用いた近似感度を採用する。
この第１評価値の構造モデルからの抽出方法は、次のとおりである。
先ず、レーリー商とは、構造モデルの剛性行列［Ｋ］、質量行列［Ｍ］、及び構造モデルのｋ次固有振動モードを規定する固有ベクトル｛Φｋ｝（固有値解析により求まる）を用いて、その固有振動モードの固有値λｋが、
【数１】
2005025554.tif 000003
と表される式である。式（１）の分子と分母はそれぞれモード剛性とモード質量を表す。
【００１６】
また、これらは剛性行列、質量行列を係数行列とする固有振動モードの二次形式であるので、振動変位と振動速度がその大きさである場合の弾性エネルギー、運動エネルギーの二倍であるとみなすこともできる。
【００１７】
要素番号ｉの剛性行列を［Ｋｅ，ｉ］、質量行列を［Ｍｅ，ｉ］とし、構造モデルのｋ次固有振動モードからその要素を構成する節点に対応した値を抜き出した部分モードを要素の固有振動モードとし固有ベクトル｛Φｅ，ｋ，ｉ｝で表すと、ｋ次固有振動モードでの要素の弾性エネルギーＳｋ，ｉと運動エネルギーＴｋ，ｉは、
【数２】
2005025554.tif 000004
【数３】
2005025554.tif 000005
と表される。
【００１８】
ｋ次固有振動モードでの構造モデル全体の弾性エネルギーＬｋ、運動エネルギーＥｋは、全要素数がＮ個の場合、以下のように表される。
【数４】
2005025554.tif 000006
【数５】
2005025554.tif 000007
これらの式（１）、（４）、（５）を用いると、
【数６】
2005025554.tif 000008
と表すことができる。
【００１９】
したがって、固有値λｋが各要素の弾性エネルギーの総和と運動エネルギーの総和の比で表されることが分かる。
ここで、要素番号ｉの要素を削除したときの固有値λｋの変化Δλｋ，ｉは、構造モデルの弾性エネルギー及び運動エネルギーからそれぞれ要素の弾性エネルギーと運動エネルギーを差し引いて計算されるレーリー商と、元の固有値との差によって、近似的に式（７）のように表すことができる。
【数７】
2005025554.tif 000009
この式（７）で表される、固有振動数変化に関する近似的な感度Δλｋ，ｉを、第１評価値とする。
このようにして抽出された第１評価値の相対的に低い（Δλｋ，ｉ≪０となる）ような要素の周りが、最適な追加位置として選ばれる。
したがって、削除されると構造モデルの固有振動数を低下させてしまうような要素の周りに要素が追加され、構造モデルが補強されることとなる。
＜第２評価値＞
従来例（非特許文献３，４など）の最適化では、要素追加時だけでなく要素削除時にも上述した第１評価値（式（７））が用いられている。
【００２０】
すなわち、従来例の最適化における最適な追加位置は、第１評価値が相対的に高い（Δλｋ，ｉ≫０となる）ような要素の位置とされていた。
しかし、このような従来例によると、上述したような収束問題や脆弱問題が生じ得るということが解かった。
そこで、本実施形態の最適化では、第２評価値に、構造モデルの各要素が蓄積し得る歪みエネルギーを採用する。
【００２１】
しかも、その第２評価値は、歪みエネルギーに対する各固有振動モード間の寄与度の相違を考慮した値とされる。
すなわち、同じエネルギーの振動でも固有振動数が低い振動ほど構造モデルの変位が大きくなることや、低い固有振動数成分ほど系全体の現象を支配し、振動の基本的性質を決め易いことを考慮した値である。
【００２２】
この第２評価値の構造モデルからの抽出方法は、以下のとおりである。
図２は、第２評価値の抽出方法の手順（図１のステップＳ１３）のフローチャートである。
先ず、式（８）のように剛性行列に関して正規化された固有ベクトル｛Φ＊ｒ｝を求める（ステップＳ１３２）。なお、固有ベクトル｛Φｒ｝は、固有値解析（ステップＳ１３１）により求まる。
【数８】
2005025554.tif 000010
この正規化された固有ベクトル｛Φ＊ｒ｝を静解析における変位（静的な仮想外力による応答変位）だとみなし、式（９）の釣合い式を用いてその応答変位を実現するような仮想外力ベクトル｛ｆｒ｝を求める（ステップＳ１３３）。
【数９】
2005025554.tif 000011
なお、［Ｋ］は構造モデルの剛性行列である。
【００２３】
ここで、求まったこの仮想外力ベクトル｛ｆｒ｝の大きさは、この構造モデルの各次の弾性エネルギーを等しくさせるような大きさである。
そこで、仮想外力ベクトル｛ｆｒ｝の大きさが低次固有振動モード（振動の基本的な性質を決定するモード）に必要な仮想外力ベクトルの大きさに揃うように、式（１０）でスケーリングする（ステップＳ１３４）。
【００２４】
なお、式（１０）のスケーリングの基準は、反復回数１のとき、又は最新の反復計算で求まった仮想外力ベクトルの大きさ‖ｆｐ‖とする（静解析では、構造モデルに対する外力の大きさを反復過程で一定とみなすので。）。ここで、ｐは、注目する変更対象の固有振動数の次数を表す。
【数１０】
2005025554.tif 000012
次に、スケーリングされた仮想外力ベクトル｛ｆｒ｝ｎｅｗに応じて構造モデルに生じる応答変位｛Φ＊ｒ｝ｎｅｗを、式（１１）により求める。
【００２５】
さらに、求めた応答変位｛Φ＊ｒ｝ｎｅｗから、その応答変位の下で各要素が蓄積する歪みエネルギー（＝０．５×弾性エネルギー）を、各次（１〜ｎ次）の固有振動モード毎に求める（式（１２））。
【数１１】
2005025554.tif 000013
【数１２】
2005025554.tif 000014
なお、［Ｋｅ，ｉ］と｛Φ＊ｅ，ｒ，ｉ｝ｎｅｗは、それぞれ要素番号ｉの要素の剛性行列及びｒ次の固有振動モードの固有ベクトルである。
【００２６】
そして、要素に着目し、その要素が各応答変位の下で蓄積し得る最大の歪みエネルギー（寄与度最大の固有振動モードにおける歪みエネルギー）を式（１３）のように求める。
これを各要素について行い、要素毎に求まった歪みエネルギーを、第２評価値とする。
【数１３】
2005025554.tif 000015
このようにして抽出された第２評価値の相対的に低い（歪みエネルギーが相対的に低い）ような要素の位置が、最適な削除位置として選ばれる。
したがって、削除されても構造モデルの固有振動数を低下させにくいような要素が削除され、構造モデルが軽量化されることとなる。
［アルゴリズム］
図１のステップＳ０では、設計空間、材料の機械的性質、境界条件、目標振動数、必要に応じて削除禁止要素などの各条件の入力を設計者に促す。設計者が各条件を入力すると、その各条件の下で基礎的構造モデルを多数の微小有限要素の結合で作成する。
【００２７】
そして、効率的な生長を図るため、その構造モデルをステップＳ１，Ｓ２の２段階の生長段階を経て生長させる。
ステップＳ１は、要素の追加数を削除数より多くして構造モデルの固有振動数を上昇させる「増加期」、ステップＳ２は、要素の追加数より削除数を少し多くして構造モデルを徐々に軽量化する「減少期」である。
【００２８】
＜増加期（ステップＳ１）＞
増加期（ステップＳ１）では、構造モデルから第１評価値を抽出し（ステップＳ１１）、その第１評価値に基づき構造モデルの補強すべき位置に要素を追加する（ステップＳ１２）。
このステップＳ１２における追加要素数は全体要素数の１〜２％以内に設定される。
【００２９】
続いて、構造モデルから第２評価値を抽出し（ステップＳ１３、図２）、その第２評価値に基づき構造モデルの軽量化可能な位置から要素を削除する（ステップＳ１４）。
このステップＳ１４における削除要素数は直前のステップＳ１２における追加要素数の半分程度に設定される。
【００３０】
さらに、これらのステップＳ１１、Ｓ１２、Ｓ１３、Ｓ１４は、後に実行される減少期（ステップＳ２）での設計の自由度を確保するため、構造モデルの最低次の固有振動数が目標振動数よりも高い上限値（目標振動数のα倍（α＝１．０５〜１．５０））に上昇する（ステップＳ１７ＹＥＳとなる）まで反復実行される。
なお、ステップＳ１４における要素削除により構造モデルの破壊が起きることが判明した場合（ステップＳ１５ＹＥＳ）には、その削除を省略する（ステップＳ１６）。
【００３１】
以上、増加期（ステップＳ１）では、不必要な要素が少しずつ削除されながら全体として要素が増加していく。第１評価値の抽出（ステップＳ１１）で用いられる式は近似式（式（７）参照）であるので、要素の追加がこのように不必要な要素を削除しながら行われることが好ましい。
＜減少期（ステップＳ２）＞
減少期（ステップＳ２）でも、構造モデルから第１評価値を抽出し（ステップＳ１１）、その第１評価値に基づき構造モデルの補強すべき位置に要素を追加する（ステップＳ２２）。
【００３２】
このステップＳ２２における追加対象位置は、第１評価値が最小値となるような要素の位置とされる。
続いて、構造モデルから第２評価値を抽出し（ステップＳ１３、図２）、その第２評価値に基づき構造モデルの軽量化可能な位置から要素を削除する（ステップＳ２４４）。
【００３３】
このステップＳ２４における削除要素数は直前のステップＳ１２における追加要素数よりも１多い程度に設定される。
さらにこれらステップＳ１１、Ｓ２２、Ｓ１３、Ｓ２４は、構造モデルの最低次の固有振動数が目標振動数に収束するまで（ステップＳ２７ＹＥＳとなるまで）反復実行される。
【００３４】
なお、この減少期（ステップＳ２）において、要素削除により構造モデルの破壊が起きることが判明した場合（ステップＳ１５ＹＥＳ）には、その削除を省略して（ステップＳ１６）、その時点で終了する。
なお、本実施形態の最適化方法は、コンピュータによって実行されるとして説明したが、上述したステップＳ０における基礎的構造モデルの作成の一部又は全部については、設計者が自ら行ってもよい。
【００３５】
【実施例】
以下、本実施形態を片持ち梁構造モデルに適用した第１実施例、及び、本実施形態を橋構造モデルに適用した第２実施例を順に説明する。
なお、第１実施例、第２実施例と共に、比較のため、従来例として、それら実施例と同一条件で「要素の追加と削除との双方に第１評価値を用いた解析例」を示した。
【００３６】
また、第１実施例、第２実施例の各構造モデルの材料特性値は、ヤング率Ｅ＝６８．６ＧＰａ、密度ρ＝２７００ｋｇ／ｍ３、ポアソン比ν＝０．３３であり、その構造モデルを構成する要素のサイズ及び形状は、０．０１ｍ×０．０１ｍ×０．０１ｍの立方体とした。
また、構造モデルの固定は全て完全固定とし、第２評価値の抽出時に想定するモード数ｎは１０とした。
【００３７】
［第１実施例（片持ち梁構造）］
本実施例は、図３に示すような０．１ｍ×０．０２ｍ×０．０１ｍの片持ち梁を基礎的構造モデルとした解析例である。
この構造モデルの固有振動数の目標値（ここでは最低次の固有振動数の目標値とする。すなわち、ｐ＝１とする。）、その上限値を規定する係数αは、８０００Ｈｚ，１．１にそれぞれ設定した。また、この構造モデルの長手方向の初期長さを保つため、先端の二つの要素を削除禁止要素とした。また、設計範囲を０ｍ≦Ｘ≦０．１ｍの範囲に制限し、ＹＺ平面に対しては無制限とした。また、Ｘ＝０ｍにおける固定領域を０．１ｍ×０．０９ｍに設定した。
【００３８】
先ず、図４に、従来例で得られた最適構造モデル、図５に、本実施例で得られた最適構造モデルを示す。
なお、図４（ｂ）は、図４（ａ）のＸ方向各位置における断面形状（ＬＡＹＥＲ１〜ＬＡＹＥＲ９）、図５（ｂ）は、図５（ａ）のＸ方向各位置における断面形状（ＬＡＹＥＲ１〜ＬＡＹＥＲ９）を示す図である。
【００３９】
図４（ａ），図５（ａ）を比較すると明らかなように、従来例の最適構造モデルの外見と本実施例の最適構造モデルの外見とは、類似している。
しかし、図４（ｂ），図５（ｂ）を比較すると明らかなように、従来例の最適構造モデルは内部の要素が何ら削除されていないのに対し、本実施例の最適構造モデルの内部の要素は、削除されていることが分かる。
【００４０】
なぜなら、要素の削除時に第１評価値を用いた従来例では、構造モデルの全般的な剛性が考慮されないため、削除対象が構造モデルの先端部分のみとなったのに対し、要素の削除時に第２評価値を用いた本実施例では、構造モデルの全般的な剛性が考慮されるため、構造モデルの先端以外の部分までもが削除対象となったからである。
【００４１】
因みに、従来例では、全ての反復演算において構造モデルの固定部と連結されている部分と先端部分間の構造破壊が発生し、減少期（ステップＳ２）に移行しても要素削除が実行されないまま演算が終了してしまった（脆弱問題が発生した。）。
一方、本実施例では、反復演算の最初から構造モデルの構造破壊はほとんど発生せず、また、減少期（ステップＳ２）に移行しても構造モデルの構造破壊は発生しなかった（脆弱問題は発生しなかった。）。
【００４２】
因みに、本実施例の最適構造モデルは、増加期（ステップＳ１）において固有振動数が上限値に達したときの構造モデル（要素数：１６２個、反復回数：９）よりも、さらに軽量化された形（要素数：１３４個、反復回数：２９）となった。
図６は、本実施例の反復演算過程における構造モデルの固有振動数変化を示す図である。
【００４３】
図６に示したように、本実施例では、反復演算過程の全般において固有振動数の変動が滑らかであったため、演算終了判定も容易であった（収束問題は発生しなかった。）。
［第２実施例（橋構造）］
第２実施例は、図７（ａ），（ｂ）に示すような橋構造モデルを基礎的構造モデルとした解析例である。
【００４４】
このうち最適化の対象は、橋中央の橋脚部分（以下、柱構造という。）のみとした。両端固定された板状部分（以下、板構造という。）の要素は、削除禁止要素とした。また、両端の節点と柱構造の下段の四角領域で固定した。
また、この構造モデルの固有振動数の目標値（ここでは最低次の固有振動数の目標値とする。すなわち、ｐ＝１とする。）、その上限値を規定する係数αは、４０００Ｈｚ，１．０５にそれぞれ設定した。
【００４５】
先ず、基礎的構造モデルの１次、２次の固有振動モードでは、図８（１），（２）に示すように板構造の曲げモードが支配的であり、３次の固有振動モードでは、（３）に示すように、柱構造のＹ方向に対する曲げモードが支配的である。
構造モデルの最低次固有振動モードがこれら図８（１）又は図８（２）のようなモードである場合は、柱構造はＸＺ平面に対してＶ字の形態（以下、「Ｖ形態」という。）で生長する傾向を見せる。
【００４６】
また、最低次固有振動モードが図８（３）のようなモードである場合は、ＹＺ平面に対してΛ字の形態（以下、「Λ形態」という。）で生長する傾向を見せる。
先ず、従来例で得られた最適構造モデルと、従来例の反復演算過程における固有振動数変化とを、それぞれ図９、図１０に示す。
【００４７】
従来例では、固有振動モードの次数の入れ替わりにより評価値（ここでは、最低次の固有振動モードに対する評価値である。）が急変化し、反復演算過程でＶ形態の構造モデルがしばしばΛ形態に入れ替わり、図１０に示すとおり固有振動数の変動が激しくなる現象が観察された（反復回数１１回目→１２回目、１５回目→１６回目、２２回目→２３回目）。
【００４８】
この現象は、構造モデルにおいてそれまで重要な位置とされていた要素が、固有振動モードの次数の入れ替わりによって突然、不必要であると判断され、削除されてしまったことから起こるものである。この現象が頻繁に起こると、収束問題が発生する。
次に、本実施例で得られた最適構造モデルと、本実施例の反復演算過程における固有振動数変化とを、それぞれ図１１、図１２に示す。また、図１３には、本実施例で得られた最適構造モデルの各次の固有振動数とそのモード形を示す。
【００４９】
本実施例でも、固有振動モードの次数の入れ替わりが頻繁に起こった。
具体的に図１３と図８とを比較すると、本実施例では、基礎的構造モデルの３次固有振動モード（図８（３））が、最適構造モデルの最低次の固有振動モード（図１３（１））に入れ替わっているのが分かる。また、他の次数の固有振動モードについても同様に、固有振動モードの次数の入れ替わりが起こっているのが分かる。
【００５０】
しかしながら、本実施例では、上述した第２評価値を用いているので、評価値が急変化することはなく、図１２に示すように固有振動数が急変することはなく、その変化は緩やかなままであった（収束問題は発生しなかった。）。
また、本実施例では、反復回数及び最適構造モデルを構成する要素数が従来例より減少されており、最適構造モデルは、図１１に示すようにＶ形態とΛ形態の生長がより明確に現れた頑丈な構造となった。
【００５１】
【発明の効果】
以上説明したとおり本発明によれば、モード追跡をしないにも拘わらず最適な構造を確実に導出することの可能な動力学における構造最適化方法及び構造最適化プログラムが実現する。
【図面の簡単な説明】
【図１】本実施形態の最適化アルゴリズムのフローチャートである。
【図２】第２評価値の抽出方法の手順（図１のステップＳ１３）のフローチャートである。
【図３】第１実施例の基礎的構造モデルを示す図である。
【図４】従来例で得られた最適構造モデルを示す図である（（ｂ）は（ａ）のＸ方向各位置における断面形状を示す図である。）。
【図５】第１実施例で得られた最適構造モデルを示す図である（（ｂ）は（ａ）のＸ方向各位置における断面形状を示す図である。）。
【図６】第１実施例の反復演算過程における構造モデルの固有振動数変化を示す図である。
【図７】第２実施例の基礎的構造モデルを示す図である（（ｂ）は（ａ）の断面図である。）。
【図８】第２実施例の基礎的構造モデルの各次の固有振動数とそのモード形を示す図である（（１），（２），（３），（４）にそれぞれ１次、２次、３次、４次の固有振動数とそのモード形を示した。）。
【図９】従来例で得られた最適構造モデルを示す図である（（ｂ）は（ａ）の断面図である。）。
【図１０】従来例の反復演算過程における固有振動数変化を示す図である。
【図１１】第２実施例で得られた最適構造モデルを示す図である（（ｂ）は（ａ）の断面図である。）。
【図１２】第２実施例の反復演算過程における固有振動数変化を示す図である。
【図１３】第２実施例で得られた最適構造モデルの各次の固有振動数とそのモード形を示す図である（（１），（２），（３），（４）にそれぞれ１次、２次、３次、４次の固有振動数とそのモード形を示した。）。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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