(57)【要約】    【課題】  時間遅れ系の不安定振動とそれに起因するパターン形成現象の発生を抑制すること。    【解決手段】  本発明では、回転機械の全回転数域における時間遅れ系の不安定振動の発生を低減させる動吸振器を前記回転機械に連設することにした。また、回転機械の回転ロールが線圧の下で接触を保持しながら回転する接触回転系に、この接触回転系の全回転数域における時間遅れ系の不安定振動の発生を低減させる動吸振器を連設することにした。さらには、線形時間遅れ系の特性方程式に基づいてモード解析と安定判別とを行って、動吸振器の質量、剛性係数、減衰係数を決定することにした。【選択図】      図８
2005234952.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
回転機械の全回転数域における時間遅れ系の不安定振動の発生を低減させる動吸振器を前記回転機械に連設することによって、前記回転機械での時間遅れ系の不安定振動とそれに起因するパターン形成現象の発生を抑制することを特徴とする制振方法。
【請求項２】
回転機械の回転ロールが線圧の下で接触を保持しながら回転する接触回転系に、この接触回転系の全回転数域における時間遅れ系の不安定振動の発生を低減させる動吸振器を連設することによって、前記接触回転系での時間遅れ系の不安定振動とそれに起因するパターン形成現象の発生を抑制することを特徴とする制振方法。
【請求項３】
前記動吸振器は、線形時間遅れ系の特性方程式に基づいてモード解析と安定判別とを行って、質量、剛性係数、減衰係数を決定することを特徴とする請求項１又は請求項２に記載の制振方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、制振方法に関するものであり、特に動吸振器を用いた制振方法に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
従来より、機械システムの中には、一定の線圧の下で他の被接触系との接触を保持しながらロールが回転するような接触回転系の回転機械が多く存在している。具体例としては、抄紙機の種々のロール系、製鉄機械の圧延ロールやテンションレベラ、繊維機械の紡糸機、工作機械の研削砥石等が挙げられる。
【０００３】
このような接触回転系では、接触面に多角形状のパターンが形成され、その自励的な成長に伴い大きな振動を引き起こし、製品の品質の悪化を招いたり、場合によっては機械の正常な運転を妨げるといった問題が発生している。
【０００４】
すなわち、接触回転系では、粘弾性変形、塑性変形、切削、研削、摩耗等が原因となって系自身の構成要素に変形が生じ、その成長に伴って系全体に大きな振動を引き起こす現象がしばしば生じる。このような現象が発生すると、ロールの表面には周期的な変形パターンが形成されることが多い。これを接触回転系におけるパターン形成現象（あるいは多角形化現象）と呼ぶ。このパターン形成現象が発生すると、製品の品質の悪化を招いたり、機械の正常な運転を妨げたりすることがある。
【０００５】
このような接触回転系における多角形化現象の発生事例は、抄紙機のプレスロール、繊維機械のワインダ、圧延機ロールなど多岐にわたり、変形形態も粘弾性変形、塑性変形、摩耗など様々である。
【０００６】
これまでの研究より、あるクラスの問題に対してはその発生メカニズムを線形時間遅れに起因する不安定自励振動と捉えることによって解析を行うことが可能となった（非特許文献１〜非特許文献３参照。）。
【０００７】
そこで用いられる解析手法は、線形時間遅れ系の特性方程式より特性根を求めて安定判別を行う方法である。この方法は、計算過程が多少煩雑ではあるが、系のパラメータ毎に不安定振動の発生領域を予測する方法としては十分に実用的である。さらに、非特許文献２や非特許文献３においては、モード毎の不安定度を表すスカラー値であるエネルギー指数を導入することにより、特性根を直接求めることなく近似的な系の安定判別を可能とする簡易安定判別法の定式化が行われている。
【非特許文献１】末岡ほか7 名、ゴム巻きロールの多角形化現象、日本機械学会論文集(C編)、59-563、pp．2078-2085、1993
【非特許文献２】近藤・宗和、接触回転系におけるパターン形成現象（第1報、エネルギー指数を用いた簡易安定判別法と防止対策）、日本機械学会論文集(C編)、67-659、pp．2121-2128、2001
【非特許文献２】近藤・宗和、接触回転系におけるパターン形成現象（第2報、簡易安定判別法による多自由度ロール系の設計法）、日本機械学会論文集(C編)、67-659、pp．2129-2135、2001
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００８】
従来においては、上述した手法を利用して、時間遅れ系における不安定振動の防止対策を種々行っていたが、その方法は、系の構造や使用回転数を変更して不安定振動の発生する領域を避けるものであり、生産性等の観点からは必ずしも最適な方法とは言い難い。
【０００９】
また、紡糸機や製紙機の巻き取りロールのように製品の生産が進行するにつれて回転体の径が増加し回転速度を広範囲で変化させる場合には、すべての範囲で系を安定化させることは困難となる。
【００１０】
これまでの本発明の発明者らの研究によれば、広範な分野の回転機械で発生するパターン形成現象が、線形時間遅れ系の不安定振動に起因するものとして統一的に捉えられることが明らかになった。その最大の特徴は、系の固有角振動数をω0、パターンの角形数をｎ（正整数）とするとき、ω0／ｎを満足する複数の回転数領域でｎ角形のパターン形成現象が発生するということであり、また、本質的には自励振動が原因であるので、系の減衰が増加すると現象は発生しなくなるということである。
【００１１】
そのため、従来においては、系の構造（固有振動数ω0）や使用回転数等を変更することによって不安定振動の発生領域を避けるとか、何らかの方法で系の減衰を増加させて使用回転数範囲内の不安定領域を消滅させるといった対策がとられてきた。
【００１２】
しかしながら、系の構造または運転条件を変更することや効果的な減衰を付加することは容易ではなく、生産性や経済的な見地からも得策ではない。
【００１３】
また、使用回転数が大きく変化するような回転機械では、広い回転数範囲で完全に安定化を図るのは非常に困難であった。
【課題を解決するための手段】
【００１４】
そこで、請求項１に係る本発明では、回転機械の全回転数域における時間遅れ系の不安定振動の発生を低減させる動吸振器を前記回転機械に連設することによって、前記回転機械での時間遅れ系の不安定振動とそれに起因するパターン形成現象の発生を抑制することにした。
【００１５】
また、請求項２に係る本発明では、回転機械の回転ロールが線圧の下で接触を保持しながら回転する接触回転系に、この接触回転系の全回転数域における時間遅れ系の不安定振動の発生を低減させる動吸振器を連設することによって、前記接触回転系での時間遅れ系の不安定振動とそれに起因するパターン形成現象の発生を抑制することにした。
【００１６】
また、請求項３に係る本発明では、前記請求項１又は請求項２に係る本発明において、前記動吸振器は、線形時間遅れ系の特性方程式に基づいてモード解析と安定判別とを行って、質量、剛性係数、減衰係数を決定することにした。
【発明の効果】
【００１７】
そして、本発明によれば、１個の動吸振器を用いて回転機械における時間遅れ系の不安定振動とそれに起因するパターン形成現象の発生を容易に抑制することができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１８】
以下に、本発明に係る制振方法について説明する。なお、以下の説明では、まず動吸振器を付加していない接触回転系についての時間遅れ系における不安定振動の解析について説明し、その後、動吸振器を付加した接触回転系についての時間遅れ系における不安定振動の解析について説明する。
【００１９】
まず、動吸振器を付加していない接触回転系についての時間遅れ系における不安定振動の解析について説明する。
【００２０】
図１は、時間遅れを伴う１自由度系の解析モデルを示す。このモデルは、製品が駆動ロールに巻き取られ、それに伴い駆動ロールの外径が徐々に増加するものである。
【００２１】
製品が送られる速度ｖｐは一定であるため、駆動ロールの角速度ωdは周速が一定となるように制御される。すなわち、駆動ロールの外径が増加するに従い角速度ωdは次第に遅くなる。また、製品の巻き取り状態を良好にするために、駆動ロールは巻き取り部分でコンタクトロールと接触しており一定の圧縮荷重Ｐ0が作用した状態で回転している。コンタクトロールは製品の速度に応じて一定角速度ωcで回転している。
【００２２】
駆動ロールは基礎に対して剛に取り付けられており自由度を持たないが駆動ロール自身の不釣り合いによりわずかに振動しているため、基礎励振として振幅ａd、角速度ωdの調和強制変位が作用しているものとする。一方、コンタクトロールは剛性係数ｋcのばねおよび減衰係数ccの減衰器からなる支持要素によって基礎に取り付けられており、図１の垂直方向にのみに運動する１自由度系である。
【００２３】
駆動ロールの表面は製品を巻き取るにつれて粘弾性の特性を持つようになり、コンタクトロールとの接触時に生じる変形の大部分は駆動ロールが１周期回転する間に回復するが、残留変形量は一周期後再び接触部を通過する際に強制変位としてフィードバックされる。この時間遅れの影響により、系が不安定となり自励振動が発生するとともに、駆動ロール表面に多角形状のパターンが生じる。
【００２４】
前述した非特許文献１〜３と同様に駆動ロール表面の粘弾性特性は、剛性係数ｋEのばねからなる瞬時弾性変形部および剛性係数ｋVのばねと減衰係数cVの減衰器からなる遅延弾性変形部の２つの部分から構成される３要素モデルで表す。コンタクトロールの支持要素および瞬時弾性変形部には非線形性を付加するものとする。支持要素のばねには変位の２乗および３乗に比例する項、瞬時弾性変形部のばねには変位の３乗に比例する項のみを付加し、支持部の減衰器に関しては速度に変位の２乗に比例する値を乗した項を付加するものとし、振幅の増加に伴い非線形性が増加する特徴を表す。
【００２５】
駆動ロールの角速度ωdは時間と共に変化するがその変化率はわずかであり、瞬間的にはその影響は無視できる程度である。そこで、時間ｔが大きく変化しない間ではωdは一定であるものとして数値シミュレーションを行う。
【００２６】
系の初期静的平衡状態からのコンタクトロール（質量ｍc）の変位をｘ＝ｘ(t)、瞬時弾性変形部と遅延弾性変形部の境界の仮想的な変位をｚ＝ｚ(t)とすると、遅延弾性変形部の残留変形量による時間遅れの影響を考慮して運動方程式を求めると次の式(1)を得る。
【００２７】
【数１】
2005234952.tif 000003
【００２８】
ここに、
【００２９】
【数２】
2005234952.tif 000004
【００３０】
であり、式中の「・」はd/dtを表す。また、ｕ＝ｕ(t)は遅延弾性変形部の変形量、εは残留変形のフィードバック率でありαは駆動ロール表面の回復特性指数、Ｔd（＝2π/ωd）は駆動ロールの回転周期である。βおよびγはそれぞれ剛性および減衰に関する非線形パラメータである。右下添字'd'、'c'、'E'および'V'はそれぞれ駆動ロール、コンタクトロール、瞬時弾性変形部および遅延弾性変形部の物理量であることを表す。
【００３１】
次に駆動ロールの回転周期を２πにするためにτ＝ωdtの変数変換を行い、さらに式(1)における各変位に関して初期静的平衡状態における遅延弾性変形部の初期変形量u0を基準に無次元化し整理すると次の式(3)を得る。
【００３２】
【数３】
2005234952.tif 000005
【００３３】
ここに、「 ’」はd/dτを表し、
【００３４】
【数４】
2005234952.tif 000006
【００３５】
である。以下では、式(3)を用いて数値シミュレーションを行う。
【００３６】
これまで時間遅れに起因する振動現象の解析は主に線形解析により行われてきた。その方法は、線形時間遅れ系の特性方程式より特性根を求めて系の安定判別を行う方法である。この方法により、系パラメータ毎の不安定振動が発生する回転数領域を予測することが可能となる。ここでは、線形解析を用いて系の安定判別を行う方法について述べる。
【００３７】
まず式(1)および式(2)の非線形パラメータおよび外力を全て零と置くことにより次の線形系の運動方程式（式(5)）が得られる。
【００３８】
【数５】
2005234952.tif 000007
【００３９】
ここに、
【００４０】
【数６】
2005234952.tif 000008
【００４１】
式(5)および式(6)に対し初期値をすべて零としてLaplace変換を行い、zのラプラス変換の像を消去するとともに、前述した非特許文献２、３のエネルギー指数の概念を取り入れて整理すると、次の特性方程式（式(7)）を得る。
【００４２】
【数７】
2005234952.tif 000009
【００４３】
ここに、
【００４４】
【数８】
2005234952.tif 000010
【００４５】
線形解析では式(7)より求められる特性根
【００４６】
【数９】
2005234952.tif 000011
【００４７】
により、不安定振動の発生領域を求める。
【００４８】
式(7)にはεの影響により可算無限個の特性根が存在する。その特性根のうち１つでも実部σが正のものがあれば系は不安定となり、不安定振動が発生する。また、特性根の虚部Ｎは駆動ロール表面に発生する多角形パターンの角形数に対応する。なお、式(8)におけるβが本モデルにおけるエネルギー指数であり、系の不安定度を表すパラメータである。
【００４９】
ここで、動吸振器を付加していない接触回転系に対する振動特性を検討する。
【００５０】
図２は、式(7)により計算した線形解析の結果を示す。横軸は駆動ロールの回転数fd＝ωd/2πであり、縦軸は式(7)より得られた特性根ｓ＝σ＋iＮの虚部Ｎの値である。
【００５１】
図２中の細線は実部σが負となる安定な特性根（σ＜０）を、太線は実部σが正となる不安定特性根（σ＞０）を表している。また、破線は、固有振動数fn＝ωn/2πと駆動ロール回転数fdとの間の比を表す固有振動数ラインfn/fdを示している。また、ｎ（整数）は発生する多角形パターンの角形数を表しており、前述の通り不安定振動はＮが発生するパターンの角形数ｎに近く、固有振動数と駆動ロール回転数との間にほぼfn＝nfdの関係が成り立つ領域に発生することがわかる。つまり、ｎ角形の不安定振動はfn/n＝74/n（Hz）付近に発生する。
【００５２】
このパラメータにおいては、発生するパターンは最大５角形までであり角形数が大きくなるにつれて、それぞれの振動発生領域が狭くなっていることがわかる。
【００５３】
図２の結果より、製品の巻き取り開始回転数をfd＝100（Hz）として運転を始めると、駆動ロールの外径が増加するに従い駆動ロールの回転数は低くなり、fd＝90（Hz）付近で１角形の不安定振動が発生するとことがわかる。この１角形の不安定振動はfd＝74（Hz）付近まで続き、さらに回転数が下がると安定領域となって振動が収まる。その後は、２角形、３角形および４角形と順に発生し、最後には５角形の不安定振動が発生することがわかる。
【００５４】
次に、式(3)に対してRunge-Kutta-Gill法(以下「RKG法」という。)を適用して数値シミュレーションを行い、各不安定振動の様相を調べる。なお、RKG法の刻みは2π/1024とし、時間遅れ項の不足データを補うためにLagrangeの補間法を用いて計算を行った。
【００５５】
図３から図７にはそれぞれ駆動ロールの表面に１角形から５角形までの多角形パターンが発生した場合のコンタクトロールの無次元変位ξの時間応答波形と周波数解析した結果を示している。それぞれの図は、初期値を零とした状態から十分な時間のシミュレーションを行い定常状態となった後の結果を用いている。時間応答波形に示されている"○"は駆動ロールの１周期毎の値をプロットしたものである。
【００５６】
図３より駆動ロールが１周期回転する間にコンタクトロールはおよそ１回振動しており、表面に１角形のパターンが発生していることがわかる。図４では１周期の間に２回、図５、図６、および図７ではそれぞれ３回、４回および５回と振動しており、駆動ロールの表面にはそれぞれ２ 角形、３角形、４角形および５角形のパターンが発生していることを意味する。ただし、図２の不安定領域のＮの値からもわかるとおり発生する角形数は整数値よりもわずかに小さくなっており、駆動ロール１周期毎のコンタクトロールの変位位相がずれていることがわかる。また、図３から図７の周波数解析結果によれば、発生する角形数にかかわらずコンタクトロールの主な振動成分はほぼ同様であり、その値は系の固有振動数fd＝74（Hz）に近い値であることがわかる。
【００５７】
以上の結果より、すべての不安定振動は１個の動吸振器を用いて防止できることが期待できる。
【００５８】
次に、動吸振器を付加した接触回転系についての時間遅れ系における不安定振動の解析について説明する。
【００５９】
これまで時間遅れに起因する多角形化現象の主な対策法としては、系の減衰を増加させたり系の構造(固有振動数)や使用回転数等を変更して不安定振動の発生領域を避ける方法が取られてきた。しかし、本モデルのように使用回転数を比較的広い範囲で変化させる場合には、その範囲すべてにおいて系を安定化させるのは非常に困難である。これまでの研究により、線形時間遅れ系の不安定自励振動に起因する多角形化現象に共通して見られる特徴として、ロール等の回転角速度をωd、ロール等の外周に発生する多角形パターンの角形数をｎ(正整数)、対象とする系の固有角振動数をωjとすると、これらの間には概ねωj＝ｎωdの関係が成り立つことがあげられる。すなわち、発生するパターンの角形数によらずロールは対応する固有角振動数および固有モードに近い状態で振動することになる。
【００６０】
本モデルの場合は１自由度系であるため、系が不安定となるとコンタクトロールは
【００６１】
【数１０】
2005234952.tif 000012
【００６２】
に近い角振動数で振動する。よって、この時間遅れ系を図８の左図に示すように剛性係数Ｋの線形ばねに支持された質量ｍcの線形系に近似的に置き換えて、最適同調および最適減衰となる様な動吸振器を設計する。図８の点線内に示す様に質量ｍa、剛性係数ｋaのばねおよび減衰係数ｃaの減衰器からなる動吸振器を考えると、最適同調αoptおよび最適減衰ζoptは以下の式で表される。
【００６３】
【数１１】
2005234952.tif 000013
【００６４】
ここに、
【００６５】
【数１２】
2005234952.tif 000014
【００６６】
である。
【００６７】
コンタクトロールに動吸振器を取り付けた系の解析モデルは、図８の右図で示される２自由度系で表される。動吸振器が取り付けられていること以外は動吸振器を付加していない接触回転系についての時間遅れ系における不安定振動の解析と全く同じ条件であり、初期静的平衡状態からの動吸振器の変位をｘa＝ｘa(t)とおいて運動方程式を求めると次の式(11)を得る。
【００６８】
【数１３】
2005234952.tif 000015
【００６９】
動吸振器に関する物理量を右下添字'a'で表しており、その他の記号は式(1)と同様である。
【００７０】
次に動吸振器を付加していない接触回転系についての時間遅れ系における不安定振動の解析と同様に、τ＝ωdtの変数変換および変位に関しては、遅延弾性変形部の初期変形量ｕ0を基準として無次元化し整理すると、
【００７１】
【数１４】
2005234952.tif 000016
【００７２】
となる。ここに、
【００７３】
【数１５】
2005234952.tif 000017
【００７４】
であり、その他の記号は式(4)に準ずる。以下では、式(12)を用いて数値シミュレーションを行う。
【００７５】
動吸振器を付加していない接触回転系についての時間遅れ系における不安定振動の解析と同様に、動吸振器を含む２自由度系に関しても線形解析を行う。
【００７６】
式(11)より非線形パラメータおよび外力を全て零と置くことにより線形系の運動方程式を求め、初期値をすべて零としてLaplace変換を行いzのラプラス変換の像を消去して整理すると次の特性方程式を得る。
【００７７】
【数１６】
2005234952.tif 000018
【００７８】
ここに、
【００７９】
【数１７】
2005234952.tif 000019
【００８０】
であり、ＸおよびＸaはｘおよびｘaの像関数である。
【００８１】
式(15)の特性方程式より特性根ｓ＝σ＋iＮを求め、不安定振動の発生領域を求める。また、エネルギー指数とモード解析の概念を導入することにより、以下に示す近似特性方程式を得る。
【００８２】
【数１８】
2005234952.tif 000020
【００８３】
ここに、
【００８４】
【数１９】
2005234952.tif 000021
【００８５】
であり、ωjおよび（φ1j、φ2j）は式(14)から減衰項および時間遅れ項を除去した不減衰固有振動系の特性方程式［ωd2ｓ2Ｍ＋Ｋ］Ｘ＝０より求めた固有角振動数およびＭで正規化された固有モードである。
【００８６】
式(17)はモード毎に分離された近似特性方程式であり、高精度な近似安定解析を行うことができる。また、βjは動吸振器を含む系のエネルギー指数を表し、モード毎の不安定度を表す。
【００８７】
次に、時間遅れに起因する不安定自励振動に対する防止対策として、動吸振器を利用する方法の検討を数値計算により行う。
【００８８】
【表１】
2005234952.tif 000022
【００８９】
表１に数値計算および動吸振器の設計に用いたパラメータ値を示す。これらは実機を参考に求めた値である。
【００９０】
図９は、駆動ロールの回転数を徐々に低くしたときの、コンタクトロールの振幅の最大値の変化を示している。実線は動吸振器の無い防止対策前の振幅曲線であり、破線（図中の横軸近傍に図示されている。）は動吸振器を取り付けた対策後の結果である。それぞれ100(Hz)より適当な刻みで回転数を変化させ、各回転数においてRKG法により十分に計算した後の定常状態における最大振幅をプロットしている。
【００９１】
図９より明らかなように、防止対策前には図２で示された不安定領域に対応する回転数にて、大きな不安定振動が発生しているが、動吸振器による防止対策後には、すべての不安定領域に対して非常に大きな効果が得られていることがわかる。この効果は、通常の強制振動系に対する動吸振器の効果と比較しても非常に大きいと考えることができる。
【００９２】
そこで、動吸振器を取り付けた状態における２自由度系の線形解析を行った。図10に式(15)を用いた線形解析による系の安定判別の結果を示す。
【００９３】
図10に示すとおり、動吸振器を取り付けることにより系は全ての回転数範囲で安定化されており、不安定振動が発生しなくなっている。
【００９４】
【表２】
2005234952.tif 000023
【００９５】
表２に動吸振器による対策前後の固有振動数、モード減衰比およびエネルギー指数の値を示す。
【００９６】
動吸振器を取り付けることにより、系の不安定度を表すエネルギー指数の値は小さくなっており、モード減衰比は反対に大きくなっていることがわかる。このことからも、動吸振器を取り付けることにより、時間遅れ系に対しては通常の動吸振器の制振効果のみでなく、系自身を安定化させて不安定振動の発生を抑制する効果があることがわかる。
【００９７】
以上より、時間遅れ系の防止対策として、図８に示すような不減衰振動系を仮定して最適化された動吸振器を用いることで大きな防止効果を得られることが期待できる。
【００９８】
次に、簡易安定判別法について説明すると、簡易安定判別法では、式( 15 )から特性根を直接求めるのではなく、系の安定条件として安定・不安定境界が存在しなくなる条件を、以下のようにして近似的に求める。なお、以下の説明では、ｍc,ｋc,ｃｃ,kＥ,kＶ,cＶをそれぞれｍ,ｋ,ｃ, ki,kｄ,ｃdとしている。
【００９９】
まず、減衰項および時間遅れ項を除去した不減衰振動系の特性方程式［ωd2ｓ2Ｍ＋Ｋ］Ｘ＝０から、固有角振動数ωjと固有モードφjを求める。ただし、j＝1,2であり、固有モードφjは次のように質量行列Ｍにより正規化されているものとする。
【０１００】
【数２０】
2005234952.tif 000024
【０１０１】
次に、モード行列Φ＝［φ1  φ2］を用いて式( 14 )をモード座標に変換し、ΦTCΦおよびΦTKDΦの非対角要素の影響は小さいと見なして省略する。さらに、いくつかの無次元パラメータを導入して整理すると、次のようにモード毎に分離された特性方程式が求められる。
【０１０２】
【数２１】
2005234952.tif 000025
【０１０３】
ここに、
【０１０４】
【数２２】
2005234952.tif 000026
【０１０５】
であり、βjは系のモード毎の不安定度を表すエネルギー指数である。
【０１０６】
式( 21 )から、安定・不安定境界が存在しない安定条件が、次のように近似的に求められる。
【０１０７】
【数２３】
2005234952.tif 000027
【０１０８】
ここに、
【０１０９】
【数２４】
2005234952.tif 000028
【０１１０】
であり、njはωj/ω以下の最大の整数を示す。
【０１１１】
条件Iはζj＝０のときの安定条件で、主に粘弾性体の特性によって決まる条件である。式(23)の条件を満たす回転角速度では、j次モードのパターン形成現象は発生しない。      
【０１１２】
一方、
【０１１３】
【数２５】
2005234952.tif 000029
【０１１４】
の範囲内において、njよりも小さな角形数のj次モードのパターン形成現象が発生する可能性が高い。
【０１１５】
条件IIは、そのような範囲内の回転角速度においてＪ次モードのパターン形成現象を安定化するために必要なζjの条件を示したものである。ζjが式( 23 )の第２式を満足すれば、ω以下の回転角速度ではj次モードのパターン形成現象は発生しない。      
【０１１６】
次に、動吸振器の最適設計法について説明する。稼働時の最大回転角速度がωmaxで、主系の系パラメータが安定条件を満足しないものとする。このとき、動吸振器のパラメータを適切に調整することによって、ωmax以下の回転角速度で安定化（パターン形成現象の発生防止）を図る。
【０１１７】
そのためには、次式を満足するようにｍa,ｋa,ｃaを設定すればよいことが分かる。
【０１１８】
【数２６】
2005234952.tif 000030
【０１１９】
ただし、この場合のnjは、ωj/ωmax以下の最大の整数を示す。
【０１２０】
したがって、ωmaxが大きいほどnjは小さくなるので、最も条件の厳しいnj＝1に対して式(25)を満足するようにｍa、ｋa、ｃaを定めると、すべての回転角速度でパターン形成現象は発生しなくなる。また、式(25)の値が大きいほど安定度が大きい。
【０１２１】
実用上の観点からすれば、なるべく小さな減衰で安定化を実現できることが望ましい。そのためには、同一のｃaに対して式(25)の値が最大になるようにｍaとｋaを調整すればよい。
【０１２２】
本発明では、これを動吸振器の最適設計条件と見なす。その近似的な最適設計手順は、次のように整理される。
【０１２３】
【数２７】
2005234952.tif 000031
【０１２４】
上記の手順で設計した動吸振器を取り付けるとすべての回転角速度で不安定振動の発生は完全に抑えられ、主系・動吸振器ともに全く振動しなくなる。これが強制振動に対する通常の動吸振器と異なる点である。その制振効果は、減衰の効果が支配的であり、パターン形成現象に対しては、減衰のない動吸振器ではほとんど制振効果を期待することはできない。
【図面の簡単な説明】
【０１２５】
【図１】動吸振器を付加していない接触回転系についての時間遅れ系における不安定振動の解析モデル
【図２】動吸振器を付加していない接触回転系についての時間遅れ系における不安定振動の線形解析結果
【図３】駆動ロールの表面に１角形の多角形パターンが発生した場合のコンタクトロールの無次元変位ξの時間応答波形と周波数解析した結果
【図４】駆動ロールの表面に２角形の多角形パターンが発生した場合のコンタクトロールの無次元変位ξの時間応答波形と周波数解析した結果
【図５】駆動ロールの表面に３角形の多角形パターンが発生した場合のコンタクトロールの無次元変位ξの時間応答波形と周波数解析した結果
【図６】駆動ロールの表面に４角形の多角形パターンが発生した場合のコンタクトロールの無次元変位ξの時間応答波形と周波数解析した結果
【図７】駆動ロールの表面に５角形の多角形パターンが発生した場合のコンタクトロールの無次元変位ξの時間応答波形と周波数解析した結果
【図８】動吸振器を付加した接触回転系についての時間遅れ系における不安定振動の解析モデル
【図９】駆動ロールの回転数を徐々に低くしたときのコンタクトロールの振幅の最大値の変化
【図１０】動吸振器を付加した接触回転系についての時間遅れ系における不安定振動の線形解析結果
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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