(57)【要約】【課題】台形公式などの差分法で微分方程式の数値的な解を求める場合、解が周波数の比較的高い成分と低い成分を含むときは、区間分割を高い周波数成分の短い周期（波長）に比べて十分小さく設定しなくてはならなかった。そのため低い周波数成分が関与する大きい（広い）領域に関して解を求めるためには非常に大きな計算負荷が必要となるという課題が存在した。【課題を解決するための手段】本発明では上記の従来の方法における課題を解決するための手段として、微分方程式を解く際に、領域を複数の区間に分割し、未知の変数をその区間における（離散）フーリエ級数により近似する。さらに微分方程式を、未知数の（離散）フーリエ級数の係数間の差分方程式へと変換し、この差分方程式を解くことにより、微分方程式を数値的に解く。【選択図】  図１
2005025651.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
微分方程式を数値的に解く際に次の処理（ｉ）〜（ｉｖ）を持つことを特徴とする方法、その方法を用いた微分方程式の数値解をもとめるプログラム。
（ｉ）解を求めたい領域を刻み幅Ｔを用いて複数の区間
【数１】に分割する。
【数１】
2005025651.tif 000131
（ｉｉ）それぞれの区間で、解析の対象となる変数を、フーリエ級数によって近
似する（
【数２】、
【数３】）。
【数２】
2005025651.tif 000132
【数３】
2005025651.tif 000133
ただし、ここでＮは１以上の整数、ωは
【数４】
2005025651.tif 000134
で与えられる。
（ｉｉｉ）二つの変数に関係
【数５】
2005025651.tif 000135
が存在するとき、ステップ（ｉｉ）で表したフーリエ級数の間に
【数６】
2005025651.tif 000136
【数７】
2005025651.tif 000137
なる関係式が存在するとして微分方程式を差分化する。ただし、ここで
【数８】
2005025651.tif 000138
【数９】
2005025651.tif 000139
【数１０】
2005025651.tif 000140
【数１１】
2005025651.tif 000141
である。ｈｎは前の区分までの解に由来する履歴項である。また右肩の＊は転置をあらわす。
（ｉｖ）（ｉｉｉ）で求めた関係式を順次解くことにより微分方程式の数値解をもとめる。
【請求項２】
電気回路の過渡現象を数値的に解く際に次の処理（ｉ）〜（ｖｉｉ）を持つことを特徴とする方法、およびその方法を用いた電気回路の過渡現象を数値的に解くプログラム。
（ｉ）解を求めたい時間を時間刻みＴにより区間
【数１】に分割する（ｘは時間を表す）。
（ｉｉ）それぞれの区間において、回路の電気的な諸量（電圧、電流など）をその区間におけるフーリエ級数の係数により近似する。（
【数２】、
【数３】）（ｉｉｉ）個々の電気回路の素子の２つの諸量の間に関係
【数５】が存在するとき、ステップ（ｉｉ）で表したフーリエ級数の間に
【数６】、
【数７】で表される関係式が存在するとして微分方程式を差分化する。ただし、
【数６】、
【数７】で使用されるＦｎ、Ｇｎ、Ａ、Ｋは
【数８】、
【数９】、
【数１０】、
【数１１】により与えられる。ｈｎは前の区分までの解に由来する履歴項である。
（ｉｖ）適切な初期化方法により開始時間刻みにおける個々の電気素子に対する履歴項ｈｎをもとめる。
（ｖ）（ｉｉｉ）により求められた差分式と履歴項ｈｎを用いて、個々の電気素子の両端間の電圧が
【数１２】
2005025651.tif 000142
素子を流れる電流が
【数１３】
2005025651.tif 000143
により与えられるとき、その関係を、仮想的なアドミタンスＧとそれに並列な電流源
【数１４】
2005025651.tif 000144
を用いて
【数１５】
2005025651.tif 000145
による等価回路により表現する。ここで
【数１６】
2005025651.tif 000146
【数１７】
2005025651.tif 000147
【数１８】
2005025651.tif 000148
である。
（ｖｉ）  解析しようとする電気回路中のすべての素子を（ｖ）の方法で等価回路として表現した後、その時間刻みについて回路の各ノードの電圧を求める。ここでノードの電圧は
【数１９】
2005025651.tif 000149
として与えられる。
（ｖｉｉ）（ｖｉ）にて求まった回路のノード電圧を使用し、各電気素子の履歴項ｈｎの次の時間区分における値を求め、時間刻みを一つ進める。その後（ｖ）へ戻る。
【請求項３】
微分方程式を数値的に解く際に次の処理（ｉ）〜（ｉｖ）を持つことを特徴とする方法、その方法を用いた微分方程式の数値解をもとめるプログラム。
（ｉ）解を求めたい領域を刻み幅Ｔを用いて複数の区間
【数１】に分割する。
【数１】（再掲）
2005025651.tif 000150
2005025651.tif 000151
象となる変数を、離散フーリエ級数によって近似する（
【数２０】、
【数２１】）。
【数２０】
2005025651.tif 000152
【数２１】
2005025651.tif 000153
【数２２】
2005025651.tif 000154
Ｔｎ，ｍは
【数２３】
2005025651.tif 000155
で与えられる。
（ｉｉｉ）二つの変数に関係
【数５】（再掲）
2005025651.tif 000156
が存在するとき、ステップ（ｉｉ）で表したフーリエ級数の間に
【数２４】
2005025651.tif 000157
【数２５】
2005025651.tif 000158
なる関係式が存在するとして微分方程式を差分化する。ただし、ここで
【数２６】
2005025651.tif 000159
【数２７】
2005025651.tif 000160
【数２８】
2005025651.tif 000161
【数２９】
2005025651.tif 000162
である。ｈＤｎは前の区分までの解に由来する履歴項である。
（ｉｖ）（ｉｉｉ）で求めた関係式を順次解くことにより微分方程式の数値解をもとめる。
【請求項４】
電気回路の過渡現象を数値的に解く際に次の処理（ｉ）〜（ｖｉｉ）を持つことを特徴とする方法、およびその方法を用いた電気回路の過渡現象を数値的に解くプログラム。
（ｉ）解を求めたい時間を時間刻みＴにより区間
【数１】に分割する（ｘは時間を表す）。
2005025651.tif 000163
路の電気的な諸量（電圧、電流など）をその区間における離散フーリエ級数の係数により近似する。（
【数２０】、
【数２１】、
【数２２】、
【数２３】）（ｉｉｉ）個々の電気回路の素子の２つの諸量の間に関係
【数５】が存在するとき、ステップ（ｉｉ）で表した離散フーリエ級数の間に
【数２４】、
【数２５】で表される関係式が存在するとして微分方程式を差分化する。ただし、
【数２４】、
【数２５】で使用されるＦＤｎ、ＧＤｎ、ＡＤ、ＫＤは
【数２６】、
【数２７】、
【数２８】、
【数２９】により与えられる。ｈＤｎは前の区分までの解に由来する履歴項である。
（ｉｖ）適切な初期化方法により開始時間刻みにおける個々の電気素子に対する履歴項ｈＤｎをもとめる。
（ｖ）（ｉｉｉ）により求められた差分式と履歴項ｈＤｎを用いて、個々の電気素子の両端間の電圧が
【数３０】
2005025651.tif 000164
素子を流れる電流が
【数３１】
2005025651.tif 000165
により与えられるとき、その関係を、仮想的なアドミタンスＧＤとそれに並列な電流源
【数３２】
2005025651.tif 000166
を用いて
【数３３】
2005025651.tif 000167
による等価回路により表現する。ここで
【数３４】
2005025651.tif 000168
【数３５】
2005025651.tif 000169
【数３６】
2005025651.tif 000170
である。
（ｖｉ）  解析しようとする電気回路中のすべての素子を（ｖ）の方法で等価回路として表現した後、その時間刻みについて回路の各ノードの電圧を求める。ここでノードの電圧は
【数３７】
2005025651.tif 000171
として与えられる。
（ｖｉｉ）（ｖｉ）にて求まった回路のノード電圧を使用し、各電気素子の履歴項ｈｎの次の時間区分における値を求め、時間刻みを一つ進める。その後（ｖ）へ戻る。
【請求項５】
請求項１、請求項３の方法において最高次数の高調波以外の成分のうち一つもしくはいくつかを０と仮定し、縮小した行列、ベクトルを用いて、微分方程式を解く方法、及びその方法を用いた微分方程式の数値解をもとめるプログラム。
【請求項６】
請求項２、請求項４、の方法において最高次数の高調波以外の成分のうち一つもしくはいくつかを０と仮定し、縮小した行列、ベクトルを用いて、電気回路の過渡現象を数値的に解く方法、およびその方法を用いた電気回路の過渡現象を数値的に解くプログラム。
【請求項７】
請求項１、請求項２、請求項３、請求項４、請求項５、請求項６の方法、プログラムについて（離散）フーリエ級数を並べたベクトルに対して、逆行列をもつ行列を乗じて、変換を施したもの。
【請求項８】
請求項１、請求項２、請求項３、請求項４、請求項５、請求項６、請求項７の方
法、プログラムについて
【数１】で表される区分をシフトさせて適用したもの。
【発明の詳細な説明】
【発明の属する技術分野】
本発明は微分方程式を数値的に解く技術の一つである。特に、解となる変数がある周波数近傍の成分を特に多く含むことが判明していて、解のその周波数周辺の成分を効率的に求めつつも、他の周波数成分も考慮に入れたいときに有効である。
【従来の技術】
微分方程式の数値的に解く代表的な方法として、台形公式、前進積分法、バックワードオイラー法などの差分法がある。電気回路が満たすべき微分方程式を、台形公式を用いて数値的に解き、その過渡現象を解析するプログラムとしてＥＭＴＰ（参考文献Ｈ．Ｗ．Ｄｏｍｍｅｌ，”Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ  ａｎｄ  ｔｉｍｅ−ｖａｒｙｉｎｇ  ｅｌｅｍｅｎｔｓ  ｉｎ  ｄｉｇｉｔａｌ  ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ  ｏｆ  ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ  ｔｒａｎｓｉｅｎｔｓ”，ＩＥＥＥ  Ｐｏｗｅｒ  Ａｐｐ．Ｓｙｓｔ．，Ｖｏｌ．ＰＡＳ−９０，ｐｐ．２５６１−２５６７，Ｊｕｎｅ  １９７１）が有名である。
また、微分方程式を一定の条件の下で数値的に解く別の方法として次のようなものがある。求めようとする変数の解が有る周波数成分（基本周波数）を非常に多く含み、解析の対象が主にその周波数近傍成分に限定されるときは、解がその周波数の成分の波で表されると仮定し，その振幅と位相の変化すると仮定して、解を求める方法が存在する。このような方法の例として、電力系統解析における動的安定度解析をあげることができる。電力系統は電気回路として表現され、電気回路の満たすべき方程式はもともと微分方程式で表されるわけであるから、これらの解法は、もともとの微分方程式を特殊な条件の下に解いていると考えられる。
【発明が解決しようとする課題】
台形公式などの差分法で微分方程式の数値的な解を求める場合，解が周波数の比較的高い成分と、低い成分を含むとき（Ｓｔｉｆｆな系と呼ばれる）は区間分割を、高い周波数成分の短い周期（波長）に比べて十分に小さく設定しなくてはならなかった。そのため低い周波数成分が関与する大きい（広い）領域に関して解を求めるためには非常に大きな計算負荷が必要となるという課題が存在した。
一方、電力系統解析における動的安定度解析では、解がある周波数の波（基本周波数）で近似されることを前提に方程式が構成されている。そのため，方程式の解がその周波数以外の成分を含むような場合は、求まる解の精度が悪化するという問題点があった。また、解析精度を上げることを目的として、区分（時間刻み）を細かくすることも試みられているが、前提として解が基本周波数成分により表されるため、区分を基本周波数の波長（周期）以下に縮めても、その精度が上がるとは限らないという課題が存在した。
【課題を解決するための手段】本発明では上記の従来の方法における課題を解決するための手段として、微分方程式を解く際に、領域を複数の区間に分割し、未知の変数をその区間における、（離散）フーリエ級数により近似する。さらに微分方程式を、未知数の（離散）フーリエ級数の係数間の差分式へと変換し、この差分式を解くことにより、微分方程式を数値的に解く。
【発明実施の形態】
【実施例１】
ｙに関する微分方程式
【数３８】
2005025651.tif 000003
を初期条件
【数３９】
2005025651.tif 000004
のもとで領域
【数４０】
2005025651.tif 000005
について本発明を用いて数値的に解く。
微分方程式を解くためにｘを、区分幅１を用いて区分
【数４１】
2005025651.tif 000006
を考え、それぞれの区分において、ｙ，ｕを
【数４２】
2005025651.tif 000007
【数４３】
2005025651.tif 000008
のようにフーリエ級数で近似する。またこれらの係数を並べてベクトル
【数４４】
2005025651.tif 000009
【数４５】
2005025651.tif 000010
を考える。
微分方程式
【数３８】は本発明により次の差分方程式へと置き換えられる。
【数４６】
2005025651.tif 000011
【数４７】
2005025651.tif 000012
ここで初期条件は
【数４８】
2005025651.tif 000013
であり、Ｕｎは
【数４９】
2005025651.tif 000014
となる。また係数Ａ，Ｋは
【数５０】
2005025651.tif 000015
【数５１】
2005025651.tif 000016
により与えられる。
【数４６】は
【数５２】
2005025651.tif 000017
と変換できるのでこれを
【数４７】と併せて用いると、順次Ｙｎを求めていくことができる。
得られた数値解を
【表１】に示す。
この数値解をグラフで表すと
【図１】の様になる。このなかで、実線が求まった本発明による方法で求まった数値解を
【数４２】を適用してグラフに描いたものである。点線が微分方程式
【数４２】を解析的に解いて求まる解をグラフを描いたものである。グラフから得られた数値解が妥当なものであることが判別できる。
【実施例２】
【図３】のような回路の過渡現象を考える。ここで回路のパラメータとして
【数５３】
2005025651.tif 000018
【数５４】
2005025651.tif 000019
【数５５】
2005025651.tif 000020
とし、初期条件として
【数５６】
2005025651.tif 000021
とする。
過渡現象を解くためにｘについて区分幅１を用いた区分
【数５７】
2005025651.tif 000022
を考える。また回路を流れる電流ｉ（ｘ）とノードＱの電圧ｖＱ（ｘ）は
【数５８】
2005025651.tif 000023
【数５９】
2005025651.tif 000024
により近似されるとする。
インダクタンスの電流と電圧の間にはｖ（ｔ）の間には
【数６０】
2005025651.tif 000025
なる関係が成立する。この関係式は本発明の方法により差分方程式
【数６１】
2005025651.tif 000026
【数６２】
2005025651.tif 000027
に変換される。ただし
【数６３】
2005025651.tif 000028
【数６４】
2005025651.tif 000029
【数６５】
2005025651.tif 000030
【数６６】
2005025651.tif 000031
である。
【数６１】によりインダクタンスは仮想的な区分Ｔｎにおいて
【数６７】、
【数６８】により与えられる仮想的なアドミタンスＧＬとそれに並列な仮想的電流源Ｈｎにより表される。
【数６７】
2005025651.tif 000032
【数６８】
2005025651.tif 000033
一方回路網方程式はノードＱから流れ出る電流の合計が０であることを利用すると
【数６９】
2005025651.tif 000034
を得る。したがって各区分ＴｎにおいてＶＥｎ、Ｈｎが与えられれば
【数７０】
2005025651.tif 000035
によりＶＱｎを求めることができる。ＧＲは
【数７１】
2005025651.tif 000036
である。
過渡現象の数値解は次の手続き（ｉｖ）〜（ｖｉｉ）を実施することにより順次求められる。
（ｉｖ）ｎ＝０とし、初期条件よりｈｎ＝０とする。
（ｖ）
【数６８】からＨｎを求める。
（ｖｉ）問題の条件
【数５３】から
【数７２】
2005025651.tif 000037
であるので、
【数７０】を使用してＶＱｎを計算する。
（ｖｉｉ）
【数６２】を使用してｈｎ＋１を計算する。ｎを一つ増加させ（ｖ）へ戻る。
実際に数値計算を実施して求まった数値解を
【表２】に示す。
【実施例３】
ｙに関する微分方程式
【数７３】
2005025651.tif 000038
を初期条件
【数７４】
2005025651.tif 000039
のもとで領域
【数７５】
2005025651.tif 000040
について本発明を用いて数値的に解く。解を求める領域を刻み幅Ｔ＝１を用いて
【数７６】
2005025651.tif 000041
に分割する。請求項３の中で使用されている変数Ｐ，Ｍについてそれぞれ１，６０として各区分の中でｙ（ｘ）を離散フーリエ級数によって近似する。
【数７７】
2005025651.tif 000042
ここでθ、Ｔｎ，ｍは
【数７８】
2005025651.tif 000043
【数７９】
2005025651.tif 000044
とする。
離散フーリエ級数を並べてベクトル
【数８０】
2005025651.tif 000045
を考えると、本発明により微分方程式
【数７３】は差分方程式
【数８１】
2005025651.tif 000046
【数８２】
2005025651.tif 000047
へと変換できる。
ここで初期条件は
【数８３】
2005025651.tif 000048
であり、Ｕｎは
【数８４】
2005025651.tif 000049
となる（ｕ（ｘ）を
【数７９】の領域で平均して求まる値に対して、離散フーリエ級数を求める）。また係数ＡＤ，ＫＤは
【数８５】
2005025651.tif 000050
【数８６】
2005025651.tif 000051
により与えられる。
【数８１】は
【数８７】
2005025651.tif 000052
と変換できるので、これを
【数８２】と併せて用いると、順次ＹＤｎを求めていくことができる。数値計算を実施して求まった数値解を
【表３】に示す。
【実施例４】
【図３】のような回路の過渡現象を考える。ここで回路のパラメータとして
【数５３】（再掲）
2005025651.tif 000053
【数５４】（再掲）
2005025651.tif 000054
【数５５】（再掲）
2005025651.tif 000055
とし、初期条件として
【数５６】（再掲）
2005025651.tif 000056
とする。
過渡現象を解くためにｘについて区分幅１を用いた区分
【数５７】（再掲）
2005025651.tif 000057
を考える。さらに本発明で使用するパラメータＭ，Ｐをここでは６０，１と選んで
【数７９】（再掲）
2005025651.tif 000058
とする。
回路を流れる電流ｉ（ｘ）とノードＱの電圧ｖＱ（ｘ）は
【数８８】
2005025651.tif 000059
【数８９】
2005025651.tif 000060
により近似する。
インダクタンスの電流と電圧の間にはｖ（ｔ）の間には
【数６０】（再掲）
2005025651.tif 000061
なる関係が成立する。この関係式は本発明の方法により差分方程式
【数９０】
2005025651.tif 000062
【数９１】
2005025651.tif 000063
に変換される。ただし
【数９２】
2005025651.tif 000064
【数９３】
2005025651.tif 000065
【数９４】
2005025651.tif 000066
【数９５】
2005025651.tif 000067
である。
【数９０】によりインダクタンスは仮想的な区分Ｔｎにおいて
【数９６】、
【数９７】により与えられる仮想的なアドミタンスＧＬとそれに並列な仮想的電流源Ｈｎにより表される。
【数９６】
2005025651.tif 000068
【数９７】
2005025651.tif 000069
一方回路網方程式はノードＱから流れ出る電流の合計が０であることを利用すると
【数９８】
2005025651.tif 000070
を得る。したがって各区分ＴｎにおいてＶＥＤｎ、ＨＤｎが与えられれば
【数９９】
2005025651.tif 000071
によりＶＱｎを求めることができる。ＧＲＤは
【数１００】
2005025651.tif 000072
である。
過渡現象の数値解は次の手続き（ｉｖ）〜（ｖｉｉ）を実施することにより順次求められる。
（ｉｖ）ｎ＝０とし、初期条件よりｈＤｎ＝０とする。
（ｖ）
【数９７】からＨＤｎを求める。
（ｖｉ）問題の条件
【数５３】から
【数１０１】
2005025651.tif 000073
であるので、
【数９９】を使用してＶＱＤｎを計算する。
（ｖｉｉ）
【数９１】を使用してｈＤｎ＋１を計算する。ｎを一つ増加させ（ｖ）へ戻る。
実際に数値計算を実施して求まった数値解（ＩＤｎ）を
【表４】に示す。ＩＤｎ，−１はＩＤｎ，１に複素共役なので表からは省略してある。
【実施例５】
ｙに関する微分方程式
【数１０２】
2005025651.tif 000074
を初期条件
【数１０３】
2005025651.tif 000075
のもとで領域
【数１０４】
2005025651.tif 000076
について本発明を用いて数値的に解く。解を求める領域を刻み幅Ｔ＝１０を用いて
【数１０５】
2005025651.tif 000077
に分割する。それぞれの区分において、ｙ，ｕを
【数１０６】
2005025651.tif 000078
【数１０７】
2005025651.tif 000079
のようにフーリエ級数で近似する。またこれらの係数を並べてベクトル
【数１０８】
2005025651.tif 000080
【数１０９】
2005025651.tif 000081
を考える。
微分方程式
【数１０２】は本発明により次の差分方程式へと置き換えられる。
【数１１０】
2005025651.tif 000082
【数１１１】
2005025651.tif 000083
ここで初期条件は
【数１１２】
2005025651.tif 000084
であり、Ｕｎは
【数１１３】
2005025651.tif 000085
となる。また係数Ａ，Ｋは
【数１１４】
2005025651.tif 000086
【数１１５】
2005025651.tif 000087
により与えられる。
【数１１０】は
【数１１６】
2005025651.tif 000088
と変換できるのでこれを
【数１１１】と併せて用いると、順次Ｙｎを求めていくことができる。
得られた数値解を
【表５】に示す。
【実施例６】
【図３】のような回路の過渡現象を考える。ここで回路のパラメータとして
【数１１７】
2005025651.tif 000089
【数１１８】
2005025651.tif 000090
【数１１９】
2005025651.tif 000091
とし、初期条件として
【数１２０】
2005025651.tif 000092
とする。
過渡現象を解くためにｘについて区分幅１０を用いた区分
【数１２１】
2005025651.tif 000093
を考える。また回路を流れる電流ｉ（ｘ）とノードＱの電圧ｖＱ（ｘ）は
【数１２２】
2005025651.tif 000094
【数１２３】
2005025651.tif 000095
により近似されるとする。
インダクタンスの電流と電圧の間にはｖ（ｔ）の間には
【数１２４】
2005025651.tif 000096
なる関係が成立する。この関係式は本発明の方法により差分方程式
【数１２５】
2005025651.tif 000097
【数１２６】
2005025651.tif 000098
に変換される。ただし
【数１２７】
2005025651.tif 000099
【数１２８】
2005025651.tif 000100
【数１２９】
2005025651.tif 000101
【数１３０】
2005025651.tif 000102
である。
【数１２５】によりインダクタンスは仮想的な区分Ｔｎにおいて
【数１３１】、
【数１３２】により与えられる仮想的なアドミタンスＧＬとそれに並列な仮想的電流源Ｈｎにより表される。
【数１３１】
2005025651.tif 000103
【数１３２】
2005025651.tif 000104
一方回路網方程式はノードＱから流れ出る電流の合計が０であることを利用すると
【数１３３】
2005025651.tif 000105
を得る。したがって各区分ＴｎにおいてＶＥｎ、Ｈｎが与えられれば
【数１３４】
2005025651.tif 000106
によりＶＱｎを求めることができる。ＧＲは
【数１３５】
2005025651.tif 000107
である。
過渡現象の数値解は次の手続き（ｉｖ）〜（ｖｉｉ）を実施することにより順次求められる。
（ｉｖ）ｎ＝０とし、初期条件よりｈｎ＝０とする。
（ｖ）
【数１３２】からＨｎを求める。
（ｖｉ）問題の条件
【数１１７】から
【数１３６】
2005025651.tif 000108
であるので、
【数１３４】を使用してＶＱｎを計算する。
（ｖｉｉ）
【数１２６】を使用してｈｎ＋１を計算する。ｎを一つ増加させ（ｖ）へ戻る。
実際に数値計算を実施して求まった数値解を
【表６】に示す。
【実施例７】
請求項１の方法において
【数１３７】
2005025651.tif 000109
【数１３８】
2005025651.tif 000110
なる変数変換を施すことを考える。ここでＷは例として
2005025651.tif 000111
により与える。すると、
【数６】、
【数７】はそれぞれ
【数１３９】
2005025651.tif 000112
【数１４０】
2005025651.tif 000113
と変換される。ただし、
【数１４１】
2005025651.tif 000114
【数１４２】
2005025651.tif 000115
【数１４３】
2005025651.tif 000116
である。得られたこれらの差分式を用いて微分方程式を解く方法は実施例１と同様である。
【実施例８】実施例１の方法で
【数１４４】
2005025651.tif 000117
【数１４５】
2005025651.tif 000118
とする。
【数１４６】
2005025651.tif 000119
【数１４７】
2005025651.tif 000120
【数１４８】
2005025651.tif 000121
【数１４９】
2005025651.tif 000122
とすれば
【数１５０】
2005025651.tif 000123
【数１５１】
2005025651.tif 000124
【数１５２】
2005025651.tif 000125
となり差分方程式
【数６】、
【数７】はそれぞれ
【数１５３】
2005025651.tif 000126
【数１５４】
2005025651.tif 000127
と変換される。ただし、
【数１５５】
2005025651.tif 000128
【数１５６】
2005025651.tif 000129
【数１５７】
2005025651.tif 000130
である。得られたこれらの差分式を用いて微分方程式を解く方法は実施例１と同様である。
【発明の効果】微分方程式の解となる変数がある周波数近傍の成分を特に多く含むことが判明していている場合に、本発明により、解のその周波数周辺の成分を効率的に求めつつも、他の周波数成分も考慮に入れて効率的に数値的に解くことができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】実施例１の結果得られた数値解をグラフ化したもの
【図２】実施例１の結果得られた数値解
【図３】過渡現象を数値解析する回路例
【図４】実施例２の結果得られた数値解
【図５】実施例３の結果得られた数値解
【図６】実施例４の結果得られた数値解
【図７】実施例５の結果得られた数値解
【図８】実施例６の結果得られた数値解
【符号の説明】
１−１は本発明による数値解をグラフ化したもの
１−２は解析解
２−１は実施例１の解析結果
３−１は電圧源
３−２は抵抗
３−３はインダクタンス
４−１は実施例２の解析結果
５−１は実施例３の解析結果
６−１は実施例４の解析結果
７−１は実施例５の解析結果
８−１は実施例６の解析結果
【図１】
2005025651.tif 000172
【図２】
2005025651.tif 000173
【図３】
2005025651.tif 000174
【図４】
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【図５】
2005025651.tif 000176
【図６】
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【図７】
2005025651.tif 000178
【図８】
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