(57)【要約】  テイラー分散を実施することにより粒子の混合物の粒径分布を決定する方法および関連するシステム。この方法は、試料をキャピラリ内に注入するステップ（１００）と、試料を、テイラー分散現象を発生させるのに適した実験条件でキャピラリに沿って移送するステップ（１１０）と、テイラー分散に特徴的な信号を生成するステップ（１２０）と、信号を処理して、実験テイラー信号    【数１】2015521743.tif 000172を得るステップ（１３０）と、実験テイラー信号    【数２】2015521743.tif 000173を解析するステップ（２００）とを含む。解析ステップは、振幅分布Ｐ（Ｇ（Ｃ））に従わなければならない制約と関連する少なくとも１つの制約項を含む費用関数Ｈαを最小化する制約付き正則化アルゴリズムを実施することにより、実験テイラー信号    【数３】2015521743.tif 000174をガウス関数の和に分解することを可能にする振幅分布Ｐ（Ｇ（ｃ））を求め、上記の最小化は、ガウス振幅関数Ｐ（Ｇ（ｃ））に特徴的なパラメータＧ（ｃ）の値の関心のある間隔について実行される。
2015521743.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
分子または粒子種の混合物の粒径分布を決定する方法であって、
解析対象の該混合物の試料を、溶離剤が流れているキャピラリ内に注入するステップ（１００）と、
注入した該試料を、検出部分のレベルで測定可能なテイラー分散現象を発生させるのに適した実験条件で、該キャピラリに沿って注入部分から該検出部分に移送するステップ（１１０）と、
該検出部分を含む最適なセンサによって、該移送した試料のテイラー分散に特徴的な信号を生成するステップ（１２０）と、
該検出信号を処理して、実験テイラー信号
【数１】
2015521743.tif 000141
を得るステップ（１３０）と、
該実験テイラー信号
【数２】
2015521743.tif 000142
を解析するステップ（２００）とを含み、
該混合物の試料の実験テイラー信号
【数３】
2015521743.tif 000143
を解析する該ステップが、該実験テイラー信号
【数４】
2015521743.tif 000144
を方程式
【数５】
2015521743.tif 000145
によってガウス関数の和に分解することを可能にする振幅分布Ｐ（Ｇ（ｃ））を探索することからなり、
ここで、ｔは、該実験テイラー信号が依存する変数であり、ｔ０は、該実験テイラー信号
【数６】
2015521743.tif 000146
のピークに対応する、様々な該ガウス関数に共通の変数ｔの値であり、
Ｇ（ｃ）は、ガウス振幅関数Ｐ（Ｇ（ｃ））の特徴パラメータであり、
ｃ＝１の場合には、関係式
【数７】
2015521743.tif 000147
に従って種の拡散係数Ｄと関連し、
ｃ＝−１の場合には、関係式
【数８】
2015521743.tif 000148
に従って種の流体力学的レイＲｈと関連し、
ｃ＝−１／ｄｆ＝−（１＋ａ）／３の場合には、関係式
【数９】
2015521743.tif 000149
に従って種のモル質量Ｍと関係し、
ｋＢは、ボルツマン定数であり、Ｔは、実験が行われるケルビンで表現される絶対温度であり、ηは、使用する該溶離剤の粘度であり、Ｒｃは、使用する該キャピラリの内部レイであり、Ｎａは、アボガドロ数であり、Ｋおよびａは、マルク・ホウインク係数であり、
該探索が、該方程式の解である該振幅分布Ｐ（Ｇ（Ｃ））に従わなければならない制約と関連する少なくとも１つの制約項を含む費用関数Ｈαを最小化する制約付き正則化アルゴリズムを実施することにより行われ、該最小化が、該パラメータＧ（ｃ）の値の関心のある間隔について実行される、方法。
【請求項２】
前記方程式が、前記パラメータＧ（ｃ）の値の間隔を細分することにより離散化され、各離散点Ｇｍが、単位値と値Ｎとの間で変化する整数ｍで指標を付けられ、前記点Ｇｍが、長さｃｍの小間隔に対応する点Ｇｍ−１からある距離にある、請求項１に記載の方法。
【請求項３】
前記費用関数が、
Ｈα＝χ２＋α２Δ２
をとり、
第１項χ２が、前記実験テイラー信号
【数１０】
2015521743.tif 000150
と
【数１１】
2015521743.tif 000151
で定義される再構築されたテイラー信号の間の距離項であり、
第２項Δ２が、該方程式の解である前記振幅分布Ｐ（Ｇ）に従わなければならない前記少なくとも１つの制約と関連する制約項であり、該第２項が、ラグランジュ係数αにより導入されて、該費用関数Ｈαの該第２項の寄与を該第１項に適応させることができる、請求項２に記載の方法。
【請求項４】
前記第１項χ２が、
【数１２】
2015521743.tif 000152
をとる「最小２乗」タイプの距離であり、
前記実験テイラー信号
【数１３】
2015521743.tif 000153
および前記再構築された関数Ｓ’（ｔ）が、経時的にサンプリングされ、各試料が、単位値と値Ｌの間で変化する整数ｋで指標を付けられる、請求項３に記載の方法。
【請求項５】
前記方程式の解である前記振幅分布Ｐ（Ｇ）が従わなければならない前記少なくとも１つの制約が、
【数１４】
2015521743.tif 000154
をとることが好ましい制約項Δ２と関連する正則性制約である、請求項３または４に記載の方法。
【請求項６】
前記解析ステップが、前記費用関数Ｈα＝α０の最小値に対応する距離項χ２の値が、ν＝Ｌ−Ｎをとることが好ましい統計誤差νより小さい値で近くなるように、前記ラグランジュ係数αの最適値α０を決定するステップを含む、請求項３から５のいずれか一項に記載の方法。
【請求項７】
前記パラメータＧ（ｃ）の値の関心のある間隔が、最小値Ｇｍｉｎおよび最大値Ｇｍａｘによって範囲を定められることで、該最小値および該最大値の値を決定するステップを含む、請求項３から５のいずれか一項に記載の方法。
【請求項８】
前記実験テイラー信号
【数１５】
2015521743.tif 000155
と関連する正規化テイラー信号ｓ（ｔ）を、関係式ｓ（ｔ）＝Ｓ（ｔ）／Ｓ（ｔ０）によって構成要素に分解するステップを含み、該分解ステップが、１次の構成要素Γ１および２次の構成要素Γ２を決定するように、変数（ｔ−ｔ０）２の２次多項式を曲線ｌｎ［ｓ（ｔ）］に合わせて調整し、前記最小値Ｇｍｉｎおよび前記最大値Ｇｍａｘの値を決定する前記ステップが、方程式
【数１６】
2015521743.tif 000156
および
【数１７】
2015521743.tif 000157
を使用し、
βおよびγは、それぞれ対数正規分布のパラメータＧの対数の平均および標準偏差であり、その後、
【数１８】
2015521743.tif 000158
および
【数１９】
2015521743.tif 000159
を使用する、請求項７に記載の方法。
【請求項９】
前記関心のある間隔の前記最小値および前記最大値の値を決定する前記ステップが、実験的であり、
関係式ｓ（ｔ）＝Ｓ（ｔ）／Ｓ（ｔ０）によって前記実験テイラー信号
【数２０】
2015521743.tif 000160
と関連する正規化テイラー信号ｓ（ｔ）を決定すること、
前記対数ｌｎ［ｓ（ｔ）］を計算すること、
前記変数ｘ＝（ｔ−ｔ０）２に対する導関数
【数２１】
2015521743.tif 000161
を決定すること、
ａｍｉｎ＝０．１、ａｍａｘ＝３として、関係式
【数２２】
2015521743.tif 000162
および
【数２３】
2015521743.tif 000163
に従って該導関数の極値に関係するパラメータτｍｉｎおよびτｍａｘの値を決定すること、ならびに
ｃ＝１の場合には、
方程式
【数２４】
2015521743.tif 000164
を使用し、
ｃ＝−１の場合には、
【数２５】
2015521743.tif 000165
を使用し、
ｃ＝−１／ｄｆ＝−（１＋ａ）／３の場合には、
【数２６】
2015521743.tif 000166
を使用して、前記最小値Ｇｍｉｎおよび前記最大値Ｇｍａｘを決定する、請求項７に記載の方法。
【請求項１０】
前記実験テイラー信号に基づくパラメータＧ（１）のＴにおける平均＜Ｇ＞Ｔおよび／または前記分解に基づくパラメータＧ（１）のΓにおける平均＜Ｇ＞Γを測定するステップを含み、各平均を、前記方程式の解である振幅分布Ｐ（Ｇ（１））が従わなければならない制約で使用することができる、請求項１から９のいずれか一項に記載の方法。
【請求項１１】
前記最小値Ｇｍｉｎおよび前記最大値Ｇｍａｘの値を決定する前記ステップが、方程式
【数２７】
2015521743.tif 000167
および
【数２８】
2015521743.tif 000168
を使用し、次いで
【数２９】
2015521743.tif 000169
および
【数３０】
2015521743.tif 000170
を使用する、請求項１０と関連する請求項７に記載の方法。
【請求項１２】
前記実験テイラー信号
【数３１】
2015521743.tif 000171
のピーク時間を決定するステップを含み、該ピーク時間を決定するステップが、
該ピーク時間の第１の推定値ｔ０、ｇｕｅｓｓを得るサブステップと、
該推定したピーク時間ｔ０、ｇｕｅｓｓの周りで選択した試験するいくつかの異なるピーク時間ｔ０、ｉについて、カットオフ・レベルに基づいて指定される、異なる長さのいくつかの時間範囲を考慮する一連のキュムラント解析を実行するサブステップと、
該カットオフ・レベルが増加するときには、第１のキュムラントΓ１、第２のキュムラントΓ２および／または該第１のキュムラントに対する該第２のキュムラントの比の２乗が正の値に向かって発散する最適ピーク時間ｔ０を選択し、該カットオフ・レベルが増加するときには、第１のキュムラントΓ１、第２のキュムラントΓ２および／または該第１のキュムラントに対する該第２のキュムラントの比の２乗が負の値に向かって発散する最適ピーク時間ｔ０を選択するサブステップとを含む、請求項１から１１のいずれか一項に記載の方法。
【請求項１３】
コンピュータにより実行されたときに、請求項１から１２のいずれか一項に記載の分子または粒子種の混合物の流体力学的レイ、拡散係数またはモル質量分布を決定する方法を実行するための命令を含む、データ記憶媒体。
【請求項１４】
コンピュータを含む、分子または粒子種の混合物の流体力学的レイ、拡散係数またはモル質量分布を決定するシステムであって、該コンピュータが、請求項１から１２のいずれか一項に記載の分子または粒子種の混合物の流体力学的レイ、拡散係数またはモル質量分布を決定する方法を実行するようにプログラムされる、システム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、テイラー分散の実施により粒子の混合物の粒径分布を決定する方法および関連するシステムに関し、この方法および関連するシステムは、以下のステップを含む。
分析対象の混合物の試料を、溶離剤が流れているキャピラリに注入するステップ、
注入した試料を、検出部分のレベルで測定可能なテイラー分散現象を発生させるのに適した実験条件で、キャピラリに沿って注入部分から検出部分まで移送するステップ、
検出部分を含む最適なセンサにより、移送された試料のテイラー分散に特徴的な信号を生成するステップ、
検出信号を取得して、実験テイラー信号を得るステップ、
実験テイラー信号を解析するステップ。
【０００２】
以下、「粒子」という用語は、溶液中の任意の分子、および／または混合物中に懸濁する粒子を指す。
【０００３】
本明細書では、１つの種は、例えば同じ流体力学的レイなど同じサイズを特徴とする全ての粒子を含む。したがって、１つの種は「粒子サイズ」値と関連付けられる。
【背景技術】
【０００４】
本分野では、テイラー信号の「デコンボルーション（解析）」という用語は、混合物を構成する各種の流体力学的レイの決定およびこれらの各種の濃度の決定をする実験テイラー信号の処理を指す。
【０００５】
国際公開第２０１０／００９９０７Ａ１号パンフレットとして公開された国際出願には、その解析ステップにおいて、実験テイラー信号の様々なデコンボルーションアルゴリズムを実施する、前述のタイプの方法が開示されている。ただし、これらのアルゴリズムは、２成分混合物、すなわち２種類の種の混合物という特殊な場合にしか使用することができない。したがって、これらの既知のアルゴリズムでは、どのような所望の試料でも解析できるわけではなく、２種類の種を混合したものであることが予め分かっている試料しか解析することができない。
【０００６】
実際に、任意の所与の種の混合物の試料の実験テイラー信号をデコンボルーションするという一般問題を解くことは不可能であると、現在は考えられている。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００７】
【特許文献１】国際公開第２０１０／００９９０７Ａ１号
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００８】
したがって、本発明は、特に、任意の所与の混合物の試料の実験テイラー信号のリアルタイム解析を行う方法を提案することで、この問題を緩和しようとするものである。
【課題を解決するための手段】
【０００９】
この目的のために、本発明は、分子または粒子種の混合物の粒径分布を決定する方法であって、
解析対象の前記混合物の試料を、溶離剤が流れているキャピラリ内に注入するステップと、
注入した前記試料を、検出部分のレベルで測定可能なテイラー分散現象を発生させるのに適した実験条件で、前記キャピラリに沿って注入部分から前記検出部分に移送するステップと、
前記検出部分を含む最適なセンサにより、前記移送した試料のテイラー分散に特徴的な信号を生成するステップと、
前記検出信号を処理して、実験テイラー信号
【００１０】
【数１】
2015521743.tif 000003
を得るステップと、
前記実験テイラー信号
【００１１】
【数２】
2015521743.tif 000004
を解析するステップとを含み、
前記混合物の試料の実験テイラー信号
【００１２】
【数３】
2015521743.tif 000005
を解析する前記ステップが、前記実験テイラー信号
【００１３】
【数４】
2015521743.tif 000006
を方程式
【００１４】
【数５】
2015521743.tif 000007
によってガウス関数の和に分解することを可能にする振幅分布Ｐ（Ｇ（ｃ））を探索する。
ここで、ｔは、前記実験テイラー信号が依存する変数であり、ｔ０は、前記実験テイラー信号
【００１５】
【数６】
2015521743.tif 000008
のピークに対応する、前記様々なガウス関数に共通の変数ｔの値であり、
Ｇ（ｃ）は、ガウス振幅関数Ｐ（Ｇ（ｃ））の特徴パラメータであり、
ｃ＝１の場合には、関係式
【００１６】
【数７】
2015521743.tif 000009
に従って種の拡散係数Ｄと関連し、
ｃ＝−１の場合には、関係式
【００１７】
【数８】
2015521743.tif 000010
に従って種の流体力学的レイＲｈと関連し、
ｃ＝−１／ｄｆ＝−（１＋ａ）／３の場合には、関係式
【００１８】
【数９】
2015521743.tif 000011
に従って種のモル質量Ｍと関係する。
ここで、ｋＢは、ボルツマン定数であり、Ｔは、実験が行われるケルビンで表現される絶対温度であり、ηは、使用する前記溶離剤の粘度であり、Ｒｃは、使用する前記キャピラリの内部レイであり、Ｎａは、アボガドロ数であり、Ｋおよびａは、マルク・ホウインク係数であり、
前記探索が、前記方程式の解である前記振幅分布Ｐ（Ｇ（Ｃ））に従わなければならない制約と関連する少なくとも１つの制約項を含む費用関数Ｈαを最小化する制約付き正則化アルゴリズムの実施により行われ、前記最小化が、前記パラメータＧ（ｃ）の値の関心のある間隔について実行される。
【００１９】
特定の実施形態によれば、この方法は、以下の特徴のうちの１つまたは複数を、単独で、または技術的に可能な全ての組合せで含む。
前記方程式が、前記パラメータＧ（ｃ）の値の間隔を細分することによって離散化され、各離散点Ｇｍが、単位値と値Ｎとの間で変化する整数ｍで指標を付けられ、前記点Ｇｍが、長さｃｍの小間隔に対応する点Ｇｍ−１からある距離にある。
前記費用関数が、
Ｈα＝χ２＋α２Δ２
をとり、
第１項χ２が、前記実験テイラー信号
【００２０】
【数１０】
2015521743.tif 000012
と
【００２１】
【数１１】
2015521743.tif 000013
で定義される再構築されたテイラー信号の間の距離項であり、
第２項Δ２が、前記方程式の解である前記振幅分布Ｐ（Ｇ）に従わなければならない前記少なくとも１つの制約と関連する制約項であり、前記第２項が、ラグランジュ係数αによって導入されて、前記費用関数Ｈαの前記第２項の寄与分を前記第１項に適応させることができる。
前記第１項χ２が、
【００２２】
【数１２】
2015521743.tif 000014
をとる「最小２乗」タイプの距離であり、
前記実験テイラー信号
【００２３】
【数１３】
2015521743.tif 000015
および前記再構築された関数Ｓ’（ｔ）が、経時的にサンプリングされ、各試料が、単位値と値Ｌの間で変化する整数ｋで指標を付けられる。
前記方程式の解である前記振幅分布Ｐ（Ｇ）が従わなければならない前記少なくとも１つの制約が、
【００２４】
【数１４】
2015521743.tif 000016
をとることが好ましい制約項Δ２と関連する正則性制約である。
前記解析ステップが、前記費用関数Ｈα＝α０の最小値に対応する距離項χ２の値が、ν＝Ｌ−Ｎをとることが好ましい統計誤差νより小さい値に近くなるように、前記ラグランジュ係数αの最適値α０を決定するステップを含む。
前記パラメータＧ（ｃ）の値の関心のある間隔が、最小値Ｇｍｉｎおよび最大値Ｇｍａｘによって範囲を定められるので、前記方法は、前記最小値および前記最大値の値を決定するステップを含む。
前記実験テイラー信号
【００２５】
【数１５】
2015521743.tif 000017
と関連する正規化テイラー信号ｓ（ｔ）を、関係式ｓ（ｔ）＝Ｓ（ｔ）／Ｓ（ｔ０）によって構成要素に分解するステップを含み、前記分解ステップが、１次の構成要素Γ１および２次の構成要素Γ２を決定するように、前記変数（ｔ−ｔ０）２の２次多項式を曲線ｌｎ［ｓ（ｔ）］に合わせて調整することからなり、前記最小値Ｇｍｉｎおよび前記最大値Ｇｍａｘの値を決定する前記ステップが、方程式
【００２６】
【数１６】
2015521743.tif 000018
および
【００２７】
【数１７】
2015521743.tif 000019
を使用し、
βおよびγは、それぞれ対数正規分布のパラメータＧの対数の平均および標準偏差であり、その後、
【００２８】
【数１８】
2015521743.tif 000020
および
【００２９】
【数１９】
2015521743.tif 000021
を使用する。
前記関心のある間隔の前記最小値および前記最大値の値を決定する前記ステップが、実験的であり、
関係式ｓ（ｔ）＝Ｓ（ｔ）／Ｓ（ｔ０）によって前記実験テイラー信号
【００３０】
【数２０】
2015521743.tif 000022
と関連する正規化テイラー信号ｓ（ｔ）を決定すること、
前記対数ｌｎ［ｓ（ｔ）］を計算すること、
前記変数ｘ＝（ｔ−ｔ０）２に対する導関数
【００３１】
【数２１】
2015521743.tif 000023
を決定すること、
ａｍｉｎ＝０．１、ａｍａｘ＝３として、関係式
【００３２】
【数２２】
2015521743.tif 000024
および
【００３３】
【数２３】
2015521743.tif 000025
に従って前記導関数の極値に関係するパラメータτｍｉｎおよびτｍａｘの値を決定すること、ならびに
ｃ＝１の場合には、方程式
【００３４】
【数２４】
2015521743.tif 000026
を使用し、
ｃ＝−１の場合には、方程式
【００３５】
【数２５】
2015521743.tif 000027
を使用し、
ｃ＝−１／ｄｆ＝−（１＋ａ）／３の場合には、方程式
【００３６】
【数２６】
2015521743.tif 000028
を使用して、前記最小値Ｇｍｉｎおよび前記最大値Ｇｍａｘを決定する。
前記実験テイラー信号に基づくパラメータＧ（１）のＴにおける平均＜Ｇ＞Ｔおよび／または前記分解に基づくパラメータＧ（１）のΓにおける平均＜Ｇ＞Γを測定するステップを含み、各平均を、前記方程式の解である振幅分布Ｐ（Ｇ（１））が従わなければならない制約で使用することができる。
前記最小値Ｇｍｉｎおよび前記最大値Ｇｍａｘの値を決定する前記ステップが、方程式
【００３７】
【数２７】
2015521743.tif 000029
および
【００３８】
【数２８】
2015521743.tif 000030
を使用し、次いで
【００３９】
【数２９】
2015521743.tif 000031
および
【００４０】
【数３０】
2015521743.tif 000032
を使用する。
【００４１】
また、本発明は、コンピュータによって実行されたときに、上述の分子または粒子種の混合物の流体力学的レイ、拡散係数またはモル質量分布を決定する方法を実行するための命令を含むデータ記憶媒体にも関する。
【００４２】
最後に、本発明は、コンピュータを含む、分子または粒子種の混合物の流体力学的レイ、拡散係数またはモル質量分布を決定するシステムであって、前記コンピュータが、上述の分子または粒子種の混合物の流体力学的レイ、拡散係数またはモル質量分布を決定する方法を実行するようにプログラムされるシステムに関する。
【００４３】
本発明のその他の特徴および利点は、例示を目的として与える以下の詳細な説明を、添付の図面を参照して読めば、明らかになるであろう。
【図面の簡単な説明】
【００４４】
【図１】粒子混合物の粒径分布を決定するシステムを示す概略図である。
【図２】図１のシステムによって実施される粒子混合物の粒径分布を決定する方法を示す概略ブロック図である。
【図３】合成高分子の２つの試料の等質量混合物の場合に図２の方法を実施した結果を示すグラフであり、３つの反復する実験テイラー信号の総計を示す図である。
【図４】合成高分子の２つの試料の等質量混合物の場合に図２の方法を実施した結果を示すグラフであり、図２の方法を実施することによって得られる流体力学的レイ分布を、合成高分子試料の供給元から提供される、排除クロマトグラフィによって得られる分布と比較して示す図である。
【図５Ａ】合成高分子の２つの試料の等質量混合物の場合に図２の方法を実施した結果を示すグラフであり、図２の方法によるテイラー信号の調整を示す図である。
【図５Ｂ】合成高分子の２つの試料の等質量混合物の場合に図２の方法を実施した結果を示すグラフであり、図３の実験テイラー信号の構成要素への分解を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００４５】
実験装置
図１を参照すると、粒子の混合物のサイズを決定するシステム２は、テイラー分散現象を発生させ、実験テイラー信号を生成するのに適した実験装置３と、実験装置３から出力された実験テイラー信号を解析して、その試料が実験装置に注入されている粒子混合物の粒径分布をリアルタイムで決定するのに適した解析装置５とを含む。
【００４６】
実験装置３は、既知の通り、キャピラリ６を含む。
【００４７】
実験装置３は、キャピラリ６の一方の端部の近傍に注入部分７を含み、キャピラリ６の他方の端部の近傍に検出部分９を含む。
【００４８】
注入部分７は、解析対象の混合物の試料をキャピラリ６に注入する手段１１を含む。また、注入部分７は、溶離剤がキャピラリ６内を注入部分７から検出部分９まで流すことができる手段も含む。これらの流れ手段は、図１では、ブロック１３として概略的に示してある。
【００４９】
検出部分９は、光学的なものである。検出部分は、光源Ｓから発出された光線をキャピラリ６の狭い部分に収束させるのに適した光源Ｓおよび光学系１５を含む光学セルを備える。光学系１５の光軸に沿って、ただしキャピラリ６の照射側の反対側に、セルは、キャピラリ６を通過した光を収集し、収集した光に対応する検出信号を生成するのに適したＣＣＤ、ダイオード・アレイまたは光電子増倍管センサ１７を含む。センサ１７は、センサ１７が生成した検出信号を前処理してダイジェスト化する電子カード１９に電気的に接続される。カード１９は、時間依存性のデジタル測定信号を出力する。この測定信号を、「実験テイラー信号」またはテイラーグラムと呼ぶ。以下、実験テイラー信号は、
【００５０】
【数３１】
2015521743.tif 000033
と表す。
【００５１】
実験テイラー信号
【００５２】
【数３２】
2015521743.tif 000034
は、所定の時間的頻度でサンプリングされるが、サンプリング点ｔｋ（ｋ＝１、…、Ｌ）は、一定間隔である。したがって、実験テイラー信号
【００５３】
【数３３】
2015521743.tif 000035
は、一群のＬ対のデータ（ｔｋ、
【００５４】
【数３４】
2015521743.tif 000036
）からなる。
【００５５】
１つの変形形態では、検出部分は、例えば質量分析、蛍光（適用可能であればレーザ誘起蛍光）、電気化学または光の拡散を用いる導電率検出器、あるいはさらに一般的に、キャピラリ電気泳動に使用される任意のタイプの検出器など、別のタイプのものであってもよい。特に、テイラー信号は、時間信号（細いセンサの前でテイラー・ピークをスクロールする）でなく、空間信号（幅広のセンサの前でテイラー・ピークを瞬間的に捉える）であってもよい。この場合には、変数ｔは時間を表すのではなく、キャピラリに沿った位置を表す。
【００５６】
解析装置５は、実験装置３の電子カード１９が接続された入出力インタフェース２１を含むコンピュータからなる。
【００５７】
このコンピュータは、ＲＡＭおよび／またはＲＯＭなどのメモリ２３と、マイクロプロセッサなどの処理ユニット２５とをさらに含む。また、このコンピュータは、図１に番号２７で示す、人間／機械インタフェース手段も含む。人間／機械インタフェース手段としては、例えば、ユーザがコンピュータ５と対話することを可能にするタッチ・スクリーンなどが挙げられる。コンピュータの全ての構成要素は、例えばデータ交換バスを用いるなど、既知の方法で相互接続される。
【００５８】
実験テイラー信号
【００５９】
【数３５】
2015521743.tif 000037
は、ソフトウェア・アプリケーションによって処理され、ソフトウェア・アプリケーションの命令は、メモリ２３に格納され、処理ユニット２５によって実行される。このソフトウェアは、図１には、ブロック３１で概略的に示してある。
【００６０】
テイラー信号のモデル化
既知の方法では、（ｉ）信号のピークのレベルにおける分散に対するキャピラリ６に沿った拡散の寄与は無視することができ、（ｉｉ）キャピラリ６への試料の注入時間は十分に短く（通常、注入する体積はキャピラリの容積の１％未満）、（ｉｉｉ）検出装置は、分子の質量に対して感度があると仮定すると、単分散試料、すなわち１種類の種しか含まず、したがって流体力学的レイ値Ｒｈまたは拡散係数Ｄで特徴付けられる試料の実テイラー信号Ｓ（ｔ）は、次のガウス関数でモデル化される。
【００６１】
【数３６】
2015521743.tif 000038
ここで、
Ｃは、計器定数、
Ｍは、種のモル質量、
ρは、種のモル濃度、
Ｒｃは、キャピラリの内部レイ、
ｔ０は、テイラー信号のピークに対応する瞬間、
Ｂは、測定アーチファクトを構成するオフセットである（以下では、この項は、制約付き正則化方法で考慮されるので、分かりやすくするために省略する）。
【００６２】
なお、仮定（ｉｉｉ）は、検出部分で使用するセンサの性質に依存すること、および別のタイプのセンサを使用すれば、当業者には既知の形で本明細書に示す数式が変化することを強調しておく。
【００６３】
多分散試料、すなわち複数の種を含む試料の実テイラー信号Ｓ（ｔ）は、各種の寄与の合計としてモデル化される。したがって、種の連続体を含む混合物を仮定すると、数式（１）は、以下のようにガウス関数の連続和として一般化される。
【００６４】
【数３７】
2015521743.tif 000039
【００６５】
数式（２）では、ガウス関数は、全て、同じ参照時間ｔ０を中心とする。
【００６６】
パラメータ
【００６７】
【数３８】
2015521743.tif 000040
を導入して、数式（２）を、
【００６８】
【数３９】
2015521743.tif 000041
のようにする。Ｐ（Ｇ）は、以下、パラメータＧのガウス関数の「振幅分布」と呼ぶ。
【００６９】
パラメータＧの値は、拡散係数Ｄを介して、種と関連する。例えば、ストークス・アインシュタイン・サザーランドの式では、パラメータＧの値と、流体力学的レイ値Ｒｈによって特徴付けられる種とを、
【００７０】
【数４０】
2015521743.tif 000042
として関連付けることができる。ここで、
ｋＢは、ボルツマン定数、
Ｔは、実験を行う絶対温度（単位ケルビン）、
ηは、使用する溶離剤の粘度である。
【００７１】
したがって、数式（３）において、各ガウス関数
【００７２】
【数４１】
2015521743.tif 000043
は、実テイラー信号Ｓ（ｔ）の全振幅に対する、１つの種の寄与を表す。各ガウス関数の振幅Ｐ（Ｇ）は、混合物中の対応する種の濃度に直接依存する。
【００７３】
ソフトウェア３１の機能は、実テイラー信号Ｓ（ｔ）を実験テイラー信号
【００７４】
【数４２】
2015521743.tif 000044
で置換したときの数式（３）に対応する以下の数式の解である分布Ｐ（Ｇ）を決定することである。
【００７５】
【数４３】
2015521743.tif 000045
【００７６】
実験装置によって生じる測定誤差
あらゆる測定装置と同様に、検出部分９でも系統的測定誤差が生じるので、実験テイラー信号
【００７７】
【数４４】
2015521743.tif 000046
は、実テイラー信号Ｓ（ｔ）と完全には等しくならない。
【００７８】
数式（５）を解くと、それぞれが測定誤差の解となるいくつかの分布が決定される。換言すれば、数式（５）を解くと、実験テイラー信号
【００７９】
【数４５】
2015521743.tif 000047
に合わせて調節された再構築されたテイラー信号
【００８０】
【数４６】
2015521743.tif 000048
の和をそれぞれ生じる、ガウス関数のいくつかのファミリが特定される。この調整の基準は、検出部分によって生じる測定誤差を考慮している。
【００８１】
ただし、数式（５）の解となる様々な分布Ｐ（Ｇ）のうち、物理的重要性を有するのは一部のみである。ソフトウェア３１が決定するのに適しているのは、このような「物理的」解である。
【００８２】
物理的に重要な分布を決定する方法
この問題を解消するために、ソフトウェア３１は、制約付き正則化方法を実施するアルゴリズムを使用する。
【００８３】
このアルゴリズムは、数式（５）のパラメータＧに関する離散化によって得られる以下の数式に基づく。
【００８４】
【数４７】
2015521743.tif 000049
ここで、所定の最小値Ｇｍｉｎ＝Ｇ０と最大値Ｇｍａｘ＝ＧＮの間のパラメータＧの関心のある値の間隔は、整数ｍで識別される長さｃｍのＮ個の小間隔に細分される。好ましくは、これらの様々な小間隔は、同じ長さ
【００８５】
【数４８】
2015521743.tif 000050
を有する。
【００８６】
限界は、数式（６）が離散化される間隔が分布Ｐ（Ｇ）がニルにならない間隔を超えるように設定される。したがって、Ｐ（Ｇ１）＝Ｐ（ＧＮ）＝０である。
【００８７】
数式（６）の未知数は、全ての振幅Ｐ（Ｇｍ）（ｍ＝１、…、Ｎ）からなる。
【００８８】
原則として、数式（６）の解は、再構築したテイラー信号
【００８９】
【数４９】
2015521743.tif 000051
によって実験テイラー信号
【００９０】
【数５０】
2015521743.tif 000052
を調整するプロセスによって得られる。すなわち、任意の時間ｔｋについて、Ｓ’（ｔｋ）は、可能な限り
【００９１】
【数５１】
2015521743.tif 000053
に近くなければならない。
【００９２】
しかし、物理的に重要で確固たる結果を得るためには、調整プロセス中に、振幅Ｐ（Ｇｍ）に関する入手できる全ての情報を考慮して、物理的に許容可能でない全ての解を排除するようにすることが必要である。
【００９３】
この目的のために、制約付き正則化アルゴリズムは、Ｎ個の未知のＰ（Ｇｍ）に依存する費用関数を最小限に抑え、振幅Ｐ（Ｇｍ）に関する入手できる情報を制約に変換することによって、数式（６）を解く。
【００９４】
本実施形態では、費用関数Ｈαは、以下の形態をとる。
Ｈα＝χ２＋αΔ２                                        （７）
【００９５】
この数式は、「実験テイラー信号
【００９６】
【数５２】
2015521743.tif 000054
と再構築したテイラー信号Ｓ’（ｔｋ）の間の距離」に対応する第１項χ２を含む。
【００９７】
例えば、この第１項は、「最小２乗」タイプの距離である。
【００９８】
【数５３】
2015521743.tif 000055
【００９９】
別の距離測度を使用することもできる。特に、前述の和において、瞬間ｔｋにおける測定値に影響を及ぼすノイズに反比例する係数ｗｋで各項に重み付けする距離測度を使用することもできる。
【０１００】
費用関数Ｈαは、制約項と呼ばれる、物理的重要性のない振幅Ｐ（Ｇｍ）をペナライズする制約を表す第２項Δ２を含む。
【０１０１】
例えば、
【０１０２】
【数５４】
2015521743.tif 000056
である。
【０１０３】
この例では、制約項は、分布Ｐ（Ｇ）の２次導関数の２乗した項の和に対応する。この制約項は、正則性制約に変換される。近傍の振幅Ｐ（Ｇｍ−１）またはＰ（Ｇｍ＋１）に対して変化が速すぎる振幅Ｐ（Ｇｍ）は、したがってペナライズされる。
【０１０４】
正則性制約の別の例は、以下である。
【０１０５】
【数５５】
2015521743.tif 000057
【０１０６】
この制約項は、分布Ｐ（Ｇ）の３次導関数の２乗した項の和に対応する。ｎ次導関数（ｎ≧１）に基づく正則性制約への一般化は直接的であり、当業者なら行うことができる。
【０１０７】
以下、使用する正則性制約は、数式（９）の分布Ｐ（Ｇ）の２次導関数のものとする。
【０１０８】
費用関数Ｈαの第１項および第２項は、ラグランジュ係数である係数αの値を選択することによって適合させることができる相対寄与を有する。この係数は、距離項に対する制約項のサイズを検証するものである。αが非常に小さい場合には、制約項は無視することができる。この場合には、費用関数を最小化すると、実験データに合わせた単純な調整と同じ結果が得られる。一方、αの値が大きすぎる場合には、有意な費用がＰ（Ｇ）への制約に割り当てられ、このアルゴリズムは、実験データに適切に当てはまらない解を維持する危険性はあるが、制約に従わない解を排除することになる。
【０１０９】
追加的等式または不等式あるいはＰ（Ｇｍ）１次不等式の形で表現することができる追加的制約は、費用関数の最小値を探索する間に、Ｐ（Ｇｍ）の空間に特有の小領域に探索を限定することによって、直接課される。
【０１１０】
例えば、振幅は正である、すなわちＰ（Ｇｍ）≧０、∀ｍであるという制約は、正の振幅の半空間のみで費用関数を最小にすることによって課される。
【０１１１】
例えば、パラメータＧの平均＜Ｇ＞の値が決定されている場合には、数式（６）の解である振幅Ｐ（Ｇｍ）に対する追加的制約は、それらの振幅によって、偏差εにおいて予め決定された平均＜Ｇ＞を決定することができるというものである。この制約は、Ｐ（Ｇｍ）１次不等式の形でも表現される。
【０１１２】
【数５６】
2015521743.tif 000058
【０１１３】
例えば、ε／＜Ｇ＞＝５％である。
【０１１４】
数式１２は、算術平均以外の種類の平均に容易に一般化することができる。
【０１１５】
【数５７】
2015521743.tif 000059
例えば、以下で導入する平均＜Ｇ＞Ｔおよび＜Ｇ＞Γなどである。
【０１１６】
重要な点は、数式７における費用関数Ｈαの係数αの選択である。係数αの選択には、２つの方法をとることができる。
【０１１７】
第１の方法は、距離項χ２が、測定誤差および制約付き正則化プロセスの自由度の数に依存する統計的に予想される値を超えないように、大きい方のαの値を選択する。したがって、各実験点について、測定誤差の標準偏差σｋが既知である場合には、αは、距離項χ２の正規化値
【０１１８】
【数５８】
2015521743.tif 000060
が自由度の数ν＝Ｌ−Ｎを超えないように選択される。ここで、
【０１１９】
【数５９】
2015521743.tif 000061
は、以下の数式で与えられる。
【０１２０】
【数６０】
2015521743.tif 000062
【０１２１】
ノイズの標準偏差σｋが既知でない場合には、その推定値σｅｓｔを、実験データと、制約を考慮しない場合に可能な最良の調整結果、すなわちα＝０で得られる結果との間の平均偏差に基づいて決定することができる。すなわち、
【０１２２】
【数６１】
2015521743.tif 000063
である。ここで、Ｓ’（ｔｋ）（α＝０）は、費用関数Ｈα＝０の第１項のみを最小にすることによって得られる振幅Ｐ（Ｇｍ）に基づいて再構築されたテイラー信号のｋ番目の点の値である。
【０１２３】
ノイズが推定されたら、数式１２のσｋをσｅｓｔで置換することによって計算される距離項χ２の正規化値
【０１２４】
【数６２】
2015521743.tif 000064
が自由度の数ν＝Ｌ−Ｎを超えないように、αが選択される。
【０１２５】
第２の方法は、距離項と制約項に等しい重みを与えるαの値を選択する。
【０１２６】
この場合には、保持されるパラメータαは、制約関数Ｈαが最小化された後で、その結果がχ２＝αΔ２となるようなαである。
【０１２７】
実際には、αの選択は、係数αの値の大きな範囲を走査することによって行われる。αの各値について、費用関数Ｈαを最小にする全ての振幅Ｐ（Ｇｍ）が決定される。
【０１２８】
【数６３】
2015521743.tif 000065
、ＨαおよびＰ（Ｇｍ）の対応する値を、記録する。これらの全ての試行の中で、
【０１２９】
【数６４】
2015521743.tif 000066
となるように最大の値を有するラグランジュ係数α０が、最終的に保持される。
【０１３０】
デジタル探索の効率を向上させるために、最初に大きなステップを有する試行グリッドでαの値を走査し、その後、より精細なグリッドを用いてαの値を精錬する。
【０１３１】
実験テイラー信号からの＜Ｇ＞Ｔおよび＜Ｇ＞Γの決定
以下、実験テイラー信号から直接得ることができる、Ｇの２つの平均を提示する。
【０１３２】
パラメータＧのＴ平均は、
【０１３３】
【数６５】
2015521743.tif 000067
と定義され、パラメータＧのΓ平均は、
【０１３４】
【数６６】
2015521743.tif 000068
と定義される。ここで、ｃｍは、数式（６）に関連して定義したものである。
【０１３５】
これらの平均を決定することの目的は、２つある。
これにより、数式（６）を解く間に、振幅Ｐ（Ｇｍ）に対する制約を追加することができる。
これにより、分布Ｐ（Ｇ）の平均および幅を推定することができる。この情報は、それ自体が興味深いだけでなく、数式（６）の解を探す際に頼りにすることができるパラメータＧの値の間隔を決定することを可能にする。
【０１３６】
＜Ｇ＞Ｔは、実験テイラー信号の時間的分散に基づいて計算することができ、＜Ｇ＞Γは、以下に述べる累積的手法に基づいて計算することができる。
【０１３７】
実験テイラー信号の時間的分散に基づく＜Ｇ＞Ｔの決定
これは、以下のように示される。
【０１３８】
【数６７】
2015521743.tif 000069
【０１３９】
したがって、パラメータＧのＴ平均は、実験テイラー信号を積分することによって得られる。
【０１４０】
【数６８】
2015521743.tif 000070
とすると、パラメータＧのＴ平均は、以下で与えられる。
【０１４１】
【数６９】
2015521743.tif 000071
【０１４２】
実験テイラー信号の分解に基づく＜Ｇ＞Γの決定
この項では、中程度に多分散した試料の場合の実験テイラー信号の分解について述べる。
【０１４３】
粒径分布は離散的であると仮定する。すると、数式（２）は、以下のようになる。
【０１４４】
【数７０】
2015521743.tif 000072
ここで、ρｉは、混合物中のｉ番目の種のモル濃度であり、ＭｉおよびＤｉは、それぞれそのモル質量および拡散係数である。
【０１４５】
ここで、
【０１４６】
【数７１】
2015521743.tif 000073
を導入することによって、テイラー信号をそのピークの高さに対して「正規化」すると有用である。ここで、
【０１４７】
【数７２】
2015521743.tif 000074
であり、また、
【０１４８】
【数７３】
2015521743.tif 000075
は、テイラー信号中のｉ番目の種の相対寄与である。なお、ｆｉは、ｉ番目の種の拡散係数に依存することに留意されたい。
【０１４９】
パラメータＧのΓ平均は、以下のように表される。
【０１５０】
【数７４】
2015521743.tif 000076
【０１５１】
＜δＧ＞Γ＝０としてＧｉ＝＜Ｇ＞Γ＋δＧｉと仮定することにより、数式（１９）は以下のようになる。
【０１５２】
【数７５】
2015521743.tif 000077
これは、ガウス関数と補正項の積である。
【０１５３】
（ｔ−ｔ０）２δＧｉ＜＜１の場合には、すなわちテイラー信号のピーク付近では、数式（２１）の第２項を制限展開すると、以下のようになる。
【０１５４】
【数７６】
2015521743.tif 000078
【０１５５】
これは、数式（２１）において
【０１５６】
【数７７】
2015521743.tif 000079
および
【０１５７】
【数７８】
2015521743.tif 000080
を用いると、
【０１５８】
【数７９】
2015521743.tif 000081
となる。
【０１５９】
粒径分布が広すぎない場合には（すなわちわずかに多分散した試料の場合には）、正規化テイラー信号ｓ（ｔ）をガウス関数（単分散試料の場合と同様）と補正項（多分散試料の場合の偏差を考慮に入れるためのもの）の和として表すことができる。
【０１６０】
数式（２３）の対数をとり、新たな制限展開を行うと、以下の数式が得られる。
【０１６１】
【数８０】
2015521743.tif 000082
【０１６２】
数式（２４）は、所望のキュムラント展開である。係数Γ１＝＜Ｇ＞ΓおよびΓ２＝＜δＧ２＞Γは、この展開の１次および２次のキュムラントである。
【０１６３】
これらは、変数（ｔ−ｔ０）２の２次多項式を関数ｌｎ［ｓ（ｔ）］に合わせて調整することによって得ることができる。
【０１６４】
第１のキュムラントから、拡散係数のΓ平均も得られる。
【０１６５】
【数８１】
2015521743.tif 000083
【０１６６】
拡散係数Ｄが異なるパワーに現れるので、Γ平均は、前述のＴ平均とは異なる。これらの２つの平均は、分布Ｐ（Ｇ）について異なる情報を含む。これらの平均により、費用関数における２つの制約の追加を最小限に抑えることができる。
【０１６７】
第２のキュムラントは、拡散係数の分布の分散のΓ平均と関連付けられ、試料の多分散性の推定値を与える。さらに詳細には、第２のキュムラントを第１のキュムラントの２乗で割った比は、以下のようになる。
【０１６８】
【数８２】
2015521743.tif 000084
【０１６９】
解を求めるためのパラメータＧ値の間隔の選択
制約付き正則化調整手順では、分布Ｐ（Ｇ）を求めるための値Ｇの間隔の選択は、重要な要素である。
【０１７０】
実際に、数式（６）の離散化に使用される点の数Ｎは、あまり大きくてはならない。大きすぎると、調整のための計算時間が長くなりすぎるからである。
【０１７１】
さらに、Ｎは、実験テイラー信号のデジタル化点の数Ｌよりかなり小さくなければならない。
【０１７２】
代表的なＮの値は、５０〜２００の範囲である。
【０１７３】
これらの考慮事項から、間隔［Ｇｍｉｎ、Ｇｍａｘ］（Ｇｍｉｎ＝Ｇ０、およびＧｍａｘ＝ＧＮ）は、慎重に選択しなければならないことが分かる。
【０１７４】
ただし、分布Ｐ（Ｇ）の切捨てによるアーチファクトを回避するために、分布の間隔［Ｇｍｉｎ、Ｇｍａｘ］は、分布Ｐ（Ｇ）がニルにならない間隔より大きくなければならない。
【０１７５】
さらに、分布Ｐ（Ｇ）がニルにならない間隔が、間隔［Ｇｍｉｎ、Ｇｍａｘ］の小間隔で狭すぎる場合には、離散化中に分布Ｐ（Ｇ）の詳細が十分に決定されない。
【０１７６】
また、ＧｍｉｎおよびＧｍａｘの決定を可能にする自動手続きを定義して、ユーザが間隔の限界を選択し、一連の試行錯誤を回避するのに時間を無駄にしないようにすることも重要である。
【０１７７】
発明者等は、ＧｍｉｎおよびＧｍａｘを決定するための可能な手法を３つ提案する。最初の２つの手法は、等価対数正規分布の計算に基づくものであり、第３の手法は、実験的なものであり、キュムラントへの分解に使用される同じ軸系の（ｔ−ｔ０）２に依存するｌｎ［Ｓ（ｔ）］の表現に基づくものである。
【０１７８】
対数正規分布に基づく間隔の決定
等価対数正規分布
対数正規分布は、高分子または粒子の試料の粒径分布を高い精度で記述することができることが多い。
【０１７９】
【数８３】
2015521743.tif 000085
ここで、
ＰＤＦ（Ｇ）は、試料の粒子がＧとＧ＋ｄＧの間のＧ値を有する確率密度であり、
βおよびγは、それぞれ、パラメータＧの対数ｌｎＧの平均および標準偏差である。
【０１８０】
対数正規分布は、複雑な混合物には適さないモデルであることもあるが、任意の混合物の等価対数正規分布を決定することは、数式（６）の解である分布Ｐ（Ｇ）を求めるためのパラメータＧの値の間隔を推定するのに有用である。
【０１８１】
確率密度ＰＤＧ（Ｇ）は、パラメータβおよびγのみに依存する。これら２つのパラメータは、＜Ｇ＞Ｔおよび＜Ｇ＞Γから決定することができる。
【０１８２】
その定義は、以下の通りである。
【０１８３】
【数８４】
2015521743.tif 000086
【０１８４】
【数８５】
2015521743.tif 000087
【０１８５】
数式（２８）および（２９）に数式（２７）を代入すると、以下が得られる。
【０１８６】
【数８６】
2015521743.tif 000088
【０１８７】
【数８７】
2015521743.tif 000089
【０１８８】
また、以下の関係に従って、１次および２次のキュムラントから等価対数正規分布を得ることもできる。
【０１８９】
【数８８】
2015521743.tif 000090
【０１９０】
【数８９】
2015521743.tif 000091
【０１９１】
結論として、数式（３０）および（３１）に従って＜Ｇ＞Ｔおよび＜Ｇ＞Γから、または数式（３２）および（３３）に従ってΓ１およびΓ２から、対数正規分布を決定することができる。
【０１９２】
等価対数正規分布に基づく間隔の限界の計算
ＧｍｉｎおよびＧｍａｘは、分布Ｐ（Ｇ）を等価対数正規分布で置換することによって推定することができる。
【０１９３】
目的は、間隔［Ｇｍｉｎ、Ｇｍａｘ］が、実験テイラー信号と等価な対数正規分布のかなりの部分をカバーすることである。この分布のこの部分は、以下によって得られる。
ΔＱＧ＝ＱＧ（Ｇｍａｘ）−ＱＧ（Ｇｍｉｎ）  （３２）
ここで、ＱＧ（Ｇ）は、
【０１９４】
【数９０】
2015521743.tif 000092
によって定義される累積確率である。
【０１９５】
さらに、間隔［ＱＧ（Ｇｍｉｎ）、ＱＧ（Ｇｍａｘ）］が、中間値ＱＧ＝１／２に対して対称的に分布することが好ましい。したがって、以下のようになる。
ＱＧ（Ｇｍｉｎ）＝１−ＱＧ（Ｇｍａｘ）                                  （３４）
【０１９６】
このように仮定した状況では、数式（３６）は、以下を生じる。
【０１９７】
【数９１】
2015521743.tif 000093
ここで、ｅｒｆは、当業者には既知の誤差関数である。
【０１９８】
これにより、以下が得られる。
【０１９９】
【数９２】
2015521743.tif 000094
、すなわち
【０２００】
【数９３】
2015521743.tif 000095
；
【０２０１】
【数９４】
2015521743.tif 000096
また、
【０２０２】
【数９５】
2015521743.tif 000097
、すなわち
【０２０３】
【数９６】
2015521743.tif 000098
；
【０２０４】
【数９７】
2015521743.tif 000099
ここで、ｋ＝ｅｒｆ−１（ΔＱＧ）であり、ｅｒｆ−１は、逆誤差関数である。
【０２０５】
例えば、ΔＱＧ＝９９．５３％である場合には、ｋ＝２であり、ΔＱＧ＝９９．９９８％である場合には、ｋ＝３である。
【０２０６】
キュムラントへの分解に基づく間隔の実験的決定
簡潔にするために、ｘ＝（ｔ−ｔ０）２という表現を使用する。
【０２０７】
単分散試料では、ｘの関数としてのｌｎ［ｓ（ｔ）］は直線であり、その勾配が、試料の種の拡散係数を与える。すなわち、
【０２０８】
【数９８】
2015521743.tif 000100
となる。
【０２０９】
したがって、∂ｌｎｓ／∂ｘは、ｘに依存しない、すなわち、時間依存性ではない。
【０２１０】
一方、多分散試料では、ｘに依存する曲線ｌｎ［ｓ（ｔ）］は、導関数∂ｌｎｓ／∂ｘを決定することによって計算される湾曲を有する。これは、パラメータＧに比例する。
【０２１１】
数式（４０）に基づいて、小さな拡散係数を有する種が小さなＧ値に対応し、したがってテイラー信号のわずかな経時的な減少に対応するので、Ｇｍｉｎがｌｎｓ（絶対値）の局所勾配の最小値と関連付けられると仮定する。したがって、以下のように仮定する。
【０２１２】
【数９９】
2015521743.tif 000101
ここで、｜∂ｌｎｓ／∂ｘ｜の最小値は、実験的に決定されるｘの適応後の間隔に基づいて求められ、ｂｍｉｎは、やはり実験的に決定される数値係数である。
【０２１３】
あらゆる種類の試料の多数のテイラー信号を研究することにより、発明者等は、ｘの適当な間隔は、その間に信号ｓ（ｔ）が２桁減少する間隔であることを発見した。これは、ｓ（ｔ１）＝Ｓ（ｔ１）／Ｓ（ｔ０）＝０．０１となるように、ｓ（ｔ）のピークに対応する時間ｔ０と時間ｔ１の間の時間間隔に対応する。
【０２１４】
同様に、
【０２１５】
【数１００】
2015521743.tif 000102
と考えられる。ここで、｜∂ｌｎｓ／∂ｘ｜の最大値は、ｘの同じ間隔に基づいて求められる。
【０２１６】
実験テイラー信号の解析では、ｓ（ｔ）の特徴的な減少時間を推定すると、より簡単である。減少時間をτ＝Ｇ−１／２と定義すると、最小減少時間および最大減少時間は、前述の関係に基づいて、以下のように定義される。
【０２１７】
【数１０１】
2015521743.tif 000103
【０２１８】
【数１０２】
2015521743.tif 000104
【０２１９】
あらゆる種類の試料の多数のテイラー信号を研究することにより、発明者等は、パラメータａｍｉｎおよびａｍａｘの以下の値が、所望の最小値および最大値を定めることができることを発見した。
ａｍｉｎ＝０．１；ａｍａｘ＝３、すなわちｂｍｉｎ＝１／９；ｂｍａｘ＝１００      （４３）
【０２２０】
最後に、データを調整するために使用される値ＧｍｉｎおよびＧｍａｘは、以下のように計算される。
【０２２１】
【数１０３】
2015521743.tif 000105
【０２２２】
【数１０４】
2015521743.tif 000106
【０２２３】
パラメータＧに従う分布に基づくパラメータＤ、ＲｈまたはＭに従う分布の計算
振幅Ｐ（Ｇ）の分布が得られたら、拡散係数Ｄに従う振幅ＰＤ（Ｄ）の分布を容易に計算することができる。
【０２２４】
以下の数式は、確率変数ｙの確率分布Ｐｙを確率変数ｘの確率分布Ｐｘに関連付けるものである。ここで、ｘはｙの関数である。
【０２２５】
【数１０５】
2015521743.tif 000107
ここで、
【０２２６】
【数１０６】
2015521743.tif 000108
とすると、以下が得られる。
【０２２７】
【数１０７】
2015521743.tif 000109
【０２２８】
この式では、分布Ｐ（Ｇ）が必ずしも正規化されていないので、文語に整数を導入した。
【０２２９】
試料の多分散性は、第１の流体力学的レイＲｈまたはモル質量Ｍのパラメータに従う振幅分布に関して表現することが望ましいことが多い。
【０２３０】
これら２つの分布は、数式（４６）および以下の変換規則を用いて、分布Ｐ（Ｇ）に基づいて計算することができる。
【０２３１】
【数１０８】
2015521743.tif 000110
【０２３２】
【数１０９】
2015521743.tif 000111
【０２３３】
数式（４８）は、ストークス・アインシュタインの関係
【０２３４】
【数１１０】
2015521743.tif 000112
を使用する。ここで、ｋＢは、ボルツマン定数、Ｔは、絶対温度、ηは、溶離剤の粘度である。
【０２３５】
数式（４９）は、希釈懸濁液の粘度のアインシュタイン方程式、および固有粘度［η］を以下の関係に従ってモル質量と関連付けるマルク・ホウインク方程式を使用する。
［η］＝ＫＭａ （５０）
ここで、Ｋおよびａは、マルク・ホウインク係数である。
【０２３６】
流体力学的レイをモル質量の関数とし与える以下の関係を使用することもできる。
【０２３７】
【数１１１】
2015521743.tif 000113
ここで、Ｎａは、アボガドロ数であり、ｄｆ＝３／（１＋ａ）は、物体のフラクタル次元である（例えば、通常の小型の物体ではｄｆ＝３、統計的高分子では２、良溶媒中の高分子では５／３である）。
【０２３８】
数式（４８）および（４９）は、ＧがそれぞれＲｈおよびＭにおいて非線形であり、Ｇが単純にＤに比例することを示す。
【０２３９】
この非線形性により、数式（６）の解として特定されるパラメータＧに従う分布の変換により、費用関数の制約、特に正則性制約に必ずしも従わないパラメータＲｈまたはパラメータＭに従う分布が得られる。ほとんどの場合には、この変換により、実際には、パラメータＲｈまたはパラメータＭに従う分布に非物理的なピークまたは信号が生じる。
【０２４０】
これは、上記で詳細に述べた方法の変形形態において、この方法が、制約付き正則化によって、１つまたは複数の制約に従い、かつ実験データの正しい再現を可能にするパラメータＲｈまたはパラメータＭに従う分布を直接求めるからである。
【０２４１】
この目的のために、実験テイラー信号は、適応後のパラメータのガウシアンのファミリに基づいて分解する。すなわち、数式（５）は、したがって、以下の形に一般化される。
【０２４２】
【数１１２】
2015521743.tif 000114
ここで、以下の３つの場合を考慮している。
（１）ｃ＝１：Ｄに従う振幅分布を求めるときに使用する。
（２）ｃ＝−１：Ｒｈに従う振幅分布を求めるときに使用する。
（３）ｃ＝−／ｄｆ＝−（１＋ａ）／３：Ｍに従う振幅分布を求めるときに使用する。
Ｐｎｏｒｍ（Ｇ（ｃ））は、適切に正規化された分布Ｐ（Ｇ（ｃ））である。
【０２４３】
【数１１３】
2015521743.tif 000115
【０２４４】
（１）の場合には、Ｇ（１）＝Ｇである。この場合、数式（５４）は、数式（５）になる。振幅ＰＤ（Ｄ）は、以下の数式を用いて、振幅分布Ｐ（Ｇ（１））に基づいて決定される。
【０２４５】
【数１１４】
2015521743.tif 000116
【０２４６】
（２）の場合には、
【０２４７】
【数１１５】
2015521743.tif 000117
である。
【０２４８】
制約付き正則化アルゴリズムを実施することにより、振幅分布Ｐ（Ｇ（−１））が決定される。この場合、分布ＰＲ（Ｒｈ）は、以下の関係に従ってＰｎｏｒｍ（Ｇ（−１））に基づいて決定される。
【０２４９】
【数１１６】
2015521743.tif 000118
【０２５０】
最後に、（３）の場合には、
【０２５１】
【数１１７】
2015521743.tif 000119
である。
【０２５２】
制約付き正則化アルゴリズムを実施することにより、振幅分布Ｐ（Ｇ（−（１＋ａ）／３））が決定される。この場合、分布ＰＭ（Ｍ）は、以下の関係に従ってＰｎｏｒｍ（Ｇ（−（１＋ａ）／３））に基づいて決定される。
【０２５３】
【数１１８】
2015521743.tif 000120
【０２５４】
分布Ｐ（Ｇ（ｃ））を求めるための間隔［Ｇ（ｃ）、ｍｉｎ、Ｇ（ｃ）、ｍａｘ］を選択する方法は、上述の方法と同様である。特に、τｍｉｎおよびτｍａｘは、数式（４３）および（４４）に従って計算される。最後に、値Ｇ（ｃ）、ｍｉｎ、Ｇ（ｃ）、ｍａｘは、以下のように決定される。
【０２５５】
【数１１９】
2015521743.tif 000121
【０２５６】
【数１２０】
2015521743.tif 000122
【０２５７】
【数１２１】
2015521743.tif 000123
【０２５８】
試料の粒径分布を決定する方法
粒子の混合物の粒径分布を決定する方法について、図２を参照して述べる。
【０２５９】
この方法は、実験装置３の注入部分７に解析対象の試料を注入する第１のステップ１００を含む。
【０２６０】
次いで、ステップ１１０で、キャピラリ６内に溶離剤を導入して循環させる手段１３を起動した後で、注入した試料を、実験装置３の注入部分７から検出部分９に移送する。実験条件（溶離剤の性質、溶離剤の流速、注入部分を検出部分から分離する移送距離、温度、キャピラリの内部レイなど）は、検出部分９で検出可能なテイラー分散現象が起こるように適応させる。以下の実験例で、精密な実験条件を示す。
【０２６１】
ステップ１２０で、溶離剤によって移送される試料が、検出部分９の光学セルを通過する。次いで、センサ１７が、試料中で起こるテイラー分散に特徴的な電気測定信号を生成する。
【０２６２】
ステップ１３０で、センサ１７によって生成された検出信号を、電子カード１９が処理して、ダイジェスト実験テイラー信号
【０２６３】
【数１２２】
2015521743.tif 000124
を送達する。
【０２６４】
ステップ１４０で、コンピュータ５が、実験テイラー信号
【０２６５】
【数１２３】
2015521743.tif 000125
を取得する。
【０２６６】
次いで、ソフトウェア３１を実行することによって実験テイラー信号を解析して（ステップ２００）、粒径分布を決定する。ソフトウェア３１は、以下の基本ステップを実行する。
【０２６７】
ステップ１４２で、第１の適応されたメニューをユーザに対して提示して、制約付き正則化方法を実行する際に従うパラメータをユーザが選択することができるようにする。したがって、ユーザは、拡散係数Ｄ（（１）の場合、ｃ＝１）、流体力学的レイ（（２）の場合、ｃ＝−１）、またはモル質量Ｍ（（３）の場合、ｃ＝−１／ｄｆ）のいずれかを選択することができる。また、ユーザは、求める分布の離散化のための数Ｎを選択するように求められる。以下では、簡潔にするために、ユーザが、拡散係数Ｄを選択し、考慮するパラメータはパラメータＧであるものと仮定する。
【０２６８】
ステップ１４４で、第２の適応されたメニューをユーザに対して提示して、数式（５）の解である分布を求める際に考慮する制約の数および性質をユーザが選択することができるようにする。選択されるものとして提案される制約としては、例えば、以下のようなものが挙げられる。
１．分布の正則性。
２．分布が全ての点で正である。
３．分布から、所定のＴ平均に指定の偏差をプラスまたはマイナスしたものが得られなければならない。
４．分布から、所定のΓ平均に指定の偏差をプラスまたはマイナスしたものが得られなければならない。
【０２６９】
以下では、第１の制約は、費用関数のラグランジュ乗数によって実施され、その他の制約は、費用関数の極値を求める振幅分布Ｐ（Ｇｍ）の空間を適切に制限することによって直接実施されるものと仮定する。
【０２７０】
ステップ１４６で、実験テイラー信号
【０２７１】
【数１２４】
2015521743.tif 000126
を、キュムラントに分解する。さらに詳細には、正規化テイラー信号
【０２７２】
【数１２５】
2015521743.tif 000127
を最初に決定し、その後、その対数ｌｎ［ｓ（ｔ）］を計算する。最後に、変数（ｔ−ｔ０）２の２次多項式を、関数ｌｎ［ｓ（ｔ）］に合わせて調整する。次いで、１次および２次のキュムラントΓ１およびΓ２を決定する。Γ１は、特に、パラメータＧのΓ平均の測定を可能にする。さらに、テイラー信号のＴ平均を測定する。
【０２７３】
ステップ１４８で、分布を求めるパラメータＧの値の間隔の限界ＧｍｉｎおよびＧｍａｘを、数式（３２）および（３３）を用い、その後に数式（３８）および（３９）を用いて、ステップ１４８で得られた１次および２次のキュムラントΓ１およびΓ２の値に基づいて決定される等価対数正規分布に基づいて計算する。
【０２７４】
ステップ１５０で、費用関数Ｈαを、ステップ１４４でユーザによって選択された第１の制約から展開する。選択された制約に関連する制約項は、コンピュータ５のメモリに格納される。
【０２７５】
ステップ１５２で、ステップ１５４で決定される間隔ＧｍｉｎおよびＧｍａｘをＮ個の小間隔に細分することにより、費用関数Ｈαの離散表現を得る。
【０２７６】
ステップ１５４で、一群の試験値中のラグランジュ係数αの各値について、費用関数Ｈαの最小値を決定する。振幅が正となり、所定の偏差を有する所定のＴ平均およびΓ平均を生じなければならない厳密な制約を考慮するために、費用関数の最小値は、これらの厳密な制約を満たす振幅Ｐ（Ｇｍ）の適当な小空間でのみ求める。
【０２７７】
ステップ１５６で、統計誤差νを決定し、ラグランジュ係数αの最適値α０を、ステップ１５６でこの統計誤差νより小さい値で最も近い距離項χ２を生じたラグランジュ係数の値を選択することによって決定する。
【０２７８】
ステップ１５８で、求めた分布Ｐ（Ｇ）の一群は、ステップ１５６で決定したラグランジュ係数の最適値α０の費用関数Ｈαを最小にする分布の一群である。
【０２７９】
ステップ１６０で、混合物の粒子のサイズに関係する値を、ステップ１５８で得られた分布Ｐ（Ｇ）に基づいて計算する。
【０２８０】
最後に、ステップ１６２で、適応変換のために、流体力学的レイまたはモル質量に従う分布を、ステップ１５８で得られた分布Ｐ（Ｇ）に基づいて計算する。
【０２８１】
適用可能であれば、計算した様々な分布を、コンピュータ５のスクリーンに表示する。ソフトウェア３１は、計算した分布に対してユーザが所望の計算を行うことができるようにする「ツール」を含む。
【０２８２】
ソフトウェア３１は、したがって、実験テイラー信号の解析の各ステップを実行するのに適した手段を含む。
【０２８３】
１つの変形形態では、分布Ｐ（Ｇ）を求める間隔の限界ＧｍｉｎおよびＧｍａｘは、実験的に計算される。これは、正規化テイラー信号
【０２８４】
【数１２６】
2015521743.tif 000128
を決定し、その対数を得、次いで導関数｜∂ｌｎｓ／∂ｘ｜を計算する。パラメータＧの関心のある間隔の限界は、数式（４３）および（４４）を用い、その後に数式（４６）および（４７）を用いて、最終的に推論する。
【０２８５】
前述の変形形態とは無関係のさらに別の変形形態では、パラメータＧのＴ平均＜Ｇ＞Ｔは、数式（１６）を用いて実験テイラー信号
【０２８６】
【数１２７】
2015521743.tif 000129
を積分することによって計算し、パラメータＧのΓ平均＜Ｇ＞Γは、実験テイラー信号のキュムラントへの分解によって生じる１次のキュムラントの決定に基づいて計算する。粒径分布を求める間隔の限界ＧｍｉｎおよびＧｍａｘは、数式（３０）および（３１）と、数式（３８）および（３９）とに従って、パラメータＧのＴおよびΓに基づいて計算する。この変形形態の方法では、これらの平均のうちの一方または他方に基づく制約項を、費用関数に組み込むこともできる。
【０２８７】
１つの試料の一連の実験テイラー信号の制約付き正則化解析
制約付き正則化による調整は、１つの混合物の一群の試料に対して同じ実験を繰り返すことによって得られるいくつかの実験テイラー信号を用いて有利に実施することができる。
【０２８８】
繰り返すたびに独立して解析することができ、得られた振幅分布を平均することができるが、これらの様々な個別のテイラー信号を累積して、個別の各テイラー信号の実験点の合計に等しい、いくつかの実験点を含む１つの大域的テイラー信号にすると、より確実であることが分かっている。次いで、制約付き正則化アルゴリズムを適用することにより、この大域的テイラー信号に基づいて振幅分布を求める。
【０２８９】
これにより、課される制約に最も厳密に従う振幅分布Ｐ（Ｇ）が得られる。例えば、分布Ｐ（Ｇ）は、より正則になる。また、これにより、個別のテイラー信号の取得に影響を及ぼす不確実性および不正確さも、考慮に入れることが可能になる。
【０２９０】
この操作中に、参照時間ｔ０が実験テイラー信号ごとに厳密には同じでない場合には、全ての実験テイラー信号が正確に同じ参照時間ｔ０を有するように、時間座標を変換する。
【０２９１】
処理の前に、基線の補正と、その後の各実験テイラー信号の正規化とが、必要になることもある。
【０２９２】
ソフトウェア３１は、ユーザがこのようにして得られた大域的テイラー信号を解析する前にいくつかの実験テイラー信号を処理することができるようにするメニューを含む。
【０２９３】
利点
上述の方法は、種の混合物の粒径分布と、その混合物中のそれらの種の濃度とを、解析する試料の多分散性がどのようなものであれ、すなわちこの試料に含まれる種の数およびそのそれぞれの濃度がどのようなものであれ、自動的に、かつリアルタイムで得ることを可能にする。
【０２９４】
上述の装置および方法の適用分野としては、高分子、コロイド、ラテックス・ナノ材料、エマルジョン、リポソーム、ベシクルおよび分子または生体分子一般のサイズ特徴決定が挙げられる。１つの重要な適用分野は、薬品産業の蛋白質の安定性／劣化／凝集の研究である。
【０２９５】
テイラー分散減少を用いた試料の特徴決定の利点は、当業者には既知である。すなわち、キャピラリに注入する試料の体積が小さいこと、実験装置の較正が不要であること、極めて簡単な実験装置を使用すること、数ナノメートル未満の粒子のサイズ測定に特に良く適応した技術であること、一般に質量濃度に感度のある信号であること、などである。
【０２９６】
実験例
実験条件
バージン・シリコン・キャピラリ：Ｒｃ＝５０μｍ、注入部分と検出部分の間の距離は３０ｃｍ。
温度：Ｔ＝２９３°Ｋ
溶離剤：ホウ酸ナトリウム緩衝液８０ｍＭ、ｐＨ９．２
溶離剤の粘度：η＝８．９  １０−４Ｐａ．ｓ．
試料：ポリスチレンスルフォン酸（ＰＳＳ）  ０．５ｇ／ｌ
注入：０．３ｐｓｉ（２０ｍｂａｒ）、９ｓ、すなわち注入体積は８ｎｌ（全キャピラリ容量は５８９ｎｌ）
波長２００ｎｍでＵＶ検出
【０２９７】
注入する高分子標準物質の特徴
（１）ＰＳＳ１２９０  Ｍｗ＝１２９０ｇ／ｍｏｌ  Ｍｐ＝１０９４ｇ／ｍｏｌ  Ｍｗ／Ｍｎ＜１．２０
（２）ＰＳＳ５１９０  Ｍｗ＝５１９０ｇ／ｍｏｌ  Ｍｐ＝５２８０ｇ／ｍｏｌ  Ｍｗ／Ｍｎ＜１．２０
（３）ＰＳＳ２９０００  Ｍｗ＝２９０００ｇ／ｍｏｌ  Ｍｐ＝２９５００ｇ／ｍｏｌ  Ｍｗ／Ｍｎ＜１．２０
（４）ＰＳＳ１４８０００  Ｍｗ＝１４５０００ｇ／ｍｏｌ  Ｍｐ＝１４８５００ｇ／ｍｏｌ  Ｍｗ／Ｍｎ＜１．２０
（５）ＰＳＳ３３３０００  Ｍｗ＝３３３０００ｇ／ｍｏｌ  Ｍｐ＝３３８０００ｇ／ｍｏｌ  Ｍｗ／Ｍｎ＜１．２０
ここで、Ｍｗは、平均モル重量質量、Ｍｐは、クロマトグラフィ・ピークの頂点におけるモル質量、Ｍｗ／Ｍｎは、多分散指数である。平均モル質量および分布の特徴は、同じ化学的性質を有する高分子標準物質（ＰＳＳ）を用いて較正した排除クロマトグラフィによってそれらを決定した供給元から与えられたものである。
【０２９８】
調査した高分子の実験テイラー信号
図３は、ＰＳＳ１２９０およびＰＳＳ２９０００の等質量混合物について得られる実験テイラー信号を示す図である。実際には、ここでは３つの実験テイラー信号を総計している。
【０２９９】
さらに、実験テイラー信号の左側部分のみを示している。実際には、一般に、テイラーグラムは対称である。ただし、キャピラリ表面への吸着現象が起こる場合には、時間ｔ０以降の時間に対応する信号の右側部分は、時間ｔ０以前の時間に対応する信号の左側部分と正確に対称にはならないことがある。この場合には、データの処理を実験テイラー信号の左側部分に集中させることが好ましい。上述の方法では、信号の左側部分のみを考慮して、これらの起こりうる寄生現象の影響を制限しているので、有利である。
【０３００】
図４は、高分子の供給元から与えられるクロマトグラフィ方法によって得られる分布（ＳＥＣ）との比較で、前述の方法（ソフトウェア３１）によって得られる分布ＰＲ（Ｒｈ）を重畳して示す図である。図４では、供給元から与えられる流体力学的レイ分布とソフトウェア３１を実行することによって得られる分布の間に良好な一致が見られる。
【０３０１】
図５Ａは、正規化実験テイラー信号
【０３０２】
【数１２８】
2015521743.tif 000130
（Ｄａｔａ）と正規化再構築信号Ｓ’（ｔ）（Ｆｉｔ）の間の調整を示し、図５Ｂは、正規化実験テイラー信号
【０３０３】
【数１２９】
2015521743.tif 000131
の対数（Ｄａｔａ）とキュムラント展開（Ｆｉｔ）の間の調整を示す図である。
【０３０４】
結果の比較
表１は、拡散係数Ｄの様々な平均を示す表である。これらは、キュムラントへの分解によって直接得られた拡散係数Ｄの平均（Γ平均、第２列）、またはテイラーグラムを集積することによって得られた拡散係数Ｄの平均（Ｔ平均、第３列）と、それに対してソフトウェア３１を実行することによって得られた拡散係数Ｄの平均（Γ平均（第４列）およびＴ平均（第５列））である。なお、この例では、実験テイラー信号に基づいて直接測定された平均は、信号のデコンボルーション（解析）を制約するために使用せず、緩い正則性制約および厳密な正値性制約のみを使用する。
【０３０５】
【表１】
2015521743.tif 000132
【０３０６】
全体として、これらの結果は、良好な一貫性を示し、ソフトウェア３１は、Ｔ平均およびΓ平均（第４列および第５列）が実験値（第２列および第３列）に近い解をもたらす。
【０３０７】
表２は、様々な提案される手法、すなわち実験的手法（第４列および第５列）、キュムラントΓ１およびΓ２（第２列および第３列）に基づくキュムラントへの分解（第６列および第７列）、ならびに拡散係数のＴ平均およびΓ平均を用いる手法（１次のキュムラントおよびテイラーグラムの集積に基づく第８列および第９列）に基づいて決定されるτｍｉｎおよびτｍａｘの値を示す表である。
【０３０８】
【表２】
2015521743.tif 000133
【０３０９】
τｍｉｎおよびτｍａｘの桁は、考慮する方法によらず非常に一致している。
【０３１０】
表３は、キュムラントへの分解によって得られる平均流体力学的レイ値（Γ平均、第２列）、分布Ｐ（Ｇ）を決定した後でΓＴ集積を行うことによってソフトウェア３１を実行することによって得られる平均流体力学的レイ値（第３列および第６列）、当該の平均に続いて排除クロマトグラフィによる基準方法を行うことによって得られる平均流体力学的レイ値（第４列および第７列）、ならびに信号全体についてのテイラーグラムの直接集積によって得られる平均流体力学的レイ値（第５列）を比較する表である。同じ平均（一方では第２列から第４列、他方では第５列から第７列）について、結果は、考慮する全ての試料について一様である。
【０３１１】
このことは、当該の平均の各グループで、全ての試料について高い一貫性を示す。
【０３１２】
【表３】
2015521743.tif 000134
【０３１３】
ピークの時間の決定
実験では、実験テイラー信号
【０３１４】
【数１３０】
2015521743.tif 000135
のピークの時間ｔ０は、測定ノイズにより正確には分からない。
【０３１５】
ピークの時間
【０３１６】
【数１３１】
2015521743.tif 000136
は、キュムラント解析、および制約付き正則化によって得られる粒径分布の決定の両方に影響を及ぼす。
【０３１７】
さらに、キュムラント方法は、（ｔ−ｔ０）→０の制限展開に基づく。実験の見地から、解析のための時間ｔの範囲は賢明に選択することが必要である。すなわち、非常に小さな間隔に制限すると、その結果は測定ノイズに大きな影響を受けることになる。一方、考慮する間隔が広すぎると、キュムラント方法で無視される高次の（ｔ−ｔ０）項の寄与が有意になる。
【０３１８】
ピーク時間ｔ０、およびキュムラント解析に適した最適な時間範囲を決定するステップを、以下に示す。
【０３１９】
第１のサブステップで、
【０３２０】
【数１３２】
2015521743.tif 000137
が最大となる時間を考慮することによって、あるいは放物線関数またはガウス関数によって
【０３２１】
【数１３３】
2015521743.tif 000138
のピークを調整することによって、ピーク時間の第１の推定値ｔ０、ｇｕｅｓｓを得る。
【０３２２】
第２のサブステップで、試験するＮ個のピーク時間ｔ０、ｉのリストを作成する。ここで、自然整数ｉは、１からＮの間で変化し、時間ｔ０、ｉは、およそｔ０、ｇｕｅｓｓであり、一定の時間増分だけ等間隔に離間している。
ｔ０、１＜ｔ０、２＜…＜ｔ０、Ｎ
ｔ０、ｉ＋１＝ｔ０、ｉ＋ｄｔ、および
ｔ０、１＝ｔ０、ｇｕｅｓｓ−Δｔ、ｔ０、Ｎ＝ｔ０、ｇｕｅｓｓ＋Δｔ
ここで、
ｄｔは、２つの連続する試験ピーク時間の間の時間増分であり、
Δｔは、典型的にはｔ０、ｇｕｅｓｓ／５０程度の時間間隔である。
【０３２３】
第３のサブステップで、試験する各ピーク時間ｔ０、ｉごとに、長さの異なる様々な時間範囲を考慮して、一連のキュムラント解析を実行する。
【０３２４】
時間範囲は、例えば、信号
【０３２５】
【数１３４】
2015521743.tif 000139
のカットオフ・レベルである。例えば、カットオフ・レベルが０．１であれば、時間範囲ｔは、
【０３２６】
【数１３５】
2015521743.tif 000140
となるように考慮する。各時間範囲における調整によって得られる第１および第２のキュムラントの値を示す。
【０３２７】
第４のサブステップでは、最適なピーク時間ｔ０を、カットオフ・レベルが増加するときには第１のキュムラントΓ１が正の値に向かって発散するピーク時間の間にあるものとして、またカットオフ・レベルが増加するときには第１のキュムラントΓ１が負の値に向かって発散するピーク時間の間にあるものとして決定する。
【０３２８】
グラフ上で、試験する各ピーク時間ｔ０、ｉごとに、カットオフ・レベルによって決まる第１のキュムラントΓ１の曲線を追跡すると、最適なピーク時間ｔ０は、この曲線が上向きの凹曲線と下向きの凹曲線の間に位置する時間である。この曲線は、その他の曲線より変動が小さい。
【０３２９】
最適なピーク時間の選択は、前述のグラフィックスの視覚的解析によって行われる、または例えばカットオフによって決まる第１のキュムラントΓ１の２次の数値微分の符号に基づいて自動的に行われる。
【０３３０】
あるいは、または最適には、第２のキュムラントΓ２および／または第１のキュムラントに対する第２のキュムラントの比の２乗に対して同じことをすることができる。これを第１のキュムラント、第２のキュムラント、および第１のキュムラントに対する第２のキュムラントの比の２乗に対して同時に行うことにより、ピーク時間の選択の信頼性を高めることができる。
【０３３１】
第５のステップでは、最適なカットオフ・レベルを、非常に高いカットオフ・レベルでの測定ノイズの影響によってデータがその一般的な傾向に対して有意な偏差を示す前の最も高いものとして決定する。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【国際調査報告】
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