(57)【要約】物理的領域で時空現象を反映しているデータ構造を構成するための、コンピュータ実装方法（２００）、コンピュータプログラム製品、およびコンピュータシステム。ここで、時空現象は、平均値関数と共分散関数とを用いてガウス過程によって、物理的領域の任意の位置で推定される。方法（２００）は、データ組がガウス過程に係る平均値ベクトルと共分散行列とを有し、データ構造が平均値ベクトルと共分散行列とを含むものであり、物理領域の固定位置を示すのに適しているデータ組の格納（２１０）を行うこと、物理領域の特定の任意の位置にある複数のセンサノードの少なくとも１つのセンサノードからの時空現象のセンサ測定データの受信（２２２、２２４）を行うこと、正確な再帰的ベイズ回帰を用いることによって、データ構造の任意の特定位置と受信した測定データとの統合（２３０、２３２、２３４、２３６、２３８）を行うこと、を含む。
2015524594.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
物理的領域（１０２）での時空現象を反映しているデータ構造（１１７、１２７）を更新するためのコンピュータ実装方法（２００）であって、
前記時空現象は、平均値関数と共分散関数とを用いてガウス過程によって、前記物理的領域（１０２）の任意の位置で推定され、
前記方法は、
前記物理的領域（１０２）の固定位置（１１４）を示すのに適しているデータ組（１１５）であって、前記データ組（１１５）は、前記ガウス過程に係る平均値ベクトルと共分散行列とを有し、データ構造（１１７、１２７）が前記平均値ベクトルと前記共分散行列を含む、前記データ組（１１５）の格納（２１０）を行うこと、
前記物理的領域（１０２）の任意の特定位置（１０４、１０６）に位置した複数のセンサノードの少なくとも１個のセンサノードから、時空的現象のセンサ測定データ（１０９）の受信（２２２、２２４）を行うこと、ならびに、
正確な再帰的ベイズ回帰を用いて、前記任意の特定位置（１０４、１０６）と前記受信した測定データ（１０９）との前記データ構造（１１７、１２７）への統合（２３０）を行うこと、を含む、コンピュータ実装方法。
【請求項２】
前記統合は、
前記特定の任意の位置（１０４、１０６）、前記データ組（１１５）、前記平均値ベクトル、および前記共分散行列から、中間平均値ベクトルと中間共分散行列との推測（２３２、２３４）を行うこと、ならびに、
前記中間平均値ベクトルと前記センサ測定データ（１０９）とを前記平均値ベクトルに取り込むことによって、および、前記共分散行列を前記中間共分散行列に取り込むことによって、前記データ構造（１１７、１２７）の更新（２３６、２３８）を行うこと、をさらに含む、請求項１に記載のコンピュータ実装方法。
【請求項３】
前記データ組（１１５）のカーネル行列の反転行列がさらなるデータ構造（１２３）に格納（２４０）される、請求項１または請求項２に記載のコンピュータ実装方法。
【請求項４】
前記データ組（１１５）に前記平均関数を適用すること、および、前記データ組（１１５）をそれ自体で前記共分散関数に適用することによって、初期平均値ベクトル（２５２）と初期共分散行列（２５４）とを計算すること、をさらに含む、請求項１から３のいずれか一項に記載のコンピュータ実装方法。
【請求項５】
少なくとも１つの位置が前記データ組（１１５）に追加され、それに応じて、前記平均値ベクトル、前記共分散行列、および前記さらなるデータ構造（１２３）が更新される、請求項３または４に記載のコンピュータ実装方法。
【請求項６】
前記データ組（１１５）の少なくとも１つの固定位置（１１４）が除去され、それに応じて、前記平均値ベクトル、前記共分散行列、および前記さらなるデータ構造（１２３）が更新される、請求項３から５のいずれか一項に記載のコンピュータ実装方法。
【請求項７】
前記複数のノードから受信された前記測定データ（１０９、５０９）が少なくとも１つのセンサノード（５４０）のセンサ測定を欠如（５５２、５５３）する、請求項１から６のいずれか一項に記載のコンピュータ実装方法。
【請求項８】
少なくとも１つのセンサノード（５２０）の任意の特定位置が時系列変化（５３０）を生じる、請求項１から７のいずれか一項に記載のコンピュータ実装方法。
【請求項９】
前記平均値ベクトルと前記共分散行列とから、前記物理的領域（１０２、１３２）で、少なくとも１つの任意の位置が、測定データが欠如している任意の位置（１３４、１２５）に関する前記時空現象の推定データ（１３７）の導出（２８０）を行うこと、
前記推定されたデータ（１３７）に依存（１３９）している通知の生成（２９０）を行うこと、をさらに含む、請求項１から８のいずれか一項に記載のコンピュータ実装方法。
【請求項１０】
コンピューティングシステム（１００）のメモリにロードされ、かつ前記コンピューティングデバイスの少なくとも１つのプロセッサにより実行される場合、請求項１から９のいずれかに従って、前記コンピュータ実装方法（２００）のステップを実行する、コンピュータプログラム。
【請求項１１】
物理的領域（１０２）での時空現象を反映しているデータ構造（１１７、１２７）を更新するためのコンピュータシステム（１２０）であって、前記時空現象は、平均値関数と共分散関数とを用いてガウス過程によって、前記物理的領域の任意の位置で推定され、前記コンピュータシステム（１２０）は、
前記物理領域（１０２）の特定の任意の位置（１０４）に位置した複数のセンサノードのうちから少なくとも１のセンサノードから、時空的現象のセンサ測定データ（１０９）の受信（２２４）を行うように適合し、かつ、前記少なくとも１つのセンサノードから前記物理領域（１０２）における前記時空現象のセンサ測定データ（１０９）の受信（２２２）を行うように適合した、インターフェース構成要素（１２１）と、
・前記センサ位置データ（１０６）、ならびに、
・前記物理的領域の固定位置（１１４）を示すのに適合したデータ組（１１５）であり、該データ組（１１５）が前記ガウス過程にもとづく平均値ベクトルと共分散行列とを有し、前記データ構造（１１７、１２７）が前記平均値ベクトルと前記共分散行列とを含む、前記データ組（１１５）と、から中間平均値ベクトルと中間共分散行列の計算（２３２、２３４）を行うように構成された、インターフェース構成要素（１２８）と、
前記中間平均値ベクトルおよび前記センサ測定データ（１０９）への前記平均値ベクトルの、前記共分散行列への前記中間共分散行列の組み込み（２３６、２３８）を行うように構成された、更新構成要素（１２９）と、を有する、コンピュータシステム。
【請求項１２】
前記データ組（１１５）の前記カーネル行列の反転行列の格納（２４０）を行うメモリーモジュール（１２３）を、さらに有する、請求項１１に記載のコンピュータシステム。
【請求項１３】
前記データ組（１１５）上に前記平均関数を適用すること、および、前記データ組（１１５）をそれ自体により前記共分散関数に適用することによって、初期平均値ベクトルと初期共分散行列との計算（２５０）を行うように構成された初期化構成要素（１１８）と、をさらに有する、請求項１１または１２のコンピュータシステム。
【請求項１４】
前記複数のセンサノードのうちの少なくとも１つのセンサノード（５２０）の逐次受信したセンサ測定データ（１０９、５０９）を処理するように構成され、その位置が時系列変化（５３０）する、請求項１１から１３のいずれか一項に記載のコンピュータシステム。
【請求項１５】
前記物理的領域（１３２）の表示の補間位置（１３４）を示すのに適したさらなるデータ組（１２５）を得るように構成された補間割り当て構成要素（１３６）と、
前記さらなるデータ組（１２５）、前記データ組（１１５）、前記平均値ベクトル、および前記共分散行列から補間平均値ベクトルおよび補間共分散ベクトルの計算（２８０）を行うように構成された、補間構成要素（１３８）と、
前記補間平均値ベクトルと前記補間共分散行列とに基づいて通知（１３９）の生成（２９０）を行うように構成された表示構成要素（１３１）と、をさらに有する、請求項１１から１４のいずれか一項に記載のコンピュータシステム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、概ね、電子データ処理に関し、より具体的には、センサ測定データを処理するためのシステムおよび方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
ガス、気温、または風といった時空現象の測定、推定、および予測は、様々な使用事例に関連する。例えば、都市環境のガス汚染などの時空現象が一定の閾値を超える場合、それは地域住民の健康を害する場合がある。例えば、一酸化炭素（ＣＯ）および二酸化炭素（ＣＯ２）は、そのようなガスである。したがって、特定の時刻において特定の領域におけるガス汚染を正確に推定および予測することは、有害な状況の防止に役立ち得る。そのような時空現象は、他の状況、例えば天体物理学、医療、ロボット工学、人間とコンピュータの対話、および地球物理学において、観測される場合もある。
【０００３】
空間的に分布するセンサ網には典型的には、それらの近傍での時空現象についての測定データを提供する多数のセンサノードが含まれる。センサノードは、地域全体にわたって一様に分布している場合、あるいは不規則に分布している場合がある。地域の大きさは、例えば小さな湖ほどの小さいものから、人口百万都市、それどころか夜空にまで及び得る。センサノードは、細やかなパターンまたは粗いパターンで、地域を覆う場合もある。さらにまた、そのようなセンサ網は通常、分析のためのかなりのデータ量を測定する。それに加えて、データにはノイズが多いので、分析はより困難になる。しかしながら、センサ測定のそのような大きいデータ組に対して推定および予測のための時空回帰分析を実行することは、コンピュータ処理的に要求されるものが多く、また処理しにくいものでもある。
【０００４】
時空現象はガウス分布していると、しばしば仮定される。したがって、時空現象の未知の分布を推定にはガウス過程（ＧＰ）回帰を適用することができる。ＧＰは、ノイズが多いデータから回帰関数のノンパラメトリック学習を可能にするもので、このことは、訓練とも呼ばれる。ＧＰは、データを条件にする関数についてのガウス分布と考えられ得る。したがって、ＧＰは、ノイズとデータの変動とに応じて、推定および予測ならびに例えばエラーバーのような不確定度推定値回帰関数を提供する。しかし、ＧＰのノンパラメトリック性質のため、ＧＰを訓練するための計算は０（ｎ３）に対応する。ここで、ｎは、例えば、測定したデータの完全なセットのデータポイントの個数である。所謂大文字Ｏ表記法（Ｂｉｇ−Ｏ−Ｎｏｔａｔｉｏｎ）は、関数の引数が特定の値、概して非常に大きい数または無限大になる傾向にある場合、関数の限定的な振る舞いに関する指標である。したがって、大文字Ｏ表記法は、プロセッサへの計算負荷を説明する。時空現象の測定は通常、かなりのデータ量、すなわち引数ｎをもたらすので、立方的振る舞い０（ｎ３）は、標準的なプロセッサを搭載するコンピュータでの処理に関して抑制的な影響を与える。さらにまた、新しい測定データによるＧＰの更新にはさらに要求が多い。なぜなら、各々の新しい訓練セッションは、時系列的に得られるすべての測定データのバッチ処理を必要とするからである。加えて、すべての測定データは常に利用できなければならないことから、例えば、ランダムアクセスメモリ（ＲＡＭ）および大容量記憶領域という十分なメモリ能力が提供されなければならない。ＧＰに関しては、以下も参照されたい：
Ｃａｒｌ  Ｅ．  Ｒａｓｍｕｓｓｅｎ  ａｎｄ  Ｃｈｒｉｓｔｏｐｈｅｒ  Ｗｉｌｌｉａｍｓ．Ｇａｕｓｓｉａｎ  Ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ  ｆｏｒ  Ｍａｃｈｉｎｅ  Ｌｅａｒｎｉｎｇ．  ＭＩＴ  Ｐｒｅｓｓ，  ２００６．
【０００５】
計算負荷を低減させるために、先行技術である現在のアプローチは、訓練データの次元ｓのサブセットに作用する近似を提案する。ここで、データ組の次元ｓは、測定データｎのセット全体よりも有意に少ない。このことは、ＧＰの回帰関数の訓練用計算負荷を０（ｓ２ｎ）まで低減させることができる。しかし、これらのアプローチは、データ組全体が訓練に先立って利用可能であり、そのため、訓練が１つのバッチ実行で実施されると仮定する。新しい訓練データが利用できる場合、これらのアプローチによる更新は０（ｓ２ｎ）で処理されて時系的に得られるすべての測定データを必要とする。ここで、ｎは、新しい測定データを同様に保持することから、増加する。これも、すべての測定履歴データに関する各々のメモリ機能を必要とする。これらのアプローチがある程度計算負荷を低減させることが可能であるにもかかわらず、データ組の大きさｓへの全体的な縮小に応じて、それは、逐次取得される訓練データに適用不可である。さらに、計算複雑性を著しく低減させるために、データ組の大きさｓは、ｎと比較して有意により少ない数に減少させなければならない。それによって、正確な結果を受けるためには、アプローチはデータ組ｓの完全かつ適切な選択を必要とする。さもなければ、例えばデータ部分組ｓに基づく予測が発見的方法で通常行われるので、訓練結果の正確さは、有意に減少する。
【０００６】
推定の典型的な使用事例と時空現象の予測において、訓練データは例えば、時系列で１つの配列となる。したがって、バッチ処理は実行可能ではないが、むしろ、ＧＰの逐次訓練は必要とされる。逐次訓練に関する先行技術のアプローチは既知である。逐次訓練は、先験的な既知の固定センサ位置の状態推定を更新するべくして、例えばセンサ測定を用いて達成されるものであり、該位置は、領域全体でさらに一様に分布していなければならないと考えられ、したがって、車両またはスマートフォンに組み込まれるセンサなどの移動センサノードの測定データを、考慮に入れることはできず、また、しかしながら、都会化された地域などの複雑な環境では、一様に分布するセンサ網が許容されない可能性がある。さらに、これらのアプローチのいくつかは、かなり用途が特化している、あるいは、一酸化炭素（ＣＯ）の測定データなどを一次元入力することのみに適用可能である。
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００７】
したがって、コンピュータ処理および搭載メモリにとって、より効率的にＧＰ回帰を構築することによって、ＧＰ回帰を改善する必要性がある。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
本発明の実施形態により、多次元測定データを有する複雑な環境の時空現象に関するＧＰの正確な逐次訓練用のシステムおよび方法が提供される。さらにまた、ＧＰ回帰訓練は、特定の応用想定に左右されず、固定式および移動式のセンサノードを装備する未知のセンサ網に先験的に用いることができる。
【０００９】
本発明の一態様によれば、それぞれの地域で任意のセンサ位置から逐次受信したセンサノード測定データは、コンピュータによって再帰的に処理されて、データ構造を更新する。それによって、結果として生じる計算複雑性は、０（ｎ）である。データ構造には、それぞれの時空現象のＧＰ推定および予測に関するすべての情報が保持される。データ構造は、限定的な記憶容量を必要とするだけである。なぜなら、このアプローチでは、センサノードの履歴測定データは、生の測定データを格納することなく、データ構造に組み込まれるからである。言い換えれば、生データは一旦データ構造が受信した測定データで更新されるならば、放棄され得る。
【００１０】
データ構造は、物理的領域で時空現象を反映する。ここで、時空現象は、平均値関数と共分散関数とを用いてガウス過程によって、物理的領域の任意の位置で推定される。言い換えれば、平均値関数によって、任意の位置の一般関数に関して時空現象の傾向が説明され、共分散関数によって、任意の２つの位置の相関が説明される。時空現象の実際の関数は、知られていない。しかし、ＧＰはその時空的現象の推定値を得るために用いられる。
【００１１】
本発明の一実施形態に係わるデータ構造を更新するための、コンピュータに実装された方法であって、この方法には、物理的領域の固定位置を示すのに適しているデータ組を格納すること、ここで、データ組は、ガウス過程に係る平均値ベクトルと共分散行列とを有し、ここで、データ構造は、平均値ベクトルと共分散行列とを含み、物理的領域の特定の任意の位置にある複数のセンサノードの中の少なくとも１つのセンサノードから時空現象のセンサ測定データを受信すること、いわゆる正確な再帰的ベイズ回帰を用いることによって、データ構造へ特定の任意の位置と受信した測定データとを統合すること、が含まれる。
【００１２】
「固定位置を表示するのに適しているデータ組」は、「固定位置表示に適したデータ組」および「固定位置のデータ組」、または、単に、文脈上明確定義されている場合の「データ組」とも称される。
【００１３】
コンピュータに実装された方法によって、受信したセンサ測定データが後のＧＰ学習に備えて格納される必要が無いということが、有利に可能になる。なぜなら、統合ステップにより受信した測定データがデータ構造に組み込まれるからである。言い換えれば、センサノードにより提供される測定データは、平均値ベクトルに組み込まれ、センサノードの位置データは共分散行列に組み込まれる。したがって、限定的な記憶容量だけが必要となる。先行技術と比較して、必要とされるメモリ容量はより少なくなる。
【００１４】
さらにまた、固定位置とセンサノードの指定された任意位置は、同一でない必要がある。固定位置は、地域全体に一様に分散されて選択され得る。ランダム分布または任意の他の適切な分布も、可能である。さらに、固定位置の個数は、センサ測定データを逐次受信する場合、任意の特定位置の個数または任意の特定位置の各々の個数の合計より有意に少なくなり得る。固定位置の個数が変えられない限り、コンピュータ実装された方法は０（ｎ）で計算され得る。言い換えれば、データ構造は計算処理線形労力でプロセッサにより更新され得ることから、先行技術と比較して有意に実行時間が短縮される。
【００１５】
加えて、正確な再帰的ベイズ回帰は、先行技術における発見的近似などに基づく演算を有しないという意味で、正確である。実際に、それはＧＰ学習の間の正確な計算であることから、様々なアプリケーション設定に適用され得る。それは、また、任意の特定位置で受信される場合もある多次元センサ測定データの処理を有効にする。
【００１６】
一実施形態においては、コンピュータに実装された方法は、さらなるデータ構造に保存される固定位置のデータ組のカーネル行列の反転行列を含む。
【００１７】
また、コンピュータに実装された方法によって、固定位置のデータ組のカーネル行列の反転行列演算が実行される。この反転行列演算には、０（ｓ３）の計算複雑性があり、ここで、ｓはデータ組の大きさである。固定位置が変更されない限り、反転行列は、一度だけ算出されなければならず、プロセッサにより実現されるコンピュータの再帰処理のために、さらなるデータ構造に格納され得る。コンピュータに実装された方法の第１の反復計算に対し、結果として生じる計算労力は、したがって、０（ｓ３＋ｓ２ｎ）である。ここで、ｓは、通常、ｓ≪ｎである。典型的なシナリオでは、センサ測定データは、逐次現れる。したがって、任意の特定位置からの新しいセンサ測定データが現れるたびに、コンピュータ実装された方法はプロセッサで実行される。固定位置が変更されず、かつデータ組のカーネル行列の反転は、さらなるデータ構造に格納される場合、プロセッサのための結果として生じる労力は、ｓ≪ｎに関して、０（ｎ）まで減少する。
【００１８】
別の実施形態においては、コンピュータ実装された方法は、固定位置のデータ組に与えられた平均値関数を適用し、また、共分散関数に、データ組自体を適用することによって、最初の平均値ベクトルと最初の共分散行列を算出することからさらに構成される。
【００１９】
最初には、固定位置に関する時空現象のセンサ測定データは、利用可能でなくてもよい。この理由は、例えば、一様分散した固定位置のすべてがセンサ測定データを受信することを目的として、アクセス可能でなくてもよいと考えられるからである。都合のよいことに、本発明によって事前知識なしで平均値ベクトルと共分散行列を初期化することが可能である。これは、すべての固定位置で評価されている共分散関数を用いて共分散行列を初期化することにより達成される。言い換えれば、固定位置のデータ組は、それ自体が、共分散関数に適用され、当該関数は、最大不確定度が共分散行列の固定位置に割り当てられることを意味する。さらにまた、ＧＰは、固定位置で所定の平均値関数を評価することによって平均値ベクトルが初期化されることを可能にする。例えば、ゼロ平均値関数を用いることができる。または、センサ測定データ以外に、いくつかの知識が利用できる場合、例えば、ラッシュアワー時の交通状態の間、ＣＯ汚染は他の時刻の状態よりも高いという場合、この知識は、平均値ベクトルの初期化にも用いられ得る。任意の特定位置から測定データを受信する時、測定により提供される情報によって、この平均値ベクトルと予測を改善する共分散行列とに組み込まれる予測が改善される。
【００２０】
他の実施形態においては、少なくとも１つのセンサノードの任意の特定位置は、時系列的に変化した。複数のセンサノードの中からセンサノードの１つが時系列的にその位置を変える場合には、例えば、センサノードがスマートフォンに装着されているので、コンピュータに実装された方法は、まだ変化の途中である位置から受信した測定データを処理することができる。このことが可能な理由は、平均値ベクトルと共分散行列の更新が、安定した任意の特定位置からの測定データを必要としないからであり、ＧＰが任意の位置で時空現象の連続説明を含むので、任意の位置から測定データを処理することができるのである。したがって、好都合にも、例えば、移動センサノードは、プロセッサで続いて処理されている測定データを収集するために利用することができる。
【００２１】
他の実施形態においては、コンピュータに実装された方法はさらに、平均値ベクトルと共分散行列から物理的領域で任意の位置のための時空現象の推定データを引き出すこと、ここで、少なくとも１つの任意の位置は、測定データが欠如している、および、推定されたデータに依存している通知を生成すること、を含む。本発明のこの態様は、任意の位置で時空現象の推定、すなわち、地域内の位置の補間、さらには地域外への外挿を可能にする。例えば、人間が解釈できる時空現象を視覚化しているヒートマップを発生させることができる。ヒートマップは、データのグラフィック表現であり、ここで、行列に含まれる個別的数値は、色またはグラフィックパターン／構造として示される。別の例としては、危険な大気汚染が増大する可能性がある都市の特定地域で住民に警告するために音声周波数機器で送信可能である警告信号、あるいは、別のコンピュータシステムで、例えば、続いて危険地帯の中で住民を避難させる消防署の警報を、起動させることが可能であるコンピュータ信号であり得る。
【００２２】
本発明の実施形態は、コンピュータプログラム製品およびコンピュータシステムとして、実装することができる。このコンピュータシステムは、方法を実施するために、コンピュータプログラム製品を実行ことができる。
【００２３】
本発明のさらなる態様は、特に、添付した特許請求の範囲で特に示される構成要素および組み合わせによって、実現され達成される。前述の概要および以下の詳細記述の両方が共に具体例であって、例示のみを目的としており、記述される本発明を限定するものではないと、理解されるべきである。
【図面の簡単な説明】
【００２４】
【図１】本発明の一実施形態に係るＧＰに基づく再帰的時空回帰のためのシステムを示す。
【００２５】
【図２】本発明のコンピュータに実装された方法の一実施形態による典型的なフローチャートである。
【００２６】
【図３】逐次現れる測定データ組に関するＧＰの典型的な再帰的回帰処理のプロットを示す。
【００２７】
【図４】物理的領域における可動センサノードの位置の具体例を示す。
【００２８】
【図５】ヒートマップを例示するための物理的領域の典型的な補間を示す。
【００２９】
これらの図は、縮尺図ではない。ピクトグラム（例えば物理的領域とシステムコンポーネント）の大きさは、シンボリックなものであって、過誤に整列させるべきではない。
【発明を実施するための形態】
【００３０】
図１は、コンピュータシステム１００と複数のセンサノードとを物理的領域１０２内に含む本発明の一実施形態の概要を表す。図１では、コンピュータシステム１００とこの領域との両方が図示されている。コンピュータシステムおよびこの領域は、垂直および水平の二重実線によって、説明に役立つように分離されている。さらにまた、コンピュータシステム１００を、初期化部１１０、更新部１２０、および提示部１３０に区別することができる。
【００３１】
物理的領域１０２は、複数のセンサノードのうちの少なくとも１つのセンサノードによってカバーされる。センサノードを、例えば光源の光度を測定するために、領域内に配置またはその領域に向けることができる。センサノードはハードウェアであり、それは特定種類の現象の時空現象を測定するための、少なくとも１つの測定ユニットを含む。測定データは、それぞれのセンサノードによって測定される生データであってもよい。測定データ１０９は、複数のセンサノードのうちの１つのセンサノードの測定値または一部もしくはすべてのセンサノードの測定値であってもよい。測定データ１０９を、特定の時間に取得されるデータ組とみなすことができる。したがって、異なる時刻で、異なる測定値を利用することができる。図１では、異なる時刻例で測定データ１０９を有することは、重ねられた文書記号で例示される。異なる時刻で、測定データ１０９はすべてのセンサノードからの測定値を有してもよく、あるいは、少なくとも１つのセンサノードまたはセンサノードのセンサ測定ユニットからの測定値を取り逃す場合もある。新しいセンサノードまたは測定ユニットからの測定値を含めることが可能である。測定データ１０９は、インターフェース１２１を介してコンピュータシステムに対して直接伝達されてもよく、あるいは、例えば、他のネットワークノードによって、コンピュータシステムに中継されてもよい。ネットワークの通信構成を、データ転送に用いる場合もある。
【００３２】
測定データ１０９は、センサノードのそれぞれの位置の関連センサ位置データ１０６を有してもよい。センサノードを、物理的領域１０２の任意の位置に配置することができる。複数のセンサノードを、物理的領域１０２全体に一様に分散することができる。しかしながら、また、物理的領域１０２の全域にわたる他の分布によって、時空的現象のセンサ測定を最適化させることが可能である。時空現象は、しばしば、ガウス分布で表現されるので、均等に割り当てられたセンサノードネットワークは最適化された結果を提供すると考えられる。さらにまた、センサノードの位置は、任意の２つの時刻の間に変化する場合もある。あるいは、センサノードは測定値を提供しない場合もあり、このことは、利用可能な各々の位置からの測定データが存在しないことを意味する。異なる時刻でのセンサ位置データ１０６のデータ組を、重ねられた文書記号によって図１に例示する。
【００３３】
図４は、異なる時刻での物理的領域５０２における可動センサノード５２０の一例を示す。物理的領域５０２内は、非可動センサノード５１０でもある。可動センサノード５２０のルート５３０は、点で描いた曲線によって例示される。ルート５３０上の×印は、可動センサノード５２０が測定データおよび位置データを送信しているか、または、それらについてポーリングしている場合の時刻を示している。経路５３０は、まだ知られる必要はない。この例では、可動センサノード５２０および非可動センサノード５１０は、同じ時刻で、それらのそれぞれの測定値、すなわちセンサ位置データ５０６とセンサ測定データ５０９とを提供する。この例において、時刻ｔの位置データ行列Ｘｔは可動センサ５２０の位置データを第１行に含むが、静的センサ５１０の位置データは第２行に含まれる。それが位置５４０にある時、可動センサノード５１０は時刻ｔ＝５で提供データが欠如している。対応するセンサ位置データ５５２およびセンサ測定データ５５３は、可動センサノード５２０に関する情報を有しない。さらに、可動センサノード５２０は、時刻ｔ＝６の後、測定を停止し、したがって、この例では、時刻ｔ＝７で開始し、非可動センサノード５１０からのデータのみが利用できる。図４で使用される数値は、例示のみであり、実際の正しい値は示さない。
【００３４】
図１に戻り、コンピュータシステム１００の初期化部１１０は、位置割り当て構成要素１１６と初期化構成要素１１８とを含む。位置割り当て構成要素１１６は物理的領域１０２に関する情報を有しており、物理的領域１０２の表示１１２全体で、固定位置１１４を割り当てることができる。固定位置１１４の割り当ては、一様に分散または任意の他のパターンになり得る。ＧＰ回帰に対しては、ガターパターンといった、通常一様に分布した位置点は、最適化された値を算出することとして役に立つ。固定位置１１４およびセンサノード位置１０４は、同一である必要はないが同一になり得る。さらにまた、任意の固定位置１１４にセンサノードがある必要はなく、必要とされる時空現象タイプのそれぞれには初期測定値が存在しない。したがって、さらに領域１０２内の任意の静的非可動センサノードのない複数の移動センサノードは、０（ｎ）でのＧＰの訓練に充分である。
【００３５】
位置割り当て構成要素１１６は、固定位置１１４のデータ組１１５を初期化構成要素１１８に提供する。固定位置のデータ組１１５を、位置割り当て構成要素以外にも別のソースから、例えば、センサノードの既存のネットワークに関する情報を用いることにより、得ることができる。データ組１１５は、各固定ロケーションが位置ベクトルによって示され得る行列として、実装され得る。この例では、固定位置１１４のための測定値は、利用できない。初期化構成要素１１８は、固定位置のデータ組１１５から初期共分散行列Ｃ０（カーネル行列とも呼ばれる）と初期平均値ベクトルμ０とを算出する。例えば、固定位置から測定に関する情報なしで、最初の平均値ベクトルμ０を算出することは、ゼロ平均値関数を用いることにより達され得る。また、他の平均値関数を用いることができる。初期分散行列Ｃ０および平均値ベクトルμ０は、データ構造１１７に格納される。
【００３６】
固定位置のデータ構造１１７およびデータ組１１５は、コンピュータシステム１００の更新部１２０によってさらに処理される。更新部１２０は、推測構成要素１２８、更新構成要素１２９、インターフェース構成要素１２１、およびメモリーモジュール１２３を含む。推測構成要素１２８は、インターフェース構成要素１２１を通じて、特定の時刻（例えば、ｔ＝１）の初期化構成要素１１８およびセンサ位置データ１０６からデータ構造１１７を受け取る。次に、固定位置１１５のデータ組およびセンサ位置データ１０６のデータ組から、中間共分散マトリックスを続いて推測し、同様に、最初の平均値ベクトルμ０とセンサ位置データ１０６とに基づいて中間平均値ベクトルを推測する。続いて、更新構成要素１２９は、推測構成要素１２８から中間共分散行列と中間平均値ベクトルとを受け取る。さらにまた、それはインターフェース構成要素１２１を介して、同じ特定時刻のセンサ測定データ１０９を受け取る。この入力に基づいて、更新構成要素１２９は、結果として生じるデータ構造１２７に対して初期共分散マトリックスＣ０と初期平均値ベクトルμ０とを更新する。データ構造１２７は、これらの初期値の更新であることから、それはこれらの値を置換し、センサ測定データ１０９の情報をセンサ位置１０６で保持する。したがって、センサ位置とセンサ測定データ１０９とに関する現在の情報を放棄することができる。
【００３７】
同一もしくは新たなセンサ測定データ１０９または異なるセンサ位置が利用できるようになると、データ構造１２７は、この新しい時刻ｔでの、共分散行列Ｃｔおよび平均値ベクトルμｔの更新のための入力として、再帰的に用いることができる。
【００３８】
データ構造１１７、１２７の更新は、カーネル行列Ｃ０の反転行列を必要とする。行列の反転演算には０（ｓ３）の計算の複雑性がある。ここで、ｓは固定位置の個数である。固定位置が更新サイクルの間は変化しないので、反転行列はプロセッサの計算の効果を減らすためにメモリーモジュール１２３に格納されてもよい。
【００３９】
データ構造１２７は、コンピュータシステム１００の提示部１３０でさらに処理され得る。表示部１３０は、補間割り当て構成要素１３６、補間構成要素１３８、および表現構成要素１３１を含む。補間割り当て構成要素１３６は、それぞれの通知タスクによって補間位置１３４のデータ組１２５を決定するために用いることができる。例えば、時空現象の視覚的な実例がスマートフォン画面上に表示される場合、必要となる補間位置１３４の個数は、２４インチのコンピュータ画面上よりも少ないと考えられる。構成要素１３６が有する補間割り当て（位置割り当て構成要素１１６に類似）は、物理的領域１０２に関する情報を有し、例えば、物理的領域１０２の表示１３２に関して、補間位置１３４を一様に割り当てることができる。補間位置１３２は、センサ位置１０４または固定位置１１４と同一である必要はない。補間位置１３４のデータ組１２５は、専用の補間割り当て構成要素よりも別のデータ源から得ることができる。例えば、それは表現構成要素１３１の要求で測定されてもよい。
【００４０】
図５は、ヒートマップを説明するために、物理的領域の典型的な補間を示す。物理的領域の表示６１０は、オーバーレイグリッド６１２を有する。グリッド６１２の交点は、例えば、補間位置を決定することができる。物理的領域の表示６１０の黒色点は、固定位置を示す。固定位置は、センサノード位置である必要はない。固定位置と補間位置とは少しも同一である必要はない。しかし、それらを、例えば、位置６１４、６１６とすることができる。物理的領域の表現６２０上のヒートマップ６２２は、時空現象の特殊測定タイプの分布を示す。ヒートマップ６２２上の実線間の複数のギャップは、それぞれ測定種類の高密度６２４または濃度不足６２６を示す。
【００４１】
図１へ戻って、図５からのそれぞれのヒートマップ６２２は、図１の中のヒートマップ１３９である。ヒートマップ１３９は、表現構成要素１３１で示される。ヒートマップ１３９上のそれぞれの補間位置１３４の値は、補間構成要素１３８から得られる。補間構成要素１３８は、共分散行列Ｃ＊と平均値ベクトルμ＊とを推定するために、データ構造１２７により補間位置１３４のデータ組１２５を処理する。補間構成要素１３８は、メモリーモジュール１２３に格納されるカーネル行列の反転行列を用いることもできる。結果１３７は、通知（この例ではヒートマップ１３９）を生成するために用いられる。データ構造１１７、１２７は、結果１３７とは同一でない。データ構造１１７、１２７は、固定位置１１４の個数に基づき、その一方で、結果１３７は、補間位置１３４の個数に基づく。通常は、結果１３７の次元（この例では、位置、固定位置または補間位置の個数に基づく）は、データ構造１１７、１２７の次元より高く、この理由は、補間のために、かなりより多数の補間位置１３４が適当なヒートマップ１３９を得るために用いられるからである。
【００４２】
初期化構成要素１１８、推測構成要素１２８、および補間構成要素１３８は、それぞれの入力データを用いた同じ計算に基づく。計算はまた、固定位置１１４のカーネル行列の反転行列を含む。この例では、固定位置１１４が変化しないので、あたかもそれが定数であるかのように、反転行列を用いることができる。したがって、それは、メモリーモジュール１２３に格納され、上記のように、再帰的更新サイクルまたは補間の間、計算の効果を低減させる。
【００４３】
別の実施例においては、カーネル行列の固定位置１１４は、変更しなければならない場合がある。この変更は、時空現象の空間再配置のため必要とされる場合もある。例えば、風が空間的気体割り当てに影響を及ぼす場合、あるいは固定位置１１４の初期データ組１１５が適切的ではなかった場合である。新しい固定位置１１４の消去、存続、または追加は、カーネル行列の反転行列の新たな計算に必ずしも帰着するというわけではない。例えば、所定の行列ｋ（Ｘ，Ｘ）、その反転ｋ−１、および１つの新しい固定位置は、新しいカーネル行列をもたらす。
【数１】
2015524594.tif 000003
上式中、ｑおよびｓは、共分散関数によって算出される。例えば、ｋ’の反転は、シュール補行列またはランクワン更新のいずれかを利用することによるｋの反転ｋ−１を用いて、計算され得る。これは、カーネル行列の完全な反転行列の三次元計算量の代わりに、二次元計算量に帰着する。当業者は、０（ｓ３）におけるカーネル行列の反転の新たな計算を回避するために、この計算を提供して固定位置１１４を追加および消去することができる。ここで、ｓは、固定位置１１４の個数である。
【００４４】
図２は、物理的領域１０２（図１を参照）における時空現象を反映するデータ構造１１７、１２７（図１を参照）の更新のための、本発明の一実施形態に係わるコンピュータ実装方法２００の例示的なフローチャートである。ここで、時空現象は、平均値関数と共分散関数とを用いるガウス過程によって、任意の位置で推定される。この方法は、物理的領域の固定位置を示すのに適しているデータ組の格納２１０により開始する。ここで、データ組は、ガウス過程に係る平均値ベクトルと共分散マトリックスとを有し、また、データ構造は、平均値ベクトルと共分散マトリックスとを含む。この方法は、少なくとも１つのセンサノード（図１を参照）から時空現象のセンサ測定データ１０９（図１を参照）の受信２２２を行うこと、物理的領域１０２（図１参照）に位置したそのセンサノードの任意の特定のセンサ位置１０４の対応データ組１０６（図１を参照）の受信２２４を行うことを、さらに含む。
【００４５】
コンピュータ実装方法２００のステップ２１０、２２２、および２２４における出力データは、対応の参照プーレスホルダ、すなわち、ｙｔ、Ｘｔ、およびＸによって、それぞれ示されている。出力データの参照プーレスホルダは、例示的なフローチャートの別の位置の入力データであり得る。この具体例は、フローチャートを単純化するために用いられる。
【００４６】
この具体例では、固定位置のデータ組と任意の特定位置のデータ組とが異なる。固定位置のデータ組によって表される、それらの位置に配置されたセンサノードはない。また、利用可能な測定データはない。他の実施例において、上記位置を同じくすることができ、センサ測定データが利用可能であってもよい。
【００４７】
方法２００は、初期化平均値ベクトルの計算２５２および初期共分散行列の計算２５４を含む初期化２５０を続行する。初期平均値ベクトル２５２は、固定位置Ｘのデータ組に平均値関数（例えば、ゼロ平均値関数）を適用して算出される。これは、時空現象はガウス分布であると仮定されるので、どのような測定データに関する情報も有することなく達成できる。さらに、初期共分散行列の計算２５４が実行される。これは、カーネル行列である。言い換えれば、固定位置Ｘのデータ組は、それ自体が共分散関数に適用される。この平均値ベクトルおよびこの共分散行列は、データ構造１１７、１２７（図１参照）に含まれる。他の実施形態においては、初期平均値ベクトルの計算は、既存の測定データで実行してもよい。
【００４８】
初期化２５０、統合２３０、および補間２８０において、カーネル行列の反転行列の計算２８０が要求される（式（１６）、（２２）を参照）。反転行列の計算は計算量０（ｓ３）を必要とする。ここで、ｓは固定位置の個数である。固定位置の個数は、新しい固定位置が固定位置のデータ組に追加されない限り一定であり、あるいは、固定位置がデータ組から削除される。したがって、さらなるデータ構造、例えばメモリーモジュール１２３（図１を参照）へのカーネル行列の反転行列の任意の格納２４０は、方法２００を実行している時にプロセッサの全体的な演算時間を短縮する。この任意の方法ステップは、格納ステップ２４０用の破線で示したボックスによって、図２に示される。
【００４９】
統合２３０は、中間平均値ベクトルの推測２３２を実行すること、および中間共分散行列の推測２３４を実行すること、ならびに、初期平均値ベクトルの更新２３６と初期共分散行列の更新２３８とを実行することを含み、このことは、中間平均値ベクトルおよびセンサ測定データｙｔを初期平均値ベクトルに組み込み、中間共分散行列を初期共分散行列に組み込むことによって、データ構造１１７、１２７１２３（図１を参照）を更新することを意味する。推測２３２、２３４（式（１６）から（１８）を参照）と更新２３６、２３８（式（１９）から（２１）を参照）とは、特定の任意の位置Ｘｔと固定位置Ｘのデータ組とに基づいている。図２において、このことは、推測２３２、２３４の入力として、ＸおよびＸｔの各々の参照プーレスホルダによって示される。Ｘを角括弧内に入れて示しており、これは、それが以前のステップによって、または、例えば、固定位置のデータの格納２１０からの直接入力リンクによって、提供される場合があるからである。センサ測定データｙｔは、初期平均値ベクトルの更新処理２３６のための入力データである。
【００５０】
更新処理２３６、２３８の後、電流センサ測定データｙｔおよび対応のセンサ位置データＸｔは、放棄することができ、この理由は、それらによって示される情報がデータ構造１１７、１２７（図１を参照）に組み込まれるからである。同一または他のセンサノード位置での新しいセンサ測定データによる実行方法２００は、以前の測定の履歴データなしで実行され得る。
【００５１】
新しいセンサ測定データとそれぞれのセンサノード位置データの出現に、統合２３０はこの情報を平均値ベクトルと共分散マトリックスとに再帰的に組み込むことができる。図２において、破線矢印は、反復的なステップを示し、ｙｔおよびＸｔの破線参照プーレスホルダとＸｔは、それぞれの方法ステップの入力データを示す。そのような反復は、履歴センサ測定データを必要とせず、それは、プロセッサの処理労力を減らすために、固定位置Ｘのデータ組と任意選択的にステップ２４０で格納された反転とを必要とする。
【００５２】
上記の記載の語句「初期」は、データ構造１１７を更新する第１反復（図１を参照）を示す。以下の反復では、データ構造１１７、１２７の初期化が必要とされないと思われる。反復は、同じデータ構造１１７、１２７（図１を参照）を更新する。したがって、「初期平均値ベクトル」／「初期共分散行列」と「平均値ベクトル」／「共分散行列」が同じデータ構造１１７、１２７に関するものであることは、明らかである。
【００５３】
上記したような特定の任意の位置と受信した測定データとの統合２３０は、正確な再帰的ベイズ回帰によって達成される。したがって、方法２００は、ベイズの定理に基づいており、任意の近似、例えばヒューリスティック（式（４）の記述文脈も参照）を利用しないので、正確な結果が得られる。
【００５４】
平均値ベクトルおよび共分散行列が最初に利用可能であるときに、方法２００は、物理的領域で任意の場所の時空現象の推定データの導出２８０によって実行することができる。式（２２）から（２４）で例示されるように、この補間は任意の位置で実行され得る。複数の位置で測定データを有することは必要でない。推定された補間データは、このデータに依存した通知の生成２９０に利用され得る。そのような通知は、例えば、時空現象の視覚表現であり得る。
【００５５】
本発明の実施形態によるコンピュータ実装方法に関する詳細は、以下で説明される。詳細な具体例のために、以下の表記が用いられる：
・ｘのような下線が付された小文字英字は列ベクトルを示す。
・Ｘのような太字の英大文字は、行列である。
・指数ｘ１：ｔはすべての変数ｘ１、ｘ２、・・・、ｘｔの収集を示す。
・ｆ（Ｘ）およびｇ（Ｘ，Ｘ）は、関数ｆ（ｘ）およびｇ（ｘ，ｙ）を各々の列ｘｉ、Ｘのｉ＝１、・・・、ｎに同時に適用するためのショートカットである。すなわち、ｆ（Ｘ）は要素ｆ（ｘｉ）を有するベクトルであり、ｇ（Ｘ，Ｘ）は要素ｇ（ｘｉ，ｙｉ）を有する行列である。
【００５６】
ＧＰ反復に対して、データ組
【数２】
2015524594.tif 000004
はノイズプロセス
【数３】
2015524594.tif 000005
から導出される。式中、ｘｉ∈Ｒｄは入力、ｙｉ∈Ｒは観察または出力、およびε〜Ｎ（０，σ２）は、分散σ２を有するゼロ平均ガウスノイズである。以下では、ＸＤ＝［ｘ１，・・・，ｘｎ］は入力であり、ｙ＝［ｙ１，・・・，ｙｎ］Ｔは、対応する観測である。
【００５７】
既知の当技術分野として、ＧＰは、データＤから潜在的関数ｇ（・）を推測するために用いられる。ＧＰは、予想出力値を特定する平均値関数
【数４】
2015524594.tif 000006
と、入力対間の共分散を特定し、しばしばカーネルと呼ばれる半正定値共分散関数
【数５】
2015524594.tif 000007
とによって、完全に定義される。典型的な例は、それぞれ以下のゼロ平均値関数と二乗指数（ＳＥ）カーネルである。
【数６】
2015524594.tif 000008
しかし、本発明の実施形態に用いられるアプローチは、任意の平均および共分散の関数についても同様である。式（１）において、Λは、各入力次元の特性長スケールの対角行列であり、α２は潜在関数ｈの分散である。ノイズ分散σ２とともにそのような平均および共分散関数は、ＧＰのハイパーパラメータと呼ばれている。この説明のために、ハイパーパラメータが与えられるので、データから学習する必要はない。
【００５８】
ＧＰにより関数に対してガウス分布が形成されるので、それは次式で与えられる。
【数７】
2015524594.tif 000009
任意の有限集合の入力に対しては、結果として生じる出力の分布は、多変量のガウス分布である。例えば、出力の関数値の分布は、任意の試験入力ｘ＊に関するｇ＊＝ｇ（ｘ＊）は、平均および分散がそれぞれ次式で与えられる一変量ガウス分布である。
【数８】
2015524594.tif 000010
ここで、ｖａｒ（・）は、分散であり、
【数９】
2015524594.tif 000011
は、カーネル行列である。
【００５９】
ＧＰ予測に関して、すなわち、（２）および（３）に従ってテスト入力の所定のセットの分布を算出するために、カーネル行列Ｋの計算、マトリックスＫｘの反転、ｋ＊とＫｘとの乗算が必要である。カーネル行列計算および乗算の両方は計算量０（ｎ２）の率になるが、反転は０（ｎ３）の率になり、したがって、大きいデータ組Ｄに関して、カーネル行列を格納してすべての計算を解析することは、禁止される。本発明は、計算処理的に効率的な回帰を実行するのではなく近似を実行すべく、いわゆる基底ベクトルと呼ばれるｓ≪ｎのセットですべての計算に関して再帰的ＧＰ回帰を用いるものである。
【００６０】
再帰的ＧＰ回帰については、
【数１０】
2015524594.tif 000012
を基底ベクトルの位置の行列にする。ここで、Ｘは、ＸＤのサブセットではなく、
【数１１】
2015524594.tif 000013
は潜在的関数の対応する未知数値ではない。基底ベクトルが処理ステップｔ＝０、１、．．．のすべてに関して固定されたままであると仮定する。ｇ（ｘ）はＧＰと仮定されることから、再帰処理の初期ステップｔ＝０でのｇの分布
【数１２】
2015524594.tif 000014
は、平均値
【数１３】
2015524594.tif 000015
および共分散値
【数１４】
2015524594.tif 000016
を有するガウス分布である。任意のステップｔ＞０では、入力
【数１５】
2015524594.tif 000017
で新しい観測
【数１６】
2015524594.tif 000018
が利用可能になる。ここで、目的は、新しい観測ｙｔによるステップｔ−１のｇの事前分布
【数１７】
2015524594.tif 000019
を更新することによって、事後分布
【数１８】
2015524594.tif 000020
を計算することである。
【００６１】
【数１９】
2015524594.tif 000021
に従って、再帰的アルゴリズムを導出するべく、所望の事後分布が拡大される。式中、第１の等式の結果は、結合分布
【数２０】
2015524594.tif 000022
から
【数２１】
2015524594.tif 000023
を積分消去することによって得られる。第２の等式はベイズの規則を適用することから得られる、ここで、ｃｔは正規化定数である。式（４）に基づいて、事後分布は２つのステップによって実行され得る。
・推測：所定の事前ｐｔ−１に基づいて結合事前確率
【数２２】
2015524594.tif 000024
を計算する。
・更新：観測ｙｔにより結合事前確率を更新し、ｇｔを積分消去する。
推測ステップおよび更新ステップの記述に関して、以下の補助定理が適用される。
補助定理（１）（２次形式の併用）
ＢおよびＣが対称かつ正定値行列である場合、
【数２３】
2015524594.tif 000025
であり、式中、
【数２４】
2015524594.tif 000026
である。
補助定理２（ブロック行列の反転）
ＡおよびＤが正規行列である場合、
【数２５】
2015524594.tif 000027
となり、式中、Ｑ＝Ｄ−ＶＡ−１Ｕはブロック行列Ｍのシュール補行列である。行列Ｍの行列式｜・｜は、
【数２６】
2015524594.tif 000028
さらに、補助定理１および補助定理２の正当性に関する詳細な情報は、例えば、以下に見出すことができる。
・Ｄ．  Ｊ．  Ｓａｌｍｏｎｄ，  ”Ｔｒａｃｋｉｎｇ  ｉｎ  Ｕｎｃｅｒｔａｉｎ  Ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔｓ，”  Ｐｈ．Ｄ．  ｄｉｓｓｅｒｔａｔｉｏｎ，  Ｒｏｙａｌ  Ａｅｒｏｓｐａｃｅ  Ｅｓｔａｂｌｉｓｈｍｅｎｔ，  Ｆａｒｎｂｏｒｏｕｇｈ，  Ｈａｎｔｓ，  ＵＫ，  １９８９の２６１〜２６２頁、Ａ４。
・Ｗ．  Ｊ．  Ｄｕｎｃａｎ，  ”Ｓｏｍｅ  ｄｅｖｉｃｅｓ  ｆｏｒ  ｔｈｅ  ｓｏｌｕｔｉｏｎ  ｏｆ  ｌａｒｇｅ  ｓｅｔｓ  ｏｆ  ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ  ｌｉｎｅａｒ  ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，”  Ｐｈｉｌｏｓｏｐｈｉｃａｌ  Ｍａｇａｚｉｎｅ  Ｓｅｒｉｅｓ  ７，  ｖｏｌ．３５，  ｎｏ．２４９，  ｐｐ．６６０−６７０，  １９４４。
【００６２】
結合事前確率ｐｔ−１（ｇ，ｇ｜ｙ１：ｔ−１）を決定するために、（初期）結合分布ｐ０（ｇ，ｇｔ）は、平均値および共分散値がそれぞれ次式で与えられるガウス分布である。
【数２７】
2015524594.tif 000029
このことは、ｇ（・）がＧＰであり、かつこのＧＰの任意の有限表現がガウス分布を生ずるという事実から得られる。したがって、結合事前確率は次式のように書き表すことができる。
【数２８】
2015524594.tif 000030
と、
【数２９】
2015524594.tif 000031
である。式（６）の第１の等式は、ｇを与える過去の観測ｙ１：ｔ−１からｇｔが条件付きで独立していることを仮定することから、得られる。したがって、条件付分布ｐ（ｇｔ｜ｇ）はガウス分布であり、ｇを条件付けることで、結合分布ｐ０（ｇｔ，ｇ）によって生ずる（例えば、Ａ．Ｈ．  Ｊａｚｗｉｎｓｋｉ，  Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ  Ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ  ａｎｄ  Ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ  Ｔｈｅｏｒｙ．  Ｄｏｖｅｒ  Ｐｕｂｌｉｃａｔｉｏｎｓ，  ｉｎｃ．，  ２００７の第２．６章を参照せよ）。
式（６）の積を解くために、最初に、両ガウス分布の指数関数を検討する。
【数３０】
2015524594.tif 000032
を定義することによって、また補助定理１の結果を利用することによって、両指数を次式に変換することができる。
【数３１】
2015524594.tif 000033
その際、
【数３２】
2015524594.tif 000034
である。式中、
【数３３】
2015524594.tif 000035
は、それぞれ、ｇｔの平均値および共分散値である。次式：
【数３４】
2015524594.tif 000036
によって与えられる式（８）の反転行列は、ウッドベリー公式を適用することによって得られる。この公式については、例えば、Ｗ．Ｈ．  Ｐｒｅｓｓ，  Ｓ．Ａ．  Ｔｅｕｋｏｌｓｋｙ，  Ｗ．Ｔ．  Ｖｅｔｔｅｒｌｉｎｇ，  ａｎｄ  Ｂ．Ｐ．  Ｆｌａｎｎｅｒｙ，  Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ  Ｒｅｃｉｐｅｓ：  Ｔｈｅ  Ａｒｔ  ｏｆ  Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ  Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ，  ３ｒｄ  ｅｄ．，  Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ  Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ  Ｐｒｅｓｓ，  ２００７を参照せよ。式（９）を代数変換とともに用いることによって、式（７）を次式のように再構成することができる。
【数３５】
2015524594.tif 000037
右側の項は、平均値および（反転）共分散値がそれぞれ次式である結合ガウスｇの指数ｇｔに対応する。
【数３６】
2015524594.tif 000038
式中、式（１０）の右側の項の共分散Ｑは、補助定理２をＱ−１に適用することにより得られる。
指数関数のほかに、式（６）の乗算は、両ガウスの正規化係数の積も含み、これは次式によって単純化することができる。
【数３７】
2015524594.tif 000039
式中、（ａ）は、ゼロ
【数３８】
2015524594.tif 000040
の加算によって得られ、また（ｂ）は式（５）の適用によって得られる。
【００６３】
次に、更新ステップの導出を説明する。式（６）の結合事前確率はガウス分布Ｎ（ｑ，Ｑ）であり、次のステップは式（４）の更新および周辺化を行うものである。この目的のために、式（４）は、ｇが観測されないことを考慮して、以下のように再構成される。
【数３９】
2015524594.tif 000041
したがって、ｐｔ（ｙｔ｜ｇｔ）はｇから独立している。
【数４０】
2015524594.tif 000042
は両方ともガウス分布であることから、ｇｔは、カルマンフィルタ更新ステップによって、更新することができる。次に、ｇの更新およびｇｔの積分消去が同時に行われる。
カルマンフィルタ更新式の適用は、平均値および共分散値がそれぞれ（１２）および（１３）である次の等式を生ずる。
【数４１】
2015524594.tif 000043
その際の平均値および共分散値はそれぞれ以下の通りである。
【数４２】
2015524594.tif 000044
式中、
【数４３】
2015524594.tif 000045
は、カルマンゲインである。式（１１）のｐｔ−１（ｇ｜ｇｔ，ｙ１：ｔ−１）によるｐｔ（ｇｔ｜ｙ１：ｔ）の操作の結果は、推測ステップについて上記したように、同様に導出され得る。このことによって、平均値および共分散値がそれぞれ以下の通りであるｇおよびｇｔの結合ガウス分布が得られる。
【数４４】
2015524594.tif 000046
式中、
【数４５】
2015524594.tif 000047
である。分散
【数４６】
2015524594.tif 000048
を得ることにのみ関心がある、すなわち、時系列的に結合したメモリおよび計算複雑性を保持するために基底ベクトルＸでの潜在的関数を更新することに関心があるので、ｇｔが積分消去される。このことは、ｇｔの平均値μｅｔおよび共分散値Ｃｅｔのならびに交差共分散ＬｔＣｅｔを無視することに対応する。
【００６４】
したがって、まとめると、ステップｔ＝１，２，．．．では、本発明の方法は、任意のセンサ位置Ｘｔにおいて、以下の複数の等式の組を用いて、測定データｙｔの処理を実行する。
【数４７】
2015524594.tif 000049
【数４８】
2015524594.tif 000050
式中、再帰は、基底ベクトルＸに関するｇの初期平均値
【数４８−１】
2015524594.tif 000051
および共分散
【数４８−２】
2015524594.tif 000052
から開始される。式（２０）の更新平均値および式（２１）の共分散値は、式（１４）のμｅｔを式（１２）で置換することによって、また式（１５）のＣｅｔを式（１３）によって置換することによって、それぞれ、
【数４８−３】
2015524594.tif 000053
によって、得られる。
【００６５】
別の実施形態では、平均値μｇｔおよび共分散値Ｃｇｔである更新データ構造は、任意の位置Ｘ＊での補間に用いられる。補間に対しては、推測ステップの複数のステップを用いることができる。
【数４８−４】
2015524594.tif 000054
【００６６】
結果として生じる平均値μ＊および共分散値Ｃ＊を、例えば、時空現象の視覚表現のためのヒートマップの生成に用いることができる。式（２２）から（２４）は、式（１６）から（１８）の推測ステップと基本的に同じであり、この説明では、明確さを理由として別々に例示されている。
【００６７】
図３は、以前のセンサ測定データを一切含まない２つのセンサデータ測定中の例示的な一次元時空現象に関するデータ構造の更新のグラフを示す。言い換えれば、グラフは、利用可能な以前のセンサ測定データがなかった場合に、２組のセンサ測定データの間の平均値μｇｔと共分散値Ｃｇｔとの推定の改善を例示する。
【００６８】
グラフを見ると、現象は縦軸によって与えられ、位置は横軸によって与えられる。グラフ３０１は、現象の、現実ではあるが未知の関数である。部分３０８は、ＧＰ３０６に関する推定の分散を示す。推定の精度が改善されるにつれて、灰色部分はグラフごとに実関数に近似する。
【００６９】
この例の時空現象は、次式で与えられる非線形マッピングによって与えられる。
【数４９】
2015524594.tif 000055
式中、ノイズε〜Ｎ（０，０．１）はゼロ平均値および分散値０．１を有するガウス分布である。この関数は、未知であると仮定され、センサ測定から推定されなければならない。言い換えれば、利用可能な時空現象について未知である。
【００７０】
例えば、推定に使用されるＧＰは、ゼロ平均値関数ｍ（ｘ）＝０と、ハイパーパラメータα＝１およびｌ＝１の、以下の二乗指数共分散関数を有する。
【数５０】
2015524594.tif 000056
【００７１】
実施例では、固定位置は、ｘ１＝０．５、ｘ２＝１．５、ｘ３＝２．５、ｘ４＝３．５で、４つの基底スカラー値によって、間隔［０，４］上で等しく離間して配置され、したがって、すべての基底スカラー値の行列は、Ｘ＝［０．５  １．５  ２．５  ３．５］Ｔである。固定位置の次元は、より高い値のものであり得る。したがって、他の実施形態では、基底ベクトルによって固定位置を表すことが可能である。
【００７２】
コンピュータ実装方法の初期化に関して、時間ステップｔ  ＝  ０の平均値と共分散値は、
【数５１】
2015524594.tif 000057
である。
さらに、Ｊ０に必要とされる逆関数は、反転行列Ｃｇ０によって計算される。この反転行列は、一度だけ実行しなければならない。すなわち、この方法のその後のすべてのステップで結果が格納および再利用され得る。これによって、全体的な計算量が低減される。
【００７３】
時空現象のＧＰは、間隔［０，４］で任意の点、例えば５０の等距離点を補間することによって視覚化することが可能である。これらの補間点は、行列Ｘ＊＝［ｘ１ｘ２．．．ｘ５０］Ｔに格納され得る。Ｘ＊を有する式（２２）から（２４）を適用することによって、平均値μ＊および共分散値Ｃ＊有するプロット３００は時間ステップｔ＝０に関して導出することができる。
【００７４】
上述したように、時空的現象は実線で示される未知関数３０１によって説明される。現在の再帰ＧＰ３０６は、破線で示される。また、固定位置、すなわち基底スカラーは、該スカラーの平均値μ＊３０２とともに、ＧＰ３０６上の円として示される。この最初の方法ステップでは、利用できる測定データはないので、推定は至る所でゼロである。言い換えれば、固定位置はすべて、ゼロ平均を有する可能性がある。現在の評価の２シグマ境界は、セクション３０８によって示され、これはプロット３００を完全にカバーする。２シグマ境界は、共分散Ｃ＊の対角成分の平方根を取ることによって計算され、次に、２シグマ境界であることから、それらを２によって乗算する。
【００７５】
時間ステップ＝  １で、センサノード位置ｘ１，１＝２．２およびｘ１，２＝２．８３で２つの測定が受信される。この実施例に対し結果として生ずる行列は、Ｘ１＝［２．２  ２．８３］Ｔである。対応するセンサ測定データは、ｙ１，１＝−０．２３およびｙ１，２＝０．４である。概して、測定データはノイズが多く、そのことは、該測定データがノイズεによって各々のセンサ測定位置で未知の関数ｇ（ｘ）の値を正確に表すことはない。
【００７６】
行列Ｘ１＝［２．２  ２．８３］Ｔによる式（１６）〜（１８）の推測ステップによって、
【数５２】
2015524594.tif 000058
この推測ステップの結果は、プロット３２０で見られる。黒色星印は、センサ測定データに対応しており、例えば、黒色星印３２４はｙ１，２＝０．４に対応している。縦の棒は、各々のセンサ測定位置における２シグマ境界を示す。例えば、縦棒３２５は、ｙ１，２の境界である。
【００７７】
推測ステップの結果に式（１９）〜（２１）に適用することによって、平均値μｇ１および共分散値Ｃｇ１の更新を算出することができる。
【数５３】
2015524594.tif 000059
【００７８】
時間ステップｔ＝１の更新ステップの結果は、プロット３３０で見ることができる。すべての基底スカラー（すなわちすべての固定位置）の平均値３３２は、センサ測定データにより変化する。ＧＰ３３６は、現在、時空現象の未知関数３０１に近づく。さらに、測定位置に近い２シグマ境界３３８は、例えば位置ｘ＝０で、さらに遠くよりも、減らされる。センサ測定データは現在、平均値μおよび共分散値Ｃに取り込まれるので、測定値を放棄することができる。
【００７９】
時間ステップ＝２で、位置ｘ２，１＝３．５７２、ｘ２，２＝３．５８５、ｘ２，３＝０．５０２、ｘ２，４＝０．８２９、およびｘ２．５＝０．２０６が受け取られる。対応するセンサ測定データは、ｙ２．１＝０．１９６、ｙ２，２＝０．１２７、ｙ２，３＝０．８２２、ｙ２，４＝−０．０８４、およびｙ２，５＝１．５９７である。これら５つの測定の位置およびデータは、図３におけるプロット３４０および３５０の星印によって与えられる。したがって、左側に３つの星印があり、右側に２つの星印がある。また、測定データにはノイズが多く、したがって、ノイズεのために、各々のセンサ測定値で、未知の関数ｇ（ｘ）の値を正確に示さない。
【００８０】
センサノード位置の行列Ｘ２による式（１６）〜（１８）の推測ステップによって、次式が得られる。
【数５４】
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【００８１】
この推測ステップの結果は、グラフ３４０で見ることができる。センサノード位置ｘ２，１およびｘ２，２は、近い（２つの星印が接近）。しかし、黒色星印３４４がノイズεによる時空的現象の未知の関数３０１上に正確には置かれていないことが見て取れる。さらに、現在の測定データに関する縦棒はより短く示されている。右側にある２つの測定（３４４で）の２シグマ境界は、左側にある３つの測定の境界よりも短い。言い換えれば、例えば、センサ位置ｘ２．２３４４の２シグマ境界は、より小さい分散３４５を有する。
【００８２】
現在の推測ステップの結果に式（１９）〜（２１）に適用することによって、平均μｇ２および共分散Ｃｇ２の更新を算出することができる。
【数５５】
2015524594.tif 000061
【００８３】
時間ステップｔ＝２の更新ステップの結果は、グラフ３５０で見ることができる。ＧＰ３５６は、ＧＰ３３６の前推定量と比較して，ここで改善され、ここで、時空現象の未知関数３０１により近くなる。さらにまた、２シグマ境界３５８は、前推定３３８よりも紛れもなく良好である。また、センサ測定データは平均値μｇ２および共分散値Ｃｇ２に組み込まれ、共分散値Ｃおよび測定を放棄することができる。したがって、データ構造のメモリ必要条件は同じままであり、さらにメモリ機能は必要としない。
【００８４】
現在の平均値μｇ２および共分散値Ｃｇ２は、組み込まれたすべてのセンサ測定データを有する。したがって、時空現象は、対応する位置行列Ｘ＊により、区間［０，４］上の点などの任意の位置に補間することができる。これは、例えば時空現象を視覚的に示すためにそれぞれの平均値μ＊と共分散値Ｃ＊との導出用に、Ｘ＊で式（２２）から（２４）を適用することによって達成される。
【００８５】
本発明の複数の実施形態は、デジタル電子回路部品で、または、それらのコンピュータハードウェア、ファームウェア、ソフトウェア、あるいはそれらの組み合わせに実装することが可能である。本発明の実施形態は、コンピュータプログラム製品およびコンピュータシステムとして、実装することができる。このコンピュータプログラム製品の例としては、データ処理装置（例えば、プログラム可能なプロセッサ、コンピュータもしくは複数のコンピュータ）の操作によって、あるいはそれを操作するべく実行するための例えば機械可読記憶装置という情報媒体に有形に具現化されるコンピュータプログラムが挙げられる。特許請求の範囲であるコンピュータプログラムは、プログラミング言語の任意の形で記述され得る。該任意の形として、言語をコンパイルまたはインタプリティブ言語が挙げられる。また、このようなコンピュータプログラムは、任意の形状で配備される。該形状として、独立型プログラムとして、またはモジュール、コンポーネント、サブルーチン、あるいは、コンピューティング環境での使用に適した他のユニットとしての形状が挙げられる。コンピュータプログラムは、１台のコンピュータまたは、複数のコンピュータ上で実行されるべく、１つのサイトまたは分散された複数のサイトの間で、配備されるとともに、通信網によって相互接続される。記述された方法のすべては、１および２番目のコンピュータ、信頼されたコンピュータ、ならびに通信手段などの、それぞれのデバイス上で、対応するコンピュータ製品によって実行することができる。
【００８６】
本発明の方法ステップは、入力データを演算して出力を生成することによって本発明の機能を実行すべくコンピュータプログラムを実行する１または複数のプログラム可能なプロセッサで実行することができる。方法ステップは、本発明の装置によっても実行することができる。本発明の装置は、フィールドプログラマブルゲートアレイ（ＦＰＧＡ）または特定用途向け集積回路（ＡＳＩＣ）などの特定用途向け論理回路として、実装することができる。
【００８７】
コンピュータプログラムの実行にふさわしいプロセッサとしては、例として、汎用および特定用途向けのマイクロプロセッサ、ならびに、任意の種類のデジタルコンピューティングデバイスの任意の１または複数のプロセッサが挙げられる。通常、プロセッサは読取り専用メモリまたはランダムアクセスメモリ、あるいはそれら両方から、命令とデータとを受け取る。コンピュータの必須要素は、命令とデータを格納するために命令と一つ以上のメモリ素子を実行するための少なくとも１つのプロセッサである。通常、コンピュータは、データの受信またはデータの送信、あるいはそれら両方を行うべく、データを格納するための１または複数の大容量記憶装置、例えば磁気、光磁気ディスク、光ディスク、もしくはソリッドステートディスクを具備またはそれに操作可能に連結される。そのようなストレージ手段は、要求に応じて供給され、インターネット（例えば、クラウドコンピューティング）を通してアクセス可能であってもよい。コンピュータプログラム命令およびデータを具現化するのに適した情報媒体は、不揮発性メモリのすべての形状を含む。そのような形状として、例として、ＥＰＲＯＭ、ＥＥＰＲＯＭ、およびフラッシュメモリデバイスなどの半導体メモリ素子、内蔵ハードディスクまたはリムーバルディスクなどの磁気ディスク、光磁気ディスク、ならびにＣＤ−ＲＯＭおよびＤＶＤ−ＲＯＭディスクが挙げられる。プロセッサおよびメモリは、特定用途向け論理回路によって追加、またはその中に組み込まれ得る。
【００８８】
ユーザとのインタラクションを提供するために、本発明は、ユーザに情報を表示するためのブラウン管（ＣＲＴ）または液晶ディスプレイ（ＬＣＤ）モニタなどの表示装置と、ユーザがコンピュータに入力を提供し得るキーボード、タッチスクリーンまたはタッチパッド、あるいはマウスまたはトラックボールなどのポインティングデバイスとを有するコンピュータ上に、実装することができる。他の種類のデバイスも同様に、インタラクションを提供するべく使用することが可能である。例えば、ユーザに提供されるフィードバックは、視覚フィードバック、聴覚フィードバック、または触覚フィードバックなどの感覚フィードバックの任意の形態が可能である。また、ユーザからの入力は、音響、会話、または触覚入力などの任意の形態で受信することができる。
【００８９】
本発明は、コンピューティングシステムの実装することができ、上記システムは、データサーバなどとしてバックエンドコンポーネントを有し、あるいは、上記システムは、アプリケーションサーバなどのミドルウェアコンポーネントを有し、あるいは、上記システムは、フロントエンドコンポーネントを有し、あるいは、上記システムは、ユーザが本発明の実装と対話することができるグラフィカルユーザーインタフェースもしくはウェブブラウザを装備するクライアントコンピュータ、あるいはバックエンド、ミドルウェア、もしくはフロントエンドコンポーネントの任意の組み合わせを有する。クライアントコンピュータは、スマートフォン、タブレット型パソコンまたは任意の他のハンドヘルドもしくはウェアブルコンピューティングデバイスなどの、モバイルデバイスでもあり得る。システムのコンポーネントは、デジタルデータ通信、例えば、通信網の任意の形態または媒体で相互接続することができ、通信網の例としては、ローカルエリアネットワーク（ＬＡＮ）および広域ネットワーク（ＷＡＮ）、例えば、インターネットまたはワイヤレスＬＡＮもしくは電気通信網が挙げられる。
【００９０】
コンピューティングシステムには、クライアントとサーバとを含み得る。クライアントおよびサーバは、通常、相互に遠隔距離にあり、概して通信網によって対話する。クライアントとサーバとの関係は、各々のコンピュータ上で実行されるコンピュータプログラムによって、および、互いにクライアントとサーバとの関係を有することによって生ずる。
【図３】
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【図５】
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【図１】
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【図２】
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【図４】
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【国際調査報告】
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