(57)【要約】  本発明の様々な実施形態は、オプトエレクトロニクス回路に組み込まれ得る自己検証量子ランダムビット発生器を対象とする。一実施形態では、量子ランダムビット発生器(1100、1400)は、第1の導波路(1111)、第2の導波路(1110)及び第3の導波路(1112)に分岐する導波路(1108、1414)に結合された電磁放射線源(1106、1406、1412)を含む伝送層を備える。放射線源は、第1の偏光状態にある電磁放射線のパルスを生成する。偏光回転子（1114〜1117）が第2及び第3の導波路に関連して動作するように結合され、第2の導波路で伝達されるパルスを回転させて第2の偏光状態にし、第3の導波路で伝達されるパルスを回転させて第3の偏光状態にする。システムコントロール(1104)は、第1の導波路で伝達されるパルスの偏光基底状態に基づいてビット列を生成し、第2及び第3のパルスの偏光基底状態に基づいて、そのビット列のランダム性をトモグラフィによって検証する。【選択図】図１１
2010501125.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
自己検証量子ランダムビット発生器（1100、1400）であって、
伝送層（1102）であって、
第１の導波路（1111）、第２の導波路（1110）、及び第３の導波路（1112）に分岐する導波路（1108、1414）に結合され、第１の偏光状態において電磁放射線のパルスを生成するように構成された、電磁放射線源（1106、1406、1412）と、
前記第２の導波路で伝達されるパルスを回転させて第２の偏光状態にすると共に、前記第３の導波路で伝達されるパルスを回転させて第３の偏光状態にするように配置及び構成された１つ又は複数の偏光回転子（1114〜1117）とを含む、伝送層（1102）と、
前記第１の導波路で伝達される前記パルスの偏光基底状態に基づいてビット列を生成すると共に、前記第２の導波路及び前記第３の導波路で伝達される前記パルスの偏光基底状態に基づいて前記ビット列のランダム性をトモグラフィによって検証するように構成されたシステムコントロール（1104）とを備える、自己検証量子ランダムビット発生器（1100、1400）。
【請求項２】
前記第１の導波路に関連して動作するように結合されると共に、前記第１の導波路で伝達される前記パルスのエネルギーを多くても単一光子まで低減するように構成された減衰器（1140）と、
前記第１の導波路に結合される第１の偏光ビームスプリッタ（1125）、前記第２の導波路に結合される第２の偏光ビームスプリッタ（1124）、及び前記第３の導波路に結合される第３の偏光ビームスプリッタ（1126）とをさらに含む、請求項１に記載の発生器。
【請求項３】
前記電磁放射線源が、
ダイオードレーザ、及び
導波路偏光子及び偏光回転子に結合された発光ダイオードのうちの一方からなる、請求項１に記載の発生器。
【請求項４】
前記偏光回転子のそれぞれが、
２つ以上の偏光回転子（1200、1300）、
半波長板（1422〜1424）、及び
４分の１波長板（1426）のうちの１つをさらに含む、請求項１に記載の発生器。
【請求項５】
前記システムコントロールが、
前記第１の導波路で伝達される光子を検出するように構成されたアバランシェフォトダイオード対（1132、1133）と、
前記第２の導波路で伝達されるパルスを検出するように構成された第１のｐ−ｉ−ｎ光検出器の対（1128、1129）と、
前記第３の導波路で伝達される光子を検出するように構成された第２のｐ−ｉ−ｎ光検出器の対（1130、1131）とをさらに含む、請求項１に記載の発生器。
【請求項６】
前記導波路が、
リッジ導波路、
フォトニック結晶内の導波路、及び
光ファイバのうちの１つをさらに含む、請求項１に記載の発生器。
【請求項７】
各パルスが第１の偏光状態にある、電磁放射線のパルス列を生成し、
各パルスを第１のパルス、第２のパルス及び第３のパルスに分割し、前記３つのパルスが全て同じ第１の偏光状態にあり、
偏光回転子（1200、1300、1422〜1424、1426）を用いて、前記第２のパルスをそれぞれ
回転させて第２の偏光状態にし、前記第３のパルスをそれぞれ回転させて第３の偏光状態にし、
前記第１のパルスの２つの偏光基底状態のうちの１つを検出することに基づいてビット列を生成し、及び
前記第２のパルス及び前記第３のパルスの前記偏光状態に基づいて、トモグラフィ解析を実行して、前記ビット列のランダム性を検証することを含む、ランダムビット列を生成する方法。
【請求項８】
前記第１のパルスの強度を減衰させて単一光子にし、及び
前記第１のパルスを２つの偏光基底状態に分割し、前記第２のパルスを２つの偏光基底状態に分割し、前記第３のパルスを２つの偏光基底状態に分割することをさらに含む、請求項７に記載の方法。
【請求項９】
前記第２のパルスをそれぞれ回転させて第２の偏光状態にし、前記第３のパルスをそれぞれ回転させて第３の偏光状態にすることが、各第２のパルスを１つ又は複数の偏光ビームスプリッタを介して伝達し、及び各第３のパルスを１つ又は複数の偏光ビームスプリッタを介して伝達することをさらに含む、請求項７に記載の方法。
【請求項１０】
前記トモグラフィ解析を実行することは、最小エントロピー
【数１】
2010501125.tif 000222
を構成し、ここで
2010501125.tif 000223
はストークスパラメータの関数としての状態集合｜ψi〉＝ｃi｜Ｈ〉＋ｄi｜Ｖ〉の密度
行列であり、Ｐｒ（ｘ）は事象ｘの確率であり、
2010501125.tif 000224
はＸ内の全ての事象ｘにわたる最大確率Ｐｒ（ｘ）を意味し、及び
前記最小エントロピー
2010501125.tif 000225
に基づいてテプリッツ行列Ｔm×nを構成し、ここで、ｍはランダムビットの数であり、ｎは生ビットの数であり、ｍ＜ｎであることをさらに含む、請求項７に記載の方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は乱数発生器に関し、具体的には、量子系の量子力学的特性を用いてランダムビット列を生成するための方法及びシステムに関する。
【０００２】
関連出願の相互参照
本出願は、２００６年４月２０日に出願の米国特許出願第１１／４０７，５１３号及び２００６年１０月１０日に出願の米国特許出願第１１／５４６，１５８号の一部継続出願である。
【０００３】
発明の背景
乱数は、ほんの数例を挙げると、ゲームプレー、統計的サンプリング、積分方程式の値を求めること、粒子輸送計算、統計物理学における計算を含む多数の分野において用途を有する。結果として、乱数を用いる方法及びシステムにおいて、乱数発生器（random  number generator：「ＲＮＧ」）が重要な位置を占める。例えば、ＲＮＧは、安全なシステムの重要な構成要素であり、暗号技術のための鍵を生成するために広く用いられる。理想的なＲＮＧは、予め予測されることができず、確実に再現されることができず、且つ均一な分布に従って分布する数を生成する。言い換えると、ＲＮＧは理想的には、偏りのない乱数列を生成する。しかしながら、一般的に用いられる多くのＲＮＧは、見せかけの乱数列を生成するか、又は偏った数列を生成しがちであるかのいずれかである。
【０００４】
公式及び数値的方法を用いて、見せかけの乱数列を生成するために、ＲＮＧはソフトウエアで実施されてきた。同じ初期パラメータが使用される場合、ソフトウエアベースのＲＮＧは一般に、公式を用いるＲＮＧであり、公式によって擬似乱数列を予測し、再生できるようになるため、「擬似乱数発生器」と呼ばれる。再帰的レーマ擬似乱数発生器（Lehmer  pseudorandom number generator：「ＬＰＮＧ」）が、一般に用いられる擬似乱数発
生器の一例であり、以下の式によって与えられる。即ち、
ｘn+1＝Ａｘn＋Ｃ（ｍｏｄＭ）
ここで、ｘnは、乱数列のｎ番目の数であり、Ａ、Ｃ及びＭは、ＬＰＮＧによって生成さ
れる数列がランダムに見えるのを確実にするために調整され得るパラメータである。一般に、Ｍは擬似乱数列を計算するのに用いられるコンピュータのワードサイズを割り当てられ、ｘ0は、シードであり、素数を割り当てられる。例えば、Ａ、Ｃ及びＭにそれぞれ値
２１、１及び３２（５ビット）を割り当て、ｘ0に素数１３を割り当てると、ＬＰＧＮは
以下の整数の擬似乱数列、即ち、１３、１８、２７、２４、２５、１４、７等を生成する。代替的な手法は、擬似乱数発生器が起動される度に、擬似乱数発生器に、コンピュータシステムクロックによって導入される時刻を供給してもよい。しかしながら、システムクロックによって与えられる時刻を用いる場合であっても、擬似乱数発生器が起動されるときの時刻を特定することが可能である場合があるため、絶対確実ではない。
【０００５】
また、原子系、分子系及び電気系によって生成される熱雑音において観測されるカオスゆらぎに基づいて乱数列を生成するために、ハードウエアベースのＲＮＧも開発されている。例えば、抵抗を流れる電流によって生成された熱雑音は、数を電圧平衡ゆらぎの大きさに割り当てることによって、乱数列の発生源として使用され得る。しかしながら、使用される系は環境変化の影響を受けやすいため、ハードウエアベースのＲＮＧは必ずしも信頼できるとは限らない。例えば、電気雑音をベースにするＲＮＧは、その系の温度を変更することによって偏る可能性がある。さらに、ハードウエアベースのＲＮＧによって生成される数列のランダム性を検証するために一般に用いられる方法は、ソフトウエアベースの決定論的方法であり、その方法は、その数列が統計的に良好に振舞うか否かを判定する
のに使用され得るが、その数列の真のランダム性を評価するのに使用されることはできない。さらに、わずかな時間しかない場合であっても、適切なモデル又はアルゴリズムを用いる十分に強力なデータ処理システムであれば、カオス又は熱過程を予測できるようになることがある。
【０００６】
量子ランダムビット発生器（Quantum random bit generator：「ＱＲＢＧ」）は別のタイプのハードウエアベースのＲＮＧである。ビットは、コンピューティング及び情報処理において用いられる情報の最も基本的な単位であり、２進数「０」及び「１」によって表される２つの状態のうちの１つで存在する。ＱＲＢＧは、実質的に同一の量子系の量子力学的特性に基づく。各数を量子系において実行される測定の結果と関連付けることによって、乱数列を生成することができる。このようにして生成される数は本当にランダムである。なぜなら、各測定は、量子系の状態をその測定が実行される時刻において取り得る多くの状態のうちの１つに射影し、量子力学の標準的な解釈によれば、測定方法及び測定デバイスをいくら改良しても、量子系において実行される測定の結果の不確定性を克服することができないためである。結果として、ＱＲＢＧは、乱数列を生成するのに極めて望ましいシステムである。
【０００７】
量子測定を用いて、ランダムビットを生成することができる。例えば、その出力チャネル内に２つの光電子増倍管検出器が配置される偏光ビームスプリッタにおいて、４５°偏光の光子の透過及び反射を検出することによって、ランダムビット列を生成することができる。各検出器が検出事象を記録する確率は同じであるが、次の検出事象をどの検出器が記録するかを予測することはできない。検出器のうちの一方における検出に２進数「０」を割り当て、他方の検出器における検出に２進数「１」を割り当てることによって、ランダムな２進数の数列を構成することができる。ビット列を用いて、整数の乱数列を生成することができる。例えば、３０個の４５°偏光の光子を偏光ビームスプリッタに別個に送信するものと仮定すると、以下のランダムビット列が生成される。即ち、
０００１１０１０１０１１１００１０１０１０１１１１００１００
この数列を５ビットワードに分割して、ランダムな２進数の数列０００１１、０１０１０、１１１００、１０１０１、０１１１１及び００１００を与えることができ、その後、それらを１０進数の対応する整数の乱数列３、１０、２８、２１、１５及び４にそれぞれ変換することができる。
【０００８】
ＱＲＢＧは乱数列を生成する好都合の方法及びシステムを提供するように見えるが、ＱＲＢＧは、光子源に手を加えることによって、偏ったビット列を生成することを許す場合がある。さらに、ＱＲＢＧによって生成されるビット列のランダム性を検証するために一般に使用される方法は、ソフトウエアベースの決定論的方法であり、それは、ビット列が本当にランダムであるか否かを評価するのに信頼性がない。物理学者、暗号研究者、コンピュータ科学者及び量子情報使用者は、ランダムビット列を確実に生成するのに使用されることができ、オプトエレクトロニクスデバイスに組み込むことができ、且つ量子系の非決定的な特性に依存する方法を用いて、ランダムビット列内の偏りを検出し、検証し、補正することもできるＱＲＢＧの必要性を認識している。
【０００９】
発明の概要
本発明の様々な実施形態は、オプトエレクトロニクス回路に組み込まれ得る自己検証量子ランダムビット発生器を対象とする。本発明の一実施形態では、自己検証量子ランダムビット発生器は、伝送層とシステムコントロールとを備える。伝送層は、第１の導波路、第２の導波路及び第３の導波路に分岐する導波路に結合される電磁放射線源を含む。また、電磁放射線源は、第１の偏光状態において電磁放射線のパルスを生成するように構成される。１つ又は複数の偏光回転子が、第２の導波路で伝達されるパルスを回転させて第２の偏光状態にし、第３の導波路で伝達されるパルスを回転させて第３の偏光状態にするよ
うに配置及び構成される。システムコントロールは、第１の導波路で伝達されるパルスの偏光基底状態に基づいてビット列を生成するように構成され、第２及び第３の導波路で伝達されるパルスの偏光基底状態に基づいてビット列のランダム性をトモグラフィにより検証する。
【００１０】
発明の詳細な説明
本発明の様々な実施形態は、オプトエレクトロニクスデバイスに組み込まれ得る自己検証量子ランダムビット発生器（Quantum random bit generator：「ＱＲＢＧ」）を対象とする。本発明のシステムの実施形態はランダムビット列を生成し、量子力学に基づく方法を含み、その方法を用いて、そのビット列のランダム性を評価及び検証し、そのビット列から偏ったビットを除去することができる。また、システムの実施形態は、ほんの数例を挙げると、パーソナルコンピュータ、サーバ及びポータブル電子デバイスのようなオプトエレクトロニクスデバイスに含められるほど十分に小さい。
【００１１】
本発明の実施形態は事実上数学的であり、このため、多くの式及び多くの図解表示に関連して以下に説明される。数式はそれのみで、量子光学及び量子情報の分野の当事者に対して、本発明の実施形態を完全に記述し、特徴付けるのに十分であるかもしれないが、様々な背景を有する読者が本発明を理解しやすいように、以下の説明に含まれる、より図式的で、問題に合わせた例及び制御フロー図の手法は、本発明の様々な実施形態を様々な異なる方法で示すことを意図している。また、読者が本発明の様々な実施形態の説明を理解するのを助けるために、物理学における関連するトピックスを概説するサブセクションが提供される。第１のサブセクションでは、量子力学の概説が提供される。第２のサブセクションでは、電磁放射及び量子光学の概説が提供される。第３のサブセクションでは、コヒーレント状態の概説が提供される。第４のサブセクションでは、偏光状態及びストークスパラメータの概説が提供される。最後に、第５のサブセクションでは、本発明の様々なシステム及び方法の実施形態が説明される。
【００１２】
量子力学の概説
本発明の実施形態は量子力学の概念を利用する。Claude Cohen-Tannoudji、Bernard Diu及びFrank Laloe著、教本「Quantum Mechanics, Vol. I and II」（Hermann, Paris, France, 1977年）は、量子力学分野の多くの参考文献のうちの１つである。このサブセクションでは、本発明の実施形態に関係する量子力学のトピックスが説明される。さらなる詳細は、上記で参照された教本から、又は量子力学に関連した他の教本、論文及び雑誌記事から入手され得る。
【００１３】
量子力学は、光子、電子、原子及び分子を含む系の観測された挙動、原子及び亜原子レベルをモデル化する。量子系は不連続状態で存在し、その状態は、別個の測定可能な量によって特徴付けられる。量子系の状態はケットによって表され、｜Ψ〉で示される。ここで、Ψは量子系の状態を表す符号である。例えば、電子は２つの固有のスピン角運動量状態を有し、それらの状態は２つの測定可能なスピン角運動量値
2010501125.tif 000003
に対応する。ここで、
2010501125.tif 000004
は約１．０５４６×１０-34Ｊｓである。スピン角運動量値
2010501125.tif 000005
に対応するスピン状態は「スピンアップ」と呼ばれ、｜↑〉で表すことができ、スピン角運動量値
2010501125.tif 000006
に対応するスピン状態は「スピンダウン」と呼ばれ、｜↓〉で表すことができる。様々な異なる符号を、様々な異なる量子状態に割り当てることができる。例えば、スピンアップ状態｜↑〉はケット｜１／２〉、スピンダウン状態｜↓〉はケット｜−１／２〉によって表すこともできる。また、全く異なる量子系における異なる状態を表すために、ただ１つの符号を用いることもできる。例えば、ケット「｜１〉」は、二原子分子の第１の量子化された振動準位を表すことができ、以下のサブセクションにおいて、後述されるように、単一光子を表すのに使用されることもできる。
【００１４】
量子系の測定可能な量を求めるのに用いられる測定は、演算子
2010501125.tif 000007
によって表される。ここで、符号「＾」は演算子を表す。一般に、演算子は、以下のように、左からケットに作用する。
【００１５】
【数２】
2010501125.tif 000008
【００１６】
ここで、
2010501125.tif 000009
は観測された量子状態を表すケットである。一般に、演算子
2010501125.tif 000010
は「固有状態」と呼ばれる１組の状態に関連付けられる。固有状態は、「｜ψi〉」とし
て表され、以下の特性を有する。
【００１７】
【数３】
2010501125.tif 000011
【００１８】
ここで、ｉは負でない整数であり、ψiは「固有値」と呼ばれる実数値であり、量子系
が固有状態｜ψi〉にあるときに観測される離散した実数値の測定可能な量に対応する。
例えば、ｚ軸に平行な電子のスピン角運動量を求めるのに用いられる測定は、
2010501125.tif 000012
によって表され、観測されるスピン角運動量値の固有値−固有状態の表現は以下のとおりである。
【００１９】
【数４】
2010501125.tif 000013
【００２０】
演算子の固有状態は、「状態空間」と呼ばれる複素ベクトル空間に張る複素ベクトルである。状態空間に属するあらゆる状態が基底に関する固有の線形重ね合わせを有する場合には、固有状態はベクトル空間の基底を構成する。例えば、演算子
2010501125.tif 000014
のＮ個の固有状態｛｜ψi〉｝で張られる状態空間内の状態｜Ψ〉は、以下のように、固
有状態の線形重ね合わせとして書かれ得る。
【００２１】
【数５】
2010501125.tif 000015
【００２２】
ここで、ｃiは「振幅」と呼ばれる複素数値係数である。演算子に関連付けられる状態
空間は、「ヒルベルト空間」とも呼ばれる。ヒルベルト空間は、「内積」と呼ばれる数学演算を含む。２つの状態｜Ψ〉及び｜Ξ〉の内積は以下のように表される。即ち、
〈Ξ｜Ψ〉
ここで、〈Ξ｜は「ブラ」と呼ばれ、状態｜Ξ〉の複素共役転置を表す。内積は以下の特性を有する。即ち、
〈Ξ｜Ψ〉＝〈Ξ｜Ψ〉*
ここで、「*」は複素共役を表す。ヒルベルト空間の基底固有状態は正規直交であり、即
ち数学的な表記では、以下のようになる：
〈ψi｜ψj〉＝δij
ここで、δijは、ｉがｊに等しいときに１であり、そうでない場合には０である。例えば、単一電子ヒルベルト空間の固有状態の内積は以下のようになる。即ち、
〈↑｜↑〉＝〈↓｜↓〉＝１、及び
〈↑｜↓〉＝〈↓｜↑〉＝０
【００２３】
ヒルベルト空間の固有状態の正規直交性を用いて、状態｜Ψ〉の線形重ね合わせの係数を求めることができる。｜Ψ〉と〈ψj｜との内積をとることによって、対応する係数が
与えられる。
【００２４】
【数６】
2010501125.tif 000016
【００２５】
その係数を線形重ね合わせに代入すると、以下の式が与えられる。
【００２６】
【数７】
2010501125.tif 000017
【００２７】
｜Ψ〉はヒルベルト空間内の任意のケットであるため、以下の式が成り立つ。
【００２８】
【数８】
2010501125.tif 000018
【００２９】
ここで、
2010501125.tif 000019
は恒等関数である。その総和は「完全性関係」と呼ばれ、固有状態｛｜ψi〉｝は「完全
である」と言われる。
【００３０】
演算子
2010501125.tif 000020
に対応する測定の前に、量子系は、演算子
2010501125.tif 000021
の全ての固有状態｛｜ψi〉｝内に同時に存在するものとして考えらることができ、それ
は状態の（純粋状態）線形重ね合わせによって表される。
【００３１】
【数９】
2010501125.tif 000022
【００３２】
演算子
2010501125.tif 000023
に対応する測定は、最初に状態｜Ψ〉にある量子系を固有状態のうちの１つ｜ψi〉に射
影する。言い換えると、量子系に関する測定は基本的にフィルタリング過程であり、その過程によって、測定の時刻に、量子系の状態が、線形重ね合わせの固有状態のうちの１つになる。例えば、演算子
2010501125.tif 000024
に対応する測定の前に未知のスピン配向を有する電子は、状態の線形重ね合わせにおいて表される。即ち、
｜Ψ〉＝ｃ1｜↑〉＋ｃ2｜↓〉
スピン判定測定
は、測定の時刻において、電子の状態を状態｜↑〉又は状態｜↓〉のいずれかに射影する。言い換えると、スピン判定測定直後に、電子は状態｜↑〉又は状態｜↓〉のいずれかにある。
【００３３】
測定の結果として、量子系の状態において対応する不可逆的変化が生じる。不可逆性は、測定が実行される前に、量子系が既に量子状態のうちの１つにあるときにのみ避けることができる。結果として、ただ一度の測定の結果に基づいて、量子系の以前の状態を推測ことはできない。例えば、スピン測定の結果が
2010501125.tif 000025
である場合には、測定の時刻において、そのシステムが既に状態｜↑〉にあったか、又はスピン状態｜↑〉及び｜↓〉の線形重ね合わせの状態にあったかを判定することはできない。
【００３４】
量子系の状態が様々な状態｜ψi〉のうちのいずれに射影されることになるかを予め知
ることはできないが、測定の直後に量子系が特定の状態｜ψi〉において見いだされる確
率は以下の式によって与えられる。即ち、
Ｐｒ（ψi）＝｜ｃi｜2＝｜〈ψi｜Ψ〉｜2
ここで、｜Ψ〉は正規化されており、｜ｃi｜2はｃi*ｃiに等しく、結果の確率を与える
。例えば、スピン基底｛｜↓〉，｜↑〉｝におけるスピン判定測定の前に、スピン状態｜↑〉において見いだされる確率が１／２であり、スピン状態｜↓〉において見いだされる確率が１／２である、コヒーレントに準備された電子を考える。スピン判定測定前のそのようなスピン状態にある電子に関連付けられる状態は、以下の式によって表すことができる。即ち、
｜Ψ〉＝（１／√２）｜↑〉＋（１／√２）｜↓〉
【００３５】
状態｜Ψ〉の線形重ね合わせによって表される量子系において実行される測定の期待値は数学的に以下の式によって表され、
【００３６】
【数１０】
2010501125.tif 000026
【００３７】
それは、以下のように完全性関係を適用することによって求められる。
【００３８】
【数１１】
2010501125.tif 000027
【００３９】
その期待値は、集合内の量子系に関する測定から予想される、重み付けされた固有値平均結果を表す。式中、その量子系の初期状態｜Ψ〉は、集合の要素毎に同じである。言い換えると、各量子系を表す状態の線形重ね合わせは、測定前に同じである。実際には、そのような集合は、全て同じ状態にある多くの同一で独立した量子系を準備することによって、又は同じ状態にある単一の系を繰返し準備することによって実現され得る。期待値は、測定毎に得られる値ではないことがあり、それゆえ、測定から得られる固有値と混同されるべきでないことに留意されたい。例えば、
2010501125.tif 000028
の期待値は固有値
2010501125.tif 000029
との間の任意の実数値となることがあるが、電子に関する
2010501125.tif 000030
の実際に測定された値は、個々の測定において常に
2010501125.tif 000031
のいずれかである。
【００４０】
また、状態｜Ψ〉にある単一の量子系の期待値は、以下の式によって定義される密度演算子を用いて記述されることもできる。
【００４１】
【数１２】
2010501125.tif 000032
【００４２】
ここで、状態｜Ψ〉は「純粋状態」とも呼ばれ、以下に記述される統計的混合の状態とは区別される。密度演算子は、｛｜ψi〉｝基底において、「密度行列」と呼ばれる行列に
よって表され、その行列の行列要素は以下のとおりである。
【００４３】
【数１３】
2010501125.tif 000033
【００４４】
密度演算子は、量子系の状態を特徴付ける。言い換えると、密度演算子は、状態｜Ψ〉から計算され得る全ての物理的な情報を提供する。例えば、密度行列の対角行列要素の和は以下の式によって与えられる。
【００４５】
【数１４】
2010501125.tif 000034
【００４６】
ここで、Ｔｒは行列の跡、即ち対角要素の和である。例えば、純粋状態にある２状態量子系
｜Ψ〉＝ｃ1｜ψ1〉＋ｃ2｜ψ2〉
の密度行列は以下の式によって与えられる。
【００４７】
【数１５】
2010501125.tif 000035
【００４８】
ここで、対角要素は、量子系を状態｜ψ1〉又は状態｜ψ2〉のいずれかに射影することに関連付けられる確率であり、対角以外の要素は、状態｜ψ1〉と｜ψ2〉との間の干渉効果を表す。さらに、状態｜Ψ〉にある量子系の期待値は、以下のように表すことができる。
【００４９】
【数１６】
2010501125.tif 000036
【００５０】
しかしながら、量子系についての情報が不完全である状況も珍しくない。例えば、量子系が、状態｜Ψ1〉、｜Ψ2〉、｜Ψ3〉、．．．のいずれか１つの状態をとることができ
、各状態はそれぞれ関連した確率ｐ1、ｐ2、ｐ3、．．．を有する。ここで、確率は以下
の条件を満たす。
【００５１】
【数１７】
2010501125.tif 000037
【００５２】
その量子系は、「統計的混合の状態」で存在すると言われる。統計的混合の状態の密度演算子は、以下のように求めることができる。上述のように、純粋状態｜Ψi〉にある量子
系における観測可能な
2010501125.tif 000038
の測定が結果ψnをもたらす確率は以下のとおりである。即ち、
Ｐｒi（ψn）＝〈Ψi｜ψn〉〈ψn｜Ψi〉＝｜〈ψn｜Ψi〉｜2
しかしながら、統計的混合の状態にあるψnを観測する確率Ｐｒi（ψn）が、ｐiによって重み付けされ、ｉにわたって加算されて、以下の式が与えられる。
【００５３】
【数１８】
2010501125.tif 000039
【００５４】
ここで、
2010501125.tif 000040
は、統計的混合の状態に関連付けられる密度演算子である。関連する密度行列の要素は以下の式によって与えられる。
【００５５】
【数１９】
2010501125.tif 000041
【００５６】
密度行列の物理的な意味が、状態の混合を含む２状態量子系に関して記述される。即ち、
｜Ψi〉＝ｃ1(i)｜ψ1〉＋ｃ2(i)｜ψ2〉
対応する密度行列は以下の式によって与えられる。
【００５７】
【数２０】
2010501125.tif 000042
【００５８】
対角行列要素は、量子系の状態が｜Ψi〉であるときに、対角行列要素ρ11が状態｜ψ1〉にある量子系を見つける平均確率を表し、対角行列要素ρ22が状態｜ψ2〉にある量子
系を見つける平均確率を表すことを意味するものと解釈することができる。同一の条件下で同じ測定がＮ回実行されるときに、状態｜ψ1〉においてＮρ11が見つけられることに
なり、状態｜ψ2〉においてＮρ22が見つけられることになる。対角以外の要素ρ12及び
ρ21は、状態｜ψ1〉と｜ψ2〉との間の平均干渉効果を表す。対角行列要素とは異なり、対角以外の行列要素は、積
2010501125.tif 000043
がいずれも０でない場合であっても、０になることがあり、それは、Ｎ回の測定にわたる平均が、状態｜ψ1〉及び｜ψ2〉の干渉効果を相殺していることを意味することに留意されたい。
【００５９】
テンソル積は、異なる量子系のヒルベルト空間を合成して、合成された量子系を表すヒルベルト空間を形成する１つの方法である。例えば、ＨΨが第１の量子系のヒルベルト空間であり、ＨΞが第２の量子系のヒルベルト空間である。
2010501125.tif 000044
によって表されるヒルベルト空間は、合成されたヒルベルト空間を表す。式中、記号
2010501125.tif 000045
はテンソル積を表す。演算子
2010501125.tif 000046
は、それぞれヒルベルト空間ＨΨ及びＨΞに対応し、それぞれ以下のように、対応する固有状態に関してのみ作用する。
【００６０】
【数２１】
2010501125.tif 000047
【００６１】
ここで、｜ψ〉はヒルベルト空間ＨΨの状態を表し、｜ξ〉はヒルベルト空間ＨΞの状態を表す。テンソル積
2010501125.tif 000048
は、｜ψ〉｜ξ〉、｜ψ，ξ〉、又は｜ψξ〉として略記され得る。例えば、原子軌道内にある２つの電子のスピン状態は、合成ヒルベルト空間の基底である。２つの電子は、いずれもスピンアップであるか、いずれもスピンダウンであるか、第１の電子がスピンアップであり、第２の電子がスピンダウンであるか、又は第１の電子がスピンダウンであり、第２の電子がスピンアップであるかのいずれかとすることができる。２つのスピンアップ電子の様々なテンソル積表現は、以下の式によって与えられる。
【００６２】
【数２２】
2010501125.tif 000049
【００６３】
式中、下付き文字１は第１の電子、下付き文字２は第２の電子を指す。
【００６４】
電磁放射線及び量子光学の概説
このサブセクションでは、本発明の実施形態に関係する電磁放射線及び量子光学の簡単な説明が記述される。量子光学は、電磁放射線への量子力学の適用に関係する物理学の一分野である。完全に反射する壁を有する空洞に閉じ込められる電磁放射線が量子化される。量子化された電磁放射線は、自由空間内又は光ファイバ内を伝搬する電磁放射線のような、より一般的な閉じ込められない光学系に適用され得る。
【００６５】
自由電荷も電流も有しない空洞に閉じ込められた電磁放射線は、電界成分
2010501125.tif 000050
及び磁界成分
2010501125.tif 000051
を含み、それらの成分は、波動方程式
【００６６】
【数２３】
2010501125.tif 000052
【００６７】
及び非相対論的クーロンゲージ条件
【００６８】
【数２４】
2010501125.tif 000053
【００６９】
を満たすベクトルポテンシャル
2010501125.tif 000054
に関して関連付けられる。ここで、電界成分及び磁界成分は以下の式によって求められる。
【００７０】
【数２５】
2010501125.tif 000055
【００７１】
電磁放射線は、伝搬していると仮定され、完全に反射する壁を有する、立方体空洞、即ち量子化空洞によって課せられる周期的境界条件にさらされる。ここで、壁は長さＬを有する。図１は、立方体空洞１００を示す。直交する軸１０２、１０４及び１０６はｘ、ｙ及
びｚデカルト座標軸を表す。有限の寸法の立方体空洞１００は、波動方程式への解に周期的境界条件を課す。例えば、ｘ、ｙ及びｚ方向において、ベクトルポテンシャル波動方程式への平面波解は条件、即ち、
【００７２】
【数２６】
2010501125.tif 000056
【００７３】
を満たす。ここで、
2010501125.tif 000057
はベクトル（Ｌ，Ｌ，Ｌ）であり、
2010501125.tif 000058
は「波数ベクトル」と呼ばれ、以下の成分を有する。
【００７４】
【数２７】
2010501125.tif 000059
【００７５】
式中、ｍx、ｍy及びｍzは整数である。各整数組（ｍx，ｍy，ｍz）は電磁放射線のノーマルモードを規定し、波数ベクトル
2010501125.tif 000060
の大きさｋ（波数と呼ばれる）は、ωk／ｃに等しい。式中、ｃは自由空間内の光の速度
を表し、ωkは角周波数である。現実的には、電磁界のノーマルモードのスペクトルは実
際には連続であり、波数ベクトル
2010501125.tif 000061
によって示唆されるノーマルモードの離散スペクトルは、連続スペクトルに対する近似であることに留意されたい。
【００７６】
周期的境界条件を満たす上記の波動方程式に対する伝搬するベクトルポテンシャル解は以下のとおりである。
【００７７】
【数２８】
2010501125.tif 000062
【００７８】
ここで、
2010501125.tif 000063
は電磁放射線の複素振幅であり、
2010501125.tif 000064
は２単位長偏光ベクトルを表し、
ｍx、ｍy、ｍz＝０、±１、±２、±３、．．．
である。
2010501125.tif 000065
にわたる和は整数（ｍx，ｍy，ｍz）にわたる和を表し、ｓにわたる和は、各
2010501125.tif 000066
に関連付けられる２つの独立した偏光にわたる和である。２つの偏光ベクトルは以下の式によって示されるように直交する。
【００７９】
【数２９】
2010501125.tif 000067
【００８０】
両方の偏光方向ｓの場合に、上記で与えられたゲージ条件から、以下の式が成り立つ。
【００８１】
【数３０】
2010501125.tif 000068
【００８２】
２つの偏光ベクトル
2010501125.tif 000069
は、以下の式によって与えられる正規化された波数ベクトルを用いる右手座標系を形成する。
【００８３】
【数３１】
2010501125.tif 000070
【００８４】
図２は、基底ベクトルとして２つの独立した偏光ベクトル
2010501125.tif 000071
と、正規化された波数ベクトル
2010501125.tif 000072
とを用いる３次元右手座標系を示す。図２において、波数ベクトル
2010501125.tif 000073
及び偏光ベクトル
2010501125.tif 000074
はそれぞれ、線２０８、２１０及び２１２によって表される座標軸を有する座標系の３つの直交する単位長基底ベクトルを定義する。
【００８５】
ベクトルポテンシャルの伝搬する電界成分及び磁界成分は以下のとおりである。
【００８６】
【数３２】
2010501125.tif 000075
【００８７】
電界
2010501125.tif 000076
及び磁界
2010501125.tif 000077
はいずれも、電界及び磁界の「古典的」表現と呼ばれる伝搬波解であり、互いに直交し、いずれも波数ベクトル
2010501125.tif 000078
に直交する。波数ベクトル
2010501125.tif 000079
及び偏光パラメータｓは、電磁放射場の「空間モード」又は「モード」と呼ばれるものを定義することに留意されたい。
【００８８】
図３は、図２に示される右手座標系内の電磁放射線の電界成分及び磁界成分の表現を示す。その電磁放射線は、波数ベクトル
2010501125.tif 000080
軸に沿って向けられる。電界成分
2010501125.tif 000081
及び磁界成分
2010501125.tif 000082
はそれぞれ直交する偏光ベクトル
2010501125.tif 000083
に沿って向けられ、特定の時刻ｔにおいて凍結されたように見える。
【００８９】
電磁放射線のエネルギーは、以下のハミルトニアンを算出することによって求められ得る。
【００９０】
【数３３】
2010501125.tif 000084
【００９１】
式中、ε0は自由空間の誘電率であり、μ0は自由空間の透磁率であり、Ｖは空洞の体積である。誘電率ε0は、電界の影響下で、真空空間が電気的ポテンシャルエネルギーを蓄え
ることができる度合いを表し、透磁率μ0は、真空が磁束を変更する度合いを表す。誘電
体媒質では、誘電率はさらに誘電率εを乗算され、それは、媒質が電気的ポテンシャルエネルギーの蓄積を増す度合いであり、且つ透磁率はさらにμを乗算され、それは、媒質が磁束をさらに増す度合いである。
【００９２】
量子ハミルトニアン演算子は以下の式によって与えられる。
【００９３】
【数３４】
2010501125.tif 000085
【００９４】
式中、
2010501125.tif 000086
は「消滅演算子」と呼ばれ、
2010501125.tif 000087
は「生成演算子」と呼ばれ、
2010501125.tif 000088
は「個数演算子」と呼ばれ、
2010501125.tif 000089
によっても表される。
【００９５】
電磁界が量子化される場合、振幅
2010501125.tif 000090
は演算子
2010501125.tif 000091
により与えられ、それを上記の古典的な電界方程式及び磁界方程式に代入して、電界演算子及び磁界演算子を得ることができる。
【００９６】
【数３５】
2010501125.tif 000092
【００９７】
電界演算子及び磁界演算子はいずれもエルミート演算子であり、測定可能な電界及び磁界を表す。
【００９８】
磁界の大きさは１／ｃ倍だけ電界よりも小さいため、電界が、帯電した物質との相互作用の大部分の原因となる。結果として、一般的に電界のみを用いて、電磁放射線の挙動及び帯電した物質との任意の相互作用が特徴付けられ、磁界成分は無視することができる。
【００９９】
量子計算及び量子情報処理システムは、電磁放射線の単一モード
2010501125.tif 000093
を用いて実行され得る。結果として、電磁放射線の単一モードに関するハミルトニアン演算子は、以下の式に変換される。
【０１００】
【数３６】
2010501125.tif 000094
【０１０１】
式中、上記のハミルトニアン内のモード依存演算子
2010501125.tif 000095
の代わりに、
2010501125.tif 000096
が用いられる。単一モードハミルトニアンの固有状態及び対応するエネルギー固有値は以下のとおりである。
【０１０２】
【数３７】
2010501125.tif 000097
【０１０３】
式中、｜ｎ〉は「個数状態」と呼ばれ、ｎは、電磁界中の光子数を表す、「光子数」と呼ばれる負でない整数であり、Ｅnは、電磁界のエネルギー固有値又はエネルギーである。
【０１０４】
消滅演算子及び生成演算子は、以下のように、個数状態に作用する。
【０１０５】
【数３８】
2010501125.tif 000098
【０１０６】
式中、
2010501125.tif 000099
は演算子
2010501125.tif 000100
を表し、「個数演算子」と呼ばれる。個数状態は、個数状態に消滅演算子及び生成演算子
を繰返し適用することによって生成され得る。例えば、個数状態に消滅演算子を繰返し適用することによって、光子数が減少する。
【０１０７】
【数３９】
2010501125.tif 000101
【０１０８】
式中、｜０〉は「真空状態」と呼ばれ、電磁放射線の最も低いエネルギー状態を表す。真空状態で開始し、生成演算子を繰返し適用することによって、以下の式が与えられる。
【０１０９】
【数４０】
2010501125.tif 000102
【０１１０】
個数状態は直交し、以下の式によって表される完全集合を形成する。
【０１１１】
【数４１】
2010501125.tif 000103
【０１１２】
一般に、個数状態｜ｎ〉に関連付けられるエネルギー固有値方程式は以下のとおりである。
【０１１３】
【数４２】
2010501125.tif 000104
【０１１４】
エネルギー固有値方程式に消滅演算子及び生成演算子を適用することによって、以下の式が与えられる。
【０１１５】
【数４３】
2010501125.tif 000105
【０１１６】
それは、電磁放射線のエネルギー準位がエネルギー量子
2010501125.tif 000106
だけ等しく離間されることを示す。言い換えると、電磁放射線の励起は、「光子」と呼ばれるエネルギーの離散した量
2010501125.tif 000107
において生じる。光子数ｎは、電磁放射線を構成する光子
2010501125.tif 000108
の数を指す。
【０１１７】
図４は、単一モードの量子化された電磁放射線のエネルギー準位図である。水平線は、電磁放射線のエネルギー準位を表す。エネルギー準位４０２は最も低いエネルギー準位であり、基底または真空状態｜０〉に対応する。真空状態のエネルギーは
2010501125.tif 000109
、即ち単一光子
2010501125.tif 000110
のエネルギーの１／２である。電磁放射線のエネルギー準位が高くなるのに応じて、それぞれ同じエネルギー量子
2010501125.tif 000111
だけ互いに分離される。例えば、エネルギー準位４０４は、
2010501125.tif 000112
の全電磁エネルギーを有する電磁界を表し、それは、２つの光子を有する電磁放射線のエネルギーに、真空状態エネルギー
2010501125.tif 000113
を加えたものと見なすことができる。消滅演算子
2010501125.tif 000114
は、電磁界からの１つの光子の除去に対応し、生成演算子
2010501125.tif 000115
は、電磁放射線への１つの光子の追加に対応する。例えば、消滅演算子
2010501125.tif 000116
は状態｜ｎ〉４１０から低いエネルギー状態｜ｎ−１〉４１２へのエネルギー遷移を表す。この遷移は、電磁界が周囲に１つの光子を引き渡すことによって達成される。対照的に、生成演算子
2010501125.tif 000117
は、状態｜ｎ〉４１０から高いエネルギー状態｜ｎ＋１〉４１４への遷移を表す。この遷移は、電磁界が周囲から１つの光子を受け取ることによって達成される。一般に、周囲は原子、量子ドット、又は双極子相互作用を通じて電磁界に結合する任意の他の系とすることができることに留意されたい。光子の損失又は吸収は、周囲の系が同時に励起することを伴うことになり、光子の生成又は放射は、周囲の系がそれに応じて脱励起することを伴うであろう。
【０１１８】
光子は光子源によって生成され、自由空間を通じて、又は光ファイバで伝達され得る。光子源は、「パルス」と呼ばれる単一の短い持続時間の電磁放射線のバーストを生成するか、又は各パルスが、波長、位相及び方向のような全て同じ電磁特性を有する１つ又は複
数の光子を含むパルス列を生成することができる。同じ光学特性を有する光子は「コヒーレント」と呼ばれる。しかしながら、光子源、検出器、及び光子源から検出器を分離する光ファイバのような媒質は光共振器を画定しない。光子源及び検出器は、電磁エネルギーの著しい反射又は再循環を生じない、電磁エネルギーの連続する単方向性の流れの部分である。自由空間又は導波路を通じて伝送されるパルスは波束によって記述されることができ、波束は、以下の式によって与えられる時間依存性のガウス形関数によって表される得る。
【０１１９】
【数４４】
2010501125.tif 000118
【０１２０】
式中、ω0はパルススペクトルの中心周波数であり、ｔは時刻であり、ｔ0は、波束のピークが光子源からの距離ｚ0に位置する時刻であり、Δ2は、強度スペクトルの分散である。時刻ｔ0は、ｚ0／ｖによって求めることができる。ここで、ｖは自由空間を通じて、又は光ファイバ内を進行するパルスの速度である。
【０１２１】
波束ξ（ｔ）はパルスの振幅であり、｜ξ（ｔ）｜2はパルスの光検出確率密度関数で
あり、ここで、光検出確率密度関数｜ξ（ｔ）｜2は正規化条件を満たす。
【０１２２】
【数４５】
2010501125.tif 000119
【０１２３】
光子源からの距離ｚ0において時間間隔（ｔ1，ｔ2）内で１つの光子の光検出の確率は以
下の式によって与えられる。
【０１２４】
【数４６】
2010501125.tif 000120
【０１２５】
図５は、供給源５０２から出力され、導波路５０４内を検出器５０６まで伝送されるパルスに関連付けられる確率分布を示す。水平線５０８は、供給源５０２から検出器５０６まで光子が進行する距離ｚ0を表し、水平線５１０は時間軸である。曲線５１２は、光検
出確率密度関数｜ξ（ｔ）｜2を表す。図５では、光検出確率密度関数｜ξ（ｔ）｜2５１２は、時刻ｔ0に中心があり、それは、パルスが距離ｚ0を進行するのにかかる平均時間に対応する。曲線５１２の下の面積は、特定の時間期間内にパルスを検出する確率を表す。例えば、斜線の領域５１４は、時間ｔ1＜ｔ0＜ｔ2内に光子を検出する確率を表す。時間
期間５１６は「時間ビン」と呼ばれ、光子が検出器５０６において検出される時間期間に対応する。
【０１２６】
コヒーレント状態の概説
最も一般的な種類の単一モード状態は、個数状態の線形重ね合わせである。個数状態の多数の考えられる異なる線形重ね合わせがあるが、コヒーレント状態
【０１２７】
【数４７】
2010501125.tif 000121
【０１２８】
は、量子化された電磁放射線の多くの用途において用いられる個数状態の線形重ね合わせである。コヒーレント状態は、消滅演算子
【０１２９】
【数４８】
2010501125.tif 000122
【０１３０】
の固有状態であり、複素共役をとることによって、以下の式が与えられる。
【０１３１】
【数４９】
2010501125.tif 000123
【０１３２】
しかしながら、コヒーレント状態｜α〉は生成演算子
2010501125.tif 000124
の固有状態ではない。なぜなら、αにわたる総和を再配列しても、
2010501125.tif 000125
からコヒーレント状態を与えることはできないからである。
【０１３３】
個数演算子に関するコヒーレント状態期待値
【０１３４】
【数５０】
2010501125.tif 000126
【０１３５】
は、｜α｜2が光子の平均数であることを示す。光子の数の測定中にｎ個の光子を検出す
る確率はポアソン分布である。
【０１３６】
【数５１】
2010501125.tif 000127
【０１３７】
ポアソン分布は、｜α｜2の値が大きい場合にガウス分布に近づく。
【０１３８】
コヒーレント状態は、その特性が安定した振幅及び一定の位相の古典的な電磁波に最もよく似ている量子状態である。例えば、ｚ方向に伝搬している電界に対応する電界演算子は、モード下付き文字ｋ及びｓを除去して、以下のとおりである。
【０１３９】
【数５２】
2010501125.tif 000128
【０１４０】
式中、時間ｔ及び変位ｚは、以下の位相角に含まれ、
【０１４１】
【数５３】
2010501125.tif 000129
【０１４２】
電界は、
2010501125.tif 000130
の単位で測定される。
【０１４３】
コヒーレント状態は、電界期待値又はコヒーレント信号に関して正確な正弦波形を与えるので、概ね古典的な状態である。
【０１４４】
【数５４】
2010501125.tif 000131
【０１４５】
ここで、α＝｜α｜ｅiφであり、φはモードのコヒーレント状態励起の平均位相角であ
る。
【０１４６】
偏光状態及びストークスパラメータ
このサブセクションでは、電磁放射線の偏光状態が説明される。図３に関連して上述されたように、電磁放射線は、伝搬するＴＥＭ波（transverse electromagnetic wave）と
して扱われ得る。電界が、帯電した物質との相互作用の大部分の原因となり、磁界の大きさが１／ｃ倍だけ電界よりも小さいので、電磁波を表すために、電界成分のみを用いることができる。図３に示されるように、電磁界の振動する電界 
2010501125.tif 000132
の成分及び関連する波数ベクトル
2010501125.tif 000133
がいずれも振動面内に存在する場合に、その電磁界は「直線偏光される」と言われる。多数のランダムに偏光した電磁波を含む電磁放射線を１つ又は複数の偏光子を介して伝達することにより、一定の偏光状態を作り出すことができる。各偏光子は、偏光子の偏光軸と一致する電界成分を有する電磁波のみを透過するデバイスである。
【０１４７】
任意の２つの直交する直線偏光状態を用いて、｛｜Ｈ〉，｜Ｖ〉｝によって表される、偏光基底を定義することができる。第１の偏光状態｜Ｈ〉は、「水平偏光」と呼ばれる第１の方向において偏光された電磁波を表し、第２の偏光状態｜Ｖ〉は、第１の方向と直交
する第２の方向に偏光されると共に「垂直偏光」と呼ばれる電磁波を表す。偏光基底状態は、以下の条件を満たす。即ち、
〈Ｈ｜Ｈ〉＝〈Ｖ｜Ｖ〉＝１、及び
〈Ｈ｜Ｖ〉＝１
図６Ａ及び図６Ｂは、偏光基底状態｜Ｈ〉及び｜Ｖ〉のプロットを示す。図６Ａ及び図６Ｂでは、図６Ａにおける互いに垂直な軸６０１〜６０３のような互いに垂直な軸はそれぞれ、ｘ、ｙ及びｚデカルト座標軸を表す。図６Ａは、ｙｚ平面内に存在する電界
2010501125.tif 000134
の垂直偏光状態｜Ｖ〉を示す。矢印６０６は、電界
2010501125.tif 000135
が観測面６０８に向かって伝搬する方向を表す。観測面６０８から、波がｚ軸に沿って一波長λだけ伝搬するのに応じて、電界
2010501125.tif 000136
が１つの完全な振動サイクルだけ進行することを観測することができる。振動サイクルは、両矢印６１０によって表される。図６Ｂは、ｘｚ平面内に存在する電界
2010501125.tif 000137
の水平偏光状態｜Ｈ〉を示す。関連する水平振動サイクルは、観測面６０８内の両矢印６１６によって表される。
【０１４８】
また、偏光基底｛｜Ｈ〉，｜Ｖ〉｝を用いて、｜χ〉によって表される無数の偏光状態を構成することもできる。これらの偏光状態は、数学的には、状態のコヒーレントな線形重ね合わせとして表され得る。
【０１４９】
【数５５】
2010501125.tif 000138
【０１５０】
式中、０≦θ＜π及び０≦φ＜２πである。電磁波の無数の偏光状態は、幾何学的には、３次元ブロッホ球によって表されることができ、この場合には、「ポアンカレ球」とも呼ばれる。
【０１５１】
図７は、偏光状態のポアンカレ球表現を示す。図７に示されるように、線７０１〜７０３はそれぞれ直交する座標軸であり、ポアンカレ球７０４の中心がその原点に位置する。ポアンカレ球７０４上には無数の点があり、各点は電磁波の固有の純粋偏光状態｜χ〉を表す。例えば、点７０５は、部分的に状態｜Ｈ〉、部分的に状態｜Ｖ〉を同時に含む偏光状態｜χ〉を表す。６つの点７０６〜７１１は、ポアンカレ球７０４と座標軸７０１〜７０３との間の交点を特定する。点７０６及び７０７はそれぞれ偏光基底状態｜Ｈ〉及び｜Ｖ〉を特定し、点７０８〜点７１１はそれぞれ以下の直交する偏光状態を表す。
【０１５２】
【数５６】
2010501125.tif 000139
【０１５３】
図８Ａ〜図８Ｄはそれぞれ、４つの偏光状態、｜４５°〉、｜−４５°〉、｜Ｒ〉及び｜Ｌ〉のプロットを示す。図８Ａは、水平なｘｚ平面に対して４５°だけ傾けられた振動面８０２内に存在する４５°偏光状態｜４５°〉を示す。偏光状態｜４５°〉の振動サイクルは、両矢印８０４によって表される。図８Ｂは、水平なｘｚ平面に対して−４５°だけ傾けられた振動面８０６内に存在する−４５°偏光状態｜−４５°〉を示す。偏光状態｜−４５°〉の振動サイクルは、両矢印８０８によって表される。図８Ｃは、図６Ａ及び図６Ｂに示される、垂直偏光電界６０４及び水平偏光電界６１２を含み、−π／２の相対的な位相差δを有する、右円偏光状態｜Ｒ〉を示す。右偏光状態の振動サイクルは、２つの直交する両矢印８１０及び８１２によって表され、それらの矢印は、時計方向８１４に回転するように見える。図８Ｄは、同じく垂直偏光電界６０４及び水平偏光電界６１２を含むが、π／２の相対的な位相差δを有する左円偏光状態を示す。左偏光状態の振動サイクルは、２つの直交する両矢印８１６及び８１８によって表され、それらの矢印は反時計方向８２０に回転するように見える。
【０１５４】
任意の偏光状態は、「ストークスパラメータ」と呼ばれる、４つの量の線形重ね合わせによって表され得る。ストークスパラメータは、準単色電磁放射線の偏光状態を表すのに都合の良い方法である。なぜなら、電磁放射線測定は一般に、強度又は光子の数のみを決定することができ、偏光状態を決定することができないためである。ストークスパラメータは全て同じ次元を有し、単色波の場合、以下の４つの量によって与えられる。
【０１５５】
【数５７】
2010501125.tif 000140
【０１５６】
式中、記号〈・〉は平均値を表し、ａ1及びａ2は電界ベクトルの２つの異なる直交成分Ｅx及びＥyの瞬時振幅であり、δは成分ＥxとＥyとの間の位相差である。単色波の場合、ストークスパラメータのうちの３つだけが独立している。これは、それらのパラメータが以下の恒等式によっても関連付けられるためである。
【０１５７】
【数５８】
2010501125.tif 000141
【０１５８】
部分的にコヒーレントな準単色波の場合、ストークスパラメータは不等式によって関連付けられることに留意されたい。
【０１５９】
【数５９】
2010501125.tif 000142
【０１６０】
ストークスパラメータは、以下のストークスの関係式によって互いに関連付けられる。
【０１６１】
【数６０】
2010501125.tif 000143
【０１６２】
式中、０≦ψ≦π及び−π／４≦χ≦π／４である。
【０１６３】
図９は、ストークスパラメータＳ1、Ｓ2及びＳ3の幾何学的表現を示す。図９に示され
るように、線９０２〜９０４はそれぞれ、直交するｘ、ｙ及びｚデカルト座標軸である。半径Ｓ0の球９０６は、全ての異なる偏光状態の幾何学的表現である。ストークスパラメ
ータＳ1、Ｓ2及びＳ3は、球９０６上の点Ｐ９０８のデカルト座標と見なされ、２χ及び
２ψは球面角座標である。所与の強度Ｓ0の取り得る偏光状態毎に、球９０６上に１つの
対応する点があり、逆も同様である。右偏光は、赤道ｘｙ平面９１０よりも上にある、球９０６上の点によって表され、左偏光は、赤道ｘｙ平面９１０よりも下にある、球９０６上の点によって表される。直線偏光電磁放射線の場合、位相差δは０、又はπの整数倍であり、パラメータＳ3は０である。言い換えると、直線偏光電磁波は、球９０６とｘｙ平
面９１０とが交差する場所にある点によって表される。円偏光電磁放射線の場合、〈ａ1
〉は〈ａ2〉に等しく、位相差δはπ／２又は−π／２である。それゆえ、右円偏光電磁
放射線は点９１２によって表され、左円偏光電磁放射線は点９１４によって表される。部分的にコヒーレントな準単色波の場合、状態は、上記の不等式によって示されるように、球９０６内にある点によって表されることに留意されたい。
【０１６４】
一般に、ストークスパラメータは、各パラメータをパラメータＳ0で割ることによって
正規化され、それは、単位強度の入射ビームを使用することに等しい。正規化された表現におけるランダムに偏光された電磁放射線に関するストークスパラメータ（Ｓ0，Ｓ1，Ｓ2，Ｓ3）は（１，０，０，０）であり、それは球９０６の中心に対応する。正規化されたストークスパラメータが表１に列挙される。
【０１６５】
【表１】
2010501125.tif 000144
【０１６６】
電磁放射線の任意の準単色波のストークスパラメータは、強度又は光子数測定によって求められることができ、以下の関係式によって与えられる。即ち、
Ｓ0＝Ｉ（０°，０）＋Ｉ（９０°，０）、
Ｓ1＝Ｉ（０°，０）−Ｉ（９０°，０）、
Ｓ2＝Ｉ（４５°，０）−Ｉ（４５°，０）、及び
Ｓ3＝Ｉ（４５°，π／２）−Ｉ（−４５°，π／２）
式中、Ｉ（θ，ε）は、ｙ成分がｘ成分に対してリターデイションεを受けるときに、ｘ軸とθの角度を成す電界振動を伴う電磁放射線の強度を表す。例えば、強度Ｉ（０°，０）は水平偏光電磁放射線の強度、Ｉ（９０°，０）は垂直偏光電磁放射線の強度を表し、Ｉ（４５°，０）は４５°偏光の電磁放射線の強度、Ｉ（−４５°，０）は−４５°偏光の電磁放射線の強度を表すことができ、Ｉ（４５°，π／２）は右円偏光電磁放射線の強度、Ｉ（−４５°，π／２）は左円偏光電磁放射線の強度を表す。
【０１６７】
パラメータＳ0は全強度を表すことに留意されたい。パラメータＳ1は、９０°に等しいθの角度を有する直線偏光を受け取る偏光子によって透過される電磁放射線の強度に対して、０°に等しいθの角度を有する直線偏光を受け取る偏光子によって透過される電磁放射線の強度が上回る量に等しい。パラメータＳ2は、類似の解釈を有する。パラメータＳ3は、左円偏光電磁放射線の強度に対して、右円偏光電磁放射を受け取る偏光子によって透過される電磁放射線の強度が上回る量に等しい。
【０１６８】
本発明の実施形態
本発明の様々なシステムの実施形態は、オプトエレクトロニクスデバイスに組み込まれ得る自己検証ＱＲＢＧを対象とする。本発明の方法の実施形態はトモグラフィ解析を含み、それは、本発明のシステムの実施形態によって生成されるランダムビット列のランダム性を評価及び検証するのに使用される。
【０１６９】
Ｉ．量子ランダムビット発生器
図１０は、本発明の一実施形態を表すＱＲＢＧ１０００の全般的な概略図を示す。ＱＲＢＧ１０００は、状態発生器１００２と、偏光状態解析器（polarization states analyzer：「ＰＳＡ」）１００４と、生ビット発生器（raw bit generator：「ＲＢＧ」）１０
０６と、システムコントロール１００８とを備える。状態発生器１００２は、電磁放射線の４５°偏光のパルス１０１０をコヒーレント状態において出力する。
【０１７０】
【数６１】
2010501125.tif 000145
【０１７１】
式中、｜αH〉は水平偏光コヒーレント状態を表し、｜αV〉は垂直偏光コヒーレント状態を表す。用語「水平」は、ＱＲＢＧ１０００の平面において偏光された電界成分を有する電磁波を指し、用語「垂直」は、ＱＲＢＧ１０００の平面に対して直交に偏光された電界成分を有する電磁波を指す。電磁放射線の偏光パルス｜α45〉１０１０は、パルス｜α45〉１０１０の第１の部分がＰＳＡ１００４に伝送され、パルス｜α45〉１０１０の第２の部分がＲＢＧ１００６に伝送されるように分割される。ＰＳＡ１００４及びＲＢＧ１００６に関する様々なシステムの実施形態が、図１１〜図１４に関連して後述される。状態発生器１００２によって生成されるパルス｜α45〉１０１０毎に、ＰＳＡ１００４は、初期状態を、電磁放射線の４つの異なる偏光コヒーレント状態に射影する。４つの異なる偏光のコヒーレント状態は、（１）４５°偏光のパルス｜α45〉１０１２、（２）−４５°偏光のパルス｜α-45〉１０１３、（３）右円偏光のパルス｜αR〉１０１４、及び左円偏光のパルス｜αL〉１０１５である。ＰＳＡ１００４は、状態１０１２〜１０１５を検出し
、検出結果をシステムコントロール１００８に送信する検出システム１０１８を含む。ＲＢＧ１００６は、以下のように、パルス｜α45〉１０１０内の光子の数を減少させるオプションの減衰器１０２０を含むことができる。
【０１７２】
【数６２】
2010501125.tif 000146
【０１７３】
式中、｜Ｈ〉は、単一光子を含む水平偏光パルスを表し、｜Ｖ〉は、単一光子を含む垂直偏光パルスを表す。ＲＢＧ１００６は、単一光子の存在を検出し、検出結果をシステムコントロール１００８に送信する検出システム１０２２を含む。
【０１７４】
ビットを符号化するために、光子偏光状態｜Ｈ〉及び｜Ｖ〉が用いられる。例えば、状態｜Ｈ〉の検出を用いて、２進数「１」を表すことができ、状態｜Ｖ〉の検出を用いて、２進数「０」を表すことができる。ＱＲＢＧ１０００のＮ回の動作サイクルにわたって、システムコントロール１００８は、ＰＳＡ１００４及びＲＢＧ１００６によって供給される検出結果を受信し、ベクトル
2010501125.tif 000147
によって表されるランダムビット列を出力する。ここで、ｍはランダムビットの数を表し、ｍ＜Ｎである。図１５〜図２２に関連して後述される方法の実施形態は、ランダムビット列
2010501125.tif 000148
を構成することを対象とする。
【０１７５】
図１１〜図１６は、上述した概略のＱＲＢＧ１０００による、本発明の様々なＱＲＢＧシステムの実施形態を示す。簡略にするために、図１１〜図１６に示される、様々なＱＲＢＧに共通である構成要素は同じ参照番号を与えられており、それらの構造及び機能は繰り返し説明されない。
【０１７６】
図１１は、本発明の一実施形態を表す第１のＱＲＢＧ１１００の概略図を示す。ＱＲＢＧ１１００は、電磁放射線伝送層１１０２と、システムコントロール１１０４とを備える。伝送層１１０２は、レーザダイオード１１０６と、３つの導波路１１１０〜１１１２に
分かれるリッジ導波路１１０８とを含む。伝送層１１０２は、酸窒化ケイ素（「ＳｉＯＨ」）、又はＳＵ−８のような適切な光学ポリマーのスラブから製造され得る。導波路１１０８及び１１１０〜１１１２は、様々な既知の反応性イオンエッチング及びリソグラフィ法を用いて、スラブ内に形成され得る。ＱＲＢＧ１１００は、３つの半波長偏光回転子１１１４〜１１１６と、１つの４分の１波長偏光回転子１１１７とを含む。導波路１１１０及び１１１２内に偏光を導入するのに使用され得る偏光回転子の種類は、図１２及び図１３に関連して後述される。ＱＲＢＧ１１００は、導波路１１１０〜１１１２の終端付近にそれぞれ配置される３つの偏光ビームスプリッタ１１２４〜１１２６を含む。偏光ビームスプリッタ１１２４〜１１２６はそれぞれ、導波路１１１０〜１１１２に非常に接近して配置される先細の導波路から構成される。例えば、偏光ビームスプリッタ１１２４は、短い導波路１１３６を含む。短い導波路の先細の部分はそれぞれ、導波路１１１０〜１１１２内で水平偏光パルスが存続しながら、垂直偏光パルスが導波路１１１０〜１１１２からエバネッセント成分として抽出されるように構成される。システムコントロール１１０４は、ｐ−ｉ−ｎ光検出器１１２８〜１１３１と、２つのアバランシェフォトダイオード１１３２及び１１３３とを備える。
【０１７７】
図１２Ａ及び図１２Ｂは、本発明の一実施形態を表すスロット付偏光回転子１２００を示す。図１２Ａは、網掛けの長方形１２０２のような網掛けの長方形によって表される８つのスロットを含むスロット付偏光回転子の平面図を示す。スロットは、概ね周期的な間隔ｐ及び長さＬを有する。図１２Ｂは、本発明の一実施形態を表す、図１２Ａに示されるスロット付偏光回転子１２００の断面図を示す。スロットは、リッジ導波路１２０４内に、角度φを成して、且つ深さｄまでエッチングされる。スロット付偏光回転子１２００は、さらに大規模な光学用途において良く知られた、波長板と同様に動作するように製造され得る。例えば、本発明の様々な実施形態において、スロット付偏光回転子１２００は、半波長板又は４分の１波長板と同様に動作できるように、適切に選択されたパラメータＬ、ｐ、φ及びｄで製造され得る。スロット付偏光回転子のさらに詳しい説明に関しては、Maria V. Kotlyar他著、「Compact polarization converter in InP-based material」（Optics Express, vol. 13, No. 13, 2005年６月）を参照されたい。
【０１７８】
図１３Ａ及び図１３Ｂは、本発明の一実施形態を表す傾斜リッジ偏光回転子１３００を示す。図１３Ａは、本発明の一実施形態を表す、傾斜リッジ偏光回転子１３００の等角図を示す。傾斜リッジ偏光回転子１３００は長さＬから成り、リッジ導波路１３０２内に埋め込まれ、傾いた側壁１３０４及び反対にある垂直な側壁１３０６を含む。傾斜リッジ偏光回転子１３００は、ＳｉＯ2のような適切な絶縁層１３０８によって支持される。図１
３Ｂは、本発明の一実施形態を表す、傾斜リッジ偏光回転子１３００の断面図を示す。傾斜リッジ偏光回転子１３００は、波長板と同様に動作するように製造されることもできる。例えば、本発明の様々な実施形態において、傾斜リッジ偏光回転子１３００は、半波長板又は４分の１波長板と同様に動作できるように、適切に選択された高さＨ、ｈ、ｈr、
幅Ｗ及び長さＬで製造され得る。傾斜リッジ導波路に関するさらなる説明については、「Passive silicon-on-insulator polarization-rotating waveguides」（Optical Engineering 45 (4), 044603, 2006年４月）；「Bending characteristics of asymmetric SOI polarization rotators」（IEEE Photonic technology Letters, Vol. 17, No. 10, 2005
年10月）；「Slanted-rib waveguide InGaAsP-InP polarization converters」（J. of Lightwave Technology, Vol. 22, No. 5, 2004年５月）を参照されたい。
【０１７９】
図１１に戻ると、以下に記述されるのは、本発明の一実施形態を表す、レーザダイオード１１０６によって生成される単一パルスのためのＱＲＢＧ１１００の動作に関する全般的な説明である。レーザダイオード１１０６は、水平偏光状態｜αH〉又は垂直偏光状態
｜αV〉のいずれかにある電磁放射線のコヒーレントなパルスを放射するように構成され
得る。半波長偏光回転子１１１４は、コヒーレントなパルスを受け取り、４５°偏光のコ
ヒーレントなパルス｜α45〉を出力する。パルス｜α45〉は、以下で与えられるようにスリーウエイジャンクション１１４０に通される。即ち、
｜α45〉→ｃA｜α45〉A＋ｃB｜α45〉B＋ｃC｜α45〉C
式中、｜ｃA｜2＋｜ｃB｜2＋｜ｃC｜2＝１であり、
｜α45〉Aは、導波路１１１０で伝達される４５°偏光パルスを表し、
｜α45〉Bは、導波路１１１１で伝達される４５°偏光パルスを表し、
｜α45〉Cは、導波路１１１２で伝達される４５°偏光パルスを表す。
【０１８０】
導波路１１１１は、必要に応じて、パルス｜α45〉Bの強度を低減する減衰器１１４２
を含んでもよい。オプションの減衰器１１４２及び偏光ビームスプリッタ１１２５は、図１０に関連して上述されたＲＢＧ１００６に対応し、アバランシェフォトダイオードのうちの一方における検出事象に２進数「０」を割り当て、他方のアバランシェフォトダイオードにおける検出事象に２進数「１」を割り当てることによって、ビット列を構成するのに使用され得る。本発明の様々な実施形態において、減衰器１１４２は、導波路１１１１内にドーパントを注入することによって製造されることができ、ドーパントは、パルス｜α45〉Bの強度を以下の式によって表される単一光子のエネルギーに低減する。
【０１８１】
【数６３】
2010501125.tif 000149
【０１８２】
偏光ビームスプリッタ１１２５は、アバランシェフォトダイオード１１３２において単一光子パルスを検出する確率、又はアバランシェフォトダイオード１１３３において単一光子パルスを検出する確率が概ね等しいように、パルス｜４５°〉を分割し、そのパルスは以下の式によって｛｜Ｈ〉，｜Ｖ〉｝基底において表され得る。
【０１８３】
【数６４】
2010501125.tif 000150
【０１８４】
式中、｜Ｈ〉は、導波路１１１１内を通過して、アバランシェフォトダイオード１１３２によって検出される単一の水平偏光光子パルスを表し、
｜Ｖ〉は、導波路１１３６で伝達され、アバランシェフォトダイオード１１３３によって検出される単一の垂直偏光光子パルスを表す。
【０１８５】
導波路１１１０及び１１１２でそれぞれ伝達されるパルス｜α45〉A及び｜α45〉Cは、図１５〜図２２に関連して後述されるようなトモグラフィ解析を実行するのに使用される。導波路１１１０及び１１１２並びに対応する偏光回転子１１１５〜１１１７は、図１０に関連して上述された、ＰＳＡ１００４に対応する。４分の１波長偏光回転子１１１７は、到来するパルスの垂直偏光成分を１波長の４分の１だけ遅らせるように構成されることができ、半波長偏光回転子１１１５及び１１１６は、偏光を４５°だけ回転させるように構成され得る。
【０１８６】
以下に記述されるのは、偏光回転子１１１５及び１１１７が、導波路１１１０で伝達される、任意の偏光を有するパルスに如何に作用するかに関する説明である。パルスが４分の１波長偏光回転子１１１７に到達する前、パルスは、｛｜αH〉，｜αV〉｝基底において以下の式によって表される。即ち、
｜β〉A＝ａ｜αH〉A＋ｂ｜αV〉A
ただし、｜ａ｜2＋｜ｂ｜2＝１である。４分の１波長偏光回転子１１１７によって実行される操作は、以下の式によって特徴付けられる。
【０１８７】
【数６５】
2010501125.tif 000151
【０１８８】
４分の１波長偏光回転子１１１７の後に、適切に製造された半波長偏光回転子１１１５が続くことによって、以下のようになる。
【０１８９】
【数６６】
2010501125.tif 000152
【０１９０】
偏光ビームスプリッタ１１２４は、状態｜αH〉Aがｐ−ｉ−ｎ光検出器１１２８まで伝達され、状態｜αV〉Aがｐ−ｉ−ｎ光検出器１１２９まで伝達されるように構成される。
【０１９１】
最初に、ａ＝ｂ＝１／√２を有する状態において準備される場合に、４分の１波長偏光回転子１１１７に達する直前のパルスは状態｜α45〉Aにあることに留意されたい。４分
の１波長偏光回転子１１１７から出てくるパルスは右円偏光され、｜αR〉Aによって表され、半波長偏光回転子１１１５がそれに続き、そのパルスは以下の状態に射影される。即ち、
１／２［（１＋ｉ｜αH〉A＋（−１＋ｉ｜αV〉A］
それゆえ、ｐ−ｉ−ｎ光検出器１１２８において水平偏光パルス｜αH〉Aを検出する確率は１／２であり、ｐ−ｉ−ｎ光検出器１１２９において垂直偏光パルス｜αV〉Aを検出する確率は１／２である。
【０１９２】
一般に、半波長偏光回転子１１１６の直前に導波路１１１２で伝達される任意の偏光を有するパルスは、｛｜αH〉，｜αV〉｝基底において以下の式によって特徴付けられる。即ち、
｜β〉c＝ａ｜αH〉c＋ｂ｜αV〉c
ただし、｜ａ｜2＋｜ｂ｜2＝１である。半波長偏光回転子１１１６によって実行される操作は、以下の式によって特徴付けられる。
【０１９３】
【数６７】
2010501125.tif 000153
【０１９４】
最初に、ａ＝ｂ＝１／√２を有する状態においてパルスが準備される場合に、半波長偏光回転子１１１６に達する直前のパルスは状態｜α45〉Cにあることに留意されたい。半
波長偏光回転子１１１６から出てくるパルスの状態は以下のように与えられる。即ち、
｜αH〉C
言い換えると、半波長偏光回転子１１１６は、状態｜α45〉Cを状態｜αH〉Cに射影する
。最初に、ａ＝１／√２及びｂ＝−１√２である場合に、半波長偏光回転子１１１６に達する直前のパルスは状態｜α-45〉Cにある。半波長偏光回転子１１１６から出てくるパルスの状態は以下のように与えられる。即ち
｜αV〉C
言い換えると、半波長偏光回転子１１１６は、状態｜α45〉Cを状態｜αV〉Cに射影する
。
【０１９５】
本発明は、特定のシステムの実施形態ＱＲＢＧ１１００に関して説明されてきたが、本発明はこの実施形態に限定されることは意図していない。本発明の思想内にある変更が当業者には明らかになるであろう。例えば、本発明の別の実施形態では、図１１に示される単一のスリーウエイジャンクション１１４０を用いるのではなく、２つのＹジャンクションを用いて、パルス｜α45〉を分割することができることは、当業者であれば認識するであろう。図１４Ａに示されるように、Ｙジャンクション１４０２及び１４０４が、パルス｜α45〉をパルス｜α45〉A、｜α45〉B及び｜α45〉Cに分割する。本発明の別の実施形
態では、パルスを生成するために、図１１に示されるレーザダイオード１１０６を用いるのではなく、図１４Ｂに示されるように、発光ダイオード（「ＬＥＤ」）１４０６及び偏光ビームスプリッタ１４０８を用いて、パルス｜α45〉を生成することができる。本発明の他の実施形態では、パルスの伝搬を導くために、リッジ導波路１１０８、１１１０〜１１１２を有する伝送層１１０２を用いるのではなく、伝送層１１０２の代わりに、パルスの伝搬を導くのに使用され得る対応するフォトニック結晶導波路を有する、フォトニック結晶を用いることができる。本発明の他の実施形態では、伝送層１１０２及びリッジ導波路１１０８、１１１０〜１１１２の代わりに光ファイバを用いることができ、偏光回転子１１１４〜１１１８の代わりに、半波長板及び４分の１波長板を用いることができ、偏光ビームスプリッタの代わりに偏光結合器を用いることができる。例えば、図１４Ｃは、本発明の一実施形態を表す、ＱＲＢＧ１４１０の概略図を示す。ＱＲＢＧ１４１０は、レーザダイオード１４１２と、光ファイバ１４１４と、光ファイバ１４１４を３つの光ファイバ１４１８〜１４２０に分割する導波路結合器１４１６とを備える。また、ＱＲＢＧ１４１０は、３つの半波長板１４２２〜１４２４、４分の１波長板１４２６、及び３つの偏光結合器１４２８〜１４３０も含む。本発明の別の実施形態では、レーザダイオード１４１２の代わりに、ＬＥＤ及び半波長板を用いることができる。
【０１９６】
ＩＩ．トモグラフィ解析
アバランシェフォトダイオード１１３２及び１１３３における検出事象は、システムコントロール１１０４によって記録されることができ、ランダムビット列を構成するのに用いられる。システムコントロール１１０４は、４つの異なる検出事象を記録することができる。例えば、パルスがアバランシェフォトダイオード１１３２によって検出されるとき、２進数「１」が記録され、パルスがアバランシェフォトダイオード１１３３によって検出されるとき、２進数「０」が記録される。アバランシェフォトダイオード１１３２及び１１３３のいずれにおいてもパルスが検出されないとき、「パルスなし」が記録され、アバランシェフォトダイオード１１３２及び１１３３の両方においてパルスが検出されるとき、「誤り（エラー）」が記録される。表２は、図１０に示される、状態発生器１００２から出力されるパルス｜α45〉毎にシステムコントロール１１０４によって記録され得る４種類の事象を要約する。
【０１９７】
【表２】
2010501125.tif 000154
【０１９８】
システムコントロール１１０４によって記録される各検出事象は、「生カウント」と呼ばれる。図１５は、本発明の一実施形態を表す、レーザダイオード１１０６によって生成されるＮ個のパルス｜α45〉のパルス列の場合にシステムコントロール１１０４によって記録されるＮ個の生カウントの仮想的な数列１５００を示す。Ｎ個の生カウントの数列１５００は、生カウント「パルスなし」１５０２及び生カウント「誤り」１５０４によって分離される２進数「０」及び「１」の数列を含む。図１７〜図２２に関連して後述される、本発明の方法の実施形態は、偏光状態｜αR〉A、｜αL〉A、｜α45〉C及び｜α-45〉C
を用いて、Ｎ個の生カウントの数列を選別し、ランダムビット列
2010501125.tif 000155
を得ることを対象とする。検出器１１２８〜１１３３におけるパルスの検出は同期することに留意されたい。
【０１９９】
図１６は、図１１に示されるＱＲＢＧ１１００によって生成された生カウントの数列から、仮想的なランダムビット列を生成することを示す。ＱＲＢＧ１１００は、図１５に示されるＮ個の生カウントの数列１５００を生成する。「パルスなし」１５０２及び「誤り」１５０４のような、Ｎ個の生カウントの数列１５００において記録される「パルスなし」及び「誤り」の検出事象は、ｎビットの生（未処理、未加工）の数列を生成するために除去されており、その生の数列は、列ベクトル
2010501125.tif 000156
によって表される。ここで、ｎ＜Ｎである。生の数列１６０２は、仮想的に偏らせたビット１５０４〜１５０６のような、多数の仮想的に偏らせたビットを含む。偏りはハードウェアの欠陥、又は最悪のシナリオではレーザーダイオード１１０６のような状態発生器１００２が、偏ったビット列を生成したいと考えるエンティティによって制御されていることの結果である可能性がある。本発明の量子トモグラフィック解析方法は、ｍ×ｎテプリッツ行列Ｔm×nを構成することを含み、その行列は、生の数列
2010501125.tif 000157
内の偏ったビットを以下のように、行列乗算を用いて選別して除去するのに用いられる。
【０２００】
【数６８】
2010501125.tif 000158
【０２０１】
式中、ｍ＜ｎ＜Ｎである。ランダムビット列
2010501125.tif 000159
は列ベクトル１６０８によって表される。
【０２０２】
C.D.Walter他（編集）著、「Cryptographic Hardware and Embedded Systems CHES 2003」（pp. 166-180, Springer-Verlag (2003年)）と題する本の中の特に「True Random Number Generators Secure in a Changing Environment」と題する章において、Barak他は
、テプリッツ行列の数学的な定義を提供する。以下の説明は、Barak他の参考文献による
、テプリッツ行列を構成するために必要とされる洞察を提供する。
【０２０３】
本発明の方法を用いて、状態発生器１００２から出力される状態に偏りがあっても真の乱数列を生成することができることを強調するために、本発明の量子力学に基づく方法の実施形態が、敵対者があるシナリオを用いて、ランダムビット列
2010501125.tif 000160
を生成することに関連して後述される。図１７は、敵対者があるシナリオ下にある、図１０に関連して上述されたＱＲＢＧ１０００を示す。敵対者があるシナリオでは、状態発生器１００２は、「イブ」１７０２と呼ばれる敵対者の制御下に入り、ＱＲＢＧ１０００の残りの部分は、「アリス」１７０４と呼ばれる、使用者の制御下にある。イブは、アリス１７０４にはランダムに見え、イブが部分的にわかっているビット列を生成することを望む。アリスは状態｜Ｈ〉及び｜Ｖ〉のみを用いてランダムビットを生成するため、以下の解析は、基底｛｜Ｈ〉，｜Ｖ〉｝によって張られる部分空間に限定される。それゆえ、イブが以下の形のコヒーレント状態を生成するものと仮定される。即ち、
｜ψ〉＝ｃ｜Ｈ〉＋ｄ｜Ｖ〉
ただし、
｜ｃ｜2＋｜ｄ｜2＝１、
０≦｜ｃ｜2≦１、及び
０≦｜ｄ｜2≦１
イブは、アリスが状態｜ψ〉にある光子に適用する測定について知らないものと仮定される。イブが、全て同じ純粋状態｜ψ〉にあるパルスを準備するとき、アリスは、各パルスに測定を実行し、密度行列を得ることができる。
【０２０４】
【数６９】
2010501125.tif 000161
【０２０５】
密度行列
2010501125.tif 000162
は、アリスがイブによって与えられるパルスの状態について、アリスが得ることができる情報の最大量を表す。イブによって与えられるパルスに関してトモグラフィ解析を実行することによって、アリスは密度行列
2010501125.tif 000163
の要素を求めることができる。トモグラフィ解析は「自己検証」とも呼ばれ、ビット列のランダム性を評価するのに使用される。量子状態のトモグラフィ解析は、当該技術分野に
おいてよく知られており、例えば、参考文献James他著、「Measurement of Qubits」（Phys. Rev. A, Vol. 64, 052312）において説明される。トモグラフィ解析を用いて、イブ
によって準備された状態｜ψ〉が特定される。James他の参考文献において説明されるよ
うに、ｂキュービット系に対するトモグラフィ解析を実行するために、関連する密度行列
2010501125.tif 000164
を求めるのに、（４b−１）個の異なる期待値が必要とされる。結果として、期待値を測
定するために、同一の状態の多数のコピーが必要とされる。状態のための（４b−１）個
の異なる期待値及び正規化要件は理想的には、一般的なｂキュービット系の２b個の複素
係数に関する４b個の独立した制約を生成し、測定された状態を定義する密度行列
2010501125.tif 000165
及び２b個の複素係数の解析解を可能にする。
【０２０６】
イブは、状態の統計的混合｜ψi〉（＝ｃi｜Ｈ〉＋ｄi｜Ｖ〉）においてパルスを送信
することによって、イブにはわかるが、アリスにはランダムに見えるように数列を偏らせることを試みることもでき、各パルスの状態は１つの関連する確率ｐiを有する。アリス
は、トモグラフィ解析を実行して、密度行列演算子
【０２０７】
【数７０】
2010501125.tif 000166
【０２０８】
及び関連する密度行列
【０２０９】
【数７１】
2010501125.tif 000167
【０２１０】
を求める。式中、
2010501125.tif 000168
は状態｜Ｈ〉を測定する確率であり、
2010501125.tif 000169
は状態｜Ｖ〉を測定する確率である。密度行列演算子及び密度行列は、純粋状態密度行列演算子及び関連する密度行列の合成である。イブは、アリスが毎回測定している各パルスの状態｜ψi〉を準備し、知っているが、アリスによって実行される各測定の結果は量子
力学の法則によって支配されるため、イブは状態｜ψi〉に関するアリスの測定の結果を
制御することはできないことに留意されたい。
【０２１１】
アリスは、トモグラフィ解析を実行して、密度行列
2010501125.tif 000170
を求め、ランダム性に関する供給源の品質を評価する。ランダム性に関する供給源の品質は厳密には、以下のように定義される最小エントロピー（「min-entropy」）関数を用い
て評価され得る。
【０２１２】
【数７２】
2010501125.tif 000171
【０２１３】
式中、Ｘは確率変数であり、Ｐｒ（ｘ）は事象ｘの確率であり、
2010501125.tif 000172
はＸ内の全ての事象ｘにわたる最大確率Ｐｒ（ｘ）を意味する。言い換えると、最小エントロピーは、「０」から「１」の範囲にある、確率分布のランダム性の量の尺度と見なすことができ、この場合、「０」は事象が確かに生じるか、又は全く生じないことを意味し、「１」は事象が真にランダムに生じるか否かを意味する。
【０２１４】
図１８は、本発明の一実施形態を表す、最小エントロピーのプロットである。図１８において、水平軸１８０２は事象ｘの確率Ｐｒ（ｘ）に対応し、垂直軸１８０４は、最小エントロピーの値を表し、曲線１８０６は、最小エントロピーＨMin（Ｘ）を表す。事象ｘ
が生じる最大確率Ｐｒ（ｘ）が「１」１８０８であるとき、最小エントロピーは「０」１８１０である。言い換えると、事象ｘは確かに生じ、完全に決定的である。「０」に等しい確率Ｐｒ（ｘ）を有する事象は、「０」１８１０の最小エントロピーも有し、事象が生じないことを意味することに留意されたい。事象ｘが生じる最大確率Ｐｒ（ｘ）が「１／２」１８１２であるとき、最小エントロピーは「１」１８１４である。言い換えると、事象ｘが偏りなく生じ、真にランダムな事象に対応する。事象ｘが生じる最大確率が１／２よりも大きいとき、最小エントロピー１８１８に対応する点１８１６のように、最小エントロピーは「０」と「１」との間にあり、偏りがある事象であると言われる。
【０２１５】
最小エントロピーの使用を例示するために、以下の説明は、イブによって生成される３つの異なる種類の状態集合の最小エントロピーの定義において、密度行列の要素が如何に用いられるかを説明する。アリスが、イブによって与えられる純粋状態｜ψ〉にある単一パルスに関してトモグラフィ解析を実行するとき、確率変数Ｘは集合｛０，１｝にわたって分布し、最小エントロピーは以下のとおりである。即ち、
ＨMin（｜ψ〉〈ψ｜〉）＝−ｌｏｇ2（ｍａｘ（ＰｒH（｜ψ〉），ＰｒV（｜ψ〉）））
ただし、
ＰｒH（｜ψ〉）＝｜ｃ｜2＝｜〈Ｈ｜ψ〉｜2、及び
ＰｒV（｜ψ〉）＝｜ｄ｜2＝｜〈Ｖ｜ψ〉｜2
最小エントロピーは、アリスが、イブによって与えられる、全て同じ純粋状態｜ψ〉にあるｎ個のパルスに関してトモグラフィ解析を実行する事例に拡張され得る。確率変数Ｘは集合｛０，１｝nにわたって分布し、最小エントロピーは以下のとおりである。即ち、
ＨMin（（｜ψ〉〈ψ｜）n）＝−ｎｌｏｇ2（ｍａｘ（ＰｒH（｜ψ〉），ＰｒV（｜ψ
〉）））
最後に、アリスが、イブによって与えられる純粋状態｜ψi〉の統計的混合におけるｎ個
のパルスに関してトモグラフィ解析を実行するとき、最小エントロピーは以下のとおりで
ある。
【０２１６】
【数７３】
2010501125.tif 000173
【０２１７】
ただし、
【０２１８】
【数７４】
2010501125.tif 000174
【０２１９】
アリスは、イブが供給しているパルスを含む状態の分解を知らない。アリスは、トモグラフィ解析中に自分が生成する密度行列
2010501125.tif 000175
を手に入れることができるのみである。任意の状態への最小エントロピーの拡張を得るために、パルスに関連した最小エントロピーが、密度行列
2010501125.tif 000176
の全ての取り得る分解にわたる最小の最小エントロピーと定義される。最小の最小エントロピーのそのような定義を用いて、イブがアリスの数列について入手することができる情報の量に関して上限が設けられる。
【０２２０】
最小エントロピーＨMinが０に等しくない限り、イブは、上記のＱＲＢＧによって生成
されるビット列を完全には制御しないことに留意されたい。言い換えると、最小エントロピーが０よりも大きい限り、ＱＲＢＧによって生成されるｎ個のビット列内に、いくつかの数ｍ個のランダムビットが存在する。ここで、ｍ＜ｎである。
【０２２１】
トモグラフィ解析を容易にするために、最小エントロピー
2010501125.tif 000177
がストークスパラメータの関数として再び特徴付けられる。最初に、上記の統計的混合の状態｜ψi〉に関連付けられる２×２密度行列
2010501125.tif 000178
を以下のようにストークスパラメータ（Ｓ0，Ｓ1，Ｓ2，Ｓ3）に関して書き換えることができる。
【０２２２】
【数７５】
2010501125.tif 000179
【０２２３】
式中、下付き文字「Ｓ」はストークスパラメータに関して書き換えられた密度行列を特定し、ストークスパラメータＳ0は、「１」に正規化され、σ1、σ2及びσ3は、｛｜Ｒ〉，｜Ｌ〉｝基底の既知のパウリ行列である。密度行列
2010501125.tif 000180
のストークスパラメータは、以下のように、検出事象に基づいて求められ得る。図１１〜図１４に関連して上述された本発明のデバイスの実施形態では、アリスは、アバランシエフォトダイオード１１３２及び１１３３を用いて、単一光子を検出する。システムコントロール１１０４は、アバランシエフォトダイオード１１３２及び１１３３から信号を受信し、水平偏光光子〈Ｈ〉の平均数、及び垂直偏光光子〈Ｖ〉の平均数を計算する。アリスは、ｐ−ｉ−ｎ光検出器１１２８〜１１３１を用いて、電磁放射線Ｉ（α45）、Ｉ（α-45）、Ｉ（αR）及びＩ（αL）の強度を検出する。システムコントロール１１０４は、強
度に対応する信号を受信し、対応する平均強度〈α45〉、〈α-45〉、〈αR〉及び〈αL
〉を計算する。その後、正規化されたストークスパラメータを以下の式によって求めることができる。即ち、
Ｓ1＝（〈Ｈ〉−〈Ｖ〉）／（〈Ｈ〉＋〈Ｖ〉）、
Ｓ2＝（〈α45〉−〈α-45〉）／（〈α45〉＋〈α-45〉）、及び
Ｓ3＝（〈αR〉−〈αL〉）／（〈αR〉＋〈αL〉）
【０２２４】
全ての密度関数
2010501125.tif 000181
に関して以下の実数値関数を定義することによって、以下の定理を述べることができる。
【０２２５】
【数７６】
2010501125.tif 000182
【０２２６】
定理。密度行列
2010501125.tif 000183
によって記述される系の最小エントロピーは以下のとおりである。
【０２２７】
【数７７】
2010501125.tif 000184
【０２２８】
定理の証明は付録において後に提供される。定理は、ビット列を生成するのに用いられる
状態の密度行列の測定が、イブのような敵対者が得ることができる情報の量に対して上限を有することを証明する。Barak他は、最小エントロピーＨMinを有するｎ個のビットから成るビット列を与えるとき、ビットの生のビット列からｍ個のランダムビットを抽出できることを示す。ここで、ｍ＜ｎである。ｍ個のランダムビットは、或る分布に従って分布し、その分布は任意にビットの均一な分布に近い。
【０２２９】
図１９は、ランダムビット列を生成するための本発明の多くの実施形態のうちの１つを表す制御フロー図を示す。ステップ１９０２では、上記のＱＲＢＧ１１００をＮ回用いて、偏光成分｜α45〉、｜α-45〉、｜αR〉及び｜αL〉をフィルタリングすると共に、偏
光状態｜Ｈ〉及び｜Ｖ〉にある単一光子を生成してフィルタリングする。ステップ１９０４では、ステップ１９０２において得られた検出結果に基づいて、システムコントロール１１０４が平均強度〈α45〉、〈α-45〉、〈αR〉及び〈αL〉を計算し、それらの平均
強度を用いて、上述のように、ストークスパラメータＳ2及びＳ3が求められる。ステップ１９０６では、ルーチン「生のビット列を生成する」が呼び出され、それによって、図１６に関連して上述されたように、Ｎ個の生カウントの数列から、ｎ個の生のランダムビット列
2010501125.tif 000185
が生成される。ステップ１９０８では、ルーチン「トモグラフィ解析」が呼び出される。ルーチン「トモグラフィ解析」は上述したように、密度行列
2010501125.tif 000186
及び最小エントロピー
2010501125.tif 000187
を求める方法である。ステップ１９１０では、ルーチン「生のビット列を選別する」が呼び出され、そのルーチンは、最小エントロピーＨMinを用いて、数列
2010501125.tif 000188
から偏りを除去し、より小さなｍ個のランダムビット列
2010501125.tif 000189
を生成する。ステップ１９１２では、ランダムビット列
2010501125.tif 000190
が出力される。
【０２３０】
図２０は、図１９のステップ１９０６において呼び出されるルーチン「生のビット列を生成する」のための制御フロー図を示し、本発明の多くの実施形態のうちの１つを表す。ステップ２００２では、図１５に関連して上述されたように、Ｎ個の生カウントが収集される。ステップ２００４では、図１５に関連して上述されたように、「パルスなし」又は「誤り」のいずれかに対応する生カウントを破棄し、生のｎ個のランダムビット列を残すことによって、生カウントが選別される。ステップ２００６では、上述されたように、ストークスパラメータＳ1を求めるために後に用いられる、平均〈Ｈ〉及び〈Ｖ〉を求める
ために、システムコントロール１１０４が、状態｜Ｈ〉及び｜Ｖ〉に対応する生カウントを平均する。
【０２３１】
図２１は、図１９のステップ１９０８において呼び出されるルーチン「トモグラフィ解析」のための制御フロー図を示し、本発明の多くの実施形態のうちの１つを表す。ステップ２１０２では、図１９のステップ１９０４において得られる平均〈α45〉、〈α-45〉
、〈αR〉及び〈αL〉、並びに図２０のステップ２００６において得られる平均〈Ｈ〉及び〈Ｖ〉が収集される。ステップ２１０４では、上述したように、密度行列
2010501125.tif 000191
が構成される。ステップ２１０６では、密度行列
2010501125.tif 000192
を用いて、最小エントロピー
2010501125.tif 000193
が構成される。
【０２３２】
図２２は、図１９のステップ１９１０において呼び出されるルーチン「生のビット列を選別する」のための制御フロー図であり、本発明の多くの実施形態のうちの１つを表す。ステップ２２０２では、図２０のルーチン「生の２進数列を生成する」において生成される生のランダムビット列
2010501125.tif 000194
が入力される。ステップ２２０４では、図２１のルーチン「トモグラフィ解析」において生成される最小エントロピー
2010501125.tif 000195
が入力される。ステップ２２０６では、Barak他の参考文献において説明されるように、
テプリッツ行列Ｔn×mが構成される。ステップ２２０８では、数列
2010501125.tif 000196
が求められ、図１６に関連して上述されたように、ステップにおいて出力される。
【０２３３】
Barak他の参考文献に基づいて、生のｎ個のランダムビット列から抽出され得るビット
の最大数は以下のとおりである。即ち、
ｍ＝ｋｎ−４ｌｏｇ2（１／ε）−２
式中、εは、ｍ個のビットの分布と均一な分布との間の統計的距離である。統計的距離は、数学的には、以下のように定義される。
【０２３４】
【数７８】
2010501125.tif 000197
【０２３５】
式中、Ｘ及びＷは異なる分布を表す。収率Ｙは、ランダムビットの割合ｍ／ｎであり、生のランダムビット列から得られることができる。
【０２３６】
本発明の他の実施形態では、当業者は、他の光学量子系を認識し、熱状態のような、コヒーレント状態以外の状態を用いることができる。例えば、状態発生器１００２は、電球とすることもできる。本発明の他の実施形態では、James他の参考文献において説明され
る偏光状態のような、偏光状態｜Ｈ〉、｜Ｖ〉、｜α45〉、｜α-45〉、｜αR〉及び｜αL〉以外の偏光状態を用いることができる。
【０２３７】
上記の説明は、説明の目的上、本発明を完全に理解してもらうために特殊な用語を使用した。しかしながら、本発明を実施するために、具体的な細部が必要とされないことは当
業者には明らかであろう。本発明の特定の実施形態に関する上記の説明は、例示及び説明の目的で提示される。それらは、本発明を網羅的にすること、又は本発明を開示されたそのものずばりの形態に限定することは意図していない。上記の教示に鑑みて、多くの修正及び変形が可能であることは明らかである。それらの実施形態は、本発明の原理及びその実用的な用途を最もわかりやすく説明し、それによって、当業者が、本発明及び様々な実施形態を、企図される特定の用途に適するように、様々な変更を加えて最大限に利用できるようにするために図示及び説明される。本発明の範囲は、添付の特許請求の範囲及びそれらの等価物によって定められることが意図されている。
【０２３８】
付録
定理。密度行列
2010501125.tif 000198
によって記述される系の最小エントロピーは以下のとおりである。
【０２３９】
【数７９】
2010501125.tif 000199
【０２４０】
定理を証明するために、以下の３つの補助定理が証明される。
【０２４１】
補助定理１。純粋状態｜ψ〉毎に、以下の式が成り立つ。即ち、
ＨMin（｜ψ〉〈ψ｜）＝ｆ（｜ψ〉〈ψ｜）
補助定理１の証明は、事例ＰｒH＞１／２、ＰｒH＜１／２、及びＰｒV＝１／２の場合に
、以下の式が成り立つことを示すことによって証明される。即ち、
2010501125.tif 000200
最初に、｜ψ〉は純粋状態であるため、図１０に関連して上述されたように、関連するストークスパラメータはポアンカレ球の表面上の点に対応し、詳細には、パラメータＳ1及
びＳ2は以下の式によって与えられる。
2010501125.tif 000201
Ｓ1及びＳ2を右辺に代入すると、以下の式が与えられる。
2010501125.tif 000202
ＰｒH＞１／２であるとき、左辺は以下のように変換され、
ｍａｘ（ＰｒH，１−ＰｒH）＝ＰｒH
右辺は以下のように変換される。
１／２＋｜１／２−ＰｒH｜＝１／２＋ＰｒH−１／２＝ＰｒH
ＰｒH＜１／２であるとき、左辺は以下のように変換され、
ｍａｘ（ＰｒH，１−ＰｒH）＝１−ＰｒH
右辺は以下のように変換される。即ち、
１／２＋｜１／２−ＰｒH｜＝１／２＋１／２−ＰｒH＝１−ＰｒH
最後に、自明な事例の場合、ＰｒHV＝１／２であるとき、左辺及び右辺はいずれも１／２になる。
【０２４２】
補助定理２。密度行列
2010501125.tif 000203
によって表される２つの純粋状態｜ψ１〉及び｜ψ２〉は、
2010501125.tif 000204
の場合に、密度行列
2010501125.tif 000205
の分解である。
【０２４３】
補助定理２の証明：密度行列は、
2010501125.tif 000206
の分解であり、
Ｐ1＋Ｐ2＝１、及び
Ｐ1−Ｐ2＝Ｓ3／Ｓ´3
を満たす対角行列要素を有する純粋状態を表す。補助定理１に基づいて、｜ψ1〉及び｜
ψ2〉はいずれも純粋状態であるため、以下の式が成り立つ。
【０２４４】
【数８０】
2010501125.tif 000207
【０２４５】
さらに、上記の
2010501125.tif 000208
のための式に基づいて、ｎ＝１の場合に、以下の式が成り立つ。
【０２４６】
【数８１】
2010501125.tif 000209
【０２４７】
補助定理３。関数
2010501125.tif 000210
はポアンカレ球上のストークスパラメータＳ1、Ｓ2、Ｓ3の凸関数である。
【０２４８】
補助定理３の証明：
2010501125.tif 000211
のヘッシアン行列の固有値は、領域（１／２，１）にわたって負でない。
【０２４９】
定理の証明。凸関数の特性によれば、
2010501125.tif 000212
の分解毎に、以下の式が成り立つ。
【０２５０】
【数８２】
2010501125.tif 000213
【０２５１】
補助定理１の結果を代入し、上記の式
2010501125.tif 000214
を用いるとき、以下の式が与えられる。
【０２５２】
【数８３】
2010501125.tif 000215
【０２５３】
それは、
2010501125.tif 000216
が、
2010501125.tif 000217
の最小エントロピーのための下限であることを意味する。しかし、補助定理２によれば、
2010501125.tif 000218
の少なくとも１つの分解が存在し、この場合、以下の式が成り立つ。
【０２５４】
【数８４】
2010501125.tif 000219
【０２５５】
従って、
2010501125.tif 000220
は、
2010501125.tif 000221
の全ての分解にわたるＨMinの最小値に等しい。
【図面の簡単な説明】
【０２５６】
【図１】立方体空洞を示す図である。
【図２】基底ベクトルとして、２つの独立した偏光ベクトルと、正規化された波数ベクトルとを用いる３次元座標系を示す図である。
【図３】図２に示される座標系における電磁波の電界成分及び磁界成分の表現を示す図である。
【図４】量子化された電磁放射線のエネルギー準位図である。
【図５】供給源から出力され、導波路で検出器まで伝送されるパルスに関連付けられる確率分布を示す図である。
【図６Ａ】垂直偏光基底状態のプロットを示す図である。
【図６Ｂ】水平偏光基底状態のプロットを示す図である。
【図７】偏光状態のポアンカレ球表現を示す図である。
【図８Ａ】４つの偏光状態のうちの１つのプロットを示す図である。
【図８Ｂ】４つの偏光状態のうちの１つのプロットを示す図である。
【図８Ｃ】４つの偏光状態のうちの１つのプロットを示す図である。
【図８Ｄ】４つの偏光状態のうちの１つのプロットを示す図である。
【図９】ストークスパラメータの幾何学的表現を示す図である。
【図１０】本発明の一実施形態を表す量子乱数発生器の全般的な概略図である。
【図１１】本発明の一実施形態を表す第１の量子ランダムビット発生器の概略図である。
【図１２Ａ】本発明の一実施形態を表すスロット付偏光回転子を示す図である。
【図１２Ｂ】本発明の一実施形態を表すスロット付偏光回転子を示す図である。
【図１３Ａ】本発明の一実施形態を表す傾斜リッジ偏光回転子を示す図である。
【図１３Ｂ】本発明の一実施形態を表す傾斜リッジ偏光回転子を示す図である。
【図１４Ａ】本発明の一実施形態を表す、３つの異なるランダムビット発生器のうちの１つの概略図である。
【図１４Ｂ】本発明の一実施形態を表す、３つの異なるランダムビット発生器のうちの１つの概略図である。
【図１４Ｃ】本発明の一実施形態を表す、３つの異なるランダムビット発生器のうちの１つの概略図である。
【図１５】本発明の一実施形態を表す、システムコントロールによって記録され得る生カウントの仮想的な数列を示す図である。
【図１６】本発明の一実施形態を表す、生カウントの数列からランダムビット列を生成することを示す図である。
【図１７】敵対関係にあるシナリオに対する図１０に示される量子乱数発生器を示す図である。
【図１８】本発明の一実施形態を表す、最小エントロピーのプロットである。
【図１９】ランダムビット列を生成するための本発明の多くの実施形態のうちの１つを表す制御フロー図である。
【図２０】図１９のステップ１９０６において呼び出され、本発明の多くの実施形態のうちの１つを表す、ルーチン「生の２進数列、ベクトルｒnを生成する」ための制御フロー図である。
【図２１】図１９のステップ１９０８において呼び出され、本発明の多くの実施形態のうちの１つを表す、ルーチン「トモグラフィ解析」のための制御フロー図である。
【図２２】図１９のステップ１９１０において呼び出され、本発明の多くの実施形態のうちの１つを表す、ルーチン「生の２進数列を選別する」のための制御フロー図である。
【図１】
2010501125.tif 000226
【図２】
2010501125.tif 000227
【図３】
2010501125.tif 000228
【図４】
2010501125.tif 000229
【図５】
2010501125.tif 000230
【図６Ａ】
2010501125.tif 000231
【図６Ｂ】
2010501125.tif 000232
【図７】
2010501125.tif 000233
【図８Ａ】
2010501125.tif 000234
【図８Ｂ】
2010501125.tif 000235
【図８Ｃ】
2010501125.tif 000236
【図８Ｄ】
2010501125.tif 000237
【図９】
2010501125.tif 000238
【図１０】
2010501125.tif 000239
2010501125.tif 000240
【図１１】
2010501125.tif 000241
【図１２Ａ】
2010501125.tif 000242
【図１２Ｂ】
2010501125.tif 000243
【図１３Ａ】
2010501125.tif 000244
【図１３Ｂ】
2010501125.tif 000245
【図１４Ａ】
2010501125.tif 000246
【図１４Ｂ】
2010501125.tif 000247
【図１４Ｃ】
2010501125.tif 000248
【図１５】
2010501125.tif 000249
【図１６】
2010501125.tif 000250
【図１７】
2010501125.tif 000251
【図１８】
2010501125.tif 000252
【図１９】
2010501125.tif 000253
【図２０】
2010501125.tif 000254
【図２１】
2010501125.tif 000255
【図２２】
2010501125.tif 000256
【国際調査報告】
2010501125.tif 000257
2010501125.tif 000258
2010501125.tif 000259