(57)【要約】  複数のポートフォリオを最適化するための方法およびシステムであって、各ポートフォリオは、1つまたは複数の売買可能資産の1つまたは複数の持分を含み、前記複数のポートフォリオに関連する資産データを受け取るステップと、複数のポートフォリオの集約にわたって適用される制約を定義する少なくとも1つのグローバル制約を含む最適化制約を受け取るステップと、最適化の最中に個別ポートフォリオに適用される1つまたは複数の目的を受け取るステップと、集約最適化資産データを生成するために最適化されたポートフォリオデータを集約するステップと、集約最適化資産データがグローバル制約を満たすかどうかを判定するステップと、前記少なくとも1つのグローバル制約が満たされる場合に限って、前記最適化された資産データを出力するステップとを含み得る。
2010524079.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
複数のポートフォリオを最適化するための方法であって、各ポートフォリオが、1つまたは複数の売買可能資産の1つまたは複数の持分を含み、前記方法が、
a)複数の前記ポートフォリオを定義する資産データを受け取るステップと、
b)前記複数のポートフォリオの1つまたは複数に対応する1つまたは複数の個別ポートフォリオ最適化決定変数を受け取るステップと、
c)1つまたは複数のグローバル最適化決定変数を受け取るステップと、
d)前記複数のポートフォリオのうちの各ポートフォリオについて、前記個別最適化決定変数の対応する1つまたは複数に基づいて前記資産データを最適化するステップと、
e)集約最適化資産データを生成するために前記最適化された資産データを集約するステップと、
f)前記集約最適化資産データが前記1つまたは複数のグローバル最適化決定変数を満たすかどうかを判定するステップと、
g)ステップfにおいて前記1つまたは複数のグローバル最適化決定変数が満たされる場合に限って、前記最適化された資産データを出力するステップと
を含む方法。
【請求項２】
ステップbにおいて、前記個別ポートフォリオ最適化決定変数が、
1つまたは複数の個別最適化制約と、1つまたは複数の個別最適化目的関数と
を含む、請求項1に記載の方法。
【請求項３】
ステップcにおいて、前記グローバルポートフォリオ最適化決定変数が、
1つまたは複数のグローバル最適化制約と、1つまたは複数のグローバル最適化目的関数と
を含む、請求項2に記載の方法。
【請求項４】
h)前記グローバル最適化制約の前記1つまたは複数が満たされない場合、前記最適化された資産データの各々および前記集約最適化資産データに基づいて、前記1つまたは複数の個別最適化目的関数の各々を調整するステップ
をさらに含む、請求項3に記載の方法。
【請求項５】
i)前記調整された決定変数に基づいて、前記資産データを再最適化するステップ
をさらに含む、請求項4に記載の方法。
【請求項６】
ステップhが、ラグランジュ緩和および双対問題技法を使用して、前記1つまたは複数の個別最適化目的関数を調整する、請求項4に記載の方法。
【請求項７】
前記1つまたは複数のグローバル最適化制約が満たされる場合、前記1つまたは複数のグローバル最適化目的関数が満たされているかどうかを判定するステップ
をさらに含む、請求項3に記載の方法。
【請求項８】
前記1つまたは複数のグローバル最適化目的関数が満たされていない場合、前記最適化されたポートフォリオデータの各々および前記集約最適化資産データに基づいて、前記1つまたは複数の個別最適化目的関数を調整するステップ
をさらに含む、請求項7に記載の方法。
【請求項９】
ステップaが、
資産の名称、資産のシンボル、資産の市場価格、資産が購入された平均価格、前記複数のポートフォリオの1つにおける資産の持分の数、および複数のポートフォリオにおける資産の持分の数のうちの少なくとも1つを受け取るステップ
をさらに含む、請求項1に記載の方法。
【請求項１０】
1つまたは複数の個別最適化制約を受け取る前記ステップが、前記複数のポートフォリオについて売買できる持分の最大数、「レイトカマー」が許容されるかどうか、「クロッシング」が許容されるかどうか、「公平性」が考慮対象かどうか、またはすべてのポートフォリオについての合計最大取引コスト、許容リスクの最大レベルを定義する、少なくとも1つの制約を受け取るステップをさらに含む、請求項2に記載の方法。
【請求項１１】
1つまたは複数の個別最適化目的関数を受け取る前記ステップが、リスク、収益率、または売買コストのうちの少なくとも1つに関係する少なくとも1つの目的を受け取るステップをさらに含む、請求項2に記載の方法。
【請求項１２】
前記1つまたは複数のグローバル目的が、個別ポートフォリオ偏差の合計の最小化、または最悪の個別ポートフォリオ偏差の最小化のうちの少なくとも一方を含む、請求項3に記載の方法。
【請求項１３】
コンピュータ実行可能プログラムコードをその中に保存するコンピュータ可読記憶媒体であって、以下の操作、すなわち、
a)複数の前記ポートフォリオを定義する資産データを受け取る操作と、
b)前記複数のポートフォリオの1つまたは複数に対応する1つまたは複数の個別ポートフォリオ最適化決定変数を受け取る操作と、
c)1つまたは複数のグローバル最適化決定変数を受け取る操作と、
d)前記複数のポートフォリオのうちの各ポートフォリオについて、前記個別最適化決定変数の対応する1つまたは複数に基づいて前記資産データを最適化する操作と、
e)集約最適化資産データを生成するために前記最適化された資産データを集約する操作と、
f)前記集約最適化資産データが前記1つまたは複数のグローバル最適化決定変数を満たすかどうかを判定する操作と、
g)操作fにおいて前記1つまたは複数のグローバル最適化決定変数が満たされる場合に限って、前記最適化された資産データを出力する操作と
を実行することによって複数のポートフォリオを最適化するためのコンピュータ実行可能プログラムコードをその中に保存する、コンピュータ可読記憶媒体。
【請求項１４】
操作bにおいて、前記個別ポートフォリオ最適化決定変数が、
1つまたは複数の個別最適化制約と、1つまたは複数の個別最適化目的関数と
を含む、請求項13に記載のコンピュータ可読記憶媒体。
【請求項１５】
操作cにおいて、前記グローバルポートフォリオ最適化決定変数が、
1つまたは複数のグローバル最適化制約と、1つまたは複数のグローバル最適化目的関数と
を含む、請求項14に記載のコンピュータ可読記憶媒体。
【請求項１６】
h)前記グローバル最適化制約の前記1つまたは複数が満たされない場合、前記最適化された資産データの各々および前記集約最適化資産データに基づいて、前記1つまたは複数の個別最適化目的関数の各々を調整する操作
を実行するためのさらなる命令をその中に保存する、請求項15に記載のコンピュータ可読記憶媒体。
【請求項１７】
i)前記調整された決定変数に基づいて、前記資産データを再最適化する操作
を実行するためのさらなる命令をその中に保存する、請求項16に記載のコンピュータ可読記憶媒体。
【請求項１８】
操作hが、ラグランジュ緩和および双対問題技法を使用して、前記1つまたは複数の個別最適化目的関数を調整する、請求項16に記載のコンピュータ可読記憶媒体。
【請求項１９】
前記1つまたは複数のグローバル最適化制約が満たされる場合、前記1つまたは複数のグローバル最適化目的関数が満たされているかどうかを判定する操作
を実行するためのさらなる命令をその中に保存する、請求項15に記載のコンピュータ可読記憶媒体。
【請求項２０】
前記1つまたは複数のグローバル最適化目的関数が満たされていない場合、前記最適化されたポートフォリオデータの各々および前記集約最適化資産データに基づいて、前記1つまたは複数の個別最適化目的関数を調整する操作
を実行するためのさらなる命令をその中に保存する、請求項19に記載のコンピュータ可読記憶媒体。
【請求項２１】
前記操作aが、
資産の名称、資産のシンボル、資産の市場価格、資産が購入された平均価格、前記複数のポートフォリオの1つにおける資産の持分の数、および複数のポートフォリオにおける資産の持分の数のうちの少なくとも1つを受け取る操作
をさらに含む、請求項13に記載のコンピュータ可読記憶媒体。
【請求項２２】
1つまたは複数の個別最適化制約を受け取る前記操作aが、前記複数のポートフォリオについて売買できる持分の最大数、「レイトカマー」が許容されるかどうか、「クロッシング」が許容されるかどうか、「公平性」が考慮対象かどうか、またはすべてのポートフォリオについての合計最大取引コスト、許容リスクの最大レベルを定義する、少なくとも1つの制約を受け取る操作をさらに含む、請求項14に記載のコンピュータ可読記憶媒体。
【請求項２３】
1つまたは複数の個別最適化目的関数を受け取る前記操作が、リスク、収益率、または売買コストのうちの少なくとも1つに関係する少なくとも1つの目的を受け取る操作をさらに含む、請求項14に記載のコンピュータ可読記憶媒体。
【請求項２４】
前記1つまたは複数のグローバル目的が、個別ポートフォリオ偏差の合計の最小化、または最悪の個別ポートフォリオ偏差の最小化のうちの少なくとも一方を含む、請求項15に記載のコンピュータ可読記憶媒体。
【請求項２５】
資産からなる複数のポートフォリオの最適化を実行するためのシステムであって、
複数の前記ポートフォリオを定義する資産データを受け取り、前記複数のポートフォリオの1つまたは複数に対応する1つまたは複数の個別ポートフォリオ最適化決定変数を受け取り、1つまたは複数のグローバル最適化決定変数を受け取り、前記資産データと前記個別最適化決定変数の対応する1つまたは複数とを使用して、前記複数のポートフォリオのうちの各ポートフォリオを最適化し、集約最適化資産データを生成するために前記最適化された資産データを集約し、前記集約最適化資産データが前記1つまたは複数のグローバル最適化決定変数を満たすかどうかを判定し、前記1つまたは複数のグローバル最適化決定変数が満たされる場合に限って、前記最適化された資産データを出力するように構成されたクライアントインタフェース
を含むシステム。
【請求項２６】
前記受け取られた個別ポートフォリオ最適化決定変数が、1つまたは複数の個別最適化制約と、1つまたは複数の個別最適化目的関数とを含む、請求項25に記載のシステム。
【請求項２７】
前記受け取られたグローバルポートフォリオ最適化決定変数が、1つまたは複数のグローバル最適化制約と、1つまたは複数のグローバル最適化目的関数とを含む、請求項26に記載のシステム。
【請求項２８】
前記グローバル最適化制約の前記1つまたは複数が満たされない場合、前記最適化された資産データの各々および前記集約最適化資産データに基づいて、前記1つまたは複数の個別最適化目的関数の各々を前記クライアントインタフェースが調整するように、前記クライアントインタフェースがさらに構成される、請求項27に記載のシステム。
【請求項２９】
前記調整された決定変数に基づいて、前記資産データを再最適化するように、前記クライアントインタフェースがさらに構成される、請求項28に記載のシステム。
【請求項３０】
ラグランジュ緩和および双対問題技法を使用して、前記1つまたは複数の個別最適化目的関数を調整するように、前記クライアントインタフェースがさらに構成される、請求項28に記載のシステム。
【請求項３１】
前記1つまたは複数のグローバル最適化制約が満たされる場合、前記1つまたは複数のグローバル最適化目的関数が満たされているかどうかを前記クライアントインタフェースが判定するように、前記クライアントインタフェースがさらに構成される、請求項27に記載のシステム。
【請求項３２】
前記1つまたは複数のグローバル最適化目的関数が満たされていない場合、前記最適化されたポートフォリオデータの各々および前記集約最適化資産データに基づいて、前記1つまたは複数の個別最適化目的関数を前記クライアントインタフェースが調整するように、前記クライアントインタフェースがさらに構成される、請求項31に記載のシステム。
【請求項３３】
資産の名称、資産のシンボル、資産の市場価格、資産が購入された平均価格、前記複数のポートフォリオの1つにおける資産の持分の数、および複数のポートフォリオにおける資産の持分の数のうちの少なくとも1つを受け取るように、前記クライアントインタフェースがさらに構成される、請求項25に記載のシステム。
【請求項３４】
前記複数のポートフォリオについて売買できる持分の最大数、「レイトカマー」が許容されるかどうか、「クロッシング」が許容されるかどうか、「公平性」が考慮対象かどうか、またはすべてのポートフォリオについての合計最大取引コスト、許容リスクの最大レベルを定義する、少なくとも1つの制約を受け取るように、前記クライアントインタフェースがさらに構成される、請求項26に記載のシステム。
【請求項３５】
リスク、収益率、または売買コストのうちの少なくとも1つに関係する少なくとも1つの目的を受け取るように、前記クライアントインタフェースがさらに構成される、請求項26に記載のシステム。
【請求項３６】
個別ポートフォリオ偏差の合計の最小化、または最悪の個別ポートフォリオ偏差の最小化のうちの少なくとも一方を含む、前記1つまたは複数のグローバル目的を受け取るように、前記クライアントインタフェースがさらに構成される、請求項27に記載のシステム。
【請求項３７】
出力された前記最適化された資産データを表示するためのユーザ表示デバイスをさらに含む、請求項27に記載のシステム。
【請求項３８】
出力された前記最適化された資産データが、売買システムに送信するための売買リストの形式を取る、請求項27に記載のシステム。
【請求項３９】
複数のポートフォリオの最適化に「公平性」原理を適用するための方法であって、各ポートフォリオが、1つまたは複数の売買可能資産の1つまたは複数の持分を含み、前記方法が、
a)複数の前記ポートフォリオを定義する資産データを受け取るステップと、
b)前記複数のポートフォリオの1つまたは複数に対応する1つまたは複数の個別ポートフォリオ最適化決定変数を受け取るステップと、
c)前記複数のポートフォリオのうちの各ポートフォリオについて、前記個別最適化決定変数の対応する1つまたは複数に基づいて前記資産データを最適化するステップと、
d)いずれかの前記複数のポートフォリオが、他のいずれかの前記複数のポートフォリオの最適化解によって悪影響を受けるかどうかを判定するステップと、
e)前記悪影響が補償されるように、前記1つまたは複数の個別ポートフォリオ最適化決定変数を調整するステップと、
f)前記個別最適化決定変数の前記調整された1つまたは複数に基づいて、前記資産データを再最適化するステップと、
g)前記最適化されたデータを出力するステップと
を含む方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、有形または無形資産からなる複数のポートフォリオを最適化するための方法およびシステムに関する。より詳細には、本発明は、ポートフォリオ制約を適用しながら、マルチプルポートフォリオ(multiple portfolios)を最適化するための方法およびシステムに関する。
【背景技術】
【０００２】
関連特許文献の相互参照
本出願は、2007年4月3日に出願された「Method and System For Multiple Portfolio Optimization」と題する米国特許出願第11/730,750号の一部継続出願であり、同出願は、2003年8月14日に出願された米国特許出願第10/640,630号の一部継続出願であり、同出願は、2003年2月20日に出願された米国仮出願第60/448,147号の優先権を主張する。本出願も、2007年4月5日に出願された米国仮出願第60/907,525号の優先権を主張する。上記の各出願の全内容は、参照により本明細書に組み込まれる。
【０００３】
株式および/または他の資産のポートフォリオなどの資産の管理者はしばしば、例えば、ヒストリカルに、または知られたポートフォリオ管理技法を使用して調整されたものとして、収益率の分散の見地から定義されるリスクを所定のレベルに維持しながら、投資全体に対する収益を最大化しようと努める。
【０００４】
1952年のハリー・マーコウィッツ(Harry Markowitz)の独創的な仕事によって、平均-分散最適化(mean-variance optimization)は、ポートフォリオ選択のための共通ツールとなっている。平均-分散効率的ポートフォリオ(mean-variance efficient portfolio)は、適切なリスクモデルおよびアルファモデル(alpha model)から入力を得るオプティマイザによって構成することができる。そのようなポートフォリオは、所定のレベルのリスクに対して、(例えば、税抜きの、様々な制約を課された)より高い可能期待収益(expected return)を保証するのに役立つ。
【０００５】
リスクは、現代のポートフォリオ理論の核心に存在している。資産の収益率の標準偏差(例えば分散)は、その資産の保有に関連するリスクを測定するためにしばしば使用される。しかし、他の適切な尺度または収益率の標準偏差よりも適切な尺度が存在し得る。リスクの一般的定義は、通常は標準偏差によって測定される、単一資産またはポートフォリオの収益率のばらつきまたは変動性である。本発明の譲受人であるITGは、ポートフォリオ管理者およびトレーダが、目まぐるしく変化する市場において、リスクを測定し、分析し、管理するための、1組のリスクモデルを開発した。(例えば出願第10/640,630号を参照)。これらのモデルは、例えば本明細書で説明されるもののようなポートフォリオオプティマイザと組み合わせて、とりわけ、平均-分散効率的ポートフォリオを生成するために使用することができる。
【０００６】
現代のポートフォリオ理論によれば、資産(例えば株式および/または他の資産など)のどのようなポートフォリオに対しても、任意の所定のレベルのポートフォリオリスクにおいて最大可能期待収益を生み出す、ポートフォリオの資産の様々に加重された組合せを表す、効率的フロンティア(efficient frontier)が存在する。
【０００７】
加えて、リスク調整された収益率の見地から2つのポートフォリオを比較する際に有用であり得る、変動性に対する収益率の比は、シャープレシオ(Sharpe Ratio)である。この比は、ノーベル賞受賞者のウィリアム・シャープ(William Sharpe)によって開発された。一般に、シャープレシオの値は、高いほど好ましい。高いシャープレシオは、ポートフォリオまたは資産(例えば株式)が、リスク単位当たり良好な収益率を達成していることを含意する。シャープレシオは、異なる資産または異なるポートフォリオを比較するために使用することができる。しばしば、シャープレシオは、最初にポートフォリオの収益率から無リスク率を減算し、次にポートフォリオの標準偏差で除算することによって計算されている。資産またはポートフォリオのヒストリカルな平均収益率は、誤った認識に導き得ることが多々あり、資産を選択する際またはポートフォリオの運用成績を比較する際に、単独で考慮すべきではない。シャープレシオは、期待収益に対する収益変動性の潜在的影響を計算に入れ、収益率に関して大きく変動し得る資産またはポートフォリオを客観的に比較することを可能にする。
【０００８】
ポートフォリオを単一のリスク係数に結び付けることによって、シャープは、マーコウィッツの仕事を単純化した。シャープは、投資リスクと報酬についての異端的な考え-資本資産価格モデル(CAPM: Capital Asset Pricing Model)として知られるようになった精巧な推論を開発した。CAPMによれば、すべての投資は、2つの異なるリスクを抱えている。1つは、シャープが「システマティックリスク(systematic risk)」と呼んだ、市場に存在することのリスクである。「ベータ(beta)」とも呼ばれるこのリスクは、分散化によって低減することができる。他方のリスクである「非システマティックリスク」は、企業資産に固有である。これらのリスクも、適切な分散化を通して緩和することができる。シャープは、ポートフォリオの期待収益が、その「ベータ」、市場全体に対するその関係にのみ依存することを認識した。CAPMは、ポートフォリオのリスクと、そのリスクを取る引き替えに投資家が期待し得る収益を測定する助けとなる。
【０００９】
ポートフォリオ最適化はしばしば、ポートフォリオを分析し、その中の資産を管理するプロセスを伴う。一般に、これは、与えられた特定のレベルのリスクのもとで、最高の収益を獲得するために行われる。ポートフォリオ最適化は、例えば、毎月、四半期毎、半年毎、または毎年など、規則的、周期的に実行することができる。同様に、ポートフォリオは、所望の頻度または必要な頻度でリバランス(rebalance)され得ると共に、リバランスは、ポートフォリオ内の資産の構成を変更することによって最終的に達成される。ポートフォリオは、最適化するたびにリバランスされる必要はないので、所望の頻度で最適化され得る。リバランス決定を考える際、最適ポートフォリオが追求されるので、通常は売買に伴う税金および/または取引コストの含み(implication)も考慮される。
【００１０】
いくつかの既存のポートフォリオオプティマイザにおいては、「山登り法(hill climbing)」または線形/2次計画法などの技法が、最適解を見出すために使用される。しかし、これらの技法を使用する場合、ロング（買い持ち）/ショート（空売り）、最小ポジションサイズ、ポジション数制約、税コスト、および取引コストなどの問題は一般に、正確にモデル化することができない。加えて、“Portfolio Optimization By Means Of Resampled Efficient Frontiers”と題する米国特許第6,003,018号は、他のオプティマイザ方法を示している。米国特許第6,003,018号の全開示は、参照により本明細書に組み込まれる。本発明は、上記および他のオプティマイザに対する大幅な改良を提供する。
【００１１】
本発明の譲受人は、ITGOpt(登録商標)オプティマイザと現在呼ばれている、ポートフォリオオプティマイザを開発したが、そのポートフォリオオプティマイザは、これまで使用されてきた最適化およびリバランスシステムよりも正確な結果を生み出すために、混合整数計画法(MIP: mixed integer programming)の技術を使用する。ITGOpt(登録商標)の従来のバージョンでは、システムは、制約およびパラメータのすべてを同時に考慮する、単一のパスにおける最適化を実行した。そのバージョンでは、特定の有価証券の売買に関係する特徴を抑制すること、または導入することができた。加えて、例えば、レバレッジ、出来高、およびロング対ショートポジションに対する制約を含む、全般的なポートフォリオ特徴を指定することもできた。さらに、制約は、ポートフォリオ全体に適用することができ、またはポートフォリオのロングサイドもしくはショートサイドに個別に適用することができる。さらに、ITGOpt(登録商標)の従来のバージョンは、分岐限定アルゴリズム(branch-and-bound algorithm)を潜在的な解の客観的スコアリング(objective scoring)と組み合わせ、そうすることで、結果の完全性(integrity)を損なうことなく問題のサイズを縮小することによって、誤った認識に導きがちな発見的手法を回避した。
【００１２】
加えて、従来のITGOpt(登録商標)オプティマイザは、税法に関連する含みを正確にモデル化し、分析することができた。例えば、税区分(tax bracket)および税ロット(tax lot)の整数モデリングは、ITGOpt(登録商標)オプティマイザが、大口の利益のでる持分(share)を放棄することなく、純税額(net tax liability)を最小化することを可能にする。従来のITGOpt(登録商標)は、高入れ先出し(HIFO: high in first out)、後入れ先出し(LIFO: last in first out)、または先入れ先出し(FIFO: first in first out)会計方法に対しても適応可能である。加えて、従来のITGOpt(登録商標)は、精巧な投資戦略の現実世界における複雑さに重点をおいて設計された。従来のITGOpt(登録商標)オプティマイザは、現実世界のファンド管理において生じ得る、複雑および/または非線形の問題を扱うことができた。
【００１３】
加えて、従来のITGOpt(登録商標)オプティマイザは、その解を計算する際に、市場の影響から発生する取引コストを要因として組み込むことができた。オプティマイザは、市場の影響を予測するためのコストモデル、ACE(登録商標)を含んでいた。ACE(登録商標)を含むことで、ユーザが、最適化シナリオのリスクおよび期待収益と共に、暗黙的な取引コストを評価することを可能にした。
【００１４】
特に量的に管理されるポートフォリオにおいては、ポートフォリオをリバランスする場合、売買される持分の数量または売買の予想コストに対する制約を通して、売買コストをコントロールすることが普通である。売買の予想コストを推定する1つの方法は、ITGのACE(登録商標)などの数学的モデルを使用することである(「System and method for estimating and optimizing transaction costs」と題する米国特許出願第10/166,719号を参照。同出願の全内容が参照により本明細書に組み込まれる)。
【００１５】
売買される持分の数量または予想コストに課される制約は、単一のポートフォリオの管理に適用される場合、適度に効果的である。しかし、多くのポートフォリオ管理者は、重複する保有資産(holding)を有することがあるマルチプルポートフォリオを管理する。マルチプルポートフォリオのリバランスは、2つ以上のポートフォリオ内に見出される1つの株式を2つ以上のポートフォリオにおいて売買したいことがある場合に、問題を引き起こすことがあり得る。例えば、ポートフォリオAおよびBはともに、IBM株の同じ持分を含むことができるが、ポートフォリオAおよびBをリバランスする際、IBMの持分を各ポートフォリオにおいて売買することが望ましいことがある。マルチプルポートフォリオに含まれる持分の総数を売買しようと試みる管理者は、マルチプルポートフォリオ内に見出される単一の持分を複数回カウントする結果、全体的な実行サイズはより大きくなり、予想売買コストもより大きくなる。例えば、管理者は、IBMの2持分をポートフォリオAおよびBにおいて売買する必要があることを知り、したがって、ポートフォリオAおよびBの両方に存在するIBMの持分の売買を、1持分ずつの代わりに2持分ずつ実行するかもしれない。共有持分のこの「重複カウント」の結果は、実現された各ポートフォリオの実行コストが、ポートフォリオ管理者が出費を厭わない、または出費を予想するコストよりも大きくなるというものである。
【００１６】
加えて、従来のITGOpt(登録商標)オプティマイザは、効果的なヒストリカルバックテスティング(back-testing)を使用した。ITGOpt(登録商標)オプティマイザは、ポートフォリオを時系列的に緻密に追跡することができ、株式分割、配当、合併、企業分割、倒産、および名称変更が起こった場合に、それらの影響を考慮することができる。
【００１７】
加えて、従来のITGOpt(登録商標)オプティマイザは、多くのファンドおよび多くのユーザを扱うように実装された。従来のITGOpt(登録商標)オプティマイザは、多数の同時ユーザからの要求および大量のトランザクションに対処するためのインフラストラクチャを有する、マルチユーザ、クライアント-サーバ型のリレーショナルデータベース管理技術を含んでいた。
【００１８】
加えて、従来のITGOpt(登録商標)オプティマイザは、売買注文管理および会計システムと整然と統合された。従来のITGOpt(登録商標)オプティマイザは、リレーショナルデータベース管理技術に基づいて構築されたので、他のデータベースと容易に結合された。従来のITGOpt(登録商標)オプティマイザは、独自仕様のTOMシステムによる実行のために、売買リストを生成することもできた。さらに、従来のITGOpt(登録商標)オプティマイザ設計は、企業の営業および顧客の必要に合致させるために、報告書の拡張カスタマイズを可能にした。さらに、カスタム報告書形式は、迅速にコスト効率良く設計することができた。
【先行技術文献】
【特許文献】
【００１９】
【特許文献１】米国特許出願第11/730,750号
【特許文献２】米国特許出願第10/640,630号
【特許文献３】米国仮出願第60/448,147号
【特許文献４】米国仮出願第60/907,525号
【特許文献５】米国特許第6,003,018号
【特許文献６】米国特許出願第10/166,719号
【非特許文献】
【００２０】
【非特許文献１】V. K. Chopra、「Mean-Variance Revisited: Near-Optimal Portfolios and Sensitivity to Input Variations」、Journal of investing、1993年
【非特許文献２】M. BestおよびR. Grauer、「On the Sensitivity of Mean-Variance Efficient Portfolios to Changes in Asset Means: Some Analytical and Computational Results」、Review of Financial Studies、1991年
【非特許文献３】V. K. ChopraおよびW. T. Ziemba、「The Effect of Errors in Means, Variances and Covariances on Optimal Portfolio Choice」、Journal of Portfolio Management、1993年
【非特許文献４】J. G. KallbergおよびW.T. Ziemba、「Mis-specification in Portfolio Selection Problems」、Risk and Capital、G. BambergおよびA. Spreman編、Lecture Notes in Economics and Mathematical Sciences、1984年
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【００２１】
ITGOpt(登録商標)最適化システムの従来のバージョンを含む、様々なポートフォリオ最適化システムおよび方法が存在し得るが、当技術分野には、上記および/または他のシステムおよびプロセスに改良を加えたシステムおよびプロセスに対する大きな必要性が存在する。
【課題を解決するための手段】
【００２２】
本発明の様々な実施形態は、既存の方法およびシステムに大幅な改良を加える。
【００２３】
本発明の実施形態によれば、有価証券または株式など、有形または無形の資産からなる複数のポートフォリオを最適化するための、改良されたシステムおよび方法が提供される。
【００２４】
本発明の一実施形態では、複数のポートフォリオを最適化するための方法が提供される。各ポートフォリオは、1つまたは複数の売買可能資産の1つまたは複数の持分を含む。前記方法は、複数のポートフォリオを定義する資産データを受け取るステップと、前記複数のポートフォリオに対応する1つまたは複数の個別ポートフォリオ最適化パラメータを受け取るステップと、1つまたは複数のグローバル最適化パラメータを受け取るステップと、各ポートフォリオについて、前記対応する個別最適化パラメータに基づいて前記資産データを最適化するステップと、集約最適化資産データを生成するために前記最適化された資産データを集約するステップと、前記集約最適化資産データが前記グローバル最適化パラメータを満たすかどうかを判定するステップと、前記グローバル最適化パラメータが満たされる場合に限って、前記最適化された資産データを出力するステップとを含む。
【００２５】
本発明の別の実施形態では、コンピュータ実行可能プログラムコードをその中に保存するコンピュータ可読記憶媒体であって、以下の操作、すなわち、複数の前記ポートフォリオを定義する資産データを受け取る操作と、複数のポートフォリオを定義する資産データを受け取る操作と、前記複数のポートフォリオに対応する1つまたは複数の個別ポートフォリオ最適化パラメータを受け取る操作と、1つまたは複数のグローバル最適化パラメータを受け取る操作と、各ポートフォリオについて、前記対応する個別最適化パラメータに基づいて前記資産データを最適化する操作と、集約最適化資産データを生成するために前記最適化された資産データを集約する操作と、前記集約最適化資産データが前記グローバル最適化パラメータを満たすかどうかを判定する操作と、前記グローバル最適化パラメータが満たされる場合に限って、前記最適化された資産データを出力する操作とを実行することによって複数のポートフォリオを最適化するためのコンピュータ実行可能プログラムコードをその中に保存する、コンピュータ可読記憶媒体が提供される。
【００２６】
本発明の別の実施形態では、資産からなる複数のポートフォリオの最適化を実行するためのシステムが提供される。前記システムは、複数のポートフォリオを定義する資産データを受け取り、複数のポートフォリオの1つまたは複数に対応する1つまたは複数の個別ポートフォリオ最適化パラメータを受け取り、1つまたは複数のグローバル最適化パラメータを受け取り、前記資産データと前記個別最適化パラメータの対応する1つまたは複数とを使用して、複数のポートフォリオのうちの各ポートフォリオを最適化し、集約最適化資産データを生成するために最適化された資産データを集約し、前記集約最適化資産データが前記1つまたは複数のグローバル最適化パラメータを満たすかどうかを判定し、前記1つまたは複数のグローバル最適化パラメータが満たされる場合に限って、前記最適化された資産データを出力するように構成されたクライアントインタフェースを含むことができる。
【００２７】
様々な実施形態の上記および/または他の態様、特徴、および/または利点は、添付の図面と併せて以下の説明を考察することで、さらに理解されよう。様々な実施形態は、適用可能な場合には、異なる態様、特徴、または利点を含むこと、または除くことができる。加えて、様々な実施形態は、適用可能な場合には、1つまたは複数の態様、特徴、または利点を組み合わせることができる。特定の一実施形態の態様、特徴、または利点の説明は、請求項に記載の本発明の他のいずれの実施形態も限定することはないと解釈されるべきである。
【００２８】
添付の図面は、本発明または他の様々な実施形態の広範な範囲を限定することなく、例として提供される。
【図面の簡単な説明】
【００２９】
【図１】本発明のいくつかの実施形態によるプロセスを説明するフローチャートである。
【図２】本発明のいくつかの実施形態によるプロセスを説明する別のフローチャートである。
【図３】とりわけ、本発明の様々な実施形態のプロセスステップを実施するために使用することができるコンピュータを示す図である。
【図４】とりわけ、本発明の様々な実施形態のプロセスステップを実施するために使用することができるコンピュータシステムを示す図である。
【図５】いくつかの実施形態によるデータベース管理構造を示す概略図である。
【図６】例えば最適ポートフォリオを見出すための、収益(例えば100万ドル単位)対リスク(例えば100万ドル単位)の例示的なグラフである。
【図７】本発明のいくつかの例示的な実施形態による、例えば平均-分散効率的フロンティアから外れた1組の平均-分散点を示す、収益(例えば100万ドル単位)対リスク(例えば100万ドル単位)の例示的なグラフである。
【図８】マルチプルポートフォリオの最適化のプロセスを説明するフローチャートである。
【図９】マルチプルポートフォリオ最適化の後続プロセスの最中における制約の調整を説明するフローチャートである。
【図１０】目的または個別ポートフォリオを“罰すること”によるマルチプルポートフォリオの最適化のプロセスを説明するフローチャートである。
【図１１】実施例1における、グローバル制約および目的を適用する最適化方法の比較を示すチャートである。
【図１２】実施例1における、グローバル制約および目的を適用する最適化方法からもたらされる売買される持分の比較を示すチャートである。
【図１３】実施例2における、クロッシングを許容し、グローバル制約および目的を適用する最適化方法の比較を示すチャートである。
【図１４】実施例2における、クロッシングを許容せず、グローバル制約および目的を適用する最適化方法の比較を示すチャートである。
【発明を実施するための形態】
【００３０】
本発明の実施形態は、1つもしくは複数のコンピュータ上、ならびに/またはローカルエリアネットワーク(LAN)、ワイドエリアネットワーク(WAN)、インターネット、および/もしくは別のネットワークなど、コンピュータからなる1つもしくは複数のネットワーク上で実施され得る。様々な実施形態では、1つまたは複数のサーバ、クライアントコンピュータ、アプリケーションコンピュータ、および/または他のコンピュータが、本発明の1つまたは複数の態様を実施するために利用され得る。例示的なコンピュータは、例えば、中央処理装置、メモリ(例えばRAMなど)、デジタルデータ記憶(例えばハードドライブなど)、入力/出力ポート(例えばパラレルおよび/またはシリアルポートなど)、データ入力デバイス(例えばキーボードなど)などを含むことができる。クライアントコンピュータは、いくつかの実施形態では、インターネットなどを介してサーバに要求を行うために、例えばハイパーテキスト転送プロトコル(HTTP)を使用するなどして、サーバと対話するためのブラウザソフトウェアを含むことができる。
【００３１】
いくつかの実施形態では、システムは、例えば、リレーショナルデータベースを生成、更新、および/または管理するためにリレーショナルデータベース管理システム(RDBMS)プログラムを利用するような、リレーショナルデータベースを利用することができる。RDBMSは、ユーザによって入力された、またはアプリケーションプログラムに含まれる構造化問合せ言語(SQL)ステートメントを受け取り、データベースを生成、更新し、および/またはデータベースへのアクセスを提供する。いくつかの例示的なRDBMSは、ORACLEのデータベース製品ライン、およびIBMのDB2製品ラインを含む。いくつかの例示的な実施形態では、図4に示されるように、例えばLANベースのシステムなど、1つまたは複数のクライアントコンピュータが提供され得る。クライアントコンピュータは、例えばWINDOWS（登録商標） NTまたは別のシステムなど、適切なオペレーティングシステムを含むことができる。いくつかの実施形態では、システムは、オブジェクトベースのグラフィカルユーザインタフェース(GUI)を提供するように適合される。
【００３２】
いくつかの実施形態では、システムは、図4に示されるように、マルチユーザクライアントサーバシステムを提供する。いくつかの実施形態では、システムは、戦略の中核セットの変形(variant)を管理するための階層的なオブジェクトベースのポートフォリオコントロール構造を提供する。いくつかの実施形態では、ベースとされるデータは、保有資産、売買、価格、およびコーポレートアクション(corporate action)などを含むことができる。いくつかの実施形態では、例えば、BARRA、NORTHFIELDから入手可能なモデル、およびカスタムモデルなどのマルチプルリスクモデルが利用され得る。
【００３３】
いくつかの実施形態では、ポートフォリオは、保有資産、ヒストリカルな執行、母集団(universe)、ベンチマーク、リスクモデル、および/または市場データなどのデータオブジェクトを含む。いくつかの実施形態では、選択された株式の母集団は、例えば、関連市場などにおける相対的にアクティブな有価証券のすべてを含むことができる。例えば、米国市場が関連市場であると仮定すると、その場合、選択された株式の母集団は、いくつかの実施形態では、ニューヨーク証券取引所、アメリカン証券取引所、NASDAQ国内市場に上場の株式、およびいくつかの小型株を含む、約8000種の株式から構成することができる。好ましくは、ポートフォリオ内の特定のオブジェクトは、ユーザによって設定されるアトリビュートおよび/またはパラメータによって定義され得る。いくつかの実施形態では、ポートフォリオの一例は、分析データアトリビュートに基づいて生成されることができ、2003年1月1日現在のラッセル1000種を母集団とする3% S&Pトラッキングポートフォリオ(tracking portfolio)などが、例示的な一例である。
【００３４】
いくつかの実施形態では、ポートフォリオデータベースは、例えば、図5に例示的に示されているような5レベル階層など、アトリビュート階層を含むことができる。いくつかの例示的な実施形態では、より下位のレベルは、より上位のレベルのアトリビュートを継承することができる。加えて、より下位のレベルは、好ましくは、継承したアトリビュートを無効にすることができる。
【００３５】
いくつかの実施形態では、ポートフォリオデータベースは、例えば、任意の株式固有のデータとすることができる特性を含むことができる。好ましくは、ユーザは、新しい特性を他の特性から生成するための公式および/または規則を使用するなどして、特性を定義することができる。例示的な一例として、ユーザは、「A = B + C × D」のような、代数的生成方法を使用することができる。例示的な別の例として、ユーザは、例えば、「A + 1 if B < C and B > D」のような、セットメンバーシップ(set membership)方法を使用することができる。いくつかの実施形態では、コンプライアンスおよび/または他の理由で、母集団から名前を削除することを可能にするために、例えば、「remove sin stocks with p/e's > 10 and price < 5」のような、フィルタを提供することができる。いくつかの実施形態では、システムは、条件付けられていない特性に対してデフォルト値を提供することができる。
【００３６】
いくつかの実施形態では、ユーザは、例えばカスタマイズされた資産水準報告書など、カスタマイズされた報告書を作成することができる。好ましくは、報告書定義は、名前を付けて(例えばデジタルデータ記憶内に)保存されることができる。
【００３７】
いくつかの実施形態では、ポートフォリオ「空間」の任意の次元は、目的関数(objective function)または制約の一部とすることができる。いくつかの実施形態では、システムは、例えば、期待収益、リスク/トラッキング、エクスポージャ、取引コスト、税金、およびポジション/売買数/サイズなどの任意の組合せの間でのトレードオフの調査を円滑化することができる。
【００３８】
いくつかの実施形態では、1つの最適化に母集団を提供することができ、その中で、両サイド(例えば買いサイドおよび売りサイド)は、各サイド個別に課される制約と、ポートフォリオ全体に対する制約を受けてリバランスされる。
【００３９】
いくつかの実施形態では、ユーザは、クライアントコンピュータを介してユーザに提示されるグラフィカルユーザインタフェースを提供される。いくつかの実施形態では、グラフィカルユーザインタフェースは、データおよびファイルのインポートおよび/またはエクスポート、パラメータの設定、最適化の実行および/または最適化結果の受け取りを可能にすることができる。いくつかの実施形態では、ユーザは、特定のタスクスケジュールを生成またはインポートすることができ、スケジュール内では、例えば、データのインポートおよび/またはエクスポートが自動化され得ると共に、ユーザインタフェース内で利用可能な機能がバッチ処理で利用可能になる。
【００４０】
図3は、例えば図1および図2に示されるプロセス100およびプロセス200などの中のコンピュータ化されたプロセスステップを実施するために使用され得る、コンピュータ構成の一例を示している。いくつかの実施形態では、コンピュータ320は、バス326を介して1組の入力/出力(I/O)デバイス324と通信できる中央処理装置(CPU)322を含む。I/Oデバイス324は、例えば、キーボード、マウス、ビデオモニタ、プリンタ、および/または他のデバイスを含むことができる。
【００４１】
CPU 322は、バス326を介してコンピュータ可読媒体(例えば従来の揮発性または不揮発性データ記憶デバイス)328(これ以降「メモリ328」)と通信することができる。CPU 322、I/Oデバイス324、バス326、およびメモリ328の間の対話は、当技術分野で知られたものと同様とすることができる。
【００４２】
メモリ328は、株価など株式に関するデータおよび帳簿価格など企業に関するデータを含むことができる、例えば、市場および会計データ330を含むことができる。メモリ328は、ソフトウェア338も保存することができる。ソフトウェア338は、図1および図2に示されるプロセス100および/またはプロセス200のステップなど、プロセスのステップを実施するための複数のモジュール340を含むことができる。これらのモジュールを実施するために、従来のプログラミング技法を使用することができる。メモリ328は、上記および/または他のデータファイルも保存することができる。
【００４３】
いくつかの実施形態では、本明細書で説明される様々な方法は、1つまたは複数のコンピュータシステム上で実行するためのコンピュータプログラム製品を介して実施することができる。例えば、一連のコンピュータ命令は、コンピュータ可読媒体(例えば、ディスケット、CD-ROM、またはROMなど)上に保存されることができ、またはモデムなどのインタフェースデバイスを介してコンピュータシステムに送信されることができる。媒体は、実質的に有形(例えば通信回線)とすること、および/または実質的に無形(例えば、マイクロ波、光、赤外線などを使用する無線媒体)とすることができる。コンピュータ命令は、様々なプログラミング言語で記述されることができ、ならびに/あるいは半導体デバイス(例えばチップもしくは回路)、磁気デバイス、光デバイス、および/または他のメモリデバイスなど、メモリデバイス内に保存されることができる。様々な実施形態では、通信は、任意の適切な通信技術を使用することができる。
【００４４】
図1および図2は、本発明のいくつかの例示的な実施形態で実施できるプロセスステップを示している。これらの2つのプロセスは、例示的なものであり、本発明の様々な実施形態は、様々なプロセスにおいて適用され得る。
【００４５】
図1に示される例示的なプロセス100に関して、第1のステップ102において、プロセスは、既存または新規のポートフォリオの評価を開始する。次に第2のステップ104において、システムは、最適化分析に適用する情報を受け取る。次に第3のステップ106において、情報が、最適化エンジンなどの最適化システムに入力される。次に第4のステップ108において、最適化アルゴリズムおよび方法が、最適化エンジンを介して実行される。次に第5のステップ110において、最適化結果が、ユーザに提供される。次に第6のステップ112において、ユーザは、最適化結果に基づいて行動する。例えば、ユーザは、結果に基づいて、ポートフォリオを例えばリバランスすることがある。
【００４６】
図2に示される例示的なプロセス200に関して、第1のステップ202において、ユーザは、ポートフォリオデータを入力することができる。いくつかの実施形態では、ユーザは、ポートフォリオ名エディタ(portfolio name editor)を用いてポートフォリオを生成することができる。好ましくは、ユーザは、ファイルインポート/エクスポートユーティリティを使用して、例えば、識別子マップ、保有資産、ベンチマーク、母集団、特性、および/またはリスクモデルなど、必要とされるデータをロードすることができる。好ましくは、ユーザは、パラメータエディタ(parameter editor)を用いて、例えば、分析日付、ベンチマーク、母集団、特性、リスクモデルなど、ポートフォリオアトリビュートを定義することもできる。好ましくは、ユーザは、データを削除することもできる。
【００４７】
次にステップ204において、ユーザは、喪失データを識別し、照合(reconcile)することができる。いくつかの実施形態では、ユーザは、複数のソースからデータを照合することができる。いくつかの実施形態では、いくつかの潜在的な問題は、資産ステータスもしくは識別子の変更、喪失したもしくは誤った特性もしくはリスクデータ、および/またはベンチマークもしくは母集団内のメンバーシップなど、を含むことができる。いくつかの実施形態では、保有資産要約報告書は、高レベルの問題通知を提供することができる。いくつかの実施形態では、喪失データ報告書は、保有資産、ベンチマーク、母集団、特性、および/またはファクタエクスポージャ(factor exposure)のために使用されることができる。いくつかの実施形態では、ユーザは、問題を解決するためにデータエディタ(data editor)を使用することができる。
【００４８】
次にステップ206において、ユーザは、リバランス目的を指定することができる。いくつかの実施形態では、ユーザは、パラメータエディタを使用して、例えば、キャッシュフロー、目的関数(例えば、アルファ、リスク回避度(risk aversion))、リスク制約(例えば、2つ以上のベンチマーク、共通および固有ファクタ)、キャッシュ残高、回転率制約、ポジションサイズ、ポジション数、および/もしくは売買サイズ制約、ならびに/または母集団特性フィルタなど、「標準」パラメータを選択することができる。好ましくは、ユーザは、本発明のプロセスで使用するためのユーザ固有パラメータを選択することができる。好ましくは、ユーザは、行/列限界エディタ(row/column bounds editor)を使用して、制約マトリックス(constraint matrix)を作成することができる。
【００４９】
次にステップ208において、ユーザは、現在のポートフォリオ特性を検査することができる。いくつかの実施形態では、ユーザは、保有資産、母集団、ベンチマーク、および/または最終ポートフォリオなどの1つまたは複数についての報告書を受け取ることができる。好ましくは、ユーザは、会計、特性、ファクタエクスポージャ、および/または売買などに関する要約および詳細を受け取ることができる。
【００５０】
次にステップ210において、ユーザは、パラメータおよび制約を調整することができる。いくつかの実施形態では、ユーザは、パラメータエディタを介して、このステップを実行することができる。好ましくは、行/列限界エディタが提供される。
【００５１】
次にステップ212において、ユーザは、リバランスされたポートフォリオを最適化し、生成することができる。このステップは、提案されたポートフォリオ/売買を最適化し、生成するために、最適化エンジンを利用することができる。好ましくは、その場合、ユーザは、例えば、売買要約画面もしくは報告書、または売買詳細報告書などを介して、提案されたポートフォリオ/売買を検査することができる。好ましくは、次に、ユーザは、必要に応じて、提案されたポートフォリオ/売買を編集することができる。好ましくは、次に、ユーザは、提案されたポートフォリオ/売買を特定の執行に組み込むことができる。
【００５２】
矢印A2によって示されるように、ユーザは、継続的にポートフォリオ/売買を評価し、ポートフォリオをリバランスするためなどに、必要に応じてステップ208-212を繰り返すことができる。
【００５３】
本発明のいくつかの実施形態では、図1に示されるプロセス内のステップ108および/または図2に示されるプロセス内のステップ212は、以下で説明されるような最適化方法を含むことができる。これらの方法を実施するために、いくつかの実施形態では、(例えばソフトウェアなどを介して生成される)オプティマイザは、以下で説明されるステップを達成するソフトウェアモジュールなどを含むことができる。
【００５４】
本発明のいくつかの実施形態では、誤差の許容可能領域を確認することを可能にする、ポートフォリオオプティマイザが提供され得る。これは、例えば、関連する多くの売買および様々なコストを潜在的にもたらし得る様々な入力内の「ノイズ」の結果として、変更または売買を行うように提案する可能性のあるオプティマイザを有することを回避するのに役立つ点で有利になり得る。本発明のいくつかの実施形態では、これらの入力がノイズをどれほど有するかを近似的に理解することで、システムは、その内部は許容可能と見なされる領域をポートフォリオ管理者がどれだけ大きく維持できるかを認識することができる。
【００５５】
いくつかの実施形態では、オプティマイザは、リスク回避度γに対応する、効率的フロンティア上のポートフォリオP0のための信頼領域(confidence region)を定義することができる。いくつかの実施形態では、この領域は、clow*Risk(P0) < Risk(P) < chigh*Risk(P0)かつRet(P) > c*Ret(Popt)であるような、すべてのポートフォリオPを含む。ここで、Poptは、Risk(Popt) = Risk(P)であるような、効率的フロンティア上のポートフォリオである。加えて、clow、chigh、およびcは、リスクの減少、リスクの増大の相対平均偏差(relative average deviation)、ならびにリスク回避度γおよび異なる収益ベクトル(vector of return)に対応する最適ポートフォリオの期待収益である。収益ベクトルはそれらの平均値の周囲で正規分布すると仮定することができる。いくつかの実施形態では、ユーザは、定数clow、chigh、およびcに異なる値を設定することによって、特定の信頼レベルを設定することができる。
【００５６】
上で説明された米国特許第6,003,018号のリサンプルされた効率的ポートフォリオ最適化では、信頼領域は、リサンプルされた効率的フロンティアポートフォリオP0の周囲で計算され、P0に対する分散値が指定された信頼レベルに関連する値以下であるすべてのポートフォリオを含む。その点で、リサンプルされた効率的ポートフォリオ最適化の主要点は、リサンプルされた効率的フロンティアポートフォリオを計算することである。リサンプリングプロセスは、効率的フロンティアポートフォリオの計算に代替入力を提供する、シミュレートされた収益を生成する。リサンプルされた効率的フロンティアポートフォリオは、多くの可能な効率的フロンティアにわたる平均化プロセスの結果である。
【００５７】
他方、本発明のいくつかの実施形態では、リサンプルされた効率的フロンティアポートフォリオの代わりに、標準的な効率的フロンティアポートフォリオが使用される。とりわけ、リサンプルされた効率的フロンティアポートフォリオと対比して、効率的フロンティアポートフォリオは、一定の値のリスクに対して最大の期待収益を有するポートフォリオとして定義されることができる。多くの場合、リサンプルされた効率的フロンティアを使用することは適切ではない。単なる例示的な一例として、相関係数(correlation coefficient)がゼロ、期待収益が10%および20%、収益の標準偏差が20%である、2つの資産について考える。最大収益ポートフォリオは、第2の資産のみを含み、その期待収益は、20%である。リサンプルされた効率的フロンティア上の最大収益点に対応するリサンプルされたポートフォリオは、第1の資産の約35%および第2の資産の65%を含み、その期待収益は、約16%に過ぎない。
【００５８】
リサンプルされた効率的フロンティアポートフォリオは、シミュレーションを通して獲得された多くのポートフォリオの平均を取ることによって構成される。したがって、ほとんどの場合、これらのポートフォリオは、多数の異なる資産を含む。とりわけ、母集団から取られた限られた数の資産を含む最適ポートフォリオを有することが望ましい場合、そのようなポートフォリオを使用することには困難が存在する。
【００５９】
いくつかの実施形態における平均-分散効率的集合(Mean-Variance Efficient Set)のための信頼領域の計算:
【００６０】
I. 定義および仮定:
いくつかの実施形態では、ITGOptの平均-分散モデルの主要なパラメータは、α-資産期待収益のベクトルと、Σ-資産収益の共分散行列(covariance matrix)である。これらのパラメータは、ヒストリカルデータ、分析モデル、アナリスト予測、または他の方法を使用して、推定することができる。
【００６１】
その全開示が参照により本明細書に組み込まれる、V. K. Chopra、「Mean-Variance Revisited: Near-Optimal Portfolios and Sensitivity to Input Variations」、Journal of investing、1993年は、とりわけ、入力パラメータの小さな変化が、最適ポートフォリオの構成に大きな変化をもたらし得ることを説明している。その全開示が参照により本明細書に組み込まれる、M. BestおよびR. Grauer、「On the Sensitivity of Mean-Variance Efficient Portfolios to Changes in Asset Means: Some Analytical and Computational Results」、Review of Financial Studies、1991年は、とりわけ、平均-分散効率的フロンティア上の資産期待収益のベクトルの変化の影響と、最適ポートフォリオの構成について説明している。その全開示が参照により本明細書に組み込まれる、V. K. ChopraおよびW. T. Ziemba、「The Effect of Errors in Means, Variances and Covariances on Optimal Portfolio Choice」、Journal of Portfolio Management、1993年と、J. G. KallbergおよびW.T. Ziemba、「Mis-specification in Portfolio Selection Problems」、Risk and Capital、G. BambergおよびA. Spreman編、Lecture Notes in Economics and Mathematical Sciences、1984年は、とりわけ、投資家の効用関数(utility function)における、期待収益の誤差、収益の特定の分散および共分散の誤差の相対的重要性について説明している。これらのパラメータにおける誤差の相対的影響は、投資化のリスク許容度(risk tolerance)に依存する。リスク回避度パラメータがそれほど高くない場合、期待収益の誤差は、他のパラメータの誤差よりもはるかに重大な影響を効用関数に対して有する。αの誤差をモデル化するための2つの可能な方法が存在する。
・相対誤差モデル: ri = αi * (1+ d * zi)、ここで、riは資産iの実期待収益、αiは資産iの推定期待収益、dは誤差の標準偏差、ziは平均0および標準偏差1の正規確率変数(normal random variable)である。
・絶対差モデル: ri = αi + d * zi、ここで、riは資産iの実期待収益、αiは資産iの推定期待収益、dは誤差の標準偏差、ziは平均0および標準偏差1の正規確率変数である。
【００６２】
CAPMモデルによれば、より高い収益を有する資産は、より高いリスクまたは収益のより高い分散を有する。したがって、期待収益の推定の誤差は、期待収益の値に比例すべきである。この最後の観察を考慮に入れて、発明者らは、いくつかの実施形態において相対誤差モデルについて検討する。
【００６３】
II. 平均-分散効率的集合のための信頼領域:
いくつかの実施形態において生じる標準ポートフォリオ最適化問題について検討する。
【００６４】
【数１】
2010524079.tif 000003
【００６５】
ここで、γはリスク回避度パラメータ、αは推定期待収益のベクトル、hはポジションドル(position dollar)のベクトル、Risk(h)はリスク関数、Qは実現可能ポートフォリオの集合である。γが無限大(infinity)に接近した場合、問題(1)は、以下の問題と等価になる。
【００６６】
【数２】
2010524079.tif 000004
【００６７】
γが0に接近した場合、問題(1)は、以下の問題と等価になる。
【００６８】
【数３】
2010524079.tif 000005
【００６９】
「t」は、収益対リスクトレードオフ係数(return versus risk tradeoff coefficient)を表し、
【００７０】
【数４】
2010524079.tif 000006
【００７１】
ここで、h(1)、h(2)、およびh(3)は、それぞれ、問題(1)、問題(2)、および問題(3)の最適解である。
【００７２】
実期待収益のベクトルを用いる修正最適化問題について検討する。
【００７３】
【数５】
2010524079.tif 000007
【００７４】
ここで、rは実期待収益のベクトルである。h(r)を問題(5)の最適ポートフォリオとする。実収益ベクトルがrである場合、このポートフォリオの収益はrTh(r)である。発明者らは、h(r)と同じレベルのリスクを有する、収益ベクトルαに関する最適ポートフォリオh(α)が、以下を有することを見出した。
【００７５】
【数６】
2010524079.tif 000008
【００７６】
ポートフォリオh(r)とh(α)の収益の相対的差は、t、d、およびzの関数である。
【００７７】
【数７】
2010524079.tif 000009
【００７８】
ポートフォリオh(1)とh(r)のRiskの相対的差は、γ、d、およびzの関数である。
【００７９】
【数８】
2010524079.tif 000010
【００８０】
変数zは正規確率変数であり、そのため、ポートフォリオh(r)とh(α)の予想相対収益差は、t、dの関数である。
δ(t, d) = Ez(D(t, d, z))  (9)
【００８１】
高リスク回避度に対応する最適ポートフォリオは、最小分散ポートフォリオに接近し、低リスク回避度に対応する最適ポートフォリオと比べて、はるかに僅かしか期待収益ベクトルの誤差に影響されない。関数δ(t, d)は、tが0である場合、0に等しく、tの増加につれて増加する。同様に、関数δ(t, d)は、dが0である場合、0に等しく、dの増加につれて増加する。
【００８２】
RUpは、Riskの予想相対増加を表す。
RUp(t, d) = Ez(-R(t, d, z) | R(t, d, z) < 0)  (10)
また、発明者らは、RDownによって、Riskの予想相対減少を表す。
RDown(t, d) = Ez(R(t, d, z) | R(t, d, z)≧0)  (11)
【００８３】
関数Return(x)は、期待収益αのベクトルおよびリスク関数Risk(h)についての平均-分散効率的フロンティアを表し、ここで、Return(x)の値は、分散xを有する最適ポートフォリオの収益である。今、トレードオフ係数tに対応する平均-分散効率的フロンティア上の与えられた点(x*, Return(x*))と、標準偏差dに対して、点の集合Ω(t, d)を定義する。
【００８４】
【数９】
2010524079.tif 000011
【００８５】
直観的に、それは、期待収益のベクトルの異なる実現について得られたほとんどの最適ポートフォリオよりも平均-分散効率的フロンティアから大きく逸れていない、平均-分散点の集合である。
【００８６】
III. 関数δ、RUp、およびRDownの推定:
例えば、トレードオフ係数tの10個の値と誤差の標準偏差dの10個の値のすべての可能な組合せについて、モンテカルロシミュレーション(Monte Carlo simulation)を使用して、例えば、関数δ、RUp、およびRDownを推定することが可能である。研究の結果は、例えば、表に要約することができる。以下のテーブル1−テーブル3（表1−表3）は、いくつかの例示的な表にまとめられた結果を示している。例えば、トレードオフおよび標準偏差の特定の値xおよびyについて関数を計算するために、t1≦x≦t2およびd1≦y≦d2であるような、トレードオフの値t1およびt2と、標準偏差の2つの値d1およびd2を、表内に見出すことができる。
【００８７】
【表１】
2010524079.tif 000012
【００８８】
【表２】
2010524079.tif 000013
【００８９】
【表３】
2010524079.tif 000014
【００９０】
IV. 信頼領域のための制約集合:
与えられたリスク回避度パラメータと標準偏差dに対して、問題(1)の最適ポートフォリオh*を見出すことが可能である。今、h*に対応するトレードオフ係数tを計算し、ポートフォリオリスクに以下の上限を設定することができる。
Risk(h)≦Risk(h*) * (1 + RUp(t, d))  (13)
【００９１】
ポートフォリオの期待収益に下限を設定するには、以下の問題を解かなければならない。
【００９２】
【数１０】
2010524079.tif 000015
【００９３】
この解を使用して、以下のように制約を確立することができる。
αTh≧αTh'*(1 - δ(t, d))  (15)
【００９４】
いくつかの実施形態におけるシャープレシオの計算:
いくつかの実施形態では、良好性の尺度としてのシャープレシオに基づいて資産のポートフォリオの最適化を提供できる、オプティマイザが提供される。好ましくは、システムは、期待収益および予想リスクに基づいて、事前最大化を提供することができる。ただ事後方式で回顧的にシャープレシオを使用する代わりに、実施形態は、シャープレシオに基づいた前向きの最適化を提供することができる。したがって、本発明のいくつかの実施形態では、例えば、シャープレシオの最大化に基づいた、独特な形態のポートフォリオ最適化を提供することができる。
【００９５】
I. 定義および仮定:
いくつかの実施形態では、標準的な目的関数は、集合Q(この集合はポートフォリオに課される制約によって定義される)に属するすべてのポートフォリオhにわたる、いくつかの係数で乗じられた以下の項の合計の最大化である。
α(h)-最終ポートフォリオの期待収益。
Risk(h)-ポートフォリオの取得価額(basis)で除算された最終ポートフォリオ(または最終ポートフォリオとベンチマークポートフォリオの間の差)の収益の分散。
TC(h)-現在のポートフォリオを最終ポートフォリオにする取引の取引コスト。
TaxCost(h)-最終ポートフォリオに推移した後の総税額(total tax liability)。
Penalties(h)-何らかのソフト制約(soft constraint)の違反および「ほとんど長期に近い(almost-long-term)」利益の実現に対するペナルティ。
【００９６】
好ましくは、最適ポートフォリオ選択問題では、相対的に低い値のRisk、TC、TaxCost、およびPenaltiesで期待収益を最大化する、ポートフォリオが探される。その点に関して、αの前には正値の係数が、他のすべての項の前には負値の係数が置かれる。Riskを除くすべての項を1つの項A(h)にグループ化することができ、それを「調整収益(adjusted return)」と呼ぶことができる。この項は、すべての追加費用を計算に入れた後の総収益を表す。Risk項の前の係数は-γによって表すことができ、ここで、γはリスク回避度パラメータである。このパラメータは、潜在的投資ポートフォリオのリスクと収益の間のトレードオフを確立することができる。
【００９７】
いくつかの実施形態では、代替的な目的関数は、潜在的投資ポートフォリオh∈Qの報酬対変動性比率(reward-to-variability ratio)Sの最大化とすることができる。
【００９８】
【数１１】
2010524079.tif 000016
【００９９】
この比率は、シャープレシオまたはシャープの尺度として知られている。この場合、Riskは、最終ポートフォリオの収益の分散である。最終ポートフォリオとベンチマークポートフォリオの間の差の収益の分散は、シャープレシオ用のRiskとしては使用されない。加えて、標準的な目的関数においては、Riskはポートフォリオ取得価額Bで除算されるが、シャープレシオにおいては、RiskをBで除算すべきではない。
【０１００】
II. いくつかの実施形態におけるシャープレシオの発見:
いくつかの実施形態では、Sの代わりにS2を最大化することが可能である。したがって、分母におけるRiskの平方根は除去される。
【０１０１】
最初に、A2が、その区分的線形近似(piece-wise linear approximation)と置き換えられる。その点に関して、Aの下限および上限は、Sを最大化するAの値がこれらの境界の間に存在するように見出される。
【０１０２】
A. 境界発見アルゴリズム:
いくつかの実施形態では、境界発見アルゴリズムが使用される。いくつかの実施形態では、そのアルゴリズムは、実質的に以下を含むことができる。
・問題: max{h∈Q}A(h)に対する最適解h*を発見する;
・  UpperBound = A(h) に設定する;
・  LowerBound = A(h*) / 2 に設定する;
・  S1 = A(h*) / sqrt(Risk(h*)) に設定する;
・  flag= 1 に設定する;
・  問題: max{h∈Q, A(h)==LowerBound}Risk(h) に対する最適解h*を発見する;
・  S2 = A(h*) / sqrt(Risk(h*)) に設定する;
・  もし (S2 < S1) ならば flag = 0;
・  while (flag) （flagが真の間以下をループする）{
・    LowerBound /= 2.0;
・    S1= S2;
・    問題: max{h∈Q, A(h)==LowerBound}Risk(h)に対する最適解h*を発見する;
・    S2 = A(h*) / sqrt(Risk(h*)) に設定する;
・    もし (S2 < S1) ならば flag = 0;
・    そうでなければ UpperBound = LowerBound*2.0;
・  }
【０１０３】
上記のアルゴリズム中のほとんどの場合において、LP(線形計画(linear program))が、3回解かれる。このアルゴリズムは、Aの下限および上限それぞれの値LowerBoundおよびUpperBoundを得て終了する。Aを表し、A2についての区分的線形近似A2を生成するために、連鎖(link)の集合I1, I2, ..., Inが定義され、ここで、I1 = LowerBoundおよびIn = UpperBoundである。すべてのi < n-1について、Ii+1 = Ii(1 + b)と設定され、In≦In-1(1 + b)であり、nはこれらの条件を満たすように選択されるべきである。A2によるA2の近似における与えられた相対誤差値(1 + e)に対して、以下のように設定する。
【０１０４】
【数１２】
2010524079.tif 000017
【０１０５】
単に例示的な一例として、e = 0.0002である場合、A2の近似における誤差は、最大でも1.0002であり、Sの最終誤差は、最大でも1.0001である。いくつかの実施形態では、eの値は、例えばコンピュータ入力デバイスを介して選択できる、ユーザ選択変数である。
【０１０６】
今では、最大シャープレシオSを発見することが可能である。Sの初期値は、先のアルゴリズムから得たS1の値に等しく設定される。
【０１０７】
B. シャープレシオ発見アルゴリズム:
いくつかの実施形態では、シャープレシオ発見アルゴリズムが提供される。いくつかの実施形態では、そのアルゴリズムは、実質的に以下を含むことができる。
・  LastS = 0 に設定する;
・  while(S - LastS > 0.001) （S - LastS > 0.001 の間以下をループする）{
・    問題: X = max{h∈Q}[A2(h) - S * S * Risk(h)]に対する最適解h*を発見する;
・    LastS = S に設定する;
・    S = sqrt(S * S + X / Risk(h*)) に設定する
・  }
【０１０８】
いくつかの実施形態では、アルゴリズムは、シャープレシオSの最適値と、このレシオを達成するポートフォリオh*を出力する。いくつかの実施形態では、計算時間を短縮するために、最適化は、各反復において、直前の反復において得られた最適解から開始する。
【０１０９】
III. 実施形態における方法の収束:
上記の「境界発見」アルゴリズムでは、調整収益の最大可能値のところで問題が生じる。いくつかの実施形態では、この数は、アルゴリズムのステップ毎に2分の1だけ減少する。いくつかの実施形態では、アルゴリズムは、調整収益の現在のレベルに対応するシャープレシオの最良値が、直前の反復におけるシャープレシオよりも低くなったときに終了する。ほとんどの場合、シャープレシオの最大値は、調整収益が最大調整収益と最大調整収益の半分との間に収まるように達成される。
【０１１０】
「シャープレシオ発見」アルゴリズムでは、各反復において、最大シャープレシオ値Sの更新された推測が使用される。これは、アルゴリズムの第i反復において得られたS、h*、およびXの値に対応する、Si、hi、およびXiによって表される。すべてのポートフォリオhについて、Xiは第i反復における最適化問題の最大値であるので、以下を得る。
【０１１１】
【数１３】
2010524079.tif 000018
【０１１２】
第i+1反復の最適ポートフォリオhi+1を不等式(1)に代入することによって、以下を得る。
【０１１３】
【数１４】
2010524079.tif 000019
【０１１４】
今、第i+1反復は、以下のようになり、
【０１１５】
【数１５】
2010524079.tif 000020
【０１１６】
ここで、
【０１１７】
【数１６】
2010524079.tif 000021
【０１１８】
である。今、(4)を(3)に代入して、以下を得る。
【０１１９】
【数１７】
2010524079.tif 000022
【０１２０】
最後に、(2)と(5)をまとめて、以下を得る。
【０１２１】
【数１８】
2010524079.tif 000023
【０１２２】
最後の不等式から、アルゴリズムの以下の特性を結論することが可能である。
・アルゴリズムのすべての反復iについて、Xi≧Xi+1を得る。
・アルゴリズムのすべての反復iについて、Risk(hi)≧Risk(hi+1)である。
・Xi / 2≦Xi+1であるならば、Risk(hi) / 2≧Risk(hi+1)である。
【０１２３】
これらの特性は、アルゴリズムがシャープレシオの最適値に指数関数的な速度で収束することを示している。
【０１２４】
いくつかの実施形態におけるマルチポートフォリオ最適化:
本発明のいくつかの実施形態では、最適化システムは、例えば、ポートフォリオ管理者が、1人または複数人のクライアントのためにポートフォリオを管理し、クライアントが、資産の異なるポートフォリオを有する状況に対処することができる。いくつかの実施形態では、システムは、(例えば個人スケールなどの)単に小さなスケールでのリバランスの代わりに、大きなスケールでポートフォリオをリバランスできるように適合される。例えば、システムは、各個人に何らかの売買を個別に行わせることなく、大きなスケールでリバランスすることができる。注目すべきこととして、個々のアカウントは異なり得るが、それにも関わらず、それらはしばしば、そのポートフォリオ内に共通の資産を有することがある。
【０１２５】
いくつかの実施形態では、システムは、(例えばアカウント別ベースなどの)より小規模または個別ベースで最適化を実行し、どの結果がやはりマルチポートフォリオの必要性を満たすかを評価する。したがって、ある実施形態は、基本的に、個別アカウントを最適化し、それらを集約することができる。この最適化に基づいて、システムは、複数のアカウントにわたって最適化されたポートフォリオを提供する結果を生成することができ、潜在的な取引コストを低減し、必要とされる売買の頻度を減少させ、および/または他の利点を提供する。
【０１２６】
1. 定義および仮定:
いくつかの実施形態における標準的な最適化問題は、ポートフォリオに課される制約によって定義される制約集合Qに属するすべてのポートフォリオhにわたって、ある目的関数Ω(h)を最大化することを含む。マルチポートフォリオ最適化(multi-portfolio optimization)においては、K個のポートフォリオが存在し、すべてのポートフォリオhk、k=1,...,Kについて、目的関数Ωk(hk)および制約集合Qkが存在する。加えて、合計ポートフォリオΣk=1,K hkは、合計ポートフォリオの制約集合Qを満たすべきである。
【０１２７】
hkOpt、k=1,…,Kは、目的関数Ωkの値を最大化する、hkOpt∈Qkであるようなポートフォリオを表す。多くのポートフォリオ管理者は、例えば、以下のマルチポートフォリオ最適化問題、すなわち、Σk=1,K hk∈Qであり、すべてのポートフォリオhkについて、hk∈Qkとなり、Ωk(hk)の値が最適値Ωk(hkOpt)に接近するような、K個のポートフォリオh1,...,hKからなる最適集合を見出すという問題を有する。いくつかの実施形態では、Ωk(hk)とΩk(hkOpt)の間の距離について、以下の2つの異なる尺度を使用することができる。
・相対的尺度: 以下の式の最小値。
【０１２８】
【数１９】
2010524079.tif 000024
【０１２９】
・絶対的尺度: 以下の式の最小値。
Ωk(hkOpt) - Ωk(hk)
【０１３０】
ポートフォリオ管理者が、各ポートフォリオの目的関数の値をその最大値にパーセンテージ（百分率）で接近させたいと望む場合、相対的尺度が使用できる。代替として、ポートフォリオ管理者が、これらの値をドルで接近させたいと望む場合、絶対的尺度が使用できる。
【０１３１】
II. マルチポートフォリオ最適化のアルゴリズム:
いくつかの実施形態では、マルチポートフォリオ最適化のアルゴリズムは、実質的に以下を含むことができる。
【０１３２】
アルゴリズムの第1のステップにおいて、すべてのk、k=1,...,Kについて、最適ポートフォリオhkOpt∈Qkを見出すことが可能である。
【０１３３】
アルゴリズムの第2のステップにおいて、以下の2つのケースを区別することが可能である。
【０１３４】
相対的尺度: 以下の制約下でスカラ変数xの値を最大化する。
【０１３５】
【数２０】
2010524079.tif 000025
【０１３６】
・絶対的尺度: 以下の制約下でスカラ変数yの値を最小化する。
【０１３７】
【数２１】
2010524079.tif 000026
【０１３８】
相対的尺度の場合、Ωk(hkOpt)の値は正値であることが仮定される。それが負値である場合、変数xの値は、最大化される代わりに最小化される。
【０１３９】
加えて、請求項に記載の本発明は、グローバル制約を受ける複数のポートフォリオを最適化することができる。この最適化は、与えられた適用可能な制約下で許容可能解に達するために、複数のラウンドを必要とすることがある。本発明の一実施形態が、図8で説明されており、より詳細には、図9に示されている。
【０１４０】
図8は、本発明の方法およびシステムの一例を説明するフローチャートである。プロセス800では、システムは、ステップ802において、複数のポートフォリオについてのデータを受け取る。システムは、次にステップ804において、すべての必要なデータが存在し、正しいことを保証するために、チェックを実行する。システムは、次にステップ806において、グローバル制約を受け取る。これらの制約は、複数のポートフォリオの合計を最適化する際に検討される。使用され得るいくつかのグローバル制約は、限定することなく、売買される総資産(パーセンテージ、数量、金額)、売却される総資産(パーセンテージ、数量、金額)、購入される総資産(パーセンテージ、数量、金額)、許容可能なリスクレベル、取引コスト、レイトカマー(late comer)、およびクロッシング(crossing)に関係する。
【０１４１】
次にステップ808において、システムは、個別ポートフォリオを最適化する際に使用されるパラメータを受け取る。システムは、次にステップ810において、個別ポートフォリオに対して個別最適化パラメータを使用して、ポートフォリオを個別に最適化する。この新たに最適化された資産データは、次にステップ812において、集約され、集約最適化資産データは、ステップ814において、それがグローバル制約の境界内にあるかどうかを判定するためにチェックされる。集約最適化資産データがグローバル制約を満たす場合、各ポートフォリオの最適化された資産データが、ステップ816において、表示される。しかし、集約最適化資産データがグローバル制約を満たすことに失敗した場合、個別ポートフォリオに課される制約が、ステップ818において、調整され、最適化の再実行が、ステップ810から開始される。このプロセスは、集約最適化資産データがグローバル制約を満たす時が来るまで、対話的に継続される。
【０１４２】
以下の例は、次のような本発明の非限定的な態様を説明する。
【０１４３】
3つのポートフォリオ(h)が存在し、各々は売買される3つの有価証券(S)を有する。
・h1: S1, S2, S3
・h2: S1, S2, S4
・h3: S1, S5, S6
【０１４４】
これら3つのポートフォリオの最適化は、以下のグローバル制約(MTOTAL)を受ける。
・MTOTAL-1: S1≦100の持分が売買される
・MTOTAL-2: S2≦100の持分が売買される
・MTOTAL-3: 総売買コスト≦$200
【０１４５】
これら3つのポートフォリオの最適化は、以下の個別制約(Mi)を受ける。説明および例の目的で、制約は、方式: MPORTFOLIO-CONSTRAINT NUMBER（Ｍ ポートフォリオ−制約番号）によって識別される。この例では、個別制約はグローバル制約に良く似ているが、これは実施形態の一例に過ぎない。別の実施形態は、対象物すなわち有価証券、または数量すなわち持分のいずれかについて、グローバル制約に似ていない個別ポートフォリオ制約を有することができる。別の実施形態は、部分的または全体的に、グローバル制約に良く似ていると共に異なってもいる個別制約を有することができる。この例では、個別制約は、以下に示されたものである。
M1-1: S1≦100の持分が売買される
M1-2: S2≦100の持分が売買される
M1-3: 総売買コスト≦$200
M2-1: S1≦100の持分が売買される
M2-2: S2≦100の持分が売買される
M2-3: 総売買コスト≦$200
M3-1: S1≦100の持分が売買される
M3-2: S2≦100の持分が売買される
M3-3: 総売買コスト≦$200
【０１４６】
各ポートフォリオが個別に最適化された場合、例の他のすべての局面が規則に適っていると仮定して、可能な結果は、以下のようになり得る。
・h1
○S1=100の持分が売買される
○S2=100の持分が売買される
○S3=100の持分が売買される
○総売買コスト= $100
・h2
○S1=100の持分が売買される
○S2=100の持分が売買される
○S4=100の持分が売買される
○総売買コスト= $10
・h3
○S1=100の持分が売買される
○S6=100の持分が売買される
○S5=100の持分が売買される
○総売買コスト= $10
【０１４７】
これらの個別ポートフォリオ最適化は、個別ポートフォリオに課される制約は満たすが、グローバル制約が満たされているかどうかを判定するために、集約資産データが、依然としてチェックされなければならない。集約最適化データは、以下のようになる。
300持分のS1が売買される
200持分のS2が売買される
100持分のS3が売買される
100持分のS4が売買される
100持分のS5が売買される
100持分のS6が売買される
総売買コスト= $300
【０１４８】
したがって、ポートフォリオのすべてにわたって売買されたS1およびS2の持分の数は、ポートフォリオ管理者が売買しようと意図した持分の総数を超過した。さらに、ポートフォリオのすべてにわたる売買のコストは、全体として、ポートフォリオの予定された最大売買コストを超過している。
【０１４９】
したがって、集約制約がマルチポートフォリオ最適化に課され得る場合、システムは、個別ポートフォリオに課される制約を調整し、最適化を再実行することができる。
【０１５０】
図9は、本発明がどのように個別ポートフォリオ制約を調整できるかの一例を説明するフローチャートである。ステップ902において、直前の最適化ラウンドの最中に、各ポートフォリオにおいて各持分(Si)がどれだけ売買されたかが決定される。ステップ904において、これらの個別持分数量は、ポートフォリオのすべてにわたって売買された持分の総数(STOTAL)を決定するために合算される。
【０１５１】
ステップ906において、この集約最適化資産データは、適用可能なグローバル制約(STOTAL > MTOTAL)に照らしてチェックされる。制約が満たされる場合、ステップ908において、最適化された資産データが表示される。ステップ906において、グローバル制約が満たされない場合、システムは、以下の方法で、個別ポートフォリオ最適化に課される制約を調整することができる。ステップ910において、「レイトカマー」が許容されるかどうかの決定が行われる。
【０１５２】
「レイトカマー」の許容は、以前の最適化ラウンドの最中にどのポートフォリオにおいても売買されたことがない有価証券を今回の最適化ラウンドにおいて売買することを可能にする。「レイトカマー」が許容されない場合、システムは、ステップ914において、各有価証券が以前の最適化ラウンドの最中に売買されたことがあるかどうかを調べるチェックを実行しなければならない。ある有価証券が以前の最適化ラウンドの最中に売買されたことがない場合、ステップ916において、次の最適化ラウンドにおいて売買できるその有価証券の持分の最大数(Mi)は、ゼロに等しく設定される。ある有価証券が以前の最適化ラウンドの最中に売買されたことがある場合、ステップ912において、次の最適化ラウンドの最中にある特定のポートフォリオにおいて売買できるその有価証券の持分の最大数(Mi)は、直前の最適化ラウンドの最中にすべてのポートフォリオにわたって売買された有価証券の持分の総数で除算されると共に、すべてのポートフォリオにわたって売買できる有価証券の持分の数に課されるグローバル制約を乗算された、直前の最適化ラウンドの最中に各ポートフォリオにおいて売買されたその有価証券の持分の数[Si * (MTOTAL / STOTAL)]に等しく設定される。
【０１５３】
次にステップ918において、システムは、「クロッシング」が許可されるかどうかを調べるチェックを実行する。「クロッシング」は、最適化されるマルチプルポートフォリオにおいて個別株式が購入されると共に売却される場合に生じる。「クロッシング」が許可される場合、ステップ926において、調整された制約を用いて、最適化が再実行される。「クロッシング」が許可されない場合、ステップ920において、最適化されるポートフォリオのすべてにわたって、購入された特定の有価証券の持分の総数(Si-BOUGHT)と売却された特定の有価証券の持分の総数(Si-SOLD)が決定されなければならない。
【０１５４】
ステップ922において、購入された特定の有価証券の持分の総数(Si-BOUGHT)が売却された特定の有価証券の持分の総数(Si-SOLD)より大きいかどうかが判定される。そうである場合、ステップ928において、次の最適化ラウンドの最中に売却できるその有価証券の持分の最大数は、ゼロに設定される。購入された特定の有価証券の持分の総数(Si-BOUGHT)が売却された特定の有価証券の持分の総数(Si-SOLD)より小さい場合、ステップ924において、次の最適化ラウンドの最中に購入できるその有価証券の持分の最大数は、ゼロに設定される。一実施形態では、「クロッシング」を防止するために、購入サイドまたは売却サイドがゼロに設定された場合、後続する最適化ラウンドの最中に使用される調整された制約は、ゼロに設定されていない購入サイドまたは売却サイドにのみ関係する。最後に、調整された制約を使用して、最適化が再実行される(ステップ926)。
【０１５５】
売買されたS1およびS2の持分の数と売買のコストがともにトレーダが意図した限界を超過した、図8を参照して開始された例を再び参照すると、個別ポートフォリオに課される制約は、今では以下のように調整される。
【０１５６】
「レイトカマー」および「クロッシング」がともに許可されると仮定すると、調整は以下のようになり得る。図10の公式Mi = Si * (MTOTAL / STOTAL)を使用すると、以下の計算が、次の最適化ラウンドにおいて売買できる各有価証券の持分の最大数をもたらす。
・M1-1: S1≦33の持分が売買される[100 * (100 / 300)]
・M1-2: S2≦50の持分が売買される[100 * (100 / 200)]
・M1-3: 総売買コスト≦$200
・M2-1: S1≦33の持分が売買される[100 * (100 / 300)]
・M2-2: S2≦50の持分が売買される[100 * (100 / 200)]
・M2-3: 総売買コスト≦$200
・M3-1: S1≦33の持分が売買される[100 * (100 / 300)]
・M3-2: S2≦50の持分が売買される[100 * (100 / 200)]
・M3-3: 総売買コスト≦$200
【０１５７】
したがって、次の最適化ラウンドは、以下のような結果をもたらし得る。
・h1
○S1=33の持分が売買される
○S2=50の持分が売買される
○S3=100の持分が売買される
○総売買コスト= $61
・h2
○S1=33の持分が売買される
○S2=50の持分が売買される
○S4=100の持分が売買される
○総売買コスト= $61
・h3
○S1=33の持分が売買される
○S5=100の持分が売買される
○S6=100の持分が売買される
○総売買コスト= $78
【０１５８】
今回の最適化ラウンドの集約データは、グローバル制約のすべてを満たす。合計の売買コストは、各有価証券の売買される持分の数の相違によって、グローバル制約を満たすより低いレベルに低減された。制約を満たす集約データが以下に示されている。
S1=99の持分が売買される
S2=100の持分が売買される
S3=100の持分が売買される
S4=100の持分が売買される
S5=100の持分が売買される
S6=100の持分が売買される
総売買コスト= $200
【０１５９】
したがって、請求項に記載の本発明に従って制約を調整することによって、本発明の最適化は、複数のポートフォリオに全体的に課されるグローバル制約を満たすために、個別ポートフォリオ最適化に課される制約を調整することができる。
【０１６０】
III. 最適解および解決時間:
上記のアルゴリズムによって計算される、ポートフォリオh1,...,hKの最適集合は、Ωk(hkOpt)の値から目的関数Ωk(hk)の値までの相対または絶対距離の最大値を最小化し、最大値はすべてのポートフォリオh1,...,hKを対象として取られる。この集合は、合計ポートフォリオΣk=1,K hkに課される制約も満たす。したがって、解は、マルチポートフォリオ最適化においてポートフォリオ管理者によって必要とされる特性を満たす。
【０１６１】
いくつかの実施形態では、アルゴリズムの第1のステップを解くのに必要とされる時間は、すべてのポートフォリオhk、k=1,...,Kについて最適解を見出す時間に実質的に等しい。これは、合計ポートフォリオに課される付加的な制約がなくても解かれる。第2のステップにおいて、さらにもう1つの最適化問題が解かれる。しかし、これは、第1のステップにおける解決の時間よりも実質的に長い時間を費やすべきではない。いくつかの実施形態では、第1のステップで得られた最適解は、合計ポートフォリオに課される制約が緩和された場合、第2のステップにおける問題の最適解であるという事実を使用することができる。したがって、緩和された問題の場合、最初に2重の解(dual solution)を計算することができる。次に、これを初期実現可能解として使用して、アルゴリズムの第2のステップにおける問題と対をなす問題を解くことができる。この手法は、アルゴリズムの第2のステップにおける最適解の発見を高速化することができる。
【０１６２】
IV. マルチポートフォリオ最適化のための目的ベースのアルゴリズム:
図10を参照すると、本発明のいくつかの実施形態によれば、関数の数値の望ましさをより低下させるように個別最適化目的関数を調整することによって、さらなる「隠された」最適化に達することが可能である。この調整は、個別最適化目的関数を“罰すること(punishing：パニッシュすること)”とも呼ばれることがある。
【０１６３】
マルチポートフォリオ最適化は、個別ポートフォリオ制約およびグローバル制約を受ける複数の個別ポートフォリオ目的の線形積(linear product)である、目的関数として公式化することができる。個別に最適化される場合の個別ポートフォリオ目的関数の最適値は、Ω*iとして表すことができ、ここで、i=1,...,nはポートフォリオである。グローバル制約が課されて最適化される場合の個別ポートフォリオ目的関数の最適値は、Ωistartとして表すことができ、ここで、i=1,...,nはポートフォリオである。したがって、個別ポートフォリオ目的最適化は、Ω*iとΩistartとの間の範囲内に含まれる。この範囲は、
【０１６４】
【数２２】
2010524079.tif 000027
【０１６５】
として表すことができる。Ω*i = Ωistartである場合、最適解は実現可能である(すなわちグローバル制約に違反しない)。
【０１６６】
これらの項を使用して、ΔΩiとして表される新しいスラック変数(slack variable)を、不等式
【０１６７】
【数２３】
2010524079.tif 000028
【０１６８】
によって定義することができる。スラック変数は、最適値からの各ポートフォリオの偏差を、その範囲の分数として測定する。この定義は、スラック変数が0から1の範囲に含まれることを保証し、ここで、0は最適値であり、1は単なる実現可能値である。スラック変数は、最適化の最中に望まれる特定の目的に依存しない。
【０１６９】
マルチポートフォリオの一部である個別ポートフォリオが異なるタイプの目的(例えば、リスク、トラッキング誤差、収益など)を有する場合、いくつかの個別ポートフォリオの過剰売買または過少売買がもたらされ得る。この状況は、ともに最適化されるマルチプルポートフォリオのサイズ差によって、しばしば突然引き起こされる。この状況では、すべてのポートフォリオが公平に売買されるように、個別ポートフォリオの目的を適切に増減または加重することが必要になることがある。
【０１７０】
図10は、グローバル制約を満たし、グローバル目的を最も良く満たすために、個別ポートフォリオ目的を“罰すること”を使用する、マルチポートフォリオ最適化を説明するフローチャートである。プロセス1000では、ステップ1002において、複数のポートフォリオのデータが受け取られる。ステップ1004において、すべての必要なデータが存在し、正しいことを保証するために、チェックが実行される。ステップ1006において、グローバル制約が受け取られる。
【０１７１】
グローバル制約は、複数のポートフォリオの合計を最適化する際に考慮される。使用されるいくつかのグローバル制約は、限定することなく、売買される総資産(パーセンテージ、数量、金額)、売却される総資産(パーセンテージ、数量、金額)、ACEコスト、購入される総資産(パーセンテージ、数量、金額)、許容可能なリスクレベル、取引コスト、レイトカマー、およびクロッシングに関係する。
【０１７２】
次にステップ1008において、個別ポートフォリオを最適化する際に使用される制約を受け取ることができる。ステップ1010において、最適化のグローバル目的が受け取られる。
【０１７３】
グローバル目的は、複数のポートフォリオの合計を最適化する際に考慮され、管理者が投資ポートフォリオにより包括的な管理戦略を適用することを可能にする。いくつかのグローバル目的は、限定することなく、リスク、収益、個別ポートフォリオ偏差の合計の最小化/最大化、または個別ポートフォリオ偏差の最小化/最大化/均等化に関係する。個別ポートフォリオ偏差は、スラック変数として表すことができる。
【０１７４】
次にステップ1012において、個別ポートフォリオを最適化する際に使用される個別ポートフォリオ目的が受け取られる。これらの目的は、リスクまたは収益に関係することができる。
【０１７５】
ステップ1014において、ポートフォリオは、個別ポートフォリオに課される制約および目的を使用して、個別に最適化される。この新たに最適化された資産データは、次にステップ1016において、集約され、集約最適化資産データは、ステップ1018において、グローバル制約の境界内にあるかどうかを判定するためにチェックされる。集約最適化資産データがグローバル制約を満たす場合、ステップ1020において、解がグローバル目的を最も良く満たすかどうかをチェックする判定が行われる。解がグローバル目的を満たす場合、ステップ1024において、ポートフォリオの最適化解が表示される。
【０１７６】
集約最適化資産データがグローバル制約を満たすことに失敗した場合、またはグローバル目的を満たすことに失敗した場合、個別目的関数が、ステップ1022において、“罰される（罰せられる）”と共に、最適化の再実行が、ステップ1014から開始される。最適化に課されるグローバル制約を満たそうとする努力の一環として、目的が罰される。ラグランジュ緩和(Lagrangian Relaxation)の技法が使用できる。目的関数が“罰される”数量は、最適化分野で良く知られた技法であるラグランジュ緩和法の一部の、ラグランジュ双対問題(Lagrangian Dual Problems)を使用して決定される。
【０１７７】
マルチポートフォリオ最適化にグローバル目的を適用することは必ずしも必要ではないが、このオプションは、マルチポートフォリオ最適化の解法においてヒストリカルには利用可能でなかった、さらなるレベルのコントロールを提供する。グローバル目的の2つの例は、個別ポートフォリオ偏差の合計の最小化と、最悪個別ポートフォリオ偏差の最小化である。これらの例は、以下でさらに詳細に説明される。
【０１７８】
不均衡なサイズのポートフォリオ間の公平性
目的および制約をマルチプルポートフォリオにわたって最適化する場合、マルチプルポートフォリオの個別アカウントのすべてが売買される持分の累積数によって結び付けられるので、不均衡なサイズのポートフォリオが一緒に最適化されるときは、意図しない結果が生じ得る。具体的には、2つ以上のポートフォリオが、異なるサイズであり、売買される共通の資産を有する場合、より大規模なポートフォリオが、場合によっては、より小規模なポートフォリオの売買に悪影響を及ぼす。
【０１７９】
例えば、2つのポートフォリオAおよびBが、最適化されるときに、IBM株を個別に購入するとする。ポートフォリオAは、ポートフォリオBよりも10倍大きく、ポートフォリオAは、100,000株購入する必要があり、一方、ポートフォリオBは、10,000株購入しさえすればよい。しかし、ポートフォリオAの100,000株の購入は、IBM株の価格を押し上げ、ポートフォリオBのより僅かな10,000株の購入に悪影響を及ぼす。
【０１８０】
加えて、公平性を確立するため、本発明は、いくつかの実施形態では、クロッシングが許容される状況において、ポートフォリオ間で取引コストを分割することを可能にする。例えば、多数の持分を売買する大規模ポートフォリオは、少数の持分を売買する小規模ポートフォリオよりも小さな持分当たりの取引コストしか負担しない。したがって、クロッシングが許容され、大規模ポートフォリオがクロッシングから利益を得る状況において、より小規模なポートフォリオに悪影響が及ぶことを防止しようとする努力の一環として、小規模ポートフォリオの売買に関連する取引コストは、全体的または部分的に、より大規模なポートフォリオに再分配することができる。
【０１８１】
したがって、本発明の一実施形態によれば、最適化システムおよび方法は、不均衡なサイズのポートフォリオが一緒に最適化される場合、意図しない結果がサイズ差からもたらされることを少なくするために、公平性を保証するための特徴を含むことができる。
【０１８２】
公平性の態様は、売買コストを低減すると同時に、ポートフォリオ間のクロス売買の数量を最適化することによって、および/またはより大規模なポートフォリオが同じ資産を大量に売買しているときは、より小規模なポートフォリオによる売買を削減もしくは排除することによって達成することができる。各有価証券の持分当たりの売買コストは、関連ポートフォリオのすべての管理者によって売買される有価証券の売買総量に依存するように設定される。売買コストをモデル化する際、最適化されるマルチプルポートフォリオ間で純売買量を分配するためのアルゴリズムは、各ポートフォリオの総計の交換価値（富）を考慮し、したがって、より大規模なポートフォリオの持分当たりの売買コストは、より安価になる。本発明の一実施形態は、以下のモデルに従って説明することができる。
【０１８３】
売買コストに関係する個別ポートフォリオiのモデルの部分は、以下のように提示することができ、
【０１８４】
【数２４】
2010524079.tif 000029
【０１８５】
ここで、wi(a)は、ポートフォリオiのうちの資産aの配分、bi(a)、si(a)は、それぞれ(ポートフォリオiの交換価値の一部分としての)資産aの購入量および売却量、hi(a)は、ポートフォリオのうちの資産aの初期保有資産、aは、資産の母集団、iは、個別ポートフォリオの番号である。
【０１８６】
クロッシングが許容される場合、最適化されたポートフォリオであるマルチプルポートフォリオのいくつかは、他のポートフォリオから有価証券を購入する。このタイプの取引は、「無料」である(すなわち追加の取引コストが発生しない)と見なされる。クロッシングされない持分の純残高のみが、オープン市場で購入または売却されなければならない。したがって、一般に、各ポートフォリオは、有価証券の外部的な購入および売却(量)に対してのみ取引費用を有する。
【０１８７】
【数２５】
2010524079.tif 000030
【０１８８】
すべてのポートフォリオについての純総量の不均衡は、以下の等式によって表すことができる。
【０１８９】
【数２６】
2010524079.tif 000031
【０１９０】
この等式は、以下の2つの不等式を用いて線形形式で書き直すこともできる。
【０１９１】
【数２７】
2010524079.tif 000032
【０１９２】
持分当たりの取引コストは、売買の純総量v(a)に依存する。持分当たりの取引コストは、以下を使用して見出すことができ、
【０１９３】
【数２８】
2010524079.tif 000033
【０１９４】
ここで、
【０１９５】
【数２９】
2010524079.tif 000034
【０１９６】
である。このモデルに基づいて、ポートフォリオにわたっての資産当たりの売買コストの配分は、資産の売買総量、ポートフォリオの交換価値、ポートフォリオ目的、およびポートフォリオ制約に依存する。
【０１９７】
したがって、大規模ポートフォリオのための売買のコストは、小規模ポートフォリオのための売買のコストよりも相対的に安価であるので、サイズが不均衡のポートフォリオにわたって配分される取引コストは、より大規模なポートフォリオにより大きく割り当てることができる。モデルへの売買コスト効用関数の導入によって、他の任意の優先権を課すことができる。
【０１９８】
クロッシングが「無料」取引ではない場合、モデルは、以下のように修正することができ、
【０１９９】
【数３０】
2010524079.tif 000035
【０２００】
ここで、tcrossは、クロス売買の売買当たりの取引コストである。しかし、クロッシングが許容されず、サイズが不均衡のマルチプルポートフォリオが同じ資産を同じ方向で売買する場合、より大規模なポートフォリオの売買によって助長される取引コストの増加のため、より小規模なポートフォリオのための売買を削減または完全に排除することが最善であることがある。
【０２０１】
以下の特徴を有する、サイズが不均衡の2つのポートフォリオを有する一例を挙げる。
【０２０２】
【表４】
2010524079.tif 000036
【０２０３】
クロッシングを行わず、公平性を考慮した、個別最適化とマルチポートフォリオ最適化の比較は、以下のようになる。
【０２０４】
【表５】
2010524079.tif 000037
【０２０５】
各ポートフォリオの個別最適化は、資産APC、BBY、およびBIIBの売買を必要とする。しかし、個別最適化は、ポートフォリオ1の量がポートフォリオ2よりも10倍小さくても、より小規模なポートフォリオ1は、より大規模なポートフォリオ2と同じだけの価格インパクト(price impact)に直面するという事実を考慮しない。
【０２０６】
マルチポートフォリオ最適化は、ポートフォリオ1によって感受される価格インパクトを認識し、ポートフォリオ1についてはAPC、BBY、およびBIIBの売買を必要としない、異なる配分を見出す。異なる配分は、僅かに高いトラッキング誤差をもたらすが、以下の表に示されるように、対応する効用損失は、売買コストの低減によってより大きく相殺される。
【０２０７】
【表６】
2010524079.tif 000038
【０２０８】
個別ポートフォリオ偏差の合計の最小化-方法A
個別ポートフォリオ偏差の合計の最小化をめざすマルチポートフォリオのグローバル目的は、ポートフォリオの集団的ΔΩiを最小化するために使用される。これは、ΔΩi(0と1の間の分数である、その最適値からの各ポートフォリオの偏差)の合計が、他のいずれかの個別目的が損なわれるまで、最小化されることを意味する。その最適値からの各個別ポートフォリオの偏差の最小化は、不均衡な売買量のために、より大規模なポートフォリオがより小規模なポートフォリオよりも優先権を与えられることがないことを保証する。
【０２０９】
個別ポートフォリオ偏差の合計の最小化をめざすマルチポートフォリオのグローバル目的は、数学的に以下のように提示することができる。
【０２１０】
【数３１】
2010524079.tif 000039
【０２１１】
ここで、
・X iは、個別ポートフォリオiの配分に課される制約の集合、
・x iは、個別ポートフォリオiの配分のベクトル、
・不等式E.3は、すべてのポートフォリオにわたるグローバル制約(売買される持分の総数または売買コスト)を提示する。
【０２１２】
このグローバル目的を満たそうと試みるマルチプルポートフォリオは、部分的に、個別に最適化され、グローバル制約遵守についてチェックされる。この目的に対する最良解は、Ω*i = Ωistartとして表すことができる各個別ポートフォリオの最適化解も、任意のグローバル制約下で実現可能な最適化解であることである。しかし、Ω*i = Ωistartが生じない状況では、個別目的は、すべてのポートフォリオにわたる合計偏差を最小化するために、“罰され”得る。
【０２１３】
最悪個別ポートフォリオ偏差の最小化-方法B
最悪個別ポートフォリオ偏差の最小化をめざすマルチポートフォリオのグローバル目的は、ポートフォリオの最悪個別ΔΩiを最小化するために使用される。これは、最悪偏差を有するポートフォリオのΔΩi(0と1の間の分数である、その最適値からの各ポートフォリオの偏差)が、他のいずれかの個別目的が損なわれるまで、改善されることを意味する。これは、小規模ポートフォリオが最悪偏差を有する場合に、小規模ポートフォリオの偏差を改善しようとする努力の一環として、大規模ポートフォリオの偏差が損なわれるといった、大規模ポートフォリオと小規模ポートフォリオの扱いが違ったものになることに対する安全措置である。場合によっては、このグローバル目的は、各ポートフォリオが等しいΔΩiを有する状況をもたらす。
【０２１４】
最悪個別ポートフォリオ偏差(F*)の最小化をめざすマルチポートフォリオのグローバル目的は、数学的に以下のように提示することができる。
【０２１５】
【数３２】
2010524079.tif 000040
【０２１６】
目的を使用するマルチポートフォリオ最適化の場合、Ω1startおよびΩ2startの値は、E.およびE.に影響される問題
【０２１７】
【数３３】
2010524079.tif 000041
【０２１８】
を解くことによって、得ることができる。E.6は、両方のポートフォリオ要件を満たすために売買されなければならない持分の最小数を見出す。
【０２１９】
このグローバル目的を満たそうと試みるマルチプルポートフォリオは、部分的に、個別に最適化され、グローバル制約遵守についてチェックされる。この目的に対する最良解は、Ω*i = Ωistartとして表すことができる各個別ポートフォリオの最適化解も、任意のグローバル制約下で実現可能な最適化解であることである。しかし、Ω*i = Ωistartが生じない状況では、次善の解は、各ポートフォリオのΔΩiが等しい解である。この解に到達するため、個別目的は、最悪個別ポートフォリオ偏差を最小化するために、“罰され”得る。
【０２２０】
(実施例)
(グローバル目的を用いるマルチポートフォリオの実施例)
提案された手法が、以下の2つの例において今から示される。各例において、S&P 500を「母集団」とする2つのロング（買い持ち）のみのポートフォリオ(n=2)が最適化される。この例において使用されるデータは、2006年12月31日のITG日次リスクモデルファイル(31-Dec-2006 ITG-daily risk model file)から採られており、特定のリスク値は、アルファおよび終値である。
【０２２１】
(実施例1)
第1の実施例では、2つのポートフォリオは、現金の配分を有し、第2の実施例では、これらのポートフォリオは、異なる要件を用いてリバランスされている。
【０２２２】
第1の実施例では、関連情報は、以下の通りである。
【０２２３】
【表７】
2010524079.tif 000042
【０２２４】
ポートフォリオ1および2は、200,000持分の売買総量によって制限される。範囲
【０２２５】
【数３４】
2010524079.tif 000043
【０２２６】
を計算するため、両方のポートフォリオが個別に最適化され、値Ω1*、Ω2*が得られた。Ω1start、Ω2startの値は、問題E.10を解くことによって得られた。これらの計算の結果は、以下の通りである。
【０２２７】
【表８】
2010524079.tif 000044
【０２２８】
方法AおよびBならびに発見的手法の下におけるこれらのポートフォリオのマルチポートフォリオ最適化結果のグラフ表現が、図11および図12に示されている。図11に示されるように、発見的方法は、ポートフォリオ1をポートフォリオ2よりも大きく優先させ、したがって、ポートフォリオ1は、ほぼその個別最適値に最適化される。しかし、ポートフォリオ2は、非制約問題の解から20%よりも大きく乖離していることも示されている。この結果を方法AおよびBの結果と比較すると、グローバル目的を使用することによって、マルチポートフォリオ最適化のより良くコントロールされた方法が実施できることが分かる。図12は、最適化は異なるものの、ポートフォリオにおいて売買される持分の総数は、グローバル制約の200,000持分をまだ遵守していることを示している。図11および図12を作成する際に使用されたデータは、以下のテーブル4（表9）、テーブル5（表10）、テーブル6（表11）、およびテーブル7（表12）内に見出すことができる。
【０２２９】
【表９】
2010524079.tif 000045
【０２３０】
【表１０】
2010524079.tif 000046
【０２３１】
【表１１】
2010524079.tif 000047
【０２３２】
【表１２】
2010524079.tif 000048
【０２３３】
(実施例2)
実施例2は、グローバル制約、個別制約、グローバル目的、および個別目的を含む、より複雑なシナリオである。
【０２３４】
第2の実施例では、関連情報は、以下の通りである。
【０２３５】
【表１３】
2010524079.tif 000049
【０２３６】
ポートフォリオ1および2は、$40000.00の売買総コストによって制限される。範囲
【０２３７】
【数３５】
2010524079.tif 000050
【０２３８】
を計算するため、両方のポートフォリオが個別に最適化され、値Ω1*、Ω2*が得られた。Ω1start、Ω2startの値は、問題E.10を解くことによって得られた。これらの計算の結果は、以下の通りである。
【０２３９】
【表１４】
2010524079.tif 000051
【０２４０】
ポートフォリオの個別最適化の結果は、グローバル制約を満たさない。具体的には、売買総コストを$40000.00に制限するグローバル制約は、満たされていない。したがって、個別目的は、“罰される”。
【０２４１】
さらに、この例は、クロッシングがポートフォリオ最適化の最中に売買総コストに影響する制約となり得る可能性を考慮する。具体的には、この例では、売買コストは、クロッシングが許容されない場合には、より高価になる。売買コスト欄の数字を囲む括弧は、それがクロッシングであり、クロッシングが許容されない場合には、それだけの増加コストが発生することを表す。
【０２４２】
図13は、クロッシングが許容される環境における、方法AおよびBを使用した最適化の後の、ポートフォリオの偏差を示している。図14は、クロッシングが許容されない環境における、方法AおよびBを使用した最適化の後の、ポートフォリオの偏差を示している。クロッシングが許容されない場合に偏差がより大きいことが認められる。これは、少なくとも部分的に、非クロッシング売買のコスト増加が原因であり、そのコスト増加は、その後、グローバル売買コスト制約を超過する前にポートフォリオ内で行い得る売買の数を減少させた。
【０２４３】
図13を作成するために使用されたデータは、テーブル8（表15）およびテーブル9（表16）内に見出すことができ、図14を作成するために使用されたデータは、テーブル10（表17）およびテーブル11（表18）内に見出すことができる。
【０２４４】
【表１５】
2010524079.tif 000052
【０２４５】
【表１６】
2010524079.tif 000053
【０２４６】
【表１７】
2010524079.tif 000054
【０２４７】
【表１８】
2010524079.tif 000055
【０２４８】
本明細書では、本発明の例示的な実施形態が説明されたが、本発明は、本明細書で説明された様々な実施形態に限定されず、本開示に基づいて当業者によって理解されるような、修正、省略、(例えば様々な実施形態にわたる態様の)組合せ、適合、および/または変更を有する、任意およびすべての実施形態を含む。請求項における限定は、請求項で利用される言語に基づいて広義に解釈されるべきであり、本明細書または出願遂行中に説明された例に限定されず、そうした例は、非排他的に解釈されるべきである。例えば、本開示では、「好ましくは」という語は、非排他的であり、「好ましいが、それらに限定されない」という意味である。手段プラス機能(means-plus-function)限定またはステッププラス機能(step-plus-function)限定は、特定の請求項の限定に対して、以下の条件、すなわち、a)「ための手段(means for)」または「ためのステップ(step for)」という文言が明白に述べられている、b)対応する機能が明白に述べられている、c)構造、材料、またはその構造を支援する行為が述べられていない、という条件のすべてがその限定中に存在する場合にのみ利用される。
【符号の説明】
【０２４９】
320  コンピュータ
322  中央処理装置(CPU)
324  入力/出力(I/O)デバイス
326  バス
328  メモリ
330  市場および会計データ
338  ソフトウェア
340  モジュール
341  モジュール
【図１】
2010524079.tif 000056
【図２】
2010524079.tif 000057
【図３】
2010524079.tif 000058
【図４】
2010524079.tif 000059
【図５】
2010524079.tif 000060
【図６】
2010524079.tif 000061
【図７】
2010524079.tif 000062
【図８】
2010524079.tif 000063
【図９】
2010524079.tif 000064
【図１０】
2010524079.tif 000065
【図１１】
2010524079.tif 000066
【図１２】
2010524079.tif 000067
【図１３】
2010524079.tif 000068
【図１４】
2010524079.tif 000069
【国際調査報告】
2010524079.tif 000070