(57)【要約】  本発明は、複素信号を処理する方法であって、信号を複素数の形式で取得する工程と、関連付けられた超複素成分を、取得された複素信号に基づいて求める工程であって、上記成分が、少なくとも、取得された複素信号の位相の時間に対する導関数に対応する工程と、それによって求められた超複素信号を処理する工程であって、上記処理から結果として生じる信号が、取得信号の成分の数よりも大きな成分数を含む工程とを含む方法に関する。
2010538718.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
複素信号を処理する方法であって、
信号を複素数として取得する工程と、
関連付けられた超複素成分を、取得された複素信号から求める工程であって、前記成分が、少なくとも、前記取得された複素信号の位相の時間導関数に対応する工程と、
それによって求められた超複素信号を処理する工程であって、前記処理から結果として生じる信号が、前記取得信号の成分の数よりも大きな成分数を含む工程とを含む方法。
【請求項２】
請求項１記載の方法であって、前記取得前に、求められた空間における少なくとも２つの次元でオブジェクトを符号化する工程を含む方法。
【請求項３】
請求項２記載の方法であって、符号化された空間次元それぞれには、前記空間を使用するために使用される別々の導関数の線形結合によって形成される多項式が関連付けられ、前記多項式は、直交である２つの直交次元に関連付けられる方法。
【請求項４】
請求項２乃至３のうちの何れか一項に記載の方法であって、前記符号化する工程は、前記信号の各点の時間導関数として求められる、前記空間の前記信号の点毎に、特徴付ける情報を生成し、よって、前記符号化空間の各点には超複素数が関連付けられ、その成分は、前記点を空間的に特徴付ける別の時間導関数の値である方法。
【請求項５】
請求項１乃至４のうちの何れか一項に記載の方法であって、前記取得信号の各点には、超複素数が関連付けられ、その成分は、空間を符号化するために使用される、別々の時間導関数の値である方法。
【請求項６】
請求項１乃至５のうちの何れか一項に記載の方法であって、他方で、請求項４記載の空間の点を符号化するための超複素行列により、一方で、請求項５記載の取得信号に形成された超複素ベクトルによって形成される線形等式系を超複素空間において解くことにより、点の空間密度を信号から求める工程を含む復号化工程を更に含む方法。
【請求項７】
請求項１乃至６のうちの何れか一項に記載の方法であって、核磁気共鳴システムにおいて適用され、処理する対象の信号が核磁気共鳴信号である方法。
【請求項８】
請求項４記載の方法であって、前記符号化が、磁場グラディエントによって行われる方法。
【請求項９】
核磁気共鳴撮像システムであって、請求項１乃至８のうちの何れか一項に記載の方法を適用する手段を備える核磁気共鳴撮像システム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、超複素数による信号の取得及び処理に関し、効果的には、核磁気共鳴の分野に適用される。
【背景技術】
【０００２】
核磁気共鳴における信号処理の一般的な理論的事項
核磁気共鳴（ＮＭＲ）は、複素系の縮退を削減する（すなわち、複素系について、存在する分子、その量、及びその位置を空間中において求める）ことを可能にする手法である。
【０００３】
ＮＭＲ実験では、それがどのようなものであっても、信号が、陰時間関数又は陽時間関数として取得される。
【０００４】
測定される量は、磁化（回転磁気モーメントの和）であり、小さな差分要素によってもたらされるｄＳで表すＮＭＲ信号は、以下の関係によって表される。
【０００５】
【数１】
2010538718.tif 000003
ここで、ρ（ｘ，ｙ，ｚ，ｖ，ｔ）は、求められる量（位置（ｘ，ｙ，ｚ）において観測される核のスピン密度）を表し、ｖは、磁気モーメントの回転の周波数が、化学的環境に応じた遮蔽係数で修正され得るということ（ＮＭＲ分光法）を考慮に入れるために導入され、ｆ（ｘ，ｙ，ｚ，ｖ，ｔ）は、既知であり、陰時間関数又は陽時間関数として定義される。
【０００６】
信号ｄＳ（ｘ，ｙ，ｚ，ｖ，ｔ）は、回転磁気モーメントの位相及び強度を表すので、複素（複素数フィールドの要素）である。
【０００７】
サンプルを全体とみなした場合、合計取得信号は、
【０００８】
【数２】
2010538718.tif 000004
に比例し、ここで、
Δｘ、Δｙ、Δｚ、Δｖは、ｘ方向、ｙ方向、ｚ方向及び周波数方向それぞれに沿った信号の積分範囲であり、
信号Ｓ（ｔ）は複素信号であり、複素信号の和とみなされる。
【０００９】
取得された信号の各点は、２つの成分（すなわち、強度成分及び位相成分）を有する。
前述の成分は何れも、取得にわたって測定され、測定された位相は、ラジアンで表され、よって、無次元である。
【００１０】
ＮＭＲでは、時間の関数としての取得された信号から、生成した関数ρ（ｘ，ｙ，ｚ，ｖ，ｔ）を求めることが可能である。
【００１１】
特に、ＮＭＲでは、取得された信号から画像を再構成することが可能であり、取得された信号の各点は、（患者の体などの）画像オブジェクトの点に対応する。
【００１２】
信号から画像を再構成するということは、
Ｓ（ｔ）＝Ｍρ（ｘ，ｙ，ｚ，ｖ，ｔ）
というタイプの等式系を解くということになる。ここで、Ｓは既知のベクトルであり、その要素は複素数であり、その強度及び位相は、既知であり、信号の経時的なサンプリングによって表され、ρは、求める対象のベクトルであり、Ｍは行列であり、その要素はそれ自体がやはり既知である。実験条件によって規定されるからである。
【００１３】
行列Ｍの各行の各要素は、特定の取得時間において再構成される対象のボリュームの各要素の位相によって表される。
【００１４】
この目的で、ＮＭＲ画像の従来の再構成は、関数ｆ（ｘ，ｙ，ｚ，ｖ，ｔ）を、
【００１５】
【数３】
2010538718.tif 000005
として書き換えることができるということを用いることによって実現される。
【００１６】
実際に、前述の条件下では、指数が無次元であるため、値ｋｘ（ｔ）、ｋｙ（ｔ）、ｋｚ（ｔ）、ｋｖ（ｔ）は、ｘ、ｙ、ｚ、ｖの共役変数であり、Ｓ（ｔ）は、ｋｘ（ｔ）、ｋｙ（ｔ）、ｋｚ（ｔ）、ｋｖ（ｔ）として書き換えることができる。Ｓ及びρはフーリエ変換によって関係付けられる。
【００１７】
よって、ＮＭＲ取得の目標は、取得された信号Ｓ（ｔ）を、Ｓ（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ，ｋｖ）の形式にすることができるということを確実にすることである。
【００１８】
この条件は、磁場グラディエントにより、ｋ個の空間（又は、更にフーリエ空間）を「走査する」ことにより、ＮＭＲ撮像について満たされる。それにより、十分な数の座標点（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ，ｋｖ）の取得が可能になり、ボリュームをｘ，ｙ，ｚ，ｖ空間において再構成することができ、それにより、取得された信号の縮退を削減することができる。
【００１９】
よって、高空間分解能で画像をすばやく取得することができることは、ｋ空間を、広い範囲の周波数にわたってすばやく包含する（高強度の場のグラディエントで、すばやく切り換える）ことによって調節される。
【００２０】
図１ａ及び図１ｂは、２Ｄ画像の場合における「エコー・プラナー・イメージング」シーケンスの範囲内のｋ空間の走査を示す。
【００２１】
前述のシーケンス中、横磁化が無線周波数ＲＦによってもたらされる（図１ａを参照）。
マーク１とマークＮとの間の、経時的な、取得信号のＫ個の点が信号Ｓ（ｔ）を表す。
【００２２】
グラディエントＧｘ（ｔ）及びＧｙ（ｔ）の印加により、信号Ｓ（ｔ）が、ｋ空間内のデカルト座標をたどることになる（図１ａ及び図１ｂを参照されたい。）。
【００２３】
前述のシーケンスでは、何れの現在のＮＭＲ実験とも同様に、アクティブに信号に注入される情報は、経時的な磁化の位相に制限される。
【００２４】
磁化は、経時的に、位相の変動を受け、更に、速度及び加速度の変動も受けるが、測定される唯一の成分は位相である。測定された磁化それぞれは、（患者などの）撮像する対象のオブジェクトの点に対応する。
【００２５】
Ｓ（ｋｘ，ｋｙ）として事前に書き換えられる信号に対して行われるデュアル・フーリエ変換は、非常に容易に前述の系を解くことができる数学的なトリックであり（、又は上記トリックに過ぎず）、よって、Ｓ（ｋｘ，ｋｙ）からρ(x,y)に転送することが可能になるからである。
【００２６】
取得された信号の縮退は、例えば、（画素のサイズの程度の）非常に小さな残留エラー・レートでかなり削減される。極めてすばやい変動が、正の最大振幅と負の最大振幅との間のｘに沿ったグラディエントに課される（図１）。（１ｋＨｚに近い周波数で＋１テスラ／ｍという値と−１テスラ／ｍという値との間で切り換わらなければならないことがあり得る。）。
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【００２７】
上記動作手順の限界は、ハイゼンベルグ方程式（不確定性原理）によって支配される。
【００２８】
空間（ｘ，ｙ，ｚ，ｖ）における空間解決は、共役空間（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ，ｋｖ）における空間分解能に反比例する。
【００２９】
空間分解能及び時間分解能は、（患者の安全基準によって課される制約、ハードウェアによってもたらされる制限、使用されるマシンに固有のパラメータである）信号を符号化するために印加され得る場のグラディエントの強度、及び（各組織に固有のパラメータである）信号が消滅する前の利用可能な時間に依存する。
【００３０】
よって、ｋ空間を走査するために、極めてすばやい変動が、ｘに沿ったグラディエントに対して課される。グラディエントは、１ｋＨｚ程度の周波数における（メートル毎の１テスラの程度の）その限度値間で振動しなければならないことがあり得る。
【００３１】
前述の現象は、強度が非常に大きな音響雑音をもたらし、これは、ＮＭＲ実験中に、フィ―ルド内に配置された患者の鼓膜の回復不能な損傷をもたらし得る。
【００３２】
更に、グラディエント強度が大きい場合、前述の振動は、有害な直接的な神経刺激（指に入った、痛ましいピンや針）をもたらす。
【００３３】
更に、信号を取得することができる時間は一般に、２百又は３百ミリ秒に制限され、よって、観測可能な信号を生成するために使用される無線周波数パルスは、画像を取得するために反復されなければならない。前述の反復は、組織の局所的な加熱（体にとって危険であり得る比吸収率（ＳＡＲ））を引き起こす。
【００３４】
最後に、体の特定の組織（軟骨、腱、骨等）は、短い緩和時間によって特徴付けられる。
前述の組織の場合、信号は、（骨の場合、１０ミリ秒程度の）非常に短い期間にわたって取得することが可能であるに過ぎない。前述の限定性は、達成することが可能な最大空間分解能を大きく制限するか、又は、組織（すなわち、骨）を見ることを妨げる。
【００３５】
多くの欠点を犠牲にして、ＮＭＲでは、ｋ空間を走査することにより、取得された信号の縮退を削減することが可能であり、前述の走査は、空間を走査する軌跡及び複素数を施し、前述の欠点をもたらす。
【００３６】
取得された信号は、複素数の系列であり、信号の各点は振幅及び位相を表し、それ以上を表すことができない。実際に、２つの情報（その実数部分において１つ及びその虚数部分において１つ、又は、更に、関心がある、より特殊な場合では、その振幅において１つ、及びその位相において別のもののみ）を収容することができるに過ぎない。
【００３７】
よって、例えば、同じ位相によって特徴付けられる２点は、再構成後、同じ点となる。
適切な点が、大きく異なる速度又は加速度によって更に特徴付けられるものであっても、再構成された信号は次いで、縮退される。
【課題を解決するための手段】
【００３８】
本発明は、信号の縮退を削減するための新たな手法を提案している。
【００３９】
この目的で、本発明は、複素数の系列のものよりも「優れた」形態を使用することにより、取得された信号の縮退を削減することが可能である。
【００４０】
信号を規定するために、位相情報のみよりもずっと多くの情報を注入することができる。
【００４１】
本発明では、超複素数の項は、四元数及び八元数、並びに、クリフォード代数によって定義される要素、及び拡張されるか、又は複素代数を超える代数の要素を規定するために使用される。
【００４２】
第１の局面によれば、本発明は、複素信号を処理する方法であって、複素数として信号を取得する工程と、関連付けられた超複素成分を取得複素信号から求める工程であって、上記成分が、取得複素信号の位相の少なくとも時間導関数に対応する工程と、処理から生じる信号が取得信号の成分の数よりも大きな成分数を含むように、超複素信号に対する処理動作が求められる工程とを含む方法に関する。
【００４３】
方法の他の局面は以下の通りである。
【００４４】
上記方法は、求められた空間において少なくとも２つの次元でオブジェクトを、取得前に符号化する工程を含み、
空間を符号化するために使用される別々の導関数の線形結合によって形成される多項式が、符号化空間次元に関連付けられ、多項式は、直交である２つの直交次元に関連付けられる。
【００４５】
符号化は、信号の各点の時間導関数の形式で求められる空間の信号の各点の情報の特徴的情報を作成し、よって、符号化空間の各点には、超複素数が関連付けられ、その成分は、この点を空間的に特徴付ける別々の時間導関数の値である。
【００４６】
取得信号の各点には、超複素数が関連付けられ、その成分は、空間を符号化するために使用される信号の別々の時間導関数である。
【００４７】
更に、超複素空間において解くことにより、点の空間密度を信号から求める工程を含む復号化工程を含み、一方で、線形等式系が、取得信号によって形成される超複素ベクトルによって形成され、他方で、上述の空間の点を符号化するための超複素行列によって形成される。
【００４８】
方法は、核磁気共鳴システムにおいて適用され、処理する対象の信号は、核磁気共鳴信号である。
【００４９】
符号化は、磁場グラディエントによって行われる。
【００５０】
第２の局面によれば、本発明は、核磁気共鳴撮像システムに関する。
【００５１】
本発明の装置は、本発明の第１の局面による方法を適用する手段を含む。
【００５２】
システムの縮退を削減するための超複素数の使用は、既に、核磁気共鳴の範囲において開示されている（例えば、
Ｅ．  Ｋｕｐｃｅらによる「Ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ  ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ
ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ  ｆｏｒ  ｓｐｅｅｄｉｎｇ  ｕｐ  ｍｕｌｔｉｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ  ＮＭＲ  ｓｐｅｃｔｒｏｓｃｏｐｙ，  （Ｊ．  Ａｍ．  Ｃｈｅｍ．  Ｓｏｃ．，  Ｖｏｌ．  １２６，  ２００４，ｐ．  ６４２９−６４４０）」、
Ｋａｚｉｍｉｅｒｃｚｕｋらによる「Ｔｗｏ  ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ  Ｆｏｕｒｉｅｒ  ｔｒａｎｓｆｏｒｍ  ｏｆ  ａｒｂｉｔｒａｒｙ  ｓａｍｐｌｅ，  ＮＭＲ  ｄａｔａ  ｓｅｔｓ、ＪＭＲ  １７９，  ２００６，  ｐ．  ３２３−３２８」、
Ｃｈｅｎ  Ｊらによる「Ｕｌｔｒａ  Ｈｉｇｈ  ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ  ３Ｄ  ＮＭＲ
ｓｐｅｃｔｒａ  ｆｒｏｍ  ｌｉｍｉｔｅｄ−ｓｉｚｅ  ｄａｔａ  ｓｅｔｓ，  ＪＭＲ，  Ｎｏ．  １６９，  ２００４，  ｐ．  ２１５−２２４」、
Ｇｒａｎｗｈｅｒらによる「Ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ  ｑｕａｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ  ｏｆ  ｒｅｍｏｔｅ  ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ  ＮＭＲ  ａｎｄ  ＭＲＩ」）
上記ケース全てにおいて、同じ情報（位相、超複素数の各成分は、特定の時点におけるか（、又は、上記Ｇｒａｎｗｅｈｒの場合、特定の「飛行時間」後の）信号の位相を含む）を記憶するために超複素数が使用される。
【００５３】
本願の方法では、取得された超複素信号の各成分が、固有に、符号化空間次元に沿った別の性質（位相、速度、加速度、角加速度等）のものであること（、及び、上記刊行物に開示されている、何れかの次元のタイプ（位相、位相、位相等）でないこと）であるということにより、磁化の空間位置の縮退の問題の、他の手法全てと比較した、より大きな削減を可能にする。
【００５４】
超複素数により、信号を処理することにより、ｋ空間という概念を捨てることが可能である。
【００５５】
従前の研究の全てにおいて、かつ、現在の研究において、フーリエ変換をもう使用していなくても、逆格子空間（ｋ空間）は、しかしながら使用される。従前の研究では全て、軌跡により、逆格子空間において、関心の平面又はボリュームが走査されるということが課される。このボリュームは、符号化する（すなわち、３次元オブジェクト（ｘ，ｙ，ｚ）を符号化する）対象のボリュームと同じ次元数を有するので、３次元逆格子空間（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）のボリュームを現時に取得しなければならない。
【００５６】
オブジェクトを符号化するための超複素数及びモーメントが使用された場合、空間情報の符号化は、各点で実現され、符号化する対象のオブジェクトと同じ次元数のボリュームを走査する。前述の新たな手法は、よって、オブジェクトを符号化するために使用される軌跡の単純化を大いに可能にする。
【００５７】
従来の手法では、獲得された軌跡の各点は、複素数によって規定され、したがって、２次元（実数次元及び虚数次元（一方は複素平面を表す）を有する。
【００５８】
前述の軌跡の各点は、特定の時点における信号の振幅及び位相を特徴付ける。
【００５９】
ボリュームを再構成することができるためには、取得信号の経時的な軌跡は、符号化する対象のオブジェクトと同じ次元数Ｎの空間においてボリュームをたどるべきである。
【００６０】
したがって、Ｎ個の次元でオブジェクトを符号化するために使用される独立した次元の合計数は、２Ｎであり、これは、Ｎ個の次元で、空間に配置された複素数の次元数を表す。
【００６１】
本願提案の方法では、取得点はそれぞれ、次元数（２Ｎ）の超複素数であり、その成分対はもう、磁化の振幅及び位相のみを表すものでなく、振幅及び角速度、振幅及び角加速度等も表す。
【００６２】
取得点の次元数が既に２Ｎであり、各成分に含まれる情報が別々の次元数のものであるので、次元数Ｎのボリュームを再構成することができる軌跡の最小次元数は再び１に低下する。
【００６３】
よって、本発明では、
（超複素形式において処理される）信号に符号化中に情報がどのようにして注入されるかにおける柔軟性を大きく増加させ、
音響雑音を削減するか、又は完全に抑制し、ＮＭＲ画像取得中に、特定の場合において、１２０ｄＢ超から２０ｄＢ未満の値まで通過させ、
患者における直接的な神経刺激を削減するか、又は抑制し、
患者の組織の加熱を削減し、
ＮＭＲ画像の時間分解能を改善し、
ＮＭＲ画像の空間分解能を改善する。
【００６４】
前述の範囲内で、全体的に、強度の大きなグラディエントを使用することなく、非常にすばやく切り換える必要なしで、画像又はボリュームの全体を符号化することが可能である。
【００６５】
よって、本発明では、ハイゼンブルグ方程式によってもう制限されない範囲内でこれを、超複素数を使用して、特に、画像又はボリュームを取得し、再構成することが可能である。
【００６６】
特に、取得時間と空間分解能との比は、既知の手法と比較して効果的である。
【００６７】
更に、本発明の方法は、既知のタイプのＮＭＲ装置に特にうまく一体化される。
【図面の簡単な説明】
【００６８】
【図１ａ】２Ｄ画像の場合における「エコー・プラナー・イメージング」シーケンスの範囲内のｋ空間の走査を示す図である。
【図１ｂ】２Ｄ画像の場合における「エコー・プラナー・イメージング」シーケンスの範囲内のｋ空間の走査を示す図である。
【図２】本発明の方法を示すフロー図である。
【図３ａ】本発明の方法において使用される、ｋ空間内の軌跡（ｋ空間内の放物線軌跡）を示す図である。
【図３ｂ】本発明の方法において使用される、ｋ空間内の軌跡（ｋ空間内の放物線軌跡）を示す図である。
【図４ａ】（システムである）符号化される対象の画像を示す図である。
【図４ｂ】本発明の方法中に使用される軌跡をｋ空間において示す図である。
【図５ａ】既知であり、本発明の方法によって得られるものとして、フーリエ変換を使用することによる、復号化後の再構成された画像を示す図である。
【図５ｂ】既知であり、本発明の方法によって得られるものとして、フーリエ変換を使用することによる、復号化後の再構成された画像を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００６９】
本発明の他の構成及び効果は、単に例証的であり、非限定的であり、かつ、添付図面を参照して読まれるものとする以下の説明から更に明らかになるものである。
【実施例】
【００７０】
図２は、４次元の超複素数（すなわち、四元数）を使用してＮＭＲ信号を取得する方法のフロー図を示す。
【００７１】
ＮＭＲ適用例の範囲内で、符号化する対象のオブジェクトが、磁場内に配置される。
【００７２】
このケースは、２次元により、オブジェクトを符号化したい場合である。
【００７３】
このオブジェクトを時間信号で符号化するために、無線周波数信号（ＲＦ）Ｅ１が印加され、これは、観測可能な磁化をもたらし、２次元空間を走査するために使用され、Ｅ２が２次元に沿って印加され、磁場グラディエントは次いで、その位置に応じて小さな差分要素それぞれの磁化の特性（位相、回転速度、加速度）を調節する。
【００７４】
図３ｂは、図３ａのグラディエントを印加することによる、ｋ空間の走査を示す。方向ｘに沿って、一定の磁場グラディエントが印加される。前述の次元に沿って、磁化の回転周波数が、その位置の線形関数になる。方向ｙに沿って、磁場グラディエントがランプ（勾配）に沿って印加される。この次元に沿って、磁化の回転速度の加速度がその位置の線形関数になる。したがって、ｋ空間の概念を使用した従来の表現では、符号化する対象の空間を包含する軌跡は放物線である（図３ｂ参照）。
【００７５】
特に、一定の磁場グラディエントは、第１に方向に沿ったその位置に応じて磁化の回転速度に関する情報を信号に注入することを可能にし、ランプ形状の磁場グラディエントは、第２の方向に沿ったその位置に応じて磁化の回転速度の加速度に関する情報を信号に注入することを可能にする。画像の再構成を可能にするうえでは、前述の単一の放物線軌跡を取得することで十分である。
【００７６】
従来の手法と比較すれば、符号化する対象の空間を包含するために使用される軌跡はずっと単純である。
【００７７】
更に、使用される磁場グラディエント、強度の変動が非常に低く、それにより、信号取得処理によって生成される雑音、及びその生成に必要なエネルギが非常に大きく削減される。
【００７８】
更に、取得時間は従来の手法よりも短いことがあり得、それにより、体に有害な神経刺激及び組織の加熱を避けることが可能である。
【００７９】
取得信号Ｅ４は、超複素形式で使用される。
【００８０】
実際には、差分回路と結合されたアンテナを使用することにより、又はさもなければ、差分信号を直接供給するアンテナを使用することによって取得することができる。
【００８１】
この例では、４つの成分を備えた超複素信号が使用され、この場合、これは四元数である。
【００８２】
四元数は４つの成分（ｒと表す実数成分、ｉと表す虚数成分、並びに、ｊ及びｋと表す他の２つの成分）を含む。四元数信号の４つの成分は、
ｉ２＝ｊ２＝ｋ２＝ｉ．ｊ．ｋ＝−１
という関係を介して互いに関係付けられる。
【００８３】
四元数としての取得信号は、
【００８４】
【数４】
2010538718.tif 000006
という式で表される。ここで、Ｓ（ｔ）は、（既知の手法におけるように）信号の複素成分を表し、Ｓ（ｔ）は、Ｓ（ｔ）の時間導関数を表す。演算子Ｒ及びＩはそれぞれ、信号の実数部分及び虚数部分を呈する。前述の取得信号の式では、関数ｆ（ｔ）は、符号化する対象の空間を包含するために使用される軌跡を表す。
【００８５】
この目的で、使用される多項式軌跡は例えば、
【００８６】
【数５】
2010538718.tif 000007
として表される。ここで、指数ｎは、符号化される対象の次元を表す。
【００８７】
他の軌跡を使用することができ、使用される軌跡は、実際に、信号の縮退を「十分に」削減することができる（すなわち、包含された軌跡は、解く対象の等式系に、十分な情報をもたらし、よって、等式系を解くことにより、所望の局所化に有用な情報を得ることができる（関心のあるオブジェクトの外部で上記情報が完全に縮退されているか否かは当然、意味を持たない）。
【００８８】
直交方向に対応する、対応する多項式自体が直交であるという唯一の条件下で、軌跡は例えば、それ自体が多項式であり得る。
【００８９】
特に、前述の例では、取得信号は、印加された磁場グラディエントに応じて、
【００９０】
【数６】
2010538718.tif 000008
として表され、因数２π及びγは、Ｈｚ、Ｈｚ／Ｔ、Ｔ／ｍ、Ｔ／ｍ／ｓの間の次元数の理由で導入される。
【００９１】
Ｇｙ（ｔ）をＧｙｔで置き換えることにより、前述の式は、
【００９２】
【数７】
2010538718.tif 000009
又は、更に、
【００９３】
【数８】
2010538718.tif 000010
になる。
【００９４】
このことを図３ｂに示しているように、ｋ空間を包含するために使用される放物線軌跡は、ｋ空間の一様な走査を可能にせず、達しない点はこの場合、ゼロである。
【００９５】
上述のように、取得信号は、Ｓ（ｔ）＝Ｍρ（ｘ，ｙ）として表すことができ、ここで、Ｓ（ｔ）及びρ（ｘ，ｙ）はベクトルであり、Ｍは行列である。ｋ空間の概念を使用して取得信号Ｓから密度関数ρに渡そうとした場合、信号に注入した情報は回復することも使用することも可能でなく、再構成により、ρについて完全に「異常な」値がもたらされる。
【００９６】
特に、示された例では、信号の位相のみがｋ空間／フーリエ変換手法によって使用され、画像を再構成するための唯一のやり方は、信号内に注意深く符号化した、速度に関する情報を使用するということである。補償として、前述の手法は、超複素線形等式系の直接の解決を必要とする。
【００９７】
図４ａは、符号化されることが意図されたオブジェクトを示す。
【００９８】
図４ｂは、（放物線軌跡である）方向ｙに沿ったランプ及び方向ｘに沿った一定のグラディエントを印加することによって取得される信号の実数部分を示す。
【００９９】
（非ゼロ）情報を含む唯一の点は、放物線軌跡上に配置される点である。
【０１００】
図５ａは、フーリエ変換を使用することによって得られる画像を示す。この例では、フーリエ変換を使用するための条件により、情報を平面上に分布させることが必要となる。取得情報をこの形式にすることが可能でないということにより、適切に使用されることが妨げられ、再構成画像は、決して、元の画像に匹敵するものでない。この場合、縮退状態を超える状態の再構成画像は、符号化画像と全く異なる。
【０１０１】
図５ｂは、超複素線形等式系を解いた上述の四元数として取得信号を事前に記憶した後の復号化画像を示す。
【０１０２】
この手法では、従来の手法の欠点なしで、縮退を削減し、元のものと同一の画像を再構成することが可能である。
【０１０３】
なお多くの情報を記憶するためには、より高次のモーメント（加速度の導関数等）を使用することで十分である。
【図１ａ−１ｂ】
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【図２】
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【図３ａ】
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【図３ｂ】
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【図４ａ】
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【図４ｂ】
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【図５ａ】
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【図５ｂ】
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【国際調査報告】
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